TUGAS TEORI PELUANG DISTRIBUSI PEUBAH ACAK KONTINU
DISTRIBUSI STUDENT - T (Dosen: Ribut Nurul Tri Wahyuni, SST, MSE)
Oleh: Kelompok 16 Kelas 1E I Nyoman Pande Suputra Syifa Reihana
(17 / 13.7653) (34 / 13.7886)
SEKOLAH TINGGI ILMU STATISTIK JAKARTA 2013 / 2014
Distribusi Student T Pengujian hipotesis dengan distribusi t adalah pengujian hipotesis yang menggunakan distribusi t sebagai uji statistik. Tabel pengujiannya disebut tabel t-student. Distribusi t pertama kali diterbitkan pada tahun 1908 dalah suatu makalah oleh W.S. Gosset. Pada waktu itu, Gosset bekerja pada perusahaan bir irlandia yang melarang penerbitan penelitian oleh karyawannya. Untuk mengelakan larangan ini dia menerbitkan karyanya secara rahasia dibawah nama “Student”. Karena itulah distribusi t biasanya disebut Distribusi Student . Hasil uji statistiknya kemudian dibandingkan dengan nilai yang ada pada tabel untuk kemudian menerima atau menolak hipotesis nol (Ho).
Ciri-ciri distribusi t:
1. Sampel yang diuji berukuran kecil ( n<30 ). 2. Penentuan nilai tabel dilihat dari besarnya tingkat signifikan ( α ) dan besarnya derajat bebas (v).
Fungsi pengujian distribusi t
1. Untuk memperkirakan interval rata-rata 2. Untuk menguji hipotesis tentang rata-rata suatu sampel 3. Menunjukan batas penerimaan suatu hipotesis 4. Untuk menguji suatu pernyataan apakah sudah layak untuk dipercaya
Probability Density Function (pdf) dari Distribusi t
() √ Distribusi t merupakan turunan dari distribusi normal dan chi-square:
√
~ N (0,1) mempunyai distribusi normal baku
Distribusi Student – t
|1
() ~ =
mempunyai distribusi chi-square dengan v = n - 1
Sehingga,
( )⁄⁄⁄√
√
√
Rata-rata dan simpangan baku:
∑ ∑( ̅ )
√
Keterangan: t = distribusi t Z = distribusi normal V = distribusi chi-square v = n - 1 = derajat kebebasan
Untuk dua rata-rata:
) (untuk dua rata-rata)
= ( +
( ) ( ) ( )
S = simpangan baku
=
rata-rata
do = selisih
µ
dengan
µ ( µ µ
)
Distribusi Student – t
|2
Distribusi t mirip dengan distribusi Z dalam kesimetrian di sekitar sebuah nilai tengah nol. Kedua distribusi ini berbentuk lonceng, tetapi distri busi t lebih beragam, karena nilai t tergantung pada fluktuasi dari perubahan
dan S2 , sementara itu nilai Z hanya tergantung pada
dari setiap sampel. Perbedaan lainnya dalam hal varians t tergantung pada
ukuran sampel n, dan selalu lebih besar dari 1. Bila ukuran
kedua distribusi tersebut
akan menjadi sama. Berikut ini adalah gambar hubungan antara distribusi normal baku
(
) dan distribusi t dengan derajat kebebasan 2 dan 5 (gambar 1). Distribusi t simetris
di sekitar suatu nilai tengal nol, sehingga ;
=
=
(gambar 2). Sebagai contoh,
=
dan seterusnya.
Gambar 1. Kurva distribusi t untuk v = 2, v=5, v=
Gambar 2. Sifat simetri dari distribusi t
Distribusi Student – t
|3
Contoh soal:
Sumber : Ronald E. Walpole, Raymond. H Myers. Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insyinyur dan Ilmuwan Edisi Keempat. 1. Nilai-t dengan derajat kebebasan v=14 sehingga luas di sebelah kirinya 0,025, jadi luas di sebelah kanannya 0,975, ialah: Jawab:
2. Cari P(
< t<
)
Jawab:
Karena luas di sebelah kanan 0,025, maka jumlah luas antara
adalah 0,05, dan luas di sebelah kiri dan
adalah
adalah
1 – 0,05 – 0,025 = 0,925
Jadi, P(
< t<
) = 0,925
3. Sebuah perusahaan minuman meramalkan bahwa minuman hasil produksinya mempunyai kandungan alcohol sebesar 1,85% per botol. Untuk menguji apakah hipotesa tersebut benar, maka perusahaan melakukan pengujian terhadap 10 kaleng minuman dan diketahui rata-rata sampel (rata-rata kandungan alcohol) 1,95% dengan simpangan baku 0,25%. Apakah ahasil penelitian tersebut sesuai dengan hipotesa awal perusahaan? (selang kepercayaan 95%) Jawab:
µ = 1,85
̅
n = 10
S = 0,25
= 1,95
α = 5% = 0,05
menentukan rentang daerah berdasarkan tabel t = t tabel(α,v) = (0,025 ; 9) = ± 2,262 menggunakan uji dua arah maka α dibagi 2 α/2 = 0,05/2 = 0,025 v = n-1 = 10 – 1 = 9
̅√ √ Karena t hitung = 1,265 berada dalam rentang -2,262 < t < 2,262 maka kandungan alcohol dalam minuman yang diproduksi perusahaan tersebut sebesar 1,85%.
Distribusi Student – t
|4
4. Suatu perusahaan menyatakan bahwa baterai yang dipakai dalam mainan elektroniknya akan tahan rata-rata 30 jam. Untuk mempertahankan nilai ini, 16 baterai diuji setiap bulan. Bila diperoleh nilai-t berada antar – t0,025 dan t0.025 maka perusahaan puas dengan pernyataannya. Kesimpulan apa yang seharusnya diambil perusahaan dari sampel acak yang mempunyai
̅
jam dengan S = 5 jam? Anggap baterai berdistribusi
hampiran normal. Jawab:
µ = 30 jam
̅
S = 5 jam
n = 16
= 27,5 jam
̅ √ √
Berdasarkan table t (tabel terlampir)
– t0,025 < t < t0.025 = -2,131 < t < 2,131 Jadi, sampel tersebut sesuai dengan populasi
5. Suatu pabrik bola lampu yakin bahwa bola lampunya akan tahan menyala rata-rata selama 500 jam. Untuk memepertahankan nilai tersebut, tiap bulan diuji 25 lampu. Bila 0,05t< t<0,05t , maka pengusaha pabrik tadi akan mempertahankan keyainannya. Kesimpulan apa yang akan diambil dari sampel dengan rata-rata 518 jam dan simpangan baku 48 jam? Anggap bahwa distribusi waktu secara hampiran, normal. Jawab:
µ = 500 jam
̅
S = 40 jam
n = 25
= 518 jam
̅ √ √ Berdasarkan tabel t (tabel terlampir) -0,05t < t < 0,05t == -1,711 < t < 1,711
Kesimpulan = daya tahan lampu lebih besar.
Distribusi Student – t
|5
Distribusi Student – t
|6
Distribusi Student – t
|7
