REEL ANALİZ Tunç Mısırlıoğlu
Ocak
Bu notlar Örgün Öğretimde Uzaktan Öğretim Desteği (UDES) lisansı altındadır. Ders notlarına erişim için: http://udes.iku.edu.tr CC
BY:
Tunç Mısırlıoğlu C $ \
Matematik-Bilgisayar Bölümü İstanbul Kültür Üniversitesi Bakırköy İstanbul
[email protected]
Cezir’de kuma bir satır yazdım O satıra aklımı, ruhumu koydum Medd’de okumak için geri döndüm O vakit cehaletimi gördüm.
−
HALİL CİBRAN
İçindekiler Önsöz
vii
Ön Bilgiler . Kümeler ve fonksiyonlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sayılabilirlik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R içinde kümelerin topolojik özellikleri . . . . . . . . . . . . . . . . Riemann integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ölçü Kavramı Kavramı . Ölçüsü sıfır olan kümeler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dış ölçü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (Lebesgue (Lebesgue anlamında anlamında)) Ölçülebilir Ölçülebilir kümeler kümeler ve Lebesgue Lebesgue ölçüsü . . . Lebesgue ölçüsünün özellikleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Borel kümeleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ölçülebilir Fonksiyonlar . Lebes besgue ölçülebilir fonksiyonlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ölçülebilir fonksiyonların özellikleri . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lebesgue İntegrali İntegrali . Tanım . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Monoton yakınsaklık teoremleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . İntegrallenebilir fonksiyonlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sınırlı yakınsaklık teoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ri Riem eman annn ile ile Lebes Lebesgu guee in integr tegral alii ara arası sınd ndak akii ili ilişk şkii . . . . . . . . . . . Çeşitli Problemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kaynakça
Dizin
v
Önsöz İstanbul Kültür Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi’nin - Güz yarıyılında başlattığı Örgün Öğretimde Uzaktan Öğretim Desteği (UDES) projesi kapsamında, örgün öğretimde kullanılan ders notlarının internet ortamına aktarılması amaçlanmaktadır. Özellikle temel bilimler alanında nitelikli Türkçe ders notu notu sıkın sıkıntıs tısıı çekile çekilenn Türki Türkiyye’de, e’de, UDES UDES projesiy projesiyle, le, sadece sadece İstan İstanbul bul Kültür Kültür Üniv Üniversitesi öğrencilerine değil, Türkiye’deki tüm üniversitelerin lisans öğrencilerine ulaşılma hedefi güdülmektedir. - Güz yarıyılından bu yana İstanbul Kültür Üniversitesi, Üniversitesi, Fen-Edebiyat en-Edebiyat Fakültesi, Matematik-Bilgisay Matematik-Bilgisayar ar Bölümü’nde Bölümü’nde vermekte olduğum Reel Analiz dersinin Kaynakça kısmında belirtilen eserler temel alınarak oluşturulmuş notlarından oluşan ve bundan ötürü özgün olma iddiası taşımayan bu derleme, her türlü eleştiri ve yoruma açık bir denemedir. Okuyucunun Okuyucunun ilgisini ölçü teorisinin temel kavramlarına kavramlarına yönlendirebilirse, yönlendirebilirse, bu notlar amacına ulaşmış olacaktır. Bu ders notunda Teoremler Teoremler ve Önermeler ispatsız olarak verilmektedir. Bunun amacı, hem ispatların derste yapılacak olması ve hem de öğrenciyi dersten önce kendi kendilerine ispatlamalaya teşvik etmesidir. Ayrıca okuyucunun bu notlar içerisindeki Problemleri çözmeye çalışması konuları pekiştirmek açısından çok yararlı olacaktır. İstanbul, Ekim
Tunç Mısırlıoğlu
vii
Ön Bilgiler
Ölçü teorisinde, verilen keyfi bir kümenin alt kümelerinin aileleri ve reel sayıları bu ailelere ait kümelere götüren fonksiyonlar fonksiyonlar ile uğraşılır. Dolayısıyla bu bölümde kümelerin bazı temel yapıları yapıları ve bunların üzerinde tanımlı fonksiyonların özellikleri, sonsuz kümelerin sayılabilirliği ve sayılamazlığı, yine analizden bildiğimiz R (reel sayılar) de dizilerin yakınsaklığı, seriler, açık ve kapalı kümeler gibi topolo jik kavramlar, kavramlar, ve ayrıca Riemann integralinin tanımı ve temel özelliklerini hatırlayacağız.
.
Kümeler ve fonksiyonlar
Tüm kümeleri kapsayan kümeye evrensel küme denir. Evrensel kümeyi E ile göstereceğiz. Hiç bir elemanı olamayan kümeye boş küme denir ve ∅ ile gösterilir. E ye ait herhangi bir A alt kümesinin tüm alt kümelerinin ailesine A nın kuvvet kümesi denir ve P (A) ya da 2A ile gösterilir. A, B ∈ E olsun. A ile B nin arakesiti : A ∩ B = {x : x ∈ A ve x ∈ B } A ile B nin birleşimi : A ∪ B = {x : x ∈ A veya x ∈ B } A ile B nin farkı : A B = {x ∈ A : x ∈ B } = B ∩ Ac A nın tümleyeni : Ac = E A A ile B nin simetrik farkı : AB = (A B ) ∪ (B A) • AB = ∅ olması için gerek ve yeter koşul (gyk) A = B olmasıdır. Λ herhangi bir indeks kümesi olsun. Aα = x : x α Λ
∈
{
∈ A , ∀α ∈ Λ} ,
Aα = x : x
α
α Λ
∈
{
∈ A , ∃α ∈ Λ} α
Aşağıdaki iki özellik, de Morgan kuralları olarak bilinir. Aα )c =
( α Λ
∈
Acα , α Λ
∈
A α )c =
( α Λ
∈
Acα α Λ
∈
Ön Bilgiler
A B = ∅ ise, A ile B kümelerine ayrıktır denir. Eğer α, β Λ olmak üzere, α = β iken Aα Aβ = ∅ ise, (Aα )α∈Λ küme ailesine ikişer ikişer ayrıktır
∩
∈
∩
denir. artezyen çarpımı : A × B = {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B } A ile B nin kartezyen A × B nin herhangi f : A → B alt kümesi, "(a, b), (a, c) ∈ f iken b = c" koşulunu sağlarsa, f ye bir fonksiyon denir. f nin tanım kümesi Df = {a ∈ A : (a, b) ∈ f , ∃b ∈ B } ve değer kümesi Rf = {b ∈ B : (a, b) ∈ f , ∃a ∈ A} şeklinde tanımlanır. Herhangi bir X ⊂ A alt kümesinin görüntüsü f (X ) = {b−1∈ B : bf (a), ∃a ∈ X } ve herhangi bir Y ⊂ B alt kümesinin ters görüntüsü f (Y ) = {a ∈ A : f (a) ∈ Y } şeklindedir. Bir g fonksiyonunun bir f fonksiyonunu genişletmesi , Df ⊂ Dg ve Df üzerinde g = f olması demektir. Bir başka ifade ile, f , g yi Df ye kısıtlıyor demektir. A kümesinin işaret fonksiyonu, A (x) =
1 ; x A 0 ; x/A
∈ ∈
şeklinde tanımlanır. Bu fonksiyona ait bazı özellikler aşağıdaki şekildedir: A∩B = A .B , A∪B = A + B − A .B , ve A = 1 − A . Herhangi bir A ⊂ E kümesi verilsin. verilsin. A × A nın bir R alt kümesine bir bağıntı denir. Notasyonel olarak (x, y ) ∈ R elemanını x ∼ y ile ifade edeceğiz. ∼ bağıntısı aşağıdaki özelliği de sağlıyorsa bu bağıntıya eşdeğerlik bağıntısı denir. . (Yansıma) ∀x ∈ A, x ∼ x . (Simetrik) x ∼ y ise, y ∼ x . (Geçişme) x ∼ y ve y ∼ z ise, x ∼ z A üzerin üzerinde de bir ∼ eşdeğerlik bağıntısı A yı (ayrık (ayrık)) eşdeğerli eşdeğerlikk sınıflarına sınıflarına parçalar. parçalar. Verilen bir x ∈ A elemanının eşdeğerlik sınıfı xˆ = {z : z ∼ x} şeklindedir (yani, A nın x e eşdeğer olan tüm elemanlarının kümesi). Şu halde, x ∈ xˆ dir ve böylece A = x∈A xˆ dir. Bu birleşim ayrık bir birleşimdir (Göster!). Bu şekilde elde edilen tüm eşdeğerlik sınıflarının kümesi A/ ∼ ile gösterilir. c
.
Sayılabilirlik
Herhangi bir A kümesi ile N doğal sayılar kümesinin bir alt kümesi arasında birebir bir tekabül kurulabiliyorsa A ya sayılabilirdir denir. Böyle bir tekabül kurulamıyorsa kümeye sayılamaz denir. Sayılabilir kümelerin sayılabilir birleşimleri de sayılabilirdir (Göster!). Dahası, Q rasyonel sayılar kümesi sayılabilirdir. sayılabilirdir. Buna karşın Cantor, R nin sayılamaz olduğunu göstermiştir. Bunu göstermek için [0, 1]
. R
içinde kümelerin topolojik özellikleri
kapalı apalı aralığını aralığınınn sayılam sayılamazlı azlığını ğını göstermem göstermemiz iz yeterli yeterlidir dir (Neden?) (Neden?).. Gerçekten Gerçekten,, [0, 1] aralığı sayılabilir olsaydı, bu aralığın elemanlarını xn = 0.an1 an2 an3 ...ann ... olacak şekilde bir (xn ) dizisi şeklinde gözönüne gözönüne alabilirdik. Burada aij ler rakamlardan oluşmaktadır. Bu durumda, x1 = 0.a11 a12 a13 ... x2 = 0.a21 a22 a23 ... x3 = 0.a31 a32 a33 ... ...........................
olur. Şimdi bn rakamlarını ann lerden lerden farklı farklı olacak olacak şekild şekildee seçers seçersek, ek, y = 0.b1 b2 b3 ... şeklinde [0, 1] aralığına ait bir y eleman bulurduk ki bu eleman xn lerden farklıdır ve dolayısıyla çelişki elde ederiz. Q sayılabilirdir ve sayılabilir kümelerin birleşimi de sayılabilir olduğundan, R Q sayılamazdır.
. R
içinde kümelerin topolojik özellikleri
Bir A ⊂ R alt kümesi verilsin. Eğer A, açık aralıkların bir birleşimi ise, yani açık aralıkların (I α )α∈Λ ailesi için, A = α∈Λ I α ise, A ya açık küme denir. Bütünleyeni açık olan kümeye kapalı küme denir. Rn (n > 1) deki açık kümeler, aralıkların n defa çarpımlarının birleşimi şelindedir. Sonlu sayıda açık kümenin arakesiti de açıktır. Bununla birlikte, sayılabilir sayıda açık kümenin arakesiti açık olmak zorunda değildir. Örneğin, n 1 A , olmak üzere, An = (− n1 , 1) için, ∞ n=1 n = [0 1) açık değildir. f : R → R bir fonksiyon olmak üzere, her açık A ⊂ R alt kümesi için, f −1 (A), R de açık ise f fonksiyonuna süreklidir denir. Kapalı ve sınırlı bir küme üzerinde tanımlı her sürekli reel fonksiyon, bu küme üzerinde bir maksimum ve bir minimum değere sahiptir (Göster!). Örneğin, eğer f : [a, b] → R fonksiyonu sürekli ise, öyle xmax , xmin ∈ [a, b] noktaları vardır ki, M = sup{f (x) : x ∈ [a, b]} = f (xmax ) ve m = inf {f (x) : x ∈ [a, b]} = f (xmin ) dir. Ara değer teoreminden bildiğimiz gibi, her sürekli fonksiyon tüm ara değerlerini uç noktalar arasında alır. Yani, her y ∈ [m, M ] için öyle bir θ ∈ [a, b] vardır ki y = f (θ ) dır. (xn ) ⊂ R herhangi bir dizi olsun. (xn ) nin üst limiti lim lim sup sup xn := inf sup xm : n n
→∞
{
mn
∈ N}
Ön Bilgiler
(xn ) nin alt limiti lim lim inf inf xn := sup inf xm : n
{
n
mn
→∞
∈ N}
şeklinde tanımlanır. (xn ) dizisinin yakınsak olması için gyk alt ve üst limitlerin birbirine eşit olmasıdır (Göster!) ve bunların ortak değeri bu dizinin limitidir. Eğer her ε > 0 sayısına karşılık öyle bir N ∈ N vardır ki her n N için |xn − x| < ε oluyorsa, (xn) dizisi yakınsaktır denir. x noktasına bu dizinin limiti denir ve limn→∞ xn = x yazılır. Eğer (xn ) dizisinin kısmi toplamlar dizisi olan sn = nk=1 xk yakınsak ise ∞ x serisine yakınsaktır denir ve bu durumda kısmi toplamlar dizisinin n=1 n limiti bu serinin toplamıdır.
.
Riemann integrali
Bu kısımda Analiz’den bildiğimiz Riemann integralinin kısa bir tekrarını yapıp bazı (daha ileri) durumlarda neden yatersiz kaldığına dair sebepleri göreceğiz. f : [a, b] → R sınırlı bir fonksiyon olsun. [a, b] aralığının, a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b olmak üzere, sonlu bir P = {x0 , x1 , x2 ,...,xn } alt kümesini gözönüne alalım. Bu P alt kümesine [a, b] aralığının bir parçalanışı denir. P parçalanışı, sırasıyla, n
n
M i xi ve L(P, f ) =
U (P, f ) =
i=1
mi xi i=1
üst ve alt Riemann toplamlarını doğurur. Burada
= xi xi−1 , her 1 i n için, alt aralıkların uzunlukları, ve her bir i n için, M i = supa −1 xa f (x) ve mi = inf a −1 xa f (x) dir. (Not: M i ve mi ler daima mevcutturlar zira f , her bir [ai−1 , ai ] aralığı üzerinde sınırlıdır.) f nin Riemann integralini tanımlamak için öncelikle verilen herhangi bir P parçalanışı için L(P, f ) U (P, f ) olduğunu ve daha sonra P yi kapsayan herhangi bir P parçalanışı için L(P, f ) L(P , f ) ve U (P , f ) U (P, f ) olduğunu göstermemiz gereklidir. Sonunda, herhangi iki P 1 ve P 2 parçalanışları için P 1 P 2 , apsayan an bir parçal parçalanı anışş olduğu olduğund ndan an herhan herhangi gi iki P ve Q parçalanışları P 1 ve P 2 yi kapsay için L(P, f ) U (Q, f ) olduğu olduğu görülür. görülür. Böylece Böylece L(P, f ) : P, [a, b] nin bir parçalanışı kümesi R de üstten sınırlıdır, ve bu kümenin supremumuna f nin [a, b] üzerinde ab f alt integrali denir. Benzer şekilde, üst toplamların kümesinin infii
i
i
x
i
−
i
∪
{
mumuna
b a f
üst integrali denir. Eğer bu iki sayı eşit oluyorsa, bu durumda
}
.
Riemann integrali
f fonksiyonuna [a, b] üzerinde Riemann anlamında integrallenebilir denir. Bu sayıların ortak değerine f nin Riemann integrali denir ve ab f (x)dx ile
gösterilir. Bu tanım, bazı fonksiyonların integrallenebilirliğini kontrol etmek için uygun bir kriter değildir ancak aşağıda bunun için uygun bir kriter vardır. Teorem eorem (Riemann (Riemann kriteri). kriteri). f : [a, b] → R fonsiyonunun Riemann anlamında integrallenebilir olması için gyk her ε > 0 için öyle bir P ε parçalanışı L(P ε , f ) < ε olmasıdır. vardır ki U (P ε , f ) − √ Örnek. f (x) = x için 01 f (x)dx integralini hesaplayalım. [0, 1] aralığının aralığının parçala parçalanışla nışlarının rının bir dizisi olarak olarak P n = {0, ( n1 )2 , ( n2 )2 ,..., ( ni )2 ,..., 1} dizisini seçelim. Bu durumda, n
i i U (P n , f ) = ( )[( )2 n n i=1 n
L(P n , f ) =
( i=1
i
− ( −n 1 )2] = n13 i
− 1 )[( i )2 − ( i − 1 )2] = n
U (P n , f )
−
n
n
1 L(P n , f ) = 3 n
1 n3
n
(2i i=1
n
(2i2 i=1
− i)
n
(2i2 i=1
− 3i + 1)
− 1) = n1
bulunur. n yi yeterince büyük seçerek bu farkı verilen herhangi bir ε > 0 sayısından küçük yapabiliriz. Bu ise bize f nin integrallenebilir olduğunu gösterir. Ayrıca integralin sonucu 23 tür çünkü kolayca görülebileceği gibi U (P n , f ) ve L(P n , f ) bu değere yakınsarlar. Not. Her sınırlı monoton fonksiyon ve her sürekli fonksiyon Riemann integrallenebilirdir. (Göster!) Teorem (İntegral Hesabın Esas Teoremi). f : [a, b] → R fonksiyonu sürekli olsun. Eğer F : [a, b] → R fonksiyonun fonksiyonunun un türevi (a, b) de f ise, F (b) − b F (a) = a f (x)dx dir. Burada F fonksiyonuna f nin ilkeli denir ve F (x) = −xa f (x)dx yazılır. Sınırlı f : [a, b] → R fonksiyonunu [a, b] deki sonlu sayıdaki nokta dışında sürekli olarak alırsak, f Riemann anlamında integrallenebilir olur. Gerçekten, aralığı f nin sürekli olduğu alt aralıklara parçalarsak, f her bir aralıkta integrallenebilir olur ve dolayısıyla bütün aralıkta integrallenebilir olur. Buna bir örnek olarak, f (x) =
1 ; x = a1 ,...,an 0 ; x [0, 1] a1 ,...,an
∈
{
}
Ön Bilgiler
fonksiyonu gösterilebilir. Bu fonksiyon [0, 1] üzerinde integrallenebilirdir ve integrali 0 a eşittir. Bununla birlikte, ileride, Lebesgue ölçüsünü ve "hemen hemen her yerde" kavramlarını tanımlayarak, "Sınırlı bir f : [a, b] → R fonksiyonunun Riemann anlamında integrallenebilir olması için gyk f in, [a, b] aralığının Lebesgue ölçüsüne göre hemen hemen her noktasında sürekli olmasıdır" şeklindeki sonucu kanıtlayacağız. Bu sonuçtan sonuçtan yararlanarak, örneğin Dirichlet fonksiyonu olarak bilinen 1
f (x) =
Q ; x= m n 0 ; x RQ n
∈
∈
fonksiyonunun [0, 1] aralığında Riemann anlamında integrallenebilir olduğunu gösterebileceğiz. Burada şunu belirtmek gerekir ki, f nin rasyonel olmayan noktalarda sürekli ve her rasyonel noktada süreksiz olduğu (Göster!) aşikar olmakla birlikte bu fonksiyonun, Riemann integralinin tanımını kullanarak integralini almak mümkün değildir (Lütfen deneyiniz). Şimdi, bu dersin amacının integrasyon kavramının Lebesgue teorisini ortaya koymak olduğundan, yeni bir integrasyon teorisine neden ihtiyaç duyduğumuzu ortaya koymamız gerekir. Yani yukarıda anlattığımız Riemann integralinin yetersiz kaldığı durumu anlamamız gerekiyor. Bunun için bir çok sebep sayılabilir. Biz bunlardan birini anlatmağa çalışalım. Öncelikle Riemann integrali aralıklara bağlıdır. Ancak daha genel kümeler üzerinde ya da dağınık duran ayrık olmayan bir çok aralığın birleşimi veya başka bir şekli üzerinde integrali almak her zaman mümkün mümkün olmayabilir. olmayabilir. Örneğin, [0, 1] aralığındaki rasyonel sayılar kümesinin Q işaret fonksiyonu için alt ve üst Riemann toplamlarını gözönüne alalım. [0, 1] aralığını parçaladığımızda herbir alt aralık mutlaka rasyonel ve irrasyonel noktalar içerir. Şu halde, herbir üst toplam ve herbir alt toplam da olur. Böylece bu fonksiyonun [0, 1] aralığı üzerinde Riemann anlamında integrali yoktur. Ölçü, R de uzunluk kavramının, R2 de alan kavramının, R3 te ise hacim kavramının, genelleştirilmesidir. Bu dersin amacı Lebesgue integrali kavramını tanımak olacaktır. Bu kavramı aşamada tanıyacağız: Öncelikle ölçü kavramı ve ölçülebilir kümeleri, daha sonra ölçülebilir fonksiyonları ve nihayet ölçülebilir fonksiyonların fonksiyonların integralini integralini vereceğiz. vereceğiz. Riemann Riemann integra integralinde linde [a, b] aralığ aralığıı aralık aralıklar laraa ayrılır yrılırkken ve nokta nokta seçerk seçerken en fonksi fonksiyo yonn hiç kullanılmıyor. Buna karşın Lebesgue integralinde aralığı verilen fonksiyona göre ayrı ayrı kümelere ayırıyoruz. Yani Riemann integralinde aralığın parçalanması fonksiyondan bağımsız olarak yapılmaktadır. Ayrıca bu parçalanış herhangi alt kümeler olarak değil sıralanmış alt aralıklar olarak seçilmektedir. Buna karşın karşın
.
Riemann integrali
Lebesgue integralinde aralık, fonksiyonun değerlerine bağlı olarak, sıralanmış alt aralıklara değil, kümelere ayrılır. Örneğin, aralık, [a, b] = A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An şeklinde kümelerin bir ayrışımına sahip olsun. Her bir Ai kümesinden rasgele ci noktalarını seçelim. Bu durumda Riemann toplamı, ni=1 f (ci )Ai şeklinde olacaktır. Burada Ai , Riemann ile karşılaştırdığımızda Ai kümelerinin uzunluğu olmalıdır. Ancak bir kümenin uzunluğunun ne olduğu hakkında hiç bir bilgimiz bulunmamaktadır. Bilindiği gibi uzunluk kavramı sadece aralıklar için tanımlıdır. Bu nedenle uzunluk kavramının genelleştirilmesi olarak ölçü kavramını vereceğiz. D(x) =
1 ; x 0 ; x
∈Q ∈RQ
fonksiyonunu gözönüne alalım. Bu fonksiyonun hiç bir yerde sürekli değildir (Göster!). ni=1 D(ci )xi toplamının limiti ci noktalarının seçimine bağlıdır. Gerçekten, n
ci
∈Q⇒
n
D (ci ) xi = i=1
1
D(ci ) xi = 1
i=1 n
ci
∈RQ ⇒
⇒
D(x)dx = 1 0
1
D (ci ) xi = 0 i=1
⇒
D(x)dx = 0 0
olur. Sonuçta integral toplamının limiti ci lerin seçimine bağlıdır. Dolayısıyla tanımdan dolayı D(x) fonksiyonunun Riemann integrali yoktur. Bu fonksiyonun Lebesgue integralini vermek için aralığın başka başka türlü bir parçalanışını seçmeliyiz. Örneğin bu aralığı, bu aralığa ait rasyonel irrasyonel noktaların birleşimi olarak alalım. Bu durumda integral toplamı, c1 irrasyonel ve c2 rasyonal olmak üzere, D (c1 ). (R Q) + D (c2 ). (Q)
şeklinde olur. Burada (R Q) ve (Q) yerine ne yazacağımızı bilmiyoruz. Dolay Dolayısı ısıyla yla,, rasy rasyonel onel ve irrasy irrasyon onel el sayı sayı kümele kümelerin rinin in ölçüle ölçülerin rinii belirle belirlemem memiz iz gereki gerekir. r. Sonuç olarak bir kümenin ölçüsü ne demektir, öncelikle bunu tanımlamamız gerekir.
Ölçü Kavramı
Önceki bölümde sözünü ettiğimiz gibi, örneğin Q ya da R Q gibi kümeler aralıklardan çok daha farklı kümelerdir ve bunların uzunluklarını nasıl ölçebileceğimiz pek açık değildir. Bu bölümün amacı herhangi bir küme üzerinde ölçü kavramını vermek olacaktır. Bunun için öncelikle reel sayılardaki sınırlı aralıklarının uzunluğunu verme R de ölçü, uzunluk kavramının genelleştirilmesi olduğundan R deki kümeleri iki sınıfa ayırabiliriz: . Uzunluğu belli olan kümeler sınıfı -ki bunlar aralıklardır-. Bu gruptaki kümelerin ölçüsünü uzunluğuna eşit kabul ediyoruz. . Aralıklar sınıfının dışındaki kümeler. Bu gruptaki kümelerin ölçüsünü aralıklar yardımıyla buluyoruz. I , R de herhangi bir sınırlı aralık (yani I = [a, b], (a, b], [a, b) veya (a, b)) olmak üzere, I aralığının uzunluğu (I ) = b − a olarak tanımlanır. Her nokta bir aralıktır ve uzunluğu sıfırdır. Gerçekten, [a, b] aralığında a = b seçersek aralık {a} noktasına denk gelir. Dahası, ({a}) = ([a, a]) = 0 elde edilir. Dolayısıyla sonlu kümelerin de uzunluğu sıfırdır. R de bir kümeyi aşikar olmayan bir takım aralıklara bölmemiz her zaman mümkün olmayabiliyor. Bu nedenle bu kümeyi örten bir takım (hatta sayılabilir sayıda) aralıkların bir sistemini gözönüne alabiliriz. Buradan yola çıkarak, aşağıda verilen tanım ile ölçü yolculuğumuza başlayabiliriz.
.
Ölçüsü sıfır olan kümeler Tanım ... A ⊆ R alt kümesi verilsin. Verilen herhangi bir ε > 0 sayısına karşılık,
A
⊆
∞ n=1
I n ve
∞
(I n ) < ε
n=1
olacak şekilde aralıkların bir {I n : n 1} dizisi bulabiliyorsa bulabiliyorsa A kümesine ölçüsü sıfır olan küme ya da kısaca sıfır kümesi denir.
Ölçü Kavramı
Açıklama ... Üstteki tanımda aralıklar olarak açık, kapalı ya da yarı-açık aralılar alınabilir.Ayrıca, aralıkların ayrık olmaları gerekmez. Şu halde, tanımdan boş kümenin bir sıfır kümesi olduğu kolaylıkla görülebilir.
Örnek ... Tek-elemanlı kümeler sıfır kümesidir. Gerçekten, ε > 0 verilsin. I 1 = (x (I 1 ) =
ε
ε
− 4 , x + 4 ) ve n 2 için I ε
2
n
= [0, 0] alalım. Bu durumda,
< ε bulunur.
∞ (I ) = n n=1
Daha genel olarak, herhangi bir sayılabilir A = {x1 , x2 ,...} kümesi sıfır kümesidir. Aslında, aralıkları I n = [xn , xn ] alarak bunu göstermek mümkündür. Ancak biz bunu, A kümesini örten aralıkları açık aralıklar alarak göstereceğiz. Şimdi, ε > 0 verilsin ve A kümesini örten aralıların dizisini aşağıdaki şekilde alalım: ε 1 . 2 21 ε ε ε 1 I 2 = (x2 , x2 + ) , (I 2 ) = . 2 16 16 2 2 ε ε ε 1 I 3 = (x3 , x3 + ) , (I 3 ) = . 3 32 32 2 2 ... ... ε ε ε 1 I n = (xn , x , I . + ) ( ) = n n 2.2n 2.2n 2 2n I 1 = (x1
− 8ε , x1 + 8ε ) ,
(I 1 ) =
− −
−
∞
1 n=1 2n
= 1 olduğundan,
∞ (I ) = n n=1
ε
2
< ε bulunur.
Yukarıdaki örnekteki A kümesi, sayılabilir sayıda tek-elemanlı kümenin birleşimi şeklindedir. Tek-elemanlı kümeler sıfır kümelerdir ve A kümesi de sıfır kümesi olmaktadır. Bu durumu aşağıdaki teorem ile genelleştirebiliriz.
Teorem ... {N n }n1 sıfır kümelerin bir dizisi ise, bunların birlesimi olan ∞ N = n=1 N n kümesi de sıfır kümesidir. Sayılabilir kümeler sıfır kümeler olmakla birlikte, sayılamayan kümeler için aynı aynı şeyi şeyi söyle söyleye yemey meyiz. iz. Buna Buna karşın, arşın, sayıl sayılama amaya yann sıfır sıfır kümele kümeleri ri mevcut mevcuttur tur.. Bununl Bununlaa ilgili Cantor kümesi olarak bilinen aşağıdaki örneği verebiliriz.
Örnek ... [0, 1] aralığını üç eşit parçaya bölelim ve ortadaki ( 13 , 23 ) aralığını
atarak elde ettiğimiz kümeye C 1 diyelim. Bu durumda, C 1 = [0, 13 ] ∪ [ 23 , 1] olur. Daha sonra C 1 deki iki aralığı da üçer eşit parçaya bölelim ve ortalarındaki aralıkları atalım ve geri kalan kümeye C 2 diyelim. Bu durumda C 2 , uzunlukları 1 9 olan dört tane aralıktan oluşur. Bu şekilde devam ederek, herbirinin uzunluğu 1 n 3 olan 2 tane ayrık kapalı aralıkların birleşimi olan C n kümesini elde ederiz. n
.
Dış ölçü
Kolayca görülebileceği gibi, C n kümesinin toplam uzunluğu ( 23 )n dir. C n lerin arakesiti olan ∞ C =
C n
n=1
kümesine Cantor kümesi denir. Cantor kümesi sayılamazdır (Göster!) ve sıfır kümesidir. Gerçekten, verilen herhengi bir ε > 0 sayısına karşılık yeterince büyük n için ( 23 )n < ε dur. C ⊆ C n ve C n kümeleri, toplam uzunlukları ε dan küçük olan aralıkların sonlu bir dizisi olduğundan, C nin sıfır kümesi olduğu görülür.
.
Dış ölçü Tanım ... A ⊆ R alt kümesi verilsin. Z A =
{
∞
(I n ) : I n ler aralıklar, A
n=1
⊆
∞ n=1
I n
}
olmak üzere, m∗ (A) = inf Z A sayısına A kümesinin (Lebesgue) dış ölçüsü denir. Herhangi bir A ⊆ R alt kümesi için m∗ (A) 0 dır. Bazı A alt kümeleri için, A ∗ nın her örtülüşüne karşın ∞ n=1 (I n ) serisi ıraksak olabileceğinden, m (A) = ∞ olabilir. Z A kümesi 0 ile alttan sınırlıdır. Dolayısıyla, sözü edilen infimum daima mevcuttur. Eğer r ∈ Z A ise, [r, +∞] ⊆ Z A dır. Şu halde Z A , ya {+∞} ya da bir x real sayısı için (x, +∞] veya [x, +∞] aralığıdır. Dolayısıyla, Z A nın infimumu sadece x olur.
Teorem ... A olmasıdır.
⊆ R alt kümesinin sıfır kümesi olması için gyk m∗(A) = 0
Üstteki teoremdem, m∗ (∅) = 0, her x ∈ R için m∗ ({x}) = 0, m∗ (Q) = 0, ve daha genel olarak, X sayılabilir bir küme olmak üzere, m∗ (X ) = 0 olduğu görülür. Aşağıdaki teoremden görülebileceği gibi dış ölçü monotondur.
Teorem ... A ⊂ B ise, m∗ (A) m∗ (B ) dır. Teorem ... Bir aralığın dış ölçüsü uzunluğuna eşittir.
Ölçü Kavramı
Teorem ... Dış ölçü sayılabilir alttoplamsaldır; yani, herhangi bir {E n } kümeler dizisi için, m∗ (
∞
E n )
n=1
∞
m∗ (E n )
n=1
dir.
Problem ... m∗ (A) = 0 ise, her B için, m∗ (A ∪ B ) = m∗ (B ) dir. Gösteriniz. Problem ... Eğer m∗ (AB ) = 0 ise, m∗ (A) = m∗ (B ) dir. Gösteriniz. Önerme ... Her A ⊆ R alt kümesi ve her t ∈ R reel sayısı için, m∗ (A) = m∗ (A + t)
dir.
.
(Lebesgue anlamında) Ölçülebilir kümeler ve Lebesgue ölçüsü Tanım ... E ⊆ R alt kümesi verilsin. Her A ⊆ R için, m∗ (A) = m∗ (A ∩ E ) + m∗ (A ∩ E ) (Lebesgue anlamında anlamında)) ölçülebili ölçülebilirdir rdir denir ve E ∈ M ise, E kümesine (Lebesgue c
yazılır.
Herhangi A ve E kümeleri için daima A = (A ∩ E ) ∪ (A ∩ E c ) dır. Şu halde, dış ölçünün alttoplamsallık özelliğinden (bkz. Teorem ..), m∗ (A) m∗ (A
c
∩ E ) + m∗(A ∩ E )
olur. Dolayısıyla, bir kümenin ölçülebilirliğini aşağıdaki şekilde test etmemiz yeterli olacaktır: "E ∈ M olması için gyk her A ⊆ R için m∗ (A) m∗ (A ∩ E ) + m∗ (A ∩ E c ) olmasıdır."
Teorem ...
(i) Her sıfır kümesi kümesi ölçülebilir ölçülebilirdir. dir.
(ii) Her aralık ölçülebilirdir.
Teorem ...
(i)
R
∈ M dir.
.
Lebesgue ölçüsünün özellikleri
(ii) E ∈ M ise, E c ∈ M dir. (iii) Her n = 1, 2,... için, E n ∈ M ise, ∞ n=1 E n ∈ M dir. Dahası, her n = 1, 2,... için, E n ∈ M ve j = k için E j ∩ E k = ∅ ise, m∗ (
∞
E n ) =
n=1
∞
(..)
m∗ (E n )
n=1
dir. (Sayılabilir toplamsallık özelliği)
Açıklama ... Üstteki teorem bu bölümün en önemli teoremidir ve bundan sonrakilere de temel teşkil etmektedir. X herhangi bir küme olmak üzere X in alt kümelerinin bir alt ailesi C olsun. Eğer (i) X ∈ C , (ii) C ∈ C için C c ∈ C ve (iii) ∞ C 1 , C 2 ,... ∈ C için n=1 C n ∈ C ise, C ailesine bir σ -cismi denir. Dolayısıyla, teoremdeki (i), (ii) ve (iii) özelikleri ile birlikte M ailesi bir σ-cismidir. Bir σ cismi üzerinde tanımlı [0, ∞]-değerli µ fonksiyonu, ikişer ikişer ayrık kümeler için sayılabilir toplamsallık özelliğine sahip (yani ( ..) eşitliğini sağlıyor) ise, bu fonksiyona bir ölçü denir. Bu durumda, (X, C , µ) üçlüsüne bir ölçü uzayı denir. Şu halde, (R, M, m∗ ) bir ölçü uzayıdır. Önerme ... k = 1, 2,... için E ∈ M ise, E = ∞ E ∈ M dir. k
k=1
k
Tanım ... Herhangi bir E ∈ M için, m∗ (E ) yerine m(E ) yazacağız ve m(E ) ye de Lebesgue ölçüsü diyeceğiz. Dolayısıyla, m : M → [0, ∞] Lebesgue ölçüsü, ölçülebilir M σ-cismi üzerinde tanımlı sayılabilir toplamsal küme fonksiyonudur. Bir aralığın Lebesgue ölçüsü uzunluğuna eşittir. Bir sıfır kümenin Lebesgue ölçüsü sıfırdır.
.
Lebesgue ölçüsünün özellikleri
Lebesgue ölçüsü dış ölçünün kümelerin özel bir sınıfına kısıtlanışı olduğundan, dış ölçünün bazı özellikleri Lebesgue ölçüsü için de geçerlidir:
Önerme ... A, B ∈ M olsun. (i) A ⊂ B ise, m(A) m(B ) dir. (ii) A ⊂ B ve m(A) sonlu ise, m(B A) = m(B ) − m(A) dır. (iii) Her t ∈ R için, m(A + t) = m(A) dır.
> n için E i = ∅ alarak, Lebesgue ölçüsünün toplamsal olduğu sonucunu çıkarabiliriz: E i ler ikişer ikişer ∅
∈ M olduğundan, (..) de her i
Ölçü Kavramı
ayrık kümeler ise,
n
∈M
n
m(
E i ) =
n=1
m(E i ) n=1
dir.
Problem ... m(A ∪ B ) ve m(A ∪ B ∪ C ) için birer formül çıkarınız. Önerme ... A ∈ M ve m(AB ) = 0 ise, B ∈ M ve m(A) = m(B ) dir.
Bilindiği gibi R deki her açık küme sayılabilir sayıda açık aralıkların birleşimi olarak yazılabilir. Dolayısıyla, R deki açık kümeler, Lebesgue anlamında ölçülebilirdir çünkü M ailesi aralıkları içerir ve sayılabilir birlerşimler altında kapalıdır. Aşağıdaki theorem yardımı ile,herhangi bir A ∈ M kümesinin Lebesgue ölçüsüne, A kümesini içeren açık kümeler dizisinin ölçüleri ile üstten yaklaşabiliriz.
Teorem ... (i) A ∈ M olsun. Herhangi bir ε > 0 sayısına karşılık A kümesini kapsayan öyle bir O açık kümesi vardır ki m(O) m∗ (A) + ε dur. Şu halde, herhangi bir E ∈ M için E kümesinin kümesinin kapsayan öyle bir O açık kümesi vardır ki m(O E ) < ε dur. (ii) Herhangi Herhangi bir A ∈ M için, açık kümelerin On dizisi vardır ki A
⊂
On , n
On ) = m∗ (A)
m( n
dır.
Teorem ... Her n 1 için An ∈ M olsun. Bu durumda, (i) Eğer her n 1 için An ⊂ An+1 ise, m(
An ) = lim m(An ) n
n
→∞
dir. (ii) Eğer her n 1 için An+1 ⊂ An ve m(A1 ) sonlu ise, m(
An ) = lim m(An ) n
dir.
n
→∞
.
Borel kümeleri
Teorem ... (i) m sonlu toplamsaldır. Yani, ikişer ikişer ayrık (Ai )ni=1 kümeleri için, m( ni=1 Ai ) = ni=1 m(Ai ) dir. (ii) m, boş kümede süreklidir. Yani (Bn ), boş kümeye doğru azalan bir dizi ise, m(Bn ), sıfıra doğru azalır.
.
Borel kümeleri
Teorem ... σ -cisimlerinden oluşan bir ailenin elemanlarının arakesiti de bir σ-cismidir. Tanım ...
B = {F : F , tüm aralıkları içeren bir σ -cismi} ailesi tanımlansın. Bu durumda B, üstteki teoremden, tüm aralıklar tarafından üretilen σ cismidir. B ailesinin elemanlarına Borel kümeleri denir. B ailesi, tüm aralıkları içeren en küçük σ -cismidir. Daha genel olarak, A kümelerin bir ailesi olmak üzere, eğer G := {F : F , A ailesini kapsayan bir σ -cismi} ise, G ailesine A tarafından üretilen σ-cismi denir.
Örnekler . Aşağıdaki örnekler,
B σ-cisminin kapanış özelliklerinin,
deki bilinen kümelerin B ye ait olması ile ilgili, nasıl kullanılabileceklerini göstermektedir. R
(i) Tüm aralıklar B ye aittir ve B bir σ -cismi olduğundan, tüm açık kümeler B ye aittir çünkü herhangi bir açık küme (açık) aralıkların sayılabilir bir birleşimidir. (ii) Sayılabilir kümeler Borel kümeleridir çünkü her sayılabilir küme [a, a] şeklindeki kapalı aralıkların sayılabilir bir birleşimidir. Dahası, Doğal sayılar ve rasyo rasyonel nel sayıl sayılar ar Borel Borel kümele kümelerid ridir. ir. Şu halde, halde, Borel Borel kümele kümelerin rinin in tümley tümleyenenleri de Borel kümeleri olduğundan, irrasyonel sayılar da Borel kümesidir. Benzer şekilde, sonlu ve tümleyeni sonlu olan kümeler de Borel kümeleridir.
Teorem ... Eğer tüm aralıkların ailesi yerine tüm açık aralıkların, tüm kapalı aralıkların, (a, ∞) (veya [a, ∞) veya (−∞, b) veya (−∞, b]) şeklindeki aralıkların, tüm açık kümelerin, ya da tüm kapalı kümelerin ailesini alırsak, bunlar tarafından üretilen σ-cismi B ile aynı olur. Problem ... (a, b] (veya [a, b)) şeklin şeklindek dekii aralık aralıklar ların ın ailesin ailesinin in de Borel Borel kümele kümelerin rin σ -cismini ürettiğini gösteriniz.
Ölçü Kavramı
Açıklama ...
M, tüm aralıkları içeren bir σ-cismi olduğundan ve B, bu şekildeki en küçük σ-cismi cismi olduğundan, B ⊂ M dir. Yani, R deki her Borel kümesi Lebesgue anlamında ölçülebilirdir. Dolayısıyla, bu şekildeki σ cisimlerinin aynı olup olmadığı sorusu ortaya çıkar. Aslında B , M nin öz alt kümesidir. Teorem .. (ii) den, verilen herhangi bir E ∈ M için, O ler açık O olacak şekilde öyle bir B ⊃ E Borel kümesi kümeler olamak üzere B = bulabiliriz ki m(E ) = m(B ) olur. Dahası, m(B E )m(B E ) = 0 dır. Böylece n
n
n
m, ölçülebilir E kümesi ve inşa ettiğimiz B Borel kümesi arasındaki farkı ayırt edemez. Gördüğümüz gibi, verilen bir Lebesgue anlamında ölçülebilir E kümesine karşılık daima bir B Borel kümesi bulabiliriz ki E B simetrik farkı sıfır kümesi olur. E B olduğunu biliyoruz. Ayrıca, açıktır ki, sıfır kümelerin
∈M
alt kümeleri de sıfır kümelerdir ve dolayısıyla ölçülebilirdirler yani M dedir. Bunula birlikte, buradan, her sıfır kümesinin bir Borel kümesi olduğu sonucunu çıkaramayız (eğer B tüm sıfır kümelerini içermiş olsaydı, Teorem .. (ii) den, B = M olurdu).
Tanım ... (X, F , µ) bir ölçü uzayı olsun. Eğer µ(F ) = 0 olan her F ∈ F ve her N ⊂ F için N ∈ F (ve dolayısıyla µ(N ) = 0) ise, bu ölçü uzayına tamdır denir.
Tanım ... Verilen bir µ ölçüsüne göre bir G σ-cisminin tamamlanışı, G yi
içeren en küçük dir.
F σ-cismidir öyle ki eğer N ⊂ G ∈ G ve µ(G) = 0 ise, N ∈ F
Bu tanımlardan yola çıkarak, M, R üzerindeki en küçük σ -cismi olup, m ölçüsüne göre B nin tamamlanışı olur. Ayrıca, (R, M, m) ölçü uzayı tam olmakla birlikte, (R, B , m) ölçü uzayı tam değildir.
Önerme ... Bir G σ-cisminin tamamlanışı,
{G ∪ N : G ∈ F , N ⊂ F ∈ F , µ(F ) = 0} şeklindedir. Bu Önermeden yola çıkarak, µ ölçüsünü F üzerindeki bir µ ölçüsüne, G ∈ G için µ(G ∪ N ) = µ(G) yardımıyla, tek bir şekilde genişletebiliriz.
Teorem ...
M, B nin tamamlanışıdır. Teorem ... E ∈ M ise, herhangi bir ε > 0 sayısı için öyle bir kapalı F ⊂ E alt kümesi vardır ki m(E F ) < ε olur. Böylece, F ler kapalı kümeler F olacak şekilde öyle bir B ⊂ E alt kümesi vardır ki olmak üzere, B = n
m(E B ) = 0 olur.
n
n
.
Borel kümeleri
Problem ... E ∈ M olsun. Aşağıdakilerin eşdeğer olduğunu gösteriniz. (i) Verilen bir ε > 0 sayısı için öyle bir açık O ⊃ E kümesi vardır ki m∗ (O E ) < ε olur. (ii) Verilen bir ε > 0 sayısı için öyle bir kapalı F ⊂ E kümesi vardır ki m∗ (E F ) < ε olur.
Tanım ... µ,
üzerinde tanımlı negatif olmayan sayılabilir toplamsal küme fonksiyonu olsun. Eğer her B Borel kümesi için
B
µ(B ) = inf µ(O) : B
{
⊂ O (açık)}
ve µ(B ) = sup µ(F ) : F (kapalı)
{
ise, µ fonsiyonuna düzenli Borel ölçüsü denir.
⊂ B}
Teorem .. ve Teorem .. de, bu ilişkilerin Lebesgue ölçüsü için sağlandığını gösterdik. Düzenli Borel ölçüleri ile ilgili diğer örnekleri daha ileride göreceğiz.
Ölçülebilir Fonksiyonlar
.
Lebesgue ölçülebilir fonksiyonlar Tanım ... E ölçülebilir bir küme olsun. f : E → R fonksiyonu verilsin. Herhangi bir I ⊆ R aralığı için f −1 (I ) = {x ∈ R : f (x) ∈ I } ∈ M ise, f fonksiy(Lebesgue-) ölçülebilir ölçülebilir denir. Eğer f −1 (I ) ∈ B ise, f fonksiyonuna onuna (Lebesgue-) Borel (ölçülebilir) fonksiyonu denir.
Daha önceden bildiğimiz gibi ölçülebilirdir.
B⊂M
olduğund olduğundan, an, her Borel fonksiy fonksiyon onuu
Teorem ... Aşağıdakiler eşdeğerdir: (i) f ölçülebilir fonksiyon, (ii) Her a ∈ R için f −1 ((a, ∞)) ölçülebilirdir, (iii) Her a ∈ R için f −1 ([a, ∞)) ölçülebilirdir, (iv) Her a ∈ R için f −1 ((−∞, a)) ölçülebilirdir, (v) Her a ∈ R için f −1 ((−∞, a]) ölçülebilirdir.
Örnekler . Aşağıdaki fonksiyonlar ölçülebilirdir: (i) Sabit fonksiyonlar. (ii) Sürekli fonksiyonlar. (iii) Bir A kümesinin işaret fonksiyonu.
Problem ... Her monoton fonksiyonun ölçülebilir olduğunu gösteriniz. Problem ... f ölçülebilir bir fonksiyon ise, her a ∈ R için {x : f (x) = a} (seviye kümesi) kümesinin ölçülebilir olduğunu gösteriniz.
.
Ölçülebilir Fonksiyonlar
Ölçülebilir fonksiyonların özellikleri
Teorem ... Ölçülebilir bir E kümesi üzerinde tanımlı reel-de reel-değerli ğerli tüm ölçülebilir fonksiyonların kümesi bir vektör uzayıdır ve çarpma işlemi altında kapalıdır. kapalıdır. Yani, f ve g ölçülebilir fonksiyonlar ise, f + g ve f g ölçülebilirdirler. Üstteki teoremin basit bir ispatını aşağıdaki lemma yardımı ile kolayca yapabiliriz. Bunun için, F (u, v ) = u + v ve F (u, v ) = uv almamız yeterlidir.
Lemma ... F : R × R → R sürekli bir fonksiyon olsun. f g sürekli fonksiyonlar ise, h(x) = F (f (x), g (x)) ölçülebilirdir. Üstteki teoremin bir uygulaması olarak f A çarpımını gözönüne alabiliriz. f ölçüle ölçülebil bilir ir bir fonksi fonksiyyon ve A ölçüle ölçülebil bilir ir bir küme küme ise, ise, f A çarpım çarpımıı da ölçüle ölçülebil bilird irdir. ir. Ayrıca f A fonksiyonu, f (x) ; 0 ;
f A (x) =
x A x/A
∈ ∈
şeklindedir. Bu fonksiyonu A = {x ∈ E : f (x) > 0} kümesine uygularsak, ölçülebilir bir fonksiyonun pozitif kısmı olan f + fonksiyonunun da ölçülebilir olduğu görülür; burada f + (x) =
f (x) ; f (x) > 0 f (x) 0 0 ;
şeklindedir. Benzer şekilde, ölçülebilir f fonksiyonunun negatif kısmı olan f − fonksiyonu da ölçülebilirdir; burada f − (x) =
f (x) > 0 0 ; f (x) ; f (x) 0
−
şeklindedir.
Önerme ... E ⊂ R ölçülebilir olsun. (i) f : E → R fonksiyonunun ölçülebilir olması için gyk f + ve f − fonksiyonlarının ölçülebilir olmasıdır. (ii) f ölçülebilir ise, |f | ölçülebilirdir; ancak tersi her zaman doğru değildir.
.
Ölçülebilir fonksiyonların özellikleri
Problem ... f ölçülebilir fonksiyon ise, f nin trankasyonu olan f a (x) =
a ; f (x) ;
f (x) > a f (x) a
fonksiyonun da ölçülebilir olduğunu gösteriniz.
Problem ... Karesi ölçülebilir olup kendisi kendisi ölçülebilir olmayan olmayan bir fonksiyon fonksiyon örneği veriniz.
Tanım ... f : E → R ölçülebilir fonksiyon olsun. (i) Esaslı supremum : ess sup f = inf {z : f z h.h.} (ii) Esaslı infimum : ess inf f = sup{z : f z h.h.}
∞ olabilir. Eğer ess sup f = −∞ ise, f = −∞ h.h. olur çünkü esaslı supremum tanımından her n ∈ N için f −n h.h. dir. Eğer ess sup f < ∞ ve A = {x : ess sup f < f (x)} ise, n ∈ N için A = {x : ess sup f < f (x) − 1 } ess sup f = +
n
n
tanımlansın. Bu durumda, her n için An ler sıfır kümeleridir, ve dolayısıyla A = n An de sıfır kümesidir. Şu halde, f ess sup f h.h. bulunur. Buradan yola çıkarak aşağıdaki önermeyi kolaylıkla ispatlayabiliriz.
Önerme ... f ve g ölçülebilir fonksiyonlar ise, ess sup(f + g ) ess sup f + ess sup g
dir.
Problem ... f fonksiyonu ölçülebilir ise, ess sup f sup f olduğunu gösteriniz. Ayrıca, f sürekli ise, bunların eşit olacağını ispatlayınız.
Lebesgue İntegrali
.
Tanım ϕ : R → R, en fazla sayılabilir sayıda değere sahip yani değer kümesi {a1 , a2 ,...} biçiminde olan bir fonksiyon olsun. Eğer Ai := ϕ−1 ({ai }) = {x : ϕ(x) = ai } ,
i1
kümeleri ölçülebilir ise, ϕ fonksiyonuna basit fonksiyon denir. Burada dikkat edilecek olursa Ai ∈ M kümeleri ikişer ikişer ayrıktır ve birleşimleri R dir. Açıktır ki, ∞ ϕ(x) =
ai A (x) i
i=1
biçimde biçimde yazılab yazılabilir ilir ve dolayısıy dolayısıyla, la, Teorem eorem .. den, den, her basit basit fonksi fonksiyyon ölçüle ölçülebil bilird irdir. ir.
Tanım ... Basit ϕ fonksiyonunun ölçülebilir bir E kümesi üzerinde Lebesgue integrali ϕdm = E
∞
ai m(Ai
i=1
∩ E )
biçimindedir. Burada, m(Ai ) = +∞ olabileceğin olabileceğinden den dolayı, 0 × ∞ = 0 olduğu kabul edilmektedir.
Örnek ... Q (x) =
1 ; x 0 ; x
∈Q ∈ RQ
işaret fonksiyonu basit fonksiyondur. Ayrıca,
Q
sıfır kümesi olduğundan,
Q dm = 1.m(Q) + 0 .m(R Q) = 0 R
bulunur. Daha önceden bilidiğimiz gibi bu fonksiyon Riemann integrallenebilir değil idi. Benzer şekilde, C Cantor kümesi olmak üzere, C fonksiyonunun integrali yine sıfırdır.
Lebesgue İntegrali
Problem ... Aşağıdak Aşağıdakii fonksiy fonksiyonla onların rın E üzerinde üzerinde integra integralleri llerini ni hesapla hesaplayını yınız. z. (a) ϕ(x) = [|x|], E = [0, 10], (b) ϕ(x) = [|x2 |], E = [0, 2], (c) ϕ(x) = [| sin x|], E = [0, 2π ], yılında Henri Lebesgue, basit fonksiyonlar için verilen integral kavramını daha genel fonksiyonlara genişletmek için, sınırlı bir f fonksiyonunun tanım bölgesini çok sayıda küçük aralıklara parçalamak yerine, f in değer bölgesini Ai = [ai−1 , ai ) biçiminde sonlu sayıda aralığa parçaladı ve f in grafiği olan eğrinin altında kalan alana, sırasıyla,
n
ai m(f −1 (Ai ))
S (n) = i=1
üst toplamı ve
n
s(n) = i=1
ai−1 m(f −1 (Ai ))
alt toplamı ile yaklaştı; bu durumda, integrallenebilir fonksiyonlar, Riemann integralinde olduğu gibi, tüm üst toplamların infimumunun tüm alt toplamların supremumuna eşit olması özelliğine sahip olmuş oldu.
Tanım ... Herhangi bir negatif olmayan ölçülebilir f fonksiyonunun E ∈ M kümesi üzerinde Lebesgue integrali f dm = sup Y (E , f ) E
ile tanımlanır. Burada, Y (E , f ) =
{
ϕdm : 0 ϕ f , ϕ basit fonksiyon
}
E
dir. Eğer E = [a, b] ise, bu durumda integrali b
b
f (x)dm(x), veya
fdm, a
b
a
f (x)dx a
.
Tanım
şeklinde yazarız. f dm notasyonu, R f dm anlamında kullanılacaktır. kullanılacaktır. Açıktır ki, A ∈ M ve g negatif olmayan ölçülebilir bir fonksiyon olmak üzere, eğer Ac üzerinde g = 0 ise, g den küçük kalan negatif olmayan her basit fonksiyon Ac üzerinde yine sıfırdır. Bu durumu g = f .A eşitliğine uygularsak, aşağıdaki önemli eşitliği elde ederiz: f dm =
f A dm.
A
Problem ... f : [0, 1] → R fonksiyonu, Cantor kümesi üzerinde f (x) = 0 ve [0, 1] aralığından çıkarılarak çıkarılarak elde edilen herbirinin uzunluğu 31 olan aralıklardaki her x için f (x) = k olacak şekilde tanımlansın. 01 f dm integralini integralini hesaplayınız. hesaplayınız. k
Önerme ... Basit fonksiyonlar için, Tanım .. ve Tanım .. tanımları birbirine denktir. Teorem ... ϕ ve ψ basit fonksiyonlar olsun. (i) Eğer ϕ ψ ise,
E ϕdm
E ψdm ,
(ii) Eğer A, B ∈ M ve A ∩ B = ∅ ise, ϕdm = A B
(iii) Her a > 0 sabiti sabiti için,
ϕdm + A
∪
E aϕdm
=a
ϕdm, B
.
E ϕdm
Teorem ... f ve g negatif olmayan ölçülebilir fonksiyonlar olsun. (i) Eğer A ∈ M ve A üzerinde f g ise,
A
f dm
A
gdm .
(ii) Eğer A, B ∈ M ve B ⊆ A ise, f dm B
(iii) a 0 için,
A
(iv) Eğer A sıfır kümesi ise,
A
A
f dm.
A
f dm = 0.
afdm = a
fdm.
(v) Eğer A, B ∈ M ve A ∩ B = ∅ ise, f dm = A B
∪
f dm + A
fdm. B
Lebesgue İntegrali
Problem ... Lebesgue integrali için ortalama değer teoremini ispatlayınız. Yani, x ∈ A için a f (x) b ise, a.m(A)
A
f dm b.m(A).
Teorem ... f negatif olmayan ölçülebilir bir fonksiyon olsun. f = 0 h.h. olması için gyk R f dm = 0 olmasıdır. Önerme ... f ve g ölçülebilir ölçülebilir fonksiyon fonksiyonlar lar olsun. olsun. Bu durumda, durumda, f g h.h.
f dm
⇒
gdm.
Önerme ... f : R → R fonksiyonunun ölçülebilir olması için gyk f + ve f − fonksiyonlarının ölçülebilir olmasıdır.
.
Monoton yakınsaklık teoremleri Teorem ... (Fatou Lemması) {f } ler negatif olmayan ölçülebilir fonksiyn
onların bir dizisi ise,
lim lim inf inf
f n dm
n
→∞
E
(liminf f n )dm. E
n
→∞
Örnek ... f n = [n,n+1] olsun. Her n için f n dm = 1 ve lim lim inf inf n→∞ f n = 0(= limn→∞ f n ) olduğundan,
( lim f n )dm = lim
n
→∞
f n dm
n
→∞
olur. Yani Fatou lemmasındaki eşitsizlik kesin büyük olabilir!
Örnek ... Üstteki örnekte olduğu gibi, kesin büyük olacak şekilde öyle bir f n fonksiyon dizisi inşa ediniz ki her bir f n , [0, 1] aralığının dışında sıfır olsun.
Teorem ... (Monoton Yakınsaklık Teoremi) {f n } ler negatif olmayan ölçülebilir fonksiyonların bir dizisi olsun. Eğer {f n (x) : n 1}, f (x) fonksiyonuna doğru her x için monoton olarak artıyorsa; yani, noktasal olarak f n f ise, lim
n
→∞
dir.
f n (x)dm = E
f dm E
.
İntegrallenebilir İntegrallenebilir fonksiyonlar fonksiyonlar
Sonuç ... {f n } ler ve f negatif olmayan ölçülebilir fonksiyonlar olsun. Eğer f n ler f e doğru hemen hemen her yerde artıyorsa, her ölçülebilir E kümesi için E f n dm E f dm olur. Önerme ... Herhangi bir negatif olmayan ölçülebilir f fonksiyonu için basit fonsiyonların negatif negatif olmayan bir sn dizisi vardır ki sn s dir.
.
İntegrallenebilir fonksiyonlar E ∈ M ve f herhangi bir ölçülebilir fonksiyon olsun. Eğer
+
E f
dm ve
integralleri sonlu ise, f fonksiyonuna integrallenebilir denir ve f + dm
f dm = E
E
−
− dm
E f
f − dm E
ile tanımlanır. E ∈ M kümesi üzerinde integrallenebilir tüm fonksiyonların kümesi L1 (E ) ile gösterilir.
Problem ... (a) E = (0, 1) ve (b) E = (1, ∞) kümeleri üzerinde hangi α lar için f (x) = xα fonksiyonu L1 (E ) dedir?
Problem ... Ölçülebilir f fonksiyonunun integrallenebilir olması için gyk fonksiyonunun un integrallenebilir integrallenebilir olduğunu olduğunu gösteriniz. Ayrıca, |f | fonksiyonun E
|f |dm =
f + dm + E
f − dm E
olduğunu gösteriniz.
Problem ... f ve g integrallenebilir fonksiyonlar olsun. Bu durumda, f g
⇒
f dm
gdm.
Teorem ... f ve g integrallenebilir fonksiyonlar ise, f + g ölçülebilirdir. Ayrıca, (f + g )dm = E
f dm + E
gdm E
dir.
Önerme ... f integr integral allenebilir lenebilir fonksiyon ve c ∈ R ise, dir.
E (
cf )dm = c
E
f dm
Teorem ... Herhangi bir ölçülebilir E kümesi için, yıdır.
Lebesgue İntegrali
L1(E ) bir vektör uza-
Teorem ... Her A ∈ M için E f dm E gdm ise, f g h.h. dir. Dahası, Dahası, eğer her A ∈ M için E f dm = E gdm ise, f = g h.h. dir. Önerme ... Aşağıdakiler doğrudur: (i) İntegrallenebilir bir fonksiyon hemen hemen her yerde sonludur. (ii) A ∈ M ve ölçülebilir f fonksiyonu için, m(A). inf f A
f dm m(A). sup f A
A
dir. (iii)
|
f dm
| |f |dm dir.
(iv) f 0 ve f dm = 0 ise, f = 0 h.h. dir.
Teorem ... f 0 ise, A →
.
A
f dm bir ölçüdür.
Sınırlı yakınsaklık teoremi
Örnek ... f n (x) = n.[0, ] (x) ise, her x için f n (x) → 0 ve fakat f n (x)dx = 1
n
1 dir.
Teorem ... (Sınırlı Yakınsaklık Teoremi) E ∈ M ve {f n } ler ölçülebilir fonksiyonların bir dizisi olsun öyle ki g , E üzerinde integrallenebilir fonksiyon olmak üzere, E üzerinde |f n | g h.h. olsun. Eğer f = limn→∞ f n h.h. ise, f , E üzerinde integrallenebilirdir ve lim
n
→∞
f n (x)dm = E
f dm E
dir.
Örnek ... Üstteki örneğe geri dönersek, f n (x) = n.[0, ] (x) ise, f n den daha 1
n
büyük kalacak integrallenebilir bir g fonksiyonu bulunumaz. supn f n (x) = g (x) 1 olup, ( k+1 , k1 ] üzerinde g (x) = k olacağından, g (x)dx =
∞ k=1
1 k( k
−
1 )= k+1
∞ k
1 =+ k+1 =1
∞
.
Sınırlı yakınsaklık teoremi
bulunur. Buna karşın, 0 < x < 1 için f n (x) =
n sin x 1 + n2 x
√
fonksiyonunu gözönüne alalım. Açıktır ki, f n (x) → 0 dır. limn f n dm = 0 olduğunu olduğunu gösterebilmemiz gösterebilmemiz için, f n yi domine eden integrallenebilir bir g fonksiyonu bulmamız gereklidir. x n n 1 1 √ √ √ √ √ =: g (x) | 1 +n sin | n2 x n2 x n x x 1 + n2 x
Burada g (x) = √ 1x fonksiyonunun [0, 1] üzerinde integrallenebilir olduğu açıktır.
Önerme ... f integrallenebilir; gn = f . [−n,n] ; hn = min(f , n) olsun. Bu durumda, |f − gn |dm → 0 ve |f − hn |dm → 0 olur.
Problem ... Sınırlı yakınsaklık teoremini kullanarak, f n (x) = üzere,
∞
lim
n
→∞
√
x
1+nx3
olmak
f n (x)dx
1
limitini hesaplayınız.
Problem ... ∞ n2 xe−n
2
x2
dx
1 + x2
a
integralinin integralinin yakınsaklığını yakınsaklığını a > 0 ve a = 0 için ayrı ayrı inceleyiniz.
Problem ...
∞ 0
1 (1 + nx )n x
1
dx
n
integralinin yakınsaklığını inceleyiniz.
Önerme ... f n ler negatif olmayan ölçülebilir fonksiyonların bir dizisi olmak üzere, ∞ n=1
dir.
f n dm =
∞ n=1
f n dm
Lebesgue İntegrali
∞ f (x) f dm Teorem ... (Beppo-Levi Teoremi) ∞ | | sonlu ise, k k=1 k=1 k serisi hemen hemen her x için yakınsak olup, bu toplam integrallenebilirdir ve ∞
f k dm =
k=1
∞
f k dm
k =1
dir. 1 log x 2 ∞ kxk−1 = 1 olduğun oldu ğunu u hatırlarsa hatır larsak, k, 0 ( 1−x ) dx k =1 (1−x) integralini hesaplayabilmek için Beppo-Levi teoremini kullanabiliriz. n 1 ve 0 < x < 1 için f (x) = nxn−1 (log x)2
Örnek ... Analiz’den
2
n
dizisini tanımlayalım. tanımlayalım. Bu durumda, f n 0 ve f n ler sürekli olup ölçülebilirdirler ve ∞ f n (x) = (
n=1
log x 2 ) = f (x) 1 x
−
sonlu olur. Beppo-Levi teoreminden bu toplam integrallenebilirdir ve ∞ 1 ∞ 1 π2 1 f (x)dx =
0
f n (x)dx = 2
n=1
0
2 n n=1
=
3
bulunur.
Problem ... Aşağıdakiler problemleri çözünüz. a n (a) a ∈ R nın hangi değeri için ∞ kuvvet serisi [−1, 1] aralığında n=0 n x integrallenebilir bir fonksiyon tanımlar? (b) 0∞ e x−1 dx = π6 olduğunu gösteriniz. 2
x
.
Riemann ile Lebesgue integrali arasındaki ilişki
Bu kısımda Riemann integrali ile Lebesgue integrali arasındaki ilişki irdelenecektir.
Önerme ... f : [a, b] → R fonksiyonu sürekli ise, f integrallenebilirdir ve x F (x) = a f dm biçiminde tanımlanan F fonksiyonu a < x < b için türevlenebilir türevlenebilir olup, F = f dir.
.
Riemann ile Lebesgue integrali arasındaki ilişki
Önerme ... f : [a, b] → R fonksiyonu sınırlı olsun.
(i) f fonksiyonunun Riemann-inte Riemann-integrallenebilir grallenebilir olması için gyk f fonksiyonunun [a, b] ar aralığı alığı üzerinde Lebesgue ebesgue ölçüsüne göre hemen hemen her yerde sürekli olmasıdır.
(ii) [a, b] aralığı üzerinde Riemann-integrallenebilir fonksiyonlar, [a, b] aralığı üzerinde Lebesgue ölçüsüne göre integrallenebilirdir ve bu integraller birbirine eşittir.
Örnek ... [0, 1] aralığı üzerinde, 1
f (x) =
; x= m n 0 ; x/Q n
∈
∈Q
Dirichlet fonksiyonu hemen hemen her yerde süreklidir, dolayısıyla Riemannintegrallenebilirdir ve böylece f in Riemann integrali Lebesgue integraline eşittir. Ayrıca integralin sonucu sıfırdır zira f , Q sıfır kümesi dışında sıfırdır. Buna karşın, [0, 1] aralığı üzerinde, 1 ; x Q 0 ; x/Q
∈ ∈
g (x) =
fonksiyonunun Riemann integrali hiçbir aralıkta yoktur zira bu fonksiyonun süreksizlik noktalarının kümesi [0, 1] aralığıdır ve bu aralığın ölçüsü > 0 dır. Bununl Bununlaa birlik birlikte, te, hatırl hatırlana anacağ cağıı gibi, gibi, g (x) fonksiy fonksiyon onun unun un Lebesgue Lebesgue integra integrali li vardır ve değeri sıfıra eşittir.
Örnek ... (Birinci tür genelleştirilmiş Riemann integralleri) Analizden hatırlanacağı gibi birinci tür genelleştirilmiş Riemann integralleri, aşağıda sağdaki limitler var olduğu sürece, b ∞ f (x)dx :=
−∞
a
li m
→−∞,b→∞
f (x)dx
a
biçiminde tanımlanır. Şimdi f : R → R fonksiyonu fonksiyonu için birinici tür genelleştirilmiş Riemann integrali var olsun. Bu durumda ab f (x)dx Riemann integrali her sınırlı [a, b] aralığı için var olur, dolayısıyla f , her bir [a, b] aralığı üzerinde (ve böylece R üzerinde) hemen hemen her yerde sürekli olur. Ancak bunun tersi doğru değildir örneğin, f (x) =
x 1 ; 1 ; x
−
∈ [n, n + 1) ve n çift ∈ [n, n + 1) ve n tek
Lebesgue İntegrali
fonksiyonu hemen hemen her yerde süreklidir (ve böylece R üzerinde Lebesgue integrallenebilirdir) fakat üstteki limitler yoktur ve dolayısıyla genelleştirilmiş Riemann integrali yoktur. Daha genel olarak, f ∈ L 1 (R) ise, üstteki limitler vardır ancak bunun tersi her zaman doğru değildir. Örneğin, (−1)n n+1
f (x) =
0 ;
; x [n, n + 1), n 0 x<0
∈
fonksiyonunu gözönüne alalım. f fonksiyonunun genelleştirilmiş Riemann integrali vardır çünkü ∞ ∞ (−1)n f (x)dx =
−∞
serisi yakınsaktır. Buna karşın, f∈ / L1 (R) dir.
n=0 R
n+1
∞
|f |dm =
1
n=0 n+1
serisi ıraksak olduğundan
Teorem ... f 0 ve f in birinci tür genelleştirilmiş Riemann integrali varsa, f in R üzerinde Lebesgue integrali vardır ve bu integral genelleştirilmiş integrale eşittir. Problem ... f (x) =
sin x
0) fonksiyonunun R üzerinde genelleştirilmiş (x = genelleştirilmiş Riemann integralinin var olduğunu ancak Lebesgue integralinin var olmadığını gösteriniz. x
Örnek ... (İkinci tür genelleştirilmiş Riemann integrali) Yine Analizden hatırlanacağı gibi ikinci tür genelleştirilmiş Riemann integralleri, aşağıda sağdaki limitler var olduğu sürece, b
b
f (x)dx ve
f (x)dx := lim a
→0−
ε
b
a+ε
a
b ε
f (x)dx := lim +
→0
ε
biçiminde tanımlanır.
. .
Çeşitli Problemler a) Her t 0 için lim n ln(1 +
n
olduğunu gösteriniz.
→∞
t )=t n
−
a
f (x)dx
.
Çeşitli Problemler
b)
n
lim
(1 +
n
→∞
0
t n −2x dx = 1 ) e n
olduğunu gösteriniz. .
a) 1
−
0
olduğunu gösteriniz. b) p > −1 ise,
1
ln x 2 π2 ( ) dx = 1 x 3
x p ln x dx = 1 x
−
0
−
1 ( p + n)2
n
olduğunu gösteriniz. . f : [0, 1]
→ R fonksiyonu, f (x) =
0 ; x n ; x
∈Q ∈RQ
ile tanımlansın. Burada n sayısı, 0 ile 1 arasında yer alan x irrasyonel sayısının virgülden sonraki sıfır sayısını göstermektedir. Açıkça görülmektedir ki bu fonksiyon basit değildir. Bu fonksiyona basit ölçülebilir fonksiyonları onlarınn artan artan bir dizisi dizisi ile yaklaşı aklaşılab labile ileceğ ceğini ini göster gösterini iniz. z. Burada Buradan, n, f fonksiy1 onunun ölçülebilir olduğunu gösteriniz. Daha sonra, 0 f (x)dx integralini hesaplayınız. . f , (X,
bir F , µ) ölçü uzayı üzerinde tanımlı negatif olmayan ölçülebilir fonksiyon olsun. A ⊆ F için, φ(A) = f dµ tanımlansın. {E }∞=1 ⊂ F , n n
A
ikişer ikişer ayrık kümelerin bir dizisi olsun. f n (x) =
f (x) ; 0 ;
x E n x / E n
∈ ∈
tanımlansın. Her x ∈ ∞ n=1 E n için, f (x) = φ(
∞
n=1
E n ) =
∞
n
f n (x) olsun. Bu durumda,
φ(E n )
n=1
olduğunu, yani φ nin σ -toplamsal olduğunu, gösteriniz.
.
Lebesgue İntegrali
Fatou lemmasında, 1 ; x n < n+1 0 ; diğer durumlar
gn (x) =
olarak alındığında eşitsizliğin kesin olacağını gösteriniz. .
.
a) a, b ∈ R için aşağıdakileri gerçekleyiniz. (i) max(a + b, 0) max(a, 0) + max(b, 0). (ii) min(a + b, 0) min(a, 0) + min(b, 0). b) f , g : X → R fonksiyonları için aşağıdakileri gerçekleyiniz. (i) (f + g )+ f + + g + . (ii) (f + g )− f − + g − . Aşağıdaki her iki durum için de f fonksiyonunun ∞ n f dµ = lim f dµ →∞ n 0 0
eşitliğini gerçeklediğini gösteriniz. a) f ∈ L1 ([0, ∞)) ise; b) f , [0, ∞) aralığı üzerinde negatif olmayan ölçülebilir fonksiyon ise; . Her x > 0 için, e−t tx−1 ∈ L1 ((0, ∞)) olduğunu olduğunu gösteriniz. .
Gamma fonksiyonu , x > 0 için
∞
Γ(x) =
e−t tx−1 dµ
0
biçiminde tanımlanır. Gauss Formülü olarak bilinen, −x ∈/ N ∪ {0} için, n
Γ(x) = lim n
→∞
(1 0
−
t n x−1 n! nx dµ = lim ) t n→∞ x(x + 1)...(x + n) n
eşitliğinin gerçeklendiğini gösteriniz. [Yol gösterme: . sorudaki fikirleri kullanabilirsiniz.] . a > 1
için, ∞ xa−1 0
olduğunu gösteriniz.
ex
−1
dµ = Γ(a).
∞
1 a n n=1
.
Çeşitli Problemler
.
a) ∞
lim
n
→∞
x −n x ) sin( )dµ =? n n
(1 +
0
b) ∞ 1 + nx
lim
n
→∞
.
0
(1 + x)n
dµ =?
√ ∞ x − a) 0 e dµ = 2π olduğu bilindiğine göre, 2
∞
2
sec hx dµ =
0
∞
√
π
n=0
( 1)n 2n + 1
√ −
olduğunu gösteriniz.
b) ∞
( 1)n−1 n dµ = ex + 1 n2 + 1 n=1
∞ cos x 0
−
olduğunu gösteriniz. . 0 < b < a
için,
∞ sinh bx 0
.
sinh ax
dµ =?
Bir A ⊂ Rn kümesinin Dirac ölçüsü δ (A) =
1 ; 0 A 0 ; 0 /A
∈ ∈
ile tanımlanır. Bu ölçüye göre Rn de her kümenin ölçülebilir olduğunu gösteriniz. Bu ölçüye göre her fonksiyonun sıfırdaki değerine denk olduğunu gösteriniz. x2 e−x ; x ∈ / C f (x) =
x2 ;
x
∈ C
fonksiyonu fonksiyonu tanımlasın. C Cantor Cantor kümesini, kümesini, µ Lebesgue Lebesgue ölçüsün ölçüsünüü ve δ Dirac ölçüsünü göstermek üzere, [0,1] f (x)dδ ve [0,1] f (x)dµ integrallerini hesaplayınız. . f (x) = x12
fonksiyonu ölçülebilir midir?
.
x2 ; xy ex ; xy
f (x, y ) =
ise, .
[0,1]×[0,1] f (x, y )dµ
[0,1]×[0,1] xdµ
. µ
Lebesgue İntegrali
∈Q ∈ RQ
integralini integralini hesaplayınız. hesaplayınız.
=?
Lebesgue ölçüsü ve f (x)
Nikodyn ölçüsü
0 olmak üzere, bir A kümesinin Radon-
µ1 (A) =
f (x)dµ A
ile tanımlanır. x2 dµ
µ1 (A) = A
ise,
integralini integralini hesaplayınız. hesaplayınız. .
[−1,2]
sgn x dµ1
Bir A ⊂ R kümesinin Kardinal ölçüsü µK (A) =
ile tanımlanır.
A nın eleman sayısı ; A sonlu elemanlı A sonsuz elemanlı ∞; ∞
( 1)n n n=1
−
serisini (Kardinal ölçüye göre) integral şeklinde ifade ediniz.
Kaynakça [] R. G. Bartle, The Elements of Integration and Lebesgue Measure , John Wiley & Sons, Inc., . [] M. Capinski and E. Kopp, Measure, Integral and Probability , nd Edition, Springer, . [] G.B. Folland, Real Analysis, Modern Techniques and Their Applications , nd Edition, John Wiley & Sons, Inc., . [] S. Lang, Real Analysis , nd Edition, Addison-Wesley Publihing,
.
[] W. Rudin, Real and Complex Analysis , rd Edition, McGraw-Hill, Inc., . [] M. R. Spiegel, Theory and Problems of Real Variables , Schaum’s Outline Series, McGraw-Hill, Inc., . [] E. M. Stein and R. Shakarchi, Real Analysis: Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces , Prentice Lectures in Analysis III, Princeton University Press, . [] A. J. Weir, Lebesgue Integration and Measure , Cambridge University Press, . [] R.L. Wheeden and A. Zygmund, Measure and Integral: An Introduction to Real Analysis , Marcel Dekker, Inc., . [] J. Yeh, Real Analysis: Theory of Measure and Integration , nd Edition, World Scientific Scientific Publishing, .
Dizin σ -cismi,
ölçü, ölçü uzayı, ölçülebilir fonksiyon, ölçülebilir küme, üst Riemann toplamı, üst integral, üst limit, üst toplam, açık küme, alt integral, alt limit, alt Riemann toplamı, alt toplam, arakesit, ayrık,
bağıntı, basit fonksiyon, birleşim, Borel fonksiyonu, fonksiyonu, Borel kümesi, Cantor kümesi,
Dirichlet fonksiyonu, dış ölçü,
eşdeğerlik bağıntısı, eşdeğerlik sınıfı, esaslı infimum, esaslı supremum, fark, fonksiyon,
Gamma fonksiyonu, fonksiyonu, Gauss formülü, geçişme, genişletme, işaret fonksiyonu, fonksiyonu, ikişer ikişer ayrık, integrallenebilir integrallenebilir fonksiyon, fonksiyon, kapalı küme, Kardinal ölçü, kartezyen çarpım, kısıtlama,
düzenli Borel ölçüsü, de Morgan kurallrı, değer kümesi, Dirac ölçüsü,
Lebesgue ölçüsü, Lebesgue integrali, , limit, parçalanış,
Dizin
Radon-Nikodyn ölçüsü, Riemann Riemann anlamınd anlamındaa integra integrallene llenebilir bilir,,
Riemann integrali, süreklilik, sayılabilir, sayılamaz, seviye kümesi, simetrik, simetrik fark, sıfır kümesi, tümleyen, tam, tamamlanış, tanım kümesi, trankasyon, yakınsak, yansıma,
