ARITMÉTICA TEMA 2
PROMEDIOS SNII2A2
DESARROLLO DEL TEMA Cantidades representativas de un conjunto de valores (medidas de tendencia central) dado:
• Dar la de: 6; 2 y 3 Resolución
a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ …… ≤ an ↓ ↓ MENOR VALOR ≤ PROMEDIO ≤ MAYOR VALOR
Consideraciones importantes
I. TIPOS DE PROMEDIO A. Promedio Aritmético o Media Aritmética (MA) O simplemente promedio MA =
3 =3 1 1 1 + + 6 2 3
• Para 2 cantidades “a” y “b”
Suma de datos Número de datos
MA =
• Dar la MA de: 7; 13 y 4 Resolución
a+b 2
MG = ab
7 + 13 + 4 =8 3 MH =
Nota: Sea “n” números y “s” suma de los números ⇒ S = n . MA (“n” números)
2ab 2 = a+b 1 1 + a b
• Dado: 0 < a1 ≤ a2 ≤ a3 …..… ≤ an
B. Promedios Geométricos o Media Geométrica (MG) MG =
n
an ≥ MA ≥ MG ≥ MH > 0 ⇓ ⇓ Mayor Menor Promedio Promedio
Producto de los datos
n: número de datos •
Dar la MG de: 5; 15 y 45
Resolución
3
Se verifica que:
• Si todos los valores son iguales
5 . 15 . 45 = 15
MA = MG = MH
C. Promedio Armónico o Media Armónica (MH) MA =
• Para cantidades “a” y “b”
Número de datos Suma inversa de datos
SAN MARCOS REGULAR 2014 – II
MG2 = MA . MH
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ARITMÉTICA
TEMA 2
PROMEDIOS
La alteración de la media aritmética
En general:
Sean los números: 3, 5 y 10 MA =
3 + 5 + 10 =6 3
PP =
Si aumentamos 7 unidades al 5 y disminuimos 4 al 10:
P1 + P2 + P3 + ... + Pn
Donde:
3 + 5 + 10 7–4 Nuevo Promedio = + =7 3 3 144424443 14243 Promedio Variación inicial
an: enésimo de las notas, precios, … etc Pn: enésimo de los promedios, peso frecuencias, créditos, ...... etc
II. MEDIDAS DE POSICIÓN
Importante:
Nuevo = promedio + variación del promedio inicial promedio
A. Media X Está dada por la media aritmética de los datos
Donde:
B. Mediana (Me):
total que – total que se aumenta disminuye Variación del promedio = Número de datos
25 por lo que diremos que Me=25
• Al dar 3 exámenes, obtengo 11, 17 y 13; siendo los pesos de cada examen 2, 1 y 3 ¿Cuál será mi nota promedio?
• 20;21;21;25;29;30 entonces:
Resolución: NOTAS
PESOS
11
2
Me =
TOTAL 11 × 2 +
17 × 1
17
1
13
3
13 × 3
6
78
La nota promedio será:
78 11.2 + 17.1 + 13.3 = = 13 6 2+1+3
Considerando los datos ordenados (creciente o decreciente) la mediana es el término central y/o la semisuma de los términos centrales. • 12;17;25;75;143 notamos que el dato central es
D. Promedio ponderado (PP) (Promedio de Promedios)
a1P1 + a2P2 + a3P3 + ... + anPn
21 + 25 = 23 2
C. Moda (Mo)
+
Es aquel dato que se presenta con mayor frecuencia, así pueden ser UNIMODAL,BIMODAL, etc • Se tiene las edades de nueve personas: 17;18;16;15;16;18;15;17;18, entonces se dirá que la edad 18 es la que más se repite (3 veces). En este caso la distribución es unimodal, por consiguiente Mo = 18
PROBLEMAS RESUELTOS Problema 1 El promedio de 6 números es x, si se retira el mayor, el promedio se reduce en 4 unidades. Halle la diferencia entre x y el número mayor retirado. A) –24 B) 24 C) 20 D) –20 E) 30 UNMSM 2001 NIVEL FÁCIL
Resolución: MA(6N°) = x
TEMA 2
6x – Mayor =x–4 5 6x – Mayor = 5x – 20
∑6N° =x 6 ∑ 6N° = 6x
Mayor – x = 20
∑ 5N° + Mayor = 6x ∑ 5N° = 6x – Mayor .............(1) Donde:
Problema 2 Juan viaja de A a B y, recíprocamente de B a A con velocidades medias de 30 y 60 millas por hora; respectivamente. La velocidad media en el viaje completo es:
MA(5N°) = x – 4 ∑5N° =x–4 5
ARITMÉTICA
Respuesta: 20
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SAN MARCOS REGULAR 2014 – II
PROMEDIOS
A) 40m/h D) 35m/h
B) 50m/h C) 45m/h E) 30m/h
Vpromedio = 40
Resolución:
Respuesta: 40m/h
UNMSM 2004-I NIVEL INTERMEDIO
Resolución: Como aplicación de la media armónica tenemos el cálculo de la rapidez media Vpromedio = MH (Velocidades) Vpromedio =
2 × 30 × 60 30 + 60
Problema 3 La media aritmética de 30 números es 20. Si agregamos 20 números cuya suma es 600, halle la media aritmética de los 50 números. A) 30 B) 10 C) 20 D) 24 E) 60
∑50N° = ∑30N° + ∑20N° ∑50N° = 30 × 20 + 600w Donde: MA(50N°) ⇒ ⇒
UNMSM 2013-I
∑50N° 50 1200 = 24 50
NIVEL FÁCIL
Respuesta: 24
5. Si el promedio aritmético de 15; 40; B y 16 es 24, calcular el valor de “B”. A) 24 B) 25 C) 30 D) 40 E) 58
9. La media armónica de tres números es 72/7, la media aritmética es catorce y la media geométrica es igual a uno de ellos. Halle la suma de cifras del mayor de los números. A) 4 B) 6 C) 7 D) 5 E) 8
PROBLEMAS DE CLASE EJERCITACIÓN 1. Luis Ángel obtuvo 14; 10 y 18 en tres evaluaciones. ¿Qué nota obtuvo en el cuarto examen si su promedio final fue de 15? A) 17 B) 18 C) 19 D) 20 E) 21 2. El promedio aritmético de a; b y c es 29. Si b es el promedio aritmético de 12 y 20, calcular (a+c). A) 72 B) 61 C) 71 D) 62 E) 51 3. José recibió su boleta de notas y observó lo siguiente: Curso Matemática
Física Lenguaje Biología
Nota 14 12 16 15
Peso 4 3 2
1
¿Cuál es su promedio ponderado? A) 13,9 B) 13 C) 15,5 D) 15 E) 16,6
4. ¿Cuál es el promedio de los 20 primeros números enteros positivos? A) 11,5 B) 12,5 C) 9,5 D) 10,5 E) 13,5
PROFUNDIZACIÓN 6. Si para dos números a y b (a > b) que son enteros positivos: MG
MA
6
= 3125
Determinar la media armónica. A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11
7. La media armónica de 50 números es 13 y la media armónica de otros 30 números es 26. Halle la media armónica de los 80 números. A) 32 B) 30 C) 26 D) 16 E) 15 8. En un grupo de cuarenta personas se observa que el peso en kilogramos de cada uno es un número entero. Sabiendo que el peso promedio es 53 kilogramos y ninguno pesa menos de 52 kilogramos, ¿cuántos kilogramos como máximo puede pesar uno de ellos? A) 72 B) 82 C) 84 D) 92 E) 94
SAN MARCOS REGULAR 2014 – II
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SISTEMATIZACIÓN 10. La diferencia de dos números enteros positivos es 3n. Halle el mayor de ellos, si se sabe que la media aritmética y la media geométrica de ambos, son dos números pares consecutivos. A) 89 B) 99 C) 93 D) 100 E) 97 11. Para dos números positivos a y b se cumple que: 1 V 1 R 1 S + W = (MA + MG)–1 4 MA MG X T
Halle la relación entre a y b. A) a=b B) a=2b C) b=2a D) a=3b E) b=3a
12. Se tiene cuatro números enteros positivos cuya moda, media y mediana son 19; 16,75 y 17,5 respectivamente. Calcule el promedio del menor y mayor de los números. A) 15 B) 15,5 C) 16,5 D) 16 E) 17
ARITMÉTICA
TEMA 2
