RECORDATORIO RECORDATORIO DEL MRU El movimiento El movimiento rectilíneo uniforme (MRU) es un movimiento cuya trayectoria es una recta y con velocidad constante (puesto que no hay aceleración). La ecuación de la posición del móvil en el instante t en un MRU es
X(t)=x0+v (t−t0) ⋅
Siendo x0 la posición inicial, v la velocidad, t el tiempo y t0 el tiempo inicial. La gráfica de la posición en función del tiempo es una recta cuya pendiente es la velocidad:
Y la gráfica de la velocidad en función del tiempo es una recta horizontal, pues la velocidad velocidad es constante. La pendiente pendiente de esta recta es la aceleración, aceleración, que, como se observa en la gráfica, es igual a 0:
MRUA: DEFINICIÓN, FÓRMULAS Y GRÁFICAS El movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA) o movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV) también es un movimiento cuya trayectoria es una recta, pero la velocidad no es necesariamente constante porque existe una aceleración.
La ecuación de la posición del móvil en el instante t en un MRUA es X (t)= x0 + v0 (t−t0) + a/2 (t−t0) ⋅
⋅
Siendo x0 la posición inicial, v0 la velocidad inicial, a la aceleración, t el tiempo y t0 el tiempo inicial. La gráfica de la posición en función del tiempo es una parábola:
La velocidad en un MRUA, v, no es generalmente constante debido a la presencia de la aceleración, aceleración, aa. En el instante t, la velocidad, v(t), viene dada por la fórmula fórmula V (t) = v0 + a (t−t0) ⋅
Donde v0 es la velocidad inicial, a es la aceleración y t0 es el tiempo inicial. En el Sistema Internacional (SI), las unidades de la posición y del tiempo son metros y segundos, respectivamente. Por tanto, en el SI, las unidades de las variables involucradas en las ecuaciones anteriores serían:
Posición: metros: m. Velocidad: metros por segundo: m/s. Tiempo: segundos: s. Aceleración: metros por segundo al cuadrado: m/s2.
La gráfica de la velocidad en función del tiempo es una recta cuya pendiente es la aceleración: aceleración:
La velocidad en un MRU o en un MRUA puede ser positiva, negativa o nula. Normalmente, Normalmente, el signo de la velocidad nos informa del sentido del movimiento del móvil. En un MRUA, la aceleración, a, es constante, pero puede ser positiva o negativa. Si es nula ( a=0), no se trata de un MRUA, sino de un MRU. Supongamos que la velocidad inicial de un móvil en un MRUA es positiva, entonces:
si la aceleración es positiva, la velocidad aumenta con el tiempo:
mientras que, si la aceleración es negativa, la velocidad disminuye con el tiempo:
Nota: obsérvese
en la gráfica grá fica anterior anter ior que, si la aceleración acelera ción tiene signo s igno opuesto a la velocidad inicial, entonces la velocidad puede cambiar de signo si el MRUA dura el tiempo suficiente. En este caso, existe un instante t que anula la velocidad (el móvil se detiene) y, a partir de dicho instante, el movimiento continúa en sentido opuesto al inicial. Un ejemplo de esto es el movimiento de un objeto que se lanza desde el suelo hacia el cielo: el objeto se lanza con una velocidad, alcanza su altura máxima (donde su velocidad es 0) y cae con una velocidad de signo opuesto a la de la subida.
Finalmente, puesto que la aceleración , a, de un MRUA es constante, su gráfica en función del tiempo es una recta horizontal sin pendiente:
Problema 1
Describir el movimiento de la siguiente gráfica y calcular v(0), v(4), v(10) y v(15):
Solución
Es la gráfica de la velocidad en función del tiempo de un movimiento. El movimiento es rectilíneo uniforme en el intervalo de tiempo [0,4], rectilíneo uniformemente acelerado con aceleración positiva en el intervalo [4,10] y rectilíneo uniformemente acelerado con aceleración negativa en el intervalo [10,15]. Observando la gráfica, las velocidades son
Problema 2
Elegir la gráfica de la velocidad en función del tiempo que se corresponde a cada situación. Gráfica a:
Gráfica b:
Gráfica c:
Situaciones: 1. Dejar caer una moneda desde la azotea de un edificio: el movimiento comienza en el momento en el que se suelta la moneda y termina cuando ésta llega al suelo. 2. Lanzar una moneda hacia arriba en línea recta: el movimiento comienza cuando se suelta la moneda y termina cuando cae al suelo. 3. Efectuar un adelantamiento a un auto en marcha con otro auto: el movimiento comienza justo antes de realizar el adelantamiento y termina cuando, una vez rebasado el auto, se lleva la misma marcha que al inicio.
Solución
La gráfica a describe la situación 2. En el instante t=0la velocidad no es 0 porque la moneda tiene una velocidad inicial positiva necesaria para moverse hacia arriba. La velocidad decrece hasta llegar a 0 por el efecto de la gravedad (cuando la moneda alcanza la altura máxima). En dicho instante, el efecto de la gravedad provoca que la velocidad siga decreciendo y volverse negativa, lo que se corresponde con el movimiento de la caída libre de la moneda. La gráfica b describe la situación 3. En t=0 el auto no tiene velocidad 0 porque está en marcha. La velocidad aumenta hasta rebasar al otro auto y después, decrece para continuar con su marcha. La gráfica c describe la situación 1. La velocidad en t=0 es 0 puesto que la moneda está inicialmente en reposo. La velocidad decrece por efecto de gravedad. Problema 3
Calcular la aceleración (en m/s2) que se aplica para que un móvil que se desplaza en línea recta a 90.0 km/h reduzca su velocidad a 50.0 km/h en 25 segundos. Comentar el resultado. Solución
La velocidad inicial del móvil es
También conocemos la velocidad a los 25 segundos:
La fórmula de la velocidad es
Despejamos la aceleración:
Antes de sustituir los datos, escribimos la velocidad en metros por segundo para tener las mismas unidades:
Sustituimos los datos en la fórmula de la aceleración que obtuvimos anteriormente:
Por tanto, la aceleración es de −0.4m/s2. Como la velocidad inicial es positiva y el móvil va frenándose, entonces la aceleración es negativa. Problema 4
Un tren de alta velocidad en reposo comienza su trayecto en línea recta con una aceleración constante de a=0.5m/s2. Calcular la velocidad (en kilómetros por hora) que alcanza el tren a los 3 minutos. Solución
Como el tren está en reposo, la velocidad inicial es 0:
Nótese que la aceleración es en metros por segundos al cuadrado y el tiempo es en minutos. Debemos escribir el tiempo en segundos:
Calculamos la velocidad aplicando la fórmula:
Tenemos la velocidad en metros por segundo, así que la escribimos en kilómetros por hora:
Por tanto, la velocidad del tren a los tres minutos es 324km/h. Problema 5
Calcular la aceleración que aplica un tren que circula por una vía recta a una velocidad de 216.00km/h si tarda 4 minutos en detenerse desde que acciona el freno. Solución
La velocidad inicial del tren es
La escribimos en metros por segundo:
Escribimos el tiempo en segundos:
La velocidad final, es decir, a los 4 minutos, es 0 puesto que debe detenerse:
Despejamos la aceleración de la fórmula de la velocidad:
Sustituimos los datos:
Por tanto, la aceleración es
.
−0.25m/s2
Problema 6
Un ciclista que está en reposo comienza a pedalear hasta alcanzar los 16.6km/h en 6 minutos. Calcular la distancia total que recorre si continúa acelerando durante 18 minutos más. Solución
Como el pedaleo continúa durante 18 minutos, el movimiento dura un total de 24 minutos. Primero, calculamos la aceleración sabiendo que en 6 minutos pasa del reposo a 16.6km/h. Los 6 minutos son 6/60=0.1 horas. Despejamos la aceleración de la fórmula de la velocidad:
Ahora, calculamos la posición a los 24 minutos (son 24/60=0.4 horas):
El ciclista recorre 13.28 kilómetros. Problema 7
En una carrera cuyo recorrido es recto, una moto circula durante 30 segundos hasta alcanzar una velocidad de 162.00km/h. Si la aceleración sigue siendo la misma, ¿cuánto tiempo tardará en recorrer los 200 metros que faltan para rebasar la meta y a qué velocidad lo hará? Solución
Debemos considerar el movimiento desde que comienza la carrera. Suponemos que la moto se encuentra en reposo al inicio:
Cuando la moto está en la salida, la posición inicial es 0:
La moto aplica una aceleración (constante) y la velocidad aumenta hasta 162.00km/h en 30 segundos. Escribimos la velocidad en metros por segundo:
Calculamos la aceleración:
Calculamos la posición a los 30 segundos:
La moto debe recorrer en total 875 metros. Podemos calcular el tiempo sabiendo la distancia total:
Por tanto, el tiempo que tardará en recorrer los últimos 200 metros es 4.16 segundos y la velocidad será
Problema 8
Dejamos caer una moneda desde una altura de 122.5 metros. Calcular el tiempo que tarda en posarse sobre el suelo. Nota: la gravedad es g=9.8m/s2 Solución
La velocidad inicial de la moneda es 0:
Cuando la soltamos, la velocidad aumenta por efecto de la gravedad hasta llegar al suelo. Luego la aceleración es
La velocidad en el instante tt es
Para calcular el tiempo, aplicamos la fórmula de la posición:
Por tanto, la moneda tarda 5 segundos en llegar al suelo. Problema 9
Desde 600 metros de altura se lanza hacia el suelo una botella de cristal con una velocidad inicial de 18.36km/h. Calcular la velocidad de la botella en el instante previo de romperse contra el suelo. Solución
La velocidad inicial de la botella es
La escribimos en metros por segundo:
La aceleración es la gravedad:
Nota: hemos
escrito la velocidad inicial de la botella con signo positivo. Por tanto, como la botella se dirige hacia el suelo, la gravedad debe tener el mismo
signo. Si el lanzamiento fuera hacia el cielo, la gravedad tendría que ser negativa. La velocidad en el instante t es
Para calcular el tiempo, aplicamos la fórmula de la distancia recorrida:
Resolvemos la ecuación de segundo grado:
La solución es t=10.56st=10.56s ya que el tiempo no puede ser negativo. Calculamos la velocidad en t=10.56st=10.56s:
Problema 10
Un estudiante de física dispara una pistola lanza-pelotas en línea recta desde el suelo. Según las especificaciones de la pistola, la velocidad de lanzamiento es de 29.4m/s.
Calcular la altura que alcanza la pelota y el tiempo que tarda en caer al suelo desde que se dispara. Solución
La pelota comienza un movimiento vertical hacia arriba con una velocidad inicial
Como el movimiento es hacia arriba y el efecto de la gravedad es contrario, debemos escribir una aceleración negativa:
En un determinado tiempo, t1, la pelota tendrá velocidad 0. Es el momento en el que se detiene para comenzar a caer. Primero, estudiamos el movimiento hasta t1. La velocidad en el instante t1 de la pelota es 0:
Podemos calcular t1t1 a partir de la fórmula de la velocidad:
Calculamos la altura que alcanza la pelota:
Por tanto, la altura que alcanza la pelota es 44.1 metros y el tiempo que tarda es 3 segundos.
Ahora, consideramos otro movimiento. Éste consiste en una caída libre de 44.1 metros: la velocidad inicial es 0 y la gravedad es −9.8m/s2. La velocidad en el instante t2 es
Para calcular el tiempo que tarda en caer, utilizamos la fórmula de la posición sabiendo que tiene que recorrer 44.1 metros:
Por tanto, la pelota tarda 6 segundos en caer al suelo (desde que se dispara) y la altura máxima que alcanza es de 44.1 metros. Nota: cuando la pelota ya está en el suelo tiene velocidad 0, pero no podemos
utilizar este dato para calcular el tiempo que tarda en caer ya que esta velocidad no es debido al efecto de la gravedad, sino al del suelo. Por tanto, hemos considerado la velocidad en el instante en el que la pelota va a tocar el suelo. Es interesante comentar que el objeto tarda lo mismo en subir que en bajar. Esto se debe a que la gravedad es constante. Asimismo, la velocidad inicial del objeto (en valor absoluto) coincide con la velocidad final (justo antes de impactar en el suelo):
La velocidad inicial y la final tienen signos distintos ya que tienen sentidos opuestos: sentido de subida y sentido de bajada.
Problema 11
En un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, se define la velocidad media como
Siendo v0 la velocidad inicial y vf la velocidad final. El teorema de la velocidad media de Merton establece que la distancia que recorre un móvil en un MRUA es la misma que la que recorre un móvil en un MRU con velocidad constante e igual a la velocidad media del primero. Obtener la fórmula de la distancia que recorre un móvil (longitud de la trayectoria) en un MRUA aplicando el teorema de Merton y sabiendo que la velocidad en un MRUA es
Solución
La distancia recorrida en un MRU es
Aplicamos el teorema sustituyendo la velocidad en la fórmula anterior del MRU por la velocidad media del MRUA:
Podemos escribir la velocidad media en función del tiempo que dura el movimiento:
Así, la distancia recorrida es
MRU: MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME
Introducción a los Problemas
Movimiento:
Tomando como referencia un punto fijo, un cuerpo está en movimiento cuando cambia de lugar. Si permanece en el mismo lugar, está en reposo. Al recorrido entre el punto de partida del cuerpo y el punto final se le llama trayectoria ; al cuerpo que se mueve, móvil .
Rectilíneo:
El movimiento se clasifica según el tipo de trayectoria, por ejemplo, es rectilíneo si la trayectoria es una línea recta, o circular si es una circunferencia o un arco. Rectilíneo:
Circular:
Uniforme:
El movimiento es uniforme si la velocidad (que veremos ahora) es siempre la misma, es decir, si la velocidad es constante. Si no es uniforme, el movimiento es acelerado (aunque la aceleración puede ser uniforme, o sea, constante).
Velocidad:
La velocidad es el espacio recorrido por unidad de tiempo. En otras palabras, la cantidad de espacio que se recorre en un tiempo determinado. En un movimiento rectilíneo uniforme, la velocidad es V=x/t
Donde v es la velocidad, x la distancia o espacio recorrido y t el tiempo necesario para recorrer la distancia x. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el metro por segundo, m/s. Esto es, el recorrido o espacio se mide en metros y el tiempo en segundos. La velocidad es directamente proporcional al espacio recorrido e inversamente proporcional al tiempo, lo que quiere decir que, fijado el tiempo t , cuanto mayor es la velocidad, mayor es la distancia recorrida; o bien, fijada la distancia recorrida, cuanto menor es el tiempo, mayor es la velocidad.
Gráfica v(t) : velocidad en función del tiempo
La siguiente gráfica muestra la velocidad de dos móviles: un móvil que se mueve de forma uniforme y otro que se mueve de forma acelerada.
Según esta gráfica, el móvil A, con movimiento uniforme tiene una velocidad constante de 2 m/s por lo que su gráfica es una recta horizontal. Si la gráfica de v(t) no es una recta horizontal, el movimiento no es rectilíneo uniforme. En el movimiento acelerado del otro móvil, B, la velocidad no es constante, sino que va decreciendo hasta llegar a 0, es decir, hasta que el móvil se detiene en el tiempo t = 6s . En el movimiento rectilíneo uniforme (velocidad constante), la gráfica v(t) siempre es una recta horizontal.
Si consideremos el rectángulo que forma la gráfica v(t)
Sus lados son: la base es el tiempo transcurrido, t ; y la altura es la velocidad, v(t). El área del rectángulo es Área = v
⋅
t
Y sabemos que el espacio recorrido es la velocidad por el tiempo. Por tanto, el área del rectángulo es el espacio recorrido .
Gráfica x(t): distancia en función del tiempo
La siguiente gráfica muestra el espacio recorrido por dos movimientos rectilíneos uniformes: el del móvil A, con velocidad 5 km/h; y el del móvil B, con velocidad 7 km/h.
Podemos observar que en ambos casos la gráfica x(t) es una recta no horizontal. Esto se debe a que la ecuación de la distancia es X=v t ⋅
Siendo v una constante. La pendiente de la recta depende del valor de la velocidad v. Cuando mayor es v, más rápido crece la recta. Por esta razón, la pendiente de la gráfica del móvil B es mayor que la del móvil A. Este hecho es bastante lógico puesto que la gráfica indica la distancia recorrida y, por tanto, cuando mayor sea la velocidad, mayor es la distancia recorrida. Si la gráfica x(t) no es una recta, el movimiento no es rectilíneo uniforme.
Vamos a resolver problemas de movimiento rectilíneo uniforme .
Problema 1
Un camión se mueve a velocidad constante de 90km/h por una autopista recta. a. ¿qué distancia recorre en 2 horas? b. ¿qué distancia recorre por segundo? c. ¿cuánto tardará en recorrer 10km? Solución
La velocidad del camión es
expresada en kilómetros (espacio) por hora (tiempo). Apartado a:
La ecuación del movimiento es
donde conocemos la velocidad y el tiempo. Queremos obtener la distancia recorrida: aislamos la x antes de sustituir en la ecuación:
Ahora sustituimos los datos
Hemos escrito las unidades de tiempo para tratarlas como factores, de este modo, como el tiempo, h, está multiplicando y dividiendo, desaparece, quedando únicamente la unidad de distancia, km. Por tanto, el camión recorre 180 kilómetros en 2 horas. Apartado b:
De nuevo tenemos que calcular la distancia, pero ahora, en un tiempo de 1 segundo. Sabemos que la distancia recorrida es
Notemos que en el denominador tenemos el tiempo en horas y en el numerador en segundos. Necesitamos la misma unidad. Para ello, pasaremos las horas a segundos. Una hora son
Entonces, escribimos 3600s donde tenemos la h:
Como las unidades del tiempo son la misma, se han anulado. El espacio recorrido obtenido está en kilómetros, por lo que si queremos evitar los decimales podemos pasarlo a metros:
Por tanto, el camión recorre 25 metros cada segundo. Apartado c :
Ahora sabemos la distancia, x = 10km , y tenemos que calcular el tiempo. Aislamos el tiempo en la ecuación:
y sustituimos los datos
Notemos que las horas están dividiendo en el denominador, por lo que pasan multiplicando al numerador.
Escribimos el tiempo en minutos para evitar los decimales:
Para ser más exactos,
Por tanto, el camión tarda unos 6 minutos y 40 segundos en recorrer 10km. Problema 2
La velocidad de la luz en el vacío es c = 300 000 km/s. La luz del Sol tarda en llegar a la Tierra 8 minutos y 19 segundos. Calcular la distancia entre el Sol y la Tierra. Solución
La velocidad la hemos llamado c en vez de v ya que para la luz se utiliza este nombre, pero el procedimiento es el mismo. Por tanto, conocemos la velocidad, c, y el tiempo, t = 8 min 19s . Podemos calcular la distancia:
Antes de sustituir tenemos que expresar el tiempo en una sola unidad. Como la velocidad la tenemos en kilómetros por segundo, pasamos el tiempo a segundos: Por un lado, los 8 minutos son
Por tanto, el tiempo es
Ahora sustituimos los datos en la ecuación:
Por tanto, la distancia del Sol a la Tierra es de 149 700 000km, es decir, casi 150 millones de kilómetros. Problema 3
Dibujar la gráfica del espacio recorrido en función del tiempo y la gráfica de la velocidad en función del tiempo del movimiento rectilíneo uniforme de una aeronave que vuela a 1200 km/h. Solución
La ecuación del movimiento rectilíneo uniforme es
Sustituimos la velocidad y obtenemos
Como la velocidad está en kilómetros por hora, la unidad de medida del tiempo, t , será horas y la del espacio, x, en kilómetros. Para dibujar la gráfica del espacio recorrido en función del tiempo, damos dos valores a t y dibujamos el par (x,t). Escogemos, por ejemplo,
Una vez dibujados los puntos
Sólo tenemos que unirlos en línea recta ya que sabemos que en este tipo de movimiento el espacio es una recta con pendiente la velocidad (la ecuación es una ecuación lineal):
Como la velocidad es constante, la gráfica de v(t) será una recta horizontal, una recta paralela al eje de abscisas:
Problema 4
La siguiente gráfica representa la velocidad (km/h) en función del tiempo de un automóvil. Calcular la distancia que recorre el automóvil sin hacer uso de las ecuaciones del movimiento ya que se trata de un movimiento con velocidad no constante.
Ver solución
Sabemos que el espacio recorrido es
y que, por tanto, el área que se encuentra por debajo de la gráfica de la velocidad en función del tiempo es el espacio recorrido. Para calcular el área tenemos que dividirla en tres polígonos:
El primer polígono lo dividimos en un rectángulo y un triángulo: El área del rectángulo es
El área del triángulo es
Procedemos de igual modo con el segundo polígono: El área del rectángulo es:
Y la del triángulo es
El último polígono es un rectángulo de base 1 y altura 3. Su área es
Ahora sumamos todas las áreas y tendremos la distancia recorrida:
Por tanto, el espacio recorrido son 17 km. Sabemos que son kilómetros porque en la gráfica el tiempo está en horas y la velocidad en kilómetros por hora. Problema 5
En un movimiento rectilíneo con velocidad no constante, la velocidad media es
donde x es la distancia recorrida final y t el tiempo transcurrido. La velocidad media es la velocidad que el móvil debería tener para recorrer la misma distancia en el mismo tiempo realizando un movimiento rectilíneo uniforme, es decir, con velocidad constante. Sabemos que un cohete espacial recorre 120 km a una velocidad constante de 500km/h. Cuando alcanza los 120km, su velocidad pasa a ser, de forma instantánea, 900km/h. A esta velocidad recorre otros 120km. Calcular la velocidad media del cohete. Solución
En realidad, se trata de dos movimientos rectilíneos uniformes: uno durante los primeros 120 kilómetros y el otro durante los 120 kilómetros restantes. En cada uno de estos dos movimientos tenemos una velocidad distinta y, por tanto, como la distancia es la misma, cada movimiento tendrá una duración. En el primer movimiento, la velocidad es de 500 km/h. Por tanto, tenemos la ecuación
El tiempo que dura el movimiento es de
En el segundo, la velocidad es de 900km/h. Del mismo modo que antes, obtenemos que el tiempo es
Por tanto, el tiempo total transcurrido es
Y la distancia total recorrida es
Ahora supongamos que realizamos un movimiento rectilíneo uniforme durante 0.373 horas y recorremos una distancia de 240 kilómetros. La velocidad de este movimiento es:
Por tanto, la velocidad media del cohete es
Problema 6
Las siguientes tablas recogen los tiempos y las distancias recorridas por dos ciclistas que parten en el mismo instante desde el mismo origen y en el mismo sentido en línea recta:
Dibujar las gráficas que corresponden a los datos para responder a las siguientes preguntas: a. ¿las velocidades son constantes o los movimientos son acelerados? b. calcular la velocidad media de cada ciclista.
c. ¿qué ciclista habrá recorrido una distancia mayor transcurridas 3 horas desde el instante de la salida? Solución Apartado a:
Sabemos que en el movimiento rectilíneo uniforme la gráfica de la distancia recorrida en función del tiempo tiene que ser una recta. Por tanto, la velocidad del ciclista 2 no puede ser constante. Podemos comprobar que la velocidad del ciclista 1 es constante
Y obtenemos esta velocidad para cualquier para de datos de la tabla que tomemos. En cambio, para el ciclista 2 tenemos que, para el tiempo t = 10 min , la velocidad es
Mientras que para el tiempo t = 20 min la velocidad es
Y cada vez obtenemos una velocidad mayor. La velocidad no es constante, es un movimiento acelerado.
Apartado b:
La velocidad media es la velocidad que debería tener el móvil para recorrer la misma distancia en el mismo tiempo con velocidad constante. Como la velocidad del ciclista 1 es constante, su velocidad media es dicha velocidad, es decir,
La velocidad del ciclista 2 no es constante. Su velocidad media es la distancia recorrida entre el tiempo empleado, esto es,
Apartado c
Puesto que no sabemos exactamente cómo es el movimiento del ciclista 2, no podemos estar seguros de quién recorrerá más distancia. Pero a partir de los 80 minutos, la gráfica del ciclista 2 crece más rápidamente que la del ciclista 1.
Si suponemos que las gráficas siguen con el mismo crecimiento, transcurridas las 3 horas, la gráfica del ciclista 2 crecerá por encima de la otra gráfica y, por tanto, la distancia recorrida será mayor. Problema 7
En el mismo instante, una motocicleta sale de la ciudad A y otra de la ciudad B, con la intención de encontrarse en el camino recto de 60 kilómetros que une ambas ciudades. Sabiendo que las velocidades de las motocicletas son 70km/h y 55km/h, calcular cuánto tardarán en encontrarse. Solución
El diagrama de la situación es
Como cada motocicleta circula a una velocidad, no se encuentran en la mitad del camino. La que tiene una velocidad menor habrá recorrido x kilómetros y, por tanto, la otra habrá recorrido 60-x, ya que la suma de ambas distancias ha de ser la distancia que hay entre las ciudades. En efecto,
Por otro lado, el tiempo es el mismo para ambas motocicletas ya que salen en el mismo instante. La ecuación del movimiento rectilíneo uniforme es
Para la motocicleta que circula a 55km/h tenemos
Y, para la otra
Tenemos un sistema de ecuaciones:
Sustituimos la primera ecuación en la segunda:
Resolvemos la ecuación de primer grado:
Por tanto, las motocicletas se encuentran transcurridas unos 29 minutos desde su salida. Problema 8
En una persecución policial, el automóvil a la fuga lleva una velocidad de 140km/h cuando pasa por un determinado punto de una carretera. Tres minutos después, el automóvil oficial que sigue al anterior pasa por dicho punto a una velocidad de tan solo 230km/h para evitar causar un accidente con los demás vehículos de la carretera a causa de un exceso de velocidad. Se supone que las velocidades indicadas son constantes y la carretera es recta. Calcular cuánto tardará la policía en alcanzar al delincuente. Solución
Puesto que las velocidades son en kilómetros por hora, para el tiempo usaremos horas. Tres minutos son 3/60 h = 0.05 h . El determinado punto de la carretera es el punto de referencia que usaremos. Este punto será x = 0. El punto donde se encuentran, que no sabemos cuál es, lo llamaremos z . Usaremos la siguiente notación: x1 , v1 son el espacio recorrido y la velocidad, respectivamente, del automóvil a
la fuga. x2 , v2 son
policial
el espacio recorrido y la velocidad, respectivamente, del automóvil
Por tanto, tenemos que
Sin embargo, la ecuación para la policía es
Ya que la policía comienza el movimiento 0.05 horas después (consideramos que el movimiento comienza cuando el vehículo pasa por el punto x = 0). Por tanto,
La policía alcanzará al delincuente cuando ambos automóviles hayan recorrido la misma distancia, dicho matemáticamente, cuando
Esto ocurrirá en el punto que hemos llamado anteriormente z . La igualdad x1 = x2 es la misma que (sustituyendo las ecuaciones)
Tenemos una ecuación de primer grado. La resolvemos:
Despejamos el tiempo t=11.590 0.13ht=11.590 0.13h ≃
≃
0.13h 60=7.8min0.13h·60=7.8min ⋅
Por tanto, la policía tardará aproximadamente 8 minutos en alcanzar al delincuente.
Problema 9
Las ciudades A y B distan 600 kilómetros. Hay un tren de alta velocidad que circula entre ambas ciudades a 320km/h. En otra ciudad, C, a 150 kilómetros en línea recta de la ciudad A y a 512 kilómetros en línea recta de la ciudad B, un motorista tiene que decidir qué ruta tomar para llegar a la ciudad B. Las posibilidades son las siguientes: a. viajar desde C hasta B en su motocicleta b. viajar desde C hasta A en su motocicleta y desde A hasta B en tren Encontrar la ruta más rápida sabiendo que la velocidad a la que circula la motocicleta es 120km/h. ¿Es la ruta más corta en cuanto a distancia? Solución
La situación de las ciudades es la siguiente
Los movimientos son rectilíneos uniformes, por lo que usaremos la ecuación
Calculamos el tiempo que requiere la primera ruta:
La otra ruta la tenemos que descomponer en dos movimientos (rectilíneos uniformes):
Para el tramo de la ciudad C a la A:
Y de la ciudad A a la B:
Ahora sumamos ambos tiempos:
Por tanto, la ruta más rápida es la segunda, es decir, de C a A y de A a B. Sin embargo, es la ruta más larga puesto que se recorren 750km. Problema 10
Dos caminos rectos, A y B, terminan en el mismo punto, que es el punto de encuentro de dos amigos: Félix y Erika. La longitud del camino A y B es 25km y 35km, respectivamente. Félix circula por el camino B a una velocidad de 50km/h y Erika circula por el camino A. Calcular la velocidad a la que tiene que viajar Erika para que ambos amigos lleguen al punto de encuentro en el mismo instante sabiendo que Erika comenzó su viaje 6 minutos más tarde que Félix. solución
El movimiento de cada amigo es rectilíneo y uniforme. Para Félix tenemos la ecuación:
Como Erika parte 6 minutos más tarde, su tiempo lleva un retraso de 6 minutos, su ecuación es
Ya que 6 minutos son 0.1h Tenemos un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas.
