299004 Modulo Procesamiento Senales Digitales

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299004 – PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA PROGRAMA DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA

299004 – PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES FAIBER ROBAYO BETANCOURT Director Nacional

ALFREDO LÓPEZ RENDÓN Acreditador

NEIVA Enero de 2013


ASPECTOS DE PROPIEDAD INTELECTUAL Y VERSIONAMIENTO El presente módulo es actualizado en el año 2013 por el Ing. Faiber Robayo Betancourt, tutor de la UNAD, y ubicado en el CCAV de Neiva. El Ing. Robayo es Ingeniero Electrónico, y Magister en Ingeniería de Control Industrial, se ha desempeñado como tutor de la UNAD desde el 2005. El presente módulo tiene su primera actualización este año por parte del ingeniero Robayo quien se desempeña actualmente como director del cuso a nivel nacional. La primera versión fue realizada por la ingeniera Indira Cassaleth Garrido y se llamó “Procesamiento de Señales Digitales”.


INTRODUCCIÓN El curso de Procesamiento Digital de Señales es de tipo teórico y es ofrecido dentro del portafolio de cursos para el programa de ingeniería electrónica de la Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD. Tiene como objetivo principal dotar al estudiante de los conocimientos necesarios para el diseño y la implementación de filtros digitales de características frecuenciales específicas; todo esto a través de la estrategia de educación abierta y a distancia. El procesamiento digital de señales es una disciplina que abarca la representación, transformación y manipulación de señales y de la información que contienen. En este curso se presenta una introducción a las técnicas computacionales y herramientas básicas para el análisis y diseño de sistemas de procesamiento digital de señales, haciendo énfasis en los filtros selectivos en frecuencia. El curso es complementado con simulaciones prácticas para la exploración a fondo de los conceptos analizados en la parte teórica. El curso tiene 3 créditos académicos, los cuales comprenden el estudio independiente y el acompañamiento tutorial, con de abordar las unidades didácticas: Unidad 1: Señales y sistemas discretos Unidad 2: Diseño de Filtros Digitales Unidad 3: Aplicaciones de Filtros digitales La metodología a seguir será bajo la estrategia de educación a distancia. Por tal razón, será importante planificar los procesos de: • Estudio Independiente: este se desarrollará a través del trabajo personal y del trabajo en pequeños grupos colaborativos de aprendizaje. • Acompañamiento tutorial: corresponde al acompañamiento que el tutor realiza al estudiante para potenciar el aprendizaje y la formación. Este acompañamiento se puede adelantar de forma individual, en pequeños grupos o a nivel de grupo de curso. La evaluación del curso se define como cualitativa - participativa, y mide la calidad de los procesos y productos de aprendizaje. Se evidencia desde las formas de:


• Autoevaluación: evaluación que realiza el estudiante para valorar su propio proceso de aprendizaje. • Coevaluación: se realiza a través de los grupos colaborativos, y pretende la socialización de los resultados del trabajo personal. • Heteroevaluación: Es la valoración que realiza el tutor del proceso de aprendizaje. Para el desarrollo del curso es importante el papel que juegan los recursos didácticos y tecnológicos como medio activo e interactivo, buscando la interlocución durante todo el proceso de diálogo tutor-estudiante. Se tienen diferentes opciones y tecnologías, las cuáles deben ser empleadas de la mejor forma de acuerdo al espacio, y a los objetivos propuestos en cada curso. Algunas de las más empleadas, son: • Materiales virtuales: Son el soporte fundamental para el curso y para favorecer los procesos de aprendizaje auto-dirigido. Estos contenidos serán publicados en la plataforma virtual de la UNAD. • Sitios Web: propician el acercamiento al conocimiento, la interacción y la producción de nuevas dinámicas educativas. • Sistemas de interactividades sincrónicas: permite la comunicación a través de encuentros presénciales directos o de encuentros mediados (Chat, audio conferencias, videoconferencias, tutorías telefónicas). • Sistemas de interactividades asincrónicas: permite la comunicación en forma diferida favoreciendo la disposición del tiempo del estudiante para su proceso de aprendizaje (correo electrónico, foros, grupos de discusión, entre otros).


INDICE DE CONTENIDO UNIDAD 1 SEÑALES Y SISTEMAS DISCRETOS ............................................................................ 11 INTRODUCCIÓN ...................................................................................................................... 12 CAPITULO 1: INTRODUCCIÓN AL PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES………………………………... 13 Lección 1: SISTEMAS DSP ................................................................................................................. 13 Proceso de conversión de análogo a digital (ADC)............................................................................ 14 Teorema del muestreo ...................................................................................................................... 14 Lección 2: SEÑALES EN TIEMPO DISCRETO ...................................................................................... 19 Señales elementales en tiempo discreto .......................................................................................... 21 Lección 3: SISTEMAS LTI ................................................................................................................... 24 Lección 4: PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS DISCRETOS .................................................................. 25 Lección 5: RESPUESTA IMPULSO ...................................................................................................... 29 CAPITULO 2: TRANSFORMADA DE FOURIER………………………………………….………………………………... 32 Lección 6: SERIES DE FOURIER ......................................................................................................... 32 Series de Fourier para señales periódicas ......................................................................................... 32 Series de Fourier para señales discretas periódicas ......................................................................... 33 Lección 7: TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER........................................................................ 36 Introducción ...................................................................................................................................... 36 Lección 8: PROPIEDADES DE LA DFT ................................................................................................ 38 Linealidad .......................................................................................................................................... 38 Periodicidad....................................................................................................................................... 38 Simetría ............................................................................................................................................. 38 Lección 9: CORRELACIÓN DE SEÑALES EN TIEMPO DISCRETO ......................................................... 39 Introducción ...................................................................................................................................... 39 Correlación ........................................................................................................................................ 39 Lección 10: CORRELACIÓN CON AYUDA COMPUTACIONAL ............................................................ 47 CAPITULO 3: TRANSFORMADA Z……………….………………………………………….………………………………... 50 Lección 11: TRANSFORMADA Z BILATERAL DIRECTA ....................................................................... 50 Lección 12: PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA Z BILATERAL .................................................... 53 Linealidad .......................................................................................................................................... 53 Desplazamiento en el tiempo ........................................................................................................... 55 Escalado en el dominio Z ................................................................................................................... 55 Conjugación ...................................................................................................................................... 56 Inversión temporal ........................................................................................................................... 57 Lección 13: TRANSFORMADA Z INVERSA ......................................................................................... 58 Definición ......................................................................................................................................... 58 Lección 14: TRANSFORMADA Z UNILATERAL, DEFINICIÓN Y PROPIEDADES ................................... 60 Retardo temporal .............................................................................................................................. 61 Adelanto temporal ............................................................................................................................ 61 Teorema del valor final ..................................................................................................................... 62 Lección 15: RESPUESTA NATURAL Y FORZADA ................................................................................ 64


ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN DE LA UNIDAD 1 ............................................................. 66 FUENTES DOCUMENTALES DE LA UNIDAD 1 ............................................................................ 67

UNIDAD 2 DISEÑO DE FILTROS DIGITALES ................................................................................ 68 INTRODUCCIÓN ...................................................................................................................... 69 CAPITULO 4: DISEÑO DE FILTROS DIGITALES…………………………………………………………………………... 70 Lección 16: CONSIDERACIONES GENERALES .................................................................................... 70 Lección 17: CAUSALIDAD Y SUS IMPLICACIONES .............................................................................. 71 Lección 18: TEOREMA DE PALEY WIENER ......................................................................................... 72 Lección 19: RELACIÓN ENTRE PARTE REAL E IMAGINARIA DE LA RESPUESTA EN FRECUENCIA....... 74 Lección 20: CARACTERÍSTICAS DE FILTROS PRÁCTICOS .................................................................... 76 CAPITULO 5: FILTROS DIGITALES IIR…………..…………………………………………………………………………... 77 Lección 21: TERMINOLOGÍA Y CLASIFICACIÓN................................................................................. 77 Polos y ceros...................................................................................................................................... 79 Diseño de filtros IIR ........................................................................................................................... 79 Lección 22: DISEÑO DE FILTROS IIR .................................................................................................. 80 Diseño de filtros IIR mediante la transformación bilineal ................................................................. 80 Lección 23: DISEÑO DE FILTROS IIR CON MATLAB ........................................................................... 86 Filtro Butterworth ............................................................................................................................. 86 Lección 24: FILTRO CHEBYSHEV ....................................................................................................... 90 Lección 25: FILTROS ELÍPTICOS ........................................................................................................ 95 Requerimientos y especificaciones de filtrado ................................................................................. 97 CAPITULO 6: FILTROS FIR………………….………..…………………………………………………………………………... 99 Lección 26: FILTROS DE RESPUESTA INFINITA.................................................................................. 99 Estructura .......................................................................................................................................... 99 Diseño de filtros FIR ........................................................................................................................ 100 Lección 27: FUNCIONES PARA REALIZAR FIR.................................................................................. 101 La función FIR1 ................................................................................................................................ 101 La función FIR2 ................................................................................................................................ 101 Lección 28: ANÁLISIS DE FIR CON HERRAMIENTAS COMPUTACIONALES ...................................... 103 Lección 29: ANÁLISIS DE RECHAZABANDA FIR ............................................................................... 107 Lección 30: COMANDOS PARA GENERAR FILTROS MEDIANTE VENTANAS ................................... 111 ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN DE LA UNIDAD 2 ............................................................112 FUENTES DOCUMENTALES DE LA UNIDAD 2 ...........................................................................113

UNIDAD 3 APLICACIONES DE FILTROS DIGITALES ....................................................................114 INTRODUCCIÓN .....................................................................................................................115 CAPITULO 7: DISEÑO Y APLICACIONES DE FILTROS…………………………………………………………….... 116 Lección 31: ESPECIFICACIONES DE DISEÑO .................................................................................... 116 Lección 32: ELECCIÓN DE LA APROXIMACIÓN ............................................................................... 118 Lección 33: REALIZACIÓN ............................................................................................................... 120 Lección 34: EFECTOS DE LA LONGITUD DE LA PALABRA FINITA .................................................... 122 Lección 35: IMPLEMENTACIÓN ...................................................................................................... 126


CAPITULO 8: PROCESAMIENTO DE IMÁGENES…………………………………………………………………….... 127 Lección 36: MODELO DE IMAGEN SIMPLE ..................................................................................... 127 Etapas fundamentales en procesamiento de imágenes ................................................................. 128 Lección 37: TEORÍA DE HERING ...................................................................................................... 132 Lección 38: TRANSFORMACIONES ................................................................................................. 135 Transformaciones geométricas ....................................................................................................... 135 Transformación del histograma ...................................................................................................... 135 Filtrado espacial y frecuencial ......................................................................................................... 135 Lección 39: CÁLCULO DE CARACTERÍSTICAS .................................................................................. 138 Centroide ......................................................................................................................................... 139 Lección 40: ANÁLISIS DE IMAGEN USANDO MEDIOS COMPUTACIONALES ................................... 140

CAPITULO 9: PROCESAMIENTO DIGITAL DE AUDIO…………………………………………………………….... 144 Lección 41: EFECTOS QUE UTILIZAN RETARDOS ............................................................................ 144 Naturaleza del eco y la reverberación ............................................................................................ 144 Reverberación y eco digitales ......................................................................................................... 145 Flanger y phaser .............................................................................................................................. 146 La realimentación o el feedback ..................................................................................................... 146 El chorus .......................................................................................................................................... 147 Lección 42: PROCESADORES DE RANGO DINÁMICO ...................................................................... 148 Los compresores y los limitadores .................................................................................................. 149 Los expansores ................................................................................................................................ 149 La distorsión .................................................................................................................................... 149 Lección 43: LOS FILTROS................................................................................................................. 150 Espectro de una señal ..................................................................................................................... 150 Lección 44: ECUALIZACIÓN Y APLICACIONES DEL FILTRADO ......................................................... 153 Implementación de filtros en los editores de audio ....................................................................... 153 Aplicaciones de filtrado digital ........................................................................................................ 153 Lección 45: ANÁLISIS DE AUDIO USANDO MEDIOS COMPUTACIONALES ..................................... 155 ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN DE LA UNIDAD 3 ............................................................159 FUENTES DOCUMENTALES DE LA UNIDAD 3 ...........................................................................160


LISTADO DE TABLAS Tabla 3.1 Transformada z bilateral de algunas funciones comunes ................................................. 54 Tabla 7.1 Comparación Filtros digitales .......................................................................................... 119


LISTADO DE GRÁFICOS Y FIGURAS

Figura 1.1 Sistema DSP ...................................................................................................................... 13 Figura 1.2 Sistema DSP completo...................................................................................................... 13 Figura 1.3 Diagrama de bloques del proceso de conversión análogo a digital ................................. 14 Figura 1.4 Muestreo de una señal análoga ....................................................................................... 15 Figura 1.5 Tren de pulsos .................................................................................................................. 15 Figura 1.6 Espectro de la señal antes del muestreo ......................................................................... 17 Figura 1.7 Espectro de la señal después del muestreo ..................................................................... 17 Figura 1.8 Espectro con aliasing de una señal muestreada .............................................................. 18 Figura 1.9 Espectro resultante con la frecuencia mínima de muestreo ........................................... 18 Figura 1.10 Función impulso unitario................................................................................................ 21 Figura 1.11 Función escalón unitario ................................................................................................ 22 Figura 1.12 Función rampa unitaria .................................................................................................. 23 Figura 1.13 Señal sinusoidal .............................................................................................................. 24 Figura 1.14 Sistemas LTI .................................................................................................................... 25 Figura 1.15 Efecto tiempo invariante Sistemas LTI ........................................................................... 25 Figura 1.16 Principio de superposición ............................................................................................. 25 Figura 1.17 Diagrama de bloques de un sistema discreto ................................................................ 26 Figura 1.18 Representación gráfica de un retardador ...................................................................... 26 Figura 1.19 Representación gráfica de un retardador 2 ................................................................... 26 Figura 1.20 Representación gráfica de un adelantador .................................................................... 27 Figura 1.21 Diagrama de un multiplicador ........................................................................................ 27 Figura 1.22 Diagrama de un modulador ........................................................................................... 27 Figura 1.23 Diagrama de bloques de una ecuación discreta ............................................................ 28 Figura 1.24 Gráfica de la función x(n) = {2, 3, 0,1} ............................................................................ 30 Figura 1.25 a) Función impulso unitario, b) Respuesta al impulso, h (k) ......................................... 31 Figura 1.26 a) -1), b) Respuesta al impulso, h (k-1)............................ 31 Figura 2.1 Señales para correlacionar x(n), y(n)................................................................................ 41 Figura 2.2 Correlacionar r xy (0) ....................................................................................................... 42 Figura 2.3 Señales para autocorrelacionar x(n), x1(n) ...................................................................... 45 Figura 2.4 Función autocorrelación r xx ........................................................................................... 46 Figura 3.1 Representación gráfica de la ROC para r suficientemente pequeños.............................. 52 Figura 3.2 Propiedades de la Transformada Z bilateral .................................................................... 53 Figura 4.1 Características generales de un filtro pasabajas .............................................................. 76 Figura 5.1 Estructura de un filtro IIR ................................................................................................. 78 Figura 5.2 Relación entre la frecuencia en el plano s y el plano z en la transformación bilineal ..... 82 Figura 5.3 Respuesta en frecuencia del filtro análogo del ejemplo .................................................. 84 Figura 5.4 Respuesta en frecuencia del filtro digital del ejemplo ..................................................... 85 Figura 5.5 Respuesta filtro Butter pasaalta segundo orden ............................................................. 87 Figura 5.6 Respuesta filtro Butter pasaalta orden 10 ....................................................................... 88 Figura 5.7 Respuesta filtro Butter pasabanda orden 4 ..................................................................... 89


Figura 5.8 Respuesta filtro Butter rechazabanda orden 4 ................................................................ 90 Figura 5.9 Respuesta filtro Cheby tipo I ............................................................................................ 92 Figura 5.10 Respuesta filtro Cheby tipo II orden 9............................................................................ 93 Figura 5.11 Respuesta impulso filtro Cheby tipo II orden 5 .............................................................. 94 Figura 5.12 Respuesta filtro elíptico pasabajo orden 6..................................................................... 95 Figura 5.13 Respuesta impulso filtro elíptico pasabajo orden 6 ....................................................... 96 Figura 5.14 Respuesta filtro elíptico pasaalto orden 12 ................................................................... 97 Figura 5.15 Respuesta impulso filtro elíptico pasaalto orden 12...................................................... 97 Figura 6.1 Estructura de un filtro FIR ............................................................................................. 100 Figura 6.2 Respuesta filtro FIR1 pasabajo orden 4.......................................................................... 103 Figura 6.3 Respuesta filtro FIR1 pasabajo orden 6.......................................................................... 104 Figura 6.4 Respuesta filtro FIR1 pasabajo orden 10........................................................................ 104 Figura 6.5 Respuesta filtro FIR1 pasaalto orden 4 .......................................................................... 105 Figura 6.6 Respuesta filtro FIR1 pasaalto orden 6 .......................................................................... 105 Figura 6.7 Respuesta filtro FIR1 pasaalto orden 10 ........................................................................ 106 Figura 6.8 Respuesta filtro FIR1 rechazabanda orden 6 ................................................................. 107 Figura 6.9 Respuesta filtro FIR1 rechazabanda orden 30, Hamming .............................................. 108 Figura 6.10 Respuesta filtro FIR1 rechazabanda orden 30, Boxcar................................................. 108 Figura 6.11 Respuesta filtro FIR1 rechazabanda orden 30, Barlett ................................................ 109 Figura 6.12 Respuesta filtro FIR1 rechazabanda orden 30, Chebwin ............................................. 109 Figura 6.13 Comparación respuestas filtros FIR .............................................................................. 110 Figura 7.1 Bandas de tolerancia del filtro ....................................................................................... 117 Figura 7.2 Comparación de los patrones de polos y ceros de una implementación en forma directa I (a) y en secciones de segundo orden, cada una de ellas en forma directa (b) ......................................................................................................................................................... 121 Figura 7.3 Respuesta en frecuencia del filtro del Ejemplo implementado con una estructura tipo forma directa II. (-) filtro prototipo; (- -) filtro con coeficientes cuantizados. ................................ 123 Figura 7.4 Respuesta en frecuencia del filtro del Ejemplo implementado con una cascada de dos bloques de segundo orden. ( - ) filtro prototipo; (- -) filtro con coeficientes cuantizados.. 124 Figura 8.1 Valores del pixel ............................................................................................................. 128 Figura 8.2 Etapas del procesamiento de imágenes......................................................................... 129 Figura 8.3 Imagen binaria y filtros................................................................................................... 131 Figura 8.4 Diagrama de cromaticidad ............................................................................................. 133 Figura 8.5 Ilustración del comportamiento de las celdas detectoras ante la presencia de colores oponentes ....................................................................................................................................... 134 Figura 8.6 Histograma bimodal ....................................................................................................... 136 Figura 8.7 Histograma aproximadamente bimodal ........................................................................ 137 Figura 8.8 (a) Una región (S) y su deficiencia convexa (sombreada); (b) contorno dividido ............................................................................................................................................ 140 Figura 8.9 Imagen original ............................................................................................................... 141 Figura 8.10 Valores de pixeles en RGB de la imagen ...................................................................... 142 Figura 8.11 Planos para los diferentes colores ............................................................................... 143 Figura 8.12 Contribución de planos ................................................................................................ 144 Figura 9.1 Funciones de transferencia y sus efectos....................................................................... 148 Figura 9.2 Ejemplos de filtrado con la evolución temporal del espectro de frecuencias, su aspecto en el instante t=0 y el sonido resultante .................................................. 152 Figura 9.3 Ejemplo de procesamiento digital de audio................................................................... 158


UNIDAD 1

Nombre de la Unidad

Introducción

Justificación

SEÑALES Y SISTEMAS DISCRETOS La Unidad 1 trata en primer lugar, los aspectos introductorios y la terminología referente al procesamiento digital de señales; en segundo lugar, introduce y refuerza el manejo matemático necesario como lo es la transformada de Fourier y la transformada Z. Dada la importancia que tiene el manejo de las señales en todos los ámbitos de la electrónica, el procesamiento digital de señales se vuelve una necesidad para poder comprenderlas y manejarlas a través de sus bases matemáticas, como son las transformadas de Fourier y la Transformada Z.

Entenderá la diferencia entre señales continuas y discretas, Intencionalidades comprenderá la relación entre la Transformada de Fourier y la Transformada Z, así mismo podrá escribir una señal dada en Formativas una ecuación en diferencias que la produce y podrá obtener las señales que produce una ecuación en diferencias dada. Denominación de • Capítulo 1: Introducción al Procesamiento Digital de Señales Capítulos • Capítulo 2: Transformada de Fourier • Capítulo 3: Transformada Z


INTRODUCCIÓN

La Ingeniería electrónica se define como la rama de la ciencia que se encarga de la transmisión de información por medio de señales eléctricas. El uso de tales señales se debe fundamentalmente a la velocidad con la que viajan (cercana a la de la luz) y a la facilidad con la que pueden ser manipuladas. Los procesos de análisis y síntesis pueden realizarse en dos ambientes diferentes: ·

ANALOGO: La señal existe (O sea tiene importancia) en todos los instantes de tiempo y tiene infinitos posibles valores dentro de un rango determinado (Rango dinámico de la señal). El sistema se construye exclusivamente de hardware (Activo y pasivo) y maneja infinitos posibles estados (ASP), para realizar operaciones sobre la señal tales como el filtrado, la amplificación, la modulación, etc.

·

DIGITAL: La señal existe (O tiene importancia) sólo en momentos discretos del tiempo y tiene un número finito de valores dentro de un rango determinado. El sistema es una mezcla de hardware y software digital con interfaces análogas con el mundo real (DSP), que realizan operaciones de cálculo y lógicas para extraer información de una señal digital o modificarla.

En algunos casos los sistemas son híbridos en el sentido de que a pesar de que manejan señales digitales utilizan una representación análoga de esas señales para su transmisión, por ejemplo con el uso de señales sinusoidales de diferentes frecuencias (FSK) o fases (PSK). La tendencia en este momento va en la dirección de realizar todas las operaciones que antes se hacían en ASP, y otras nuevas, con dispositivos o sistemas DSP, debido a las ventajas que presentan estos últimos.


CAPITULO 1: INTRODUCCIÓN AL PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES

Lección 1: SISTEMAS DSP

Un procesador DSP (Ya sea un procesador de propósito general o especializado más software) requiere a su entrada una señal digital o sea discreta en el tiempo (que sólo exista en instantes discretos del tiempo) y discreta en amplitud (solo tiene un número finito de niveles), denotada por x(n) y produce a la salida, luego de procesada una señal que es también de naturaleza discreta. Tal procesador de DSP ”puro” no está en capacidad de procesar señales provenientes de fenómenos del mundo real, las cuales son esencialmente análogas porque están definidos en todo instante del tiempo y tienen un continuo de amplitudes en cualquier intervalo finito.

Figura 1.1 Sistema DSP

Se requiere, entonces, que hayan interfaces entre el mundo real y el DSP que conviertan las señales análogas en discretas (Dispositivos ADC) y viceversa (Dispositivos DAC), tal como se muestra en la figura 1.2; aunque en algunos casos es posible que no se necesiten uno o ambos procesos.

Figura 1.2 Sistema DSP completo


PROCESO DE CONVERSION DE ANALOGO A DIGITAL (ADC)

En este caso el sistema ADC toma una señal análoga proveniente de algún fenómeno físico y entrega una discreta o digital al sistema DSP. De manera teórica, el proceso de conversión ADC requiere de cuatro pasos como se muestra en la figura 1.3.

Figura 1.3 Diagrama de bloques del proceso de conversión análogo a digital.

La idea fundamental es que en este proceso se conserve la información de la señal de entrada; la herramienta que permite predecir que en efecto esto se da se llama el teorema del muestreo el cual se enuncia a continuación.

TEOREMA DEL MUESTREO “Una señal de banda limitada a B Hz (Es decir sin contenido espectral apreciable por encima de esta frecuencia) puede determinarse de manera unívoca a partir de sus muestras tomadas a intervalos no mayores a Ts = 1/ 2B s”. Esto significa que para que no haya pérdida de la información contenida en la señal se deben tomar muestras a una rata mayor a fs = 2B muestras/s.

En la figura 1.4 se muestran la señal análoga y sus respectivas muestras.


Figura 1.4 Muestreo de una señal análoga

El proceso de muestreo puede verse como el producto de la señal por un tren periódico de pulsos como el que se muestra a continuación en la figura 1.5:

Figura 1.5 Tren de pulsos

Esta señal puede representarse por medio de una serie de Fourier así:

Con:


Y,

La señal muestreada estará dada, entonces, por la siguiente expresión:

Se debe recordar que el espectro de x(t) está dado por:

Y el espectro de xs (t) por:

Intercambiando el orden de la integral y la sumatoria se tiene:

La última integral representa a

o sea el espectro de la señal


desplazado alrededor de la frecuencia de muestreo Fs = 1/Ts y sus infinitos armónicos. De esta manera:

Si el espectro original de x(t) tiene la forma mostrada en la figura 1.6,

Figura 1.6 Espectro de la señal antes del muestreo

La forma del espectro de la señal resultante, luego del muestreo, será como se muestra en la figura 1.7:

Figura 1.7 Espectro de la señal después del muestreo

Se observa que, en este caso, se puede recuperar el espectro de la señal original (Y por tanto la señal) usando un filtrado pasabajos ideal que elimine los componentes espectrales que aparecieron en el muestreo, dado que no hubo


superposición de estos con el original porque se escogió adecuadamente la frecuencia de muestreo Fs. Si la frecuencia de muestreo no hubiese sido escogida adecuadamente, el espectro resultante pudiera haber quedado como se muestra en la figura 1.8:

Figura 1.8 Espectro con aliasing de una señal muestreada

En este caso es imposible recuperar el espectro original por medio del filtrado pasabajos ya que se produjo lo que se denomina “aliasing” o solapamiento en la frecuencia. La frecuencia mínima de muestreo hará que las distintas componentes espectrales queden juntas como se muestra en la figura 1.9:

Figura 1.9 Espectro resultante con la frecuencia mínima de muestreo

Esta frecuencia mínima se puede calcular así:


Esto nos indica que la frecuencia mínima de muestreo (Frecuencia de Nyquist) será:

Por ejemplo, en telefonía se limita en banda a 3.4 KHz y se utiliza una rata de muestreo de 8000 muestras/s, lo que da una banda de guarda de 1200 Hz. En la práctica siempre ocurrirá aliasing debido a que las señales nunca son de banda limitada y también a que siempre hay ruido presente, el cual tiene un gran ancho de banda. La idea es mantener el aliasing tan bajo como sea posible y también reducir la rata de muestreo al mínimo para bajar las exigencias de velocidad al conversor análogo digital y del procesador, y disminuir las exigencias de ancho de banda del sistema, lo cual se logra filtrando la señal antes del muestreo.


Lección 2: SEÑALES EN TIEMPO DISCRETO Las señales en tiempo discreto pueden originarse de dos maneras: 1. Tomando muestras de una señal análoga y luego cuantificándola.

2. Acumulando una variable a lo largo de un determinado período de tiempo. (Ver figura 1.7, página 10 del libro de Proakis).

En ambos casos se genera una secuencia de números en función de la variable independiente n (número de muestra) el cual es el equivalente discreto del tiempo. La señal x(n) puede representarse de varias maneras: · Representación funcional:

· Representación tabular:

· Representación como secuencia:

En este caso la flecha ( ) indica el origen de coordenadas (Es decir, n = 0).


SEÑALES ELEMENTALES EN TIEMPO DISCRETO · Impulso

unitario:

Figura 1.10 Función impulso unitario

La figura 1.10 se puede obtener en Matlab empleando una función como la del ejemplo M2:

Ejemplo M2: function x=impulse(long,k) %La señal x generada por esta función es un impulso de longitud long %y desplazado k unidades de tiempo. if k<0 n=-long:0; L=length(n); x=zeros(1,L); x(L+k)=1; else n=0:long; L=length(n); x=zeros(1,L); x(k+1)=1; end stem(n,x)


· Escalón unitario:

Figura 1.11 Función escalón unitario

La figura 1.11 se puede obtener en Matlab empleando una función como la del ejemplo M3: Ejemplo M3: function x=escalon(long,k) %La señal x generada por esta función es un escalón de longitud long %y desplazado k unidades de tiempo. n=k-3:long+k-4 ; x=zeros(1,long); x(4:long)=1; stem(n,x) · Rampa unitaria:


Figura 1.12 Función rampa unitaria

La figura 1.12 se puede obtener en Matlab empleando una función como la del ejemplo M4: Ejemplo M4: function x=rampa(long,k) %La señal x generada por esta función es una rampa de longitud long %y desplazada k unidades de tiempo. n=k-3:long+k-4 ; m=0:long-4; x=zeros(1,3); x=[x,m]; stem(n,x) · Señal sinusoidal: xnAcos n , n   Donde: : [rad] f: [ciclos/muestra] : [rad/muestra] 2f


Figura 1.13 Señal sinusoidal

La figura 1.13 se puede obtener en Matlab empleando una función como la del ejemplo M5:

Ejemplo M5: function x=seno(A,f0,Theta,Num_ciclos) %La señal x generada por esta función es una sinusoide de amplitud: A, %frecuencia: f0 (entre 0 y 1), Theta en radianes y número de ciclos: %Num_ciclos. N=ceil(1/f0); L=N*Num_ciclos; n=0:L-1; x=A*sin(2*pi*f0*n+Theta); stem(n,x)


Lección 3: SISTEMAS LTI Introducción

La abreviatura LTI proviene del término en inglés (Linear Time-Invariant). Los sistemas LTI hacen referencia a los sistemas que son lineales y al mismo tiempo invariantes en el tiempo. Los sistemas LTI tienen la característica de cumplir las siguientes propiedades.

Figura 1.14 Sistemas LTI

Los sistemas LTI son subconjuntos de los sistemas lineales, estos obedecen al principio de superposición. En la siguiente figura, se puede observar el efecto de aplicar el tiempo invariante a la definición de sistema lineal del sistema anterior.

Figura 1.15 Efecto tiempo invariante Sistemas LTI

Aplicando el principio de superposición se tiene:

Figura 1.16 Principio de superposición


Lección 4: PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS DISCRETOS Los sistemas discretos son aquellos que trabajan con señales discretas. Se debe recordar que un sistema es una transformación aplicada a una señal de entrada x(n), para obtener una señal de salida y(n); a esta transformación se le conoce con el nombre de función de transferencia (T). En la siguiente figura se muestra el diagrama de bloques de un sistema discreto.

Figura 1.17 Diagrama de bloques de un sistema discreto

Se pueden definir las funciones de transferencia para los sistemas discretos más característicos con su correspondiente diagrama de bloques. Desplazamiento temporal

Descrito por el siguiente comportamiento matemático:

Figura 1.18 Representación gráfica de un retardador

Si T n n0, entonces es un adelantador Si 0 T n n0, entonces es un retardador

En diagramas de bloques, otra forma de representar a T es por Z, así:

Figura 1.19 Representación gráfica de un retardador 2


Figura 1.20 Representación gráfica de un adelantador

Multiplicador

Descrito por el siguiente comportamiento matemático: y(n) = a. x(n)

Figura 1.21 Diagrama de un multiplicador

Modulador


Figura 1.22 Diagrama de un modulador

Acumulador



Media Móvil

Descrito por el siguiente comportamiento matemático: Ejemplo: Describa mediante diagrama de bloques la siguiente ecuación discreta

Donde x(n) es la señal de entrada y y(n) es la señal de salida. Solución

Figura 1.23 Diagrama de bloques de una ecuación discreta

A continuación se describen las propiedades fundamentales que se tienen en cuenta en los sistemas discretos. Memoria

Un sistema en tiempo discreto se denomina estático o sin memoria si su salida en cualquier instante n depende a lo sumo de la muestra de entrada en ese mismo instante, pero no de muestras pasadas o futuras de la entrada. En cualquier otro caso, se dice que el sistema es dinámico o con memoria. Es decir, su respuesta al impulso es la forma:

Los siguientes sistemas son sistemas sin memoria, ya que no se necesita de ninguna muestra pasada o futura para calcular la señal.

A diferencia de los siguientes sistemas que son sistemas dinámicos o con memoria ya que requieren de una muestra para calcular la salida actual.


Causalidad

Se dice que un sistema es causal si la salida del sistema en cualquier instante depende sólo de las entradas presentes y pasadas de la señal de entrada (por ejemplo, x(n), X(n-1), x(n-2)...); pero no de las muestras futuras de la señal (por ejemplo, x(n+1), X(n+2), x(n+3)...). Si un sistema no satisface esta condición se dice que el sistema es no causal. Los siguientes sistemas son sistemas causales, ya que la salida depende sólo de las entradas presentes y pasadas de la señal.

A diferencia de los siguientes sistemas que son sistemas no causales ya que requieren de una muestra futura de la señal.

Para un sistema causal se ha de cumplir que: h(n) = 0, Para todo n < 0 Estabilidad

Un sistema arbitrario en reposo se dice de entrada acotada-salida acotada (BIBO, bounded input_ bounded output), si y sólo si toda entrada acotada produce una salida acotada. El acotamiento de las secuencias de entrada x(n), para obtener una señal de salida y(n); produce la existencia de un par de números finitos Mx y My, tales que:

para todo n. Si la secuencia de entrada x(n) produce una salida no acotada (es decir, infinita), el sistema se clasifica como inestable.


Lección 5: RESPUESTA IMPULSO Si se tiene una señal de entrada x(n), esta se puede expresar como la suma de impulsos unitarios. Es decir,

Donde k representa el atraso del impulso unitario. Ejemplo: una secuencia de duración finita x(n) está dada por

Exprese esta señal como la suma ponderada de impulsos unitarios Solución: Para desarrollar este ejercicio lo primero que se realiza es graficar la secuencia, ubicando el cero en el valor que indica la flecha así: Función original x(n) 3

2.5

Amplitud

2

1.5

1

0.5

0 -1

-0.5

0

0.5 n

1

1.5

Figura 1.24 Gráfica de la función x(n) = {2, 3, 0,1}

2


Se puede observar que n = -1, 0,1, 2. Para n = 1, la secuencia x(n) tiene valor de cero. Por tanto, sólo se requiere tres impulsos en los puntos k =-1, 0, 2. Por tanto, x(n) se expresa como:

x(n) 2(n 1) 3(n) 1(n 2) Ejemplo: Supóngase un sistema discreto lineal, que es excitado con la función impulso (k), y cuya salida es la respuesta al impulso h(k), tal como el de la figura 1.25. Si ese mismo sistema se excita con la función impulso, retrasada en 1, la salida debe ser la misma respuesta al impulso retrasada en 1, así como se muestra en la figura 1.26 debido a que el sistema es invariante en el tiempo. Respuesta al impulso h(k)

0.9

1.5

0.8

1

0.7

0.5

0.6

0

Amplitud

2

0.5

-0.5

0.4

-1

0.3

-1.5

0.2

-2

0.1

-2.5

0 -2

-1.5

-1

-0.5

0 n

0.5

1

1.5

-3 -2

2

-1.5

-1

-0.5

0 n

0.5

1

1.5

2

Figura 1.25 a) Función impulso unitario, b) Respuesta al impulso, h (k)

Respuesta al impulso h(k-1)

Función impulso unitario d(k-1) 1

2

0.9

1.5

0.8

1

0.7

0.5

0.6

0

Amplitud

Amplitud

Amplitud

Función impulso unitario d(k) 1

0.5

-0.5

0.4

-1

0.3

-1.5

0.2

-2

0.1

-2.5

0 -1

-0.5

0

0.5

1 n

1.5

2

2.5

3

-3 -1

-0.5

0

0.5

1 n

1.5

2

Figura 1.26 a) Función impulso unitario (k-1), b) Respuesta al impulso, h (k-1)

2.5

3


CAPITULO 2: TRANSFORMADA DE FOURIER

Lección 6: SERIES DE FOURIER La Transformada de Fourier se encarga de transformar una señal del dominio del tiempo, al dominio de la frecuencia, de donde se puede realizar su antitransformada y volver al dominio temporal. Un ejemplo de representación en frecuencia, puede ser cuando se observa un ecualizador de un equipo de sonido. Las barras que suben y bajan, indican las diferentes componentes frecuenciales de la señal sonora que se escuchan. Esto, se realiza a través de un proceso de integración que realiza precisamente la transformada de Fourier de la forma más rápida posible (FFT, o Fast Fourier Transform). El trabajo con la señal en frecuencia, no solo sirve como información, sino que se puede modificar, de forma que es ampliamente utilizada en filtros, procesado de la imagen y el sonido, comunicaciones (modulaciones, líneas de transmisión, etc.) y otro tipo de aplicaciones más curiosas: estadística, detección de fluctuaciones en los precios, análisis sismográfico, etc. Serie de Fourier para señales periódicas La Serie de Fourier busca poner cualquier función x (t) como un sumatorio de senos y cosenos, esto es, como un sumatorio de ejkw0t puesto que cualquier función senoidal se puede expresar en forma de exponencial compleja. Para una señal periódica definimos el desarrollo en serie de Fourier como:

De la anterior ecuación se puede observar que al variar los valores de k se tendría una función periódica de periodo:

Para determinar cuáles son los coeficientes del desarrollo en serie de Fourier se realiza:


Serie de Fourier para señales discretas periódicas La serie de Fourier discreta es una modificación de la serie de Fourier tradicional, pero sustituyendo las integrales por sumatorias de las muestras, y el periodo ahora en vez de ser T será N, siendo N un número entero, de forma que se define la serie de Fourier discreta como:

Se cumplirá ahora que x[n]= x [n + N], debido que N es el periodo fundamental. Para obtener los coeficientes del desarrollo en serie de Fourier se debe obtener ak de la siguiente forma:

Ejercicio: Determine el espectro de la señale X(n), la cual es periódica de periodo N= 4 y cuya secuencia se encuentra expresada como:


Se comienza a evaluar la función para k= 0, 1, 2,3. Para ello se tiene:


el módulo y la fase del espectro son

Recuerde que la fase se calcula como


Lección 7: TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER Introducción

La transformada discreta de Fourier es una herramienta matemática muy importante y se ha utilizado en diferentes campos como aplicaciones en óptica, acústica, física cuántica, teoría de sistemas, tratamiento de señales, reconocimiento de voz, probabilística, sistemas de comunicaciones, etc. La transformada de Fourier se emplea con señales aperiódicas a diferencia de la Serie de Fourier. Las condiciones para poder obtener la transformada de Fourier son (Condiciones de Dirichlet):  La señal debe ser integrable, es decir:

 Debe presentar un número máximo de discontinuidades. La transformada de Fourier es una particularización de la transformada de Laplace con S=jw (siendo w=2*pi*f), y se define así:

De igual forma, se puede definir su antitransformada así:

A partir del desplazamiento de la función impulso y sabiendo que

Y además, que la transformada de Fourier tiene la propiedad de dualidad:


Se obtiene que:

Por tanto, se puede calcular la transformada de Fourier de cualquier señal periódica x(t) de potencia media finita, de la siguiente forma

Ya que

Luego para una x (t) periódica se cumple que:


Lección 8: PROPIEDADES DE LA DFT La DFT presenta las siguientes propiedades Linealidad X3(n) = ax1(n)+bx2(n), X3(k) = aX1 (k)+bX2 (k) Si long [x1(n)]=N1 y long [x2(n)]=N2 Entonces long[x3(n)]=max{N1,N2} Periodicidad x(n) y X(k) son periódicas con período N. Simetría Si x(n) <--->X(k) entonces x*(n) <--->X*(-k)=X*(N-k) Para señales REALES: x(n)=x*(n) y X(k)=X*(N-k) Re[X(k)] es una función par Im[X(k)] es una función impar |X(k)| es una función par Fase[X(k)] es una función impar


Lección 9: CORRELACIÓN DE SEÑALES EN TIEMPO DISCRETO Introducción La correlación es una operación matemática que permite cuantificar el grado de similitud entre dos señales aunque no haya evidencia de parentesco entre ellas. En la descripción y análisis de señales la correlación se utiliza en múltiples aplicaciones como: la geología, la economía, la estimación de retardos en sonar y radar, la sincronización en comunicaciones digitales, reconocimiento de patrones de voz e imágenes, el análisis de entornos acústicos, el análisis de imágenes satelitales, etc. Correlación La correlación de dos funciones reales es una operación de similares características a la convolución con la salvedad de que no se girará alrededor del origen los valores de una de las funciones. La expresión matemática para esta operación es:

Bajo las mismas condiciones que se establecen en la convolución en el caso discreto, la expresión de la correlación de funciones discretas reales es

para

De manera similar se pueden transcribir las expresiones de la correlación en el caso bidimensional. De forma paralela a como existe un teorema de convolución ahora podemos enunciar un Teorema de Correlación, que nos dice como se calcula la correlación entre dos funciones a partir de las TF de dichas funciones. El teorema establece que la TF de la correlación entre dos funciones es igual al producto de la Transformada Fourier conjugada de una de ellas por la otra. Es decir,


Al igual que la convolución, la correlación es una operación básica del procesamiento de imágenes digitales. La correlación es la operación básica en los procesos de búsqueda de patrones por emparejamiento. Por tanto, disponer de algoritmos que calculen de una forma eficiente estas operaciones es del mayor interés. Cuando la operación de correlación se realiza entre dos secuencias X y Y, la correlación recibirá el nombre de correlación cruzada. Cuando la correlación se realiza entre la misma secuencia, es decir, cuando x(n)=y(n), la correlación se denomina autocorrelación. A continuación se describirá dos ejemplos relacionados con la correlación cruzada y la autocorrelación de secuencias. Ejemplo: Determine la correlación cruzada xxy (l) de la secuencias

En la primera parte se realiza las gráficas de las funciones:


Figura 2.1 Señales para correlacionar x(n), y(n)


Solución. Aplicando el concepto para l = 0

La secuencia producto de esta operación es:

dando como resultado

La suma para todos los valores de n es

Figura 2.2 Correlacionar r xy (0)

Para así, obtener la primera respuesta en l=0.


Para l<0, desplazamos y(n) hacia la izquierda con relación a x(n) l muestras, calculamos la secuencia producto vl(n)= x(n) y (n-l), y sumamos todos los valores de dicha secuencia producto. Así los v se obtendrán los valores de correlación cruzada.


Por tanto la correlación cruzada entre x(n) e y(n) es

Como se puede observar el cero de la función está representada en el valor de 7, que fue el primer valor calculado para l=0. Aplicando los mismos conceptos de la correlación se puede determinar la autocorrelación de una señal. Ejemplo: Determine la Autocorrelación xxx (l) de la secuencia

En la primera parte se realiza la gráfica de la función. Es de recordar que para la autocorrelación es la función x(n) la que se auto multiplica y desplaza. Así:


Figura 2.3 Señales para autocorrelacionar x(n), x1(n)

Realizando las operaciones en l=0 tenemos

Al realizar los desplazamientos de la función x1(n) se tiene:

Los resultados de la autocorrelación son mostrados a continuación


Figura 2.4 Función autocorrelación r xx


Lección 10: CORRELACIÓN CON AYUDA COMPUTACIONAL MATLAB dispone de dos funciones para el cálculo de convoluciones y correlaciones. 

>> y = conv(x,h) o Hace la convolución de los vectores x y h. El vector resultante y tiene un tamaño igual a length(x)+length(h)-1



>> rxy = xcorr(x,y) o Hace la correlación de los vectores de M elementos x e y. Devuelve un vector de 2M-1 elementos.



>> rxx = xcorr(x) o Hace la autocorrelación del vector x de M elementos. Devuelve un vector de 2M-1 elementos.

El comando “xcorr” calcula la secuencia de correlación cruzada de un proceso aleatorio. Autocorrelación se trata como un caso especial. La verdadera correlación cruzada secuencia es

donde xn y yn son procesos aleatorios conjuntamente estacionarios, - ∞ < n < ∞ y E {·} es el operador valor esperado. xcorr debe estimar la secuencia, ya que, en la práctica, sólo un segmento finito de una realización del proceso aleatorio de longitud infinita está disponible. c = xcorr (x, y) devuelve la secuencia de correlación cruzada en una longitud de 2 * N-1 vector, donde x e y son vectores de longitud N (N> 1). Si x e y no tienen la misma longitud, el vector más corto es rellenado con ceros a la longitud del vector más largo. Por defecto, xcorr calcula las correlaciones primas sin normalización.


El vector de salida c tiene elementos propuestos por c (m) = Rxy (m-N), m = 1, ..., 2N-1. En general, la función de correlación requiere la normalización para producir una estimación precisa (véase más adelante). c = xcorr (x) es la secuencia de autocorrelación para el vector x. Si x es una matriz N por P, C es una matriz con 2N-1 filas cuyos P2 columnas contienen las secuencias de correlación cruzada para todas las combinaciones de las columnas de xcorr produce correlaciones idénticamente igual a 1,0 en cero lag sólo cuando se realiza una autocorrelación y sólo cuando se establece el "coeficiente" opción. Por ejemplo, x=0:0.01:10; X = sin(x); [r,lags]=xcorr(X,'coeff'); max(r) c = xcorr (x, y, 'option') especifica una opción de normalización para la correlación cruzada, donde 'opción' es

 'biased': Biased estimate of the cross-correlation function

 'unbiased': Unbiased estimate of the cross-correlation function


 'coeff': Normalizes the sequence so the autocorrelations at zero lag are identically 1.0.

Ejemplos

La primera aplicación de la autocorrelación de una señal es determinar las posibles repeticiones de patrones en la señal. Para comprobar este punto se va a generar una sinusoide de frecuencia igual a 100 Hz con amplitud uno y muestreada a 1 kHz (consideremos una secuencia de 100 puntos). Determine la autocorrelación de esta señal normalizada a uno y represéntela junto a la secuencia.

El programa en Matlab que implementa lo que nos piden es: %Generación de la señal n = 0:99; x = cos (2*pi*n*0.1); %Cálculo de la autocorrelación normalizada y = xcorr(x,'coeff'); %Representación de las dos señales subplot(221), stem(x,'k'), title('(a)') subplot(222), plot(x,'k'), title('(b)') subplot(223), stem(y,'k'),title('(c)') subplot(224), plot(y,'k'), title('(d)')


CAPITULO 3: TRANSFORMADA Z

Lección 11: TRANSFORMADA Z BILATERAL DIRECTA La transformada z es a los sistemas en tiempo discreto lo que la transformada de Laplace es a los sistemas en tiempo continuo. Ambas representan herramientas para el análisis de ciertas propiedades de las señales, que en el dominio del tiempo sólo pueden ser evaluadas con mayor dificultad: la convolución es transformada otra vez en un producto, y las ecuaciones de diferencias, que son el equivalente discreto de las ecuaciones diferenciales, pueden ser solucionadas de forma más sencilla en el dominio de la frecuencia compleja que en el dominio del tiempo discreto. Tómese ahora la representación transformada de Laplace es

de

una

señal

muestreada,

su

Si se define z = esT y considerando que x(n) = xa (nT) se obtiene

que es la definición de la transformada z bilateral para la secuencia discreta x(n), que considera tanto valores positivos como negativos de n. La relación entre la secuencia discreta x(n) y su representación X(z) en el dominio z se denota como:

Como la transformada z es una serie infinita de potencias, ésta existe solo para los valores de z en que la serie converge. La región de convergencia (ROC, región of convergence) de X (z) es entonces el conjunto de valores de z para los que X (z) es finita.


Nótese que la sustitución de variable z = esT puede interpretarse como un mapeo conforme del plano al plano complejo z. Debido a que

entonces una línea vertical en el plano s, para la cual es constante, es transformada en un círculo de radio . Se deduce que una banda vertical entre es transformada en un anillo delimitado por un círculo interno de radio y un círculo externo de radio . Puesto que X (z) corresponde a una transformada de Laplace cuya ROC es alguna banda vertical en el plano s, se concluye que las regiones de convergencia de la transformada z equivalen a anillos (de posible extensión infinita) en el plano z. Si la señal es derecha, entonces la ROC sería según lo anterior el exterior de un círculo. Si la señal es izquierda, sería el interior de un círculo. Al igual que con la transformada bilateral de Laplace, cuando se haga referencia a la transformada z de una señal discreta x(n) debe también incluirse su ROC. Ejemplo: Calcule la transformada z de:

Solución:

La ROC de señales finitas es todo el plano z excepto z = 0 y/o z =

Ejemplo: Determine la transformada z de:

.


Solución:

Si se expresa z en su forma polar

, con r = |z| y

entonces:

Dentro de la ROC de X (z), |X (z)| < 1, por lo que:

es decir, si x(n)r−n es absolutamente sumable entonces |X(z)| es finita. Para encontrar la ROC se debe entonces encontrar el rango de valores de r para los que la secuencia x(n)r−n es absolutamente sumable. Ahora bien, la ecuación anterior puede reescribirse como:

y ambas sumatorias deben converger si |X(z)| ha de ser finito. Para la primera suma deben existir valores de r suficientemente pequeños para que x(−n)rn sea absolutamente sumable (r < r1) como se aprecia en la siguiente figura.

Figura 3.1 Representación gráfica de la ROC para r suficientemente pequeños


Lección 12: PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA Z BILATERAL Linealidad Si

, entonces

Figura 3.2 Propiedades de la Transformada Z bilateral


Tabla 3.1 Transformada z bilateral de algunas funciones comunes Ejemplo: Determine la transformada z de x(n) = [3(2n) − 4(3n)] u(n). Solución: Si x1(n) = 2nu(n) y x2(n) = 3nu(n), entonces x(n) = 3x1(n) − 4x2(n) Se conoce que:

con lo que se obtiene:


y la transformada de x(n) es:

Nótese que la ROC final debe ser al menos la intersección de las dos ROC individuales. Desplazamiento en el tiempo

La ROC de z−kX(z) es la misma de X(z) excepto z = 0 si k > 0 y z = 1 si k < 0. Esto se demuestra fácilmente con un cambio de variable del índice de la suma:

y con m = n − k

Ya que el coeficiente de z−n es el valor de la muestra en el instante n, se aprecia que retrasar una señal en k muestras (k > 0) es equivalente a multiplicar todos los términos de la transformada z por z−k. Escalado en el dominio z

Ejemplo: Determine la transformada z de la señal Solución: Con la identidad de Euler se obtiene primero que:


y con transformación:

se obtiene con

y la linealidad de la

Por lo que

Conjugación Si x(n) tiene como transformada z a X (z) con ROC R entonces

Esto se demuestra utilizando las propiedades de conjugación:

De lo anterior se deduce que si x(n) es real, entonces , lo que implica que si X(z) tiene un polo o cero en z = z0, también lo tendrá en . En otras palabras, los polos y ceros aparecen como pares complejos conjugados en


la transformada z de secuencias reales x(n). Obsérvese que la relación para funciones reales indica que si se hace un corte paralelo al eje Im{z} de la superficie correspondiente a |X(z)|, entonces la función en ese corte presenta simetría par. Por otro lado, la fase tiene un comportamiento impar en los cortes paralelos al eje Im{z}.

Inversión temporal

Demostración:

Ejemplo: Determine la transformada z de u(−n). Solución: Puesto que

Entonces


Lección 13: TRANSFORMADA Z INVERSA Definición El procedimiento de encontrar la señal en el dominio del tiempo correspondiente a la expresión algebraica en el dominio z para una determinada región de convergencia se denomina transformada z inversa. Utilizando el teorema integral de Cauchy y la fórmula integral de Cauchy se demuestra que se cumple:

para un contorno de integración C que rodea al origen. A partir de la definición de la transformada z para una señal de variable discreta x(k)

se obtiene multiplicando ambos lados por zn−1, e integrando en un contorno cerrado que contiene al origen, y que está dentro de la ROC:

Como la serie converge dentro de C, la integral y la sumatoria pueden ser intercambiadas:

que con el resultado anterior sólo es diferente de cero para k = n, es decir:

Ejemplo: Encuentre la transformada z inversa de la expresión


si se sabe que la señal correspondiente es causal.

Solución: Aplicando las ecuaciones obtenidas se tiene

Como C debe estar dentro de la ROC, y la señal es causal, entonces se escoge una circunferencia de radio mayor que Para n > 0 se tiene un cero de orden n en z = 0, o ningún cero cuando n = 0, y en ambos casos hay un polo en En estos casos se puede aplicar la fórmula integral de Cauchy para obtener directamente

Para n < 0 la función f(z) tiene un polo de orden n en z = 0, que también está dentro de C, por lo que dos polos z1 = 0 y z2 = a contribuyen al valor de la integral. Con n = −1:

Con n = −2:

Esto se puede repetir para todo n < −2 resultando en x(n) = 0. Por tanto, resumiendo ambos casos en una ecuación se obtiene: x(n) = an u(n)


Lección 14: TRANSFORMADA Z UNILATERAL, DEFINICIÓN Y PROPIEDADES La transformada z unilateral se define como:

y la relación se denota como La transformada z unilateral y la bilateral se diferencian en el límite inferior de la sumatoria, y presenta por lo tanto las siguientes características: 1. No contiene información sobre la señal x(n) para los valores negativos de n. 2. Es única sólo para señales causales, puesto que éstas son las únicas señales que son cero para n < 0. 3. Puesto que x(n)u(n) es causal, la ROC de su transformada X(z) es siempre exterior a un círculo. Por lo tanto, cuando se trate con transformada z unilateral, no es necesario referirse a su región de convergencia. Ejemplo: Determine la transformada z unilateral de:

Nótese que la transformada z unilateral no es única para señales con componentes anticausales diferentes (por ejemplo X2(z) = X3(z), aun cuando Para señales anticausales, X(z) siempre será cero.


Las propiedades de esta transformada son similares a las de la transformada z bilateral, pero el desplazamiento merece especial atención.

Retardo temporal Si

, entonces

para k > 0. Si x(n) es causal entonces x(n − k) = z−kX(z). Demostración:

Nótese que si se desplaza x(n) hacia la derecha entonces aparecen k nuevas muestras que deben considerarse. Adelanto temporal Si

, entonces

para k > 0. Demostración:

Nótese que si la señal se desplaza a la izquierda, entonces k muestras de la transformada X(z) deben desaparecer.


Ejemplo: Calcule la transformada z unilateral de: 1. x(n) = an. 2. x2(n) = x(n − 2). 3. x3(n) = x(n + 2). Solución: 1. Se cumple 2.

3.

La propiedad de desplazamiento de la transformada z unilateral se utiliza en la solución de ecuaciones de diferencias con coeficientes constantes y condiciones iniciales no nulas.

Teorema del valor final Se tiene que:

y además:

con lo que se tiene:


con lo que se deduce:

y aplicando el límite cuando z tiende a 1 a ambos lados se obtiene: lo que se conoce como teorema del valor final. En la demostración se ha asumido que la ROC de (z − 1) X(z) incluye a |z| = 1. Este teorema se utiliza para calcular el valor asintótico de la señal x(n) cuando n tiende a infinito, si se conoce X(z) pero no x(n). Ejemplo: Determine la respuesta del sistema con respuesta impulsional h(n) = anu(n), |a| < 1, ante un escalón unitario, cuando Solución: La salida del sistema ante la entrada dada se calcula en el dominio z como:


Lección 15: RESPUESTA NATURAL Y FORZADA Las propiedades de desplazamiento en el tiempo de la transformada z unilateral permiten evaluar el comportamiento de un sistema cuando las condiciones iniciales no son nulas. En general, si se asume que el sistema está en reposo, es decir, si se asume que todas las condiciones iniciales del sistema son nulas, entonces la respuesta y(n) del sistema ante la entrada causal x(n) se conoce como respuesta forzada del sistema. Si por otro lado la entrada x(n) es nula, pero el sistema tiene condiciones iniciales no nulas, entonces a la reacción del sistema a partir de la muestra cero y(n) se le conoce como respuesta natural del sistema. La respuesta total del sistema es entonces aquella conformada por las respuestas natural y forzada. El siguiente ejemplo ilustra estos conceptos. Ejemplo: Un sistema LTI en tiempo discreto está descrito por la ecuación de diferencias:

Encuentre la respuesta natural del sistema ante las condiciones iniciales y (−1) = 0 y y (−2) = −4, y la respuesta forzada del sistema ante un escalón unitario. Solución: Aplicando la transformada z unilateral, sus propiedades de retraso en el tiempo, y considerando que la entrada x(n) es causal, se cumple:

Obsérvese que ambas componentes, la natural y la forzada, comparten los mismos polos, y determinan así la forma de las señales en cuanto a atenuación/amplificación exponenciales y la frecuencia de las componentes


oscilatorias. Los ceros serán responsables de la fase y amplitud de las señales resultantes. La respuesta natural del sistema se obtiene haciendo X (z) = 0:

y con las condiciones iniciales dadas

y por lo tanto

La respuesta forzada ante un escalón unitario estará dada por la transformada z inversa de

El cero en 1 se cancela con el polo en el mismo sitio. El lector puede demostrar por descomposición en fracciones parciales que: expresión se puede reescribir como:

que corresponde a la señal


ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN DE LA UNIDAD 1 1. Mencione las principales ventajas y desventajas de los sistemas DSP. 2. ¿Qué es el Teorema del muestreo? Proponga un ejemplo. 3. Proponga un código en un lenguaje de programación adecuada para generar una señal impulso unitario. 4. ¿Qué es un sistema LTI? 5. ¿Cuáles son las propiedades de los sistemas discretos? 6. Proponga un ejercicio de aplicación donde se muestre la respuesta impulso. 7. ¿Para qué se utilizan las Series de Fourier en este curso? 8. Mencione las propiedades de la DFT. 9. ¿En qué campos de la ciencia se puede aplicar la correlación cruzada? 10. ¿Qué es la Transformada Z? muestre su importancia en el Procesamiento Digital de Señales


FUENTES DOCUMENTALES DE LA UNIDAD 1 DOCUMENTOS IMPRESOS D. K. LINDNER. Introduction to Signals and Systems, McGraw Hill, 1999. F. J. TAYLOR. Principles of Signals and Systems. McGraw Hill, 1a Ed. 1994 MITRA, S. Procesamiento de Señales Digitales. McGraw-Hill, 2007. M. S. RODEN. Analog and Digital Communication Systems. Prentice Hall, 4a Ed. 1996 OPPENHEIM, A. y SCHAFER, R. Tratamiento de señales en tiempo discreto. Madrid: Prentice Hall – Pearson Education, 2000. PROAKIS, J. G. y MANOLAKIS, D.G.Tratamiento Digital de Señales. Principios, algoritmos y aplicaciones. España: Prentice Hall., 2000. SOLIMAN, S. S. y SRINATHMS, D. Señales y Sistemas Continuos y Discretos. España: Prentice Hall, 1999.

DIRECCIONES DE SITIOS WEB Procesamiento Digital de Señales con Matlab http://es.scribd.com/doc/46935329/PROCESAMIENTO-DIGITAL-DESENALES-CON-MATLAB http://www.iit.upcomillas.es/palacios/dip/


UNIDAD 2

DISEÑO DE FILTROS DIGITALES

Nombre de la Unidad

Introducción

Justificación

La Unidad 2 trata en primer lugar, las consideraciones generales al diseño de filtros digitales, las características de los filtros, así como los conceptos básicos y el diseño de Filtros IIR y FIR. Al finalizar cada capítulo se presentar ejemplos de desarrollo de estos filtros mediante medios computacionales. La tendencia actual es la migración de la tecnología analógica a la digital, en nuestro caso el filtrado digital ofrece varias ventajas con respecto a los filtrados analógicos: 



El ancho de banda de un filtro digital está limitado por la frecuencia de muestreo, mientras que en un filtro analógico, este parámetro depende de las características de los componentes físicos.

Se pueden implementar tanto en software como en hardware. El estudiante asimilará los aspectos fundamentales en el Intencionalidades diseño de filtros digitales, conocerá las bases teóricas para el diseño de filtros IIR y FIR, aplicará el uso de herramientas Formativas computacionales para el diseño de filtros digitales. Denominación de • Capítulo 4: Diseño de filtros digitales Capítulos • Capítulo 5: Filtros digitales IIR • Capítulo 6: Filtros FIR


INTRODUCCIÓN

El filtro digital se emplea en el procesado de señales para la eliminación de las partes no deseadas de la misma, las cuales pueden ser la disminución de ruido o la eliminación de alguna frecuencia determinada. Los filtros pueden ser analógicos o digitales. En los filtros analógicos se emplean componentes discretos tales como condensadores, resistencias, condensadores, amplificadores operacionales, etc. Un filtro digital emplea un procesador digital que efectúa operaciones matemáticas en valores muestreados. En general el proceso de filtrado consiste en el muestreo digital de la señal de entrada, el procesamiento considerando el valor actual de entrada y considerando las entradas anteriores. El último paso es la reconstrucción de la señal de salida. En general la mecánica del procesamiento es:  Tomar las muestras actuales y algunas muestras anteriores (que previamente habían sido almacenadas) para multiplicadas por unos coeficientes definidos.  También se podría tomar valores de la salida en instantes pasados y multiplicarlos por otros coeficientes.  Finalmente todos los resultados de todas estas multiplicaciones son sumados, dando una salida para el instante actual.


CAPITULO 4: DISEÑO DE FILTROS DIGITALES

Lección 16: CONSIDERACIONES GENERALES

Para proceder al diseño de un filtro digital se realizan los siguientes pasos:  Se especifica la característica deseada en el dominio de la frecuencia.  Se elige el tipo de filtro (FIR o IIR) dependiendo de la naturaleza del problema y de las características en frecuencia deseadas: Filtros FIR Se usan donde se desea desfase lineal con la frecuencia, Sin embargo si no es esto lo que se desea, entonces se puede usar un FIR o un IIR. Filtros IIR Este tipo de filtros tiene lóbulos laterales menores en la banda de rechazo que los FIR y se prefieren porque involucran menos parámetros, menos memoria y menor complejidad computacional.  Se determinan los coeficientes del filtro que aproximan las especificaciones de respuesta en frecuencia.  Se escoge la estructura adecuada que tenga en cuenta lo siguiente:    

Efectos de cuantificación (Longitud finita de palabra). Complejidad computacional. Requisitos de memoria. Tipo de aritmética.

En los apartes que siguen se muestra por qué un filtro ideal, a pesar de tener una respuesta en frecuencia deseable no puede realizarse físicamente.


Lección 17: CAUSALIDAD Y SUS IMPLICACIONES

Sea un filtro ideal pasabajo con una respuesta en frecuencia dada por:

Su correspondiente respuesta al impulso está dada por:

Este filtro es no causal y por tanto no realizable, además requiere infinitos coeficientes y posiciones de memoria. A continuación, basados en el teorema de Paley-Wiener se plantean las condiciones necesarias y suficientes para que una respuesta en frecuencia dada H (w) produzca un filtro causal.


Lección 18: TEOREMA DE PALEY WIENER Si h(n) tiene energía finita y h(n) = 0 para n < 0, entonces:

Recíprocamente, si H (w) es cuadráticamente integrable y si la integral previa es finita, entonces se puede asociar a H (w) una respuesta en fase q (w) tal que el filtro con respuesta en frecuencia:

es causal. De este teorema se puede concluir que H (w) puede ser cero en algunas frecuencias pero no en un intervalo de frecuencias y también que cualquier filtro ideal es no causal. Por otro lado se puede probar que hay una fuerte dependencia entre H R (w) y HI (w) o de manera equivalente, entre la magnitud y la fase y por lo tantos éstas no se pueden especificar independientemente. Sea:

De tal manera que si h(n) es causal:


Pero,

Luego,

Entonces:

Además,

Como ho (0) = 0 no se puede recuperar h (0) de ho (n) y por tanto se debe conocer también h (0). De lo anterior se concluye que ho(n) = he(n) para n ≥ 1 o sea, hay una fuerte relación entre ho (n) y he (n). Si h(n) es absolutamente sumable, existe la correspondiente respuesta en frecuencia dada por: H(w ) = HR (w ) + jHI (w ) Si se supone que h(n) es real y causal, se tiene que:

Y por lo tanto, puesto que h(n) está completamente especificado por h e (n), entonces H (w) se determina completamente por HR (w) o, de igual forma, H (w) se especifica completamente por HI (w) y h (0), en conclusión, HR (w) y HI (w) o la magnitud y la fase de H (w) no se pueden especificar independientemente si el sistema es causal.


Lección 19: RELACIÓN ENTRE PARTE REAL E IMAGINARIA DE LA RESPUESTA EN FRECUENCIA

A continuación se muestra la relación entre la parte real e imaginaria de la respuesta en frecuencia de un sistema con h(n) real, causal y absolutamente sumable:

En donde,

Remplazando en la ecuación para H (w) se tiene:

la cual se denomina Transformada de Hilbert Discreta de HR (w). En resumen: · H(w) no puede ser cero, excepto en un conjunto finito de frecuencias. · Las componentes HR (w) y HI (w) no son independientes. · La magnitud y la fase de H(w) no se pueden elegir arbitrariamente. · La magnitud de H(w) no puede ser constante en ningún rango finito de frecuencias. · La transición de la banda de paso a la banda de rechazo no puede ser infinitamente abrupta.


Las dos últimas conclusiones se deben al fenómeno de Gibbs porque se debe recortar la respuesta al impulso para lograr causalidad. En los métodos de diseño de filtros que se propondrán posteriormente se trabajará sobre sistemas LTI especificados por la ecuación:

que son causales y físicamente realizables y que tienen una respuesta en frecuencia dada por:

El problema del diseño consiste en seleccionar los {ak} y {bk} tal que se aproxime la respuesta en frecuencia H(w ) deseada.


Lección 20: CARACTERÍSTICAS DE FILTROS PRÁCTICOS Las características de un filtro ideal son deseables pero no son absolutamente necesarias y se pueden aproximar tanto como se desee. Normalmente se tolera un pequeño rizado en la banda de paso y un valor pequeño distinto de cero en la de rechazo, como se muestra en la figura 4.1.

Figura 4.1 Características generales de un filtro pasabajas

En esta figura: 

El rizado en la banda de paso es decibelios,



La anchura de banda es

 

La banda de transición está dada por El rizado en la banda de rechazo es decibelios.

o expresado en

expresado en

En el proceso de diseño se especifican:    

El máximo rizado tolerable en la banda de paso: . El máximo rizado tolerable en la banda de rechazo: La frecuencia de corte: La frecuencia de rechazo:

.

Por último se calculan los {ak} y {bk} en H(w) que mejor aproximen estas especificaciones, lo cual depende del criterio usado en la selección de los coeficientes así como de su número (M, N).


CAPITULO 5: FILTROS DIGITALES IIR

Lección 21: TERMINOLOGÍA Y CLASIFICACIÓN

Hay varios tipos de filtros así como distintas clasificaciones para estos filtros: De acuerdo con la parte del espectro que dejan pasar y que atenúan hay: • Filtros pasa alto. • Filtros pasa bajo. • Filtros pasa banda. · Banda eliminada. · Multibanda. · Pasa todo. · Resonador. · Oscilador. · Filtro peine (Comb filter). · Filtro ranura o filtro rechaza banda (Notch filter). ·

De acuerdo con su orden:  

Primer orden Segundo orden, etc.

De acuerdo con el tipo de respuesta ante entrada unitaria:   

FIR (Finite Impulse Response) IIR (Infinite Impulse Response) TIIR (Truncated Infinite Impulse Response)

De acuerdo con la estructura con que se implementa:   

Laticce Varios en cascada Varios en paralelo

En el presente curso nos centraremos en los filtros de acuerdo con el tipo de respuesta ante la entrada unitaria o impulso unitario. IIR es una sigla en inglés que representa Infinite Impulse Response o Respuesta infinita al impulso. Se trata de un tipo de filtros digitales en el que, como su nombre


indica, si la entrada es una señal impulso, la salida tendrá un número infinito de términos no nulos, es decir, nunca vuelve al reposo. La salida de los filtros IIR depende de las entradas actuales y pasadas, y además de las salidas en instantes anteriores. Esto se consigue mediante el uso de realimentación de la salida.

Donde a y b son los coeficientes del filtro. El orden es el máximo entre los valores de M y N. Aplicando la transformada Z a la expresión anterior:

Hay numerosas formas de implementar los filtros IIR. La estructura afecta a las características finales que presentará el filtro como la estabilidad. Otros parámetros a tener en cuenta a la hora de elegir una estructura es el gasto computacional que presenta. En la figura 5.1 se representa el modelo de una estructura de un filtro IIR.

Figura 5.1 Estructura de un filtro IIR


Polos y ceros Este tipo de filtros presenta polos y ceros que determinan la estabilidad y la causalidad del sistema. Cuando todos los ceros están en el interior de la circunferencia unidad se dice que es fase mínima. Si todos están en el exterior es fase máxima. Si algún polo está fuera de la circunferencia unidad el sistema es inestable. Diseño de filtros IIR Las formas habituales de diseñar este tipo de filtros son:  Indirecta (a partir de prototipos analógicos) · Impulso invariante · Aproximación de derivadas · Transformación bilineal ·

 Directa · · ·

Aproximación de Padé Aproximación de mínimos cuadrados Características


Lección 22: DISEÑO DE FILTROS IIR DISEÑO DE FILTROS IIR MEDIANTE LA TRANSFORMACIÓN BILINEAL Existen diversos métodos, tales como: A partir de filtros analógicos, mediante la aproximación en derivadas, mediante invarianza impulsional, sin embargo, los métodos anteriores sólo permiten diseñar filtros pasabajos y una clase restringida de filtros pasabanda; la solución a estas limitaciones la ofrece la transformación bilineal mapeando el eje jΩ en la circunferencia unidad en el plano z sólo una vez, con lo cual se evita el aliasing en frecuencia; esta transformación está relacionada con la fórmula trapezoidal utilizada para integración numérica y se explicará con el siguiente ejemplo:

El filtro analógico con una función de transferencia dada por:

Está caracterizado en el tiempo por una relación entrada-salida dada por la ecuación diferencial:

Si se integra la derivada se tiene:

La aproximación de esta integral mediante la fórmula trapezoidal en t = nT y t0 = nT – T está dada por:

La ecuación diferencial en t = nT queda así:


Con y(n) ≡ y (nT) y x(n) ≡ x (nT), y reemplazando, se tiene:

Se concluye de esta manera que la función de transferencia está dada en este caso por:

Comparando con la función de transferencia del filtro análogo se tiene, entonces, que:

A esta relación se le denomina la transformación bilineal y es igualmente válida para una ecuación diferencial de N-ésimo orden. Como, además:

Entonces:


Por tanto,

Se concluye que si:

O de forma equivalente,

Dicha relación puede apreciarse por medio de la figura 5.2:

Figura 5.2 Relación entre la frecuencia en el plano s y el plano z en la transformación bilineal


En esta figura se observa que:  El rango completo de frecuencias en tiempo continuo W se corresponde de forma unívoca con el rango en tiempo discreto w, sin embargo hay deformación en frecuencia.  Además, la transformación bilineal hace corresponder s = ∞ con z = -1. Normalmente el diseño de un filtro digital empieza con especificaciones en frecuencia en el dominio digital que implica a w, las cuales se convierten al dominio analógico por medio de la transformación Ω = (2 / T) tan (w / 2), luego se diseña el filtro analógico y se convierte a un filtro digital por medio de la transformación bilineal. En este proceso T es transparente y se puede poner en cualquier valor, por ejemplo 1. De manera similar al método anterior, Matlab cuenta con la función bilinear que permite trasformar un filtro análogo en uno digital usando la transformación bilineal. Se puede consultar el help de este programa y ejecutar la búsqueda para el comando “bilinear”

Ejemplo: Convierta el filtro analógico con función de transferencia

En un filtro IIR digital por medio de la transformación bilineal. El filtro digital tiene que tener una frecuencia resonante wr = π/2. Solución: · Calculo de la respuesta en frecuencia del filtro análogo: num = [ 1.0000 0.1000] den = [ 1.0000 0.2000 16.0100] freqs (num, den)


Figura 5.3 Respuesta en frecuencia del filtro análogo del ejemplo

Como se observa en la figura 200 el filtro análogo tiene una frecuencia de resonancia de 4 Hz. La transformación bilineal requiere que la frecuencia de muestreo sea Fs = 2 para que la frecuencia análoga Ωr = 4 y la digital wr = π/2 se cumplan ya que,

[B, A] = bilinear (num, den, 2) B = [0.1250 0.0061 - 0.1189] A = [1.0000 0.0006 0.9512] · Cálculo de la respuesta en frecuencia digital, ver figura 5.4: freqz (B, A)


Figura 5.4 Respuesta en frecuencia del filtro digital del ejemplo

Como se observa en la figura se ha logrado con la transformación bilineal la frecuencia resonante que se deseaba (wr = π/2 normalizado 1/2).


Lección 23: DISEÑO DE FILTROS IIR CON MATLAB Uno de los software más importantes a nivel del procesamiento de señales es el software MatLab, el cual permite brindarle información rápida y precisa de los sistemas diseñados tanto en forma análoga como en forma digital. Dentro de los trabajos desarrollados en el curso se explicarán los filtros más prácticos y de fácil implementación. Filtro Butterworth En Matlab se puede encontrar la instrucción Butter, este comando diseña filtros Butterwoth pasa-bajas, pasa-altas, pasa-bandas y rechaza bandas tanto en forma digital como analógica. Este filtro se caracteriza por una respuesta plana en la banda de transición. El parámetro del filtro esta descrito en MatLab de la siguiente forma [B,A] = butter(N,Wn) donde B y A son los coeficientes del numerador y del denominador respectivamente, en orden decreciente de un filtro de Butterworth digital. N es el orden del filtro (calculado previamente) y Wn es la frecuencia de corte. El valor de Wn debe estar normalizado con la frecuencia de Nyquist. Para diseñar un filtro pasobajas Wn es un escalar entre (0,1). La pasa banda es (0,Wn) y el rechaza banda es (Wn,1). Para diseñar un filtro de pasa-alto, el comando a escribir es: [B,A] = butter(N,Wn,’high’) en donde Wn es un escalar. Ejemplo: Diseñar un filtro butter de segundo orden con frecuencia de corte de 300Hz. Para este ejercicio implementamos en MatLab con las especificaciones anteriormente mostradas: [b,a]=butter (2,300/500,'high') Para conocer los valores de los coeficientes a y b, simplemente se colocan las variables en la barra de trabajo y se oprime enter. El software inmediatamente le mostrará los valores correspondientes a las variables.


b = 0.2066 -0.4131 0.2066 a = 1.0000 0.3695 0.1958 Como se puede observar el filtro generó en a y b los coeficientes del proceso de filtrado. Ahora es necesario representar este resultado en los componentes en magnitud y fase, como se describen a continuación. freqz (b,a,128,1000)

Figura 5.5 Respuesta filtro Butter pasaalta segundo orden

Como se puede observar que al llegar a 300Hz se encuentra el primer polo y se empieza a atenuar las frecuencias arriba de éste punto. De la misma forma en la gráfica de fase se puede ver que tiene una respuesta lineal. Realizando el mismo sistema cambiándolo a orden 10 tenemos [b,a]=butter (10,300/500,'high') b = Columns 1 through 7 0.0005 -0.0050 0.0225 -0.0599 0.1049 -0.1259 0.1049 Columns 8 through 11 -0.0599 0.0225 -0.0050 0.0005


a = Columns 1 through 7 1.0000 1.9924 3.0195 2.8185 2.0387 1.0545 0.4144 Columns 8 through 11 0

Figura 5.6 Respuesta filtro Butter pasaalta orden 10

Al compararlo con el ejercicio anterior se puede evidenciar que el polo del sistema se precisa a los 300 Hz a medida que el orden del filtro aumenta. Para analizar los filtros pasabanda y rechaza banda se analizara en primera instancia el filtro pasabanda. Se debe recordar que los filtros pasabanda tienen la característica de dejar pasar las frecuencias en la banda estipulada y rechazar las frecuencias que no se encuentren dentro de las especificadas. De igual forma, los filtros rechaza banda rechazan las frecuencias en la banda estipulada y permitirán pasar las otras frecuencias. A manera de ejemplo se pide diseñar por medio de software MatLab un filtro pasabanda con frecuencias entre los 100 y 200Hz, de orden cuatro. La nomenclatura del software le permite diseñar el butter de la siguiente forma: [B, A] = butter(N, [W1 W2]) Es decir, Wn es en este caso un vector que especifica las frecuencias de la banda pasante. También la respuesta del filtro variará de acuerdo a la aplicación en donde se requiera y el orden del filtro estipulado.


» n=4; » Wn= [100 200]/500; » [b,a]=butter(n,Wn,'bandpass'); » freqz (b,a,128,1000)

Figura 5.7 Respuesta filtro Butter pasabanda orden 4

Al observar la respuesta en magnitud y fase se evidencia que la respuesta plana del filtro se encuentra entre los 100 y 200Hz. Realicemos el mismo ejemplo para un filtro rechazabanda » n=4; » Wn=[100 200]/500; » [b,a]=butter(n,Wn,'stop'); » freqz (b,a,128,1000);


Figura 5.8 Respuesta filtro Butter rechazabanda orden 4

La respuesta plana del sistema nos indica la frecuencia que el filtro deja pasar.


Lección 24: FILTRO CHEBYSHEV Como pudo observarse para frecuencias de cercanas a las de corte la respuesta del filtro Butterworth no es aceptable, especialmente si el filtro es de orden bajo. Los filtros Chebyshev poseen mejor respuesta para este tipo de frecuencias pero presentan un rizado (RIPPLES) en la banda pasante, es decir, en la respuesta plana del filtro. En MatLab se encuentran el filtro Chebyshev de tipo I y II. El Chebyshev de tipo I presenta el rizado en la banda pasante y el Chebyshev de tipo II, presenta el rizado en la banda de rechazo. Ambos tipos se pueden implementar tanto en filtros Chebyshev análogos como digitales. Una de las características fundamentales del filtro tipo I es que la frecuencia de corte Wn (la cual es la frecuencia a la cual la respuesta de magnitud del filtro es igual a –Rp decibelios) oscila entre 0 y 1, donde 1 corresponde a la mitad de la frecuencia de muestreo (frecuencia de Nyquist). Si Wn es un vector de dos elementos el filtro se vuelve un filtro pasa banda de 2*n. Ejemplo: Para los datos muestreados a 1000Hz, diseñar un filtro Chevyshev tipo I paso baja de noveno orden con 0.5 dB de rizado en la banda pasante y frecuencia de corte de 300 Hz. % Programa que permite analizar el comportamiento del filtro Cheby [b,a] = cheby1(9,0.5,300/500); freqz(b,a,512,1000); Siguiendo la estructura dada por MatLab se obtiene la siguiente respuesta del filtro Cheby de tipo I.


Figura 5.9 Respuesta filtro Cheby tipo I

Analizando la respuesta del filtro se puede observar el comportamiento del filtro en la parte plana de la banda pasante y la atenuación que sufre a partir de la frecuencia de corte de 300 Hz. Ahora se diseñará un filtro Chebyshev tipo II pasabaja de noveno orden de atenuación de la banda de rechazo de 20dB por debajo de la banda pasante y frecuencia de corte de 300Hz, cuyos datos están muestreados a una frecuencia de 1000Hz. % Programa que permite analizar el comportamiento del filtro cheby2 [b,a] = cheby2(9,20,300/500); freqz(b,a,512,1000); Se puede observar los valores generados en b y a b = Columns 1 through 7 0.2957 1.6448 4.7316 8.9479 12.1138 12.1138 8.9479 Columns 8 through 10 4.7316 1.6448 0.2957


a = Columns 1 through 7 1.0 3.7380 8.0423 11.6797 12.3844 9.7817 5.7220 Columns 8 through 10 2.3861 0.6459 0.087x4

Figura 5.10 Respuesta filtro Cheby tipo II orden 9

Como se había mencionado anteriormente el filtro presente un rizado en la banda de rechazo de Rs decibelios por debajo del valor pico de la banda pasante. Ahora se realizará un diseño de un Cheby tipo II de banda pasante de quinto orden con banda pasante de 100 a 200 Hz y además se deberá dibujar la respuesta al impulso del filtro. % Programa que permite analizar el comportamiento del filtro cheby2 n=5; r=20; Wn=[100 200]/500 [b,a]= cheby2(n,r,Wn); freqz(b,a,512,1000);


Se sigue observando el rizado del filtro en las bandas de rechazo y se muestra los picos máximos y mínimos arrojados por él, los cuales están comprendidos en la banda pasante de 100 a 200 Hz. Para dibujar la respuesta al impulso del filtro se realiza a través del siguiente comando. [y,t] = impz(b,a,101); stem(t,y);

Figura 5.11 Respuesta impulso filtro Cheby tipo II orden 5


Lección 25: FILTROS ELÍPTICOS Los filtros elípticos tienen la propiedad de ofrecer características ‘rolloff’ más abruptas que los filtros Butterworth y Chebyshev, pero son equirrizados tanto en la banda pasante como en la banda de rechazo. Los filtros elípticos cumplen especificaciones de funcionamiento con un orden más bajo que cualquier otro filtro. Para datos muestreados a 1000 Hz, diseñar un filtro elíptico pasa bajos de sexto orden con una frecuencia de corte de 300 Hz, 3 dB de rizado en la banda pasante y 50 dB de rizado en la banda de rechazo. % Programa que permite analizar el comportamiento del filtro elíptico [b,a]= ellip(6,3,50,300/500); freqz(b,a,512,1000); n=12; Rp=0.5; Rs=20; Wn=[100 200]/500 [b,a]= ellip(n,Rp,Rs,Wn); [y,t]= impz(b,a,101); stem(t,y);

Figura 5.12 Respuesta filtro elíptico pasabajo orden 6


Figura 5.13 Respuesta impulso filtro elíptico pasabajo orden 6

Realicemos el mismo ejercicio para un filtro elíptico pasa altos de orden 12 con frecuencia de corte de 200 Hz. % Programa que permite analizar el comportamiento del filtro elíptico n=12; Rp=0.5; Rs=20; Wn=[200]/500 [b,a]= ellip(n,Rp,Rs,Wn,'high'); freqz(b,a,512,1000); figure [y,t]= impz(b,a,101); stem(t,y);


Figura 5.14 Respuesta filtro elíptico pasaalto orden 12

Figura 5.15 Respuesta impulso filtro elíptico pasaalto orden 12

La gráfica muestra una respuesta más plana en la banda pasante debido al aumento del orden del filtro.


Requerimientos y especificaciones de filtrado. El objetivo de diseño de un filtro es producir una alteración dependiente de la frecuencia sobre una secuencia de datos. Otras especificaciones más precisas marcan el rizado de la banda de paso (Rp), el rechazo a la banda atenuada (Rs) y la anchura de la banda de transición (Ws - Wp). Una de las ventajas de los filtros IIR es que al tener ceros y polos es necesario un menor número de coeficientes para realizar un determinado filtrado. Dentro de los inconvenientes encontramos que la presencia de polos puede producir inestabilidades, ellos no garantizan que la fase de su función de transferencia sea lineal y además, la implementación hardware es más compleja que en el caso de filtros FIR.


CAPITULO 6: FILTROS FIR

Lección 26: FILTROS DE RESPUESTA INFINITA FIR es un acrónimo en inglés para Finite Impulse Response o Respuesta finita al impulso. Se trata de un tipo de filtros digitales en el que, como su nombre indica, si la entrada es una señal impulso, la salida tendrá un número finito de términos no nulos. Para obtener la salida sólo se basan en entradas actuales y anteriores. Su expresión en el dominio n es:

En la expresión anterior N es el orden del filtro, que también coincide con el número de términos no nulos y con el número de coeficientes del filtro. Los coeficientes son bk. La salida también puede expresarse como la convolución de la señal de entrada x (n) con la respuesta impulsional h (n):

Aplicando la transformada Z a la expresión anterior:

Estructura La estructura básica de un FIR es:


Figura 6.1 Estructura de un filtro FIR http://es.wikipedia.org/wiki/FIR

En la figura 6.1 los términos h(n) son los coeficientes y los T son retardos. Pueden hacerse multitud de variaciones de esta estructura. Hacerlo como varios filtros en serie, en cascada, etc. Estos filtros tienen todos los polos en el origen, por lo que son estables. Los ceros se presentan en pares de recíprocos si el filtro se diseña para tener fase lineal Los filtros FIR tienen la gran ventaja de que pueden diseñarse para ser de fase lineal, lo cual hace que presenten ciertas propiedades en la simetría de los coeficientes. Este tipo de filtros tiene especial interés en aplicaciones de audio. Además son siempre estables. Diseño de filtros FIR Hay tres métodos básicos para diseñar este tipo de filtros: • Método de las ventanas. Las más habituales son:  Ventana rectangular  Ventana de Barlett  Ventana de Hanning  Ventana de Hamming  Ventana de Blackman  Ventana de Kaiser • Muestreo en frecuencia. • Rizado constante (Aproximación de Cheby y algoritmo de intercambio de Remez). • Mínimos Cuadrados Los filtros FIR tienen la desventaja de necesitar un orden mayor respecto a los filtros IIR para cumplir las mismas características. Esto se traduce en un mayor gasto computacional.


Lección 27: FUNCIONES PARA REALIZAR FIR De la forma más interesantes de entender las aplicaciones de las técnicas de ventaneo es realizar las prácticas a través del software MatLab. La Función FIR1 >> B = fir1(N,Wn,type,window); Diseña un filtro FIR pasobajo de orden N (longitud N+1) y frecuencia de corte Wn (normalizada con respecto a la frecuencia de Nyquist, 0 < Wn < 1). Se pueden especificar otro tipo de filtros de la misma forma que con los filtros IIR mediante el parámetro type. Por ejemplo, diseñar un filtro rechazabanda: >> B = fir1(N,[W1 W2],'stop'); Por defecto la función FIR usa la ventana de Hamming. Otro tipo de ventanas pueden también especificarse: >> B = fir1(N,Wn,bartlett(N+1)); >> B = fir1(N,Wn,'high',chebwin(N+1,R));

La Función FIR2 >> B = fir2(N,F,M,window); Diseña un filtro FIR utilizando el método del muestreo frecuencial. Los parámetros de entrada es el orden del filtro N, la (longitud N+1) y dos vectores F y M que especifican la frecuencia y la magnitud, de forma que “plot (F,M)” es una gráfica de la respuesta deseada del filtro. Se pueden indicar saltos bruscos en la respuesta frecuencial duplicando el valor de la frecuencia de corte. F debe estar entre 0 y 1, en orden creciente, siendo el primer elemento igual a 0 y el último 1. El parámetro window indica el tipo de ventana a utilizar. Por defecto, usa la ventana de Hamming. >> B = fir2(N,F,M,’bartlett(N+1)’); Se pueden especificar más parámetros en esta función, >> B = fir2(N,F,M,npt,lap,window);


La función fir2 interpola la respuesta frecuencial deseada (F,M) con n puntos (por defecto, npt=512). Si dos valores sucesivos de F son iguales, se crea una región de lap puntos alrededor de este punto (por defecto, lap=25). Función FIRLS >> B = firls(N,F,M); Diseño de filtros FIR usando la minimización del error por mínimos cuadrados. Los argumentos de entrada son el orden del filtro N, y dos vectores F y M, cuyo formato difiere de los análogos en la función fir2. El filtro obtenido es la mejor aproximación a (F,M) por mínimos cuadrados Dentro de las Ventajas de los filtros FIR están: • Pueden diseñarse con fase perfectamente lineal. • Son incondicionalmente estables. • Implementación hardware es sencilla Dentro de los Inconvenientes de los filtros FIR se encuentra que es necesario un gran número de coeficientes para conseguir las prestaciones que daría un filtro IIR de orden mucho menor.


Lección 28: ANÁLISIS DE FIR CON HERRAMIENTAS COMPUTACIONALES A continuación se desarrollarán una serie de filtros prácticos que permitirán aprender los procesos de diseño y los conceptos fundamentales que lo encierran. En esta primera parte se utilizará la función fir1, la cual ya se explicó anteriormente, se podrán observar la importancia del orden de los filtros y al mismo tiempo el tipo del filtro. % Ejercicios de la función FIR1 Diseñar un filtro de orden 4, basabajos. Determinar el espectro en magnitud y fase del filtro. N=4; Wn=100/1000; B = fir1(N,Wn,'stop'); freqz(B);title('filtro FIR1, de orden 4. Pasa Bajo');

Figura 6.2 Respuesta filtro FIR1 pasabajo orden 4

Como se puede apreciar este tipo de filtro presenta una caída muy suave y no presenta rizado en su decaimiento. También se debe analizar que es necesario normalizar la frecuencia angular para cumplir que 0< Wn <1.


Ahora, se observará el mismo filtro pero realizando un aumento en el orden del filtro. N=6; Wn=100/1000; B = fir1(N,Wn,'stop'); freqz(B);title('filtro FIR1, de orden 6. Pasa Bajo');


N=10; Wn=100/1000; B = fir1(N,Wn,'stop'); freqz(B);title('filtro FIR1, de orden 10. Pasa Bajo');



Ahora realizaremos el diseño para un filtro pasaalto: N=4; Wn=100/1000; B = fir1(N,Wn,'high'); freqz(B);title('filtro FIR1, de orden 4. Pasa alto');

Figura 6.5 Respuesta filtro FIR1 pasaalto orden 4

N=6; Wn=100/1000; B = fir1(N,Wn,'high'); freqz(B);title('filtro FIR1, de orden 6. Pasa alto');



N=10; Wn=100/1000; B = fir1(N,Wn,'high'); freqz(B);title('filtro FIR1, de orden 10. Pasa alto');



Lección 29: ANÁLISIS DE RECHAZABANDA FIR En esta lección se analizará el diseño de filtros rechazabanda a medida que se incrementa el orden y aplicando diferentes ventanas.

N=6; Wn=[60 80]/1000; B = fir1(N,Wn,'stop');title('filtro FIR1, de orden 6. Rechazabanda. con Ventana Hamming'); freqz(B)

Figura 6.8 Respuesta filtro FIR1 rechazabanda orden 6

h=fir1(30,.2,hamming(31)); title('filtro FIR1, de orden 30. Rechazabanda. con Ventana Hamming'); freqz(h)


Figura 6.9 Respuesta filtro FIR1 rechazabanda orden 30, Hamming

h=fir1(30,.2,boxcar(31)); freqz(h); title('filtro FIR1, de orden 30. Rechazabanda. con Ventana Boxcar');

Figura 6.10 Respuesta filtro FIR1 rechazabanda orden 30, Boxcar


figure h=fir1(30,.2,bartlett(31)); freqz(h);title('filtro FIR1, de orden 30. Rechazabanda. con Ventana Bartlett');

Figura 6.11 Respuesta filtro FIR1 rechazabanda orden 30, Barlett

h=fir1(30,.2,chebwin(31,02)); freqz(h); title('filtro FIR1, de orden 30. Rechazabanda con Ventana Chebwin');

Figura 6.12 Respuesta filtro FIR1 rechazabanda orden 30, Chebwin


% Generar en una sola figura lo una señal N=46; Fs=11020; Fy=Fs/2; Rfir1= fir1(N,[30 3500]/Fy); Rfir2= fir2(N,[0 10 30 3500 3600 Fy]/Fy,[0 0 1 1 0 0]); Rfirls= firls(N,[0 10 30 3500 3600 Fy]/Fy,[0 0 1 1 0 0]); Rremez= remez(N,[0 10 30 3500 3600 Fy]/Fy,[0 0 1 1 0 0]); F=0:10:5000; Hfir1=abs(freqz(Rfir1,1,F,Fs)); Hfir2=abs(freqz(Rfir2,1,F,Fs)); Hfirls=abs(freqz(Rfirls,1,F,Fs)); Hremez=abs(freqz(Rremez,1,F,Fs)); semilogy(F,Hfir1,'r',F,Hfir2,'b',F,Hfirls,'g',F,Hremez,'m'), Se tiene la siguiente nomenclatura generada por MatLab r: rojo; b: azul; g: verde; m: magenta

Figura 6.13 Comparación respuestas filtros FIR

En este último ejemplo, se puede evidenciar las respuestas de los filtros por ejemplo el filtro firls tiene respuesta muy plana en su banda de paso, a diferencia del filtro remez que presenta un rizado muy notorio en la banda de paso.


Lección 30: COMANDOS PARA GENERAR FILTROS MEDIANTE VENTANAS Los siguientes comandos para que el estudiante los ejecute y concluya: Ventana RECTANGULAR M =15; N = [-M:M]; hn = -wc/pi*sinc(N*wc/pi); hn(M+1) = 1-wc/pi; Ventana HANN M =32; N = [-M:M]; hn = -wc/pi*sinc(N*wc/pi); hn(M+1) = 1-wc/pi; hn = hn.*hanning(2*M+1)0; % ventaneo

Ventana HAMMING M =32; N = [-M:M]; hn = -wc/pi*sinc(N*wc/pi); hn(M+1) = 1-wc/pi; hn = hn.*hamming(2*M+1)0; % ventaneo Ventana BLACKMANN M =48; N = [-M:M]; hn = -wc/pi*sinc(N*wc/pi); hn(M+1) = 1-wc/pi; hn = hn.*blackman(2*M+1)0; % ventaneo

Ventana KAISER [M,wn,Beta] = kaiserord([ws/pi,wp/pi],[0,1],[0.01 0.01]) N = [-M:M]; hn = -wc/pi*sinc(N*wc/pi); hn(M+1) = 1-wc/pi; hn = hn.*kaiser(2*M+1,Beta))0;

Filtro con transición suave; M = ceil((4*pi/(wp-ws)-1)/2); M = M+4; % aumentar M para cumplir las especs. N = [-M:M]; P = 2;0.624*(wp-ws)*2*M

CONCEPTOEN TORNO AL TRATAMIENTO DE


IMÁGENES ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN DE LA UNIDAD 2 1.

Sustente las implicaciones que tiene la causalidad en el diseño de filtros digitales.

2.

Menciones las principales características de los filtros digitales prácticos.

3.

¿Cómo se clasifican los filtros digitales?

4.

Menciones los principales aspectos a tener en cuenta en el diseño de filtros IIR.

5.

Proponga un programa de diseño de filtro IIR mediante medios computacionales.

6.

Proponga y socialice un diseño de filtro elíptico.

7.

Cuáles son las principales características de un filtro FIR?

8.

Analice un diseño de filtro pasa-banda FIR.

9.

Proponga dos ejemplos de diseño de filtro pasa-alto FIR.

10.

Cuál de los métodos por ventana es más eficiente y por qué?



DIRECCIONES DE SITIOS WEB Procesamiento Digital de Señales con Matlab http://es.scribd.com/doc/46935329/PROCESAMIENTO-DIGITAL-DESENALES-CON-MATLAB http://www.iit.upcomillas.es/palacios/dip/


UNIDAD 3 Nombre de la Unidad

APLICACIONES DE FILTROS DIGITALES

La Unidad 3 trata inicialmente sobre las especificaciones de diseño de filtros digitales, luego se enfoca en la aplicación del procesamiento digital de señales mediante el procesamiento digital de imágenes y el procesamiento digital de audio, Introducción considerando el uso de herramientas computacionales. Los campos del procesado digital de señales aplicado al procesado digital de imágenes y audio han tenido una Justificación tremenda vitalidad en las dos décadas pasadas y se seguirá manteniendo esta tendencia. Avances en tecnología hardware han provisto la capacidad de procesado de señales en chips. Esos avances han permitido procesados de señales sofisticadas y algoritmos de procesado de imágenes y audio que pueden ser implementados en tiempo real a un costo relativamente bajo. Las investigaciones continúan y abarcan otros campos como las telecomunicaciones, electrónicos de consumo, medicina, defensa, robóticos y geofísicos. Que el estudiante adquiera conocimientos básicos sobre el Intencionalidades procesamiento digital de imágenes y audio. Que obtenga destrezas y habilidades para entender, Formativas desarrollar y mejorar algoritmos básicos para el análisis y procesamiento digital de imágenes y audio. Denominación de • Capítulo 7: Diseño y aplicaciones de filtros Capítulos • Capítulo 8: Procesamiento de imágenes • Capítulo 9: Procesamiento digital de audio


INTRODUCCIÓN

Los campos del procesado digital de señales, específicamente de imágenes y audio han tenido una tremenda vitalidad en las dos décadas pasadas y se seguirá manteniendo esta tendencia. Avances en tecnología hardware han provisto la capacidad de procesado de señales en chips. Esos avances han permitido procesados de señales sofisticadas y algoritmos de procesado de imágenes que pueden ser implementados en tiempo real a un costo relativamente bajo. En la actualidad las disciplinas relacionadas con el Procesamiento de Imágenes y audio, tales como la visión por computador, el análisis de imágenes y la inspección visual automatizada, han sido ampliamente utilizadas en diversas áreas, entre las que se pueden enumerar: Ingeniería en general, Robótica, Astronomía, Detección Remota, Meteorología, Medicina, Biología, etc.


CAPITULO 7: DISEÑO Y APLICACIONES DE FILTROS

Lección 31: ESPECIFICACIONES DE DISEÑO Los requerimientos incluyen la especificación de: 1. las características de las señales: tipo de fuente de señal, interfaz de entradasalida, velocidad de procesamiento, ancho de palabra, la mayor frecuencia de interés; 2. las características del filtro: la respuesta en módulo y/o fase deseadas y sus tolerancias, la velocidad de operación, el modo de filtrado (en línea o fuera de línea); 3. la forma de implementación: como una rutina de alto nivel en una computadora, o un programa específico para un DSP; 4. otras restricciones al diseño, como por ejemplo el costo del filtro. Es posible que inicialmente el diseñador no cuente con toda la información necesaria para especificar completamente el filtro, pero cuanto más detalles se conozcan más sencillo será el proceso de diseño. Aunque algunos de los requerimientos discutidos arriba son dependientes de la aplicación, es necesario resaltar los aspectos referidos a las características del filtro. Frecuentemente, los requisitos del filtro digital se especifican en el dominio frecuencial, y para el caso de los filtros selectivos en frecuencia, estas especificaciones toman la forma de bandas de tolerancia, como muestra la Figura 7.1 para el caso de un filtro pasabajos. Las zonas grisadas indican los límites de tolerancia. En la banda de paso, el módulo de la respuesta admite una variación máxima de , y en la banda de rechazo se pretende que la ganancia no exceda . Es frecuente especificar estas cotas en dB. El ancho de la zona de transición determina qué tan abrupto es el filtro. En esta región se espera que el módulo de la respuesta en frecuencia decrezca monótonamente desde la banda de paso a la banda de rechazo. Los principales parámetros de interés son: desviación en la banda de paso: desviación en la banda de rechazo: frecuencia de corte de la banda de paso: frecuencia de corte de la banda de rechazo:


Las frecuencias esquina se suelen normalizar a la frecuencia de muestreo (wi = 2πfi / fs), pero también son frecuentes las especificaciones en unidades típicas como Hz, kHz, y a menudo son mucho más significativas. Las desviaciones con respecto a la respuesta deseada tanto en la banda de paso como en la banda de rechazo pueden expresarse en valores absolutos o en decibeles (dB), indicando la ondulación máxima (“ripple”) tolerada en la banda de paso, y la atenuación mínima exigida en la banda de rechazo: As (atenuación en la banda de rechazo): Ap (ondulación en la banda de paso): En general, la respuesta de fase un filtro no se especifica tan detalladamente como el módulo de la respuesta en frecuencia. En muchos casos es suficiente indicar que importa la distorsión de fase, o que se pretende una respuesta de fase lineal. Sólo es necesario detallar la respuesta en fase deseada en aquellas aplicaciones donde los filtros se utilizan para compensar o ecualizar la respuesta en fase de un sistema. Ejemplo: Especificaciones de diseño de un filtro pasabanda Se desea diseñar un filtro FIR pasabanda cuya respuesta en frecuencia satisfaga las siguientes especificaciones: banda de paso: 0,18 × 2π a 0,33 × 2π, ancho de la zona de transición: 0,04 × 2π, ganancia en la banda de paso: 1 ± 0,05 (Ap = 0,42 dB), ganancia en la banda de rechazo: < 0,001 (As = 60 dB). En la Figura 7.1 se muestra el esquema de bandas de tolerancias del filtro. La atenuación en la banda de rechazo debe ser mayor que y la ondulación máxima tolerada en la banda de paso es de

Figura 7.1 Bandas de tolerancia del filtro


Lección 32: ELECCIÓN DE LA APROXIMACIÓN En esta etapa se elige alguno de los métodos de aproximación (Butterworth, Chebyshev, elíptico, etc. si el filtro es IIR, o equirriple, óptimo, con ventanas, etc. si es FIR) y se calculan los valores de los coeficientes h[n] del filtro FIR, o ak y bk del filtro IIR, de modo de satisfacer las especificaciones. El método empleado para determinar los coeficientes es distinto según el filtro sea IIR o FIR. Tradicionalmente, el cálculo de los coeficientes de los filtros IIR se basa en la transformación de las funciones de sistema de filtros analógicos en filtros discretos. Los dos métodos clásicos son el de invariación al impulso y el de transformación bilineal. Con la técnica de la invariación al impulso la respuesta impulsiva del filtro digital está formada por las muestras de la respuesta impulsiva del filtro analógico. Sin embargo, el módulo de la respuesta en frecuencia del filtro discreto es diferente, en general, de la del filtro continuo. Debido a fenómenos de aliasing, el método no es apropiado para el diseño de filtros pasaaltos o filtros eliminabanda, o cualquier tipo de filtro cuya respuesta en frecuencia no sea aproximadamente nula por encima de cierta frecuencia fH. Por otra parte, el método de la transformada bilineal produce filtros muy eficientes, y es apropiado para el diseño de cualquier tipo de filtro con ganancia constante en la banda de paso. Permite el diseño de filtros con características frecuenciales clásicas como Butterworth, Chebyshev, elípticos, etc. Los filtros digitales calculados en base a la transformada bilineal preservan la característica de respuesta en frecuencia, pero no las propiedades temporales. En la actualidad se cuenta con programas de cálculo que permiten obtener los coeficientes del filtro digital directamente a partir de las especificaciones usando el método de la transformada bilineal o la técnica analítica desarrollada por Rader y Gold (1967) para filtros recursivos equirriple. Los filtros con respuestas sencillas, como los resonadores, “notch”, filtros peine, osciladores digitales, etc., se pueden diseñar ubicando directamente los polos y los ceros en el plano complejo; sin embargo, si las especificaciones son exigentes, es conveniente utilizar las técnicas de diseño clásicas. Los coeficientes de los filtros FIR pueden calcularse con varios métodos. Entre ellos merecen destacarse el diseño por ventanas, la técnica de suavizado de las bandas de transición, el método de muestreo en frecuencia, y los métodos óptimos (el algoritmo de Parks y McClellan o el algoritmo de Remez). El método de diseño utilizando ventanas es sencillo y flexible pero no permite un control muy preciso sobre los parámetros del filtro. La técnica de las bandas de transición suaves permite atenuar el efecto Gibbs, a costa de una pequeña complejidad adicional. El método de muestreo en frecuencia permite una implementación particularmente eficiente (y recursiva) de filtros FIR, pero puede tener problemas cuando se usa aritmética de punto fijo.


Con la disponibilidad de programas de diseño eficientes y con buena interfaz con el usuario, los métodos óptimos son ampliamente utilizados hoy en día, y para la mayoría de las aplicaciones permiten obtener rápidamente el filtro FIR deseado. Los métodos típicos para el cálculo de los coeficientes de los filtros se resumen en la siguiente tabla:

Tabla 7.1 Comparación Filtros digitales El método de diseño se elige de acuerdo a la aplicación en particular. Si bien influyen varios factores, el más importante es qué tan críticas son las especificaciones. La decisión “difícil” es optar entre FIR o IIR. En aquellos casos en que las propiedades de los FIR (respuesta de fase estrictamente lineal, estabilidad inherente) son imprescindibles, la mejor elección puede ser el diseño por métodos óptimos, o usando ventanas (generalmente la de Kaiser). Si, en cambio, son deseables las características de los IIR (menor cantidad de coeficientes para especificaciones similares) el método de la transformada bilineal es apropiado para la mayoría de los casos.


Lección 33: REALIZACIÓN Por realización se entiende convertir una función de sistema H(z) en un conjunto de ecuaciones a diferencias que se ejecutarán como un algoritmo en un procesador. El conjunto de ecuaciones también se conoce como la estructura del filtro. Existen infinitas formas de escribir la ecuación a diferencias, de modo que existen infinitos tipos de estructuras. Matemáticamente las distintas realizaciones producen el mismo resultado sobre la señal a filtrar; sin embargo en el momento de la implementación la sensibilidad a la variación de los coeficientes, propagación del ruido de redondeo o de truncación, organización y/o requerimientos de memoria en un procesador en particular, etc., suelen decidir la elección de una estructura particular. Cada realización se asocia a un diagrama bloque, que revela la cantidad de lugares de memoria necesarios para el almacenamiento de los datos y los coeficientes, número de operaciones requeridas, etc. Es frecuente utilizar distintas estructuras para implementar filtros IIR o FIR. Para filtros IIR, las tres estructuras típicas son las formas directa, cascada y paralelo; el diagrama bloque de una forma directa, denominada de “tipo II” es común para un sistema de segundo orden. En este caso, la función transferencia se implementa con el conjunto de ecuaciones a diferencia. Ejemplo: Influencia de la estructura con coeficientes de precisión “infinita”. Aun cuando los coeficientes se implementen con muy alta precisión, como cuando se usa MATLAB, la estructura directa es inadecuada para realizar filtros de alto orden. Por ejemplo, un filtro tipo Butterworth discreto de orden N = 30 con frecuencia de corte en wc = π / 2 se caracteriza por tener 30 ceros en z = -1. La implementación en forma directa, utilizando los comandos [n, d] = butter(30,0.5); zplane(n,d); da resultados muy diferentes, como se puede ver en la Figura 7.2 (a) . Por efecto de los (pequeños) errores numéricos, los 30 ceros que deberían estar ubicados en z = -1, se esparcen en un entorno, no necesariamente pequeño, de este punto. La implementación como secciones de segundo orden, que se diseña con los comandos tiene la distribución de polos y ceros prevista por la teoría, como se observa en la Figura 7.2 (b). [z,p,k] = butter(30,0.5); [sos,g] = zp2sos(z,p,k); hsos = dfilt.df1sos(sos,g); zplane(hsos);


Figura 7.2 Comparación de los patrones de polos y ceros de una implementación en forma directa I (a) y en secciones de segundo orden, cada una de ellas en forma directa (b)

Sintetizando, para un filtro dado la elección de la estructura depende:  del tipo de filtro (IIR o FIR);  de la facilidad de implementación;  de la sensibilidad de la estructura a los efectos de la longitud finita de palabra.


Lección 34: EFECTOS DE LA LONGITUD DE LA PALABRA FINITA Los pasos de diseño referidos a la aproximación y a la realización suponen que las operaciones que especifican los algoritmos se realizan con precisión infinita, o al menos muy alta. Sin embargo, en muchas aplicaciones donde el bajo costo es decisivo, es necesario representar los coeficientes del filtro utilizando un número finito de bits (típicamente 8, 16 o más), y realizar las operaciones indicadas por las ecuaciones a diferencia utilizando aritmética de precisión finita. El uso de un número finito de bits degrada el desempeño del filtro, y en algunos casos puede inutilizarlo por completo. El diseñador debe tener en cuenta estos efectos, y elegir longitudes de palabra apropiados para los coeficientes del filtro, las variables de entrada y salida, y las operaciones aritméticas. En general, el ancho en bits de las palabras de entrada y salida (que se leen o se escriben en los conversores A/D y D/A, respectivamente) son mucho menores que la longitud de palabra utilizado para los coeficientes y los cómputos (10 o 16 bits, frente a 25 o 32 bits). Las principales causas de la disminución del desempeño en los filtros digitales debido a la longitud finita de palabra son:  Cuantización de las señales de entrada y salida, debido a la resolución finita de los conversores A/D y D/A. Este efecto se suele modelar como un fenómeno aleatorio (ruido).  Cuantización de los coeficientes, lo que conduce a variaciones de la respuesta en frecuencia de filtros FIR e IIR, y posiblemente a inestabilidades en los filtros IIR.  Errores aritméticos por redondeo. Los procesadores con longitud de palabra finita tienen un acumulador con bits adicionales para mantener la precisión (por ejemplo, el resultado de la multiplicación de dos números de B bits es un número de 2B bits). Cuando estos resultados se almacenan en memoria se truncan a la longitud de palabra adoptada. El error resultante, denominado ruido de redondeo, altera la respuesta del filtro. En los filtros IIR puede causar inestabilidad, y también dar lugar oscilaciones de pequeña amplitud de la salida aún con entrada nula.  Desborde (overflow), que ocurre cuando el resultado de una suma excede el ancho de palabra adoptado, resultando en errores de las muestras de salida, que pueden causar inestabilidad, u oscilaciones de gran amplitud en los filtros IIR. La degradación del desempeño depende de:


 la longitud de palabra y tipo de aritmética utilizada para efectuar los cálculos;  el método adoptado para cuantizar las variables y los coeficientes del filtro a la longitud de palabra elegida;  la estructura del filtro. Conociendo estos factores, el diseñador puede analizar los efectos de la longitud de palabra finita en el desempeño del filtro, y efectuar las correcciones que sean necesarias. Ejemplo: Efectos de cuantización en un filtro IIR Un filtro IIR elíptico de cuarto orden con frecuencia de corte en wc = 0,3π, 0,1 dB de ondulación en la banda de paso, y 60 dB de atenuación en la banda de rechazo está caracterizado por la función de sistema

donde b0 = 0,01588232577583, b1 = 0,04509870267465, b2 = 0,06160127928264, b3 = 0,04509870267465, b4 = 0,01588232577583,

a0 = 0,57816706294199, a1 = -1,00000000000000, a2 = 0,98785160189871, a3 = -0,49030269551500, a4 = 0,10997293011303.

El módulo de la respuesta en frecuencia del filtro se muestra con línea de trazo continuo en la Figura 7.3.

Figura 7.3 Respuesta en frecuencia del filtro del Ejemplo implementado con una estructura tipo forma directa II. (-) filtro prototipo; (- -) filtro con coeficientes cuantizados.


Si el filtro se implementa en un procesador de 8 bits, utilizando una estructura tipo forma directa II se deben truncar los coeficientes, que resultan b0 = 0,0156250, b1 = 0,0468750, b2 = 0,0625000, b3 = 0,0468750, b4 = 0,0156250,

a0 = 0,5781250, a1 = -1,0000000, a2 = 0,9843750, a3 = -0,4921875, a4 = 0,1093750.

El módulo de la respuesta en frecuencia del filtro con los coeficientes cuantizados, graficada con línea de trazos en Figura 7.3, revela que se violan las especificaciones de diseño. Sin embargo, la elección de una estructura diferente puede solucionar el problema. En la Figura 7.4 se muestra el módulo de la respuesta en frecuencia del mismo filtro, implementado como una cascada de dos secciones de segundo orden, con ganancia C = 0,0274701, y cuyos coeficientes cuantizados a 8 bits son b01 = 0,5000000, b11 = 0,8984375, b21 = 0,5000000, b02 = 0,5000000, b12 = 0,5234375, b22 = 0,5000000,

a01 = 0,5000000, a11 = �0,4531250, a21 = 0,1406250, a02 = 0,5000000, a12 = �0,4140625, b22 = 0,3437500.

Figura 7.4 Respuesta en frecuencia del filtro del Ejemplo implementado con una cascada de dos bloques de segundo orden. ( - ) filtro prototipo; (- -) filtro con coeficientes cuantizados.


La figura anterior revela que los requisitos de diseño se satisfacen sin necesidad de cambiar la resolución en bits de los coeficientes. El ejemplo anterior muestra que los efectos de la cuantización de los coeficientes pueden atenuarse cambiando la estructura del filtro. Dependiendo de la implementación, algunos de los errores mencionados pueden ser insignificantes. Por ejemplo, si el filtro se calcula en un lenguaje de alto nivel que se ejecuta en computadoras más o menos modernas, por ejemplo con MATLAB en una PC, los errores de cuantización de coeficientes y redondeo no siempre son importantes. En aplicaciones de tiempo real las señales de entrada y salida se cuantizan a 8, 12 o 16 bits, según el tipo de conversor A/D y D/A utilizado. Si el ancho de palabra elegido para efectuar las operaciones y el redondeo son de esta magnitud, es casi obligatorio analizar los efectos de la cuantización en las características del filtro.


Lección 35: IMPLEMENTACIÓN Una vez que se han calculado los coeficientes del filtro, elegido una estructura adecuada, y verificado que las especificaciones se satisfacen después de considerar la degradación causada por la cuantización de coeficientes y de las variables a la longitud de palabra elegida, la ecuación a diferencias debe implementarse como una rutina de software o en hardware. Cualquiera sea el método de implementación, cada muestra de la salida y[n] del filtro debe calcularse de acuerdo a la ecuación a diferencias que involucra multiplicaciones, sumas y restas, y retardos. De modo que para implementar un filtro se necesitan los siguientes bloques básicos:  memoria (ROM o RAM) para almacenar los coeficientes del filtro;  memoria RAM para almacenar las muestras actuales y pasadas de la entrada x[n], x[n - 1], ..., x[n - M], y la salida y[n], y[n - 1], ..., y[n - N];  multiplicadores en hardware o rutinas de multiplicación (bibliotecas de software);  sumador o unidad aritmético-lógica. La manera en que se configuran estos bloques depende fuertemente según el procesamiento sea en tiempo real o fuera de línea. Cuando se procesa fuera de línea, los datos o señal de entrada están disponibles en algún medio de almacenamiento (cinta, CD, memoria, etc.) Tal es el caso del registro de datos experimentales para el análisis posterior. En estos casos el filtro se implementa utilizando un lenguaje de alto nivel, y se ejecuta en una computadora de propósito general. Por ello las implementaciones fuera de línea suelen ser programas. En algunas aplicaciones, por ejemplo el procesamiento de imágenes, se agrega hardware adicional dedicado para acelerar la velocidad de procesamiento. En el procesamiento en tiempo real se requiere que el filtro genere una muestra de la señal de salida ante cada muestra de la señal de entrada, lo que implica que el cómputo completo de la ecuación a diferencias debe completarse en el intervalo de tiempo entre una y otra muestra de la señal de entrada, o bien operar sobre bloques de datos utilizando las técnicas tipo overlap-add u overlap-save. El procesamiento en tiempo real necesita de hardware dedicado cuando la frecuencia de muestreo es muy alta, o cuando el filtro es de alto orden. Este hardware se nuclea alrededor de un procesador digital de señales, o DSP, que en la actualidad es producido por varios fabricantes, como Motorola, Texas Instruments, Analog Devices, Burr Brown, etc. Cada DSP incluye memoria RAM y ROM o FLASH, multiplicadores rápidos, unidades aritméticas lógicas flexibles, métodos de direccionamiento poderosos, etc. y algunas unidades incluyen los conversores A/D y D/A necesarios para procesar señales del mundo exterior.


CAPITULO 8: PROCESAMIENTO DE IMÁGENES

Lección 36: MODELO DE IMAGEN SIMPLE El término imagen se refiere a una función bidimensional de la luz y la intensidad, la que se indica por f(x,y), donde el valor o amplitud de f en las coordenadas espaciales (x,y) da la intensidad (iluminación) de la imagen en este punto. Puesto que la luz es una forma de energía, f(x,y) debe ser estrictamente mayor que cero y finita, es decir:

Las imágenes que se perciben en las actividades visuales cotidianas provienen normalmente de la luz reflejada por los objetos. La naturaleza básica de f(x,y) puede estar caracterizada por dos componentes según la cantidad de luz procedente de la fuente sobre la escena. De forma apropiada, reciben el nombre de componentes de iluminación y reflectancia, y se indican por i(x,y) y r(x,y) respectivamente. Las funciones i(x,y) y r(x,y) se combinan, como producto, para dar f(x,y )

Donde y La ecuación r(x, y) indica que la reflectancia está acotada entre 0 (absorción total) y 1 (reflexión total). La naturaleza de i(x,y) está determinada por la fuente de luz y r(x,y) está determinada por las características de los objetos de la escena. En el procesamiento de imágenes, la información se extrae a partir de fotos, las cuales pueden ser electrónicas tomadas de una escena, textos impresos e ilustraciones, está compuesta de un número finito de elementos que tienen una particular localización y valor y se denominan elementos pictóricos o más comúnmente, píxeles. A los píxeles se les asigna un valor tonal como matices de gris o un código en binario (unos para blancos y ceros para negros) como se observa en la figura 8.1. Además se tiene en cuenta el valor del píxel según su representación. Los dígitos binarios “bits” para cada pixel se almacenan en una secuencia y con frecuencia se los reduce a una representación matemática (comprimida). Luego la computadora interpreta y lee los bits para producir una versión analógica para su visualización.


Figura 8.1 Valores del pixel Disponible en: http://www.library.cornell.edu/preservation/tutorial-spanish/toc.html.

Los píxeles se pueden ver de una forma individual aumentando la imagen por medio de zoom o ampliando su resolución. La resolución es la capacidad de distinguir los detalles. La profundidad de bits es determinada por la cantidad de bits utilizados para definir cada píxel. Cuanto mayor sea la profundidad de bits, mayor será la cantidad de tonos que pueden ser representados. Una imagen a escala de grises está compuesta por píxeles representados por múltiples bits de información, que típicamente varían entre dos a ocho bits pero pueden ser más. En el procesamiento de la imagen es importante reducir el tamaño del archivo de imagen para su almacenamiento, tratamiento y transmisión. Todas las técnicas de compresión abrevian la cadena de código binario en una imagen sin comprimir, a una forma de abreviatura matemática, basada en complejos algoritmos. Los métodos para mejorar una imagen se pueden dividir en dos campos diferentes: métodos en el dominio de la frecuencia y métodos en el dominio espacial. Los primeros se basan en modificar la transformada de Fourier de la imagen y los segundos se basan en manipulaciones directas sobre los píxeles de la imagen.

Etapas fundamentales en procesamiento de imágenes El tratamiento digital de imágenes comprende un amplio rango de hardware y software y recursos técnicos necesarios para llevar a cabo las etapas fundamentales del procesamiento de una imagen. (Véase la Figura 8.2 ). La primera etapa del proceso es la adquisición de imágenes, es decir, la adquisición de una imagen digital. Para ello se necesita un sensor de imágenes y la posibilidad de digitalizar la señal producida por el sensor. Si la salida de la cámara no está todavía en forma digital, se emplea un convertidor análogo-digital para digitalizarla.


Figura 8.2 Etapas del procesamiento de imágenes

Una vez que se ha obtenido la imagen digital, la siguiente etapa consiste en el preprocesamiento de dicha imagen. La función básica del pre-procesamiento es la de mejorar la imagen de forma que se aumenten las posibilidades de éxito en los procesos posteriores. Segmentación: Es una operación cuyo objetivo es agrupar áreas de la imagen que tengan características similares dentro de entidades distintas para poder llegar a distinguir los objetos del fondo. Tiene una gran importancia para operaciones posteriores y requiere una serie de pasos de manipulación que generarán una nueva imagen en la cual solo se observa el área. La segmentación de una imagen es un proceso de extracción de objetos insertados en la escena capturada. La agrupación de los píxeles se hace cuando tienen criterios similares, como la luminancia, el color, los bordes, las texturas, los movimientos. Una vez que la imagen ha sido dividida, estará definida por un conjunto de objetos. La información estará preparada para el reconocimiento e interpretación de la imagen. Para la segmentación de las imágenes se usan tres conceptos básicos: Similitud: Los píxeles agrupados del objeto deben ser similares respecto algún criterio (nivel de gris, color, borde, textura, etc.). Conectividad: Los objetos corresponden a áreas de píxeles con conectividad. Las particiones corresponden con regiones continuas de píxeles. Discontinuidad: Los objetos tienen formas geométricas que definen unos contornos. Estos bordes delimitan unos objetos de otros. Proceso de Binarización: Consiste en el paso de una imagen cromática o monocromática (escala de grises), a una imagen binaria mediante la conversión de pixeles con un nivel de gris comprendido entre 0 y 255 para imágenes monocromáticas en pixeles de valores 0 ó 1. Para ello debe fijarse un criterio de


conversión, la llamada regla de binarización, basada en un intervalo crítico de tonos de gris. Cuando se mueve dentro del intervalo, los valores serán pasados a 1, fuera de éste, serán pasados a 0. Extracción de características: Consiste en distinguir un objeto del otro, para ello se realiza mediante las características que identifican al objeto. Algunas de las características que se pueden utilizar son el área, el diámetro y el perímetro etc. Filtros: Las imágenes, una vez salen del dispositivo de captación, no suelen permitir una segmentación fácil. Ello puede suceder por diferentes motivos. Por ejemplo, la existencia de ruido de fondo hace confundir manchas con objetos o por la existencia de márgenes difusos en los objetos y en ocasiones por existir un contacto entre objetos. Por estos motivos es necesario procesar la imagen mediante filtros antes de la binarización. El procedimiento se basa en la aplicación de operaciones aritméticas que producen cambios en la intensidad de luz en cada punto, en función del valor de los pixeles adyacentes. Así, un filtro provocaría cambios dependientes del entorno de los puntos. Hay distintos filtros y cada uno de ellos consigue un efecto particular sobre las imágenes. Existen varias clases de filtros atendiendo a los efectos que se consiguen al aplicarlos; dentro del desarrollo del software se utilizó el gaussiano, el laplaciano y de erosión-dilatación debido a las características que presentan las cuales fueron las adecuadas. Filtros de erosión-dilatación: Su utilización busca eliminar el contacto entre objetos. Esto se consigue tras una operación consecutiva de erosión y dilatación. La erosión, es el resultado de la aplicación de la llamada “regla de erosión”: un pixel "blanco" (generalmente de objeto) pasa a "negro" si en su entorno inmediato existe al menos un pixel "negro". La erosión produce una disminución del tamaño de los objetos por pérdida de píxeles marginales. La dilatación, es el resultado de la aplicación de la “regla de dilatación”: un pixel "negro" (generalmente de fondo) pasa a "blanco" si en su entorno inmediato existe al menos un pixel "blanco". La dilatación produce un aumento en el tamaño de los objetos por adición de pixeles marginales. La aplicación consecutiva de un proceso de erosión y dilatación, produce muy poco cambio en el tamaño de los objetos y la pérdida de los puntos de contacto entre ellos siempre que éstos sean pequeños. Filtros Gaussianos: La imagen de salida está basada en una media local del filtro de entrada donde los coeficientes se ajustan a una gaussiana dependiente. El Filtro Laplaciano calcula la segunda derivada que a partir de la expresión del operador Laplaciano se puede aproximar:


Filtros detectores de bordes: Realizan otro tipo de operaciones con los datos, pero siempre con el resultado de enfatizar los bordes que rodean a un objeto en una imagen, para hacerlo más fácil de analizar. Estos filtros típicamente crean una imagen con líneas blancas y negras rodeando los bordes de los objetos y características de la imagen. La figura 8.3, muestra imágenes filtradas con detección de bordes utilizando filtros Gaussiano y Laplaciano. Imagen binaria (figura 8.3 a), filtro gaussiano ‘canny’ (figura 8.3 b), filtro laplaciano ‘log’ (figura 8.3 c).

Figura 8.3 Imagen binaria y filtros

Iluminación: Las fuentes de luces no son iguales, dentro de estas se tienen: luz ambiente, fuentes de luz direccionales, fuentes de luz puntuales, fuentes de luz puntuales tipo “spot” que son aquellas en las cuales el haz de luz es puntual. Por lo tanto, cuando se hable del color o intensidad de una fuente o de un objeto, se entenderá que es un vector de cuatro elementos, donde cada elemento será un valor entre 0 y 1. Los tres primeros indicarán el porcentaje de rojo (R), verde (G) y azul (B), definiendo el color, y el cuarto un factor de transparencia, denominado normalmente canal alpha (A): Color = (R, G, B, A) R : Red = Rojo; G : Green = Verde; B : Blue = Azul; A : Alpha = Transparencia Una buena iluminación es importante en la toma de imágenes que luego serán procesadas. Eligiendo la técnica adecuada de iluminación se puede lograr un aumento en la confiabilidad del sistema y en su tiempo de respuesta. El ser humano usa un amplio rango de señales, obtenidas a partir del color, la perspectiva, el sombreado, y las experiencias individuales. La percepción visual depende de la capacidad humana de realizar juicios. Sin embargo, un sistema de visión artificial no tiene una experiencia de base para comparar, todo debe estar


específicamente definido. Problemas simples como encontrar una forma o definir un borde, se vuelven tareas complicadas de definición en la visión artificial. Para reducir el número de variables, el sistema de visión debe trabajar con la mejor imagen que sea posible. Una buena imagen es aquella que tiene el mayor contraste donde las áreas de interés se destacan del fondo facilitando la tarea del sistema virtual. La última etapa del proceso incluye el reconocimiento e interpretación. El reconocimiento es el proceso que asigna una etiqueta a un objeto basándose en la información proporcionada por sus descriptores. La interpretación implica asignar significado a un conjunto de objetos reconocidos. Aunque en este punto no se ha tratado explícitamente la presentación de la imagen, es importante recordar que la visión de los resultados del procesamiento de imágenes puede realizarse a la salida de cada una de las etapas. Se observa que no todas las aplicaciones del procesamiento de imágenes necesitan la complejidad de interacciones implícitas. Numerosas aplicaciones prácticas se realizan mediante las funciones correspondientes al camino exterior visible en las etapas del procesamiento digital de imágenes. De hecho, en algunos casos ni siquiera son necesarios todos esos módulos.


Lección 37: TEORÍA DE HERING Aunque el proceso seguido por el cerebro humano para percibir el color es un fenómeno psicofisiológico que todavía no se ha llegado a entender completamente, la naturaleza física del color se puede expresar en una base formal corroborada por los resultados experimentales y teóricos. Básicamente los colores que los seres humanos percibimos en un objeto están determinados por la naturaleza de la luz reflejada por el objeto. La luz visible está formada por una banda de frecuencias relativamente estrecha del espectro electromagnético. Un cuerpo que refleje una luz relativamente equilibrada en todas las longitudes de onda aparece como blanco para el observador. Sin embargo, un cuerpo que tiene una mayor reflectancia en una determinada banda del espectro visible aparece como coloreado (Véase la Figura 8.4).

Figura 8.4 Diagrama de cromaticidad

En el Siglo IXX el fisiólogo Ewald Hering derivó por medio del análisis de la visión subjetiva humana del color la idea de colores oponentes. Esta idea exponía el hecho de que ciertos colores no son percibidos juntos, no se mezclan. Nunca veremos amarillos azulosos o rojos verdosos. En la visión humana el detector amarillo siempre se encuentra inactivo cuando el detector azul está activo y viceversa. Una situación similar ocurre con las neuronas correspondientes al rojo y verde (véase la Figura 8.5).


Figura 8.5 Ilustración del comportamiento de las celdas detectoras ante la presencia de colores oponentes.

Se definió así mismo un tercer par de colores oponentes, blanco y negro. Aunque este par de sensaciones son opuestas por naturaleza, no son oponentes como el azul y amarillo o el verde y rojo. La sensación intermedia del gris es una mezcla de blanco y negro. La razón para esto es que la comparación entre estos colores no es función de su longitud de onda sino de su energía. El blanco y el negro dependen de la absorción luminosa y para el blanco o gris puro esta absorción debe ser relativamente igual. Actualmente se ha estandarizado la concepción de color propuesta por YoungHelmholtz según la cual todos los colores se ven como combinaciones variables de los denominados tres colores primarios, rojo (R) , verde (G) y azul (B), aunque también otros modelos de color han sido propuestos con la intención de facilitar la especificación de los colores de una forma normalizada y aceptada genéricamente, aparte del conocido modelo RGB, los más utilizados son YIQ (luminancia, fase y cuadratura) y HSI ( tono, saturación e intensidad). En los problemas de procesamiento que involucran el tratamiento de imágenes a color real el modelo HSI es ampliamente utilizado ya que la componente de intensidad está desacoplada de la información cromática, y las componentes de saturación mantienen una alta relación con la manera como el ser humano percibe el color. Sin embargo el caso específico planteado en este proyecto consiste en la segmentación de regiones partiendo del aislamiento de sus longitudes de onda, buscando disminuir efectos de distorsión en la percepción de color producidos por variaciones de iluminación, por lo tanto es más conveniente buscar un modelo que permita mantener relaciones lineales con las componentes de colores primarios y así mismo aísle la componente de intensidad de la componentes de color. Partiendo del modelo estandarizado RGB es posible mediante una sencilla matriz de transformación llegar al modelo de Hering. Despreciando entonces la componente Negro-Blanco (B-W), se adquiere toda la información cromática de las componentes restantes Rojo-Verde (R-G) y Azul- Amarillo (B-Y).


Lección 38: TRANSFORMACIONES Conversión de los niveles de gris. Para obtener una imagen que pueda ser tratada por el computador es preciso someter la imagen a un proceso de discretización tanto en las coordenadas como en la intensidad, a este proceso se le denomina digitalización. La digitalización consiste en la descomposición de la imagen en una matriz de m*n puntos, donde cada punto tiene un valor proporcional a su color. Cada elemento en que se divide la imagen recibe el nombre de "píxel" (picture element). La resolución espacial de la imagen viene dada por el número de píxeles que tiene la imagen. Cuanto mayor sea este número mayor va a ser la resolución. La resolución cromática depende del número de bits que se utilice para almacenar el valor de un píxel. Si se utiliza un bit se puede tener únicamente dos valores (0, 1) (blanco y negro), si se utiliza 4 bits el número posible de niveles de gris será de 16 y si se utiliza 8 bits el número de niveles de gris posibles es de 256. Una transformación adecuada de los niveles de gris puede mejorar sensiblemente la calidad de una imagen cuando ésta es observada por una persona. Transformaciones geométricas Las transformaciones geométricas son una serie de cambios en la imagen que tienen dos objetivos básicos: Corrección de la perspectiva y reconstrucción tridimensional de los objetos de una escena. Transformación del histograma El histograma es una representación gráfica que permite obtener, información del contenido de una imagen. En el histograma el eje de las abscisas representa los niveles de gris y el de ordenadas, el número de pixeles de cada nivel. En ciertas escenas, como las que suelen aparecer en entornos industriales, el histograma puede ser suficiente para separar objetos dentro de una imagen, con lo que se facilita considerablemente la etapa de interpretación. Sin embargo, no siempre es factible sacar tanta información al histograma. En muchas aplicaciones, su manipulación sólo permite aumentar/disminuir el contraste de la imagen y el margen dinámico de los niveles de gris. Sus efectos son evidentes para un observador humano. Filtrado espacial y frecuencial No es fácil decidir si estas operaciones, son absolutamente vitales en un sistema de visión por computador, pertenecen o no a la etapa de simple preprocesamiento, dada la gran modificación que puede suponer respecto a la imagen original. Para evitar esta ambigüedad, se considera que el filtrado es procesamiento previo cuando la transformación operada sobre la imagen sea pequeña. El filtrado espacial actúa sobre los niveles de gris de los píxeles de la


imagen. El filtrado frecuencial se basa en trabajar con la transformada discreta de Fourier de la imagen (una operación costosa en tiempo y en memoria de computador) a la que se aplica un filtro bidimensional. En general, las operaciones de segmentación de una escena, así como el número de clases de regiones y objetos a distinguir, dependerán íntimamente de la propia escena y de la información que se busque dentro de la imagen. Las técnicas de segmentación, ya estén orientadas a objetos o agrupaciones de objetos, se pueden dividir en tres grupos: El primer grupo es la aplicación de umbrales de nivel de gris, el segundo es la agrupación por rasgos comunes, y el último es la extracción de bordes. La aplicación de umbrales se basa en el empleo del histograma. Básicamente, consiste en distinguir objetos individuales dentro de una escena a partir de sus diferentes niveles de gris. Si se conoce que los objetos tienen cierto intervalo. La selección del valor del umbral, se realiza generalmente a partir del histograma de la imagen. Así si una imagen está compuesta de un objeto que aparece en la escena sobre un fondo, entonces es de esperar que el histograma sea bimodal, es decir, si por ejemplo el objeto es más claro que el fondo, pues en el histograma aparecerán dos picos, el ubicado en los valores de gris más elevados correspondiente al objeto y otro pico para niveles de gris más bajos, correspondientes al fondo. En la siguiente figura se muestra un histograma bimodal, en el cual el umbral se ubica entre los dos picos del histograma.

Figura 8.6 Histograma bimodal

La selección automática del umbral, es un problema difícil, debido a que el histograma no siempre es bimodal, en cuyo caso resulta necesario combinar la información espacial presente en la imagen, con la información referente al nivel de gris. A continuación, se observa un ejemplo:


Figura 8.7 Histograma aproximadamente bimodal

Para el caso del histograma aproximadamente bimodal, existen técnicas de detección automática del umbral, una de las cuales fue ideada por Otsu y se basa en la minimización de la varianza intra-grupo. En particular, el método de Otsu, elige el umbral óptimo maximizando la varianza entre clases (between-class variance) mediante una búsqueda exhaustiva. Si bien hay diferentes métodos para hallar un umbral, la mayoría de ellos no dan buenos resultados cuando se trabaja con imágenes del mundo real debido a la presencia de ruido, histogramas planos o una iluminación inadecuada. Por el contrario, el método de Otsu es uno de los mejores métodos de selección de umbral para imágenes del mundo real. Sin embargo, este método usa una búsqueda exhaustiva para evaluar el criterio para maximizar la varianza entre clases. A medida que el número de clases de una imagen aumenta, el método de Otsu necesita mucho más tiempo para seleccionar un umbral multinivel adecuado. Para determinar el umbral de una imagen eficientemente. La importancia del método de Otsu radica en que es automático, es decir, no necesita supervisión humana ni información previa de la imagen antes de su procesamiento. Descripción del Método de Otsu para un umbral óptimo. Una imagen es una función bidimensional de la intensidad del nivel de gris, y contiene N píxeles cuyos niveles de gris se encuentran entre 1 y L. El número de píxeles con nivel de gris i se denota como fi, y la probabilidad de ocurrencia del nivel de gris i en la imagen está dada por:


En el caso de la umbralización en dos niveles de una imagen (a veces llamada binarización), los píxeles son divididos en dos clases: C1, con niveles de gris [1, ...., t]; y C2, con niveles de gris [t+1, ...., L]. Entonces, la distribución de probabilidad de los niveles de gris para las dos clases es:

Donde:

También, la media para la clase C1 y la clase C2 es:

Sea µT la intensidad media de toda la imagen. Es fácil demostrar que:

La extracción de bordes es el método más empleado en la segmentación de imágenes (salvo en robótica, donde con frecuencia es suficiente la aplicación de umbrales). La efectividad, desde el punto de vista del reconocimiento de objetos, de una operación cuyo resultado sea la obtención de los bordes de un objeto, cual es la segmentación, es evidente, puesto que la mayor cantidad de información se encuentra en los bordes. De hecho, la mayoría de los objetos pueden reconocerse a partir de su forma, que está fijada por sus bordes. Los filtrados espaciales y frecuenciales, son precisamente operaciones de extracción de bordes, aunque lo hagan con suavidad. De manera análoga, los extractores de bordes empleados en la fase de segmentación pueden clasificarse en espaciales y frecuenciales. Algunos operadores que incluye la detección de bordes son: Operadores de gradiente laplaciano.


Lección 39: CÁLCULO DE CARACTERÍSTICAS Después de segmentar una imagen, el conjunto resultante de píxeles segmentados se representa y describe normalmente en una forma adecuada para su posterior procesado por computadora. Básicamente, el representar una región implica dos posibilidades: Hacerlo en términos de sus características externas (su contorno) o en términos de sus características internas (los píxeles que comprenden la región). La elección de un esquema de representación es, sin embargo, solamente una parte de la tarea de hacer los datos útiles para una computadora. El siguiente paso consiste en describir la zona en la representación elegida. Por ejemplo, una región se puede representar describiendo su contorno por medio de características tales como su longitud, la orientación de una línea recta que une puntos extremos, y el número de concavidades. Generalmente, se elige una representación externa cuando el objetivo principal se centra en las características de forma y una representación interna cuando el principal interés se centra en las propiedades de reflectividad, tales como color y textura. En cualquier caso, las características seleccionadas como descriptoras deberían ser tan insensibles como fuera posible a variaciones tales como cambios de tamaño, traslación y rotación. Centroide El centroide se halla sumando todas las posiciones en x y y de los pixeles de una región y dividiendo los resultados entre el número de pixeles de cada región. La ecuación muestra como calcular el centroide de una región, donde N es el número de píxeles que conforman el contorno y (Cx, Cy) el centroide del contorno.

Lados del contorno. A veces es útil descomponer un contorno en lados. La descomposición reduce la complejidad del contorno y simplifica así el proceso de descripción. Esta solución es particularmente atractiva cuando el contorno presenta una o más concavidades significativas que contienen información sobre la forma. En este caso el empleo del cerco convexo de la región abarcada por el contorno es una poderosa herramienta para una descomposición robusta del contorno.


El cerco convexo H de un conjunto arbitrario S es el conjunto convexo más pequeño que contiene a S. El conjunto diferencia H-S se denomina deficiencia convexa D del conjunto S. Para ver cómo se podrían utilizar estos conceptos para dividir un contorno en lados significativos, considérese la figura 8.8 (a), que muestra un objeto (conjunto S) y su deficiencia convexa (regiones sombreadas). El contorno de la región se puede dividir siguiendo el contorno de S y marcando los puntos en los que se hace una transición hacia dentro o fuera de un componente de la deficiencia convexa. La figura 8.8 (b) muestra el resultado en este caso. Obsérvese que, en principio, el esquema es independiente de la orientación y el tamaño de la región.

Figura 8.8 (a) Una región (S) y su deficiencia convexa (sombreada); (b) contorno dividido.

En la práctica los contornos digitales tienden a ser irregulares a causa de la digitalización, el ruido y las variaciones en la segmentación. Estos efectos normalmente producen una deficiencia convexa que tiene componentes pequeños, insignificantes, esparcidos aleatoriamente sobre el contorno. Mejor que intentar evitar estas irregularidades en un proceso posterior, la práctica común consiste en suavizar el contorno antes de su división. Hay varios modos de hacerlo, un método es recorrer el contorno y reemplazar las coordenadas de cada píxel por las coordenadas medias de m de sus vecinos a lo largo del contorno. Esta solución funciona para pequeñas irregularidades pero lleva mucho tiempo y es difícil de controlar. Valores grandes de m pueden dar un excesivo suavizado, mientras que valores pequeños podrían no ser suficientes en algunos lados del contorno. Una técnica más desigual es utilizar una aproximación poligonal, antes de encontrar la deficiencia convexa de una región. Independientemente del método utilizado para el suavizado, la mayoría de los contornos digitales de interés son simples polígonos (polígonos sin autointersección). Los conceptos del cerco convexo y su deficiencia son igualmente útiles para describir una región completa, así como su contorno. Por ejemplo, la descripción de una región se podría basar en su área y en la de su deficiencia convexa, en el número de componentes de la deficiencia convexa, en la situación relativa de estos componentes, y así sucesivamente.


Lección 40: ANÁLISIS DE IMAGEN USANDO MEDIOS COMPUTACIONALES Para iniciar una práctica en esta lección es necesario aprender y practicar algunas funciones básicas del toolboxes de procesamiento de imágenes en MatLab. Para ello deberá remitirse a las referencias bibliográficas de la unidad donde encontraran una serie de links para el proceso de aprendizaje del software. Lo primero que se realizara es leer una imagen cualquiera, es necesario tener en cuenta la extensión de la imagen que se leerá. Ejercicio: Realizar el proceso de captura y visualización de una imagen. Para ello deberá abrir el editor de MatLab y desarrollar el siguiente código clc; clear all; close all; f=imread('flowers.tif'); % permite la lectura de una imagen figure imagesc (f); % permite la visualización de la imagen impixel % Este comando permite evaluar los valores de cada pixel en sus % componentes RGB title('imagen original'); % Permite etiquetar o nombrar las figuras en Matlab

Figura 8.9 Imagen original


Pixval % Este comando genera la barra negra mostrada en la figura anterior, ella visualize el valor del pixel y su posición en el espacio. Este tiene el concepto implícito de lo que se define como una imagen digital. Aquí se ha marcado tres puntos al azar y el programa genera los valores de los componenetes en R, G B respectivamente. ans = 173 80 139 209 158 194 155 117 0 Ejercicio: Genere los componentes de una serie de pixeles a lo largo de una línea dentro de la imagen. clc; clear all; close all; f=imread('flowers.tif'); figure imagesc (f); impixel % se genera una base de datos que contemplan los valores de los pixels % en RGB a lo largo de la trayectoria marcada. title('imagen original'); %end

Figura 8.10 Valores de pixeles en RGB de la imagen


% Planos para los diferentes colores Como la imagen está formada por tres planos fundamentales en RGB, es necesario separar los planos para obtener información de los atributos de la imagen. Para ello se siguen las siguientes instrucciones, recuerde que es necesario haber leído la imagen previamente. f=imread(‘imagen.ext’) R=double(squeeze(f(:,:,1))); G=double(squeeze(f(:,:,2))); B=double(squeeze(f(:,:,3))); figure, subplot (2,2,1);imagesc(f);colormap;title('imagen original'); subplot (2,2,2);imagesc(R);colormap;title('imagen plano rojo'); subplot (2,2,3);imagesc(G);colormap;title('imagen plano verde'); subplot (2,2,4);imagesc(B);colormap;title('imagen plano azul');

Figura 8.11 Planos para los diferentes colores


% Contribucion de planos (modificación) A=uint8(cat(2,R*0.9,G*0.9,B*0)); figure,imagesc(A); pixval % Cambio de planos YIQ = rgb2ntsc(f); Y=double(squeeze(YIQ(:,:,1))); I=double(squeeze(YIQ(:,:,2))); Q=double(squeeze(YIQ(:,:,3))); subplot (2,2,1);imagesc(f);colormap;title('imagen ORIGINAL'); subplot (2,2,2);imagesc(Y);colormap;title('imagen plano LUMINANCIA'); subplot (2,2,3);imagesc(I);colormap;title('imagen plano CUADRATURA'); subplot (2,2,4);imagesc(Q);colormap;title('imagen plano FASE'); figure x= linspace(0,1,200)'* ones(1,200); HSV= cat (3,x,x',x'); p= hsv2rgb(HSV); imagesc(p); H= double(squeeze(p(:,:,1))); S= double(squeeze(p(:,:,2))); V= double(squeeze(p(:,:,3))); figure, subplot (2,2,1);imagesc(H);colormap; subplot (2,2,2);imagesc(S);colormap; subplot (2,2,3);imagesc(V);colormap;

Figura 8.12 Contribución de planos


CAPITULO 9: PROCESAMIENTO DIGITAL DE AUDIO

Lección 41: EFECTOS QUE UTILIZAN RETARDOS Muchos efectos se consiguen sumando a la señal original, varias copias retardadas y modificadas de diversas formas. De entre todos ellos, los más típicos son los de eco y reverberación, aunque, como veremos, no son los únicos. Dependiendo del tipo de efecto buscado, los tiempos de estos retardos pueden valer entre las pocas milésimas y los varios segundos. Naturaleza del eco y la reverberación En una sala, la reverberación se produce de forma natural porque los sonidos que nos llegan a los oídos no proceden de un único punto emisor, sino que recibimos también “copias” reflejadas por las paredes, el techo, el suelo, y otros objetos. Cuando más distantes de nosotros estén estos reflectores, más retardadas y también más atenuadas recibiremos las copias. El tiempo de reverberación es una propiedad de las salas, y se define como el lapso que debe transcurrir para que el sonido inicial se atenúe en 60 dB. En salas grandes, este tiempo puede durar varios segundos. Otro factor que influye en la reverberación es la absorción de los materiales reflectantes. Superficies poco absorbentes, como el cristal, acrecientan el tiempo de reverberación, mientras que otras, como las cortinas o el propio público, hacen que este valor disminuya. Normalmente, la absorción varía también con la frecuencia (los agudos se absorben más que los graves). Todo ello hace que un buen algoritmo digital de reverberación deba incluir muchos parámetros configurables. Cuando estos retardos son suficientemente grandes como para oírse de forma aislada se denominan ecos, y sólo pueden producirse en espacios muy amplios y con pocos obstáculos (frente a una montaña, etc.). Si nos encontramos situados entre dos obstáculos distantes, el sonido sufrirá varias reflexiones antes de extinguirse, por lo que oiremos varios ecos sucesivos de intensidades decrecientes. Reverberación y eco digitales Dado que un alto porcentaje de la música grabada se escucha en pequeñas salas particulares con tiempos de reverberación muy cortos, la mayoría de grabaciones comerciales incorporan la reverberación y otros efectos que emulan la acústica de grandes salas y las hacen más gratas al oído. Pero los estudios de grabación tampoco pueden ofrecer reverberaciones naturales convincentes, por lo que desde hace décadas se ha investigado mucho en sistemas de reverberación artificiales.


En los años 60 y 70 estos efectos se reproducían de forma analógica (utilizando cintas magnetofónicas) o incluso mecánica (mediante la disposición de placas metálicas, micrófonos y altavoces), pero desde hace unos años, los ecos y reverberaciones digitales han desbancado por completo a los antiguos sistemas. Existen unidades dedicadas que producen estos efectos en tiempo real, y de ellas se hablará en lecciones futuras. Los programas de edición de audio deben contentarse con hacerlo en diferido, pero las posibilidades de configuración que ofrecen son inmensas. Dado que la absorción de un sonido varía con su frecuencia, este tipo de procesos digitales involucran cambios en todos los niveles (tiempo, amplitud y frecuencia) aunque simplificando, pueden entenderse como una serie de repeticiones retardadas y atenuadas. Todos los programas tratan la reverberación y el eco mediante opciones separadas, aunque ambos procesos pueden combinarse. Cool Edit y Sound Forge, son los más completos a la hora de definir este tipo de efectos. Cool Edit es además el único programa que permite al usuario definir salas virtuales; basta con indicar sus dimensiones y los materiales que la componen, para que el sistema calcule su acústica y la aplique a cualquier sonido que deseemos. Flanger y phaser Los retardos se utilizan también de forma menos evidente para crear otros tipos de efectos más "electrónicos". En estos casos, los valores suelen ser breves (milésimas o centésimas de segundo). Con los términos flange, flanger o flanging, se conoce el efecto consistente en mezclar la señal original con una copia con un retardo muy breve, pero variable de forma periódica. Los parámetros a configurar son como mínimo el porcentaje de señal retardada, el margen de variación del retardo (entre varias unidades y varias decenas de milisegundos), la frecuencia de variación de este retardo (normalmente entre algunas décimas y varios hertzios), y el porcentaje de realimentación. Dependiendo de estos valores, el efecto conseguido puede ser similar a los sonidos típicos de las películas de marcianos de los años cincuenta, o al sonido del pop psicodélico de finales de los sesenta (entonces se aplicaba frecuentemente a la guitarra y a la batería). En aquella época, estos efectos se conseguían de forma analógica, mezclando la señal de dos magnetófonos, y retardando o acelerando ligeramente uno de ellos. Cuando no existe realimentación, el efecto es más discreto y suele denominarse phaser o phasing, y se encuentra con frecuencia en pedales para guitarra. La realimentación o el feedback La realimentación (feedback en inglés) no es el nombre de ningún efecto propiamente dicho, sino una forma de procesar el sonido que se aplica en muchos


de ellos. Normalmente se expresa mediante un porcentaje que indica la cantidad de sonido ya procesado que se vuelve a procesar. Cuando este valor es del 0%, no existe realimentación, mientras que cuando es superior al 100%, la intensidad del sonido resultante aumentará paulatinamente hasta llegar a la saturación. El chorus Este es otro efecto, normalmente sutil, pero muy utilizado, con el que se intenta simular que un solo instrumento (o una sola voz), suene como varios instrumentos al unísono. Se consigue retardando y desafinando muy ligeramente la señal original. En la actualidad se aplica muchísimo a los cantantes, para dar más presencia a la voz. Muchos sintetizadores y algunas tarjetas de sonido incorporan efectos en tiempo real. En este caso, incluyen, casi invariablemente, reverberación y chorus. Cuando se le aplica realimentación y modulación de amplitud, el chorus deja de ser un efecto discreto.


Lección 42: PROCESADORES DE RANGO DINÁMICO Recordemos que el rango dinámico de un fragmento sonoro viene dado por la diferencia (en dB) entre la intensidad más fuerte y la más débil. Los efectos incluidos en esta lección, operan directamente sobre la amplitud de las muestras, aunque de formas más sofisticadas que los descritos en lecciones anteriores, modificando de diversos modos el rango dinámico de un determinado fragmento. Los más importantes son los compresores, los expansores, los limitadores y las puertas de ruido. Una buena forma de caracterizar estos procesos, es a través de su función de transferencia, que establece una correspondencia entre las amplitudes de entrada y las amplitudes de salida. En la figura 9.1, se muestran varias funciones de este tipo, junto con los efectos que producen en un fragmento sonoro. La función 9.1 (a) es una recta con una inclinación de 45o, lo que significa que, en este caso, no se produce ninguna modificación del rango dinámico (a cualquier valor de amplitud de entrada, le corresponde el mismo valor en la salida).

Figura 9.1 Funciones de transferencia y sus efectos


Algunos programas de edición de audio permiten que el usuario dibuje manualmente la curva de transferencia, por lo que todos los efectos que se describen a continuación, pueden considerarse como casos particulares de un proceso único. En otros, como por ejemplo Wave, los parámetros se introducen de forma numérica, con lo cual el control en la definición del proceso no puede ser tan preciso. Los compresores y los limitadores Los compresores se utilizan para reducir el rango dinámico de una señal. Su uso es muy frecuente en la grabación de partes vocales, ya que en muchos casos, la señal emitida por la voz y recogida por un micrófono, presenta mínimos muy débiles que se confundirían con el ruido de fondo. Con una compresión más exagerada se consigue un efecto intimista, ya que se acentúan los sonidos de la respiración y de los movimientos bucales (lengua, saliva, etc.). Este efecto también se utiliza mucho en las guitarras eléctricas, creando el típico sonido de guitarra heavy (figura 9.1 (b)). Los limitadores son un caso extremo de compresores, que limitan la amplitud máxima posible a un valor umbral. Suelen utilizarse en grabaciones de conciertos para evitar que se pueda producir saturación. Su función de transferencia presenta pendientes horizontales en los extremos (figura 9.1 (c)). Los expansores Un expansor es el opuesto de un compresor. Acentúa los cambios, disminuyendo los niveles débiles, y aumentando los fuertes. Se utiliza frecuentemente en combinación con puertas de ruido, y para realzar grabaciones antiguas que presentan un rango dinámico estrecho (figura 9.1 (d)). La distorsión Este término tiene connotaciones peyorativas ya que normalmente define la pérdida o la degradación inevitables en una señal, ocasionadas por los diferentes dispositivos o procesos (micrófono, grabación, amplificador, altavoces) a los que se ve sometida. Sin embargo, todos los efectos descritos anteriormente son, en realidad, casos particulares de distorsión, que, por su uso frecuente, reciben un nombre propio. Los programas de edición de audio que permiten dibujar la función de transferencia, no imponen ninguna limitación sobre la forma de esta función, por lo que posibilitan cualquier distorsión arbitraria.


Lección 43: LOS FILTROS Definición De forma rigurosa, cualquier algoritmo o proceso computacional, que a partir de una entrada (una secuencia de números), genere una salida (otra secuencia de números), puede considerarse como un filtro digital. Todos los procesos que hemos comentado hasta el momento representan, por lo tanto, casos diferentes de filtros digitales, pero en la práctica este término se acostumbra a reservar para aquellos dispositivos que modifican el espectro de una señal. No se asuste si lo que sigue le parece algo complicado. Piense que la teoría de filtros digitales puede ocupar todo un curso en una carrera de ingeniería. Por ello, no trataremos aquí la forma de implementación de estos filtros digitales, ni en las teorías matemáticas sobre los que se apoyan. Espectro de una señal Se ha mencionado que la mayoría de sonidos están compuestos por varias frecuencias diferentes. El teorema de Fourier afirma que toda señal periódica compleja puede descomponerse en una suma de señales sinusoidales de frecuencias y amplitudes diferentes. Esta descomposición se denomina espectro de frecuencias, y se representa mediante un gráfico con frecuencias en las abcisas y amplitudes en las ordenadas, en el que se visualizan las respectivas amplitudes de todas las frecuencias que componen un sonido. Esta teoría, que data de más de un siglo, se aplica de forma rigurosa a las señales totalmente periódicas, pero los sonidos nunca lo son plenamente, pues siempre varían a lo largo del tiempo. Afortunadamente, desde hace varias décadas, mediante complejos procesos matemáticos que van más allá del alcance de esta obra, el análisis de Fourier se aplica también a señales variables en el tiempo. En este caso, la representación espectral de un sonido no es ya una única distribución de frecuencias bidimensional, sino una superficie tridimensional, compuesta por una sucesión de "rebanadas" temporales, en la cada una muestra el aspecto del espectro en un instante dado. En la figura 9.2, se muestran varios de estos espectros tridimensionales. En ellos, la frecuencia se representa en el eje x, el tiempo en el eje y (aumenta al acercarse hacia el observador), y la amplitud de estas frecuencias en el eje z. Asimismo, en la parte derecha de estas figuras, se muestra el espectro de frecuencias o “rebanada” correspondiente al instante inicial t=0. Algunos programas de edición de audio son capaces de realizar este análisis para un fragmento seleccionado y de mostrar gráficamente el resultado. Estos gráficos permiten estudiar la evolución temporal de los diferentes componentes frecuenciales que integran el sonido.


Figura 9.2 a) Sonido original

Figura 9.2 b) Filtrado pasa-bajo a 1.500 Hz

Figura 9.2 c) Filtrado pasa-alto a 1.500 Hz


Figura 9.2 d) Filtrado pasa-banda a 1.000-2.000 Hz

Figura 9.2 e) Filtrado rechazo de banda a 1.000-2.000 Hz Figura 9.2 Ejemplos de filtrado con la evolución temporal del espectro de frecuencias, su aspecto en el instante t=0 y el sonido resultante.


Lección 44: ECUALIZACIÓN Y APLICACIONES DEL FILTRADO

Ecualizadores Todos hemos visto alguna vez un ecualizador gráfico. Este aparato consta de varios potenciómetros, cada uno de ellos asociado a una banda de frecuencia, que permiten amplificar o atenuar estos componentes frecuenciales. Cuantas más bandas tenga el ecualizador, más preciso será el control sobre el espectro armónico y más radicalmente se podrá modificar el timbre de los sonidos procesados. Un ecualizador gráfico se construye con un banco de filtros pasa-banda en paralelo. Otro tipo de ecualizadores son los paramétricos, que presentan menos bandas (típicamente dos o tres), pero con frecuencias de corte configurables.

Implementación de los filtros en los editores de audio Los diferentes programas de edición de audio, ofrecen diversas alternativas a la hora de implementar los filtros digitales. Casi todos incorporan un ecualizador gráfico de varias bandas y los cuatro tipos básicos en los que el usuario deberá indicar la frecuencia de corte y la pendiente de atenuación. Uno de los más versátiles es Cool Edit que permite además dibujar curvas de respuesta de frecuencia arbitrarias e incluso interpolar entre dos curvas diferentes produciendo filtros variables en el tiempo, con lo cual se pueden conseguir interesantes efectos. Aplicaciones del filtrado digital Las posibilidades del filtrado digital son muchas; describiremos a continuación algunas de las más representativas. · Filtrado pasa-bajo al reducir la frecuencia de muestreo. Es conocido que la reducción de la frecuencia de muestreo provoca el fenómeno del aliasing, por el cual aparecen frecuencias fantasmas que no se encontraban en el sonido original. Para evitar el aliasing, antes de convertir un fichero a una frecuencia de muestreo inferior, deberá aplicar un filtro pasa-bajo con frecuencia de corte igual a la mitad de la nueva frecuencia de muestreo. Si desea pasar un fichero grabado a 44.100 Hz a 22.050 Hz, deberá, por lo tanto, filtrar el sonido, eliminando sus componentes frecuenciales por encima de 11.025 Hz. Programas como Sound Forge simplifican este proceso, ya que ofrecen la opción de filtrar automáticamente al pasar a una frecuencia menor.


· Simulación de dispositivos analógicos. Un filtrado selectivo puede emular las características sonoras de dispositivos de baja calidad, como teléfonos, radios antiguas, megáfonos, etc. Estos dispositivos se caracterizan por tener curvas de frecuencia bastante estrechas. En este caso, la herramienta más sencilla suele ser el ecualizador gráfico. Si el programa dispone de presets de ecualización bastará con seleccionar el oportuno. Si no encuentra el preset que desea, una vez haya configurado convenientemente el ecualizador (por el método de tanteo y error), no olvide salvar el preset para un posible uso futuro. · El realzado sonoro, es especialmente eficaz y aconsejable con grabaciones de voz. Piense que muchas de las voces aterciopeladas y seductoras de los cantantes actuales son fruto directo del laboratorio. Pruebe a potenciar diferentes bandas de frecuencia en grabaciones de su propia voz (la voz humana posee componentes entre los 100 Hz y los 5.000 Hz aproximadamente). · Utilice el análisis espectral. Para no trabajar a ciegas, el análisis espectral es una herramienta muy útil que nos puede dar una idea de las cualidades y carencias de cualquier sonido. En ocasiones, se infiltran en las grabaciones molestos ruidos con una frecuencia fija, causados por interferencias eléctricas. El análisis espectral nos permitirá detectar estas frecuencias fastidiosas, para proceder a su filtrado posterior. · El filtrado creativo es una ciencia y un arte, que permite alterar radicalmente la naturaleza de cualquier sonido. Intente crear sonidos “musicales” a partir de modestos sonidos cotidianos.


Lección 45: ANÁLISIS DE AUDIO USANDO MEDIOS COMPUTACIONALES

Un filtro digital es un sistema que, dependiendo de las variaciones de las señales de entrada en el tiempo y amplitud, se realiza un procesamiento matemático sobre dicha señal; generalmente mediante el uso de la Transformada rápida de Fourier; obteniéndose en la salida el resultado del procesamiento matemático o la señal de salida. Los filtros digitales tienen como entrada una señal analógica o digital y en su salida tienen otra señal analógica o digital, pudiendo haber cambiado en amplitud, frecuencia o fase dependiendo de las características del filtro digital. El filtrado digital es parte del procesado de señal digital. Se le da la denominación de digital más por su funcionamiento interno que por su dependencia del tipo de señal a filtrar, así podríamos llamar filtro digital tanto a un filtro que realiza el procesado de señales digitales como a otro que lo haga de señales analógicas. Comúnmente se usa para atenuar o amplificar algunas frecuencias, por ejemplo se puede implementar un sistema para controlar los tonos graves y agudos del audio del estéreo del auto. La gran ventaja de los filtros digitales sobre los analógicos es que presentan una gran estabilidad de funcionamiento en el tiempo. El filtrado digital consiste en la realización interna de un procesado de datos de entrada. En general el proceso de filtrado consiste en el muestreo digital de la señal de entrada, el procesamiento considerando el valor actual de entrada y considerando las entradas anteriores. El último paso es la reconstrucción de la señal de salida. En general la mecánica del procesamiento es: 1. Tomar las muestras actuales y algunas muestras anteriores (que previamente habían sido almacenadas) para multiplicadas por unos coeficientes definidos. 2. También se podría tomar valores de la salida en instantes pasados y multiplicarlos por otros coeficientes. 3. Finalmente todos los resultados de todas estas multiplicaciones son sumados, dando una salida para el instante actual.


El procesamiento interno y la entrada del filtro serán digitales, por lo que puede ser necesario una conversión analógica-digital o digital-analógica para uso de filtros digitales con señales analógicas. Ejemplo: %% Procesamiento de una señal de audio usando MATLAB %% Crear señal de audio % Frecuencia fundamental f0=1e3; % 1KHz % Amplitud a=4; % V=4 % Frecuencia de muestreo fs=44.1e3; % Frecuencia de una señal de audio % Tiempo de duración en segundos T=1.5; L = round(T*fs); % Número de muestras % Frecuencia normalizada fn=f0/fs; y = a*sin(2*pi*fn*(0:L-1))+0.5*a*sin(2*pi*2*fn*(0:L-1)); % Graficar la señal original subplot(411) plot((0:L-1)/fs,y) title('SEÑAL ORIGINAL')% Título xlabel('Tiempo (s)') % Etiqueta del eje X ylabel('Amplitud (V)') % Etiqueta del eje Y xlim([0 10/1000]) % Límite de la señal %% Grabar y reproducir la señal de audio %wavwrite(y,fs,'audio') % wavplay(y,fs) %% FFT de la señal subplot(412) % Llamado a la función que calcula la FFT fft_signal(y,fs);title('ESPECTRO DE LA SEÑAL ORIGINAL') xlim([0 2500]) %% Filtrado de la señal % Frecuencia normalizada fNorm = 1500 / (fs/2); % Cálculo de los coeficientes del filtro (filtro pasa bajas) [b,a] = butter(10, fNorm, 'low'); % Filtrado de la señal y_Low = filtfilt(b, a, y); % Graficación de la señal en el tiempo subplot(413) plot((0:L-1)/fs,y_Low) title('SEÑAL FILTRADA')


xlabel('Tiempo (s)') ylabel('Amplitud (V)') xlim([0 10/1000]) % Graficación de la señal en frecuencia subplot(414) % Llamado a la función que calcula la FFT fft_signal(y_Low,fs);title('ESPECTRO DE LA SEÑAL FILTRADA') xlim([0 2500]) %% Gráficas del filtro % Respuesta en frecuencia del filtro [H,w]=freqz(b,a,512,1); figure(2) %Trazado de la respuesta en Magnitud subplot(221) plot(w,20*log10(abs(H))); grid on; title ('Filtro pasa-altos, Respuesta en magnitud'); xlabel('frecuencia'); ylabel('H(f) db') xlim([0 0.4]) % Respuesta en fase subplot(222) plot(w,angle(H)); grid on; title ('Filtro pasa-altos, Respuesta en fase'); xlabel('frecuencia') ylabel('ángulo de H rad') xlim([0 0.4]) %Respuesta al impulso subplot(223) [y_eje,t]= impz(b,a,60); stem(t,y_eje); title ('Filtro pasa-altos, Respuesta al impulso'); %Ploteo de los polos y ceros z= roots(b); % Ceros p = roots(a); % Polos subplot(224) zplane(z,p) title('Polos y ceros') legend('Ceros','Polos') %% Reproducción de audio de entrada y salida pause(2) disp('Audio de entrada') wavplay(0.5*y,fs)


disp('Audio de salida (señal filtrada)') wavplay(0.5*y_Low,fs)

Figura 9.3 Ejemplo de procesamiento digital de audio Tomado de: http://www.matpic.com/esp/matlab/filtros_audio.html

IMÁGENES


ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN DE LA UNIDAD 3 1. Cuáles son las principales especificaciones de diseño a tener en cuenta en el diseño de filtros digitales? 2. ¿Qué aspectos se deben considerar en la realización de filtros digitales? 3. ¿Cuáles son los efectos de longitud de la palabra finita en filtros digitales? 4. ¿En qué consiste la Teoría de Hering? 5. Mencione las transformaciones empleadas en el procesamiento de imágenes. 6. ¿Cómo se realiza el cálculo de las características en el procesamiento de imágenes?. 7. Proponga dos ejemplos de procesamiento de imágenes empleando medios computacionales 8. Relacione del procesamiento de audio con los procesadores de rango dinámico. 9. ¿En qué consiste la ecualización?. 10. Proponga dos ejemplos de procesamiento de audio empleando medios computacionales



DIRECCIONES DE SITIOS WEB Procesamiento digital de sonido http://www.antoniosacco.com.ar/docu/apunte_sonido_digital.pdf Procesamiento digital de imágenes http://www2.uacj.mx/Publicaciones/GeneracionImagenes/imagenesCap8.pdf http://fisica.medellin.unal.edu.co/recursos/analisis_imagenes_sistemas/analisis _senales_sistemas/software_orquidea/tutorial_orquidea_nov_02_2006.pdf teachingnotes/Introduccion.pdf http://www.monografias.com/trabajos5/matlab/matlab.shtml#intro http://www.isa.umh.es/asignaturas/iarp/practicas/P_6/PRACTICA6.pdf http://www.matpic.com/esp/matlab/filtros_audio.html

299004 Modulo Procesamiento Senales Digitales

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