Produto vetorial e Produto escalar
Produto vetorial Em matemática, o produto vetorial é uma operação binária sobre vetores em um espaço vetorial. Pode ser denominado também como produto externo. Seu resultado difere do produto escalar por ser também um vetor, ao invés de um escalar. Seu principal uso baseia-se no facto que o resultado de um produto vetorial é sempre perpendicular a ambos os vetores originais.
Definição A notação do produto vetorial entre dois vetores a e b do espaço vetorial é a × b (em manuscritos, alguns matemáticos escrevem a ∧ b para evitar a confusão com a letra x). Podemos defini-lo como
ângulo entre a e b (0° ≤ θ ≤ 180°) no plano definido pelos dois vetores, e unitário perpendicular a tanto a quanto b. onde θ é a medida do
é o vetor
O problema com esta definição é que existem dois vetores unitários que são perpendiculares a a e b simultaneamente: se é perpendicular, então também o é. O resultado correto depende da orientação do espaço vetorial, i.e. da quiralidade do sistema de coordenadas (i, j, k). O produto vetorial a × b é definido de tal forma que (a, b, a × b) se tornadestro se (i, j, k) é destro ou canhoto se (i, j, k) é canhoto. Uma forma fácil de determinar o sentido do vetor resultante é a "regra da mão direita". direita". Se um sistema de coordenadas é destro, basta apontar o indicador na direção do primeiro operando e o dedo médio na direção do segundo operando. Desta forma, o vetor resultante é dado pela direção do polegar. Como o produto vetorial depende do sistema de coordenadas, seu resultado é referenciado como pseudovetor. Felizmente na natureza os produtos vetoriais aparecem aos pares, de maneira que a orientação do sistema de coordenadas é cancelado pelo segundo produto vetorial. O produto vetorial pode ser representado graficamente, com respeito a um sistema de coordenadas destro, como se segue:
Propriedades Significado geométrico O comprimento do produto vetorial, |a × b|, pode ser interpretado como a área do paralelogramo definido pelos vetores a e b. Isto significa que o produto misto (ou triplo-escalar) resulta no volume do paralelepípedo formado pelos vetores a, b e c.
Propriedades algébricas O produto vetorial é anticomutativo, a × b = -b × a, distributivo sobre a adição, a × (b + c) = a × b + a × c, e compatível com a multiplicação escalar, tal que (ra) × b = a × (rb) = r(a × b). Não é associativo, mas satisfaz a identidade de Jacobi: a × (b × c) + b × (c × a) + c × (a × b) = 0
A distributividade, linearidade e identidade de Jacobi mostram que R3 junto com a adição de vetores e o produto vetorial formam uma álgebra de Lie. Além disso, dois vetores não nulos a e b são paralelos se e somente se a × b = 0.
Fórmula de Lagrange Esta é uma fórmula útil e bem conhecida, a × (b × c) = b(a · c ) − c(a · b), a qual é mais fácil de memorizar como “BAC menos CAB”. Esta fórmula é muito útil para simplificar cálculos com
vetores na física. É importante notar, entretanto, que esta fórmula não se aplica quando do uso do operador nabla. Um caso especial com respeito a gradiente em cálculo vetorial é:
Este é um caso especial da mais geral decomposição Hodge do Laplaciano Hodge. Outra identidade útil de Lagrange é
Este é um caso especial da multiplicatividade álgebra de quaternion.
| vw | = | v | | w |
da norma na
Notação Matricial O vetor unitário i, j e k para uma dado sistema ortogonal de coordenadas satisfaz as seguintes igualdades: i×j=k
j×k=i
k×i=j
Com estas regras, as coordenadas do resultado do produto vetorial de dois vetores podem ser calculadas facilmente, sem a necessidade de se determinar qualquer ângulo. Seja: a = a1i + a2 j + a3k = [a1, a2, a3] e b = b1i + b2 j + b3k = [b1, b2, b3]. Então a × b = [a2b3 − a3b2, a3b1 − a1b3, a1b2 − a2b1]. A notação acima também pode ser escrita formalmente como o determinante de uma matriz:
O determinante de três vetores pode ser recuperado como det (a, b, c) = a · (b × c). Intuitivamente, o produto vetorial pode ser descrito pelo método de Sarrus, onde
Para os primeiros três vetores unitários, multiplique os elementos na diagonal da direita (ex. a primeira diagonal conteria i, a2, e b3). Para os três últimos vetores unitários, multiplique os elementos na diagonal da esquerda e então os multiplique por -1 (ex. a última diagonal conteria k, a2, e b1). O produto vetorial seria definido pela soma destes produtos:
O produto vetorial também pode ser descrito em termos de quaternions. Note por exemplo que as relações entre produtos vetoriais acima i, j, e k concordam com a relação multiplicativa entre os quaternions i, j, e k. Em geral, se representamos um vetor [a1, a2, a3] como o quaternion a1i + a2 j + a3k, obtemos o produto vetorial tomando seus produtos e descartando a parte real do resultado (a parte real será o negativo do produto escalar de dois vetores). Mais sobre a conexão entre multiplicação de quaternion, operações de vetores e geometria pode ser encontrado em quaternions e rotação espacial.
Aplicações O produto vetorial ocorre na fórmula do operador vetorial rotacional. É também utilizado para descrever a Força de Lorentz experimentada por uma carga elétrica movendo-se em um campo magnético. As definições de torque e momento angular também envolvem produto vetorial. O produto vetorial pode também ser utilizado para calcular a normal de um triângulo ou outro polígono, o que é importante no ramo da computação gráfica e do desenvolvimento de jogos eletrônicos, para permitir efeitos que simulam iluminação, dentre outros.
Dimensões Maiores O produto vetorial para vetores 7-dimensionais pode ser obtido da mesma maneira, porém usando-se os octônions em vez dos quatérnions. Esse produto vetorial 7-dimensional tem as seguintes propriedades em comum com o habitual produto vetorial tridimensional:
É bilinear de forma que:
x × (ay + bz) = ax × y + bx × z (ay + bz) × x = ay × x + bz × x.
É anticomutativo: anticomutativo:
x×y+y×x=0 É perpendicular a x e a y simultaneamente: x · (x × y) = y · (x × y) = 0
Temos:
|x × y|2 = |x|2 |y|2 − (x · y)2. Diferente do produto vetorial tridimensional, não satisfaz a identidade de Jacobi (a igualdade se manteria em 3 dimensões): x × (y × z) + y × (z × x) + z × (x × y) ≠ 0 Os parágrafos a seguir contém expressões em itálico que ainda necessitam tradução Para o caso geral (n-dimensional), não há análogo direto do produto vetorial. Entretanto existe o wedge product produto exterior (literalmente produto cunha), que possui propriedades semelhantes, exceto que o produto exterior de dois vetores passa a ser um 2-vector em vez de um vetor comum. O produto vetorial pode ser interpretado como sendo o produto exterior em três dimensões após usar-se a dualidade de Hodge para se identificar 2-vectores com vectores. O produto exterior e o produto escalar podem ser combinados para formarem o produto de Clifford.
Produto escalar Em matemática, em álgebra linear, o produto escalar é uma função binária definida entre dois vetores que fornece um número real (também chamado "escalar") como resultado. É o produto internopadrão internopadrão do espaço euclidiano. O produto vetorial, que é outra operação possível de ser definir para vetores fornece, por outro lado, um novo vetor.
Definição Geométrica Produto escalar de vetores. Percebe-se que ||A ||•cos(θ) é a projeção de A em B.
O produto escalar de dois vetores A e B é o resultado do produto do comprimento (também chamado de norma ou módulo) de A pela projeção escalar de B em A.
Onde θ é o ângulo formado pelos vetores e ||A|| e ||B|| são seus comprimentos. Essa expressão somente contém uma definição do comprimento de um vetor como a raiz quadrada do seu produto escalar, mas não fornece meios de se calcular o comprimento do vetor.
Entretanto, essa expressão permite o cálculo do ângulo θ entre os vetores:
Note que não é necessário mencionar nenhum sistema de coordenadas para se obter o valor do produto escalar. A formula acima é válida independente do sistema de coordenadas. Fisicamente, se A fosse uma força, o produto escalar mediria o quanto da força A estaria sendo aplicada na direção de B. Isto só é válido, entretanto, se o vetor B for unitário. Do contrário, a magnitude da projeção de A em B ("o quanto da força A está aplicado na direção de B") deve ser obtida por A · (B / |B|), visto que B / |B| representa o vetor unitário na direção de B.
Algébrica Em um sistema de coordenadas ortonormal de n dimensões, onde escrevemos os vetores A e B em termos de componentes como:
O produto escalar entre A e B é escrito como sendo:
Ainda pode ser escrito na Notação da Convenção de Somatório de Einstein
Ou ainda pode ser escrito usando delta de Kronecker
= ai.bi
=
Note que a interpretação do produto escalar como a projeção do vetor na direção de outro, neste caso, está longe de ser óbvia. No entanto a expressão acima nos fornece uma forma de obter o comprimento de um vetor qualquer em termos de suas componentes:
Propriedades O produto escalar de vetores tem as seguintes propriedades:
(comutativa). (comutativa). (distributiva em relação à soma de vetores). vetores).
