Sequencias e Séries - Resumos

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA SEQUÊNCIAS E SÉRIES

Resumo Aula - MMT5207 - Cálculo para Engenharia de Materiais 3 – 03233

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SEQÜÊNCIAS Informalmente, uma “seqüência” significa uma sucessão de coisas em uma determinada ordem – cronologicamente, de tamanho, ou lógica por exemplo. Na matemática o termo “seqüência” é utilizado para denotar uma sucessão de números cuja ordem é determinada por uma lei ou função.

Seqüências Numérica : Uma seqüência numérica ( ou progressão ) é uma sucessão de números, chamados termos ou elementos. Colocados numa ordem com primeiro termo, segundo termo, terceiro termo, e assim por diante. Se chamarmos cada termo de a i ( onde i representa a posição do termo na seqüência) podemos representar uma seqüência por: a1 , a 2 , a 3 , a 4 , L Exemplos: (1) 1,2,3, L (2) 1,2,3,4,6,12 (3) 1, 1 2 , 13 , 1 4 , 15 L (4) 2,4,6,8L (5) 1,−1, 1,−1L (6) 1, 1 2 , 1, 13 , 1, 1 4 Seqüência Finita : Uma seqüência é dita finita quando “pára” em um determinado termo, ou seja, tem um último elemento. Exemplos: As seqüências (2) e (6) do exemplo anterior. Seqüência Infinita : Uma seqüência é dita infinita quando continua indefinidamente (ou não tem um último termo). Nesse caso são usadas reticências (...) para indicar que o padrão continua. Exemplos: As seqüências (1), (3), (4) e (5) do exemplo anterior. As cheias do Nilo. Termo geral: É uma regra ou um fórmula a partir da qual é possível gerar os elementos dessa sequencia. No exemplo acima, cada uma das seqüência tem um padrão definido, e seguindo–o torna-se fácil gerar termos adicionais. Mas, um padrão pode ser ilusório, dessa forma é importante importante ter o termo geral. Para isso, o objetivo é procurar uma função que relacione cada termo da seqüência a sua posição. Exemplos: (1) Na seqüências (4) cada termo é o dobro do número da sua posição: isto é, o n-ésimo.termo da seqüência é dado pela fórmula 2n. 3 4 5 6 7  (2) Determine o termo geral da seqüência:  ,− , ,− , ,...  5 25 125 625 3125  Exercícios 1. Em cada uma das seqüências a seguir, determine o termo geral: (a) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 5 L (b) 1 2 , 1 4 , 18 , 116 L (c) 1 2 ,− 2 3 , 3 4 ,− 4 5 L

(d) {1, 3, 5,7 L}

1 2. Considere a seqüência cujo termo geral é an= (3 − 5n + 6n 2 − n 3 ) . Calcule os três 3 primeiros termos e faça uma conjectura sobre o quarto termo. Verifique se a sua conjectura foi correta.

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Seqüências e Funções Uma seqüência é uma função cujo domínio é o conjunto de inteiros {1, 2, 3, 4 L , n, L} . Os números na imagem de uma seqüência são chamados elementos da seqüência. Se o n-ésimo termo for denotado por f(n), então a seqüência será o conjunto de pares ordenados da forma (n, f(n)); onde n é um inteiro positivo.

DEFINIÇÃO 01: Uma sequência de números reais é uma função f:IN → IR, que associa a cada número natural n um número real f(n). Notação : Como o domínio de toda seqüência é o mesmo, a notação { f (n)} pode ser usada para denotar uma seqüência. Outra notação encontrada é a notação de subíndice {a n } , ou seja f (n) = a n . n , determine os 5 primeiros termos. (2n + 1) 2) Dadas as seqüências, identifique o termo geral e escreva os três primeiros termos:

Exemplos: 1) Se f (n) =

∞

n  a)    n + 1 n =1

b)

{

n − 3}n

∞

∞ =3

nπ   c) cos  6  n =0 

∞

 (−1) n (n + 1)  d)   3n   n =1

Gráfico de Seqüências : como uma seqüência é uma função, podemos esboçar o gráfico com seus pontos. 1 Exemplo: 1) Se f (n) = , n = 1,2,3, L , esboce o gráfico com os 5 primeiros termos. Exercícios

n

1. Esboce o gráfico da seqüência f (n) =

n , n = 1,2,3, L (2n + 1)

1 se n for ímpar  n = 1,2,3, L 2. Esboce a seqüência definida por f (n) =  2 se n for par  n + 2

Igualdade : Dizemos que a seqüência seqüência a1 , a 2 , a 3 , a 4 , L é igual à seqüência b1 , b2 , b3 , b4 , L se e somente se a i = bi , para todo i inteiro positivo. OBS: Uma seqüência consiste em uma ordenação de elementos. Dessa forma, é possível que duas seqüências tenham os mesmos elementos e não serem iguais.

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LIMITE DE SEQU NCIA NUM RICA: Descreve como a comporta-se quando n→+∞, ou n seja, uma sequência { a } tende a um limite L se os termos desta sequência tornarem-se n arbitrariamente próximos de L. Analise abaixo:

DEFINIÇÃO 02: A sequência {an } tem limite L se para qualquer ε>0 existir um número N>0, se n for inteiro positivo e se n>N, então para todo |an-L|<ε e escrevemos

lim an = L

n → +∞

DEFINIÇÃO 03: Se a sequência {an } tiver um limite L, dizemos que ela é convergente , e {an } converge para o limite L. Se não existir o limite a sequência é dita divergente. Exemplos: Verifique se a sequencia é convergente ou divergente.  4n 2  a)  2   2n + 1 

b){(− 1)n

 n2 π  e)  sen  n  2n + 1

f )

n

n

}

+1

  π  c)n sen     n  

1 g ) n  2 

n d ) n  e 

 h) b)(− 1)n 

+1

1  n

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2. TEOREMAS SOBRE CONVERGÊNCIA DE SEQÜÊNCIAS Teorema 2.1: Dado r um número Real, e n ∈ Z : (i) lim r n = 0 se | r | <1 n →∞

(ii) lim r n

se | r | > 1

=∞

n→∞

Exemplos: Analise a convergência das seguintes seqüências:  (a)  − 

2   3 

n

  

(b) {(1,01)n }

Teorema 2.2: Uma Seqüência converge para um limite L se e somente se, as seqüências dos termos de posição par e ímpar convergem ambas para L. Exemplos: Analise a convergência das seguintes seqüências:

(a)

1 1 1 1 1 1 , , , , , ,... 2 3 2 2 32 2 3 33

1 1 1 (b) 1, ,1, ,1, ,... 2 3 4

Teorema 2.3 (Sanduíche para Seqüências): Sejam {a n }, {bn }e {c n } seqüências tais que a n ≤ bn ≤ c n (∀ n > N ) . Se lim a n = lim c n = L então lim bn = L . n →∞

n →∞

n →∞

 cos 2 n  Exemplo: Mostre que lim  n  = 0 n →∞  3 

Teorema 2.4: Se lim a n n →∞

Exemplos: (1) Se a n

= 0,

= ( −1)

n

1 n

então lim a n n →∞

=0

, prove que lim a n n →∞

=0

1 1 1 1 (2) Verifique se a seqüência 1,− , 2 ,− 3 ,..., (−1) n n ,... é convergente ou divergente. 2 2 2 2

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Resumo Aula - MMT5207 - Cálculo para Engenharia de Materiais 3 – 03233 Exercícios:

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1. Utilize os teoremas para analisar se a seqüência converge ou diverge, se converge, ache o limite.  (1,0001) n ) π n  1 / n a.  n  b. {n } c.   4    1.000  2. (a) Começando com n = 1, escreva os seis primeiros termos da seqüência {a n }, onde 1, se n for ímpar an =  n, se n for par (b) Começando com n = 1, e considerando-se separadamente os termos pares e impares, ache uma fórmula para o termo geral da seqüências: 1 1 1 1, 2 , 3, 4 , 5, 6 ,... 2 2 2 (c) Começando com n = 1, e considerando-se separadamente os termos pares e impares, ache uma formula para o termo geral da seqüência: 1 1 1 1 1 1 1 1 1, , , , , , , , ... 3 3 5 5 7 7 9 9 (d) Determine se as sequencias dos itens (a), (b), (c) convergem e em caso afirmativo, ache o limite. 3. Utilize o teorema do sanduíche para analisar a convergência da seqüência:  sen 2 n     n 

0 ≤ x < 0,5 2 x a seqüência f (0,2); f(f (0,2));f(f(f (0,2))); converge? 2 x − 1, 0,5 ≤ x < 1

4. Seja f ( x) = 

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3. SEQÜÊNCIAS MONÓTONAS E LIMITADAS Muitas vezes é mais importante saber se uma seqüência converge ou diverge sem se preocupar com o limite. Para isso vamos estudar outras técnicas que podem ser utilizados para determinar se uma seqüência é convergente.

Definição 3.1: Uma seqüência {a n } é chamada monótona se for: • • • •

Estritamente Crescente: Crescente Estritamente Decrescente Decrescente

se a1 < a 2 se a1 ≤ a 2 se a1 > a 2 se a1 ≥ a 2

< ... <

a n < ...., ou a n < a n 1 ≤ ... ≤ a n ≤ ...., ou a n ≤ a n 1 > ... > a n > ...., ou a n > a n 1 ≥ ... ≥ a n ≥ ...., ou a n ≥ a n 1 +

+

+

+

Se for estritamente crescente ou decrescente é chamada de estritamente monótona.

OBS: 1) Uma seqüência estritamente crescente é crescente, mas o inverso não é verdade. Da mesma forma uma seqüência estritamente decrescente é decrescente, mas o inverso não vale. 2) Uma seqüência que não é crescente, estritamente crescente, decrescente ou estritamente decrescente é dita não-monótona . 3) Algumas seqüências possuem termos iniciais sem apresentarem um padrão de crescimento ou decrescimento, e a partir de um certo termo, apresenta um padrão. 1 1 1 , , , L observe que até quarto termo a seqüência não 2 3 4 apresentava um padrão, mas a partir do quinto termo passou a ser uma seqüência estritamente decrescente. Exemplo: 3, − 9 , − 13 , 17 , 1 ,

Exercicios : Analise o crescimento das seguintes seqüências: 1)

n 1 2 3 , , ,..., ,... 2 3 4 n +1

1 1 1 1 4) 1,1, , , , ,... 2 2 3 3

1 1 1 2) 1, , ,..., ,... 2 3 n

1 1 1 1 5) 1,− , ,− ,..., (−1) n 1 ,... n 2 3 4 +

3) 1,1,2,2,3,3,... 6)

n 1 2 3 4 , , , ,..., ,... 3 5 7 9 2n + 1

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Resumo Aula - MMT5207 - Cálculo para Engenharia de Materiais 3 – 03233 Existem outras maneiras de determinar o crescimento de uma seqüência:

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1) Análise da razão entre dois termos sucessivos: Seja uma seqüência estritamente crescente ou seja, an < an+ 1 se os termos da seqüência forem todos positivos podemos dividir ambos os membros da desigualdade por an, assim: an an

<

an 1 a a então 1 < n 1 , ou ainda n 1 an an an +

+

+

>1

Podemos seguir esse raciocínio para seqüências crescentes, decrescentes e estritamente decrescentes. Dados dois termos sucessivos an e an+ 1 de uma seqüência, temos: an 1 > 1 , a seqüência é estritamente crescente; an an 1 • Se ≥ 1 , a seqüência é crescente; an an 1 • Se < 1 , a seqüência é estritamente decrescente; an an 1 • Se ≤ 1 , a seqüência é decrescente; an 2) Derivadas:Vimos que uma seqüência é uma função cujo domínio é o conjunto dos •

Se

+

+

+

+

inteiros positivos. Assim podemos utilizar a derivada da função para analisar o crescimento de uma seqüência. Dada uma seqüência f(n) = an ( termo geral ), seja f(x) a função associada a seqüência dada, se f for diferenciável para x ≥ 1, então temos: • • • •

Se f’(x) > o, então a seqüência f(n) = an é estritamente crescente; Se f’(x) ≥ o, então a seqüência f(n) = an é crescente; Se f’(x) < o, então a seqüência f(n) = an é estritamente decrescente; Se f’(x) ≤ o, então a seqüência f(n) = an é decrescente;

Exemplos: Analise as seqüências (1) e (2) utilizando as duas maneiras apresentadas acima.

Exercícios: 1) Determine se cada seqüência a seguir é crescente, decrescente ou nãomonótona. 1 − 2n 2   5n  1 1  a)   b)  2  c) { cos nπ } d)  2n  3 n   n  1 + 5  n n  3n − 1   2 n !  n ! e)  n  f)  n  g)   h)    4n + 5  5  3   n ! n  i)    2 n + 1

j) {n e

−n

}



1    n + ln n 

k) 

Respostas: a)Decrescente, b)Decrescente, c) Não-monótona, d) Decrescente, e) Não-monótona, f) Crescente, depois dos 2 primeiros termos, g) Crescente, h) Crescente, i) Crescente, j)Decrescente, k) Decrescente.

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Resumo Aula - MMT5207 - Cálculo para Engenharia de Materiais 3 – 03233 4. LIMITANTES DE SEQÜÊNCIAS

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Definição 4.1: Dada uma seqüência {a n }: (1) se existe um número C , tal que C ≤ a n , para todo n inteiro positivo, chamamos C de limitante inferior ou cota inferior de {a n }. (2) se existe um número D, tal que D ≥ a n , para todo n inteiro positivo, chamamos D de limitante superior ou cota superior de {a n }.  n  Exemplos: a) Determine um limitante inferior da seqüência    2n + 1 1 b) Determine um limitante superior da seqüência   n

Definição 4.2 : Se A for um limitante inferior de uma seqüência {a n } e se A satisfizer a propriedade de que para todo limitante inferior C de {a n }, C ≤ A, então A será chamado de limitante inferior máximo da seqüência.Analogamente, se B for um limitante superior de uma seqüência {a n }e se B satisfizer a propriedade de que para todo limitante superior D de {a n }, B ≤ D, então B será chamado de limitante superior mínimo da seqüência.  n  Exemplos: a) Determine um limitante inferior máximo da seqüência    2n + 1 1 b) Determine um limitante superior mínimo da seqüência   n

Definição 4.3 : Uma seqüência {a n } é dita limitada se e somente se ela tiver limitantes superior e inferior.  n  Exemplo: Verifique se as seqüências   e  2 n + 1

1    são limitadas. n

Axioma do Complemento : Se um conjunto não-vazio S de números reais tiver um limitante superior, então ele terá um limitante superior mínimo (chamado de supremo ), e se um conjunto não-vazio S de números reais tiver um limitante inferior, então ele terá um limitante inferior máximo (chamado ínfimo). Teorema 4.1: Uma seqüência monótona limitada é convergente. Teorema 4.2: Seja {a n } uma seqüência crescente, e suponhamos que D seja um limitante superior da seqüência. Então {a n } será convergente e lim a n ≤ D . n →∞

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Teorema 4.3: Seja {a n } uma seqüência crescente, e suponhamos que C seja um limitante inferior da seqüência. Então {a n } será convergente e lim a n ≥ C . n →∞

2n  Exemplos: 1) Verifique se a seqüência   é convergente.  n! 

Teorema 4.4: Uma seqüência monótona convergente é limitada. OBS: Para analisar se uma seqüência é limitada, não é necessário calcular o limite, podemos verificar a existência do limitante analisado a seqüência. Observe que ao analisar se a seqüência é limitada, não estamos procurando os limites inferior máximo ou superior mínimo, apenas analisamos se existe um determinado número que limita a seqüência. Exercícios : 1) Prove que as seguintes seqüências são convergentes, utilizando os teoremas 4.1, 4.2, 4.3, 4.4.  3n − 1    4n + 5   5n  d)  2n  + 1 5  

a) 

 n  n 1 3 

b) 

+

1.3.5.....(2n − 1)  c)    2.4.6.....(2n) 

  n! e)   − n 1 . 3 . 5 .....( 2 1 )  

2) Dada uma seqüência {a n } monótona tal que 1 ≤ a n ≤ 2 . (a) Essa seqüência deve convergir? Caso afirmativo, o que pode ser dito sobre o limite? (b) Suponha que {a n }seja uma seqüência monótona tal que a n ≤ 2 . A seqüência deve convergir? Se sim, o que se pode dizer sobre o limite? 3) Dê o exemplo de uma seqüência que seja limitada e convergente, porém não monótona.

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SÉRIES INFINITAS 1. INTRODUÇÃO Uma parte importante no estudo do Cálculo envolve a representação de funções como “somas infinitas”. Para entender esse assunto, precisamos que a operação usual de adição em conjuntos finitos de números seja estendida para conjuntos infinitos. Para isso, vamos utilizar um processo de limite através de seqüências. 1.1.

Idéia Intuitiva

Exemplo 1: Considere um pedaço de fio com 2 m de comprimento e suponha que este seja cortado ao meio. Uma das partes é deixada de lado enquanto a outra é novamente cortada ao meio. Novamente um dos pedaços com ½ m de comprimento é posto de lado, enquanto que o outro é cortado ao meio, e então obtemos dois pedaços com ¼ m de comprimento cada um. Tomamos apenas um deles e dividindo-o ao meio, obtemos dois pedaços com 1/8 m de comprimento. Novamente, cortamos um dos pedaços ao meio. Se esse processo continuar indefinidamente, o número de metros na soma dos comprimentos dos pedaços separados pode ser considerado como a soma infinita: 1+

1 1 1 1 1 + + + +L+ 2 4 8 16 2n 1 −

+L

Qual o resultado da soma infinita acima?

Se chamarmos de {s n } uma nova seqüência definida por s n teremos: s1 = a1 = 1 1 s 2 = a1 + a 2 = 1 + 2 1 1 s 3 = a1 + a 2 + a 3 = 1 + + 2 4

=

a1 + a 2

+

a3

+L+

an ,

M

1 1 1 1 + + +L+ +L 2 4 8 2n 1 1 Exemplo 2: Podemos representar o número como uma soma infinita de números reais, 3 1 1 sabemos que = 0,33333... então = 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + ... . 3 3 sn

=

a1

+

a2

+L+

an = 1 +

−

Analogamente podemos escrever uma seqüência de somas da seqüência acima.

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Resumo Aula - MMT5207 - Cálculo para Engenharia de Materiais 3 – 03233 1. 2. Séries Infinitas

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Definição 1.2.1 : Se {a n } é uma seqüência e s n = a1 + a 2 + a 3 + L + a n então a seqüência {s n } é chamada de série infinita que pode ser denotada também por: ∞

sn

=

∑1 a

n

onde, os números a1 , a 2 , a3 , L , a n , L são chamados de termos da série infinita.

n=

Os números s1 , s 2 , s 3 , L , s n , L são chamados de somas parciais da série infinita.

Exemplo : 1) A série do exemplo1 ( corte do barbante ) pode ser escrita como a soma infinita: 1 1 1 1 1 1 =1 + + + + +L+ +L ∑ n 1 2 4 8 16 2n 1 n 1 2 ∞

−

−

=

ATENÇÃO: Pode ocorrer confusão entre os conceitos de série e seqüência. Mas tenha em

mente que uma série é uma expressão que representa uma soma infinita de números. Uma seqüência é uma coleção de números que estão em correspondência biunívoca com os inteiros positivos. Exercícios:

1 1 1 1 + + +L+ +L n(n + 1) 1.2 2.3 3.4 (a) Encontre s1 , s 2 , s 3 , s 4 , s5 , s 6 ; (b) Determine s n ;

(1) Dada a série

1.3. Convergência ∞

Definição 1.3.1 : Uma série

a n é convergente (ou ∑ n 1

converge ) se a sua seqüência de

=

somas parciais {s n } converge – isto é, se lim s n

=

n →∞

s para algum número real s. O limite s é

∞

a soma da série

∑1 a

n

e escrevemos s n

=

a1

+

a2

+

a3

+L+

an

+ L.

n=

∞

A série

a n é divergente (ou diverge ) se ∑ n 1

{s n }diverge. Uma série divergente não tem

=

soma. Ou seja, uma série infinita será convergente se e somente se a seqüência das somas parciais correspondentes for convergente. Se uma série infinita tiver uma soma S, dizemos também que a série convergirá para s.

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Exemplos : (1) Mostre que a série

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1 1 1 1 + + +L+ + L converge e ache sua n(n + 1) 1.2 2.3 3.4

soma. +∞

(2) Dada a série

(−1) n ∑ n 1 =

(a) Encontre s1 , s 2 , s 3 , s 4 , s5 , s 6 ; (b) Determine s n ; (c) Mostre que a série diverge.

1.4 Séries Geométricas: Definição 1.4.1 : Uma série é chamada de série geométrica se cada termo é obtido multiplicando-se o termo precedente por alguma constante fixada. Ou seja, se o termo inicial da série é a e cada termo é obtido multiplicando-se o termo precedente por r , então a série tem a forma: ∞

∑1 ar

k

=

a + ar + ar 2 + ar 3 + L + ar k + L ( a ≠ 0)

k =

onde r é chamada de razão da série.

Exemplos : Dadas as séries abaixo, identifique o primeiro termo e a razão. 1) 1 + 2 + 4 + 8 + L + 2 k + L 1 1 1 1 1 2) − + − + L + (−1) k 1 k 2 4 8 16 2 +

+L

Definição 1.4.2: A Série definida por 1 + harmônica .

1 1 1 1 1 + + + +L+ + L é chamada de série n 2 3 4 5

A série Harmônica leva esse nome pois surge da conexão com os sons harmônicos produzidos pela vibração de uma corda musical.

A série 1 +

1 1 1 1 1 + + + +L+ + L é divergente. n 2 3 4 5

ATENÇÃO: Na maioria dos casos não é possível obter uma expressão para s n em termos de n; assim, precisamos de outros métodos para determinar se uma dada série infinita tem uma

soma, ou seja, é convergente ou divergente.

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2. TEOREMAS SOBRE CONVERGÊNCIA DE SÉRIES Teorema 1.: Uma série geométrica ∞

ar k 1 = a + ar + ar 2 + ar 3 + L + ar k 1 + L ∑ k 1 −

(a ≠ 0)

−

=

converge se | r | < 1 e diverge se | r | ≥ 1 . A n-ésima soma parcial da série geométrica acima é dada por: sn

=

a(r + r 2

+

r 3

r n 1 ) −

+L+

Da identidade: 1 − r n

=

(1 − r )(1 + r + r 2

+

r 3

+L+

r n 1 ) −

a(1 − r n ) Temos: S n = (1 − r ) ∞

Se a série convergir, então a sua soma é

∑1 a r

k

k =

=

a

1 − r

Exemplo: Analise a Convergência das séries:

a) 2 +

2 2 + 3 32

+L+

2 3

n −1

b) 0,6 + 0,06 + 0,006 + L +

+L

6 10 n

+L

∞

c)

(−1) n 1 3 ∑ n 1 +

=

∞

Teorema 2: Se uma série

∑1 a

n

é convergente, então lim a n n →∞

n=

∞

Exemplo: 1)

=0

5

∑ n n 1 4 =

Mas atenção, a recíproca do teorema 2 nem sempre é verdadeira. Isto é, se lim a n = 0 , n →∞

∞

então não é necessariamente verdadeiro que a série

∑1 a

n

seja convergente.

n=

Exemplo: Já vimos que a série harmônica 1 +

observe que lim n→∞

1 n

1 1 1 1 1 + + + +L+ + L é divergente, mas n 2 3 4 5

= 0.

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∞

Teorema 3: (i) Se lim a n

≠

n →∞

0 , então a série

∑1 a

n

é divergente.

n=

∞

(ii) Se lim a n n→∞

=0,

a n é convergente ou divergente. ∑ n 1

então a série

=

Exemplos: 1) Analise a convergência das séries: n 1 ∑ ∑ 2 n 1 2n + 1 n 1 n ∞

∞

=

=

∞

Teorema 4: Se

∑ an e n =1

en ∑ n 1 n ∞

=

∞

∑1 b

são duas séries infinitas que diferem somente pelo seus m

n

n=

primeiros termos ( isto é, a k = bk se k > m ), então ambas convergem ou ambas divergem. 1 Exemplo: Determine se a série infinita é convergente ou divergente ∑ n 1 n+4 ∞

=

Teorema 5: Seja c uma constante não-nula: ∞

(i) Se a série

∑ a n for convergente e sua soma for S, então a série n =1

∞

∑1 ca

n

também será

n=

convergente e sua soma será cS. (ii) Se a série

∞

∞

=

=

a n for divergente, então a série ∑ ca n também será divergente. ∑ n 1 n 1 ∞

Exemplo: Determine se a série

1

∑1 4n é convergente ou divergente. n=

Teorema 6: Se

∞

∞

=

=

a n e ∑ bn são ∑ n 1 n 1

séries infinitas convergentes com somas S e R,

respectivamente, então: ∞

(i)

(a n + bn ) é uma série convergente e sua soma é S + R; ∑ n 1 =

∞

(ii)

∑1 (a

n −

bn ) é uma série convergente e sua soma é S-R.

n=

∞

Teorema 7: Se a série

∑ a n for convergente e a série n =1

∞

bn for divergente, então a série ∑ n 1 =

∞

∑1 (a

n +

bn ) será divergente.

n=

∞

Exemplos: 1) Determine se a série

 1

1 

 + n  é convergente ou divergente. ∑ 4  n 1  4n =

2) Prove que a série seguinte converge e ache sua soma:

∞



n=



7

∑1  n(n + 1) + 3

2  n −1

 

14



2014-1

Exercícios

1. Determine a série infinita que tem as seqüências de somas parciais dadas. Determine também se a série infinita é convergente ou divergente, se for convergente, encontre sua soma. 2n    3n + 1

a) {s n } = 

b) {s n } = {ln (2n + 1)}

2. Encontre os quatro primeiros elementos da seqüência de somas parciais {s n }, e obtenha uma fórmula para s n em termos de n. Determine também se a série infinita é convergente ou divergente; se for convergente, encontre a sua soma. 1 n 1 ( 2n − 1)( 2n + 1) ∞

a) ∑ ∞

∑ n 1 =

ln

n

∑1 (3n + 1)(3n − 2) n=

=

c)

∞

d)

n +1

5

∞

b)

2n + 1

∑1 (3n + 2) n=

3. Dadas as séries abaixo: a. Calcule S1, S2 e S3; b. Determine Sn; c. Determine a soma da série, se for convergente. 2  1  a) ∑ − b) ∑  2  (2n + 5)(2n + 3) n 1 n 1  4n − 1  ∞

∞

=

=

4. Verifique se as seguintes séries geométricas convergem ou divergem: 3 3 a) 3 + + L + n 1 4 4 +

+L

37 b) 0,37 + 0,0037 + L + (100) n

∞

+L

c)

2 n3n 1 ∑ n 1 −

−

=

5. Verifique a convergência das seguintes séries: 1 1 1 5 5 5 a) b) + +L+ +L + +L+ +L n(n + 1) 4.5 5.6 (n + 3)(n + 4) 1.2 2.3 6. Expresse as dizimas periódicas decimais, abaixo, como uma fração ordinária. a) 0,33333...

b) 0,27272727272...

c) 2,045454545,...

15


Resumo Aula - MMT5207 - Cálculo para Engenharia de Materiais 3 – 03233 2014-1 7. Utilize séries conhecidas, convergentes ou divergentes, para determinar se a série é convergente ou divergente; no caso de convergência, determine a soma. 1 1  a) ∑ (2 n − 2 3n ) b) ∑  n + n(n + 1)  n 1 n 1 8 ∞

∞

−

−

=

=

8. Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, ache a soma. n 1 3 4  5  1 1  a) ∑ b) ∑ c) ∑   d) ∑   + n 2  n 1 n+2 n 1 2n n 1 3  7  n 1  2n 1 1  3 2  3 2  e) ∑ (e n + e n ) f) ∑  g) ∑  h) ∑   −   −   n + n 3n  3n  3  n 1 n 1  2n n 1  2n n 1  2 ∞

∞

∞

∞

=

=

=

=

∞

∞

∞

=

=

=

∞

−

=

∞

9. Onde está o erro na seguinte “prova” de que a série divergente

∑1 (− 1)

n +1

tem soma

n=

∞

0? Prova:

∑1 (− 1)

n +1

=

[1 + (− 1)] + [1 + (− 1)] + [1 + (− 1)] + L = 0 + 0 + 0 + L = 0

n=

10. Deixa-se cair uma bola de borracha de uma altura de 10 metros. A bola repica aproximadamente metade da distância após a queda. Use uma série geométrica para aproximar o percurso total feito pela bola até o repouso completo. 11. A trajetória de cada oscilação de um pêndulo é 0,93 do comprimento da trajetória da oscilação anterior (de um lado até o outro). Se a trajetória da primeira oscilação mede 56 cm de comprimento e se a resistência do ar leva o pêndulo ao repouso, quanto mede o caminho percorrido pelo pêndulo até que ele pare? 12. Um triângulo eqüilátero tem lados medindo 4 unidades de comprimento. Portanto, o seu perímetro é 12 unidades. Outro triângulo eqüilátero é construído com segmentos de reta traçados através dos pontos médios dos lados do primeiro triângulo. Esse triângulo tem lados medindo 2 unidades de comprimento e seu perímetro é de 6 unidades. Se o procedimento puder ser repetido um número ilimitado de vezes, qual será o perímetro total de todos os triângulos formados? n 2 4 6 1 1 2 3 2n ; Converge para − ; b) , . ; ; Converge ,− . − ; 35 45 55 5(2n + 5) 5 3 5 7 2n + 1 1 37 para ; 4. a) Converge para 4; b) Converge para ; c) Diverge; 2 99 33 27 137 6 5. a) Converge ; b) Converge; c) Diverge; d) Diverge; 6. a) ;b) c) ; 7.a) Converge para ; 99 99 111 7 8 10 b) Converge para ; 8.a) Divergente; b) Divergente; c) Converge para ; d) Divergente; e) Diverge; 7 3 Respostas: 3. a)

−

f) Diverge; 11. S= 4,06 m;

12. 24 unidades;

16



2014-1

3. SÉRIES DE TERMOS POSITIVOS

Vimos que para estudar a convergência de uma série precisamos determinar o nmo. termo, ou seja S n, para depois verificarmos a existência do limite lim S n . Infelizmente, a maioria n →∞

dos casos, quase nunca é possível encontrar uma fórmula explicita para S n . Nesses casos, podemos analisar, não obstante, testes para a convergência ou divergência de uma ∞

série ∑ a n que utilizam o nmo termo a n . Tais testes não nos dão a soma S da série; apenas n =1

analisam a convergência desta. ∞

Definição 3.1. : Uma série

∑1 a

n

tal que a n

≥

0, ∀n , é chamada de série de termos

n=

positivos. ∞

Exemplo: A série

1

∑1 n 2 é uma serie de termos positivos. n=

A convergência de uma série de termos positivos será útil para a analise de convergência de uma série arbitrária.

Teorema 8: Uma série infinita de termos positivos será convergente se e somente se sua seqüência de somas parciais tiver um limitante superior. 1 Exemplo: Analise a convergência da série: ∑ n 1 n! ∞

=

∞

Teorema 9 (Teste da Comparação): Sejam

∑1 a

∞

n

e

n=

∑1 b

n

séries de termos positivos.

n=

∞

(i)

Se

∑1 b

∞

n

converge e a n

≤ bn para

todo inteiro positivo n, então

n=

Se

∑1 b

n

converge.

n=

∞

(ii)

∑1 a ∞

n

diverge e a n

≥

bn para todo inteiro positivo n, então

n=

∑1 a

n

diverge

n=

Exemplo: Verifique a convergência das seguintes séries:

1 a) ∑ n n 1 2+5 ∞

1

∞

b)

=

∑1

n

n=

Em muitos casos o teste acima é um pouco difícil, quando temos que provar se a n ≥ bn ou a n ≤ bn , principalmente se a n for uma expressão complicada. O seguinte teorema é em ∞

geral mais fácil de aplicar, porque, escolhida

∑1 b

n

basta calcular o limite quando

n=

17


Resumo Aula - MMT5207 - Cálculo para Engenharia de Materiais 3 – 03233 ∞

Teorema 10 (Teste da Comparação com Limite): Sejam

∑1 a

2014-1

∞

n

n=

e

∑1 b

n

séries de termos

n=

positivos. an x bn a Se lim n x bn a Se lim n x bn

(i)

Se lim

=

→∞

(ii)

∞

=

→∞

(iii)

c > 0 , então ambas as séries convergem, ou ambas divergem. c = 0 , e se

∑1 b

∞

converge, então

n

n=

=

c = ∞ , e se

n

também converge.

n=

∞

→∞

∑1 a

∑1 b

∞

diverge, então

n

n=

∑1 a

n

também diverge.

n=

Exemplo: Verifique a convergência das seguintes séries:

4

∞

a)

∑1 3 n=

n

∞

∑1

b)

+1

n=

1 n

c) 1 +

1 1 1 1 + + +L+ 2 4 8 2n 1 −

+L

∞

Teorema 11 : Se

∑1 a

n

for uma série convergente de termos positivos, seus termos

n=

poderão ser agrupados de qualquer maneira, e a série resultante continuará convergente e com a mesma soma que a série original. ∞

Teorema 12 : Se

∑1 a

n

for uma série convergente de termos positivos, a ordem dos termos

n=

pode ser rearranjada, e a série resultante também será convergente e terá a mesma soma que a série original.

Definição 3.2: A série definida por

1 1 p

+

1 2 p

+

1 3 p

+

1 4 p

+L+

1 n p

+ L é

chamada de série

p ou série hiper-harmônica. • • •

Se p = 1 a série p é a série harmônica, então diverge; Se p < 1 a série p diverge; Se p > 1 a série p converge.

Exemplo: Verifique a convergência das seguintes séries: ∞

a)

1

∑1 n 2 n=

∞

b)

∑1 n=

1 n

1 ∑ 2 1 / 3 n 1 ( n + 2) ∞

c)

=

18



2014-1

Teorema 13 (Teste da Integral): Seja f uma função continua, decrescente e com valores positivos para todo x ≥ 1 . Então, a série infinita ∞

∑1 f (n) = f (1) + f (2) + f (3) + L + f (n) + L n=

será convergente se a integral imprópria lim

∞

∫1 f ( x) dx existir,

e será divergente se

b

∫ f ( x) dx = +∞

b → +∞ 1

Exemplos: 1) Use o teste da integral para mostrar que a série harmônica é divergente. ∞

2) Determine se a série

∑1 ne

−n

2

converge ou diverge.

n=

OBS: Se em uma série infinita o índice do somatório começa com n=k em vez de n=1, temos então a seguinte modificação do teste da integral:

Se f for uma função continua, decrescente e com valores positivos para todo x ≥ k . Então, a série infinita ∞

∑1 f (n) = f (1) + f (2) + f (3) + L + f (n) + L n=

será convergente se a integral imprópria lim

∫

∞

k

f ( x) dx existir, e será divergente se

b

∫ f ( x) dx = +∞

b → +∞ k

1 converge ou diverge. ∑ n 2 n ln n ∞


=

Exercícios

13. Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, ache a soma. cos 2 n 1 3n + 1 a) ∑ n b) ∑ 2 c) ∑ n n n + 5 3 n 1 n 1 2 n 1 n! n 1 d) ∑ e) ∑ 2 f) ∑ n 1 ( n + 2)! n 1 5n + 3 n 1 4n + 7 1 + 2n 2 n3 g) ∑ n e h) ∑ n n 1 n 1 1+ 3 ∞

∞

=

∞

=

=

∞

∞

∞

=

=

=

∞

∞

−

=

=

19



4. SÉRIES ALTERNADAS

2014-1

Vamos considerar agora series infinitas que contêm termos positivos e termos negativos. ∞

Definição 4.1: As séries

∑1 a

n

cujos termos se alternam entre positivo e negativo são

n=

chamadas de série alternadas. Assim, se a n ∞

∑1 (− 1)

n +1

an

a1

a4

( )n 1 a n

+ L+ −1

−

a2

+

a3

−

= −a1 +

a2

−

a3

+L+ −1

=

> 0, ∀n ∈ Z , +

então a série:

+L

n=

e a série: ∞

∑1 (− 1)

n

an

( )n a n

+L

n=

São chamadas de séries alternadas. Exemplo: As seguintes séries são séries alternadas. ∞

a)

∑ (− 1)n

+1

1 n

n =1

∞

b)

∑1 (− 1)

n

n=

1 n!

Existe um teorema que fornece um teste para a analise da convergência de séries alternadas. Chamado de Teste de Leibniz ( formulado em 1705). ∞

Teorema 14 (Teste de séries alternadas) : Uma série alternada

∑1 (− 1)

n +1

a n converge se

n=

as duas condições a seguir estiverem satisfeitas: (i) a k > a k 1 , ∀ k inteiro positivo. (ii) lim a n = 0 +

n →∞

Exemplo: Use o teste da série alternada para analisar a convergência das seguintes séries: 1 n+2 a) ∑ (− 1)n 1 b) ∑ (− 1)n n n(n + 1) n 1 n 1 Observação: 1) Se uma série violar a condição (ii) do teste de séries alternadas então a série deve divergir. ∞

∞

+

=

=

2) Se (ii) for satisfeita, mas (i) não for satisfeita então a serie pode convergir ou divergir. Exemplo: Verifique a convergência das seguintes séries: 2n 2n a) ∑ (− 1)n 1 2 b) ∑ (− 1)n 1 4n − 3 4n − 3 n 1 n 1 ∞

∞

+

=

+

=

OBS: Se todos os termos de uma dada série infinita forem substituídos pelos seus valores absolutos e a série resultante for convergente, então dizemos que a série dada é absolutamente convergente. 20



2014-1

∞

∑1 a

Definição 4.2 : Dizemos que a série infinita

n

será absolutamente convergente se a

n=

∞

série

∑1

a n for convergente.

n=

Se uma série que é convergente, mas não absolutamente convergente é denominada condicionalmente convergente. Exemplo: Verifique se as seguintes séries sã absolutamente convergentes: 2 1 a) ∑ (− 1)n 1 n b) ∑ (− 1)n 1 n 3 n 1 n 1 ∞

∞

+

+

=

=

∞

Teorema 15: Se a série infinita

∑1 a

n

for absolutamente convergente ela será convergente

n=

∞

e

∑ an

∞

≤

n =1

∑1 a

n

n=

∞


∑1 n=

cos

nπ 3

n2

Teste da razão para determinar se uma série é absolutamente convergente. ∞

Teorema 16 ( Teste da Razão): Seja

∑1 a

n

uma série infinita dada para a qual todo a n é

n=

não-nulo. Então: (i)

Se lim

an 1 an

= L < 1 ,

(ii)

Se lim

an 1 an

= L > 1 ou

(iii)

Se lim

an 1 an

= 1,

n →∞

n→∞

n →∞

+

+

+

a série dada é absolutamente convergente; se lim n →∞

an 1 an +

=∞

a série dada divergente;

nenhuma conclusão pode ser tirada sobre a convergência série.

Exemplos: 1) Determine a convergência absoluta das séries: n n+2 a) ∑ (− 1)n 1 n b) ∑ (− 1)n n(n + 1) 2 n 1 n 1 ∞

∞

+

=

=

an 1 , pois é possível que n an o limite não exista e não seja + ∞ . Outro teste que pode resolver esse problema é o teste da raiz.

OBS: O teste da razão não inclui todas as possibilidades para lim

+

→∞

21



2014-1

∞

Teorema 18 (Teste da Raiz): Seja

∑1 a

n

uma série infinita para a qual todo a n é

n=

diferente de zero. Então: (iv)

Se lim n a n

= L < 1 ,

(v)

Se lim n a n

= L > 1 ou

(vi)

Se lim n a n

=1,

n →∞

n→∞

n →∞

a série dada é absolutamente convergente; se lim n a n

= +∞

n→∞

a série dada divergente;

nenhuma conclusão pode ser tirada sobre a convergência série.

Exercícios 1. Utilize, quando possível, o teste da integral para determinar se a série dada converge ou diverge. 1 1 ln a) ∑ b) ∑ c) ∑ 3 / 2 n 1 2n + 1 n 1 ( n + 2) n 1 n 2. Determine se a série alternado dada é convergente ou divergente: 1 1 a) ∑ (− 1)n 1 b) ∑ (− 1)n 1 2n ln n n 1 n 1 ln n 3n c) ∑ (− 1)n 1 2 d) ∑ (− 1)n 2 ∞

∞

∞

=

=

=

∞

∞

+

+

=

=

∞

∞

+

n

n =1

n =1

n

3. Determine se a série dada é absolutamente convergente,condicionalmente convergente ou divergente. Prove a sua resposta. n 2n  2  n a) ∑  −  b) ∑ (− 1) n! 3  n 1  n 1 n2 n! c) ∑ d) ∑ (− 1)n n 1 2 n 1 n! n 1 ∞

∞

+∞

=

=

∞

∞

=

=

+

Solução:

1. a) D;b)C;c)D. 2. a) C;b)C;c)C;d)D. 3. a) Absolutamente Convergente;b) Absolutamente Convergente; c) Absolutamente Convergente; d)Divergente;

22


Resumo Aula - MMT5207 - Cálculo para Engenharia de Materiais 3 – 03233 SÉRIES DE POTÊNCIAS

2014-1

São tipos especiais de séries de termos variáveis que podem ser consideradas como uma generalização de função polinomial. Em outras palavras, são séries cujos termos contêm potências de uma variável.

Definição: Uma série de potência em ( x − a) é uma série da forma: ∞

∑0 c

n

( x − a) n

= c 0 + c1 ( x −

a) + c 2 ( x − a) 2

+L+

c n ( x − a) n

+L

n=

∞

∑0 c

Se a = 0 ,

n

( x) n

=

c0

+ c1 x +

c 2 x 2

n

+L

+L+

c n x n

+ L

a série é chamada de série de

n=

potências. Exemplos: ∞

a)

∑0 x

n

= 1 + x + x

2

+ L + x

n=

∞

b)

∑0 n=

(−1)

n

x 2 n x 2 x 4 =1− + +L ( 2n ) ! 2! 4!

( x − 1) n c) ∑ n 0 n +1 ∞

=

( x − 1) ( x − 1) 2 =1+ + 2 3

(−1) n ( x + 3) n d) ∑ n! n 0 ∞

=

( x − 1) n +L+ n +1

+L

( x + 3) ( x + 3) 2 = 1 − ( x + 3) + + 2! 3!

Até agora analisamos convergência e divergência das series de termos constates. A partir de agora o objetivo é determinar para quais valores de x a series converge. Observe que para cada valor de x que a série converge, ela representa um número que é a sua soma. Assim, uma série de potências define uma função f , com valores: ∞

f ( x) = ∑ c n x n n =0

Teorema 1: Para cada série de potências em x, exatamente uma das seguintes afirmativas é verdadeira: (i) A série converge somente em x=0; (ii) A série converge absolutamente (e, portanto, converge) para todos os valores reais de x; (iii) A série converge absolutamente (e, portanto, converge) para todos os valores de x em um intervalo aberto finito (− R, R) e diverge se x < − R, x > R . Em cada um dos pontos x = R ou x = -R, a série pode convergir absolutamente, convergir condicionalmente, ou divergir, dependendo da série particular. 23



2014-1

Conclusões: A convergência de uma série de potências em x é sempre um intervalo centrado em x = 0. Assim, o conjunto de convergência de uma série de potência em x é chamado de intervalo de convergência. 1. No caso em que o conjunto de convergência é o único ponto x = 0, dizemos que a série tem raio de convergência 0. Diverge

Diverge

R

0 2. No caso em que o conjunto de convergência é (−∞, ∞) , dizemos que á série tem raio de convergência + ∞ . Converge R 0

3. No caso em que o conjunto de convergência estende-se entre (− R, R) , dizemos que a série tem raio de convergência R. Diverge

Diverge

Converge

R

0 -R R OBS. Para determinar o intervalo de convergência de uma serie de potencias, devemos aplicar o teste da razão para convergência de series. Exemplos: 1) Determine os valores de x para os quais a série de potências é convergente: n n x n x n n n 1 2 x a) ∑ x b) ∑ c) ∑ (−1) d) ∑ n 2 n ! n 3 n 0 n 0 n 0 n 1 2+n ∞

∞

∞

∞

+

=

=

=

=

Teorema 2: Para cada série de potências em ( x-a), exatamente uma das seguintes afirmativas é verdadeira: (i) (ii) (iii)

A série converge apenas para x=a; A série converge absolutamente ( e, portanto, converge) para todos os valores reais de x; A série converge absolutamente ( e, portanto, converge) para todos os valores de x em um intervalo aberto finito (a − R, a + R) e diverge se x < a − R, x > a + R . Em cada um dos pontos x =a +R ou x =a -R, a série pode convergir absolutamente, convergir condicionalmente, ou divergir, dependendo da série particular.

24


Resumo Aula - MMT5207 - Cálculo para Engenharia de Materiais 3 – 03233 2014-1 Conclusões: A convergência de uma série de potências em x-a é sempre um intervalo centrado em x = a. Assim, o conjunto de convergência de uma série de potência em x é chamado de intervalo de convergência. a. No caso em que o conjunto de convergência é o único ponto x = a, dizemos que a série tem raio de convergência R=0. Diverge

Diverge

R

a b. No caso em que o conjunto de convergência é (−∞, ∞) , dizemos que á série tem raio de convergência + ∞ . Converge

R

a c. No caso em que o conjunto de convergência estende-se entre (a − R, a + R) , dizemos que a série tem raio de convergência R. Diverge

Diverge

Converge a

a -R

R

a+R

Exemplos: 1) Determine o intervalo de convergência e o raio de convergência das séries

aplicando o teste da razão: ∞

a)

∑1 n=

( x − 5) n n2

∞

b)

∑1 n( x − 2)

( x + 1) n (−1) n n =1 ∞

n

n=

c)

∑

n

n

3  n d) ∑    ( x + 5) n = 0  4  ∞

FUNÇÕES E SÉRIES DE POTÊNCIAS ∞

Como uma série de potências define uma função f, com valores: f ( x) = ∑ c n x n n =0

Podemos analisar essa função: 1) Seu domínio é o intervalo de convergência da série. ∞

2) Teorema 1: Se f ( x) = ∑ c n x n for uma série de potências com raio de convergência n =0 ∞

R>0, então a série

∑1 c nx n

n −1

também terá R como raio de convergência.

n=

25



2014-1

∞

∑1 c nx

3) Teorema 2: Se o raio de convergência da série de potências

n

n −1

for R>0,

n=

∞

então o raio de convergência da série

∑2 c n(n − 1) x n

n −2

também será R.

n=

∞

4) Teorema 3: Seja

∑0 c x

n

n

uma serie de potencias cujo raio de convergência é R>0.

n=

∞

Então, se f for a função definida por f ( x) = ∑ c n x n , f ' ( x) existirá para todo x no n =0 ∞

intervalo aberto (-R,R), sendo dada por f ' ( x) = ∑ c n nx n

−1

n=0 ∞

Exemplos : I) Seja f a função definida por

x

n +1

∑0 (n + 1) 2 : n=

a) Ache o domínio de f ; b) Escreva a série de potências que define a função f’ e determine o domínio f’. x n II) Mostre que para todos os valores reais de x , e = ∑ n 0 n! ∞

x

=

III) Utilize o exemplo anterior para achar uma representação em série de potências de e x . −

∞

5) Teorema 4: Seja

∑0 c x n

n


n=

∞

Então, se f for a função definida por f ( x) = ∑ c n x n n=0

f será integrável em todo subintervalo fechado ( -R, R), e calculamos a integral de f

integrando termo a termo a serie de potências dada. Isto é, se x esta em ( -R ,R), então

x

∫0

∞

cn n x n 1 + 0

f (t )dt = ∑ x =

1

+

Além disso, o raio de convergência da serie resultante é R.

Exemplos : 1) Ache uma representação em série de potencias de

x

∫0

2

e t dt −

A FUNÇÕES E SÉRIES DE POTÊNCIAS Como uma série de potências define uma função f, com valores: ∞

f ( x)

=

∑0 c x

n

n

n=

Podemos analisar essa função: 6) Seu domínio é o intervalo de convergência da série.

26



2014-1

∞

7) Teorema 1: Se f ( x) = ∑ c n x n for uma série de potências com raio de convergência n =0 ∞

R>0, então a série

∑1 c nx

n −1

n

também terá R como raio de convergência.

n=

∞

8) Teorema 2: Se o raio de convergência da série de potências

∑1 c nx

n −1

n

for R>0,

n=

∞

∑2 c n(n − 1) x

então o raio de convergência da série

n

n −2

também será R.

n=

∞

9) Teorema 3: Seja

∑0 c x

n

n


n=

Então, se f for a função definida por ∞

f ( x) = ∑ c n x n n=0 ∞

f ' ( x) existirá para todo x no intervalo aberto (-R,R), sendo dada por f ' ( x) = ∑ c n nx n

1

−

n=0

x n 1 Exemplos : 1) Seja f a função definida por ∑ : 2 n ( 1 ) + n 0 c) Ache o domínio de f ; +

∞

=

d) Escreva a série de potências que define a função f’ e determine o domínio f’.

2) Obtenha uma série de potência que represente

1 (1 − x) 2

.

x n 3) Mostre que para todos os valores reais de x , e = ∑ n 0 n! ∞

x

=

4 )Utilize o exemplo anterior para achar uma representação em série de potências de e x . −

∞

6) Teorema 4 : Seja

∑0 c x n

n


n=

Então, se f for a função definida por ∞

f ( x) = ∑ c n x n n=0

f será integrável em todo subintervalo fechado ( -R, R), e calculamos a integral de f

integrando termo a termo a serie de potências dada. Isto é, se x esta em ( -R ,R), então x

∫0

∞

cn n x 0 n +1

f (t )dt = ∑ x =

1

+

Além disso, o raio de convergência da serie resultante é R.

27



Exemplos : 1) Ache uma representação em série de potencias de

x

∫0

2014-1

2

e t dt −

2) Obtenha uma representação em série de potencias de tg 1 x −

EXERCÍCIOS

1. Determine o intervalo de convergência da série dada: a)

x n ∑ n 1 n +1 ∞

∞

b)

x n

2 n x n c) ∑ 2 n 1 n ∞

∑0 n 2 − 3 n=

=

=

n2 e) ∑ n ( x − 1) n n 1 5

( x + 3) n d) ∑ 2n n 0 ∞

∞

=

=

∞

d)

∑1 (−1)

n +1

n=

( x − 1) n n

2. Dadas as seguintes séries: i) Ache o raio de convergência da série de potências dada e o domínio de f ii) Escreva a série de potências que define a função f’e ache seu raio de convergência. iii) Ache o domínio de f’. a)

x n f ( x) = ∑ 2 n 1 n

x n b) f ( x) = ∑ n n 1

∞

∞

=

=

( x − 1) n c) f ( x) = ∑ n3 n n 1 ∞

=

3. (a) Ache uma representação em série de potências para x 2 e x ; (b) Por derivação termo a termo da série de potências da parte (a) , mostre que ∑ (−2) n 1 n + 2 = 4 . −

∞

+

n =1

n!

4. Ache a representação em série de potencias para a integral dada e determine seu raio de convergência: x

a)

∫0 e dt t

x

b)

dt

∫2 4 − t

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Sequencias e Séries - Resumos

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