suavizamiento
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Modelos No Formales En es este te ti tipo po de mo mode delo loss se as asum umee qu quee lo loss da dato toss asociados a períodos recientes son los mejores predictores para el futuro. Casos relevantes :
Casos relevantes (Continuación): 2. Predicción en términos de cambio absoluto Yˆ
Aquí to Aqu toma mamo moss en co cons nsid ider erac ació iónn el últ ltim imoo incr in crem emen ento to o de decr crem emen ento to ob obse serv rvad adoo en entr tree valores consecutivos de la Serie de Tiempo.
1. Predicción en términos de la última observación Yˆt +1 = Y t
es e m o o se se e co conoce am pronóstico "sin cambios".
= Y + Y −Y −
n co como e
. re cc n en rm nos e cam o re a vo
ˆ = t +1
Mtro. Raúl Castro
Mtro. Raúl Castro
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suavizamiento
⎛ Y t ⎞ ⎜ Y t −| ⎟ ⎝ ⎠
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suavizamiento
Casos relevantes (Continuación): 4. Predic Predicción ción con atrón estacio estacional nal Yˆt +1 = Y t −k
t
Casos relevantes (Continuación): .
Longitud del ciclo = estacional - 1 k =
El valor de k dependerá del número de períodos quee so qu sonn ne nece cesa sari rios os pa para ra re repe peti tirr un pa patr trón ón completo. Por ejemplo, si se tiene un patrón anual con datos mensua es = - = : Yˆt +1 = Y t −11
⇒ Yˆ13 = Y12 −11 = Y 1
(t+1=13)
-
dencia Yˆt +1 = Y t −k +
Y − Y − + ... + Y − − Y −
Pronóstico del atrón estacional
k + 1
Pronóstico de la tendencia (mediante el romedio de cambio durante los últimos k+1 períodos)
⇒ Yˆt +1 = Y t −k +
(Y − Y −( +1) ) t
t
+
k
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suavizamiento
Ejemplo No. 7 : La siguiente tabla muestra las ventas trimestrales de s erras para ex cana en e per o o . Compare mediante el uso del MAPE los 5 métodos desc de scri rito toss an ante teri rior orme ment ntee (c (con on el va valo lorr de k má máss adecuado)
Resulta incialmente "saludable" echar un vistazo al correl corr elog ogra rama ma de es esto toss da dato toss pa para ra lo loss pr prime imero ross 10 es ases : Hay indicios de estacionalidad cada 4 trimestres (es decir, cada a o k = = 4 − 1 = 3
Mtro. Raúl Castro
Mtro. Raúl Castro
70
71
suavizamiento
suavizamiento
Derivado lo anterior los modelos a probar son los siguientes:
Los resultados obtenidos para el MAPE son:
1) Yˆt +1 = Y t
2) Yˆt +1 = Yt + (Y t −Yt −1 )
⎛ Y ⎞ 3) Yˆt +1 = Y t ⎜ t ⎟ ⎜ ⎟
4) Yˆt +1 = Y t −3
Y t −
ˆ
t +1
(Yt − Y t −4 ) t −3
4
suavizamiento
suavizamiento La ex exp pre resi sión ón an ante teri rior or pre rese sent ntaa pro robl blem emas as de almac alm acen enami amien ento to cu cuan ando do la se seri riee de dat datos os es mu muyy gran gr an e. ar araa res resoo ve verr o ant anter erio iorr se se pue pue e rea rea iza izarr e siguiente desarrollo:
Modelos basados en promedios Este tipo de modelos se usan en especialmente en situ tuac acio ionnes donde los pronóstic icoos deben ser actualizados en forma diaria, semanal o mensual para nvenn ar os que con ene nve enenn c en en os o m es e ar cu os. Casos relevantes :
−
ˆ =1 t +1
1. Promedios simples
t
ˆ =1 t +1
t
t i =1
suavizamiento
t
i =1
t
=
( t − 1) ˆYt + Y t t
75
suavizamiento
Casos relevantes (Continuación): . t +1
i
i =1
Mtro. Raúl Castro
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ˆ
i
=
∑ Y + Y
, del pr del pron onóst óstic icoo an ante teri rior or,, su va valor lor re real al y el nú núme mero ro consecutivo de la serie que le corresponda. En general, el método de promedios simples es efectivo cuando el ambiente de donde proviene proviene la serie cambia .
i
, observación, ésta es incorporada en el pronóstico del siguiente período. Mtro. Raúl Castro
t
Yt + Yt −1 + ... + Y t −( k −1) k
1
k −1
k i =0
t −i
dond do ndee k re repr pres esen enta ta el nú núme mero ro de té térm rmin inos os a considerar en el promedio móvil. s , e prome o m v para e p r o o es a media aritmética de las últimas k observaciones, al cuall den cua denotam otamos os med median iante te MA k or sus si las en inglés : "Moving Average").
Consideraciones al usar Promedios Móviles : , peso se otorga los períodos recientes. En el caso contrario (valores grande de k) se dice que existe un mayor efecto de "suavizamiento" 2) Va Valor lores es pe pequ queñ eños os de k so sonn re reco come menda ndabl bles es cuann o sue cua sue en ocur ocurrr r cam cam os repe repenn nos en e nivel de la serie de tiempo (pues el pronóstico se actualiza actualiza más rá idamen idamente te . 3) Es común utilizar utilizar promedios promedios móviles móviles de datos trimes tri mestra trales les (MA (MA(3) (3))) o sem semest estrale raless (MA (MA(12 (12)) )) para ayudar a suavizar la serie.
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Casos relevantes (Continuación):
3. Promedios móviles dobles (Continuación)
. Este enfoque fue diseñado para manejar Series de Tiempo donde existe una tendencia. Su mecanismo consiste en calcular un conjunto de promedios móviles para luego repetir el proceso sobre dichos . Así, en este caso es necesario calcular : M t = M t = '
t+ p
= at +
= 2 M t − M t k − 1
(M
t
− M t ' )
(Estimación del intercepto) (Estimación de la pendiente )
De esta manera p representa el número de períodos hacia adelante que se desea pronosticar y k el n mero e e ementos consi era os en e prome io.
"Segunda vuelta" Mtro. Raúl Castro
suavizamiento
p
'
k M t + M t −1 + ... + M t −(k −1)
t
at = M t + M t − M t' bt =
78
79
suavizamiento
Observación :
El proceso necesario para obtener los valores de las variables de suavizamiento doble at y bt parte del supuesto que Yt puede expresarse como : Yt = β 0 + β1t + ε t
Lo cual a su vez implica que : E [ M t ] =
1
⎡( β 0 + β1t ) + ( β0 + β 1 ( t − 1) )
k ⎣
+... + β 0 + β 1 t − ( k − 1)
Término de error aleatorio
Por ejemplo, para obtener la expresión para bt (equivalente a β 1 ) desarrollaríamos :
E ( M t ) =
ˆ
Yt + Yt −1 + ... + Y t −( k −1)
Mtro. Raúl Castro
M t =
para pronosticar de la siguiente manera:
Yt + Yt −1 + ... + Y t −(k −1)
= [ k β 0 + k β1t − ( β1 + 2β 1 +... + ( k − 1) β 1 ) ⎦ k
= β 0 + β 1t − (1 + 2 + ... + ( k − 1) )
k
1⎡ E ( Yt ) + E (Yt −1 ) + ... + E Y t −( k −1) ⎤ ⎣ ⎦
(
)
⎦
E (Y t )
( k − 1) k 2
1
k
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suavizamiento Nota importante :
Por consiguiente :
− 2
E [ M t ] = E (Y t ) −
β 1
2 ⎡ E (Yt ) − E ( M t )⎤ ⇒ β 1 = − 2 k − 1
t
−
ofrecer no sólo estimaciones puntuales para un pronóstico, sino tambíén intervalos de confianza para visualizar el "peor" y "mejor" de los casos. El supuesto que generalmente se maneja es que los errores de predicción se distribuyen como una Normal con media igual a cero, lo cual arroja un
Promedio de los prome ios
' t
confianza de (1 − α ) :
ˆ
lo cual coincide con nuestro resulta previo para t Mediante un desarrollo similar es posible obtener una
t +1
Valor estadístico e ta as
t
Mtro. Raúl Castro
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α / 2
Mtro. Raúl Castro
⋅
* para pronósticos de un solo paso (un período adelante)
83
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Ejemplo No. 8 : Cierta cadena de tiendas dedicada a la renta de
La tabla resultante quedaría de la sig. forma :
número de rentas para la sig. semana en función de las últimas quince semanas (ver tabla adjunta). Compare los resultados que obtendría mediante promedios móviles simples y dobles ajustados de 3 períodos, de términos del MSE. Calcule un intervalo de confianza del 95% para el pronóstico seleccionado.
Menor Error Cuadrático Medio
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Así el Intervalo de Confianza del 95% para el mejor de ambos métodos en este caso (Promedios Móviles Dobles ajustados) sería :
Ahora bien, si quisiéramos pronosticar mediante el Método de promedios móviles simples en Minitab para los datos previos tendríamos :
ˆ
16
0.05/ 2
⋅
727 ± 1.96 ⋅ MSE
Mtro. Raúl Castro
E uivalente a S aprox. (a rox.)
Mtro. Raúl Castro
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Los resultados desplegados son los siguientes :
Al utilizar el software Forecast Pro para pronosticar mediante Promedios Móviles simples tendríamos :
MSE
Intervalo e :
Los límites coinciden
En un año se tienen 52 semanas ( los datos vienen en esta unidad de tiempo) Plantea la posibilidad de lle ar a lantear ciclos mensuales (para búsqueda de patrones)
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Procedemos entonces a editar los datos previos de la siguiente manera (recuerde que son 15 en total) :
Nota : Si quisiéramos conservar los datos originales en un forma de Hoja de Excel, de manera que podamos accesar a ellos desde Forecast Pro, el formato a manejar es el siguiente :
Mtro. Raúl Castro
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Mtro. Raúl Castro
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Sigamos ahora con el pronóstico de Promedios Móviles Simples (SMA) :
El paso siguiente es definir cuántos períodos hacia "adelante se quieren pronosticar así como el nivel de con anza e :
Mediante el uso de un " " la variable a pronosticar
Parámetros del nivel de confianza Horizonte a pronosticar
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A continuación procedemos a "correr" el pronóstico :
Podemos ahora obtener el reporte del Pronóstico correspondiente :
Ventana de Estadísticos de Soporte
O ciones a incluir en el reporte Mtro. Raúl Castro
Mtro. Raúl Castro
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95
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Asimismo, podemos graficar los resultados anteriores :
Para revisar los valores numéricos asociados a cada pronóstico (tanto valores puntuales como de intervalo) enemos :
mites e intervalo de confianza
suavizamiento
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Vemos por "curiosidad" qué modelo nos propone Forecast Pro cuando dejamos el Pronóstico en manos e a e ecc n xper a xper e ec on :
Mtro. Raúl Castro
Modelos de suavizamiento exponencial 1. Suavizamiento Sim le Bajo esta metodología se asignan pesos que decrecen en forma exponencial a las observaciones previas usa as para pronosticar. Así, os atos más recientes son aquellos que reciben mayor peso (a diferencia de , el mismo peso). Por lo general, resulta conveniente usar este enfoque cuando los datos no presentan una tendencia predecible a la alta o a la baja. De manera general , Nuevo = α x (Nueva + (1 − α ) x (Viejo o servac n pron s co
Mtro. Raúl Castro
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suavizamiento
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suavizamiento
De manera más forma, la ecuación de suavizamiento ex onencial sim le ueda como :
ˆ Yˆt +1 = α Yt + (1 − α ) Y t dicha expresión puede ser re-expresada mediante :
ˆ = t +1
t
ˆ− t
ˆ
t
= Yˆ + α Y − Y ˆ Así, otra manera de ver el pronóstico es mediante el + del error cometido en el período anterior.
Dado que al sustituir para el período t se cumple que :
ˆ Yˆt = α Yt −1 + (1 − α ) Y t −1
⇒ Yˆt +1 = α Yt + 1 − α ) Y ˆt =
t
−
⎣
t −1
ˆ
−
t −1
⎦
2
ˆ − = α Y + 1 − α α Y − + 1 − α Y t −1
= α Yt + (1 − α ) αYt −1 + ... + (1 − α ) Y 1 de lo cual corroboramos el hecho de que la velocidad con la que las observaciones pasadas pierden su impacto en el pronóstico depende del valor de α
suavizamiento
suavizamiento
Observación :
El modelo de suavizamiento exponencial simple basa su análisis en situaciones donde el promedio (o nivel) de la serie de tiempo es constante (o cambia muy . t ser vista como: Y t = + ε t Por lo que una estimación del nivel μ = E (Y t ) sería :
ˆ =α t
− α ˆt −1
t −1
Promedio ponderado)
Ejemplo No. 9 : Considere nuevamente los datos del ejemplo previo ´. sería el modelo de Suavizamiento Exponencial Simple más apropiado? Efectúe el pronóstico correspondiente para el siguiente período. Como punto de partida para poder usar este método planteamos : Yˆ1 = Y 1
y de ahí desarrollamos :
ˆ = 2
valor más adecuado de α a considerar? Sin duda alguna, aquél que minimice el MSE (lo cual puede lograrse mediante el uso de técnicas de optimización Mtro. Raúl Castro
102
1
−
ˆ
1
ˆ Yˆ = αY + 1 − α Y Mtro. Raúl Castro
(etc.)
103
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Podemos así iniciar nuestro análisis con una tabla como la siguiente (con la idea de minimizar el MSE) :
El resultado final que obtenemos mediante Solver es : α = 1
a or m n mo del MSE Pronóstico
suavizamiento
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Por supuesto que podemos simplificar la obtención del pronóstico mediante el uso de Forecast Pro :
Lo anterior equivale a escoger la siguiente opción :
Mtro. Raúl Castro
Mtro. Raúl Castro
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En general, cuando deseamos pronosticar p períodos hacia delante con suavizamiento exponencial simple tenemos : ˆ Yˆt + p = αYt + (1 − α ) Y t
= Y ˆt +1 y e n erva o e con anza e − puesto por Bowerman está dado por :
para
t+ p
pro-
Yˆt +1 ± zα '/ 2 S 1 + ( p − 1) α 2
Estimación puntual
107
1 t ∑ Yt − Y ˆt t − 2 =
(
Observación :
La varianza del ronóstico denotado or S 2 uede visualizarse como una especie de promedio en el cual se debe substraer una unidad por cada parámetro estima o en e mo e o en este caso a a . Así, dado que el valor inicial Yˆ1 = Y 1 fue en realidad propues o por noso ros, rea men e enemos un o a e (t-1) valores pronosticados a consecuencia de esta metodolo ía. Por consi uiente el denominador del promedio a calcular sería : t − 1 − 1 = t − 2
)
2
⇒ S2 =
1 −
t
∑ Y − Y ˆ t
j 2
t
2
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Ejemplo No. 10 : Retomemos el ejemplo previo de renta de DVD´s.
En Forecast Pro podemos obtener también intervalos de predicción para los períodos en cuestión de forma , originales :
intervalo, las rentas para los siguientes 4 períodos (de t=16 a t=18). Considere un intervalo del 95% para dicho efecto.
Mtro. Raúl Castro
Mtro. Raúl Castro
110
suavizamiento
111
suavizamiento La razón de dicha discrepancia se debe al valor aproximado por Forecast Pro para Z cuando manejamos una con ianza e 95%. Esto lo podemos verificar si asignamos Z = 1.996953 en la tabla ue reviamente habíamos construído la comparamos con el reporte de pronósticos de Forecast Pro : Los límites difieren ligeramente de los nuestros ¿Porqué? ¡ Ya checan los valores obtenidos !
suavizamiento
suavizamiento
Por último :
Antes de continuar con las demás metodologías, vale la pena comentar sobre la conveniencia de establecer “ ” pronosticador. Esto es, criterios que al ser comparados con los pronósticos sucesivos que se van obteniendo permitan darnos cuenta de que el modelo ha cambiado. na a ternativa, en caso e optar por e uso e mo e o previo de Suavizamiento simple, consiste en considerar ue a un 95% de confianza el error máximo de pronóstico para el período 16 es :
=
.
.
=
.
.
por lo que en caso de que un pronóstico inmediato . , . Mtro. Raúl Castro
114
suavizamiento
Modelos de suavizamiento exponencial (Continuación) 2. Suavizamiento ex onencial con tendencia : Método de Holt Este método (creado en 1957 por Holt) también es conocido como “Método de Doble Suavizamiento Exponencial”, y su objetivo es incorporar una evolucione al paso del tiempo. Así la técnica de Holt involucra la obtención de varias constantes de suavizamiento que van cambiando conforme se obtienen nuevas o servaciones, con e o jetivo e ar mayor flexibilidad al modelo.
Mtro. Raúl Castro
115
suavizamiento Las ecuaciones utilizadas en el modelo de Holt son las siguientes : Yˆt + p = Lt + pTt t
t
−
t −1
t −1
Tt = β ( Lt − Lt −1 ) + (1 − β ) Tt −1
donde :
(Estimación del nivel) (Estimación del crec m en o
Lt : Nuevo valor suavizado
: stimaci n e a ten encia α : Constante de suavizamiento para t
β : Constante de suavizamiento para
suavizamiento
suavizamiento
Observación :
El modelo de suavizamiento ex onencial doble basa su análisis en situaciones donde Y t puede ser modelada de forma lineal : Yt = β 0 + β1t + ε t Nivel (o media) en = el tiempo t
t
=
0
1
Crecimiento esperado = E Y − E Y − en el tiempo t = β 1 s , este mo e o e suavizamiento es apropia o cuando tanto el nivel como la razón de crecimiento son cambiantes en el tiem o. Mtro. Raúl Castro
En general, cuando deseamos pronosticar p períodos hacia delante con Suavizamiento Exponencial doble de Holt tenemos : Yˆt + p = Lt + pTt
Un criterio de “inicialización” consiste en asignar : y el intervalo de confianza de (1 − α ')%para Y t + p para este caso está dado or : α y β son p −1 estimadas con 2 2 ˆ α '/ 2 t+ p j =1
Mtro. Raúl Castro
118
suavizamiento
T = 0
L = Y
1 t − 3
t
ˆ Y − Y
2
j =2
119
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Ejemplo No. 11 : Al analizar la Función de Autocorrelación para los ´ observar lo siguiente en Forecast Pro :
¡ Indicativo de ex s enc a e tendencia !
Podemos así incorporar la tendencia con un Modelo de Suavizamiento de Holt, partiendo de los valores iniciales siguientes : (Criterio No. 1) L1 = Y 1 T 1 = 0 Cuando ambos coeficientes son iguales se ice que tenemos un Suavizamiento de Brown Yt + p = Lt + pTt L = α Y + 1 − α L − + T − Tt = β ( Lt − Lt −1 ) + (1 − β ) Tt −1
suavizamiento
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Resolvemos a continuación para Alfa y Beta, de manera que se minimice el MSE :
Existe otra ingeniosa alternativa para “inicializar” el proceso previo. Ésta consiste en desarrollar un modelo de regresión donde el tiempo t es la variable independiente y Yt la variable dependiente. L0 y la pendiente como T0. Dicho mecanismo es usado por paquetes estadísticos como Minitab. En nuestro ejemplo previo la regresión para los 15 valores se llevaría a cabo mediante : Comp emento Data Analysis” de Excel
Pronóstico Mtro. Raúl Castro
Mtro. Raúl Castro
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123
suavizamiento Nota : ¡Bajo este nuevo esquema resulta necesario agregar un nuevo renglón a la tabla!
disminuyó ! (el valor previo era de 52.30)
L0 T 0
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suavizamiento Lo anterior es fácilmente verificable mediante MINITAB :
Si quisiéramos correr Solver nuevamente, podríamos partir de la hoja siguiente (dados Alfa y Beta iniciales) :
Con un valor de Alfa ligeramente mayor a cero (debido a restriccio-
Mtro. Raúl Castro
Mtro. Raúl Castro
126
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127
suavizamiento
Al dar “Click” en el botón “Results” :
Podemos así comparar resultados :
Equivalente a nuestra “Beta”
suavizamiento
suavizamiento El modelo propuesto por Forecast Pro es entonces :
¿Cuáles son las constantes de suavizamiento que propone Forecast Pro para los datos anteriores por el método de Ho t?
Yˆ15+ p = L15 + pT15 = 723.78 + p ( 3.8426 )
= . − . t t −1 t −1 Tt = 0.99 ( Lt − Lt −1 ) + (1 − 0.99 ) Tt −1 t
Así, al pronosticar las rentas para la semana No. 16 :
ˆ = ˆ = 16 15+1
Mtro. Raúl Castro
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suavizamiento
.
= 727.62
Nótese que el MSE = (5.413)2 = 29.3 aprox. (mayor al nuestro de 21.68) Mtro. Raúl Castro
.
131
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Otra manera de haber logrado lo anterior sería :
Los valores iniciales
Ejemplo No. 12 : Considere los datos siguientes correspondientes a las de refrigeración (cuya secuencia de aparición va de arriba hacia abajo hacia la derecha) : ¿Cuál será el intervalo de confianza del 95% asociado al pronóstico de las ventas de termostatos para la . método de Holt? Desarrolle la tabla correspondiente en Excel mediante la inicialización de parámetros por .
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La tabla a desarrollar tiene el siguiente formato (con los valores de Alfa y Beta ya optimizados) :
En este caso tenemos : S = Mtro. Raúl Castro
1 t ∑ Y j − Y ˆj t − 2 j =1
(
)
Y entonces tendríamos el siguiente Intervalo al 95% de Confianza :
2
Mtro. Raúl Castro
134
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135
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Sin embargo, Bowerman y O´Connell proponen que la regresión necesaria para obtener los parámetros n c a es s o cons ere un su con un o e os a os iniciales. Por ejemplo, si manejamos la mitad de las ventas históricas o timizando :
De esta forma, para calcular el intervalo de confianza correspondiente del 95% tendríamos para pronosticar 54 : Yˆ52 +2 ± z0.025 S 1 +
donde : S = ¡ Hemos mejorado el valor e
2 −1
0.24684 1 + 0.09505 j
2
j =1
1 52 ∑ Yt − Y ˆt 52 − 2 =
(
)
2
= 27.887
Yˆ52 + 2 = L50 + 2 (T 52 )
= 315.946 + 2 ( 4.5040 ) = 324.954
