Finansijska i aktuarska matematika
Zadaci za vježbu RAČUN ULOGA 1. Svake godine u toku 5 godina treba da se ulaže ulaže po 6 000 n.j. Koliki će biti iznos kamata 6 godina nakon posljednje uplate ako je obračun godišnji a kamatna stopa 7% (d)?
n=5 m=6 p
=
7%(d )
u
=
6000
I n
?
=
K n
=
m −1
n
u ⋅ III p ⋅ I p
I n
=
K n
− n⋅u
I n
=
6000 ⋅ III 7 ⋅ I 7
I n
=
21781,85
5
6 −1
− 5 ⋅ 6000
2. Konačna vrijednost 6 godišnjih dekurzivnih uloga po 20 000 n.j. je 142 000 n.j. Kolika je kamatna stopa ako se kamata obračunava godišnje dekurzivno? Linearna interpolacija
n=6 u
=
20000
' n
= 142000
K
5
III 6, 75 5
III 6,5
p = ? '
K n
=
n 1
u ⋅ (1 + III p − ) n −1 p
1 + III n 1
III p −
6 −1
III p
5
III p
=
=
=
= ' n
K
K n'
5
6,1083642 III 6, 75
6,0637276
0,25 : 0,0446366
p
−1
20000
=
6,75 − p
u
u 142000
=
=
=
=
5
III p
=
=
6,1083642
6,10
(6,75 − p) : 0,0083642
0,25 ⋅ 0,0083642 0,0446366
6,7031551%
−1
6,10
6,5% < p < 6,75 %
Sedmica 3.
1
Finansijska i aktuarska matematika
3. Svake godine u toku 5 godina ulagano je po 500 n.j. Kojim će iznosom ulagač raspolagati 3 godine nakon 5. uplate, ako se kamata obra čunava godišnje i to: a) u prve dvije godine po 6% (d), b) u naredne dvije godine po 7% (d) i c) u ostalim periodima po 8% (d)?
n=5 u
=
500
m=3 p1
=
6%(d )
p 2
=
7%(d )
p3
=
8%(d )
a) 2
2
3
2
3
3
K n / m
=
500 ⋅ III 6 ⋅ I 7 ⋅ I 8
+ 500 ⋅ III 7 ⋅ I 8 + 500 ⋅ I 8
K n / m
=
500 ⋅ 2,1836 ⋅ 1,1449 ⋅ 1,259712 + 500 ⋅ 2,2149 ⋅ 1,259712
+ 500 ⋅ 1, 259712 =
3599,57
K n / m
=
500 ⋅ (1 + III 6
K n / m
=
500 ⋅ (1 + 1,06) ⋅ 1,06 ⋅ 1,1449 ⋅ 1,259712 + 500 ⋅ (1 + 1,07) ⋅ 1,07 ⋅ 1,259712
K n / m b)
2 −1
)⋅ I
1 6
2
3
⋅ I 7 ⋅ I 8 + 500 ⋅
(1 + III )⋅ I 2 −1 7
1 7
3
3
⋅ I 8 + 500 ⋅ I 8
+ 500 ⋅ 1, 259712
K n / m
=
3599,57
4. Svakog polugodišta u toku 4 godine ulagano je po 500 n.j. Kojim će iznosom ulagač raspolagati: a) pola godine po uplati posljednjeg uloga b) na dan uplate posljednjeg uloga ako se kamata obračunava godišnje po stopi 8% (d)?
n=4 m=2 u
=
500
p
=
8%( d )
b) '
K nm
a) K nm
=
u ⋅ m +
p ⋅ (m + 1) 200
⋅ (1 + III p
n −1
=
500 ⋅ 2 +
K 8
=
4776,48
u ⋅ m +
p ⋅ (m − 1) 200
⋅
(1 + III ) n −1 p
)
8 ⋅ (2 + 1) 4 1 ⋅ (1 + III 8 ) 200 24 K 8 = 500 ⋅ 2 + ⋅ (1 + 3,506112 ) 200 K 8
=
−
8 ⋅ (2 − 1) 4 1 ⋅ (1 + III 8 ) 200 8 ' K 8 = 500 ⋅ 2 + ⋅ (1 + 3,506112 ) 200 K 8
'
=
500 ⋅ 2 +
'
=
4596,23
K 8
Sedmica 3.
−
2
Finansijska i aktuarska matematika
Ako bismo koristili ekvivalentnu kamatnu stopu, onda se konačna vrijednost anticipativnih uloga, kada je ulaganje češće od obračunavanja kamate dobija po sljede ćoj formuli:
K nm r 1
1
=
u
=
r 1
⋅
⋅
(r
n ⋅m
r 1
−
−
1
1)
1
c
+
100
ili K nm c
=
m ⋅n c
(
−
100
=
c = 100 ⋅ =1+
r 1
u ⋅ III m
⋅
1,08
2
c 100
r
1
−1 =
=1+
)
3,923048454 %
3,923048454 100
= 1,0392304845 4
1,0392304845 4 ⋅ (1,03923048454
K 8
=
500 ⋅
K 8
=
4774,74
8
)
−1
1,0392304845 4 − 1
Ako bismo koristili ekvivalentnu kamatnu stopu, onda se konačna vrijednost dekurzivnih uloga, kada je ulaganje češće od obračunavanja kamate dobija po sljede ćoj formuli: ' nm
K
=
u⋅
=1+
r 1
r 1n⋅m r 1
−1
−1
c 100
ili '
K nm
=
u ⋅ (1 + III c ⋅
c = 100 ⋅
m n −1
(
m
)
r − 1
1,03923048454
' 8
K
=
500 ⋅
'
=
4594,50
K 8
) 8
−1
1,03923048454 − 1
Sedmica 3.
3
Finansijska i aktuarska matematika
5. Svakog polugodišta u toku 4 godine ulagano je po 500 n.j. Kojim će iznosom ulagač raspolagati 3 godine nakon uplate posljednjeg uloga ako se kamata obračunava godišnje po stopi 10% (d)?
n=4 m=2 u
m1 p
500
=
3
=
= 10%(d )
p ⋅ (m − 1) m n 1 ⋅ (1 + III p ) ⋅ I p 200 10 ⋅ (2 − 1) 4 1 3 K 11 = 500 ⋅ 2 + ⋅ (1 + III 10 ) ⋅ I 10 200 K nm+ m1
=
−
u ⋅ m +
1
−
K 11
=
500 ⋅ 2,05 ⋅ 4,641 ⋅ 1,331
K 11
=
6331,60
6. Ulagano je u banku početkom svake godine u toku 4 godine po 1 000 n.j. Kojim će se iznosom raspolagati jednu godinu nakon posljednje uplate ako banka obračunava kamatu polugodišnje na bazi godišnje stope 10% (d)?
n=4 u
= 1000
p
= 10%(d )
⋅ +
m=2 m
K nm
=
u⋅
r
K 8
= 1000 ⋅
K 8
= 1000 ⋅
K 8
=
III pm / nm m K nm = u ⋅ − 1 III pm / m III 510 K 8 = 1000 ⋅ − 1 2 III 5 13,2067872 K 8 = 1000 ⋅ − 1 2,1525
⋅
(r
m⋅n
m
)
−1
−1
r
1,05
2
⋅
(1,05
1,05
2
8
)
−1
−1
1,1025 ⋅ (1,4774554 − 1) 1,1025 − 1
K 8
=
5135,56
5135,56
Sedmica 3.
4
Finansijska i aktuarska matematika
7. Ulagano je u banku u toku 4 godine po 1 000 n.j. Kojim će se iznosom raspolagati na dan posljednje uplate ako banka obračunava kamatu polugodišnje na bazi godišnje stope 10% (d)?
n=4 u
= 1000
p
= 10%(d )
mn
' nm
K
m=2 n⋅ m
' nm
K
u⋅
=
' 8
= 1000 ⋅
K 8'
= 1000 ⋅
K
'
K 8
=
m
r
−1
1,05
8
1,05
2
u⋅
m
III p / m 8
−1
r
=
III p / ⋅ m
−1 −1
1,47745544 − 1
' 8
K
= 1000 ⋅
K 8'
= 1000 ⋅
'
K 8
=
III 5
2
III 5
10,02656432 1,1025
4658,10
1,1025 − 1
4658,10
8. Ulagano je u toku 6 godina godišnje po 1 000 n.j. Poslije trogodišnjeg prekida ulaganje je nastavljeno u toku naredne četiri godine. Kolika je vrijednost svih uloga tri godine poslije uplate posljednjeg uloga ako se kamata obračunava godišnje na bazi godišnje stope 10% (d)?
n1
=
6
n2
=
4
m=3 = 1000
u
6
8
4
2
K n
= 1000 ⋅ III 10 ⋅ I 10 + 1000 ⋅ III 10 ⋅ I 10
K n
= 1000 ⋅ 8, 487171 ⋅ 2,1435888 + 1000 ⋅ 5,10510 ⋅ 1,21
K n
= 18193,004 +
6177,171 = 24370,175
9. Ulagano je u toku 6 godina na kraju svakog polugodišta uz kamatnu stopu 12% (d) i tromjesečni obračun kamate. U toku prve tri godine ulozi iznose po ... n.j., a u toku naredne dvije godine ulozi iznose po ... n.j. Izračunati konačnu vrijednost svih uloga u trenutku posljednje uplate ako je ulog treće serije veći od uloga prve serije za 12%, a ulog druge serije manji od uloga prve serije za 80% i ako ulozi tre će serije iznose po 80 000 n.j.?
p = 12%( d ) n
'''
>
n
'
12%
n ''
n'
<
80%
n
'''
n
'
=
n
''
= 14285,71
= 80000
71428,57
Sedmica 3.
5
Finansijska i aktuarska matematika mn
' nm
K
u⋅
=
III p / ⋅ m m
III p / m 6⋅2
III 12 / 4
4⋅ 2
K
=
71428,57 ⋅
' K 24
=
71428,57 ⋅
K 24
=
711978,87 + 70432,10 + 164871,99
' K 24
=
947283
'
2
III 12 / 4
12 3
III 12 / 4
' 24
⋅ I
+ 14285,71 ⋅
14,6177904 2,0909
2
III 12 / 4
2⋅2
4 3
⋅ I + 80000 ⋅
⋅ 1,4257609 + 14285,71 ⋅
III 12 / 4 2
III 12 / 4
9,1591061 2,0909
⋅ 1,125509 + 80000 ⋅
4,3091358
10. Suma kamate na 8 godišnjih jednakih uloga tri godine nakon posljednje uplate iznosi 32 712,58 n.j. Izračunati iznos jednog uloga ako je kamatna stopa 6% (d), a obračun kamata polugodišnji. n
∑ I
=
i
32712,58
III 62 / 82 2 (3 1) 2 32712,58 = u ⋅ − 1 ⋅ I 6 / 2 −8⋅u 2 III 6 / 2 III 318 4 32712,58 = u ⋅ − 1 ⋅ I 3 − 8 2 III 3 ⋅ +
−
i =1
n =8 m=2 m1 p
3
=
6%(d )
=
III pm / nm m = u ⋅ III pm / m ⋅ +
K n +m
− 1 ⋅ I p / 1m (m
24,1168684
u
=
32712,58 :
u
=
8482,81
2,0909
−1)⋅m
⋅
− 1 ⋅ 1,1255088 − 8
n
∑ I
=
i
K n + m
− n⋅u
i =1
11. Kolika je konačna vrijednost 20 tromjesečnih anticipativnih uloga po 500 n.j. ako banka obračunava kamatu godišnje po 6% (d)? Treba raditi: a) pomoću posebne formule b) pomoću ekvivalentne stope.
K n
=
n
5
=
m
=
?
4
u
=
500
p
=
6%( d )
a) K nm K nm K nm
p ⋅ ( m + 1)
n −1
⋅ (1 + III p ) 200 6 ⋅ ( 4 + 1) 4 = 500 ⋅ 4 + ⋅ (1 + III 6 ) 200 =
u ⋅ m +
= 11696,967
Sedmica 3.
6
2,0909
Finansijska i aktuarska matematika
b)
nm
K nm
u ⋅ III
=
n
n p
III
r ⋅ ( r
=
r = 1 + K 20
=
K nm
nm c
− 1)
r 1
r − 1 p 100 20 c
500 ⋅ III
=
u⋅
= 1+
r 1 ⋅ ( r 1 r 1
− 1)
−1
c 100
500 ⋅
1,0146738 ⋅ (1,0146738
K 20
=
K 20
= 11693,925
20
− 1)
1,0146738 − 1
c = 100 ⋅ ( m r − 1) c = 100 ⋅ ( 4 1,06 − 1) c = 100 ⋅ (1,0146738 − 1) c = 1,46738
12. U dvomjesečnim razmacima u toku 8 godina ulagano je po 500 n.j. Kamata se obračunava godišnje po 8% (d). Treba izračunati konačnu vrijednost: a) dva mjeseca nakon posljednje uplate i b) na dan posljednje uplate.
K n
=
?
n=8 m=6 u
=
500
p
=
8%( d )
b)
a) p ⋅ ( m + 1) n 1 K nm = u ⋅ m + ⋅ (1 + III p ) 200 8 ⋅ (6 + 1) 8 1 K 48 = 500 ⋅ 6 + ⋅ (1 + III 8 ) 200 −
−
K 48
=
Sedmica 3.
=
u ⋅ m +
p ⋅ (m − 1)
−
−
K 48
33399,008
n 1 ⋅ (1 + III p ) 200 8 ⋅ (6 − 1) 8 1 K 48 = 500 ⋅ 6 + ⋅ (1 + III 8 ) 200
K nm
=
32973,543
7
Finansijska i aktuarska matematika
13. Kojim će iznosom korisnik raspolagati jedan mjesec nakon posljednje uplate ako se ulaže svakog mjeseca u toku prvih 9 godina po 200 n.j., a u toku sljedećih 9 godina po 300 n.j. i ako se kamata obračunava godišnje po 9% (d)?
K nm
=
n1
=
9
m
= 12
u
200
=
n2
?
=
9
= 12
m u
=
300
p
=
9%( d )
p ⋅ ( m + 1)
n −1
⋅ (1 + III p ) 200 9 ⋅ (12 + 1) 9 ⋅ (12 + 1) 9 1 9 9 1 = 200 ⋅ 12 + ⋅ (1 + III 9 ) ⋅ I 9 + 300 ⋅ 12 + ⋅ (1 + III 9 ) 200 200 117 117 = 200 ⋅ 12 + ⋅ (1 + 12,021036 ) ⋅ 2,1718933 + 300 ⋅ 12 + ⋅ (1 + 12,021036 ) 200 200
K nm
=
u ⋅ m +
−
K 216 K 216
−
= 120342 , 436
K 216
14. Na početku svake godine u toku 3 godine, a zatim na početku svakog polugodišta u toku 3 sljedeće godine ulaže se po 80 000 n.j. Kojim će iznosom ulagač raspolagati 6 mjeseci nakon posljednje uplate ako je kamata obračunavana godišnje po stopi 9% (d)?
n1
=
3
n2
=
3
m
=
2
u
=
80000
p
=
9%( d )
K n
=
? n
n
p ⋅ ( m + 1)
n2 −1
⋅ (1 + III p ) 200 9 ⋅ ( 2 + 1) 3 3 2 K n = 80000 ⋅ III 9 ⋅ I 9 + 80000 ⋅ 2 + ⋅ (1 + III 9 ) 200 K n
=
u ⋅ III p1 ⋅ I p2
K n
=
930083 ,93
+
u ⋅ m +
Sedmica 3.
8
Finansijska i aktuarska matematika
15. Kolika je konačna vrijednost 7 godišnjih anticipativnih (dekurzivnih) uloga ako je prvi ulog 1 000 n.j., ako je svaki sljede ći manji od prethodnog za 30 n.j. i ako se kamata obračunava godišnje po 7%(d)? u1
= 1000
p
=
7%( d )
n
=
7
d = 30 K n
=
?
'
=
?
K n
a ) K n '
b ) K n
100 ⋅ d
=
u1 ⋅ III pn
=
u ⋅ (1 + III pn − ) −
−
p 1
n
⋅ ( III p −
100 ⋅ d
p
n ⋅ I p1 ) n −1
⋅ (1 + III p
−
n)
a) 7
K 7
= 1000 ⋅ III 7 −
K 7
=
100 ⋅ 30 7
7
1
⋅ ( III 7 − 7 ⋅ I 7 )
8501,3158
b) '
K 7 ' 7
K
6
= 1000 ⋅ (1 + III 7 =
)−
100 ⋅ 30 7
6
⋅ (1 + III 7 − 7)
7945,1550
16. Ulagač je uplaćivao svake godine u toku 5 godina po 800 n.j. U toku sljede će 4 godine uloge je pove ćavao za 40 n.j. Kamatna stopa je 8% (d), a obračun godišnji. Kolika je vrijednost svih uloga 3 godine poslije posljednje uplate?
u1
=
800
n1
=
5
d = 40 n2
4
=
p
=
8%( d )
m
=
3
K n / m
=
?
K n / m
=
u1 ⋅ III p1 ⋅ I p 2
n
n
5
6
800 ⋅ III 8 ⋅ I 8
K 9 / 3
=
K 9 / 3
= 12903,358
+ m −1
+
+
n u1 ⋅ III p
4 800 ⋅ III 8
+
2
+
100 ⋅ d
p
100 ⋅ 40 8
Sedmica 3.
n
⋅ ( III p 2 −
4
⋅ ( III 8 −
1 m 1 n2 ⋅ I p ) ⋅ I p −
2
4 ⋅ 1,08) ⋅ I 8
9
Finansijska i aktuarska matematika
17. Banka je primila 7 godišnjih uloga. Prvi ulog iznosi 150 000 n.j., a svaki sljede ći veći je od prethodnog za 6% (d). Kolika je vrijednost ovih uloga: a) jednu godinu nakon posljednje uplate i b) na dan posljednje uplate ako se kamata obračunava godišnje po stopi 7% (d)?
n
=
7
s
=
6%
u1
= 150000
p
=
7%( d )
K n
=
?
'
=
?
K n
b)
a)
n
n
K n
=
u1 ⋅
r ⋅ ( r
K
q )
1,07 ⋅ (1,07
7
− 1,06
7
)
1,07 − 1,06
u1 ⋅
r
−
q
n
r − q
' n
K
= 150000 ⋅
'
= 1532268
K n
= 1639525,50
K n
=
r − q
= 150000 ⋅
K n
−
' n
n
1,07
7
− 1,06
7
1,07 − 1,06
18. Treba izračunati konačnu vrijednost 12 polugodišnjih: a) anticipativnih, b) dekurzivnih uloga uzimajući da je prvi ulog 900 n.j., da je svaki sljedeći manji od prethodnog za 5%, da je godišnja kamatna stopa 6% (d) i da se kamata obračunava polugodišnje.
n m s
6
= =
=
2
5%
u1
=
900
p
=
6%( d )
K n
=
?
'
=
?
K n a)
b) n
K n
=
u1 ⋅
r ⋅ ( r
−
n
q )
n
' n
K
r − q 12
900 ⋅
1,03 ⋅ (1,03
K 12
=
K 12
= 10259,581
12
− 0,95
)
1,03 − 0,95
=
u1 ⋅
r
−q
n
r − q 12
1,03
' 12
K
=
900 ⋅
'
=
9960,759
K 12
12
− 0,95
1,03 − 0,95
provjera '
K 12 ⋅ r = K 12 9960,759 ⋅ 1,03 = 10259,581
Sedmica 3.
10
Finansijska i aktuarska matematika
19. Po koliko bi novčanih jedinica trebalo ulagati mjese čno unaprijed u toku 5 godina za konačan iznos od 36 724,92 n.j. ako se kamata obračunava godišnje po 8% (d)?
p
=
8%( d )
n
=
5
m
= 12
K nm u
=
?
=
K nm u
36724,92
=
u ⋅ m +
p ⋅ ( m + 1)
n 1 ⋅ (1 + III p )
200
−
K nm
=
p ⋅ (m + 1) n 1 + ⋅ (1 + III p ) m 200 −
u
36724,93
=
8 ⋅ (12 + 1) 5 1 12 + ⋅ (1 + III 8 ) 200 −
u
499,99997
=
≈
500
20. Konačna vrijednost 5 godišnjih anticipativnih uloga koji se konstantno uvećavaju za isti iznos je 680 389,35 n.j. Koji je to iznos ako je prvi ulog 100 000 n.j. i ako se kamata obračunava godišnje po stopi 8% (d)?
p
=
8%( d )
n
=
5
u1
= 100000
K 5
=
680389 ,35
d +
=
?
K n
=
u1 ⋅ III p
n
±
100 ⋅ d
p
n
⋅ ( III p − 5
680389 ,35 = 100000 ⋅ III 8 100 ⋅ d 8
+
1
n ⋅ I p )
100 ⋅ d 8
5
1
⋅ ( III 8 − 5 ⋅ I 8 )
5
=
680389 ,35 − 100000 ⋅ III 8
III 85
− 5 ⋅ 1,08
d = 4000
Sedmica 3.
11
Finansijska i aktuarska matematika
21. Kolika je konačna vrijednost 16 polugodišnjih anticipativnih uloga koji konstantno rastu za 4% ako je osmi ulog 780,97 n.j. i ako se kamata obračunava polugodišnje na osnovu stope 6% (d)?
K n m
?
=
2
=
n
r
n
=
8
s
=
4%
u8 p
=
n −1
q ⋅ r
780 ,97 n
K n
u1 ⋅
=
r ⋅ ( r
−
n
q )
r − q
ili K n
u1 ⋅
=
K n
r ⋅ ( q
n
−
n
=
q 2 ⋅ r 14
n −3
=
q
3
⋅ r
n −4
=
q
4
⋅ r
5
⋅ r
q
3
⋅ r
q
4
⋅ r
q
5
⋅ r
n −5
=
q
q 6 ⋅ r n −6
=
q 6 ⋅ r 10
=
q
q
r )
15
q ⋅ r
7
n −7
⋅ r
7
13 12
11
9
⋅ r
q − r
593, 47 ⋅
=
=
q 2 ⋅ r n −2
6 %( d )
=
16
r
=
1,03 ⋅ (1,04
16
− 1,03
16
u8
)
1,04 − 1,03 1,03 ⋅ (1,8729812
K n
=
593, 473 ⋅
K n
=
593, 473 ⋅
K n
= 16399 ,023
− 1,6047064
0,01 1,03 ⋅ 0,2682748
)
q
=
u1 ⋅ q
= 1+
7
s 100
= 1,04 7
u8
=
u1 ⋅ 1,04
u1
=
780,97 : 1,04
=
780,97 7
=
593,47
0,01
22. Kolika je konačna vrijednost 5 godišnjih anticipativnih uloga ako se kamata obračunava šestomjesečno, ako je godišnja stopa 6% (d) i ako je kamata za 5 godina 396,46 n.j.?
K n m n I 5 p
=
2
= =
5
= =
?
396 ,46 6 %( d )
III pm n m I n = u ⋅ − 1 − n ⋅ u = 396 , 46 III pm III 312 u ⋅ − 1 − 5 = 396 , 46 2 III 3 14 ,6177904 u = 396 , 46 : − 6 2,09090 ⋅ +
u
=
400
Sedmica 3.
III pm n m K n = u ⋅ − 1 III pm III 312 K n = 400 ⋅ − 1 2 III 3 14,6177904 K n = 400 ⋅ − 1 2 , 0909 ⋅ +
K n
=
2396,4589
12
Finansijska i aktuarska matematika
23. Na 5 godišnjih anticipativnih uloga, koji su neprekidno povećavani za 6% ostvareno je za 5 godina 433,53 n.j. kamate. Obračun je godišnji a kamatna stopa 5% (d). Treba izračunati: a) iznos prvog uloga i b) isključivo pomoću datih elemenata konačnu vrijednost uloga.
n=5 s
=
I 5 p
6% 433,51
=
5%(d )
=
n
I n
=
K n
−
∑u i =1
K n I 5
=
=
u1 ⋅
u1 ⋅
K n
=
u1 ⋅
r ⋅ ( q n
n
r ⋅ ( q
n
n
− r
)
n
n
− r
q − r
)
− u1 ⋅
1,05 ⋅ (1,06 − 1,05 u1 ⋅ 1,06 − 1,05 5
5
q
n
−1
q −1
) − 1,06
5
=
433,53
− 1
r n )
q − r 1,05 ⋅ (1,06
K n
=
500 ⋅
K n
=
500 ⋅
K n
=
3252,06
5
− 1,05
5
)
1,06 − 1,05
q − r
r ⋅ (q
−
0,065041215 0,01
= 433,53
1,06 − 1
u1
=
433,53 : (6,50407 − 5,63709 )
u1
=
500
Sedmica 3.
13
