1
1.5. RAČUN SMJESE Račun smjese upotrebljava se onda kada je potrebno odrediti u kojem omjeru i u kojim količinama treba miješati neke istovrsne veličine (alkohol, zlato, brašno,...) koje imaju neku zajedničku osobinu različitog intenziteta (jakost, cijena, finoća,...), da bi se dobila smjesa željenog prosječnog intenziteta tražene osobine.
1.5.1. JEDNOSTAVNI RAČUN SMJESE Jednostavni račun smjese vezan je uz probleme u kojima je smjesa sastavljena od dvije veličine. Ovakav problem ima jedinstveno rješenje. Primjer 1. S koliko postotnom kiselinom kiselinom treba miješati 6 litara 48% kiseline kiseline da bi se dobilo 10 litara 60%? Sa x ćemo označiti traženi postotak. Postavljamo jednadžbu: 6 × 48 + 4 × x = 10 × 60 60 288 + 4x = 600 4x = 600 - 288 4x = 312 / :4 x = 78 Potrebno je dodati 4 litre 78% kiseline.
2
1.5.2. SLOŽENI RAČUN SMJESE Složeni račun smjese primjenjuje se u situacije kada se smjesa sastoji od više od dvije različite veličine. Ovakvi problemi uglavnom imaju više rješenja. Pokazat ćemo shematski kako se rješava jedan ovakav problem. Primjer 2. Imamo 4 vrste neke robe po cijeni 160, 140, 110 i 50 kuna. Kako bi trebalo pomiješati tu robu da dobijemo 560 kg po cijeni od 120 kn? Postavimo shemu u kojoj ćemo u lijevom stupcu poredati cijene po veličini, u sredinu traženi intenzitet, tj. cijenu (120), a u desnom stupcu ćemo odrediti traženi razmjer:
(a1)
160
(m - a4) 70
(a2)
140
(m - a3) 10 (m) 120
(a3)
110
(a2 - m) 20
(a4)
50
(a1 - m) 40
Iz gornje sheme direktno čitamo da robu trebamo miješati u razmjeru: a1 : a2 : a3 : a4 = 70 : 10 : 20 : 40 / : 10 =7:1:2:4. Primjenom računa diobe dobivamo:
3
7k + k + 2k + 4k = 560 14k = 560 k = 40 Robu ćemo pomiješati na slijedeći način: robu po 160 kn (a1) ⇒ 7 × 40 = 280 kg robu po 140 kn (a2) ⇒ 1 × 40 = 40 kg robu po 110 kn (a3) ⇒ 2 × 40 = 80 kg robu po 50 kn (a4) Σ
4 × 40 = 160 kg
⇒
560 kg
Provjera: Ukupna cijena 560 kg robe je: 280 × 160 + 40 × 140 + 80 × 110 + 160 × 50 = 67200 kn Prosječna cijena po kilogramu je: 67200 : 560 = 120 kn.
Napomena: Ovo je samo jedno od mogućih rješenja. Mogli smo drugačije “uparivati” vrste robe, ispustiti ili fiksirati jednu od njih itd.
4
Zadaci za vježbu: 1.) Kavu po cijeni od 50 kn po kilogramu treba pomiješati s kavom po cijeni od 30 kn po kilogramu da bi se dobilo 500 kg kave po cijeni od 45 kn po kilogramu. Koliko od svake vrste kave ide u traženu smjesu? Rješenje: Označimo sa x broj kilograma kave po 50 kn. Da bismo dobili 500 kg smjese trebamo dodati (500 – x) kg kave po 30 kn. Postavljamo jednadžbu: x × 50 + (500 – x) × 30 = 500 × 45 50x + 15000 – 30x = 22500 20x = 7500 / : 20 x = 375 Tražena smjesa sastoji se od 375 kg kave po 50 kn i 125 kg (500 – 375) kave po 30 kn. 2.) Koliko litara 90% alkohola treba dodati 1 litri vode da se dobije 50% alkohol? Rješenje: x × 90 + 1 × 0 = (x + 1) × 50 90x = 50x + 50 40x = 50 / : 40 x = 1,25 1 litri vode treba dodati 1,25 litara 90% alkohola da bi se dobio 50% alkohol.
5
3.) Na skladištu imamo 4 vrste kave po cijeni od 41, 48, 50 i 56 kn po kilogramu. Treba napraviti 4760 kg mješavine po cijeni od 49 KN. Odredite jedno od mogućih rješenja i izvršite provjeru. Rješenje: A
41
(56 – 49) 7
B
48
(50 – 49) 1 49
C
50
(49 – 48) 1
D
56
(49 – 41) 8
A:B:C:D =7:1:1:8 A + B + C + D = 4760 7k + 1k + 1k + 8k = 4760 17k = 4760 / : 17 k = 280
kava po 41 kn ⇒ 7 × 280 = 1960 kg kava po 48 kn ⇒ 1 × 280 = 280 kg kava po 50 kn ⇒ 1 × 280 = 280 kg kava po 56 kn ⇒ 8 × 280 = 2240 kg
6
Provjera: 1960 × 41 + 280 × 48 + 280 × 50 + 2240 × 56
233240 =
1960
+
280 + 280 + 2240
=
49
4760
4.) Kavu po cijeni od 25 kn po kilogramu treba pomiješati s kavom po cijeni od 20 kn po kilogramu da se dobije 300 kg kave po cijeni od 22 kn po kilogramu. Koliko od svake vrste kave ide u traženu smjesu? (R: 25 kn
120 kg; 20 kn
⇒
180 kg)
⇒
5.) Koliko litara 80% alkohola treba dodati 1 litri vode da bi se dobio 60% alkohol? (R: 3 litre) 6.) Kolike finoće će biti smjesa dobivena miješanjem 5 g 20 – karatnog i 10 g 14 – karatnog zlata? (R: 16 c) 7.) Na skladištu imamo 4 vrste brašna po cijeni od 1, 2, 5 i 8 kn po kilogramu. Treba napraviti 5.000 kg mješavine po cijeni od 4 kn po kilogramu. Odredite jedno od mogućih rješenja i izvršite provjeru. 8.) Cijena triju vrsta piva je 6, 9 i 12 kn po litri. Koliko treba uzeti od svake vrste da bi se prodalo 900 l piva po prosječnoj cijeni od 10 kn? Izvršite provjeru.
7
1.6. VERIŽNI RAČUN Verižni račun je poseban shematski postupak pomoću kojeg se jednostavnije rješavaju problemi u kojima je potrebno naći odnos između dvije veličine koje su u međusobnoj zavisnosti. Ta zavisnost, međutim, nije neposredna nego su te dvije veličine povezane drugim, međusobno upravno razmjernim veličinama. Postupak ćemo objasniti na konkretnom primjeru. Primjer 1. Koliko košta 1 litra vina, ako je poznato da 5 litara vina stoji kao 10 kg šećera, 28 kg šećera kao 2 m platna, 3 m platna kao 60 litara benzina, a 10 litara benzina stoji 72 kn? Zadatak se očito može riješiti postupno. 1 litra benzina stoji 7,2 kn, 60 litara 432 kn itd. Umjesto toga verižnim računom do rješenja dolazimo kraće. Postavimo shemu: x kn 5 l vina 28 kg šećera 3 m platna 10 l benzina
1 l vina 10 kg šećera 2 m platna 60 l benzina 72 kn
Shema mora biti postavljena tako da se počinje nepoznatom veličinom (pitanjem - koliko kn košta 1 litra vina). Nadalje, zadani odnosi veličina koje se javljaju u zadatku postavljaju se u shemu tako da mjerna jedinica na desnoj strani svakog reda bude jednaka mjernoj jedinici na lijevoj strani sljedećeg
8
reda. Desni član u posljednjem redu mora imati istu mjernu jedinicu kao i lijevi član iz prvog reda. Rješenje se dobiva rješavanjem jednadžbe, tj. izjednačavanjem umnoška svih elemenata lijeve strane i umnoška elemenata desne strane: x × 5 × 28 × 3 × 10 = 1 × 10 × 2 × 60 × 72 4200x = 86400 x = 20,57 Dakle, 1 litra vina košta 20,57 kn.
Primjer 2. Koliko košta 120 kg neke robe u Zagrebu ako 500 lb (engleska funta ⇒ 1 lb = 0,4536 kg) te robe stoji u New Yorku 400 USD , a 1 USD se obračunava po tečaju 6,1577 HRK? x HRK 0.4536 kg
120 kg 1 lb
500 lb
400 USD
1 USD
6,1577 HRK
x × 0,4536 × 500 × 1 = 120 × 1 × 400 × 6,1577 226,8x = 295.569,60 x = 1303,22 HRK 120 kg navedene robe košta 1303,22 HRK.
9
Zadaci za vježbu: 1.) Kolika je cijena 35 kg robe u Zagrebu ako 12 lb (engleska funta
1 lb =
⇒
0,4536 kg) iste robe u Londonu stoji 23 d (penny – stoti dio funte) i ako je tečaj 1 GBP = 10,7527 HRK? Rješenje: x HRK
35 kg
0,4536 kg
1 lb
12 lb
23 d
100 d
1 GBP
1 GBP
10,7527 HRK
x × 0,4536 ×12 ×100 × 1 = 35 × 1 × 23 × 1 × 10,7527 544,32x = 8655,92 / : 544,32 x = 15,90 Cijena 35 kg robe u Zagrebu je 15,90 HRK. 2.) Cijena 1 cwt (hundred weight ⇒ 1 cwt = 50,8 kg) šećera u Torontu je 18,68 CAD (1 CAD = 5,2046 HRK). Kolika je cijena 1 t šećera u Zagrebu? Rješenje: x HRK 1t 50,8 kg 1 cwt 1 CAD
1t 1000 kg 1 cwt 18,68 CAD 5,2046 HRK
X × 1 × 50,8 × 1 × 1 = 1 × 1000 × 18,68 × 5,2046 50,8x = 97.221,93 / : 50,8
10
x = 1913,82 Cijena 1 t šećera u Zagrebu je 1913,82 HRK. 3.) 15 kg robe A košta kao 5 kg robe B, 7 kg robe B košta kao 9 l robe C, 6 l robe C košta kao 14 m 2 robe D. Koliko je cijena 1 kg robe A, ako je cijena 3 m2 robe D 90 kn? (R: 30 kn) 4.) Koliko košta 100 kg neke robe u Zagrebu ako 1000 lb (engleska funta
1
⇒
lb = 0,4536 kg) te robe stoji u Zurichu 800 CHF , a 1 CHF se obračunava po tečaju 4,7374 HRK? (R: 835,52 HRK)
