Lei do anulamento do Produto

Matemática 8.º ano - Testes e Exercícios

Equações

Lei do anulamento do produ to. Resolução de algumas equaçõ es de grau superior ao 1.º Lei do anulamento do produto

Um produto é nulo quando pelo menos um dos factores é nulo. ab



0  a  0  b  0 [o símbolo

abc





lê-se ou]

0 a 0b  0c 0

...

A lei do anulamento do produto p roduto permite resolver algumas equações interessantes. Resolução da equação ( x – 4) ( x + 5) = 0

A equação apresenta no 1.º membro um produto de dois factores que é nulo se e só se pelo menos um deles for nulo.

(x  4)(x  5)  0 



x4



x



S







Resolvendo as duas equações determinam-se os valores que anulam cada um dos factores.

0x5 0

4  x  5

Por fim indica-se o conjunto-solução.

{5,4}

Exemplo

Determina o conjunto-solução de cada uma das equações: a) (5x  1)(3  4x )  0 b) 2x (x  6)  0

(

c) 3 3x 

1 2

)(2

x

1 3

)



0

d) (x  2)(x  0,2)(x  0,5)  0

Resolução:

a) (5x  1)(3  4x )  0

© Porto Editora



5x  1  0  3  4x  0



x





x



1 5 1 5

3 4 3 4 



x





x




2x(x  6)  0



b) 2x(x  6)  0



S





2x  0  x  6  0  x  0  x  6

2x  0  x  6  0  x  0  x  6

{6,0}

c)

(

3 3x 



S



1 2

)(2

x

1 3

)



0



3x 



3x 



x





x



S



1 6 1 6



1 2 

0  2x 



2x 

x

1 3



0

1 3

1 6



{ 16 }

d) (x  2)(x  0,2)(x  0,5)  0



1 2

0  x  0, 2  0  x  0, 5  0  x  2  x  0, 2  x  0, 5 

x2



{0,5; 0,2; 2}

Quando uma equação está na forma grau de P (x).

P

(x) = 0, onde

P

(x) é um polinómio, chama-se grau da equação ao

Exemplo 

x6

0 é uma equação do 1.° grau



x

2  x  1  0 é uma equação do 2.° grau



x

3  3x





0 é uma equação do 3.° grau

Muitas vezes a decomposição de um polinómio em factores permite resolver uma equação de grau superior ao primeiro.

Resolução da equação x

2  12x



0

x (x



x



0  x  12  0

Determinam-se os valores de x.



x



0  x  12

Indica-se o conjunto-solução.

© Porto Editora

2

+ 12 12

x

=0

A equação é do 2.º grau. Decompõe-se o polinómio do 1.º membro em factores.





12)  0

x

O produto do 1.º membro é n ulo se pelo menos um dos factores o for.




S



{12,0}

Exemplo

Resolve cada uma das seguintes equações: a) x 2  25  0 b) x 2  14x  49  0 c) 16  (3x  1)2

Resolução:

a) x

2

25  0



x

2 2

5

0

(x  5)(x  5)  0  x  5  0 x  5  0  x  5  x  5 



S



{5,5}

b) x

2  14x  49  0



x

2  2  x  7  72



0

(x  7)2  0  x  7  0 x  7  0  x  7  x  7  x  7 



S



{7}

c) 16  (3x  1)2



16  (3x  1)2  0

42  (3x  1)2  0  [4  (3x  1)][4  (3x  1)]  0  (4  3x  1)(4  3x  1)  0  (3x  5)(3x  3)  0  3x  5  0  3x  3  0 





S



{



5 ,1 3

x

 

5 3



x



1

}

Exemplo

A área do rectângulo representado na figura é igual a 75 m2.

© Porto Editora


a) Determina o valor de x. b) Calcula o perímetro do rectângulo.

Resolução:

a) A



(x  5)(x  5)



75  (x  5)(x  5)



75  x 2  52



75  x 2  25



100  x 2  0

102  x 2  0  (10  x )(10  x )  0  10  x  0  10  x  0  x  10  x  10 



S



{10,10}

Apesar da equação ter duas soluções, como as medidas dos comprimentos nunca são números negativos, apenas a solução x = 10 m satisfaz as condições do problema. b) 2(x  5)  2(x  5) P  2x  10  2x  10 P  4x P



Logo, para P





x

= 10 temos:

4  10  40

O perímetro do rectângulo é de 40 m.

© Porto Editora

Lei do anulamento do Produto

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