Ejercicio 3 Momento 2

Dibuje unos cuantos periodos de cada una de las siguientes señales periódicas y calcule el coeficiente indicado de la serie de Fourier Tema a estudiar: Coeficientes de la serie de Fourier  (Ambardar, capitulo 8):

ak   para  x ( t )=rect ( t −0.5 )  con T=2 bk   para  x ( t )=( 1+ t ) , 0 ≤ t ≤ 1  con T=1

a)  b) Desarrollo:

ak   para  x ( t )=rect ( t −0.5 )

a)

T=2

{

1, 0 ≤ t < 1 rect ( t −0.5 ) = 0, ≤ 1 < t < T   Estendida con Periodo T =2

Onda de periodo T=2 o sea, una frecuencia de: 1

1

f 0=  = =0.5 Hz T  2 ω0 =2 πfr = π rad / seg ! "ara  pulsación "ara calcula calcularr los coefic coeficien ientes tes es necesa necesario rio elegir elegir un  per#odo de integración $ue %abar$ue& un u n per#odo co'pleto de la for'a de onda, por eje'plo, de ( a T ta'bi*n puede ser de +T2 a T2)! -ntonces el .alor 'edio o co'ponente co'ponen te continua es:

a0 =

1 3  x (t ) dt = a =1∫ 1+ t dt = + t [ = ∫ 2 2 0 2 1

1

0

T 

0

Encuentro los coeficientes

a0 =

a0 =

2

t 

1

∫ x (t ) dt 

T  T  1

∫ x (t )dt 

2 T 

a0

2

∫ t −0.5 dt 

a0 =0.5

0

a0 =1 ak 

Encuentro los coeficientes 2 πk 

 x ( t ) cos (¿ f 0 t ) dt  2

ak =

ak =

2 2

∫¿

T  T 

2

∫ (t −0.5) cos ( 2 πk ( 0.5) t ) dt  0

[ = ∗[ ( ) ¿ ∗[ = ∗[ ak =1∗

ak 

2 kπ 

 4 tkπ − sen ( 2 kπ )

ak  1

1

−sen (2 kπ )

 4 tkπ 

4 1

2 kπ 

][

1 0

−

4 tkπ − sen ( 2 kπ ) 2 kπ 

[

ak =1∗

1 0

kπ − sen( 2 kπ ) 4 (0 ) kπ − sen ( 2 kπ ) − 2 kπ  2 kπ 

−sen ( 2 kπ ) −sen ( 2 kπ ) −

]

−sen ( 2 kπ ) −sen ( 2 kπ ) −

]

 4 kπ 

1

][

2 kπ 

2 kπ 

 4 kπ 

2 kπ 

2 kπ 

]

ak =1∗[ 2 ]

ak =2

b)

bk   para  x ( t )=1 + t , 0 ≤ t ≤ 1

Encuentro los coeficientes

a0

T=1

1

a0 =

∫ x (t ) dt 

T  T  1

a0 =

∫ x (t )dt 

1 T  1

∫

a0 =1

2

1

t 

[

+ t dt = + t  1 = 2

0

0

3 2

a0 =1.5

ak 

Encuentro los coeficientes

/abiendo $ue 1

1

f 0=  = =1 T  1 -ntonces: 2 πk 

 x ( t ) cos (¿ f 0 t ) dt  ak =

2

ak =

1

∫ (1 +t ) cos ( 2 πkt ) dt  0

[ [

ak =2∗

[

∫¿

T  T 

1

ak =2∗

¿ 2∗

2

(

) +2 ktπ ∗sen ( 2 ktπ ) + 4 t k  π  2

cos 2 ktπ 

2

4 k 

2

π 

cos ( 2 ktπ ) + 2 ktπ ∗ sen ( 2 ktπ ) + 4 t k  π  2

2

2

4 k  π 

(

1 0

2

cos ( 2 ktπ )+ 2 ktπ ∗sen ( 2 ktπ ) + 4 t k  π  2

−

2

2

2

2

2

2

4 π  k 

2

π 

cos ( 2 πk ) + 2 πk ∗sen ( 2 πk ) + 4 π  k 

2

−

2

2

4 k  π  2

4 k 

[

][

( ) π ) + 2 k (1 ) π ∗sen ( 2 k  ( 1 ) π ) + 4 (1) k  π 

cos 2 k  1

ak =2∗

2

−

2

2

( ) π ) + 2 k ( 0) π ∗sen ( 2 k ( 0 ) π  )+ 4 (0 ) k  π  2

cos 2 k  0

cos ( 0 )∗sen ( 0 ) 4 π  k 

(

2

4 k 

]

][

1 0

2

π 

2

]

[ [

ak =2∗

ak =2∗

+

2

2

4 π 

1

2

∗ + 4 π  k 

1 2 πk  0

2

4 π 

k 

2

+ 4 π  k  2

2

2

k 

−

0 2

4 π 

2

k 

∗0

1

−

2

4 π 

2

k 

]

]

ak =2∗[ 1− 0 ] =2 Coeficientes

bk 

Tene'os $ue: 1

1

f 0=  = =1 T  1 -ntonces: 2 πk 

 x ( t ) sen (¿ f 0 t ) dt  ak =

2

ak =

1

∫ (1 +t ) sen ( 2 πkt ) dt  0

[ [

bk =2∗

[ [

¿ 2∗

∫¿

T  T 

1

ak =2∗

¿ 2∗

2

−2 πkt  cos ( 2 πkt )− sen ( 2 πkt )−4 t k 2 π 2 2

2

4 k  π 

−2 πkt  cos ( 2 πkt )− sen ( 2 πkt )−4 t k  π  2

2

4 k 

2

π 

][

2

+

1 0

−2 πk (1 ) cos ( 2 πk  ( 1 ) )− sen ( 2 πk ( 1 ) ) −4 (1) k 2 π 2 2

2

4 k  π 

−2 πk (1 ) cos ( 2 πk  ( 1 ) )− sen ( 2 πk ( 1 ) ) −4 (1) k 2 π 2 2

2

4 k  π 

[

bk =2∗

2

2

−2 πk ∗1−0 −4 k  π  2

4 k 

bk =2∗[ −2 πk + 0 ]

2

π 

+

∗ − 0−0

0 1

2

4 k 

2

π 

]

(

)−sen ( 2 πkt ) −4 t k  π  2

2 πkt cos 2 πkt 

2

4 k 

2

π 

2

][

1 0

2 πk ( 0) cos ( 2 πk  ( 0 ) )− sen ( 2 πk  ( 0 )) − 4 t ( 0) π 

2

+

2

2

4 k  π 

2 πk ( 0) cos ( 0 )−sen ( 0 )− 4 t (0 ) π 

2

+

2

2

4 k  π 

]

]

bk =2∗[ −2 πk ] =−4 πk  0esultados: a0 =1.5

ak =2 bk =−4 πk