PROPOSISI MAJEMUK MAJEMUK
Ekspresi Logika Logika • Perangkai logika digunakan untuk mengkombinasikan proposisi-proposisi atomik menjadi proposisi majemuk. • Ekspresi logika adalah proposisi-proposisi yang dibangun dengan variabel-variabel logika yang berasal dari pernyataan atau argumen.
Ekspresi Logika Logika (lanjutan) • Setiap ekspresi logika dapat bersifat atomik atau majemuk tergantung dari variabel proposional yang membentuknya bersama perangkai yang relevan.
• Proposisi majemuk dapat menyebabkan ambiguitas, atau kesalahan penafsiran.
terjadinya
• Untuk menghindarinya maka proposisi majemuk yang akan dikerjakan terlebih dahulu akan diberi tanda kurung. kuru ng. • Proposisi-proposisi dengan perangkai-perangkai yang berada di dalam tanda kurung disebut fpe ( fully fully parenthesized expression) expression)
Contoh-1 Jika Dewi rajin belajar, maka ia lulus ujian dan mendapat hadiah istimewa Pernyataan tersebut proposional:
dapat
diubah
A = Dewi rajin belajar B = Dewi lulus ujian C = Dewi mendapat hadiah istimewa Maka ekspresi logikanya berubah menjadi: A B ∧ C
menjadi
variabel
Contoh-1 • Persoalannya: terdapat dua kemungkinan (AB) ∧C atau A(B∧C) • Kedua kemungkinan tersebut dapat menghasilkan nilai kebenaran yang berbeda • Mana ekspresi logika yang tepat? • (AB) ∧C • A(B∧C)
(AB) ∧ C Pernyataan tersebut dapat dibaca “Dewi mendapat hadiah istimewa” istimewa” tidak berhubungan dengan “Dewi “Dewi rajin belajar”, yang menjadi akibat “Dewi “Dewi rajin belajar” hanya “Dewi “Dewi lulus lulus ujian” ujian” saja. saja.
A (B (B∧C) Pernyataan tersebut dapat dibaca “Dewi “Dewi lulus ujian” dan ujian” dan “Dewi “Dewi mendapat mendapat hadiah istimewa” merupakan akibat dari “Dewi “Dewi rajin rajin belajar” belajar”.. Ekspresi inilah yang lebih mewakili peryataan tersebut
tepat
untuk
Skema • Skema merupakan satu menyederhanakan suatu proposisi rumit dengan memberikan huruf menggantikan satu subekspresi subekspresi.
cara untuk majemuk yang tertentu untuk ataupun sub-
• Suatu ekspresi logika tertentu, misal (A ∧B) dapat diganti dengan P, sedangkan (A ∨B) dapat diganti Q. Jadi P berisi variabel proposional A dan B, demikian juga Q. • Dalam hal ini, P maupun Q bukan variabel proposional
lanjutan ) Skema ( lanjutan • Contoh: P = (A∧B) dan Q = (A∨B) (PQ) = ((A∧B) (A∨B)) •
Perhatikan bahwa: – Ekspresi apa saja yang berbentuk (¬P) disebut Negasi – Ekspresi apa saja yang berbentuk (P ∧Q) disebut Konjungsi – Ekspresi apa saja yang berbentuk (P ∨Q) disebut Disjungsi – Ekspresi apa saja yang berbentuk (PQ) disebut Implikasi (conditional ) – Ekspresi apa saja yang berbentuk (P↔Q) disebut Ekuivalensi (biconditional )
Menganalisis Proposisi Majemuk Majemuk Contoh: [1] Jika Joko lulus sarjana teknik informatika, orang tuanya akan senang, dan dia dapat segera bekerja, tetapi jika dia tidak lulus, semua usahanya akan sia-sia
Analisis(skop kiri & skop kanan) [1.1] Jika Joko lulus sarjana teknik informatika, orang tuanya akan senang dan dia dapat segera bekerja dengan [1.2] Jika dia tidak lulus, semua usahanya akan sia-sia
Sub proposisi skop kiri [1.1.1]
Jika Joko lulus sarjana teknik informatika dengan
[1.1.2]
Orang tuanya akan senang, dan dia dapat segera bekerja
Sub sub proposisi skop kiri [1.1.2.1]
Orang tuanya akan senang dengan
[1.1.2.2]
Dia dapat segera bekerja
Sub proposisi skop kanan [1.2.1]
Jika dia tidak lulus dengan
[1.2.2]
Semua usahanya akan sia-sia
• Teknik memilah-milah kalimat menjadi proposisi-proposisi atomik disebut Parsing • Hasilnya dapat diwujudkan dalam bentuk Par se T r ee
Parse Tree • Parse Tree Tree diubah menjadi fpe fpe sebagai berikut: o
A = Joko Lulus sarjana s arjana teknik informatika
o
B = Orang tua Joko senang
o
C = Joko bekerja
o
D = Usaha Joko sia-sia
• Pernyataan tersebut ditulis: (A(B∧C)) ∧((¬A)D)
Contoh-2 • Jika anda mengambil mata kuliah logika, dan anda tidak memahami proposisi, maka anda tidak lulus mata kuliah tersebut
• Variabel proposisi: o
A = Anda mengambil mata kuliah logika
o
B = Anda memahami proposisi
o
C = Anda lulus mata kuliah
• Ekspresi logika: (A ∧ ¬B) ¬C
Aturan Pengurutan • Untuk menjaga kebenaran sebuah pernyataan maka setiap operator/penghubung diberikan aturan yang lebih tinggi • Aturan pengurutan (precedence rules) adalah aturan yang digunakan untuk memprioritaskan penafsiran suatu hasil yang digunakan memastikan proses pengerjaan subekspresi
Hierarki Perangkai
Hierarki ke
Simbol
Nama
1
¬
Negasi
2
∧
Konjungsi
3
∨
Disjungsi
4
→
Implikasi
5
↔
Ekuivalensi
Contoh-3 • ¬p ∨ q ≡ (¬p) ∨ q • p
q
∨
r ≡ (p
• p → q
∨
r ≡ p → (q
∧
∧
q)
∨
∨
r
r)
• p ↔ q → r ≡ p ↔ (q → r)
Latihan-1 Ubahlah pernyataan-pernyataan berikut menjadi ekspresi logika berupa proposisi majemuk: 1. Jika tikus itu waspada dan bergerak cepat, maka kucing atau anjing itu tidak mampu menangkapnya. 2. Andi membeli saham dan properti untuk investasinya, atau dia dapat menanamkan uang di deposito bank dan menerima bunga uang
Latihan-2 Beri tanda kurung pada ekspresi berikut agar tidak ambigu. 1. A
∧
B
∧
C → D
2. A
∨
B
∨
C → ¬D
3. ¬A
∧
B → ¬C
∨
D
Latihan-3 Jika nilai A dan B adalah T, sedangkan C dan D adalah F, carilah nilai kebenaran dari ekspresi logika berikut: 1. A
(B
∧
2. ((A D))
∨
3. (¬(A ∧ C)
∧
∨
B) B)
C) ∧
∨
C)
∨
¬C)
¬((A
∨
∨
(((¬A
B) ∧
∧
B)
(B ∨
∨
¬D)
Tautologi, Kontradiksi & Contingent
Tautologi • Tautologi : Proposisi majemuk yang selalu bernilai benar (true)
tidak perduli apa nilai kebenaran proposisi penyusunnya. Jika pada tabel kebenaran untuk semua pasangan nilai
variabel-variabel proposional yang ada bernilai benar (T). Contoh: p
∨
¬p (apa tabel kebenarannya? kebenarannya?))
Contoh-4 • ¬(A • (A
∧
∧
B)
∨
B
B) → (C
∨
(¬B → ¬C))
• Jika ¬(A ∧ B) ∨ B adalah tautologi, buktikan ¬((A ∨ B) ∧ C) ∨ C juga tautologi • Jika Tono pergi kuliah maka Tini juga pergi kuliah, jika Siska tidur, maka Tini pergi kuliah. Dengan demikian demikian,, jika Tono pergi kuliah atau Siska tidur, maka Tini pergi kuliah
Kontradiksi • Merupakan kebalikan dari tautologi • Proposisi majemuk yang selalu bernilai false tidak perduli apapun • Jika pada semua pasangan dari kebenaran menghasilkan nilai F • Contoh: p
∧
((A
¬p ∨
B)
∧
¬A)
∧
¬B
nilai
Contingent • Proposisi majemuk selain tautologi dan kontradiksi • Jika pada semua tabel menghasilkan nilai F dan T
kebenaran
• Suatu ekspresi logika yang mempunyai nilai benar atau salah di dalam tabel kebenarannya.
Contoh-5 • ((A
∧
B) → C) → A
• ((A → B)
∧
(¬B → C)) → (¬C → A)
Latihan 1. Tantukan apakah ekspresi logika berikut ini termasuk tautologi, kontradiksi atau contingent. •
A → (B → A)
•
(A
•
(¬ ¬A → A) ↔ ((A → B)
•
(A
∧
∧
B)
∧
¬B
(A → B)) → B
∧
¬ B)
Latihan 2. Jika (A ∨ ¬A) adalah tautologi, buktikan bahwa ekspresi logika berikut ini adalah tautologi • (A → B)
∨
• ¬A
∨
¬¬A
• ((A
∧
C)
∨
¬(A → B) B)
∨
¬((A
∧
C)
∨
B)
