Rangkuman Integral

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

RANGKUMAN INTEGRAL

Di Sus Susun un O leh :

Syaiful Hamzah Nasution, S.Si., S.Pd.

Di d ukung o le h :

Po rta l e d uka si Ind o ne sia Op en Knowl Knowled ed ge a nd Ed uc a tion tion http://oke.or.id

Copyright © oke.or.id Artikel ini boleh dicopy ,diubah , dikutip, d ikutip, di cetak dalam media kertas atau yang lain, dipublikasikan kembali dalam berbagai bentuk dengan tetap mencantumkan nama penulis dan copyright yang tertera pada setiap document tanpa ada tujuan komersial.


2 dari 5 By:SyaifulHamzahNasution,S.Si,S.Pd

BENTUK UMUM INTEGRAL TAK TENTU

∫ f (x)dx = F(x) + c

∫ dx

: Lam ba ng integral yang me nyata kan op erasi anti turunan

f(x) c

: fung si integran , ya itu fungsi ya ng dic a ri a ntituruna nnya : konsta nta

TEOREMA-TEOREMA DA LAM INTEGRAL TAK TENTU TEOREMA 1

TEOREMA 2

Jika n b ilang an rasional d a n n 1

∫ x dx=n+1 x n

n +1

≠

1, ma ka

Jika f fung si ya ng te rinteg ra lka n d a n k sua tu konstan ta , ma ka

+c , dengan c ad alah

∫ k f(x)dx=k∫ f(x) dx

konstanta TEOREMA 4 ATURAN INTEGRAL TRIGONO METRI

TEOREMA 3

1.

KELINIEARAN Jika f d a n g fung si-fungsi yang

1

∫ cos (ax + b) dx = a sin x + c

terintegralkan,maka

1 2. sin (ax + b) dx = - cos x + c a

∫ f(x) ± g(x) dx = ∫ f (x) dx ± ∫ g(x) dx

3.

∫

BENTUK

2

a

− x 2 ,

2

a

1

1

∫ cos2 (ax+b) dx = a tan x + c

+ x 2 , DAN

2

x

− a 2

2

− x 2 d iub a h me njad i x = a sin t

2

+ x 2 d iuba h menjad i x = a ta n t

2

− a 2 d iuba h menjad i x = a sec t

Integ ral b entuk

a

Integ ral b entuk

a

Integ ral b entuk

x

INTEGRAL TENTU

DEFINISI Anda ikan f suatu fungsi yang dide finisikan pa da selang tutup [ a , b], d an jika b

∑ f (x)∆x ad a, maka ∆x →0 x=a lim

b

b

lim ∑ f (x)∆x = ∫ f(x) dx ∆x →0 x=a a


3 dari 5 TEOREMA DA SAR KALKULUS Jika F ad a la h sua tu a nti turuna n d iferensial da ri fungsi f deng a n d a erah a sal Df = { x | a

≤

x ≤ b}, maka b

b

∫ f(x) dx = [F(x)]a = F(b) - F(a) a

Deng an :

F(x)

= a nti turuna n d a ri f(x)

f(x)

= integran

TEOREMA-TEOREMA DA LAM INTEGRAL TENTU

TEOREMA KELINIEARAN

TEOREMA PERUBAHA N

Jika f da n g te rinteg ralkan pa da intervak

Jika f terinteg ralkan pa da interva l [a, b]

[a , b] d an k suat u konstanta , maka :

maka :

b

b

a

a

a b

∫

a b

∫ f(x) ± a

∫ k f(x) dx = 0

k f(x) dx = k ∫ f(x) dx b

b

a

a

g(x) dx = ∫ f(x) dx ±

a

f x dx = -

∫ g(x) dx

f x dx

TEOREMA INTERVAL Jika f te rinteg ralkan pa da interva l yang

TEOREMA KESIM ETRIA N

memua t tiga titik a, b, da n c , maka a

a

∫ f(x) dx= 2 ∫ f(x) dx

a. f fungsi genap ma ka

-a

0

c

∫

a

b

c

a

b

f(x) dx = ∫ f(x) dx+ ∫ f(x) dx

a

b . f fung si ga njil, ma ka

∫ f(x) dx= 0 -a

METODE SUBTITUSI

And a ikan g sua tu fungsi yang te rd iferensialka n da n and a ikan F a d ala h sua tu an ti-turunan d a ri f. sehing ga , jika u = g(x), ma ka

∫ f(g(x)) g'(x) dx = ∫ f(u) du = F(u) + c = F(g(x)) + c Lang kah untuk meng integ ralkan d enga n m etod e sub titusi ad a lah seb ag ai be rikut 1. Me milih fung si u = g(x) sehing ga

∫ f ( g(x) ) g'(x) dx = f(u) du 2. Ten tuka n

∫ f(u) du


4 dari 5 METODE PARSIA L Apa bila pe ngintegralan deng an m etod e subtitusi tidak be rha sil, kita d ap a t meng guna kan teknik pe ngintegralan lain yang diseb ut Metod e Parsial. Misalkan u d an v a d alah fungsi yan g

Misa lkan u d an v a da lah fungsi yang da pa t

da pa t dide ferensialkan.

dideferensialkan.

b

b

b

∫ u dv = [uv] - ∫ v du

∫ u dv = u. v - ∫ v du

a

a

a

Ada d ua hal yang pe rlu diperhatikan d alam mengg unakan metod e p arsial, yaitu : 1. Pemilihan d v ha rus d ap at diinteg ralkan untuk memp eroleh v, yaitu v = ∫ dv 2.

∫ u du

ha rus lebih mud a h diselesaikan d a ripa da

u dv

METODE SUBSITUSI DA LAM INTEGRAL BENTUK TRIG ONO METRI Bentuk ∫ sinn xdx d a n ∫ cosn xdx Apa bila n b ilanga n bulat g anjil dan po sitif, set elah m eng eluarka n fa c tor sin x at au c os x, guna kan persa ma an Sin 2 x + co s 2 x = 1 Apa b ila n bilang an bulat g ena p da n po sitif, gunakan rumus seteng ah sudut b erikut : Sin 2 x =

Bentuk ∫ sinm x cosn xdx

1 − cos2x 2

dan

cos 2 x =

1 + cos2x 2

Apa b ila m d a n n ga njil d a n po sitif, keluarka n fac tor sin x a ta u co s x,kemud ia n gunakan : Sin 2 x + co s 2 x = 1 Apa b ila m d an n b ilang an b ulat gena p d an p ositif, guna kan rumus seteng ah sudut berikut : Sin 2 x =

1 − cos2x 2

dan

cos 2 x =

1 + cos2x 2

Bentuk ∫ sinax cosbx dx , ∫ cosax sinbx dx , ∫ sinax sinbx dx , ∫ cosax cosb x dx Untuk menyelesaikan integ ral d alam b entuk tersebu t, guna kan kesam aa n b erikut ini : (1).

sin a x c o s b x =

(2). cos a x sin b x = (3).

1 [sin (a + b )x + sin (a – b )x] 2

1 [sin (a + b )x – sin (a – b )x] 2

c os a x c os b x =

(4). sin ax sin bx = -

1 [c os (a + b )x + c os (a – b )x] 2

1 [c os (a + b )x – c os (a – b )x] 2


5 dari 5 MENGHITUNG LUAS DAERAH Untuk men ghitung luas sua tu d a erah ya ng d iba ta si oleh kurva a ta u ga ris d a lam sua tu selang tertentu da pa t diguna kan Konsep Integral Reiman (Metod e p oto ng, ham piri d an integralkan / metode polygon).

y = f(x)

b

c

L = ∫ f(x) dx

L=

a

a

c

b

∫

b

f(x) dx - ∫ f(x) dx

a

c

b

L = - ∫ f(x) dx

b

L=

a

∫ f(x) - g(x) dx a

MENGHITUNG VO LUME BENDA PUTAR V(T) = b

V=π

2

- g(x)2 dx

2

- g(y)2 dy

∫ f(x)

b

2

∫ f(x)

dx

a

b

V=π

2

∫ f(y)

dy

a

b

V(U) = π

∫ f(y) a

Referensi : 1. Purc ell, Ed win J. 2003. Kalkulus d a n G eom etri Ana litis . Jaka rta : PT. Ge lora Aksa ra Pra ta m a 2. E.S, Pesta d a n C ec ep Anw a r.2008. Ma te m a tika Ap likasi : Untu k SMA d a n MA kelas XII Prog ram Stud i IPA. Jakarta : Pusat Perbukuan Depdiknas. 3. Za ela ni, Ahma d , Dkk. 2008. 1700 Ba nk Soa l Bimbing a n Pem ant ap a n Ma tem a tika . Ba nd ung : Yra ma Widya

Rangkuman Integral

Recommend Documents