TEORIA DE D E GRAFOS GR AFOS /PLANIFIC / PLANIFICACIÓN ACIÓN Y CONTROL DE PROYECTOS APLICADOS A LA CONSTRUCCION
ÍNDICE DE CONTENIDOS
Teoría de grafos
PERT y CPM
Introducción
Red de actividades
Representación Representació n del grafo de actividades
PERT y CPM
Teoría de Grafos OBJETIVOS
INTRODUCCIÓN LOS SIETE PUENTES DE LA ISLA KUEIPHOF La isla Kueiphof en Koenigsberg (Pomerania) el río que la rodea se divide en dos brazos. Sobre los brazos estaban construidos siete puentes y para los habitantes era motivo de distracción descubrir un itinerario de manera que pudieran regresar al punto de partida, después de haber cruzado por los siete puentes pero pasando sólo una vez por cada uno de ellos.
Leonardo Euler estudió el asunto, representó las distintas zonas A, B, C y D por medio de puntos, mientras que los puentes estaban representados por líneas que unían estos puntos. A la figura la llamó grafo, a los puntos los llamó vértices y a las líneas las denominó aristas. Estudió si una figura lineal se podía dibujar con un solo trazo, sin levantar el lápiz del papel y sin pasar dos veces por el mismo sitio.
Llegó a la siguiente conclusión: 1. Es imposible si hay más de dos vértices impares. 2. Es posible cuando: a) Todos los vértices son pares y el punto de partida puede ser cualquiera. b) Cuando no hay más de dos vértices impares y en este caso el comienzo del recorrido comienza en uno de ellos y termina en el otro. (Impar es un vértice si de él parten un número impar de caminos). A la isla A llegan 5 puentes; a la B llegan 3 puentes; a la orilla C llegan 3 puentes y a la orilla D llegan 3 puentes, por tanto, según las conclusiones anteriores, el problema no tiene solución.
Ejemplos: Estos dibujos pueden hacerse de un solo trazo:
Estos no pueden hacerse en las condiciones exigidas:
Este estudio de Euler dio origen a la teoría de los grafos, que se emplean en el estudio de los circuitos eléctricos, en problemas de transporte, programación con ordenador, etc.
Teoría de grafos La Teoría de Grafos juega un papel importante en la fundamentación matemática de las Ciencias de la Computación. Los grafos constituyen una herramienta básica para modelar fenómenos discretos y son fundamentales para la comprensión de las estructuras de datos y el análisis de algoritmos. En matemáticas y ciencias de la computación, la teoría de grafos estudia las propiedades de los grafos, que son colecciones de objetos llamados vértices (o nodos) conectados por líneas llamadas aristas (o arcos) que pueden tener orientación (dirección asignada). Típicamente, un grafo está diseñado por una serie de puntos (los vértices) conectados por líneas (las aristas).
El trabajo de Leonhard Euler, en 1736, sobre el problema de los puentes de Königsberg es considerado como uno de los primeros resultados de la teoría de grafos. También se considera uno de los primeros resultados topológicos en geometría (que no depende de ninguna medida). Este ejemplo ilustra la profunda relación entre la teoría de grafos y la topología. En 1845 Gustav Kirchhoff publicó sus leyes de los circuitos para calcular el voltaje y la corriente en los circuitos eléctricos. En 1852 Francis Guthrie planteó el problema de los cuatro colores que plantea si es posible, utilizando solamente cuatro colores, colorear cualquier mapa de países de tal forma que dos países vecinos nunca tengan el mismo color. Este problema, que no fue resuelto hasta un siglo después por Kenneth Appel y Wolfgang Haken, puede ser considerado como el nacimiento de la teoría de grafos. Al tratar de resolverlo, los matemáticos definieron términos y conceptos teóricos fundamentales de los grafos.
Grafo Un grafo es una pareja G = (V, A), donde V es un conjunto de puntos, llamados vértices, y A es un conjunto de pares de vértices, llamadas aristas.
En teoría de grafos, sólo queda lo esencial del dibujo: la forma de las aristas no son relevantes, sólo importa a qué vértices están unidas. La posición de los vértices tampoco importa, y se puede variar para obtener un grafo más claro.
Generalmente, se considera que colocar los vértices en forma de polígono regular da grafos muy legibles. Prácticamente cualquier red puede ser modelada con un grafo: una red de carreteras que conecta ciudades, una red eléctrica o un alcantarillado.
Aristas dirigidas y no dirigidas
En algunos casos es necesario asignar un sentido a las aristas, por ejemplo, si se quiere representar la red de las calles de una ciudad con sus inevitables direcciones únicas. El conjunto de aristas será ahora un subconjunto de todos los posibles pares ordenados de vértices, con (a, b) ≠ (b, a). Los grafos que contienen aristas dirigidas se denominan grafos orientados, como el siguiente: Las aristas no orientadas se consideran bidireccionales para efectos prácticos (equivale a decir que existen dos aristas orientadas entre los nodos, cada una en un sentido). Se considera la característica de "grado" (positivo o negativo) de un vértice, como la cantidad de aristas que llegan o salen de él; para el caso de grafos no orientados, el grado de un vértice es simplemente la cantidad de aristas que tocan este vértice. Por ejemplo, el grado positivo (salidas) de d es 3, mientras que el grado negativo (llegadas) de b es 1.
Grafos isomorfos Dos grafos tendrán la misma “forma matemática” cuando la única diferencia entre ambos, en cuanto a su estructura, sea la representación gráfica de sus vértices y aristas. Cuando las conexiones entre vértices tengan las mismas aristas, se dice que son homorfos. [Hortalá, 270]
Ejemplo:
PERT CPM Introducción (I) PERT: Program Evaluation Review Technique CPM: Critical Path Method Introducción (I) PERT y CPM son técnicas utilizadas para la programación de proyectos : Es un proceso posterior a la planificación de proyectos , donde se definen: Tiempos y duración de actividades Recursos necesarios Secuencia de actividades
Introducción (II) La información recogida en la planificación de un proyecto no sirve por sí sola para establecer claramente la secuencia y duración del proyecto Así aparecen las técnicas de programación de proyectos, que se pueden clasificar como:
Técnicas gráficas: Gantt Técnicas matemáticas: PERT, CPM, Método de Roy y Método de las precedencias Técnicas determinísticas Técnicas estocásticas o probabilísticas Introducción (III) Estas técnicas obtienen mejores resultados si se aplican a proyectos que: - Sean únicos, no repetitivos en algunas partes o en su totalidad - Deben ejecutarse (todo o parte) en un tiempo mínimo (sin variaciones) al que se denomina tiempo crítico
-Trate de obtener el coste por operación más bajo posible dentro del tiempo disponible - Ambas dos se basan en la teoría de grafos - Un grafo se define mediante dos conjuntos, el conjunto de los vértices del grafo y el conjunto de las relaciones existentes entre los vértices. Otra definición de grafo es la que se da del Diagrama de red : Red de círculos numerados y conectados con flechas donde se muestran todas las actividades que intervienen en un determinado proyecto mostrando su relación de prioridad La representación gráfica de los vértices se muestra por puntos, círculos, etc. Y las relaciones Por arcos que unen los vértices que relacionan, incluyendo la dirección
Terminología I Camino: es toda sucesión de arcos tales que el vértice extremo de cada arco es a su vez origen del siguiente, excepto el último.
Longitud del camino : es la suma de los valores numéricos asociados a los arcos que lo constituyen.
Actividad: trabajo que se debe llevar a cabo como parte de un proyecto. Rama/arco: flechas que forman parte del grafo y que representan las actividades del proyecto.
Ruta crítica/Camino crítico : secuencia de actividades conectadas que conduce del principio al fin del proyecto. Así el camino o ruta que requiera el mayor trabajo, es decir, el camino más largo de la red será la ruta o camino crítico de la red del proyecto.
Terminología II Actividad sucesiva: son las actividades que suceden a otras. Actividad simultánea: parten de un mismo nodo (se pueden ejecutar a la vez). Actividades convergentes: son las que llegan a un mismo nodo final. Actividades ficticias: actividades imaginarias que existen dentro de la red sólo con el propósito de establecer relaciones de precedencia y no se les asigna tiempo alguno. No consumen tiempo ni recursos. Se utilizan en dos casos: Actividades paralelas Distinguir precedencias
El PERT y CPM es un grafo donde cada arco/rama representa una actividad y cada nodo un suceso definido como el instante en que finalizan todas las actividades que llegan a él
dispone de un nodo inicial, otro final y no se dan bucles
Información de entrada necesaria: : matriz de secuencias Tabla de preced enci as N u m e r a c i ón o r d e n a d a d e l o s n o d o s Matriz de tiempo s
E j e m p l o :
Un proyecto consta de 2 actividades (A y B) suponiendo que A precede a B: Si A y B deben ser predecesoras de C, entonces:
Procedimiento I El evento (nodo) inicial se llama i El evento (nodo) final se llama j Las flechas no son vectores, escalares ni representan medida alguna. No interesa la forma de las flechas ya que las dibujamos de acuerdo con las necesidades y comodidad de la representación de la red Así pueden ser horizontales, verticales, curvas, discontinuas, etc. Si hay necesidad de representar que una actividad tiene una interrelación o continuación con otra se representará mediante una línea punteada que tendrá duración 0 Esta línea puede representar también la necesidad de un tiempo de espera para poder iniciar la siguiente actividad.
Procedimiento (II) El nodo 1 representa el inicio del proyecto Es decir, no podrá haber actividades predecesoras al nodo 1 El nodo final del proyecto debe representar el término de todas las actividades incluidas en el grafo (red) Una actividad no puede ser representada por más de un arco del grafo Dos nodos deben estar conectados por a lo sumo 1 arco Las flechas (actividades) se orientan hacia adelante porque PERT estudia tiempos y éstos siempre transcurren hacia adelante (nunca hacia atrás)
Problema: Si dos actividades (A y B) comienzan a la vez y son predecesoras de una actividad C entonces:
Otros aspectos I Toda actividad debe empezar en un evento y terminar en otro Si se da el caso de querer representar una actividad que inicia transcurrido un tiempo de haber comenzado otra actividad, entonces, la actividad base o inicial se la divide en eventos basándonos en porcentajes y se derivan de las actividades que siguen en la secuencia
Otros aspectos (II) No se pueden dejar eventos sueltos al iniciar o terminar la red Todos los eventos deben relacionarse con el evento inicial o final
Otros aspectos (III) A la hora de dibujar el grafo nos deben dar una matriz de secuencias que puede venir como matriz por antecedentes o por secuencias
Por antecedentes: la pregunta que se hace a las partes que desarrollan el proyecto es, ¿qué actividades deben estar terminadas para empezar con la actividad que deben realizar ellos?
Por secuencias: la pregunta en este caso es, ¿qué actividades se deben hacer al terminar la actividad que ellos realizan?
Construcción de grafos (I) Ejemplo
Construcción de grafos (II) Ejemplo 2
Construcción de grafos (III) Ejemplo 3
Construcción de grafos (IV) Ejemplo 4
Construcción de grafos (V) Ejemplo 5
PERT y CPM DIFERENCIAS PERT Probabilístico Tiempo esperado de finalización del proyecto es la suma de todos los tiempos esperados de las actividades sobre la ruta crítica Supone que las distribuciones de los tiempos de las actividades son independientes con lo que la varianza del proyecto es la suma de las varianzas de cada actividad considera 3 tiempos: el optimista, el pesimista y el más probable
CPM Determinístico Monitoriza el desarrollo del proyecto. Si hay retrasos reasigna recursos para tratar de recuperar el tiempo Actividades independientes y continuas siguen un orden cronológico y ofrece parámetros del momento oportuno del inicio de la actividad considera tiempos normales y acelerados de una actividad, según la cantidad de recursos aplicadas a la ejecución
VENTAJAS Muestra una disciplina lógica para planificar y organizar un programa de trabajo detallado y de largo alcance. Proporciona una metodología estándar de comunicación de planes de proyecto mediante un cuadro de 3 dimensiones (tiempo, recursos y coste). Identifica los elementos (actividades) más críticas del plan, donde los potenciales problemas pueden perjudicar el cumplimiento del programa propuesto. Ofrece la posibilidad de simular los efectos de decisiones, alternativas o situaciones imprevistas y una oportunidad para estudiar sus consecuencias en relación a los plazos del programa/proyecto. Aporta la probabilidad de cumplir con éxito los plazos propuestos. Es un sistema dinámico que permite reflejar en cualquier momento el estado del proyecto
OBJETIVOS DEL PERT Ayudar a la planificación y control de los proyectos no implica, en realidad, mucha optimización directa. Identifica las actividades que pueden convertirse en Cuello de Botella Determina la probabilidad de cumplir con las fechas especificadas Evalúa el efecto de cambios en la programación de tareas. Evaluación del impacto de desviaciones sobre la programación EL CPM incluye el concepto de costes sobre el PERT
Funcionalidad del PERT Los sistemas PERT utilizan la representación en red para visualizar gráficamente la interacción entre sus elementos Esta representación del plan de un proyecto muestra todas las relaciones de procedencia respecto al orden en que se deben realizar las actividades Por ejemplo, para construir un edificio es preciso: Excavación del terreno Cimientos Estructura del edificio Otras actividades ya en paralelo Etc.
Cálculo del camino crítico El camino crítico supone la mayor duración del proyecto. Puede haber más de un camino crítico pero todos los caminos críticos tienen que tener la misma duración de tiempo. Cálculo de los tiempos asignados a cada actividad.
Cálculo de los tiempos más tempranos de ejecución (tiempos EARLY) tj= máx [ti+tij] para todo i.
Cálculo de los tiempos más tardíos de ejecución (tiempos LAST) ti= mín [tj – tij] para todo j.
Cálculo del camino crítico (II) El tiempo EARLY de un nodo es la duración del camino más largo que conduce desde un nodo inicial hasta ese nodo. (Se calculan del nodo inicial al final). El tiempo LAST de un nodo es la duración máxima en el que es admisible llegar a la situación descrita por ese nodo. (Se calculan del nodo final al inicial)
Los tiempos EARLY y LAST del nodo inicial y del nodo final coinciden. El tiempo EARLY del nodo final tiene un significado especial ya que indica el tiempo mínimo necesario para terminar el proyecto.
Ejemplo Tomando como referencia la matriz de información del ejemplo 4 a la que se añade la duración de las tareas calcular los tiempos EARLY y LAST de todos los nodos del proyecto.
Cálculo de las holguras Holgura TOTAL (HTij): La holgura de un suceso i indica el número de unidades de tiempo en que puede retrasarse la realización del mismo, de manera que no queda afectada la duración del proyecto. Holgura LIBRE (HLij): la holgura libre de una actividad indica la holgura disponible después de haber realizado la actividad si todas las anteriores actividades se han realizado en su tiempo EARLY. Es la parte de la HTij que puede ser consumida sin afectar a las actividades siguientes.
Cálculo de las holguras (II) Holgura TOTAL (HTij): Se calcula restando del tiempo LAST correspondiente al suceso final, la suma del tiempo EARLY correspondiente al suceso inicial más la duración de la actividad. Holgura LIBRE (HLij): se calcula restando del tiempo EARLY correspondiente al suceso final, la suma del tiempo EARLY del suceso inicial más la duración de la actividad.
Cálculo de las holguras (III) Cálculo de las holguras y el camino crítico El camino crítico, que es el que determina la duración del proyecto, está formado por el conjunto de actividades que determinan el camino más largo
Estas actividades tienen como característica que su holgura total es 0 y los eventos o sucesos que la relacionan tienen también una holgura total de 0.
Resulta esencial para efectuar el control del proyecto El director/a del proyecto extremará la vigilancia de las actividades críticas, pues un retraso en la realización de cualquiera de ellas producirá un retraso en la finalización del proyecto.
Camino crítico (I) Cálculo del camino crítico, a través: Del cálculo de las Holguras de las actividades De la Matriz de Zaderenko De la Programación Dinámica
Camino crítico (II) A través de la Matriz de Zaderenko: Cuando hay
numerosas actividades
Pasos: Se construye una matriz cuadrada (tantas filas y columnas como nodos tenga el grafo) Los elementos de la matriz son la duración de las actividades siendo el suceso inicial el determinado por
el número de fila y el suceso final se define por el número de
columna. A la matriz se yuxtapone una fila en la parte inferior donde se anotan los tiempos LAST de cada suceso (columna) y una columna en la parte izquierda donde se anotan los tiempos EARLY.
Camino crítico (III) A través de la Programación Dinámica Matriz de relación de actividades Nueva matriz en la que se indican el número de enlaces. Uso de una tabla para el cálculo de las holguras
Camino crítico (IV) Ejercicio para el cálculo del camino crítico
Camino crítico (V) Ejercicio 4 con la columna de duración de las actividades
Camino crítico (VI) Ejercicio
Camino crítico (VII)
Camino crítico (VIII) Más ejercicios
CONCLUCION La teoría de grafos es una herramienta importante para realizar una buena programación en la ejecución de los proyecto y de esta manera culminar dichos proyectos en el tiempo programado.
Bibliografía: -
Universidad tecnológico de monterrey
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Ing. Alex Rayón Jerez
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http://www.alexrayon.es
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http://paginaspersonales.deusto.es/alrayon
