Experimento 4: Impedância e defasagens entre tensão e corrente. Disciplina: EN2703 – Circuitos Elétricos 1.
Discentes: Fernando Henrique Gomes Zucatelli Manuela Petagna Pedro Caetano de Oliveira Raian Bolonha Castilho Spinelli Washington Fernandes Souza Turma: A/Diurno Prof ª. Dra. Katia Franklin Albertin Torres.
Santo André, 22 de Julho 2011
Sumário 1. 2.
OBJETIVOS .............................................. ..................................................................... .............................................. .............................................. ........................... .... 2 PARTE EXPERIMENTAL.................................................. ......................................................................... .............................................. .......................2 2.1. Materiais e equipamentos .............................................. ..................................................................... .............................................. ....................... 2 2.2. Cuidados experimentais ............................................. .................................................................... .............................................. ........................... .... 2 2.3. Procedimentos ............................................. .................................................................... .............................................. .......................................... ................... 3 2.3.1. Medição da defasagem com capacitor capacit or em série ........................................... ................................................... ........ 3 2.3.2. Medição da defasagem com indutor ind utor em série .................................................. ...................................................... .... 4 2.3.3. Medição da defasagem com figuras figur as de Lissajous. ............................................... ............................................... 5 3. RESULTADOS E DISCUSSÃO ............................................. .................................................................... .......................................... ................... 7 3.1. Medição da defasagem com capacitor em série s érie............................................ ........................................................... ............... 7 3.2. Medição da defasagem com indutor em série s érie ........................................... .............................................................. ................... 9 3.3. Medição da defasagem com figuras de Lissajous ............................................. ...................................................... ......... 10 4. CONCLUSÃO........................................... .................................................................. .............................................. .............................................. ........................... 14 5. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................. .................................................................... ................................ ......... 15
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1. OBJETIVOS O objetivo do experimento foi medir a defasagem entre sinais de tensão e corrente provocada ora por um capacitor, ora por um indutor. Para isso, analisou-se o sinal por meio das figuras de Lissajous, bem como por meio da diferença de período entre o sinal de tensão de entrada e em um resistor em série com os componentes (capacitor ou indutor). Tais valores foram comparados ainda com a defasagem determinada algebricamente através de equações que relacionam os valores dos componentes dos circuitos.
2. PARTE EXPERIMENTAL 2.1.
Materiais e equipamentos
•
Multímetro digital portátil Minipa ET-2510.
•
Fonte geradora de sinal Tektronix modelo AFG 3021B.
•
Osciloscópio digital Tektronix modelo TDS 2022B.
•
Placa Protoboard (Matriz de contatos).
•
1 resistor de: 100 .
•
Indutor de 1mH.
•
Capacitor de 1 µF.
•
Cabos e fios para conexão.
•
). Pen Drive Pen Drive (memória flash ).
2.2. •
Cuidados experimentais
Atentar para medidas de resistência com o ohmímetro deve-se desconectar os componentes do circuito, evitando que os demais existentes no circuito interfiram na medida;
•
Os painéis e visores dos instrumentos (como por exemplo, do osciloscópio) nunca devem ser tocados com as mãos ou com os dedos, pois ficam sujos, engordurados e riscados, sendo muito difícil limpá-los; lim pá-los;
•
Manipular os botões de controle do gerador de sinais e do osciloscópio com delicadeza, exercendo apenas a força necessária para o seu acionamento;
3
•
Ao final das medições ou cálculos, fazer os arredondamentos necessários de forma a manter os valores e incertezas com o mesmo número de casas decimais;
•
Identificar as unidades de todos os valores apresentados nas tabelas.
•
Ajustar a saída do gerador de sinais para a opção “High Z”. Nesta opção ele é menos sucessível as influências do circuito externo e permite fornecer até 20 mV de pico a pico.
•
Certificar a correta escala no período/frequência do gerador de sinais.
•
Escolher o fundo de escala que melhore a visualização do sinal no osciloscópio.
•
Anotar o código e descrição de cada imagem do osciloscópio salva no pen drive.
2.3.
Procedimentos
2.3.1. Medição da defasagem defasagem com capacitor em série A Figura 1 apresenta o circuito montado para a medição da defasagem com uso do capacitor em série com resistor, considerando a fonte geradora de sinais e s(t) fornecendo uma onda senoidal com V pp= E = 5 Volts, um resistor R de 10k e um capacitor com capacitância na faixa de 220nF.
Figura 1 – Circuito para medição de defasagem com capacitor C em série com resistor R.
Mediram-se as resistências ôhmicas do resistor e do capacitor e ajustou-se o gerador de sinais para uma frequência de 1KHz.
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Montado o circuito, mediu-se a tensão V ˆ R sobre o resistor, como também as tensões V ˆc e V ˆ , tensões medidas com três aparelhos: osciloscópio, multímetro de bancada e multímetro digital. As impedâncias do resistor e do capacitor são dadas pela equação (1).
Z R
=
R; Z C
= − jX C
; X C = (ωC ) 1; −
ω = 2π f
(1)
A impedância equivalente na associação em série é dada por (2).
Z Z
=
Z R
=
+ ZC =
R − jX C ; Z
:= Z arg(Z ) Im{ Z } = θ Z R e { }
(Re{Z }) 2 + (Im{Z }) 2 ; ar arg(Z ) = arctg
(2)
Medindo-se o intervalo de tempo entre dois pontos das ondas com mesmo valor de tensão, utilizando-se os cursores verticais do osciloscópio, obteve-se a defasagem em graus, que é dada por (3).
θ =
∆t
T
.360°
(3)
Por fim, mediu-se a defasagem da tensão em relação à corrente utilizando a figura de Lissajous mostrada no osciloscópio. O método de determinação da defasagem está na seção 2.3.3.
2.3.2. Medição da defasagem defasagem com indutor em série A Figura 2 mostra o circuito montado para a medição defasagem da indutância, considerando a fonte geradora de sinais e s(t) fornecendo uma onda senoidal com Vpp= E = 5 Volts, o resistor R de 100 e o indutor L com impedância na faixa de 1mH.
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Figura 2 – Circuito para medição de indutância L.
Mediu-se a resistência ôhmica do indutor e do resistor e o gerador de funções foi ajustado para fornecer uma onda senoidal com V pp= E = 5 Volts, com uma freqüência 20kHz. Com esse circuito mediu-se a tensão sobre o resistor V ˆ R , a tensão sobre o indutor V ˆindutor e a tensão dada pelo gerador de sinais V ˆ , tensões medidas com três aparelhos: osciloscópio, multímetro de bancada e multímetro digital. As impedâncias do resistor e do indutor são dadas pela equação (4).
Z R
=
R; Z L
=+
jX L ; X L
;
2
= ω L ω = π f
(4)
A impedância equivalente na associação em série é dada por (5).
Z Z
=
Z R
=
+ ZL =
R + jX L ; Z := Z
arg(Z ) Im{ Z } = θ Z R e { }
(Re{Z }) 2 + (Im{Z }) 2 ; ar arg(Z ) = arctg
(5)
A desafagem em graus, medindo-se o intervalo de tempo entre dois pontos das ondas com mesmo valor, é dada por (3).
2.3.3. Medição da defasagem defasagem com figuras de de Lissajous. A Figura 3 mostra os parâmetros medidos em uma figura de Lissajous para o cálculo do ângulo de defasagem
θ
com uso da equação (6).
6
Figura 3 – Exemplo de medidas para cálculo da defasagem usando figuras de Lissajous.
a b
θ = arcsin
(6)
No experimento, ocorreu um problema com a gravação dos dados referentes à figura de Lissajous do capacitor. Todavia, como os dados dos dois canais foram gravados e o osciloscópio os aloca numa planilha, decidiu-se usar estes dados para reconstruir a figura perdida. Inicialmente, como o osciloscópio é pré-configurado no padrão estadunidense, a separação da casa decimal é por ponto e isso necessita alterar a configuração do computador para este padrão de forma que o Excel compreenda aquele dado como número e facilita-se o trabalho de seleção de dados. Se a planilha for aberta com a configuração brasileira ela estará mal organizada, no entanto, se ela for aberta com o computador já no padrão estadunidense, as colunas de tempo e tensão estarão separadas e organizadas de forma a facilitar f acilitar a interpretação dos dados. Acertadas as configurações, foi criada uma planilha com os dados de tempo e dos dois canais juntos (o osciloscópio os gera em planilhas separadas), foi reconstruída inicialmente a onda senoidal dos canais em função do tempo para se certificar de que os dados estavam corretos e então foi reconfeccionada a figura de Lissajous utilizando o canal 1 no eixo das abscissas e o canal 2 no eixo das ordenadas. Inicialmente foi refeita a figura do indutor para comparar com a figura gravada do osciloscópio, confirmado o resultado, foi repetido o procedimento com os dados do capacitor e obtida a figura de Lissajous tal como vista na tela do osciloscópio durante o experimento e os valores dos semi-eixos concordando com os anotados para o cálculo da desafagem θ.
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3. RESULTADOS E DISCUSSÃO DISCUSSÃO 3.1.
Medição da defasagem com capacitor em série
A Tabela 1 apresenta os valores das tensões V ˆ R , V ˆc e V ˆ medidos com os três equipamentos de medição disponíveis.
Tabela 1 – Valores de tensão medidos com os aparelhos disponíveis.
|V| [V] |VR| [V] |Vc| [V] Osciloscópio 1,530 0,843 1,190 Multímetro de bancada 1,500 0,827 1,213 Multímetro portátil 1,492 0,825 1,207 Com estes valores medidos, a impedância teórica do circuito e a respectiva defasagem, calculada com uso de (2), são de 187,96
Z Z
=
e -57,86°, -57,86°, respectivamente respect ivamente..
100 + j ( 2π .1.103.1 .1.10 6 ) 1 = 100 − j159,15 −159,15 (100)2 + (−159,15)2 = 187, 96; arg(Z ) = arctg = − 57, 86° 100
Z R
=
−
+ ZL =
−
(7)
A Figura 4 mostra a forma de onda da fonte na tela do osciloscópio.
Figura 4 – Tensão na fonte.
A Figura 5 apresenta a forma de onda obtida na medição da tensão sobre o capacitor conforme circuito da Figura 1.
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Figura 5 – Tensão no capacitor.
A Figura 6 apresenta a forma de onda obtida na medição da tensão sobre o resistor conforme circuito da Figura 1. O canal 1 (amarelo) do osciloscópio recebe a tensão sobre o resistor enquanto que o canal 2 (azul) está com a tensão fornecida pela fonte, isto foi feito para facilitar a visualização das curvas.
Figura 6 – Canal 1 resistor (amarelo). Canal 2 fonte (azul). Diferença de tempo entre dois zeros consecutivos.
A defasagem calculada ca lculada com uso us o de (3) foi de 57,6° 57,6 °, valor próximo próxi mo ao valor teórico calculado anteriormente, mostrando a eficiência do método utilizado. O erro nesse caso foi f oi de 0,26° ou, em porcentagem, porce ntagem, foi f oi de 0,5%.
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3.2.
Medição da defasagem com indutor em série
Para o circuito montado na Figura 2 foram medidas as resistências do resistor série (R) e a resistência presente no indutor (R L), já que o mesmo não é ideal, tendo, assim, um valor de resistência associado.
ˆ ˆ ˆ A Tabela 2 apresenta os valores medidos das tensões V R , V indutor e V medidos com os três equipamentos de medição m edição disponíveis.
Tabela 2 – Valores de tensão medidos com os aparelhos disponíveis.
|V| [V] |VR| [V] |Vindutor| [V] Osciloscópio 1,390 0,922 1,750 Multímetro de bancada 1,410 0,928 0,945 Multímetro portátil 0,349 0,226 0,231 Pode-se perceber que as medidas obtidas com o multímetro portátil mostraram-se bem distantes das obtidas com os demais aparelhos e estão claramente erradas, já que o valor da tensão na fonte (primeira coluna), não pode ser esse, que é muito baixo comparado com a tensão fornecida, já se considerando a resistência interna da fonte. Esse erro provavelmente se deve à frequência do sinal ser maior que a do circuito com o capacitor (20 kHz e 1 kHz, respectivamente), de forma que o aparelho, com uma provável limitação na taxa de amostragem do sinal, não é capaz de colher pontos suficientes de tensão para estimar corretamente seu valor. No caso do multímetro de bancada, a tensão no indutor mostrou-se consideravelmente diferente da fornecida pelo osciloscópio, que é mais preciso na medição de sinais alternados. A provável explicação é a influência da resistência interna do componente na medida do aparelho. Com estes valores medidos, a impedância teórica do circuito e a respectiva defasagem calculada com uso de (2) são de 140,91 e 44,79°, 44,79°, respectivament respec tivamente. e.
Z Z
=
100 + j ( 2π .20.103.0, 790.10 3 ) = 100 + j 99, 27 99,27 (100)2 + (99, 27)2 =; arg(Z ) = arctg = 44, 79° 100
Z R
=
+ ZL =
−
(8)
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Para o resistor série, cujo valor nominal era de 100 99,2
Ω,
Ω,
foi medido um valor de
o que é dentro da tolerância fornecida pelo fabricante (5% correspondente a
faixa ouro) e para o indutor mediu-se uma resistência de 4,1
Ω.
Ainda para o indutor
o valor da indutância medido foi de 297 µH. A Figura 7 apresenta a forma de onda obtida na medição da tensão sobre o resistor conforme circuito da Figura 2. O canal 1 (amarelo) do osciloscópio recebe a tensão sobre o resistor enquanto que o canal 2 (azul) está com a tensão fornecida pela fonte, isto foi feito para facilitar a visualização das curvas.
Figura 7 – Canal 1: tensão resistor (amarelo). Canal 2: tensão na fonte (azul). Diferença de tempo entre dois zeros consecutivos.
A defasagem calculada, com uso de (3), foi f oi de 41,76° valor próximo ao valor teórico calculado anteriormente mostrando a eficiência do método utilizado. O erro nesse caso foi de 3,03° 3,0 3° e, em porcentagem, porcenta gem, foi de 6,8%. 6,8 %. Neste caso o erro percentual foi maior devido ao fato do indutor ser um componente elétrico que possui uma resistência interna associada, fazendo com que ocorra essa diferença da defasagem teórica, que não considera essa resistência interna do componente.
3.3.
Medição da defasagem com figuras de Lissajous
A Figura 8 mostra a figura de Lissajous para o indutor.
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(a)
(b) Figura 8 –- Figuras de Lissajous para o indutor.
A Figura 9 mostra a figura de Lissajous refeita com os dados gravados dos canais 1 e 2 do osciloscópio, esta figura está de acordo com a Figura 8 do próprio osciloscópio.
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Figura 9 – Figura de Lissajous para o indutor refeita no Excel®.
Com a certeza de que o procedimento para retomada da curva de Lissajous a partir dos dados gravado pelo osciloscópio para o caso do indutor foi confiável, partiu-se para se confeccionar a curva de Lissajous com os dados do capacitor seguindo o mesmo procedimento, cujo resultado encontra-se na Figura 10.
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Figura 10 – Figura de Lissajous para o capacitor refeita no Excel®.
A Tabela 3 resume os cálculos da desafagem do indutor e do capacitor utilizando as figuras de Lissajous.
Tabela 3 – Valores dos semi-eixos a e b e cálculo da defasagem θ.
Indutor Capacitor 1,4 1,8 a 2 2,2 b θ=arcsin (a/b) 0,78 rad 0,96 rad 44,43° 44, 43° 54,90° 54,9 0° θ (Graus)
Estes valores estão de acordo com os valores calculados teoricamente com uso das equações (2) e (5). Estão, dessa maneira, próximos também dos valores calculados por meio da análise do sinal de tensão da fonte e no resistor. Como curiosidade, a Figura 11 apresenta um resumo de uma possível forma de analisar o comportamento de uma figura de Lissajous (observar quadrante IV da imagem).
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Figura 11 - Exemplos de figuras de Lissajous para ondas de mesma freqüência e fases diferentes [1].
4. CONCLUSÃO Com o experimento, pôde-se concluir que é possível medir satisfatoriamente a defasagem provocada em um sinal tanto pela análise direta do sinal de entrada, analisando-se o sinal em um elemento do circuito montado após o componente responsável pela defasagem no sistema e comparando com o sinal de entrada, bem como por meio das figuras de Lissajous. Na prática, era de se esperar que os métodos fossem equivalentes, dado que o equipamento utilizado é o mesmo e apenas se muda a forma de representação do sinal nos eixos do aparelho. A principal diferença está, portanto, na forma de visualização do sinal: no primeiro método, é necessário o uso de cursores para uma maior precisão, no segundo, basta contar o número de “quadradinhos” (divisões) na escala do
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osciloscópio, tendo em mente a escala utilizada. Nesse ponto, as figuras de Lissajous são de mais fácil visualização. Determinada algebricamente, por meio de equações que modelam o circuito e seus componentes, os valores obtidos para a defasagem foram também bem próximos dos experimentais. Na medida da tensão sobre os componentes do circuito, percebeu-se que as medidas fornecidas pelo multímetro portátil foram pouco confiáveis no circuito indutivo, sendo que a provável causa é o maior valor da frequência, de modo que a amostragem realizada pelo aparelho é prejudicada.
5. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS [1] PAVLIC, Theodore P.; Lissajous figures Disponível em . Acesso em 31 de Jul. 2011 [2] BOYLESTAD, R.L.; Introdução à análise de circuitos ; 10.ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2004.
