π
REDUCCIÓ REDU CCIÓN N AL PRIMER CUADRANT CU ADRANTE E El estudio del presente tema consiste en relacionar las razones trigonométricas de un ngulo en posici!n normal con las razones trigonométricas de un ngulo agudo "Primer cuadrante#$ manteniendo el signo de la raz!n trigonométrica en el cuadrante respecti%o&
":B=-# 9
reducir un ngulo al primer cuadrante consiste en relacionar a las las razo razone ness trig trigon onom omét étri rica cass de un ngu ngulo lo de cual cual'u 'uie ierr magnitud con las razones trigonométricas de un ngulo agudo "ngulo del primer cuadrante#$ o)teniéndose una e'ui%alencia& se presentan los siguientes casos*
Para ngulos positi%os menores 'ue una %uelta&
Primera +orma
R&T& ( >/° + θ )
R&T& ( θ) = ± C? 2 R& R&T& ( 9@/° ± θ ) = ± C? 2 R& R&T& ( θ)
,egunda +orma
= ± R&T& ( θ) R&T& ( 01/° 2 θ ) = ± R&T& ( θ)
π
∀
B
∈
":B2-# 9
,en ( ( 2 3) = 2 ,e ,en ( 3 2 ()
θ > /→ 2 θ < / Es importante θ < /→ 2 θ > / nota: Tener presente* presente *
Cos ( ( 2 3) = Cos ( 3 2 3)
El signo dependerá del c!dr!n"e donde se #ic! el ánglo $ "!%# "!%#i& i&n n de l! r!'(n "rigono%&"ric! origin!l.
R&T& ( -./° ± θ )
-& De la la 6gu 6gura ra Cal Calcu cula lar* r*
Para ngul Para ngulos os posit positi%o i%oss ma ma3or 3ores es 'ue 'ue una %uelta& Para R&T& ( 01/° B + α ) = R&T& ( α ) B ∈ / < α < 01/° reducir R&T& ( 9Dπ + α ) = R&T& ( α ) estos ngulos al primer cuadrante$ se les de)e desc descom ompo pone nerr en +unc +unci! i!n n al n4me n4mero ro ente enterro de %ueltas 'ue contenga este ngulo&
II. II. TER TERCER CER CASO CASO Para ngulos negati%os& ,e demuestra 'ue las +uncio +unciones nes cosen coseno o 3 sec secant ante e cu3os ngulos son negati%os$ éstos %an a ser igual a los ngulos positi%os5 las dems R&T&$ &T&$ el signo signo sale sale +uera +uera del ngulo 3 a+ecta a toda la R&T&
= 9.Cosθ + ,en9-/E 77777& A# 28# 29 C# 20 D# 2: E# 2; B
II. II. SEGU SEGUND NDO O CASO CASO
9 B π
Para ngulos negati%os& ,e demuestra 'ue las +unciones coseno 3 secante cu3os ngulos son negati%os$ éstos %an a ser igual a los ngulos positi%os5 las dems R&T&$ R&T&$ el signo sale +uera del ngulo 3 a+ecta a toda la R&T&
Es importan importante te tener tener en cuenta cuenta 'ue en los e(men e(menes es se presentan pro)lemas en el sistema radial$ 'ue es el sistema natural de nuestro curso&
I. PRIMER CASO
" 9 B 2 - # π
IV. IV. PROPIEDADES PROPIEDADES PARA ÁNGULOS RELACIONADOS
, en C os T a n C ot , ec C sc
"2 θ # "2 θ# "2 θ# "2 θ# "2 θ# "2 θ#
< < < < < <
2 , enθ C o sθ AT a n θ 2 C o tθ , e cθ 2 C scθ
La notación general de ángulos cuadrantales es:
( ) ( )
,i* +"(# < 9,en9( = 0Tan0( = F π + 0π : : Cos:( $Calcular* A# : 8# 2: C# 0 D# 20 E# 9 0&Reducir* π A = Tan"---π + (#Ta #Tan 9:- − ( − 77777777777& 9 A# Cos9( 8# ,en9( C# π Tan Tan"( − π#Cos #Cos ( − 9 9 ,ec ( ,en"( − 9π#Ct #Ctg"π − (# D# Csc9( E# 2,ec9(
9&
(
)
(
: :&& Calcular* 7777777777 A# 28# 29 C# 2 0 D# 0 E# 9 ;& De la la Calcular* A# A# D# 2-
?A =
8# 9 E# 29
A8 8C = 9 0
C# 0
A = ,ec0-
(
,ec -.0
6gura*
)
π + 0,en"9/π − (# 0
π + ( + Tan 0π Tan :-π
9
)
@
B = Tanα − Tanβ
-:
TRANS)ORMACIONES TRIGONOMETRICAS 1& Dado un tringulo A8C sa)e ,en"A=8# =9Cos"8=C#<,enC - + Cos98 + Cos9C − Cos9A - + ,en:A + ,en:8 + ,en:C
L=
A# -
8# 9 1
D#2-
E#
C# : 2
-&Calcular*A < Cos-/ = Cos--/ = Cos90/
A# 0; C# ;; E# @;
−1
2
CIRCUN)ERENCIA
cos" A# −+cos"8# 9sen cos"A# cos"8#==−9cos
Calcular*
1
-&Galle H(H$ si* A# ;/ 8# ;; C# 1/ D# 1; E# @/ 9& Galle H(H* ,i* mDE = @/
A −+ 8 A +−8 sen cos 9 9
∴ ∴
se
2
A# 8# 2C# / E#
D# &
A + 8 9
cos
A − 8 = 9sen 9
cos
∴
sen"A# + sen"8# = − 9sen
∴
sen"A# − sen"8#
:Cos./E Cos9/E − ,= 9,en->/E
A −8 9
A +8
9
Calcular* A# / D# 9 3
mCME = 9//
8# :; D# 1;
0&En la 6gura$ Jalle H(H A#9; 8#0; C#:/ D# 0/ E# -; :& Galle H(H A# -9 8# -0 C# -: D# -1 E# -. ;&Galle H(H$ si* A8<8C$ AD
8# E# 29
C# 2-
9& Dado un tringulo A8C5 A 2 8 < −
1 2
3
2
A# −3
5
B =
3 2
8# −1
,en9A − ,en98 ,enC
1/
Calcular* C#
2
D#
E#
senθ
0&Gacer ms simple la e(presi!n*
B =
CosαCos"β + θ# − CosβCos"α + θ# ,en"α − β#
cosθ
A#
8#
ctg θ tg θ
C#
D#
secθ
E# :& Indicar un +actor* A < ,en( = ,en0( = ,en;( A# ,ec0( C# D# Csc( ;& ,impli6car*
8# ,ec(
Csc0( E# Csc9(
1 2
A<,en@(Csc(29Cos9(2 9Cos:(29Cos1( A# 8# C# 9 D# Csc9( E# Csc1( 1& ,impli6car*A < -/,en( 2 ;,en0( = ,en;( A# .,en;( 8# .Cos;( ; C# -1,en ( D# -1Cos ;( E# -9,en;( Cos;( + 0Cos0( + :Cos( @& Considerando* P =
,en;( − 0,en0( + :,en(
A>8
A# 2Cot( C#2Cot0(
8# D#
2Cot9( 2Tan0(
,impli6car*
E# 2Tan9(
9senAcos8 = sen"A + 8# + sen"A − 8# 9sen8cosA = sen"A + 8# − sen"A − 8# 9cos Acos8 = cos"A + 8# + cos"A − 8# −9senAsen8 = cos"A + 8# − cos"A − 8# 9senAsen8 = cos"A − 8# − cos"A + 8#
