TRABAJO INVESTIGATIVO COLORACIÓN DE GRAFOS
TABLA DE CONTENIDO Pág. INTRODUCCIÓN
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1. OBJETIVO GENERAL
3
2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS
3
3. COLORACIÓN DE GRAFOS
4
3.1.
3.2.
NUMERO CROMÁTICO
6
3.1.1.
7
POLINOMIO CROMÁTICO
COLORACIÓN DE VÉRTICES
8
3.2.1. ALGORITMO AUSTERO PARA COLOREAR
8
3.2.2. CLIQUE O CAMARILLA EN UN GRAFO
10
COLORACIÓN DE ARISTAS
10
3.3.1. ÍNDICE CROMÁTICO
11
3.4.
TEOREMA DE LOS CUATRO COLORES
12
3.5.
GRAFO ÚNICAMENTE COLOREABLE
14
3.3.
4. PARTICIONAMIENTO CROMÁTICO
15
5. CONJUNTO INDEPENDIENTE
15
5.1.
CONJUNTO INDEPENDIENTE MAXIMAL
15
5.2.
NUMERO DE INDEPENDENCIA
16
6. CONJUNTO DOMINANTE
16
7. EJERCICIOS PROPUESTOS
16
8. CONCLUSIONES 9. BIBLIOGRAFÍA
INTRODUCCIÓN Los grafos son estructuras de datos que se caracterizan por poseer nodos o vértices, que se unen a partir de aristas para almacenar información. Estos elementos poseen características particulares que es indispensable, conocer y diferenciar para el correcto manejo de los grafos. En el presente trabajo se abordaran temas fundamentales de los grafos, sus particiones y coloreados, sus clasificaciones, y elementos básicos como el índice y el numero cromático; así mismo los problemas y cuestiones básicas sobre estos temas.
1.
OBJETIVO GENERAL
Investigar sobre los conceptos básicos del coloreado y particionamiento de grafos.
2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Comprender las diferencias básicas entre los diferentes tipos de coloración de los grafos.
Entender la importancia de los conceptos de número cromático, en el teorema de los 4 colores para los grafos planos.
Indagar sobre la gran variedad de aplicaciones que tienen las particiones y coloreados para las múltiples ciencias a lo largo de la historia y en la actualidad.
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3. COLORACIÓN DE GRAFOS La coloración de grafos es un caso especial de etiquetado de grafos; de grafos; es es una asignación de etiquetas llamadas colores a elementos del grafo. De manera simple, una coloración de los vértices los vértices de un grafo tal que ningún vértice adyacente comparta el mismo color es llamado vértice coloración. Similarmente, una arista una arista coloración asigna colores a cada arista tal que aristas adyacentes no compartan el mismo color, y una coloración de caras de un grafo plano a la asignación de un color a cada cara o región tal que caras que compartan una frontera común tengan colores diferentes. El vértice coloración es el punto de inicio de la coloración, y los otros problemas de coloreo pueden ser transformados a una versión con vértices. Una coloración propia de G ocurre cuando se asignan colores a los vértices de G de modo que si v i y v j son adyacentes, entonces entonces vi y v j tengan colores distintos asignados. El número mínimo de colores necesarios para una coloración propia de un grafo es lo que se conoce como número cromático del grafo. Ejemplo. Se desea colorear el siguiente mapa de tal manera que los países adyacentes no tengan el mismo color.
Para esto lo llevaremos a un grafo donde cada país será un vértice o nodo.
Designaremos los siguientes colores:
4
Llenamos la siguiente tabla:
El mapa coloreado es:
1. Comenzamos eligiendo el de mayor grado en el caso es el vértice 6 con grado 6 pues tiene mayor grado. 2. Elegimos el primer color para el vértice 6 el cual es el color azul. 3. En seguida elegimos el de mayor grado de los que quedan es el vértice 4 con grado grado 5 lo pintamos de rojo pues no podemos usar el azul ya que es adyacente. 4. Luego buscamos el de mayor grado de los que quedan y vemos vemos que hay un empate con los vértices 3, 5, 7, 8 y 9. 5. Para esto hallamos sus grados de error y tomamos el de mayor grado de error si hay empate como es el caso tomamos arbitrariamente 6. Análogo para los demás casos. 5
3.1. NUMERO CROMÁTICO El número cromático de un grafo G, que denotaremos por χ(G), es el mínimo número de
colores necesario para colorear G. El número cromático de una gráfica G es la menor cantidad de colores necesarios para colorear sus vértices sin que dos vértices vecinos (unidos por una arista) tengan el mismo color. O más formalmente, es el menor entero m tal que G es m-coloreable (o bien, tiene una coloración propia con m colores). A este número se le denota como χ(G), es decir, χ(G)=m.
Usando un color distinto en cada vértice produce una coloración propia, pero no es Número cromático de la gráfica es 3. mínima. Figura 1: Numero cromático La terminología de usar colores para etiquetar vértices proviene del problema de colorear mapas. Las etiquetas como rojo o azul son solamente utilizadas cuando el número de colores es pequeño, y normalmente los colores están representados por los enteros {1, 2, 3, …}.
Ejemplo. ¿Cuántos colores son necesarios para pintar los vértices de forma que cada arista una siempre colores distintos? Determine el número cromático.
Figura_. Grafo G 6
Para la solución de este problema asignamos colores a cada uno de los vértices de la siguiente forma.
Figura_. Numero cromático de un grafo G De tal forma, este es un grafo con numero cromático 4
3.1.1. POLINOMIO CROMÁTICO No sólo interesa saber si se puede colorear un grafo con k colores, sino también de cuántas formas se puede colorear. La primera cuestión queda resuelta cuando se conoce el número cromático, podremos colorear el grafo con k colores, y si , será imposible colorear el grafo con k colores.
() ()
() ()
Aquí, como queremos contar conta r y calcular, conviene que los colores sean números, y qué mejor que los números de 1 a k. dado un grafo G y para cada entero , llamamos
() * * * * ++ Teniendo en cuenta que no es necesario usarlos todos. Desde luego es una función de k, que resulta ser un polinomio en que llamaremos el polinomio cromático de G:
() ∑
Ejemplo. Usando 3 colores, el grafo en la imagen de la derecha puede ser coloreado de 12 formas distintas. Con solo 2 colores, no puede ser coloreado. Con 4 colores, puede ser coloreado de 24+4*12 maneras distintas: usando los cuatro colores juntos, hay 4!= 24 coloraciones validas (toda asignación de cuatro colores a algún grafo de cuatro vértices 7
es una coloración propia); y para cada elección de tres de los cuatro colores, hay 12 3coloraciones válidas. Así que, para el grafo del ejemplo, una tabla de números de coloraciones validas puede comenzar como esta: Colores disponibles 123 4 … Número de coloraciones 0 0 12 72 …
Figura 2: Polinomio cromático.
3.2.
COLORACIÓN DE VÉRTICES
Los algoritmos conocidos para colorear los vértices de un grafo se clasifican en dos grandes grupo: secuenciales e independientes. Dada una ordenación de los vértices del grafo, los algoritmos secuenciales asignan el mínimo color posible al siguiente vértice. Es decir, si queremos colorear el vértice v, teniendo ordenados numéricamente los colores, asignamos a v el color más pequeño que no aparece entre los asignados a los vecinos de v ya coloreados. La ordenación inicial es esencial para colorear con pocos colores. Los algoritmos “independientes” buscan en primer lugar un conjunto independiente de
vértices I de cardinal grande, colorea todos los vértices con el color 1, elimina los vértices de I y repite el proceso en el grafo GI, continuando así hasta colorear todos los vértices.
3.2.1. ALGORITMO AUSTERO AUSTERO PARA COLOREAR Un procedimiento para colorear los vértices de un grafo siguiendo un orden impuesto a los vértices, usando la menor cantidad de colores posibles. Supongamos que es el conjunto de colores; procedemos a describir el algoritmo que denominamos algoritmo austero y consta de los siguientes pasos:
* * +
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Paso inicial. Ordenamos los vértices del grafo. Es importante notar que la eficiencia del algoritmo depende del orden que elijamos. Hacemos una lista de los vértices del grafo.
() Primer paso. Le asignamos el primer color al vértice .
Segundo paso. Procedemos a asignar un color al vértice así: si es adyacente al vértice le asignamos el siguiente color , en otro caso le asignamos .
k-ésimo paso. Para colorear el vértice buscamos todos los vértices del conjunto que son adyacentes a y determinamos los colores que han sido usados en sus coloraciones; luego usamos el primero disponible en el orden de C que no haya sido usado en la coloración de los vértices adyacentes a .
*+
Ejemplo. Consideremos el siguiente grafo con los vértices ordenados y C = {a, b, c, . . . }
Figura_. Grafo para colorear
Usamos el algoritmo austero para asignar los colores: Al vértice le asignamos el colora a; puesto que el vértice es adyacente a le asignamos el color b; el vértice es adyacente a pero no es adyacente a , de este modo le asignamos el color a; es adyacente a y , luego le asignamos el color c; le corresponde a; le corresponde b y a le corresponde b. El número de colores usado es tres el cual es su numero cromático. La coloración correspondiente siguiendo el algoritmo austero es:
Figura_. Grafo coloreado El número de colores usado es tres el cual es su número cromático. No siempre este algoritmo nos da una coloración donde el número de colores es igual al número cromático. 9
3.2.2. CLIQUE O CAMARILLA CAMARILLA EN UN GRAFO Una clique es un completo maximal de G. Es decir, es un completo de G que no está propiamente incluido en otro completo de G. Llamaremos !(G) al tamaño de una clique máxima de G y C(G) al conjunto de cliques de G. S V es clique si dos vértices cualesquiera de S son adyacentes.
⊂
Ejemplo. Determine el clique del siguiente grafo
Para el grafo anterior el número de clique de G es
( ) 3.3.
COLORACIÓN DE ARISTAS
Denotada como la asignación de colores a aristas tal que aristas incidentes tengan un color distinto. Una arista coloración con k colores es llamada k-arista-coloración y es equivalente al problema de particionar el conjunto de aristas en k emparejamientos. El menor número de colores necesarios para un arista coloración de un grafo G es el índice cromático o número cromático de aristas.
Figura 3: Coloreado de aristas. Ejemplo. Determine la coloración de aristas para el siguiente grafico
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Figura_. Grafo G Para la coloración de aristas es importante tener en cuenta lo siguente:
() () Si es impar, ( ) Si es par, ( )
Teniendo en cuenta la anterior el grafo queda así:
Figura_. Coloracion de aristas
3.3.1. ÍNDICE CROMÁTICO Se llama índice cromático de G al mínimo k para el que G es kcoloreable en aristas. Designaremos a este número con la notación N'(G). También es un problema NPcompleto determinar el índice cromático de un grafo. Y los algoritmos conocidos para colorear las aristas de un grafo siguen las mismas estrategias descritas para la coloración de vértices.
Figura_. Índice cromático de grafos 11
Ejemplo. Determine el índice cromático del siguiente grafo
Figura_. Grafo G Al aplicar las propiedades de los índices cromáticos se puede llegar a establecer que el índice cromático para el grafo G es:
*()+ )+ () 3.4.
TEOREMA DE LOS CUATRO COLORES
En teoría de grafos, el teorema de cuatro colores (o teorema de la minimalidad cromática) es un teorema un teorema sobre la coloración la coloración de grafos que establece lo siguiente: Dado cualquier mapa mapa geográfico con regiones continuas, éste puede ser coloreado coloreado con cuatro colores cuatro colores diferentes, de forma que no queden regiones adyacentes con el mismo color. Asumiendo que las regiones adyacentes comparten no solo un punto, sino todo un segmento de borde (frontera) en común. Tres colores son suficientes para mapas simples, pero en algunos casos es necesario un cuarto color adicional, esto es, cuando una región a colorear queda encerrada por un número impar de regiones que se tocan formando un ciclo. El El teorema de los cinco colores, colores, cuya demostración es corta y elemental, establece que cinco colores son suficientes para colorear un mapa y fue probado en el siglo XIX por Heawood. Una serie de pruebas falsas y falsos contraejemplos falsos contraejemplos han aparecido desde el primer enunciado del teorema de los cuatro colores en 1852. en 1852. El problema del mapa de d e cuatro cu atro colores fue planteado, por po r primera vez, por po r el estudiante Francis estudiante Francis Guthrie en 1852, lo que fue comunicado a Augustus a Augustus de Morgan. La Morgan. La conjetura se hizo famosa con la declaración de Arthur de Arthur Cayley, en Cayley, en 1878, 1878, en en el sentido de que la había abordado. Fue resuelto, a mediados de 1970, por Kenneth Kenneth Appel y Wolfgang Haken.
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Figura 4: Teorema de los 4 colores. Ejemplo. Teniendo el siguiente mapa de Castilla-La Mancha, aplique el teorema de los cuatro colores.
Figura_. Mapa de Castilla – la Mancha En forma de grafo dual tendría el siguiente grafo:
Figura_. Grafo mapa de Castilla – La Mancha
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De esta forma el problema queda planteado de la siguiente forma, cumpliendo con los vértices de todo grafo plano pueden colorearse con, a lo sumo, cuatro colores de forma que dos vértices unidos por una arista tengan colores distintos. Por ejemplo, el mapa anterior (y, por tanto, también su grafo dual) puede colorearse con, en este caso, tres colores:
Figura_. Mapa de Castilla – La Mancha aplicando el teorema de los cuatro colores
3.5.
GRAFO ÚNICAMENTE COLOREABLE
Una coloración que usa a lo más k colores se llama k-coloración (propia). Un grafo que tiene asignada una k-coloración (propia) es k-coloreable y es k-cromático si su número cromático es exactamente k.
()
Un k-coloreo de G es una particion de en k conjuntos independientes (a cada uno de ellos se le asocia un color, de ahí el nombre “coloreo"). Si G admite un k -coloreo decimos que es k-coloreable. Ejemplo. Asignarle a cada vértice un „color' o „numero' de forma tal que dos vertices adyacentes
no reciban el mismo, y usando no más de k etiquetas distintas.
Figura_. Grafo
Podemos decir que el anterior grafo es 3 – coloreable, pero no 2 – coloreable. 14
Figura_. Grafo
3 – coloreable
4. PARTICIONAMIENTO CROMÁTICO Un subconjunto de vértices asignados con el mismo color se llama una clase de color. Cada clase forma un conjunto independiente. Esto es, una k-coloración es lo mismo que una partición del conjunto de vértices en k conjuntos independientes, y los términos k-partito y k-coloreable tienen el mismo significado.
5.
CONJUNTO INDEPENDIENTE
Es un conjunto de vértices en un grafo un grafo tal que ninguno de sus vértices es adyacente a otro. Es decir, es un conjunto V de vértices tal que para ningún par de ellos existe alguna arista que los conecten. En otras palabras, cada arista en el grafo contiene a lo más un vértice en V. El tamaño de un conjunto independiente es el número de vértices que contiene. Un conjunto independiente de G es un completo de un conjunto independiente máximo de G.
. Llamaremos () al tamaño de
Un conjunto de vértices S en un grafo se dice independiente si ningún par de vértices de S son adyacentes
Figura : Conjunto independiente 15
Ejemplo. El siguiente grafo muestra los vértices que forman el conjunto independiente.
5.1.
CONJUNTO INDEPENDIENTE MAXIMAL
El conjunto independiente máximo corresponde al mayor conjunto independiente definible sobre un grafo dado. El problema de encontrar un conjunto con estas características se llama problema del máximo conjunto independiente y es NPes NPcompleto, completo, por lo cual es poco probable que exista un algoritmo que lo resuelva eficientemente. Ejemplo Determine los vértices que forman un conjunto independiente maximal
5.2.
NUMERO DE INDEPENDENCIA
El número de independencia de G es el tamaño del conjunto independiente inde pendiente más grande, y se denota por α(G). 16
El número de vértices del mayor conjunto independiente maximal de S se denomina el número de independencia de G y se representa por β(G)
Figura : Conjunto independiente maximal Ejemplo. Halle el número de vértices del mayor conjunto co njunto independiente maximal del grafo G, es decir el número de independencia de G
Es decir el número de independencia del grafo G es
( )
6. CONJUNTO DOMINANTE El conjunto dominante de un grafo un grafo G = (V, E) es un subconjunto V' de V tal que cada vértice cada vértice que no pertenezca a V' está unido a (al menos) un miembro de V'. El número dominante γ(G) es el cardinal del menor conjunto dominante de G.
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Un conjunto S de vértices de un grafo G se dice que es un conjunto dominador si todo vértice que no está en S es adyacente a algún vértice de S. El número de dominación σ(G) es el número de vértices del conjunto dominador más pequeño. Ejemplo. Si se tiene un grafo G como el siguiente, determine el conjunto dominador y el número de dominación.
Por tal razón el número dominador para el anterior grafo es ()
4. EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Establezca alguna coloración de grafos para la siguiente grafica
Para el anterior grafo una coloración adecuada se vería así:
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2. Halle el numero cromático del siguiente grafo
() , por contener un , como existe una coloración con 4 colores, entonces ( () . 3. Halle el polimonio cromático correspondiente al siguiente grafo
Para obtener el polinomio cromático debemos hacer lo siguiente
De esta forma podemos decir que el polinomio cromático asociado al grafo es .
()()
4. Dado el siguiente grafo determine la coloración de vértices adecuada. 19
Pero, adicionalmente se pueden presentar dos configuraciones más diferentes
5. Identifique los vértices vértices que pueden ser cliques cliques en el siguiente grafo
Los vértices 1, 2 y 5 forman una clique, porque cada uno tiene un arco que le une a los otros. En cambio, los vértices vértices 2, 3 y 4 no, dado que 2 y 4 no son adyacentes. Y así se visualizarían los cliques señalandolos en el grafo 20
6. Dado el siguiente grafo, determine la coloración de aristas adecuada
Entonces, el grafo quedaría de la siguiente forma, ya que colores solo no es posible una coloración de aristas
7. Calcular el índice cromatico cromatico del grafo
21
() pero con dos
Ya que para un se trata de un grafo 3 – regular. Para una coloración adecuada únicamente utilizáremos tres colores como se muestra en la siguiente figura:
Así el índice cromático es igual a 3. 8. Aplique el teorema de los cuatro colores al siguiente grafo
El grafo anterior quedaría coloreado así
9. Determine si el siguiente grafo es únicamente coloreable.
22
Debido a que el grafo anterior tiene únicamente coloreable.
( () , podemos decir que el grafo anterior si es
10.
5. CONCLUSIONES
Se investigó investigó sobre las diferencias básicas entre los distintos tipos de coloración de los grafos.
Se comprendieron los conceptos de número cromático, en el teorema de los 4 colores para los grafos planos.
Se indago sobre las diversas aplicaciones de las particiones y coloreados para las múltiples ciencias a lo largo de la historia y en la actualidad.
6. BIBLIOGRAFÍA.
Exploración de grafos. grafos. Análisis y diseño de algoritmos. Consultado el 16 de Junio de 2014, disponible en: http://elvex.ugr.es/decsai/algorithms/slides/5%20Grafos.pdf en: http://elvex.ugr.es/decsai/algorithms/slides/5%20Grafos.pdf
El mundo de los grafos. Consultado el 16 de Abril de 2014, disponible en http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/gallardo/capi10-grafos-coloraciones0910.pdf
Coloración de grafos. Consultado el 16 de Abril de 2014, disponible en http://es.wikipedia.org/wiki/Coloraci%C3%B3n_de_grafos
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