Reducción de ángulos al primer cuadrante

LICEO NAVAL C. DE C. “MANUEL CLAVERO”

Trigonometría 5º

REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE Reducir al primer cuadrante consiste en relacionar las razones trigonométricas de ángulos en posición estándar con las razones trigonométricas de ángulos agudos (ángulos del primer cuadrante)

CASOS DE REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE Para el estudio de reducción al primer cuadrante, se presentan los siguientes casos: I.

Cuando se trata de ángulos positivos, menores de una vuelta II. Cuándo se trata de ángulos positivos mayores de una vuelta III. Cuando se trata de ángulos negativos

otro ángulo (agudo u obtuso). Luego se eliminan las vueltas enteras R. T .( + A ) = R. T : ( 360°K ± x ) = RT ( ± x ) Ejemplo : Reducir al primer cuadrante

Tg765°

= .............………………………...............

Sen690°

= .........………………………...................

Cos1220° = .............……………………… ...............

CASO III : Para ángulos negativos Sen(-x) = -Senx

CASO I : ángulos positivos menores de una vuelta

Cos(-x) = Cosx En este caso la variable angular se descompone en un múltiplo de 90°más o menos otro ángulo agudo. Luego se usa el siguiente esquema:

Tg(-x) = -Tgx Ctg(-x) = -Ctgx Sec(-x) = Secx

 90° ± x   = ± Co − RT ( x )  270° ± x 

Csc(-x) = -Cscx

R.T . 

Ejemplo:  Ejemplo : Reducir al primer cuadrante

Sen(90°+ Sen(90°+ x) Tg(270°+ Tg(270°+ x)

Sen(-20° Sen(-2 0°)

= ........... ...... ........... ............ ............. .......

Cos(-60° Cos(- 60°)

= ........... ...... ........... ............ ............. .......

Tg(-80° Tg(- 80°)

= ........... ...... ........... ............ ............. .......

= ……………….......................… = ……………….......................…

Tg120°

= ……................…………………

Sec240° 3π Sec ( − x) 2

= ........................................ ........

Propiedad: 

A + B = 180°

= ............................................... n

180° ± x   = ± RT ( x )  360° − x 

R.T.

Cos A n Sec A n Tg A n Ctg A

+ + + +

n

Cos B n Sec B n Tg B n Ctg B

= = = =

0 0 0 0

Ejemplo: Ejemplo : Reducir al primer cuadrante

01. Calcular: Tg(180°Tg(180°- x)

= ……………….......................…

3

3

3

3

Q = Cos 40°+ 40°+ Cos Co s 80°+ Cos 100°+ 100°+ Cos Co s 140° Sen(360°Sen(360°- x)

= ……………….......................…

Sec300°

= ……................…………………

Tg120°

= ......................................... ....... 02. Calcular:

Csc ( 2 π − x )

= ...............................................

CASO II : ángulos positivos mayores de una vuelta En este caso la variable angular se descompone en un múltiplo de 360°(vueltas enteras) más o menos,

P = Tg

2π 5π 6π π + Tg + Tg + Tg 7 7 7 7

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PROBLEMAS PROPUESTOS

B) VFV E) FFF

π − x) 2 Q= Ctg( 2 π − x ).Sen ( 2 π + x )

C) VFF

02. ¿Cuál de las siguientes proposiciones son s on correctas? I. Sen(90°+ x) = -Cosx II. Tg(270°+ Tg(270°+ x) = -Ctgx III. Sec(270° Sec(270 °+ x) = Cscx A) VVV D) FVV

B) VFV E) FFV

C) VFF

B) VFF E) FVF

B) 2 E) 3

10. Calcular: M = (Cos810°+ (Cos8 10°+ Ctg Ctg405 405° °).Sen45 ).S en450° 0° A) 1 D) 2

B) -1 E) -2

11. Calcular: Cos1° + Cos 2° + Cos 3° + ....... + Cos179° + Cos180°

B) -1 E) 3

A= A) -14 D) 12

B) 14 E) -10

B) 2 E) 5

C) 3

Tg ( π + x ).Cos ( K=

A) 1 D) 1/2

Sec (180° + x ) Sec ( − x )

+

08. Simplificar:

C) 0

A) -2 D) –2 –2Tg40°

3π − x) 2

3π Ctg( + x ).Sen ( 360° − x ) 2 B) 0 E) –1/2 M=

C) -1

Sen ( x − y ) Sen ( y − x )

+

Sec ( a − b ) Sec ( b − a )

Sec ( 270° − x )

Tg ( π + x ).Cos (

A) 1 D) 1/2

3π + x ).Sen ( 360° − x ) 2 B) 0 E) –1/2

A=

Csc ( 360 ° − x )

B) 1 E) -2

A=

3π − x) 2

14. Simplificar:

06. Reducir:

07. Reducir:

C) -12

13. Reducir:

C) -1/2

05. Calcular: A = 3Csc150°+ Tg225°- Sec300°

A) -1 D) 2

C) 1

5 Tg1485 ° + 4 Cos 2100 ° Cos120°

Ctg(

E=

C) 0

C) VFV

B) -1 E) 1/2

A) 1 D) 4

C) -1

12. Calcular:

04. Calcular: A = Cos20°+ Cos40°+ Cos140°+ Cos160° A) 0 D) 1

A) 1 D) -2

A) -2 D) 2

03. Afirmar si es (V) o (F) I. 2Sen150° 2Sen15 0°= =1 II. Tg135°+ 2Cos240° 2Cos24 0°= =0 III. Csc330°= -2 A) VVV D) FVV

09. Reducir: Sen ( π + x ).Tg (

01. Determinar si es (V) o (F): I. Tg(180° Tg(18 0°+ + x) = Tgx II. Csc(360°Csc(360°- x) = Cscx III. Cos(360° Cos(360 °+ x) = Cosx A) VVV D) FFV

Trigonometría 5º

C) -1

B) 2 E) 0

C) 2Tg40°

C) -1

15. Calcular: E = 4Cos 4C os((-12 120° 0°) - 3Ctg( 3C tg(-3 -315 15° °) + 4Se 4 Sec( c(-3 -300° 00°) A) 1 D) -2

B) 2 E) –1/2

C) -1

16. Reducir: A = Cos

Sen140 ° + Cos 50° Cos130°

B) 2 E) 2C 2Ctg50°

A) 1 D) -2

A) 1 D) -2

3π 8π 10 π π + Cos + Cos + Cos 11 11 11 11 B) 0 E) 2

C) -3

17. Calcular: A = Cos 3

π 3π 5π 7π + Cos 3 + Cos 3 + Cos 3 8 8 8 8

LICEO NAVAL C. DE C. “MANUEL CLAVERO” A) -1 D) 2

B) 0 E) 3

C) 1

Sen ( −240° ) es: Cos 510°

18. El valor numérico de:

A) − 3 D)

B) 1

C) -1

3 E) 3

3

Trigonometría 5º A) 2Senβ 2Senβ D) -2Senβ -2Senβ

B) 2Cosβ 2Cosβ E) -2Cosβ -2Cosβ

25. Calcular: A = 2 Tg

41π π π + Sen( + x ).Sec ( π − x ) + 3 Sen 4 2 2

A) 1 D) 4

B) 2 E) 5

C) 3

26. Calcular el valor de:

19. Si: x + y = π, calcular:

A = Sec 690 ° +

x 2 Senx 2 A= + y Seny Ctg 2 Tg

A) 2 D) -2

B) 3 E) 0

C) -1

B) -1 E) 2

3 3

B)

D)

3

E) 3 2

A=

C) 0

CosA .Ctg Tg

3 2

A)

D)

B) −

A) -Tgx 2 D) Tg x

2

2

B) Tgx 2 E) -Ctg x

C) -Tg x

28. Si: x + y = 180°, calcular: calc ular: A = Tg(Cosx + Cosy) – Cos(Tgx + Tgy) B 2

A) 1 D) 2

A .CosB 2 2

π − x) 2

Csc ( x − 111π )

B) -1 E) -2

C) 0

29. Reducir: π − x) 2 − Cos ( 30 π + x )

2 Sen (143 A) -1

2 3

C)

Sec ( x − 24 π ).Ctg( 235

21. Si: A + B = 180°, simplificar simp lificar:: E=

2 Sen 600 ° 3

27. Simplificar:

π 20. Si: x + y = , calcular: 2 Sen 2 x Cos 2 y M= + Sen 2 y Cos 2 x A) -2 D) 1

C) 2Tgβ 2Tgβ

C) 1

M=

E) 2

22. Dado un triángulo ABC. Calcular: Sen ( A + B ) 2 Tg( B + C ) E= − SenC TgA

A) 1 D) 2

Tg( x − 11π ) π Ctg( 281 − x ) 2

B) -1 E) -2

C) 3

30. Calcular: A) 1 D) -1

B) 2 E) -2

C) 3

23. Si: x + y = 2π, calcular: y x A = Senx + Tg + Seny + Tg 2 2 A) Senx D) − 2 Tg

B) 2Senx x 2

x C) − Tg 2

E = Sen(135π Sen(135π + x).Sec( 97 A) -1 D) 1

π + x) 2

B) 1/2 E) 2

C) 0

31. Calcular “θ “θ” Cos

4π 3π = Cosθ.Cos 7 7

E) 0 3π 2 D) 0

π 4 E) π

A) 24. Si: β + θ = 180° 1 80°, rredu educir cir:: E = Senβ Senβ + Senθ Senθ + Cosβ Cosβ + Cosθ Cosθ + Tgβ Tgβ + Tgθ Tgθ

B)

32. Calcular: 3

3

C)

3

3

π 2

3

Q = Cos 20° 20 °+Cos +C os 60° 60 °+Cos +C os 80° 80 °+Cos +C os 100° 10 0°+ Cos C os 160°

LICEO NAVAL C. DE C. “MANUEL CLAVERO” A) 1/2 D) 1/10

B) 1/4 E) 1/12

C) 1/8

A) -1 D) -3

33. Reducir:

3 2

D) −

3 8

B)

3 4

C) −

3 3

A)

6 2

6 D) 5

B)

6 3

E)

6 6

C)

6 4

B) 2 E) 5

40. Simplificar: Sen ( 210° − x ) + Tg( 330° + x ) − Ctg( 300° − x ) 61π Sec ( ).Cos ( 240° + x ) 3 B) 0 E) –1/2

  π

41. Si: Tg 

 17

C) 3

A) 3/4 D) -3/4

 

A= Tg ( α − α=

  4

 

− x  = n 2 + 9n + 4

 

 177 π

Ctg

  4

 

+ x  = 2n 2 + 3n + 9

 

A) 1 D) 6

B) 4 E) 7

39 π ) 2

π 3

D) − 8 3

E) 2

C) 6

π 3π + α ).Tg ( − α) 2 2 E= 3π Ctg( π − α ).Sec ( − α ).Csc ( 2 π − α ) 2 Sen ( π − α ).Cos (

-2

A) a 2 D) a

B) a 4 E) a

C) a

44. Reduzca la siguiente expresión:

38. Sea: f ( θ ) = Senθ + Cosθ

f ( π + θ) 3π f( − θ) 2

1 − a2 , halle a

el valor de:

-4

B) –  4 3

C) 5

C) Tgx

73 π ).Cos ( α − 73 π ) 2

A) –2

C) 4/3

42. Calcule la suma de los valores de “n” en las siguientes igualdades:

43. Siendo α ∈ IC y además Ctgα = Sec ( α − 85 π ).Csc ( α −

Hallar:

 

+ x

B) -4/3 E) –1/2

  85 π

37. Hallar:

Para:

 

C) -1

3 , Calcular el valor de: 4

  34

36. Simplificar: 13 π 3π 3π Sec ( + x ).Cos ( x − ).Tg( − x) 2 2 2 K= 5π π Sen ( + x ).Ctg( − x ).Csc ( x − 4 π ) 2 2 B) – Tgx E) – 1

 

+ x =

 19 π

Tg 

A) Ctgx D) – Ctgx

C) -1

R = Ctg

Tg ( π − θ ) + Ctg(12 π − θ ) 13 π 39 π Sec ( − θ ).Csc ( + θ) 2 2

A) 1 D) 4

B) 1 E) 3

A) 1 D) 1/2

35. Reducir: E=

  1   2 − 1.Ctg x   2  1 − n  

A) 0 D) 2

E=

34. Calcular el valor de: 245 π 163 π 77 π M = Sen .Cos .Tg 6 4 3

C) 0

M=

Calcular:

3 3

E)

B) -2 E) 1

Sen( π + x ) = n

39. Si:

7π 3π 5π Sen .Cos .Tg 4 4 6 A= 4π 5π 2π Sec .Csc .Ctg 3 3 3 A)

Trigonometría 5º

M= A) 1/3 D) 2/3

Tg1994º − Ctg824 º 2Ctg76 º − Tg( −14 º ) B) 2/5 E) 2

C) 5/2