PRACTICA No. 4: MAGNITUDES ALTERNAS EN EL DOMINIO DE TIEMPO OBJETIVO: Obtener en el Osciloscopio las ondas periódicas de voltaje y corriente en los circuitos serie: R-L y R-C, determinar en ellas los valores característicos. TEORÍA: 1. Consultar la función sinusoidal y las funciones singulares (Paso o escalón, rampa), características y representación.
Las funciones sinusoidales. La forma más general de una función sinusoidal es en la que aparecen tres parámetros: La amplitud A. El factor multiplicativo del argumento, k, que se denomina pulsación en el caso en que la variable independiente sea el tiempo. El defasaje . La amplitud A determina el valor máximo que puede adquirir la función. Puesto que la función seno oscila entre -1 y +1, al multiplicarla por un factor A oscilará entre – A y +A tal como indica la figura
En la que se representado simultáneamente
han
y . El parámetro k está relacionado con el valor del periodo de la función sinusoidal T, puesto que se cumple:
En el caso en que la variable independiente sea el tiempo, puesto que entonces se suele escribir
, se tendrá:
La siguiente figura es la representación gráfica simultánea de dos funciones que sólo difieren en este parámetro: . Se observa perfectamente que la única diferencia entre ellas es el periodo: la primera tiene un periodo y el de la segunda es de
:
Finalmente, el defasaje modifica la posición horizontal de la curva: al aumentar su valor la sinusoide se desplaza hacia la izquierda. Esta propiedad se puede comprobar en la siguiente figura donde se representan simultáneamente las funciones :
Obviamente, si el defasaje fuese negativo la curva quedaría desplazada hacia la derecha.
Puesto que las funciones seno y coseno tienen la misma forma, estando desplazadas horizontalmente una con respecto de la otra, tal como indica la figura, resulta evidente que sólo difieren entre sí en un defasaje. Para obtener la función coseno a partir de la función seno basta con desplazar esta última
hacia la izquierda, por lo que se deduce:
Este hecho permite representar cualquier función sinusoidal sea en forma de un seno o bien en forma de un coseno, indistintamente representación seno y representación coseno). Función escalón En ingeniería es común encontrar funciones que corresponden a estados de sí o no, o bien activo o inactivo. Por ejemplo, una fuerza externa que actúa sobre un sistema mecánico o una tensión eléctrica aplicada a un circuito, puede tener que suspenderse después de cierto tiempo. Para tratar de forma efectiva con estas funciones discontinuas conviene introducir una función especial llamada función escalón unitario. La función escalón unitario o función de Heaviside se define como
Observación: la función de heaviside se definio sobre el intervalo , pues esto es suficiente para la transformada de Laplace. En un sentido más general para
.
Ejemplo Trazar la gráfica de la función Solución La función
.
está dada por
y su gráfica se muestra en la figura 1.5
Figura 1.5 Función Rampa
La función rampa es la integral de la función escalón. Si consideramos que estamos sumando toda el área bajo la función escalón a hasta un tiempo t. Si t < 0 (cero), el valor de la integral será 0 (cero). Si es mayor que 0 (cero) , entonces el valor será igual a la integral de 1 desde el tiempo 0 hasta el tiempo t, la cual también tiene el valor t, es decir:
2. Determinar las condiciones necesarias para que el voltaje sobre el elemento reactivo (Fig.No.1 y Fig.No.2) sea proporcional a la derivada o integral del voltaje de la fuente. Circuito RL:
eR (t)
R L
eo (t)
ei (t)
La ecuación para el circuito es: ei (t) = Ri (t) + L di (t) dt E i (t) = RI (s) + LsI (s) – Li (0) Donde Tc = L /R, lo cual nos lleva a G (s) = Eo (s) = Tc (s) Ei (s) 1 + Tc s La condición necesaria para que la red sea un diferenciador se determina reordenando:
Eo (s) = Tc s [ Ei (s) – Eo (s) ] Por tanto: eo (t) = Tc d [ ei (s) – eo (s) ] dt Cuando ei (t) >> eo (t), se reduce a: eo (t) = Tc d ei (t) dt Esta condición se satisface si L es pequeña y R grande. Circuito RC:
eR (t) R C
eo (t)
ei (t)
La ecuación del voltaje para este circuito es: eo (t) = 1/ C ∫ i(t) dt
i (t) = C d eo (t) dt
Ei (s) = ( 1 + Tc s )Eo (s) De aquí, la función de transferencia será: G (s) = Eo (s) = 1__ Ei (s) 1 + Tc s Si Tc >> T, donde T es el período de la señal de entrada, la mayor paerte de ei(t) aparece a través de R (esta es, el capacitor casi actúa como un corto ). Un criterio práctico para esta condición es un valor de Tc ≥ 10T. Para ei (t) >> eo(t), entonces se reduce a : eo (t) = 1 / Tc ∫ ei (t) dt Por tanto para un valor de Tc = RC, que sea grande con respecto al tiempo de integración por el capacitor C, el voltaje de salida es proporcional a la integral de la señal de entrada. Una red de éste tipo se llama red integradora. 3. Consultar sobre las expresiones analíticas de Vo (t) (respuesta) y v(t) (excitación) para cada una de las formas de onda del generador de señales (Senoidal, Rectangular, Cuadrada).
Escalón unitario
Rampa unitaria
V(t)
V(t) K
K
to
t
to
t
Circuito RL: Obtendremos la forma de onda de salida, fo (t), de una red de paso alto para los tipos de onda señalados anteriormente, fi (t). Las dos formas de ondas de entrada normalizadas son las funciones de escalón y rampa unitaria. La función de escalón unitario, tomando la transformada de Laplace Fi (s) de u (t), fo (t) = e-t / Tc La función de rampa unitaria, tomando la transformada de Laplace Fi (s) de tu (t), fo (t) = Tc ( 1 - e-t / Tc )
Nótese que conforme t→∝, fo (t) se aproxima asíntoticamente a la línea Tc.
fi (t)
fi (t) Tc fo (t) fo (t)
t Respuesta de salida para una señal de entrada de escalón unitario.
t Respuesta de salida para una señal de entrada de rampa unitaria.
Circuito RC: Se determinará la forma de onda de salida , fo (t), de una red de paso bajo para cada unas de las formas de onda normalizadas mostradas anteriormente. Escalón unitario: Fo (s) = 1 s
1 Tc s + 1/ Tc
⊃
1 Tc s + 1/ Tc
⊃ t –Tc ( 1 - e-t / Tc ) = fo (t), t ≥ 0
1 - e-t / Tc = fo (t), t ≥ 0
Rampa unitaria: Fo (s) = 1 s2
fi (t) fi (t) fo (t)
t Respuesta de salida para una señal de entrada de escalón unitario.
t - Tc
fo (t)
Tc t Respuesta de salida para una señal de entrada de rampa unitaria.
EQUIPO A UTILIZAR: Elementos Activos
1 Generador de Funciones
Elementos Pasivos
1 Resistor decádico 1 Capacitor Decádico 1 Inductor Núcleo de aire
Equipo de Medida
1 Osciloscopio
Elementos de Maniobra
1 Interruptor bipolar Cables para conexión
CUESTIONARIO: 1. Detallar analítica y gráficamente, la correspondiente característica diferenciadora e integradora de los circuitos utilizados en la parte experimental. Considerar solo un período completo de cada onda. CIRCUITO R-L *Onda Sinusoidal
y
4
3
2
1 x −4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
−1
−2
−3
−4
R=10.1[Ω] L=250[mH] Amplitud=86 V(t)=0.5[V] F=64.03[Hz] T =
1 = 0.016 s F
t
VR(t)=
R V ( t )dt L∫ 0
VR(t)=
10 .1 0.00025
t
∫0.5dt
=220060t
0
2 xaAmplitud deSalida t T VR(EXPERIMENTAL)(t)= 2
172 t VR(EXPERIMENTAL)(t)= 0.008 2
VR(EXPERIMENTAL)(t)=2233t *Onda Cuadrada
R=90.1[Ω] L=250[mH] Amplitud=246 V(t)=0.4[V] F=255.6[Hz] T =
1 = 0.004 s F
t
R VR(t)= ∫V ( t )dt L 0
90 .1 VR(t)= 0.00025
t
∫0.4dt =144160t 0
2 xaAmplitud deSalida t T VR(EXPERIMENTAL)(t)= 2 492 t VR(EXPERIMENTAL)(t)= 0.004 2
VR(EXPERIMENTAL)(t)=246000t *Onda Triangular
R=10.1[Ω] L=250[mH] Amplitud=190 V(t)=3.8[V] F=228.2[Hz] T =
1 = 0.0044 s F
V (t) =
2( Amplitudde Entrada ) 2(190 ) t= t = 172727 .27t T 0.0044 2 2 t
VR(t)=
R V ( t )dt L∫ 0
10 .1 VR(t)= 0.00025
t
∫3.8dt 0
VR(t)=153520t2+K VR(T/4)=0 => 153520(T/4)2+K=0 K=-0.186 V(t) = 153520t2-0.186[V]
CIRCUITO R-C *Sinusoidal
y
3
2
1 x −5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
−1
−2
−3
−4
−5
R=9610[Ω] C=0.023[μF] Amplitud=202 V(t)=4.1[V] F=678.5[Hz] T =
1 = 0.0015 s F
V (t ) =
2 xAmplitud 2 x 202 t= T 0 .0015 2 2
VR(t)= Tc
t = 538666 .67 t
dV ( t ) dV ( t ) = RC = ( 9610 )( 0.023 )( 538666 .67 ) x10 −6 = 119 .06[V ] dt dt
VR(EXP)(t)=15.32[V]
*Onda Cuadrada
R=9610.1[Ω] C=0.023[μF] V(t)=0.5[V] VR(t) = RC
d (V ) = 9610 x 0.023 x 10-6 x 0 = 0 dt
VR(EXP)=0
*Onda Triangular
R=9610[Ω] C=0.023[μF] Amplitud=198 V(t)=3.8[V] F=675.5[Hz] T =
1 = 0.0015 s F
V (t ) =
2 xAmplitud 2 x198 t= T 0.0015 2 2
VR(t)= Tc
t = 528000 t
dV ( t ) dV ( t ) = RC = ( 9610 )( 0.023 )( 528000 ) x10 −6 = 116 .7[V ] dt dt
VR(EXP)(t)=10.1[V] 2. Presente un ejemplo de cálculo de un punto obtenido para el gráfico de la solución teórica de cada uno de los circuitos y un cuadro de valores con por lo menos 10 puntos.
CIRCUITO R-L *Onda Cuadrada ER =
VR=220060t
Am − Ar Ar
VR(EXP)= 246000t En t=0.1x10-3s VR=22.006 VR(EXP)=24.6 tx10-3 0.025 0.05 0.075 0.1 0.0125 0.15 0.175 0.2 0.225 0.25
VR 5.5 11.003 16.5 22.006 2.75 33.01 38.51 44.012 49.51 55.02
VR(EXP) 6.15 12.3 18.45 24.6 3.075 36.9 43.05 49.2 55.35 61.5
Error x 100%
VR 4.2 8.63 12.95 17.27 2.15 25.9 30.23 34.5 38.8 43.2
VR(EXP) 3.84 7.676 11.5 15.166 1.92 23.03 26.8 30.7 34.5 38.4
Error x 100%
11.81
11.78 11.81 11.78 11.81 11.78 11.78 11.78 11.79 11.77
*Onda Triangular VR=172727.27t^2 VR(EXP)= 153520t2-0.186 En t=0.1x10-3s VR = 17.27 VR(EXP) = 15.166 tx10-3 0.025 0.05 0.075 0.1 0.0125 0.15 0.175 0.2 0.225 0.25
CIRCUITO R-C *Onda Cuadrada
-11.16 -11.05 -11.19 -12.18 -10.69 -11.08 -11.34 -11.01 -11.08 -11.11
V(t) = 0 VR(EXP) = 0 En t=0.1x10-3s VR = 0 VR(EXP) = 0 tx10-3 0.025 0.05 0.075 0.1 0.0125 0.15 0.175 0.2 0.225 0.25
VR 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
VR(EXP) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Error x 100% 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
VR 13.2 26.4 39.6 52.8 6.6 79.2 92.4 105.6 118.8 132
VR(EXP) 10.1 10.1 10.1 10.1 10.1 10.1 10.1 10.1 10.1 10.1
Error x 100%
*Onda Triangular V(t) = 528000t VR(EXP) = 10.1[V] En t=0.1x10-3s VR = 52.8 [V] VR(EXP) = 10.1[V] tx10-3 0.025 0.05 0.075 0.1 0.0125 0.15 0.175 0.2 0.225 0.25
-23.5 -61.7 -74.5 -80.8 53.03 -87.2 -89.06 -90.43 -91.4 -92.34
3. Porqué necesariamente se deben conectar los elementos en el orden que aparecen en los circuitos de las figuras 1 y 2 para obtener en el osciloscopio las señales de voltaje y corriente en el inductor y el capacitor, respectivamente. Argumentar su respuesta.
Por cuanto la señal de onda generada en el capacitor o inductor se ve reflejada en el resistor, el cual es nuestro elemento al cual debemos colocar el osciloscopio, para obtener certeramente nuestras mediciones. 4. Hacer un comentario de las curvas y de los errores obtenidos en cada uno de los circuitos. CIRCUITO R-L *Onda Cuadrada Se puede ver que la señal cuadrada tiene una ligera pendiente a lo cual no nos da valores constantes mas sino una variable lineal. A este motivo explico el error obtenido. *Onda Triangular La señal triangular es muy legible, pero no se puede diferenciar bien entre las intersecciones de las parábolas, de todas formas en el error se puede apreciar que aumenta progresivamente en el tiempo a lo cual diríamos que la señal está corrida hacia algún lado. CIRCUITO R-C *Onda Cuadrada La señal cuadrada es muy notoria, clara y precisa, se puede observar claramente que no tiene pendiente alguna. A este hecho se puede justificar el error de cero. *Onda Triangular La señal triangular no es muy clara y diríamos que la derivada tampoco. Al obtener los datos experimentales y colocarlos en comparación con los teóricos se puede ver un error muy grande que aumenta con el tiempo.
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES:
Puedo decir que el osciloscopio es una herramienta muy eficaz para demostrar que los datos teóricos no muestran la realidad de los circuitos y que pueden existir errores muy graves si no se toman los cuidados necesarios. Por medio del osciloscopio podemos observar las señales en función del tiempo con sus respectivas señales de integración o derivación según sea el caso en un capacitor o en un inductor. APLICACIONES Las diferentes señales se utilizan para la regulación de sistemas electrónicos automatizados según como el sistema lo requiera, de modo que se pueda cambiar los tiempos de las señales a manera de obtener óptimos funcionamientos.
BIBLIOGRAFÍA Circuitos de Pulsos, C. H. HOUPIS, J. LEBELFELD, Fondo Educativo Interactivo S. A. 1974, Capitulo 1, Colombia. Análisis de Circuitos en Ingeniería, W. H. HAYT Jr, Kemmerly, McGraw-Hill, Quinta Edición, 1993, Capitulo 5, México
