R!.a-i6n !n#"! !. m6du.& d! !.a$#i-idad (E) 7 !. m6du.& d! -&m*"!$i/i.idad v&.um8#"i-& (mv) Dado un material elático ometido a un incremento de e!uer"o en direcci#n $ertical% e tiene &ue ete material u!rirá una de!ormaci#n en dic'a direcci#n% tal como lo e()rea la le* de Hoo+e &ue enuncia &ue eta de!ormaci#n e )ro)orcional al e!uer"o a)licado.
σ v
ε v=
∆L L
=
E
Como conecuencia de la com)rei#n o tracci#n o,re el material% ete tam,i-n u!rirá de!ormacione 'ori"ontale% &ue )ueden er e()reada )or medio de una contante elática de!inida como coe!iciente de oion / dado )or la ra"#n entre la de!ormaci#n tran$eral * la de!ormaci#n longitudinal del material.
ν=
−
ε trans
ε long
e tiene entonce% &ue la de!ormaci#n 'ori"ontal etá dada )or la iguiente e()rei#n
εh =
−
ν σ v
E
omando la idea anterior% e !ácil entender &ue el e!uer"o al &ue etá ometido el material )roducirá de!ormacione o,re todo lo ee &ue% a )artir de la le* de Hoo+e% e )uede e()rear de la iguiente manera
σ x
ε x =
E
ε y = ε z=
−
σ y E σ z
E
ν ( σ + σ ) E y z ν ( σ x + σ z ) E
−
−
ν ( σ y + σ x) E
a uma de eta de!ormacione e()rea la $ariaci#n en el $olumen del material o la de!ormaci#n $olum-trica /VV &ue al er im)li!icada arroa
∆ V 1 −2 ν = [ σ x + σ y + σ z ] V E &ue% coniderando &ue el incremento de e!uer"o medio /) e el )romedio de lo e!uer"o in$olucrado ∆ p =( σ x + σ y + σ z ) / 3 % !inalmente e o,tiene
(
)
∆ V V
=
(
3 1− 2 ν
E
)
∆p
De)eando ) E ∆ V ∆p 3 ( 1 2 ν ) V =
−
Coniderando un material en condicione edom-trica /De!ormaci#n lateral nula% elático e iotr#)ico% o,er$amo la cur$a de com)rei#n no$al &ue e )roduce al tener un incremento de e!uer"o
De a&u:% de!inimo el m#dulo edom-trico
Em como un m#dulo de de!ormaci#n &ue
coincide con la in$era de la )endiente de la cur$a de com)rei#n no$al% de la iguiente manera
Em =
σ v εv
ademá de de!ine el m#dulo de com)rei,ilidad $olum-trica
mv como el in$ero del
m#dulo edom-trico
mv =
εv σ v
;)licando le* de Hoo+e * coe!iciente de oion% teniendo en cuenta &ue no e )reentan de!ormacione laterale% tenemo &ue
σ h =
ν 1 −ν
σ v
or lo tanto
σ v
σ v ν ν ε v = − ( 2 σ h ) = − E E E E
(
ν 1− ν
σ v
) ( =
σ v
E
1−
2ν
2
1− ν
)
Em =
σ v εv
E
=
(
1− ν 1− ν −2 ν
2
)
;m v =
εv σ v
=
1
E
(
1−
2ν
2
1− ν
)
C&n-.u$i&n!$ •
De la ecuaci#n de de!ormaci#n $olum-trica
∆ V V e demuetra !ácilmente &ue
el $alor del coe!iciente de oion $ar:a entre 0 * 0%5% en donde ete $alor má(imo corre)onde a &ue el material no )reenta de!ormaci#n. •
•
•
R!9!"!n-ia$ -
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=rtu>o% . ?@ntroducci#n a la elaticidad )ara ueloA. Bni$eridad olit-cnica de Madrid. on"ále" de Valleo% .% errer% M.% =rtu>o% . E =teo% C. /2002 ?@ngenier:a eol#gicaA. rentice Hall. Madrid. #me" aniagua% <. ?Fota de clae Mecánica de uelo * GocaA. Medell:n.
