Universidad Politécnica Salesiana. Cumbe Angel, Leimer Guambaña, Adrian Mendoza
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Respuesta de al escalón para un circuito RLC en serie Cumbe Angel, Leimer Guambaña, Adrian Mendoza
Universidad Politécnica Salesiana
articulo trata sobre el análisis de un sistema compuesto por un circuito RLC , por medio de la respuesta de estado transitoria y la respuesta de estado estable, estas respuestas se obtienen al resolver la ecuación diferencial del circuito tomando como señal de entrada el escalón unitario por una amplitud de voltaje en esta respuesta se puede analizar cómo es la transición desde el momento en que se aplica el pulso hasta que la señal se estabiliza por completo, la respuesta tiene tres caso según los valores de resistencia, capacitancia e inductancia del circuito, el primer caso es sobreamortiguado, el segundo es críticamente amortiguado y el tercero es subamortiguado.
vi (t ) R i R (t ) L
Este Resumen — Este
I. I NTRODUCCIÓN En los sistemas descritos por ecuaciones diferenciales es importante poder tener una operación que ayude a obtener la respuesta con solo realizar la operación, esta operación se denomina convolución, pero para realizar esta operación es necesario obtener una función denominada respuesta al impulso, que puedes ser obtenida mediante la derivación de la respuesta al escalón. Para llegar a esta respuesta de escalón en este caso se obtiene una respuesta de estado transitorio y una respuesta de estado estable y se suma entre ella dando un respeto total. II. ECUACIÓN DIFERENCIAL DEL C IRCUITO Antes de analizar el circuito en la figura 1, se tiene en cuenta que en un sistema solamente trabaja con la señal de entrada y la ecuación diferencial debe relacionar solamente la entrada con la salida.
se puede analizar el circuito las leyes de tensiones de Kirchhoff de manera que resulta en la suma de los voltajes de todo el circuito igual a cero, esta expresión se describe en la ecuación (1). vi (t ) v R (t ) vL (t ) vC (t ) (1)
d t
vC
(t )
Como la ecuación diferencia debe relaciona solamente la entrada y la salida, se debe considerar que la corriente tanto en la resistencia como en el inductor es la misma que en el capacitor por lo que la ecuación diferencial se da mediante la ecuación (2). 2 d vC (t ) d vC (t ) (2) vi (t ) R C LC v (t ) C 2 dt
dt
Finalmente se reordenan términos para llegar a una expresión en donde se pueda apreciar la linealidad del sistema e invariancia en el tiempo del sistema descrito por esta ecuación diferencial (3). vC
' ' (t )
R L
vC
' (t )
1 L C
vC (t ) vi (t )
(3)
ESPUESTA DE ESTADO ESTABLE EST ABLE III. R ESPUESTA La respuesta de estado estable es la solución particular de la entrada que para la respuesta el escalón debe ser un escalón unitario con amplitud A. vC
' ' (t )
R L
' (t )
vC
1 L C
vC (t ) A u (t )
Como el voltaje de entra es constante para t 0 entonces la respuesta de estado estable es simplemente el valor de la amplitud A véase la ecuación (4). vss (t )
Fig. 1. Circuito RLC en serie.
d i L (t )
A
(4)
ESPUESTA DE ESTADO TRANSITORIO IV. R ESPUESTA Para obtener la respuesta de estado transitorio se debe analizar la solución homogénea de la ecuación diferencial mediante la ecuación característica característica dada en la ecuación (5). vC
' ' (t )
s
R L
2
vC
R
L
' (t )
s
1 L C
1 L C
vC (t )
0
0
(5)
Universidad Politécnica Salesiana. Cumbe Angel, Leimer Guambaña, Adrian Mendoza La respuesta dependerá del valor de las raíces s1 y s2 de la ecuación característica, la respuesta tiene tres casos ya que las raíces pueden ser reales, repetidas o complejas conjugadas.
s1
s2
2
1 R 2 L 2L L C R
•
2 L
e
st
A2e
s2t
s2t
A
A2 e
s 2t
A
B1 cos(t) B2 sin( t ) A
t
Las constantes A1 , A2 , B1 , B2 , se hallan con las condiciones iniciales de voltaje y corriente. Para vC '(0) se utiliza la corriente inicial en el inductor.
L C
A1e 1
A2e
Caso Subamortiguado:
La respuesta para este caso se da mediante la ecuación (6).
Caso Críticamente amortiguado:
vC (t )
Este caso se da cuando en las raíces son reales y negativas, debido a que:
vst (t )
st
A1e 1
st
A. Caso sobreamortiguado
vC (t ) A1t e 1
2
R
Caso Sobreamortiguado: vC (t )
•
1 R 2 L 2L L C R
•
2
i (0)
C
d vC (0) d t
(6) vC '(0)
i (0)
C
B. Caso críticamente amortiguado
Este caso se da cuando en las raíces son reales y negativas, pero repetidas, debido a que: R
2 L
L C
El voltaje inicial en el capacitor v(0) es el voltaje con el que está cargado el capacitor inicialmente. •
La respuesta para este caso se da mediante la ecuación (7). st
vst (t ) A1t e 1
A2e
s 2t
= 1 + 1 + ′ = 1 1 + 1 2
(7)
2 ( − 0) + ′0 1 − 2 − [( − 0)] + ′0 2 = 1 1 − 2 1 =
C. Caso subamortiguado
Este caso se da cuando en las raíces son complejas conjugadas, pero repetidas, debido a que: R
2 L
LC •
La respuesta para este caso se da mediante la ecuación (8). vst (t )
En donde
e
t
B1 cos(t ) B2 sin( t)
es la parte real y
es la parte imaginaria.
vC (t ) vst (t ) vss (t )
Caso Críticamente amortiguado:
= 1 + 2 + ′ = 1 + 2 + 2
(8)
V. R ESPUESTA TOTAL La respuesta total es la suma de las respuestas de estado transitorio y de estado estable, es en esta respuesta en donde se aplican las condiciones iniciales del circuito para hallar las constantes.
Caso Sobreamortiguado:
1 = 0 − 2 = ′0 − 0 − •
Caso Subamortiguado: v(t )
t
e
[ B1 cos(t ) B2 si n( t) ]
Universidad Politécnica Salesiana. Cumbe Angel, Leimer Guambaña, Adrian Mendoza v '(t )
B1e
t
B2e
t
sin(t)
B1 e
t
cos(t ) B2 e
cos(t)
t
sin(t )
1 = 0 − 2 =
′0 0 − + ∝
VI. CONCLUSIONES Un circuito es un sistema que puede ser moldeado mediante una ecuación diferencial, en este caso la ecuación diferencial es de segundo orden ya que existen resistencias, inductores y capacitores. Al obtener la respuesta al escalón del sistema, se puede apreciar una característica importante que es la estabilidad del sistema y transición desde que se aplica la entrada o excitación hasta que se estabiliza. VII. BIBLIOGRAFÍA [1] Alexander, C. and Sadiku, M. (2013). Fundamentos de circuitos el e ́ctricos. 1st ed. M e ́xico: McGraw-Hill, p.285.
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