Trigonometría - Reducción Al Primer Cuadrante

TRI!" N"ME TR#A

16

TEMA: REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE

Docente: Lic

MOTIVACIÓN α

B

C

$+

De la la ,o ,or"a: -2 -2)*

/ 0 -$3)*

es agudo

E φ

A

/ donde ( x ) /

±  x 

±  x 

+

90°

x 

–

x 

( 9 0 ° +  x  )

( 9 0 ° –  x  )

( 2 7 0 °–° –  x  )

( 2 7 0 ° +  x  )

D

θ

C=

 ABCD es un cuadrado; cuadrado; calcular calcular

Senθ ⋅ Cos Cosα Sen Senφ

REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE CU ADRANTE

–

Es el procedimiento mediante el cual se calcula las razon raz ones es tri trigo gono nomé métri tricas cas de án ángu gulos los qu que e no so son n agudos, en función de un ángulo que si lo sea. Para ello, amos a analizar los siguientes casos!

R.T ( 90º ± x) = ±CO − R.T ( x ) R.T ( 270º ± x) = ± CO–R.T ( x )

sen#$ x % & $sen x  cos#$ x % & cos x  tg#$ x % & $tg x  ctg#$ x % & $ ctg x  sec#$ x % & sec x  Csc#$ x % & $Csc x 

El signo ± de la las s 2. 2.3 3 re resu sult ltan ante te de depe pend nde e de dell cuadrante al cual pertenece el ángulo a reducir.

'ótese que el signo se (anula) para el coseno * secante; * para las otras cuatro, el signo (sale).

S i g n o d e l a s R a z o n e s T r i g o n o m é t r ic ic a s

IIC se n (+ ) c sc

E!e"#los: "

x 

270°

1er caso: Ángulos Negatios " " " " " "

+

x 

−

sen #$+-% & $ sen+- &

1 2

IC  T o d a s ! a s R . T . so n (+ )

2

"

cos #$/-% & cos/- &

"# c "# ( + ) IIIC

2

$%o Caso: Ángulos "enores &ue '()* En este caso se descompone el ángulo original como la su suma ma o re resta sta de un án ángu gulo lo cu cuadr adrant antal al con un ángulo agudo.

1+

De la la ,o ,or"a: -1 -1.)* ±

/ 0 -'()*

 x 

/ donde 0 x 1 /

±  x 

es agudo

( 1 8 0 °–° –  x  )

( 3 6 0 ° +  x  )

– x 

E!e"#los:

sen1 n120 20ºº

+

cos12 os120º 0º

  

=

cos(18 os(180º 0º − 60 60ºº )   

"#31 31&º &º

=

"#( 27 270º 0º + '& '&ºº ) 

$% C

R.T ( 180º ± x) = ± R.T ( x ) R.T ( 360º − x) = ± R.T ( x )

en60ºº = + sen60

= −cos60 os60ºº

$$ C

– x  ( 3 6 0 ° –  x  )

sen(18 (180º 0º − 60 60ºº ) $$ C

360°

( 1 8 0 ° +  x  )

=

x 

180° + x 

co s se c (+ ) I C

#'&º &º = − c"#'

1+

Calcular! E & cos#$4-% 5 tg#$+6-%

2+

2educir!

Rpta.:...........................................................

$+

Calcular! 7 & sen#$+-%8cos#$/-% Rpta.:...........................................................

,=

sen( 90º + x ) cos( 180º − x )

Rpta.:...........................................................

1)+ Calcular! sen/-

'+

2educir! (=

sen( − x)

cos( − x )

+ sen x cosx  Rpta.:...........................................................

Rpta.:...........................................................

11+ Calcular! tg ==/-

4+

2educir!

Rpta.:...........................................................

)=

sen ( −θ )

+

t #( −θ )

senθ + tgθ

Rpta.:...........................................................

1$+ Calcular! P & cos++- 5 sen=-

5+

Calcular! * =

"# ( −60º) cos( −'&º)

Rpta.:...........................................................

(+

2pta.!...........................................................

1'+ Calcular el alor de! E=

9implificar! E=

sen ( 270º + x ) cos( 180º + x )

sen13&º "#31&º

Rpta.:...........................................................

Rpta.:...........................................................

3+

14+ Calcular!

9implificar! +=

sen ( 270º − x) ⋅ "#( 180º + x ) cos( 180º − x )

Rpta.:...........................................................

.+

2 & sen/-8cos=-

9e:ale el equialente de! tg# x  $<-%

Rpta.:...........................................................

15+ 9i 0α1 es un ángulo agudo que cumple! 1 + cos( −α ) + "#( −α ) = cosα + "#α Calcular! + = senα ⋅ cosα

Rpta.:........................................................... Rpta.:...........................................................

º

1+

Calcule! 9 & sen #$+-% 5 tg#$/+-%

(+  A% D%

− −

& 3

B%

7 3

E%

− −

1

−

6

C%

9implificar!

11 6

%=

6

Calcular!  A & sen #$/-%8cos#$4-%

 A% D%

'+

−

2 2

−

2 '

B% E%

−

3 2

−

3 '

3+

B% E%

 A%  D% =

C% 

Calcular! E & tg#+4- $  x %8tg#=6- $  x %

C%

− 2

 A%  D% =

B% E%

"#( − x) "# x B% E%

−

cos( − x )

.+

cosx 

$ $=

C% 

$ $=

9implificar!

R=

C% 

sen ( 90º − x)

2educir!

-=  A% $ D% $=

2+

sen( −θ ) + c"#( −θ )

B% E%

 =

$ $=

"#( 270º − x ) "#( 90º + x ) C% 

9implificar!

senθ + c"#θ B% E%

+

sen ( 270º + x)

 A%  D% =

E & tg#?- 5  x %8cos#=6- $  x % C%   A% sen x  D% cos x 

5+

$ $=

2educir!

C=

4+

c"#( 270º − x )

&

 A%  D% =

$+

"#( 90º + x )

Calcular! > & sen#$+6-%cos#$4-%tg#$/-%

B% E%

sec x  csc x 

C% ctg x 

1)+ Calcular! 7 & sen=-8cos==/-

 A% D%

− −

2 &

3

B%

&

E%

1 10

1 &

C%

3 10

 A% D%

− −

1 2 6 '

B% E%

− −

3 2 6 2

C%

−

3 '

º

1+

4+

Calcular!

Calcular!

E & cos#$+6-% 5 tg#$/-%

 A% D%

$+

− −

1 2

B%

1 &

E%

−

3 2

C%

−

3 &

2

 A%

5+ cos( 90º + x )

B%

tg x 

D% $=

E%



B%

−2 3

D%

3

E%

− 3

C%

−3 3

$sen x  $cos x 

9i 0α1 es un ángulo agudo que cumple!

Calcular!

R = cosα ⋅ c"#α

C% 

9e:ale el equialente de! cos# x  $ =6-% B% E%

2 3

senα + cos( −α ) = 1 + sen ( −α ) + cosα

sen( 180º + x )

$

 A% sen x  D% cos x 

 A%

&

2educir!

(=

'+

−

9 & =sen=- 5 tg=-

(+

 A%

1 2

D%

2 3

B%

3 2

E%

& 3

C%

& 2

Calcular! 7 & sen=-8cos==/-

C% sec x   A% D%

− −

1 2 6 '

B% E%

− −

3 2 6 2

C%

−

3 '