REPRESENTACIÓN REPRESENT ACIÓN MA MATRICIAL TRICIAL DE D E GRAFOS G RAFOS
Representación matricial de grafos Para realizar una una representación matricial de un grafo, usamos una matriz cuadrada de boolean en la que las l as filas representan los nodos origen, y las col!nas" los nodos destinos. De esta forma, forma, cada intersección entre fila y columna columna contiene un valor booleano que indica si hay o no conexión entre los nodos a los que se refiere. Nodos destino ntersección entre el nodo origen ! y el nodo destino " Nodos origen
#atriz de adyacencia $ %lamamos matriz de adyacencia de & a la matriz
cuadrada nxn con elementos ai' donde cada elemento ai' est( definido de la siguiente manera)
ai'
* +i +i
-s decir, se va a colocar * en la matriz de adyacencia si el par ordenado corresponde a una arista del grafo. se colocar( un en caso de que dicho par ordenado no corresponda a una arista del grafo en cuestión
/eamos un e'emplo) *
0
1
2
3 4omo podemos ver, este grafo cuenta con 3 v5rtices, por lo cual la matriz generada, ser( una matriz 363 Primero que nada, vamos a determinar cu(ntas aristas hay entre cada uno de los distintos v5rtices de este grafo.
#atriz de adyacencia de un grafo no dirigido
#$ *
0
1
2
#$
#%
#&
#'
#(
*
#% #&
3
#' #(
-mpezamos con el v5rtice * 74u(ntas aristas hay del v5rtice * al v5rtice *89 74u(ntas aristas hay del v5rtice * al v5rtice 089* 74u(ntas aristas hay del v5rtice * al v5rtice 189 74u(ntas aristas hay del v5rtice * al v5rtice 289 74u(ntas aristas hay del v5rtice * al v5rtice 389
#atriz de adyacencia de un grafo no dirigido
*
0
1
3
2
#$
#%
#&
#'
#(
#$
*
#%
*
*
*
#& #' #(
-nseguida hacemos lo mismo con el v5rtice 0 74u(ntas aristas hay del v5rtice 0 al v5rtice *89* 74u(ntas aristas hay del v5rtice 0 al v5rtice 089 74u(ntas aristas hay del v5rtice 0 al v5rtice 189* 74u(ntas aristas hay del v5rtice 0 al v5rtice 289 74u(ntas aristas hay del v5rtice 0 al v5rtice 389*
#atriz de adyacencia de un grafo no dirigido
*
0
1
3
2
#$
#%
#&
#'
#(
#$
*
#%
*
*
*
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*
*
*
#' #(
-nseguida hacemos lo mismo con el v5rtice 1 74u(ntas aristas hay del v5rtice 1 al v5rtice *89 74u(ntas aristas hay del v5rtice 1 al v5rtice 089* 74u(ntas aristas hay del v5rtice 1 al v5rtice 189 74u(ntas aristas hay del v5rtice 1 al v5rtice 289* 74u(ntas aristas hay del v5rtice 1 al v5rtice 389*
#atriz de adyacencia de un grafo *
0
1
3
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*
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*
*
2
#(
+eguimos con el v5rtice 2 74u(ntas aristas hay del v5rtice 2 al v5rtice *89 74u(ntas aristas hay del v5rtice 2 al v5rtice 089 74u(ntas aristas hay del v5rtice 2 al v5rtice 189* 74u(ntas aristas hay del v5rtice 2 al v5rtice 289* 74u(ntas aristas hay del v5rtice 2 al v5rtice 389
#atriz de adyacencia de un grafo no dirigido
*
0
1
3
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*
*
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*
*
*
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*
*
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*
2
Por :ltimo con el v5rtice 3 74u(ntas aristas hay del v5rtice 3 al v5rtice *89 74u(ntas aristas hay del v5rtice 3 al v5rtice 089* 74u(ntas aristas hay del v5rtice 3 al v5rtice 189* 74u(ntas aristas hay del v5rtice 3 al v5rtice 289 74u(ntas aristas hay del v5rtice 3 al v5rtice 389 De esta manera, podemos determinar la matriz
#atriz de adyacencia) grafo no dirigido $ Debido a que el e'emplo anterior constituye una matriz de
un grafo no dirigido, podemos decir que la matriz es +#-;R4!. -s decir, que si tenemos el par ordenado <*,0= tambi5n tendremos el par ordenado <0,*=, lo mismo sucede, con los pares ordenados <1,3= y <3,1=
*
0
1
3
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*
#%
*
*
*
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*
*
*
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*
*
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*
*
2
#atriz de adyacencia) grafo dirigido $ Para el caso de un grafo dirigido, tendr>amos la siguiente matriz de
adyacencia
#$
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*
#%
*
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*
*
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*
*
*
#(
*
*
+e calcula de la misma forma que un grafo no dirigido con la :nica diferencia que aqu> si tienen dirección las aristas por lo cual hay un nodo origen y un destino y de esto depender( la matriz
#atriz de adyacencia) grafo dirigido $ Por e'emplo el v5rtice * 74u(ntas aristas tiene8 $ ;iene :nicamente la que se dirige al v5rtice 0, es decir, es nodo origen
hacia el v5rtice 0
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*
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*
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*
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*
*
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*
*
! su vez, el v5rtice * es nodo destino de los v5rtices /3 y /1
#atriz de adyacencia) grafo dirigido $ %a matriz N? -+ +#@;R4!, en el caso de los grafos dirigidos, considerando este e'emplo, si observas, el
par ordenado <*,0= existe, sin embargo, el par ordenado <0,*= no esta presente
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*
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*
*
*
#(
*
*
%a diagonal de la matriz, indica el n:mero de bucles o ciclos contenidos en el grafo, en este caso, solo existe uno en el par ordenado < 2,2 =
#atriz de incidencia %a matriz de incidencia, tiene por columnas a todas las aristas de un grafo y por filas a sus v5rtices
ARISTAS #E RTI CE S
+e va a colocar un * si la arista y el v5rtice coinciden si no lo hacen %a matriz de incidencia sólo contiene ceros y unos
#atriz de incidencia grafo no dirigido *
0
e0
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1
e1
#$
e2
e* 2
e3
#% #&
3 #'
-mpezamos con el v5rtice * 7Cay incidencia del v5rtice * con la arista *89* 7Cay incidencia del v5rtice * con la arista 089* 7Cay incidencia del v5rtice * con la arista 189 7Cay incidencia del v5rtice * con la arista 289 7Cay incidencia del v5rtice * con la arista 389 7Cay incidencia del v5rtice * con la arista B89
#(
e$
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e'
e(
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*
*
#atriz de incidencia grafo no dirigido *
0
e0
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2
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e(
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*
*
#%
*
*
*
1
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e3
#& 3 #'
4ontinuamos con el segundo v5rtice 7Cay incidencia del v5rtice 0 con la arista *89 7Cay incidencia del v5rtice 0 con la arista 089 7Cay incidencia del v5rtice 0 con la arista 189* 7Cay incidencia del v5rtice 0 con la arista 289* 7Cay incidencia del v5rtice 0 con la arista 389 7Cay incidencia del v5rtice 0 con la arista B89*
#(
#atriz de incidencia grafo no dirigido *
0
e0
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+eguimos con el v5rtice 1 7Cay incidencia del v5rtice 1 con la arista *89 7Cay incidencia del v5rtice 1 con la arista 089 7Cay incidencia del v5rtice 1 con la arista 189 7Cay incidencia del v5rtice 1 con la arista 289 7Cay incidencia del v5rtice 1 con la arista 389* 7Cay incidencia del v5rtice 1 con la arista B89*
#(
#atriz de incidencia grafo no dirigido *
0
e0
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*
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*
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*
*
#'
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*
1
e1
e*
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e3 3
!hora el v5rtice 2 7Cay incidencia del v5rtice 2 con la arista *89* 7Cay incidencia del v5rtice 2 con la arista 089 7Cay incidencia del v5rtice 2 con la arista 189* 7Cay incidencia del v5rtice 2 con la arista 289 7Cay incidencia del v5rtice 2 con la arista 389 7Cay incidencia del v5rtice 2 con la arista B89
#(
#atriz de incidencia grafo no dirigido *
0
e0
eB e2
2
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Por :ltimo con el v5rtice 3 7Cay incidencia del v5rtice 3 con la arista *89 7Cay incidencia del v5rtice 3 con la arista 089* 7Cay incidencia del v5rtice 3 con la arista 189 7Cay incidencia del v5rtice 3 con la arista 289* 7Cay incidencia del v5rtice 3 con la arista 389* 7Cay incidencia del v5rtice 3 con la arista B89
#atriz de incidencia grafo dirigido Para el caso de los grafos dirigidos es diferente, ya que hay v5rtices origen y destino para cada arista.
*+, - i . / 4olocaremos en la matriz) 0 si el v5rtice i no es incidente con la arista '. $ si el v5rtice i es el inicial u origen de la arista '. 1$ si el v5rtice i es el final o destino de la arista '.
/eamos un e'emplo) e0 e*
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niciando con el v5rtice !, vamos verificando cada una de las aristas que hay en el grafo. 7Cay incidencia del v5rtice ! con la arista e*8 +i, por lo tanto colocamos un * 7Cay incidencia del v5rtice ! con la arista e08 +i, pero es un v5rtice destino por lo tanto colocamos un E* 7Cay incidencia del v5rtice ! con la arista e18 +i, pero es un v5rtice origen por lo tanto colocamos un * +e hace el mismo proceso con el resto de los v5rtices y aristas
#atrize0de incidencia grafo dirigido e*
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+i observas, el v5rtice -, es un v5rtice aislado el cual es un v5rtice que no esta unido a otro o as> mismo, en la matriz lo podemos identificar ya que hay solo ceros en relación con cada una de las aristas del grafo.
4!#N?+ $ An camino entre dos v5rtices i y ' es cualquier secuencia de v5rtices,
v*, F , vG , F , vp que cumpla que v* 9 i, vp 9 ' y exista una arista entre cada par de v5rtices contiguos. Por e'emplo)
Los siguientes serían caminos posibles entre los vértices 1 y 5:
$ $ $
1,3,5 1,3,4,2,3,5 1,3,4,2,3,4,2,3,5
-l n:mero de aristas del camino se llama la longitud del camino. Para el e'emplo) 4amino *,1,3 longitud 0 4amino *,1,2,0,1,3 longitud 3 4amino *,1,2,0,1,2,0,1,3 longitud H
4!#N? +#P%An ca!ino si!ple es aquel donde no hay v5rtices repetidos en la secuencia, salvo el primero y el :ltimo < 3e peden ser igales o distintos=. 4n ciclo es n ca!ino si!ple donde el 56rtice inicial 7 el final son el !is!o a un camino simple, $"&"%"$ ta!-i6n 87 ade!9s n ciclo=, pero *,1,2,0,1,3 no es camino simple.
CAMINO SIMPLE CICLO NO ES 4N CAMINO SIMPLE
