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13. El promedio aritmético de 3 números enteros es 14. Su promedio geométrico es par e igual a uno de los números. Su promedio armónico es 72/7. Determine el número mayor A ) 24 B) 36 C) 48 D) 12 E) 18 14. La edad promedio de 5 alumnos del ciclo anual es 17 años. Si ninguno es menor de 15 años, cuál es la máxima edad edad que uno de ellos puede tener? A) 25 a ñ os B) 24 años C) 22 años D) 23 años E) 26 años 15. El promedio aritmético de 30 números es 14. Si aumentamos un número, el promedio se incrementa incrementa en 2 unidades. Qué número estamos aumentando? B) 76 A) 75 C) 77 D) 78 E) 79 16.0 ADMISION 1999
El
promedio
de
5
numeroses
“x”.siel
promediode dos de elloses x/2¿Cuál es el promedio de los otros tres ? a)x/2 b)2x/3 c) x/9 d )4x /3 17.0 ADMISION 2001 El promedio de 6 numeros es “x”.si se retira
el mayor , el promedio se reduce en 4 unidades. halle la diferencia entre “x” y el numero mayor
retirado. a)-30 b)25
c)-20
d) 40
18.0 ADMISION 1992 El promedio de 20 numeros es 40 ,si agregamos 5 numeros cuyo promedio es 20 ¿Cuál es el promedio final? d) 36 a)30 b)35 c) 40 19.0 ADMISION 1993 Si la MA y la MG de dos numeros son enteros consecutivos.hallar la diferencia de las raices cuadradados de los numeros? a)5 b) 8 c) 2 d) 3 20.0 ADMISION 2004-II La media aritmetica de un examen tomadoa “x”alumnosfue de 8,4 y el profes or decide aumentar 2 puntos a los 21 desaprobadosque habia.asi el nuevo promedio resulta 9,8. Halle el valor de “x” )3 0 d) 14 a) 70 b)50 c )3 21.0 ADMISION 2008-II El promedio de notas de 30 alumnos en el curso de historia es 52, si 6 de los alumnos tienen un promedio de 40 ¿Cuál es el promedio de los restantes? )5 5 b)60 c) 70 a )5 d)52 22.0 ADMISION 99-II
La media geometrica de dos numeros enteros Ay B es 6 2 . Se sabe que su media armónica y su media aritmética son dos enteros consecutivos. Entonces la diferencia en valor absoluto de dichos números es : R P T A 6 23.0 UNI 2000-II Se tiene 4 numeros al añadir el promedio de 3 de ellos al restante se obtiene los numeros 17.21.23.29.Entonces la suma de los 4 numeros RPTA 45 es igual a:
PROMEDIOS 2.1.PROMEDIO ARITMÉTICO ( P.A )
PH PG PA
Dado : a1 ; a2 ; a2 ; . . a n
II) Si todas las cantidades son iguales :
“n” cantidades
P.A =
a1
a2
a2
a1 = a2 = a3 = . . . = an
....
an
de estos enteros es 6 3 .halle la media RPTA 19,2 armónica de dichos números : 27.0 . UNI 2009-I Tres numeros enteros m, n,p tienen una media aritmetica de 10 y una media geometrica de 3 960 960 . Halle aproximadamente la media armónica de estos números si (n)(p)=120 RPTA 9,73
28.0 UNMSM 2010 I El producto de 2 números es 64 y la suma de sus raíces cuadradas positivas es 6, calcule la RPTA 32/5 MH de dichos números 29.0 UNALM (LA MOLINA) 2010-I Si MA+MH=19,1Y a+b=20 Hallar; a.b a)71 b)81 c)91 c)91 d)101 e)185 UNALM (LA MOLINA) 2010-II Si el 60% de un salon aprobo,el promedio era 12 y el promedio de los aprobados fue 15, halle el promedio de los desaprobados a)4,1 b)4,2 c)9,3 d)7,5 e)5,6 30.0 E.O .PNP 2008 El mayor promedio de dos numeros enteros es 40, y el menor promedio es 30.hallar la diferencia de los numeros.
PA PG PH
n
Observación :
24.0 UNI 2003-I SI el promedio de 10 numeros de entre los (cincuenta)enteros positivos es 27.5;el promedios de los 40 emteros positivos restantes es: RPTA 25 25.0 UNI 2004-I La suma de las razones geometricas que se pueden formar con dos cantidades es 14. Calcule la relacion entre la MG Y la MH de esas RPTA 2 dos cantidades. 26.0 UNI 2008-II La media aritmetica y la media geometrica de dos numeros enteros positivos se diferencian en 6 unidades y la suma de la s raices cuadradas
2.4. PROPIEDADES I) Dadas : a 1; a2; . . . , an ; se cumple :
Al promedio aritmético de dos números (A y B) se
m.a ).
denomina media aritmética ( A
m.a
Para 2 números (A y B) A > B Se cumple :
1. 2.
B 2
3.
2.2. PROMEDIO GEOMÉTRICO (P.G)
4.
Dado : a1; a2; a3 ; . . ; a n
5.
n
P.G
a1 x a2 x a3 ... x an
Observación :
mh mg ma mg
ma. mh
A x B = ma x mh
( A
ma mg ma
6.
mg
7.
mh
a
B)2
4(ma mg)
b 2
ab 2ab a
b
Al promedio geométrico de 2 números (A y B) se le denomina media geométrica ( m.g )
m.g
PRÁCTICA DE CLASE CLASE
A x B
2.3.PROMEDIO ARMÓNICO ( P.H )
01. Hallar el promedio de: 40 ; 40 ; 40 ; .......... . ;40
abcabc veces
Dado : a1, a2, a3, . . . ,an
50; 50; 50;.......... . ; 50
“n” cantidades
y P.H
a) 44 b) 45 c) 46 d) 47
n 1
1
1
a1
a2
a3
1
....
an
02.
e) 48
ADMISION 2011-I
El promedio de las edades de 4 personas es 48, si
Observación:
ninguna es menor de 45 años¿Cuáles la máxima
Al promedio armónico de dos dos cantidades (A y B) se le denomina media armónica. ( m.h
m.h )
2 AB A
edad que puede tener uno de ellos? a)57
B
d)58 e)46
¿Cuál es el menor de los números? a) 4
3 ABC AB AC
b)56 c)55
03. La MG de dos números números es 4 y la MH es 32/17 32/17 .
- Para 3 números A, B y C m.h
(54389 ) abc veces
BC
b) 2 c) 3
d) 5 e) 1
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04. El promedio aritmético de las edades de de 3
MG (a; c; d) = 4
estos dos últimos sumarán dentro de 10 años, 48
personas es superior en una unidad al promedio
MG (b;c; d) = 6
años?
aritmético de las edades de las 2 primeras
MG (a; b; d) = 8
a) 14,5 d) 17
personas. Sabiendo que la tercera persona tiene a) 38
Calcular :
40 años. Hallar el promedio de las 3 edades. b) 40 c) 42 d) 44 e) 46
05. A cada uno de los 12 números números cuya suma es
a) 8
b) 16
MH (a ; b ; c ; d)
8
b) 15,4 e) 18
c) 16,4
18. En las aulas A, B y C la cantidad cantidad de alumnos
c) 32
d) 64
e) 4
12. La MG de dos números números es 4 y la MH es 32/17. 32/17.
están en la relación de 12; 15 y 13 si el promedio de sus notas en la primera práctica fueron 11, 12
367,5 se le resta respectivamente números
¿Cuál es el menor de los números?
y 16 respectivamente. Hallar el promedio de las
consecutivos, por lo que el promedio aritmético
a) 4 b) 2
notas de las 3 aulas.
inicial queda reducido a su quinta parte. Hallar el
c) 3
d) 5 e) 1
13. ¿Cuál será la nota promedio de un alumno en el
mayor de los números consecutivos.
curso de "Redes Inalámbricas"; si su promedio
a) 22
ponderado fue 10,6; además se sabe que:
b) 26
c) 28
d) 30
e) 35
1 12
1 1 ..... 20 (n 1)(n
a) 1/n+2
c) (1+n)2
1 2(n 1)
d) e) 07. UNALM (LA MOLINA) 2006
Dado dos numeros naturales,si la media armonica es 3 y la media aritmetica es 4,el menor de ellos es: 08. Si los promedios aritmético, geométrico y armónico de 3 números son 28;16 y 64/7. Hallar la suma de los cuadrados de los 3 números. a) 1648
b) 4438
d) 2348
e) 6248
c) 4368
09. El promedio aritmético de 30 números diferentes y de 2 cifras es 45. Determine el promedio aritmético de los números de 2 cifras no considerados. a) 59,25
b) 50
d) 51
e) 38,5
Prome d io romed
Redes Inalámbricas
3
n
Ingeniería de Transporte
4
9,7
c) 49,5
10. La media geométrica de a y b es 8 15 ; su media
Celulares I
4
8,9
SDH / PDH
5
10,4
a) 14,4 b) 13,2 c) 14,1 d) 15
La media aritmética de tres números enteros positivos es 7,la media geométrica es igual a uno de ellos y su media armónica es igual a 36/7 el menor de los números es; a) 5 b) 4 c) 2 d) 1 e) 3 15. La suma de 2 números enteros enteros es 18, su MH y MA son consecutivos. Determinar la diferencia de los números. a) 10
b) 8
c) 6
d) 4 e) 2
16. La media armónica armónica de 20 números números de 2 cifras es 18 y de 30 números de 3 cifras es 540. Calcular la media armónica de estos 50 números. a) 200/7
b) 300/7
d) 45
e) 28
c) 300/11
17. El promedio de las edades de los 3 hermanos de Gloria es 12 años, y el promedio de las edades de
diferencia entre a y b.
los 5 hermanos de Soledad es 18 años. ¿Cuál
c) 16
11. Si se cumple: MG (a; b; c) = 3
d) 26
e) 24
. Además se sabe que el producto: bc
b) 350/75
d) 75/350
e) 73/360
c) 360/74
MH (a; b; c) = 64/7
será el promedio de edad de todos ellos, incluido la edad de Gloria y Soledad, si las edades de
a b c ; ; 4 4
Hallar: MA ( 4 a) 6 d) 9
)
b) 7
A) 89 B) 92 C) 96 D) 98 E) 104 06. El promedio de 50 números es 16, a 20 de estos se les aumenta 7 unidades y a los restantes se les disminuye 3 unidades. Cuál será el nuevo promedio? A) 12 B) 15 C) 16 D) 17 E) 18 07. El mayor y el intermedio de los promedios de dos números es 50 y 48 respectivamente. Calcular el promedio armónico de los números que hacen esto posible. A) 45,92 B) 48,08 C) 47,08 47,08 D) 46,08 08. El promedio armónico de 40 números es 16 y el promedio armónico de otros 30 números diferentes entre sí es 12. Calcular el promedio armónico de los 70 números. A) 10,28 D) 16,28
MG (a; b; c) = 16 a2 + b2 + c2 = 4368
UNALM (LA MOLINA) 2007-II
14.
20
a) 320/73
e) 13
pares consecutivos. Dar como respuesta la
b) 14
MG de
3
20. Si:
aritmética y su media armónica son 2 números
a) 8
a) 11,5 b) 12,7 c) 13 d) 13,2 e) 14 19. Tres números a, a, b y c tienen una MA de 5 y una
= 30. La MH de estos números es:
2)
b) 2n+3
1 2 (n 2)
Número de Créditos
Cur so urso
06. Hallar la MA de los n números: 1 6
91
E
Cuál es la media aritmética de todos los números? C) 23,7 A) 26,7 B) 24,7 D) 29,7 E) 25,7 05. El promedio aritmético de 81 números consecutivos es 104. Hallar la media geométrica del primero con el último.
c) 8
e) 1
PRÁCTICA DIRIGIDA Nº01 01. ADMISION 1997
El promedio de 4 números es x . Si uno de los números es (x-3). Cuál es el promedio de los otros 3? A) x-1 B)(x+1)/3 C) x+1 D) D) 3(x+1) 02. ADMISION 1987 Si el menor promedio de 2 números es 15 y su mayor promedio es 20. La diferencia de dichos números es: A) 20 B) 18 C) 17,5 D) 12 E) 13,5 03. Sabiendo que la M.A. y M.G. de dos números enteros están en la relación de 5 a 4. Hallar el mayor de éstos si se sabe que la suma de dichos números está comprendido entre 32 y 48. C) 32 A) 15 B) 60 D) 70 E) 75 04. La media aritmética de 12 números es 9; de otros 8 es 15 y de 20 últimos es 36.
B) 12,28 E) 18,28
C) 14
09. ADMISION 1996 La media aritmética de un conjunto de 10 números es 16. Si incluimos los números 8 y 12 en el conjunto. Cuál es la media aritmética de este nuevo conjunto? A) 17 B) 12 C ) 15 D) 18 E) 13 10. ADMISION 1991 La media aritmética de 3 números es 3/2. La relación entre el primero y el segundo números es de 1 es a 2 y la relación entre el segundo y el tercer número es de 1 es a 3. El producto de dichos números es: A) 4/3 B) 3/2 C) 3/5 D) 5/3 E) 3 11. ADMISION 1984 - II De 500 alumnos de un colegio cuya estatura promedio es de 1,67 m; 150 son mujeres. Si la estatura promedio o media aritmética de las mujeres es 1,60. Calcular la estatura promedio de los varones de dicho grupo. A) 1,70 m B) 1,64 m C) 1,71 m D) 1,69 m E) 1,68 m 12. El promedio geométrico de 20 números es 243 y el promedio geométrico de otros 30 números es es 32. Cuál es el promedio geométrico de los 50 números? A) 49 B) 48 C) 72 D) 54 E) 4
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