Ingeniería de Sistemas y Computación
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1. DEFINICIONES BÁSICAS Un grafo G es un par (V,E) donde V es un conjunto (llamado conjunto de vértices) y E un subconjunto de VxV (conjunto de aristas). Gráficamente representaremos los vértices por puntos y las aristas por líneas que los unen. Un vértice puede tener 0 o más aristas, pero toda arista debe unir exactamente 2 vértices. Llamaremos orden de un grafo a su número de vértices, |V|. Si |V| es finito se dice que el grafo es finito. En este curso estudiaremos los grafos finitos. También supondremos, a no ser que se diga lo contrario, que entre dos vértices hay, como mucho, una arista y que toda arista une dos vértices distintos. Ademas en la presente secion se tratara el caso de grafos NO DIRIGIDOS.
Aristas Si la arista carece de dirección se denota indistintamente {a,b} o {b,a}, siendo a y b los vértices que une. Si {a,b} es una arista, a los vértices a y b se les llama sus extremos.
Vértices Dos vértices v, w se dice que son adyacentes’ si {v,w} ∈A (o sea, si existe una arista entre ellos) Llamaremos grado de un vértice al número de aristas de las que es extremo. Se dice que un vértice es ‘par’ o ‘impar’ según lo sea su grado.
Caminos Sean x, y ∈ V, se dice que hay un camino en G de x a y si existe una sucesión finita no vacía de aristas {x,v 1}, {v1,v2},..., {vn,y}. En este caso - x e y se llaman los extremos del camino - El número de aristas del camino se llama la longitud del camino. - Si los vértices no se repiten el camino se dice propio o simple . - Si hay un camino no simple entre 2 vértices, también habrá un camino simple entre ellos. - Cuando los dos extremos de un camino son iguales, el camino se llama circuito o camino cerrado . - Llamaremos ciclo a un circuito simple
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Un vértice a se dice accesible desde el vértice b si existe un camino entre ellos. Todo vértice es accesible respecto a si mismo
Ejemplos de Grafos 1.- Grafo regular : Aquel con el mismo grado en todos los vértices. Si ese grado es k lo llamaremos k-regular .
Por ejemplo, el primero de los siguientes grafos es 3-regular, el segundo es 2-regular y el tercero no es regular
2.- Grafo bipartito: Es aquel con cuyos vértices pueden formarse dos conjuntos disjuntos de modo que no haya adyacencias entre vértices pertenecientes al mismo conjunto Ejemplo.- de los dos grafos siguientes el primero es bipartito y el segundo no lo es
3.- Grafo completo: Aquel con una arista entre cada par de vértices. Un grafo completo con n vértices se denota Kn. A continuación pueden verse los dibujos de K3, K4, K5 y K6
Todo grafo completo es regular porque cada vértice tiene grado |V|-1 al estar conectado con todos los otros vértices. Un grafo regular no tiene por qué ser completo.
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4.- Un grafo bipartido regular se denota Km,n donde m, n es el grado de cada conjunto disjunto de vértices. A continuación ponemos los dibujos de K1,2, K3,3, y K2,5
Proposición.- La suma de los grados de los vértices es igual al doble del número de aristas Demostración Al realizar la suma de los grados de todos los vértices, como cada arista tiene 2 extremos se cuenta exactamente 2 veces. Por tanto la suma de los grados de los vértices es igual al doble del número de aristas
2. MATRIZ DE ADYACENCIA DE UN GRAFO Sea G un grafo de orden n. Llamaremos matriz de DG\DFHQFLD de G a la matriz nxn que llamaremos A = (a ij) donde aij = 1 si {i,j} ∈A, es decir si el V i esta conectado directamente con V j y aij = 0 en otro caso. La matriz de adyacencia siempre es simétrica porque a ij = a ji
Ejemplo: v1 v2 v3 v4 v5
v1 0 1 1 0 0
v2 1 0 1 1 0
v3 1 1 0 1 1
v4 0 1 1 0 0
v5 0 0 1 0 0
v1
v2
v3
v4 v5
Definición.- Un grafo G se dice conexo si cada par de vértices está unido al menos por un camino.
3. GRAFOS EULERIANOS Y HAMILTONIANOS Grafos eulerianos Llamaremos camino euleriano a un camino que contiene a todas las aristas del grafo, apareciendo cada una exactamente una vez. Un ciclo euleriano es un camino euleriano que comienza y acaba en el mismo vértice.
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Definición.- Un grafo que admite un ciclo euleriano diremos que es un grafo euleriano. Ejemplo: 1
1) 8
2 5
6
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El primero no tiene ciclos ni caminos euleriano, El segundo tiene ciclo euleriano
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Teorema.- Un grafo conexo G=(V,A) es euleriano ⇔ todo vértice tiene grado par. Proposición.- Un grafo conexo tiene un camino abierto euleriano ⇔ tiene exactamente dos vértices de grado impar. Demostración Añadimos un nuevo vértice junto con dos aristas que lo unan a los dos vértices que tenían grado impar. Ahora estos vértices, al haberles añadido una arista a cada uno, tienen grado par y el nuevo vértice tiene grado 2, por tanto, todos los vértices son de grado par. Por el teorema anterior, tendremos un ciclo euleriano. Si en dicho ciclo quitamos ahora el vértice y las dos aristas que habíamos añadido, obtendremos un camino abierto que contiene exactamente una vez a cada arista de nuestro grafo original.
Caminos hamiltonianos recorre todos los vértices de un grafo sin pasar dos veces por el mismo vértice. Si el camino es cerrado se dice un ciclo hamiltoniano Un camino hamiltoniano es un camino que
Un grafo G se dice hamiltoniano si tiene un ciclo hamiltoniano.
Nota.- A diferencia de los grafos eulerianos, no hay una caracterización de cuando un grafo tiene un ciclo o un camino hamiltoniano
Teorema.- Si un grafo es conexo con |V| ≥3 y para cada par de vértices la suma de sus grados es mayor o igual que el número de vértices entonces es hamiltoniano.
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