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Distribución t de student

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Tema 1 TEORIA de t Student

39028492 Distribucion T de

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Prueba t de Student

En estadística, una prueba t de t de Student, Student, prueba t-Student, t-Student, o Test-T es cualquier prueba cualquier prueba en la que el estadístico utilizado tiene una distribución distribución t de Student si la hipótesis nula es cierta. Se aplica cuando la población estudiada sigue una distribución normal pero el tamaño muestral es demasiado pequeño como para que el estadístico en el que está basada la inferencia esté normalmente distribuido, utilizándose una estimación de la desviación típica en lugar del valor real. Es utilizado en analisis discriminante. Cálculos Las expresiones explícitas que pueden ser utilizadas para obtener varias pruebas t se t se dan a continuación. En cada caso, se muestra la fórmula para una prueba estadística que o bien siga exactamente o aproxime a una distribución t de t de Student bajo la hipótesis nula. Además, se dan los apropiados grados de libertad en cada caso. Cada una de estas estadísticas se se pueden utilizar para llevar a cabo ya sea un prueba de una cola o prueba de dos colas. Una vez que se ha determinado un valor t valor t , es posible encontrar un valor P asociado utilizando para ello una tabla de valores de distribución t de Student. Si el valor P calulado es menor al límite elegido por significancia estadística (usualmente a niveles de significancia 0,10; 0,05 o 0,01), entonces la hipótesis nula se rechaza en favor de la hipótesis alternativa.

Prueba t para t para muestra única En esta prueba se evalúa la hipótesis nula de que la media de la población estudiada es igual a un valor especificado μ0, se hace uso del estadístico:

donde es la media muestral, s es la desviación estándar muestral estándar muestral y n es el tamaño de la muestra. Los grados de libertad utilizados en esta prueba se corresponden al valor n − 1.

Master your semester with Scribd & The New York de Times Pendiente una regresión lineal Special offer for students: Only $4.99/month.

Supóngase que se está ajustando el modelo:

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Luego

tiene una distribución t con n − 2 grados de libertad si la hipótesis nula es verdadera. El error estándar de la pendiente:

puede ser reescrito en términos de los residuales: You're Reading a Preview Unlock full access with a free trial.

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Luego

se encuentra dado por:

Master your semester with Scribd Prueba t para dos muestras independientes & The New York Times Special offer for students: Only $4.99/month.

Iguales tamaños muestrales, iguales varianzas


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Donde

Aquí es la desviación estándar combinada, 1 = grupo uno, 2 = grupo 2. El denominador de t es el error estándar de la diferencia entre las dos medias. Por prueba de significancia, los grados de libertad de esta prueba se obtienen como 2 n − 2 donde n es el número de participantes en cada grupo. Diferentes tamaños muestrales, iguales varianzas Esta prueba se puede utilizar únicamente si se puede asumir que las dos distribuciones poseen la misma varianza. (Cuando este presupuesto se viola, mirar mas abajo). El estadístico t si las medias son diferentes puede ser calculado como sigue: You're Reading a Preview Unlock full access with a free trial.

Donde


Nótese que las fórmulas de arriba, son generalizaciones del caso que se da cuando ambas muestras poseen igual tamaño (sustituyendo n por n1 y n2).

Master your semester with Scribd  Read Free Foron 30this Days Sign up to vote title  es unTimes estimador de la desviación estándar común de Useful ambas muestras: esto se define as & The New York  Not useful Cancel anytime.

para que su$4.99/month. cuadrado sea un estimador sin sesgo de la varianza comun sea o no la media Special offer for students: Only

iguales. En esta fórmula, n = número de participantes, 1 = grupo uno, 2 = grupo dos. n − 1 es e

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Donde

Aquí s2 es el estimador sin sesgo de la varianza de las dos muestras, n = número de participantes, 1 = grupo uno, 2 = grupo dos. Nótese que en este caso, no es la varianza combinada. Para su utilización en pruebas de significancia, la distribución de este estadístico es aproximadamente igual a una distribución t ordinaria con los grados de libertad calculados según:

Esta ecuación es llamada la ecuación Welch –Satterthwaite. Nótese que la verdadera distribució de este estadístico de hecho depende (ligeramente) de dos varianzas desconocidas.

Prueba t dependiente para muestras apareadas You're Reading a Preview

full access with a free trial. esto es, cuando se trata de una Esta prueba se utiliza cuando las Unlock muestras son dependientes; única muestra que ha sido evaluada dos veces (muestras repetidas) o cuando las dos muestras han sido emparejadas o apareadas. Este esWith un ejemplo de un test de diferencia apareada. Download Free Trial

Para esta ecuación, la diferencia entre todos los pares tiene que ser calculada. Los pares se han formado ya sea con resultados de una persona antes y después de la evaluación o entre pares de personas emparejadas en grupos de significancia (por ejemplo, tomados de la misma familia o grupo de edad: véase la tabla). La media ( X D) y la desviación estándar ( sD) de tales  diferencia Read Free For 30 Days Sign up to vote on this title se han utilizado en la ecuación. La constante μ0 es diferente de cero si se desea probar  si la  Not media de las diferencias es significativamente diferente deμ0Useful . Los grados deuseful libertad utilizados Cancel anytime. Special offer for students: son n −Only 1. $4.99/month.

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PRUEBAS CHI-CUADRADA

Como ya se ha visto varias veces, los resultados obtenidos de muestras no siempre concuerda exactamente con los resultados teóricos esperados, según las reglas de probabilidad. Po ejemplo, aunque consideraciones teóricas conduzcan a esperar 50 caras y 50 cruces cuando s lanza 100 veces una moneda bien hecha, es raro que se obtengan exactamente esto resultados.

Supóngase que en una determinada muestra se observan una serie de posibles sucesos E E3, . . . , EK, que ocurren con frecuencias o 1, o2, o3, . . ., oK, llamadas frecuencias observadas que, según las reglas de probabilidad, se espera que ocurran con frecuencias e 1, e 2, e 3, . . . , llamadas frecuencias teóricas o esperadas.

A menudo se desea saber si las frecuencias observadas difieren significativamente de frecuencias esperadas. Para el caso en que solamente son posibles dos sucesos E 1 y E2 com por ejemplo, caras o cruces, defectuoso, etc., el problema queda resuelto satisfactoriamente co los métodos de las unidades anteriores. En esta unidad se considera el problema general. Definición de X 2

Una medida de la discrepancia existente entre las frecuencias observadas y esperadas e suministrada por el estadístico X 2, dado por: You're Reading a Preview Unlock full access with a free trial.


donde si el total de frecuencias es N,

Si X2 = 0, las frecuencias observadas y esperadas concuerdan exactamente, mientras que X2>0, no coinciden exactamente. A valores mayores de X 2, mayores son las discrepancias ent  las frecuencias observadas y esperadas. Read Free Foron 30this Days Sign up to vote title

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 Useful  Not useful Cancel anytime. Si las frecuencias esperadas son al menos iguales a 5, la aproximación mejora para valore Special offer for students: Only $4.99/month. superiores.

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Ensayo de Hipótesis

En la práctica, las frecuencias esperadas se calculan de acuerdo con la hipótesis H o. Si bajo es hipótesis el valor calculado de X 2 dado es mayor que algún valor crítico, se deduce que la frecuencias observadas difieren significativamente de las esperadas y se rechaza H o al nivel d significación correspondiente. En caso contrario, no se rechazará. Este procedimiento se llam ensayo o prueba de chi-cuadrado de la hipótesis.

Debe advertirse que en aquellas circunstancias en que X 2 esté muy próxima a cero debe mirar con cierto recelo, puesto que es raro que las frecuencias observadas concuerden demasiad bien con las esperadas. Para examinar tales situaciones, se puede determinar si el valo calculado de X 2 es menor que las X 2 críticas o de tabla (ensayo unilateral izquierdo), en cuyo casos se decide que la concordancia es bastante buena. Ejemplos:

1. La siguiente tabla muestra las frecuencias observadas al lanzar un dado 120 veces Ensayar la hipótesis de que el dado está bien hecho al nivel de significación del 0.05. Cara

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Frecuencia Observada

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You're Reading a Preview

Solución: Ensayo de Hipótesis:

Unlock full access with a free trial.


Ho; Las frecuencias observadas y esperadas son significativamente iguales (dado bien hecho) H1; Las frecuencias observadas y esperadas son diferentes (dado cargado).

Primero se procede a calcular los valores esperados. Como es bien sabido por todos l Master your semester with Scribd  Free Foron 30this Days probabilidad de que caiga cualquier número en unRead dado no cargado estitle de 1/6. Como l Sign up to vote  sumaTimes de los valores observados es de 120, se  multiplica valoruseful por 1/6 dando u & The New York Useful este  Not resultado de 20 para cada clasificación. Special offer for students: Only $4.99/month.

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Regla de decisión: Si X2R

11.1 no se rechaza H o.

Si X2R >11.1 se rechaza H o. Cálculos:

Justificación y decisión: You're Reading a Preview

Como 5 es menor a 11.1 no se rechaza H o y se concluye con una significación de 0.0 Unlock full access with a free trial. que el dado está bien hecho. Download With binomial Free Trial Distribución

La distribución binomial es típica de las variables que proceden de un experimento que cumple las siguientes condiciones: 1) El experimento está compuesto de n pruebas iguales, siendo n un número natural fijo.

Cada prueba resulta en un suceso que cumple las propiedades de la variable  binómica Master your2)semester with Scribd Free For 30this Days Sign up to vote on title excluyentes o de Bernouilli, es decir, sólo existen dos posiblesRead resultados, mutuamente  & The New York que Times se denominan generalmente como éxito y fracaso.  Useful  Not useful Special offer for students: Only $4.99/month.

Cancel anytime.

3) La probabilidad del ‚éxito (o del fracaso) es constante en todas las pruebas. P(éxito) = p

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La manera más fácil de calcular de valor de números combinatorios, como los incluido en la expresión anterior, es utilizando el triángulo de Tartaglia

You're Reading a Preview Unlock full access with a free trial.


La media y la varianza de la variable binomial se calculan como: Media = μ = n p

Master yourVarianza semester Scribd  = σ2 = n pwith q Read Free Foron 30this Days Sign up to vote title  & The New YorkGráficamente Timesel aspecto de la distribución depende Not useful  Useful  de que sea o no simétrica Por Special offer for students: Only $4.99/month.

ejemplo, el caso en que n = 4:

Cancel anytime.

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Distribución normal o de Gauss

La distribución normal fue definida por De Moivre en 1733 y es la distribución de mayo importancia en el campo de la estadística.

Una variable es normal cuando se ajusta a la ley de los grandes números, es deci cuando sus valores son el resultado de medir reiteradamente una magnitud sobre la que influye infinitas causas de efecto infinitesimal.

Las variables normales tienen una función de densidad con forma de campana a la qu se llama campana de Gauss. Su función de densidad es la siguiente:

Los parámetros de la distribución son la media y la desviación típica, μ y σ respectivamente. Como consecuencia, en una variable normal, media y desviación típica n deben estar correlacionadas en ningún caso (como desgraciadamente ocurre en la inmens mayoría de las variables aleatorias reales que se asemejan a la normal. You're Reading a Preview

La curva normal cumple las siguientes propiedades:

Unlock full access with a free trial.

1)

El máximo de la curva coincide con la media. Download With Free Trial

2) 3)

Es perfectamente simétrica respecto a la media (g 1 = 0).

La curva tiene dos puntos de inflexión situados a una desviación típica de la media. E convexa entre ambos puntos de inflexión y cóncava en ambas colas.



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Sus colas son asintóticas al eje X.

Para calcular probabilidades en intervalos de valores de la variable, habría que integra la función de densidad entre los extremos del intervalo. por desgracia (o por suerte), la funció de densidad normal no tiene primitiva, es decir, no se puede integrar. Por ello la única solució es referirse a tablas de la función de distribución de la variable (calculadas por integració numérica) Estas tablas tendrían que ser de triple entrada (μ, σ, valor) y el asunto tendría un complejidad enorme.

You're Reading a Preview Afortunadamente, cualquier que sea la variable normal, X, se puede establecer correspondencia de sus valores con los de otra variable con distribución normal, media 0 Unlock full access with a free trial. varianza 1, a la que se llama variable normal tipificada o Z. La equivalencia entre amba variables se obtiene mediante la ecuación: Download With Free Trial

La función de distribución de la variable normal tipificada está tabulada y, simplemente consultando en las tablas se pueden calcular probabilidades en cualquier intervalo que no interese. De forma análoga a lo pasaba con las variables Poisson, la suma de variables normale independientes es otra normal.



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