Respuestas Guia Analisis 2 catedra Venturini

Análisis Matemático II - Cátedra: Dra. Luisa L. Lazzari Guía de Trabajos Prácticos - Abril 2009

41

RESPUESTAS


42

RESPUESTAS TRABAJO PRÁCTICO Nº 1 2) a) 10

b) 3

d)

e)

158 158

69

c)

34

f)

6

3) a)

c)

b)

d)


42

RESPUESTAS TRABAJO PRÁCTICO Nº 1 2) a) 10

b) 3

d)

e)

158 158

69

c)

34

f)

6

3) a)

c)

b)

d)


e)

g)

i)

f)

h)

j)

43


44

k)

l)

m)

ñ)

n)

o)


p)

q)

4) a) i) 7 x + y + 4 z = 31 b) i) no son paralelas iii) no son paralelas 5)

a) b)

x − 1

7 x + 5

y − 4

=

1

=

y − 1

= =

ii ) 3 x − 5 y + 2 z = −16 ii) son paralelas iv) no son paralelas

z − 5

F (t ) = (1 + 7t ; 4 + t ; 5 + 4t )

4 z − 2

F (t ) = (− 5 + 3t ;1 − 5t ; 2 + 2t )

−5 2 x − 1 y − 2 z − 3 c) = = 3

2

3

a) x − 1 =

6)

45

y

4

=

F (t ) = (2t + 1; 3t + 2; 4t + 3)

4

z + 3

F (t ) = (1 + t ;4t ;3 − 3t )

−3

7) a)

b) y

y 0

1

2

3

4

0

2

4

6

6

4

3

4

z

z

2

2 1

0 4

3

2

0 1 x

0

4 6

2

0 x


46

c)

d)

y 2

4 3

0

x

2

8

1

4

3

4

1 0

6 3

4

z

z

2

2

1

0

1

0

4

3

2 y

0

e)

05 0. 1.15 x 2

f) - 1

1

0

1

0 - 1

4 2

3 z

2 1

0

6

0 0

4

2 4 x

- 2

y

2 6 8

0

g)

h) 0. 5 0 -0.5 -1 1

2 1

-4

0

0

-1

-0.5

--2 2 2 -2

1 0

0 -1

2 4 -2

0. 5

-1 -1 -0.5 0 0. 5 1


i)

j)

6 y

y

47

4

2

0

2

-2

0

-4

2

2 z

z

0

0

-2

-2 -4 -2

-2

0 x

0

2

x

4

k)

2

l) x - 1 - 0. 5 1 0 0. 5 0. 5 0

y - 0. 5 -1

1

2

z

4 3 z 2 1 0

0

4 2

-5

-2

0 y

0

-2

x 5

m)

-4

n) y

2

0 -2 -4 4

2

z

2 1 z 0 -1 -2 -5

0

-2

-4

5 2.5 0 -2.5

-4

-2.5

0

-2

x

0 x

2 4

2.5 5

-5

y


48

o)

p) y

2

0

x

-5

y

- 2. 5

2

0

0

-2

2. 5 5

-2

-4 4 10

2 z

z

0

5

-2 -4 0

-4 -2 0 x

2 4

q)

r) y

10 0

1

0

- 10

-1

- 20 20

-2 2

10

1 z

0 - 10

0 -1

- 20 - 20

-2 -2

- 10

-1

0

0

10

x

20

8) a)

A es cerrado, no es abierto, no es acotado.

1 2


No existen puntos interiores. Los puntos frontera son todos los puntos que pertenecen a A. El conjunto de puntos exteriores está constituido por el complemento de A ( ℜ 2 − A ). El conjunto de puntos de acumulación es el conjunto A. b)

B no es cerrado, es abierto, es acotado. El conjunto de puntos interiores es B. Los puntos frontera son ( x; y ) ∈ ℜ 2 / x 2 + y 2 = 1 ∨ x 2 + y 2 = 4

{

{

}

}

Los puntos exteriores son ( x; y ) ∈ ℜ 2 / x 2 + y 2 < 1 ∨ x 2 + y 2 > 4

{

}

Los puntos de acumulación son ( x; y )∈ ℜ 2 / 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4

c)

C es cerrado, no es abierto, no es acotado. El conjunto de puntos interiores es ( x; y ) ∈ ℜ 2 / y + (x − 1)2 > 4

}

49

50


{

}

El conjunto de puntos frontera es ( x; y ) ∈ ℜ 2 / y + (x − 1)2 = 4

{

}

El conjunto de puntos exteriores es ( x; y ) ∈ ℜ 2 / y + (x − 1)2 < 4 El conjunto de puntos acumulación es C.

d)

2 1 y

0

-1 -2 1 0. 5 z

0

-0.5 -1 -1

-0.5

0 x

0. 5 1

D es cerrado, es abierto, es acotado. ⎧⎪ ⎫⎪ y 2 El conjunto de puntos interiores es ⎨ ( x; y ; z ) ∈ ℜ 3 / x 2 + + z 2 < 1⎬ 4 ⎪⎩ ⎪⎭ 2 ⎧⎪ ⎫⎪ y El conjunto de puntos frontera es ⎨ ( x; y ; z )∈ ℜ 3 / x 2 + + z 2 = 1⎬ 4 ⎪⎩ ⎪⎭ ⎫⎪ y 2 ⎪⎧ El conjunto de puntos exteriores es ⎨ ( x; y ; z )∈ ℜ 3 / x 2 + + z 2 > 1⎬ 4 ⎪⎩ ⎪⎭ El conjunto de puntos de acumulación es D.


RESPUESTAS TRABAJO PRÁCTICO Nº 2 Funciones de varias variables 1) a) f (3;2) = 9 b) f (3;-2) = -2e³ c) f (2;3;9) = 2 d) f (2;3;-1;0) = -25

f (-1;1) = 7 f (-1;4) = 4e-1 f (-1;0;1) = 0 f (-1;0;1;-3) = -7

f (0;2) =12 f (0;2) =2 f (-5;1;2) =-5/2 f (-5;-2;1;2) =7

2) Tasa de

Tasa de inflació n

I

impuestos

0

0,01

0,05

0

2593,7

2348,1

1592,3

0,28

2004,2

1814,4

1230,4

0,35

1877,1

1699,3

1152,4

{

3) a) Df = ( x; y ) ∈ ℜ 2 / y ≠ 0

}

b) Df = ( x ; y ) ∈ ℜ 2 / xy ≠ 4 c) Df =

( x; y ) ∈ ℜ 2 / x 2 + y 2 ≤ 4

d) Df =

( x; y ) ∈ ℜ 2 / xy ≠ 0

e) Df =

( x; y ) ∈ ℜ 2 / xy ≠ 1 + 2k ∧ k ∈ Z

⎧ ⎫ x 2 y 2 f) Df = ⎨( x; y ) ∈ ℜ 2 / − > 1⎬ 4 4 ⎩ ⎭ 2 ⎧ ⎫ y 2 2 x g) Df = ⎨( x; y ) ∈ ℜ / − > 1 ∧ x 2 + y 2 > 9 ⎬ 4 4 ⎩ ⎭

h) Df = i) Df =

( x; y ) ∈ ℜ 2 / y ≥ x 2 ∧ ( x ; y ) ≠ (0;1)

{ ( x; y ) ∈ ℜ / x + y ≠ k π ∧ k ∈ Z } 2

2 ⎧⎪ ⎫⎪ 2 x j) Df = ⎨ ( x; y )∈ ℜ / + y 2 > 2⎬ 4 ⎪⎩ ⎪⎭

k) Df =

( x; y ) ∈ ℜ 2 / y − x ≤ 1

51


52

l) Df =

( x; y ) ∈ ℜ 2 / x 2 + y 2 ≤ 9 ∧ xy ≠ 0

U {(0 ;0 )}

4) a) Df = ( p a ; pb ) ∈ ℜ 2 / 2 p a + pb ≤ 18 ∧ p a ≥ 0 ∧ p b ≥ 0 2 ⎧⎪ ⎫⎪ 2 p a b) Df = ⎨ ( p a ; pb ) ∈ ℜ / − pb 2 > 4 ∧ p a ≥ 0 ∧ pb ≥ 0 ⎬ 4 ⎪⎩ ⎪⎭

2 2 ⎧⎪ ⎫⎪ p p c) Df = ⎨ ( p a ; p b )∈ ℜ 2 / a + b > 1 ∧ p a > 2 pb + 1 ∧ p a ≥ 0 ∧ p b ≥ 0⎬ 4 9 ⎪⎩ ⎪⎭

5) a) C ( x; y ) = 0 ,30 x + 0 ,40 y + 1200 b) $4700 c) U ( x; y ) = 0 ,30 x + 0 ,35 y − 4800 6) a) k = -2

y = 4 x 2 − 2

k = -1

y = 4 x 2 − 1

k=0

y = 4 x 2

k=1

y = 4 x 2 + 1

k=2

y = 4 x + 2

b) k = -5 k=0 k=3 c) k = -2 k = -1 k=0 k=1 k=2 d) k = -1 k=1 k=4 e) k = -2 k = -1 k=0 k=1 k=2

2

y 2 + x 2 = 9 y 2 + x 2 = 4 y 2 + x 2 = 1 no existe no existe (0;0) x 2 + 4 y 2 = 1 x 2 + 4 y 2 = 2 no existe y = x

3

y = x 3 + ln 4

x2 y=− −2 2 2 y = − x − 3 no existe y = x 2 + 1 y =

x 2 2


53

2

1 ⎛ 1 ⎞ 2 ⎜ x + ⎟ + y = 4 ⎝ 2 ⎠ ( x + 1)2 + y 2 = 1

f) k = -2 k = -1 k=0

x = 0

( x − 1)2 + y 2 = 1

k=1

2

1 ⎛ 1 ⎞ 2 k=2 ⎜ x − ⎟ + y = 4 ⎝ 2 ⎠ 7) a) Df = ( K ; L ) ∈ ℜ 2 / K ≥ 0 ∧ L ≥ 0

b) f (1000;500) = 75785,83 ; f (2000;1000) = 151571,66. La producción se duplica. c) L =

1 3

243

; L =

k 3

. Representan las distintas combinaciones de unidades de

K capital y trabajo para las cuales la producción total se mantiene constante e igual a 100 y 300 unidades respectivamente.

8) b) z = 1 z = 2

x 2 4 x 2 8 x 2

+ +

y 2 9 y 2 18

=1 =1

y 2

+ =1 12 27 Representan las distintas combinaciones de insumos x e y para los cuales la producción total se mantiene constante e igual a 3, 2 y 1 respectivamente. No corresponde al caso normal. z = 3

9) a) No crecen en dirección noreste. b) No son convexas. 10) a) 100 = 5 x1 + 6 x2 b) x1 = 10 ; x2 = 25/3. La utilidad máxima es 250. 11) a) I = 3 x1 + 5 x 2

b)

x1 = 4,84 ; x2 = 1,38. El ingreso máximo es 21,42.


54

RESPUESTAS TRABAJO PRÁCTICO Nº 3 Límite y continuidad a) L=L1= L2 = Lr = -1 b) L1 = −

1 1 1 − 3m , L2 = , Lr = 2 2 2(1 + 3m )

⇒ no existe límite doble

c) L=L1= L2 = Lr =6 1

d) L=L1= L2 = Lr = e) L1= L2 = 0, Lr =

12

(

3m

2 1 + m2

)


f) L=L1= L2 = Lr = 0 g) L=L1= L2 = Lr = 0 h) L=L1= L2 = Lr = 0 i) L1 = −

1 2

, L2 = 3, Lr =

j) L1= L2 = 0, Lr =

3−m 1 + 2m

m2

1 + m4



k) L= Lr = 0, ∃/ L1 , ∃/L2 l) L= L2 = Lr = 0, ∃/ L1 mi) L1 = -1, L2 =1, Lr =

1− m 1+ m

n) L1= L2 = Lr = 0, L L = x = y 2

ñ) L1=

1 4

, L2 = 4, Lr = 4

o) L1= L2 = 0

L =

y = x 4


mii) L=0

1 ⇒ no existe límite doble 2

1+ m2 1− m2


1 ⇒ no existe límite doble 2

2) a) Discontinua evitable. ∃/ f (0;0). L = 0. b) Continua. L= f (0;0) = 0 3) a) f es continua en (0; 0) y en (1,0) f presenta discontinuidad esencial en (1; 1) b) f presenta discontinuidad esencial en (0;0), y en (1;1) f es continua en(1;0) c) f presenta discontinuidad evitable en (0;0) f es continua en (1;1) y en (1;0) d) f es continua en (0; 0), en (1;1) y en (1;0)


4) a) f presenta discontinuidad esencial en (1;1) (1;1)

b) f es continua en

5) a). f presenta discontinuidad esencial en (0;0) b) f es continua en (0; 0) c) f es continua en (0; 0) d). f presenta discontinuidad esencial en (0;0) e) f presenta discontinuidad esencial en (0;0) f) f presenta discontinuidad esencial en (0;0) g) f presenta discontinuidad esencial en (0;0) h) f presenta discontinuidad evitable en (0; 0)

{

}

6) a) Es continua en D = ( x ; y ) ∈ ℜ 2 / xy ≠ 0 b) Es continua en D = ( x; y ) ∈ ℜ 2 / x > y

{

}

c) Es continua en D = ( x; y ) ∈ ℜ 2 / x 2 − y 2 < 4 . π ⎧ ⎫ d) Es continua en D = ⎨( x; y ) ∈ ℜ 2 / ( x + y) 2 ≠ (2k + 1) / k ∈ Ζ ⎬ 2 ⎩ ⎭

7) a) f (0; 0) = 0 c) f (0; 0) = 2/5

b) f (0; 0) = 1 d) No es posible

e) f (0; 0) = 0 8) a) No, porque ∃/ L. b) No, porque ∃/ L. 9) A cargo del alumno.

55


56

RESPUESTAS TRABAJO PRÁCTICO Nº 4 Derivadas Parciales 1) a) f x′ (1;−2 ) = 14

f y′ (1;−2 ) = −8

b) f x′ (2;−1) = 4

f y′ (2;−1) = 1

c) f x′ (1;1) = 1

f y′ (1;1) = −1

2 1 334

d) f x′ (1;1) =

e) f x′ (2;−1) = −2 f) f x′ (2;1) =

2) a) f x′ =

2 1 334

f y′ (1;1) =

f y′ (2;−1) = −4

1

f y′ (2;1) = 0

2

2 e 2 x

f y′ =

e 2 x + e y

e y e 2 x + e y

b) f x′ = sec x tgx + y 2

f y′ = 2 xy

c) f x′ = e x + 3 y cos x (1 − 3 ysenx )

f y′ = 3 cos x e x +3 y cos x

d) f x′ =

2 y

( x + y )

f y′ = −

2

g) f x′ =

e x + 2 y

(e

x

f y′ =

)

y 2

+e

2 x

f y′ =

x + y − z 2 z 2

f z ′ = −

( x + y )2

f y′ = x y x −1

e) f x′ = y x ln y f) f x′ =

2 x

2

e 2 x+ y

(e

x

+ e y )

2

1 x + y − z 2 2

x 2 + y − z 2

h) f x′ = x yz −1 yz f z ′ = y x

yz

f y′ = z x yz ln x

ln x

3) A cargo del alumno 4) a) z x′ (0;0 ) = 1

z y′ (0;0 ) = 1

b) No existen las derivadas parciales en el origen. c) z x′ (0 ;0 ) = 0 z y′ (0;0 ) = 0 d) z x′ (0 ;0 ) = 0

z y′ (0;0 ) = 0

e) z x′ (0 ;0 ) = 1

z y′ (0;0 ) = 0

f) z x′ (0;0 ) = 0

z y′ (0;0 ) = 0


57

5) a) f ( x;y) es discontinua esencial en (0;0) y existen ambas derivadas parciales z x′ (0 ;0 ) = 0 y z y′ (0;0 ) = 0 f ( x;y) es continua en (1;1) y existen ambas derivadas parciales z x′ (1;1) = 3 z y′ (1;1) = 2 f ( x;y) es continua en (1;-1) y existen ambas derivadas parciales z x′ (1;−1) = 3 y z y′ (1;−1) = 2

b) f ( x;y) es discontinua esencial en (0;0) y no existe z x′ (0;0 ) y z y′ (0;0 ) = 0 f ( x;y) es continua en (1;1) y existen ambas derivadas parciales z x′ (1;1) = z y′ (1;1) = −

1 4

y

1

4 f ( x;y) es discontinua esencial en (1;-1) y no existen ambas derivadas parciales .

6) f x′(1;2;0 ) = 1

f y′ (1;2;0 ) =

1

f z ′(1;2;0 ) =

2

1 4

7) z x′ (1;1) = 18 8)

12 5

9) a) Es derivable sólo en las direcciones de los versores (1;0), (0;1), (-1;0), (0;-1), f v′ (0;2 ) = 0 b) f v′(1;0 ) = 0 si v1 • v 2 = 0 y no existe f v′(1;0 ) si v1 • v 2 ≠ 0 9

10) −

11)

33

3 2 2

′ (1;−2 ) = 2 65 12) a) f max

′ (1;−2 ) = −2 65 f min

′ (2;−1;1) = 3 b) f max

′ (2;−1;1) = −3 f min

′ (1;1) = c) f max

′ (1;1) = − 2 f min

2

′ (1;1) = 3 5 d) f max 13) a) f xx′′ (− 1;1) = 6 b) f xx′′ (1;−1;2 ) = 24

′ (1;1) = −3 5 f min f xy′′ (− 1;1) = f yx′′ (− 1;1) = −4

f yy′′ (− 1;1) = 2

f yy′′ (1;−1;2 ) = 8

′′ (1;−1;2 ) = 2 f zz

f xy′′ (1;−1;2 ) = f yx′′ (1;−1;2 ) = −24

′′ (1;−1;2 ) = f zy′′ (1;−1;2 ) = 0 f yz

′′ (1;−1;2 ) = f zx′′ (1;−1;2 ) = 0 f xz


58

14) A cargo del alumno.

⎧ x 2 − y 2 2 x( x 2 + y 2 ) − ( x 2 − y 2 )2 x + 2 xy ⎪2 y 15) f x′ = ⎨ x 2 + y 2 ( x 2 + y 2 )2 ⎪0 ⎩ ⎧ x 2 − y 2 4 x 2 y − 2 xy ⎪2 x f y′ = ⎨ x 2 + y 2 ( x 2 + y 2 )2 ⎪0 ⎩ f xy′′ (0;0 ) = −2

( x; y ) ≠ (0 ;0 ) ( x; y ) = (0 ;0)

( x; y ) ≠ (0;0 ) ( x; y ) = (0;0)

f yx′′ (0 ;0 ) = 2

f xy′′ (0;0 ) ≠ f yx′′ (0;0 )

b) f xy′′ no es continua en el origen, por consiguiente no se cumplen las hipótesis del teorema de Schwarz. f x′ =

2 yx 4 − 2 y 5 + 8 x 2 y 3

( x

(2 x f ′′ =

4

2

+ y 2 )

2

− 10 y 4 + 24 x 2 y 2 )( x 2 + y 2 ) − 4 y ( x 2 + y 2 )(2 yx 4 − 2 y 5 + 8 x 2 y 3 ) 2

xy

( x

2

+ y 2 )

4

En la dirección x=y en todo entorno del origen 64 x 6 − 64 x 6 f xy′′ ( x; x ) = = 0 y f xy′′ (0;0 ) = −2 Por lo tanto f xy′′ es discontinua en el 16 4 origen 16) A cargo del alumno.

Aplicaciones económicas ∂ D1 ∂ D1 (1;2;1) = −2 (1;2;1) = 4 ∂ p1 ∂ p 2 ∂ D1 b) Como (1;2;1) < 0 el bien es típico. ∂ p1

1) a)

c)

2) a)

ED1 Ep1

(1;2;1) ≅ −0 ,018

∂q1 (8 ;5 ) = −4 Q1 bien típico ∂ p1 ∂q1 (8;5 ) = 2 ∂ p 2

sustitutos.

ED1 Ep 2

(1;2;1) ≅ 0 ,075

∂ D1 (1;2;1) = −2 ∂ p 3

ED1 Ep 3

(1;2;1) ≅ −0 ,018

∂q 2 (8;5 ) = −3 Q2 bien típico ∂ p 2 ∂q 2 (8 ;5 ) = 1 ,5 Q1 y Q2 son bienes ∂ p1


Eq1 Ep1 Eq1 Ep 2

(8;5 ) = − (8;5 ) =

16

Eq 2

37

Ep 2

5

Eq 2

37

Ep1

(8 ;5 ) = − (8;5 ) =

59

15 65 + 12 ln 8 12

65 + 12 ln 8

3) a) Ambos bienes son típicos y son sustitutos entre sí. Ex1 Ex 2 = −2 p1 = −3 p 2 Ep1 Ep 2 Ex1 Ep 2

Ex 2

=1

Ep1

= p1

b) Ambos bienes son típicos y son complementarios entre sí. Ex1 p1 + 1 Ex2 = = −1 Ep1 p1 + ln( p1 p 2 ) Ep 2 Ex1 Ep 2

=

1

Ex 2

p1 + ln( p1 p 2 )

Ep1

= −1

c) El primer bien es Giffen, el segundo es típico y son independientes entre sí. Ex1 Ex 2 =1 = − p 2 Ep1 Ep 2 Ex1 Ep 2

Ex2

= −1

Ep1

= p1

4) Para (q1 ; q 2 ) = (12;10 ) al consumidor le da igual comprar una unidad adicional del bien Q1 o del bien Q2 , puesto que las utilidades marginales para dichas cantidades son iguales. Es decir, ∂U ∂U (12;10 ) = (12;10 ) = 14 ∂q1 ∂q 2 20 ∂Q (4;4 ) = 3 ∂ L 10 3 4 ∂Q ∂Q b) Para K=10 y L=20 ≅ 5 ,2913 (10;20 ) = (10;20) = 3 ∂ K ∂ L

5) a)

c)

10 ∂Q (4;4 ) = 3 ∂ K

EQ EK

=

1

EQ

3

EL

=

2

EQ

3

EL

=2

EQ EK

∂ x I −0 ,2 ∂ x = −0 ,2e I p −1 ,2 < 0 bien típico = e p > 0 bien normal ∂ p ∂ I 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ P 2 = ⎜ 1 + Δ x;2 + Δy ⎟ 7) a) P 1 = ⎜ 1 + Δ x ;2 ⎟ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ b) P 1 = (1 ,01;2 ) P 2 = (1 ,02;2 ,005 ) 6)

8) a) C ≅ 2358

∂C (0 ,2;2;4 ,5) ≅ 449 ,47 ∂n


60

RESPUESTAS PRÁCTICA Nº 5 Diferencial Δ z = 0,011492

1) a) dz = 0,01

2) a) Δ z = 0 ,018702 dz=0,02 3) a) du =

1 x

dx +

2 y

dy +

1 z

4) a) f x′ = 0 f y′ = 0

b) Δ z = 8

dz = 1

b) 159 ,1

z z 1 z dz b) du = y dx + xzy − dy + xy ln ydz

c) dz = x −

discontinua

no diferenciable

b) f x′ = 0 f y′ = 0

continua

no diferenciable

c) f x′ = 0 f y′ = 0

discontinua

no diferenciable

d) f x′ = 0 f y′ = 0

es continua

es diferenciable

5) a) 1,06

π 4

b) 4,045

6) a) d 2 z = 6 x y dx 2 + 6 x 2 dx dy + 24 y 2 dy 2

d 3 z = 6 y dx 3 + 18 x dx 2 dy + 48 y dy 3

b) d 2 z = e x cos y dx 2 − 2 e x seny dx dy − e x cos y dy 2

(

d 3 z = e x cos y dx 3 − 3 cos y dx dy 2 − 3 seny dx 2 dy + seny dy 3

7) df(1;2)=0

d 2 f (1;2 ) = 6 dx 2 + 2 dxdy +

9 2

ln 4 ⎛ Y ⎞ ⎟(1;2 ) = − 24 ⎝ X ⎠

8) TST ⎜

1 ⎛ Y ⎞ ⎛ X ⎞ ⎟(20;40 ) = 2 TMS ⎜ ⎟(20;40 ) = 2 ⎝ X ⎠ ⎝ Y ⎠

9) TMS ⎜

10) a) z = 4 x + 2 y − 3 b) z = 12 x + y − 17 11) dz=0,6

x - 1 y − 1 z − 3 = = −1 4 2 x-2 z − 8 = y − 1 = −1 12

dy 2

)

d 3 f (1;2) = −8 dx 3 −

5 3 dy 2


RESPUESTAS TRABAJO PRÁCTICO Nº 6 Funciones Compuestas e Implícitas Derivadas de funciones compuestas 1 3π 2 π dw ⎛ π ⎞ 1) + ⎜ ⎟=− − 8 18 3 d φ ⎝ 3 ⎠ 2)

dw dt

(

)( )

(

)

(

)

= cos x y z 2 y z 2 3 t 2 + cos x y z 2 x z 2 2 t + cos xyz 2 2 x y z = 7 t 6 cos t 7

∂ z 2 e st + s (− 1 + s t ) 3). = 2 2 s ∂t t e − e 2 s t

∂ z 2 t e st + s (− 1 + t ) = s s t ∂ s t 2 e 2 − e 2

∂ z ∂ z ∂ x ∂ z ∂ y = + ∂r ∂ x ∂r ∂ y ∂r ∂ z ∂ z = cos φ + sen φ ∂ x ∂ y ∂ z ∂ z ∂ x ∂ z ∂ y = + ∂φ ∂ x ∂φ ∂ y ∂φ ∂ z ∂ z = (− rsenϕ ) + r cos ϕ ∂ x ∂ y

4)

2

2

2

⎛ ∂ z ⎞ ∂ z ∂ z ⎛ ∂ z ⎞ ⎛ ∂ z ⎞ cos ϕ ⋅ senϕ + ⎜⎜ ⎟⎟ sen 2ϕ ⇒ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ cos 2 ϕ + 2 ∂ x ∂ y ⎝ ∂r ⎠ ⎝ ∂ x ⎠ ⎝ ∂ y ⎠ 2

2

2

⎛ ∂ z ⎞ ⎛ ∂ z ⎞ ⎛ ∂ z ⎞ ∂ z ∂ z 2 r senϕ ⋅ cos ϕ + ⎜⎜ ⎟⎟ r 2 cos 2 ϕ ⇒ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜ ⎟ r 2 sen 2ϕ − 2 ∂ x ∂ y ⎝ ∂ϕ ⎠ ⎝ ∂ x ⎠ ⎝ ∂ y ⎠ 2

2

2

2

⎛ ∂ z ⎞ 1 ⎛ ∂ z ⎞ ⎛ ∂ z ⎞ ⎛ ∂ z ⎞ ⇒ ⎜ ⎟ + 2 ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜ ⎟ (cos 2 ϕ + sen 2ϕ ) + ⎜⎜ ⎟⎟ (sen 2ϕ + cos 2 ϕ ) r ⎝ ∂ϕ ⎠ ⎝ ∂r ⎠ ⎝ ∂ x ⎠ ⎝ ∂ y ⎠ 2

⎛ ∂ z ⎞ ⎛ ∂ z ⎞ = ⎜ ⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ ∂ x ⎠ ⎝ ∂ y ⎠ 5)

2

π ⎞ ∂w ⎛ ⎜ 2; π ; ⎟ = 0 2 ⎠ ∂ϑ ⎝

6) h ′(t ) = −6t 5 + 5t 4 ⇒ h ′(− 3) = −6(− 3) + 5(− 3) =1863 5

7) H (u; v) = ( F g )(u; v) ∂ H xy = e y cos u + e xy x(− 2 sen2u − v ) ∂u o

4

61

62


∂ H xy = e y 6v 2 + e xy x(− u ) ∂v

=

∂ z ⎛ y ⎞ = 2uvw⎜ − 2 ⎟ + u 2 w ⋅ 2 + u 2 v ⋅ 1 ∂ x ⎝ x ⎠ ∂ z (1;0 ) = 0 ∂ x 1 ∂ z = 2uvw + u 2 w ⋅ 2 y + u 2 v(− seny ) x ∂ y ∂ z ( P o ) = 0 ∂ y ∂ z ∂ z 8 ii) ( P 0 ) = 0 ( P 0 ) = 60 ∂u ∂v 8 i)

9) dz = ( x 2 + y 2 ) 2 y + 8 x 2 y ( x 2 + y 2 ) dx + ( x 2 + y 2 ) 2 x + 8 xy 2 ( x 2 + y 2 ) dy 2

10) xt ′ =

11)

dz dt

2 3

2

2 (1 + t ) , y′t = (2 − t ) 3

= (− y sen x )

3 + 2 y e t 6 x + 4 y

+ cos x

1 − x e t 3 x + 2 y

Funciones Implícitas 1) i) F (− 1 ,2,2 ) =

(− 1)4 −1 + 2

+4=0

-4+4=0 ii) F x′ = F y′ =

F z ′ =

z 2 y

( x + y )2

es continua en un entorno del punto (-1;2;2)

− xz 2 + 2 y es continua en un entorno del punto (-1;2;2) ( x + y )2 2 xz x + y

es continua en un entorno del punto (-1;2;2)

iii) F z ′(− 1;2;2 ) = −4 ≠ 0 ⇒ F define implícitamente z =f (x;y) ∂ z ∂ z (− 1;2) ; (− 1;2 ) . ∂ x ∂ y 4⋅2 2(− 1)2 − (− 1)4 F x′( P ) = = 8 ; F z ′( P ) = = −4 ; F y′ = +4=8 1 1 1

y

existen


63

8 ∂ z (− 1;2) = − = 2 ∂ x −4 2) i) F (1; − e −1 ; -1)=0 ii) F x′ = e z x z − y z es continua en un entorno del punto (1; − e −1 ;-1) F y′ = − x z es continua en un entorno del punto (1; − e −1 ; -1) F z ′ = e z x x − x y es continua en un entorno del punto (1; − e

−1

; -1)

iii) F z ′ (− 1;2;2) = 2 e −1 ≠ 0 ⇒ F define implícitamente z = f (x; y). 1 ∂ z 1;−e −1 = − e . 2 ∂ y

(

)

3) i) F (2;2;6)=0 z ii) F x′ = − y es continua en un entorno del punto (2;2;6) 2 2 xz + y F y′ = F z ′ =

y xz + y

2

x

2 xz + y 2

iii) F z ′ (2;2;6) =

1 4

− x es continua en un entorno del punto (2;2;6) es continua en un entorno del punto (2;2;6)

≠ 0 ⇒ F define implícitamente z = f (x; y).

∂ z (2;2;6) = 5 . ∂ 4) F ( x; y; z ) = 0 , x y =

⇒−

F ′ ∂ x = − y , F x′ ∂ y

F ′ y z = − x , ′ F y

F ′ z x = − x F z ′

F y′ ⎛ F z ′ ⎞ ⎛ F x′ ⎞ ⋅ ⎜ − ⎟ ⋅ ⎜ − ⎟ = −1 , F x′ ≠ 0; F y′ ≠ 0 ; F z ′ ≠ 0 F x′ ⎜⎝ F y′ ⎠⎟ ⎜⎝ F z ′ ⎠⎟

3 x 2e y + z − y cos( x − z ) ∂ z F x′ 5) = − = − 3 y + z F z ′ x e + y cos( x − z ) ∂ x 6)

F ′ senx ∂ x = − z = − ∂ z F x′ − ye − x + z cos x

7) A cargo del alumno 8) A cargo del alumno. 9) z x′ =

y − x z

; z ′y =

x z

′ = ; z ′xx

− z 2 − ( y − x )2 z 3

′ = ; z ′xy

z 2 − x ( y − x ) z 3

′ =− ; z ′yy

x 2 z 3

64


10) d 2 z =

4 15

(dx

11) a) PL.Tg. b) PL.Tg

2

+ dy 2 )

1 2 28 x − 1 y − 8 z + 27 x + y − z − = 0 Recta Normal = = − 2 / 9 3 3 9 3 2 / 3 1 / 3 y − 3 Recta Normal x − 6 = x-y-3=0 , z=3 −1 2

Aplicaciones Económicas 1)

Eq1 Eq1 dq1 19 ∂q1 ∂q = −0 ,3125 bien típic o 1 = −0 ,125 = −0 ,625 = −0 ,375 =− ∂ p1 ∂ p2 Ep1 Ep2 dt 96

2) ∂q1

t = 1 = −1 X1 bien típico

∂q 2 t = 1 = −3 X 2 bien típico. ∂ p 2

∂ p1 ∂q1 ∂q t = 1 = −2 ∧ 2 t = 1 = −2 X1 y X 2 bienes complementarios ∂ p1 ∂ p 2 Eq1 Ep1

dq 1 dt 3)

t = 1 = −0 ,2 t = 1 = −8

Eq1 Ep 2 dq 2 dt

t = 1 = −0 ,8

Eq 2 Ep1

t = 1 = −

2 Eq 2 17 Ep 2

t = 1 = −

t = 1 = −13

⎛ 1 dM 1 dY ⎞ = P .⎜ . − . ⎟ dt M dt Y dt ⎠ ⎝

dP

′ =− 4) Q K

3 L2 K 2 + 6 4Q + 3 L

Q′L = −

3Q + 2 LK 3 4Q + 3 L

3Q + 2 LK 3 ⎛ K ⎞ Q L′ TST ⎜ ⎟ = = ′ ⎝ L ⎠ Q K 3 L2 K 2 + 6 5) dD dt

=

∂ D dp1 ∂ D dp2 . . + ∂ p1 dt ∂ p2 dt

∂ D = 2 p1 p3 + 2 p2 − 6 p1 2 ∂ p1

∂ D = 3 p 2 p 2 + 2 p1 + 2 p2 1 2 ∂ p2

6 17


− 4t ⎛ ⎜ 3 p1 p 22 − 5 ⎞⎟ + 12tp1 p 2 dp ⎝ ⎠ 1 = 2 2 3 dt ⎛ ⎜ 3 p 2 + 4 ⎞⎟⎛ ⎜ 3 p1 p 2 − 5 ⎞⎟ − ⎛ ⎜ p 2 + 5 ⎞⎟ 6 p1 p 2 ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

)

2 3 − 2t ⎛ ⎜ 3 p 2 + 4 ⎞⎟ + 4t ⎛ ⎜ p 2 + 5 ⎞⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 = 2 2 3 dt ⎛ ⎜ 3 p 2 + 4 ⎞⎟⎛ ⎜ 3 p1 p 2 − 5 ⎞⎟ − ⎛ ⎜ p 2 + 5 ⎞⎟ 6 p1 p 2 ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

)

(

dp

(

6)

dDA dY

=

∂ DA dC ∂ DA dM + = 0.6 − 0.6Y ∂C dY ∂ M dY

65

66


RESPUESTAS TRABAJO PRÁCTICO Nº 7 Función Homogénea 1) a) homogénea grado 3

b) no homogénea

c) homogénea grado 1

d) homogénea grado 1 grado 5/4

e) homogénea grado 2

g) homogénea grado 2

h) no homogénea

f) homogénea

2) A cargo del alumno 3) a)

1 4

b) 6

c) 8

Aplicaciones Económicas 1) A cargo del alumno 2) a) La función es homogénea de grado 1 (homogénea lineal). Esto significa que cuando los factores de producción (a y b) varían según una misma proporción t, la producción varía en la misma proporción. b) A cargo del alumno. c) P(10,10) = 80 d) El rendimiento a escala es constate debido a que la producción varía en la misma proporción que los insumos. e) La TMS =

2b a

, es homogénea de grado cero. Esto significa que la TMS entre los

factores es invariante ante cambios proporcionales en los insumos. f) La senda de expansión es la recta a=b. 3) El producto aumentaría en la misma proporción que los factores, es decir, en un 1% por se la función de Cobb – Douglas homogénea de grado 1. 4) a) La función es homogénea de grado 2. b) A cargo del alumno. c ) f (3,5) = 112 d) f’ b(3,5) = 22 e) b.f’b(3,5) = 5 . 22 = 110 5) La función es homogénea de grado 0. La demanda permanece invariante ante cambios proporcionales del precio y la renta. 6) a) La función es homogénea de grado 2,47. b) A cargo del alumno. c)

Ex Ey + = 2,13 + 0,34 = 2,47 . Se demuestra que la suma de las elasticidades parciales Ea Eb

es igual al grado de homogeneidad.


67

d) Existe rendimiento a escala creciente, es decir, que la producción aumenta en una proporción mayor que los factores de producción (capital y trabajo). e) b=2 a 7) a) A cargo del alumno. b) y c) En los dos casos las demandas no varían ante una variación del 20% en los precios por ser funciones homogéneas de grado cero.

68


RESPUESTAS TRABAJO PRÁCTICO Nº 8 Fórmula de Taylor y Mac Laurin 1) a) ln ( xy ) = x − 1 + y − 1 −

1 2

1

( x − 1)2 − ( y − 1)2 + T 3 2

3

T 3 = d f (a , b ) 1 < a < x 1 < b < y 2

π 2 ⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ ( y − 1)2 + T 3 b) sen ( 2 xy ) = 1 − 2 ⎜ x − ⎟ − π ⎜ x − ⎟ ( y − 1) − 8 ⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ π

T 3 = d f (a ,b ) 3

4

< a < x 1 < b < y

1 c) x.e y = x + y + ( x − 1). y + y 2 + T 3 T 3 = d 3 f (a ,b ) 1 < a < x 0 < b < y 2 1 2 2 2) a) z = 12 + 6 ( x − 1) + 14 ( y − 2 ) + 6 ( x − 1) + 4( x − 1) ( y − 2 ) + 12 ( y − 2 ) + 2 1 3 3 6 ( x − 1) + 6 ( y − 2) + T 4 3! 1 2 b) z = e2 + e 2 ( x − 2) + 2e 2 y + e 2 ( x − 2) + 4e 2 ( x − 2) y + 4e2 y 2 + 2 1 2 3 2 e ( x − 2 ) + 6e2 ( x − 2) y + 12e2 ( x − 2) y 2 + 8e 2 y 3 + T 4 3! x 2 y 2 x 3 xy 2 c) z = 1 + x + − + − + T 4 2 2 6 2 1 2 2 d) z = e + e ( x − 1) + e ( y − 1) + e ( x − 1) + 4 e ( x − 1)( y − 1) + e ( y − 1) + 2 1 3 2 2 3 e ( x − 1) + 9 e ( x − 1) ( y − 1) + 9e( x − 1)( y − 1) + e ( y − 1) + T 4 3! Z (1,1;1,2) ≅ 1,3755 e 1 2 2 e) z = e 2 + e 2 ( x − 1) + e 2 ( y − 1) + e 2 ( x − 1) + 2e 2 ( x − 1)( y − 1) + e 2 ( y − 1) + 2 1 2 3 2 2 3 e ( x − 1) + 3e2 ( x − 1) ( y − 1) + 3e 2 ( x − 1)( y − 1) + e 2 ( y − 1) + T 4 3!

[

[

]

]

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

3 2 ⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ 1 ⎡⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ f ) z = −⎜ x − ⎟ − ⎜ y − ⎟ + ⎢⎜ x − ⎟ + 3 ⎜ x − ⎟ ⎜ y − ⎟ + ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 3! ⎢⎣⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 3⎤

2

⎛ π ⎞⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ 3⎜ x − ⎟⎜ y − ⎟ + ⎜ y − ⎟ ⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 2

g) z = x − 2 y − 3) a) 0,762273

x3

6

b) 1,47

+ T 4

⎥ + T 4 ⎥⎦

h) z = y + xy −

4) 7,709571

5) cos

y 2

2 π 30

+

x 2 y

2

. cos

−

π 36

xy 2

2

+

y 3

3

+ T 4

≅ 0 ,9907374


4

6) P = 36 + 3(t − 8) + (c − 27 ) + 9

1⎡ 1

2 8 (c − 27 )2 ⎤⎥ + T 3 − (t − 8)2 + (t − 8)(c − 27 ) − ⎢ 2⎣ 8 27 729 ⎦

P (8,4;28,35) ≅ 37,8 7) P = 8 + ( x1 − 4) + 4 ( x2 − 1) + 1 ⎡− 1 ( x1 − 4 )2 + ( x1 − 4)( x2 − 1) − 2( x2 − 1)2 ⎤ + T 3 ⎥ 2 ⎢⎣ 8 ⎦ P (3,99;1,1) ≅ 8,3794 8) D1 = 1 − 1 ( p1 − 4) − 1 ( p 2 − 1) + 1 ⎡⎢ 1 ( p1 − 4 )2 + 1 ( p1 − 4)( p2 − 1) + 2 ( p2 − 1)2 ⎤⎥ + T 3 4 2 ⎣8 2 ⎦ D1 (4,01;1,02) ≅ 0,97795, el bien es típico. 10) f (0,09;1,1) ≅ 1,02925

69

70


RESPUESTAS TRABAJO PRACTICO Nº 9 Extremos Libres y Condicionados Extremos Libres: 4 ⎛ 4 1 ⎞ 1) a) f ⎜ − ; ⎟ = − Mínimo 3 ⎝ 3 3 ⎠

b)

f (1;1) = −1 Mínimo

P = (0;0;0) punto de ensilladur a

f (2;1) = −28 Mínimo

c) f (- 2;-1) = 28 Máximo

d) No existen extremos

(1;2;-26) y (− 1;−2;26) Puntos de ensilladur a e) f (3;3) Máximo y f (- 3;-3) Mínimo

f) No existen extremos

⎛ π π ⎞ g) f ⎜ ; ⎟ Máximo ⎝ 3 3 ⎠

⎛ 9 4 ⎞ h) f ⎜ ; ⎟Mínimo ⎝ 2 3 ⎠

i) f (0;0 ) = 1 Máximo j) Puntos críticos (1;1) y (-1;-1) , pero no extremos k) Existen infinitos mínimos pertenecientes a la recta x-y+1=0 l) f (1;1) = 2 Mínimo

⎛ 3 3 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ ⎞ 3 ⎞ ⎛ ⎟; ⎜ ⎟; ⎜ − 3 ; 3 ⎟; ⎜ − 3 ;− 3 ⎟ 2) Puntos críticos: (0 ;0 ); ⎜⎜ ; ;− ⎟ ⎜ 3 ⎠⎟ ⎜⎝ 3 3 ⎠⎟ ⎜⎝ 3 3 ⎠⎟ ⎝ 3 3 ⎠ ⎝ 3 3) a) f (1;2 ) = 3 Mínimo b) P=(0;0;0) punto de ensilladura ⎛ k k ⎞ k 3 4) f ⎜ ; ⎟ = Máximo ⎝ 3 3 ⎠ 27 5) a) z 1 = 2 Máximo y z 2 = −2 Mínimo

b) f (− 4 ;2 ) = −3 Máximo y f (4;-2) = 3 Mínimo

Extremos Condicionados: 1) a) f ( 4;

17 ) = 246 ,75 Mínimo 2

b) f (− 0.25;−0.5 ) Mínimo

⎛ 2 2 ⎞ ⎟ = − 2 Máximo c) f ⎜⎜ − ;− ⎟ 2 2 ⎝ ⎠ d)

(

)(

)(

2; 2 ; − 2; 2 ;

f) Triángulo Equilátero 2) x=24; y=18; z=6

)(

2 ;− 2 ; − 2 ;− 2

)

⎛ ab 2 a 2 b ⎞ ⎟ e) f ⎜⎜ 2 ; 2 2 2 ⎟ ⎝ a + b a + b ⎠


3) r = 3

1

dm; h = 2 π

3

71

1 dm π

4) x = y = 5 2 5

10

7

7

5) x = ; y = -

; z =

15 7

⎛ 1 ⎛ 1 1 ⎞ 1 ⎞ 6) P 1 = ⎜ ;− ;0 ⎟ P 2 = ⎜ − ; ;0 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟ 2 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Aplicaciones Económicas 1) x1 = 5 ; x 2 = 9 B(5,9) = 103 2) f(3,2)=34 Máximo relativo 3) q a = 2 ; q b = 4 ; B max = 48 4) No es posible distribuir la producción con el objeto de minimizar costos. . 5) q 1 = 40 ; q 2 = 60 ; C min = 2340 6) a) x1 = 7,5 ; x 2 = 2,5 ; λ = 2,5; U = 18,75 b) De la condición necesaria surge: x2 1 = . Esta igualdad equivale a decir que la razón de las utilidades marginales 3 x1 (tasa marginal de sustitución entre los bienes) debe ser igual al cociente entre los precios de los bienes (pendiente de la recta balance). Entonces, la combinación óptima de bienes, que le proporciona al consumidor la máxima utilidad sujeta a su ingreso, esta dada por el punto de tangencia entre la curva de indiferencia y la recta balance pertinente. La TMS entre los bienes corresponde a la pendiente de la curva de indiferencia e indica en cuanto hay que reducir (aumentar) el consumo de un bien para compensar un aumento (disminución) de otro bien, manteniendo constate la satisfacción o utilidad del consumidor. De la condición suficiente surge: Η > 0, su signo esta determinado por las características de la función utilidad. c) El lambda (λ) indica en cuento varía la función objetivo ante una variación muy pequeña en la restricción. En el ejercicio, indica la utilidad marginal del ingreso. Esto significa que una leve variación en el ingreso producirá una variación de 2,5 unidades en la utilidad del consumidor. 7) x = 1 ; y = 2

72


8) a) Se destinarán q 1 = 5 y q 2 = 3 que son las cantidades que maximizan el beneficio. b) p1 = 21 y p 2 = 28 (se obtienen reemplazando las cantidades óptimas en la ecuación original). c) B = 125. d)

Eq 1 Ep1

(21,28) = −

Eq 2

21 ; 5

Ep 2

(21,28) = −

7 3

⇒

7 3

<

21 5

⇒ 28 > 21

Vemos que a menor elasticidad corresponde mayor precio y viceversa. 9) Condición necesaria:

f' x 1 f' x 2

=

r 1 r 2

. La óptima combinación de cantidades de insumos esta

dada por el punto de tangencia entre la isocuanta y la recta de isocosto pertinente. Condición suficiente: Η > 0 su signo esta determinado por las características de la función de producción. 10) f(12,2)=480) es un máximo relativo 11) f(100,25)=5000 máximo relativo 12) f(4,2)=112 máximo relativo. 13) a) q 1 = 20 ; q 2 = 10 ; λ = 0,5 y Imax = 500 b) q 1 = 60 ; q 2 = 30 ; λ = 6 y Xmin = 4500 c) En el punto a) el λ es el ingreso marginal de utilizar una unidad más de insumo. Esto significa que ante una variación muy pequeña en la cantidad de insumos el ingreso varía en 0,5 por unidades monetarias. En el punto b), ante una leve variación del ingreso, la cantidad de insumos varía en 6 por unidades de variación. d) No es conveniente para la empresa esta alternativa, dado que el costo total de los insumos es de $20 magnitud que supera el ingreso de $10 que se obtiene con el incremento de 20 unidades.


73

RESPUESTAS TRABAJO PRÁCTICO Nº 10 Integrales 1) a) 5

b) e)

4

[3

]

3 − π

c)3 ln 8

d) 4 e – 8

15 ⎡ 1 ⎤ ln 2 − + ⎥⎦ 4 ⎢⎣ 2

2

2) a)

1

3 x

∫ dx ∫ f ( x; y) 0

dy =

∫

2

6

∫

dy f ( x; y ) dx

0

0

y

3

2 2 − x 3

3

b)

∫ dx ∫ 0

d)

f ( x; y ) dy =

0

∫ dy ∫ 0

−

3

2 x

∫ dy ∫

f ( x; y ) dy =

−3

9 − x 2

−

=

f ( x; y ) dy

0

f ( x; y ) dx

9 − y 2

3

2

∫ dx ∫ 1

9 − y 2

3

∫ dx ∫ −3

f ( x; y ) dx

0

9 − x 2

3

c)

3 3 − y 2

2

∫ dy ∫ f (x; y ) 0

3

6

dx +

∫ dy ∫ f (x; y ) y

2

1

dx

2

e)

4 x − x 2

−

4

∫ dx ∫ 0

−

1

−2 y + 4

−2

2

4 − y 2

∫ dy ∫

f ( x; y ) dy =

4 x − x

2+

2

2−

4 − y

f ( x; y ) dx 2

x

f)

∫

∫

dy

0

3) a)

7

b)

3

+ x 2 ) dx =

1

∫ dx ∫ ( y + x ) 0

1− x

1

x 2

∫ ∫ dx

0

0

∫ ∫

∫

0

2

dx f ( x; y ) dy +

dy =

x 3 + 1 dy =

0

c) 1+ 2

3

y 2

1

c)

2

x

1934 105 2 3 2 9

(2

− +2

4

2

1

4

∫ dy ∫ ( y 1

b)

f ( x; y ) dx =

2 y

2

4) a)

2

2 - 1)

2

dx

∫

f ( x; y ) dy

0

d)

16 3

e)

19 6

74


1

2 x

∫ dx ∫ ( x + y)

d)

0

2

∫ dy ∫

y ln x

e

5) a) ln

dx =

1 8

ln4 2

b)

2

1

b) 9

6 1

c)

2 − 2 x

∫ dx ∫

7) V =

0

8)

x

y

0

6) a)

3

0

ln 2

e)

4

dy =

2

y 1− 2

∫ dy ∫

16 − x 2 dy =

0

0

1 2

e4 − 2e

13 6

16 − x 2 dx

0

352 15 2

9) a) V = 8

4 − x 2

∫ dx ∫ 0

3

[4 − x − y ] dy 2

2

b) V.=. 4

0

∫ dx ∫ 0

2

10) a) 38 (e + 3 )

b) 4

c)

1

9 − x 2

[9 − x 2 − y 2 ] dy

0

d) π

e

11) 6 12)

5 12

13) a)

64

b) 9

9

14) Producción Media =

15) Beneficio Medio =

1 5000 1

150

350

200

300

100

∫ dy ∫ 100 x 0 ,6 y 0,4 dx = 20339 ,2

45

55

35

40

∫ dx ∫ (200 x + 650 y − x 2 − 5 y 2 − 2 xy − 4000)dy y 2 x + yx 2

16) a) A cargo del alumno

b)

17) A cargo del alumno

b) P( 0 ≤ x ≤ 2, 5 ≤ y ≤ 6 ) =

18) $49.793

2

5 27


75

RESPUESTAS TRABAJO PRÁCTICO Nº 11 Ecuaciones diferenciales 1) A cargo del alumno

Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden 1

1) a) x = 2t + cos 2t + C

b) C ( x − 1) = e y

⎛ y − 9 ⎞ 9 ⎟⎟ = − (1 − x )4 + C d) ln⎜⎜ 4 ⎝ y ⎠

e)

2

2) a) y = x

d) 2

y

f) y + 3 = 5(1 + t 2 )

y

x

b) x + 2 xy − y = C 2

ln x − C

+ ln y = 4

2

e) ln y −

3) a) x 2 + xy + y 2 = C x =

1 + x 2 = 2 − y 2

c) y 1 + x 2 = C

b)

x 3 3

−

x y

x 2 2

c) y = Ce

x

+ 6 = 0

+ xy 2 − e y ( y − 1) = C

c)

3 3 y 2 + ln y

4) k = 2

xy 2 = C


6) a) ln x +

7) a)

x y

= C

μ( x ) = x

μ( y ) = y

c)

x

b) x y cos x = C 2

x 3 y + x 2 y 2 = C

xy 2 − 2 x 3 y 4 = C

μ( x ) =

1 x

ln x − xy +

y 2 2

= C

2

b)

c) xye y = C

76


1

8) a) y = Ce 3 x − y = senx +

2

2

b) y = Ce x −

e x

1

c)

2

cos x + C x

1 ⎛ ⎞ d) y = x ⎜ 2 + Ce x ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

e) x = y e 3 y (Cy − 2 )

2

f) y =

2 + ln x


10) a) y =

1 x(C + ln x )

(

y = x 3 + C x

11) a)

y 2

2

b) y 2 =

x 3

3

d) y = Ce x −

n)

y + 1 y − 1

Cx + 2

+ C

(e

x

−

c) y = Ce

senx + cos x

e) y =

2

3

C ⎞

4

x ⎠

⎟

3

C

f) xy 2 − 3 y tgx = C

x

)

+ C

k) y = e − 4

i) C e − cos x = y

x

x 2 2

(

+ C

m) x 2 + y 2 + xe y = C

)

s) y −2 = Ce 2 x + x +

p) y 2 = ln 1 + x 2 + C

= C x 2

u) arctg y + C = 2 ln x −

x 2

2

⎛ C ⎞ v) y = x⎜ 1 − ⎟ ⎝ x ⎠

(e r

k

r t

)

−1

13 a) P (t ) = 20 + C e −kt c) P (t) convergente P = 20

b) A(t ) =

1 r 2

1 2

2

w) ysenxy = x + C

x) C = x 2 y + y 2 ln x 12) a) A(t ) =

d)

x 3

h) y + x cos y = C

g) x + y = C j) y =

⎛ 3 ⎝ 2

c) y −3 = ⎜ − x ln x + x +

5

)2

=−

1

5 x

[(4r + 1) (e

r t

)

]

− 1 − r t

b) P (t ) = 20 + 20 e − kt P (t ) = 20 − 10 e − kt


77

14) a) P = ( P 0 − 500) e 0 ,5 t + 500 b) P = 500 − 500 e 0.5 t P = 500 + 300 e 0.5 t P = 500 c) P (t) divergente

15) N (t ) = A − C e − k t

N(t) convergente N = A

16) a) p (t ) = 6 + 4 e −3t

b) p(t) convergente p = 6

17) y (t ) = β t + y 0

D(t ) =

18) y (t ) = y0 e β t

α D(t ) = D0 + y0 e β t − 1 β

1 2

D (t ) lim = +∞ t →∞ y (t )

αβ t 2 + α y0 t + D0

(

D(t ) α lim = t →∞ y (t ) β

)

Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de segundo orden

1

1) a) y = C 1 e + C 2 e x

b) y = C 1 e

2 x

− x 3

+ C 2 e 3 x

1

c) y = e

− x

(C 1 cos 3 x + C 2 sen3 x )

d) y = e

− x 3

(C 1 + C 2 x ) 1

− x

e) y = C 1 cos 5 x + C 2 sen5 x

f) y = C 1 e

g) y = e x (cos x + senx )

h) y = 2 e 1− x + C 2 e 3 ( x −1)

2

+ C 2

1 i) y = − sen3 x 3

2) a) y = C 1 e 3 x + C 2 e − 2 x − y = e 2 x (C 1 x + C 2 ) +

1 9

5 78

cos 3 x −

1 78

sen3 x

b)

e −x

c) y = C 1 cos 6 x + C 2 sen6 x +

x 2 18

−

x

−

1

36 324

1

d) y = C 1 e

− x 4

+ C 2 e

− x

+

e x 10

Respuestas Guia Analisis 2 catedra Venturini

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