Modul statistik
MODUL 10
t (Student) DISTRIBUSI t (Student)
Distribusi/Sebaran t Jarang sekali kita beruntung mengetahui ragam populasi induk (asal) tempat kita menarik
contoh. Untuk contoh berukuran n u 30, nilai dugaan yang baik bagi W 2 diberikan oleh s2. Dengan demikian apa yang terjadi dengan sebaran nilai-nilai nilai-nilai z dalam Dalil Limit Pusat bila kita mengganti
W
2
2
dengan s 2 ?. Asalkan s
merupakan nilai dugaan dugaan yang baik bagi bagi
W
2
dan tidak terlalu bervariasi dari contoh satu ke contoh lainnya, dan inilah yang terjadi bila n u 30, maka nilai-nilai (x- Q ) / ( s / n ) masih menyebar menghampiri sebaran normal
baku, sehingga Dalil Limit Pusat tetap berlaku. 2
Bila ukuran contohnya contohnya kecil ( n 30 ), nilai-nilai s berfluktuasi cukup besar dari contoh satu kecontoh lainnya, dan sebaran nilai-nilai ( G Q ) / ( s / n ) tidak lagi normal baku. Bila demikian halnya, kita kita sesungguhnya sesungguhnya berhadapan dengan dengan sebaran atau statistik yang yang disebut T, yan nilai-nilainya adalah:
t !
xQ s/ n
Pada tahun 1908, W.S.Gosset mempublikasikan sebuah makalah yang memuat keberhasilannya menurunkan sebaran peluang bagi T . Pada waktu itu, Gosset bekerja pada sebuah pabrik bir milik orang Irlandia yang tidak mengizinkan publikasi hasil-hasil penelitian para stafnya.Untuk mengatasi hal ini , ia mempublikasikan karyanya itu di bawah nama samaran ³ Student´. Sejak itu sebaran bagi T disebut T disebut sebaran t-Student, t-Student, atau ringkasnya ringkasnya sebaran sebara n t.
1
Modul statistik Dalam menurunkan persamaan sebaran ini, Gosset mengasumsikan bahwa contoh-contoh itu diambil dari suatu populasi normal. Meskipun asumsi ini kelihatannya sangat mengikat , dapat diperlihatkan bahwa sebaran penarikan contoh bagi T untuk contoh-contoh yang diambil dari sebaran bukan normal tetapi berbentuk genta dapat dihampiri dengan sangat baik oleh sebaran t. Rumus matematiknya tidak dicantumkan di sini, karena luas daerah di bawah kurva itu telah di tabelkan cukup mendetil untuk dapat memenuhi keperluan bagi sebagian besar masalah. Tetapi, untuk dapat menghitung peluang yang berkaitan dengan sebaran t , kita perlu memahami beberapa ciri kurva t. Sebaran T menyerupai sebaran Z, dalam hal keduanya setangkup disekitar nilai tangah nol. Kedua sebaran tersebut berbentuk genta, tetapi sebaran t lebih bervariasi, berdasarkan 2
kenyataan bahwa nilai t bergantung pada fluktuasi dua besaran, yaitu x dan s , sedangkan nilai z bergantung hanya pada perubahan x dari contoh kecontoh lainnya. Sebaran bagi T berbeda dengan sebaran bagi Z dalam hal ragamnya bergantung pada ukuran contoh n dan selalu lebih besar dari 1. Hanya bila ukuran contoh n
g
kedua
sebaran
itu
menjadi sama. 2
Pembagi, yaitu n ±1, yang muncul dalam rumus s disebut
derajat
2
bebas bagi s . Bila x
2
dan s dihitung dari contoh berukuran n,maka nilai t nya dikatakan menyebar menurut sebaran t dengan derajat bebas v= n-1.Jadi kita mempunyai kurva t atau sebaran t yang berbeda untuk setiap kemungkinan ukuran contoh.Dan bila n p g kurva itu semakin menyerupai kurva normal baku. Dalam gambar 8.6, kita tunjukkan hubungan antara sebaran normal baku ( v ! g )dengan sebaran t untuk 2 dan 5 derajat bebas. Kurva untuk v= 5, misalnya, menyatakan sebaran penarikan contoh semua nilai t yang dihitung dari contoh acak berukuran 6 yang diambil berulang-ulang dari suatu populasi normal. Begitu pula, kurva untuk v = 2 menyatakan sebaran penarikan contoh semua nilai t yang dihitung dari contoh-contoh berukuran 3. DALIL 8.4. Bila x dan s2 masing-masing adalah nilai tengah dan ragam suatu contoh acak berukuran n yang diambil dari suatu populasi normal dengan nilai tengah Q dan ragam W 2 , maka : xQ t= s/ n merupakan sebuah nilai perubah acak T yang mempunyai sebaran t dengan v=n-1 derajat bebas.
2
Modul statistik
v!g v!5 v!2
-3
-2
-1
0
1
2
3
GAMBAR 8.6
Kurva sebaran t untuk v = 2,5, dan
g
Peluang bahwa suatu contoh acak menhasilkan nilai t yang jatuh diantara dua nilai tertentu sama dengan luas daerh dibawah kurva sebaran t diantara dua ordinat-ordinat kedua nilai tertentu itu. Adalah tidak mungkin bila kita berusaha untuk menyusun tabel yang terpisah untuk setiap kemungkinan pasangan dua nilai itu untuk semua n < 30. Tabel A.5 mencantumkan hanya nilai-nilai t yang di atasnya terdapat daerah seluas
E
, untuk
E
sama dengan 0.1, 0.05, 0.025, 0.01, atau 0.005. Tabel ini disusun agak sedikit berbeda dari tabel luas daerah kurva normal dalam hal bahwa luas-luas itu sekarang merupakan juduljudul kolom, sedangkan nilai-nilai t sekarang menjadi isi tabel. Kolom paling kiri adalah untuk derajat bebas. Lazimnya digunakan lambang t E bagi nilai t yang di sebelah kanannya terdapat daerah seluas
E
. Dengan demikian nilai t dengan sepuluh derajat bebas
yang disebelah kanannya terdapat daerah seluas 0,025 adalah t = 2,228. Karena sebaran t E
setangkup di sekitar nilai tengah nol, maka nilai t 1 = t ; jadi, nilai t yang disebelah E
E
kanannya terdapat daerah seluas 1- E yang berarti pula disebelah kirinya terdapat daerah seluas
E
sama dengan negatif nilai t yang memberikan daerah seluas
sebarannya ( lihat Gambar 8.7 ). Untuk sebaran
E
di ekor kanan
t dengan 10 derajat bebas, kita
mempunyai t 0,975= -t 0,025 = -2.228. Ini berarti bahwa nilai t yang berasal dari suatu contoh acak berukuran 11, yang diambil dari sebuah sebaran normal, akan jatuh antara ±2.228 dan 2.228 dengan peluang sebesar 0.95.
3
Modul statistik
E
t 1
E
Teladan
!
t
t
0
E
E
t
4. Tentukan
P (t 0.025 J awab.
E
t 0.05 )
Karena t 0.05 memberikan luas daerah sebesar 0.05 disebelah kanannya, dan ± t 0.025
memberikan luas derah sebesar 0.025 di sebelah kirinya, maka luas daerah antara ± t0 .05 dan t0.05 sama dengan: 1 - 0.05 - 0.025 = 0.925
Dengan demikian ¡
Teladan
(t 0.025 T t 0.05 ) ! 0.925
5. Tentukan nilai k sedemikian sehingga
¢
(k
contoh acak berukuran 15 yang diambil dari suatu populasi normal.
Jawab.
Dari tabel A.5 kita peroleh bahwa nilai t 0.05 untuk v =14 adalah 1.761. Oleh sebab
itu, -t 0.05 = -1.761. Karena k dalam pernyataan peluang di atas terletak disebelah kiri ± t 0.05 = -1.761, misalkan k = - t E . Dengan demikian dari gambar 8.8 kita peroleh :
0.045 = 0.05 -
E
atau E
= 0.005
Dengan demikian, berdasarkan Tabel A.5 untuk v = 14, k =-t 0.005 = -2.977 dan £
(-2.977
4
Modul statistik Tepat 95 % di antara nilai-nilai sebaran t dengan v = n ± 1 derajat bebas terletak antara t 0.025 dan t 0.025. Tentu saja masih banyak lagi nilai-nilai t lainnya yang mengandung 95% dari sebaran itu, misalnya saja ±t 0.02 dan t 0.03. Tetapi kedua nilai itu tidak terdapat pada Tabel A,5. Dalam pembahasan berikut, kita akan lebih menyukai untuk mengambil dua nilai t yang memberikan luas daerah yang sama dikedua ekor sebarannya. Nilai t yang jatuh di bawah ±t 0.025 atau di atas t 0.025 cenderung membuat kita percaya bahwa suatu kejadian yang jarang terjadi telah terjadi atau kita telah membuat asumsi yang salah mengenai Q . Kita akan memilih kesimpulan yang terakhir ini, dan menyimpulkan bahwa nilai Q yang di asumsikan itu salah. Bahkan, nilai t yang jatuh di bawah ±t 0.01 atau di atas t 0.01 akan memberikan bukti yang lebih kuat lagi bahwa nilai Q yang diasumsikan itu harus ditolak. Prosedur pengujian pernyataan mengenai nilai parameter Q , maupun parameter lainnya, akan dibicarakan dala m Bab 10.
0.045 k
-t 0.05
0
t
GAMBAR 8.8
Nilai t bagi Teladan 5
Teladan
6. Sebuah Produsen bohlam menyatakan bahwa bohlam produksinya mencapai
umur rata-rata 500 jam. Untuk menjaga nilai rata-rata ini, ia menuji35 bohlam setiap bohlam. Bila nilai t yang diperolehnya jatuh antara ± t 0.05 dan t 0.05 ia puas. Kesimpulan apa yang ditariknya bila ia memperoleh contoh dengan nilai tengah x =518 jam dan simpangan baku s = 40 jam Asumsikan bahwa umur bohlam itu menyebar normal.
5
Modul statistik Jawab
: Dari Tabel A.5, kita mendapatkan bahwa t 0.05= 1.711 untuk 24 derajat bebas.
Dengan demikan, produsen itu puas bila contoh 25 bohlam itu menghasilkan nilai t antara ±1.711 dan 1.711. Bila Q = 500, maka :
t=
518 500 40 / 25
!
2.25
suatu nilai yang jatuh diatas 1.711. Peluang mendapatkan nilai t, untuk Q =24, yang sama atau lebih besar dari 2.25 kurang lebih adalah 0.02. Bila Q > 500, maka nilai t yang diperoleh tersebut akan lebih wajar. Dengan demikian, dalam kasus ini, produsen itu akan menyimpulkan bahwa bohlam produksinya ternyata lebih baik dari yang disangkanya.
1.
PT Tika Alam Semesta merupakan salah satu perusahaan yang bergerak dalam bidang transportasi. Perusahaan memperkirakan setiap bus dapat melakukan 8 rit. Hasil survei di Jakarta yang sering macet terhadap 16 bus ternyata rata -rata ada 6 rit dengan standar deviasi 2 rit.
Dengan taraf nyata 5%, apakah keinginan
perusahaan masih terpenuhi? Jawab: a.
Hipotesa. H0 : Q = 8 H1 : Q { 8
b.
Menentukan taraf nyata yaitu 5%. Taraf nyata 5% df= 15. Nilai kritis diperoleh 2,131.
c.
Melakukan uji statistik t: t = (Q x - Q) /(s/ n) = (6 ± 8)/ (2/ 16) = -4,0
a.
2.
Menentukan daerah keputusan dengan nilai kritis 2,131 uji dua arah. Ho diterima untuk t berada pada ±2,131 2,131. Mengambil keputusan, karena nilai uji t ±4,0 < dari nilai kritis t yaitu ±2,131, maka Ho ditolak dan H 1 diterima.
PT Salemba Empat merupakan salah satu penerbit besar mewajibkan setiap agennya untuk mengunjungi perguruan tinggi minimal 40 kali dalam seminggu. Kunjungan
tersebut
untuk
digunakan
memperkenalkan
buku
baru
serta
perkembangan mutahir. Hal pelacakan terhadap 16 agen di Jakarta ternyata rata -
6
Modul statistik rata agen mengunjungi perguruan tinggi adalah 44 kali dengan standar deviasi 3. Dengan taraf nyata 5%, apakah kewajiban dari setiap agen masih terpenuhi? Jawab: a.
Hipotesa. H0 : Q = 40 H1 : Q { 40
b.
Menentukan taraf nyata yaitu 5%. Taraf nyata 5% df= 15. Nilai kritis diperoleh 2,131.
c.
Melakukan uji statistik t: t = (Q x - Q) /(s/ n) = (44 ± 40)/ (3/ 16) = 5,3
d.
3.
Menentukan daerah keputusan dengan nilai kritis 2,131 uji dua arah. Ho diterima untuk t berada pada ±2,131 2,131, karena nilai uji t 5,3 > dari nilai kritis t yaitu 2,131, maka Ho ditolak dan H 1 diterima.
Yayasan Media Edukasi mengelola dua lembaga pendidikan yaitu TK Ananda I di
Lippo Karawaci dan TK Ananda II di Kebun Jeruk. Pada TK Ananda I dengan 12 sampel siswa diperoleh rata -rata pendapatan orang tuanya 5,5 juta dengan standar deviasi 1,25 juta. Sedangkan pada TK Ananda II terhadap 9 orang sampel siswa diperoleh rata-rata pendapatan orang tua 7,5 juta dengan rata -rata 1,78 juta. Dengan taraf nyata 5% ujilah apakah rata -rata kedua sampel tersebut sama, sehingga mempunyai daya beli yang sama.
a.
Perumusan Hipotesa: H0 : H1 :
Q 1 ± Q2 = 0 Q 1 ± Q2 { 0
b.
Menentukan taraf nyata yaitu 1%. Nilai t-student dengan taraf nyata 1% (0,01) uji satu arah dan df=(n 1 + n2) ± 2 = (12 + 9) ±2 = 19 adalah 2,861.
c.
Melakukan uji statistik t: S2p = (n 1 ± 1) (s 12) + (n 2 ± 1) (s 22) = (12 ± 1) (1,25 2) + (9± 1) (1,78 2) = 2,24 (n1 + n2) ± 2 (12 + 9) ± 2
Q1 ±
t= 2
Q2
S p [1/n 1+1/n 2]
=
5,5 ± 7,5 2,24 [1/12 +1/9]
7
= ± 3,03
Modul statistik d.
Menentukan keputusan. Nilai t -hitung ±3,03 < ±2,861 maka Ho ditolak dan H 1 diterima. Dengan demikian maka rata -rata pendapatan orang tua kedua lokasi tidak sama.
4.
Salah satu indikator bank yang sehat adalah nilai NPL ( non-performing loan ) yang rendah. Hal ini menunjukkan adanya kehati -hatian dalam memberikan kredit di bank. Ada asumsi bahwa bank-bank BUMN mempunyai NPL lebih tinggi dibandingkan dengan NPL bank swasta. Untuk membuktikan asumsi tersebut dipilih sampel 4 sampel bank BMUN dan rata-rata NPL 6,00% dan standar deviasinya 1,27%. Untuk bank swasta dipilih 16 bank dengan rata -rata NPL 11,80% dan standar deviasi 10,87. Dengan taraf nyata 1% apakah asumsi bahwa NPL bank BUMN lebih besar dari bank swasta dapat terbukti? Jawab: a. Perumusan Hipotesa: H0 : H1 :
Q1 u Q2 Q1 < Q 2
b. Menentukan taraf nyata yaitu 1%. Nilai t -student dengan taraf nyata 1% (0,01) uji satu arah dan df=(n 1 + n 2) ± 2 = (4 +16) ±2 =18 adalah 2,55. c. Melakukan uji statistik t: S2p = (n 1 ± 1) (s 12) + (n2 ± 1) (s 22) = (4 ± 1) (1,272) + (16 ± 1) (10,87 2) = 98,73 (n1 + n 2) ± 2 (4 + 16) ± 2 t=
Q1 ±
Q2
= S p [1/n 1 +1/n 2] 2
6,00 ± 11,80 98,73 [1/4 + 1/16]
= ± 1,04
d. Menentukan daerah keputusan dengan nilai kritis 2,55. Daerah tidak menolak Ho adalah t> ±2,55, dan daerah menolak Ho: t < ±2,25. Nilai uji t hitung ±1,04 > ±2,55 sehingga Ho diterima dan H1 ditolak. Ini menunjukkan bahwa tidak terdapat cukup bukti untuk menolak Ho, s ehingga masih dapat disimpulkan bahwa rata-rata NPL BUMN lebih besar daripada NPL bank swasta.
8
