Análisis de circuitos en el dominio del tiempo y la frecuencia ING. BOLIVAR GARRIDO MSC. ESPE
Elementos que almacenan energía - Capacitor
El capacitor almacena energía en forma de campo eléctrico
El campo eléctrico se forma entre dos láminas conductoras con un material dieléctrico dieléctrico en entre ellas
El voltaje con que se carga el capacitor es proporcional a la carga q = Cv
Los capacitores, generalmente se consideran elementos lineales
Elementos que almacenan energía - Capacitor
El capacitor almacena energía en forma de campo eléctrico
El campo eléctrico se forma entre dos láminas conductoras con un material dieléctrico dieléctrico en entre ellas
El voltaje con que se carga el capacitor es proporcional a la carga q = Cv
Los capacitores, generalmente se consideran elementos lineales
Elementos que almacenan energía - Capacitor
La corriente i a través del capacitor es un flujo (variación) de cargas positivas: i(t) = dq/dt , pero q = Cv de modo que: i(t) = C (dv/dt)
El voltaje en función de la corriente, se obtiene integrando i(t)
Características del capacitor
Dada la ley física de conservación de la carga, no se permite una variación brusca de la carga.
Por lo tanto, en el capacitor no se permite cambios bruscos de voltaje
El capacitor se comporta como un circuito abierto cuando existe una excitación constante en el circuito
El capacitor ideal no disipa energía. La energía se mantendrá en el capacitor mientras este esté desconectado
Capacitores en paralelo: La capacitancia equivalente será igual a la suma de los capacitores
Capacitores en serie: La capacitancia equivalente será:
1/Ceq = 1/C 1+1/C2+…+1/Cn
Elementos que almacenan energía - Inductores
Al hacer circular una corriente variable a través de un alambre enrollado (bobina), el voltaje inducido alrededor de este es proporcional a la variación de la corriente vL = L (di/dt)
El inductor almacena energía en forma de campo magnético.
Una corriente constante a través del inductor produce un voltaje 0
El inductor real debe tomar en cuenta la resistencia propia del alambre
Características del inductor
Dado el principio físico de la conservación del flujo magnético, el inductor no permite variaciones bruscas de corriente
La corriente a través del inductor se obtiene integrando el voltaje
Al existir un flujo de corriente constante a través del inductor, este se comporta como un corto circuito.
Para los inductores equivalentes, de un conjunto de inductores en serie o en paralelo, se maneja de igual manera que las resistencias.
Condiciones iniciales de circuitos conmutados
Es de interés conocer el comportamiento de un circuito apenas varíe desde su estado estable.
La variación desde el estado estable es inducida y se puede representar mediante un switch. Este cambiará de posición en t=0
En estado estable, en corriente DC, todos los parámetros del circuito son constantes
Tomar en cuenta que en estado estable:
El capacitor se comporta como circuito abierto (Voltaje cte.)
El inductor se comporta como un cortocircuito (Corriente cte. )
Condiciones iniciales de circuitos conmutados
Se analizarán los parámetros del circuito tanto para t = 0- y para t = 0+
Antes y después de abrir/cerrar el switch.
Tomar en cuenta que:
El capacitor no permite variaciones bruscas de voltaje
El inductor no permite variaciones bruscas de corriente
El resistor sí permite variaciones bruscas de voltaje y corriente
RESPUESTA DE CIRCUITOS RL Y RC
Los circuitos con capacitores e inductores se pueden representar con ecuaciones diferenciales
Los circuitos con un solo elemento que almacena energía se llaman Circuitos de Primer Orden
Todos los circuitos de primer orden se pueden simplificar para ser analizados, utilizando el teorema de Thevenin y/o Norton.
RESPUESTA DE CIRCUITOS RL Y RC
La respuesta completa de un circuito de primer orden está dada por su respuesta natural y su respuesta forzada.
Respuesta natural: Se obtiene de las condiciones iniciales de los elementos del circuito.
La excitación proviene de la energía almacenada en el capacitor o el inductor.
Respuesta forzada: Es una solución particular para la ecuación diferencial que representa al circuito. Respuesta completa = Respuesta natural + Respuesta forzada
Respuesta transitoria: Es la respuesta del circuito hasta antes de alcanzar su estado estable.
Circuito RC sin fuente
Se desconecta la fuente de alimentación en t = 0.
Se puede analizar aplicando LCK, determinando dos corrientes i C e iR
La respuesta natural del circuito RC sin fuente está dada por una función v(t)
v(t) = Voe-t/RC
La ecuación muestra que la respuesta de v(t) es una caída exponencial del voltaje inicial. A medida que t aumenta, el voltaje v(t) tiende a 0.
A partir de v(t) se pueden obtener las demás variables del circuito (Potencia, corriente, energía)
Constante de tiempo (ζ)
Se define como la rapidez con que disminuye la tensión. Es el tiempo requerido para que el valor del voltaje caiga a un 36.8% de su valor inicial.
Por definición, a 5ζ el circuito alcanza su estado estable
Mientras menor sea la constante de tiempo, más rápidamente disminuye el voltaje. Sin embargo, siempre a 5 constantes de tiempo, se alcanza el estado estable.
En un circuito RC se define que ζ está dado por R*C
Circuito RL sin fuente
La respuesta natural de este circuito está dada por la corriente i(t).
Se asume que el inductor tiene una corriente inicial I o
Este circuito se analiza aplicando LVK en la malla para determinar la corriente i(t).
i(t)= Ioe-Rt/L
La respuesta natural de un circuito RL es una caída exponencial de la corriente inicial.
La constante de tiempo tiene las mismas definiciones vistas anteriormente, pero para la corriente. En este caso ζ está determinada como L/R
Circuito RL y RC sin fuente. Resumen
La respuesta natural de un circuito RC sin fuente está dada por una función v(t).
Se debe hallar el valor de Vo y de la constante de tiempo
La constante de tiempo está dada por el producto RC
La respuesta natural de un circuito RL sin fuente está dada por una función i(t).
Se debe hallar el valor de Io y de la constante de tiempo
La constante de tiempo está dada por la división L/R
Funciones singulares
Su análisis es útil para el análisis transitorio
Las funciones singulares no son contínuas
Hay diferentes funciones singulares, sin embargo, en este curso se revisan tres de ellas:
Escalón Unitario
Impulso Unitario
Rampa unitaria
Escalón Unitario
Se define como u(t)
Vale 0 para t<0
Vale 1 para t>=0
Se utiliza para expresar el voltaje o la corriente de un circuito que estaría expresada en términos de escalón unitario
V(t) = Vou(t)
i(t) = iou(t)
Impulso Unitario
Se define como la derivada dé la función escalón unitario
=
0,<0 () ( 1 = ,=00,>0
La función escalón unitario es teórica, mas no es físicamente posible
Se expresa como
2
, por ejemplo si está retrasada
Propiedad de muestreo o filtro de la función impulso
Cuando una función f(t) se integra con la función impulso, se obti ene el valor de la función en el punto donde el impulso ocurre. Así :
+ 1
= (1)
Función Rampa Unitaria
Se define como la integral de la función escalón unitario
Así
= − = 0,<0 ,>0
La pendiente de la función rampa unitaria es igual a 1.
Circuito RC con fuente Respuesta escalón
Es la respuesta de un circuito a una excitación súbita de tensión o corriente
Se analiza utilizando LCK
Se obtiene la respuesta completa del circuito en función del voltaje del capacitor
= ∞ 0 ( ∞ )
Así, para obtener la respuesta completa del circuito:
Obtener v(0) para t=0 -
Obtener la constante de tiempo y el valor final de v para t>0
Circuito RL con fuente Respuesta escalón
Es la respuesta de un circuito a una excitación súbita de tensión o corriente
Se analiza utilizando LVK
Se obtiene la respuesta completa del circuito en función de la corriente del inductor
= ∞ 0 ( ∞ )
Así, para obtener la respuesta completa del circuito:
Obtener i(0) para t=0 -
Obtener la constante de tiempo y el valor final de i para t>0
CIRCUITOS (REDES)DE SEGUNDO ORDEN
Originan ecuaciones diferenciales de segundo orden
Las respuestas de circuitos RLC son útiles para estudios futuros de diseño de filtros y redes de comunicación
Los circuitos RLC en serie y en paralelo son generalmente los de mayor interés. Sin embargo, el procedimiento de análisis puede ser aplicado de igual manera para redes RLC combinadas
Circuito RLC en serie sin fuente
La respuesta de este circuito se obtiene en función de la corriente del inductor
Se analiza utilizando LVK para los tres elementos de modo que vc+vR+vL = 0
La ecuación diferencial es:
La resolución de la ecuación diferencial requiere conocer dos condiciones iniciales que en este caso serían la corriente i(0) y su derivada
=0
Circuito RLC en serie sin fuente
Con la experiencia de los circuitos de primer orden, se asume que la corriente tendrá un comportamiento exponencial
=
, siendo A y s constantes a ser determinadas mediante las condiciones iniciales
Así, esta solución debería satisfacer a la ecuación diferencial planteada
A la ecuación se conoce como la ecuación característica de la ecuación diferencial. Sus raíces caracterizan a i(t)
Al ser cuadrática, la ecuación característica tendrá dos respuestas, s1 y s2, las que se denominan frecuencias naturales (Np/s)
=0 ;
Circuito RLC en serie sin fuente Amortiguamiento
El amortiguamiento es la pérdida gradual de la energía almacenada
se conoce como el factor de amortiguamiento, el cual determina la velocidad a la cual se amortigua (disipa) la respuesta
= 2 A
se conoce como la frecuencia de resonancia
= 1
Así, las frecuencias naturales (s1 y s2) se pueden escribir en función de
Circuito RLC en serie sin fuente
Se presentan tres casos posibles para la respuesta i(t) 1. Caso sobreamortiguado
>
Se da cuando
Ambas raíces son negativas y reales
La respuesta es de la forma
=
2. Caso críticamente amortiguado
=
Se da cuando
Las raíces son iguales
La respuesta es de la forma
= = = ( ) −
Circuito RLC en serie sin fuente 3. Caso subamortiguado
< , =± ( ) = α± 1 ( ) = −(cos()sin())
Se da cuando
Las raíces tienen carácter imaginario
A la frecuencia
La respuesta tiene la forma
Esta respuesta tiene un carácter oscilatorio
se le conoce como frecuencia de amortiguamiento
Circuito RLC en paralelo sin fuente
Los conceptos se mantienen de igual manera que para el circuito anterior
Este circuito se analiza mediante LCK
La respuesta está dada en función de v(t)
Recordar siempre que v se refiere al voltaje del capacitor e i se refiere a la corriente del inductor
Circuito RLC en paralelo sin fuente
Se presentan igualmente los tres casos de amortiguamiento (caso sobreamortiguado, caso críticamente amortiguado, caso subamortiguado)
Las repuestas, esta vez en función de v(t) tienen la misma forma
Tomar en cuenta que el valor de cambia:
Los valores de la frecuencia de amortiguamiento tanto como la frecuencia de resonancia son calculadas de igual manera
=
Circuito RLC en serie con fuente Respuesta escalón
Se analiza con la LVK
Se observa que la ecuación diferencial tiene la misma forma que el circuito sin fuente
Por lo tanto, se concluye que la ecuación característica será la misma.
Así mismo, se mantienen los conceptos del circuito sin fuente (factor de amortiguamiento, frecuencia de resonancia, frecuencia de amortiguamiento)
Circuito RLC en serie con fuente Respuesta escalón
La respuesta completa del circuito se compone de dos partes, la respuesta natural (dada por el circuito sin fuente) más la respuesta forzada (dada por la fuente)
Se presentan los mismos tres casos de amortiguamiento
Caso subamortiguado
Caso críticamente amortiguado
Caso subamortiguado
→ = ∞ − → = ∞ ( ) → = ∞ cos sin −
Respuesta RLC en paralelo con fuente – Respuesta escalón
Se analiza con LCK, tomando en cuenta que el voltaje en todos los elementos es el mismo, de modo que
Así mismo, se mantienen los conceptos que para el circuito sin fuente.
Se demuestra que la ecuación característica es la misma
=
