Vektörel Analiz-1

A.Ü.F.F. Döner Sermaye Işletmesi Yayınları No:32

VEKTÖREL ANALIZ

Doç. Dr. M. Kemal SAĞEL Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Ö ğretim Üyesi

Ankara 2006 (3. Baskı)

© Bu kitab ın bütün hakları saklıdır. Yazarın yazılı iznini almaksızın bu kitabın herhangi bir kısmı veya tamamı herhangi bir şekilde ve herhangi bir anlamda, elektronik, mekanik, foto ğrafik olarak veya xerografik, mikrofilm ve hatta teyp, fax veya video yoluyla çoğaltılıp satılamaz veya kullanılamaz. Bu hallerde yazar telif haklarını korumak için kanuni yolları takip edebilir.

Annem ve Rahmetli Babam için

ÖNSÖZ

Bu kitap, Ankara Üniversitesi Fen Fakültesinin Lisans ve Mühendislik Bölümlerinde öğrenim gören birinci ve ikinci s ınıf öğrencilerinin program ında yer alan bir yany ıllık Vektörel Analiz dersi için hazırlanmıştır. Bu kitabı hazırlarken özellikle Eutiquio C. Young' ın Vector and Tensor Analysis, B. Demidovich'in Problems in Mathematical Analysis ve Lipman Bers and Frank Karar ın Caiculus kitaplarından geniş ölçüde yararlanılmıştır. Bu kitabın eksiksiz olmas ına gayret sarfettim. Fakat baz ı eksikliklerin olabileceği düşüncesindeyim bu eksiklerin bildirilmesini bekler, yardımlarınız için şimdiden teşekkür ederim. M. Kemal SAĞEL 2006

IV

İÇ İ NDEKİ LER

I, BÖLÜM : VEKTÖR CEB İ Rİ 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5.

Bir Vektörün Tan ı m ı Vektörün Bile şenleri ve Büyüklü ğ ü Vektörlerin Toplam ı ve Bir Skalerle Çarp ı m ı Skaler Çarp ı m

1 2 6 8

iki Vektör Aras ı ndaki Aç ı

9

1.6. 1.7.

Vektörel Çarp ı m Doğ ru ve Düzlem Denklemleri Karma Çarp ı m

12 15 20

I. Bölüm ile ilgili Al ıştı rmalar

23

• 1.8.

II. BÖLÜM : TEK DE ĞİŞ KENL İ VEKTOREL FONKS İ YONLAR ÜZERİNDE Dİ FERENS İ YEL İŞ LEMLER 2.1.

Tek Reel De ğ i ş kenli Fonksiyonlar

2.2.

Vektör Fonksiyonlar ı n Cebiri

2.3.

Limitler-Süreklilik ve Türevler

29 30 33

2.4. 2.5.

Uzay Eğ rileri ve Te ğ et Vektörler Yay Uzunlu ğ unun Parametre Özelli ğ i

37 41

2.6. 2.7. 2.8.

E ğ rilik "Esas Normal" ve "Binormal" Vektörler Burulma ve FRENET-SERRET Formülleri E ğ risel Hareketlere Uygulamalar Kutupsal Koordinatlarda H ı z ve Ivme

43

II. Bölüm ile ilgili Al ışt ı rmalar

57

2.9.

47 49 53

III. BÖLÜM : SKALER VE VEKTÖR ALANLARI ÜZERİNDE D İ FERENS İ YEL İŞ LEMLER 3.1. 3.2. 3.3.

Skaler ve Vektör Alanlar ı Vektör Alanlar ı n ı n Cebiri

63 64

3.4. 3.5.

Bir Skaler Alan ı n Yönlendirilmi ş Türevi

64

Bir Skaler Alan ı n Gradiyenti

67

Bir Vektör Alan ı n ı n Yönlendirilmi ş Türevi

71

3.6.

Bir Vektör Alan ı n ı n Divergensi

72

3.7.

Bir Vektör alan ı n rotasyoneli

75

III. Bölüm ile İ lgili Al ışt ı rmalar

77

IV. BÖLÜM: SKALER VE VEKTÖR ALANLARI ÜZERINDE INTEGRAL I Ş LEMLERI

4.1. Skaler Alanlar ı n Eğrisel İ ntegralleri 4.2. Vektör Alanlar ı n Eğrisel İ ntegralleri 4.3. Eğrisel İntegralin Özellikleri 4.4. Yoldan Bağı ms ız E ğ risel İ ntegraller 4.5. Düzlemde Green Teoremi

82 87 93 95 98

IV. Bölüm ile ilgili Al ışt ı rmalar

102

V. BÖLÜM: YÜZEY İ NTEGRALLER İ

5.1. Yüzey Üzerinde Skaler ve Vektör Alanlar ı n ı n İ ntegralleri 5.2. Divergens Teoremi 5.3. Stokes Teoremi

108 110 115

V. Bölüm ile İ lgili Al ıştı rmalar

119

Baz ı Sabitler Trigonometrik Bilgiler Trigonometrik Formüller İ ntegral Alma Formülleri Baz ı Metrik Sistem De ğerleri Grek Alfabesi İndex

125 126 127 128 130 131 132

VI

I. BÖLÜM •

VEKTÖR CEB İRİ 1.0 GIRI Ş Bilindiği gibi Fen ve Mühendislikte kütle, zaman, s ı cakl ı k, enerji ve daha başka bazı niceliklerin yaln ız büyüklüğünü vermekle yetinebiliriz. Bunu bir örnekle açı klarsak; kütlesi 1 kg olan bir cisimden söz etti ğimizde cismin kütlesi hakk ında verilmesi gereken bütün bilgileri vermi ş oluruz. Bunun yan ı nda pek çok önemli niceli ğin sadece de ğerini vermek yeterli de ğildir. Buna örnek olarak h ız, yer değiş tirme, çizgisel ve aç ısal momentumlar ı , elektrik alan ı ve magnetik alan ı gösterebiliriz. Hareket halinde olan bir cismin h ızının 100 m/sn olduğu söylendiğinde akl ım ıza hemen söz konusu cismin hangi do ğrultu ve yönde hareket etti ği gelir. Bu çeşit büyüklüklerin yaln ız değeri değil aynı zamanda do ğrultusu ve yönününde bilinmesi gerekir. O halde yaln ız değeri verilerek belirlenen niceliklere SKALER BÜYÜKLÜKLER, değeri ile birlikte doğrultu ve yönüde belirtilen niceliklere VEKTÖREL BÜYÜKLÜKLER ad ı verilir. Skaler ve vektörel ifadeler ba şta fizik ve Mühendislikte olmak üzere bilimlerin ve analizin bütün dallar ında geniş bir uygulama alan ı na sahiptir. I.I. B İ R VEKTORÜN TANIMI Genel olarak herhangi bir vektör için üç farkl ı biçimde tan ımlama Bunlar GEOMETRIK, ANALITIK ve AKS İ YOMATİ K diyebilece ğ imiz tan ı mlardan genellikle ilk ikisi ile ilgileneceğiz. Aksiyomatik olarak vektör tan ı mı daha çok üçten büyük boyutlu uzâylarda vektörlerle ilgili gerekli bilgileri vermek için yeterli olmaktad ı r. P ve Q gibi iki nokta göz önüne alal ım. Bu iki nokta P'den Q'ya ya da Q'dan P'ye gitmek suretiyle iki farkl ı şekilde bir do ğru boyunca birleştirilebilir. P den ba şlayarak Q ya gidilirse pb, Q dan ba şlayarak P ye gidilirse

(2>p vektörünü

elde ederiz. Bu da bize gösteriyor ki vektör iki noktay ı birleştiren doğru parças ıdır. pb nün büyüklü ğ ü

HPQ1

ile gösterilir. Herhangi bir vektör büyüklü ğü,

doğrultusu ve yönü ayn ı ka mak üzere kendisine paralel olarak uzay ı n neresine götürülürse götürülsün yen . bir vektör elde edilemez. Ş ekil 1.1 de bu durum görülmektedir.

Ş ekil 1.1 Ş ekildeki vektörlerin hepsi birbirine e ş it olup ayn ı A vektörü ile tan ımlanm ıştı r. Üç boyutlu uzayda vektörleri gösterebilmek için önce uzay ı belirtecek yönlendirilmi ş bir koordinat sistemine ihtiyaç vard ı r. Böyle bir koordinat sistemi sağ elimizin baş parmağı yukar ı gelecek şekilde ve orta parma ğı n birlikte meydana getirdi ği birbirine dik üçlü esas al ınarak olu ş turulmaktad ı r. Benzer olarak sol elin üç parma ğı il40-,yönü değ işik başka bir koordinat sistemi olu ş maktad ır. Bu iki koordinat sisttıi aş ağı daki ş ekilde görülmektedir.

Sağ el sistemi

Sol el sistemi Ş ekil 1.2

Bugün genellikle kullan ılan koordinat sistemi sağ el üçlüsü ile olu şturulan sistemdir. 1.2. VEKTÖRÜN B İLE Ş ENLERİ VE BÜYÜKLÜ ĞÜ Tan ı m 1.2.1 : Bir A vektörü a i , a2, a 3 reel say ılarından olu ş an bir üçlü olup A= (a i , a2 , a3 ) olarak gösterilir. a l 'e vektörün birinci ya da x bile ş eni a2 'ye vektörün ikinci ya da y bile ş eni a3 'e vektörün üçüncü ya da z bile şeni denir. 2

Bir vektörün bütün bile şenleri sı fı r ise bu vektöre SIFIR VEKTORU denir ve

ö = (0,0,0) olarak gösterilir. A nün negatifi —A olup = (2,-1,3) ise -

= (—a.1,—a2,—a3) olarak ifade edilir.

 = (- 2,1,-3) olur .

Tanım 1.2..2 : Bir A vektörünün büyüklüğü (normu), A ile gösterilen ve değeri A =

/ 2

2 ■ I İ2

+ a2 a3 )

olarak ifade edilen bir reel say ıdır. Bu tanımdan görüyoruz ki

Ail = 0 olmas ı ancak A

=0

olması halinde mümkündür. Aksi halde daima A > O dı r.

Büyüklüğü 1 'e e şit olan vektöre BIRIM VEKTÖR denii. Bir vektörü geometrik olarak şu şekilde gösterebiliriz : S ıfı rdan farkl ı bir A vektörü göz önüne alal ı m. P noktas ın ın koordinatlar ı P (a ı ,a 2 ,a 3 ) olan bir nokta olmak üzere A vektörünü daima ÖP yönlendirilmiş do ğru parças ı ile gösterebiliriz. O'nun orijin noktalar ını belirttiği bu durum yandaki şekilde gösterildi ği gibidir.

ÖP vektörünün do ğrultusu ve yönü DO ĞRULTMAN Kosinüsleri denilen Cosa,CosP,Cosy say ı üçlüsü ile belirlenir. Cosa

a., A

Cosp Cos3 =

Cosy Y

as

A

olup bu değerler öp vektörünün b ı leşenleri ile orant ıl ı dır. OP ye A vektörünün Geometrik gösterimi diyece ğiz.

3

ai

A ile ayn ı yöndeki birim vektör 1 A Do ğ rultman kos nüsler için,

Cos2a.

a2 1,1 IA ı1 l 4-

a3

A bile ş enlerine sahiptir.

Cos2 j3 + Cos 2-y = 1 önemli eş itliğ i

vard ı r. Bu durumda bize gösteriyor ki s ı fırdan farkl ı olan her vektör kendi do ğrultu ve yönünde bir birim vektöre sahiptir. Not : Uzayda bir vektör ba şlangı ç noktas ı keyfi al ındığı zaman bitim noktas ı

tarafı mızdan belirlenecek iki noktay ı birleştiren do ğru parças ı olarak bilinir. Örnek 1.2.1 : P=(x i ,y ı ,z i ) baş lang ıç noktas ı olarak seçilirse bilim noktas ı Q olan öyle bir noktan ı n koordinatlar ı Q=(x l +a i ,y i +a2 ,z 1 +a3 ) olup bu iki noktay ı birle ştiren do ğru parças ı 1:, :r? vektörüdür.

Q=(x i +a p y i +a2 ,z i +a3)

Genel olarak uzay ı n herhangi bir noktas ı n ın koordinatlar ı (x i ,y ı ,z ı ) ve başka bir noktas ı n ı n koordinatlar ı (x 2 ,y2 ,z2 ) ise bu iki noktay ı birle ş tiren vektörün bile ş enleri a i =x2-x i a2=y 2-y i elde edilir. Vektörler üç boyutlu uzayda oldu ğu gibi düzlemde (iki boyutlu uzay) ya da bir do ğ ru (bir boyutlu uzay) üzerinde göstermek veya koordinatlarm ı belirlemek mümkündür. üç,ten büyük (n > 3) boyutlu uzaylarda da vektörler bile şenleri ve di ğer cebirsel özellikleri ile tan ı mlanabilirler. Fakat geometrik olarak Ş ekil üzerinde gosterilemezier. Örnek 1.2.2 : Düzlemde bir A vektörünü tan ı mlaylp, do ğrultman kosinüslerini

bulunuz ?

Çözüm :

A = OP = (ai ,a2 ) A =

Doğrultman Kosinüsler Cos8 = ai , Sin0 =

IIAII

a2

ilAii

Ş ekil 1.5 Örnek 1.2.3 : Bir A vektörü P(2,-1,3) ve Q(-1,-2,4) noktalar ı n! birle ştiren P-->Q yönlendirilmiş do ğru parças ına kar şı gelmektedir. Bu vektörün bile ş enlerini ve büyüklü ğünü bulunuz ? Çözüm : A nı n bileş enlerine a i , a2 , a3 denirse

a i = q i -p i = -1-2 = -3 a2 = q2 -p 2 = -2-(-1) = -1 a3 = q3 - p3 = 4-3 = 1 O halde A>=(a i ,a2 ,a 3 )=(-3,-1,1) oldu ğ undan A nün

büyüklü ğ ü,

dir.

A = N(-3) 2 + (-11 2 +12 =

Örnek 1.2.4 : A=(2,-1,2) vektörünün do ğrultman kosinüslerini bulunuz ? Çözüm :

A =N/2 2 + (-1) 2 +22 = Cosot =

aı

=— 2 Cos = A 3

az

=-3 1

3

Cosy =

as 2 = 3 eld ir.

Örnek 1.2.5 : -A>

bulunuz ?

vektörünün büyüklü ğünü ve do ğrultman kosinüslerini

Çözüm :

A = ,Nj(-1)2 + (,(3) 2 = COSCC =

al A

=

=2

1 a2 _ = Cos0, CosP = —„—,- — Sin0 2 A z

ise 0 = 120° olur. 1.3. VEKTORLERİN TOPLAMI VE B İR SKALERLE ÇARPIMI Tan ı m 1.3.1 : A = (al,a2,a3) ve B = (bi ,b2,b3) vektörleri verilmi ş olsun.

A = B <=> al -=

az =1)2 a3 = b3 dür.

Tan ım 1.3.2 : A = (al ,a2,a3) ve B = (bi ,b2,b3) vektörlerinin toplam ı -4 -4 A+ B = (al + b ı ,a2 + b2 ,a3 + b3) olarak toplan ı r. Bu tan ı ma göre -4 A+ B = B+ A e ş itli ği sağlan ır. Yani vektör toplam ı de ği şme özelli ğine sahiptir. Vektörlerde toplama i ş leminin geçerli oldu ğu özellikler şunlard ır : 1

(Z+

( i3+ C) birleşme özelli ği

+

.-* 2. A+ 0 = A r-k> +

)=

Burada (—A) vektörü A ile ayni büyüklükte ve do ğrultuda fakat ters yönde olan —A =

, — a2, — a3) vektörüdür. • • A ve B gibi iki vektörün fark ın ı bulmak için A ile ( — İ3) vektörlerini

toplamak yeterlidir. Yani A -› — = 7k+ (—B>) = (al — b ı ,a2 - b2 ,a3 - b3) dir, 6

A ve B gibi iki vektörün e şitliği, toplam ı ve fark ı aş ağı daki şekillerde görülmektedir.

Ş ekil 1.8

Ş ekil 1.7

Tanım 1.3.3 : A = (a ı ,a2,a3) bir vektörü ve m bir say ı (skaler) olsun. m'nin A vektörü ile çarp ı mı ınA ile gösterilir ve m A = (ma ı ,ma2,ma3) olarak tan ımlanan ba şka bir vektördür. Bir vektörün bir skalerle çarp ı mı olarak ifade edilen özellikle ilgili aşağıdaki e şitlikleri yazabiliriz. A ve B vektörler ve m, n reel say ı lar (skaler) olmak üzere,

1. m(n A) = (mn) A -4 -4 2. m(A+B =mA+mB 3. (m + n)A = ırı A+ n A 4. 1. —A> =

—

A

A

2 Ş ekil 1.9

7

(a ı ,a2,a3)= (a1,0,0)+ (0,a2,0)+ (0,0,a3) =a1(1,0,0)+ a 2 (0,1,0) + a3(0,0,1) Burada (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) vektörlerinin büyüklükleri 1 e e ş it olan uzay ı n -¥ -› -->

birim vektörleridir. Bunlar ı s ı ras ıyla i , j, k olarak gösterece ğ iz. Bu tan ı ma göre bileşenleri al, a2, a3 olan A vektörü her zaman, A=

+ a2 j+ a3 k

şeklinde yaz ı labilir. Örnek 1 3 1

A -> = (1,-2,2) ve B = (2,4,-5) ise

i) 2 A+ B 1 -› -› ii) - A- 2B vektörlerini bulunuz ? 2 Çözüm :

i) 2A+ B = 2(1,-2,2) + (2,4,-5) = (2,-4,4) + (2,4,-5) = (2+2,-4+ 4,4 -5) = (4,0,-1) 1 1 ii) -A- 2 B = - (1,-2,2) - 2(2,4,-5) 2 = (1 ,-1,1)- (4,8,-10) = ( 1 -1 1)1- (-4,-8,10)

= 1 - 4,-1 - 8,1+10) (2

2'

9 11 ,

1.4. SKALER ÇARPIM İki vektör aras ı nda iki ayr ı çarpma i şlemi tan ı n-ı lanmaktad ı r. Bunlardan biri skaler çarp ı m di ğeri ise vektörel çarp ı md ı r.

8

Tan ı m 1.4.1 : A = (a,,a 2 ,a3 ) ve B = (b,,b 2 ,b3 ) gibi iki vektörün skaler çarp ı mı A . B = a lb, + a2b2 + a3b3 ile tan ımlanan bir skaler (reel say ı ) d ı r. Çarp ımı tammlayan nokta i şaretinden dolay ı skaler çarp ıma bazen NOKTA ÇARPIMI ya da İÇ ÇARPIM da denilmektedir. A,B,C vektörler ve m bir skaler olmak üzere skaler çarp ı ma ait e şitlikleri aşağı daki ş ekilde yazabiliriz. 1) A.B=B.A

(değişme özelli ği)

2) -IZ . (I3+

(dağı lma özelli ği)

3) in (A

=Â.+. = (m A)13> = ;km B)

4 ) -A> . A> = ,1 2 İ ki vektörün skaler çarp ı m ın ı n geometrik bir anlam ı da vard ı r. Bunu aç ı klamadan önce iki vektör aras ındaki açıyı tanı mlayal ım. 1.5. İKİ VEKTÖR ARASINDAK İ AÇI Tan ım 1.5.1 : -Â> ve B gibi iki vektörü şekil 1.10 da görüldü ğü gibi OA ve OB yönlendirilmiş doğru parçalar ı ile gösterelim. A ve B vektörleri aras ı ndaki aç ı ile OA ve OB do ğru parçalar ı aras ındaki 0 (0 < t3 < it) aç ısı anla şı lacakt ı r.

S

A Ş ekil 1.10 Eğ er iki vektör aras ındaki açı e ise 1) 0 = 0 veya 0 = 7Z radyan ise bu iki vektör birbirine paraleldir. 2) e = —7c ise vektörler birbirine diktir. 2

9

Ş imdi de skaler çarp ım ın geometrik anlam ın ı verelim Z

Ş ekil 1.11

Ş ekilden görüldü ğü gibi -A> .T3> = A ->

B Cos0 dir. A

Ş ekil 1.11 deki vektör özelliklerini kullanarak, OAB üçgenine kosinüs teoremini uygulayarak, 12 2 2 BA11 = OA + OB - 2 6A 6->B Cose -4 -4 -› yaz ılir. Burada BA = A- B, OA = A , OB = B olduğu dikkate al ınırsa, 2 2 2 -› --> -> A- B A B -2 A B C os 0 (1) elde edilir. Skaler çarp ı n ın özellikler nden dolay ı , -4 -4 2 A- B = I A> - B ı.f A> - i3> ) ->

-->

-+ -›

--> - ›

= A.A- A.B- B.A+ B.B -› 2 -› 2 ,'A + B -2A.B

(2)

(I) ve (2) e şitliklerinden -, A.B = A B Cose eş itli ği elde edilir. -4 Burada B Cose ifadesine

-4 B nun A vektörü üzerine dik izdü şümü ad ı

verilir. Bu ayn ı zamanda B nün A üzerindeki izdü şüm vektörünün bile ş enine (Cebirsel ölçüsüne) denktir. Ş ekil 1.12 ye bak ını z.

10

ligliebsO> O

<0

CO50

11ZUCÖS9 <0 Ş ekil 1.12 S ıfırdan farkl ı A ve B gibi iki vektör aras ı ndaki aç ı , skaler çarp ı mdan elde edilen eşitlikten -->

Cos0 = A • -A

B

B

ifadesi ile verilebilir. Bu e şit iğı vektörlerin bile şenleri cinsinden a llı! + a2b2 + a3b3 Cos0 .s/a21 +a22 +a32 ..â2i ba, b32 olarak yaz ılabilir. Örnek 1.5.1

-A> =

(2,-1,1) ve

B = ( 1,2,-2) ise

A n ı n B üzerine dik

izdü şümünün ve B nin A üzerine dik izdüşümünün bileş enlerini bulunuz ? Çözüm :

IA =42 +(-1)2 +12 =,/4+1+1=-J6-

B

=,112 ı-22 +(-2)2 =,/1+4+4=,/§. =3

Â.i>3 = 2. 1+ ( 1).2 + 1. ( 2) = 2 - 2 - 2 = 2 -

-4

A

Cos0 =

A› . -

-

-

B =-2

IB

3

Bi1 Cos0 =

IA

j6 3

olarak bulunur.

11

Örnek 1.5.2 : A = (2,-1,-2) ve B = (1,2,2) vektörleri aras ı ndaki açıyı bulunuz ? Çözüm : A* = -■/2 2 + (-1) 2 + (-2) 2 = i3> II

+1+ 4 = ,rğ = 3

=Nİ1 2 +2 2 +2 2 =-j1+4+4 =-,TŞ =3 2.1+ (-1).2 + (-2).2 = 2 — 2 — 4 = —4

Cos9 =

Z.i3 AI ii3>

= ArcCos(—

—4 3.3

9

4 9

J = 116' 23'

1.6 VEKTÖREL ÇARPIM Tan ım1.6.1 : A = (a l ,a 2 ,a 3 ) ve B = (b i ,b 2 ,b 3 ) gibi iki vektörün vektörel çarp ım ı -4 -4 Ax B =(a 2 b 3 — a 3 b 2 ,a 3 b i —a i b 3 ,a i tı 2 —a 2 b i ) olarak tan ı mlanan yeni bir vektördür. Vektörel çarp ıma bazen ÇAPRAZ ÇARPIM ya da DI Ş ÇARPIM'da denilmektedir. Vektörel çarp ım kolayca 3 x 3 tipindeki bir matrisin determinant ı şeklinde ifade edilebilir. -4 k -4 -4 Ax B = a l a 2 a 3 dir. ib 2b 3b Örnek 1.6.1 :

-4 = (2,1,3), -B = (1,-2,1) ise Ax B =?

Çözüm : -4 i -4 -4 Ax B = 2 1

= =

-4 j 1 —2

k 3 1

( -2).3) —1(2,1 — 1. 3) + 1( (2. (-2 )- 1.1)

-F 6) — —j> (2 — 3) + 1-÷c(-4 — 1 )

=7 i+ j-5 k olur, 12

-

--> -4 -4 A,B,C vektörler ve m bir skaler olmak üzere vektörel çarp ı m için a şağı daki eşitlikler vard ır, i

)

-A>

Ters değiş me özelli ği

x 3> = - x A -> )

Ax ->

=AxB+Axx C

dağılma özelli ği

->) ( iı i) m(Ax B mA1 x B Ax(\mB) --> iv) Ax A = O Skaler çarp ı mın tan ımı ndan dolayı aşağıdakileri yazabiliriz. --> (.4 -> ) a3 (a ı b 2 - a 2b i ) i) A. A x B) = a i (a 2b 3 - a 3b 2 )+ a 2 (a 3 b i -

ayni şekilde ii) }3.(Ax

0 d ır.

-4 --> Bu e şitlikler gösteriyorki Ax B vektörü hem A, hem de B vektörüne diktir.

A. Ş ekil 1.13

8 X /4

--> AxB

A

-> B ŞinO

Ş ekil 1.13 vektörel çarp ı m n n geometrik anlam ı nı verir. -> --> Ş ekilde görüldü ğü gibi A ve B gibi iki vektörün vektörel çarp ım ı, A ve B i> vektörlerinin her ikisinede dik ve A dan B ye do ğ ru çevrilmekte olan bir vidan ın --> ilerleme yönünde olan yeni bir vektördür. B x A vektörü ise, B den A ya do ğru -4 .4 çevrilmekte olan bir vidan ı n ilerleme yönünde yani Ax B nin z ı t yönünde olan bir vektördür. 13

-

--* Ş imdi de Ax B vektörünün büyüklü ğünü bulal ım : Bunun için önce, _.> 1 2

-

2

_>

_> 2 _> 2

Ax1311 = A

B —(A.B)

eşitliğini göstermek yetecektir. ---> --> 2 )2 Ax B = (a 2b 3 — a 3 u 2) (a. 3 u i —

)2

k

kaiu 2 —. 2 u 1/ 2

ve 2

2

AB

..> _.> 2 -(A.B ) =

gib (a 2I + a 22 +a 23 )(b 2I + b 22 +b)—( 3 i +a 2 b 2 -4-

3a b 3 ,)

2

bu iki ifade aç ıld ığı nda ikinci taraflar birbirine e şit olduğundan birinci taraflar da eş it olur. O halde -

2

_> 2 -› 2

(_>.

Ax B = A B— ı A.B ı dir Aralar ı ndaki aç ı e olan A ve B vektörlerinin skaler çarp ı m özelli ğ inden ( -A>. 13. 2

A

2

2 A

( ı - cos2e)

B 2 -1'>3

Sin 20

Buradan Ax B

A> -

B SinO

elde edilir. Örnek 1.6,2 : A — i + 2 j — k ve -B> = 2 -:>1. + 2 j vektörlerine dik olan birim vektörleri bulunuz ? Çözüm :

Ax B =

=2i—

— 2 -1>c

-+ vektörü hem A, hem de B vektörüne diktir.

14

-> -4 Ax B - --4 AxB

2i" 2j-2k 2 ;12 + (-2) 2 + (-2) 2 r=

(--i>

=

2(7 - 1-4( ) -14 +4+4 ( -i>

i(

vektörü hem A, hem de B ye dik birim vektördür. Bu özelli ği sağlayan ikinci bir - u birim vektörü vard ı r. -) 1(-.> -+ --> u=- j-k „.. ( 3

+; + 1(

olur. 1.7. DO ĞRU VE DÜZLEM DENKLEMLER İ

DOĞRU DENKLEMİ : Düzlemde veya uzayda herhangi iki nokta verildi ği zaman bu iki noktadan yaln ız bir do ğru geçti ğini biliyoruz. Sadece bir nokta verildi ğinde bu noktadan sonsuz tane do ğru geçer. O halde, bir noktadan geçen do ğru denklemi için sadece bu nokta yeterli de ğildir. Noktayla birlikte do ğrunun paralel oldu ğu bir vektöründe verilmesi gerekir. Vektörleri kullanarak bir do ğ ru denkleminin nas ı l elde edilece ğini gösterece ğiz.

Uzayda bir Po = (x 0 ,y 0 ,z 0 ) noktas ı ve bir de A = (a l ,a 2 ,a3 ) vektörü verilmi ş -4 olsun. Po noktas ı ndan geçen ve A vektörüne paralel olan bir tek do ğru vard ır.

15

Ş ekil 1.14 de bu do ğrunun dekleminin ne olacağı n ı görelim. Po noktas ını n yer vektörü Ro olsun. Ro =x ii i + y o j+ z o k (d) do ğrusu üzerinde bulunan herhangi bir P(x,y,z) hareketli noktas ını göz önüne al ırsak -4 -4 -4 -› OP=R=xi+yj+zk -4 olup po p vektörü A ya paraleldir. O halde PoP = tA (t=skaler) yaz ı labilir. Di ğ er -4 -4 -4 4 -4 -4 -4 -4 taraftan Po P = OP - OP0 = R- R o d ı r. O halde tA = R- Ro veya R = Ro+ tA olur. Bu eş itlik (d) do ğ rusunun VEKTÖREL DENKLEM İNİ gösterir. Bu denklemin koordinatlar ın ı yazarsak (x,y,z)= (x„,y o ,z„)+t(a l ,a2 ,a3 ) = (x o + ta i ,yo +ta2 ,z 0 + ta3 ) olup, x = + t al y yo + t a 2 z = zo + t a3 bulunur. t parametresi -00 < t < +00 aral ığı nda de ğ i ştikçe (x,y,z) ler do ğ runun tüm noktalar ı nı tarar. Bu e şitliklere (d) do ğrusunun PARAMETR İK DENKLEM İ denir. Parametrik denklemdeki t'yi çekersek t x - xo = y - yo = z - zo ai a2 a3 elde edilir. Bu ş ekilde bulunan x - xo = y - yo z - zo a2 a3 ai denklemlerine de (d) do ğ rusunun S İ METRİK FORMU veya KARTEZYEN (NOKTA KOORD İNATLARI CINSINDEN) DENKLEM İ denir. Uyarı : Po = (x0 ,y 0 ,z0 ) ve Pi = (x i ,y 1 ,z i ) gibi iki noktadan geçen do ğru denklemini bulmak için yukar ıda yap ılan i ş lemlerde P o yerine yine P o , A vektörü yerine de -4 4 Pul), = A al ınması yeterlidir. O halde P o ve P ı den geçen do ğru denkleminin simetrik formu, x - x o = y - yo = z - z o x i - xo y i - yo zı - zo yazı labilir. 16

-4 Örnek 1.7.1 : (-1,3,-2) noktas ı ndan geçen ve A=3i+4j+k ve B= i + 2 j vektörlerine dik olan dogrunun parametrik denklemlerini bulunuz ? Çözüm:

->

1(c1) ve Bl(d)

--A> x / / (d) dir

O halde -4 -4. -4 Ax B = 3 4 1 =- -2 + +2 k 2O vektörü (d) dogrusunun DOGRULTMAN VEKTORÜDÜR. Buna göre P(x,y,z) dogru üzerinde herhangi bir nokta ise, Po P = t(Ax B) d ı r. Bunuda koordinatlar cinsinden yazarsak, (x-xo , y-yo , z-z0)= t(-2,1,2) buradan x-x O = -2t x+1 = -2t y-3 --- t y yo = t z-z= 2t ise z+2 =2t olur. t ye göre çözülerek dogrunun parametrik denklemi x= -1-2t y= 3+t z= -2+2t , -00 Q / / P-*R.

R > = t . P-+Q

(x -1,y + 2,z -1) = t ı 3 -1,1+2,1-1) = t(2,3,0)

17

x 2t y +2 = 3t z —1= O buradan do ğru denkleminin simetrik formu , x —1_ y + 2 z = 1 bulunur. 3 2 DÜZLEM DENKLEM İ : Uzayda bir P0 (x o ,y0 ,z 0 ) noktas ı ve = (a i ,a 2 ,a3 ) vektörü verilmi ş olsun. Po dan geçen ve A ya dik olan bir tek düzlem vard ı r.

Ş ekil 1.15 Ş ekil 1.15 deki durumlar ı gözönüne alarak bu düzlemin denklemini bulal ı m: Sözü edilen düzlemi D ile gösterelim. Po e D sabit bir nokta ve P E D gezici bir nokta olmak üzere düzlem içindeki P O P vektörü A ya diktir. Çünkü A vektörü D düzlemine dik olup D nin içindeki tüm vektörlere dik olacakt ı r. -4 -4 po p = R_ R o vektörü A ya dik oldu ğundan skaler çarp ı mları sıfird ı r. Yani

=o 18

d ı r. Bu da D düzleminin VEKTÖREL DENKLEM İNİ gösterir. A = (a t ,a2 ,a3 ) ve R— Ro = (x — x o ,y — y o ,z — z o ) oldu ğu gözönüne al ı nı rsa a i (x — x o ) + a2 (y — y o ) + a3 (z — z o ) = O düzlem denkleminin KOORD İNATLAR cinsinden ifadesi elde edilmi ş olur. ÖZEL DURUMLAR : 1. XOY düzleminin denklemi : Bu düzlem (0,0,0) noktas ından geçen ve k = (0,0,1) vektörüne dik olan bir düzlemdir. Bu düzlemin denklemi 0(x — O) + 0(y — 0)+1(z — O) = O yani z = 0 d ı r. Benzer ş ekilde 2. XOZ düzleminin denklemi y=O 3. YOZ düzleminin denklemi : x=O dı r. Örnek 1.7.3 : P=(-2,1,3), Q=(1,2,-1) ve R=(-3,-2,1) noktalar ından geçen düzlemin denklemini bulunuz ? Çözüm : P, Q, R verilmi ş sabit noktalar ve S(x,y,z) E D gezici bir noktad ı r. pg ve PR vektörleri D düzleminin içinde olup (P->Qx PR)1D düzlemidir. O halde düzlemin N normal vektörü -->

-1+c k N=PQxPR= 1+2 2 —1 —1-3 = 3 1 —4 —3+2 —2-1 1-3 —1 —3 —2

-› =-141+10j-8k din Diğer taraftan FS = 6S—

ÖP = (x +2,y —1,z —3)

vektörüde D düzlemi içinde olup N normaline diktir. 0 halde PS.N= 0 sa ğlan ır.

19

Bu da —14(x + 2) +10(y —1)— 8(z — 3) = O —14x —28+10y-10 — 8z +24 =O —14x +10y — 8z-28-10 +24 =O —14x +10y — 8z-14 = O 7x —5y + 4z 4- 7 = 0 düzlem denklemini verir. 1.8 KARMA Ç ARPIM -+ --› -÷ Tan ım 1.8.1 : A,B,C gibi üç vektör verilmi ş olsun. A.( Bx C) çarp ı mı na bu üç --Y --> -›

vektörün KARMA ÇARPIMI denir ve k ı saca (A,B,C) ile gösterilir. Bir karma çarp ım içinde hem skaler hem de vektörel çarp ım bulunmaktad ı r. Skaler ve vektörel çarp ımı n bilinen özellikleri gözönünde tutulursa, karma çarp ım için aşa ğı daki e şitlikler yaz ılabilecektir. (A,B,C)= (B,C,A) (-4 -4) = C,A,B

= =

dir.

Karma çarp ım ın koordinatlar cinsinden ifadesi : A =- (a i ,a2 ,a3 ),

B = (b l ,b2 ,b3 ) ve C= (c i ,c2 ,c3 ) ise

aı A.;( .4 \ (.4 Bx C); = A,B,C)= b i

a2 b2

a3 b3

Ci

C2

C3

determinant de ğ erine eş it olur. Yani sonuç skalerdir. A,B,C vektörlerinin birbirlerine göre durumlar ı gözönüne al ındığı nda görülüyorki bu üç vektörün karma çarp ım ın ı n mutlak değeri vektörler üzerine kurulmu ş olan paralelyüzün hacmine e şittir. Bunun geometrik anlam ını şekil 1.16 da görüldü ğü gibi taban ı B ve C vektörleri üzerine kurulan bir paralelkenar

20

olduğ undan T= Bx C ve yüksekli ğ i 11

1-› = A CosO bu da A nün Bx C

üzerindeki izdü şümüdür. O halde paralel yüzün hacmi . V T.h

T

sı

l

= IBx . -A> = -}>3 , , A -> ) d ır.

Ş ekil 1.16 Ş ekil 1.16 da görülen A.(i3x C) > 0 d ır. Aksi halde Bx C ters yönde ise bu takdirde -A> .(i3> x


Örnek 1.8.1 : A = (2,1,0), B = (-1,4,0) ve C = (1,1,2) vektörleri üzerine kurulan paralel yüzün hacmi nedir ? çözüm

:

V=

, ,

2 1 0 = -1 4 0 = 2(8- O) - 1(-2 - 0)+ 0(-1- 4) I 1 1 2 = 2.8 -1.(-2) =16 +2 =18 br 3 dur.

Örnek 1.8.2 : P(1,-2,3), Q(2,1,-2), R(-2,1,-1) ve S(2,2,3) bir paralel yüzün dört kö şesi olsun. Bu paralel yüzün hacmini bulunuz. Çözüm : PQ = A, PR = B ve PS = C olsun . O halde paralel yüzün hacmi 2 -1 1+2 -2-3 A,B,C)= -2 -1 1+2 -1-3 V=( 2 -1 2+2 3-3 --> -* -->

1

3

-3 3 1 4

-5 -4 = 79 br3 dur 0 21

Uyarı : A,B,C gibi üç vektörün ayn ı düzlemde olması için gerek ve yeter şart bu -* 0 d ı r. üç vektörün karma çarp ı m ının sı fır olmas ı d ı r. Yani (A ,BC)= , Örnek 1.8.3 : A = (6,4,2), B = (0,3,5) ve C = (3,2,1) vektörlerinin ayn ı düzlemde olduğunu gösteriniz ? Çözüm 6 4 2 ( -A>,i3>,)= O 3 5 = 6(3-10)— 4(0 — 15) + 2(0 3 2 1 = 6.(-7)— 4(-15) + 2(-9) = —42 +60 —18 = O dir. -->

O halde A,B,C vektörleri ayn ı düzlemdedir.

22

9)

I. BÖLÜM İ LE ILGILI ALI ŞTIRMALAR 1- Aşağıda başlangıç ve bitim noktalar ı verilen 1(2 do ğru parçalarının büyüklük

ve bileşenlerini bulunuz. a) P=(1,2), b) P=(1,-1), c) P=(0,1), d) P=(1,2,3), e) P=(1,0,-1), f) P=(-1,2,-2), a) (2,2),2J [

d) (3,4,5), 5,././

Q=(3,4) Q=(-2,2) Q=(4,6,8) Q=(2,3,-4) Q=(3,-2,5) b) (-3,3), e) (1,3,-37,-10

c) (4,-3),5 f) (4,-4,7), 9

2- Aşağıda başlangıç veya bilim noktası verilen PQ = A vektörünün di ğer noktas ını bulunuz. a) A = (7,8), P = (-1,2) b) 1 = (3,-2), Q = (4,0)

c)

=

43

Q + 1 ') 3

d) A = (2,-3,4), P = (1,2,-3) e) -;)■ = (-8,1,-2), Q = (-7,1,3) f) A = (1,0,2,5), P = (0,-1,3,-2) ra.) Q = (6,10) b) P = (1,2) c) P = (— ---1 4 3) [d) Q = (3,-1,1) e) P = (1,0,5) f) Q = (1,-1,5,3)_ 3- A = (-3,4) vektörünün do ğrultman kosinüslerini bulunuz. [cos0 = j5 sin 0 = 4- A = (5,2,-1) vektörünün do ğ rultman kosinüşlerini bulunuz. 5 2 [coscc = cosf3 = , cosy = 5- Uzunluğu 2 birim ve yönü 0 = 30° olan düzlemSel A vektörünün bile şenlerini bulunuz. (x-ekseni ile yapt ığı açı 30° ).

(,/5,1) 23

6- A = (-3,1,-2) vektörü veriliyor. a) A vektörü ile ayni yöndeki birim vektörü, b) vektörü ile ters yöndeki birim vektörü bulunuz. [ a) u =( N/14 b)- u J

= (-4,3,-2) ve

B = ( 1,-2,3) ise

a) Jk+ 413 b) 2A-}3) , c)

I

4)311 , d) 112A1. -1 , e) 11Al il

bulunuz.

iM

[a) (0,-5,10), b) (-9,8,-7), c)5Nr5-, d)Nif.9-4›, e)Nr-2- +-■/14] 8- B = (0,1,2) ve C = (3,4,5) ise 48>+ 5 4-k> = 3C bağintısını sağlayan A vektörünü bulunuz. =

9- A = ( - 5,6, - 7) , B = (2,-3,4) ve C = (-3,4,-5) ise  - = kB+sC bağı nt ı sı nı sağlayan k ve s say ılarını bulunuz. (k ve s bir skalerdir.) [ k=2 , s=3 10- tı -". = (1,2,3) , B = (-5,1,-5) , C = (0,4,5) ve D = (2,3,6) ise bağı ntısin ı sağlayan m, k ve .s sayıların ı bulunuz. = m-Â+ [ m=1 , k=2 , s=-3 11- Her -A> ve i:3> vektörleri için -4 a) A+ B A -13* b)

B—A

-4 -4 c) A- B

IA

olduğunu gosteriniz. -4 -4 • İ 12- Aş ağı da verilen A ve B vektörleri için A nın B üzerindeki dik izdü şümünün -4 boyunu ve A ve B vektörleri aras ındaki aç ın ı n kosinüsünü bulunuz. -4 -4 •-■ -4 -4 -4 -4 -4 a) A=.2i-2j+k, B=-1-2j+2k -4 -4 -4 -4 -4 b) A= i-2j+3k, B=3i+ j-2k

24

-› -› c) A=3 i-5 j+4k, B=4 i+3 j-5k --+ d) A=2 i+3 j-6k, B= i-2 j+4k a)

4

d) (

, cose = 28

4

, cos0 =

b)(o

5

, c s0 =

5) 14

c)

(

3_

2 5 ,r2 , cos0 =

50

4

Nffi.)

13- 12 inci problemde verilen A ve B vektörlerini gözönüne alarak .13> nin A üzerindeki dik izdüşümünün boyunu bulunuz. 23 d) - 4 [a) b)- ,5 3 N,I4 c) 5.1214- 2-k-> = (1,-2,1), B = (3,1,-1) ve C = (1,4,7) vektörlerinin birbirlerine dik (ortogonal) olduklar ını gösteriniz. 15 - A -> = -i>+ 2 -j>+ -1>c ve i3> = 2 -i>+

vektörlerini gözönüne alal ım. Hem Z. ya hem

de -B> vektörlerine dik olan bir vektör bulunuz. Bu vektör tek midir? 16- A= i+3 j-4k ve B=2 i-3 j+5k vektörlerini gözönüne alarak A- tB vektörü i) -A> vektörüne, ii) i3> vektörüne dik olacak şekilde t sabitini , bulunuz. [ 26 , 27) 1 38) J 17- A= 3 i j+ 5 k ve B=2 i- 4 j- 3k vektörlerini gözönüne alarak aA+ B vektörü i) -A> vektörüne, ii) 13 vektörüne dik olacak şekilde a sabitini bulunuz.

[ (;1-7 ' 18- A = (1,-2,3) , i3 = (-3,4,-5) ve C = (5,-6,7) vektörlerini gözönüne alal ım. A- kB+sC vektörü hem i3> ye hem de C ye dik olacak biçimde k ve s sabitlerini bulunuz. [ k = -2 , s = 1 25

.1 B

A

I

A

cauchy-schwarz e şitsizli ğini ispatlay ınız. BI üçgen e şitsizliğini ispatlay ı nız. (Not: Vektörler yard ı mıyla)

-4 21- Aşağıdaki herbir P ->t, ve B vektörünün paralel olduklar ı nı gösteriniz. -->

-+

-->

-3>

-->

-)

-->

a) A=- i+2 j-3k, B=2 i-4 j+6k b) A=3 i+6 j-9k, B= i+2 j-3k 22- Aşağıdaki vektörlerin her ikisine birden dik olan bir birim vektör bulunuz. 4 -4 -4 .4 -4 -4 -4 a) A= i-2 j+3k, B=2 i+ j-k -4 -4 -i. -4 -4 -4 - 4 b) A=3 i- j+6k, B=1+4 j+k 15) La)( 5

b)

1—(-25,3,13)1

--4 23, A =2 i+ j- k , B=-i+3 j+4k ve C= i-3 j+5k olmak üzere a şağı daki ifadeleri hesaplay ınız. a) Ax B , b) Bx C , c) Cx A , d) -;\> • (3> x -C>) e) Ax( Bx C) , a)7 i-7j+7k b)27i+9 j c)-2 i.+11j+7k d)63 e)9 i-27 j- 9k 24- Vektörel çarp ım ı kullanarak, a şağıda kö şe noktaları verilen üçgenlerin alanlar ın ı .hesaplay ın ız. [Uyarı : üçgenin alan ı = 2] a) P=(1,0,3); Q=(1,2,-1), R=(-2,1,3) b) P=(-2,-1,3), Q=(1,2,-1), R=(4,3,-3) c)P=(4,-2,3), Q=(-3,1,1), R-(1,1,1) d) P=(-1,-3,1), Q=(2,2,-1), R=(-3,2,-2) [a) 7 b)tii c) 2-J1-5 d) 2.- •51.] 2 -4 -4 -4 25- Do ğ rultman vektörü A= i+2j-k olan ve P 0=(1,2,0) noktas ı ndan geçen doğrunun s ı metrik ve parametrik denklemlerini bulunuz. [x 1= Y -2 = z L 2

26

x=l+X, y=2+2X, z=-X -1 J

26-4 -4 -4 -4 -4, L •R ı - - j + 2 k+ i + j + k) t L2 :R2 37-3f+ 1C+

31+ 2 -1C) t'

doğrular ının kesim noktaları n' bulunuz ve aralar ındaki açıyı belirleyiniz. [P= (2,0,3) cos0 = 4 hsr4- 2-] 27- (-1,3,2) noktas ından geçen ve A =2 i -3 j +5 k vektörüne paralel olan doğrunun parametrik denklemini bulunuz. [x = -1+2X , y =3-3X , z =2+5X , - oo -4 30- (3,4,6) noktas ından geçen i +2 j- k vektörüne dik ve 2x-3y+5z+4=0 düzlemine paralel olan do ğrunun parametrik denklemini bulunuz. [x=3-72 ,y=4+7ıt, ı =6+7 2,] 31-

ı=

21+

21+ 1C) t

R2 = 2i+ 1+21:+(7 - 3j+1c) t' doğ ruları nı n kesim noktalar ı nı bulunuz ve aralarındaki açı nın kosinüsünü belirleyiniz. = (3,-2,3) cos0 = 46 / 33] 32-

x-2_ y+4z-3 x-2_ y-5_ z- 3 2 = ve 2 1 2 doğrulara aras ı ndaki açının kosinüsünü bulunuz. [cos 0 = 3]

33- (1,-1,1), (-2,3,4) ve (-3,-2,1) noktalar ından geçen düzlemin denklemini bulunuz. [3x -12y +19z 34 = O]

27

34- Aşağı da verilen vektörlerin karma çarp ı mın ı bulunuz. a) A - * = (2,1,0), B = (-1,4,0), C = (1,1,2) b) -A> = (-1,1,2), B = (1,2,0), C = (2,--1,4) c) A = (2,1,3), B = (-3,0,2), -C> = (2,-1,4) d) -A> = (3,1,2), -1-3> = (2,0,5), -C> = (1,6,3) [a)18 b) - 22 c) 29 d) - 67] 35- P-=--(1,2,0), Q=(3,5,0), R=(4,3,0), ve S=(-1,-1,2) bir paralel yüzün dört kö şesi olduğuna göre bu paralel yüzün hacmini bulunuz. [ 14 ] 36- -A> = (1,2,m), B = (2,3,0) ve C = (1,1,-3) vektörlerinin ayn ı düzlemde olması için m ne olmalıd ır. [m=3] -> 37- Bir üçgenin kenarortaylarm ın kesim noktas ı H ise HA + HB + HC = 0 d ı r. Gösteriniz. 38- Bir üçgenin kenar orta dikmeierinin kesim noktas ı 9+ olsun4Ayrı ca üçgenin kenarortaylar ın ın kesim .noktas ı H ise QA + QB + QC = 3QH oldu ğuntı -

gösteriniz. -1 --> --> --> --> --> --> -4 -4. 39- A = 4 i - 3 j k, B=-i-2 j+2k ve C = -7 - 4 j vektörlerinin ayn ı

düzlemde oldu ğunu gösteriniz. -> -1

-> -1 ->

-1 -1

->

-> -1

->

-1

40- A = i - 2 j -- k, B=2 i- j+3k ve C= i+2 j+4k olmak üzere a ş ağı daki ifadeleri hesaplay ınız. a) A> x (F1x C) b) ( A> x 3> ) x

c) A* + 1 x - )

-› [a)-15i+5j-25-›k b)-26i+31j-9k c)23i+15j-12k

28

II. B ÖLÜ M

TEK DE ĞİŞ KENLİ VEKTÖREL FONKSİYONLAR ÜZERINDE DİFERENSİYEL I Ş LEMLER 2.0. ÇIRI Ş Bu bölümde, birinci bölümde gördüğümüz vektör cebirini tek de ğiş kenli vektörel fonksiyonlara tatbik edece ğiz. Vektörel fonksiyonlarda türev kavram ı n ı formüle ettikten sonra geometrik ve fiziksel yorumlar verece ğiz. 2.1. TEK REEL DE ĞİŞ KENL İ FONKS İ YONLAR Tan ım 2.1.1 : Tan ım cümlesi D ve değer cümlesi R olan reel de ğerli bir f fonksiyonu tanimlayal ı m.

D deki her P noktas ı na R'de bir tek f(P) reel say ıs ı karşı l ık geliyorsa f ye D den R ye "REEL DE ĞERL İ FONKS İ YON" ya da k ısaca REEL FONKS İ YON denir. Tan ı m 2.1.2 : D deki her bir P noktas ı na bir tek ra)) vektörü kar şı lık gelecek ş ekilde tan ı mlanan bir -F bağınt ı sına D de tan ımlanm ış bir "VEKTÖR DE ĞERL İ FONKS İ YON" ya da k ı saca bir VEKTÖR FONKS İYON denir. Kı saca bir D bölgesinde tan ı mlanm ış ve de ğ er bölgesi vektörlerden olu ş an bir F fonksiyonuna vektör fonksiyon ad ı verilir. Bu tip fonksiyonlarda de ği şken genellikle t harfi ile gösterilir. Bir F fonksiyonunun t'deki de ğeri F(t) ile ifade edilir. a
29

vektör fonksiyonun bile şenleri olarak bilinirler. Vektör fonksiyonu bazen k ı saca, F(t) şeklinde yaz ı l ı r.

[f; (t),f2 (t),f3 (t)]

örnek 2.1.1 : R(t) = Ro (t) + 7. A , — < t < Go denklemi R o noktas ı ndan geçen ve

vektörüne paralel olan bir do ğruyu gösteren parametresinin bir vektör fonksiyonudur.

Ş ekil 2.1.

örnek 2.1.2 : R(t) = cos t i + sin t j , 0

5.2n vektör fonksiyonu xy-düzleminde

bir eğri tan ı mlar. t parametresi [0,2n] aral ıgında degi şirken bu fonksiyonun tan ı mlad ığı vektörler merkezi birim çemberi çizer.

Ş ekil 2.2.

2.2. VEKTOR FONKS İ YONLARININ CEB İRI Bir [a,b] aral ı gı nda tan ı mlanm ış ve bileşenleri f(t),f2 (t),f3 (t) olan bir FW vektör fonksiyonunun büyüklü ğü her t E[a,b] için 1-4 1 ,2 , 2 F(01 = (t) + f2 (t) + f 2 (t)] 112 ile verilir ki bu t nin reel de ğerli bir fonksiyonudur. Baz ı vektör de ğerli fonksiyonlar için büyüklük sabit olabilir. -+

Örnek 2.2.1 : R(t)= cos t + sin t j vektör fonksiyonunun büyüklü ğü her t E [0,2n;

için 1 dir. Ş imdi de bir [a,b] aral ığinda tan ımlanm ış , -4 F(t) = fi (t) i + f2 (t) j + f3 (t) k 30

Ğ (t) = g i (t) i + g 2 (0 j+ g3 W1-4( vektör fonksiyonlar ı ile ayn ı aral ı kta tan ı mlanm ış h(t) skaler fonksiyonu (reel fonk.) göz önüne alal ı m. 1. F ve Ğ nin toplam ı : ( -F+ Ğ> )(t) = F>(t)+ Ğ (t) = [fı (t) g ı (t)j -i> .-1- [f2 (t) + g 2 (t)jj+ [f3 (t) + g3 W]1< 2. F in h ile çarp ı mı : (11 -11(0= 11(t).F(t)

= h(t)fi (t) i + h(t)f2 (t) j + h(t)f3 (t)rc 3. F> ile Ğ nin skaler çarp ı mı : F'.G)(t) = F(t).G(t)

= fi (Ogi (t)+ f2 (t)g2 (t) + f3 (t)g3 (t)

4.i7 ile Ğ nin vektörel çarp ımı : (F> x Ğ - > )(t)= F(t) x G(t)

i =

(t)

j

k

f2 (t)

f3 (t)

g i (t) g 2 (t) g 3 W1 = (f2Wg3(t) f3 (t)g 2 (0)7-(fi (Og3 (t) - f3(t)gi(0); -1-(fi ffig2 (0- f2 Wgi (t)) -1c Vektörlerdeki lineer ba ğı ml ılık ve diklik kavramlar ı vektör fonksiyonlara da ayn ı şekilde uygulan ı r.

Tan ım 2.2.1

[o, b] de tan ımlı F , Ğ ,

'(t).[ Ğ (t) x

›

i"i fonksiyonları her t e[a,b] için 0

eşitliği sağlaniyorsa L İNEER BAĞIMLIDIRLAR. 31

Tan ım 2.2.2 : Her t E[a,b] için --* F(t).G(t) = 0 oluyorsa F ve C.; fonksiyonlar ı [a, bi da dik (ortogonal) dir. Örnek 2.2.2

= [t, 1 -

t2 ,

Cost] t>O

Ğ (t)= [Sin t, - In t t 2 ], olsun. -F*' + Ğ , -1+7 . Ğ , --F> x

C F+

F(t)

Ğ (t)

-

Gl(t)=[t+sint,

-

yi hesaplay ı nı z ?

ı - t2 - 111 t, COS t ± t 2 ]

(--> .)(t) = t sin t + (t 2 -1)1n t + t 2 cos t

x Ğ (t) = t ı - t2 COS t sin t - ln t t2 )

> ( ;<

= Lt2 ,( ı - t 2 )4- cos t .1n tfi› - [t3 - sin t cos j + [-ün t - (1- t 2 )sinti -k> = (t 2 - t4 + cos t In t) r+ (sin t cos t - t 3 ) -j>+ (t2 sin t - t In t - sin t) k = It2 + (1 - t 2 ) 2 + cos2 t = - t 2 + t4 + cos2 t

Ğ (t)

-‘,/sin 2 t + (-In

+ t4

= Vsin2 t + In2 t + t 4 Örnek 2.2.3 : F(t) = atcost i +sin t j ve Ğ (t) b(sin t i costj) ) fonksiyonlar ın ı n her t E [0,27c] için dik (ortogonal) oldu ğunu gösteriniz ?

32

(F .L3)( t) = ab(cos t sin t — sin t cos t) O oldu ğ undan Vt E [0,2n] için F ve G diktir. 2.3. L İ MİTLER-SÜREKL İL İK VE TÜREVLER Tan ım 2.3.1 : a < t < b aral ıg ı nda tan ıml ı bir vektör fonksiyon F ve bu aral ıkta belirli bir nokta t ip olsun. Eğer verilen herhangi bir e > O için bir S > O say ısı varsa öyleki O < It — t o l < S için F(t)

<

eşitsizli ğ i sa ğlan ıyorsa t --> t o için -F nin limiti A sabit vektörüdür denir ve lim F(t) = A

Ş ekil 2.3 Vektiir Fonksiyonlarda Limit Özellikleri : F ve G vektör fonksiyonlar ve h, [a,b] aral ığı nda tan ı mlı bir skaler fonksiyon olsun. Kabul edelim ki -> üm F(t) = A —> --> lim h(t) = m Iim G(t) = B , t--➢to 33

-

-

olsun. Bu takdirde a şağıdakiler yaz ılabilir. lim[F(0+ G(t) = A+ B 2. lim F(t).G(t)= A.B 3 lim F(t) x G(t) = Ax B ' 4 . lim h(t)F) (t) = m -A> ı-440 Tanım 2.3.2 : E ğ er bir F vektör fonksiyonu tan ı m bölgesindeki bir to değ eri için lim F ( t) = F( t o ) t -3.3

eş itliğini sağl ıyorsa F ye t o noktası nda SÜREKLID İR denir. Bu tan ı m ı n bir sonucu olarak şunu yazabiliriz. Sonuç 2.3.1 : E ğer F, G ve h belirli bir aral ıkta sürekli fonksiyonlar ise o takdirde,

i) ii)

F+ G -+ F .G

iii)

-› FxG

h F fonksiyonlar ı da ayn ı aral ıkta süreklidir. iv) Örnek 2.3.1 : A ş a ğı da verilen fonksiyonlar kar şı lar ı nda belirtilen aral ı kta süreklidirler. -4 -4 a) F (t) = A sin t + B cos t , t E [0,2n], A ve B sabit vektör. = (It ) -i>+ (t2 -1)1+ e t ,

b) ,

H(t) =

t>O

sin t i + t(In t) j + cos2t1->c ,

t>0

Tan ı m 2.3.3 : F, [a,b] arabg ı nda tan ımlanm ış bir vektör fonksiyon olsun. F nin bir t e (a,b) noktas ı ndaki türevi -› F(t + At) - F(t) Fr(t) = lim Ac-4.0 At

limitinin değeri olarak tan ımlanır. Eğer her t

E

(a,b) için F'(t) türevi varsa o takdirde

-->; ye (a,b) aral ı gı nda D İ FERENS İYELLENEB İLİR denir.

34

Limit özellikleri göz önüne al ınarak F(t) fonksiyonunun bile ş enleri cinsinden türevi, -> f F '(t) = 1im [ 1

(t + At) - fl (t) -:> f2 ( t + At) - f2 (t) -.> f, (t + At) - f3 (t) -> ki 1+ J + "" dir. At At At Eğer fi , f2 , f3 bileş enleri diferensiyellenebilir fonksiyonlar ise, o takdirde At-ı O

-+

ı

r

F(t) = (t) + f2 (t) j + f3 (t) k yazılabilir. Bunun bir sonucu olarak, Sonuç2.3.2 : F, (a,b) de diferensiyellenebilirdir ancak ve yaln ız F nin bile ş enleri (a,b) de diferensiyellenebilir ise Sonuç 2.3.3 : Bir vektör fonksiyon bir noktada diferensiyellenebilir ise o noktada süreklidir. NOT : Diferensiyellenebilirlik ile türevlenebilirlik ayn ı anlamda kullan ılmaktad ır. Vektör fonksiyonlar ının türevi, skaler fonksiyonlar olarak bildi ğimiz türev kuralları aynen geçerlidir. F, G ve h fonksiyonlar ı t e (a,b) aral ığı nda türevlenebilir olsun. Bu takdirde

i)

= F- ' (t) ± d'(t)

[F(t) ±

[h(OF(t)] = h'(01. (t)+ h(t) F"(t) iii)

[F(t). Ğ (t)] = F'(0.G(t)+F(t). Ğ'(t) [F(t) x -d(t)] = Fr'(t) x G> (t)+F(t) x di(t)

dir. Vektör değerli fonksiyonlar ın skaler çarp ımm ı n türevinden önemli bir teorem şudur : Teorem 2.3.1 : F, (a,b) de diferensiyellenebilir bir vektör fonksiyon olsun. Her

-

büyüklü ğü sabit kals ın. O takdirde; F(t) ile ''(t) diktir

t e(a,b) için II > (ortogonaldir) ispat 2.3,1 : Her t

E

(a,b) için

). (t)

sabit kald ığından

35

F(t

2 )

= F(t) • F(t)

AilF(t) 12 = 2 .' +''(t). -F(t) dt =0 olur. -4 -4, Yani F(t).F'(t) = 0 d ı r. F(t) ile Fr(t) nin skaler çarp ı mlar ı t'ye ba ğ l ı -4 olmaksı zı n s ıfı r oldu ğundan her t E (a,b) için bu F(t) ve F'(t) vektörleri birbirine diktir. Örnek 2.3.2 : F(t) = (acos t) i + (asin t) j vektörü F'(t) vektörüne diktir. Gösteriniz. F(t) vektörü a yar ı çapl ı merkezcil çemberin vektörel denklemidir. 1 F(t)

= •4 2 cos2 t + a2 sin 2 t =

= a = sabittir

Diğer taraftan F'(t) = (—asin t) i + (acos t) j dir. -4 -4 F(t).F'(t) = (a cos t)(--a sin t) + (a sin t)(a cos t) = —a 2 cos t sin t + a 2 cos t sin t =0 Bu da gösteriyor ki F(t) yar ıçap vektörü F'(t) türev vektörüne diktir. E ğrimiz çember oldu ğundan F(t) te ğ et vektördür. Örnek 2.3.3 :

= In t7+ (cost)rc

t>O

G(t) =- t' j + e t k ise [F(t).G(t)1 türevini bulunuz. 1. Yol : -4 -4 F(t).G(t) = e t cost d , r -4 [F(t).G(t) = --(e` cos t) = (cos t — sin t) dir. dt 2. Yol :

[-F>( t). -d( t)1 = F'(t) .G(t) + F(t).G'(t) 36

= (-1 — sin t -1) . (t 2 + e' 1- ) + (In t

cos t rc).(2t --j> + 1-C)

= —e' sin t + cos t

=

(cos t — sin t)

elde edilir. 2.4. UZAY E Ğ Rİ LERİ VE TE ĞET VEKTÖRLER Tan ı m 2.4.1 : Üç boyutlu uzayda bir e ğri C olsun. (x,y,z) E C noktas ında, noktan ı n koordinatlar ı bir t parametresine ba ğl ı sürekli fonksiyonlar ise, C e ğ risinde sürekli bir eğri olacak ve x = x(t), y = y(t), z = z(t) denklemlerine C uzay e ğ risinin parametrik denklemleri denir. Tan ı m 2.4.2 : Uzayda bir noktan ı n koordinatlar ı ile o noktay ı orjine birle ş tiren yer vektörlerinin bile ş eni ayn ı oldu ğundan C e ğ risi üzerideki noktalar R(t) = x(t) + y(t) j z(t) , a t Lz: b vektörü yard ımiyle tan ımlan ır. Bu vektöre C uzay e ğrisinin vektörel denklemi denir. Burada a ve b sabitler olup, C e ğrinin uç noktalar ı na karşıl ık gelen parametre de ğerleridir. Genel olarak uzay e ğ risi geometrik olarak şu ş ekilde gösterilir.

Bazen xy-düzleminde i şlem yapmam ız gerekebilir. 0 takdirde C e ğrisini düzlemsel bir e ğ ri olarak al ırız. Böyle bir e ğrinin parametrik denklemleri x = x(t), y = y(t) dir. Vektörel denklemi ise, -11(t) = x(t) i + y(t) j , şeklindedir. xz ve yz-düzlemlerindeki e ğ riler için vektörel denklemler s ı ras ıyla,

37

R(t) = x(t) i + z(t) k ii(t) = y(t) -j>+ z(t)c ş eklinde tan ımlan ı r. Örnek 2.4.1 : xy- düzleminde M(x o , y o ) merkezli ve a yançapl ı çemberin parametrik ve vektörel denklemlerini bulunuz ?

P P(x,y) çember üzerinde herhangi bir nokta olsun.

I«)

Ş ekil 2,5 OP = OM + MP d ı r. -4 MP = (a cos t) i + (a sin t) j -4 -4 OM = x o + yo j 4 , OP=xi+yj ( 4 4 OP = R(t) = x o ı + yo j )+ [(a cos t) i + (a sin t) -j>1 R(t) = (x o + a cos t) i + (y o + a sin j çemberin vektörel denklemidir. 0 < t 5 2 ıt dir. Ayn ı çemberin parametrik denklemleri : , • t) `j den OP =xi+y j = (x o + acos t) i + (y o + asılı x = x o + a cos t y = y o + asin t , 05t52n parametrik denklemleri kullanarak, çember denkleminin simetrik formunu elde ederiz. 2 0 2 2 (X - X 0 ) + (y - y ) = (a cos t) + (a sin = a2 dir. 38

-

-

Tan ım 2.4.3 : x(t), y(t), z(t) ler t parametresinin türevlenebilir fonksiyonlar ı olmak üzere, R(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) -k> vektörel denklemi uzayda bir e ğri tannrilar. Öyleki bu e ğri üzerindeki her noktada bir tek TE ĞET VEKTÖRE sahiptir. E ğri üzerindeki bir nokta t = t o parametre değ erine kar şı l ı k gelsin. Eğ rinin bu noktadaki`teget vektörü, dR — (to ) = R'(t o ) türev vektörüdür. dt

to 'a karşılı k gelen noktadaki birim te ğet vektörü t o ile gösterirsek, to = R'(to) R'(t o ) olup, t„ =

x'(t o ) + y'(t o ) j+ z'(t o ) [(x'(t 0 ))2 (Y'(t„))2 +(z'(t o )) 2 1"2

dır. Teğet vektörünü geometrik olarak şu şekilde gösterebiliriz.

Örnek 2.4.2 :

-12(t)

= (e t cos t) -i>+ (e t sin

,

tO

vektör denkleminin tan ı mlad ığı eğrinin t o = 4 noktasındaki birim te ğet vektörünü ve teğ et doğrusunun denklemini bulunuz ? R '(t) = e t (cos t - sin t) i + (sin t + cos t) j to = 4 noktas ı nda, 39

--+n It 7t R'( — 4 = e 4 cos— n — sin- i + e 4 sin- + cos- j 4 4 4 4 , = e4 j \4 bu to = — noktas ındaki te ğet vektördür. 4 -■ Bu noktadaki birim te ğet vektör to

R'(to)

. = j dir.

R'(t o )

Ş ekil 2.7

Verilen eğrinin parametrik denklemi : x = cos t y = sin t , t > 0 olup x 2 + y 2 = e2t = r2 den bu e ğ rinin kutupsal denklemi r = dir. Bu noktadaki te ğet do ğrusunun denklemini bulal ı m : 2-t )--> IE re ) —> R o = e 4 cos- + e 4 sin- j 4 4

=e4.

2

vektörünün belirtti ğ i noktadan geçen ve dö ğ rultman vektörü t o = j = (0,1) vektörüdür. O halde x -xo= _ y - yo 0 1

den x = x o — 2 e dogrusudur.

x =— 2 e 4 doğrusu (oy-eksenine paralel) olur. 40

2.5. YAY UZUNLUĞUNUN PARAMETRE ÖZELLI ĞI

Düzgün bir C e ğrisi R(t) =x(t)i+y(t)j+z(t)k,

a

b

vektörel denklemi ile verilsin. E ğ rinin R(a) sabit ve R(t) de ğiş ken noktalar ı aras ı nda kalan uzunlu ğuna s(t) dersek, b S(t) = j<(X'(t)) 2 (y'(t)) 2 + (z'(0) 2 dt integrali ile hesaplar ız. İ ntegral içindeki ifade dR dt

s(t) =

olup

dR dt dt

dır.

Bu bize yay uzunlu ğu ile t parametresi aras ı ndaki ilişkiyi verir. Her iki yan ı n türevi al ı nırsa ds dR dt dt

0

elde edilir.

Buradan görülüyorki s yay uzunlu ğu t nin artan bir fonksiyonudur. t parametresi s yay uzunlu ğu cinsinden ifade edilebildi ğine göre C e ğrisinin R(t) vektörel denklemi de s 'ye ba ğl ı olarak R(s) şeklinde ifade edilebilir. Bu durumda C e ğrisinin -->t birim teğet vektörü do ğrudan do ğruya ->, d R =- — ds olarak yaz ı labilir.

41

-

t s2.7c örnek 2.5.1 R(0=a cosi i+asint j+ k , dairesel helis denklemini s yay uzunlu ğu cinsinden ifade ediniz ve dairesel helisin birim teğet vektörünü bulunuz ? -->

dR - = -a sin t i + a cos t j dt

dR = -■/a2 sin2 t + a2 cos2 t = a dt

S(t) = 2n 0

2n Z ıc dR dt= jadt=atl =27-ca o dt 0

Böylece R vektörü s yay uzunlu ğu cinsinden t = a

konularak

R(t) = a cos()i+ a sin(-s )j+ 1c. yazılabilir. t birim teğ et vektörü ise, -->

(sy t = dR — = -sı ıı - ı + cos, - j ds a olarak bulunur. Uyar ı : t birim normal vektör -->

dR -› -› —> -› dt-asint i+acost j . t = -› = &ıl t ı +cost j a dR dt

yolu ile elde edebilirdik. Bu ifadede t = ifadesini verir.

42

a

dR konulacak, t nin — ile elde edilen ds

2.6. E ĞRİLİK "ESAS NORMAL" ve "B İNORMAL" VEKTORLER -9

-*

Bir C e ğ risi üzerindeki t = t (s) birim te ğ et vektörünü göz önüne alal ı m.

Ş ekil 2.9

t (s) birim oldu ğ undan büyüklü ğü sabit ve

-> dt t ( s) = 1 dir. 0 halde t ve — ds

->

•

-4 d t vektörleri birbirine diktir. Yani t .— = 0 dı r. ds --+ dt Eğ — = O ise, t sabit bir vektördür. Büyüklü ğü ve yönü de ğişmez. Bu er ds durumda C eğrisi bir doğ ru gösterir.

Eğ

er d t

— ds

ise

dt

— = K(s). ds

yazı labilir. Burada n vektörü

dt

ds

vektörü ile ayni do ğrultu ve yönde yeni bir birim vektör olup, t ye diktir.

r

n(s)il = 1 oldu ğ undan K(s)=

dt ds

elde edilir. K(s) ifadesi negatif

olmayan bir skaler olup, C e ğrisinin s paramet sresine karşılık gelen noktas ındaki

EĞRİLİĞİ adını alır. Eğriliği kısaca eğrinin teğet doğrultusundan ne kadar ayrıldığını gösteren ölçüsü olarak ifade edebiliriz • s yay uzunlu ğu değiştiğinde K=K(s) de e ğri üzerindeki noktalara göre de ğişir. Doğru için K=0, R yarıçaplı çember için K=

dir. 43

Tan ı m 2.6.1 : C e ğrisi üzerinde parametrenin s de ğerine karşı lı k gelen bir noktas ı nda K(s) 0 olmak üzere, p(s) =

K(s) sayı sı na kar şıl ık gelen de ğere eğrinin o noktas ı ndaki E ĞRILİK YARIÇAPI adi verilir, Tan ı m 2.6.2 : E ğrinin her noktas ı nda e ğ ri ile ayn ı K(s) e ğriliğ ine sahip ve p(s) yar ı çapl ı bir çember vard ı r. Bu çeinbere, e ğ rinin belirtilen noktadaki E ĞRİL İK ÇEMBERİ denir. Tan ı m 2.6.3 :

ti(s) t'(s)

vektörüne C e ğ risinin s de ğerine karşı lık gelen bir noktas ı ndaki ESAS NORMAL VEKTÖRÜ denir. Tan ı m 2.6.4 : C e ğrisinin herbir noktas ı nda eğ rinin bir birim te ğ et vektör t ve -9 bir de t ye dik n birim normal vektörü vard ı r. b (s) = t (s) x n(s) olarak tan ı mlanan b (s) vektörü hem t ye hem de ıı ye dik yeni bir birim vektördür. Bu b vektörüne e ğrinin B İNORMAL VEKTÖRÜ denir. Tan ı m 2.6.5 : C e ğrisinin herbir noktas ı nda birbirine dik t , n, b gibi üç vektör tanımlanabilmektedir. Bu vektörlere FRENET VEKTÖRLER İ ya da FRENET ÜÇLÜSÜ ad ı verilir.

Ş ekil 2.10 44

Tan ım 2.6.6 : t ve n vektörleri birbirine dik iki vektör olup her zaman bir düzlem belirtirler. Bu iki vektörün içinde bulundu ğu düzleme OSKÜLATÖR DÜZLEM İ denir. Tan ım 2.6.7 : n ve b vektörleri birbirine dik iki vektör olup her zaman bir düzlem belirtirler. Bu iki vektörün içinde bulundu ğ u düzleme NORMAL DÜZLEM İ denir. -4 -4 Tan ı m 2.6.8 : t ve b vektörleri birbirine dik iki vektör olup her zaman bir düzlem belirtirler. Bu iki vektörün içinde bulundu ğu düzleme REKT İF İYAN DÜZLEM İ denir.

Ş ekil 2.11 Ş iımdide t ve n vektörleri ve K e ğrili ğini parametresi cinsinden veren aşağı daki formülleri yazal ım. -4 dt -4 -4 dt t'(t) dt=dt — — •dt —= dt buradan ds ds ds dt ds dt

R'(t)

n(t)=

t '(t) t'(t) .

t'(t) K( t) =

R'(t) x

dn(t)

.ı =

R' ( t)

3

R'(t)

dir. 45

-

-

Örnek 2.6.1 : R(t) = acos t i + a sin t j+bt k ,

tO a,b > 0 vektörel denklemi ile verilen dairesel helis e ğ risinin eğ rili ğ ini, esas normal ve binormal vektörlerini elde ediniz. R'(t) = -asint +acost j+ b k oldu ğ undan -. -4 -> -4 --4 (O= R'(t) -asint i +acost j+ b k . t (a 2 + b 2 ) 1/2 R '(t) dir. t (t) nin türevini al ı rsak, C(t)=

-acost - asin t j ( a 2 +b2) 1/2

-> t'(t)il =

a ı a 2 +b 2 \1/2 t' (t)

K(t) = R'(t)

dir. Buradan

a

a2 + b 2

olur. Bu gösteriyorki dairesel helis her noktas ı nda sabit e ğ rili ğ e sahiptir. Ş imdide esas normal vektörünü bulal ı m. -4 --> t t) n(t)= ,( = cost i-sint j t'(t)

dir.

Ş imdide binormal vektörü bulal ı m. -4 -4 b(t) = t (t) x n(t)

1 2 +b 2 ) (a 1/2

a sin t a cos t b -tost - sin t O -4

b(t)= elde edilir.

46

-4

bsinti-bcostj+ak ( a2 b2)1/2

-

-

2.7. BURULMA VE FRENET-SERRET FORMÜLLERİ Tan ı m 2.7.1 : Uzayda düzgün bir C e ğrisi

-4 -4 .4 R (t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k ,

a
vektörel denklemi ile verilmi ş olsun. b binormal vektörünün s yay uzunlu ğuna göre türevini ald ığı m ızda db --> — = - -r(s) n(s) ds elde ederiz. Burada T(s) skaler çarpan ına eğrinin s parametresine kar şı lı k gelen noktas ı ndaki BURULMASI denir. Burulmay ı kısaca eğrinin Oskülatör düzlemders ayrılma miktar ı nı n ölçüsü olarak ifade edebiliriz. C e ğrisinin t parametresine ba ğlı olarak verilmi ş olmas ı halinde, (1-t>'(t) x 1-i*"(t))• R„ (t) t(t) =

(R.-->`(t) x 12÷."(0)• R ';"(t)

6 K2

(t)IIR'(t)

.~›

2

R'(t) x R"(t)

dir. C eğ risi s yay uzunlu ğ u cinsinden ifade edildi ğinde Frenet üçlüsü olarak -4-4-4 bilinen t, n, b birim vektörleri a şağı daki önemli formülleri gerçeklemektedir. dt

ds

-4 =Kn

-4 -4 dn — = -K t + b ds db — = -- T n ds denklemlerine FRENET-SERRET formülleri denir. Örnek 2.7.1 : a ve b pozitif sabitler olmak üzere -4 -4 -4 R (t) = acost i +asin t j+btk , vektörel denklemi ile verilen dairesel helis e ğrisinin herhangi bir t parametresine karşı l ık gelen noktas ındaki eğrili ğini ve burulmas ını hesap ediniz ? -R* (t)=

acost i+asint -j>+bt ıC -4 .4 R'(t)=-asint i+acost j+bk 12-> ."(t) = -a cos t i - a sin t j

R"'(t)= asin t i - acost j 47

1-+ 1R'(t) x R"(t) K(t) =

formülünden K(t) e ğrili ğini hesaplayal ı m.

3 R'(t)

i W(t) x R" ( t) = —a sin t —a cos t ->

-4

j acos t —a sin t

absint —abcost R'(t) x R"(t)

k b 0 a` k

Va2b2 sin2 t +a 2 b 2 cos2 t a 4 ,,./a2b2 a4 = a-4 2 + b 2

R' (t)

2 sin2 t + a 2 cos2 t + b 2 = .,1a 2

=Nia

b2

bu ifadeler K(t) de yerine yaz ılırsa, K(t) =

a` +

Ş imdide t(t) =

e ş itli ğ i bulunur.

R'(t) x R"(t) ı • R'"(t) , R'(t) x d"(0,1 1 2

burulmas ın ı hesap edelim. (12'(t) x R"(t))•R'"(t)=(absinti › — abcostj+a2 iC)•(asint -i* — acost = a 2b sin2 t = a 2b

a2b cos2 t +O

Bu ifadeler t(t) de yerine konursa a 2b t(t) = a2 b2 b2 )2 elde edilir. Not : Dairesel helis e ğrisi her noktas ında sabit e ğrili ğ e ve sabit burulmaya sahiptir.

48

2.8. EGRISEL HAREKETLERE UYGULAMALAR

Dik koordinat sistemimizde t zaman ı na ba ğl ı olarak hareket eden bir partikülün yer vektörü R(t) ile tan ımlans ın. Bu partikülün herhangi bir t an ındaki hı z ve ivmesi R(t) nin türevleri cinsinden ifade edilebilir. t an ında partikülün h ız vektörünü V(t) ile gösterirsek, ( şekil 2.12), -+ t) d R , V(t)= lim At->0 M dt yazıl ı r. t anındaki hı zın büyüklü ğü ise,

V(0= V(t) .-

ds dR =— dt dt

olur. Eğ er R(t) = x(t) i + y(t)1+ z(t)rc ise hız vektörü, -+ V(t) = x'(t) i + y'(t) j+z'(0 -1c> olup, t zaman ındaki hızın değeri V(t) = -(/(x'(t)) 2 +(y'(0)2 +(zI (t))2 = ?t. elde edilir. 49

Eğer hareket esnas ında h ız ı ya da hareketin do ğrultusu (ya da her ikiside) değişiyor iseler o zaman h ız vektörü de de ğişir. V nin değişimi onun türevi ile ölçülür ve a ile gösterilir. t zaman ında partikülün ivmesi olarak bilinen a vektörü, -> dV d' R a (t) = (t) = (t) dt d t2 olarak tammlanmaktad ı r. a (t) ivmesi kendi bile şenleri cinsinden, --> d 2x -.> d 2y -.■ d 2z a(t)=— ı J+ dt2 dt dt2 yazıhr. İ vmenin büyüklüğü ise, ►

a(t) =

K

il(512±(y±(d2y)2±( d2z)2

t2 )

t2

, c1t2

)

dir. Not : Hı z vektöründe oldu ğu gibi ivme vektörünün yönü hareketin yörüngesine

te ğet değildir.

--4

Gt

Ş ekil 2.13 X a vektörü daima biri t te ğet birim vektörüne ve di ğeri lı birim normal vektörüne paralel iki vektörün toplam ı olarak yaz ı labilir. Bu yaz ıl ış a şağıdaki biçimdedir ( şekil 2.13).

50

ı

-+ dV d dR a=—=—— dt dt dt d [dR ds dt ds dt d ds [dR ds ds • dt ds dt d ds (-t. > ds ) ds dt dt ->

d t . (ds) 4. -t> d 2 S ds dt dt 2

ayrıca, -› , d t-> -> — = t =K n ds

,

ds = V v dt

oldu ğundan.

-> -> 2 -->dV a =K n.V + t dt = KV2 ----a„

n+ dV --t> dt , s,...1

a,

-> d V -> V 2 -> d V a = rh.v 2 n+— t = —n+— dt p dt 1 Burada p = — eğrilik yarıçap ıdır. Böylece a ivme vektörü birbirine dik iki vektörün K toplam ıdır. Bunlardan biri te ğet do ğrultusu olup büyüklüğü, dV d 2 s a t = —= 2 dt d t dir. Diğeri ise normal do ğrultusunda olup büyüklü ğü, 2 ‘,2 ds an = K( ) = KV 2 = dt P dir. Burada a t ye ivmenin teget bile şeni, a rt ye ise ivmenin normal bile şeni ad ı verilir. 2 a2 = = at2 +a 2it

eşitliği sağlan ı r.

ıı i 51

Eğer partikül e ğri üzerinde sabit h ızla hareket ediyorsa ivmenin te ğet bileşeni sıfırd ır. E ğer partikül do ğrusal bir yol boyunca hareket ediyorsa K e ğrili ği sıfı r olacağı ndan normal bile şeni sıfı rd ı r. Bu durumda sadece te ğetsel ivme vard ı r. Örnek 2.8.1 : R(t) = (sin t – t cos t) i + (cos t + t sin t) j vektörel denklemi ile tan ımlanan bir yörünge üzerindeki bir partikülün hareketi gözönüne al ı nı yor. i) h ı z, ii) ivme, ili) ivmenin teğet ve normal bile ş enlerini bulunuz ? (herhangi bir t an ında) i) R(t) nin türevini alarak V(t) h ı z vektörü bulunur. dR. -› V(t) = d t -= t sm t ı + t cost j dir. Buradan h ı z ı n değeri s Vt2 sin 2 t + t2 cos2 t = t = -1( dt

V(t) = .\;(t) ı dir.

ii) R(t) nin ikinci türevini al ırsak a(t) ivme vektörü bulunur. ı d' R d d R a (t) = , = = (sin t + t cos 0 -i++ (cos t – t sin dt dt dt J

ı

dir. Buradan ivmenin de ğeri, + (cos t t sin t) 2

a(t) = a (t) = '(sin t + t cos

=

t2

olur. iii) İ vmenin teğet ve normal bile ş enlerini bulal ım. İvmenin te ğet bileşeni, d 2s

d (ds) d ,

— =— =— dt2 =— dt dt dt

=

İvmenin normal b ıle şeni, a 2 = a2, + a2,,

den

a n = .42 – a2, t2 ) -1

an = t elde edilir.

52

2.9. KUTUPSAL KOORD İNATLARDA HIZ VE IVME Bir partikül düzlemde hareket ediyorsa, dik koordinat sistemine göre bunun yörüngesi -4 -4 R(t) = x(t) i + y(t) j denklemi ile verilebilir. Baz ı durumlarda böyle bir hareketi incelemek için kutupsal koordinatlir ı kullanmak dik koordinatlardan daha uygun olur. Düzlemde (x,y) koordinatlar ı n ı n r ve O kutupsal koordinatlar ı na, x = r cos0 , y = r sinü denklemleri ile ba ğlı olduğunu dikkate al ırsak kutupsal koordinatlardaki vektörel denklemi, R(t) = r(t)[cos0(t) i + sinO(t) j]= r(t)i.J> ır şeklinde ifade edilir. Burada, U r = cos0 i +sin0 j olup, r(t) ve 0(t) ler s ırasıyla partikülün t an ı ndaki kutupsal yar ıçap ve kutupsal aç ıyı belirtmektedir. Ş ekil 2.14' e bak ınız.

Ş ekil 2.14 -->

nin R(t) ile ayn ı yönde bir birim vektör oldu ğu açıktır. Ayrıca büyüklüğü sabit ve bir'e (1) e şit olan U r nin türev vektörü kendisine dik olacakt ır. Bu vektörü Ur

Uo ile gösterirsek, -4 -> d Ur Uo = dO = sinO i + cosO j olup, Uo da bir birim vektördür. Di ğ er taraftan, 53

d Ue = cos0 —sin0 j dO

— Ur

olur. Dik koordinatlarda i , j birim vektörlerinin rolünü kutupsal koordinatlarda Ur ,Ue birim vektörleri almaktad ı r. Ş imdi, R(t) = r(t) L cosO(0 + sinOW ji= denkleminin tan ı mlachg harekete ait h ız ve ivmeyi bulal ı m g açı sı zaman ın ya da t parametresinin bir fonksiyonu oldu ğundan, U, birim vektörüde ayn ı değiş kenin fonksiyonudur. Böylece türevde zincir kural ın ın uygulanmas ıyla, _dR_ d r dt dt

r d 1_1, dO dO dt

dUr

dO

den „ dr ;t,. dO v= u r+ r uo dt dt d ır. Bu denklem kutupsal koordinatlarda HIZ formülüdür. Böylece h ız vektörü —

biri U, ye paralel di ğeri Ue ya paralel olan birbirine dik iki vektörün toplam ı olur. (ş ekil 2.15)

54

dr de Ur ve U0 n ın katsay ı lar ı olan — ve r— d t skaler çarpanlar ı na h ı zı n dt kutupsal bileş enleri adı verilir. U r ve Uo birim vektörleri dik oldu ğundan 2 2 ( d r ") + G dey cit) k d t

vi

"f >

yazılır. Böylece bir partikülün kutupsal koordinatlarda ( h ızı nı n ifadesi, V---

(drY + ( r d0)2 kelt) dt)

olur. Eğer partikül orjin merkezli bir çember üzerinde hareket ediyorsa o takdirde dr r=sabit olacağı ndan —= O olup V hız vektörü, dt de --> d Un d ır. V = r--de Hızın değeri ise V = V = r d e olur. Bu durumda w = — iifadesine AÇISAL dt dt HIZ ad ı verilir. Buna göre V = rw olurki dairesel harekette yörünge üzerindeki hız, aç ısal hızın yarıçap ile çarp ı mına eşit olduğu ortaya ç ıkar. Kutupsal koordinatlarda ivmeyi elde edebilmek için RW= r(t)iJr denkleminin iki defa türevi al ınırsa, 2 a> , dr de dil, d ( de) --->„ (dey dUo dt2 ri- dt dt de dt r dt) -°+r -dt de --

--> [d 2r (12 ] -4 [ d 20 dr del /T --> r Ur+ r— a = dt2 dt dt 2 +2 dt dt a = [r" - r(0') 2 1 I. .+J r + [re" + 2r'01110 dir. Bu denklem kutupsal koordinatlarda IVME VEKTÖRÜ dür. Bunun bile şenleri sırasıyla, r" - r(0') 2 ve re" + 2r'EY olmaktad ır. Şekil 2.16 ya bak ınız.

55

-

Ş ekil 2.16 Eğer partikül bir çember üzerinde sabit bir h ız ile hareket ediyorsa, r= sabit olup, d0 d2r d 20 = O ve — = sabit olup = O ve =O dt dt dt 2 d t2 olacağından, dr

d0)2 -> U, d şekline dönü şür ki bu çemberin merkezine do ğru yönelmi ş bir normal ivmedir. İ vmenin de ğeri ise, a=

a= a =r olarak bulunur.

56

i d0

dt

= IW

2

II. BÖLÜM İLE İLGİLİ ALIŞTIRMALAR 1. F(t)=(3t - J) 1) -1*-1- (t2

- 2) -S+ t -l+c

ve Ğ (t)=2&7—costl+t 2 -14( ,

(t?-0)

.4 -4 olduğuna göre 3F— 2G , F•G , -F(t)+ -d(t)il ve Fx G bulunuz.

[CF. 2.

= 2eı (3t —1)—(t2 —2) cost + tl] =

+ (I + t2 )1—sintrc ve Ğ (0=

göre 2F— G

, F• Ğ , Fx Ğ , IF) ( t)!I ve

+

j+rc

(t z 0) olduğuna

Ğ(t)11 bulunuz.

et (1 + t 2 ) — sint)

(F. G = t In(' +

(Fx G =1(1+ t') — sin IT— [t + sin t In(1+ t)] j— [t + (1+ t 2 )1n(1+ t31: -4 3. F(t) = tcos2t i + tsin2t j+ e' k , (t z O) olsun. t z o için Ilh(t) - (t)1

1= 1 olacak

biçimde bir h skaler fonksiyonunu bulunuz. ıni [h(t) ,__ (t2 ÷e2T -4 -4 4. Al ıştırma 3 'ü F(t) = e -1 cos t i+ e-t sin t j+tk (t O) için tekrar yap ınız. [h(t) = (e- 2t t2)-1/21 S. F(t) = a(cos t i + sin

+ brc ve G(t) =

ccis t j

(O s t _s 2n) a, b

sabit, [0,2n) deki bütün t ler için F(t) ve Ğ (t) lerin dik olduklar ını gösteriniz. Ayrı ca 0 5 t 527c için F(t) x G(t) ye paralel bir birim vektör bulunuz. (—bcost -i›— bsintl+ + b2 6. Alıştırma S'i

-4 , *.(t) = (cos t — sin t) + (sm t + cos t) j + k

ve Ğ (t) = —(cos t + sin t) -i++ (cos t — sin t) , O 5 t 5 2n olmak üzere tekrar çözünüz. -° [(sin

t — cos

(cos t + sin t) -j>+ 2 rcr

57

7. lim [1.1n(et + 07+ (cost) 1h2 ı-›o t

( 12 t

1

k] = ? t 2 sec t ı

[(2 T+ E"2 -1+ 1. 2 1:)] -+ tk 8. tim (2 t + 1) 1/' i + -2 t-->0 1 COS t-I -

[(e2 7+ 27)ı • sın2t -* 9. nın e -e i + j +k] = ? ı-->o 2 sin t cos t

10. lim

rsı n t

--> + cos t j + ln(1 + t) -->k] = ?

r ; :)] ı-->0 i t

t

+- ,

11. limt( 1 + 1.4,0 t

] -1> . 1 g/ 1 3 +10

[(e k -i> +. 1)] 1 2-■ 12 tim{ ı-+.3 (2 t + 1

13. 1143

I2-

, +

t-1 `-+ ) =-• +1

3t2 + 2 5t 2 -2t +1

1 3 8+-1k] = ? t

14. F(t) = A sin t + Bcos t olsun. Asa ğı dakileri lı esaplay ın ız. (Burada A= - j ve B= a) lim F(t) , b) lirr ı t--> ıc1.3

1+ [a) 2

58

dir.) --+ -+ , c) lim+ j + k)• F(t) , d) lim (tan t)F(t)

-:' 1 --15. -> ı j b) V c)

t—>nI4

t—ııi16

(14'1-56+3)T-43 ---j-3 1 6

-+

-›

-->

2

15. F(t)= t i + t 2 j+ t3 k ve G(t) 2t 1- j+3t k (t z O) olsun. Aşağıdaki liınitieri hesaplay ınız.

a) lirnilF(0+ -Ğ (t) , b) lim F(t) • G(t) , c) lim F(t) x G(t) , d) lintrF(t) x d(t)1 1-4[

[a)5 b) 4 c) 47 1 3 -1->z d)J] -

-

16. Aşağıda verilen fonksiyonlar için F( t) • G(t) ve F( t) x G(t) nin türevierini bulunuz.

a) F(t)=ti+1- 2t 2 -1c ve Ğ (t)=

cost1+ t 1C , t k 0.

b)F'(t)= -1› -t 2 "--j>+t 2-1c ve d(t)=-- t -i.) +(t+1) j+(t2 +1) -1C, t -4 --4 -4 i - j + k)sin t + (2 - j k)cos t ve c) F(t) Ğ (t) =

-i*+ 1)e t - (1+ 2 1:)ln t , t > O

a)2t -sint - 6t 2 , (1+ 4t cost - 2t 2 sin t) --I>-(2t +6t 2 )1+(cost - t sint-1)1b) 1- 3t 2 + 4 t3 ,

4t 3 3t 2 - 4t) --i>+ (.3t2 - 201+ (3t 2 +1) -1C

e'(-- 2 sin t + 4 cost)- (cos t + 3 sin t)In t + -ı (3 cos t - sin t),

t F, • . 1 , . [(3cost — sin t)hı t - 2e sın t + - k3sın t + cos t) ı - 2(2 sin t - cost)In t t + tk2 suı t - cos Oln t + e t (7 cos t - sin t)-- -t-I (sırt t + 2 cos t). k

s t - 2- ,tsm t + 2 cos t)] j t

17. F vektör değerli fonksiyon iki defa diferensiyellenebilir olsun. Bu takdirde [F(t) x F.>'(t)1 =

x F"(t) dir. Gösteriniz.

18. F vektör değerli diferensiyellenebilir bir fonksiyon olsun. F(t)=11F(011 ise F(t) • F'(t) = F(t) F'(t) dir. Gösteriniz. , 19. Eğer G(t) =1F(Oxlv(0) • F"(t) ise G'(t) =(F(t)xF'(t)) , Fm(t) dir. Gösteriniz. 20. F(0= a(coswt +sinwt j + b k

0 5 t < 2n / w olsun. Burada a,b ve w pozitif

sabitlerdir. F nin aşağıdaki teoremi gerçeklediğini gösteriniz.

59

-

-

(Teorem -F> , (a,b) üzerinde diferensiyellenebilir ve V t E (a,b) için lir:(t) sabit olacak biçimde bir vektör fonksiyonu olsun. Bu durumda F(t) ile F'(t) ortogonaldir.) 21. R(t) = e t cost i + et sin t j , 0 S t S It ile verilen denklemin yan ında yazılı parametrelere kar şılık gelen parças ının uzunluğunu bulunuz.

[s = -J2-(en -4 -4 = a cos t i + asin t j+btk , (a ve b sabitler) 0 5 t 5 2 ic olan dairesel helisin uzunluğunu bulunuz. 2ı [s=21a2 +b 7cJ 23. Aşağı da vektorel denklemi verilen e ğrilerin yanlarında yazılı parametrelerine karşılık gelen noktas ındaki, teğet, normal, binormal vektörlerini ayr ıca eğrilik ve burulmasını bulunuz. -4 a) R(t) = a(t - sin t) i + a(1 - cos t) j , a>0, OSt 27c 22.

b) it( t) t 2

c/ R(t) c)

(1+ t) 7+ ,[3-t

, (t O)

cos t i + e t sırt t j + e' k , (t O)

R (t) tcost + tsint j+ t k , (t -4 .--, e) R(t)= cosi.) ,-> t i + sinh t j + k , (t O) d)

--4 -4 --> t 2 -* ,,, f) R(t) = (sin t - tcos t) i + (cost + tsin t) j + — k , (t 4 O) 2. g) -R*. (t) --= t --i*. + at2 --j-ı- .--a2 t3 rc , (t k O) , a = sabit 3 -4 -4 O 11) R W=sint i+t j+(l-cost) -1*( ,

r

a)K(0=

d) t(t) =

2"2 a(1-1 cost)" 2 (t 2 + 6) (t 4 4- 5t 2 -t- 8)

../2> e -t b) t(t) = 0 c) K(t) = —e - t , t(t)= 3 3

e) K(t) =

I ı f) KW = —t , T(t)_- 2 2t

1 1 2 sec h t , t(t) = 2 2cosh2 t 2 ,

g) t(t)= (2a2 t2a+1)2

-_> .. --› -› -› 1( -› -.? — cos t i + j + sin t k) , n = -sin t i + cos t k , t = -,12 11) ) .* .> ,. \ b =----- vos t ı, - j +n sı t k (-- ■

60

-

-

-

-

24. Aşağıda vektörel denklemi verilen e ğrilerin yanlar ında yazılı parametrelerine kar şılık gelen noktas ındaki eğrilik merkezinin koordinatlar ı ve eğrilik yarıçapı nedir ? --)

÷

a) R(t)= (t +sint) +(1- cost) j+ 4sin-t -›k t>0 ve t =7c 2 2 -

'-'

b) R(t) = cos t i + sin t j + cos tl-÷c , O 5 t < 27r ve t = 21 a) p b) p

4

4,r1, • ( 1t sin2 0312 («■[/

•Nf - 1

8 4 8 L 25. Aşağıda vektörel denklemi ile tan ımlanan yörüngeler üzerindeki bir hareket göz önüne alınıyor. Hız vektörü, hızın büyüklüğü, ivme vektörü, ivmenin büyüklüğü ve ivmenin bileşenlerini bulunuz. , , o) R(t)= 3t' i + 3t` j + 2t" k , (t = 1) (t = ln 2) b) R(t) = m(sinh t - t) i + m(cosh t - 1) j 2 . -> t c) R(t) -= t COS t i+tsınt +— k , (t=n) 2 d) iq.(t) --= m(1+ cost Şi>+ s sintl+ m costrc , (t = 3-) 3 e) R (t) = cosh t cos t i + cosh t sin t j + sinh t rc , (t = Tc) — v 31 + 6j + 61-‘ , V = 9 b) a = m —(3+ -715 , 4 -4 -4 -4 -4 -4 -4 c)v=-i- ırj+Ick , a=Tti-2 j+k d) v =

ii6rn2 + s2

a

= 42111 2 2

3s2 ) ııı

a=

-1j71 4

e) a = sinh

-4 j+k)

26. Aşağıda vektörel denklemi ile tan ı mlanan yörüngeler üzerindeki bir partikülün hareketi göz önüne al ınıyor. Hız vektörünü, hızın büyüklüğ ünü, ivme vektörünü, ivmenin büyüklüğünü, hızın kutupsal bileşenlerini hesaplay ınıı. -4 a) R(t) = cosh w t(cos t i + sin t j ı , w > 0 sabit b) R(t) = t2 (cosw t i + sin w t j) , w > 0 sabit c) R(t) = r(t)(cos3t i + sin3t j , r(t) = a(1- cos3t) a > O sabit d) 12.(t) = r(t)ijr , r(t) = a(1+ sin t) , O = 1- e -t

61

-

e) R(t) = r(t) (cosw t i + sinw t j , r(t) = t) R(t) = r(t)(cos

sin t -j›) , r(1)

1+ cost 3a 2(2 + cos t)

a>O (a > O)

2.2 \ a) v = w sinhwtijr+ cosh wtrJo b) a = ( 2 _ W X.Jr+ 4wtUo -+ -+ c) v = r' Ur+ 3r U0 , r' = 3asin3t

d) a = (r" — r e -2i ) Ur + (2rte- t — re-t )b0 , r` = a cos t , r" = —a sin t -+ asin t , r' = e) v = r' Ur + rw (1+ cost)2

III. BÖLÜM

SKALER VE VEKTÖR ALANLAR ÜZERINDE DİFERENS İYEL I Ş LEMLER 3.0. GIRI Ş Bu bölümde çok değ işkenli reel ya da vektör fonksiyonlar ını n meydana getirdiğ i uzaylar ı ve bu uzaylarda türev ve diferensiyele dayal ı i ş lemleri görece ğiz. 3.1. SKALER VE VEKTÖR ALANLARI Üç boyutlu uzayda bir bölge D ve D de tan ı mlı skaler bir fonksiyon f olsun. D deki her P(x,y,z) E D noktas ında f nin bir tek de ğeri vard ır. Bu de ğ er f(x,y,z) ya da kısaca f(P) ile gösterilen bir reel say ıdır. f(P) ye f nin P noktas ındaki değeri denir. Tan ım 3.1.1 : D nin herbir noktas ı nda f ye kar şılık gelen değerler ile birlikte D bölgesine bir SKALER ALAN ad ı verilir ve D deki skaler alan ı f fonksiyonu tanıml ıyor denilir. Örnek 3.1.1 : Atmosferin her P noktas ı na T deki sı caklığı gösteren bir T(P) say ısı karşılı k getirilirse T fonksiyonu ile bir skaler alan tan ımlanm ış olur. Yani T bir skaler alan gösterir ki buna SICAKLIK ALANI ad ı verilir. Skaler alanlar için baz ı örnekler olarakta atmosferdeki havan ın yoğunluğu, bir atmosferin bas ıncı ve uzaydaki yerçekimi potansiyeli gösterilebilirler. Tan ım 3.1.2 : E ğ er D bölgemizin herbir (x,y,z) noktasına bir tek F(x,y,z) vektörü karşı l ık getiriliyorsa o takdirde F ile birlikte D ye VEKTÖR ALANI denir. D deki vektör alan ı F vektör fonksiyonu tarafı ndan tan ı mlan ı r. Bir vektör alan ı tan ımlan ı rken D bölgesinin varl ığı bilindiğinden sadece F vektör fonksiyonundan bahsedildi ğ inde ikisinin birlikte meydana getirdi ği alandan söz edildi ğ i anlaşı lacaktır. Örnek 3.1,2 : Atmosferin herbir P noktas ına o noktadaki rüzgar h ı zı n ı gösteren bir V(p) vektör fonksiyonu kar şı l ık getirilsin. Böylece bir vektör alan ı tan ımlanm ış

olur ki buna HIZ ALANI denir. Elektrik alan ı , magnetik alan ve yerçekimi alan ı da vektör alanlar ı için başka örneklerdir. 63

3.2. VEKTOR ALANLARININ CEB İRİ Vektör fonksiyonlarda oldu ğu gibi F vektör alan ı da F(x,y,z)= P(x,y,z) i + Q(x,y,z) j + R(x,y,z) k şeklinde analitik olarak ifade edilebilir. Burada P,Q,R ler F . ile ayn ı bölgede tanımlanm ış skaler alanlar olup, F vektör alan ını n bileş enleri ad ı n ı al ı rlar. II. Bölüm de vektörler üzerinde yapt ığımız i şlemler vektör alanlar ına da olduğu gibi uygulanabilir. D bölgesinde tan ı ml ı iki vektör alan ı -4 -4 -› F=Pi+Qj+Rk , G=Ui+Vj+Wk ve ayn ı D bölgesinde tan ı mlı bir skaler alan f olsun. O takdirde a ş ağı dakiler yazılabilir. i) (F± G)(x,y,z)= [P(x,y,z)±U(x,y,z)] i + [Q(x,y,z) t V(x,y,z)] j + [R(x,y,z) t W(x,y,z)] ii) (f -F)(x,y,z) = f(x,y,z) P(x,y,z) i + f(x,y,z) Q(x,y,z) j + f(x,y,z) R(x,y,z) iii) (F. G)(x,y,z) = P(x,y,z) U(x,y,z)+ Q(x,y,z) V(x,y,z) + R(x,y,z) W(x,y,z) -›

-->

-->

i j k iv) CFx Ğ )(x,y,z)= P(x,y,z) Q(x,y,z) R(x,y,z) U(x,y,z) V(x,y,z) W(x,y,z) -4 -4 -4 -4 -› Ft G ile f F ve Fx G çarp ı mlar ı yine bir vektör alan oldu ğu halde F. G skaler çarp ı m ı bir skaler aland ı r. 3.3. B İR SKALER ALANIN YÖNLEND İRİLMİŞ TÜREV İ D bölgesinde tan ımlanm ış skaler bir alan,f olsun ve kabul edelim ki f, D de Of Of Of ex türevlenebilirdir. f nin — kı smi türevleri s ıras ıyla x,y,z eksenleri yönündeki de ği şim oranlar ı n ı yani türevlerini göstermektedir. Baz ı durumlarda f nin herhangi bir yöndeki de ğişim oranını n bilinmesi gerekir. Bu bizi yönlendirilmi ş türevin tan ı mlanmas ına sevk eder. Ş imdi bu türevi tan ımlayalım.

64

Tan ım 3.3.1 : D deki bir Po (xo ,y0 ,z0 ) E D noktas ının yer vektörü R o olsun. U = cam i + cos P j + cosy -1c> birim vektörü Po da bir yön tan ımlamaktad ır. Ş ekil 3.1. de görülmektedir.

Ş ekil 3.1 U vektörü yönünde bulunan ve ba şlangıcı Po olan yar ı doğru üzerindeki herhangi bir P(x,y,z) noktas ı R = Ro+ s U yer vektörü ile bellidir. Burada s, P o dan P noktas ına olan uzakl ı ktı r. Bu yer vektörü koordinatlar cinsinden; x = xo + s cosa y y o + s cosP , z = zo +s cosy demektir. Başlang ıcı Po noktasında ve U birim vektörü yönünde f nin yönlendirilmi ş türevi şu şekilde tan ımlanı r. df (po ) _ lim f(P) - f(P0 ) s ds Bu eşitliği açık şekilde yazarsak, df(p0)_ Of af — (Po )cosa +— (po )cosp +— (Po )cosy ds Dx aY az = fx(Po)cosec + fy (Po )cosp + fz (Po )cosy olur. Örnek 3.3.1 : f(x,y,z)= 2x 2 + xy + yz2 skaler alan ının (1,-1,2) noktas ındaki A= i-2 j+2k vektörü yönündeki yönlendirilmi ş türevini bulunuz. 65

Çözüm :

Of -5; = fx

=""

Of — = fy = x + z2 Of

ay

= fz = 2yz

fx(P0)= 3

olup, P0 (1,-1,2) noktas ındaki değerleri, fy (Po) = 5

fz(Po) = -4 dür.

12 + (-2) 2 + 22 = Vi-+ 4 + 4 = 3 olup, -"Â ile ayn ı yöndeki birim vektör

A

A 1 -.> 2 -.> 2 -, U = - = - ı - - j + - k dı r. 3 3 3 A 1 2 cosy = - dür. O halde vektörü yönündeki Burada cosot = cosi3 = -2 3 3 3 yönlendirilmiş türev df = +5 - 4 . (2-3 ) 3 = 1-

10 8 3 3

Örnek 3.3.2 : f(x,y)-= x 2y + 21n y skaler alan ı nın (1,1) noktas ındaki ve ox-ekseni ile pozitif yönde yapt ığı aç ı n ı n ölçüsü et -= 30° yani U = cos30 ° i +sin30° j yönündeki yönlendirilmi ş türevi nedir ? Çözüm :

Of

Of

-a-x- = fx = 2xy

2 = fy = x + y- dir.

Po (1,1) noktas ındaki değeri fx (P0 ) = 2 , fy (130 )= 3 Birim vektörü i*J = cos30° i +sin30° j dir. O halde U yönündeki yönlendirilmi ş türevi, df

ds

(1,1) = 2.cos30° +3.sin 30° =2.—+3-

2

+ 22 66

1

2

3.4. B İ R SKALER ALANİN GRAD İYENTİ Tan ım 3.4.1 : D bölgesinde tan ıml ı f skaler alan ını n P(x,y,z) E D noktas ın ın gradiyenti Df

grad f(P) = —(P) I+

af (P) j +—(P)rc °Y

olarak tan ımlanan bir vektördür. -›

— i+—j+ a ax ez gösterimine Nabla operatörü ya da DEL operatörü ad ı verilir. Bu operatör yardım ıyla,

V

grad f(P)= D f (P) şeklinde yaz ılabilir. Gradiyent tan ımın ı kullanarak f nin P noktas ında ve U birim vektörü yönündeki yönlendirilmi ş türevi kısaca,

d — (P)=gradf(P)• U ds

=D f(P)• U şeklinde ifade edilir. Vektörel analizde önemli rol oynayan D operatörünün ve dolay ı sıyla gradiyentin sa ğlad ığı bazı özellikleri verelim. Teorem 3.4.1 : D bölgesinde diferensiyellenebilir iki skaler alan f ve g olsunlar. Bu takdirde a ş ağıdaki e şitlikler yazılabilir. 1. ti7) (f+g)=f+Dg 2. ç(c f) = c V f , c bir sabit 3. Ğ'(f.g)=U-V> g+g'-V--> f 4. - ı( f )-= (g-7>f f g) g) g

,

(D de g 0);

Ispat : Bu e şitliklerin herbiri P - n ın tan ımı kullanılarak kolayca ispatlanabilir. Ş imdi 3. şı kkı n ispatını verelim.

67

-1c> '-) (f.g)= (2-(f.g)7+---(f.g)1+--(f.g) ay x ax

ax

av.* ag ax ay

ay ag az

az

ay [

af

af

ax

-

+g —1+

ay

-4-

= elde edilir. Ş imdi gradiyentin baz ı geometrik özelliklerine bakal ım : Kabul edelim ki "--2v; f(P) 0 olsun ve ' 7> f(P) ile U vektörü aras ındaki aç ı 0 ile gösterilsin. Skaler çarp ımın geometrik özelli ğ inden, (2 (P) = '- f(P)•

ds

O f(P) U cos

df

ds Bu türev

(P) = N7 f( P) cos0

elde ederiz.

-

0 5. 0 < 2 ise pozitif 2

TC

ise negatiftir. Ş ekil 3. 2

Vf

ds 68

Ş ekil 3. 2

df ır ı = Of (P) cos0 ds eşitliğinde cos0 = 1 0 = 0 iken yönlendirilmi ş türev maksimum de ğerini al ı r. —

Bu değer Of olur. Bu durumda V f nin u ile ayn ı yönde olmas ı halinde doğrudur. Örnek 3.4.1 : f(x,y,z) = x2y y2z 1 olsun. (2,1,3) noktas ında f nin yönlendirilmi ş türevinin maksimum oldu ğu yönü belirleyiniz. Maksimum değeri bulunuz. Minimum değ eri nedir ve hangi yönde olur. Çözüm : f nin gradiyenti, , grad f = 2xy + (x 2 + 2yz) j + y 2 k dir. O halde (2,1,3) noktas ında

df nin maksimum de ğeri gradiyenti vektörü yönünde ds

yani, grad f(2,1,3) = 4 i + 10 j + k yönündedir. Maksimum de ğeri ise, d ‘, dir. Imax = ilgrad f(2,1,3)11 = J4 2 +102 +12 = d s „, -+ Minimum değer ise; gradiyent vektörün z ıt yönünde yani -4 i -10 j - k yönündedir ve değeri -Nr1-1-7-7 dir. Örnek 3.4.2 : Bir metal küre içindeki s ı cakl ık dağılımı f(x,y,z) = a(x 2 + y 2 + z2 ) ile veriliyor. Burada a pozitif bir sabittir. S ı cakl ığın yükselme oran ı nın hangi yönde maksimum olduğunu ve bu maksimum de ğeri bulunuz. Minimum s ıcakl ık hangi yöndedir. j+zk) = 2aR dir. Burada R , (x,y,z) noktas ındaki yer vektörüdür. Burada s ı cakl ı k art ış oran ı R yer vektörü boyunca orijinden uzaklaştıkça artar ve maksimum de ğerini

Ş ekil 3.3

R nin uç noktasında al ır. Bu sıcaklı k artış oranının maksimum değeri ligrad = 2ailx2 y+ 2 + z 2 ye eşittir.

Minimum s ıcakl ı k yönü orijine giden yöndedir. Yan ı R n ı n zıt yönündedir. 69

GRAD İYENT İN YÜZEY NORMAL ÖZELLIĞI

D bölgesinde diferensiyellenebilir bir f(x,y,z) skaler alan ı n ı göz önüne alal ım. e sabit olmak üzere f(x,y,z) = denklemi S yüzeyini gösterir. Bu tip yüzeylere SEV İ YE YÜZEYLER İ denir. S seviye yüzeyi üzerindeki bir Po noktası nda f nin gradiyent vektörü yüzeye diktir. Buna göre yüzeyin Po noktas ı ndaki birim normal vektörü, -> n

V f(P„)

olur.

f(Po ) Po noktas ı nda yüzey normal ı yüzeye dik o'du ğundan yüzeyin teğet düzlemine de diktir. O halde S yüzeyinin Po noktas ı ndaki teğet düzleminin denklemi (R- it0 ). f(P0 )= O vektörel denklemi ile veya af —

ax

70

(Ptı )(x

-

x0)+

Of —

(P„)(y

—

Of yo ) 1-- (P0 )(z az -

—

zo ) = O

kartezyen denklemi ile verilebilir. Burada Ro , Po (x0 ,y0 ,z0) noktas ı n ı n yer vektörü, R ise te ğ et düzlem üzerindeki de ğ iş en bir P(x,y,z) noktas ı n ı n yer vektörünü göstermektedir. ( Ş ekil 3.4 de).

Tanım 3.4.2 : Bir bölgeyi içine alan yüzeye KAPALI YÜZEY denir. Örnegin küre yüzeyi bir kapal ı yüzeydir. Böyle bir yüzey üzerinde yüzeye d ıştan normal birim vektöre, DI Ş BIRIM NORMAL VEKTÖR adı verilir. Yüzey üzerinde tanımlı bir p skaler alan ının dış birim normal vektörü yönündeki türevine DI Ş dp NORMAL TÜREV denir ve — olarak dn yaz ık. ( Ş ekil 3.5)

Ş ekil 3. 5 3.5. B İR VEKTÖR ALANIN YÖNLEND İRİLMİŞ TÜREVI

Tan ım 3.5.1 : Bir D bölgesinde P, Q, R ler diferensiyellenebilir fonksiyonlar olmak ->

--)

--->

üzere, D de tan ı ml ı bir F = P i +Q j+ R k vektör alan ı n ı göz önüne alal ım. Po (xo ,y 0 ,z0 ) E D noktas ında bir birim vektör -+ U = cosct i + cosf3 j+ cosy -1-(> olsun. F vektör alan ın ın Po noktas ında ve U vektörü yönündeki yönlendirilmi ş türevi, dF

(P0)= Ilin

F(x + scosa,y0 + scos(3,z o + scosy) – F(x 0 ,y0 ,z0 ) °

ds limit değeri olarak tan ımlan ır. Bu türev yine bir vektör aland ı r.

Yönlendirilmi ş türevini F nin bileşenleri cinsinden yazarsak, dP d -F dQ .> dR (Po) = —( 1>o) 1 + — (P0) J + — (Po) k ds ds ds d olur Not : Bir vektör alan ını n yönlendirilmiş türevinin bile şenleri o alan ı n bileşenlerinin yönlendirilmiş türevlerine e şittir. .

71

Vektör alan ın yönlendirilmi ş türevinin ifadesi aşağıdaki gibi yaz ı labilir

5(pu )

'4)7+ ( -6vQ) -;>+

gR) 1t>

Di ğer taraftan, -4 U. V = cosct— + cosp

ax

a —

ay

+ cosy

—

az

olduğundan,

X

d (po) = ds

p

R -k›)

= (İ+J• ;> ) -4 F şekilde ifade edilir. Örnek 3.5.1 : F(x,y,z)= x - y i + yz j+ z 2 k vektör alan ının Po (1,1,1) noktas ında -+ •-* ve A=2 i- j+3k yönündeki yönlendirilmi ş türevini bulunuz. Çözüm : A =

+ ( _ 1) 2 + 32 = N/4+1+ 9 = Nr14 olduğundan A vektörü ile ayni

yöndeki birim vektör 2 -> 11 = Nr14 1 dır.

1

3 ->fr -

dF 2 8 1 a 3 d s ... -J-171- ax ,[14 ay + Nr1-4

D -p>= az] "'

-.>) = 2( (2 14 x ı +zi• ) -- ,İf4.2xY i ) -rolur. Bu ifadenin Po noktas ındaki değ eri + 2 -> 6 dF — (1,1,1)= 3 ,/f74: ds

Nr1-71:

yj+2z1()

K

dı r. 3.6. B İR VEKTÖR ALANİN D İVERGENS İ -4

-->

Tan ı m 3.6.1 : D bölgesinde tan ı mlanm ış bir vektör alan ı F =P i +Q j+R k olsun. F vektör alan ı nı n divergensi, + divF = — M) ax ay az şeklinde ifade edilir. 72

-

Bir vektör alan ın divergensi bir skaler aland ı r. Nabla (P) operatörünü kullanarak F vektör alan ın ın divergensi, dir.

div F = V. F

Not : Nabla (P) operatörü bir vektör olarak göz önüne al ınmas ı na rağmen bir vektörün bütün özelliklerine sahip de ğildir. Örnek olarak, •-› V. F = div F bir skaler oldu ğu halde

=

ex .9y Dz

o

a

Dy

Dz

=P—+Q —+ R—

Ox

ifadesi bir diferensiyel operatör gösterir. Bu da div F ile ayni de ğildir. Biz biliyoruz ki skaler çarp ı m değişme özelli ğine sahiptir. Divergens operatörünün

G) = div -F+ div b) div(f • F) = f • div F+ (grad f)F bu özellikler divergens tan ımı ve türevin bilinen kurallar ı yard ı mıyla kolayca gösterilebilir. f , diferensiyellenebilir bir skaler alan oldu ğundan ve 'Q. operatörü yard ımıyla divergens operatörünün özellikleri şu ş ekilde yaz ı labilir.

\5.

a) VCF+ Ğ) = b)

(f .

=f

-F> + V - f • F> = x2y -i> + (x + y2 )1+ (zex + y)1: vektör alan ı nı n divergensi

Örnek 3 .6.1 : nedir ? Çözüm :

,

N

div F = —(x 2yi + —(x + y 2 ) + Dx ay

+y)

= 2xy + 2y + ex dir. örnek 3.6.2 : F (x,y)= [

[ x 2 Y 2] + 2 x +y x +y 2

vektör alan ın ın divergensi nedir? 73

Çözüm :

div -F> = (') ( Dx x2 + dı r. O

2

ay

x + y2 )

Bir D bölgesinde tan ımlanm ış skaler alan f olsun. f nin gradiyenti, --> Of -.> Of Of --> gradf=Vf=-1-1--j+— k Dz ax Oy bir vektör alan ı d ı r. Bu vektör alan ı n ın divergensi div(grad f) = 'Tç>/-

2f a2f a2f =8 — Dx2 0y 2 OZ 2

02 02 02 0,x 2 0y 2 0z2

f =V2 f

dir.

(

Bu ifade f skaler. alan ı n ı n LAPLAS İ YEN İ olarak bilinir. ">V« =V2,- ex 2 + ey2 + ez2 operatörüne ise LAPLACE OPERATÖRÜ ad ı verilir. Matematiksel fızigin, kısmi türevli denklemlerinden önemli biri V 2 f = 0 Laplace denklemidir. Bu denklemin çözümü olabilen fonksiyonlar HARMON İK FONKS İ YONLAR ad ı ile an ılmaktad ır. -4

-■

Tan ı m 3.6.2 : D de tan ı m', bir vektör alan ı F olsun. Eğer D de V4) = F olacak

şekilde bir 4) skaler alan ı varsa, F vektör alan ı na KORUNUMLU ALAN denir. skaler alan ı na ise F nin POTANSIYEL FONKSIYONU ad ı verilir. Korunumiu bir alan ı n potansiyel fonksiyonu keyfi bir sabit fonksiyon fark ıyla tekdir. Yani 4 1 ve 4 2 her ikisi de F nin potansiyel fonksiyonu iseler 49 1 - 4) 2 = sabittir. Gerçekten ep'= 4, - 4) 2 ise -4 -4 V4>= V4), -V4) 2 = F- F =O olur. Bu sonuçta 4 = sabit oldu ğunu gösterir. Pratikte bu sabit yerine s ı fı r al ı n ır. Örnek 3.6.3 : Bir F korunumlu vektör alan ı

F(x,y, ı) = (yz + cosy) i + (xz - siny) + (xy + 2z) I: ile veriliyor. Bu alan ı n potansiyel fonksiyonunu bulunuz ? 74

■

Çözüm : Istenen (5 potansiyel fonksiyonu ' 77(5 = F denklemini Sa ğlar. F = (4,,,i5 y ,4 z ) olduğundan

„ = yz + cos y , (5 y = xz - sin y ,

= xy + 2z denklemleri sa ğlanmas ı gerekir. Bu denklemlerin birincisini x'e göre integre edersek, = xyz + ex cos y + f(y,z) dir. Burada f keyfi bir integrasyon sabitidir. 4) fonksiyonunun y'ye göre türevini alır, F nin ikinci bile şeni ile e şitlersek, y = XZ

ex sin y + fy (y,z) = xz - sin y

olur. Buradan fy (y,z)= 0 dir. Bu da f , y den ba ğı msı zd ır. O halde

4

fonksiyonu

xyz + cos y + f(z) biçimindedir. Bu ifadeyi z'e göre türevini al ır F nin üçüncü bile ş eni ile e şitlersek, (50z xy + f(z)= xy +2z olur. Buradan f'(z) = 2z = f(z) = z 2 + c , (c keyfi bir sabit) elde edilir. Böylece istenilen (5 potansiyel fonksiyonu, = xyz + ex cos y + z 2 + c olarak bulunur. 3.7. B İ R VEKTOR ALANIN ROTASYONEL İ (CURL) Tan ım 3.7.1 : Bir .- vektör alan ı, F(x,y,z)= P(x,y,z) i + Q(x,y,z) j + R(x,y,z)rc verilsin. ''. nin Rotasyoneli --> ap DO ap --> + i+(--) j+ k az az ax ax ay olarak tan ımlanan yeni bir vektör alan ına denir. Nabla (V) operatörünü kullanarak rotasyon ifadesini rotF. =(

00

— aR -

ay

--

aR

-

i j k --> D rot F = a Dx ay -0Z P Q R biçiminde yazmak daha kullan ışl ı dır. Bu ifadeyi de rot F = Vx F ş eklinde yazabiliriz. 75

-

-

Rotasyonun -4 -4 a) rot(F+ G) = rot F+ rot G b) rot(f .F) = f rot F+ (grad f) x F bu özellikler rotasyon tan ımı ve türevin bilinen kuralları yard ımı yla gösterilebilir. Bu ifadeleri V operatörü yard ı m ıyla yazarsak, a) ;ğ> x (F> +

= '-V> x

b) "9' x f•F = fV xF+OfxF olur.

Örnek 3.7.1 : -4 -4 F(x,y,z)= xy2 i + xsin(yz) j + eYz2 k vektör alan ı veriliyor. rot F y ı bulunuz. Çözüm : Rotasyon tan ı mı ndan, k rot F =

ax xy 2

ay

az

xsin(yz) eYz2

=[z2eY xy cos(yz)]

0 j + [sin(yz) -

= [z2e 3' - xycos(yz)] i + [sin(yz) - 2xy]-1C dir.

76

-

III. BÖLÜM ILE ILGILI ALI ŞTIRMALAR 1. Aşağıdaki ifadelerde, f skaler alan ının Po noktasındaki A vektörü yönündeki yönlendirilmi ş türevini bulunuz. a) f(x,y)= x 2 — y 2 , P0 (2,-1) , A = i + j b) f(x,y) = x 2 — 2xy + 3y2 , Po (-1,2) , 4k.> = —i+ 2j> c) f(x,y) = ex cos y , P0 (1,;-) , A = i— j> d) f(x,y)= x 3 — 3x2y — xy + y2 , Po (2,2) , A, := 27+j> e) f(x,y,z)= xy +yz +zx , P0 (1,1,-1) , A=2 i+ j-2k f(x,y,z)= xyez + z 2 , Po (-1,2,0) , A> = —i+ 21+ 21c g) f(x, y,z) = xsinz — ycosz , P o (2,3, -j 7 , A =3i+2 j-2k h) f(x,y,z)= ln(x 2 + y2 —

, Po (2,2,-1) , A = i+ j—k

b) 2.1. -Nİ e) (1+ 3) 5 2,ri e

d -/

38

e)

8 4 f) — 3 3

g) —

h)

34

2. a) f(x,y)-= xy 2 — lny skaler alan ının (,[3-,2) noktas ı ve R(t) = 2cost i + 4sin, t j bulunuz. b) f(x,y,z) =

r

, t 0 eğrisi üzerindeki yönlendirilmi ş türevini

— 2xy -F z2 skaler alan ını n

5 ,1,1 (../ 3

noktas ı ve x = 2sin t

y = 2cost , z = t (t z 0) helisi üzerindeki yönlendirilmi ş türevini bulunuz.

sin t )+(4,[5 1 e,(j) 2 cos t 2 V1. +3cos2 t + 3 cos2 t 4(,[3- — 2 ir b) COS t + sin t + , 3../5 3. Aşağıda, f skaler alan ı ve yanları nda yaz ılı olan noktalardaki gradiyentini bulunuz. a) f(x,y) = x 2 cos y + y , Po (1,0) a) (4 — e'rj In 2)(

4) 4 ,11 b) f(x,y) = x sin y + ycosx , P0 (21 e) f(x,y)= arctan( 1) , P0 (1,-1) 77

3

d) f(x,y,z) = x 2 + yz + z2 , Po (1,-1,1) e) f(x,y,z) = ln(x 2 + y2 - 2z2 ) , Po (2,-2,1) f) f(x,y,z) = xye x + y Inz , Po (-1,-1,1) a) 2 i + j b) 13-- [(1- 7-1 -1> + + 1-c )1 c) 1 (i>+ 2 4 4 2 d)21+ j+k e)

3

-+ 4. Bir skaler alan ı n gradiyenti tan ımı nı yaptıktan sonra R = x i+y j+zk ve r = fx2 + y 2 + z2 olmak üzere grad r" = nra -2 lı.< olduğunu gösteriniz. 5. Aşağı da, f skaler alan ı n ın yanlarında yazılı olan noktas ında f nin yönlendirilmi ş türevinin maksimum oldu ğu değeri bulunuz. a) f(x,y) = x 2y + (x - y)2 , Po (1,1) Po (-1,1) b) f(x,y)= ln(x 2 +2y2 ) X2 + 2y2 3z2 , Po (2,-1,1) f(x,y,z)= d) f(x,y,z)= z arctan(-Y-) , Po (-1,1,2) [a) ,NR. b) 2 /-5— e) 2N/1:7 d) 3

(32 +9 1c2)1121 4 J

6. Aşağıda, F vektör alan ını n yan ı nda yazı l ı Po noktası nda ve A vektörü yönündeki yönlendirilmiş türevini bulunuz. a) -F>(x,y)= y -i>- x -j> , Po (1,1) , -A> = 7+1 b) "F - (x,y). ex(cosy i + sin y1) , Po (0,1 , A = i - j 3 e) F(x,y)= x2y i sin(xy) j , Po (1,-T-c ) , -A>. = 2 -1> 4 -

d) F(x,y,z)= xy i + x 2y j + z2 k , Po (1,-1,1) e) i>7(x,y,z) (x + y) -i> + xy -j> + yz

, Po (2,1,-1) , -A> = 2 -1>- 2 -j> + -iC

1> - J) b) 2 -3/2 [(...fi+ 1)7+ (Nrj" - 1)1]

e) (13) -1 "[(n

-

3)7

3

-

2 -1C) 78

j+ IC

+ (y2 + z) j + (z2 + x)i>c , Po (1,1,1) , -A> =(-1,1,-1)

f) F(x,y,z)= (x 2 + a)

=

e) -

)

f)---(-1>--7j+31-+c)

7. Aşağı daki vektör alanlar ının divergensini bulunuz. a) F(x, y) = ex (cos y i + siny j 2 x 2 7+

b) F(x,y)=

x +y

)

2 x 2 1. x +y

e) -- '(x,y,z)= (x 2 + y2 ) -i> + z e" 1 d)

(x,y,z)= (1+ y 2 ) -i+ x eı j>

e) -F>'(x,y,z)= x

y

z eY 1-+c

f) -F(x,y,z)= x siny -i>+ y sin(xz) -j+ cos(ez)i c> (x -i>+ y g) F(x,y,z)=

z -k>

1x 2 4. y 2 4. z2

a) 2e" cosy b)

(x2 — y2 —2xY) (x2 ± y2) 2

c) x(2 + ze") d) O

e) ex + eY + ez f) sin y + sin(xz) — sine z g)

V

2 x2 + y2 + z2

8. Aş ağı daki vektör alanlar ının Rotasyonelini bulunuz. a)

= ex(sin y i + cosy j xj›)

b) › (1<,Y)=

(X2 + y2 )

-F>'(x,y,z)=

1/2

x 2y z3 (--i) +1+ -1(* ) ,

,

d) F(x,y,z) (y z 2 — 2x) i +( z2 + 2y) j + (2xy + x 2 ) -1c e) -Ft(x,y,z)=. xy z2 t) F(x,y,z) = (4xy

a) O b)

Vx

1

2x y3 j— x2y z 4 z3 ) + 2x 2 j 3xz2

--> k c)( x2z3 3x2yz2) + (3x2yz2 2 + y2

.4 ,-+ 2xyz3 ) j +(2xyz — x2z3) k-

, d) 2x (1 — z) + 2(yz — x — y) j e) — x 2z i + 4xyz j + (2y3 — xz2 )

f) O 79

-

- z

-

-

9. u ve v diferensiyellenebilir iki fonksiyon olsun. Gösteriniz ki, ç72 (uv)= u"V>2v +2 ğ) u • D v + v"ğ>2 u dur. 10. Aş ağı daki F korunumlu vektör alan ı veriliyor. Bu alan ın potansiyel fonksiyonunu bulunu ı. (x -1> + yl) a)

F'(x ' y) = (x2 + y2)

b) F) (x,y) =

(-y i+x j) ( x2 + y2)

-4 -4 c) F (x,y,z)=x i+y j+zk , d) F (x,y,z)= (2xy + z 2 ) i +(2yz + x 2 ) j +(2zx + y 2 ) k -4 -4 e) F (x,y,z)= e x cosz i + 2y j- e x sinziC 2 +c a)«x,y) = —1 ln(x 2 + y )+ c b) 4)(x,y)= -arctan 2 Y y 2+ z 2

c)(1)(x,y,z)= x

+ c d) 4)(x,y,z)= x 2y + xz2 + y2z + c 2 e) 4(x,y,z) = e x cosz + y2 + c

11. F(x,y,z)= y i + z j+ x k ve G (x,y,z)= x2z i + y 2x i + 2 y .K oldu ğuna göre aş ağıdaki ifadeleri hesaplay ın ı z. a) div(Fx Ğ) = ? b) rot.Fx G) = ? c) F x rot G = ? d) (rot F) x (rot

=?

a) - 2xy 2 - 2yz2 - 2x 2z b) ( 3xy2 _ xi 2y2z) i - (y 3 - 2xz2 - 3yz2 ) j +(3x 2z - z 3 + 2x2 y) k c)(y 2z - x 3 ) i + (xz 2 - y 3 ) j + (x 2y - z3 )1-C d) ( x 2 _ y2) i + ( y2 _ z2) -+ + (z2 _ x2)-k> 80

12. Aşağıdaki ifadelerin do ğrulu ğunu gösteriniz. a) div(grad f) =V2 f b) rot(grad f) = Vx V f = 0 c) div(rotF) = 'V.(Vx F) = O d) rot(rot

C

= '-V> x Öx F)

= O> . ) - V. ) = grad(div --F>) —02 F> 13 .

z k ve r = ,V x 2 + y2 4. z2 olmak üzere r'nin türevlenebilir y herhangi bir fonksiyonu f olsun. Bu durumda a şağıdaki eşitliklerin do ğruluğunu gösteriniz. a) div(grad r") = n(n +1)1' 2 , n E I•1

i=x

b) Rx V f(r) = 0 d ır.

81

IV. BÖLÜM

SKALER VE VEKTÖR ALANLAR ÜZERINDE İNTEGRAL I ŞLEMLER 4.0. GIRI Ş Bu bölümde skaler ve vektör alanlar üzerinde e ğrisel ve yüzeysel integralleri inceleyece ğ iz. tı

J f(x) dx ve jjg(x,y) dx dy D

integralleri temel matematikten bildi ğ imiz tek ve çift katl ı integrallerin yap ı larının doğal bir genelle ştirilmesidir. (Bu integraller xoy düzleminin bir bölgesinde ve x' in bir aral ığı üzerinde f ve g fonksiyonlar ı tan ımlanı r). E ğrisel integralde integrand fonksiyonu bir uzay e ğrisi üzerinde, yüzey integrali de bir yüzey üzerinde tan ımlanm ış olacakt ır. 4.1. SKALER ALANLARIN E ĞRİSEL İNTEGRALLERİ Uzayın D bölgesinde tan ımlanm ış bir düzgün e ğri C olsun. R(t) = x(t) i y(t) j + z(t) k , a < t .1:1 olmak üzere C e ğ risinin yay uzunlu ğu b

S(t) =

J

121(t) dt

a

olduğundan d s = R'(t) d t

olacakt ı r.

f skaler alan ı D bölgesinde sürekli oldu ğunda f, C eğrisi üzerinde tan ımlı ve sürekli olup, her a S t b için f[x(t),y(t),z(t)] de ğerlerini al ır. f nin e ğrisel integrali C e ğrisi boyunca jf ds şeklinde gösterilir ve

J f(x,y,z)ds= i f[x(t),y(t),z(t)]b

R'(t) dt

belirli integrali ile hesaplan ı r. Eğer f =1 ise bu integral C e ğrisinin yay uzunlu ğ unu verir.

82

- 1

Örnek 4.1.1 : C e ğrisi R(t) = cos

sin tj+ t 1: , 0 S t 2n helis oldu ğuna göre

Jxyzds integralini hesaplay ınız. Çözüm :

-->

R(t) = cost i + sin t j+tk -+ --+ R'(t)= – sin t i + cost j + k dir.

R>'(t) = [sin 2 t + cos2 t +11112 = Ayrı ca d s

d t olacağından

R'(t) d t = zn

Jxyzds= jcost.sint.tfidt 0 2n = jtsin t cost d t o = ,12-[1 sin2 t fn- 21x1 sin 2 t d tl 2 0 02 . 2 = — r2 2J°`sın dt 2

Nr ' 2 L2 =

7G

]2n 1 sin t cos t 2 o

, dir.

Eğrisel integraller yay uzunluklar ına göre birçok mekanik problemlerinde ortaya çıkar. Mesala; f(x,y,z), C uzay e ğrisinin üzerine yerle ştirilmiş bir telin (x,y,z) noktası ndaki yo ğunluğu ise M = jf ds telin kütlesini verecektir. Toplam kütlesi M olan bir telin

ağırlık merkezinin koordinatlar ı

-x = Mı x f(x,y,z) ds = M jyf(x,y,z)ds z =- Jzf(x,y,z)ds M

83

eğ risel integral yard ım ıyla hesaplan ı r. Örnek 4.1.2 :

y = x2 parabolünün (0,0) ve (2,4) noktalar ı aras ına yerle ştirilen bir

telin yoğunluğu f(x,y) = x ise bu telin kütlesini bulunuz. Çözüm : Söz konusu parabolün vektörel denklemi

R(x)= x i +, j , O x <2 olup, ds yay uzunlu ğu ds =

dx

4x 2 dx

dir. Böylece istenen telin kütlesi 2 2 M = x ds = jx <1+ 4x2 dx o o

=1 12 (1 + 4x2)" 2 120 =F 12 (17,5.7 –1) bulunur. Örnek 4.1.3 : x2 + y2 = a2 (y > 0) çemberinin üst yar ısı üzerine yerle ştirilen bir telin yo ğunluğu f(x,y) = y ise bu telin a ğı rl ık merkezini bulunuz. Çemberin üst yar ısını n vektörel denklemi -+ R(0) = acos0 + asin0 j , O O olup, ds yay uzunlu ğu Çözüm

ds = R'(0 dO = ıi(–asin0) 2 + (a cos 0)2 dO = a dO d ı r. 0 halde istenen telin kütlesi M = ds ly =1(asinO)ad0 o o TI

= a2 f sin0 d0 o = az (–cos0)1 = 2a 2

o

dir. Telin a ğı rl ı k merkezinin koordinatlar ı (x,y) ise simetriden dolay ı x = O olur. y ise =— m i y f(x,y)ds

84

2 j(asınO) ad() 2a` o ıta ira ) bulunur. O halde kütle merkezinin koordinatlar ı (0,— =— 4 4 .

noktas ıdı r. Tanım 4.1.1: C eğ risi üzerindeki herbir P(x,y,z) noktas ının sabit bir L do ğrusuna uzaklığı d(x,y,z) olmak üzere telin L ye göre Eylemsizlik Momenti I L = jc1 2 (x,y,z)• f(x,y,z) ds e dir. E ğer L do ğrusu z ekseni oldu ğunda d2 = x2 + y2 olacağı ndan eylemsizlik momenti Iz = J(x 2 + y 2 ) f(x,y,z) ds C dir. Tan ım 4.1.2 : E ğ er f teldeki ısı değerini belirleyen bir fonksiyon ise o takdirde L telin .uzunlugu olmak üzere j f(x,y,z) ds

L eğrisel integraline teldeki ortalama s ı cakl ık derecesi denir. Örnek 4.1.4 :

(t) = costt+ sin

, O t S 2n helisin jxyz ds integralini

hesap ettikten sonra helisin ortalama s ıcakl ık derecesini bulunuz. Çözüm : Helisin uzunlu ğu, za L = jds = dt = o e ve f(x,y,z) = x yz helisin (x,y,z) noktas ındaki ısı derecesini ifade eden bir fonksiyon oldu ğundan, helisin ortalama s ı caklık derecesi İ 2 Iz 1 —j f(x,y,z) ds = 2-V2 it jtsin t .cos t dt L, o

j,rı

1 4 dir. Üç boyutlu uzayda f(x,y,z) in bir C e ğrisi boyunca x,y,z de ğ i şkenlerine göre eğrisel integralleri de şu şekilde tan ı mlan ır.

J f(x,y,z)dx = jf[x(0,y(t),z(0] h x'(t) dt e

85

J f(x,y,z) dy = f[x(t),y(t),z(t)] y'(t) dt a Jf(x,y,z) dz = Jf[x(t),y(t),z(t)] z'(t) dt dir. E ğer f(x,y,z) = 1 al ın ı rsa s ı rasıyla integraller x(b)-x(a), y(b)-y(a), z(b)-z(a) oldu ğu görülür. Not : C e ğ risi boyunca hareket eden bir partikülün h ızı R'(t) oldu ğunda bu partikülün yer de ğ işimi koordinat eksenleri üzerindeki izdü şümüdür. İ ki boyutlu olduğunda, xoy düzleminde bir e ğri C olup, bu e ğri boyunca f(x,y)..>: 0 olmas ı durumunda f nin eğrisel integrali geometrik bir anlama sahiptir.

Ş ekil 4.1 Geometrik olarak Ş ekil 4.1 den de görülüyorki C e ğ risi herbir (x,y) e C noktası ndaki yüksekli ği f(x,y) olarak verilen dü ş ey bir silindir yüzeyini meydana getirir. Burada J f(x,y) ds e ğrisel integrali yüzey alan ını verir. Ayrıca jf(x,y) dx ve e J f(x,y) dy integralleri de silindir yüzeyinin xoz ve yoz düzlemlerindeki izdüşümlerinin alan ın ı vermektedir. 86

-

Örnek 4.1.5 : x 2 + 4y 2 = 4 (x > O , y > O) e ğrisi üzerinde dik duran ve (x,y) taban noktasındaki yüksekli ği f(x,y) = xy olarak verilen bir duvar ın yüzey alan ı n ı bulunuz. Çözüm : E ğrinin parametrik denklemi x = 2 cos0 , y = sin O ve 0<0<-7c 2 olduğundan eğ rinin vektörel denklemi R (0) = 2 cos O i + sin0 j R i(0) = —2 sine i + cos0 j R'(0) =

sin2 O + cos 2 O = J3 sin2 O + 1

ds =

dO = + 3 sin2 O dO

dır. O halde istenen yüzey alan ı n/2

jxy ds = f 2 cos0 sine 41+ 3 sin2 O dO o 3/2 ıt/2

—2 (1 + 3 sin2 e) I o 9 _ 14 9 bulunur.

4.2. VEKTÖR ALANLARIN E ĞRİS EL İNTEGRALLERİ Şimdi, eğrisel integral tan ımı nı vektör alanlarına genişletelim ve fı zikteki i ş konusunu göz önüne alal ım. F uzayda bir kuvvet alan ı ve C de F nin etkisi alt ında hareket eden bir partikülün yörüngesi olan düzgün bir e ğri olsun. D vektörünün temsil etti ği doğru parças ı C ve F de sabit bir kuvvet ise F nin partikül üzerinde yapt ığı iş, -4 -4 iş = F. D dir. Eğ er genel olarak C e ğrisi, R(t) = x(t) i + y(t) j+ z(t) k, a 5 t s b denklemi ile verildi ğinde C e ğrisini sonlu sayıda Ci parçalar ını n birleşimi olarak -4 ele alıp F nin yapt ığı işleri toplayarak C üzerinde F tarafından yap ılan i şi hesaplamış 87

oluruz. Bunu yapmak için [a,b] aral ığın' a = t o < t i < ...< t„, < t„ = b olacak şekilde n-tane alt aral ığ a bölelim. Herbir C ; parças ı i n için R(t) t; , -4 -4 tarafı ndan tan ı mlansı n ve AR; = R(t ; )— R(t ; ...1 ) olsun. R(t H ) ile R(t i ) aras ındaki yay uzunlu ğunu AS ; ile gösterelim.

Ş ekil 4.2 Ş ekil 4.2 den görüldü ğü gibi n nin büyük değerleri için AS ; yay uzunlu ğu küçülerek AR; ye eşit olacak şekilde yakla ş acakt ı r. Ayrı ca F kuvveti C; üzerinde yaklaşık olarak sabit bir Fi kuvvetine e ş ittir. Burada F; = F[x(C ; ),y(C ; ),z(C ; )] , t ;„ < C ; < t; , 1 i n dir. Bu şartlar alt ında partikülün AS ; kadar hareket etmesi halinde F nin yapm ış olduğu i ş yakla şık olarak -4 -4 w ; = F; • A R; dir. Diferensiyel hesab ı n ortalama de ğ er teoreminden -4 -4 AR; = R(t ; )— R(t ; _ ; ) = R'(ri ; ) At ; , 88

t ve At ; = t ; •—

dir. O halde C eğrisi boyunca partiküle F kuvvet alan ı tarafından yap ı lan yakla şık i ş n -> -› iş = E Fi • R'(1-1; ) At;

ı=1 dir. n sayısı büyüdükçe iş gerçek de ğerine yaklaşacaktır. O halde limit n b ->

co giderken

-+

F[x(t),y(t),z(t)] • R'(t) dt integraline yaklaşı r. Bu da C e ğrisi boyunca hareket eden bir partiküle F taraf ından yaptırılan i şi gösterir. F nin C boyunca integraline "E ğrisel integral" denir. Tan ım 4.2.1 : D bölgesinde tan ımlı ve sürekli bir vektör alan ı -->

-->

-->

-+

F(x,y,z) = P(x,y,z) + Q(x,y,z) j + R(x,y,z) k olsun. D bölgesinde sürekli türevlenebilen basit bir C e ğrisinin denklemi -4 -4 -4 R(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k , a t b 4 -4 verilsin. C e ğ risi boyunca F nin integrali F.d R olarak tan ı mlan ı r ve

j -F.d it> = 1F[x(t),y( t), z(t)] •

cl

dt dt dir. Bu e ğrisel integral genellikle C eğrisi üzerinde tan ımlı bir skaler alan ın da integralidir. Gerçekten, --> t

R'(t) R'(t)

birim teğet vektör olmak üzere f(x,y,z) = F(x,y,z)• t dersek

IF.dR =J F R'(t)

jFt br

R'(t) dt

R'(t) dt

= J f ds dir. Bu integral C e ğrisi üzerinde F nin te ğ etsel bile şeninin yay uzunlu ğuna göre eğrisel integralidir.

89

Eğrisel integrallerin ba şka notasyonlarla gösterimi : 1. F nin e ğrisel integrali C e ğrisine de ğil de A ve B gibi uç noktalara ba ğlı olması halinde —> —>

B —>

IF•dR= jF•dR c

A

şeklinde gösterilir. 2. Eğrisel integral F nin bile şenleri cinsinden f -F•dR=j• Pdx•i-jQdy-FjRdz c e e e dir. Bunu kısaca jP dx Q dy -1- R dz e şeklinde gösteririz. Burada P, Q ve R skaler alanlar, x, y ve z de de ğiş kenlerdir. 3. C nin basit kapal ı bir e ğri olmas ı halinde e

şeklinde gösterilir. Burada ok, e ğri boyunca pozitif yön olarak al ı nacakt ı r. Örnek 4.2.1 : C e ğrisi y = x2 parabolü boyunca, orjinden (2,4) noktas ı na kadar •-* F(x,y)= x 2y i + (x 2 y) j nin eğrisel integralini hesaplay ını z. Çözüm :

I. Yol : Verilen eğrinin vektörel denklemi

t'

9'.°X <2.4')

it(t)=ti+t' j , 0
J -).dR> =j(t4 +4t3 )dt o

e

o 112 - 5

Ş ekil 4.3 II. Yol : y = x2 olduğ undan dy = 2x dx O < x < 2 den

90

dir.

I X 2 y dx + (x 2 +

e

2 dy = jx 4dx + (2x2 ) 2x dx o = j(X 4 4x3 ) dx

o 112 5

bulunur. Örnek 4.2.2 : C, orjin merkezli ve 2 yar ıçaplı çemberin üst yar ıs ı boyunca yönü

saatin dönme yönünün tersinde olan egrinin F(x,y)= X2 i + y j olmak üzere egrisel integralini hesap ediniz.

x = 2 cos0 y = 2 sin0 0S0 olmak üzere eğrinin vektörel denklemi

R(0) = 2 cos0 + 2 sin0 j ise = 4 cos2 0i+ 2 sin0 -j>

olur.

F• de = [4 cos2 0 --i+ 2 sin01• [-2 sin0T+ 2 cos01 = -8 sin0 cos2 O + 4 sin 0 cos0

dı r.

Eğrisel integral J . d R = j[-8 sin0 cos 2 0 + 4 sin0 cos0] dO e o = 1-3» COS3 I- 2 sin2 0)1:

(3

= 16 3

bulunur.

Örnek 4.2.3 : Orjinden (1,-1,1) noktas ına kadar

91

F(x,y,z)-= (x + y 2 ) i + (x + z) j+ xy k n ın eğrisel integralini, a) Bu iki noktay ı birle ştiren do ğru boyunca, b) R(t) = t i - t 2 j + t3 k

0 t 5_1

eğrisi boyunca hesap ediniz.

Çözüm : a) L yi orjinin (1,-1,1) noktas ına birleştiren do ğru parças ı olarak alal ı m. Parametrik denklem x = t , y = -t , z = t , 0 .5_ t S 1 olmak üzere L üzerindeki e ğrisel integral , j F , d R = (x + y 2 ) dx + (x + z) dy + xy dz L L = f (t + t2 ) dt + (t + t)(-dt) + t(-0 dt o = I(-t) dt o 1

2 -4 b) R(t) = t i

j + t' k

bulunur. 0 S t :5_ 1 e ğrisi boyunca e ğrisel integral

(Burada x = t , y = -t 2 , z = t3 ) -› „ -> ( t 4 ı +kt+ / JF.dR =I[(t+ t- ■) j- t' k]•[i- 2t j+3t 2 kjdt o

= J(t + t 4 - 2t2 - 2t4 - 3t5 ) dt 0

= f (-3t 5 - t 4 - 2t2 + t) dt 0 13 = -5 dir. Örnek 4.2.4 : C, (0,0,0) noktas ını (1,2,3) noktasına birleştiren bir partikülün kuvvet alan ı F(x,y,z)= xy i+ yz j + x ı k oldu ğuna göre, R(t)-= t i+ 2t` j + 3t' k , O t 1 eğrisi boyunca partikülün hareket etmesi halinde yap ılan i şi hesaplayın ı z. Çözüm : -4 , ,„ -4 , „ , -> d R F. — = [t.2t` i +12t113t') j + t(3t') k] [ i + 4t j + 9t 4 k] dt = 2t3 + 24t 6 + 27t 6 6 + 2t3 92

=51t

yap ılan i ş W =1(51t 6 + 2t3 ) dt =-1-(2 birimdir. 14 4.3. E ĞRİ SEL İNTEGRALİN ÖZELLIKLERI Eğrisel integralin de ğeri bölüm 4.2 deki örnek 1 ve 2 den de görüldü ğü gibi eğrinin gösterim biçimine ba ğl ı değildir. Bunu şu şekilde aç ı klayabiliriz : C e ğ risi R(t)= x(t) -i>ı + y(t) -j> +z(t)1: -+. R (t') = x (t') I+ y (t') j + z (t') k

a_t.b ve

c t' d gibi farkl ı iki şekilde ifade edilsin.

R (b) =-R>* (d)

Her iki durumda da C nin hareket yönü ayn ı . Yani R(a) =R (c) olsun. Bu durumda SF.

-4.cı ii+

veya bf

F[x(t),y(t),z(t)]-1i)'(t) dt = dj -F*,[x* (0,y . (t`),z* (01

(t') dt'

-› . dır. E ğer C nin farkl ı yönlerindeki hareket farkl ı ise R(a) =R (d) dir. O zaman eğ risel integralin de ğerinin i şareti de ğ işir. Yani

"it(b) =1t .(c)

f•dR=--JF•dR * e e olur. Skaler ve vektör alanlar ın eğrisel integrallerinin baz ı temel cebirsel özellikleri : -4 -4 1. C, R = R(t) , a b eğrisi üzerinde tan ım!i ve sürekli olan f ve g skaler alanlar ı ile F ve G vektör alanlar ı olsunlar. Bu durumda a ve b sabitler için j(af bg) ds

ds + tıf g ds

ve j(aF+b Ğ)•dii e\ e dir. Bu özelliklere Lineerlik özelli ği denir. 2. C eğ risi, [a,c] ve [c,1)] aral ığı üstünde R(t) denklemi ile tan ıml ı Cı ve C 2 gibi iki eğrinin birleşiminden meydana gelsin. O zaman ff ds= Jf ds+ jf ds e

c,

c2

93

-

VC

jF•dR= jF•dR+ IF.dR e, e2 dir. Bu özellik adi integraller için bildi ğimiz toplanabilme özelli ğidir. Yani J f(l() dx = f(x) dx + tl f(x) dx dir. 3.

Ş ekil 4.5 C eğrisi şekil 4.5 deki gibi parçal ı düzgün, sonlu sayıdaki birleşimi olsun. Bu durumda I f ds= ,ff ds + J f ds+...+ jf ds e e, ea C2 ve

eğrilerin

IF•dR= jF.dR+ e

C,

e2

C.

dir. Burada Ri (t) ler t o = a ve t. = b olmak üzere gösterimi olup, ds, =

(t )

dt , 1

S t :5_ t, de C i nin bir

n dir.

Örnek 4.3.1 : C e ğ risi (0,0,0) noktas ın ı (1,1,0) ve (1,1,0) noktas ını (1,1,2)

noktalar ı na birle ş tiren iki do ğ ru parças ı n ı n toplam ı oldu ğ una göre Ixdx—zdy+2ydz integralini hesap ediniz. e Ş ekil 4.6 dan da görüldü ğü gibi Ci eğrisi x = y ,z =O oldu ğ unda dx = dy , dz =O ve C2 ‘eğrisi x =1 , y = 1 oldu ğunda dx = O , dy =O d ır. O halde fxdx—zdy+2ydz= Jxdx+ J2ydz e

Ş ekil 4.6 94

e,

e2

▪

4,4. YOLDAN BA ĞIMSIZ E ĞRİSEL İNTEGRALLER F (x,y,z)= P(x,y,z) i + Q(x,y,z) j + R(x,y,z) -1c> vektör alan ı bir D bölgesinde tan ıml ı ve sürekli olsun. D bölgesinde herhangi iki nokta A ve B için -›

IF.dR= JF-dR e

A

eğrisel integrali A ve B yi birle ştiren C e ğrisine bağlıdır.

Tanım 4.4.1 : E ğer eğrisel integral sadece A ve B noktalar ına ba ğlı , eğriye bağlı değilse bu durumda integral yoldan ba ğı msızdır denir. Eğrisel integral basitçe A dan B ye bir integral olarak yazar ız. Ş imdi biz eğrisel integralin yoldan ba ğıms ızl ığı için gerekli ve yeterli ko şulları arayacağı z : İ lk olarak; F korunumlu bir alan olsun. Bu durumda \ -744) = F olduğunda D de sürekli ve türevlenebilir bir ılı skaler alan ı vard ır. O halde

•= D

Q=

, R = (52- dir. az aY D bölgesinde A ve B nin herhangi iki noktas ının koordinatlar ıda (x 0 ,y0 ,z0 ) ve

ax

(x l ,yi ,z 1 ) ise bu noktalar ı birleştiren C e ğrisinin denklemi de R(t) = x(t)7+ y(t) -j+ z(t) k

a

b dir.

O halde IF.dR=IPdx+Qdy+Rdz e 1 0(1) dx dy dz = —• + — • — +—•— dt ây dt az dt b

UL

o

J— dt dt = ıtı(x,,y,,z,) —(5(x o ,y,,zo ) d ır. Bu sonuç C nin parçal ı düzgün bir eğri olması durumunda da geçerlidir. Gerçekten C e ğrisi, [a,t 1 ],...,[t n_I M alt aral ıklarına karşıl ık gelen gibi n-tane düzgün e ğri parçalar ı nın birleşimi ise d (I) j—dt a dt

(14) — dt = E(Iı[x(t),y(t),z(t)] I 11-1 i=ı t „, dt i=ı b

= (14x(t),y(t),z(t)] 95

-4 -4 dir. Burada t o = a , t n = b dir. Böylece yine aynı sonuç elde edildi. O halde V(I) = F in e ğrisel integralinin de ğeri eğrinin uç noktalar ında 43, nin ald ığı de ğerlerin fark ına eşittir. Böylece F korunumlu bir vektör alan ı ise, eğrisel integral yoldan ba ğı msızdır. -> -4 Tersine; J F. dR e ğrisel integrali yoldan ba ğı ms ız olsun. D de herhangi bir sabit nokta (x o ,yo ,z0 ) ve değişken noktasıda (x,y,z) ise bu iki noktay ı birle ştiren D de parçal ı düzgün eğri boyunca 4(x,Y,z)=

JP( Şrl,C) d + (2(,r1,) dr1+ 1<(, 1"1,ç) dC

integrali ile tan ı mlı bir skaler alan meydana getirelim. Gösterelim ki; grad d) = F ise P = 2-- Q =ay - (1) ve R = 2- dir ax az

04,4,1)

P, Q ve R de ayn ı yap ıya sahip oldu ğundan biz sadece Oılı ax eşitliğini gösterelim.

r=

Ş ekil 4.7 (I) nin elde edildi ği integral yoldan ba ğımsız olduğundan, şekil 4.7 den de görüldü ğü gibi D bölgesinde (x o ,yo ,zo ) dan (x i ,y,z) noktas ına giden herhangi bir yol seçilebilir ve (x i ,y,z) ile (x,y,z) noktas ı n ı n aras ı n ı bir do ğru parças ı olarak alabiliriz.

96

Eğrisel integralin toplama özelli ğinden, ı (x,y,z)-÷ (xı ,Y,z). J. F dR + J F- dR (x,,y,z) (x03,0.zu) (x,r.z)-› = (1)(xl,Y,z) + J F. d R (x,,y,z)

4)(x,y,z)=

4)(x l ,y,z)+ 11)(,TI,C)c%

x, yazabiliriz. Burada (x i ,y,z) noktas ını (x,y,z) noktas ına birle ştiren do ğru boyunca y ve z sabit oldu ğ undan dy = 0 ve dz = 0 d ır. O halde Ili nin x'e göre k ısmi türevi alınırsa, 04) (x,y,z) = P(x,y,z) ax elde edilir. Benzer yolla, = Q(x,y,z) ve

ay

az

(x,y,z) = R(x,y,z)

bulunur. Bu durumda 4) fonksiyonu F için bir potansiyel fonksiyondur. Dolay ısiyle F bir korunumlu aland ı r. Yukarı daki ifadelerin bir sonucu olarak şu teoremi verebiliriz.

Teorem 4.4.1 : F bir D bölgesi üzerinde tan ımlanm ış sürekli bir vektör alan ı ve bu D bölgesinde herhangi iki nokta A ve B olsun. Bu takdirde e ğrisel integral ).( -F>. A

d -R> = 11P dx + Q dy + R dz A

-+ olması için gerek ve yeter şart F nin korunumlu bir alan olmas ıyla mümkündür. Yani Vil) = F için gerek ve yeter şart (I) fonksiyonunun bir D bölgesinde sürekli türevlenebilir olmas ıdır. Eğer, V(1) = F ise N. d it.> =4(B) — (1)(A) A

dı r.

Uyarı : Eğ er integral yoldan ba ğı ms ız ise her kapal ı eğri boyunca integralin de ğeri sıfırd ı r. Bunu bir teorem ile verelim. 97

Teorem 4.4.2 : D bölgesinde sürekli vektör alan ı F olsun. D nin her kapal ı C eğrisinde d

=

o

olmas ı için gerek ve yeter ş art D bölgesinde F nin e ğrisel integralinin yoldan bağıms ız olmas ıdır. Örnek 4 4.1 :

cli(x,y,z)= x 2y + yz + z2 ,

olmak üzere F nin e ğrisel integralini (1,-1,1) noktas ından (2,1,3) noktas ı boyunca hesaplayı nız. Çözüm : F, korunumlu bir vektör alan ı oldu ğundan, e ğrisel integral yaln ız uç noktalara bağlı olacakt ı r. 0 halde (2,1,31->

(2,1,3) ->

-›

f F•dR= J V4ı•dR (1,-1,1) = (5(2,1,3) – (5(1,-1,1) =17 bulunur. 4.5. DÜZLEMDE GREEN TEOREMİ (George Green bir Ingiliz matematikçisi olup 1793-1841 y ı lları aras ında yaşam ış ve kendisine ait bu temel teoremi bulmu ştur). Teorem 4.5.1 - (GREEN TEOREM İ) : D, xoy düzleminde bir basit bölge, C de bu bölgeyi çevreleyen pozitif yönde bir eğri olsun. E ğ er P ve Q, DUC de sürekli türevlere sahip fonksiyonlar ise P(x,y) dx + Q(x, y) dy = jJ(— Q– C

D

OP

aX aY

dir. Ispat : Teoremin ispat ı nı yapmak için

J P dx =

—Jf OF' dx dy D OY

ve Q dy = JJ— dx dy D Dx eş itliklerinin do ğ ru olduğunu göstermek yeterlidir. 98

dx dy ... I

Ş ekil 4.8

Ş ekil 4.9

Şimdi bu e şitliklerin birincisinin do ğru olduğunu gösterelim: Ş ekil 4.8 den de görüldü ğü gibi D bölgesinde C e ğrisi; C 1 , y = g(x) (a < x < b) denklemli bir üst e ğri, C2 y = f(x) , (a x b) denklemli bir alt e ğri ile x = a , x = b gibi doğrular tarafından smırlans ın ve x b için f(x) g(x) şartını sağlasın. Ayrıca f ve g fonksiyonları aSx 5 b aral ığında birinci mertebeden sürekli türevlere sahip olsun, bs

OP

—

)

jj — dx dy = —j[g(fx — dyidx D

ay

a y=fix)

aY

gY 0

= —f[P(x,y)]f(Ii )dx a

= —j[P(x,g(x))— b P(x,f(x))] dx

= 2:1 P(x,g(x)) dx j bP(x,f(x)) dx = — jP dx + JPdx 02

= flidx+ JPdx ci

c2

bulunur. Diğer taraftan x = a , x = b ise her iki e ğri üzerinde dx = p olaca ğından eğrisel integralleri s ı fırdır. O halde dx = C

D

ap dx dy ...II ay

dir. Benzer yolla şekil 4.9 dan faydalanarak 99

Q dy =JJ

dx dy ...III Ox olduğu görülür. Böylece elde edilen II ve III e şitliğin toplam ı ile istenen I e şitliği elde edilir. Bu e şitliğe Green formülü ad ı verilir. Teorem 4.5.2 : D, basit kapal ı parçal ı düzgün bir C e ğrisi tarafından s ını rlanm ış bir bölge ve alan ı A olsun. 1 A=2

dy - y dx

dir. 21> Ispat : Greenteoreminden P = -y , Q = x oldu ğunda —= -1

= 1 olacağından

DY Ijxdy-ydx= 1 0--'2P-)dxdv 2 D aX ay jj[ı -

(-D] dx dy

= JJ dx dy D

=A d ır. Örnek 4.5.1 : C, x 2 + 4y2 = 4 elips eğrisi oldu ğunda + 2y) dx + (3x - y) dy c

eğ risel integralini hesaplay ı nız. DP ax = 3 Çözüm Green teoreminden, P = x + 2y , Q = 3x - y oldu ğunda 931 = 2 , °Q olacağından f(x + 2y) dx + (3x - dy = jf (3 - 2) dx dy C

D

= j j dx dy D

=A dır. Bu da elipsin alan ıd ı r. Efipsin parametrik denklemi, x = a cos0 , y = b sin0 ve 0<0< 2 ıE olmak üzere Green formülü yard ımıyla alan hesab ından

100

A=

dy— y dx 2c

1 2g = — 1 (a cos8)(b cos0) de — (b sin OX—a sine) de 2 2

1 2n f(a b cos2 + a b sin2 O) de

1. ın = 2 fab de = 7Z ab bulunur.

Not : Verilen örnekte elipsin yar ı eksenleri a = 2 ve b = 1 oldu ğundan x2 + 4y2 = 4

elipsinin alan ı A = 7C ab = 2 ır dir.

101

IV. BÖLÜM İLE ILGILI ALI ŞTIRMALAR 1. C eğrisi x2 + y2 = a2 çemberi olup yönü saatin dönme yönünün tersinde oldu ğuna göre (x 2 - y 2 ) ds C

integralini hesaplay ın ı z. [ s ıfı r ] 2. C eğrisi, kö şe noktalar ı (1,0) , (0,1) , (-1,0) ve (0,-1) olan karenin yönü saatin dönme yönünün tersinde oldu ğuna göre j(x y) ds C

integralini hesaplay ın ı z. -4 -4 —3. ıt 3. C eğ risi, R(t) = a cost i + a sint j+ bt k , 0
3bn 2

2 ' 4

aral ığında

j(xy - z) ds C

integralini hesaplaym ı z. 2 967r2

(a2 + b2 ) 1/2 ( a 4

32

4. C eğrisi, y = 24 parabolü boyunca, orjinden (1,2) noktas ına kadar F(x,y)= (x 2 - y) i + (y 2 - x) -j> nin eğrisel integralini hesaplay ın ız. [1] 5. C eğrisi, x2 + y2 = 4 çeyrek çemberi üzerindeki (2,0) dan (0,2) boyunca F(x,y)= 2xy i + (x 2 - y 2 ) j nın eğrisel integralini hesaplay ını z.

-

4

-->

-->

-->

6. Orjinden (1,1,1) noktas ına kadar F(x, y,z) = ( ıı - z) i +(y - j+(z y)k n ın eğrisel integralini R(t)=ti+t 2 j+t 3 k , DSt<1 e ğrisi boyunca hesaplay ın ız. L 60 .4 4 7. (0,a,0) dan (a,0, ıc) noktas ı na kadar F(x,y,z)= (y -1) i + (x + 1) j + 2z k n ın

102

eğrisel integralini R(t) = a sin t i + a cos t j+ 2t k , 0 5 t _5.

2

- helisi boyunca

hesaplayınız. - 2a + ıc2 8. Parametrik denklemi x = 2(cost + tsin t), y = 2(sin t - tcos t), 0 5 t < 2 ıt olan eğri üzerine yerle ştirilen bir tel parças ı nın herhangi bir P(x,y) noktas ındaki yo ğunluğu f(x,y) = (x 2 + y2 )112 ise bu telin kütlesini bulunuz. [M=

43[(ı + 47t2 )"2 -

9. y = x2 parabolünün 0 < x < 3 aral ığındaki parçası üzerinde dik duran ve (x,y) taban noktas ındaki yüksekli ğ i f(x,y) = x(1 + 4y)712 olarak verilen bir duvar ın yüzey alan ını bulunuz. 1 (375 __ [A= 40 10. Aşağı da verilen F korunumlu vektör alanlar ının fonksiyonunu bulunuz. x -4;► Y a) F(x,y)= 2 x + y2 I + X2 + y2 J

4

potansiyel

b) F(x,y)= (y 2 cosx + 2xeY) i + (2y sinx + x 2eY) j -4 , c) (yz2e" - y sin x) i +(cosx + xz 2e") j+ (2ze" +1)1-C d) F(x,y,z)= (yez - z) -i>+(xez + 2y) j + (xyez - x)1c e) F(x,y,z) = (2xz - ye')i+[cos(z - 1) + e -1j+ Ex2 - y sin(z - 1)11( a)-1 1n(x2 + y2 ) + c b) y 2 sin x + x 2eY + c c) z 2e" + y cosx + z + c 2 d) xyez - xz + y2 + c e) x2z + ye' + ycos(z - 1) + c 11. Aşağıda verilen iF vektör alanlar ı yoldan bağımsız ise bu vektör alanlarının 4 potansiyel fonksiyonunu bulunuz. a)

(2xy + x2 ) --i+ (x2 + y) --;

b) .(x,y)= (x 2y -1) --i) + (x3 - 2y)j? c) F '(x,y)=

yY2i- X j

,

yO 103

d) F(x,y)— xi+yj + y2

i

x2

,

j e) F(x,y)= yi+x (x + y)2 F(x,y)=

(x,y) (0,0)

(x + y O)

xy 2 +X -:› 1+X 2-.> 2 ı 3 Y Y

,

g) ".>(,(,Y,Z)."= - 312i + x2i +2z1-: X 1- y

x 2 + y 2. 0

h) F(x,y,z)= (3xy 2 + y cosz) i + (2x 2y + x cosz) j - xy sinzrc i) F(x,y,z)=

xi+yj+zk , (x,y,z) (0,0,0) x2 + y2 + z2

F(x,y,z) (3e z +2xy) -i>+ (x2 + z sin y) -j> +(3xez - cos y) 3

a) clı(x,y)= x 2 y +

3

,2

+ c b) yola bağımlıdır.

c) p(x,y)= + c y O d) clı(x,y)= i/x2 + y2 + c Y e) yola bağımlıd ı r.

f)(1)(x,y)=

x2 1 —+---i-(x2 +1) + c 2 2y

g) 4(x,y,z) = z 2 -arctan( ) + c h) yola bağı mlıdır. Y 1 2 + y2 + z i)(5(x,y,z)= -ln(x 2 ) + c (x,y,z) (0,0,0) 2 j)(1)(x,y,z)= 3xez + x 2y zcosy + c 12. Aşağı daki e ğrisel integralleri Green Teoreminden faydanalanarak, verilen çevre eğrileri yard ı m ıyla hesaplayı n ız. a) f(x 2 - y 2 ) dx +2xy dy , x=0, x=2, y=0, y=2 b) 2xy 2dx + x 2y dy , 4x2 + y 2 = 4 elipsi c)

cosx - eY) dx - (y 2 + xeY) dy

d) f-x 2y dx + xy 2dy , y = ıia2 x 2 , - a 5 x 5 a üst yar ı m dairesi için e 104

e) f (cos x — 3y) dx + (x 2 + 2eY) dy , merkezinin koordinatlar ı (1,2) ve yar ıçap ı e 2 olan daire çevresi üzerinden

t) (3x3 — y3 ) dx + (x3 + 2y3 ) dy , Orjin merkezli birim çember üzerinden. c

[a) 16 b) O e) O d) =42= e) 20it

3n f)- ] 2

13. Green teoremini kullanarak, verilen e ğri üzerinden a şağı daki eğrisel integralleri hesaplay ın ı z. a) f (xcosx eY) dx — (y 2 + xeY) dy , 4x 2 + y2 = 4 elipsi b) Sex siny dx + ex cosy dy ,

+ .,/rY = 5 eğrisiyle [0,251 aral ığı

[ a)0 b)0

105

V. BÖLÜM

YÜZEY İ NTEGRALLERİ

5.0. G İ R İŞ Bu bölümde yüzey integralleri olan Divergens (Gauss) teoremi ve Stokes teoremini inceleyece ğiz. Bir yüzey üzerinde integral i şlemini yaparken yüzeyi düzgün yüzey parçalar ı na ay ı rmak gerekir. Düzgün yüzeyler küre, silindir ve koni gibi yüzeylerdir. Düzgün yüzeylerde koordinatlar ı n değiştirilmesi ile yüzeyin x0y düzlemi üzerindeki izdü şümünün kapal ı düzgün bir e ğri meydana getirdi ğini kabul edelim. Bu yüzey z = f(x, y) denklemli, birinci mertebeden sürekli ve diferensiyellenebilir olsun. Bu yüzeyler üzerindeki integral, yüzey parçalar ı üzerindeki integrallerin toplam ı na e şit olduğundan burada bir yüzey parças ı üzerinden integral almak yeterlidir. Şekil 5.1 den de görüldü ğü gibi z = f(x, y) denklemli yüzeyin herbir noktas ı ndaki te ğet düzlemi ve do ğrultman kosinüslerinin z„,z y ,-1 ile orant ı l ı olan normal bir doğrultusu vard ı r.

Şekil 5. I

106

Yüzeyin herbir noktas ı ndaki ds alan parças ı , teğet düzlem içinde olup, x0y düzlemi üzerindeki izdü şümü dxdy olan yüzey parças ı d ı r.Burada dxdy = cosads dir. 0 halde a aç ı s ı yüzeyin herbir noktas ı ndaki normal vektör ile aras ı ndaki aç ı d ı r ve 2 2 Z + Z Y

cos a

olur. T de S yüzeyinin x0y düzlemi üzerindeki izdü ş ümü olmak üzere yüzeyin alan ı + z,(2 + dxdy

A =ds T

dir. Örnek 5.0.1: 6x + 3y + 2z = 6 düzleminin koordinat düzlemleri kalan parças ı n ı n alan ı n ı bulunuz.

aras ı nda

Çözüm:

Ş ekil 5,2

Ş ekil 5.2 den görüldü ğü gibi alan ı istenen düzlem parças ı n ı n Y =1 doğrusu ile koordinat eksenlerinin x0y düzlemi üzerindeki izdü şümü x +— 2 s ı n ı rlad ığı T bölgesidir. O halde 6x+3y+2z=6z=3(1—x---Y2-) olur.

107

Burada z x = -3 ,

z =Y

3 2

ve

-\1/1+ x+

z 2y

7 = -

2

olduğ undan, A = fj.\11+

+zydxdy

T

de yerine konursa Y 2 7 A = J j. 7 dxdy = J x dy 2y o y , Ox=0 2

y2

2

A=— 7 1 1(1 - -1dy = Y2 2) 2 4 o

A=

-2-

elde edilir.

5.1. YÜZEY ÜZERINDE SKALER VE VEKTÖR ALANLARININ İ NTEGRALLERİ

Tan ı m 5.1.1 : f,D bölgesinde sürekli bir skaler alan ve S de düzgün bir yüzey. Bu yüzeyin vektörel denklemi , R(x, y) = ( y) + V(x, y) j + W(x, y)k ayrı ca x0y düzleminin bir T bölgesinde sürekli diferensiyellenebilir olsun. S üzerinde f nin yüzey integrali ff fds şeklinde tan ı mlan ı r. 0 halde ff fds = S

dir. 108

y) V(x, y), W(x, T

R x xR y dxdy

jj

Eğer S yüzey alan ı için f =1 ise yüzey alan ı A=

ff R x xR y izixdy

dir.

Örnek 5.1.1: R(x,y). sinxcosy i+sinxsiny j+cosx k

(0__7c

,

y2 ıt)

vektörel denklemli kürenin yüzey alan ı n ı bulunuz.

Çözüm : , R x xR y dxdy

2n n

A4

y -O x-.0

den R x (x,y)= cosxcosyi +cosxsinyj -sinxk

R y (x, y). - sin x sin y i +sinxcosyj

ve R x xR y = sin 2 xcosyi +sin2 xsinyj +sinxcosxk > > R, xR y = 1sin 2 xcos 2 y +sin4 xsin2 y +sin 2 xcos 2 x =sinx bulunucBu ifadeler yerine konursa, 2rt

n

A = J fsinxdxdy x,0

2n

=

n

2n

2n

dy =f2dy = 2y = 4n

cos O

o

O

bulunur.

109

5.2. D İVERGENS TEOREM İ

Teorem 5.2.1 : D İVERGENS ( GAUSS ) TEOREMİ

D,S kapalı yüzeyinin çevreledi ği üç boyutlu uzay bölgesi ve ii de .b, D bölgesinde sürekli k ısmi türevleri olan bir vektör alan ı ise yüzeye ait dışa doğru yönlendirilmi ş birim normal vektör olsun Eğer

ff F• n ds = lif div dxdydz s• D dir.

ispat:

y,z) = P(x, y,

+ Q(x, y, z) j + R(x, y,z)k

_> _> aP OQ OR .fi rP ı • n+ Q j• n+R k• n)ds = fjj(— + — + — dxdydz ax ay s D

az,

dir.

Teoremin ispat ı n ı yapmak için,

fjf `rx :P dxdydz = SSP i , n ds

SS

r .(-.)Q

4 --->

1 —dxdydz = if Q j • nds D'' 2Y s O SIS --_-dxdydz = ff R k. n ds D

(Z

S

esitliklerinin do ğru olduğunu göstermek yeterlidir. Şekil 5.3 de görüldü ğü gibi, 110

1

s

D

II III

olsun.

n

Ş ekil 5.3

S, koordinat eksenlerine paralel do ğrular ı n ı n kendisini ikiden fazla noktada kesmedi ğ i kapal ı bir yüzey, yüzeyin üst k ı sm ı na S,, alt kı sm ı na S2 ve silindir yüzeyineS 3 diyelim. Bunlar ı n denklemieri ise : z =f1 (x,y),

S2: z = f2 (x,y),

S 3 : f2 (x,y)5.z.f,(x,y)

ve S yüzeyinin xOy düzlemindeki izdü ş ümüne T diyelim. Ş imdi de e ş itliklerin ispat ı birbirinin benzeri oldu ğ undan, III .nün ispat ı n ı yapal ı m. fi(x,y) oR z dz dydx

OR ffj-;: dxdydz =

Dz:---f,(y) fi(x,y) =

ffR(x, y,z) T

ı dydx 2 ' 1.2( x.1.)

= ff [R(x,

R(x, y, f2 (x, YDIJOX

T

dir. S, üst parças ı için k ile n, vektörü aras ı ndaki a açı s ı bir dar aç ı olduğ undan dydx = cos ads, = k- n i ds, dir. S 2 alt parças ı için k ile n 2 vektörü aras ı ndaki p açı sı dar bir açı olduğ undan dydx = -cospds 2 = - n 2 ds 2 dir.

111

Bu durumda , fj. R(x, y,f,(x,y))dydx = if R k- n, ds, ve

T

s,

ffR(x, y, f 2 (x, y))dydx = -SSR k. n, ds2 T

s2

dir. ff R(x, y,f,(x, y))dydx -ff R(x, y, f 2 (x, y))dydx =SSR n ds, + SIR 1c» "-->n 2 ds 2 T

T

S,

S2

=SfRk.nds

olduğ undan

= SIR k. nds lif -dxdydz °Z dir. Benzer şekilde S yüzeyinin di ğer koordinat düzlemleri üzerindeki izdü şümleri al ı narak diğer eşitlikler ispatlan ı r. Böylece elde edilen eşitli ğ inin toplam ı ile istenilen divergens teoremi ispat edilmi ş olur.

Örnek 5.2.1 :

x 2 + y 2 = 4 , z = O , z = 3 do ğ ruları tarafı ndan s ı n ı rlanan bölge üzerinde

al ı nan F(x,y,z) , 4x i - 2y 2 j + z 2 k vektör alan ı n ı divergens teoreminden yararlanarak hesaplay ı nız.

112

Çözüm

ffF nds= iffdivdxdydz D

S

divF = — a°x (4x)+*) (-2y 2 )+-- (z 2 )= 4 - 4y + 2z Oz 2 4;2 3 ff F. n ds = - 4y + 2z)dzdydx x--2 y,__ 1;4 x 2 2.0

S 2

N/4-x' ,

=f

‘3

)I

f (4z - 4yz + z 2 dydx 0 x--2 y =_, _x 2

r4

■ 4 x/2

2 =

f

f(12 -12y+ 9 )dydx j4 x 2

x- -2

,[4-x 2

2

j.

f(21 - 12y)dydx

x2y

r,, x 2

2

■/4 -x 2

= f(21Y - 6Y 2 x2

)1

v'4 x 2

= jkl-\/ 4 - X 2 - 61/4- X 2 +211/4- X 2 +6(4- X 2 ) İX x=-2 2 =

f 42-J4 - x 2 dx x= 2

= 42[ 2

X\i4 - X 2 +

—4 arcsin—x 2 2 _

= 42 { 1- 2. -■/4 - 4 + 2 arcsin1 - 1 (-2). ,/4 - 4 + 2 arcsir(- 1)\ 2 `-----' s---------' ro ı .2 =o = 42(2 arcsin1 - 2 arcsin(- 1)) = 84(arcsin1- arcsin(- 1)) 0A

ıc 3 ıt \

— 09. — — 2 2 , = 84(— ıt) = —84n

113

Diyen:lens teoreminin fizik aç ı s ı ndan izah':

F = Bir s ı v ı n ı n herhangi bir noktas ı ndaki h ı zı , At saniyede ds den geçen s ı v ı n ı n hacmi = taban ds ve eğik yüksekli ği vAt olan silindirin hacmi vAt -nds = v- n dsAt 0 halde bir saniyede geçen s ı v ı n ı n hacmi H = v- n ds dir. Akan bir ak ışkan ı n bir P(x,y,z) iç noktas ı ndaki h ızı F ve ak ışkan içindeki bir D bölgesinin s ı n ı rı olan kapal ı yüzey S olsun. Bu durumda jj•n ds integrali birim zamanda bu bölgeden d ışar ı ya çı kan ak ışkan ı gösterir. E ğer akışkan s ı k ışamaz ise içeri giren ak ışkan ile d ışar ı ç ı kan ak ışkan biribirine e şit ve ff F. n ds ffiV- Fdv = O S

d ıv F

0 halde s ı k ışamaz bir ak ışkan ın h ı zı n ı n divergensi s ıfı rd ı r. NOT:Akan bir ak ışkan ı n her noktadaki h ız ı , o noktadaki birim hacmin birim zamandaki de ğ i şme miktar ı na eşit bir divergense sahiptir. NOT: Bir F vektör alan ı n ı n birim normal vektörünün kapal ı bir yüzey üzerinde hesaplanan yüzey integrali, bu vektörünün divergens ı söz konusu yüzey tarafı ndan s ı n ı rlanan hacim üzerinden hesaplanan ihtegraline e şittir. 114

5.3. STOKES TEOREM İ Teorem 5.3.1 : STOKES TEOREM İ

C, basit kapal ı , parçal ı düzgün , pozitif yönlü bir eğri ve bu eğrinin çevreledi ğ i yüzey S olsun. Yüzey üzerinde pozitif tarafa yönlendirilmi ş birim normal vektör n ve F nin bile şenleri S U C de sürekli ve diferensiyellenebilir fonksiyonlar olmak üzere F• d r = lirot nds dir. ispat :

F(x, y, z) = P(x, y, z) i + Q(x, y, z)j + R(x, y, z)k

olsun.

SPdx + Qdy + Rdz jfrot F• n ds

;;c(f:' i+ Q T+RIR)1• rı ds dir. Buradan, ı, IPdx = ff V xP i • n ds c s

II

„. SCIdy = jj(V x0 j ı • n ds

III

fRdz = if(VxR i • nds

eş itliklerini hesaplayal ı m. Ş ekil 5.4 de görüldü ğ ü gibi,

z•

c ►Y

şekil 5.4

115

S yüzeyinin xOy düzlemindeki izdü şümüne T diyelim. f,g ve h tek de ğ erli, sürekli ve diferensiyellenebilir fonksiyonlar olmak üzere S yüzeyinin denkleminin z = f(x, y) veya x = g(y,z) veya y = h(x,z) ile gösterildi ğini kabul edelim. Ş imdi, S yüzeyinin denklemi z = f(x, y) ve yer vektörü r =x i+y j+zk =x i+yj+f(x,y)k olduğ undan a r -.> = j+fy (x,y)k ay d ı r. Bu vektör S yüzeyine te ğet oldu ğ undan n 'ne diktir. O halde „ , „ —•n= j•n+fy ay ve S yüzeyi üzerinde olduğ undan

j•n=-fy k•n=-z y k•n

P(x, y, z,) = P(x,y,f(x,y))= F(x, y)

aF aP OP az —= — +--ay ay az ay dir. Bunlar ı , 1 denkleminde yerine koyarsak, V xP

aP .> OP -> • n ds = ff—k • nds ay ı az

s

=

az

rr ı aP s

> j• n-

y

--> k•n

> -> OP -> -> z y )k• n- —k• n ds

ay

)

DP az_ -> -k. nds az ay Oy j olur.

116

Buradan da S yüzeyinin xOy düzlemi üzerindeki izdü şümü T olmak üzere, dxdy T

aY

dir. Düzlemde Green teoremi gere ğ ince = SFdx c

-

dir. C* eğ risinin çevreledi ği yüzey T oldu ğundan, , F fonksiyonunun C* eğrisinin her ( x,y ) noktas ı ndaki değeri, P fonksiyonunun C"eğrisinin her ( x,y,z ) noktas ı ndaki değere eşit olmas ı C ve C* eğrileri için dx ' in değ i şmedi ğ inden dolay ı JFdx = SPdx c= jj V xP i • n ds s dir. Benzer şekilde yOz ve zOx düzlemleri üzerindeki izdü şüm yap ı larak, SQdy = ff V xQ j •nds s ve fRdz = ff V xR k •n ds s eşitlikleri elde edilir. Bu e şitlikler taraf tarafa toplan ı rsa flpdx+Qdy +Rdz = ff oxI P i+Q j+Rk \ • nds s_

V x F •nds

ff rotF•nds. elde edilir. 117

Not : Stokes teoreminin özel bir hali düzlemde Green teoremidir. E ğer, yukar ı daki şartlar ı sağ lamayan yüzeyler için de teorem geçerlidir. Bunun için yüzey S İ ,S 2 ,...,S n gibi alt yüzeylere ayr ı larak, yüzeylerin meydana geldi ğ i C.,,C 2 ,...,C„ e ğ rileri şartlar ı sağ las ı n. Bu taktirde her yüzey için Stokes teoremi geçerlidir. Bu durumda yüzey S İ ,S 2 ,...,S n yüzeylerinin integralleri toplam ı al ı narak S yüzeyi üzerinden toplam integral bulunur. eğ rileri boyunca hesaplanan e ğrisel integrallerin toplam ı al ı narak C e ğrisi boyunca hesaplanan e ğ risel integral bulunur. Örnek 5.3.1:

z = ,‘Ia 2

—

2 2 X —y

yarı küresinin

F(x,y,z)= (1- z)y ı + zex j+ xsinzk vektör alan ı n ı stokes teoreminden yararlanarak hesaplay ı n ı z.

Gözüm: Stokes teoreminden ff rot F. n ds = j. • r

= f(1 - z)ydx + zexdy + x sinzdz dir. Burada x = a cos0 yzasin O

z = O ve dx = -asinBdA , O s A s 2n

olup, ffrot F» n ds = fydx

2n

=

f a sin0(- a sine):l0 o

2n

= — a z s s .ı n2 odo o = -7ra 2 bulunur.

118

V. BÖLÜM iLE İ LG İ L İ ALI ŞTIRMALAR

1. F(x,y,z)= x 2 i+xy j+xzk ve S de z=0,z silindir yüzeyinin yüzey integralini bulunuz.

b= ,x 2

2 = a2

[o] > 2. F(x, y,z) = xy i + z 2 j + 2yzk ve S de 0 x s ı n ı rl ı küp yüzeyinin yüzey integralini bulunuz.

y 1,0 z 1

2 3. F(x,y,z)= x i + y j+zk ve S de x2 +y2 4. z2 a2 küre yüzeyinin yüzey integralini hesaplay ı niz.

k nal 4. Aşağı da verilen vektör alanlar ı ile yüzeyler için divergens teoreminin doğ ruluğunu gösteriniz. a)

F(x, y,z) = xz i +xy j+ yz k ve S de o= z,y+z = 2,x 2 + y 2 = 4 yüzeyi için,

b)

F(x,y,z)= xy + y 2

j

yzk ve S de z =0,z = \/4 - x 2 - y 2 yüzeyi için,

c) F(x,y,z)= x 3 i + x 2 y j+ x 2 z k ve S de z = 0,z = 4 düzlemi ve x 2 + y 2 =1 silindir yüzeyi için, d) F)(x,y,z)= x2 i + y 2 s ı n ı rl ı küp yüzeyi için,

z 2 k ve S de 0 x

1,0

y

5 Z 5_

1

e) F(x,y,z)=4xz i-y 2 j+yzk ve S de x=0,x=1,y=0,y=1,z=0,z=1 düzlemlerinin belirledi ğ i küp yüzeyi için, f)

F(x, y,z) =x i+y j+(z-1)k ve S de z = 0,z = 1ve) <. 2 y 2 =(z- 2) 2 yüzeiçn, 119

y,z) = y 2 i + yz j + xz k ve S de x=0, y=0 ve x+y+z=1 tarafı ndan s ı n ı rlanan yüzeyi için

g)

a)6n

3 c) 5ıc d) 3 e) — 2

b)0

y,z) = sin y i + ex

5.

f)7t

g)

1 24

j+ z 2 iı ve S de z=0 ve z = , Nia 2 —x 2 — y 2

yüzeyinin sp•iids integralini hesaplay ı n ı z. s

na 4 2

6.f f f

x G dx dy dz = Ifri x Ğ ds e ş itli ğ inin do ğ rulu ğunu gösteriniz.

D

S

(Yol gösterme: I--1> sabit bir vektör olmak üzere fl alal ı m) divergens teoreminde 17 = 7. Sir(i) dx dydz = jj(1) .n ds e ş itli ğ inin do ğ rulu ğ unu gösteriniz. D

S

(Yol gösterme: Ğ sabit bir vektör olmak üzere divergens teoreminde F=GcI> alal ı m) 8. 1.11.(13,V 2 ııı

ıtı V 2 (5) dx dy dz = fj( Iky — 11 .- (1)) ds e ş itli ğ inin

D

S

do ğrulu ğunu gösteriniz. (Yol gösterme: Divergens teoreminden = (1)5 7W alal ı m) 9. (x,y,z)= 2x 2 y y 2 j+4xz 2 k ve S de y 2 + = 9, x = 2 ile s ı n ı rlanan yüzeyin birinci bölgedeki k ı sm ı üzerinde divergens teoreminin do ğ rulu ğunu gösteriniz. [180] 120

x2 + y

10.

2 + z2 1 küresinin üst yar ı s ı n ı n yüzeyi, C, bu

yüzeyin s ı n ı r ı ve (x, y,z) = (2x - y) T - yz 2 j- y 2 z k için stokes teoreminin do ğrulu ğunu gösteriniz.

x2 _ 2 y yar ı m 11. 1%, y,z) = yz - xz + xy k. S de z = -\/a.2 küresi için stokes teoreminin do ğrulu ğunu gösteriniz. [O] 12. F(x,y,z). y +z j+xk, S de y+z=2 ile x 2 + y2 = 4 silindiri için stokes teoreminin do ğrulu ğunu gösteriniz. [ -8n] 13.

P(x,y,z)= (x 2 + y- 4)7 +3xy j +(2xz + z 2 )ic , S de x 2 + y 2 z 2 = 16 küresinin xoy düzleminin üstünde kalan

k ı sm ı için stokes teoreminin do ğrulu ğ unu gösteriniz.

y j + xy İ(' , S de A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1) 14. Nx,y,z)= xz noktalar ı üçgenin kö ş e noktalar ı ise stokes teoreminin do ğrulunu gösteriniz. 1 6

■

` 7)>< Ğ ds = .1-"Ğ x di- e ş itli ğ inin do ğ rulu ğunu gösteriniz.

15. s

c

(Yol gösterme: H sabit bir vektör olmak üzere stokes teoreminde F= G xfl alal ı m.) 121

16. Rx, y,z) = yz 7 — xz +1C- , S de x 2 ± y 2 = z (O z 1) paraboloidi için stokes teoreminin do ğrulu ğ unu gösteriniz. [ -27c ] Nx, y, z) = (x 2 + y — 4)7 + 3xy

17.

j + (2xz + z 2 ) , S de

z = 4— (x 2 + y 2 ) paraboloidinin xoy düzleminin üstünde kalan k ı sm ı n ı n yüzeyi oldu ğ una göre ffrot

.

ds integralini

hesaplay ı n ı z. [ -47c] 18. Nx,y,z)=(y—z+2)7+(yz+ 4) j — xz 7S; , S de x=0, y--0, z=0, x=2, y=2, z=2 e ş itlikleri ile belirlenen kübün xoy düzleminin üstünde kalan k ı sm ı için stokes teoreminin do ğrulu ğunu gösteriniz. [ -4 ] 19. Nx, y,z) = y 2 + xy + xz ,S de z = a — x 2 — y 2 , z O paraboloid yüzeyi için stokes teoreminin do ğ rulu ğ unu gösteriniz. -

[O]

20.

Her kapal ı C e ğ risi için jrf'.d?' =O e ş itli ğ inin do ğ ru olmas ı için .gerek ve yeter ş art ı n Q xf7 =O oldu ğ unu gösteriniz.

122

F, K_ L, 1-41 R_ ı

123

BAZI SABITLER

Büyüklük

x

log x

3,1415927 6,2831853

0,49715 0,79818

1,57080

0,19612

0,7853982

1,89509

iz ıt 2

0,3183099

1,50285

9,8696044

0,99430

Nrı-r

1,7724539

0,24857

1,4645919 2,718282

0,16572 0,43429

0,367879

1,5657 1

7,389056

0,86859

0,135335

1,13141

1,648721

0,21715

7C

2 ıt TC

2Tc 4

ı

3,,irre

e

ı

e e2 1 T e

1,39561

0,14476

M = log e

0,43429

1,63778

= ln 10

2,30258

0,36222

57° 17' 45" 0,01745 9,81

2,24188 0,99167

M

1 radian arc 1° g 2 g

96,2361

1,98334

1 2g

0,050968

2,70730

ıri

3,1320919 4,429447

0,49583 0,64635

1,003033

0,00132

0,709252

1,85080

ıt 7C

125

TR İ GONOMETR İ K BILGILER

Aç ı

00

sin

o

cos

1

Itan

o

cot

°o

Açı

45°

60°

-i-

2

2

,..i-

,i2.-

2

2

ı

ı

30°

180°

270°

360°

0

-1

0

o o,

—1

o

1

o

00

0

o

Go

0

00

90°

ı.

1

-

a

90

±a

ı 2-

-

ir_

.../3

180 ta

270 t a

360 t a

sin

-sina

cos cf.

tsina

-coscc

±sina.

COS

cosa

±sina

- coscc

tsinct

cos ot.

tan

-tana

±cota

± tana

±cota

± tana

cot

-cota.

ttana

±cota.

±tana

±cota

sec

seca

± csca

-seca

±csca.

seca

126

TR İ GONOMETRIK FORMÜLLER a

Sinüs Teoremi

= b

= c

sina13y a 2 = b2 + 2 Kosinüs Teoremi c 2bc cosa sin2 a + cos2 a = 1 sina Lanet = — cosa cosa cot OL = sina tana cot a = 1 1 seca = cosa —

coseca =

sın ct sin(a T P) = sina cosf3 cosa sinj3 cos(ct cosa cosj3 ± sina sin p tan(ct i3) = tana tan p ı + tan cc tan f3 cot(a

= cot a cot p ± 1 cot 13 -T- cota

T. a f3 a t f3 cos 2 2 +a p a - p cos cosa + cos 13 = 2 cos 2 2 a—p cosa - cos 13 = -2 sın sırt 2 2 sin(a T 13) tana tan 13 -= cosa cosf3

sina sin 13 = 2 sın

sin(13 a) cot a T- cot f3 = sina sin 13 1 sin2 a = - (1 - cos 2a ) 2 1 + cos 2a) cos2 a = -(1 2 sin3 a = 1 (3 sin a - sin 3a) 4 3 ı 3 cos a = ! cos a + 3 cosa) 4 (

127

İ NTEGRAL •

Eğ er F'(x) = f(x) ve c sabit olmak üzere f(x) dx = F(x) + c

• a sabit olmak üzere ja f(x) dx = a Jf(x) dx • J[f(x) F g(x)]dx = f f(x) dx 4 Jg(x) dx • ff(ax+ b)dx = --1--F(ax+ b)+ c , a O • Su dv = uv - jv du , u = f(x) v = g(x) (K ısmi integrasyon) x"+I • f x" dx = n +1

•

f dx Jx

•

n -1

c

ex dx = ex + c

ax • f ax dx = — , (a > O , a 1) In a • i dx 1 x 1 x = arctan- + c = -- arccot- + c , (a O) j 2 x -i- a 2 a a a a f x = 1 inix - a • j 2d 2 a. 0) x a 2a ix + a +c , ( i x 1 a+ • , = In a - x +c , ( a. 0) J a2d x' 2a • r dx i- a2 -I- C , (a O) J .v x2 + a2 = 1+ + 4n •

i

dx

J

42 - x 2

- arcsin .?-1 + e = -arccos-x + c , (a > O) a a

• .1 sin x dx = -cosx + c 1 . • jsin2 x dx = 1-x - -sınx cosx +.c 2 2 . İ . -2 • f sinn x dx = -1-n' u _ x cosx +n-1 —ssın" x dx n n • Scosx dx = sinx + c I 1 • jcos2 x dx = - x + - sin x cosx + c 2 2 128

•

SCOS n X

dX =—cos n-I X Sİ I1X

l iCOSn-2

x dx

• Scot x dx = -cot x - x + c • •

secx dx = logisec x + tan

+c

dx = x In tan- + c = lnIcos ec x - cot xl + c J sinx 2 dx = Initan(2!+ + c = InItanx + sec xl + c J cosx I 2 4 dx = cot x + c J sin2 x f dx =tanx+c cos x sinh x dx = cosh x + c

• Scosh x dx = sinh x + c • •

dx J sinh2 x

= coth x + c

f dx = tank x + c cosh 2 x

cos(m + n)x cos(m - n)x +C 2(m 2(m + n) sin(m + n)x + sin(m - n)x + c • Ssin mx sin nx dx = 2(m - n) 2(m + n) (m - n)x sin (m + n)x +c • Scos mx cos nx dx = t 2(in n) 2(m + n) •

sin mx cos nx dx =

• f arcsin x dx = x arcsin x + N/1- x2 + c • farccos x dx = x arccosx •

-

arctan x dx = x arctan x - llogll + x 2 I + c 2

• farccot x dx = x arccot x + •

N/1 - x 2 + c

J

2

+ x2 I + c

xnex dx = xnex - n x"-1e" dx

• jlog x dx = x log x - x + c •

r1°g — x dx =

2

x)2 + c 129

BAZ1 METRIK SISTEM DE Ğ ERLERI Uzunluk Ölçüleri inç = 2,54 cm fut = 0,3048 m yarda = 3 fut = 0,9144 m kara mili = 1,60934 km Alan Ölçüleri 1 inç kare (in2 ) = 6,4516 cm2 2 ) = 929,03 cm 21futkare( 1 yarda kare (yd 2 ) = 0,83613 m2 = 0,40468 ha 1acre 1 mil kare

= 640 acres = 2,590 km 2

Hacim Ölçüleri 1 inç küp (ini )

= 16,387 cm3

1 fut küp (ft3 )

= 0,028317 m3

1 yarda küp (yd 3 )= 0,76455 m3 ı vılar için 1 pint 1 galon

S = 0,4732 It (Amerikan) = 0,5682 It (İngiliz) = 3,7853 It (Amerikan) = 4,5418 It (İngiliz)

Ağı rl ı k Ölçüleri 1 Ounce 1 Pound 1 Ton

130

= 28,35 gr = 0,45359 kg = 907,185 kg (Amerikan) = 1016,048 kg ( İngiliz)

GREK ALFABESI

A

oc

Alfa

B

P

Beta

F

Y

Gamma

A

g

Delta

E

e

Epsilon

Z

C

Zeta

H

11

Eta

O

8

Teta

t

İyota

K

x

Kapa

A

2.

Lamda

M

J-1

Mü

N

v

Nü Ksi

O

o

Omikron

Iy

it

Pi

P

p

Ro

cs

Sigma

T

To

T

Upsilon cI3

(1>

Fi

x

x

Şi

ıl/

Psi

w

Omega

S2

131

I N D E X A Açı 9 Aç ısal h ız 55

B Birim vektör 3 Bileşen 2 Binormal vektör 43, 44 Burulma 47 C Curl 75

Ç Çapraz çarpun 12

D Del 67 D ış çarp ım 12 Diferensiyellenebilir 34 Divergens 72

Divergens teoremi 110 Do ğru denklemi 15 Doğ rultman kosinüsleri 3 Doğ rultman vektörü 17 Düzlem denklemi 18

E Eğ rilik 43 Eğrilik çemberi 44 Eğrilik yarıçap ı 44 Eğrisel integral 87 Esas normal vektör 43, 44 Eylemsizlik momenti 85

F Frenet formülleri 47 Frenet üçlüsü 44 Frenet vektörleri 44

G George Green 98 Gradiyent 67 Green formülü 100 132

Green Teoremi 98 Grek alfabesi 113 FI Harmonik fonksiyon 74 Hız 49, 54

İ İç çarp ım 9 İntegral alma formülleri 110 İvme 50, 55 İvme vektörü 55 K Kapalı yüzey 71 Karma çarp ı m 20 Korunumlu alan 74

L Laplace denklemi 74 Laplace operatörü 74 Limit 33 M Metrik sistem değerleri 112 N Nabla operatörü 67 Nokta çarp ı m ı 9 Norm 3 Normal düzleın 45 Normal vektör 44 O Ortogonal 32, 60 Oskülatör düzlemi 45

P Paralel yüzün hacmi 21 Paranıetrik denklem 16 Potansiyel fonksiyonu 74

R Reel fonksiyon 29 Rektifiyan düzlern 45

Rotasyonel 75 S Seviye yüzeyi 70 S ıfır vektörü 3 Simetrik form 16 Skaler alan 63 Skaler çarp ım 8 Süreklilik 33, 34

Stokes teoremi 115 T Teğet vektörü 37, 39 Teğetsel ivme 52 Trigono ınetrik bilgiler 108 Trigonometrik formüller 109 Türev 33 U Uzay eğrisinin vektörel denklemi 37 V Vektör 1 Vektör alan ı 63 Vektör değerli fonksiyon 2 9

Vektörel çarpim 12 Vektörel denklem 16 Vektörlerin bileşeni 2 Vektörlerin ç ıkarması 6 Vektörlerin toplam ı 6 Y Yay uzunluğu 41 Yoldan bağımsız 95 Yüzey alan ı 86

Yüzey integrali 108

133