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Programação Linear
Não é um manual escolar. Não dispensa a consulta de um u m manual escolar. escolar. Recomendamos a presença nas aulas e o aconselhamento com um professor.
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Programação Linear
Resumos Matematik
Programação Linear
Programação linear….. ............................................................................................................ Quais os passos a dar na resolução de cada problema?.... . . . . . .…………….. ……. Exemplo 1 …..…………………………………………… ……………………..……………….. Exemplo 2………………………………………… ………………..…. …………………….. Apêndice………………………………………… ...…………………………………………………… Teorema Fundamental da Programação Linear…. … ……………………. . . . Rectas de nível……………………………………………………………………………. . Situações possíveis………………………………………………………………………. ..
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Programação Linear
Programação Linear
É um método para resolver problemas nos quais se procura tomar uma decisão sobre duas ou mais variáveis, tendo em vista alcançar um objectivo pré-definido. Essas variáveis estão condicionadas por um determinado contexto.
à questão “
”. Ao nível do ensino secundário vamos resolver problemas sempre e apenas
Cada problema tem as suas variáveis. Podemos identificá-las respondendo com duas variáveis.
”. Podemos ter duas ou mais
se respondendo à questão “
As condicionantes das variáveis podem encontrarcondicionantes das variáveis do problema.
O objectivo é maximizar ou minimizar um determinado resultado, isto é, determinar a solução óptima para o problema estudado.
Vamos usar o método algébrico e o método gráfico.
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Quais os passos a dar na resolução de cada problema?
Segue o “mapa do tesouro”:
Ler o enunciado do problema com toda a atenção, na tentativa de encontrar resposta às seguintes questões: O que quero fazer? Como quero fazer?
Construir uma Tabela de Variáveis e Condicionantes (também chamada Simplex) e escrever a inequação que traduz cada restrição:
Identificar o objectivo a atingir e escrever a função objectivo.
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Desenhar num referencial ortonormado a região correspondente a cada restrição. Pela conjunção de todas elas obtemos a região admissível (no exemplo seguinte temos quatro restrições):
≥ ≥ ≤ − + ≤ − +
≥
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≥
≤ − +
≤ − +
Intersecção das regiões do plano correspondentes a cada inequação:
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Fazer uma tabela com as coordenadas dos vértices da região admissível, calculando para cada vértice o resultado da função objectivo (vidé Anexo: Teorema Fundamental da Programação Linear):
0 0 10 13
0 10 5 0
(,)
Em função dos resultados da função objectivo, escolher o par de variáveis mais adequado ao objectivo a atingir.
Está feito! Vamos a uns exemplos? Vamos a isso!
Exemplo 1 A turma da Isabel decidiu fazer arranjos florais, utilizando flores do horto da escola, para vender no Dia dos Namorados. Idealizaram arranjos formados por margaridas, rosas e violetas. Dispõem de 192 margaridas, 88 rosas e 112 violetas. Pensaram formar dois tipos de arranjos: A e B. Cada arranjo do tipo A: será composto por 16 margaridas, 4 rosas e 8 violetas; dará um lucro de 3 euros.
Cada arranjo do tipo B: será composto por 8 margaridas, 8 rosas e 8 violetas; dará um lucro de 2 euros.
Determine o número de arranjos de cada tipo que os alunos devem produzir para obterem o maior lucro possível (admitindo que vendem todos os arranjos). Exames Oficiais
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O que quero fazer?
Quero fazer dois tipos de arranjos florais (variáveis e ).
Como quero fazer?
Quero fazê-los com condicionantes).
Construção da tabela de variáveis e condicionantes: Inequações que traduzem cada variável:
,
e
(três
Margaridas
Rosas
Violetas
Arranjo A
16
4
8
Arranjo B
8
8
8
192
88
112
≥ vamos fazer arranjos. Podemos não fazer nenhum, ou fazer vários, logo ≥ .
vamos fazer arranjos. Podemos não fazer nenhum, ou fazer vários, logo .
Inequações que traduzem cada condicionante: : Cada arranjo leva 16 margaridas. Como vamos fazer arranjos , vamos precisar de margaridas. Cada arranjo leva 8 margaridas. Como vamos fazer arranjos , vamos precisar de margaridas. A quantidade total de margaridas a usar não pode ultrapassar 192, ou seja, .
+≤
:
+≤
Cada arranjo leva 4 rosas. Como vamos fazer arranjos , vamos precisar de rosas. Cada arranjo leva 8 rosas. Como vamos fazer arranjos , vamos precisar de rosas. A quantidade total de rosas a usar não pode ultrapassar 88, ou seja, .
: Cada arranjo leva 8 violetas. Como vamos fazer arranjos , vamos precisar de violetas. Cada arranjo leva 8 violetas. Como vamos fazer arranjos , vamos precisar de violetas. A quantidade total de violetas a usar não pode ultrapassar 112, ou seja, .
+≤
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(continuação)
São estas as cinco restrições presentes neste problema:
Objectivo a atingir:
Maximizar o lucro da venda de arranjos.
≥ ≥ +≤ { +≤ + ≤
Cada arranjo dá um lucro de arranjos , vamos lucrar .
Cada arranjo dá um lucro de arranjos , vamos lucrar .
. Como vamos fazer . Como vamos fazer
+
O lucro total será o resultado da soma dos lucros dos arranjos com os lucros dos arranjos , isto é, Função objectivo:
Resolver cada inequação em ordem a (excepto , por motivos óbvios), para de seguida desenhar num referencial ortonormado a região correspondente a cada restrição.
≥0
(,) =+
+≤⟺≤−+⟺≤− + ⟺ ⟺ ≤−+ +≤⟺≤−+⟺≤− + ⟺ ⟺ ≤ − + +≤⟺≤−+⟺≤− + ⟺ ⟺ ≤−+
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Desenhar num referencial ortonormado a região correspondente a cada restrição. Da conjunção de todas as restrições obtém-se a região admissível.
Fazer uma tabela com as coordenadas dos vértices da região admissível, calculando, para cada vértice, o valor da função objectivo.
Em função dos valores da função objectivo, escolher o par de variáveis mais adequado.
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0 0 6 12
0 11 8 0
(,) =+ 3×0+2×0= 3×0+2×11= 3×6+2×8= 3×10+2×4= 3×12+2×0=
Conclui-se que a turma da Isabel obtém um lucro máximo de se fizer e .
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Exemplo 2 Uma frutaria confecciona dois tipos de bebidas com sumo de laranja e sumo de manga. Bebida X: com um litro de sumo de laranja por cada litro de sumo de manga. Bebida Y: com dois litros de sumo de laranja por cada litro de sumo de manga. Para confeccionar estas bebidas, a frutaria dispõe diariamente de 12 litros de sumo de laranja e 10 litros de sumo de manga. Cada litro de bebida X dá um lucro de 4 euros e cada litro de bebida Y dá um lucro de 5 euros. Supondo que a frutaria vende diariamente toda a produção destas bebidas, quantos litros de bebida X e quantos litros de bebida Y deve confeccionar por dia, para maximizar o lucro? Teste Intermédio 11º ano – 24.01.2008
O que quero fazer?
Quero fazer dois tipos de bebidas (variáveis e ).
Como quero fazer?
Quero fazê-las com condicionantes).
Construção da tabela de variáveis e condicionantes:
e
(duas
Sumo laranja
Sumo manga
12
10
Bebida X Bebida Y
Inequações que traduzem cada variável:
≥litros. Podemos não fazer nenhum, ou fazer . vamos fazer litros. Podemos não fazer nenhum, ou fazer vários, logo ≥ .
vamos fazer vários, logo
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(continuação)
Tabela de variáveis e condicionantes.
Sumo laranja
Sumo manga
12
10
Bebida X Bebida Y
Inequações que traduzem cada condicionante: : Para a bebida usamos 1 litro de sumo de laranja por cada litro de sumo de manga. Então, cada litro de bebida é composto por partes, sendo o sumo de laranja uma das duas, isto é, . Como vamos fazer litros de bebida ,
vamos precisar de litros de sumo de laranja.
Para a bebida usamos 2 litros de sumo de laranja por cada litro de sumo de manga. Então, cada litro de bebida é composto por partes, sendo o sumo de laranja duas das três, isto é, . Como vamos fazer litros de bebida , vamos
precisar de litros de sumo de laranja. A quantidade total de sumo de laranja a usar não pode ultrapassar 12 litros, ou seja, + ≤.
: Para a bebida usamos 1 litro de sumo de laranja por cada litro de sumo de manga. Então, cada litro de bebida é composto por partes, sendo o sumo de manga uma das duas, isto é, . Como vamos fazer litros de bebida ,
vamos precisar de litros de sumo de manga. Para a bebida usamos 2 litros de sumo de laranja por cada litro de sumo de manga. Então, cada litro de bebida é composto por partes, sendo o sumo de manga uma das três, isto é, . Como vamos fazer litros de bebida , vamos
precisar de litros de sumo de manga. A quantidade total de sumo de manga a usar não pode ultrapassar 10 litros, ou seja, + ≤.
São estas as quatro restrições presentes neste problema:
≥≥ + ≤ { + ≤
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Objectivo a atingir:
Maximizar o lucro da venda de bebidas.
Cada litro de bebida dá um lucro de . Como vamos fazer litros, vamos lucrar . O lucro total será o resultado da soma dos lucros da bebida com os lucros da bebida , isto é, + (, ) =+ Cada litro de bebida dá um lucro de fazer litros, vamos lucrar .
Função objectivo:
Resolver cada inequação em ordem a (excepto , por motivos óbvios), para de seguida desenhar num referencial ortonormado a região correspondente a cada restrição.
≥0
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. Como vamos
+ ≤⟺ ≤− +⟺≤− + ⟺
⟺ ≤ − +
+ ≤⟺ ≤− +⟺ ≤− +
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Desenhar num referencial ortonormado a região correspondente a cada restrição. Da conjunção de todas as restrições obtém-se a região admissível.
Fazer uma tabela com as coordenadas dos vértices da região admissível, calculando para cada vértice o valor da função objectivo.
Em função dos valores da função objectivo, escolher o par de variáveis mais adequado.
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0 0 20
0 18 0
(,) =+ 4×0+5×0= 4×0+5×18= 4×16+5×6= 4×20+5×0=
Conclui-se que a frutaria obtém um lucro máximo de se produzir diariamente e
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Apêndice Seja S a região admissível num dado problema de programação linear e respectiva função objectivo.
(,) =+ a
(,)
Se S é limitada, então tem máximo e mínimo em S , sendo que cada um destes ocorre pelo menos num dos vértices de S . Se S é não limitada, então o valor máximo e mínimo de ocorre num dos vértices de S .
(,) pode não existir. Porém, se existir,
A solução do problema também pode ser obtida através do método gráfico.
=+)
A expressão designatória da função objectivo pode ser igualada a zero, obtendo-se uma equação que será resolvida em ordem a , resultando daí uma recta ( , também chamada recta de nível zero. Se traçarmos graficamente sobre a região admissível uma série de rectas todas com o mesmo declive da recta de nível zero, também chamadas rectas de nível, constatamos que, a solução óptima coincide com o vértice da região admissível onde se encontra a recta de nível com maior ordenada na origem.
O problema tem uma única solução óptima.
O problema tem uma infinidade de soluções óptimas.
O problema não tem uma solução óptima finita, pois a região admissível não é limitada.
Fim
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