Clase # 3
PROGRAMACIÒN LINEAL EL PROBLEMA DE ASIGNACIÓN DE RECURSOS
CONTENIDO El Problema de Asignación de Recursos 1. Definición del Problema y Recolección de información 2. Formulación del Modelo 2.1 Forma éstandar 2.2 Forma matricial 2.3 Variaciones a la forma éstandar 3. Soluciones de P. L. 3.1 Tipo de soluciones 3.2 Casos especiales 4. Suposiciones de la P. L.
1. DEFI DEFINI NICI CIÓN ÓN DE DEL L PR PROB OBLE LEMA MA El problema de Asignación de Recursos Ejemplo prototipo
Problema General
• Capacidad de producción de las plantas
• Recursos
• 3 Plantas
• m recursos
• Fabricación de productos
• Actividades
•2 Productos
• n actividades
•Tasa de producción del producto j, X j •Ganancia Z
•Nivel de la actividad j, X j •Medida global de efectividad Z
RECOLECCIÓN DE INFORMACIÓN Recurso
Consumo de recursos por unidad de actividad Actividad
Cantidad de recursos disponibles
1
2
n
1
a11
a12
a1n
b1
2
a 21
a 22
a 2n
b 2
m
a m1
a m2
a mn
Contribución a Z por unidad de actividad
c1
c 2
c n
b m
2. FORMULACIÓN DEL MODELO DE P. L. 2.1 Definición de Variables y parámetros X j = Nivel de la actividad j (para j = 1, 2,......, n). c j = Incremento en Z que resulta al aumentar una
unidad en el nivel de la actividad j (costo o utilidad) Z = Valor de la medida global de efectividad.
bi = Cantidad del recurso i disponible para asignar a las actividades (i =1,2,..., m) (recurso o requerimiento) aij = Cantidad del recurso i consumido por cada unidad
2.2 El Modelo de P.L. en Forma Éstandar MAX Z = c1 X 1 + c 2 X 2 + ...........+ c n X n Sujeto a:
Función objetivo
(restricciones funcionales) a11 X 1 + a12 X 2 + .............+ a1n X n a 21 X 1 + a 22 X 2 + .............+ a 2n X n
b1 b 2
a m1 X 1 +a m2 X 2 + .............+ a mn X n b m
(restricciones de signo de las variablers) X
0 para i = 1,2,....,n
2.3 El Modelo en Forma matricial
Max Z = c x Sujeto a
A x x
b ≥
0
En el ejemplo de la Wyndor: c= 3 5
x = x1 x2
1 A= 0 3
b =
0 2 2
4 12 18
2.4 Variaciones a la forma éstandar 1. Minimizar en lugar de maximizar la función objetivo. objetivo Min Z = c1 X 1 + c 2 X 2 + ...........+ c n X n 2. Restricciones funcionales del tipo ai1 X 1 + ai2 X 2 + .............+ ain X n
bi para algún i
3. Restricciones funcionales en forma de ecuaci ón ai1 X 1 + ai2 X 2 + .............+ ain X n
= bi
para algún i
4. Las variables de decisi ón sin la restricción de no negatividad . X j no restringida en signo para algún j
3. SOLUCIONES DE P. L 3.1 Tipo de soluciones
(Estamos acostumbrados a que el término solución signifique respuesta final) SOLUCIÓN: cualquier conjunto de valores para las variables de decisión (X 1 , X 2 , ... X n), sin importar si es una posibilidad deseable o ni siquiera permitida. Solución factible: Solución que cumple con
todas las restricciones funcionales y de signo. Solución no factible: Solución para la que al tricción se viola.
soluciones factibles
x2
10
(2,6) solución factible óptima
9 8 7
R2
6 5 4
(4,6) solución no factible
3 2
R3
1 0
1
2
3
4
R1
5
6
7
8
9
x 10 1
Un modelo de P. L. de n variables tiene:
0 soluciones. 1 solución
infinitas soluciones
Si tiene 2 soluciones tiene infinitas soluciones (cualquier combinación convexa de soluciones también es una solución). sigue
Combinación convexa de n vectores X 1, X2, .... Xn: X =
1 X 1 +
2 X 2
Donde:
+ ...........+
n X n
n i
0 ,
i=1
i
=1
Sean 2 soluciones de P. L.: X1, X2 Una Combinación Convexa de ellas: X3 = 1 X 1 + 2 X 2 también es solución de P.L.
REGIÓN FACTIBLE: Conjunto de todas las soluciones factibles
SOLUCIÓN FACTIBLE EN UN VÉRTICE (FEV):
Solución que se encuentra en un vértice de la región factible VERTICE: PUNTO EXTREMO: P. E. .
Soluciones FEV (Puntos Extremos: P.E.)
x2
10
(0,6)
(2,6)
9 8 7
R2
6 5 4
(4,3)
3 2
R3
1 0
(0,0)
1
2
3
4
R1
5
6
7
8
9
x 10 1
(4,0)
Relación entre soluciones óptimas y soluciones FEV.
Cualquier problema de P.L que tenga una región factible acotada y que tenga soluciones factibles debe poseer soluciones FEV, de las cuales al menos una es la solución óptima
Solución óptima.
Es la mejor solución de acuerdo con la función objetivo Si el problema tiene una solución óptima debe ser un FEV.
Si
el problema tiene múltiples soluciones, debe tener al menos 2 FEV
3.2 Casos Especiales Como en todo tipo de problema existen casos especiales.
Caso 1. No se tienen soluciones factibles. Caso 2. Se tienen múltiples soluciones óptimas. Caso 3. No se tienen soluciones óptimas. Veamos detalladamente
Caso 1. No se tienen soluciones factibles
Si A x
b no
tiene solución Si en el ejemplo de la Wyndor, las ganancias netas por semana deben superar los US$ 50000 para que se justifique la implementación de la producción de los 2 nuevos productos . La formulación de este problema sería
Maximizar Z = 3X 1 + 5X 2 Sujeto a
X 1
≤
2X 2 3X 1 + 2X 2 3X 1 + 5X 2
≤ ≤
4
12
18
50
X 1 , X 2 ≥ 0
Graficando las restricciones x2 X1=4
10 9 8 7
X2=6
6 5 4 3
3X1+5X2=50
2 1 0
3X1+2X2=18 1
2
3
4
5
6
7
8
9
x 10 1
Caso 2. Múltiples soluciones óptimas Si en el ejemplo de la Wyndor, el producto 2 no da una ganancia neta de US$ 5000 sino de US$ 2000, la nueva formulación del problema sería: Maximizar Z = 3X 1 + 2X 2 Sujeto a: X 1 ≤ 4 2X 2 ≤ 12 3X 1 + 2X 2 ≤ 18
X , X
≥
0
Gráficamente
( 2,6)
x2
10
Las rectas de Isoutilidad son paralelas a la tercera restricción
9 8 7
R2
6 5 4
(4,3)
3 2
R3
1 0
1
2
3
4
R1
5
6
7
8
9
x 10 1
Es indiferente elegir cualquiera de los puntos (2,6) o (4,3), o cualquier punto en el segmento de recta entre éstos, ya que producen el mismo nivel de Z, que en este caso es Z = 18
Caso 3. No se tienen soluciones óptimas 1) No se tienen soluciones factibles. 2) Las restricciones no impiden que el valor de la función objetivo mejore indefinidamente en la dirección favorable (región factible no acotada)
OJO: Cuando esto ocurre es probable que haya un error en la formulación del problema
Si en el ejemplo de la Wyndor sólo la planta 1 tiene restricción de tiempo, el problema sería:
Maximizar Z = 3X 1 + 2X 2 Sujeto a
X 1
4 2X 2 ≤ 12 3X 1 + 2X 2 ≤ 18 ≤
X 1 , X 2 ≥ 0 Veamos la gráfica
x2
10
Región factible no acotada
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
1
2
3
4
R1
5
6
7
8
9
x 10 1
4. SUPOSICIONES DEL MODELO DE P. L.
4.1 Suposición de proporcionalidad. (en la F. O. y en las restricciones) 4.2 Suposición de divisibilidad. (Variables reales) 4.3 Suposición de certidumbre. (en los valores de los parámetros) 4.4 Suposición de aditividad. (en la F. O. y en las restricciones)
4.1 Suposición de proporcionalidad La
contribución de cada actividad a la función objetivo Z, es proporcional al nivel de la actividad X j como lo representa el término c j X j en la función objetivo. La
contribución de cada actividad al lado izquierdo de las restricciones es proporcional al nivel de la actividad X j , como lo representa el término aij X j en la función objetivo.
En el ejemplo de la Wyndor: Por cada lote del producto 1 que se fabrique, la ganancia es US$ 3000. Esto es, en la función objetivo: Z = 3X 1 + 2X 2 Veamos la siguiente tabla
Ganancia del producto 1 (miles US$ por semana) Nivel Proporcionalidad satisfecha
0 1 2 3 4
0 3 6 9 12
Proporcionalidad insatisfecha
Caso 1
0 2 5 8 11 Costos fijos
Caso 2
0 3 7 12 18
Caso 3
0 3 5 6 6
Rendimiento Rendimiento marginal marginal creciente decreciente
Costos fijos Proporcionalidad insatisfecha
Proporcionalidad satisfecha
Rendimiento marginal creciente Proporcionalidad insatisfecha Proporcionalidad satisfecha
Rendimiento marginal decreciente Proporcionalidad satisfecha
Proporcionalidad insatisfecha
4.2 Suposición de divisibilidad
Los valores de las variables de decisión pueden tomar cualquier valor real. es decir, no necesariamente tienen que ser números enteros.
4.3 Suposición de certidumbre.
Esto significa que todos los parámetros c j , aij , b j son conocidos con certeza.
4.4 Suposición de aditividad.
Según esta suposición, cada función de un modelo de P.L (tanto la función objetivo como el lado izquierdo de las restricciones funcionales) es la suma de las contribuciones individuales de cada una de las actividades involucradas.
En el Ejemplo de la Wyndor:
Maximizar Z = 3X 1 + 2X 2 Sujeto a X 1
≤
2X 2 3X 1 + 2X 2
≤ ≤
4
12
18
Funciones lineales
Análisis de aditividad en la función objetivo Valor de Z (X1,X2) Aditividad Aditividad insatisfecha satisfecha Caso 1 Caso 2
(1,0)
3
3
3
(0,1)
5
5
5
(1,1)
8
9
7
Z=3X 1+5X 2 + X 1 X 2
Z=3X 1+5X 2 X 1 X 2
La suposición de proporcionalidad no prohíbe los términos de productos cruzados. Z = 3X 1+5X 2+ X 1 X 2
Productos complementarios Z = 3X 1+5X 2 -X 1 X 2
Productos competitivos
En el lado izquierdo de las restricciones funcionales Valor del lado izquierdo (X1,X2) Aditividad Aditividad insatisfecha satisfecha Caso 1 Caso 2
(2,0)
6
6
6
(0,3)
6
6
6
(2,3)
12
15
10.8
3X 1+2X 2+ 0.5X 1 X 2
3X 1+2X 2 0.1X 1 2 X 2
