PROCESAMIENTO ANALOGICO ANALOGICO DE SEÑALES MOMENTO 3
TUTOR: NELSON HUMBERTO ZAMBRANO CORTES
GRUPO N° 299007_5
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD
INTRODUCCION En nuestro mundo actual todo aparato electrónico, en telecomunicaciones, sistemas, incluso en áreas como la medicina, la física, la química, utilizamos todo tipo de señales electromagnéticas, de aquí la importancia de conocer sobre el procesamiento y análisis de las mismas, para ello es necesario obtener una representación de la señal sobre la base de un modelo dado. En la actualidad contamos con muchos equipos que procesan las señales, interpretándolas para hacerlas más entendibles, por lo tanto, debemos conocer y entender los principios básicos del manejo de señales.
DESCRIPCIN DEL PROBLEMA e acuerdo a !aa"edra# la medición y análisis de "ibraciones es utilizado, en conjunto con otras técnicas, en todo tipo de industrias como técnica de diagnóstico de fallas y e"aluación de la integridad de máquinas y estructuras. En el caso de los equipos rotatorios $motores% la "entaja que presenta el análisis "ibratorio respecto a otras técnicas como tintas penetrantes, radiografía, ultrasonido, etc., es que la e"aluación se realiza con la máquina funcionando, e"itando con ello la pérdida de producción que genera una detención. &n instrumento de medida de la "ibración está compuesto por las siguientes etapas'
Figura 1. Etapas de un sistema de análisis de vibraciones
El objeti"o del análisis de "ibraciones es poder e(traer el má(imo de información rele"ante que ella posee. )ara esto e(isten diferentes técnicas de análisis tanto en el dominio tiempo como en el dominio frecuencia, las cuales tienen sus propias "entajas para algunas aplicaciones en particular. )or otra parte uno de los problemas más serios en las máquinas y estructuras es el riesgo de una falla catastrófica debido a la generación de grietas en ellas. * pesar de que las máquinas y estructuras son cuidadosamente diseñadas y minuciosamente inspeccionadas, tanto antes de su puesta en ser"icio como periódicamente durante su "ida operati"a, hay antecedentes en la literatura del colapso de plantas 1 La medición y análisis de las vibraciones como técnica de inspección de equipos y componentes, aplicaciones, normativas y certifcación. Saavedra. 2001.
debido a ejes y estructuras agrietadas. +a igura - muestra una "iga simplemente apoyada, la cual tiene una grieta trans"ersal de profundidad de un /0 del ancho de ella. +a figura 1 muestra el comportamiento "ibratorio de esta "iga agrietada cuando se le aplica una fuerza trans"ersal senoidal f ( t ) con frecuencia f 2 31 $4z%, y amplitud #/ 5e6tons.
Figura 2. Viga agrietada sometida a un esfuerzo transversal
Figura 3. Aceleración en el nodo 3
El preamplificador tiene una ganancia de #////, además, se puede decir que una e(presión matemática que apro(ima el comportamiento de la aceleración de la barra es' a ( t )=0.0005 cos ( 166 πt ) + 0.00025sin ( 249 πt ) + 0.00005sin ( 8300 πt ) + v ( t )
onde
v ( t )
!"#
se considera ruido de la medida. El acondicionador de señal
permite eliminar el ruido. 7onsidere también que el detector es un filtro pasa banda cuyo comportamiento esta e(presado por la siguiente ecuación diferencial'
y left (t right ) +66000y' left (t right ) +1040000000y(t)=70000x'(t)+70000000x(t)
onde y ( t ) es la salida del filtro y x (t ) es la señal de entrada.
ACTIVIDAD INDIVIDUAL eterminación de "ariables desconocidas. En este conte(to cada participante del grupo debe usar las técnicas presentadas en la unidad -, para determinar analíticamente $no computacional% la señal de salida del detector 87uál considera que es la funcionalidad del detector9 +os E:E7:;
SEÑAL ANAL$TICA DEL DETECTOR a ( t )=0.0005 cos ( 166 πt ) + 0.00025sin ( 249 πt ) + 0.00005sin ( 8300 πt ) + v ( t ) y left (t right ) +66000y' left (t right ) +1040000000y(t)=70000x'(t)+70000000x(t)
onde y ( t ) es la salida del filtro y x ( t ) es la señal de entrada.
TRANS%ORMADA DE %OURIER DE &!'# w o=166 π
[
]
F sen ( w o t ) =
π π δ ( w −w o )− δ ( w + wo ) j j
f ( t )=10 sen (166 πt ) w o =w
F ( w )=10
(
π π δ (166 π −166 π ) − δ ( w + wo ) j j
F ( w )=
)
−10 π ∗ δ ( 332 π ) j
+a transformada de ourier 2
3320 π δ F ( w )= j
TRANS%ORMADA DE %OURIER DE (!'#
[
]
[
]
F cos ( wo t ) = πδ ( w− wo ) + πδ ( w + w o )
F sen ( w o t ) =
π π δ ( w −w o )− δ ( w + wo ) j j
a ( t )=00005cos ( 166 πt ) + 000025 sen ( 249 πt )+ 000005 sen ( 8300 πt ) + v ( t )
A ( w ) =00005 ( πδ (166 π −166 π ) + πδ ( 166 π + 166 π ) )+ 000025
A ( w ) =00005 πδ ( 332 π )+ 000025
(
(
)
)
π π δ ( 249 π −166 π )− δ ( 249 π + 166 π ) + 00 j j
(
)
π π π π δ ( 83 π )− δ ( 415 π ) + 000005 δ ( 813 π ) − δ ( 8466 π ) + v ( t ) j j j j
2
π π π π 2 A ( w ) =0166 π δ + 002075 δ −010375 δ + 04067 δ − 04233 δ + v ( t ) j
j
j
j
+* &57=>5 E :<*5!E
2
π δ + v ( t ) j
TRANS%ORMADA DE %OURIER DE LA SALIDA DEL DETECTOR y (t ) + 66000 y (t )+ 1040000000 y ( t )=70000 x ( t ) + 70000000 x ( t ) ''
'
'
y (t ) +66000 y (t )+ 1040000000 y ( t )=0 ' '
'
7ondiciones iníciales y ( 0 )=1 ; y ( 0 ) =0 '
1 −40000 t y (t )= e ( 20 e14000 t −13 ) 7 1 −40000 t ( 20 e 14000 t − 13 ) v ( t ) h ( t ) = e 7
(
h ( t ) =
)
20 −26000 t 13 −40000 t − e e v ( t ) 7 7
APLICAMOS LAPLACE H ( s )=
20 / 7 13 / 7 − s + 26000 s + 40000
SEÑAL DEL ACONDICIONADOR a3 ( t )=5cos ( 166 πt ) + 25 sen ( 249 πt ) + 05 sen ( 8300 πt ) 70000 x ( t )+70000000 x ( t )=5cos ( 166 πt ) + 2.5 sen ( 249 πt )+ 0.5 sen ( 8300 πt ) '
APLICANDO LAPLACE 70000 sx ( t ) −70000 x ( t )
¿
5s 2
s + ( 166 π )
+ 2
2.5 ( 249 π ) 2
s ( 249 π )
+ 2
0.5 ( 8300 π ) → x ( 0 )=1 2 2 s ( 8300 π )
70000 sx ( t ) −70000000 x ( t )
¿ 70000 x ( 0 ) +
5s 2
s + ( 166 π )
x ( s ) ( 70000 s + 70000000 )=70000 +
+ 2
2.5 ( 249 π ) 0.5 ( 8300 π ) 2
2 s ( 249 π )
5s 2
s + (166 π )
+
+ 2
2
s ( 8300 π )
2
2.5 ( 249 π ) 0.5 ( 8300 π ) 2
s ( 249 π )
2
+
2.5 ( 249 π ) 0.5 ( 8300 π ) + + 2 2 2 2 2 2 s + ( 166 π ) s ( 249 π ) s ( 8300 π ) x ( s ) =70000 + 70000 s + 70000000 5s
2
s ( 8300 π )
2
X ( s ) → H ( s ) → Y ( s ) Y ( s )= H ( s )∗ X ( s )
(+
Y ( s )=
−1
y (t )= L
20 / 7
s 26000
((
−
13 / 7
s + 40000
(
)∗ )
5s
s +( 166 π )
(
2.5 ( 249 π )
+ 2
0.5 ( 8300 π )
s ( 249 π ) s ( 8300 π ) 70000 s + 70000000
2
70000 +
+ 2
5s 2
+ 2
2
2
2
)
25 ( 249 π ) 05 ( 8300 π ) 2
2
+
2
s + (166 π ) s ( 249 π ) s ( 8300 π ) 20 / 7 13 / 7 − ∗ 70000 + s + 26000 s + 40000 70000 s + 70000000
2
)
SALIDA DEL DETECTOR y (t )=
)(
(
20 −26000 t 13 −40000 t 70000 + 5cos (166 πt )+ 25 sen ( 249 πt ) + 05 sen ( 8300 πt ) e − e ∗ 7 7 70000 s + 70000000
)
TRANS%ORMADA DE %OURIER PARA y (t )
(
Y ( w ) =
(
)(
(
20 / 7 13 / 7 π − ∗ 70000 + 5 ( πδ ( 166 π −166 π )+ πδ ( 166 π + 166 π ) ) + 2.5 δ ( 249 π −166 π ) 26000 + jw 40000 + jw j
)(
2
2
2
2
)
π π π π Y ( w ) = − ∗ 70000 + 1660 π δ + 207.5 δ −103.5 δ + 4067 δ − 4233 δ 182000 + 7 jw 280000 + 7 jw j j j j 20
13
2
(
2
π 70000 + 1660 π δ −996 δ 20 13 j Y ( w ) = − ∗ 182000 + 7 jw 280000 + 7 jw 70000 jw +70000000
(
)
2
)
SERIE DE %OURIER PARA LA SEÑAL (!'#) a ( t )=0.0005cos ( 166 πt ) + 0.00025 sen ( 249 πt )+ 0.00005 sen ( 8300 πt ) + v ( t )
∝
a ( t )=a o+
∑= (a cos ( 2 πk f t ) +b k
o
k
sen ( 2 πk f o t ) )
k 1
T
1 a0 = x ( t ) dt T 0
∫
T
2 ak = x (t ) cos ( 2 πk f o t ) dt T 0.
∫
bk =
2
T
T
∫ x (t ) sen ( 2 πk f t ) dt o
0
T =12.05 ms f 0=83 Hz 2 =166 Hz T
1 a0 = T
T
83
0
0
∫ a ( t ) dt = 83 Hz ∫ ( 0.0005cos ( 166 πt )+ 0.00025 sen ( 249 πt ) +0.00005 sen ( 8300 πt ) ) dt =0.0000530516 a0 =0.0000530516
2 ak = T
83
T
∫ a ( t ) ∙ cos ( 2 πk f t ) dT o
0
∫ cos ( 166 πt ) ( 0.0005 cos ( 166 πt ) )+0.00025 sen ( 249 πt )+ 0.00005 sen ( 8300 πt )
166
0
ak =0.000690986 bk =
2
T
T
∫ a ( t ) ∙ sen ( 2 πk f t ) dt o
0
83
∫ sen ( 166 πt ) ( 0.0005 cos ( 166 πt ) ) + 0.00025 sen ( 249 πt ) +0.00005 sen ( 8300 πt )
166
0
bk =8.75364 10
−20
Ha!!andoa k de! a"m#n$%o k =50
2 ak = T
T
∫ a ( t ) ∙ cos ( 2 πk f t ) dt o
0
83
∫ cos ( 8300 πt ) ( 0.0005 cos ( 166 πt ) ) +0.00025 sen ( 249 πt )+ 0.0000 π 5 sen ( 8300 πt ) dt =−9.5579 10−
8
166
0
−8
ak =−9.5579 10
4allando el coeficiente bk para el armónico k =50
bk =
2
T
T
∫ a ( t ) ∙ sen ( 2 πk f t ) dt o
0
1 83
166
∫ 0.0005 cos ( 166 πt ) +0.00025 sen ( 249 πt ) +0.00005 sen ( 8300 πt ) +sen ( 8300 πt ) dt 0
bk =0.00005
POTENCIA PROMEDIO DE LA SEÑAL DEL DETECTOR 1 &= T
t
∫| x ( t )| dt 2
0 t
∫| x ( t )| dt
&= f
2
0
−3
y e ( t )=−5195 10 sen ( 8300 πt + 926 ) 3
t
&=83
2
∫|−519 10− sen ( 83000 πt + 926( )| dt 3
0
7;5@E<:=A;! 926 a 01616 "ad
∫|−05195 sen ( 8300 πt + 01616 )| dt =026988 (−958765 10− sen ( 281839 −521504 t )+ 05 t − 00000270 2
[
&=027 −9588 10
−6
6
{[
−6
−6
{[
−6
−6
&=027 −9588 10 sen ( 2818 −521504 t )+ 0.5t −27022 10
&=0.27 −9588 10 sen ( ) .818− 52150.4 t ) + 05 t −27022 10
[
−6
&=0.27 − 9588 10
]
− 6 t
sen ( 2818 −52150.4 t ) + 05 t −27022 10
−6
0
]−[−9588 10− sen ( 2818 −521504 ∗ 6
] −[−9588 10−
sen ( 2818−52150.4 t ) + 05 t −27022 10 + 9588 10
−6
6
sen ( 2818 ) − 27022 1 −6
sen ( 2818 ) + 27022 10
]
[
&=0.27 −9588 10
−6
−6
sen ( 2818 −521504 t ) + 05 t + 9.588 10 sen ( 2818 )
[
&=0.27 −9.588 10 −6
−6
sen ( 2.818− 52150.4 t ) + 0.5 t + 3048.74 10
−9
−9
&=−2.589 10 sen ( 2.818 −52150.4 t )+ 0.135 t + 823.16 10
]
]
POTENCIA PROMEDIO DE LA SEÑAL &!'# +a señal f$t%' f ( t )=10 sen (166 tπ ) t
&=83
∫|10 sen ( 166 πt )| dt 2
0
t
&=83
∫ 100 sen ( 166 πt ) dt 2
0
t
&=8300
∫ sen (166 πt ) dt 2
0
[
t sen ( 2∗166 πt ) &=8300 − 2 4 ( 166 π )
]
t
0
[
2 t ( 166 π )− sen ( 332 πt ) &=8300 644 π
&=8300
]
t
0
2 t ( 166 π )− sen ( 332 πt ) 2∗0 ( 166 π )− sen ( 332 π ∗0 ) − 644 π 644 π
&=12.5
2 t ( 166 π ) −sen ( 332 πt )
&= 4150−
π 12.5 sen ( 332 πt ) π
CONCLUSIONES
•
7on el desarrollo de cada uno de los ejercicios, logramos dar solución a cada uno de los interrogantes planteados es de "ital importancia conocer y manejar conceptos matemático, como transformada de ourier, serie de ourier y transformada de +aplace para poder dar solución analítica al tratamiento de señales. +a transformada de ourier es una de las herramientas matemáticas, la cual es muy Btil para analizar las propiedades de las señales y sistemas de tiempo continuo y discreto.
BIBLIOGRA%IA
•
Aorón, C. $-/##%. +ibro !eñales y !istemas $)ág. - a D%. Aaracaibo @enezuela' &ni"ersidad
