PROBLEMA 1. Modelo matemático con Ley de Enfriamiento de Newton.
Era el mediodía en un frío día de diciembre en Tampa: 16°C. El detective Taylor llegó a la escena del crimen para hallar al sargento sobre el cadáver. El sargento dijo que había varios sospechosos. Si supieran el momento exacto de la muerte, podrían reducir la lista de sospechosos. El detective Taylor sacó un termómetro y midió la temperatura del cuerpo: 34.5°C. Luego salió a comer. Al regresar, a la 1:00 P.M., halló que la temperatura del cuerpo era de 33.7°C. ¿En qué momento ocurrió el asesinato? [sugerencia: La temperatura normal del c uerpo es de 37°C]. Para resolver el problema usamos la ecuación diferencial de la Ley de Enfriamiento de Newton:
6 6 La resolvemos con las siguientes condiciones de frontera: Lapsos de tiempo y temperatura que e l detective Taylor registró. 1. 2.
0345 6 337 1 6
0 es la temperatura del cadáver cuando el detective lo encontró. La 1 6 es la temperatura del cadáver una La
hora después, cuando el detective volvió. El tiempo se
considera en minutos. La solución se muestra a continuación:
La forma de la ecuación permite una separación de variables:
Integramos:
1 1 Despejamos T:
; ;: ;: Encontramos T(t):
;: Para encontrar C 1 aplicamos la condición de frontera 1 y sustituimos Tm:
345 ;0: 6 3450 6 345 6 345685 85 1 978 Sustituyendo los valores de C 1 y Tm en nuestra función, T(t) queda:
;:21 6 ;21 6 85 ; 6 Para encontrar el valor de k, aplicamos nuestra condición de frontera 2 en T(t):
16 337 33785;0 6 ;0 3376 85 ;0 9568 ;0 9568 2.
69568 736 Sabiendo el valor de k, nuestra función T(t) queda:
; Si
queremos saber la hora del asesinato del individuo, suponemos que T=37°C, la temperatura normal corporal y por tanto sustituimos en nuestra función T(t) para hallar t en minutos:
3785 ;0000 6 Despejamos t:
;0000 376 85 ;0000 376 85
376 85 736 7 El t negativo indica que se tiene que restar esa cantidad de tiempo a la hora en el cual se encontró el cadáver, es decir, a las 12:00 pm. Si el cuerpo fue encontrado a las 12:00 pm, y si 172.21 minutos son 2 .87 horas:
Las 0.87 hrs equivalen a 52 minutos. Si los re stamos a las 10:00 hrs:
5 98 Por tanto la hora de asesinato fue a las 9:08 am.
Para graficar el comportamiento de enfriamiento del cuerpo desde el momento del asesinato, tenemos que modificar nuestra función. Usando nuevas condiciones de frontera: 1. 2.
37 7 345, siendo el t en minutos y T =16°C. ;: 37 ;0: 6 376 1 3445 m
Sustituimos C1 en T(t):
;:0 6 ;0 6 ; 6 Para hallar k aplicamos la condición de frontera 2:
345 ;1221 6
;1221 3456 ;1221 889 7 889 889 7 736 Entonces:
;
PROBLEMA 2. Modelo matemático en tratamiento contra el virus del VIH – I.
Las ecuaciones
10 1 1
Se usan para el modelado de infecciones por VIH-1. Aquí T(t) representa el número de células
0 el número de células potencialmente infectadas en el instante de inicio de la terapia; 1 , la concentración de partículas virales en plasma; k el ritmo de infección; c la infectadas;
constante de ritmo de eliminación de partículas virales; δ el ritmo de pérdida de células
productoras de virus.
a) Resuelve la segunda ecuación para
, expresando la solución en términos de
Para resolver la ecuación diferencial utilizamos el método de separación de variables
1 1 1 1 11 1 1 Aplicamos la exponencial en ambos lados para despejar 1 1 ;: Utilizamos la condición de frontera para obtener el valor de la constante de integración
1 ;0 0 0 0 0 1 Sustituimos
1 en nuestra ecuación
1 ;:
Y finalmente obtenemos nuestra función
1 0;
1
Para comprobar que la función obtenida es la correcta evaluamos cuando t=0 y se debe cumplir la condición
1 0
1 0;0 1 0
Para realizar un esbozo de la gráfica se investigaron los valores de las constantes involucradas en el modelo.
45
Tasa de eliminación de partículas virales usando AZT (inhibidor de la tr anscriptasa inversa RT).
Como vemos en la anterior gráfica se tiene que una reducción exponencial de la concentración de partículas virales por mL de plasma a través del tiempo con la aplicación de un tratamiento antirretroviral, el cual se tomó como ejemplo para poder dar un valor de la constante de eliminación de tales partículas. Conforme transcurren las semanas de aplicación del tratamiento se ve como la reducción de estas partículas prácticamente a cero.
b) Con la solución hallada en el apartado a), demuestre que la solución de la ecuación diferencial para T se puede escribir como
; 00 (; ;)
Para resolver la ecuación diferencial para T, sustituimos el valor obtenido de
10 ; 0 0
1
Acomodamos para que nos quede de la forma
0; 0 Utilizaremos el factor integrante para resolverla
∫ Donde
; 0 0
Obteniendo el factor integrante
∫ Multiplicamos la ecuación por el factor integrante y resolvemos integrando en ambos lados
0;0 ( ) 00; ( ) 00 ; 00 ; 00 ; 1
Despejamos T
00 ; 1] ; [ Aplicamos la condición de frontera para obtener la constante de integración
0 00 1 00 1 0 Sustituimos en la ecuación para obtener nuestra función
0
; [ 00 ; 0 00] [ 00 (;; ; ) ;0] Al simplificar términos podemos comprobar que obtuvimos la misma solución a la ecuación diferencial.
;0 00 (; ;)
Comprobando que nuestra función sea correcta
;00 00 (;0 ;0 ) 0 Par poder realizar la gráfica es necesario comentar la información que se tiene acerca de la enfermedad. La epidemia del Síndrome de Inmunodeficiencia Adquirida se desarrolló inicialmente con la diseminación silenciosa del Virus de Inmunodeficiencia Humana (VIH – I por sus siglas en inglés) en la década de los 70. El VIH sigue siendo un importante problema de salud pública mundial, después de haber cobrado más de 36 millones de vidas hasta ahora. En 2012 había unos 35,3 millones de personas infectadas por el VIH (las cifras oscilan entre 32,2 y 38,8 m illones). El virus VIH-I es un retrovirus llamado
así debido a que reproduce su material genético y
multiplicarse a partir de una cadena ARN usando a la enzima transcriptasa inversa. El mayor conductor de la infección de las células es la clase de linfocitos CD4+T. Este mecanismo de infección se muestra en la Figura 1, donde con ayuda de la enzima transcriptasa inversa, el virus del VIH – I, puede transmitir su información genética a la célula huésped.
Figura 1. Mecanismo de infección en linfocito CD4+T debido virus VIH – I. El mecanismo está dado en primer instancia por la fusión de la cápside del virus con la membrana del linfocito CD4+T (Fusión). Posteriormente con ayuda de la enzima transcriptasa inversa el ARN vírico para a ADN vírico (Transcripción Inversa). Después por medio de la enzima integrasa, el ADN vírico pasa a formar parte del ADN celular (Integración). Al transcribirse el ADN vírico forma nuevos ARN víricos que se pueden almacenar en las células en forma de cuerpos de inclusión o bien traducir a proteínas víricas a partir de otro ARN lamadpo mensajero (Transcripción). Tras la formación del ARN vírico y de las proteínas que lo constituyen, estos se dirigen a la membrana de la célula para ensamblarse (Ensamble). Posteriormente los viriones inmaduros maduran gracias a la proteasa del virus, volviéndose plenamente infectivo saliendo así de la célula (Gemación).
Actualmente los tratamientos están basados en la inhibición de la transcriptasa inversa, reduciendo la carga viral por mililitro de sangre. Un ejemplo de e ste tratamiento es el uso de AZT (Zidovudina), la cual se muestra en la Figura 2. Así mismo se tienen modelos matemáticos como los dados en este problema:
10 1 1 Este anterior modelo se toma para inhibidores ideales, Figura 2. Inhibidor de transcriptasa inversa, donde la acción de estos elimina o reduce prácticamente la tasa de células infectadas y la tasa de partículas virales en plasma a cero a través del tiempo. Al graficar utilizamos los siguientes valores de las constantes que incluye el modelo, investigados en pacientes tratados con inhibidores de la
Zidovudina (AZT). Nótese la similitud entre este compuesto y el sustrato natural de la enzima Timidina. La inhibición está dada de manera competitiva debido la afinidad de la AZT con el sitio activo de la enzima. La azida en posición 3’ del azúcar impide la elongación de la cadena de ADN vírico.
transcriptasa inversa como la Zidovudina o Lamivudina:
0 0 35 45 35
Células T-CD4 Viriones/ml de plasma Tasa de infección de células T-CD4 del 20% Tasa de eliminación de partículas virales usando AZT. Pérdida de células productoras de virus
Como vemos en la anterior gráfica vemos que el comportamiento es muy similar al de la gráfica de V1(t) que mostraba la concentración de las partículas virales en plasma a través del tiempo en semanas, la cual disminuía de forma exponencial. En este caso, es muy similar el comportamiento de la gráfica T(t) que representa a la cantidad de células , pero su decremento es más complejo; donde en un tiempo anterior a las tres semanas se tiene incluso un incremento en la gráfica, teniendo un máximo a las 2.5 semanas, y posteriormente debido al efecto del antirretroviaral que va inhibiendo la carga viral en sangre V1(t), la cantidad de células infectadas disminuye. Esta disminución si el inhibidor fuera ideal, tendría el comportamiento de la gráfica donde la cantidad de células va disminuyendo hasta eliminar por completa la cantidad de células infectadas. Se sabe que en un tratamiento de este tipo la concentración de virus en sangre disminuye hasta el 45%. Así mismo los factores de delta y c, no influyen si uno es más grande que el otro, pues el comportamiento y trazo de la gráfica en ambos casos es igual. c) ¿Qué determina la solución del apartado a) sobre el número de células infectadas cuando
?
Evaluando los límites:
1 1 0; 0; 0 0 Entonces:
1 =0 Así mismo si evaluamos la función de cantidad de células T(t) cuando
:
; 0 00 ; ; 0 00 0 00 0 00 00 Entonces:
Sabemos que la V(t) es la concentración de partículas virales en plasma, al calcular los límites estamos observando el comportamiento del virus cuando el tiempo incrementa, la concentración se va a cero, por lo cual nos está indica que después de mucho tiempo la concentración del virus será nula, así como la cantidad de células infectadas, lo cual estaría bien si el inhibidor actuára de manera perfecta sin que este virus desarrollara resistencia dadas por mutaciones que son muy recurrentes en la actualidad.
