Ricardo Alejos Diseño Electrónico a Altas Frecuencias
TAREA 3 Ejercicios sobre análisis de líneas de transmisió n en el dominio d el tiempo
PROBLEMA 1 Enunciado
== 129. 324324..9896pFnH⁄⁄mm = 15. 3 9 cm = 1.5 V =0 = 1 kΩ 0 8 ns = 10 Ω
= +
(5)
Después de realizar los cálculos correspondientes, obtenemos que:
El siguiente circuito utiliza una línea de tr ansmisión con una inductancia por unidad de longitud de , una capacitancia por unidad de longitud de y una longitud física de .Se aplica un voltaje de DC de a la línea de transmisión en . Utilizando un diagrama de rebotes, grafique el voltaje en la entrada de la línea ( ) y en la carga ( ), desde hasta , cuando y .
≈ 50 Ω Γ ≈ −0.6667 Γ ≈ 0.9047 ≈ 153.9Mm⁄s ≈ 1 ns ≈ 1.25 V
Así entonces nuestro diagrama de rebotes se vería como se muestra en la ilustración. Ilustración 1. Circuito con una línea línea de transmisión transmisión sin pérdidas y con un interruptor.
Solución
Γ
Para realizar un diagrama de rebotes, debemos comenzar por calcular los coeficientes de reflexión a la entrada ( ) y a la salida ( ) de la línea de transmisión. Para ello utilizaremos la expresión (1), que es para calcular un coeficiente de reflexió n de una línea de transmisión con impedancia característica (la cual se calcula a su vez utilizando) terminada en una impedancia .
Γ
Γ = −+−+ =
Γ (1)
(2)
Calcularemos también la velocidad de propagación de la onda para así conocer los tiempos de cada rebote ( ). Esta puede calcularse en función de los valores y utilizando la expresión (3). Finalmente, podremos calcular con (4).
= √ 1 =
(3)
(4)
Además, habremos de calcular cuál es el voltaje que incide por primera p rimera vez en la línea de transmisión ( ), el cuál puede calcularse utilizando un divisor de voltaje conformado por la resistencia de la fuente y la impedancia característica de dicha línea (vea la expresión (5)). (5)).
Ilustración 2. Diagrama de rebotes. rebotes.
1
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8 ns
Haremos los cálculos sólo para ocho rebotes ya que entre todos ellos se cumplen los que se nos piden en el enunciado.
Voltaje en la salida
2.5
Aplicando la técnica del diagrama de rebotes, haciendo referencia a la Ilustración 2 y haciendo los cálculos correspondientes obtenemos que:
2
= Γ ≈ 1.131 V = Γ ≈ −0.7540 V = Γ ≈ −0.6821 V = Γ ≈ 0.4548 V = Γ ≈ 0.4114 V = Γ ≈ −0.2743 V = Γ ≈ −0.2482 V = Γ ≈ 0.1654 V
V( V
ns
Tiempo (
y para
1
0 0
2
4 Tiempo (ns)
6
8
Ilustración 4. Voltaje de salida basado en los valores arrojados por el diagrama de rebotes.
en el tiempo.
1.250V 1.1.265027 1.1.642700 1.1.450037 1.1.543754
)
L
0.5
PROBLEMA 2
Y los valores de y serían entonces los presentados en la Tabla 1. Posteriormente, estos valores se grafican para obtener las formas de onda que se nos solicitan en la redacción del problema. Recordemos que estos valores se calculan sumando la onda incidente y la onda r eflejada en cada unidad de retardo. Tabla 1. Valores para
1.5 )
Enunciado
= 5 V = 2.5 ns = 150 Ω =50 Ω =0 9 8ns= 10 cm = 15 Ω
Un pulso negativo ideal de amplitud y un pulso de ancho (Ilustración 5) se aplica en la línea de transmisión mostrada en la Ilustración 6. Utilizando diagramas de rebotes, grafique y de a . Asuma que , , , y .
0V 2.2.338181 0.0.99449449 1.1.881111 1.1.228989
( )
( )
Ilustración 5. Pulso negativo ideal de amplitud A y ancho PW.
Voltaje en la entrada
1.6
1.5 ) V( V
Ilustración 6. Línea de transmisión utilizada para el problema 2.
I
Solución
1.4
La técnica que utilizaremos para resolver este ejer cicio es la de superponer el efecto de un voltaje constante de DC con am plitud y dos escalones que suceden en y en , el primero de amplitud y el segundo de amplitud . Esto es posible ya que el circuito contiene puros elementos lineales y por lo tanto debe cumplir con el principio de superposición.
1.3
0
2
4 Tiempo (ns)
6
8
−
= 0 =
Lo primero será conocer el efecto en estado estable de un voltaje constante DC en la salida. Para ello podemos utilizar la ecuación (6) y además se considera que ya que la línea de transmisión que consideramos para este ejercicio no tiene pérdidas. Así bien .
Ilustración 3. Voltaje de entrada basado en los valores arrojados por el diagrama de rebotes.
2
= 4.545 V
= =
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= + =0
67 8
(6)
−
Ahora comencemos a estudiar el efecto del primer escalón: aquél que comienza en y tiene amplitud . Para ello, seguiremos un procedimiento muy similar al ejercicio anterior, ya que debemos calcular tanto el voltaje de entrada inicial como los coeficientes de reflexión en ambos extremos de la línea.
= = 2.5 ns
Tabla 3. Valores de tiempo
(7)
ns .. .. .. .. .
Tiempo (
Al hacer los cálculos correspondientes utilizando los datos mencionados en el enunciado y utilizando las ecuaciones (1), (7), (4) y (5) encontramos que:
Γ ≈ −0.5385 Γ = 0.5000 = 100Mm⁄s = 1 ns ≈ −3.846 V
ns 01 23 45
Tiempo (
)
y
2.5 ns
−3. 8V46 −3.−4.874634 −4.−4.743495 −4.495 ( )
− = −5
−0. 0V00 −5.−5.776969 −4.−4.221616 −4.634
3.846V 3.4.874634 4.4.743495 4.4.459559 4.4.555942
en
0.000V 5.5.776969 4.4.221616 4.4.663434 4.4.552222
( )
( )
ns . . . . . . .
Tiempo (
para un pulso de amplitud
)
= 5
para un pulso de amplitud
=
Tabla 4. Valores de y para un pulso negativo de duración considerando que al principio .
También, similar al ejercicio anterior, el valor de y se calcula sumando los voltajes incidentes y reflejados que corres ponden a cada unidad de tiempo transcurrida. Estos valores se muestran en la Tabla 2.
=0s
y .
Al hacer la superposición mencionada en el párr afo anterior, obtendremos los valores finales de y , mostrados en la Ta bla 4.
Utilizando un diagrama de rebotes como el que se muestra en la Ilustración 2 y los valores que encontramos para este ejercicio podemos calcular la magnitud del voltaje de todas las reflexiones.
Tabla 2. Valores de tiempo .
=
= Γ ≈ −1.923 V = Γ ≈ 1.036 V = Γ ≈ 0.5178 V = Γ ≈ −0.2788 V = Γ ≈ −0.1394 V = Γ ≈ 0.0751 V = Γ ≈ 0.0375V = Γ ≈ −0.0202 V
−4.−4.653422 −4.522
Hasta este punto ya tenemos todo lo que necesitamos para calcular la respuesta del circuito al pulso negativo de la Ilustración 5. Lo que debemos hacer es superponer las respuestas tal como se indicó al principio. No tendremos que esmerarnos mucho en el cálculo que corresponde al pulso de amplitud que sucede en porque las magnitudes resultantes serán las mismas pero con signo negativo, como se muestra en la Tabla 3.
En este caso, se nos da a conocer la per mitividad efectiva de la línea de transmisión , la cual podremos utilizar para calcular la velocidad de propagación de las señales a su vez utilizando la ecuación (7).
=
−4.−4.555959 −4.542
en
( )
)
0.6 993V 0.0.66993993 0.−0.61993883 3.3.66579579 3.3.68579968 4.4.77844844 4.4.77844201 4.4.44811811 4.4.44811984 ( )
=
4.5455V −1.−1.4.522455238238 −1.−1.22238238 0.6.30295987 6.6.00987987 5.4.61805273 4.4.11273273 4.4.26399580 4.6580 ( )
Ya sólo nos resta graficar estos datos. Di chas gráficas se muestran en la Ilustración 7 y en la Ilustración 8. Note que la forma de la respuesta es similar a la forma de la entrada, como se es pera de un sistema lineal.
3
Ricardo Alejos Diseño Electrónico a Altas Frecuencias Voltaje en la entrada
5 4 3 ) V( I
V
2 1 0 0
5
10 Tiempo (ns)
15 Ilustración 10. Curva característica de corriente-voltaje para el controlador y la carga del p roblema 3.
Ilustración 7. Forma de onda del voltaje a la entrada de la línea de transmisión del problema 2.
Solución
Voltaje en la salida
Inciso (a) 6
Los diagramas de Bergeron se construyen a partir de la gráfica de la característica corriente-voltaje tanto del controlador como de la carga de la lí nea de transmisión. La técnica para ela borarlo es básicamente dibujar l íneas con inclinaciones iguales al inverso de la impedancia característica de una curva característica a la otra sucesivamente (como se muestra en la Ilustración 11).
5 4 )
3 V( V
L
2 1 0 -1 0
5
10 Tiempo (ns)
15
Ilustración 8. Forma de onda del voltaje a la salida de la línea de transmisión del problema 2.
PROBLEMA 3 Enunciado El siguiente circuito utiliza un controlador y una carga cuyo modelo corriente-voltaje no es lineal (y se muestra en la siguiente ilustración). Ilustración 11. Construcción del diagrama de Bergeron.
= 50 Ω
(a) Asumiendo que la línea de transmisión tiene una impedancia característica de dibuje el diagrama de Bergeron correspondiente. (b) Grafique las formas de onda de los voltajes de entrada y salida de la línea de transmisión en el r ango de tiempo com prendido desde 0 hasta 5 reflexiones.
Los voltajes y corrientes del controlador y la carga son iguales a las sumatorias de las intersecciones del diagrama de Bergeron correspondientes con sus líneas características de corriente-voltaje. El tiempo transcurrido ent re cada rebote es igual para todas las reflexiones.
De las lecturas de las intersecciones del diagrama de Bergeron podemos construir la siguiente tabla para los valores de y .
Tabla 5. Valores de Ilustración 9. Circuito del problema 3.
1
Rebote #
4
y
leídos del diagrama de Bergeron.
V
( )
V
( )
0.850
0.00
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23 45
0.850 0.650 0.650 0.625
0.450 0.450 0.575 0.575
Inciso (b) Finalmente, construimos las gráficas a partir de los valores de la Tabla 5. Estas gráficas se muestran en la Ilustración 12 y la Ilustración 13. Voltaje en la entrada
0.85 0.8 )
0.75 V( I
V
0.7 0.65
0
1
2 3 Tiempo ( )
4
5
D
Ilustración 12. Forma de onda del voltaje a la entrada de la línea de transmisión del problema 3.
Voltaje en la salida
0.6 0.5 0.4 ) V( V
0.3 L
0.2 0.1 0 0
1
2 3 Tiempo ( )
4
5
D
Ilustración 13. Forma de onda del voltaje a la salida de la línea de transmisión del problema 3.
5
