EJEMPLO DE CALCULO DE UNA POLIGONAL CERRADA
A)
Cálculo de Ángulos Promedios y Ángulos Compensados
ET
Lecturas
Promedio
Error
Comp.
1ª
4ª
E1
68º 09’ 42”
272º 30’ 00”
68º 07’ 30”
-5”
68º 07’ 25”
E2
79º 11’ 06”
316º 45’ 30”
79º 11’ 23”
-5”
79º 11’ 18”
E3
32º 41’ 06”
130º 45’ 30”
32º 41’ 22”
-5”
32º 41’ 17”
180º 00’ 15”
-15”
180º 00’ 00”
B)
Cálculo de lados promedios
Lado
Medición
L. Promedi o
1ª
2ª
3ª
E1 E2
40.90
40.88
40.92
40.90
E2 E3
70.41
70.39
70.40
70.40
E3 E1
74.39
74.41
74.40
74.40
185.70
C)
Cálculo de Azimut y Rumbos Cálculo de Azimut E1
NM
Z 3 - 2 = 345º 48’ 00” z 2 - 3 = 165º 48’ 00” Z 2 - 4 = 86º 36’ 42” Z 1 - 2 = 266º 36’ 42” 1 - 3 = 198º 29’ 17” Z 3 - 1 = 18º 29’ 17”
E2
Z 3 - 2 = 345º 48’ E3
Z3-2 = 345º 48’
359º 60’
R3-2 = N 14º 12’ W
345º 48’ 14º 12’
N
R = 360 - Z
Z2-1 = 86º 36’ 42” R = N 86º 36’ 42” E
W
+
Z = 198º 29’ 17”
R=Z
R = S’ 18º 29’ 17” W
+
+
E
Px = Lado Sen R Py = Lado Cos R
-
185
R = Z - 180
R = 180 - Z
S
0.03
185
-0.11
70.40
X1 = +0.01
70.40
1/1 = -0.04
40.90
X2 = +0.01
40.90
1/2 = -0.03
74.40
X3 = +0.01
74.40
1/3 = -0.04
D)
Lado
Cálculo de Proyecciones
Long m
Rumbo
Proyeccion es
Error
Proyecc. Correg.
Px
Py
x
y
x
y
E3
E2
70.40
N 14º 12’ 0” w
-17.27
+68.25
+0.01
-0.04
-17.26
+68.21
E3
E1
40.90
N 86º 36’ 42” E
+40.83
+2.42
+0.01
-0.03
+40.84
+2.39
E1
E3
74.40
S 18º 29’ 17” W
-23.59
-70.56
+0.01
-0.04
-23.58
-70.60
-0.03
+0.11
+0.03
-0.11
0.00
0.00
185.70
E)
Cálculo de Coordenadas E3 (500; 1000) E3
500.00 -17.26
E2
E1 (Comprob.)
E3
1000.00 +68.21
482.74
1068.21
+40.84
+2.39
523.58
1070.60
23.58
-70.60
500.00
1000.00
F)
Dibujo del Plano
NM N1250
E2
E1
L
N1000
E3 N750 E250
E500
E750 E1000
E1250 1 5000
G)
Trazo de Paralelos
1 = 5 cm. 5000 t
t = 25000 cm.
t = 250 m.
Tipos de Precisión de la Poligonal 1º Orden
2º Orden
3º Orden
4º Orden
Espec.
15” 1’ 30”
Error angular
n
15”
30”
n
Error relativo
No debe 1/10,000
Área: Máxima
1’ 30” Mayores de 500 has.
lectura aprox.
de
exceder
de
30”
n
1´
1´30”
n
n
No debe exceder de 1/5,000
No debe exceder de 1/3,000
No debe exceder de 1/1,000
100-500 (Ha)
100 Has.
100 Ha.
Al minuto
Al minuto
3%
30”
Se desprecia las pendientes menores de
Se observa m menores de 1%.
Se observa m menores del 2%.
2%
Usos
Plano de población.
-Plano de población. -Líneas jurisdiccionales
Trazo carreteras. Vías férreas.
de
Ante proyectos.
EJEMPLO DE CALCULO DE UNA POLIGONAL CERRADA (libro: Feliz García)
Norte
A
D
3 7' 4 º 58
0"
C
º 58
47
0" 3 ' º 65
B 1 6º 0 3
3 2'
46
0"
8" 3 '
A)
Cálculo de Ángulos Promedios y Ángulos Compensados
ET
Lecturas
Promedio
1ª
4ª
EA
85º12’35”
340º 51’ 20”
EB
119º 34’10”
EC
ED
85º
Error
Comp.
12’ 50”
-9”
85º
118º17’ 12”
119º 34’ 50”
-9”
119º 34’ 09”
75º35’ 00”
302º20’ 20”
75º
-9”
75º 34’ 56”
79º38’ 20”
318º33’ 32”
79º 38’ 23”
-9”
79º 38’ 14”
360º 00’ 36”
-36”
360º 00’ 00”
35’ 05”
12’ 41”
Compensación de ángulos:
A B C D
= 85º 12’ 50” – 9” = 119º 34’ 18” – 9” = 75º 35’ 05” – 9” = 79º 38’ 23” – 9” 360º 00’ 36” – 36”
= = = = =
85º 119º 75º 79º 360º
12’ 34’ 34’ 38’ 00’
41” 09” 56” 14” 00”
B)
Cálculo de lados promedios Lado
1ª Medic.
2ª Medic.
3ª Medic.
A
B
238.11
238.16
238.15
B
C
375.78
375.72
375.69
C
D
401.23
401.3
401.25
D
A
433.4
433.42
433.44
Cálculo de la longitud promedio de los lados:
A B
=
238.00 +
1 (0.11 + 0.16 + 0.15) = 238.14 3
n
B C
=
375.00 +
1 (0.78 + 0.72 + 0.69) = 375.73 3
n
C D
=
401.00 +
1 (0.23 + 0.30 + 0.25) = 401.26 3
n
1,448.55
n
C)
Cálculo de Azimut y Rumbos Z Z
A B B A B
Z Z Z Z Z Z Z
B C C B C C D D C D D A A D A A D
=
=
126º 12’ 30” +
=
180º 306º 12’ 30” +
R
A B = S 53º 47’ 30” R
119º 34’ 09” 425º 46’ 39” -
360º = 65º 46’ 39” + R 180º = 245º 46’ 39” + = 75º 34’ 56” = 321º 21’ 35” R 180º = 141º 21’ 35” + = 79º 38’ 14” = 220º 59’ 49” R 180º = 40º 59’ 49” + = 85º 12’ 41” = 126º 12’ 30” (comprobación)
B C = N 65º 46’ 39” R
C D = N 38º 38’ 25” 0
D A = S 40º 59’ 49” 0
D)
Cálculo de Proyecciones
Lado A
Longitud n B
238.14
Rumbo lado S 53º47’30”
E
Proyecc. Proyecc. X Y +
192.15 - 140.07 n n
B
C
375.73
N 65º46’39”
E
+
342.65 + 154.15 n n
C
D
401.26
N 38º38’25”
O
-
250.56 + 313.42 n n
D
A
433.42
S 40º59’49”
O
-
284.35 - 327.12 n
n SUMA -
0.09 n
-
0.22 n
E)
Cálculo de errores en los ejes, error de cierre y error relativo:
Los errores en los ejes se obtienen por suma algebraica de las proyecciones, siendo para el caso, los siguientes: ex = - 0.09 n
ey = - 0.22 n
El error de cierre o error absoluto, será:
ec =
(0.09) 2 (0.22)2 = 0.25 n
El error relativo, será:
er =
0.25 1 , tomándose 1,448.55 5,794
1 / 5,500
F)
Cálculo de Coordenadas E3 (500; 1000) Estación
X
Y
A
5,000.00 + 192.16
10,000.00 – 140.63
B
5,192.16 + 342.67
9,859.37 + 154.21
C
5,534.83 – 250.53
10,013.58 + 313.48
D
5,284.30 – 284.30
10,327.06 – 327.06
A
5,000.00
10,000.00
1º CASO: FALTAN LA LONGITUD Y RUMBO DE UN LADO Ejemplo: Calcular los valores desconocidos para la siguiente poligonal cerrada. Lado
Longitud n Rumbo
A B
195.62
B C
290.15
N 45º 30’ 28” E
C D
252.47
S 32º 17’ 45” E
D A
No medido
N 75º 16’ 30”
Desconocido
O
C
D
B
D Ay
A
D Ax
SOLUCIÓN: Con los datos, puede calcularse: Lado
Proyección X
Proyección Y
AB
- 189.20 n
+ 49.72 n
BC
+ 206.98 n
+ 203.34 n
CD
+ 134.89 n
- 213.41 n
Suma:
+ 152.67 n
+ 39.65 n
En consecuencia, si la propiedad es cerrada, necesariamente se tendrá que: (D A)x = - 152.67 n Entonces: DA=
y
(D A)y = -39.65 n
(152.67) 2 (39.65)2
= 157.73 n
Rumbo D A
= Arc Tg
(D A)x = (D A)y
= Arc Tg
-152.67 -39.65
= Arc Tg 3.8504413
Rumbo D A = Sur 75º 26’ 29” Costo Observación: Los signos de las propiedades, son los que dan el cuadrante donde se ubica el rumbo.
2º CASO: FALTA LA LONGITUD DE DOS LADOS (Consecutivos o no) Ejemplo: Calcular los valores de las longitudes de los lados: BC y DE, para la poligonal cerrada de la Fig. Nº 31, siendo los datos:
Lado
Longitud n
Rumbo
AB
248.16
N 29º 30’ 15” O
BC
No medida
N 76º 54’ 13” O
CD
250.32
S 36º 13’ 24” O
DE
No medida
S 21º 18’ 30” E
EA
389.77
N 70º 04’ 43” E
Lado
Longitud n
Rumbo
AB
248.16
N 29º 30’ 15” O
BC
No medida
N 76º 54’ 13” O
C
B
D
CD
250.32
S 36º 13’ 24” O
DE
No medida
S 21º 18’ 30” E
EA
389.77
N 70º 04’ 43” E
A
E
Gráfico: Fig. Nº 31
SOLUCIÓN: Con los datos, puede calcularse:
FIG. Nº 31
Lado
Proyección X
Proyección Y
A B
- 122.22 n
+ 215.98 n
C D
- 147.92 n
- 201.94 n
E A
+ 366.45 n
+ 132.81 n
+ 96.31 n
+ 146.85 n
Suma:
En consecuencia, es factible formular las siguientes ecuaciones: - B C Sen 76º 54’ 13” + D E Sen 21º 18’ 30” = - 96.31 n + B C Cos 76º 54’ 13” - D E Cos 21º 18’ 30” = - 146.85 n
Tomando los valores de las funciones trigonométricas, se tendrá: - B C (0,9739902) + DE (0.3633867) = - 96.31 n + B C (0,2265899) + DE (0.9316384) = - 146.85 n
Sistema de ecuaciones que al ser resuelto, da como valores: BC = 173.43 n DE = 199.81 n
3º CASO: FALTA LA LONGITUD DE UN LADO Y EL RUMBO DEL LADO CONSECUTIVO Este caso es posible resolverlo cuando una línea auxiliar de cálculo tal como se observa en el ejemplo que a continuación se detalla.
Ejemplo: Lado
Longitud n
Rumbo
A B
91.82
S 34º 30’ 15” E
B C
103.54
S 82º 51’ 18” E
C D
133.68
N 30º 10’ 20” E
D A
No medida
N 62º 43’ 37” O
E A
146.55
Desconocido
E’
E
A D
Lado auxiliar
Ángulo interno en E: mayor que 90º
B
C
SOLUCIÓN:
Como se observa en la Fig. Nº 32, este caso tiene dos posibilidades de solución, por lo cual debe tomarse una referencia adicional en el campo y que para nuestro caso es que el ángulo interno en el vértice es mayor que 90º, lo cual concretiza el caso. Con los datos, es posible calcular:
Lado
Proyección X
Proyección Y
A B
+ 52.01 n
- 75.67 n
B C
+ 102.74 n
- 12.88 n
C D
+ 67.19 n
+ 115.57 n
Suma:
+ 221.94 n
+ 27.02 n
Entonces: (D A) x n – 221.94 n y (D A) y n – 27.02 n Valores con los cuales puede calcularse:
Rumbo Azimut
DA DA DA
= = =
223.58 Sur 83” 03’ 31” Oeste 263º 03’ 31”
Tomando el triángulo: A D E, puede calcularse: Ángulo D
Son E =
= Z D E – Z D A = 297º 16’ 23” – 263º 03’ 31” = 34º 12’ 52” 233.58 Sen 34º 12' 52" = 0.8578451 146.55
Ángulo E = 120º 55’ 28”
Ángulo A = 180º - (34º 12’ 52” + 120º 55’ 28”) = 24º 51’ 40”
Entonces: Azimut B A = Z B D + Ángulo D = 117º 16’ 23” + 120º 55’ 28” = 238º 11’ 51” Rumbo E A = Sur 58º 11’ 51” Oeste Asimismo:
D E = 146.55 Sen 24º 51' 40" = 109.57 n
Sen 34º 12' 52"
4º CASO: FALTA EL RUMBO DE DOS LADOS CONSECUTIVOS Este caso, con el anterior, se soluciona tomando una línea auxiliar de cálculo. Asimismo, tiene la posibilidad de encontrarse dos soluciones, por lo cual debe tomarse alguna referencia adicional en el campo para que concretice el caso. Ejemplo: Calcular los valores desconocidos, para la poligonal de la Fig. Nº 33, si:
Lado
Longitud n
Rumbo
A B
89.15
S 49º 35’ 00” E
B C
91.92
N 78º 10’ 30” E
C D
89.98
N 18º 24’ 10” O
D A
75.57
Desconocido
E A
70.32
Desconocido
D B’
A E
C El ángulo interno de la poligonal en el vértice E es mayor que 180º
B
SOLUCIÓN: Lado
Proyección X
Proyección Y
A B
+ 67.87 m
- 57.80 m
B C
+ 89.97 m
+ 18.84 m
C D
- 28.41 m
+ 85.38 m
Suma:
+ 129.43 m
+ 46.42 m
Entonces: (D A)x = – 129.43 (D A)y = – 46.42 Valores con los cuales se puede obtener: DA Rumbo D A
= =
137.50 m Sur 70º 16’ 11” Oeste
Se conocen las longitudes de sus tres (3) lados es posible calcular:
137.50 2 70.32 2 75.57 2 Cos E = = -(2 x 75.57 x 70.32)
- 0.7762886
E = 140º 55’ 19” 2 2 2 70.32 137.50 75.57 Cos D = -(2 x 137.50 x 75.67)
= + 0.946608 D = 18º 48’ 26”
75.57 2 - 137.50 2 70.32 2 Cos A = -(2 x 137.50 x 70.32)
= + 0.9380663 A = 20º 16’ 15”
Con la cual es posible calcular las orientaciones de los lados: D E y E A Azimut D E
= Azimut D A – Ángulo D = 250º 16’ 11” – 18º 48’ 26” = 231º 27’ 45”
Rumbo D E
= Sur 51º 27’ 45” Oeste
Azimut E A
= Azimut E D + Ángulo E (poligonal) = 51º 27’ 45” + 219º 04’ 41” = 270º 32’ 26”
Rumbo E A
= Norte 89º 27’ 34” Oeste
