Poligonal Una poligonal es una serie de líneas rectas que conectan estaciones poligonales, que son puntos establecidos en el itinerario de un levantamiento. Una poligonal sigue un recorrido enzigzag, lo cual cual quie quiere re deci decirr que que camb cambia ia de dire direcc cció ión n en cada cada estación de la poligonal. El leva levant ntam amie ient nto o de poli poligo gona nale les s es un procedimiento muy frecuente en topografía, en el cual se recorren líneas rectas para llev llevar ar a cabo cabo el leva levant ntam amie ient nto o plan planim imét étri rico co.. Es espe especi cial alme ment nte e adecuado para terrenos planos o boscosos. Existen dos tipos de poligonales: •
•
si la poligonal forma una gura cerrada, tal como el perímetro que delimita el emplaamiento de una gran!a acuícola, se trata de una poligonal cerrada" si la poligonal forma una línea con un principio y un nal, tal como el e!e central de un canal de alimentación de agua, se llama poligonal abierta.
#oligonal cerrada
#oligonal abierta
¿Qué método se debe usar para el levantamiento de una poligonal? $uando se lleva a cabo el levantamiento de una poligonal, se realian mediciones para conocer: •
la distancia entre las estaciones poligonales"
•
la orientación de cada segmento de la poligonal.
%i se dispone de un teodolito se puede llevar a cabo el levantamiento de una poligonal con teodolito. %e miden las distancias &oriontales usando el método estadimétrico y se miden los 'ngulos &oriontales que supone el uso de un teodolito. En modo an'logo, pero con muc&a menos precisión, también se puede usar sar un clis clisím ímet etrro y un grafómetro.
%i se dispone de una br(!ula se puede llevar a cabo el levantamiento de una poligonal con br(!ula. %e miden las distancias &oriontales contando pasos o por encadenamiento y se miden los aimut con la br(!ula . )os levantamientos de poligonales con br(!ula son muy (tiles para adquirir una visión de con!unto del terreno. *ambién ayudan a completar los detalles de levantamientos realiados previamente. #oligonal con br(!ula
%i se dispone de una planc&eta se puede llevar a cabo el leva le vant ntam amie ient nto o de un una a po poli ligo gona nall co con n pl plan anc& c&et eta a . %e miden las dista distanci ncias as contan contando do pasos pasos o por encade encadenam namien iento to y se miden miden los 'ngulos &oriontales usando un método gr'co .
#oligonal con planc&eta
%i se debe realiar un reconocimiento r'pido, se puede efectuar el levantamiento de una poligonal con una br(!ula simple y contando pasos . En esta sección se ense+a cómo llevar a cabo un levantamiento de poligonal con br(!ula. %e puede proceder en modo an'logo en el caso de un levantamiento con teodolito.
Elección del recorrido de una poligonal $uando se trata de elegir el recorrido de la poligonal, es necesario: •
•
•
alargar todo lo posible cada porción rectilínea de la poligonal -/0 m1" elegir segmentos m's seme!antes posible"
cuya
longitud
sean
lo
evitar secciones de poligonal muy cortas 2 inferiores a 34 m de longitud"
•
•
elegir líneas que se puedan medir f'cilmente" elegir líneas que no se vean interrumpidas por obst'culos tales como vegetación densa, rocas, parvas y propiedades privadas.
Levantamiento de una poligonal abierta con brújula 5ueremos llevar a cabo el levantamiento poligonal de la línea 67, un futuro canal de alimentación de agua. En primer lugar se recorre la poligonal y se marca el recorrido colocando estacas largas cada 4 m, aproximadamente. %i es necesario, se colocan estacas adicionales en algunas estaciones importantes de la poligonal, por e!emplo cuando la línea cambia de dirección, o donde una colina u otras modicaciones del relieve reducen la visibilidad entre las estaciones, o también donde se presentan características particulares del terreno, como un camino, un río o rocas. 8arcar los puntos principales
%i es necesario se corta la vegetación alta que crece en el recorrido de la poligonal, de manera que cada punto marcado, sea visible desde el punto precedente. )impie el trayecto y marque los detalles
$omience el levantamiento de la poligonal en el punto inicial 6. 5uite el !alón y colóquese de pie en el punto 6. 8ida con la br(!ula el azimut9 de la línea que une el punto 6 con , el punto siguiente visible. El punto 6 se llama estación 0. )a dirección en la cual se mide a partir de aquí &acia el punto , o estación , se llama visual hacia adelante* (VAd) porque se mide precisamente &acia adelante. 6note el valor medido en un cuadro . 7%;6
En la estación 3 punto 1 quite el !alón y colóquese de pie en el punto, sosteniendo la br(!ula. 8ire &acia atr's, a la estación 0 y mida el aimut de la línea 6. Esta dirección se llama visual hacia atrás (VAt). )uego mire &acia el punto siguiente $, o estación >, y mida el aimut de la línea $, mediante una visual hacia adelante (VAd) .
8ida la distancia $ mientras camina a lo largo de la poligonal. 6note estos valores en el cuadro .
% ; 6
?ota: la diferencia entre la visual &acia adelante y la visual &acia atr's debe ser de 0@A. Una diferencia de 0 ó 3 grados entre <6d y <6t es aceptable y se puede corregir m's tarde %i el error es mayor, se debe repetir la medición antes de continuar &acia la próxima estación. 7% ; $
Bepita el procedimiento, mida la distancia &oriontal de cada estación a la siguiente y mida dos azimut uno <6d y otro <6t1 para cada punto. =e todos modos, en la (ltima estación, al nal de una poligonal abierta, tendré sólo una medición <6t, así como tendr' una sola <6d de la estación 0. ?ota: si el terreno tiene pendiente y se requiere un método m's preciso, se puede usar un método especial para medir o calcular las distancias &oriontales. =istance $
*odas las mediciones realiadas se deben anotar cuidadosamente en un cuaderno de campo. Es posible usar un cuadro como el que se ilustra en el e!emplo o se puede traar un esquema sencillo de la poligonal abierta en papel milimetrado, anotando las mediciones !unto a las estaciones correspondientes. E!emplo
Mediciones efectuadas al inicio del levantamiento con brújula de la poligonal AX !ue consta de "# estaciones$ %stacion es =esd e
A Cndividual
Azimut (grados)
6cumula da
&iferencia calculada VAd'VAt (degrees)
&istancia (m)
"
#
+,-.
+,-.
/#
#."
"01
#
,
20-,
"33-1
"#3
,3"
"/"
,
2
.+-#
"..-"
..
#2/
"/#
2
+
+.-/
###-1
+"
##1
"0/
+
.
."-"
#/2-3
1"
#03
"01
---
---
---
---
---
---
---
%iempre se debe veri4car este tipo de levantamiento de poligonal con brújula, especialmente si no se conoce previamente, a partir de estudios o mapas anteriores, la posición exacta de las estaciones de partida y de llegada. #ara vericar el levantamiento de la poligonal con br(!ula, proceda de la siguiente manera: •
•
si no se conoce la ubicación de las estaciones de partida y de llegada, 6 y D, verique el primer segmento de la poligonal realiando una segunda medición con la br(!ula en sentido inverso, desde el punto D al punto 6. si se conocen ambas estaciones 6 y D, &aga el croquis de la poligonal efectuada. #ara ello, use el transportador para los 'ngulos y una escala adecuada para las distancias . 6 partir de la estación conocida 6, compare la ubicación de la (ltima estación D con la ubicación conocida D. %i la comparación evidencia un error importante el error de cierre DD1 es necesario corregir la poligonal efectuada 6D. 6 tal efecto, vea los puntos siguientes.
#oligonal 6D efectuada
Corrección de una poligonal abierta )a manera m's sencilla de corregir la poligonal efectuada 6D, considerando el error de cierre DD, consiste en utiliar el método gr'co de la siguiente manera: •
•
• •
•
•
dibu!e en una &o!a de papel, con una escala apropiada, la línea &oriontal 6D cuya longitud total es igual a la poligonal efectuada. en el punto D, trace DD perpendicular a 6D, de una longitud que corresponda al error de cierre, utiliando siempre la misma escala. una 6 y D mediante una línea recta. sobre 6D, usando la misma escala, dena los segmentos 6, $, $=, =E y ED de longitud proporcional a las secciones medidas en el campo. a partir de los puntos , $, = y E, trace las perpendiculares a 6D, , $$, == y EE. mida las longitudes de las líneas , $$, == y EE, que indican el valor de la corrección necesaria en cada estación poligonal.
Falle los puntos intermedios $= y E
=ibu!e las perpendiculares G, $$G, ==G y EEG perpendiculares
8ida las
$orri!a el cro!uis de la poligonal del siguiente modo: /una la ubicación observada D de la (ltima estación poligonal con su ubicación conocida D. =ibu!e DDG
/ trace l5neas paralelas cortas a DD desde las estaciones , $, = y E. =ibu!e los otros segmentos paralelos a DDG
/ marque sobre estas líneas las correcciones calculadas , $$, == y EE, usando siempre la misma escala. 8ida las distancias G, $$G, ==G y EEG
/ una los puntos 6, , $, = E y D para determinar la poligonal corregida. Una los puntos de la poligonal a!ustada
Levantamiento de una poligonal cerrada mediante una brújula Es posible traar la poligonal cerrada 6$=E6 procediendo de la misma manera que con una poligonal abierta, excepto que se debe unir el punto nal con el punto inicial 6. #ara realiar el levantamiento poligonal con br(!ula de una parcela cerrada de terreno irregular 6$=E6 tal como el emplaamiento de una gran!a acuícola1, se procede de la siguiente manera: •
•
•
recorra a pie el 'rea y ubique las estaciones de la poligonal 6, , $, = y E. m'rquelas con !alones o estacas
si es necesario, limpie el 'rea de vegetación para que las estaciones 6 y , y $, $ y =, etc., sean visibles la una desde la otra.
•
•
•
quite el !alón del punto 6 estación 01 y colóquese en ese punto. =etermine el aimut 6 2mediante una visual hacia adelante2 desde el centro de la estación, con la br(!ula. $oloque nuevamente el !alón exactamente en la estación 0.
mida la distancia 6 con una cuerda de agrimensor.
en el punto estación 31, mida el aimut 6 mediante una visual hacia atrás y el aimut $ con una visual hacia
adelante-
•
mida la distancia $ mientras se desplaa &acia el punto $ estación >1.
•
•
proceda de la misma manera en las estaciones >, - y 4" de regreso en el punto 6 estación 01, mida el aimut 6E 2 mediante una visual hacia atrás.
?ota: durante el levantamiento de la poligonal, es posible que se puedan visualiar una o m's estaciones adicionales a partir de la estación en que uno se encuentra. %i ese es el caso, mida los aimut de las líneas traadas en esas direcciones. Un e!emplo es la línea = a partir de la estación . *ales observaciones adicionales constituyen medios (tiles de vericación del traba!o que se lleva a cabo.
En el cuaderno de campo, anote cuidadosamente todas las mediciones efectuadas. %e puede usar un cuadro seme!ante al propuesto para las poligonales abiertas ver punto 0H1. *ambién se puede realiar un cro!uis de la poligonal en una &o!a suelta cuadriculada y anotar allí las medidas. %imult'neamente, verique que las visuales &acia adelante y las visuales &acia atr's dieran 0@A. E!emplo e ha llevado a cabo el levantamiento del sitio
A6&%A por poligonal cerrada 7 las anotaciones de campo son las siguientes$ Azimut %stacion (grado es &istanc s) ia (m) &esd A e
&iferencia calculada VAd'VAt (grados)
"
#
13-/
", ," . +
"01
#
,
+,-+
0/
#+ 1
"01
,
2
./-0
,2 ". 0 /
"01
2
+
22-.
#1 "" # 3
"/#
+
"
.,-0
#2 ., "
"0/
Ia se &a visto precedentemente que en todo pol5gono 9 de ? lados, la suma de todos los 'ngulos interiores es igual a ? / 31 x 0@A . Esta regla puede ayudar a vericar la medición de los aimut, después de calcular el 'ngulo interior de cada estación. E!emplo
A partir de las observaciones indicadas para el ejemplo anterior calcule la suma de los ángulos interiores del pol5gono A6&%A de la siguiente manera$ %staci8 n
&iferencias de azimut (grados)
9ngulo interior (grados)
"
A :A% ; ",.: .,
0,
#
(A : 6 ; ,"+ : 0/ ; #,0)
"#,"
,
6& : 6 ; ,20 : #+1
//
2
&% : &6 ; #1# : "./
"#2
+
%A : %& ; #2" : ""3
","
uma de los ángulos interiores
+,1
=ado que el norte magnético queda dentro del 'ngulo, se debe calcular como >JK la diferencia de aimut1 o >JK 2 3>HK ; 03>K.
=e acuerdo con la regla general enunciada, la suma de los cinco 'ngulos interiores es igual a 4 2 31 x 0@A ; 4-A, lo cual coincide aproximadamente con el resultado alcanado. $omprobar: la suma de los 'ngulos ; 4/31 x 0@A ; 4-A
Corrección de una poligonal cerrada 6 partir de la estación 0 61, anote en una &o!a de papel cuadriculado, las observaciones realiadas en el levantamiento poligonal con br(!ula. Use un transportador para medir los aimut , y eli!a una escala adecuada para las distancias medidas. %i existe un error de cierre, corri!a el croquis usando el método gr'co descrito para la poligonal abierta.
E!emplo
%n el ejemplo de la página anterior el error de cierre es igual a A- 6orrija de la siguiente manera$
•
•
•
•
•
utiliando la escala apropiada, trace la línea &oriontal 67 cuya longitud es igual a la longitud total medida de la poligonal efectuada. en 7, trace 76G, perpendicular a 67, usando siempre la misma escala. )a longitud de 76G es proporcional al error de cierre" una 6 con 6G mediante una línea recta" sobre 67, determine los segmentos 6, $, $=, =E y E7 proporcionales a las mediciones realiadas en el campo, utiliando siempre la misma escala" en los punto , $, = y E, trace las líneas G, $$G, ==G y EEG, que indican el valor de la corrección necesaria en cada sección de la poligonal"
=ibu!e 67 a escala 76G perpendicular a 67
=ibu!e
=ibu!e 66G los puntos $= y E
=ibu!e y mida las perpendiculares
6orrija el cro!uis de la poligonal de la siguiente manera$
Falle
•
•
•
•
una el emplaamiento observado 7 de la (ltima estación a su posición conocida 6 trace líneas cortas paralelas a 76 desde las otras estaciones , $, = y E. marque siempre a escala, sobre estos segmentos de recta, las correcciones calculadas G, $$G, ==G y EEG. una los puntos 6, G, $G, =G, EG y 6 para obtener la poligonal corregida.
=ibu!e 76 segmentos paralelos a 76
8ida las respectivas longitudes de la poligonal a!ustada
=ibu!e los otros
Una los puntos
El procedimiento a seguir para el c'lculo y compensación de una poligonal es la siguiente:
")
6álculo del error angular
#ara poligonales cerradas: )a suma de los 'ngulos internos es igual al n(mero de vértices menos dos, por 0@ grados.
< ang- =nternos ; (n:#) > "/3?
8uc&as veces me &an preguntado si es Ln/0M ó Ln/3M, y es muy f'cil de recordarlo. *omaremos como e!emplo un tri'ngulo. %abemos que los 'ngulos internos de un tri'ngulo es igual a 0@A" entonces aplicando la formula decimos que > / 31 ; 0, y 0 x 0@ ; 0@. %i fuese la formula con Ln/0M, entonces aplicando la formula > 2 01 ; 3, 3 x 0@ ; >J, con lo que con este resultado quedaría descartado el segundo caso. / #ara poligonales abiertas: El error angular se &alla por la diferencia entre el aimut de llegada de campo y el aimut de llegada teórico. Cómo hallamos el azimut de llegada. •
•
•
•
#artiendo de la base inicial con coordenadas conocidas, podremos conocer el aimut de partida. J grados. Una ve calculado el aimut de llegada se restar' el aimut teórico, para saber cu'l &a sido el error angular.
Para repartir el error una vez hallado el error angular, se dividirá este entre el número de vértices de la poligonal se le sumará o restará a cada uno de estos vértices dependiendo si nuestro error haa sido maor o menor al dato teórico.
#)
6álculo de las @ro7ecciones
Para calcular las proyecciones debemos de recordar que est'n en función del aimut y la distancia &oriontal, es por esta raón que primero se compensa los 'ngulos y los aimuts. #ara &allar las proyecciones de cada vértice tenemos el siguiente c'lculo:
orte ; 6os Az- > &-B%ste ; en Az- > &-B,)
6álculo del error lineal !n una poligonal cerrada la suma de las proyecciones sobre el eje norte C sur y el eje este C oeste , debe ser igual a cero. =ebido a los inevitables errores instrumentales y operacionales presentes en la medición de distancias, la condición lineal mencionada nunca se cumple, obteniéndose de esta manera el error de cierre lineal representado en la siguiente imagen.
En el gr'co el punto 6 representa la posición del punto 6 una ve calculadas las proyecciones con las distancias medidas. ?ótese que
para que se cumpla la condición lineal de cierre el punto 6 debería coincidir con el punto 6.
!n el caso de una poligonal abierta, la suma de las proyecciones sobre el e!e norte 2 sur debe ser igual a la diferencia entre las coordenadas norte de los puntos de control inicial y nal" y la suma de las proyecciones sobre el e!e este 2 oeste debe ser igual a la diferencia entre las coordenadas este de los puntos de control inicial y nal.
El error lineal tanto para la poligonal cerrada como abierta ser' igual a:
"na ve calculado el error lineal, se debe vericar que sea menor a la tolerancia lineal. En algunos casos la tolerancia lineal se relaciona con la precisión obtenida en el levantamiento denido por la siguiente ecuación:
En donde: P ; #recisión de la poligonal ∑L : %umatoria de los lados de la poligonal en metros
"na ve &allado la precisión de la poligonal, podemos calcular el error relativo que se expresa con una relación que es igual a: " ' @, siendo
# en este caso, el valor redondeado al millar m's próximo" por e!. 0O4, 0O3- , 0OH4 , etc.
2)
6ompensaci8n del error lineal
El método m's usado o com(n para estos casos es el de la br(!ula, propuesto por el matem'tico norteamericano ?at&aniel oPditc&. Este método asume lo siguiente: )os 'ngulos y las distancias son medidas con igual precisión. El error ocurre en proporción directa a la distancia. )as proyecciones se corrigen proporcionalmente a la longitud de los lados. %e resumiría la fórmula de la siguiente manera: • • •
+)
6álculo de las coordenadas de los vDrtices
Una ve compensada las proyecciones, se procede al c'lculo de las coordenadas de cada uno de los vértices. *eniendo como punto de partida las coordenadas de la estación inicial, se le sumar' la proyección antes calculada para este vértice. )uego para el c'lculo del segundo vértice se procede de la misma manera, es decir se le sumar' la proyección correspondiente a este punto m's la coordenada recién calculada, así sucesivamente &asta calcular todos los vértices.
