Problemas y ejercicios de análisis matemático - Demidovich

PROBLEMAS DE EJERCICIOS DE ANALISIS MATAMATICO

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G. B a r a n e n k o v , B , D e m id o v i c h , V . E fim e n k o , S . K o g a n y G. L u n ts t É . P o r s h n e v a , Z?. Siofeoya, 5 . F r o l o v , ñ . Shostak y A . Y a n p o ls k í

PROBLEMAS Y EJERCICIOS DE ANALISIS MATEMATICO .floyisac/o p o r

p ro/esor

D em id o v ich

S egu n d a edición

EDITORIAL MIR • M o s c ú 19 6 7

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PRO LO G O

E n el

p resen te

li b r o , lo s p r o b le m a s y

e je r c ic io s de a n á lisis

m a t e m á t ic o se h a n e s c o g id o de acu erdo c o n el program a m á x im o d e l c u r s o general de m a te m á tic a s su periores q u e se estudia en lo s c e n tr o s

de

enseñanza

t é c n ic a

su p erior.

C o n tien e

m ás

de

3000

p ro b le m a s s is te m a tiz a d o s en c a p ít u lo s (I — X ) y abarca la t o t a li dad de la s p a r te s q u e c o n s t i t u y e n el cu rso de m a te m á tica s su periores de lo s

m e n cio n a d o s c e n tr o s de en señ a n za (e x c e p t o la g eom etría

a n a lític a ). S e ha prestado e s p e cia l a t e n c ió n a la s partes q u e, por ser m ás im p o r ta n te s , requ ieren una m a y o r p r á c tica (d e te rm in a ció n de l ím it e s , t é c n ic a de d ife r e n c ia c ió n , c o n s tr u c c ió n de las g rá fic a s de la s fu n c io n e s , t é c n ic a de in t e g r a c ió n , a p lic a c ió n de las in te g rales d e fin id a s , series y r e s o lu c ió n de e cu a cio n e s d ife re n cia le s ). T e n ie n d o

en

c u e n ta

que

en

alg u n os

c e n tr o s

de ensoñanza

s u p e r io r se e x p lic a n c a p ít u lo s su p le m e n ta rio s al c u r s o de m a te m á t ic a s , lo s a u tore s h a n in c lu id o p ro b le m a s de te o ría de lo s ca m p o s , del m é t o d o de F o u r ie r y

de cá lcu lo s

a p ro x im a d o s.

La

práctica

p e d a g ó g ic a dem u estra q u e el núm ero de p rob lem a s que se ofrecen , no s ó l o es m á s q u e s u f ic ie n t e para c u b r ir la s necesidades de los e s t u d ia n te s c a p ítu lo s

para r e fo r z a r p r á c tic a m e n te e l c o n o c im ie n t o de los

co r re s p o n d ie n te s,

s in o que

ta m b ié n da al

p ro fe s o r la

p o s ib ilid a d de h a c e r una s e l e c c i ó n v ariad a de lo s p rob lem a s dentro de lo s

lim it e s de c a d a ca p ítu lo y de e le g ir lo s n e ce sa rios

para

la s ta re a s de resum en y l o s tr a b a jo s de c o n tr o l. A l p r i n c i p i o de ca d a c a p ít u lo se da u n a b re v e in tro d u c ció n t e ó r ic a y las d e f in ic io n e s y fórm u la s m ás im p o r ta n te s relativas a la p a rte co rre s p o n d ie n te del c u r s o . A l m is m o tie m p o se ofrecen e je m p lo s de re s o lu c ió n de lo s problem as típ ic o s más interesantes.

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P ró lo g o

C on e llo creem os h a b er fa c ilita d o a lo s e stu d ia n te s el e m p le o de este m a n u a l de p ro b le m a s a l r e a liz a r sus tr a b a jo s in d iv id u a les. Se dan la s s o lu c io n e s de todos lo s problem as do c á lc u lo . En las s o lu c io n e s de aqu ellos problem as q u e v a n m arcados c o n un a ste ris co (*), o c o n dos (**), se i n c lu y e n b rev es in d ic a c io n e s para su r e s o lu c ió n o r e s o lu c io n e s . P arte de lo s p ro b le m a s se ilu stra n con fig u ra s para h a cerlo s más co m p r e n s ib le s . E ste m anual de

problem as es el resu ltado de la r g o s años de

enseñanza de la d is c ip lin a , p o r p a rte do los autores, en los cen tros de enseñanza té c n ic a de la U n ió n problem as

y

e jo r c ic io s

o rig in a le s ,

S o v ié tica . se

h an

p rob lem a s c u y o co n o c im ie n t o es genoral.

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E n é l, adem ás de re c o g id o

n u m erosos

C a p ítu lo I

IN T R O D U C C IO N A L A N A L I S I S

§ 1, Concepto de fu n c ió n I o. N ú m e r o s r e a l e s . Lo s nú m eros racion a les e irra cio n a le s se d e n o m in a n nú m eros reales. P o r valor absoluto de u n núm ero real a so e n t ie n do u n núm ero 110 n e g a tiv o |a|, d e term in a d o p o r las c o n d icio n e s : \ a \ ~ a y s i a ^ O y \ a \ = — a, si a < 0 . Para d os números reales cualesquiera a y b so v e r i f i c a la d esig u a ld a d

2o. D e f i n i c i ó n d e l a f u n c i ó n . Si a cada u n o do ios v a lores *) q ue puedo to m a r u n a m a g n itu d v a r ia b le x , perten ecien te a un determ inado c o n ju n t o E y c o rre s p o n d o u n v a l o r ú n ico , f in it o y d eterm inado do la m ag nitud y , esta m a g n itu d y recib e e l nom b re de /unción (uniform o) de x y o de variable dependiente determ in a d a on el c o n ju n to E\ x se llam a argumento O variable independiente. E l hecho do q ue y sea fu n ció n de x so expresa ab revia d a m en te p o r m e d io de las n o ta cio n e s: y = f ( x ) o y = F { x ) y etc. Si a ca d a uno de lo s v a lo re s q ue pueda lom a r x y perten ecien te a un d e t e r m in a d o c o n ju n to E , corresp on d e n uno o v a rios v a lores do la m agnitud v a ria b lo y y esta m a g n itu d y so llam a función m ultiform e de x y d eterm iuada en el c o n ju n t o E . fcn lo su cesivo , co n la palabra « fu n c ió n » designarem os ú n ic a m e n te las fu n cio n e s u n i f o r m e s , siem pre que de fo rm a e x p líc it a no se p re v e n g a lo con trario. 3°. C a m p o d e e x i s t e n c i a d o l a f u n c i ó n . E l c o n ju n to de v a lores do x y que d e te rm in a n la fu n c ió n dada, so llam a campo de existencia o campo de definición de la fu n ción . E n los casos más elem e n ta les, e l ca m p o de e x isten cia de las funciones representa: o u n segmento [a y b), os d e cir, u n c o n ju n to de núm eros reales x t que sa tis fa ce n a las desigualdades o u n intervalo (a, b )y es decir, un c o n ju n t o de n ú m o r o s rea les x , que sa tis fa ce n a las desigualdades a <^x <^b. Pero la estru ctu ra d e l cam po de ex isten cia de las fu n cio n e s puode ser aún m ás c o m p le ja (véase, p o r o j . , el p ro b le m a 21). Ejem plo

1.

D e te rm in a r el cam po de e x iste n cia de la fun ción

1

u — -----------Solución.

.

La f u n c i ó n estará d e fin id a si * 2- l >

0,

es d e cir, s í |^ |> 1. Do esta fo rm a , el cam po de ex isten cia de la fun ción representa u n c o n ju n to de dos in te r v a lo s : — o o O < — 1 y 1< * < -| -co . *) En adelanto, to d o s lo s v a lo re s de las inagnitudos que se exam ínen se supondrán reales, siem pre q ue de m anera e x p líc it a n o se indique lo co n tra rio .

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Introducción al análisis

4 o. F u n c i o n e s i n v e r s a s . Si la e c u a c ió n y = j (s) a d m ite s o lu c ió n ú n ic a resp ecto a Ja v a ria b io x y es d e cir, s i e x is te una fu n ció n x = g ( y ) t a l, que y = j [ g { y ) I, la fu n c ió n ar= £ ( y ) , o s ig u ie n d o las n o ta cio n e s usuales y — g( z ) > se llam a inversa co n r e la c ió n a y = f { x ) . Es e v id e n te q ue g [ f ( x )j = = x , es decir, que las fu n cion e s / (x) y g ( x ) son recíprocam ente inversas. En el caso general, la ecuación y = f ( x ) determinará una función mul tiforme inversa x = = f - * { y ) tal, que y = / ( / “ * (y)) para todas las y , que sean valores de la función j (x).

Ejem plo

2.

Determinar la inversa do la función y = 1 — 2~*.

Solución.

(1)

Resolviendo la ecuación (1) respecto a x, tendremos: 2” x =

1— y

y •

lg 2 Es

e v id e n te

q ue

el

ca m p o

de

d e f in ic i ó n

(2) de

la

fu n c ió n

(2)

será:

—a > < y < l . 5o. F u n c i o n e s c o m p u e s t a s o i m p l í c i t a s . La función y de x, dada por una cadena de igualdades y = /(u ), donde u = (p(x), etc,, se llama compuesta o junción de junción. La fu n ció n dada por una e c u a c ió n que n o está resuelta c o n respecto a la v a ria b le d ependiente, r e c ib o el nom b ro de im plícita. P o r e je m p lo , la e c u a c ió n x 3 + y :* = 1 determ ina a y com o fu n ció n im p lí c it a de x . 6o. R e p r e s e n t a c i ó n g r á f i c a d e l a s f u n c i o n e s . E l con ju n to de pu n tos (x , y ) de un p la n o X O Y f cu yas coordenadas estén rolacionadas e n t r e s í p o r la e c u a c ió n y = / { x ) , s o denom ina gráfica do d ich a fu n ción .

i* * .

D em ostrar, que si a y b so n n ú m eros reales I M ~ - | f r | | < | a — fcl < l « l + I H

2. D em ostra r la s s ig u ie n te s ig u a lda des: a) |« 6 ( = ¡a | -j & |;

c ) |~ |

b) | a |2 = a 2;

d)

(b

0 );

y«*= | a| .

3. R e s o lv e r la s in ecu a cio n e s: a) 1íc — 1 j <

3;

b) | * + 1 1> 2 ;

c)

| 2 a ?+ l| < l;

d) \ x — 1 1< [ a : - ( - l |.

4. H a lla r / ( — 1). / ( O ) , / ( 1 ) , / ( 2 ) , / ( 3 ) y / ( 4 ) , si f ( x ) = x s — 6a:2 + l i s — 6 . 5 . H a lla r / ( O ) , = /

/ (

.

/(-* ),

/ (± ) .

^

, si / ( * ) =

1 4 -x*. *) lg x = log 10x, como siempre, designa el logaritmo decimal del número x.

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Concepto d e la ju nción

6 . Sea / ( x) = a re e o s (Ig z ) . H a lla r / ( ¿ ) ,

9

/ ( 1 ) Y / (10).

7. L a fu n c ió n f ( x) es lin e a l. H a lla r dicha f u n c ió n , si / ( — 1) — 2 y / ( 2 ) = - B . 8 . H a lla r la fu n c ió n entera y ra cion a l de segu n do grado } (x), si / (0) = 1, / (1) = 0 y / (3) = 5. 9. S e sabe que, / ( 4 ) = — 2 y / ( 5 ) = 6 . H a lla r el v a lo r apro x im a d o de / (4 , 3), con sid era n do q u e la fu n c ió n / (£ ), en el seg m e n to 4 < £ < 5 , es lin e a l ( in ter p o la ció n lin e a l d e fu n cio n es). • 1 0 . E s c r ib ir una s o la fó rm u la q u e exprese la fu n c ió n

0 , si £ < 0 , /< * ) =

x , si x > 0 ,

em pleando el sign o de v a lo r a b s o lu to . D eterm in ar e l ca m p o de e x iste n cia de la s sig u ie n te s fun ciones:

11 . a) y = V x + 1 ; 12 .

J

b ) y = y rx + L

4 — ar2

13. a) y - V z * — 2;

b) y ^ = x Y ^ ~ 2 -

1 4 * ..

y ^ Y 2 -\ -x — x'K

15.

y —V — £ +

16.

y = Y x ~ £ 3,

17-

V=

4o

i

1/ 2 - 1-

— 3* + 2

19.

y = are eos 73— . 1n~x

20 .

y = are sen ^ lg

21.

y — Y sen2x.

22.

Sea / (£) = 2 a 4 — 3£3 — 5 í 2 - f 6x — 1 0 . H a lla r

.

y

= T l/(* )“ /(-* )!■

La

fu n c ió n / ( s ) , determ inada en e l c a m p o sim é trico — se denom ina par, si / ( — z ) = / ( z ) > e si / ( - * ) = — /(£ ).

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10


D etorm in ar, cu á les impares:

cu á les de las sig u ien tes

a) / ( * ) - i - (a* + 0

fu n c io n e s

son

pares

y

;

b) f { x ) = Y í + x + x 2— ] /r l — x + x*; c) / (*) = ^ ( S + I ) 5+ d) / (* ) = i g | í f ; e) / ( x ) = l g (a:+ 1 /1 + **). 24*. D em ostrar que cu a lq u ie r fu n c ió n / (a:), determ inada en el in te rv a lo — l < C x < l , puede representarse com o la suma de una fu n c ió n par y otra impar. 25. D em ostrar q u e el p r o d u cto de dos fu n cion es pares o de d o s impares es una fu n c ió n par, m ien tra s que el p ro d u cto de una fu n c ió n par por otra im par e s una fu n c ió n impar. 2 6 . La fu n c ió n / (x) se llam a p e r ió d ic a , si e x iste un número p o s it iv o T (p erío d o d e la ,f u n ción ) ta l, que f ( x + T) = f ( x ) para todos lo s v a lores de x perten ecien tes al c a m p o de e x is te n cia de la fu n c ió n f ( z ) . D e te rm in a r cuáles de las fu n cio n e s que so enum eran a c o n t i n u ación son periód ica s y h a lla r el período m ín im o T de la s m is mas: a) / (x) = 10 sen 3x; b) / ( x) = a sen X z + b eos X x ; c) f ( x) =

y

tgx;

d) / ( s ) = sen* x ; e) f ( x ) ^ s e n { V x ) . 27. E xpresar la lo n g itu d del segm en to y = M N y el área S de la fig u r a A M N com o f u n c i ó n de x = A M ( f i g . 1). C on struir Jas g rá fic a s de estas fun ciones. 28. Las densidades lin eales (es d e cir, la masa de una unidad de lo n g itu d ) de una barra A B = l { fig . 2 ) en sus porcion es A C — l i9 C D = l 2 y D B = l3 ( l { + l 2~\- k = l) son resp ectiva m en te ig u a les a qi9 ?2 y [i|)(:r)| y ip [q> (o:)], si y ( z ) = z 2 y ^ ( x) = 2x . 30.

H a lla r / { / [ / ( * ) ] } ,

si

f ( x ) = T~ .

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Concepto de la función

3 1 . H a lla r / (a: 1 ), si / ( x — l ) = x2. 3 2 . Sea f (re) la suma de n m iem b ros de m ética . D em ostrar que:

una progresión arit

/ ( n + 3 ) - 3 / ( i» + 2 ) '+ 3 /( n + l ) - / ( n ) « 0. 3 3 . D em ostrar quo, si f(x ) = kx + b y lo s núm eros x , t x¡¡ y x 3 c o n s titu y e n una progresión a ritm é tic a , ta m b ié n form arán una progresión a ritm é tic a lo s núm eros f f a ) ,

/ { * a ) y /(a ra ).

3 4 . D em ostra r q u e, s i f ( x ) es una fu n c ió n d e cir, f { x) = ax ( a > 0 ), y lo s núm eros x u y x s

a

ex p on en cia l, es co n stitu y e n una

M l r■'/ü-

Fig. 2

Fig. 1

progresión a r itm é tic a , lo s núm eros f ( x 4), f ( x 2) y una progresión geom étrica. 3 5 . Sea

f ( x 3) forman

D em ostrar, que:

36.

Sea q > ( a ) = - j (ax + a~x) y i|) (x ) = y

(ax — a~x).

que: «p ( * + » ) = q> ( * )

( 0 ) + ♦ ( * > ♦ (if)

y •ty{x + y ) = tf(x)-ty ( y) + cp ( y) 37.

(«)•

H a lla r / ( - 1 ) , / (O) y / ( l ) , si /(* )=

are sen z ,

para

a re tg x ,

para 0 < x < + c o .

— l < z < 0,

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Demostrar

12


38. D eterm in ar las raíces (ceros) y lo s ca m p os p ositivos y do valores n e g a t iv o s de la fu n c ió n y , si a) r/ = l + x ;

d) y = x 3 — 3x;

b) y = 2 + x — * * ;

o) y = i g J Z - .

de

valores

c ) y = 1 — x + x 2; 39. H alla r la fu n c ió n in versa de la y, si: a) y = 2 x + S-,

d )y = I g y ;

b) y — x 1— 1 ;

e)

= a r e t g 3x.

c ) y — ^T 1— x 8; ¿En q u é ca m p os estarán d efin id a s estas fu n c io n e s inversas? 40. H a lla r la f u n c i ó n in versa de í x, ^

si x < 0 ,

( x2, si x > 0 .

41. E scrib ir las fu n cio n e s q u e so dan a c o n t in u a c ió n en form a de cadena de igualdades, de m odo q u e cada u n o de lo s eslabon es con ten ga una fu n c ió n elem ontal sim p le (p o te n c ia l, e x p o n e n c ia l, tr ig o n o m é tr ica , e t c .) : a) y = (2a; — 5)10;

c ) r/ = l g t g | - ;

b) y — 2 C0S*;

d) y = are sen ( 3 - * 2).

42. E scrib ir en fo rm a de una igualdad la s sig u ie n te s fu n cion es com puestas, dadas m edian te una cadena de igualdades: a) y = u2y u = s e n z ; b) í/ = a r c t g i ¿ , u = y v, i> = l g £ ;

2 u, si w < 0 , c ) J/ =

0,

si u > 0;

t¿ — x 2 — 1 . 43. E scrib ir en form a e x p l í c i t a ecuaciones:

la s fu n c io n e s y dadas por las

a) x 2—*are eos */ = ji ; b) 10* + 10* = 10 ; c) * + l t f | = 2 y . H alla r lo s cam pos de d e fin ic ió n de las fu n cio n e s i m p l í c it a s dadas.

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Hepresentación gráfica de las funciones elementales

13

§ 2. R epresentació n g r á f i c a de la s fu n c io n e s ele mentales La c o n s t r u c c ió n de las g rá fica s do las fu n cio n e s y = f { x) se efectú a, on l o fu n da m en ta l, m a rca n d o una red s u ficie n te m e n te n u trid a do puntos ^ i ( x h y i), donde y t = f ( x t) ( ¿ = 0, 1, 2, . . . ) , y un ien do después estos ú lti m os o n tre sí con una lín ea , c u y o carácter debo tener on cuenta la p o s ició n d o los p u n to s in term e d ios. Para hacer las operaciones se recom ien da el em pleo de la regla de cá lcu lo.

F lg.3 La c o n s t r u c c ió n de g rá fica s fa c ilita el estu d io de Jas curvas de las fu n cio n e s elem entales mas im p orta n tes (véaso el a pén d ice V I ). P a rtien do de la g rá fica

i/ — /<*)•

(H

c o n ayuda d o c o n s t r u c c io n e s g e o m é trica s elem en ta les ob ten em os las gráfica de las fun cion es: 1) 1/1 = — f (x), q ue es la represen ta ción sim étrica de la gráfica T resp ecto a i eje OX\ 2) y z = t ( — ce), que es la rep resen ta ción s im é tr ic a de la g rá fica T respecto al eje OY\ 3) y 3 = f ( x — a), que es la misma g rá fica V desplazada a lo largo d e l eje O X on la m ag n itu d a; é) y* = &+ / ( * ) » q ue es la propia g rá fica V desplazada a lo largo del eje O Y en la m a g n itu d b ( f i g . 3). E j e m p l o . C on stru ir la g rá fica do la fu n ció n

Solución.

La

línea buscada e s la sin u soid e y = s e n x , desplazada a

l o largo del eje O X , hacia la derecha, en la m ag n itu d

C on struir las g r á fic a s do las fu n cion es 44.

y = k x , si /c = 0,

1, 2, y ,

lineales ( l í n e a s r e c t a s ) :

— 1, — 2.

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(fig . 4).

14


45.

y = x + b, si 5 = 0 ,

4G.

z s = l,5 x -t-2 .

1, 2, — 1,

— 2.

C onstruir las g rá fica s de la s sig u ie n tes enteras de 2 ° g ra d o (p a rá b o la s): 47. y = a z 2, si a = l , 2 t 1/ 2, 48. 49.

=

fu n cion es

ra cion ales

— 1, — 2, 0.

si c = 0, 1, 2 y — 1.

y = (x — x 0)2, si x 0 = 0, 1, 2,

— 1.

5 0 . */ = z/o~|-(z — l ) 2, si í/0 = 0, 1, 2 , — 1. 51*.

y — ax* + b x + c, s i: 1) a = 1 , fe = — 2, c = 3; 2) a = — 2, 5 = 6 , c = 0.

5 2 . í/ = 2 + x — x 2. H a lla r parábola con ei eje O X .

lo s

pu n tos

de

C on struir la s g rá fic a s de la s sig u ie n te s enteras de g ra d o su perior al segundo:

in tersección de esta

fu n cion es

ra cion ales

53*. y = x 3 (parábola cúbica) 54.

y = 2 + ( x — l ) 3.

55.

y = x d— 3 x + 2.

56.

y = x A.

57.

y = 2 x z — x4.

C on struir la s g rá fica s de las fu n c io n e s h o m o g rá fic a s siguientes (hipérbolas): 58*. y = - . X

6 1 *. ií = j f o fX r—VXq'

s i * 0 = 1 » y < ¡ = — 1 » rn = 6 .

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Representación gráfica de las funciones elem entales

62* 7/sss— ^ ^ 3^ + 2 C on struir las g rá fic a s fraccionarias:

15

-

‘

63.

y = x+

X

de

las siguientes

fu n cion es racionales

.

X'2

64.

65*.

66.

. y = -Js" 10

67*- ^ =

68 * y = 'x £ + a\ (serPent¿na de N ew ton ). 69.

y = x + ~y.

70.

y ===x 2, - f

C on stru ir

(tr id e n te d e N ew to n ),

la s g rá fic a s de la s fu n cion es irracionales siguientes:

7 1*. i j = - Y x . 72.

y = ¥ * '

7 3*. y = . y ( p a r á b o l a 74.

de Nell).

y = ± x Y x (p a rá b ola sem icúbica).

7 5*. | / = ± - ^ v 25 — a:2 (¿Zipse). o

76.

y = ± Y x 1 — 1 ( h ip érb o la ).

77.

I -s á a ;.

78:

¡/= ± x

79.

y = ± x ] / r2 5 — x 2.

C on struir tricas:

(ciso id e d e D io cles ).

la s g r á fic a s de

la s sigu ien tes

80*. y - - sena:.

8 3*. y ~ c t g x .

81*. y = e o s x .

84*. y = s e c x .

8 2*. j/ = t g x .

8 5*. y = c o s e c x .

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fu n cion es trigon om é

16

Introducción ai análisis

86.

y — A sen x , si A = 1 , 10 , 2 , --- 2.

jr = s e n ( x —
ío|»

88 .

II o «•

87*. j/ = s e n n x , si » = 1 , 2, 3 , i - • 3n

2 ’

n,

-

Jl " 4 •

89*. y = 5 sen (2x — 3). 90*. t/ = a s e n x - f - & c o s x , si a = 6 , b = -

8.

96.

y = 1 - 2 cosa;.

92.* y = c o s 2 x.

97.

y = sen x — y sen 3 x.

93*. y = x + sen x.

98.

y = : COS X •-f- 4 " c o s 2a;.

94*. y — x sen x .

JC 99*. y = COS — t X

95.

100 . y = ± y . sena;.

91.

y = s e n x -| -c o s x .

y = t g 2 x.

C onstruir la s g rá fica s de la s sig u ie n tes fu n cio n e s e x p o n e n c ia le s y lo g a rítm ica s:

101 .

y — ax > si a — 2 , y ,

¿(¿ = 2 ,7 1 8 .'.)* )"

102 *. p = lo g a :c, si a — 10 , 2 , — , e. 103*.

= sha;, don de sha: = 4 ' ( * * —

104*. y = c h x , dondo ch x =

( ex -(- e~x) .

105*. y = t h x , dondo t h x = - ^ - ^ - . i 106. y = 10 *. 107*. y = e ~x2 (cu rva d e p roba bilid ad es). 108.

i/= 2

**".

1 13. i/ = l g - ¿ - .

109.

y = lga;2.

114. y = l g ( - x ) .

110.

t/ = l g 2 x.

115. j/ = l o g 2 (1 - f x ) .

111 .

t/ = l g ( l g x ) .

116. y = l g (eos 2 ).

112.

y= ^ i-

1 17. j/ = 2 - x s e n x .

*) V éase más d eta lla d a m en te sob re ei núm ero e en la pág. 26.

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R epresen ta ción g rá fica de la s fu n cio n es elem entales

C o n stru ir las g r á fic a s trica s in v ersa s:

de

la s

sig u ie n te s

17

fu n cio n e s tr ig o n o m é

118*.

//= a r c s e n :K .

122 . y = a r c s e n y .

119*.

?/ = a r c c o s :r .

1 23. y = a r e c o s y .

120*.

y = a rctg a r.

1 24. y = x + a r c c t g x .

121 *. y = a r c c t g ;c . C o n s tr u ir la s g r á fic a s de la s sig u ie n te s fu n cio n e s : 125.

y = |x |.

126.

y =

+ 1*|).

127. a ) y = x \ x \ ;

b ) y = logy^ |a:| .

128. a ) y = sen £ + 1sen re |; b ) y = sena; — |sen x |. 3 — x 1 p a ra | a : | < l ; 129. y = 130. a ) y = [x\, b) y = x — [ x ] , d o n d o [x ] es la p a rte entera del n ú m ero x , es decir, el m a y o r n ú m ero en tero, m en or o igual a x. C on stru ir las g r á fic a s de la s sig u ien tes fu n cio n e s e n e l sistema de co o r d e n a d a s p ola re s (r , cp) ( r > 0 ): 131.

r = l (c i r c u n f e r e n c i a ).

132*. r — y

(e s p i r a l d e A r q u ím e d e s ).

133*. r = ew (e s p i r a l lo g a r ítm ic a ). 134*. r = ~

{ e s p i r a l h ip e r b ó lic a ).

135 .

r = 2 eos

136.

r = — -— ( l í n e a recta ).

137 .

r = s e c 2-|- (p a r á b o la ).

sen fp

138*. r = 1 0 sen 3 cp (r o s a de tr e s p é ta lo s ). 139*. r = a (1 - j- c o s 0 )

(c a r d io id e ).

140*. r 1 = a ? eos 2
0 ) ( le m n is c a ta ) . C on stru ir

la s g r á fic a s

de

la s sig u ie n te s

form a p a ra m étrica : 2-1016

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fu n cion es,

dadas e n

18


141*.

x

=

í

39 y =

¿2

(parábola sem icábica).

142*. x = - l O c o s í y y = s e n ¿ (e l ip s e ) .

.. '

143*. x = z l O c o s 3 / , y = 1 0 sen 3 1 (astroid e). 144*. x = z a (eos t^ r i sen í), círcu lo). 145*. x = —

» y=

y = a (sen ¿ — ¿eosZ)

(d e sa r ro llo

( f o l i u m de D e s c a r te s ).

146.

x = -^ = = = -,

147.

X — 2* + 2“ *f j/ = 2*— 2’ í (ram a d e una h ip érb ola ).

148.

z = 2 c o s 2 Z, y = 2 sen 2 ¿ (segm ento de recta).

149.

x = Z— í 2t y = l2 — t*.

150.

x = a { 2 eos t — eos 2 /),

Construir las g rá fica s de form a im p lícita :

del

(se m icircu n feren cia ) .

y = a (2 sen t — sen 21) la s siguientes

fun ciones,

(ca rd ioid e). dadas

en

151*. a:2 + t/2 = 25 (circu n feren cia ). 152.

x y = 12 ( h ip érb ola).

153*. y~ = 2 x (parábola). 15 /1 • i S + S ^ 1 155.

y 2 = a:2 { 1 0 0 - a;2). 2

2

2

156*. a:3 + y 3 = a 3 (as¿n?We). 157*. s + í/ — 1 0 Jgí/. 158*. a;2 = eos y. v 159*. y rx ¿ + y 2 = e Arcx%x (esp ir a l loga rítm ica ). 160*. x 3 4- y 2 — 3 x y =. 0 ( / o ü u m d e D e s c a r te s ). 161. H a lla r la fó rm u la de tra n sició n de la escala de C e lsio (C) a la de Fahrenheit (F ), si se con oce que 0 ° C corresponde a 3 2 ° F y 100 ° C a 212° F. C onstruir la g r á fic a de la fu n c ió n obten id a. 162. En un triá n g u lo , c u y a base es ó = 10 y su a ltu ra h = 6 , ostá in scrito un rectá n gu lo ( f i g. 5). Expresar la su perficie de dicho rectángulo y com o fu n c ió n de su base x . C onstruir la g r á fic a de esta fu n c ió n y h a lla r su v a lo r m á xim o.

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19

L im ites

163. E n ei tr iá n g u lo A C B , e l la d o á n g u lo v a r i a b l e X A C B = x ( f i g . 6 ).

B C — a,

el

A C = b y el

E x p re s a r y = área. A A B C c o m o fu n c ió n do x . C on stru ir la grá fica de esta fu n c ió n y ha l l a r su v a l o r m á x im o . 1 64. R e s o lv e r g rá fica m e n te la s ecuaciones: a ) 2xs — 5 x - f - 2 = 0 ;

d ) 10"* = a:;

b ) x*-\ -x— 1 = 0 ;

e) x = 1 + 0 ,5 sen x ;

c) lg x = 0,lx ;

f) c t g x = x

(0 < x < n ) .

1 65. R e s o lv e r g rá fica m e n te l o s sistem as (le ecuaciones: a) x y = 1 0 , x - \ - y = 7; b ) x y = 6 , a:2 - (-y 2 = 13; c ) x^ — x + y — 4 , ¡/2 — 2 x = 0 ; d ) x 2 4 y - 10 , x + i,2 = 6 ; ( 0 < x < 2 rc).

e) y = s e n x , y — c o s x

§ 3, Limites 1o. L i m i t e

de

una

sucesión.

límite de la sucesión xit x 2» -. •»

El núm ero a re cib e el nom b re d e

.. -: lito x n = a,

fl-»00 s i para cu a lq u ier e > 0 e x is t o u n nú m ero # = JV (e )-ta l, que |x n — a j < e para n > N . E jem plo

■

1.

D em ostra r que lim

n-^-oo n -p 1

( 1) 2*

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20 Solución.

Considerem os la d iferen cia 1_ "n + i '

n+ \

V a loran d o su m a g n itu d a b so lu ta , tendremos: 2n±l

(2)

n-\~i O .

n+ 1 si

(e). De esta forma, número N = - —

para cada número p o s i t i v o e se puede

1 ta l, que para n > N

se cu m p le

encontrar un

la d esig u a ld a d (2). Por

co n sig u ien te, el número 2 es lim it e de la su cesión z n = (2n + decir, se v e rifica la fórm u la ( 1). 2o L í m i t e d e u n a f u n c i ó n . Se d ice que la fu n ció n cuando x a ( A y a -son unos números), o que

1), es f ( x ) A

lim f (#) = Aj x -* a

s i para cu alquier e > 0

ex iste un número ó-— Ó (e) > 0

t a l, que

I / (*) — -4 |< e para 0 < ] x — a |< ó. Análogam ente lim f ( x ) = A, X-VCO s i | / ix ) ~ A |< e para |a; |> N (e). T a m b ién se em plea la n o t a c ió n con ven cion a l lim f (x) = co , que in dica, que I / (®) |> £ para 0 < |z — a |< ó ( E), donde E es u n número p o s itiv o arbitrario. 3o. L í m i t e s l a t e r a l e s , fii i < f l y sg escribe con v e n cio n a l m ente x - > a — 0 ; análogam ente, s i x > a y x a, se escribirá a sí: x —>-a~f-0 . L o s números f (a — 0) =

lim f (x) y K-va—0

/ ( a + 0) =

lim f (x) cc-xi-f-0

se llam an, respectivam ente, lím ite a la izquierda de la Función f (x ) en el punto a y lím ite a la derecha de la fu n ció n / {z) en e ! punto a (si es que d ic h o s números existen). Para que ex ista el lím it e de la fu n ció n f {x ) cuando z —*-a, es necesario y su ficien te que se v e rifiq u e la igualdad

/ ( s - 0) - / ( a + Ü). Sí o x is to n e l

lim f\ (x ) a»a

y

el

lim / 2 M , x -+a

tienen

teoremas: 1) lim [ f i ( x) + f z (*)] = l i m f { { x ) + lim f2 (x); :c-*a x-+a

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lu ga r

lo s

sigu ien tes

21

Lím ites

2) Hm [/, (*) fz (x)¡ = ] ¡xn /,(*)• lim f2 (*); x-*a x-*a ar-ta 3) lim [ / , ( * ) / / „ { * ) ] - l i m / , ( * ) / ! ! « « * ) x-+a

x-* a

x -+ a a

(U m /2 (*) i= 0). V

x-+a

L o s lím it e s sig u ie n tes so em p lea n co n frecuencia: ,. sen * hm — — = 1 x->0 x

Hm ( l + - L ^ = lim ( i + cc)a = e = 2,71828 . . .

X-K» V Ejem plo fu n ció n

2.

X '

Ct-»0

H a lla r lo s

lím ite s a la derecha y a la izq u ierd a de la

/ (x) = arctg — cu a n d o x ->- 0 .

Solución.

Tenemos; / ( + 0) = Ü ' £ o ( a r c t g ^ ) ~ T / < — 0) =

lim / , . i \ *__0 (^ctg— J

n ----- 2"

En esto caso, es evidente que no existe limite do 'la función / {x) cuando 166. D em ostrar que, s i n —> 00 , el lím it e de la su cesión 1

i i j_ 7 4 ’ 9 > • * ' » «*2 ’ * ‘ ’

e s ig u a l a ce r o . ¿P ara q u é v a lo r e s de n se cu m p le la desigualdad W

< - s'

(s ie n d o z un n ú m e ro p o s i t i v o a rb itra rio)? E fe c tu a r el c á l c u l o n u m é r ic o para: a) e = ü , l ; b) e — 0 ,01; c ) s = 0 , 001 . 1 67. D em ostra r que el l í m i t e de la sucosión Xn =

rt-fl

{n = ly 2 ,

cu a n d o n —> o o es ig u a l a 1. ¿Para qué v a lo r e s de la d esig u a ld a d

N se cu m p le

\xn — i I < e ,

(sie n d o b un n ú m ero p o s i t i v o a rb itra rio)? H a lla r N para: a) e = 0 , l ; b) a = 0, 01; c ) e = 0 ,0 0 1 . 168. D em ostrar que lim s* = 4. x-+'2

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22

/ntroducción al análisis

¿ C ó m o e le g ir para el n ú m ero p o s i t i v o da do e un n u m eró p o s i t i v o ó , de m odo q u e de la desigu aldad | z - 2|<6 se deduzca la desigualdad \xt — 4 | < e ? C a lcu la r Ó, para: a) e = 0 , l ; b) e = 0 ,0 1 ; c ) 8 = 0 ,0 0 1 . Í 6 9 . D ilu cid a r nales: a)

el sen tid o e x a c to de la s n o ta cio n e s c o n v e n c io

l i m l g x = — o o ; b)

I l m 2 * » + oo;

c) l i m / ( x ) = o o .

a'->-j-oo

x-voo

170. H a lla r lo s lím ite s de la s sucesiones: '

1

'

_JL

2 ’

2 4 i 1 3 ’

c) V z V W

JL

_J _

3 1

4

( - 1)71"1

’ ‘

h

• ••••

6 2ti 5 * ’ * ’ 1 2rt — i ’

* .

\Í2

V W

* >

• - !

d ) 0 ,2 ; 0 ,2 3 ; 0 ,2 3 3 ; 0 ,2 3 3 3 ; . . . H a lla r lo s lím ite s:

•+_V Í_)

1 7 1 ‘

1 72. l i m

+

n-»oo

173.

+

.

n

lim f 1 + 3 + 5 t Z .+ _ . . + ( 2n- l ) ------- Í 2 ± l ] . n-foo L

174.

» + l

lim

.

n-too « “ ( - I ) '1

1 75. 176.

,. 2n+1 + 3^+» lim 2n4 -3 »

n~>oo

1 M

lim (i-+ ^ -+ -i-+ ---+ T r)-

178*. lim « H -2 » + * + . . . + «« . n-f-oo

179.

n3

1ira ( Y n + 1 — V~ñ)' IWfo

180.

•

lim - S¿ x t ~ • « - . » n* + 1

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2

J

Lim ites

23

A l buscar e l lím ite do la razón de d os p o lin o m io s en teros resp ecto a x T cu a n d o x —>-co. e s c o n v e n ie n te d i v i d i r p re v ia m e n te los d os térm inos de la razón p o r x nt d o n d e n es la m a y o r poten cia d e esto s p o lin o m io s . En m u ch o s casos puede em plearse u n p ro ce d im ie n to análogo, cuando se tra ta de Ira ccio n e s q ue c o n t ie n e n o x p re sio n e s irracion ales. E j e m p l o 1. I¡m

( 2 * — 3) ( 3 * + 5 ) ( 4 * — 6)

X -* o a

3 a ;® - f - X

( - 4 x )) \( * + 4x ) \( - 4 x )) V

j . ^

■1

x -f r o o

o

2 -3-4

g

i

X® E jem plo

2.

l i m- — x

- = Lim

x ^ c o f x 3 + 1 0

40 i 181.

ilim X -.c c

182.

„ y

(1/ + 1 )2 % , x - +

=

4 0 a 1186. lim

l

l i m -ÍJ22*

lim x—.oo

184.

lim X->CO

1 85.

V * J +

1

187. l t o J f e + L . x-»oo x - \ - y X

3*-|-7 4 -5

•

188-

lim — ^-.co 10 + * j / *

.

189.

lim -É Ü H .. x+ \

1 90.

^<■ ■ * -+ « ]/* + V x + y *

l i m - ! 2 £' ± ' 1 ® c í = 2 1 •. x -v c o

2x2 — 3x — 4 ..

X -.O C

X-.OC * — *

183.

- = !■

/ 1 + _1£.

X ¿7V »

J 1 LIA

1+5

Si P ( x ) y 0 (a?) so n p o lin o m io s en teros y P (a) de la fr a c c ió n ra cio n a l

x“

. -

0 o Q (a)

;

*

0, el lím ite

P( x) Q (*)

se h a lla directam ente. P (a:) Si P (a) = Q (a) = 0, 0 se recom ienda s i m p l if ic a r la fr a c c ió n ■^ , por el b in o m io x — a, una o varias veces.

E jem plo lim x-* 2

191.

lim a:-*—i

£2 — 4 x2— 3 x 4 -2

lim -

193.

l im x -y -l

lim x-*2

(x — 2) ( x 4 - 2 ) x-+2 (x — 2) (x - 1 ) 195.

x 24 - l •

lim X -fí

•

X2 — 1 xa4 -3 x 4 " 2 • x 2- 2 x X -— 4 x 4 - 4

lim x + 2

lim

x3 + l

£ 2 -5 x 4 -1 0 X2— 25 x-*b

192.

194.

3.

196.

li r a x-+a

197.

lim

x-*2 Z -

x3 — 3 x 4 - 2 4 x -f 3 • x a — (a 4 - 1 ) x 4 - a x 3 — a3 (x + A )3 -x 3

h-0 198.

lim (

h

1 x->l V l - z

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4

1

M 1 -X 3 )

24


Las expresiones irra cio n a le s s e reducen, en m uchos casos, a una form a racional in trod u cien d o una nueva variable. E j e m p l o 4. H allar fím

J p

g

-

1

.

x-*0 f i + x — 1

Solución.

Suponiendo i+ x= y*t

tenemos: Hm

=

Hm 4 = 4

o i? 199.

lim * -1

200.

1 .

lim J ! ! ± £ + i = v~*í y+t

*

.

¿

201. lim .f e " 1... *-,1 J / * _ l

*“ 1

lim *-> 64

=

t y —f

'

202. lim

y a: — 4

+1-.

* -> l

{ * — l )2

Otro p roced im iento para h a lla r el lím ite de una exp resión irracion al es el do trasladar la parto irra cion al del num erador al d en om in a dor o, a l con trario, dol denom inador a l numerador.

E jem plo

5.

lim V ¿ - V ¡ r b Ijm x~>a

x

a

x — a

o-kj (* — fi) ( f x + ' / a ) =

203.

2 04. lim a:-*8 205.

x -* 3

x—8

211 .

2 )/a

^ + ^ g ± E a:2

E

4x + 3

lim ( V x + Z - V x ) . X -+ + V J

lim X X -^ 7 • X->1 y CC— i

206. l im, 1— V 5 + , ^ .r->4 L— 1/5 — X lim V l + « - V l - « 207. lim *-»<) 208. l i m/i-*0

7= - = -------------------- ( a >

"j/ x -f- ]/ a

2io . Iim V

i .

lim *-»7

lim —

x- mi

/i

212 . lim

[ V x ( x + a) - x ] .

213 ^ i j m

( ] / V — 5x + 6 — z). fx>

^

214.

lim

215.

* ( / 5 » + T — *).

— x 8). x -* o o

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0 ).

! .

Lím ites Al hacer ol fórm ula

c á lc u lo

de

lo s

25

lím ite s ,

en

sena:

,

lim

x-*0

m uch os casos se emplea

1

x

y se supone que se sabe que, lim se a x = s e n a y x-*a

_ . . Ejem plo J

2 16. a)

son 5a: Li m------------s-0 *

6. .

b)

( sen 5a: lira I — =------ . 5 ) = 1 - 5 = 5. x-+Q V 5a:

x

lim (1 — a:) t g

2 29.

lim c t g 2 # c t g

sen 3a:

sen 5x sen 2a:

^ -* 0

230.

l i m ------------

231.

lim

2 32.

lim

sen n x 2 19. l i m 5- — . sen3rtx

l i m (rasen — ) . n -vcx»

V

n j

e os m x — eos nx x2

v tg a:— sen x i i m — — ---------. * -► 0

X2

a» 0

>

¡n~~3x

x^ 0

ooo ¿66.

1 — eos x

221 . lim

¿

1 — 2 eos x

0 /lfv

220 .

— a;). '

1 — sen -

K -.0

2 18. lira

¿

* -► 0

x *00

2 1 7 . lim

.

*-*■1

son x

lim

lim eos x = cos a. x->a

2 28.

lim -^ -; *-►2

la

sen a: — sen a x~a X-+U

aresen x

234.

lim

2 35.

lim ^ ie J L .

2 36.

Jim X-+1 sen

222 . lim

e o s a: — e os a

2 2 3 . lim X-Kl 224.

sen 3x

x — a

lim *—

,0

tg Jtx 2

s +

2

1 — X2

2 2 5 . lim sen (*,+ (0 - se a * _

2 37.

lim

x — sen 2 x

x_>0 ^ + s e n 3a: '

ft -> 0

226.

lira

j ix

*

JTX

e os —

sen i — eos a:

n

,

1—

t g *

2 38.

lim a_vi

4 -. 1 —

l/^

* ~ * T

227. a) l i m x s e n — ; '

b)

* * o

2 39.

lim 1 - V c m Í . rc-v O

X2

*

lim a; s e n — . X-*oo

240.

lim V l + s e n a - V l - s e n a ; x-+Q

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x

Introducción a l análisis

26

A l h allar los lím ites de la forma

lim[q> (*)]♦<*> = C ,

x-*a

lo ;

debe tenerse en cuenta que: 1) si ex isten los lím ite s fin ito s lim (x) = A * £ 1 y lim \J>(x) = ± c o t el w-va x-+a lím it e (3) se resuelvo directam ente; 3) si lim cp(x) — 1 y

lim q > ( x ) = c o ,

x-m

donde a (x)

so

x->a

0, cuando x - + a

supone

«

*

sien do e — 2 , 7 1 8 . . . el núm ero de Neper. H allar

lim í ™

* ] 1**.

x -> 0 \

Solución,

*

/

Aquí sen 2x x-*Q \

por consiguiente,

X

/

H m / s e n 2x x->0 \

Ejemplo

.x-*0

p

x

^ 21^ 2

)

8. H allar lim ( ^

V 1 f; -

a --> oo \ 2 x +

Solución.

Tenemos: x + t

lim - a X -+ o o

=

2x-f*l

..

1

1

X

hm

x -» c o

<> i 2 +

i

lim x 2 = - f- c o . X -* c o

P or lo cual,

H m0O \ 2x-j- 1 / X-+ Ejemplo

9.

= °-

H a lla r

Hm ( Z = ± - Y

x-yoo \ ^ T »

/

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e!

cp (x) = l + a (x ),

Huí a(x)ty{x) lím £(3C>—i - x-+a ) « * > =e

X -X l

7.

q ue

de h a lla r

y , p o r consiguiente,

C = I im {[1 + Cí (* )] a(*> }

Ejemplo

problem a

27

Lím ites Solución.

Tenemos: * - T lim

7 X 7 =

l-tco 2 T 1 H acien do

i »

,im

X-»oo ^ | 7*

- =

i-

las tra n sform a cion es que se indicaron más a rriba , obtendrem os

( S i ) ’ - J ¡ ; [ 1+ ( S t - ‘ ) ] x 2x

*+l

lim

—2 x e “ 2.

En osle caso con creto, puede hallarse el li m i t e con más fa cilid a d , sin recurrir al p roced im ien to general:

hm

/X — l\x

I — _

x -c * > \ * +

]

— «l i m

i )

( í - i y ' 31 '

uta r ( i - i - r i ' 1 3C^«LV *) -I

x -* -c o

lim ( '+ ! ) ■

X-+OQ

,-2

(*+ir

En t o d o caso, es con ven ien te recordar que:

k \x

lim(1+-l) «'•'JS(£:)’■ 248- 1™(A)’ÍS 2«*- «=(5 T*x -* o o V

x

eh.

I

x—co

z _

l

\ * + l

i)

2 4 2 -

X-*CO

2x

243.

«o»

2 50. l i m ( l

^

72-ytW sen x

2 44. Ii m ( í ! x 2 £ ± ^ 3 x + 2 ; *-o

^

1

2 5 1 . lim (1 + sen :r) x . x -* 0

252**. a) lim {eos x) x ; x -> 0

1 2 4 6 . lim ( l - i - ) "

b) lim (eos x )

.

71-.03 V

.

x -0

2 4 7 . lim ( l + l r .

X->00 '

X ‘

A l ca lc u la r lo s lim ite s que se dan a co n tin u a c ió n , es conveniente saber que, s i e x is te y es p o s it i v o el lim / (* ), se tiene: x -* o

lim [ln / (* )] = in [ lim / (a:))x-+a

x-»a

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28

Introducción a l análisis

E jem plo

10. Demostrar que x -t-0

Solución.

Tenem os:

l i m ..n (- ] t

x->0

^ = l i m [ l n ( l + a : ) 1 /*J = ln [ l i m ( l + ar), / * J = i l a e = l .

X-+0

x

La fórm u la (*)

*

x-*Q

so em p lea , frecuentem ente, en la re s o lu c ió n

de problem as.

2 5 3 . lim |lri ( 2 x + 1) — ln ( x + 2)\. X->CG

2 5 4 . l i m lg- (A + Í0^ , x -> U

260*. lim

2 5 5 . lim í - i n x-*0 V X

i/

V

1 -3 i

.

256. lim r r l l n í s + l ) — I n x ] ,

eax x-vO

x -* 0

;

x

b) I i m H ^ - 1 . x - fO

x

259*. lim a- y - ‘ ( a > 0 ) . x -* 0

s e n a

2 6 3 . a) l i m —

x

2 58*. l i m í í = i . x-vO

1

2 6 2 . lim i ~ e X X-+0

2 57. lim ln (c” x)- .

gbx

2 6 1 . lim

x -* + c o

x -v O

(a>0).

n -* ‘ 71-*
x

(V éanse^ lo s

x

e je r c ic io s

103

x

H a lla r lo s sigu ien tes lím it e s latera les: 2 64.

a) lim — J L = . ; x-*—oo y x 2~f -1 b) lim

.

2 6 5 . a) lim

thx;

2 6 7 . a) l i m

b) lim ln(1 + gS) . 2 6 8 . a) lim

x->—
x-+— 0

b) lim X-*-f-co

th x ,

b) lim X“V+0

d on de t h x = e-¿ T -e-^ ■ **+« *

b) l ¡ m

— \ + ex

.

_ J _ .

~ +° l + ^

Ü 22^L; x

1S8a * 1 . X

2 6 9 . a) lim 37— 1 . v . i —o I * — 1 1 ’

2 6 6 . a) lim — 1 - ; x->—0

l p( i + e*) ;

X —+ — o o

b) lim

. .

x-*l-f*0

2 7 0 . a) lim - A j ; W o * - 2 ’ b) ü m

r~o '

x -* 2 + 0 z ~ ~ ¿

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y

1 04).

Lím ites

29

C o n stru ir Jas g r á fic a s de la s fu n cion es: 271**. y = l i m (c o s 2n a;). n-yco

2 7 2 *.

X

y = lim r— ,

(* > 0 )

273.

y = Jim V a * + a 2.

274.

y = lim (a r c t g nx) . n -» c o

275.

y = I i m f l + a:n

(*>0).

n->oo

2 7 6 . C o n v e r tir m ixta

en

ord in a ria

la

sig u ie n te

fr a c c ió n

periódica

a = 0 ?1 3 5 5 5 . . co n sid e rá n d ola c o m o el l í m i t e de la correspon dien te fr a c c ió n fin ita . 2 7 7 . ¿Q ué o cu rrirá c o n las raíces do la e c u a c ió n cuadrada axs + bx + c =» 0 , s i el c o e fic ie n t e a tiende a ce r o , y lo s co e ficie n te s b y c son con stan tes, siendo 0? 2 78. H a l l a r e l l i m i t o del á n g u l o in tern o de un p o líg o n o regu lar de n lados si n —>00 . 2 79. H a lla r el lím it e de los perím etros de lo s p o líg o n o s regu lares de n lados in scrito s en una cir cu n fe r e n cia de radio R y de lo s c ir cu n s cr ito s a su alrededor, si n —> 00. 2 80. Hal l ar el lím it e de la sum a de las lon gitu d es de las ordenadas de la cu rva y == c~x eos n x , trazadas en lo s pu n tos x = 0 , 1 , 2 , n , si n —± 00 . 281. H a l l a r el l í m i t e de las áreas de lo s cuadrados construidos sob re la s ordenadas de la cu rv a y = 2 l~x c o m o bases, n —> 00 .

donde

x = i y 2 , 3, .

n } con

la

c o n d ic ió n

de que

2 82. H a l l a r el lím ite , cu a n d o n —> 00 , del perím etro de la línea quebrada M ^ M X . . . M n> in scr ita en la espiral lo g a rítm ica r — e-* y s i lo s v é r tic e s á n g u lo s p olares

de

esta

quebrada

¥o = 0 , (pi =

tienen,

, . . . , q>n = ^

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respectivam ente, .

los

30


2 83. E l segm ento A B = ¿ a ( f i g . 7) está d i v i d i d o en n partes iguales. Sobre cada una de ellas, tom á n d o la c o m o base, se ha con stru ido un tr iá n g u lo isó sceles, c u y o s á n g u lo s en la base son igu a les a a = 4 5 ° . Dem ostrar, que ol l í m i t e del p erím etro de la lín e a quebrada así form ada es diferen te do la l o n g it u d d el seg m en to A B , a pesar de que, pasando a lím ite s , la línea quebrada «se con fu n d e g eom étrica m en te c o n el segm en to A B ».

B

F i g. 7

F i g. 8

2 84. E l p u n to C x d i v i d o al segm en to A B = l en dos partes igu a les; el p u n to C 2 d i v i d e al segm ento A C { en dos partes ta m bién igu a les; ol p u n to C3 di v i de , a su vez, al segm en to C 2C X en dos partes ig u a le s ; el C 4 h a ce lo p r o p io con el segm en to C 2CZ y así su cesivam en te. D eterm in ar la p o s i c i ó n l í mi t e del p u n to cu an do n —> oo, 2 85. Sobre los segm entos o b te n id o s a l d i v i d i r e l c a te to a de un tr iá n g u lo re ctá n g u lo en n partes ig u a le s , se h an co n stru id o rectángu los in s cr ito s ( f i g. 8 ). D eterm in ar el l í m i t e del área de la fig u ra escalonada a sí c o n s titu id a , si n —> oo. 286. H a lla r las constantes k y b de la e cu a ció n Jim ( ¿ z + b — í L ¿ í ) = 0 .

( 1)

E scla recer el sen tid o g e o m é tric o de la ig u a ld a d (1). 287*. U n proceso q u ím ic o so desa rrolla de tal form a , que el in cre m ento de la ca n tid a d de su bstan cia en cada i nt er val o do tie m p o t , de una su cesión i nf i ni t a de in te rv a lo s ( ¿ t , (í - + ' ! ) T) (¿ = 0 , 1 , 2 , . . . ) , es p ro p o rcio n a l a la ca n tid a d de su b sta n cia existente al c o m ie n z o del in te rv a lo y a la d u r a c ió n do d i c h o in te rv a lo . S u pon ien d o q u e en el m om ento i n i c i a l la ca n tid a d de su b sta n cia era Q0, determ inar la ca n tid a d Q(tn) que habrá de la m ism a después de tran scu rrir un in tervalo do tie m p o t> si el in crem en to do la ca n tid a d de s u b s tan cia se realiza ca d a eneava parte d e l in te rv a lo de tie m p o _

n H a l l a r Q , = l i r a Q\n). n->cc

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31

In fin itésim o s e in fin itos

§ 4 . In fin ités im os e in fin ito s I o. I n f i n i t é s i in o s.

Si l i m a ( x ) = 0, x-+a

es d e c ir , s i | a ( x ) | < e , cu a n d o 0 < ( x — a |< 6 (e), la fu n ció n a (x) so llam a Infinitésim a ( in fin ita m en te pequeña) cu a n d o x — a. A n álogam ente so deter m in a la fu n c ió n in f in it é s im a (in fin ita m e n te pequeña) a (x ), cu a n d o x - * c o . La sum a y el p ro d u cto d e un núm ero lim it a d o de in f in i t é s im o s , cuando x —►*<*, es ta m b ié n un in f in it é s im o cu a n d o x —>-a. S i a ( x ) y P ( x ) so n in f in it é s im o s cu a n d o x —*-a y

d o n d e C es un nú m ero d i s t i n t o d o cero, las fu n cio n e s a (x) y p (x) reciben el nom b re d o infinitésim as de un mismo ord en; si C = 0 , se d ic e q ue la fu n ció n a (x) es una infinitésim a de orden superior resp ecto a P (x). La fu n c ió n a (x) se d e n o m in a infinitésim a de orden n resp ecto a la fu n ció n p ( x ) , s i c t (x )

L“

t p w f

-

“ c'

donde 0 < |C |< + c o . Si

|‘ rn¡ r § - = 1’

x-+a P (x )

las fu n cion es a (x) y (5 (x) se lla m a n equivalentes cuando x - ^ a ; a (x ) ~ p (x). P o r e je m p lo , si x - * - 0 tendrom os: sen x — x ;

tgx~x;

l n ( l + x ) —- x T

etc. La sum a de d os in fin ité s im o s de orden d i s t i n t o , e q u iv a le a l sum ando c u y o orden os in fe r io r . E l lim ito de la razón de d o s in f in i t é s im o s n o so altera , s i los térm in os do la m ism a se s u stitu y e n por o t r o s c u y o s v a lo re s re s p e ctiv o s sean eq u iva lentes. Do acuerdo co n este teorem a, al h allar el lím ite do la fr a c c ió n

ih m <*{*)

,

P (*) dondo a ( x ) - > - 0 y P ( x ) —>-0, cu a n d o x —>*a, al nu m erad or y d e n o m in a d o r do la fra cció n pueden restárselo (o sum ársele) in f in it é s im o s do orden su p e rior, e le g id o s de tal fo rm a , q ue las ca n tid a d e s resultantes sean eq u iva len tes a las a nteriores. E je m p lo

1.

_ ..

lim

_

-¡—77 , lo (1 +

_

1^x3

¿X)

1

= h m —^— = -rr . o 2.x

¿

2 °. I n f i n i t o s. Si para un nú m ero cu alq u iera /V, tan grande c o m o se deseo, e x is t e ta l ó ( W ) , q uo para 0 < |x — a |< ó (N ) se v e r ific a la d e s i gualdad

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32

introducción al análisis

la función f (x) recibo el nombro de in fin ita ( in fin ita m en te grande) cuando x —>■ a.

Análogamente*, 1 (x) se determina como infinita (infinitamente grande) cuando x —>-co. El concepto do infinitos d© diversas órdenes se establece de manera semejante a como so hizo para los infinitésimos. 288. D em ostrar q u e la fu n c ió n /(a0 = 2 5 * e s in fin ita m en te pequeña se c u m p le la desigualdad

cu an do x —* oo. ¿Para q u é v a lores de x

si e es un núm ero arbitrario? H a cer los c á lc u lo s para: a) e = Q, l ; 2 89. D em ostrar que la fu n c ió n

b) e = 0 ,0 1 ;

c ) e = 0 ,0 0 1 .

/ (x) = 1 — z 2 es in fin ita m e n te pequeña cu a n d o x —> \ . ¿Para qué v a lores de x se c u m p le la desigualdad

si e es un número cu tero arbitrario? H a c e r lo s c á l c u l o s n u m é ric o s para: a) e = 0 f l ; b) e = 0 , 0 1 ; c ) e = 0 , 001 . 290. D em ostrar que la fu n c ió n f <*> = í ~ 2 es i nf i ni t ament e grande cu an do x —* 2 . ¿E n q u é en torn os ) x — 2 | < ó se v e r ific a la desigu aldad If ( x ) \ > N , si N es un número p o s it iv o arbitrario? I-Iallar ó, si: a) iV = 10 ; b) TV = 100 ; c ) N = 1000 . 291. Determ inar el orden in fin ite sim a l: a) de la s u p e r fic ie de una esfera, y b) del v o lu m e n de la m ism a, si su radio r es un i nf i ni t és i mo de I o orden. ¿C u ál será el orden in fin ite s im a l del radio y del v o l u m e n respecto al área de esta esfera? 2 9 2 . Sea a el á n g u lo cen tral de un sector c ir c u la r A B O ( fig . 9 ), c u y o radio R tiende a ce r o . D e term in a r e l orden i nf i ni tesim a l: a) do la cuerda AB\ b) de la f l e c ha del a r c o C D ; c ) del área dol k A B D , resp ecto al in fin it é s im o a . 2 93. D eterm in ar el orden in fin ite s im a l respecto a x, cu an do x —> 0 , de las fu n cio n e s siguientes: a ) j ^ ;

d) 1 - c o s x ;

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In fin itésim os e in fin itos

b) Y x -+•y x ;

33

o ) t g x — sen x.

c) f » * — V * » ; 2 94. D em ostra r q u e la lo n g it u d de un arco in fin it é s im o de una cir cu n fe r e n cia de ra d io con sta n te, es e q u iv a le n te a Ja lon gitu d de la cuerda q u e tensa. 295. ¿S on eq u iv a len te s, u n s e g m e n to in fin it é s im o y la s e m ic ir cu n feren cia in fin it é s im a co n s tr u id a sob re é l, c o m o diám etro? D B

A p lic a n d o e l teorem a sobre la razón de dos in fin ité s im o s , h a lla r : 2 9 6 . lim

. a rcscn

2 9 7 . lim x-,0

2 98. l i m ^

.

X

, lrx <1— ^r)

.

2 99. lim

1

2*. . eos x

3 0 0 . D em ostra r q u e c u a n d o x —> 0 , las m a gn itu d es

y }/rl + x — 1.

son e q u iv a le n te s entre s í. E m p le a n d o este resultado» m ostrar que, cu a n d o \x\ es peq u eñ o, se v e r if ic a ]a ig u a ld a d aproxim ada y i + * « i

x

+ y .

( 1)

A p lic a n d o la f ó r m u la (1), h a lla r aproxim adam ente;

a) 1^1706; h) 1 /0 ^ 7 ; c) ]/T 0 ; d) 1/1 20 y co m p a r a r lo s v a lores así obten id os c o n lo s q u e se dan en las tablas. 301. D em ostra r que, cu an do x —> 0 , so v e r ific a n las igualdades a proxim a da s s ig u ie n te s , c o n p re cisió n hasta lo s térm in os de orden x 2. a) r b

~

1 -a :;

b) V a * + x ( & a - 1- ^

( a > 0 );

3— i Gi 6

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34


c) ( l + x ) n « l + n x ( n, es u n núm ero n a tu r a l); d) l g (1 + x) «

Mx,

donde M =* lg e = 0 , 4 3 4 2 9 . . . P a rtien d o de estas fórm u las, c a l c u l a r aproxim adam en te: 1) n ¡ 2 ;

0797 ’

5)

1,04®;

Í05’

^

6) 0 ,9 3 4;

V i5 ;

7) l g 1 ,1 .

C om parar lo s v a lo r e s así o b te n id o s c o n l o s q u e se dan en las tablas. 3 0 2 . Demostrar q u e, cu a n d o x —* o o , la fu n c ió n ra cio n a l entera P (x) = a Gx n + a tx nmml + . . . + dn

(ao ^

0)

es una m a gn itu d in fin ité s im a , e q u iv a le n te al té rm in o su perior aQx n. 3 0 3 . S u p on ga m os q u e x —> 00. T o m a n d o a x c o m o m agn itu d i nf i ni t a de I o ord en , d eterm in ar el ord en de c r e c im ie n t o de las fu n cion es: _ _ _ a) x 2— lOOx— 100U; x*

b)

+2

c)V s + V *

;

d) V x - 2 z * .

§ 5. Continuid ad de la s fu ncio n es 1 °. D e f i n i c i ó n d e c o n t i n u i d a d . La fu n ció n / (x) so lla m a con tinua para x = £ (o «en el p u n to £ »), 1) d ic h a fu n ción está determ inada c u e l p u n to 5, e s d e cir, ex iste el núm ero / (£ ); 2) e x is to y es f i n i t o el lim ite Jim / (x); 3) esto lím ite e s ig u a l a l v a lo r de la fun ción en e l punto *-*■ £

es decir, lim / ( * ) = / ( © . x->l

( 1)

H acien do la su stitu ción donde A 6 - > - 0 , se puedo e s c r ib ir la c o n d ic ió n ( 1) de la forma: lim A / ( 5 ) =

lim [ / ( 6 + A © - / ( 6)J = 0 ,

(2)

es d e cir, la fu n ció n / (z ) es con tin u a en ol punto 6. cuando, y s ó l o cu an d o, en este punto, a un in crem ento in fin ité s im o d e l argum ento correspon do un increm ento in fin ité s im o d e la función. Si la fu n ción os con tinu a en cada uno d o los pu n tos de un ca m p o determ inado (in te rv a lo , segm ento, e t c .), s e d ice q ue os continua en este campo. E j e m p l o 1. D em ostrar que la fun ción y = sen x es continua para cualquior v a lo r do! argum ento x.

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Continuidad de las funciones S o l u c i ó n .

35

Se tiene:

Ay = sen (x + Ax) — sen x = 2 sen ~

eos ( *

sen ■

+

Ax tt

eos ^ x -(- ~

^ •Ax.

2 C om o Ax sen -5lira — ------ = 1 y Ax-»0 Ax

eos

J < 1.

2 í

para cu alquier v a lo r de x, tendrem os: lím Ay = 0. Ax->0

P o r co n sig u ie n te , la fun ción sen x es con tin u a para — c o < x < + c o . 2o. P u n t o s d e d i s c o n t i n u i d a d d e u n a f u n c i ó r . Se dice aue una fu n ció n / (x) es dwcon*í/u/a en el punto x 0, que pertenece a l cam po cíe e x is te n c ia do la fu n ció n o que es p u n to frontera de d i c h o cam no, si en este p u n to n o se v e r i f i c a la c o n d ic i ó n de co n tin u id a d de la función. E jem p lo

2. La

fu n ció n /

—

(fig . 10, a) es d iscon tin u a en el

p u n to x = l . E sta fun ción n o está d e fin id a en ol p u n to i = l y co m o quiera q u e so e lija e l núm ero / ( 1). la fu n ción com p leta da / (x ) n o será con tinu a en el p u n to x = l. Si la fu n ció n f (x) tiene lím ites f i n i t o s : lim

/ ( x ) = / ( x 0— 0) y 0

lim x

f (x ) = / (x0+ 0),

-* xq+ 0

pero los tres núm eros / (x0), / (x 0— 0) y / (x0+ Q ) n o so n iguales entre sí, e n ton ces, x0 recibe el nom bre de punto de discontinuidad de 1ra especie. En p a rticu la r, si / ( * o - 0) = / ( * 0 + 0) t x Q se lla m a punto de discontinuidad evitable. Para que la fu n c ió n / (x) sea c o n tin u a en el punto x0> es necesario y s u fic ie n t e que / (x0) = /
3. La fu n ció n

sen x / (x) — ^ j-

tiene d iscon tin u id a d de 1ra espe

c ie en el p u n to x = 0. E fe ctiv a m e n te , aquí / ( + 0) =

lim ^ ~ = - f 1 x -> + 0

1:m 0 ) ■= h /i (1 — av

X“>—o

x

s-------o n x — — 1.

x

E j e m p l o 4. La fu n ció n y = E (x ), d on d e E (x) representa la parte entera del núm ero x (es d e cir, E (x ) es un núm ero entero q uo satisface a la igualdad 3*

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36

x = E (x )+ q , donde 0 < ? < i ) entero: * = 0 , ± 1, ^ 2 , . . . . ira ospecie. E lectiva m en te, si n es u n Bs evid en te, quo en to d o s los

, y

es d is c o n tin u a (fig . 1Q; ó ) en cada p u n to to d o s lo s pu n tos do d is c o n t in u id a d - s o n do

número e n te ro , E ( n — 0) = /i —•1 y demás puntos e s t a fu n c ió n o s con tin u a.

(«>

=

(b )

Los pu n tos de d isco n tin u id a d de la f u n c ió n que n o s o n de 1ra e sp ecie, se llam an puntos de discontinuidad de 2 a e s p e c ie . Son tam b ién pu n tos d o d is c o n t in u id a d de 2a esp ecio lo s puntos de d is continuidad Infin ita, as d e c ir , a q u e llo s p u n to s x Ql para lo s que, p o r lo m en os, uno do los lím ites laterales / ( x Q— 0) o / ( x q + 0 ) es igual a c o (véase el e j. 2). Ejem plo

5»

L a fu n c ió n y = c o s — (fig. 10, c), e n e l p u n to s = 0 x tiene una d isco n tin u id a d de 2a e s p e cio , y a que aquí n o o x is t e n in g u n o de los d os lím ite s laterales lim

*->—o

eos—

x

y

lim eos —

x-H -0

.

3o. P r o p i e d a d e s d e l a s f u n c i o n e s c o n t i n u a s . A l a n a liz a r las fim cio n o s para d e term in a r s i son con tin u a s, h a y q uo tener presentes los sig u ie n to s tooreraas: 1) La suma y e l p ro d u cto de un n u m e r o lim it a d o d o fu n cio n es c o n t i nuas en un c a m p o d e te rm in a d o es, a su vez, una f u n c ió n c o n tin u a en este m ism o cam po;

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37

Continuidad de la s junciones

2) o ) c o c i e n t e d o la d i v i s i ó n d e d o s funcionas c o n tin u a s en uu cam po d e te rm in a d o , es tam b ién una f u n c i ó n c o n tin u a , para to d o s lo s v a lores del a rg u m en to d e este m is m o ca m p o, que n o anulan el d en o m in a d or; 3) si la f u n c ió n f (x) e s c o n tin u a en un in te r v a lo (a y b)>estando el conju n t o de sus v a lo r e s c o m p r e n d id o en el in te r v a lo { A y B ) y la fu n ció n
). T o d a fu n c ió n f ( x) t c o n tin u a en e l seg m e n to [ a, ¿>], posee la s propiedades sigu ien tes: 1) f ( x) está a co ta d a en [a, 6], es d e cir, e x is t o c ie r t o nú m ero M t a l, que |/ ( s ) | < M para a < * < 6; 2) / ( x) a lca n za en [a, b] su v a lo r m á x im o y m ín im o ; 3) / (x ) to m a t o d o s lo s v a lo re s in te r m e d io s entre d os d a d os, es decir, s i / ( a ] = / ! y / (P) — B (a < a < p b) y A =£ B y entonces, cu alquiera q u e sea e l núm ero C, c o m p re n d id o en tre A y /?, e x iste p o r lo m onos un v a l o r de * = Y ( o c < Y < £ ) t a l , q u e f ( y ) = C. En p a r t ic u la r , s i / ( a ) / (p) < 0, la ecu ación

/< *) = 0 tiene en e l in te r v a lo (a , P), por lo m en os, una raíz real.

304. Dem ostrar, q u e la f u n c i ó n y = x 3 es co n tin u a q u ie r v a l o r del arg u m en to x . 3 05. D em ostra r, q u e Ja f u n c i ó n ra cio n a l entera

para c u a l

P (x ) = a 0x tl + a r f 1' 1 + . . . + a n es c o n t in u a p a ra c u a lq u ie r v a l o r de x. 3 06. D em ostrar, q u e la fu n c ió n ra cio n a l fra ccio n a ria t?

_ W

ao*u + a i* n - * + - - . + f l n h x m +

biXm - í +

"

. + b m

es c o n tin u a para to d o s lo s v a lores de x , a q u e a n u la n el d en o m in a d o r.

e x c e p c ió n

de

aquellos

3 0 7 *. D em ostra r, q u e l a f u n c i ó n y = Y x es co n tin u a para x > 0. 3 0 8 . D e m o s tra r q u e , si l a f u n c i ó n / ( x ) es c o n tin u a y no nega tiv a en el in te r v a lo (a , b) la fu n c ió n

F (x) = / 7 { í ) ta m b ién es c o n t in u a en este in te r v a lo . 309*. D e m o s tra r, q u e la f u n c i ó n y — e o s x es c o n t in u a para c u a lq u ie r v a lo r de x. 3 10. ¿P a ra q u é v a lo r e s de x serán c o n t in u a s las fun ciones: a) t g x y b) c t g x ? 311*. D em ostrar, q u e la f u n c i ó n y — \x\ es c o n tin u a . Cons t r u ir la g r á fic a de esta f u n c i ó n . 3 12. D em ostra r, q u e la m a g n itu d a b so lu ta de una fu n c ió n c o n t i n u a es ta m b ié n u n a f u n c i ó n c o n t in u a .

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in trod u cción al an á lisis

3 1 3 . U n a f u n c i ó n está d a d a p o r las fó r m u la s / ( * ) _ /

f c r

cu an d 0 x ¥ = 2 '

[ A c u a n d o x = 2. ¿C ó m o debe e le g irse el v a l o r de la f u n c i ó n A = f ( 2 ), para q u e la f u n c i ó n } ( x ) f c o m p le ta d a de osla fo r m a , sea c o n t in u a c u a n d o x = 2? C o n stru ir la g r á fic a de la f u n c i ó n y = f ( x ) . 3 14. E l seg u n d o m ie m b r o de la ig u a ld a d f ( x) = 1 — £ sen

1

x

carece de s e n tid o c u a n d o x = 0. ¿C ó m o e le g ir ol v a l o r para q u e la f u n c i ó n f ( x ) sea c o n t i n u a en este p u n to? 315. La f u n c i ó n / (x ) = a r c t g

de

/(O)

a: - 2

carece de sen tid o c u a n d o x = 2 . ¿P u e d e e le g ir s e el v a lo r de / (2) do ta l fo rm a , q u e la fu n c ió n c o m p le t a d a sea c o n t in u a c u a n d o * =

2?

316. La f u n c i ó n f { x) es in d e te r m in a d a en el p u n to x = 0. D eterm in ar / ( O ) de t a l fo r m a , q u e f ( x) sea c o n t in u a e n este p u n to, si: a) f { x ) =

------ ^------- ( n es u n n ú m e co n a t u r a l);

, v , , » 1 — eos X h) / ( * > = — i , — c)

f ( x ) =

;

l n (1 + a ) — I n (1 — x )

,

X

e) / (x) = x 1 son - i - ; f) f { x ) — x c l g x . A v e r ig u a r si son c o n t in u a s las fu n c io n e s :

317 - * = ¿ 2- -

32°- ^ = i f r

318* y ^ T + T

3 2 1 ' a ) y — s e n ’T -

319. y = Y .

• ]

,

.

-

b) ¡ ^ z s e n ^ -

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Continuidad de las funciones

322.

y= —í -

.

3 26. y = (1 + x ) a rctg 1

3 23.

y = ln (eos x) .

3 2 7 . y = ex + i . 1

3 24.

y = ln

tg -~ | .

3 25.

; / = a rctg — .

3 28. y = e~ ** . 3 29. y — -------— ji + e l- x

330. y =

x2

cu an do x < 3 ,

2x + 1

cu an do x >

3.

Construir la g rá fica do esta f unci ón. 3 3 1 . Dem ostrar, que la fu n c ió n de D ir ic h le t x ( x )i 9 ue es ig u a l a coro cu an do x es irra cion a l e igual a 1 cu an do x es ra cio nal, es d iscon tin u a para cada uno de lo s v a lo r e s de x. A v e r ig u a r si son con tin u a s y con stru ir la g rá fica de las sigu ien tes fun ciones: 332. y =

(x>0). ©o 1

I

333. y = l i m ( x a rctg n x ). 334. a) y = s g n x ,

h) ?/ = 2 S g n 2 ,

c) y = sgn
donde

la fu n c ió n s g n x se determ ina por la s fórm u las: (

+ 1 » si

2 > 0,

sgn x = {

0 , si

2 — 0,

[

— 1 , si

x < 0.

335. a) y = x — E ( x ) i b) y = x E ( x ) f donde E ( z ) es la parte entera d e l núm ero 2 . 3 36. D ar un e je m p lo quo demuestro que la sum a de dos fu n c io n e s discon tin uas puede ser una f u n c i ó n con tin u a . 337*. Sea a una fra cció n propia p ositiva que tiende a cero ( 0 < a < i ) . ¿Se puede poner en la igualdad

£ ( l + a ) = £ ( l - c t ) + l, que se v e r i f i c a para todos lo s valores de a , el l í mi te tidad a ?

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de

la

can

40


3 38. D em ostra r, q u e la e cu a ció n x* — 3a + l = 0 tiene una raíz real en m ente esta raíz. 339. Dem ostrar, q u e tiene por l o m en os una 3 40. Dem ostrar, que

el in te r v a lo ( 1 , 2 ) . C a lc u la r a p rox im a d a cu a lq u ie r p o l in o m i o P ( x) de grado im par raíz real. la e cu a ció n tg x = x

tiene una i nf i ni dad de raíces reales.

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C a p ítu lo IJ

D IF E R E N C I A C IO N DE F U N C I O N E S

1. Cálculo d i r e c t o de d e riv a d a s 1o. I n c r e m e n t o d e l a r g u m e n t o e incremento do la f u n c i ó n . Si x y x t son v a lo re s doI argum ento x, m ien tra s que y — f ( x ) c y l = f [ x j) son lo s correspon d ien tes valores do la fu n ción y = / ( z ) , Ax = xi — x se llam a increm ento del a rgu n en to x orí el segm ento \x, x , ! , y Ay —

y* — y,

o sea, A y - / ( * ! > - / ( * ) “

/ ( * + A * )- / ( * >

(1)

r e c ib e el nombre de increm ento de la función y en este m ism o segm ento |x, x ,] (fig . 11, dondo A x = M A y Ay = ^lAr). La razón A y_

Ax representa el c o e fic ie n t e an g u la r d e

= tga la socante M N

de la g r á fic a

de

la

fu n ción y = / ( z ) (fig . 11) y se llama velocidad media de v a ria ció n de ia fun c ió n y en el segm ento (x t z 4-A.r). E j e m p l o 1. Parn la fun ción

y = z2— 5z-(-6, ca lc u la r Ax y Ay, correspon dien tes a las sigu ien tes variacion os del argumento: a) desde x = i hasta z = l , i ; b) desde x = 3 hasta z = 2.

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D iferen cia ción de ju ncion es

Solución.

Tenemos; a) Ax = l , l — 1 = 0,1, Ay =
= 2 — 3 » — 1, Ai/ ~ (22 — 5- 2-f- 6) — (32— 5 -3

Kjemplo

6) = 0-

2. H a lla r , para la h ip é rb o la y - ^ — y el c o e f ic i e n t e an g u la r

de la secante q ue pasa p o r lo s puntos, cu yas abscisas so n x = 3 Solución. —■—

Aquí

Ax = 10 — 3 = 7* y = - | - ; y í = : - L ; A y ^ 4 i 3 ' 10 ’ 10

. P o r c o n s ig u ie n t e , k = 3 0 ............................

2o. D e r i v a d a .

y

-^ -= A*

Derivada y ’ —

al argum ento x se llama

al

lim ito

(tx de

art = 10.

\ 3

1 30 * do

fu n ció n

la ra zón

Ax

y = / (*) co n respecto ,

cuando

As

tiende

a cero, es d ecir y ' = Lim — - , a *-*-o

A#

si d i c h o lím it e existe. DI v a lo r d o la d e riv a d a nos l o da el co e fic ie n te angular de la tangente M T a ia g r á fic a do Ja fu n c ió n y = f ( x ) en el p u n to x ( f j g . 11); i/' = tg
A p lic a n d o la fó r m u la (1) tendrem os: Ai/ = (x + A a:)2 — x 2 = 2 x A x + { Ax) z

^ -= --2 x +

Ax

á x.

P or consiguiente, y' = 3o.

Derivadas

lim -= Ax~>Q A a:

l i m (2 z - {- A x) = 2x.

laterales.

Las expresiones

/k * ) =

,;(* ) =

i¡m

/ (« + y - / ( »

A «--o

Ax

l

i¡m A * -* -fo

A*

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C álculo directo de derivadas

43

s e llam an respectivam ente derivadas a la izquierda o a la derecha de la fu n c i ó n j ( x ) en e l p u n to x. Para que ex ista / ' {x) es n ecesa rio y s u fic ie n t e que

/:< * )-/;< * ). Ejemplo

4.

H a lla r / I (0) y / ; ( 0 ) para la fu n ción

/( z ) = | z | . Solución.

Por d e f i n i c i ó n , tenemos que

/ : (0) = / i { 0) = 4o. D e r i v a d a

lim

£ sx -* -0

infinita.

Ax

L = - 1,

lim Si en un punto determ in a do tenemos que

lim Ü f ± * 2 = í í í > _ co, AX-vfi AX s e d ic e , que la fu n ció n continua / (x) tie n e derivada i n f i n i t a en el punto x . En este caso, la tangente a la g r á fic a de la f u n c ió n y = / ( x ) será perpendi cu la r al eje OX. E j e m p l o 5. H a lla r / ' <0) para la -fu n c ió n Solución.

T en em os: / ' (0) =

lim Ar_>0

Ax

=

lim — l = ^ = c o . ¿x -* Q V A x *

3 41. H a lla r el in crem en to de ia fu n c ió n y = x 2, correspondiente al paso del argum ento: a)

do í = '1 a i j - 2 ;

b)

de a : = l a

c)

de x = 1a x ± = 1 + h.

1 ,1 ;

3 42. H a l l a r A y para la fu n c ió n y = f r x y si: a) x = 0 , A x = 0,001; b) x = 8 ,

= — 9;

c ) z = a , A z = k* 3 4 3 . ¿P o r qué, para la f u n c i ó n t/ = 2,z-|~3 se puedo determ inar e l win crem e n to A y, co n o c ie n d o solam en te que el in crem en to corres pondiente es A z = 5, m ien tras q u e para la fu n c ió n y = x ¿ no puede hacerse lo m ism o? 3 44. H a l l a r el increm ento A y y la razón — ■para las fun ciones: Ax

a > 1J= ( g a l a ) * ' » clian do x = i

y A # = 0,4;

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44

D iferen cia ción

de fun cion es

b) y = Y x c u a n d o x = 0 y A x = 0 ,0 0 0 1 ; c ) y = : l g x cu a n d o .r — 1 0 0 .0 0 0 y A x — — 9 0 .0 0 0 . 345. H a lla r A y y

. co rresp on d ien tes a la v a r i a c i ó n d ol a rg u ¡\x m e a to desde x hasta x ^ - A x , para la s sig u ie n te s fu n cio n e s : a) y = a x -\ -b ; b) y — x 3',

d) y = Y x ; e) y = 2*;

* ) » = -& ■ ’>

f) y = l u x .

3 4 6 . H a l l a r el c o e fic ie n t e

a n g u la r de la secan te a la parábola

y = 2 x — x 2, .si las abscisas de lo s p u n tos de in te rs e cció n son : a) x x — 1 , x 2 — 2; b) 2 7 , ^ 1 , x 2 = 0 ,9 ; O) * i = l , * 2 = l + / í . ¿H a cia qué l í mi t e tien d e el c o e fic ie n t e a n g u la r de la secan te en el ú l t i m o ca so , si /z —> 0 ? 3 4 7 . ¿C u ál es la v e lo c id a d m edia de v a r ia c ió n de la f u n c i ó n y = X’1 en e l se g m e n to 4? 3 4 8 . L a l e y d el m o v im ie n t o de u n p u n to es s = 2¿ 2 4 - 3 ¿ -\-5f donde la d is ta n c ia s se da e n ce n tím e tro s y e l tie m p o t , e n se g u n dos. ¿ A q u é será ig u a l la v e lo c id a d m edia de este p u n to d u ra n te e l in t e r v a lo de tie m p o com p re n d id o entro t = 1 y t = 5? 3 4 9 . H a l l a r la p en dien te m ed ia de la cu r v a y = 2X en e l seg m e n to 1 < £ < 5. 3 5 0 . H a lla r la pendiente m edia de la cu r v a y — f ( x ) o n el s e g m en to [x, rs-f-Aá’ J. 3 5 1 . ¿Q ué se en tien de p o r p en dien te de la cu rv a y = f ( x ) en un punto dado x ? 3 5 2 . D e fin ir : a) la v e lo c id a d m edia de r o t a c ió n ; b) la v e lo c id a d instantánea de ro ta ció n . 3 5 3 . ü n cu erpo c a le n ta d o e in tr o d u c id o e n un m e d io c u y a tem peratura sea m e n o r, se enf r í a. ¿ Q u é debe entenderse p o r : a) v e lo cid a d m edia de e n fr ia m ie n to ; b) v e lo c id a d de e n fr ia m ie n t o en un m om en to dado? 354. ¿Q u é debe entenderse p o r v e lo c id a d de r e a c c ió n de u n a substancia en una r e a c c ió n q u ím ic a ? 3 5 5 . Sea m = f ( x ) la m a sa de u n a barra h ete rog é n e a en el seg m en to [0 , x] . ¿Qué debo entenderse por: a) densidad l i n e a l m ed ia de la barra en e l se g m e n to [x, x + A x ] ; b) densidad lin e a l de la barra en el p u n to x ?

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D erivación p or medio de tablas

45

\ ¡¡

j

3 5 6 . H a l l a r la ra zó n

para la f u n c i ó n «/ = — ,en

x = 2, s i : a) A x = l ; b) A x = la derivada y ' cu a n d o x — 2? 357**. H a l l a r la derivada 358. Hal lar y’ = V

a ) y = x*; b) y = -~¡r;

lim

el punto

0 , l ; c ) A * = 0 ,0 1 . ¿A q u é será

igual

de la fu n c ió n y = tg a:. para la s fun ciones:

a * -»0

c) y = Y x \ d) y = c l g * .

3 5 9 . C a lc u la r / ' (8 ) , s i / (x) = x. 3 60. H a l l a r / ' ( O ) , f (1) y / ' ( 2 ) , si / (* ) = x ( x — l ) a ( x — 2)\ 3 6 1 . ¿E n que pu n tos la derivada de la fu n c ió n f ( x ) — z 3 c o i n cid e n u m érica m en te c o n el v a lo r de la propia fu n c ió n , e s decir, / ( * )

=

/ ' ( * ) ?

3 6 2 . L a l e y del m o v im ie n to de un p u n to e s s = 5 í2, don de la d is ta n c ia s v ie n e dada en m etros y e l tiem p o t , en segundos. H a l la r l a v e lo c id a d d e l m o v im ie n to en e l instante t = 3. 3 6 3 . H a l l a r e l c o e fic ie n te a n g u la r d e la tangente a la cu rva y = 0 , l x 3, trazada eu e l p u n to c u y a abscisa es x — 2. 3 6 4 . H a l l a r el c o e fic io n te a n g u la r de la tangente a la curva y = s e n x en el p u n to { n ; 0 ). 3 6 5 . H a l l a r e l v a lo r de la derivada

de

la

fu n c ió n

X

en el p u n to x = x 0 ( x 0 =¿=0). 366*. ¿ A q u é son ig u a le s lo s co e ficie n te s angu lares do las tani

g en tes a la s cu rva s y = — X

. /•

c y = x 21 en el p u n to de su in tersección ?

H a l l a r el á n g u lo entre estas tangentes. 367*** D em ostrar q u e la s sigu ien tes fu n cio n e s vad as fin ita s en lo s pu n tos q u e se in d ica n : a) ¡/= V

no

tienen

deri

eD- el p u n to x = 0 ;

b) y = j/ x — :t en el p u n to x = l ; c) r/ = ( c o s £ | en lo s pu n tos x =

tí

(k

=

0 , ± 1, ± 2 ,

. ,

.).

2. D e riv a c ió n por medio de ta blas I o. R e g l a s p r i n c i p a l e s p a r a h a l l a r l a d e r i v a d a . Si c es una co n sta n te y u = q ) ( í ) y ^ = i|j(.t) son fu n cion es d e riv a b le s , se lion e:

1) (c)' = 0; 2)

3) ( u ± i dr*'; 4) (cu)' — cu':

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46

D iferen ciación de funciones

S)

6)

(uo)' = u'v-\-v'ir,

=5^ 0>;

7) ( v ) = _ i ^ " 2°. T a b l a d e l a s pales I. ( * " ) ' — n xn~K H .

( ^

) '

=

-

i

derivadas

f e * 0)de

-

(z >

X III. (ln z ) ' = —

0).

princi

( z > 0).

X I V . ( lo g a * ) ' = — L _ = 221sli' 50 ' i ln a z (z > 0 . a > 0) . X V . (sh x )' = ch x .

l l l . (sen x ) ' = eos x . 1V . (eos x ) ' = — sen x.

1

X V I . {ch x ) ' == sh x.

e os2 X

V I. ( c lg x ) ' = v b '

funciones

X I I . <**)' = **.

2 y x

V. (tg z ) '

las

1

V - . sen2 x

V I I . (areson a-)' = —

X V I I . (th xY

1

4 ch2 x ‘

X V III. ( c t h x ) ' =

1/1 —
V I II . (árceos x ) '

1 sh2 x '

1

X IX . (A rsh * )'

y íT í* i

X. (n rcctgx )' = —

X X . (A rch x ) ' » -

'

i ■/x 2- 1 (l*|>D-

X X I . (A rth * ) ' = | ~ j ,

x 2-!-1 •

■1

X X II. (A rcth z)'

z2- i

3*'. R e g l a para derivar las funciones compuestas. Si r/= j ( u ) y u =
u> o en o tra s notaciones dy dx

_ dy du

du dx

Esta regla puedo a plicarse a cadenas d e cu a lq u ie r nú m ero f i n i t o do fu n cio n e s derivarnos. K j o m p l o 4. H a lla r la d e riv a d a do la fun ción y = ( s 2- 2 x + 3)*. S o l u c i ó n . H a cie n d o p — la fó r m u la ( i ) ten d rem os: •

do nde

ix = x 2— 2 S + 3 ,

de

acuerdo con

y ' = ( U % (x2 - 2 x -|- 3 ) ; = 5u* ( 2 x — 2) - 1 0 ( x - 1 ) ( x 2 - 2 x + 3 ) *

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47

D erivación p or medio de tablas Ejem plo

2. H a lla r la d eriva d a de la fu n ció n y = sen0 4:r.

Solución.

H acien do y = u3;

a = s o n i>;

v = 4x,

h a llam os y ' = 3u2*cos u « 4 = 12 sen2 4 x eos 4x. H a lla r las d e riv a d a s d o las sigu ien tes fu n cio n es (en lo s N ÜS 368— 108, no se em plea la regla do d e riv a ció n de fu n c io n e s com puestas):

A . F u n cion es a lg eb ra ica s 2

5

3 68.

y = x * — 4 z :i~ h 2 z — 3.

3 7 5 . y = 3 x ¿ ~ 2 x 2 + x_0,

3 69.

y= 7 *i

3 7 6 * . y = x 2-\/~3?.

370.

yâx^ + bx+c.

I f Z + x 2— 0 , 5 ^ .

3 77. y = -JL= - - - ^ y x ,¿

371. y = - ^ .

3 78. y

3 7 2 . y = a tm + btm*n.

3 79. y =

y

a

y

ono

373.

374.

v

f

J

ax*+b

r /= — .

qoa

- r:- .

oou.

y a 2_t_/,2

J

=

y = — + ln 2 .

^

. X

.

c - f dx

x* — 5a:+ 5

y = T,

-

X y

Z

- . i

2x— i

------------. z

3 81. y = ! -+ ■ £ ?„ ■

X

J

\ —

y

z

B . F u n cion es trig on om étrica s y circu la res inversas 3 8 2 . y = 5 sen x -{- 3 eos x .

3 8 6 . y — a rctg x - j- a rcc lg x.

3 83. [/ = t g x — c t g x . OQ/ senx +- eos x 3 o 4 . y — -------------------. ,v sen x — eos x

3 87. y - f s c t g s . OOQ 3 o 8 . y = x áresen x .

3 8 5 . 0 = 2* s e n f - ( < * - 2 ) c o s í .

3 89. y

J

C.

.

e x p o n e n c ia le s y log a rítm ica s

3 90. t/ — x 7 *éx .

3 9 6 . y = ex aresen x .

391. y = { x — \ ) e x .

3 97. y = ~

.

3 9 2 . í/ = ~ .

3 98. y = a:3 ln x —

393. y = ¿ L .

399. y = - + 2 1 n x - ~

3 9 4 . f ( x ) = ex c o s x . 3 95. y = ( z 2 — 2 x + ¿‘ ) e * .

4 0 0 . y = ln re I g x — ln
t?

3"

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. J

.

48


D. Funciones h iperbólicas e h ip erb ó lic a s inversas 401. 4 02.

y = x sha;. *

4 05. y = a r c t g x — A r t h x.

u — —r— .

4 06. u = arcsen x Arsh x.

ch x

y

403. y = t h * - * .

4 07.

Arch* . X /AO Arcl hx 4 08. y = - J 3 J 5— .

/A, 3 cfch x 4 04- y -* u r r •

E . F u n cion es com puestas o» H a lla r Jas derivadas de las sigu ien tes fu n cion es (en lo s N 4 09 — 4 66, es necesario a p lica r la regla para d eriva r fun ciones com puostás de un argum ento interm edio): 4 0 9 * * . y = ( 1 - f - 3 * - 5 : r 2)30. Solución.

D esignem os 1 - f 3x — 5 z 2— u; en ton ces j/ = u30. Tendrem os:

w; = 3 - i o ^ = 30 u™ - (3 — lOx) = 30 {4 - f 3x — 5 * * ) » . (3 — 40-r).

4 10. » - ( = ± Í ) a . 4 11. f ( y ) = ( 2 a + 3 b y ) * . 412. y = (3 + 2 z 2)4. ,,,

413. y

3 5 6 (2 2 — 1)’

1 2 4 (2 2 — 1)»

414.

y = Y í ^ 7 2.

415.

^=

+

4 16.

y=

—

4 17.

y = (3 — 2 sen a:)6.

1 4 0 (2 2 — 1)»

S o l u c i ó n . ^ ' = 5 (3 — 2 sen z)4- ( 3 — 2 son z)'=*b (3 — 2 sen x)4 ( — 2 e o s x) = — í 0 eos x (3 — 2 sen x)4.

418. y — t g z —

t gs x -(--g- tgs x .

4 19. y = y r ctg x — y ctg a . 4 20. y = 2 x -J- 5 eos 3 x. 4 2 1 * . x = cosec2 1 + sec 2 1.

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4 23.

v = 3 eos3 X

424. y = y

49

eos X

3 sen x — 2 e o s x i

425. y = j/ sen 2 x

eos3 x

426. y = * Y 1 + aresen x . 427. y = Y a rctg x — (aresen a;)3.

1

428. u — ----- — arctg x

.

4 29. y = Y x e * + x . 430. y = y 2 e * ~ ~ ¿‘ x + i + ln5 x. 431. y — s e n 3a; + c o s y + t g ] / x . S o l í i c i ó n . y '= c o s 3 : r - ( 3 : r ) ' — sen —

- ?1 wn- 5

__!

j

eos2 V

- ( Y XY ~ ^ eos 3x —

.

2 1 /5 eos2 y x

432. y = sen ( z 2 — 5 x + 1) + tg

a

433. / { x ) = c o s ( a z + p). 434. / ( 0 = sen ¿se n (¿-f
y -

1 + c o s 2a: i — e o s 2z •

436. / ( i ) = a ct.g ~ . 4 37.

— ¿ e o s (5a;2) — i c o s i 2.

438. í/ = aresen 2 a:. S o l n c i o n. y

y i - ( 2i )2

439. y = aresen

.

- ( 2x)' =

y í - w 4 46. f ( i ) = ¿ s e n 2 ‘ .

4 40. /(re) = árceos y x .

4 47. y — árceos ex.

4 41. V = arctg

4 48. y = I n ( 2 i + 7).

.

4+2: 442. ¿ / - a r c c t g ^

.

4 4 9 . j/ = l g s e o x .

443. y = 5 e ~ x i.

4 50. y = l n ( l — Xa).

444. y =

4 51. j/ = l n 3 x — l n ( l n x ) . 5 xi

445. y = x H 0 iX 4-101G

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D iferen ciación de fun cion es

50

452. y = ] n ( e x + 5 s c n x — 4 a rcsen z). 4 53. í/ = a rctg ( I n x ) + l n (arctga:). 4 5 4 . y = Y Inos + l + l n ( V r£ + l ) . E . F u n cion es d iversa s 4 5 5 * * . y = sen 3 5 x coa 2 4* * rrcz

11

M

/lj6 - y = - 2 F ^ 2 j 5 “

í ^ -

15 10 4 ( * - 3 ) * ~ 3 { x — 3)3

W /‘ ^

1 2 . ( i - 3)2 '

/,5S- ^= 8
2-x 2 j+ 1 X

460. y =

a2 l /a 2 - f

4 61. í/ = — ,----------- . 3 V (!+ * * )«

4 62. !/ = {

+

^

4 63. */ = y 1^(1 + * 3) 8 - y ^ { 1 + x 3)5. 4 64. y ^ ± Y

^ -

4 65. y = x * ( a - ' ¿ x * ) ‘¡ .

« -H s s r/ í í -7

9 5 (x + 2 > 6

3 ( j + 2)a +

2 (* + 2 )3

1 2 ( x + 2)2 1

4 68. y ~ ( a + x ) Y a — x . 4 6 9 . y = V {x + a) (x + b) {x + c). 4 7 0 . z = [/'y - \ - Y y . 471. / ( i) ^ (2 1 + 1) ( 3 / + 2) y ' 3i + 2 . 472. i =

- 1— . . ) / 2 a j — ¡/2

4 73. y = l n ( / í + P - l ) - l n ( V i + « * + l ) . 4 74. y = ^ eos 3x (3 eos 2 x — 5).

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D erivación p o r medio de tablas

475

(tg**--i)(tg**+lotgg*+i) J

3 tg3 x

47G. y = t g 2 5a;. 4 7 7 . y = y sen (x -). 4 7 8 . y = sen2 (¿3). 4 7 9 . y = 3 sen a: eos 2 a: + sen 3 x . 4 80. ¡f = i - t g 3.r — tg z -l-a r . rn . 4 8 i- y

cosa: =

- 3

^

,

4

+ T cts x -

4 82. y = ] / a sen 2 x + (i eos 2 a;. 4 83. y = aresen a:2 -(- árceos x A

4 8 4 . y = y (arasen x ) 2 árceos x . /QCL 1 . 4 8 5 . i / = = a r c s e n X<¿— —^7—

486. if = a reson -

X

r.V T + P

.

487. y - -ig ? 0-8.*488. y —

aresen (a; j / "

.

489. y = y a - — x 2 + a aresen -£•. a

490. f/ = x y ra,¿— a:2 + nz arcson

x

a

491. y = aresen (1 — x ) + j / 2 a ; — a;2. 492. y = ( a : — y ) w c s e n Y x + - j Y x — x2. 493. y = In (aresen 5a;). 494. y = arcson(lna;). 495. J y = arctg . — e,ia . * 1 — X cos.a 2

496. y = y a r c t g

5 l« 7 + 4 ^---------.

497. y — 362 a rctg j

/

"

— (36 + 2a:) j / t e — a;2.

498. y = — 1^2 arcctg-^ 4 -— x. V 2

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51

D iferen cia ción de fun cion es

52

4 9 9 . y = J/T*. 5 0 0 . y = e ^ n2x. 5 0 1 . F ( x ) = (2mamx- \ - b y . 502. / ' { ¿ ) = ô:íc o s p í . c a .»

( a son &x — fl e os Bar) e ax

^2+ ^ ------------- •

™ d- y 504. y =

e~x (3 sen 3 z — c o s 3 x ) .

5 05. y = x na - * \ 5 06. y = \/rc o s x a }'cosx. ctgi

507. y = 3

*

5 0 8 . i/ = In (a x 2 + bx-\ -c). 5 0 9 . y = ln (

a

:

z

2).

5 1 0 . y = x — 2|/*5 + 2 1 n ( l + / í ) . 5 11. y = ln ( a + x 512^ =

i ¿

-

513. y = l n e o s

\; 2 a x -+- x 2) .

a?— j

.

514*. y = 5 (5 . y ^ l n ^ 516- 2 /= ~

- ^

p

2 ^ 7

2) .

+ ln ^

5 17. y ~ ^ y x * — a3 ~ ~ - ~ l n ( x - { - } / ~ .x 2 — a2) . 5 18. y = l n l n (3 — 2a;3). 519. y = 5 1 n 3 (aa:-}-6). 520. y = l n ^ ^ ± i . [/x* + a* — x

5 21. y = - l n ( a ; 3 -

fl3) + ¿ l n p ^ .

5 22. y = a:-sen ( l n a ; — COO

1 1

*

523. y = T l n t g T -

1

. COSZ

y i ^

.

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D erivación p o r medio de tablas

524. / (x) =

53

+ 1 — In - 1 V f t ? . .

5 25 . y = ¥ ln -s q - — 5 26. y = 2 arcsen3x 4 - (1 _ árceos 3a:)3. sena*

5 2 7 . y = 3‘ ^

+

*

.

4

0

i? S ! «

1 3 COS^ta: t g * + 2- V 3

----------------•

5 2 8 . if = 4 = l n —

tg y -í-2 + -| /3

1 /0

5 29. y = arctg ln a?. 5 30. ^ = ln aresen s + -i- l n 2 x + aresen ln x. 5 3 1 . y = a rctg ln — . X

5 3 2 . y — 1 0 a rctg - 7=. + 4 - l n - ^ x T ' • 3

1 /2

*>

a+ l

5 3 3 . y = l n 1 + -^ sert ~ + 2 a rctg i / -sen a:. 1 — 1/ s e n s ciOf

^ •. x 2-\-i

5 3 4 . í/ = T l n 5¿

1 ,

a; — i

4

,

1 + T l n ^ T r + T a r c t g a:.

i

'i

1

í>r — 4

5 3 5 . / ( * ) = T l n { l + ^ ) ~ - g - I n ( a : 5! - a ; + l ) + y | a r o t g - ^ 7=- .

x '

1 / 1 — xa

537. j / = s h 3 2#, 5 3 8 . y = e«a ch(5a;. 5 39. y = t h 3 2x. 5 4 0 . j/ = l n s h 2 :r . 5 41. j/ = A rsh

.

542. y = A r c h l n x . 5 43. y — A r t h (tg x ). 5 44. y = A r c t h (sec a:). 5 4 5 . w= A r t h y ^ a . v

í-\ -x 2

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54


5 46.

(sl — 1) A r t h x + y ® .

547. p = ^ y X 2 H- — ) A r s h x — - ^ - x ^ l + x 2. 5 48. H a lla r ?/', si: a) lf — 1*|; b) y « * s | ;r | . C onstruir la g rá fica de las fu n cion es y e y \ 549. H a lla r y \ si r/ = ln|x|

( x = ^ 0 ).

5 50. H a lla r / ' (x ), si f(x) = 5 51. C a lcu la r / ' ( O ) , si

1

1 — x cu an do x < 0 , e” x

cuando x > 0 .

/ (x) = *?“* eos 3x. S o l u c i ó n . / ' (x) — e~x ( — 3 sen 3x) —
(0 ) — e ° ( — 3 sen 0 ) — c ° e o s 0 = — 1.

5 52. / ( x ) = l n ( l + x ) + a r c s e n . H a lla r / ' (1). 553. j - t g ’ - f .

H a lla r ( - g . ) ^

.

554. H a lla r / + ( 0 ) y / I (0) para las funciones: a) f (x ) =

son (xa);

b) / (x) = areson c) / ( * ) = — “ 7 »

a2— a:2

1 + e* d) / (x) = x 2 sen — , x =5^ 0 ; / ( 0 ) =. 0 ; c ) / ( s ) = x s c n - j , x ^ 0 ; / ( 0) = 0 . 5 5 5 . Dada la fu n c ió n / ( x ) = e“ x, h a lla r / (0) + x f (0). 5 56. Dada la fu n c ió n / (x) = ] / " l + x y h a lla r / ( 3 ) + ( x — 3 ) f ( 3 ) 5 57. Dadas “

>«

s

las

fun ciones

/ (z) = tg x

•

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y

cp (x) = ln (1 — x)


558. h a lla r

Dadas

las

fu n cion es

} (x) = i — x

y

55

cp (s) = 1 *— sen

,

.

559. Dem ostrar q u e la derivada de una fu n c ió n par es una f u n c i ó n im par y la de una fu n c ió n im par, es par. 5 60. D em ostrar que la derivada de u n a fu n c ió n p e rió d ica es u ñ a fu n c ió n ta m b ién p eriód ica . 5 61. Dem ostrar q u e la fu n c ió n y = xe~x satisface a la ecu a ció n x y ' = ( i — x) y. xs

5 62. Dem ostrar q u e la fu n c ió n y = x e x y ' = ( í — x 2) y. 5 63. Dem ostrar que la

fu n c ió n

2 satisface a la ecu a ción

y = — ----- --------

satisface a

la

ecu a ción x y ' = y ( y ln x — 1 ). F . D e r iv a d a loga rítm ica Se lla m a derivada logarítmica de una fu n ció n lo g a ritm o de d ich a fu n ció n , es decir,

=

a la dorivada del

'Xlny)’ — ’J’ ''<*> y f (*) La loguritmación previa de las funciones facilita en algunos casos el ca lcu lo de sus derivadas. E j e m p l o . H a lla r la derivada de la fu n ción exponen cial compuesta

y=y?, d on de u = tp (s) y v = ty(x). S o l u c i ó n . T o m a n d o lo g a ritm o s , tendrem os: l n y = v ln u. D erivan do los dos m iem b ro s de esta igualdad co n respecto a x (ln y ) ' = v ’ ln w+ y (ln « ) ' ,

o 1 y

1 u

— u' = zv' l n « 4 - ¿ > — u de donde

y' = y

ln u - f ~

,

o sea,

y ' = u " { v ' Inw + ^ - a ' j . 564.

H a lla r y ' , si y = \fxs ■ 7

r

% sen 3 x eos 2 x.

!+ « 2

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5 i>

D iferen cia ción de fun cion es 2

Solución, 1

ln

,

2

y y

l n x + l n ( l — x) — ln (1 - j - x 2) _|_ 3 in se o ar+ 2 ln eos x\ 1

,

2x

(— 1 )

3 x"*~ 1 — x

,

1 - f x'¿

2 sen x

1

sonx cos*

cosx

’

de donde

> ' = i ' ( w - i é r - T í ^ + 3 « B “;- 2 t8 * )

■

5 6 5 . H a lla r y ' , si y = ( s o n x ) x . \

Solución,

ln y = x l n sen x; — - y ' = l n s e n x + x c t g x ; y y 1 = (sen x )x (ln sen x + x e t g x).

H a lla r

y\

tom ando

previa m en te

lo g a ritm o s

para

la

fu n c ió n

••

II 568. 569.

y

=

y

V

^

5 74. y =» V * . 5 75.

YX £76. y * = x x .

- '

577. y = £ sen*.

*1/ - ü + r (x -2 )9

570.

5 78. j/ = ( c o s x ) 8enx

V ( x - l)* (* -3 )« 5 71. »

II =3>

566. y ~ { x J r 1) (2 a ;-}-1) (3a: - f - 1). (a-j-2)2 567. lJ (x + l)¡» (* + 3 )* •

... V * -i • f ^ + 2)2 T / ( z + 3 ) a

579.

572. y = x s.

* - ( * + * ) ■

580. y = (arctg a;)*.

573. y — a;"'3.

§ 3. Derivadas de fu ncio n es que no e s tá n dadas e x p líc ita m e n te de

1.° D o r i v a d a

Si

la

fu n c ió n

fu n ció n

de la f u n c i ó n i n v e r s a . y — / (x) e s J ^ ^ O , la d eriva d a de la

* — í~Hy) será x[. — u

1_ 7""

V'X

o sea, d x dy ~

1 dy dx

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la derivada in v e r s a

D erivadas de ju n cion es que no están dadas explícitam ente Ejem plo

1.

H a lla r

57

la deriva d a x y’ i si y = x + l n x.

Solución.

1 x 4 -1 1-f------ = — ~ — ; p o r consiguiente,

Tenem os

x

x

x

x'

y

x+i *

2 o. D e r i v a d a s d e funciones dadas en f o r m a t r i c a . Si la dependencia entre la fu n ció n y y el argum ento x p o r m e d io d e l parámetro t

param éviene dada

{

se tiene,

Xt o con otras notacion es,

¿y dy _

dt

dx

dx

dt Ejem plo

2.

H a lla r

, si CÍX

x = a eos t y y = a sen t.

Solución.

H a lla m o s

a s e n í y - ^ - — a c o s t . De aq u í que,

af

ctt

dy _ dx 3 o.

Derivada

de

acost _ *—a s e n í la

función

® implícita.

Si

la

dependencia

entre x e y v ien e dada de fo rm a im p líc it a F ( x t y) = 0;

(1>

para h a lla r la derivada y'x = y \ en io s casos más sim ples, bastará: 1) ca lcu la r la d eriva d a co n respecto a x d e l p rim o r m ie m b ro de la ecu ación ( 1), co n si dera n d o y fu n ció n de x : 2) ig u a la r esta derivada a cero, es decir, suponer que- ¿ F ( x , V) = 0 ,

( 2 ).

y 3) r e s o lv e r la e cu a ción ob ten id a co n respecto a y \ E j e m p l o 3. H a lla r la d e riv a d a yx , si s 8 _j_ ¿,3— 3 ax y ^ o. S o l u c i ó n . C a lcu la n d o la derivada del p rim er m iem b ro d e d a d (3) o ig u aláud ola a cero, tendrem os: 3x2-\-3y*y' — 3a (y + x y ' ) = Q,

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(3^ la ig u a l

58

D iferenciación de funciones

de donde y

■2__ o-]} a x — y2 '

5 81. H a lla r la derivada z v, si a) y — 3 z + ^3; b ) í/ = ar — y s e n x ; c ) y ’= 0 , 1a : + e * /2 .

C a lcu la r la

derivada y ' —

do las

dadas en form a paramétrica: 582.

2 — 2/ — 1 , y = t* 1 f+ 1

583. 1

y

’

(

1 Y U + i J 2o t 1

584.

+ i*

’

l-H 2

585.

=

3at 1 -H a 1 3at*

y = í+t»

'

[ 2 = y i, 58G. i y = y t.

'x = y p + t , 587.

_

y ~ 588.

t —1 yw + i

*

x = a ( c o s ¿ - H s e n ¿)> í/ = a ( s e n ¿ — i c o s / ) .

589.

590.

# = a eos 2 y = fcsen2 1 . |:r = a c o s 3 ¿, ( j/ = 6 son3 /.

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fu n cion es

y siguientes,

D erivadas de ju n cion es que no están dadas explícitam ente

r

x —

¡

59

eos3 1 t= = - , \/ eos 2t

591. <

sen31

y = ___ :______ ' . y eos 2 1

f 1 I X = árceos ^ 7=

,

592. . y = aresen - ,_____ L Y l-M 2 593. J

x = e ~ l. y = e*

594.

í x = a ( l n t g y + c o s ¿ — sen

,

1 y = d (sen t + eos i). 5 9 5 . C a lcu la r

dx

para ¿ =

1

2

si

x = a (t — sen ¿), y = a ( 1— eos t). zt

,, . . , dy a sen t sen t ------------------— y S o h j c j o n , - r = — Ti--— — dx a (1 —' e o s t ) 1 — cosí J

sen —

{ dy \ ) \ dx )

l=Y

* -co sT

x = t\nt,

5 9 6 . H a lla r

5 9 7 . H a lla r

dx

d y

dx

5 98. Demostrar p a ra m é trica s

para t = 1, si

.

ln t y = —r

.u

¡ x = e i C05t,

para ¿ = - y , si { * 4 l y = e t sen t. que

la

fu n ción

*/,

dada

* = 2 í + 3i*t , í / - ¿ 2 + 2 í 3, s a tis fa c e a la ecu a ción

5 9 9 . P ara x = 2 se c u m p le la igualdad x 2 = 2x. •¿Se deduce de ésto que ( x * y = (2 x y p a ra x = 2 ?

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por

la s

ecuaciones

60


600. Sea y = Y a? — x 2. ¿Se puede d eriva r la igualdad £2 + y 2 =

H a l l a r la derivada

m ie m b ro

a m ie m b r o

a 2?

de las sigu ien tes

fu n cio n e s

ira p lí-

cita s y : 6 12. arctg (x -\ -y ) = x .

601. 2 a ;~ 5 i/-| -1 0 — O. 602.

*2 , V3 fl2 1 ¿2

613. ev = x - { - y .

l

... y. 614. I n x + e * = c.

603. x 3 + y 3 = a 3. 604. x3 4- x 2y + y 2 = 0.

615. \ n y + ~ = c. y ii -i 616. a rctg T ln ( x 2 + r %

605. V x +\/~y = V'a606.

617. Y " x 2 + y 2 = c a rctg y_ •

607. y 3 - x ~ y . 3 *+ !/ 608. y — 0 ,3 s e n y = x .

X

618.

610. t g y — x y . x y

+

n

r a g j

2y

.

S o l u c i ó n . D erivando, y = 1, obtonem os 2 ^ ' = 1

=

.

p u n to

l + x z / 3.

tenem os: 2 y ' = y 3-\-3xy2y'. de d on de y ' = — i.

620, H a l l a r l a s d e r i v a d a s y ' d e l a s f u n c i o n e s n u a ció n ,

= jf

619. H a l l a r y ' en el M (1 ; í ) , si

609. a eos 2 (x-4- y ) — b.

6 Í 1.

XV

y,

H a cie n d o

*= 1

q u e sed a n

ea co n ti

e n la s p u n to s q u e se in d ic a n :

a) (£ + £/)a = 2 7 (x — y) c u a n d o x = 2 e y = 1; b) yev = ex+l c u a n d o x = Q e y — 1; c) y2

-^ -cu an d o

3; = 1 e y = 1.

§ 4. Aplicaciones g e o m é tric a s y m ecánicas de la d eriva da I o. E c u a c i o n e s d e 1 a t a n g e n t e y d e 1 a ñ o r m a 1. De la inter p reta ción geom étrica de la derivada se deduce, que la ecuación de la tangentea la curva y = f ( x ) o F ( x r y) = 0 on el p u n to M (xQy y0) es: y — uo = y¿ d on de y'0 os el v a lo r de Ja derivada y ' en el p u n to M (x0, y0). La recta*, perpendicular a la tangente, quo pasa p o r e l p u n to de con ta cto de ésta con* la cu rva, recibe el nom b re de normal a dicha curva. Para la n orm a l tendre m o s la sigu ien te ecuación:

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A p lica cio n es geom étricas y m ecánicas de la derivada 2 o. A n g u l o

entre

curvas.

61

P o r á n g u lo fo r m a d o por las curvas

y = h <*)

O

y = / 2 (*)
3°. S e g m e mal, para el g u l a r e s . La s i g u ie n t e s ( f i g .

t r m _ /« (* o )-/i(g o ) ^ 1 + / Í ( ¿Fo W Í (*o) n t o s , r e l a c i o n a d o s c o n la t a n g e n t e y la no r c a s o de un s i s t e m a de c o o r d e n a d a s r e c t a n tangente y la n orm a l d eterm in a n lo s cuatro seg m en tos 13): t = T M , lla m a d o segmento ta n gen te, S t — T K , su bta n g en te, n — N M , segm ento norm al, S n ~ K N f subnormal.

C o m o ATA/ = |yo I Y t g cp = y j, s e tiene

t = 7 il/=

‘

yo

iWIÍ = |y0 y r + ( ! / í ) 2 |; St = TK =

|5

~ 1í/oyó

4 o. S e g m e n t o s , ralacionados con la tangento y la n o r m a l , p a r a el c a s o do un s i s t e m a do c o o r d e n a d a s p o l a r e s . Si la curva v ien e dada en coorden a d a s p o la re s por la e cu a ción

r = /(
. el á n g u lo p , fo rm a d o p o r la tan gen te M T y el ra d io p o la r r = OM < fig . 14), se d eterm in a p o r la fo r m u la sigu ien te:

tgP-

dip dr

r'

'

L a tan gen te M T y la n o r m a l M N en e l p u n to M t ju n to con el radio p o la i d e l p u n to de c o n t a c t o y la p erp e n d icu la r a d ich o r a d io trazada por ej

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G2


polo O, determinan los cuatro segmentos siguientes (véase la fig. 44): t = M T , segm ento d e la ta n gen te p o la r , n = M N , s e m e n t ó d e la norm al p o la r, S t = 07\ su bta n gen te p o la r , subnormal polar.

Estos segmentos se expresan con Jas siguientes fórmulas: t = M T = j ¿ r T V r * + (r')*; S t = O T = - ¿ ¡ j ; n = M N = V r * + (r')\

Sn = O N ^ \ r'\ .

021. ¿Q ué á n g u lo s cp form a n co n e l e je O X la s ta n g en tes a la cu rv a y = x — x 2 en lo s p u n tos c u y a s abscisa s son : a ) # = 0 ; b) # — 1 /2 : c ) # = 1? S o l u c i ó n . Tenemos ¿r' = l — 2x. Do donde: b) tgrp = 0,
a)

lg < p = f,

0 2 2 . ¿Q ué á n g u lo s form a n co n o l e je de a b scisa s, a l corta rse co n éste on e l o rig e n de coord en a d as, la s sin u so id e s y = sonx e y = sen 2 # ? 0 2 3 . ¿Q ué á n g u lo form a co n e l e je de a b scisa s, a l corta rse con este en e l o rig e n de coorden adas, la ta n gen toid o y = f t g x ? 6 2 4 . ¿Q ué á n g u lo form a la cu r v a i/ = e ° ^ x co n la recta x = 2 a l cortarse con e lla ? 6 2 5 . H a lla r lo s p u n tos en q u e la s ta n g e n te s a la c u r v a y — ~ 3 # 4 - p 4 #3— 12 #2 - f 20 sean p a ra le la s a l e je de a b scisa s. 0 2 0 . ¿E n q u é p u n to la ta n gen te a la p a rá bola y =

— Ix + 3

es p a ra lela a la recta 5 # + ? / — 3 = 0? 027. H a lla r la e c u a c ió n de la p a rá b ola y = # 2 - f b x + c , tan gen te a la recta x — y en e l p u n to ( 1 ; 4).

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que es

A p lica cion es geom étricas y mecánicas de la derivada

03

6 2 8 . D eterm in ar e l c o d i c í e n l e a n g u la r de la tangente a la cu rv a x * - \ - y z— x y — 7 = 0 en e l purilo ( 1 ; 2 ). 6 2 9 . ¿E n que p u n to de la cu rva y 2 = 2 x 6 la tangente es p er p en d icu la r a la recta 4 x — 3 y - ¡ - 2 = 0? 6 3 0 . E scrib ir las e cu a cio n e s de la tan gen te y de la n orm al a la p a rá b ola y = V x en e l pun to cu y a a b scisa os x = 4. Solución.

T e n e m o s y' =

■/ * ; de aq u í ¿a y

de la tan gen te será k = [y' ]*= 4 —

que, el c o e fic ie n t e angular

x

1

Co mo el p u n to de c o n t a c t o tiene

c o o rd e n a d a s x = 4 e y = 2 , la e c u a c ió n de

la ta n g e n te

es y — 2 — ~ ¡r(x— 4),

o bien, x — 4 y + 4 = 0 . lSn v ir t u d d e la c o n d ic i ó n de p e rp en d icu la rid a d , el c o e fic ie n t e de la n o r m a l es: *! =

las

an g u la r

— 4,

de d o n d o la e c u a c ió n de la n o r m a l es y — 2 — — 4 ( r — 4), o bien, 4 x-\ -y — 18 = 0.

6 3 1 . E scrib ir las ecu a cion es de la tangente y de la n orm al a la cu rva y = x 3 -\-2x2— 4 x — 3 en e l p u n to ( — 2 ; 5 ). 6 3 2 . H a lla r las ecu a cion es do la ta n gen te y do la n orm al a la cu rva y = v 'x ~ l en el p u n to ( 1 ; 6 3 3 . H a lla r a las sig u ien tes a) y = t g 2 x

0). la s ecu a cion es de las tan gen tes y de las n orm ales cu rv a s en lo s puntos que se in d ica n : en e l o rig e n d o coordenadas; £

,^

b) y = are s e n — — en e l p u n to de in tersección con el o jo OX\ c) y — are eos 3 x en el p u n to de in te rse cció n con e l e je O Y ; d) y = i n x en e l pu n to de in te rse cció n co n e l e je O X ; e) y = e i ~x2 en los pu n tos de in tersección con la recta y = i . 6 3 4 . E scrib ir las ecu a cion es de la tangente y de la n orm al a la cu rva 1+ * _ x==z

v

_

y

—

3

+

f

2t

’

en e l p u n to { 2 ; 2 ). 6 3 5 . E scrib ir la e cu a ció n de la tangente a la curva x = t c o s t y y*=ts& nt en el orig en de coorden adas y en e l

pu n to t = - ^ m

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64

D iferen cia ción de funciones

636. E scrib ir las ecu a cion es de la tan gen te y de la norm al la cu rva + *6 = 0 en e l pu n to c u y a ordenada es y = 3. 637- E scrib ir la e cu a ció n de la tangente a la cu r v a rc5- ^ 5— — 2 x y = 0 en e l punto ( 1 ; 1 ). 638- E scrib ir las ecu a cion es de la s tangentes y de las norm ales a la cu rva y = ( x — 1) ( x — 2) (x — 3) en sus pu n tos de in tersección con el e je de abscisas. * 6 3 9 . E scrib ir la s ecu acion es de la tan gen te y de l a n orm a l a la cu rva y 4 = 4rc*-j- 6z y en e l p u n to (1 ; 2 ). 640*. D em ostrar que e l segm en to de tangente a la h ip érb ola xij = a2, com pren did o entre lo s ejes de coorden adas, está d iv id id o en dos partes ig u a les p or e l p u n to de con ta cto. 6 4 1 . D em ostrar que en la astroide z*/* + y 2te = a 2/3 e l segm ento tangente, com pren did o entre lo s e je s de coorden adas, tien e m a gn i tud constante e ig u a l a a . 6 4 2 . D em ostrar que la s n orm a les a la e n v o lv e n te de la cir cu n feren cia x = a (eos 1 4 *t sen t)9 y = a (sen t — t eos t) son tangentes a la circu n fe re n cia x l j r y ¿ = a it. 643. H a lla r e l á n g u lo de in te rse cció n de la s p a rá b ola s y = (x — 2 )2 e y = — 4 + 6 ;r — x z. 6 4 4 . ¿Q ué á n g u lo form an entre s í las p arábolas y = e y = x 3 a l cortarse? 6 4 5 . D em ostrar que la s cu rv a s y = 4 x 2 + 2rr — 8 e y = x 2~ x + 10 son tangentes entre sí en e l p u n to (3 ; 34). ¿O cu rrirá l o m ism o en el pun to ( — 2; 4)? 646. D em ostrar que las h ip é rb o la s x y = a 2 y x" — i/ ■= b~ se cortan entre sí form an do un á n gu lo recto. 6 4 7 . S e da la p a rá bola y 2 = i x . C a lcu la r la lo n g itu d de lo s segm entos tangente, n orm a l, subtangente y su bn orm al en el punto (1;

2 ).

6 4 8 . H a lla r la lo n g itu d del segm ento su btan gen te de la cu rv a y = 2 x en cu a lq u ier p u n to de la m ism a. 6 4 9 . D em ostrar que la lo n g itu d d e l seg m en to n orm a l a cu a l q u ier p u n to de la h ip é rb o la eq u ilá tera x 2 ~~y 2 — a 2 es ig u a l a l radio p o la r de d ich o punto. 6 5 0 . Dem ostrar que la lo n g itu d del seg m en to su b n orm a l do la h ip érb ola s 2 — y 3 = a 2, en un p u n to cu a lq u ie ra de la m ism a , es ig u a l a la abscisa do d ic h o pu n to. 6 5 1 . D em ostrar que lo s segm en tos su btangen tes de la elip se +

= l y de la circu n fe re n cia x*-\-y2 = a 2, en

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lo s pu n tos de

a

A p lica cion es geom étricas y m ecánicas d e La derivada

65

abscisas ig u a les, son ig u a le s en tre s í. ¿Q ué p ro ce d im ie n to de con s tr u c ció n de l a ta n g e n te a la elip se se desprende de l o antedicho? 6 5 2 . H a lla r la lo n g itu d de lo s segm en tos ta n gen te, n orm al, su b ta n gen te y su b n o rm a l a la c ic lo id e x ~ a (t — sen t) y = a (1 — c o s í ) en un p u n to cu a lq u ie ra i = t 0. 6 5 3 . H a lla r e l á n g u lo q u e form a n en tre sí la tan gen te a la esp ira l log a rítm ica r — aeh(9 y el ra d io p o la r del p u n to de co n ta cto . 6 5 4 . H a lla r e l á n g u lo en tre la tangente y e l ra d io p o la r del p u n to de co n ta cto para la lem n isca ta r2 = a2 c o s 2 = 2 jc. 6 5 6 . H a lla r la s lo n g itu d e s de lo s segm en tos p ola res: subtan gente, su b n orm a l, ta n gen te y n o rm a l, y el á n g u lo que form an entre s í la ta n g e n te y e l ra d io p o la r para la e sp ira l h ip e rb ó lica

r = ^~ cn u n p u n to a rb itra rio q>=qp0; r = r0. 6 5 7 . La le y

del m o v im ie n to de un

p u n to sobre el e je O X es

x = 3¿ — ¿3. H a lla r la v e lo cid a d del m o v im ie n to de d ic h o pu n to para lo s instan tes ¿0 = 0 ; ¿i = l y t 2 — 2 (x se da en ce n tím e tro s; en segundos). 6 5 8 . P o r el eje O X so m u ev en dos p u n tos que tien en respecti v a m en te la s le y e s de m o v im ie n to * = 1 0 0 + 51

y

donde ¿ > 0 . ¿C on q u é v e lo c id a d se a leja rá n estos pu n tos, el uno d e l o tr o , en e l m om en to de su en cu en tro (x se da en cen tím etros; en segundos)? 659. L o s e x tre m o s de un se g m e n to Á B = 5 m . se deslizan por la s recta s perpen dicu lares en tre sí O X y O Y (fig . 16). L a v e lo c i dad de desplazam ien to d e l ex trem o A es ig u a l a 2 m /s e g . ¿C uál será la v e lo cid a d d e desplazam ien to del ex trem o B en e l instante 5 —1016

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66


en que el ex trem o A se en cu en tre a una d ista n cia O A = 3 m . del orig en de coordenadas? 6 6 0 , La le y del m o v im ie n to de un p u n to m a te ria l, lan zado en el p la n o v e rtica l X O Y (fig . 17), form an do un á n g u lo a respecto al h o riz o n te , co n una v e lo cid a d in ic ia l v 0, v ien e dada p or la s f ó r m ulas (sin tom ar en co n sid e ra ció n i a resisten cia del aire) x

— Vqí c o s a , y —

sen a —

,

donde t es e l tiem p o y g la a celera ción de la fuerza d e gravedad. H a lla r la tra y ectoria del m o v im ie n to y su a lca n ce . D eterm in ar

ta m b ién la m agnitud de la v e lo cid a d del m o v im ie n to ció n .

y

su

d irec

6 6 1 . U n p u n to se m u e v e so b re la h ip é r b o la U - — de ta l m odo» q u e su abscisa x aum enta u n iform em en te con la v e lo cid a d de una unidad p or segundo. ¿Con q u é v e lo cid a d variará su ordenada, cu an do el p u n to pase p or la p o s ic ió n (5; 2)? 6 6 2 . ¿E n q u é p u n to de la p a rá b ola y 2 = i 8 x la ordenada crece dos veces m ás de p risa q u e la abscisa? 6 6 3 . Uno de lo s la d o s de un re ctá n g u lo tien e u n a m a gn itu d con stan te a = 10 cm , m ien tra s que e l o tro , b ) es v a r ia b le y aum enta a la v e lo cid a d con stan te d e 4 cm /se g . ¿A qué v e lo cid a d crecerán la d ia g on a l del re ctá n g u lo y su área en e l instante en q u e 0 = 30 cm ? 6 6 4 . El. ra d io de una esfera crece u n iform em en te co n una v e lo cid ad de 5 cm /se g . ¿ A q u é v e lo cid a d crecerá n e l ároa d e la super fic ie de dich a esfera y e l v olu m en de la m ism a, cu a n d o el ra d io sea ig u a l a 50 cm ? 6 6 5 . Un pu n to se m ueve sobre la espiral de A rqu ím edes

r — ay

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G7

D erivadas de órdenes superiores

(a = 10 cm ) de m odo q u e la v elocida d an gu lar de r o ta c ió n de su ra d io p ola r es con stan te e ig u a l a 6 ° p o r segu n do. D eterm inar la v e lo cid a d con q u e se alarga d ich o ra d io p o la r r en el instante en qu e r = 25 cm . 666 . Una barra h eterogén ea A B tien e 12 cm . de lo n g itu d . La masa de la parte d e A M de la m ism a crece p roporción al m ente al cu a d rad o de la d ista n cia del p u n to m ó v il M respecto al extrem o .4 y es ig u a l a 10 g cu an do A M = 2 cm . H a lla r la m asa de toda la barra A B y la densidad lin e a l en cu a lq u ier pu n to M de la m ism a. ¿ A q u é es ig u a l la densidad lin ea l d e la barra en los pu n tos A y B ? § 5, D eriva d as de órdenes s u p e rio re s I o. D e l i i l i c i ó n d e l a s d e r i v a d a s d e ó r d e n e s superio r e s . D e r iv a d a d e s e g u n d o o rd en o d eriv a d a seg u n d a de una fu n ció n y = j ( x \ se lla m a a la d e riv a d a d e su d erivad a, es d e cir, a

L a d e riv a d a segunda se designa así:

. ' O - g - . o /"(*). SL x = j ( t ) es la ley del m o v im ie n t o re ctilín e o ele un p u n to ,

es la ace

le r a c ió n de d ic h o m o v im ie n to . En general, la derivada de orden enésimo de la fu n ció n = os la deriva d a do la d eriva d a de orden ( n — 1). La derivada enésima so designa a sí:

y 'n \ E j oni p i n

o - § r - 0 f (n> (*)•

1 . H a lla r la deriva d a de segundo orden de la fun ción

y = bi (1_ X). o i u c i ó n.

~ r\

^ =

=

( i- * ) *

-

2o. F ó r m u l a d o L c i b n i z . Si las funciones u = (^ tienen derivadas hasta de ord e n enésim o in clu sive, para ca lc u la r la derivada enésim a del p ro d u cto de estas fu n cion es puede emplearse la fórmula de L eibn iz =

3°. dadas

i/-j-

u 'n - 2 > r , " + . . - \ - u v ‘ n K

Derivadas de ó r d e n e s superiores en f o r m a p a r a m é t r i c a . S i

de

funciones

r * =
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D iferen cia ción d e ju ncion es

68

s u s d e r iv a d a s u'

*

ax

&x

x' ’

,

y"

. . . p u ed en ca lcu la rse

**

dx¿

su ce siv a m e n te p o r

la s fó r m u la s :

'í^x)x ~

9

-g '

Para la d e r iv a d a d o 2 o o r d o n se c u m p le la

2.

>

'

fó rm u la

x \y"tt-x uy\

*;cx"“ E jem plo

a*'

W r

’

H a lla r y " , si x = a eos l,

{

y = bsen t.

Solución.

T en em os:

< . (¿ s e n t >t_ b -c o st y (a c o s í)/ — cíSQnt'~

„ ( - T ct« 0 ; lJ

A.

(a c o s í ) }

- T

- i i h

-a se n f

b a C%

b _

aase n 3 / '

D erivad as de órdenes superiores de junciones

explícitas.

H a lla r la s derivadas de segu n do g ra d o de la s fu n c io n e s sig u ie n te s: 6 6 7 . y = x 9 -\- 7x* — 5 x + 4. 6 6 8 . y = e x2. 6 6 9 . y — sen* x. 670. y = l n j / l + x \ 6 7 1 . y = ln ( x + V a 2 + x*). 6 7 2 . / ( s ) = ( l + ; z 2)-a r c t g :r . 6 7 3 . y = (are sen x ) 2. 6 7 4 . ¡/ = a c h — . 6 7 5 . D em ostrar, q u e la fu n c ió n y = -x— e c u a c ió n d iferen cia l

*

sa tisfa ce

a

la

1 + y ' 2 = 2yy*.

6 7 6 . D em ostrar, q u e la fu n c ió n

s a tisfa ce a la e cu a

c ió n d ife re n cia l y" — 2 y ' - \ - y — ex . 6 7 7 . D em ostrar, q u e la fu n c ió n y — C ^ - * -\-C2e~2x para c u a l q u ier v a lo r de la s co n sta n te s C x y C 2 sa tisfa ce a la e cu a ció n */* + 3y* + 2 y = 0 .

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D erivadas de órdenes superiores

69

6 7 8 . D em ostrar, q u e la fu n c ió n y = e2X sen 5 z sa tisfa ce a la e cu a ción y " — 4 ¡/' + 29*/ = 0. 6 7 9 . H a lla r y " , si y = x 3 - 5 x * + 7 x - 2 . 6 8 0 . H a lla r / ” (3 ), si / (z ) = ( 2 x - 3 ) 8. 6 8 1 . H a lla r y v para la fu n c ió n y = ln (1 6 8 2 . H a lla r yv l para la fu n ció n y == sen 2x. 6 8 3 . D em ostra r, que la fu n c ió n y ~ e ~ * c o s x sa tisfa ce a la ecua c i ó n d ife re n cia l yv / - f- 4 y = 0 . 6 8 4 . H a lla r / (O), /'( O ) ? / '( O ) y /" ( O ) , si / (x ) = ex sen x. 6 8 5 . L a e c u a c ió n del m o v im ie n to de u n p u n to sobre e l e je O X , es x — 100 -}- 5 í — 0 ,0 0 1 t 3. H a lla r la in sta n tes

v e lo cid a d y

la a ce le ra ció n ¿o =

0;

¿i =

l;

¿2=

de

d ic h o

p u n to

para

los

10 .

686 . P o r la circu n fe re n cia x 2 + y 2 = a2 se m ueve u n p u n to M co n una v e lo cid a d an gu lar co n sta n te co. H a lla r la le y del m ov i m ie n to de su p r o y e c c ió n M^ sobre e l e je O X y si en e l m om ento

¿ = 0 el p u n to ocupaba la p o s ic ió n M 0 (a> 0) (fig . 18). H a lla r la v e locid a d y la a celera ción del m o v im ie n to del p u n to M t. ¿A q u é es ig u a l la v e lo cid a d y la a ce le ra ció n del p u n to A f t en el m om en to in ic ia l y en e l m om en to en que pasa p or e l orig en de coordenadas? ¿C u á les son lo s v alores a b solu tos m á x im o s de la v elocida d y de la a ce le ra ció n del p u n to M t? 6 8 7 . H a lla r la derivada de orden n-ésirno d e la fu n ción y = ( a x + b)n} donde n es un núm ero entero. 688 . H a lla r las derivadas d e orden n -ésim o de las fu n cion es:

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70

D iferen ciación de funcionen

6 8 9 . H a lla r la d eriv a d a n -ésim a d e las fu n c io n e s :

a) IJ = sen x ;

b)

y ~ eos 2 x ;

« ) y = e~3Xd) y = ln(l+a?); e) y

_

1

.

14 x

’

i+ x . 1— 3: »

/ ) 1/

g ) y = sen 2 x ; h)

y = Iti (az-f-

6 9 0 . E m p lea n d o la fó r m u la de L e íb n iz , h a lla r y^n\ si

a) y = x - e x\ b) y « ) ?/ = (1 — x 2) cosa:; _ i+ x _ . d) y “ y* ’ e) y = x 3 l u x . •691. H a lla r /< "> (0), si / (x ) = ln

i —x

B . Ztertwzdas ó r d e n e s s u p e r i o r e s , d e f u n c i o n e s dadas e n form a p a r a m é tr ic a y de f u n c io n es i m p l íc it a s . H a lla r 6 9 2 . a)

6 9 3 . a)

para las fu n c io n e s sig u ie n te s: x = ln ty

x = a rctg i,

y*=ñ

«/ = ln (1 + ¿2);

x = a cos£. c)

K = < zsen ¿,

6 9 4 . a)

í/

= a sen3 ¿;

x = a (sen t — t eos l ) , d)

y = a (eos t-\ -t sen t ) . x = a r c tg í,

6 9 5 . a) y - i 1'x = ln t,

x = e " at} b)

y = ca'.

y= l / T ^ .

y — a (1 — eos í);

x = eos 2 ¿ y y = sen 2 1\

c)

x — a ( t — s e n ¿ ),

x = a c o s 3 í, h)

x = aresen i ,

b)

y = i- t

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•

Derivadas de órdenes superiores

696. H a lla r

71

x = e xc o s í ,

d*x

dy* ’

si

y = e*sen í.

6 9 7 . H a lla r

x = l n ( l + í2), para í = 0 , si J X \

698.

que

[ y =i t .

D em ostrar

y , determ inada

com o

las ecu a cion es £ = s e n / e y — ae* ^2 j~ b e ~ l ción d iferen cia l

fu n c ió n

de x

por

, sa tisfa ce a la ecua

cualesquiera que sean la s con stan tes a y ó. H a lla r 699.

700.

701.

y m= - í^ - para las sigu ientes fu n cion es: z = s e c í, y = lgt. x = e~{ c o s í , y = e~l sen t . x = e~\

7 0 2 . H a lla r

d ny d xn

S i{

z = ln ¿ , m í

7 0 3 . C onociendo la fu n c ió n y =* f (x), y x w de la fu n c ió n inversa x = f~1( y ). 7 0 4 . H a lla r y", si x 2 + */2 = 1. Solución.

h a lla r

las derivadas x

A p lic a n d o la regla do d e r iv a c ió n de fu n cio n e s com puestas

tenem os 2a: + 2^ ' = 0 ; de d o n d e y ' =

e !/— xy 'x

y*

P o n ie n d o en lu gór de y ' su v a l o r , o b te n d re m o s en d e fin it iv a :

y2Jt X ^ _ _ Í3—

=

1 ir3 *

D eterm inar las derivadas y" de las sigu ientes funciones y — f ( x ) , dadas de form a im p líc ita : 7 0 5 . y 2 = 2 p x. 706. 4

+ £ - i .

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72

D iferen ciación de junciones

7 0 7 . t/ = x -f-a r c t g y. 7 0 8 . Dada

la

ecu a ción

h a lla r

y

.

709. H a lla r y " en el p u n to (1 ; 1 ), si x 2 - f 5 x y + y 2 — 2 x + y — 6 = 0. 710. H a lla r y " en el pu n to (0 ; 1), si 2 4—

x y + y* =

l.

711. a) La fu n c ió n y está dada im p lícita m en te p or la ecu a ción z 2 + 2 x y + y 2— 4 z + 2 y — 2 = 0. H a lla r

en e l pu n to (1 ; 1).

b) H a lla r - g - , si x* + y t = a2.

§ 6 . D ife re n c ia le s de p rim e r orden y de órdenes s u p e rio re s I o . D i f e r e n e i a I de p r i m e r o r d e n . Se llama d iferen cial {de prim er orden) de una ¡unción y = f { x ) a la pa rte prin cip a l do su in crem ento,

lineal con respecto a l in crem ento A z — dz de la v aria b le in d ep e n d ien te x. La d ife re n cia l de una fu n ció n es ig u a l a l p ro d u cto de s u derivada p o r la d ife re n cia l de la v aria b le independiente d y = y ' dx. De aquí, quo

S i M N es ol arco do la g rá fica de la fu n c ió n y = f ( x ) ( f i g . 19), M T la tangente en e l punto M { x t y ) y PQ = Ax — dxt

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D iferen cia les d e p rim er orden y de órdenes superiores

73

ten d re m o s que e l in c r e m e n to do la ordon ada d e la ta n g e n te A T = dy y e l s e g m e n t o A N = Ay. E j e m p l o 1. H a lla r e l in c r e m e n to y la d i f e r e n c ia l de la fu n c ió n y = 3 x 2—~x. Solución.

1er p r o c e d i m i e n t o ; Ay — 3 ( s + A s ) 2 — (x + A s ) — 3z 2-\-x

o b ie n , A y = (6x — 1) A s + 3 (A x)3. P o r c o n s ig u ie n t e , dy — (6^ — 1) A s = (6x — 1) dx. 2o p r o c e d i m i e n t o : y ' — 6s — 1; dy = y ' d x = (6s — 1 ) d x . E j e m p l o 2. C a lc u la r A y y d y do la f u n c i ó n y = * 3x* — x f p a ra x = l y A s = 0 ,01. S o l u c i ó n . A y = (6x — 1)* A s + 3 (A s)2 = 5 *0,01 + 3 -(O,OI) 2 — 0,0503

y dy = ( 6s — 1) A s = 5* 0,01 = 0,0500. 2 o. P r o p i e d a d e s f u n d a m é n t a l a s d e l a s d i f e r e n c i a l e s : 1) dc = 0 , d o n d e o — c o n s ta n te . 2) d x = A s, d o n d e s e s la v a r ia b le in depen d ien te. 3) d (cu) = c d u . 4 ) d (i¿ i f ) — du ^¡z du. 5) d (uv) — u d v-\ -v du.

6) * ( t )

* + 0).

7) df (u) — / ' (u) du. 3°. A p l i c a c i ó n d é la d iforen cia l para los c á lc u lo s a p r o x i m a d o s . Cuando el v a l o r a b s o lu t o d e i in c r e m e n to A s de la varia ble in d e p e n d ie n te s es pequeño, la d ife r e n c ia l dy do la f u n c ió n y = / ( x ) y e l in c r e m e n t o Ay de d ic h a f u n c ió n s o n a p ro x im a d a m e n te ig u a le s entre sí Ay f & d y , es d e cir, / ( x - h A s ) — / (s) ^ / ' (x ) As, de d o n d e / ( s + A s) ^ / ( * ) + / ' ( * ) A s.

(1 ),

E j e m p l o 3. ¿En cu á n to aum entará a p rox im a d a m e n te e l la d o de un cu a d ra d o , s i su ároa au m en ta do 9 m 2 a 9,1 m 2? S o l u c i ó n . Si x es e l área d e l cu ad rado e y el la d o del m is m o , ten d re m o s que

y= l/ x. P o r las c o n d ic io n e s d e l p r o b le m a : s = 9; A s = 0 , 1 . C a lc u la m o s a p ro x im a d a m e n te e l in c r e m e n to A y d e l la d o d e l cuadrado Ay ^ dy — y ’ Ax

1

— - 0,1 — 0,016 xn. 2 y 9

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74

4o . D i f e r e n c i a l e s d e ó r d e n e s s u p e r i o r e s . Se lla m a d iferen cia l d e segundo orden a la d ife r e n c ia l de la d ife re n cia l de p r im e r o rd e n : d*y = d { d y ). De form a análoga se d eterm in a n las d iferen cia les de tercer orden y de ó r d e nes sucesivos. S i y = f ( x ) y x es la v a r ia b le in d e p e n d ie n te , se tiene d2y = y ° {d&)\

d*y = y " (dx3),

dny = y(dx)H. Cuando y = f { u ) , donde u = íp(a;)J se tiene: d ^ = y n [du)* + y ' d*u, ¿ 2^ — y>» (dw)3-}-3 y " d u -d 2u -\ -y' d*u, e t c . (En este caso, v aria b le u).

las a p o s t r o fe s

d esig n a n

d e r iv a c ió n c o n resp ecto a la

7 1 2 . H a lla r e l in crem en to A y y la d ife re n cia l d y de la fu n ción y = 5 x + x 2 para x ~ 2 y A x = 0 ,0 0 1 . 7 1 3 . S in c a lc u la r la d eriva d a , h a lla r d (1 — x*) para x = l y A x = — y

.

7 1 4 . E l área S de u n cu adrado, c u y o la d o es ig u a l a x , v ien e dada p or la fó rm u la S = x 2. H a lla r e l in crem en to y la d iferen cia l de esta fu n c ió n y determ in ar ol v a lo r g e o m é tric o de esta ú ltim a . 7 1 5 . D ar la in te rp re ta ció n g e o m é trica d e l in cre m e n to y de la d ife re n cia l de las sigu ien tes fu n cion es: a) del área del c ír c u lo S — jix 2; b) d e l v o lu m e n del c u b o v — x 3. 7 1 6 . D em ostrar, que cu a lq u ie ra que sea x , e l in crem en to de la fu n ció n y = 2x , correspon dien te a l in crem en to de x en una m a g n itu d A x , es e q u iv a le n te a la exp resión 2 ¿cA x l n 2 , cu a n d o A x —» 0 . 7 1 7 . ¿Para q u é v a lo r d e x , la d ife re n cia l de la fu n c ió n y = x 2 n o e q u iv a le a l in crem en to de esta m ism a fu n c ió n cu a n d o A x —> 0 ? 7 1 8 . ¿T ien e d ife re n cia l la fu n c ió n y = |x| para x = 0? 7 1 9 . E m p lea n d o la d eriva d a , h a lla r la d ife re n cia l d o la fu n c ió n n A n y = e o s x , para x = - g - y A x = y r . 7 2 0 . H a lla r la d ife re n cia l de la fu n c ió n 2 y ~ V 7

para x = 9 y A x = — 0 ,0 1 .

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D iferen cia les de prim er orden y de órdenes superiores

75

7 2 1 . C a lcu la r la d ife re n cia l de la fu n ción // = t g x

para

y

=

H a lla r las d iferen cia les de las siguientes funciones, para cu a l quier v a lo r de la v a ria b le independiente y de su increm ento: 722. y = 7 2 3 . ;/ =

X1 X

\ -x

*

7 2 4 . y = a r c s e n ^ -. 7 2 5 . j/ = arctg ~

.

7 2 6 . y = e ~ x\ 727. y = x l n x — x. 728. y = ^ 1 ^ . J

i+ X

7 2 9 . r = ctgq> + coscccp. 7 3 0 . s = a rctg e l. 7 3 1 . H a lla r d y % si Z - + 2x y — y 2 = a 3. S o l u c i ó n . T e n ien d o en cu enta la in v a ria b ilid a d de la form a de ia d ife re n cia l, tenem os: 2 x d x - { - 2 { y d x-\ ~ xd y) — 2 y d y = Q. De donde

d y = ^ l ± L dx. x-v H a lla r la s d ife re n cia le s form a im p líc ita :

de las siguientes

fun ciones, dadas de

7 3 2 . ( z + y ) * ( 2 x + y)* = 1. 733. y ^ e ' y . 7 3 4 . ln | ^ x 2+ y 2 = a rctg — . x

7 3 5 . H a lla r d y en e l p u n to (1 ; 2 ), si y 3 — y = Qx2. 7 3 6 . H a lla r e l v a lo r a proxim ado del sen 31°. Solución. m u ía

T o m a n d o x = are 30o —

o

y Ax = arc í ^ —

(1) (véase 3o) tendrem os que, sen 31° ^ sen 3

+ 0,017 . ^ + = 0,515.

¿t

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0

° +

loU

, p o r la fó r -

eos 30° = 0,500 +

76

D iferen cia ción d e funciones

7 3 7 . S u stitu y en d o e l in crem en to c ia l, c a lc u la r a p rox im a d a m en te: a) eos 61°;

d ) l g 0 ,9 ;

í>) tg 4 4 ° ; c ) e0’2;

e) are tg 1 ,0 5 .

de la fu n c ió n p o r la d ife re n

7 3 8 . ¿E n cu á n to aum enta, a p rox im a d a m en te, o i v o lu m e n de una esfera , si su ra d io / í = 15 cm se alarga en 2 m m ? 7 3 9 . D od u cir la fó rm u la a p rox im a d a (para v alores de (A * | , pequ eñ os en co m p a ra ció n con 3 ) Y x -f- A x »

V I -f

Ax

2y x

y co n e lla , h a lla r lo s v a lo re s a p rox im a d os d e Y 5 ; Y 1 7 * Y 70 ; 1^640. 7 4 0 . D od u cir la fó rm u la a proxim ada y/ x + ¡Ax «5 Y~x -f-

Ax 3y ?

y h a lla r los v a lo re s a p rox im a d os de Y 1 0 , y / '70", y ^ 2 0 0 . 7 4 1 . H a lla r lo s v a lo re s a p rox im a d os de la s fu n cio n e s: a) y = x 3— 4a:2 + 5 x + 3 para x = l , 0 3 ; b ) / (a:) = ] / l + x para a: — 0 , 2 ; C) / (* ) = ] /

para a: = 0 , 1 ;

d) y ^ e l ~ x2 para x = l , 0 5 . 742. 743. 744. 745. / =

H a lla r e l v a lo r a p ro x im a d o de t g 4 5 ° 3 '2 0 " . H a lla r aproxim adam en te a resen 0 ,5 4 . H a lla r aproxim adam en te 7/ 1 T . D em ostrar, basándose en la fó rm u la d e la

le y de O h m

q u e una pequeña v a r ia c ió n do la intensidad de la corrien te,

debida a una pequeña v a r ia c ió n d e la resisten cia , puede h a lla rs e de m anera a proxim ada p o r la fó rm u la AI =

--^ A R .

7 4 6 . D em ostrar, q u e un error r e la t iv o dn 1 % , co m e tid o al determ in ar la lo n g itu d d o l ra d io , da lu g a r a un orror r e la t iv o a p rox im a d o do un 2 % , a l c a lc u la r e l área del c ír c u lo y la su p er f ic ie de la esfera. 7 4 7 . C a lcu la r d2y, si y = eos 5 z.

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Teorem as Solución.

de

valor

medio

77

d 2y = y ” (dx)* = — 25 eos 5x (d x)2.

7 4 8 . í¿ = ] ^ 1 — a:2 , h a lla r d 2u. 7 4 9 . y = árceos x , h a lla r d2y . 7 5 0 . y = sen x ln x , h a lla r d2y . 751.

z=

h a lla r

■C

7 5 2 . z = a;2e - a:) h a lla r d 3z. 7 5 3 . z ~ ~ñ~ — > h a lla r d 4z. ¿

X

7 5 4 . í¿ = 3 s e n ( 2 x - f 5 ) , h a lla r d nu. 7 5 5 . j/ = ¿ * C0S as e n (a :s e n a ), h a lla r d ny . § 7 . Teorem as del v a lo r medio 1. T e o r o m a d e R o l l e . Si una fu n c ió n f (x) es con tinu a en el s e g m e n to a < ^ z < C b , tiene una deriva d a / ' (x) en cada uno de lo s puntos in te riores de éste y

2. T e o r e m a d e L a g r a n g e . Si una fu n ció n f {x) es con tinu a en el seg m en to a ^ x ^ b y tiene d eriva d a en cada p u n to in te r io r de éste, se tiene i ( b ) - f ( a ) = { b - a ) /'( £ ) , d on d e a < £ < 6 . 3. T e o r e m a d e C a u c h y . Si d os fu n cion es f (x) y F (x) s o n c o n t i nuas en e l seg m en to y tienen en e l in te r v a lo a < a : < 6 derivadas q ue n o se anulan sim u ltá n ea m en te, sien do F (b) ^ F i a ) , se tiene.

/ ( * ) - / ( « ) _ V (l) F ( b ) - F ( a ) ~ F '(l) ’

don de a < £ < b.

756. V e r i fi c a r q ue la fu n ció n f ( x ) = x — x 3 sa tisfa ce a las con d iciones dol teorem a de R o l l e en lo s seg m en tos — i ^ x ^ O y H a lla r los v a lo r e s correspon dien tes do £. S o l u c i ó n . La fu n ció n / ( x) e s con tinu a y d c r iv a b le para to d o s los v a lo re s do x\ adem ás do e sto , / ( — 1) = / (0) = / (1) = 0 . P o r consiguiente, ol teorem a de R o lle puede a plicarso en lo s segm entos - i < i < 0 y Para h a lla r el núm ero £ form a m os la ecu ación : / ' ( * ) = ! — 3*2 = 0. s ie n d o — 1 <

<

De donde

0 ; 0 < £ 2 < 1.

7 5 7 , L a fu n c ió n f (x) = \/ (x — 2 )2 en los extrem os del segm ento JO, 4 j tom a v a lo r e s ig u a les /( 0 ) = /( 4 ) = f 4 .

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78


¿Es v á lid o para esta fu n c ió n el teorem a de R o lle en el segm ento 10, 4]? 7 5 8 . ¿So cu m p len las con d icion es del teorem a de R o lle para la fu n ción f(x ) = tg x en el segm en to (0 , ri]‘í 7 5 9 . Sea f { x ) = x (x + 1 ) (x + 2) (,x

3),

D em ostrar que la ecuación r (x) = o tiene tres ra íces reales. 760. La ecu a ción e* = 1 + z , evidentem ente, tiene una ra íz , rr = 0. D em ostrar que esta e cu a ción no puede tener otra ra íz real. 7 6 1 . C om probar si se cu m p le n las con d icion es del teorem a de L agrange para la fu n ción f { x ) = z — x* en el segm ento m edio de 5 .

[ — 2,

i]

y h a lla r el correspon dien te v a lo r in ter

S o l u c i ó n . La fu n c ió n / ( x ) = x — es con tin u a y d eriva b le para to d o s los valores do x y y / ' ( x ) — 1 — S x 2. Do dondo, p o r la fó r m u la de L a gra n ge, tenemos / (4) — / ( — 2) = 0 — C = f l — ( — 2 ) ] < £ ) , es decir, / ' ( g ) = - 2. Por con sigu ien te, i — 3|2= — 2 y | « = z f c l ; sirv e so la m e n te el v a lo r g = — 1, para el que se cu m p le la desigualdad — 2 < | < 1.

7 6 2 . C om probar si so cu m plen las con d icion as del teorem a de Lagrange y h a lla r el correspondiente p u n to in term ed io g para la fu n ción f (x) = x*-'* en el segm en to [ — 1 , 1], 7 6 3 . En el segm ento de la p a rá bola y = x 2 com p ren d id o entro los puntos A (1; 1) y B (3; 9) h a lla r un p u n to cu y a tangente sea paralela a la cuerda A B . 7 6 4 . A p lica n d o e l teorem a de L agran ge, dem ostrar la fó rm u la sen (x + h) — sen x =■ h eos E, dondo x < l < x + h. 765. a) C om probar si se cu m p len la s co n d icio n e s del teorem a de C au ch y para las fu n cion es / (x) = x 2 + 2 y F ( x ) = * x 3 — 4, en el segm ento |1 , 21 y h a lla r g; b) ídem para / (x ) = sen x y F (x) — eos x , en e l segm ento

r*

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Fórm ula de T a ylor

79

8 . F ó rm u la de T a y lo r Si una fu n ció n / (#) es con tin u a y tiene derivadas continuas hasta de grado 1) in clu sive, en e l segm ento a ^ x ^ b (o b y para cada p u n to in te r io r del m ism o e x iste una derivada fin ita / <íl)(a?), en este segm ento se v e rifica la fórm ula d e T a ylor l ( x ) = í (a) + < * - « ) / ' ( « ) +

f

(a) +

f" ( « )+ ...

don de | = a -r-0 {* — <*) y O < 0 < 1 . En el caso particu lar, en que a — 0 tenemos (fórmula de M aclaurin):

i (*) = f (0) + x f (0) -i-

r (0 )+ ... +

l
d on de £ = 0a:, O < 0 < 1.

7 6 6 . D e sa rro lla r e l p o lin o m io / (a:) = — 2 x 2+ 3 x + 5 en poten cias enteras y p o s itiv a s del b in o m io x — 2 . Solución. f ' ( x ) = 3z2 — 4 s - j- 3 ; para n >• 4. De donde:

(s) = 6z — 4;

(^) = 6-,

/<«>(*) = 0

/ (2) = 11; i* (2) ~ 7; /* ( 2 ) o - 8 ; /" '( 2 ) = 6. P o r consiguiente:

^ _ 2 ^ + 3 ^ + 5 = 11 + (x - 2 ) . 7 + (- ^ - 2- 8 + < ^ = ^ . 6 o bien ± 3 _ 2 * a + 3* + 5 ^ 1 1 + 7 ( * — 2) + 4(.r — 2 ) 2 - f ( * — 2)*.

767. D esa rrolla r la fu n c ió n /{£*) = £* en p oten cias del hasta e l te rm in o que co n ten g a (a:~|-l)3. Solución.

} ^ ( x ) — ex para todas las n ,

— 1) = — .

b in om io

Por

c o n s i

guiente:

e« - l + (;P_L1) ± + («+<)» V ■<*+D 1 i l * + W £l 1 }

don de

2!

* ^

3!

* ^

4¡

’

— f + 0 (x + l ) ; O < 0 < 1.

7 6 8 . D e sa rro lla r la fu n c ió n f { x ) — \ n x en poten cias de 1, hasta e l té rm in o con (a; — l ) 2. 7 6 9 . D e s a rro lla r la fu n c ió n f ( x ) = s e n x en p oten cias de hasta e l té rm in o de x z y hasta e l té rm in o de x 5. 7 7 0 . D esa rrola r la fu n c ió n f ( x ) — e* on poten cias de x hasta el té r m in o de a:*” 1. 7 7 1 . D em ostrar que la d ife re n cia entro sen ( a - f h) y sen a + h eos a n o es m a y o r de y h2.

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80


7 7 2 . D eterm in a r e l o rig e n de la s fó r m u la s a p rox im a d a s: a)

1 + y h ; — ^ x 2, I « | < 1 ,

b) y" 1 + x zz 1 + y i - j r ,

M < 1

y v a lo ra r el e rro r de la s m ism as. 773. V a lo r a r e l error de la fó rm u la o . 1 . 1 . 1 5 ~ 2+2T+3T+4T • 7 7 4 . U n h i l o pesad o, b a jo la a c c ió n d e la g ra v ed a d , se com ba form a n d o la

ca te n a ria

y — ach -^ -.

D em o stra r

pequeños de ¡x| la fo rm a q u e tom a aproxim ad am en te p o r la p a rá bola i

el

h ilo

que

para

v a lo re s

puede representarse

x '2

y = « + * r 7 7 5 * . D em ostrar que cu an do de

\x\<£a,

c o n u n a p re cisió n

hasta

, se v e r ific a la ig u a ld a d a p rox im a d a

§ 1 9 . Regla de L ’ K flp Ita l- B e r n o u lll p a ra e l c a lc u lo de lím ite s In d e te rm ina d os i. y ^

Cálculo

de

límites

. Sean las funciones

indeterminados uniformos

f (x)

y

do

las

formas

0 < | x — a \ < k , sin que la dorivada q>' (x) se reduzca a cero. Si f ( x ) y q> (x) son infinitamente pequeños o infinitamente grandes cuando x -* - a , es decir, si la fracción ■ ^ q)

representa on el

una expresión indeterminada de la forma ^

o

punto x = a

, tendremos que

*-*«

a condición de que oxista el límite de esta fracción do las derivadas (regla de L'Hópital-Bernoullí). Esta regla es aplicable también en el caso en quo a — co. Si la fracción —7^

vuelvo a dar una expresión

indeterminada en el

punto z ~ a , de una de las dos formas antes indicadas y / ' (x) y q>' (x) satisfacen a todas las condiciones que seformularon para / (x) y q> (x),

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R egla de V H ó p it a l-B ern ou lli para el cálculo de lím ites indeterminados

81

so aplica d o n u ev o la m ism a regla, co n lo que tondremos la fra cció n de las segundas derivadas y así sucesivam ente. No obstante, debe recordarse que puede e x is t ir el lím ite do la fracción f (x) , s i n que la fra cció n de las derivadas tienda a lím ite a lg u n o (véase el 6 809). 2. O t r a s f o r m a s i n d e t e r m i n a d a s . Para ca lcu la r lo s lím ites de expresiones indeterm inadas de la fo rm a 0 «co, h a y que transform ar los correspondientes p rod u cto s / , ( x ) - / 2 (x), donde

lim / , ( i ) = 0 y lim /2 { x ) = c o , x -* a

fracción

x*+a

1

h ( x) ( form a

° b ie n

^ fo rm a

.

/i Y) E n ca so de expresiones in d eterm inad as de la form a c o — a> debe trans form arse la corresp ondiente d ife re n cia f i ( x ) — f 2 (x) en el produ cto fi (x) f 1-

L

Ji \x)

y

ca lcu la r, on

; s i el lim /1 W

prim er

lugar, el

lím ite

de

la fracción

— 1, reducim os esta e x p resión a la forma

x -* a h \x )

h(*) A H

(fo rm a

° ) .

/i W L o s lím ite s de las ex p resion es in determ inadas do las form as 1“ , 0o y co° se d eterm in a n buscando previam ente sus logaritm os y hallando e l límite del lo g a ritm o de la exp resión e x p o n e n cia l [ /i ( x )]/2 (para ío que será necesario ca lc u la r lím ites in d eterm inad os de la forma 0 *oo). En c i e r t o s ca sos, o s con ven ien te c o m b in a r la regia de L ’ H o p ita l-B e rn o u lli co n el c á lc u lo de lím ite s por m ed ios elem en tales. E j e m p l o 1. Calcular lim

f form a indeterm inada — \ . CO )

tf-vQ Ctg X \

Solución.

A p lica n d o la re g la de L ’ H o p ita l-B e rn o u lli, tenemos; ln x

h m —— = x->0Ctgx

(In * )' .. son2 x lim — — = — h m ----------. x_>0 ( c tg x ) x-*0 x

Resulta una e x p re s ió n indeterm inada de

\a form a

, pero n o es necesario

v o lv e r a a p lica r la regla de L ’ H ó rita i-B e rn o u lli, puesto quo .. sena x h m — -----

. A n .. seu x l i m ------------ sen x = 1 .0 = 0.

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82

t

C oa lo que oa d e fin it iv a , encontram os: 1 * ——X = 0 A. lim

* - 0 Ctg a: E j e m p l o

2.

C alcular

lim f — ^ -------- L-\ (form a indeterm inada c o — os). a-*.0 \sen2 z ** j R educiendo la fra cció n a un común d en om in a dor, tonemos: lim ( — íx-»0 \sen2 a;

i;- ^ = 1i ni 1 y ^ ~ ( fortti9 indeterm inada . z2 ) * 2 seri2z \ 0 )

A n tes do a p lica r la regla de L ’ H ó p ita l-B e rn o u lli, su stitu im o s e l denom inador de la ú ltim a fra cció n p o r el in fin it é s im o eq uivalente (Cap. I, § 4) z 2 sen2 x ~ z 4. Tenemos: lim ( — ~ x-*Q \sen2 x

~ \ = üm — x 2 ) *_>o

S¿ n —■ { form a indeterm inada *4 \

0 /

.

P o r la regla do L ’ H ó p ita l-B crn o u lli lim

/

í

1 \

- — ó------------ 5-

V sen -z

x2 )

=

lim

2z — s e n 2z ? ~ rK 4xJ

lim

2 — 2 c o s 2z

---------.

12z2

Después, por m edios elem entales, h a lla m os: / 1 1 \ .. 1 — eos 2z _. 2 sen2 x 1 lim ( -— ---------- 5- = Jim — ‘77-ñ— = lim — x -z — = -r- . \ sen2 x x ¿ J x^ 0 bz¿ bz- ó Ejem plo

3.

Calcular

3 lim ( e o s 2 x ) x2 (fo rm a indeterm inada l*3).

*-*•0

H allan do el lo g a ritm o y a p lica n d o la regla de L ’ H ó p ita l-B e rn o u lli, ton em os:

n

3

s. 3 ln eos 2z R t g 2z 0=■— o h m - 7 :— — — 6 . x^ 0 X_ ,Q 2 x z2

-

h m ln ( c o s 2z ) * x—Q

JL P or co n sig u ie n te , lim (eos 2z) ** =ê~Q.

x-*0

H a lla r lo s lím ite s que se in d ica n de la s fu n cio n e s sigu ien tes: lim x- - 2x' ' ~ l t 2 • 776 . ¡c-*l s 3 -7 x + 6

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R egla de L ' H ó p ita l-B crn o u lli para el cálculo de lím ites indeterminados „

,

. ,

Solución 777. 778.

..

x * — 2x*— x + 2

hm -

l i t n 100- J 7 sonz £-►0 ^ lim ■ i ~ x—

.

.

=hm

3^2 — 4a: — 1

7 8 3 . lim 4 X-*co 2

83

i

.

7 8 4 . lim -jj— ..

x -* i í _ s e a 5 f .

a -*»

V z

n, /

W 9 . lim V x->0

x~ i

7 8 5 . lim

-eos*

2

tg x — sen x

ygg

780. l i m x-t-0 x — sen x

'

ln (sonmar) ' x— +o

7 8 1 . lim ;icc.2 f-~ 2 .tg * ■ 1 + eos Ax Jl 782.

1

« o ct g ü f .

h ise n x

7 8 7 . lim (1 — eos x ) c t g x . x_>0

'

lim *8 * tg 5x ‘ * Á 24

n 1 •/ Solución

.• \ *. .. ( i — C09x)C0SX (1 —- c o s s ) w lim (1 — eos x ) c t g x — Jim -------------= l i m ----------------- X Xô x~>0 sena: x^ 0 se n x

X lim eos x — l i m ^ ^ - 1 = 0 . *-♦0 x-vO eos x

7 8 8 . lim (1 — x ) x -> !

. ¿

7 9 2 . lim x Hson — , r a > 0 . x —*<*>

7 8 9 . l i m a r c s e n z c t g a:. x-*0

x

7 9 3 . lim ln x ln ( x — 1). x -f i

790. x-vO lira(*n * > 0 .

794. x-* lim f - 4 - I4n *)/ • 1 V^ — 1

7 9 1 . lim x s e n — . X X~»0O n Solución,

. / ar 1 \ i. x l n x — x~M h m ( - — 7 — - ------ 1= l i m —-------- — r—¡— —

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84


Solución.

Tenemos:

xx = y\

ln y = x ln x;

lim ln y = Iim x ln x — X“ >0

x -* 0

_t_ j jj j

y

= iitn — r— = l i m ------— = 0, de d on de lim y = i , o sea, lim x x = í . x -+ 0

x -* 0

t

x

x -* Q

x -> 0

x2 1

1

7 9 9 . lim a;*. JC->+oo

8 0 4 . lim x 1 _ *. X-vl 3

800.

tcr —

lim a:4+1“ * .

805.

x -> 0

' 2 . x~+l '

4

'

1 801.

lim :rpen*.

8 0 6 . lim ( c t g x ) l n x .

x~>0

x -+ 0 7ÍX

802.

lim ( I - * ) " 5 2 .

8 0 7 . lim ( ± V S \

x~y\

X -+ 0 '

*

/

i 803.

lim ( i + s 2) * .

8 0 8 . lim ( c t g a ) se« * .

x -»Ü

x -t - 0

8 0 9 . D em ostrar q u e lo s lím ite s :

a) lim } x -0 ,

..

b)iS

x2 sen — — — 0; se* * x — senx ,

n o pueden h a lla rse p o r la re g la de L ’ I io p it a l — B e r n o u lli. H a lla r estos lím ite s directam en te.

A<¿

F i g. 20

8 10 *. D em ostrar q u e e l área de u n seg m en to c ir c u la r co n un á n g u lo ce n tra l a pequeño, q u e tien e la cuerda A B = b y la sa g ita C D = ¿ h { f i g . 20), es aproxim adam en te ig u a l a S con

un error r e la tiv o

ó

tan pequ eñ o co m o se desee, cu an do a —> 0 .

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Capítulo I I I

E X T R E M O S DE L A S FU N C IO N ES Y A P L IC A C IO N E S G E O M E T R I C A S DE L A D E R I V A D A

§ 1. E ntrem os de la s fu n c io n e s de un argum ento, 4. Crecim iento y decrecim iento de las funciones. La fu n c ió n y = j ( x ) se llam a crecien te (d ecrecien te) en un in te r v a lo d ete rm i n a d o (segm ento), cuando para unos pu n tos cualesquiera y aro» de dicho in te r v a lo (segm ento), de la d esig u a ld a d x t < x 2 se deduce la desigualdad / ( * i ) < / ( * 2) 21, a) ( / ( * l) > / (* 2) (fig . 24, ó)). Si la fu n c ió n f (x) es c o n tin u a en el seg m en to (a, b\ y / ' (x) > 0 ( / ' (x) < 0) para a < z < ó , la fu n ción f ( x ) crece (decrece) en d i c h o seg m e n to (a , ó]. En lo s casos m ás s im p le s , el c a m p o de ex isten cia de la fu n ció n / (x) se puede d i v id ir en u n núm ero f i n i t o d e in terva los do cre cim ie n to y decreci m ie n t o do la fu n c ió n (in terva los de m onotonía). E s to s in te rv a lo s están lim i tados p o r lo s p u n to s críticos de x (donde f ' ( x ) = 0 o n o e x iste / ' (x)). F j o m p l o 1. In v e s tig a r e l c r e c im ie n t o y d ecrecim ien to de la fu n ció n y = z 2 — 2x + 5. Solución.

H a lla m o s la derivada y' = 2 x - 2 = 2 ( x - i ) .

(1)

Do d on de y' = 0 para x = í . En e l eje n u m érico obten em os d os intervalos do m o n o to n ía : (~ ~ c o , 4) y (1, - ¡-c o ) . De la fó r m u la (1), ten em os: 4) s i — o o < < x < 4, se tie n e i / ' < 0 y , p o r con sig u ie n te , la fu n ció n ) (x) decrece en el in te r v a lo ( — c o , 1); 2) si l < x < - f - c o , so tie n e y ' > 0 y , p o r con sigu ien te, la f u n c ió n / (x) crece en e l in te rv a lo (4, + C Q ) (fig . 22). E j e m p l o 2. D eterm in ar lo s in te r v a lo s de cre cim ie n to y d e cre cim ie n to de la fu n c ió n 4

V~ x+ 2 Solución.

-

E n este caso, x = — 2 es el punto do d isco n tin u id a d de la

fu n ció n e y' =

— r - ^ o < 0 cuando x =£ — 2. P o r co n sig u ie n te, la fu n ción y ( x -j- ¿) decrece on lo s in te rv a lo s — c o < s < — 2 y — 2 < x < + c o . E j e m p l o 3. In vestiga r el cre cim ie n to y d ecrecim ien to do la fu n ción

Solución.

Aquí, y ' = Z4 — Z2.

(2

R e so lv ie n d o la e cu a ció n x 4 — x 2 = 0 f h a lla m o s los p u n to s — 1, x2 ==0 y x 3 = l , on lo s que la deriva d a y ' so anula. C om o quiera que y ' puede

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86

E xtrem os de las ¡u n cion es y aplicaciones geom étricas de la derivada

cam biar do sig n o sola m en te a l pasar p o r p u n to s en q ue ésta se hace igual a cero o so produce una d is co n tin u id a d (en e ! caso d a d o n o h a y p u n to s do d isco n tin u id a d para y ' ) t tendrem os que, en cada u n o de los in te rv a lo s ( — co , — 1), ( — 1, 0), (0 , 1) y (1, + o d ) la deriva d a conserva u n m ism o sign o, p o r lo cu a i, en cada u n o de estos in te r v a lo s la fu n c ió n que in v e s tig a m o s

F i g- 24 será m on óton a . Para determ in a r en cu á le s d e estos in te rv a lo s crece la fun c i ó n y en cu áles decrece, h a y que saber q ué s ig n o tieno la deriva d a en cada u o o . d e e llo s . Para «averiguar el s ig n o de y ' en el in te r v a lo ( — c o , — 1), basta sabor ol sig n o de y’ en cu alquier p u n to de este in te rv a lo . T o m a n d o , por e je m p lo , x = — 2 de la e c u a c ió n (2), o b te n e m o s y ’ = 1 2 > O, por con sig u ie n te ,

y ' > O on el in tervalo ( — c o , — 1) y la fu n ción en él es cre cie n te . De form a análoga h a llam os que y' < O en el in te rv a lo ( — 1, 0)

^para c o m p ro b a rlo

puedo tom ar, por e je m p lo , z = — i - j ;

in te r v a lo

se puodo tom ar x —

p ' < O en el

so

(0 , 1) âquí

y , fin alm on to, y ' > O on ol in te r v a lo ( í , + o o ) .

De esta form a, la fun ción estudiada crece en ol in te r v a lo ( — o o , — 1), decrece en el ( — 1, 1) y v u e lv e a crecer en e l in te rv a lo ( 1, + c o ) . 2. E x t r e m o s de l a s f u n c i o n e s . S í e x is t o u n en torn o bilateral dol punto x0 t a l, que para cu alquier o t r o p u n to x =£ de este e n to rn o se

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E xtrem os de las ¡u n cion es de un argumento_________________ 87 v e rifica la desiguald ad / (x) > / (ar0), el punto x 0 recibo el nom b re de punto m ínim o de la fu n ció n y — ¡ { x ) y el núm ero / (* 0) el de m ínim o de dicha fun c ió n y = f ( x ) . A n á loga m en te, s i para cu a lq u ier p u n t o s =£ d e un entorno determ in a d o d e l p u n to x i se cu m p lo la desigualdad f ( x ) < f ( z i), x A recibe el nom bro de punto m áxim o d e la fu n ció n / ( a ) , y / ( * * ) , ol do m áxim o de d ich a fu n ció n (fig . 23.) E l punto m ín im o o m á x im o de una fun ción se llama tam b ién punto extrem o do la m ism a y el m ín im o o m á x im o de esta fu n ción , el do extrem o de ella . Si x 0 e s u n p u n to extrem o do la fu n ció n / ( s ) , se tien e, que / '( a ; 0) = 0 (punto esta cion a rio), o n o existo / ' (z0) (con d icion es necesarias para la ex isten cia d e extrom o). La p ro p o s ició n recíproca n o es c ie rta , puesto que lo s pu n tos e n quo / ' ( * ) = 0 , o n o e x iste / ' ( x ) ( puntos crítico s), n o so n o b lig a to ria m e n te pu n tos extrem os de la fu n ció n / (s). Las co n d icio n e s su ficien tes de ex isten cia o ausencia de extrem o de una fu n ció n c o n tin u a f (x) se dan en las reglas siguientes: 1. Si e x is te tal en torn o (x0 — 6 , a:0 + Ó) del punto c r ít ic o ar0, on que / ' (s ) > 0 P ^ a x 0 — ó O < x0 y / ' (z) < 0 para xQ < x < ^0 punto x 0 será un punto m á x im o de la f u n c ió n / ( * ) ; s i p o r el co n tra rio, / ' ( z ) < 0 para x 0 — Ó O O o y / ' ( * ) > 0 para x 0 < * < a r 0- f ó , el punto x Q será un punto m ín im o de la fu n c ió n j (x). S i fin a lm e n te , se encuentra u n núm ero p o s itiv o ó tal, que / ' (x ) conserva in v a ria b le su sig n o cuando 0 < | z — x 0 | < ó , el punto x 0 n o será punto e x tre m o de la fu n c ió n / (a:). 2. Si f ' (x0) — 0 y í" { x o X O * *0 es un punto m áxim o do la función / (x); Si / / (ar0) = 0 y /'< (*0) > 0 , x 0 es un punto m ínim o do la función i (x)\ s i f' ( x 0) = 0 , f* (x0) = 0, ¡"' ( x 0) 0, el punto x 0 no os pim ío extrem o de la función f ( x ) . En fo rm a más general: S upon gam os quo la primera do las funciones d erivad as de j ( z) , que n o se anula en el punto x 0, es de orden k. E n este ca so , si k es par, el punto x 0 será u n p u n to extrem o, quo sera m á x im o s i /<*>(*o) < 0 y m ín im o , s i f 0 . Si k es im par, x 0 n o es un punto extrem o. E j e m p l o 4. H a lla r lo s e x trem os de la fun ción y = 2x + Solución.

H a lla m o s la derivada

Igu a la n d o la derivada y' a cero, tenemos:

•^1-4-1 = 0De donde se deduce el p u n to e sta cion a rio a q = — 1. D e Ja fó rm u la (3), tenem os: s i x = — 1 — h, donde h puede ser cualquier núm ero p o s it i v o su ficien tem en te pequeño, entonces, y ' > 0 ; s i , por el con trario, ar— — 1 + h, se tiene x ' < 0 * ) . P o r con sigu ien te, = — 1 es un punto m á x im o do Ja fu n ció n t/, adem ás p i lg u a lando a cero ol d en om in a d or de la expresión y ' en (3) tenemos: f x= Q \ d o aquí h a lla m os el segundo punto c r ít ic o X2 = 0 de la fu n ció n , para el que no e x iste deriva d a y ' . Cuando x = * — h, evidentem ente, tendrem os y 1 < 0; *) Si n o es f á c i l determ in a r el s ig n o do la derivada y \ se puede calcu lar éste p o r p ro ce d im ie n tos a ritm é tico s , tom a n d o co m o h un núm ero p o s itiv o su ficien tem en te pequeño.

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88

E xtrem os de las fu n cion es y aplicaciones geom étricas de la derivada

cuando x = h> tenem os y ' > 0 . P or con sigu ien te, x 2 = 0 es un p u n to m ín im o do Ja fu n ció n y, además y{í^ n = 0 (fig . 24). La in v es tig a ción del co m p o rta m ien to de la fu n ción enel punto = — 1 se puede efectuar tam b ién por m edio de la segunda derivada „» — v

~

___

t x f i "

Aquí y " < 0 para 27= — 1 y , p o r con sigu ien te, x x = — 1 es un p u n to m á x im o do la función. 3. V a l o r e s m í n i m o y m á x i m o a b s o l u t o s . E l v a lo r m ín im o (m á x im o ) absolu to de una fu n ción con tinu a / (x ) en u o segm ento dado [a, b]

se alcanza en lo s puntos crítico s do la fu n ción o en los extrem os de dicho segmento. E j e m p l o 5. H a lla r lo s valores m ín im o y m á x im o a b solu tos de la fu n ción y = x s — 3x-f- 3 en el segm ento Solución.

1

1

••

Como

y' = 3x2—3, lo s puntos crítico s de la fu n c ió n y son : 1 y x 2 — 1. Com parando los valores do la fu n ció n en estos puntos co n los valores de la fu n ció n en los extrem os del in te r v a lo dado y (— 1)=5;

y(l) = l; í (

- 4

)

= 4

; y ( 2 t )

= 1 1 T

’

llegam os a Ja co n clu s ió n (fig . 25), de q ue el v a lo r m ín im o a b so lu to do la fun ción m = 1 se alcanza en el p u n to x = i (en ol p u n to m ín im o) y el m á x im o

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E xtrem os de las fun cion es de un argumento

a b solu to M = 11 y *

en el p u n to x = 2

89

(en el punto extrem o derecho dei

segmento).

D eterm inar los in te rv a lo s do d ecrecim ien to y cre cim ie n to de las fu n cion es: 8 1 1 . y = i — 4 x — x*. 8 1 2 . y = ( x — 2 )\ 8 1 3 . y = ( * + 4 )s . 8 1 4 . y = x 2 (x — 3). 815. 816- y = j ¿ T p 817-

g

-

8 1 8 . y = ( x — 5)'\/r x . 819. y = f - ¥ x . 8 2 0 . y = x -j- sen x . 821. y ^ x l n x . 8 2 2 . y = aresen (1 + x). 8 2 3 . y = 2 e**-*x . i 8 2 4 . y = 2x ~ a. 825. y = ^ r . A v e r ig u a r lo s extrem os de las fu n cio n e s sigu ien tes: 8 2 6 . y = x 2 + £ x + 6. Solución. H a lla m o s la derivada de la fu n c ió n dada y ' = 2x + 4. Igu alam os y ' a cero y ob te n e m o s el v a lo r crítico d e l argum ento, 2. C om o y ' < 0 cuando x < — 2 e y ' > 0 cuando a r > — 2, tenem os que x — — 2 es un pu n to m ínim o de la fu n c ió n , además, ¿/mín = 2. E l m ism o resultado s e obtiene recurriendo a ! s ig n o do la segunda deriva d a on el punto c r ític o : y” = 2 > 0 .

8 2 7 . y = 2 + x — x 2. 8 2 8 . y = x 3— 3ar2 4 - 3 x + 2. 8 2 9 . i/ = 2a:3 + 3^3— 1 2 x -f-5 . Solución.

H alla m os la derivada y ' = 6 x * + 6 x — i 2 = 6 {x* + x — 2).

y

Igu a la n d o a ce ro la derivada y \ ob ten em os los puntos críticos 3^ = — 2 x 2 = l . Para d eterm in a r el ca rá cter del extrem o ca lcu la m os la segunda

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90

E xtrem os de las fun cion es y aplicaciones geom étricas de la derivada

derivada = 6 (2 z + l)« Como y° ( — 2 ) < 0 , ol punto ^ = — 2 es un punto máximo de la función y y siendo ymóx = 25. Análogamente, tenemos que y" (1) > 0; por lo que x2= i es un punto mínimo de la función y> siendo ^mín= *“ 2. 830. y = * * ( * - 1 2 ) * .

840. y = 2 eos -|- + 3 eos

831. y = x ( x ~ \ y ( x — 2 )3. *3 832. y * ¡¡+ 3 ‘ x*— 2x + 2 833. y x-1 ■

8 4 1 . y = x — ln (1 + # ) . 842. y — x l n x . 843. y — x ln 2 x.

... ( * - 2 ) ( 8 - * ) y X2 10 835. lJ x ( 4 — x2) '

844.

834.

836. 837.

845. y = xe*.

4 J lJ

ÍMfi

y—x e

847.

y *»+ 8 y

*»_4 '

,,

8 4 8 . y = x — a rctg x .

838. y = f ( x * - l ) * . 8 3 9 . y = 2 sen 2 x -f- sen Ax.

D eterm inar lo s m ín im os y m á x im o s a b solu tos de la s sigu ientes fu n cion e s en lo s segm entos que se in d ica n (cuando los segm entos n o se in d ica n , los m ín im o s y m á x im o s a b solu tos de las fu n cion es deben determ inarse en to d o e l ca m p o de e x iste n cia ): 8 4 9 ‘

y = 7+¿¿'

8 5 0 . y = ] / a ; ( 1 0 — x). 851. y = sen4 x - f e o s 4 x . 8 5 2 . y = á rce o s# . 8 5 3 . y — x* en e l segm ento [ — 1, 3], 8 5 4 . y = 2 x * + 3 x 2— í 2 x + l : a) en e l segm en to [ — 1, 5); b) on o l segm ento [ — 10, 12]. 8 5 5 . D em ostrar que para la desigualdad

los v alores p o s itiv o s de x se cu m p le

x + j-> 2 .

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E xtrem os de las ¡unciones de un argumento

91

8 5 6 . D eterm inar lo s co e fic ie n te s p y q del trin om io cuadrado y = x 2 + p x + q, do form a que [/ = 3 sea un m ín im o de este trin o m io cu an do a i o l . D ar la e x p lic a c ió n g eom étrica del resultado o b ten id o. 8 5 7 . D em ostrar la desigualdad e * > l+ s Solución.

para x =¿=Q.

E xam in am os la fu n ció n

/( * ) = * * - ( 1 + s ) . P o r el p ro ce d im ie n to g en era l h a llam os que esta fu n c ió n tie n e un m ínim o ú n ic o , / (0) = 0. P or con sigu ien te, / (x) > / (0) para x =£ 0 , e s decir, e* > 1 + x para x ^

0,

q ue es lo que s e trataba do dem ostrar.

D em ostrar las desigualdades: X3

8 5 8 . x — jr -< ;s e n :r 859. c o s x > l —

para x > 0 . para x=¿=0.

8 6 0 . a: — - r r < l n ( l + x ) < . x para x > 0 . 8 6 1 . D iv id ir un núm ero p o s it iv o dado a en dos sum andos, de ta l form a , que su p rod u cto sea o l m a y o r p osib le. 8 6 2 . T o rce r un trozo de alam bre de lo n g itu d dada l, de manera que form e u n re ctá n g u lo cu y a área sea la m a y o r p o sib le . 8 6 3 . ¿C uál de los triá n g u lo s re ctá n g u lo s de perím etro dado, ig u a l a 2 p, tien e m a y o r área? 8 6 4 . H a y q u e h acer una s u p e r fic ie rectan gu lar cercada por tres do sus la d o s co n tela m e tá lica y lin d an te p or e l cu a rto con una la rg a pared de p ied ra . ¿Q ué form a será m ás con ven ien te dar a la s u p e rficie (para que su área sea m a y o r), si se dispone en total de l ra lin e a le s de tela m e tá lica ? 8 6 5 . D e una h o ja de ca rtó n cu adrada, de lado a, h a y que hacer u n a ca ja recta n g u la r a b ierta , que tenga la m a y o r capacidad p osib le, recorta n d o para e llo cuadrados en lo s á n g u los de la h o ja y doblan do después lo s sa lien tes de la fig u ra en form a de cru z así obten id a. 866. U n d e p ó s ito a b ie rto , d e h o ja de la ta , con fo n d o cuadrado, debe tenor ca p a cid a d para v lit r o s . ¿Qué dim en sion es d eb e tener d ic h o d e p ó sito para que en su fa b rica ció n se necesite la menor ca n tid a d de h o ja de lata? 8 6 7 . ¿C uál de lo s c ilin d r o s de v olu m en dado tiene m enor superf i c i o to ta l? 8 6 8 . In scrib ir en una esfera dada un c ilin d r o de v olu m en m á xim o.

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02

E xtrem os de las fun cion es y aplicaciones geométricas de la derivada

8 6 9 . In s cr ib ir en una esfera dada un c ilin d r o que tenga la m a y o r s u p e r fic ie la te ra l p o sib le . 8 7 0 . I n s c r ib ir en una esfera dada u n co n o d e v o lu m e n m á x im o . 8 7 1 . In s cr ib ir en una esfera dada un co n o c ir c u la r recto q u e tenga la m a y o r s u p e rficie la te ra l p o s ib le . 872 - C ircu n scrib ir en torn o a u n cilin d r o dado un co n o re cto q u e tenga el m enor v olu m en p o s ib le {lo s p la n o s y cen tros d e sus bases circu la re s co in cid e n ). 8 7 3 . ¿C uál de lo s con os circu n scrito s en torn o a una esfera tien e el m enor volu m en ? 8 7 4 . Una fa ja de h o ja de lata de anchura a debe ser en corvada lo n g itu d in a lm e n te en form a de ca n a ló n a b ie rto (fig . 2 6 ). ¿Q ué

O /\

a F i g. 26

F i g. 27

á n g u lo ce n tr a l cp debe tom arse para q u e e l ca n a ló n tenga la m a y o r capacidad posible? 8 7 5 . De una h o ja c ir c u la r h a y q u e corta r un se c to r ta l, que en rolla d o nos dé un em budo de la m a y o r ca p a cid a d p osib le. 8 7 6 . Un recip ien te a b ie rto está form a d o p or un c ilin d r o , te rm i nado p or su parte in fe r io r en u n a scm iesfera; el espesor de sus paredes es con stan te. ¿Q ué d im en sion es deberá te n e r d ic h o recip ien te para que, sin v a ria r su capacidad, se gaste en h a ce rlo la m en or ca n tida d d e m a teria l? 877. D eterm in ar la a ltu ra m ín im a h = O B q u e puede ten e r la puerta d e una torre v e rtica l A B C D , para que a tra v é s de e lla se pueda in tro d u cir en la torre una barra ríg id a M N , de lo n g itu d Z, cu y o ex trem o M resbalará a l o la r g o de la lín e a h o riz o n ta l A B . La anchura de la torre es d < í ( f i g . 27). 8 7 8 . E n un p la n o d e coordenadas se da un p u n to , M 0 (x 0, z/0), situ ado en ol prim er cu adran te. H acer pasar p o r este p u n to una recta, d e m anera que e l tr iá n g u lo form a d o entre e lla y lo s sem iejes p ositiv os d e coordenadas tenga la m en or área p o s ib le . 8 7 9 . In scrib ir, en una elipse dada, un r e c tá n g u lo de m a y o r área p osib le , que ten ga lo s lados p a ra le lo s a lo s e je s de la p rop ia elipse.

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E xtrem os de las funciones de un argumento

93

8 8 0 . In scribir un r e c tá n g u lo de m a y o r área p osible en e l seg m en to de la p a rá bola y 2 = 2 p x corta d o p or la recta x = 2a. a

8 8 1 . H a lla r e l p u n to d e la cu rva

en el q u e la tan

gen te form e co n e l e je O X el á n g u lo de m a yor v a lo r a bsolu to p osib le. 8 8 2 . Un corredor tien e que ir desde el punto A, que se encuen tra en una de las o rilla s de un r ío , a l p u n to B , que se h alla en la otra. S abiendo q u e la v elocid a d de m o v im ie n to por la o rilla es k veces m a y o r q u e la d e l m o v im ie n to p or e l agua, determ inar

-r Q F i og. 28

bajo q u é á n g u lo deberá atravesar e l r ío , para lle g a r a l punto B en e l m en or tiem p o p o sib le . La anchura del r ío es h; la distancia entre los puntos A y B (p or la o r illa ), es d. 8 8 3 . E n e l seg m en to recto A B = a, que une en tre si dos focos lu m in osos A (de in ten sidad p ) y B (de intensidad q), h a lla r ol p u n to m enos ilu m in a d o M (la ilu m in a ció n es inversam ente pro p orcion a l a l cuadrado de la distan cia a l fo c o lu m in oso). 8 8 4 . Una lám para está colgada sobre e l ce n tro de una mesa redonda de radio r . ¿A qué altura deberá estar la lám para, sobre la m esa, para q u e la ilu m in a ció n de un o b je to que se encuentro en el borde sea la m e jo r p o sib le ? (L a ilu m in a ció n es directam ente prop orcion a l a l cosen o del á n g u lo de in cid en cia de los ra y o s lu m i nosos e inversam ente p rop orcion a l al cu adrado de la d istan cia al foco de lu z). 8 8 5 . De un tro n co redondo, de diám etro d, h a y que co r ta r una v ig a d e se cció n recta n g u la r. ¿Q ué anchura x y altura y deberá tener esta s e c c ió n para que la v ig a tenga la resistencia m áxim a p osib le: a) a la com p resión y b) a la fle x ió n ? Observación. La resistencia de la viga a la com presión es pro p o rcio n a l al área de su s e c c ió n transversal, m ientras quo a la f le x ió n es a l produ cto d o la anchura do esta s e c c ió n por el cuadrado do su altura.

88G. U na barra u n iform e A B , que puede g ira r alrededor del p u n to A (fig . 2 8 ), soporta una carga do Q k g a la d istan cia de a cm del p u n to A y se m an tiene en e q u ilib rio p or m edio de una fuerza

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I

94

Extrem os de las fun cion es y aplicaciones geom étricas de la derivada

v ertica l P , aplicada en su ex tre m o lib r e B . Cada cm de lo n g itu d do la barra pesa q k g . D eterm in ar la lo n g itu d x de la m ism a, de tal form a, q u e la fuerza P sea la m ín im a p o s ib le y h a lla r P m\n. 887*. Los cen tros do tres esferas perfectam ente elá stica s A, B y C están situ ados en lín e a recta. La esfera A , de m asa A i, ch oca a una v e lo cid a d v con la esfera B y la cu a l, recib ien d o una determ inada v e lo cid a d , ch oca a su vez co n la esfera C , cu y a masa es m . ¿Q ué masa deberá tener la esfera B para que la v elocid a d de la esfera C sea la m ayor? 8 8 8 . S i tenem os N p ila s e lé ctr ica s id é n tica s, con e lla s pode m os form ar baterías por p roced im ien tos d is tin to s , u n ien d o en tre sí grupos do n pilas en serie y , después, lo s gru p os así form a d os, ( e n n ú m ero

en d e r iv a ció n . L a in ten sidad de la c o m e n t e que

proporciona una batería de este tip o se determ ina p or la fórm u la j

N nz N R + n fr ’

donde e es la fuerza e le ctro m o triz de una p ila , r es su resistencia in tern a, y R es su resisten cia extern a. D eterm in a r para qué v a lo r de n es m a y o r la in ten sidad de la corrien te q u o p rop orcion a la b atería. 8 8 9 . D eterm in ar q u é diá m etro y deberá tener la abertura c ir cu la r de una presa, para que e l g a s to do agua p o r segu n do Q sea el m a y o r p o sib le , si Q — c y Y h — U* donde k es la profundidad del pun to in fe rio r de la abertura (ta n to h t co m o e l c o e ficie n te em pírico c, son con stan tes). 8 9 0 . S i x if x Zl x n, so n lo s resu ltados de m edicion es ig u a l m en te precisas de la m a gn itu d x , su v a lo r m ás p roba ble será a q u él, para el cu al la sum a de lo s cuadrados de lo s errores n

O~

( x — XiY

tenga e l v a lo r m ín im o (p rin cip io de los cuadrados m ín im o s ). D em ostra r que e l v a lo r m ás p roba ble de la m a g n itu d x es la m ed ia a ritm ética de lo s resu ltados de las m edicion es.

§ 2 . D irección de la co n ca vid a d . Puntos de In fle x ió n C o n c a v i d a d d e l a g r á f i c a d o u n a f u n c i ó n . So dice quo la g r á fic a de una fu n c ió n d ifo ro n cia b le y = f ( x ) es cóncava hacia abafo en el in terv a lo (a, 6) (o cóncava hacia arriba en ol in te r v a lo (ai9 &j)), si para a < * < ¿ el arco de la curva está situ a d o d eb a jo (o corresp on d ien te

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D irección de la concavidad. P u n tos de in flexión m ente, para ai < ^ x
/ '< * ) < 0

95

tan gen te trazada on cu alquier punto bx)) ( f i g . 29). L a c o n d ic i ó n su ficien co n ca v id a d esté d ir ig id a hacia abajo on el in te r v a lo corresp ondiente la

0 ) .

E n lu ga r de d e c ir que la g rá fica es có n ca v a hacia abajo, suelo decirse, que tie n e su convexidad dirigida hacia arriba. De form a análoga, para la g r á fic a c ó n c a v a hacia arriba, so d ic e tam bién que tiene su convexidad diri gida hacia abajo. 2o. P u n t o s d e i n f l e x i ó n . ^ E l p u n to (x0, f ( xq)) j en que cam bia do s e n tid o la co n ca v id a d de la g rá fica de la fu n c ió n , so lla m a punto de in fle x ió n ( f i g . 29).

Y

O

J—l —1 bx0 i

a

b,

X

i g . 29 Para la a bscisa del p u n to de in f le x i ó n ;r0, de l 0 g r á fic a 'd o la fu n ció n y = f ( x ) , la segunda derivada f n ( x0) — 0 o / ' (x0) n o o x iste . Los pu n tos en que i " ( x ) = ^ 0 o f" (x) n o e x iste , se lla m a n puntos críticos de 2a esp ecie. El p u n to c r í t i c o de 2a especie x$ os la abscisa d e l p u n to do i n f l e x i ó n , si f* (x ) con serv a sig n o s co n sta n te s, y con tra rios entre sí, on los in terva los xq — ó < ^ < ^ o y x Q< x < 3o + ó , d on d e ó os un número p o s it iv o determ i n a d o, y n o será punto do i n f l o x i ó n , si los sig n o s de f" (x ) en los in terva los a n te d ic h o s so n iguales. Ejemplo 1. D eterm in ar los in te rv a lo s de con ca vida d y con vexidad y lo s p u n t o s de i n f l e x i ó n de la curva de Gauss

y = e -* \ Solución.

T en em os: y ' = — 2 x e’

e y" =

— 2) e ~ x*.

Igu a la n d o a cero la segunda deriva d a p", h a lla m os los p u n to s crítico s de 2a especie

1

1/2

y

* 2= :

1 y 2

'

Estos pu n tos d i v id e n a i e jo n u m érico — c o < * < + c o on tres in tervalos: I ( — c o, # i), II ( x ít x z) y III (x2l + c o ) . L o s sig n o s de y " serán , respectiva m ente, + , «— y + (do lo quo es f á c i l con ven cerse, tom a n d o, por ejem plo,

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96

E xtrem os de Las funciones y aplicaciones geom étricas de la derivada

un punto en cada u n o de lo s in te rv a lo s in d ic a d o s y pon ien d o lo s corresp on dientes v a loros de x en y"). P or esto, la curva será: 1) c ó n c a v a hacia arriba

1

1

para — c o < * < ------- — y — < x < y 2 1/2

1

\

+

co;

2) cón ca v a

hacia a b a jo, para

/ i 1

so n lo s pu n tos de in fle x ió n — < . r < — — . L o s pu n tos ( — — ; 1 /2 V 2 l 1 / 2 y k. ) ( f i g . 30). Es de a d v e rtir, que d e b id o a la sim etría de la curva de Gauss respecto a l eje O Y f la in v e s tig a ció n del s ig n o do la con ca vida d de esta curva hubiera s id o su ficiente rea liza ría en el sem ieje 0 < : r < + c o .

Ejemplo

2 . H a lla r los puntos de i n f l e x i ó n de la g r á fic a de la fu n ció n

ymzy/x + 2. Solución.

T en em os:

(i)

Es e v id en te que y " n o se anula en n in g ú n s itio . Igualando a cero el denom inador del quebrado del segundo m iem b ro do la igualdad (1), tenem os que, y " n o e x isto para x = — 2. Com o y " > 0 para * < — 2 o j/ ' < 0 para — 2, el punto ( — 2, 0) es un punto de in f l e x ió n (iig . 31). La tan gen te a esto p u n to os paralela al eje de ordenadas, y a quo lá primera derivada y ' es in f in i t a para x = — 2.

H a lla r lo s in terv a los de co n ca v id a d y lo s puntos de in flex ión de las g rá fica s de las funciones: 8 9 1 . y = x 3~ 6 x2 + 12 s + 4.

896. y = c o s x .

8 9 2 . y = ( z + l ) 4.

897. y — x — sen x. 8 9 8 . y = x 2 \nx.

893* 894. y =

8 9 9 . t/ = a rctg a :— x.

x * + 12 ‘

8 9 5 . y — y 4 1/3 — Í2 x.

9 0 0 . y = (1 + x - ) e x.

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A síntotas

§ 3 . A s ín to ta s

-

9

1°. D e f i n i c í ó n. Si un p u n to ( s / y ) se desplaza continuam ente p o r una curva y = f ( x ) d e tal form a que, por lo menos, una de sus coordenadas tienda al in fiu it o , m ientras quo la distancia entre este punto y una recta determi nada tiende a cero, esta recta recibo él nombre (le asíntota de la curva. 2o. A s í n t o t a s v e r t i c a l e s (paralelas a l eje OY). Si existe un núm ero a ta l, quo lim / ( ; c ) = c o , x -* a

la recta x — a t s asíntota (vertical), 3o. A s í n t o t a s o b l i c u a s (respecto Si e x is te n lo s lím ites lú n

a

lo s

ojes

de

coordenadas).

"íU fc ,

•T-»-4-c*o

x

I,

y lim

[ / ( z ) ~ A - £2 ] = 61,

X -+ 4 -0 O

la recta y = A1ar-f-61 será asíntota (oblicua a la derecha o horizontal derecha (paralóla al e je OX) . = Si e x is te n ios lím ites

bien, si k ¡ = 0 ,

lim Í M . ^ k 2 x->—co x

y Jim [ / { z > — k2x ) = b z, X-v—oo

¡

la recta y = h‘2x + b i es asíntota (oblicua a la izquierda o bien, cuando &2 = 0 horizontal izquierda, paralóla al eje OX) , La gráfica de la fun ción y = l ( x (que so supone un iform e) n o puede tener más de una asíntota dorecha (o b licu a u h orizo n ta l), ni m ás de una asíntota izquiorda (ob licu a u hori zontal). E j e m p l o i . H a lla r las asíntotas de la curva

*2

Solución. verticales:

Igu a la n d o a cero el d enom inador, obten em os dos asíntotas x= —1 y

Buscamos

2 = 1,

las asíntotas ob licu a s. Cuando A 'j ^

lim — — X-v+oo %

T i• / \ h, == h m (u — x ) = ,

lim

tenemos:

— i = *, x y x ‘¿ — 1

x2m—X V * 3*~ 1 a --------- - ■----- -------- — 0 , *-4*~ V x> -i lim

7—1016

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p o r con sigu ien te, la asíntota derecha será cuando x - * — c o , tenemos: &2=

y=x.

A n álogam ente,

lim — — — 1; X-*— oo

b‘¿ =

la recta

Um

x

(y + s ) = 0*

x - > — co

De esta form a, la asín tota izquiorda es y = — x (fig . 32). La in vestigación de las asírilotas do osta curva puede s im p lifica rs e s i se tiene en^ cuenta su simetría. E j e m p l o 2. H a lla r las asíntotas de la curva # = s + l n x. Solución.

Como lim y — — oo,

la recta x = 0 será una asíntota v e rtica l (inferior). Investigam os la curva para h allar solam ente la asíntota o b lic u a derecha (ya quo : r > - 0). Tenemos:

k=

lim — —1,

b — lim ( y — x ) — lim ln x — o o . X-*4-C3 K->+«X) Por consiguiente, esta cu rva n o tiene asíntotas ob licuas. Si la curva viene dada por las ecuaciones param étricas a: = q>(¿); = en prim er lugar se investiga s i el parám etro t tione valores para los que

M\

-i

0 F i g. 32

una de las funciones q>(t) o i|)(¿) se hace in fin ita , m ientras que" la otra sigue siendo fin ita . Cuando (¿o) = c o y (p(¿0) = c , la curva tiene una asíntota vertica l, x =
lim ^t0 Km M Í O - - * ? (*)!= **

t->t0

la curva tendrá una asíntota o b licu a , y = kx-\-b»

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Construcción de las g rá fica s de las fun cion es p or sus pu n tos característicos

99

Si la cu rva so da en ;forma de ecu ación polar r = /(= / (; y = r son
H a lla r la s a sín to ta s de las cu rv a s: 9 ° 8 . ij = z - 2 + - ^ ~ = ^ . 902. y = ^ ¿ + 3

•

9 0 9 . y = e ~ * -|- 2.

w z-y = 904. 905.

910* V = r ^ z 1 9 1 1 . 9 = é*.

X*

y = Y x* — l.

906. y = ■ t [/

9 1 2 . y=-~ ■

sen x

913. y = ] n ( i + z ) .

4- 3

9 0 7 . y = - 4 i— -— . (/ — 1

914. x = l ;

y - ¿ + 2 a r c lg l .

9 1 5 . H a lla r la a sín tota de la espiral h ip e r b ó lic a r = '~ '

§ 4 . C o n s tru c c ió n de la s g rá fic a s do la s fu n c io n e s por sus puntos c a r a c te r ís tic o s A l con struir la g rá fica de una fu n ció n es necesario, ante todo, h allar el ca m p o de d e f in ic ió n de la m ism a y determ inar su com p orta m ie n to en la frontera de esle cam po de d e fin ic ió n . Es con ven ien te tam bién señalar previam ente ciertas pecu liarid a des de las funciones (si es que las tienen), c o m o son: la sim etría, p e rio d icid a d , permanencia del signo, m onotonía, etc. Después, hay que encontrar lo s pu n tos de d isco n tin u id a d . los puntos extrem os de la fu n c ió n , los pu n tos do in fle x ió n , las asíntotas, etc. Los elem entos ha lla dos perm iten establecer el carácter general de la grá fica de la fu n ció n y obtener su diseño m atem ático verdadero. E j e m p l o 1. C on stru ir la g rá fica de la fun ción

y

x

f

X 2- d

S o l u c i ó n , a) La fu n ció n ex iste en todas partes, m enos en los pun tos x ~ z k 1. La fu n ció n es im par, p o r lo q ue la g rá fica de la m ism a será sim étrica con respecto al punto O (0; 0). Esta circunstancia s im p lific a Ja construc c i ó n de la gráfica. b) Los puntos de d is co n tin u id a d son x = — i y x = l t a l m ism o tiempo que lim y lim t/ = =f=co, p o r con sigu ien te, las rectas j = ± 1 y =

1^0

s o n a sín to ta s vertica les de la gráfica. 7*

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100

E n trem os-d e la s fu n cion es y aplicacion es geom étrica$ d e l e derivada c) B u scam os 'las asíntotas ob licu a s. T en em os: A -,= ¿»1==

Hm “

*-►4-00 *

= 0, .

lim y = c o r ÍE-V-j-OO

p o r con sig u ie n te , n o e x is te asíntota, o b lic u a derecha. sim étrica, tam p oco e x istirá asíntota o b lic u a izquierda.

C om o

la g rá fica

es

d) H a lla m o s los p u n to s c r ític o s do I a y 2a e sp ecie, es decir, a q u e llo s pu n tos en q ue so anula o n o ex iste la prim era, o correspon dien tem en te, 3a segunda derivada do la fu n c ió n dada. Tenem os:

(1 )

3 f ( x Z - 1)4 ’ 2 x ( 9 — x2)

(2)

9 f (x* — \ y

Las derivadas y ' e y n d e ja n de e x is t ir ú n icam en te cu a n d o x = ± 1, es decir, sólo en a q u e llo s puntos en quo tam p oco e x is te la prop ia fu n c ió n y, p o r 6Dto, serán puntos c r ític o s s ó l o a q u e llo s en q ue y 9 o y" s e anulan. De (1) y (2), se deduce: y ' = 0 para x — ±

V^;

y 'z z z 0 para x — 0 y x = ± 3. De esta in te rv a lo s

form a ,

( — co,

y'

conserva ^ co n sta n te el (— V3,

sig n o

en

cada

— 1) , ( — 1, 1), ( l , V 3)

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uno

de

los

y ( l/3 , + c o ) .

C onstrucción d e la): gráficas d e las fun cion es p or sus .plin tos característicos

101

e y* en cada u n o de lo s in te rv a lo s ( — c o , — 3 ), { — 3, — 1), ( — 1 • 0) (0, 1), (1, 3) y (3, -f-c c ). , Para determ in a r qué ' s ig n o tiene y ' -'(o correspondientem ente, i/") en cada u n o de los in te rv a lo s señalados,' basta co n determ inar el sig n o de y ' (o de y *) en un p u n to cu alq u iera de cada u n o .d e estos intervalos. Los resultados de esta in v e s tig a ció n , para m a y o r co m o d id a d , se jncluyort en u n a ta b la (ta b la I), ju n t o con lds de lo s ¿á lc ü lo s d e ; las ordenadas de •. i : * : ’* ’ ‘ *• . . .1 ‘ . : • •'i : : !5 Tabla I

X "

0

|(0 , 1) |

1

( 1. 1 / 3 )

V 3 s a l , 73

3

(3, + c o )

+

1 ,5

+

+

+

+

o

---

( V 5 -, 3)

\ -

y

0

—

± co

+

y'

—

—•

no existe

--

y'

0

—

no existe

Con clu siones

La Pun to de fun infle ción xión decre ce; la gráfi ca es cón cava hacía abajo

0'

+* i

La fun Pun ción de to do crece; la dis- ■ gráfica con es cónca tinui va hacia dad arriba

+t Puntp mí nimo

’•l

! *

!"

.

' Ln ron- ' Pun La fun clón cre to do ción crece; lnfíe- la gráfica ce; la gráfica - xión" es cón es cón cava hacia cava abajo hacia arriba

lo s p u n to s ca ra cterísticos de la g rá fica de la fu n c ió n . D ebe a dvertirse, q u e d e b id o a q u e la fu n ció n y es im par, es su ficien te ' hacer los cá lc u lo s so la m e n te para z > 0; la m itad izquierda de Ja g r á fic a so reconstruye por e l p r in c ip io de la sim etría impar. o) Con los resultados d e la in v e s tig a c ió n , co n stru im os la g rá fica d© la fu n c ió n (fig . 3 3 ). s E j a m p i o 2. C on stru ir la g r á fic a de la fun ción ln x

S o l u c i ó n , a) E l c a m p o de e x isten cia de la fu n ció n es: 0 < * < 4 - c o . b) E n el ca m p o de ex isten cia n o h a y p u n to s de d isco n tin u id a d , p e ro .a l ap rox im arse a l p u n to frontera (a;— 0) d e l - c a m p o de -existencia,

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102


tenemos: ,. ,. lira y = l i m

ln x

x ~ *0

x -+ 0

— do.

x

Por consiguiente, la recta x — 0 {e l eje de ordenadas) os u n a a sín tota v e r tic a l. c) Buscamos la asíntota o b lic u a derecha u horizontal (va q ue la asíntota o b lic u a a la izquierda n o e x iste , pu esto que 110 es p o s ib le q ue — c o ): h — lim

— = 0r

X-++K> X

6=

lira y = 0.

P o r con sigu ien te, la asíntota horizontal derecha os ol e jo de a b scisas: p = 0 . d) H a lla m o s los pu n tos críticos. Tenem os: 1 — ln a: 2 Incr — 3

y ' e y° ex isten en todos los 'p u n to s dada e

d e l ca m p o

de ex isten cia de la fu n ción

y ' = 0, si l n ^ = l f o s d e cir, cuando x = e; y " = 0 , s i l n x = - ^ - , es d e cir, cuando x = e z¡2. H a cem os la tabla, en la quo in c lu im o s los pu n tos ca ra cte rístico s (ta b la II). En esto caso, además de los p u n to s característicos encontrados, e s co n v e n ie n te

h a lla r los puntos de in tersección H a cien d o í / = 0 , encontram os x = e l eje de abscisas): la g rá fica n o e) Con los resultados de fu n c ió n (fig . 34).

de \ se la

la g rá fica con los e je s d e coordenadas. (pu n to do in te rse cció n d o la cu rva con corta co n ol e je de ordenadas.^ in v e s tig a c ió n , co n stru im o s la g r á fic a de la

C on stru ir la s g rá fica s de las fu n cio n e s q u e se in d ica n m ás a b a jo , determ inando e l ca m p o de o x is te n cia de cada fu n c ió n , lo s p u n to s de d iscon tin u id ad , lo s p u n tos e x trem os, lo s in te r v a lo s de

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1

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1

. c , — V « 'fl o °o88& Cc Ô í 5 2 ü «

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(0,1)

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1« 03 o

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1 ^= £W 2 8 a l

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»

*

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104

E xtrem os de las fu n cion es y aplicaciones geom étricas d e la derivada

cre cim ie n to y decrecim ien to, lo s p la d ir e cció n de la|s con ca v id a d es y V* I «

916i i f s ’a * — 3s*. 917. y

938. y = 2 x + 2— 3 V ( x + r j *

-§£ - * * V

'

939. y =

9 1 8 . y = (x — i ) z ( x + 2 ). 919. y = j £ z z 3 1 1 í i ± Í L .

990 «W V *

^25

r

‘

9 4 1 . y == ¥ ( ¿ ~ T ) * + y { ¿ Z 5 ) '

942. y — - j = = = - .

a:

l/4 « — * 2

.

.

1

922.

943. y =

I

r

•

923. y = í í ± 3 . * * 2 9 2 4 . y = a;s + - - .

;

_

.

1 / a:3 — 4

944. y = ? ^ = f ,

’

* £

.

945. y « - - j ? - . V ? T J -2 )* 9 4 6 y = Xe- x¡

925. y = - ¡ q ^ .

947. y = ( a + - y - ) e “ .

9 2 6 . {/ = ¿ 4

9 4 8 . z = c 8* - * J- 1*.

qp7 927.

1

1

•

9 2 1 . g a g * * - 2.* + 3

| /5 ^ T .

9 4 0 . y = y / {?-(-4 )2- ^ ( í : = 4 ) !

1*»—5)8 / / —

*

.

4x

9 4 9 . y = ( 2 - h * a) e - *29 5 0 y ^ 2 ¡ x ] _ x *'

928- * = f e | -

951. y « ^ f .

929- y =

952. y = 4 p l n ~

93° 931. y = ^ ± l .

953. 2/ = - ^

'

. ...

.

954. y = (* + 1 ) ln a ( z + 1 ).

932. y = V z + y - S Z T x .

9 5 5 . y = ln

933. y - . / g + S - / g r ; .

y56

934. y = x ] / x 4 . 3 Q-l* “ S— q 935. y = y1 / a;3— 3x.

.

ln -¿ g + T r l

, 957, 0 = M

* i + « “ *)■ 1

936. y - V T T P .

958. y = ln ( e + — )

9 3 7 . y = | / 1 — a;3.

0 5 9 . y = s e n x -| -c o s a :.

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d ife r e n c ia l del arco. Curvatura

I

960* y = = s e n a H

sen 2x g-—

9 6 2 . y == sen 3 r e n c o s 3 2 .

964. y -

9 7 3 . y = # — 2arcctga r. 974. y = y + a rctg # .

9 6 1 . y = c o s x — eos? a;.

963. y ~

105

A sen s - f eos x sea x

9 7 5 . y = ln sh x . 976. y = A rch ( ^ + ~ r) * 9 7 7 . y c = e sen*.

s e n (¿ + ^ -)

978. y = e m

V ~x.

9 6 5 . y = sen x •sen 2x.

9 7 9 . y = *»■***.

9 6 6 . y — e o s x* eos 2x.

9 8 0 . t/ — ln s e n # .

9 6 7 . y = z-\* sen x .

981. y = ln tg ( y - y )

9 6 8 . y = a r e s e n (l — í ^ 2). níJn aresen x 9 6 9 . y = — .... . . : .y i-x *

•

9 8 2 . f/ = ln a : — a rctg a:. 9 8 3 . i/ = co s a :— l n c o s z .

9 7 0 . y = 2 x L~ t g x .

9 8 4 . y — a rctg ( l a i ) «

971. y — x a rctg # .

9 8 5 . y — aresen ln (a :a - ( - l ) .

1 9 7 2 . y = x a rctg — , si x 4= 0 2 X e y — p , si x — 0 .

986. y = x x . i. 9 8 7 . y = x x ..

T a m b ién se 'recom ienda co n s tru ir las g r á fic a s de las fu n cion es indicadas en los. N?$.N 0S. 8 26 — 848. C on stru ir la s g r á fic a s do las fu n cio n e s sigu ien tes, dadas en form a param é trica: 9 8 8 . z = t * — 21, y = t 2 + 2l. 9 8 9 . # = 0 ) . 990. x —

y — t e ' 1.

9 9 1 . x = t + e ~ t1 y ~ 2 l + e~2i* 9 9 2 . x = a ( A x t — ¿), y = a ( c h t — i ) ( a > 0 ) . § 5 . D ife re n c ia l del a rc o . C u rv a tu ra Io. D i f e r e n c i a l d e l a r c o . La diferencial del arco s de una curva plana, dada por una ecuación en coordenadas cartesianas x e y t so expresa por la fórmula i -d*.= V (d*)* -H si la ecuación do la curva tiene Ja forma: a) y = f { x ) t entonces ds = j / * i +

dx;

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106

E xtrem os de las fu n cion es y aplicacion es geom étricas de la derivada

b) x = fi (y), entóneos ds — /

c ) * =
i + ( w

) 2dr'

J/ = il>(í ). entonces d s = j /

( - ^ - ) 2+

'] / '

y

d ) F ( s , y) = 0 , entonces d s = — - ?— J L d x = \*yI

J7'2\

d t' J 7 '2

y dy. \*x\

Llam ando a al á n g u lo q ue form a la d irección p o s it iv a de la tangente (es docii% d ir ig id o en ol se n tid o doí crecim ien to d e l arco de la curva s) con la dirección p o s itiv a del ojo O X , tendremos: eos a —

dx ds

sena — É L ds En coordenadas polares, dS= l / ( d r ) a + (rd q > )*= j / r ^ + ( J ¡ L ) 2 dcp. Llam ando p a l á n g u lo form a d o por el radio p o la r de u n p u n to d e curva y la tangente a la cu rva en este m ism o p u n to, tenemos:

la

coS p = - ^ ,

ds 2o. C u r v a t u r a de u n a cu rva, en su punto M , a l lí m i t e

curva. So llam a curvatura K de una do la razón del á n g u lo q ue form an [las

direccion es p ositiva s de las tangentes a d ich a cu rva en lo s puntos M y {ángulo de adyacencia) ( f i g . 35), es decir,

a

la

lon g itu d

N

del a rco M N = A sy cuando N —* M

K = Jim -t— = - t — , As ds

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D iferen cia l del arco. Curvatura

107

d o n d e a os el á n g u lo entre la d ir e c c ió n p o s it iv a de la tangente en el punto M y el eje O X . R adio d e curvatura R . R e cib e el n o m b re d e ra d io d e curvatura R ia ca n tid a d in versa a l v a l o r a b s o lu t o de la cu rv a tu ra , es decir:

\

Las circu n fe re n cia s so n lín e a s

de

K

\

curvatura con stan te

( '- 4 -

donde a es

el ra d io de la circu n fe re n cia J r lo m ism o q ue la lín e a recta ( K = 0 ). Las fó r m u la s para c a lc u la r la s cu rvaturas en coorden adas cartesianas son las sig u ie n te s (exa cta s, a e x c e p c ió n del sig n o ): 1) s i la cu rva v ien e da d a p o r una e c u a c ió n e x p líc it a y = f ( x ) , la fórm u la será

V'

K

2) s i la curva se da p o r una e c u a c ió n la fó rm u la

K

F" r XX

F 1 xny

n

n *

F" yy

F 'y

n

F 'y

0

im p lí c it a

{F'*+F'*Y h

3) s i la curva se da en form a ií>(¿)7 en ton ces

K

param étrica *'

y’

x"

y"

F {x, y ) = ¿ 0 , se emplea

’ por

las ecu acion es x — y ( t )

(* '* + *'*)»/* ’

donde dx

~df Ed coorden a d a s tenem os:

'/ =

ÉL dt

x" =

d?x di 2 ’

*V

d?y d¿2

p o lares, cu a n d o la cu rv a se da p o r la ecu a ció n r — / (
r2 4 -2 r '2 _ rr» donde r' =

„. ________ d*r

dr d y

^

r

~~

d (p 2

o s c u l a t r i z (o c ír c u lo oscu la d or). Se llam a 3o. C i r c u n f e r e n c i a circu n feren cia oscu latriz d e una cu rva, en un p u n to M de la m ism a , a la p o s ic ió n lí m i t e d e la circu n feren cia que pasa p o r d ic h o punto M y por otros d os p u n to s P y Q d e la m ism a cu rv a , cu a n d o P — * M y Q —+ M . E l r a d io de la circu n feren cia o s c u la t r iz es igual a l ra d io d e curvatura y su ce n tro (
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108

E xtrem os de las fu n cion es y aplicacion es geom étricas de la derivada

Las coordenadas X fórm u las

e

Y

d e l centro de curvatura se ca lcu la n c o n -las

y 'í i + y '2) y*

Y = y +

i + y‘*

La evoluta de una curva es el lu ga r g e o m é trico de Jos cen tros de cu rva tura de dicha curva. Si en las fórm u la s para la d e te rm in a ció n de las coordenadas dol centro d o curvatura se consideran X e Y co m o Jas coorden adas v a ria b les de los pu n tos de la e v o lu ta , estas fórm u la s nos darán Jas ecuaciones paramótricas de dicha e v olu ta co n p arám etro .r o y (o s i ia p ro p ia cu rva v ien e dada p o r ecuaciones en form a param ótrica).

Fig. Ejem plo

36

1. H a lla r la e cu a ció n de la ev o lu ta

Solución.

4x3,

Y =

de

la p a rá b ola y — x*.

. E lim in a n d o

el

parám etro x t

h a lla m o s la ecu a ció n de la e v o lu ta en form a e x p líc it a

2/s E volven te de una cu rva. Se da este nom bre a una curva ta l, quo con re la c ió n a ella , la curva dada resulta ser la evoluta. La norm al M C a la e v o lv e n t e r 2 es tangente a la evoluta r j¡ la lon g itu d d e l arco CCi de la e v olu ta e s ig u a l al

increm entó correspond iente del radio

de curvatura — p o r cuya razón, la e v o lv e n t e r 2 recibo tam b ién ol nom bro de d esarrollo de la curva / \ , que se o b tie n e desenrollando un h i lo tenso e n r o lla d o a la e v o lu ta / ' j (fig . 36). A cada ev o lu ta lo corres ponde una in fin id a d de e v o lv e n te s, que responden a las d iv e rsa s lon gitu des in icia le s que puede tener ol h ilo . 4o. V ó r t i c o s d o u n a c u r v a . Se l lam a vértice do una curva al un to de la m ism a en que la curvatura, tiene m á x im o o m ín im o . Para eterm inar los vórtices de una cu rv a so form a Ja exp resión de la curvatura K y se h a lla n sus puntos, extrem os. En lugar de la curvatura K se puede tom ar

J

ol ra d io de curvatura

R =

I*

y se busca su p u n to e x tre m o , s i es que en

e ste caso es mas f á c il ol cálcu o. Ejemplo

2. H a lla r el v é rtice do la catenaria y = a ch — (a > 0).

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D iferen cia l del arco. Curvatura x 1 x S o 1 u c i ó n. C om o w '=^sh — , © y" = — c h — , a a a * = ----, _ x a cii2 — a

y,

109

tendrem os

p o r co n sig u ien te , Ü = a clí2 — . T en em os, que a

ax

q ue = sh

K — a

.

df í 2x Igu a la n d o a cero la derivada —-— , obten em os s h = 0, de d on de hallam os ax a

el único punto crítico x = 0. Calculando la segunda derivada

y Poni0Q-

d2R = — ch — = - >o. d x ,¿ a:=0 a a x—0 a ' P or co n sig u ie n te , x = 0 es ol p u n to m ín im o del ra d ío de curvatura (o ©1 m á x i m o de la curvatura) de la catenaria. E l v órtice de la catenaria y = d o en

e lla

el

v a lo r de x = 0 , obten em os

= ^ a c h - ^ - , será pu es, el p u n to ^4(0, a).

H a lla r la d ife re n cia l del a rco , y e l cosen o y e l sen o d e l á n gu lo q u e fo rm a , co n la d ir e cció n p o s itiv a del eje O X 7 la ta n g e n te a cada una de la s cu rva s sig u ie n te s: 993* x 2 + y 1 = a 2 (c ir c u n fe r e n c ia ). 994. - g - + - g - = l

(e lip se ).

9 9 5 . y 2 — 2 p x (p a rá b o la ). 9 9 6 . £2/ 3 y 2/3 = ¿z.Va (astroid e). 9 9 7 . t/ = a c h - ^ - (ca ten a ria ). 9 9 8 . x = a ( ¿ ~ s e n ¿ ) ; y = a ( 1 — c o s ¿ ) (ciclo id e ). 9 9 9 . £ = a c o s 3 ¿? y = a s e n z t (astroid e). H a lla r la d ife re n cia l d e l a rco y e l cosen o, o~el seno, del á n g u lo ^que form a e l ra d io p o la r co n l a ta n gen te a cada una de la s cu rvas .siguientes: 1 00 0. r = acp (espiral de A rqu ím edes). 1 00 1. r ( e s p i r a l

h ip e r b ó lic a ).

1 00 2. r = a s e c 2-|- (p a r á b o la ). 100 3. r = a eos2 -2- (ca rd io id e ). 100 4. r = a(* (esp ira l lo g a r ítm ic a ). 1 00 5. r 2 = a 2 cos2

cu rv a tu ra d e la s cu rva s sig u ien tes en

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lo s puntos

110

E xtrem os de las fun cion es y aplicaciones geom étricas d e la derivada

1006. y = x 4— 4x z — 18x2 en e l o rig e n de coorden adas. 1007. x 2 + -x y -(-y 2 = 3 en e l p u n to (1 ; 1). 1008. - ~ r + - p “ = l en lo s v é r tic e s A (a, 0) y B ( 0 , 6). 1009. x = t~, f/ = / 3 en e l p u n to (1 ; 1 ).

1010 . r 2 = 2 a 2 c o s 2

4

¿

1016. x = a c o s 3 ¿; y = a sen 3 2 (astroid e). 1017. x = a ( c o s £ - f / s e n ¿ ) ; y = a ( s e n l — t c o s í ) (e v o lv e n te de la circu n fe re n cia ). 1 01 8. r = a e kv (espiral lo g a r ítm ica ). 1019. r = a (l-¡-c o s < p ) (ca rd io id e ). 1020. H a lla r el v a lo r p a rá bola y 2 = 2 p x. 1021. D em ostrar y = a ch “

que

m ín im o d e l el

ra d io

radio

de cu rv a tu ra

de cu rv a tu ra

de

de

la

la catenaria

es ig u a l a la lo n g itu d del segm ento de la n orm al.

C a lc u la r las coordenadas del c e n tr o de cu rv a tu ra de las cu rva s sigu ientes, en lo s pu n tos que se in d ica n :

1022 . x y = 1 en el pu n to ( 1 ; 1 ). 1023. a y 2 = x 3 en el pu n to (a , a). E scrib ir la s ecu a cion es do las circu n fe re n cia s o scu la trice s de las curvas sigu ien tes, en lo s pu n tos q u e so in d ica n : 1024. y = x 2— 6 x + 1 0 en e l p u n to (3 ; 1). 1025. y = e x en e l p u n to (0; 1 ). H a lla r la e v o lu ta de las cu rvas: 1026. y2 = 2p x (paráb ola ).

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D ife re n c ia l d el arco. Curvatura

1 0 2 7 . -£ L + - g l = l

111

(e lip se ).

102 8. D em ostrar que la e v o lu ta de la c ic lo id e x = a (t — sen l);

y = a (1 — c o s j )

es una c ic lo id e desplazada. 1029. D em ostrar que la e v o lu ta de la espiral log a rítm ica r = aekv tam bién es una espiral lo g a r ítm ic a con el m ism o p o lo . 1030. D em ostrar que la curva x = a (eos t + 1 sen í);

(desarrollo de la circunferencia) y = * a (sen l — t eos i)

es la ev olv e n te de l a cir cu n fe r e n cia x = a c o s í ; y = a s e n * .

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C a p itu lo TV

I N T E G R A L I N D E F I N ID A

1 . In te g ra c ió n Inm ediata I o. R e g l a s p r i n c i p a l e s 1) S i F ' (x ) — f (at), entonces

para

la

integración.

J/(*)«to = F (x )+ C ,

C

donde C es una constante arbitraria. 2) ^ A f { x ) d x — A ^ f (x) dx, dondo A es una constante. 3) ^ f / i { x ) ± f z { x ) ) d x = ^ / , (s ) rfx i

4) Si

^

fXx)m dx = F (x) + C y u = y { z ) , se tiene, ^ / (a) du = F (u)-\-C.

En particular, ^ / (a s + fc) d x = -^ - F {ax-T-b) + C 2 o. T a b 1 a de i n t e g r a l e s

rv

I. ^ x n d x =

xn+l

C,

(a 4 - 0).

inmediatas.

n =i¿=— i .

II. ^ ™ = l a | a ;H - C .

S T 3 ^ = T “

V. t

fi

VI. í

le T + c - - T

. Í L =8— l n | » + V P + I | + C

y

aroo,sT + c ‘

(a = £ 0 ).

-f"a

/ ^ = - = arcsen — +C — ~ árceos JL +

J l / a 2+ a ;2

a

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a

Ci

(o > 0 ).

113

Integración inmediata

V IL

^ a* d x = z ^ + C

(a > 0);

^ ex dx = e* + C.

V I I I . ^ sen x dx =* — eos x - }-C. I X . ^ e o s x dx =5 sen * + C

x -

S

X L \ 7 ^ 7 = ~ ct« x + c X II.

* ctx dx , I x^V \ — -------= ln t g — -f-C = ln |co s e c x — c t g s | + C. «) sen £ | ¿ |

Im ' i X IV .

¿

-

l' | t ! ( T + T ) | + c - |' l , ' - +

» ! l + '-

^ sh a; d x = c h x -|~¿7.

«/ XV.

^ ch x dx = sh x-J-C.

xvl

i w

X V II.

^ -J ^ = -c t h * -K .

Ejem plo

=

,h i+ e'

4.

(ax*-\~bx-\-c) dx = ^ aa:2 c fa :+ ^ &x d x ^ ^ cd z^ =

x = a ^ x * d x + b ^ xdx~\~c\^ d x = a ~

+ b

— \-ex + C.

H a lla r las sig u ie n te s in te g ra le s , em pleando para e llo las reglas p r in c ip a le s 1 ), 2) y 3) y la s fó rm u la s de in te g ra ció n . 1 03 1.

^ 5a2z 6 dx.

1032. J (6z* + 8 x + 3) dx, 1 03 3.

^ x ( x + a) (x-\ - b) dx.

1034.

(j (a + b x 3) 2 d x.

1 03 5. ^ Y l p x d x .

1036.

\ -p -

•

J V í 8-1016

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Integral indefinida

114

1—n 1037.

J (n x ) 71 d x.

2

2 1038.

J (a 3— a;3) 3 ¿a:.

1039.

J ( / x + l ) ( x — V * + l)d a f.

,0 4 0 .

t

,0 4 1 .

í a z = * £ . d X. J l/a

1042.

\ j

f e

d*.

y
1043' J i C p í I0 4 í- 5 1045.

J

,0 4 6 .

? J 1/8 + X 2

1047.

? y 2 + z * - V 2 ~ xi dx ¿ "J/4— x*

1 / 4 + x2

i 0 4 9 . a) \ c t g - x d x ; J

1048*. a) \ tg 2 x d x ;

b)

^ c th * x d x .

1050. ^ 3 xe* dx.

b) ^ th 2 x d x .

J

3o. I n t e g r a c i ó n mediante la introducción bajo el s i g n o de la d i f e r e n c i a l . La regla 4) a m p lía con sid erablem en te la tabla do las integrales in m ed iatas. Precisam ente, gracias a esta regla, la ta b la de las integrales es v á l id a , independientem ente de q u e la v aria b lo de in teg ra ción sea una v a ria b le in depen dien te o una fu n ció n d i f e r e n c ia b a . E j o m p 1 o 2.

•4P

L

- ± . ^

+

2

c

- ±

<

^

+

c

- $ V G = 1 + c.

2

don de se supuso ^ = 5* — 2. Se em p leó ía regla 4) y la in tegral I de la tab la .

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Ejemplo

x dx

3.

y i+ * *

fS

d(x>)

2 j " i / i + ( x 2)a

115

i

= - i - l n ( x > + V l + * < ) + C.

2

De fo rm a im p líc it a , so c o n sid e ró que u = * 2 y so em pleó la regla 4) y la in teg ra l V de la tabla. Ejemplo

4.

\ x 2cx9d x f ex3 d (*3) = -^- e*n-|-C de acuerdo con la * *' ■) regla 4) y la in tegral V I I de la tabla. En los eje m p lo s 2, 3 y 4, antes do a p lica r las integrales de la tabla, tra n sform a m os la in te g r a l dada a la forma ^ / («p (*))
H a lla r las sig u ien tes in teg ra les, em plean do para e llo la s reglas p rin cip a le s y la s fó rm u la s do in teg ra ción . P ad d.x

1051**,

1063*,

\ a—X 2* + 3

1052**.

i 2* + l

1 —*3*

*1053.

3 + 2*

dx.

s

+ 1

V * + ln *

1064.

dx.

dx.

y *2

X

dx

1065.

3*2 +

x dx -\-bx

,1 0 5 4 . 1055. 1056.

+ 1 f *2 x + dx.

1057. 1058.

]

f t ,± lf ± l d x } z+ 3 a x

1060*.

S

1062.

p

Ü

7*2— 8

i

•

dx

(a + ó) — (a — ó).r 2

2^ -

*2 dx. *2+ 2

1068.

S

1069.

c. J

-

^ J ± £ ± i dx¡

\ (« +

*

{0< ó< a).

x—\

1059.

1061.

1067.

5

dx

1066.

a x 4- b dx. a* + P

d x.

1070. 1071.

*3 ,, dx. 12

P * 2_ 5 j + 6

)

X2 + A

aX~

dx y 7 + 8*2

&¿y

1072.

J y i~ y ' ^ y a — b x dx.

1073.

dx

y 7 -~ 5 * 2 % —5 2 8*

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In tegra l Indefinida

116

1074. 1075. 1076. 1077. 1078. 1079.

s s s s s s

1080.

1083.

1093.

s

: dx. V o lM T í

1094.

jj s . 7 * adx.

1095.

Sí

* + 3

dx.

| /* * -4 * dx

X2~5 ’

1096.

x dx

2x» + 3 ‘ a*-}-6 dx. a ^ -f.6 2

1097.

s

dx.

S 5,/

* •

1 7 = i dx-

1098.

^ e x \r a — bex d x .

1099.

C 5 í í \ (eu-| -l)3 ea dx.

1 1 0 0 *.

i

1101

.

C . /"a re s e n * , i

£ -(* 2+ 1)2 dx.

* dx

V a*^7* ' *2 T I ñ dx. 14-*°

1081. 1082.

3 — 2ac dx. 5*4-7

V

T ^ -.x * ~ d x '

r arctg

,

4

1102

.

ÍJ d* i 2* + 3 * ?

a x dx

i

1 4 -« 2*

Si

*

,-b x

e- 2 bx

d x.

e f dt

1103.

[ ■ ________ c y i —
1085.

1104.

H sen (a +

1086.

1105.

\ eos r=- dx. J 1 /2

1106.

^ (eos a x 4 -s e n a x )2 dx.

1107.

S

1108.

J sen ( lg x ) ^ .

1109*.

^ sen2 x dx.

1110*.

^ eos2 x dx.

111 1.

J sec2 (a x 4- 6) dx.

1084.

44-*2

(l+ s * )ln (H - Z i + x * ) 1087.

ae - mx dx.

1 08 8.

j 4 2” 3X>dx.

1 08 9.

^ (ef — é~l) d i .

1090.

i» 5 -2 (. (ea 4 - e a)2 dx.

1091. 1092.

• (a* — 6*)2 a2 * - l V a*

,

dx.

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dx.

117


1112.

In s. •

1114

1128.

$ctg*«**r.

f * f - % J S6a«"

<<2 9 1130. ?

1131. \ Y i -i-3 co s2a ;s e n 2 x d x .

» 15-

S lS T íi+ J T -

"

S á f e -

l ' 32- ! « ' f " í

\ x s e n {1 — x 1) d x . 4 \ ( ----- -— — — 1 \2 d x.

1 11 8.

* sen x / 2

t

1120.

i l g * dX■

^ H

1134.

| f í i i z .

1121.

1J35

P \+J^Jxd JJ ÜUb-o* eos2 3x

1 136.

f (cosox + s e n . »)» ^ J

11137. 13 7.

*

^

1122 .

1 13 8.

tg y 1123.

sen ax

\ ■ .6 cosec* $ “ sec: ” x - ¿X.

^ d x .

Jctg

* -

¿ sen-4®

r* \ ctg x d x .

I

T f c

* 139- S

A 1119.

^

J y c o s z x — sena ®

3 eos ^5x

1117.

son j c° s x

¿;e

Í

16-

'\ - ^ L d x .

a

®

(2 s h 5 :r — 3 c h 5 ;r )¿ ;r .

1139. J s h 2 x d x .

J t g l / í ^ .

1 14 0. J

dx shx

1124.

$ * c t g (* * -j-l)d z .

1141.

1 12 5.

í

1 14 2.

\

1126.

\ c o s is e n --d x .

1143.

^ thzd z.

1127.

^ sen3 6 x eos 6 x dx.

1144.

^cthzár.

^ -------.

¿ sen x eos x

. dxr— .

¿ s h x en a:

H a lla r la s sig u ien tes in te g ra le s in defin ida s: 1145.

^ x y 5 - í 2 dx,

1 14 6.

J

‘

1147.

x5-\~5^z ’

1 14 8.

jj x e - * 2 d x.

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118

In teg ra l indefinida

s

1149. 1150.

3— y 2 + 3*2 , — 2+ 3 * dx•

?

1169.

dx

o ~y^

y 2

'

\

1152.

i — sen x dx. x -J- eos x

1170.

tg 3 x - c t g 3 x , sen dx ax-

1171.

\

1153.

s s

1154. 1155.

1172.

dx

x l n 2x * sec2 x

~Ztga x — 2 9

1173.

dx.

_ 2 \ dx ' 2x 2-f_j f 2x 2+ l *

H

1156.

\

J y * + i

1176.

1160. 1161.

S S

s

^ ¿sen2 x s e n 2 x d x .

í f ^

■ 5-

J «“ + i ■ r dx J <« + 6) + (a — 6 ) *

dx

S

dx sen ax cos ax

\

tg 2 ¿ x dx.

1178.

^ son

1180. 1181.

cos — a

\

1165.

\

t g y w

\

dx.

1182.

i - J i - .

1183.

[/x — 1 x dx

1184.

dx.

J 1 /4 -2 2 ê V

dx.

1185.

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* sec2 x dx. sen x eos x ^ ^

i 1 / 2 — sen4 x

i

sen2 x eos2 x

aresen x ~^x cj x

V i - *

¿ sen (x2)

\

< P o)^ -

T

x árceos —

dx

y t + ln x

2nt

dx x ( 4 — ln 2 x)

1179.

V 4 — tg2*

1104.

a).

V V eW » -T 2 6* -

1177.

seo2 x dx

í

fe _ ¿ r .

J y 4—3 *

1 /1 — **

1163.

1167.

X

s e n 2 ^ ¡- d x . z

1162.

1166.

SA*-

(0 < ¿ <

1158. 1159.

1174. 1175.

a sco X c o s ^

1 15 7.

—d x .

X8 — 1

S í T Í * ' 1151.

sen x — co s x ,

1168.

s

soc x tg x y sec2 a: + 1

dx.

M étodo de sustitución

4 ^ 0 3 * 2 1 dx-

1186-

l

t l8 7 ‘

\ r

&

i '

119

1189-

J í * c h ( * » + 3 )d * .

1190-

S

í r * '

1188.

§ 2 . M éto d o de s u s titu c ió n I o. S u s t i t u c i ó n , o c a m b i o i n d e f i n i d a . Poniendo

de

variable

en

la

integral

* =
una nueva

v a ria b le y

J

q> una fu n ció n

con tin u a d iferen cia b le,

/[ * < !) ]

(1)

La fu n ció n

5

x~ [/ x — 1 dx.

S o l u c i ó n . E s natural p on er t = ~ l / x — 1, de donde x = = 2/. dt. P or consiguiente: ^ X 1/7^1 d x=

y dx*=

(¿2 + l) f - 2 f á í = 2 ^ (£4 + í2 )d í =

- y

t» + - J * » + C - y ( * - l ) 5 + - | ( * - l ) * + C .

A lg u n a s veces se em plea la s u s t it u c ió n dol tip o « = tp(x). S upongam os, que hem os con se g u id o g r a l / (x) dx a Ja form a sig u ie n te:

transform ar

la e x p resión subinte-

f (x) dx = g {u) du> d on d o u — q> (*). S i la

\ g ( u ) d u es co n o cid a , es decir, V

\ g ( u) du = F (u) + c , tond remos J f{x)dx^F[cp(x)) + C E sto p ro ce d im ie n to es e l que y a u t iliz a m o s on el § 1, 3o. Los e je m p lo s 2, 3 y 4 (§ 1) s e p o d ría n haber resuelto do la forma siguiente:

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120


Ejemplo

2 . u = 5ar— 2; du = 5 d z ;

du, o

r

J

dx y s r r j

i

= ~ i

?

du

i

u 2

y r = X —

,

* 2

. ______

+ c = — V 5*-2+c.

2 E j e m p l o 3. u = x- ; du = 2x dx; P

z dz

l f

rfu

x dx— ^ - .

1------------------ -----------

i v r p r = — i y f ^ r = - r , n í“ + V i + * “ ) + ^ » 1 = — ln (I 2 + y i + *«) + <7. Ejemplo

4. w ^ a r3; ¿fw = 3x^ â:; z 2 d x

íí» du T

‘

^ *2*** ¿a = - g - J e«du = - | - e « 4 - C = - | - *** + £• 2#. S u s t i t u c i o n e s t r i g o n o m é t r i c a s . 1) Si la integral c o n tie n e el radical ~[/a2 — ¿3, generalm ente x = a sen t\ de donde

se

hace

~]/a2— z 2 = a e o s t . 2) Si la in tegral c o n tie n e el ra d ica l l / x 2— a2, so hace x = o s e c t; de d on de ~\/x2 — a2 — a t g / . 3) Si la in teg ra l c o n tie n e e l ra d ica l ~\/x 2-\-q2, se hace x = a t g t; de donde ']/ x2+ a 2 = a sec / . H ay que advertir, quo las su stitu cion e s trig on o m é trica s n o so n siempre las más convenientes. En cie rto s casos, en lugar de las su stitu cion e s trig on om é trica s, es pre fe rib le emplear las sustituciones hiperbólicas, c u y o ca rá cter es an á logo (véase el ej. 1209). En el § 9 se trata más d etalladam ente de las su stitu cio n e s t r ig o n o m étricas e hiperb ólica s. E j e m p l o 5. H allar

Solución.

S

H a cem os x = t g /. P o r co n s ig u ie n te , dx

V ^ + I . = ? J x2 x

y tg t(+ i tg2 t

= [ át = f J sen2 / e o s / ¿

di s ? eos2 Z “ j

sen2 / + eos2 ¿

seu2 /«co s¿

eos2 t

t sen ¿ e o s 8 / di son8 / e ooss2 2í — T d/ j eos /

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P eos/ ' J sen2 /

1

M étod o de sustitución

la |tg ' -f-sec t |

+

l/i+

tg i

í

t g í - f - V l + tg * í |—

+ C = ln | z + y r * 2+, l- ,|—

y w + i x

+ c.

4191* H a l l a r la s s ig u ie n te s in te g ra les, u tiliz a n d o para e llo la s s u s titu c io n e s indicadas: dx a)

* l/x2— 2 ’

í

dx

z=

e*+l ’ c)

d)

i

X

— l n t;

J s ( 5 x 3 — 3 )7 d x , 5 x 2 — 3 = í ; f

xdx

J y

í T

t = Y x - f - 1; r '

v

f

COS 3: ¿a:

e)

¡

V l+ s e n 2x

¿ = sen

H a l l a r la s in te g ra le s sig u ien tes, em p le a n d o para e l l o las susti tu c io n e s m á s adecuadas:

1192. J x { 2 x + $ )í 0 d x + X

+ l/x

1197.

l / l —*

dx.

1198. J

1194. \

-

1199.

1195. í

■

1200*. J

1193

• S t Í

J a: l/2a: + 1

0 V e* —1

1196. J[

ln 4 *

dx. + 1 sen3 X d x. Jr | /c ó s V

in te g ra le s ,

*“

&

dx

* Y l + x* ‘

em plean do s u s titu cio n e s

1205 . S T

e 2x

a:

H a l l a r la s sig u ie n te s g on om é trica s:

I2»* '

dx.

l - V ¿ ±±dx.

1206*-

• J W

S

^ T /c r g r -

1207- J ] / r ^ 2
1203. J ■

1204*. í — = = • J xV x*-

1

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tr i

122

In tegra l indefinida

1208. C a lc u la r la integral f ■■ i *(1 -*) v a lién d ose de la s u s titu c ió n a: = sen2 ¿. 1 209. H a lla r ^ Y a 2 -\-x2 d x t e m p le a n d o la su stitu ción h ip e r b ó lic a x = a s h t . S o l u c i ó n . Do donde, "

^ |/a24* x

= ' j / a ‘2 + a 2 s h 2 í*=aa ch

Tenem os,

ty

d x c = » a ch

t dt.

#

dx = ^ a ch t •a ch / dt =

= a2 J ch*t <**=«* J -cll.2^ ± l dt = ^ - ( - L Sh 2 í + < ) + C —

(sh t c h t + t ) - t C .

Com o sh t =

x —

~\Za? + z * ch t — ------

,

y

_______

x + y as + x 2 e * = c h t + ah t =

--------------

,

tendrem os en d e fin itiv a :

J y a 2 - \ - x 2 d x = ~2~ '] / a * -\ -z * + - g - La (a; + d o n d o C j =s C

a2 —

ín a os una n ueva co n sta n te

’l / a 2 + * * ) + ^ i *

a rb itra ria .

1210. H a lla r

h a cie n d o

P

x 2'd x

J

y¿2Z^2

*

z — a c h t.

§ 3. In te g ra c ió n p o r p a rte s F ó r m u l a p a r a la i n t e g r a c i ó n p or y t> = t|)(x) s o n f u n c i o n e s d i f e r e n c i a b a s , t e n d r e m o s \ u dv = uv — ^ v d u . E j e m p l o

1. H a l l a r ^ x ln x d x.

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p a r t e s . que

Si

u =
123

Integración p or partes

P o n ien d o u = l u x ; dv = x d x y tendrem os du C

- z2 ,

(* x 2 íta

— ; ¿>= 4 - - . De donde, a: L x2

a:2

.

J , l „ « « t e = - r l a « - J T - — = - 2_ l n i _ _ - ( - C .

A veces, para redu cir ia integral dada a una inm ediata, hay quo emplear varias veces )a fó rm u la de in te g ra ció n p o r partes. En a lg u n os casos, v alién dose de la in teg ra ción p o r partes, se o b tie n e una ecu ación , de la que se d eterm in a la integral buscada. E j e m p l o 2. H allar ^ ex coa x dx. Tenem os é* eos x d x — ^

d (sen x ) = ex sen x — ^ ex son x d x = cx sen x -f^ ex d (eos z ) = ex sen x - f ex eos x — ^ ex eos x dx.

P or con sigu ien te, ^ e x eos x dx = ex sen x -f- ex eos x — ^ ex eos x d x y de donde r» ..

ex

\ ex eos x d x = —

(sen x + c o s s ) + C.

H a lla r las sig u ien tes in tog ra les, u tiliza n d o la fó rm u la para in teg ra ción p o r partes:

la

1 211.

ln x d x.

1220*.

1212.

^ a rctg x dx.

1221.

1213.

J aresen x d x.

1222*. \^ (a:2-f- 5 x + 6 ) eos 2a; d x .

1214.

jj x s e n x d z .

1223.

J x z ln x dx.

1215.

^ x eos 3a: dx.

1224.

J ln 2 z dx.

1225.

J I n * dx. X3

1226.

ln x , J — — ax. Vx

1218** . ^ x " e s x dx.

1227.

J x a rctg x dx.

1219*. ^ (a;2 — 2 x -j- 5) e~x dx.

1228.

J x aresen x dx.

1216. 1217.

5 ?•<*»• J x - 2 - x d x.

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^ x 3e

3 dx.

\ xsen xcosxdx.

Integral Indefinida

124

1229.

^ ln {x -f- Y 1 + x ~) dx.

1233.

J 3*cosa;da;.

1230.

P xd x ¿ sen2a:

1234.

^ e“ * s e n b x d x .

1231.

C x eos x , i sen2 x d x -

1235.

íj sen (Ina;) dx.

1232.

\ e*sea x d x .

H a lla r las sig u ie n te s diraientos:

intégralos,

em plean do diferentes

1236.

^ x*e~**dx.

1246. \ -l resen_ V - dx. i y í —x

1237.

J

1247.

^ x t g 2 2x dx.

1238.

J ( i 2-

1248.

J

1239.

[ x l n ^ d x . J 1+*

1249.

^ eos2 (ln x ) dx.

1240.

J

1250"

S s q V '-

1241.

dx. 2 x + 3) ln x dx.

proce-

dx.

dx.

J SRS^H dx.

1251 *

[ ___

dx

• J ( * * + a 8)8

*

1242.

^ x 2 a rctg 3a; dx.

1 25 2 *. J Y ^ — x ^ d x .

1243.

^ x (arctg x ) 2 dx.

1253*.

1244.

^ {arcsen x ) 2 dx.

J Y A + x * d x.

S V 9E - z 2

1245.

y - 2 ^ d z .

§ 4. In te g ra le s e le m e n ta le s que c o n tie n e n un tr in o m io cuadrado Io. I n t e g r a l e s

d o 1 tipo

mx-\-n . . dx. flx¿ + 6x + c

^ -

El

p roced im ien to

p r in c ip a l de c á lc u lo co n s is te en rodu cir el t r in o m io de segundo grado a form a: bx 4 - c = a ( x + k)2 + 1,

la (1)

d o n d e k y l so n con stan tes. Para efe ctu a r la t ra n sfo rm a ció n (1), lo más c ó m o d o es com p leta r cuadrados en e ! t r in o m io de segundo grado. T a m b ié n se puede em plear la su stitu ció n 2ax + b = t.

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In teg ra les elem entales

que contienen un trinom io cuadrado

125

Si m = 0, re d u cien d o el t r in o m io de s e g u n d o grado a la form a (1), o b t e nem os las in teg ra les in m ed ia ta s III o I V (véase § 1, 2 o, tabla de las in te grales elcm o n ta le s ).

Ejem plo i. f

dx

1 P

dx

(—

f +

(

- §

M

T

- - §

r

5\

5

* 5 .)* + — 16

•

2

-

a rctg ! ^ - + C =

y a !' — 4

j/s í 4

Y 31

S i m =£. 0 , del de s e g u n d o grado

nu m erad or se

separa

la

derivada

C mx + n ? ' 2^ (2fíX + 6 ) + ( ' l ’ " 2 7 ) ) a z* + b x + c aX~ ] axt + b z + c

‘ 1 /3 2

2 a x - j- b d e l trin o m io

dx —

■£rln | « a+ f c * + « i + ( » ~ 3 r ) S o x » + ¿ j + 7 » y de esta form a n o s e n c o n tra m o s c o n una in te g ra l c o m o la q ue analizam os m ás a rriba .

E j e m p l o 2. , f t <2 - ‘ > - 4 d¡c= ) — á g - ® — 1

(

1 x2

5-

(*

2 )

4

2 o. I n t e g r a l e s

í .

,

......................... -2~ ' —1— i

. „

. .

1_

= Y l n \ x * - x - i \ — rT 7=\n 2 \/5

del

tipo

? —

2 » -i-y g 2® — 1 + 1/5

m x + n _—

L o s m é to d o s do c á l c u l o so n a n á lo g o s a lo s e x a m in a d o s más arriba. En d e f i n i t i v a la in tegral se red u ce a la V' in te g r a l in m e d ia ta , s i a > 0, y a lo VI, si a < 0 . E j e m p l o 3o.

Í

dx

i/2 + 3 ® ~ 2 ® 2 -

1

í1

y 2

l

dx

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1

4x

y r arcsen_


126

Ejomplo

4 o. tía;

i

V ^ + 2* + 2

2 J

y * * + 2*+ 2

¿ V ( * - H ) 8+ l

= V i 2 + 2a: + 2 - ! - 2 1 n ( í + l + y a ; a - f 2 * + 2 ) + C’ . 3°. I n t e g r a l e s

del

tipo

cía: ( / » £ - } - « ) |/a¿r 2 + b x - f - c

U tiliz a n d o la s u s titu c ió n inversa

1 mx + n

= *,

estas in to g ra le s so reducen a l tip o 2 o. E j e m p l o 5. H a l l a r dx x + i ) l/a ja +

Solución.

1

P on em os

x+ i de d on de dx =

dt

t2 •

Tenem os: dt

t*

dx [x + í ) y

dt

V i — 2í + 2¿2

* + 1

1

di

= - ln

V 2

+c= 4 o. I n t e g r a l e s

del

tipo

‘ - T +

— ln

/

,z - ' + 4

■1— x + V 2 ( j 2+ 1)

■1/2

^ Y a x % + b x + c dx,

X +

í

C o m p le ta n d o

+

+ C. cu a

drados en el t r in o m io do s e g u n d o g ra d o, esta in te g ra l so reduce a una de las d o s in teg ra les p r in c ip a le s sig u ie n te s (véanse los Nos, Nos 1252 y 1253):

1) ^ 2) J l / W + A d x = ^

]/¡2 T j2

rcaon

y & + A + ± l n \ x + y & + A ] + C.

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Integración de fun cion es racionales

Ejemplo

127

6. 1/ 1 — 2 x — x * d x = ^ ‘1 /2 — ( ! + *)*<* ( ! + * ) = = y 1 — 2* — X2

+ aresen

C.

1/2 H a lla r las in tegrales:

1255. J 1256. J '2 5 ? .

1268. J

dx

32+ 2 i + 5 ' dx x* + 2 x *

1269. J

J 53 ^

'

1270. . • S

1258. J 1259. J

* 2~ ? * - H 3 ’

J * 2+ 3s + 4

J

, ____ _

( * - i ) y a2—2

dx ( x + l ) y r 2+ 2*

1272. f y * » + 2 * + 5 ¿X.

¿x.

6*+10 ’

1262. f — —

1273.

\ y x — x 2 dx.

2274.

J V 2 ~ * -a ;* d * .

dx x dx

-3 V 2-} 3 i — 2 x 2

1275.

J y * —*a

1276

\

y * 2+ p * + s 3a: — 6 - ¿te.

1277.

J

”\/¿r2 — 4* -f- 5

1278. J

1264. J 1265

dx

dx

1261

1263

a:

1271. (

3* — 2 dx. * 2 — 4.c -j- 5

1260. \

y i-^ 2

■s

1266. f

cos *

7, d x.

J son3 * — ó s e n x + 12

¿z

28 ~ 8

J y i — a — í®

1267. J

x* —4íF-\-$ '

rfar.

* _______

y5z2_22+i

1279. [

ría;.

§ 5 . In te g r a c ió n de fu n c io n e s ra cio n a le s I o. M é t o d o d e l o s c o e f i c i e n t e s i n d e t e r m i n a d o s . La in te g r a c ió n de una fu n c ió n ra cion a l, después de separar la parte entera, se reduce a la in te g r a c ió n de una fracción racional propia *<*>

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428

don de P ( x ) y Q (:r) son p o lin o m io s enteros y e l grado del num erador P ( x ) e s m en or que e l del d en om in a d o r Q (x ). Si

Q(x) — (x — a)a . . . ( x — l)X, d o n d e ay . . . . I so n las diferentes raíces reales d e l p o lin o m io Q { x ) y a , X s o n números naturales (grados de m u lt ip lic id a d do las raíces), la fr a c c ió n (1) podrá descom ponerse en fra ccio n e s sim ples: ^ (X)

—

A i

j

i

A 2

i

A

■

cc

' •' + Í ^ T + < * - V + ' " + Para calcular lo s co eficien tes de la identidad (2) se reducen coeficien tes de cada una de las j r o c e d i m i e n t o ) . T a m b ién ando la x , en la igualdad (2) dam ente eleg id os ( s e g u n d o E j e m p l o 1. H allar

Í

Solución.

<2)

indeterm inados Af, A L y , ambas partes a la form a entera y, después, se ig u a la n los potencias iguales de la v a ria b le x ( p r i m e r se pueden ca lc u la r estos coeficien tes iguao en su equivalente, a cie rto s números d e b i procedimiento). x dx

1

'

I.

( s - 1 ) (* + l)*

Tenem os:

*_________ A ( x ~ l ) (* + l )2

,

Bi

*—1

■

* + 1

B2 (* + !)* '

d e donde x = A (x + í ) * + B t ( x - i ) (* + l) + S 8 ( * - 1 ) .

(3)

a) Primer procedimiento para la determinación de los coeficientes. C opiam os la identidad (3) dándole la form a x = (.¿ + # 1) s:2 + (2/ t 4 ' ^ 2) ^+*(-4 —

— B%).

Igualando lo s co e ficie n te s de cada una de las p oten cia s iguales de x , tenemos 0 = ¿4 4

- 4

—

0 = / l — B j — B 2.

De donde

1 ¿ = 4 -;

1 « i - — y ;

1 ^2 = — .

b) Segundo procedimiento para la determinación de los coeficientes. Haciendo x = \ en la identidad (3), tendrem os:

l

l = ^ l - 4 , es decir, A — — . H acien do a: = — 1, tendrem os: — 1 = — B z -2,

es decir, # 2 — y

H a cie n d o después £ = 0, tendrem os:

0 — ^4— -B*— B2t

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*

Integración de fu n cion es racionales

129

P o r co n s ig u ie n te , 1 f ~ 4

dx

1 í*

\ x -1

4

dx

}

. I T

x+ i

dx

2 )

(*+ o * 6' =

= T

ln I " " 1 l - T

ln ' " + 1 ! “

T

F

Í +

m

1 2 ( * + 1) E jem plo

2.

.r— 1 T ln

x+ 1

H a lla r

s

& = /. x'¿ — 2x'* + x

Solución.

T en em os, 1

1

x ¿ — 2 x Z -\ -x

y

x ( x — \)2

A

,

B

x

1

x —

1

'

{x —

\ = A ( x — l ) 2-\-13z(x — l ) + Cx.

%

1)2 (4)

A l resolv er este e je m p lo , s o re co m ie n d a c o m b in a r lo s dos p ro ce d im ie n to s para la d e t e r m in a c ió n de lo s c o e fic ie n te s . U t iliz a n d o el seg u n d o p r o c e d i m ie n t o , h a cem o s x ~ 0 on la id e n tid a d (4) y ob ten em os t = -4. L u e g o , haciendo z = i , ten drem os q u e 1 = (7. D espu és, em p lea n d o el p rim e r p roced im ie n to, ig u a la m o s en la identidad (4) lo s c o e fic ie n t e s de x 2. Tendremos; O — A - j - B , es decir, B = — 1. De esta fo rm a , A Û

£ = - 1

y (7 = 1.

P o r co n s ig u ie n te ,

S i el p o lin o m io Q (x ) tiene ra íces c o m p le ja s a ± ib de m u lt ip lic id a d fr, en la d e s c o m p o s ic ió n (2) e n tra n adornas f r a c c io n e s s im p le s de la forma M j* + N x x*-\- px-\-q

, '

_ M kx + N h "t'( ® á . ( . p a; . ( . í j7r >

donde 1-3 t P * + ? = [ * - ( « + «&)] l * ~ ( « -

ib)\

y M it N i , M ) l, Nh son c o e fic ie n t e s in d eterm inados que so ca lcu la n por los p ro ce d im ie n to s in d ic a d o s más a rriba . G uando /í = l , la fr a c c ió n (5) so in teg ra d ire cta m e n te ; cu a n d o A r > l , se em p lea e l procedimiento de reduc c i ó n , recom endán dose que p rev ia m en te se le d é a l t r in o m io do segundo grado x 2 -\~px-\-q la fo rm a ( * + - £ - ) Ejem plo

Solución.

3.

+ (?—

Y so lía£a

H a lla r

Como

s

*+ i (** + 4 * + 5)*

dx — /.

X

9—1016

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susLitución a ? - } - y = z .

130


poniendo x + 2 = z, tenemos:

,

f 2 -1 ; J ( ^ + 1)2 2

$ zdz i (22+ l)2

= = - 2 ( Z2 + l ) " S

P (l + z2) - z 2 , (Z2 + 1)2 ^

'P + T + S

[ ~ 2 (22 + 1) ] = ”

z i 4 — arctg z — - j z , ,T H - t t a r c t g 2 2 (* * + l)

2 °. M é t o d o se tiene,

do

P (x)

,

j

o (*)

2 (a * + l)

I T Í ^ ± i _ _ _ 4 - a rctg { a : + 2, + C.

Ostrogradski. ?

Z+ I

1 2 “ l " Vb

- 4 - arctg Z + C = -

2(22 + 1 ) '“

X (x)

Si Q (x) tio n o raíces . f

y (* >

m ú lt ip le s ,

,

Qi ( * ) + 1 e 2 <*)

, px

’

{ >

donde Q { (x) es el m áxim o com ú n d iv is o r del p o l in o m io Q (x) y de su d e ri vad a Q' (*);

Q a W = Q ( * ) :< ? i (*); X (*) o Y (a:) son p o lin o m io s co n co eficie n te s in determ inados, cu y os grados son menores en una unidad que lo s de Q t ( * ) y Qz (*), respectivam ente. Los coeficien tes indeterm inados do lo s p o lin o m io s X (x) o Y (*) se calculan deriva n d o la i d e n t id a d (6). E j e m p l o 4. H allar ?

dx 1)2 1

i Solución. P

dx

A a fi+ B x+ C

i

<«« — 1)2 1>»

*J —1

. ? Z) * 2 + 2¿ * + F '

J

*3 —

1

dar.

D erivando esta id en tid a d , tendremos:

1

( 2¿ s + t f ) { z a —

( * * — 1)2 =

1 ) — 3a?2(¿a;2 + t f e

+ C)

(* 3 — 1)2

Z )^ + ^ +

+ F

*3— 1

o bien, i = ( 2 A x + B ) (* 3 — 1) — 3*2 ( ^ 2 + ^ + C ) + ( D * 2+ ^ + ^ )

— i).

Igualando los co eficien te s de las corresp on d ien tes p o to n cia s do * , tendremos E — A = 0\

D = 0;

F — 2 B = Q\

D + 3C = O;

E + 2 A = Q;

B-\-F — — 1; do donde A = 0;

¿í= —

C = 0;

0 = 0;

£ = 0;

^ = --| -

y, p o r consiguiente, í1

í/x

1

*

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2

f

tfx

131

Integración de ju ncion es racionales

Para c a lc u la r la in to g ra l del segundo m ie m b r o de la igualdad (7), des com p on em os la f r a c c ió n — — — en fra ccio n e s elem en tales: 1 *3 — 1 ~

L *—1 +

M x+N *3+X + l

9

es d e cir,

(8 )

\ = l ( z * + z + i ) + M x ( x — 1) + TV{ * — 1).

1

P o n ie n d o * = i , tendrem os q ue £ = - 3íg u a la n d o lo s c o e fic ie n t e s de las p oten cia s ig u a le s do x en am bos m iem bros de Ja ig u a ld a d (8), b a ila m os: ¿ + A/ = 0;

L — N = 1;

es d e cir.

1 P or lo tanto, P ¿

dx

1 P 3 )

”

dx * -1

z+ 2 *a + *+ l

— I" 1“ I

J (*3 — 1)2

1 ln (** + * + ! ) 6

1

x

dx

P

, 1 L

3 ( z 3- l ) +

dx

9

* 24 - s + l ( s - 1 )2

1/3

- arctg 3 1 /3

2z + t

-\-C.

V3

H a lla r las in teg ra les: 1280. J 1281

dx ( z - j - a) ( a + 6)

1288

i

P *2 a2— _ 5z+9 da:. - i « 3- 5* -(-6

1282

1283-

ü

1 289. $

dx { * — ! ) ( « + 2) ( * + 3 )

S

,2 8 4 . J ^

í

2*2 + 41* — 91 dx. ( * + 3) ( * _ 4 )

3+ 2 dx. 5*2+^

5zg+ 0 z + 9

,

( x - 3 ) 2 < * + l )2 a X '

3a: — lO)2 2* — 3

129° - S (zg" - 3 z > 2 ) 3

dx.

dx.

1291. J 1 292. J

d i.

dx 1285-

S t f W

1293*

•

1286. J - g r i - d * . . 0^

1294. J - * , - .

C * 4- 6 x 3 - f 12z * + 6

1287- l

S (* 2 _ 4 a ¡+ 3) ( í 2 + 4 z - j- 5 ) ■

z 3 — 6Z- + 12J — 8

1295. J *4 + 1 • 9*

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Integral indefinida

132

i m

]

iJ + S + r -

1299f

1297.

S (»+ i)(í< + í+ i)>

1300. S V - Í + W

•

“ *■

)298- S H a lla r Jas integrales siguientes, u tiliza n d o el m étod o de Ostrogradski:

1301 ■ S J Z + W W + W '

1303' l H2+ i ) 4 ’

1302- S l í É n r -

H a lla r m ientos:

1304* S

las integrales siguientes,

,3 Ü 5 - \

{ x s + 1)(* 3 + 8) d x ■

i» » -

Í

J L

1307 ‘

\

\x - 4 y ^ x - 2 y d x -

t f +

1 3 i 0 *-

idx•

1308* \ * W T W -

1 3 tl*

l

1 3 1 2<

\

1314.

— 4^2 + 5^ — 2

procedi

\ * (* » + !) ’

(** + 2* + 2)(*a + 2» + 5)'-

1313’

1309. \ . - . f , r

J

em pleando diversos

l l T & r -

\ -¿ -r ■

J

§ 6. Integración de algunas fu ncio n es Irra cio n a le s Io. I n t e g r a l e s

del

tipo ÜL 4 - b \ qi

J jL l a x + b \ qz

(D

donde H es una función racional y p it qít P2> • •• s 0 n números enteros. Las integrales del tip o (1) se b ailan valiéndose de la su stitu ción

ax + h = z » , cx-\-d

donde n es o l m ínim o com ún m ú lt ip lo do los números qv q2> *• • Ejemplo

1.

H allar

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133

Integración de algunas fun cion es irracionales Solución.

La s u s titu c ió n 2x — l =

f _________ dx_____________ r

i

2g» dz __ 0 P

’^ 2 r ^ í _ 0 z2— : _ = 2

reduce la in tegral a

la forma

rfg

J 2— 1 ~

J

( ^ + l + - ¿ i ) d2 = (z + l ) 2 + 21r«|3 — M + C =

= ( l + 4/ 2Í = T ) 2 + ln

—

H a lla r las integrales: 1315. 1316.

[

*

dx.

j y * -i [ -£ M = - .

1321. [ - ^ r . d x .

¿*+ ¿

1322.

\

J )'

1317.

¿ (2 — x ) "|/1 — #

? ■ ____ dx , ^ = . J \/x-\-i + V ( * - M ) a

1323.

\x \ / W \ d x . J *+ 1

1318 • ¡ V 0 7 T -

1324. S f i ± i * r .

1319.

1325. C

t

1 ¿x.

.3 y . r + 1

. . . f ± 3—
J ** 1 /21 + 3

1 320. f + i ^ . rfx. «J (*-|-l)2— "l/ar^-l 2°.

Integrales

dol

tipo

í ■■ .^ L = r d», J ^ flí^ + 5 I c + C d o n d o P n (& ) o s u n Se supone que

p o lin om io

do

grado

(2) /a.

^ — ^ = ¿ 5 = = = = dx = Q n - i (*) \I a*2 + bx -}- c -f- X \ — .

■

— »

(3)

d on do Q n -i (^') es un p o lin o m io de grado ( » — t) co n co e ficie n te s in d e te rm i nados y A, es u n número. L o s c o o fic io n t o s d e l p o l in o m io Q n -i (ar) y el número A, se ha lla n d eri van d o la identidad (3). E j e m p l o 2.

S rf

$ ^ 73=

*

-

f ~ (A x3 + fíx*+ cx+ D )-y**+ Z + *‘ \

dx y lF + i

'

De donde ^ ± ^ r - = ( 3 4 * » + 2 B x + C) V ^ + 4 + y ,i +4 T T

+ ?■>* + y jq r 4

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■ y 3 + S

In tegra l Indefinida

134 M u ltip lica n d o por ~\/x2+ 4 iguales de x, obtenemos:

e igu alan d o

lo s

co e ficie n te s

de

las potencias

A = - ~ ; B = 0 ; C = ~ ; D = 0; X = - 2 . P or con sig u ie n te , J

=

3°. I n t e g r a l e s

V ' S 2 + 4 ~ 2 l Q { a : + V ‘Í 2 + 4 ) - t - C .

del

tipo

{ -------------- f

(4)

* (x — a ) n " l / flz2+ ¿,a:+ c

Se reducen al tip o de integrales (2) valién dose de la su stitu ción

1

t.

H a lla r las integrales: z*dx

f

1326. \ S . t J V ar‘,™";r+ Í 1327

■s v é j r

1/ i — s 2

iss»- s

'

J ( i + l ) 3 T / i a+ 2 i ‘

‘

1328. \ — Í L ^ d x . J

1331.

[ - f l ± ^ ± l - ^ dx.

V l+ x*

¿

4 °. I n t e g r a l e s

dx

1329. [ -------- ^ ______ ^ x b ~\/x2— i dx

de

Jas

x Y x 2 -1 + 1

diferenciales

binomias

^ x m (a~j-bxn)P dx,

(5)

d o n d e m, n y p s o n n ú m e r o s r a c i o n a l e s . C o n d i c i o n e s d o C h ó b i c h e v . La integral (5) puede expresarse p o r m e d io do una c o m b in a c ió n f i n i t a de funciones elem entales únicamente en lo s tres casos que siguen: 1) cuando p es número entero; 2) cuando

es

número

entero.

Aquí

se

em plea

la

su stitu ción

a+¿>xn = z3y donde 5 es el d iv is o r de la fr a c c ió n p\ 3) cuando

+ p es núm ero entero. En este ca so se em p lea la sus

t itu ció n aaTn -f-¿> = z3. E j e m p l o 3- H a lla r

S!

W

Solución.

Aquí

m= i-;

¿

‘

« = -£ -;

" -

p = -i-!

ó

Por con sig u ie n te , tenem os o l 2) caso de integrabilidad-

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n

=

=

l T

in teg ra ción

de fu n cion es trigonom étricas

135

L a s u s t it u c ió n

1 1 + * W nos d a : a: = (z3 — l ) 4; dx = 12z2 (z3 — í )3 dz. P o r lo quo

= 12 donde

z= V 7 W i H a lla r las in tegrales: 3

1332. 1333.

J x 3 ( l + 2 i 2) ”

dx.

[ i7 ^ - ^ . J ^ 1+**

1335.

^ 'x f ^

1336.

\ J

\

.

I * (2 + S3) 3

1334.

\ ------$

=

.

1337.

í

_ t/d— .

§ 7. In te g ra c ió n de fu n c io n e s tr ig o n o m é t r i c a s I o.

Integrales

del

tipo

^ sen771 x c o s n x d x = / m, n ,

(i)

d o n d e m y re s o n n ú m e r o s e n t o r o s . 1) Cuando m = 2A*-j-l es u n nú m ero im par y p o s itiv o , se supone J m, * = ~

jj sen2,t x c o s n x d (eos x ) = — ^ (1 — eos2 x) h co sn x d (eos x).

De fo rm a análoga se p ro ce d e cuando n es u n núm ero Ejem plo

im p ar p o s itiv o .

1.

r» f* SCnll \ se n I 0 x co sa x d : r = \ sen*o x (1 — se n 2 x) d (sen x) = -L— — 2) Cuando m y n so n nú m eros pares y p o s itiv o s , g r a l ( 1) so tran sform a v a lién d ose de las fórm u la s: so n 2 x = - ^ - ( l — c o s 2x ) ,

Ja e x p re sión su b in te-

cos2 x = - y (l-| ~ c o s 2x),

sen x eos x ■= i

¿t

sen 2x.

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se n 13 -------(- C.

Integral indefinida Ejemplo

2.

^ eos2 3 x sen4 3x dx — ^ (eos 3 x sen 3 x )2 sen2 3x dx = f

sen2 6x 1 — c o s G x .

1 (* ,

= \ — 4----------- ^-----------

- t S( -

1 — eos 12a:

2 sen 12x 24

t(t

3) Cuando m = — p y del m is m o orden, tenemos "*• n — \

T i (sen Gx

1

„ \ , sen3 b x j - \ - G .

/ i = — v so n

n ú m eros en teros, n e g a tiv o s y paros

2 x d (tg x ) =

«)

iL =5

sen 6x cüs G;r) áx

son2 6x eos 6x

r r ~ — — = í c o s e c ^4 x s6c v

«3 son^ x eos x

„ .

£L±V- t (i+ig**)2

v—2 a + t g 2^ ) 2

tg

d (tg x ) .

x

A este ca so se reducen, en pa rticu la r, las in teg ra les

í ^ i _ = _ í_ f J son*** 2 - * J

(*+f)

dx

líI J

y c i COSVX

se u

( * + í Ejem plo

)

3.

dx \ c á ^ 7 = $ sec2 i ¿ ( t g x ) = ^ ( l + tg2 * M ( t g x ) = t g s - f - ~ t g 3 s - t - C . e os4 E j e m p ío ? J

4. dx

_

dx

1 P

sen3 x — 23 J

s e n 3 4¡r e o s 3 -í-

z

= 4 $

tr 3 l

sec6f

tó =

z

8

sec2 — rfx =

tg' T

-iS K

2 2

'

x

+ t g ~ ]d (ig| ) =

tg 2 t g - f 2 ln

4

tg 2

2 t s2 í

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+

2

4-C.

In teg ra ción

de

fun cion es

137

trigonométricas

4) Las integrales de la forma ^ tgm x d x

^ ctgmx d x j , donde m es

un número entero y positivo, so calculan valiéndose do la fórmula tg2 x = sec2 x — i (o de la correspondiente ctg 2 x = cosec2x — 1). Ejemplo

5.

^ t g * x d x = ^ tg 2 x (sec2 x — 1)

=

tg * x d x ~

= ^ —3 ^ — ^ (sec2 x — \ ) d x ~

—tg z + z + í?.

5) En ol caso general, las integrales Im, n de la forma (í) se calculan por medio de fó r m u la s d e r e d u c c i ó n (_f ó r m u l a s de r e c u r r e n c i a ) , que se deducen, ordinariamente, empleando la integración por partes.

0. f son2 x 4 - eos2 $ _

Ejemplo f* \

dx

f sen x _ , P dx d x = \sena;--r.— dx \ ¿ eos-’ x ¿ eos x

r.—= \ — ------------

¿ eos-* x

J

cosJ x

11 fP COSI cosí

1 =

,,

.( (* f

SC" x - 2 ^ ~ 2 ) - ^ 7 d x + )

dx COS X

-ra r;+ T i» lx « + » > * l+ c H a l l a r la s integrales: 1338.

J eos* x d x .

1347. J

1339.

^sen 5#<£r.

1348. ^

1340.

^sena # c o s a # á # .

1 341.

J seu3| - e o s s y d x.

1 342. 13431344. 1345. 1346.

^ sen4 o: do:.

^ sen2 a:eos1 a: da:.

•

dx

1350. J

dx

sen2 X COS4 X dx

¿

sonBX eos3 X dx

1352. ^

\ sen2 x eos2 x d x. J

eos0 3 x dx.

son*3 X

■ eos 0 X eos 2 - dx. 1349. ^ sen6 X

1351. [

J sen* x

*

dx

_

X „ X sen -7T- eos 3 — ¿t . . so n (x -| --2 -)

1353. ■' so¿ 1354.

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^

dx

son0 x

d 38

Integral indefinida

1355. ^ sec54a;da:.

1360.

J

1356. ^ tg2 5a: da:.

1361. J

1357. ^ c t g 3 a: da;.

1362. J

1358. ^ c t g 4 a: da:.

1363. J

1359. J ( t g » | 4 - t g + ) d x .

1364. J

coss x dx. sen4 x

dx ’^/sen x eos3 x dx y f T

2°. Integrales de las formas: V sen frta: eos na: da:, ^ son rnx son nxdx y ^ eos mx eos nx dx. Én estos casos so emplean las fórmulas: 1) sen m i cosna: — — [sen (m + n )a: + sen (m — n) x]\ 2) sen mx sen nx =-^- [eos (m— n) x — eos (/7t+n) x]; ¿i 3) eos mx eos nx =

Ejemplo

[eos (m—tí) a: + eos (m+ n) x].

7.

^ sen 9a: sen x dx = ^ -i- [eos Sx — eos 10a:] dx =

sen 8a: — ^ sen 10a: + C.

H a l la r la s integrales: ^ cos(íia:+fe) cos(<2a: —b)dx.

1 3 6 5 . ^ sen Zx eos 5a: dx.

1369.

1366. ^ sen 10a: sen 15a: da:.

1370. ^ sen coi sen ( m i +
1367. ^ eos

1371.

^ e o s x eos2 3a: d x .

1372.

^ sen a: sen 2a: sen 3a: dx.

^ ií (sen x y eos x) dx9

(2)

eos y dx.

1368. ^ sen y eos - y - da;. 3o. I n t é g r a l o s

de la f o r m a

d o n d e B es una f u n c i ó n r a c i o n a l . 1) Valiéndose de la sustitución

do donde sen x —

21 1 — í2 COSX = 1+ 22» l + «2 *

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dx

2dt i + ¿2 ’

139

In teg ra ción de fu n cion es trigonom étricas las in te g r a le s de la fo rm a ( 2) se reducen a in teg ra les de fu n cio n e s les do ja nueva v a r ia b le t.

ra cion a

E j e m p l o 8. H a lla r ?

Solución-

dx = /. 1+ s e n a :+ c o s x

S u p on ie n d o t g

2

•1=

= t> tendrem os:

í*

t

A t

i + t2 1 + * 2 1 j + ¿2

tj

n -tg -f-

+

+ c.

2) Si s e v e r i f i c a la id entidad R ( — s e n * , - ~ c o s x) = R (son x 9 eo s x ) , para r e d u c ir la in te g r a l (2) a la fo r m a tu ción t g z = í. E n este caso, t sen g = — — .............. _------- _ - > j

racional s o puedo em plear la s u sti

i

COSj — x— —

V i+ t2

,

-

yi+t»

, . 2 = a rctg t,

,

dt

d x = ~ jT .

E j e m p l o 9. H a lla r dx

(3)

1 + sen2 x Solución.

Pon ien do tg * -* .

seB2 * = T + 7 2 ' ’

^ = 1 + 1 5 -’

ten d rem os: p

dt

p

i

(1 + i}2 ( i + _ j i _ )

i =

di

i

p

y s i

d {íV l)

i+ (iV 2 )2

a r c t g ( t 1 / 2 ) + C = y = a rctg ( V 2 tg x ) - f C.

Debe a d v e rtirse q ue la in t e g r a l (3) s e c a lc u la más d e prisa s i ol num e ra d or y el d e n o m in a d o r d e la fr a c c ió n se d i v id e n previam ente p o r eos2 *. E n a lg u n o s ca so s con cre to s o s con ven ien te e l e m p le o de p roced im ie n to s a r t if ic ia l e s (véase o l e je m p lo N ° 1379).

H a l l a r la s in tegrales: 1373. C -5 -r-pJ

3 + 5 cosa:

.

1 3 7 4 . í — — ^ --------- . ¿ senx + eos x

1375. \ J

™ sx

1+ co ss

dx.

1376. ( - sena:- - d x. j 1 — sena:

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m

In tegra l indefinida 4 Q 77

10

[

'

<*£__________

i S - 4 sen z + 7 co s x '

1378,

S e o s X + 2 sonar + 3

1370**

í • i

3 s o n a;-|- 2 co-s x 2 sen a + 3 co s x

S T + ^ F

1382* ‘

J

,

. s e n * v. da. (1— cosa;)*

1386. ¡ 1 1 387. |j 1388. J

•

'

1383*.

sen2 x — 5 sen x c o s ar

1 385. ^ J

*

1380. \ i ± M f d x. J 4 — tg® 1 3 8 1 *-

dx

138 4 *.

¡*+3 senxcoa x —cos2x'

sen 2a: dx. 4 - son2 a:

co s 2a: e o s4 a: -(- son4 a: co s a: dx. sen2 a: — 6 sen x - j - 5

138 9 *. \ rr,

%

t

¿ ( ¿ — sen x) (d — se n a:)

1 39 0 *. \ l ~ s e a x + c o s x d x . J 1 + sen x — cos x

§ 8. In te gra ción de fu n c io n e s h ip e rb ó lic a s La in teg ra ción de las fu n cio n e s h ip e r b ó lic a s es co m p le ta m e n te a la in te g ra ció n do la s fu n cion es trig o n o m é trica s . Deben rocordarso las sigu ien tes fórm u la s p rin cip a le s:

a n á loga

1) ch* x — sh2 £ » 1; 2 sh8 x = -5- (cli 2 x — 1); 3) c h « * = - i . ( o l i 2 * + i ) ;

1 u

4) sli x c h x = -^ * sh 2x. Ejemplo

1. H a lla r ^ o h 2 a: da;.

Solución.

T en em os:

^ ch2 x dx — ^ Ejem plo

2.

(ch 2x -|-1) d x = -i- sh 2% + - i - x + C.

H a lla r ^ ch3 arda;.

Solución ^ ch;i x dx =

Tonomos: Jj ch2 x d (sh x ) = ^ (1 4 " sh2 x) ¿ (s^ x ) = ¿h x + " " y ~ + £

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E m pleo de sustit. trigonom . e hiperból. para el cálculo de integrales de la forma 141

H a lla r las in tegrales:

1391.

^

sh * x d x .

1 3 9 7 . ^ th z x d x .

1392-

ch 4 x d x.

1398.

1393.

^ sh 3 x ch x d x .

1 3 9 9 . ^ áb2'/ : ~ :

1394.

J s h ax c h * x d x .

1400. J

f395' S

cth 4x dx.

oh2 x ’

■

'«'•

dx 2 sh a - f 3 ch * ’

*

\ th a — i *

1396

y ch 2x

§ 9. Empleo de sustituciones trigonom étricas e hiperbólicas para el calcule de Integrales de la forma R (x t y ax* -|- bx -f- c) dxt

(1)

donde fí e s u n a f u n c i ó n r a c i o n a ! . T ra n sform a n d o el t r in o m io do .segundo grado ax*-\-bx-~-c on una suma o rosta de cu ad ra dos, red u cim os la in tegral (1) a una de las intégralos de las form a s siguientes: 1) ^

R ( z t y m'2— z2) dz;

2)

^ R (z , '\/m^ + z i)dz\

3)

^ R ( z , T/ z Z—

E sta s ú ltim a s las sustitiicionos: 1) z = m sen t o 2) 2 = m t g í o 3) 2 = m. sec t o E j e m p l o 1.

m 2)

dz.

integrales so resuelven v alién dose, respectivam ente, de z — m t h t, 2= m sh í, z = m c h t. H a lla r

f

dx

i
Solución.

Tenemos:

* 2-| -2 .r + 2 = ( * + l ) a - M . P on ga m os a; + 1 = tg t , en c u y o ca so dx = sec2 /. dt y j ~

^ __________ dx__________ __ ^ sec2 t dt _

^

eos t

j (z + l ) 3 l / ( j j + " í ) S + Í ~ J

J sen2 ¿

1

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_ ~

y * i + 2x + 2 ------------------ 7 + \ --------- +

c -

142

In teg ra l indefinida Ejem plo

2.

H a lla r s + l dx — 7.

Solución.

T en em os: 1 \2 . 3

cep o n ie n d o =

y dx = ^ -

ch td t,

obtendrem os:

/

■s

3 V3

8 3 1 /3 = “ 8

sh i ch3 i di

c h 3 t dt =

- 4 S

ch3 i 3 /1 . , , , , r - ¥ Í T shichí+T í ) +C-

Como

í = ln ^ + y - } - y x 2 + x - f - l ^ + l n ^ | , d efin itiv a m e n te , tendrem os:

l

(x2+ I + 1 ) 2 _ l ( a; + l )

y **+*+! 3 lü

H a lla r las in tegrales:

1403. J y 3 — 2a; — x 2 d x.

1409..

^ ] / a : 2~ 6a: — 7 dx. 3

1404. J y i ! + x2 dx.

1410.

1405. í - J t — dx.

1411.

1406. jj y ^ 2 — 2 x + 2 d x .

1412.

o y9+xa

dx _3_

’

(cc3- 2 o ; + 5 ) 2

1407, \ V & - 4 ^ x .

1413.

1408.

1414.

^ l ^

+ arda:.

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der ( i +*2) y y f p

•

dx

< i-x 2 ) y i + ^

'

In teg ra ción

de

distintas

ju ncion es

V i3

§ 10. Integración de diversas funciones transcendentes H a l l a r la s in te g ra les: 1415.

J( ar2 + 1f e ^ d x .

1 421.

1 416.

^ x 2 eos2 Sx dx.

1422.

dx -[/e*« + ex + l ‘

1 417.

^ x s e a x c o s 2 x dx.

1423.

1418.

^ e2* sen 2 arete.

1424.

1419,

^ ex sen x sen 3a: d x .

1425.

1420.

\ are* eos x d x.

1426.

sen x sh x dx.

§ 11, Empleo de las fórm alas de reducción 2

1427.

! h a lla r / 2 e / 3.

1 4 2 8 . I n = ^ s e n 11arete; h a l l a r / 4 e I s. 1429-

h a Ila r

e U

1 4 3 0 . / „ = ^ x ne~x d x ; h a l l a r / 10.

§ 12. Integración de d is tin ta s funciones i m -

l

‘ « 21 433.

1437.

4z + 9 # ai — 5 -d x. 2x+2 X'¿ d x.

\

1438. 1439.

dx

f ____: .) x*— 2a?a+ l ‘ ?

1434.

í

1440.

.

xdx

x + í)»

*•+*+4 dx

(*2 + 2)2

l

— 4x i(1 é -2 V i)2

1441.

J

1442.

t , -rfJ ... . o V a:2+ ^ + l

5 w + 2)2* (a:+ 3)2 * 1436.

J

dx

(* + ! ) « (* a+ l ) '

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3- s

1443

l - f l :

5

V S

1444. P

dx

1462-

)> ( f 3 + f ; r

1445.

s

144G . ?

2a; 4-1 Y ( 4 x 2-~2x-|-l)3 T7=

M

- 7= =

<) y 5— i +

1447.

V (* 2 — l)3

^

cía;.

.

s

sen 3 a:

1463

y COS3a: .

1464. 1465.

dx..

"

cos x s e n ^ x

1466.

cosec5 5x d x . \ -s ^ d x . J eos6 a; ^

— x'j

s o j) ^

x

x dx

1448. 1449.

<í*

1461.

¿a:.

X sen ( - j - r

dx.

1 4 6 7 . ¡| t g 3 ( - J - f

^ )d x .

(i+ « * ) y i —*« ‘

.

\ x d X --. — . . ¿ y 1 - 2x 2- * *

1 4 5 0 . [ — ■ 1 3-

dx.

1468*

J a a a n x + tccx -S

i m

S j + r a

(*a+ t ) T

14 51 * . f

da

_ _

.

(cc2^4aí) "]/á— 3:2

1452. J y ^ g dx.

-

X

dx

1 4 7 0 . J eos 2 x-\~2 sen x eos x + + 2 sen2 *

■s

1453. J / a s - í a * * : .

1 471

1454. í -

1 4 7 2 . J ( 2 + eo s* ) (3 + eos x ) ’ sec 2 x da;. 1473. 5 , j/tg 2 * + 4 tg * + l eos/xa dx. 1474. ^

0 x

1 4 5 5 . ^ a;

y l x .. _ . [ / a 2 -j-a + 1

]/ "£ 2 dx

1456. ^ — *

1457. . 1458.

+ 2a; + 2 da;.

tía:

,______

dx

sen * son 2 x * da

cv Y a2 + sen2 üa: * ti* E S*» •

S

i sj/l-xa

1475-

¿ ir n -* 3

1 4 7 6 . ^ a; s e n 2 x d x .

-y 1459.1

,j j r í +

1 4 6 0 . ^ eo s 4 a: d x

dx.

1477. J 1478.

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x * e x* d x .

\ xe*x d x.

In tegra ción de d istin tas fun cion es

1479. 1480.

^ x 1 In j / l — x d x .

1482 1483. 1484. 1485.

i (sen x + eos x ) 2 ’ i < tg x + 4 )se n 2 *

1487. 1488. 1489.

X

+

1491.

í A

1492.

J 4 4 r, \ (x 2 - l ) 1 0 ^ d x .

*

1493# f

? _______ dx_______

-

~

dx.

J *

a \ s h a: c h a: d x . J

149^

gretga ^

"

z2

* 1495.

* \ a:3

aresen — dx.

£ sh "1/1 — o? J

1486.

X’

i i x , \ s o n 2 — COS - 75" d x . ¿ 2 2 P d x ________

d x.

P —

J

f x a rctg x j ¿V I+ T *

1481.

1490.

445

l/l — x

1496.

^ eos{ln x ) d x .

f sh a: ch x ) sh* * -f-ch2 a:

1497.

p V(a:2 — 3a:)sen 5a:dx.

\ !\¡*x d x '

1498.

\ x a r c t g (2a: + 3) dx,

? dx ¿ c**— 2cx *

1499.

? r\ aresen y x dx.

\ e** — 1)e* + i3 dX‘

1500.

^ \x\dx.

1 0-1016

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Capitulo V

IN T E G R A L DEFINIDA

§ 1. La Integral definida como lím ite de una suma I o. S u m a i n t e g r a l . Sea f (x) una fu n c ió n d e fin id a en oí segm ento y a ~ x 0 < Xj < . . . . < = ó una d i v i s i ó n arb itra ria de este seg m en to en n partes (fig . 37). La suma do la form a n —i 2 /(£ í)A * ¡, i= 0

( i)

d on de *i < gf < * j +1; A*¿ = * ¿+1 — x £\ i = 0, 1, 2, . . . ( n - 1 ) , re cib e el nom b re de suma integral de la fu n c ió n f (x) en [a , b]. S n repre senta g eom étricam ente la suma a lg é b r ic a do las áreas de io s co rre s p o n d ie n tes paralelogram os (véase la f i g . 37).

2o. I n t e g r a l d o f i n i d a. El lim ito número n do d iv is io n e s tiende al i n f i n i t o y la tien d e a cero, so llama integral definida de Ja x — a y x = b, os d e cir, n —í lim

Y

m áx.

.

1

i= 0

do la suma S n >cu a n d o el m a y o r de las d ife re n cia s Ax,fu n c ió n f (x) entro io s lím ites b

/< 6 «> A * í = \ J

(2)

a

Sí la fu n c ió n / (x) es c o n tin u a en fa, ¿>JT tam bién será in te g ra b le en ¡a f b), os decir, ol lím ite (2) e x isto , in d epen dien tem ente del m étod o q ue se em plee para d i v id ir el segm ento de in te g r a c ió n [a, ó] en se g m en tos p a rcia les y de

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L a integral definida com o lim ite de una suma

147

la e le c c i ó n d o lo s p u n to s £$ d e n t r o de d i e b o s seg m e n to s. La in te g ra l (2), d o f in id a g e o m é trica m e n te , es de p o r sí la sum a a lg é b r ic a de las áreas de las fig u ra s quo fo rm a n el trapecio m i x l i l í n c o aABb, on el que las áreas do las partes situ a d a s s o b r e el eje O X se tom a n co n s ig n o p o s itiv o , m ien tra s que las áreas d e las partes que se e n cu e n tra n b a jo el e j e O X se tom a n con sig n o n e g a t iv o (véase la f ig . 37).

L a d e f i n i c i ó n de la sum a in te g r a l y de la in tegral d e f in id a s e genera lizan , n a tu ra lm en te , al ca so cuando a > 6 . E j e m p l o i . Form ar la suma in teg ra l S n para la fu n c ió n /(* ) = 1 + * en el s e g m e n t o [1, 10], d iv id ie n d o este in t e r v a lo en n partes iguales y e lig ie n d o los p u n to s £* d e fo rm a q uo c o in c id a n c o n los e x tre m o s izq u ierdos do lo s se g m e n to s p a rcia le s f*|, x M ¡, ¿ A quó es igual el lim S n? 71-» 0 Solución.

Aquí

A

t

=

n

y

=

x0

qí

i A zf — 1 -+■ —

.

De d o n d e / (gj) = 1 + 1 - f - ^ - = 2 + - —- . P o r c o n s ig u ie n t e ( f i g . 38),

=

2

/(6 ,)A * ,= 2

(2 + -7

t

) ~ — — -»+ -S -(0 +

i

+ .

lim S n = 58 i - , n — co

¿

E j e m p l o 2. H a lla r e l área d e l tr iá n g u lo m ix t ilín c o , lim ita d o p o r el arco d e la p a r á b o la y — x*, e l e je O X y la v e r tic a l x = a ( a > 0 ) . S olución.

D iv id i m o s la base

e n n partes ig u a le s A z = — . E lig ie n n d o e l v a l o r de la f u n c ió n en el c o m ie n z o de ca d a seg m e n to , ten d rem os: a

» , - o ; ^ = ( - S - ) 2 ; » - “ [ 2 ( ^ ) a ] ; •••; * » = [ < « - < > f ] 2 • 10*

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In tegra l definida EL área de la

los re ctá n g u lo s in s c r it o s se ca lcu la m u lt ip lic a n d o cada yh por

baso k x — ! L (fig . 39). Sum ando, obten em os el área de la figura escabas

tonada

S* = í

( t ) 2 [ 1 + 23+ 3a+ . . . + (» - 1)3 ] -

/ \ U tiliz a n d o la fórm u la de la sum a do lo s cu adrados de Jos nú m eros en teros n :

.o

» ( * + i)(2 n + i)

6

2 '* h=t hallam os

0

a* (n— 1) n(2n— 1)

43,1

5 ?

do dondo, pasando al lím ite, obtenemos:. S=

..

a3 (n — l)n (2n— 1)

lim S n = lim — ^

n-»oo

~

a3

^

•

C a lcu la r las in tegrales d efin id a s sigu ien tes, con sid erá n d ola s com o lím ite s de las correspon dien tes sum as integrales.

1501.

1502.

t \ dx.

i 1503. J x 2 dx.

a

—2

T

10

\ (y0 + g t ) d t ,

1504. ^ 2 x dx.

v o y g son constantes.

1505*,

1506*. H a lla r el área d e l trapocio m ix t ilín e o , lim ita d o por la h ip é rb o la * i y = T > el eje O X y las dos ordenadas: x = a y x = b ( 0 < a sen t d t . 0

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C álculo de las integrales d efin id as p or medio de indefinidas

149

§ 2 . Cálculo de las Integrales definidas por medio de Indefinidas ble.

I o. I n t e g r a l d e f i n i d a c o n el l í m i t e s u p e r i o r v a r i a Si la f u n c ió n / (¿) es c o n t i n u a en el s e g m e n to [a, fu n ció n X

í '( * ) = J f(t)dt

¡

es u n a f u n c ió n p r im it iv a de / {*), e s decir, F ' (x) = l (x) p a r a a <

2o, F ó r m u l a

de

x < b.

N c w t o n -L e i b n i z.

^ f(x )d x = F {x)

Si

F' (x) = f (x ), se t ie n e T

= F (b )-F (a ).

a La f u n c i ó n p r i m i t i v a F ( x ) s e c a lc u la h a lla n d o la in t e g r a l in defin ida J f(x)d x= F (x)+ C . E je m p lo

U H a lla r la in te g r a l 3

x4 dx• -i Solución.

J

5

|—

= -? — i 5

5

5

1 5 0 8 . Sea

a

H a lla r: da 7

iUi db

H a lla r la s d eriva da s de las sig u ie n te s fu n cio n e s : x

1509.

=

*»

Jln¿á¿ (* > 0 ).

1511. F ( z ) = J

x

*

o

Yx

1510. F ( x ) = j l / T T í * ¿ í -

1512. J =

X

J c o s ( t 2) d ¿ J_ X

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(* > 0 ).

150

Integral definida

1513. H alla r los pu n tos e x trem os de La fu n ción X

y = U tiliza n d o integrales: 1514.

1515.

la i \

fórm u la

do N o w to n -L e ib m z ,

1516. *

las siguientes

i -2

i

V — X X

1517.

'

V a lién d o se las sumas:

h a lla r

a; í*

dx

\ i+ x 0 -1 r

? sen t ,, , _ n \ -—— dt en el campo x > U. «■ ‘

l

0

de

las

integrales

definidas,

71-+0O '

h a lla r

los [lím ites de

'

1519**. lim ( — j - T - ) - — {^ r + . . . + + - ) V'f + 1 ^ ^ ^ n + n )4520.

{ p > 0).

C a lc u la r las integrales:

2 1521.

1522.

j (^ -2 ^ + 3 )^ .

\ {V li+ V ^ )d x . 0

1527.

^ x^ Z + 2

1528. 1528.

i /» ¡j

‘

«J i

*

1523.

_

1529.

Y -^ fid y .

f

dx

\t! . r 2 + 4 í + 5 ‘ 0 4

1530. 1524.

dx

\ }A r -2 d a :.

¡¡ ¿3 * a- 3 z + 2 '

2

r1% 1531.

1 525. T

> ■ ■ ■ 1/25+33:

dz. f) '*8 + 1 0 n 4

,5 2 8 .

$’ ^

.

1532.

j. t) Tí

- 2

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In teg ra les im propias

151

V2 *

2.

1533.

^

dx

.

0 lv/ l — 3,5

1540.

\

*

3T 4

dx

1534. 2

ti

3

1 /5 + 4 * -* * 1541.

^ C t g 4 q)(¿(p.

1

1535 .

\

71 t l

y*dy

* r* ■ V yO +4 ■ 1542.

4

1536.

5

o

jj eos2 a da.

i

b

1543.

JT

^ c h a da;.

o

2

1537.

tgxd x.

ln 3

\ s e n 3 q>dcp.

\

• j

dx

oh** •

ln 2

e2 1538

1545.

j sh2 x d x .

o Í539.

$ 2 i í í “ ii> d x .

§ 3, Integrales Impropias 1®. I n t e g r a l e s de l a s f u n c i o n e s no a c o t a d a s . Si una fu n c ió n I ( x ) n o está a cotada en n in g ú n e n t o r n o d e l p u n to e, d e l segm ento [a, b y y e s c o n t i n u a cu a n d o a < ^ x < c y c < - r < ó , de acuerdo c o n la d e f i n i c i ó n se su pon e: b

c—e

\ f ( z ) d z — lim \ d £—*0 d a

a

l> f ( x ) d x + ] i m ? / ( i ) dx, t]-*0 d

(1)

c+U

S i e x is t e n y so n f i n i t o s lo s lím ite s d e l seg u n d o m ie m b ro de la ig u a ld a d (1), la in te g r a l im p rop ia re cib e el nom b re de convergente. en c ! raso co n tr a r io será divergente. Cuando c = a o c = b, la d e t e r m in a c ió n se s im p lif ic a do la fo rm a corresp on d ien te. S i e x is t e una f u n c ió n F (x ), c o n t in u a e n o l seg m en to (/*, b] ta l, que F ' ( x ) = j ( x ) para x =?= c (p r i m i t i v a generalizada) , se tiene, b í ( x ) d x = F (b) — F (a ).

n

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(2)

452

In tegra l definida b

Si l / W K ^ W

para a < ¿ < &

y

^ F (x) dx

a tam b ién converge (criterio de comparación). Si / ( * ) > 0 y l i m { / ( * ) Je — = ^ gfc c o , A J c — x f 11 cuai1^0 36~7> c ^ tendrem os que: i )

con verge,

-4 =£ 0,

&

es

in te g ra l (4)

decir,

/(* ) • * -

si m < ; i , la in tegral ( í ) es

convergente, 2) si w > 4, la integral (4) es divergente. 2 o. I n t e g r a l e s c o n l í m i t e s i n f i n i t o s . es continua para a < > < c o , so supone quo co

la

Si

la

fu n c ió n

f (x)

'

í f (x) dx = lim í j (x) dx t) l>-*0O V

(3)

o

y según que exista o n o exista lím it e f i n i t o del segundo m ie m b ro de la igualdad (3), la in tegral correspondiente recibirá el nom b re de convergente o de divergente. Análogam ente co

\ f (x) dx = J

lim

í f{x)d x

y

a -f —OO V

\ f(x)d x= •»'

a

lim

\ / (x) dx.

Q -- —CO

“ ro

ft-H-co a

OO

Si l / W K ^ t í )

y la in tegral

F ( z ) d a ; converge, la in tegral (3)

tam -

a b ién convergerá. Si / <*) > 0 y lim { / (ar) x m} — A =£ o o , A =/=■ 0, es decir, f (*) ~ cuando X— *oo * ar— > c o , tendremos que: 1) si m > l , Ja in tegral (3) es con verg en te, 2) si m < l , ia integral (3) es divergente. E j e m p l o 1.

\ ~ = l i m \ J x2 e ->0

Í £ . + Iim \ Í £ « l i m ( 4— x e~>0 J * * n ->0 v ^

+ /

f - — 11-^0 V

l) = c o /

la integral es divergente. E j e m p l o 2. oo

S

o

Ejemplo

S

T $ ? = í , ! , “ <»re ,* i - ' “ “ f

■

o

3. In vestiga r la con vergen cia do la integral de Euler-Poisson

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In teg ra le s im propias Solución.

Se tiene, oo

i

oo

e ~ xZ d x = \ e xZ dx-ir \ e ,ta d x .

j *+\

i

La p rim era de las d o s integrales del segundo m ie m b r o n o y la segunda e s co n v e rg e n te , y a q uo e ~~x3 < ; para x > 1 y oo

os im p rop ia

b d x = lim

\ e~x d x — lim ( — e~b -f- e J) =e~~1\ b-+ oo

p o r co n s ig u ie n te , la in te g ra l (4) e s convergento. E j e m p l o 4. In v e s tig a r si e s co n verg en te la integral oo J

<5 >

S o l u c i ó n . C u a n d o x — > + c o , ten em os: 1

1

4

1

1

C o m o la in tegral oo

SI e s con vorg on te, nuestra integral (5) tam b ién lo es. E j e m p l o 5. In v e stig a r si es co n verg en te la integral e líp tica dx

(6)

y i — x*

S o l u c i ó n . E l p u n to de d is c o n tin u id a d de la fu n ció n su b in le g ra l es: « s a l . A p l ic a n d o la fó r m u la de Lagrange a la d iferen cia 1 — x * = (1 — x ) x X (1 + * ) (1 -\-x2)t obten em os: 1

1

y l - xi

i / ( i - x).te\

1

1

'

|

(1 — a:) * 2a:J d on de x < x 1< 4 . P o r co n sig u ie n te , cu a n d o x — > 1 , tendremos

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154

In tegra l definida Com o la integral

1 ü

(-r ir )* *

es con vergente, la in tegral dada (6) tam bién convergerá.

C a lcu la r las sigu ien tes d iv e rg e n cia ):

in teg ra le s

im propias

1

1546.

d eterm in ar su

i

[ ¿

.

£ 1557. \

V*

0

J

2

1547.

(o

dx x ln X

.

0

f — \

.

i

* « r .c o

i

1558.

,

2 f

¿a;

J a: ln2 a: 0

1 548. 0

,5 5 M
I

(iÉ fjr '

(■ »* )•

co

i 1550.

- n f r

a

1560.

C-* L -

(a > l).

O

^

3

tt 2

oo

1551. C J x

1561.

i

\ ctgsd s. a o 00

1552. J i j - .

1562. \ e - * * d x 0 co

1 oo

1553. J % •

1563‘

1

1554.

$ a rctg * dx. 0

¡ - f a . .

.

1504. "j

oo 03

OO

1 555.

J

da;

;r2“|-4a;-}-9 ’

íc /'c

1565.

(*

da;

J a;3 + l

— oo

oo

1556.

( k > 0).

[ sen x d x .

1

1566.

o

í o

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dx

5a;2

155

Cam bio de variable en la integral definida

A v e r ig u a r si so n co n v e rg e n te s las in tegrales: 100 1567.

i

\

1571. 9

f

-fe o

1568.

1569.

1

i

**

2

[ J x — . -J 2 x + t f x 2 + i - \ - 5

1572.

\ dl _\ x* + f x4 + ,

dx

\ , .< l n *

.

15 7 3 . ? - ^ 5 . dx. a?2 i 3t 2

03

1570. í

y ^ + i

1 57 4 *. D em ostrar ( f u n c i ó n beta)

quo

la

in teg ra l

de

E u le r,

de

Ia

especie

i

B (p , q) =

\ x ^ 1 (1 — x ) q- x d x

*) o

es c o n v e r g e n te cu a n d o p > O y ? > 0 . 1575*- D em ostrar, q u e la in te g ra l (f u n c ió n gam m a)

de

E u le r,

do

2 a especie,

co

r (p )= | xv-'e-* dx es co n v e rg e n te cu a n d o p > 0 .

§ 4. Cambio de variable en la integral definida Si la fu n c ió n / (x) es co n tin u a en el segm ento a ^ x ^ b y a : = q ) ( í } es una fu n c ió n co n tin u a con ju n ta m en te ro n su derivada 9 ' (¿), en el segm ento d on de a = 9 ( a ) y b — 9 (P), y la fu n c ió n /[q>(¿)l es d e fin id a y c o n tin u a en el segm ento a ^ ¿ P> tenemos b

p

^ f ( x ) d x = \ ^ / [q> (t)]
E jem plo

1.

a

H a lla r a

^ x2 y a 2 ~ x * d i

(a > 0).

O

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In teg ra l definida Solución.

H agam os x =
x E n este caso, f = arcson — y , = arcsen 0 — 0, P — aresen l = y a

por

co n sig u ie n te ,

se

puede

to m a r

a =

• P o r lo c u a l, tendrem os:

2 x 2 y'a* — x2 dx =

\ a2 sen2 t~\/a2— a2 se n 2 t a e o s t dt =

8 ti

n

2

2

re Y

= a4 ^ sen2 i e o s2 ¿ dt = í sen2 2 í i í ¿ = ^ - ^

0

( i — cos 4 t)dt=*

0

u

7T 2

1576- ¿S e puede c a l c u l a r la in te g ra l 2

J V i — x*dx v a lié n d o se de la su s titu ció n x = c o s / ? T r a n s fo r m a r las sigu ien tes in te g ra le s d e fin id a s las su stitu cio n es que se in d ica n :

v a lié n d o s e

4 3

1577.

3

^ V x + i d x , x = 2t — 1 . 1 5 7 9 . \ - - * = ¿

, x = sh t.

.) V ^ s + l

3

JL 2

1578- í —-t4 = = 7 ,

x = sen¿.

1580.

\ f ( x ) d x i x = a rctg

í

¿

2 1581.

P ara l a in tegra l b J / (a:) d x

(b >

a

in d ica r una s u s titu c ió n lin e a l entera x = a t + Pj

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a)

de

157

Cam bio de va riable en la in teg ra l definida

que d é p o r resu ltad o q u e lo s lím ite s de in te g r a c ió n se hagan respectivam en te igu a les a 0 y 1. Ut i l i zando las su stitu cio n es que se in d ica n , c a l c u l a r las siguientes integrales:

4 dx

1582. \ — ~~7=r

* = ¿ a.

J 1 + l/x

29 1583.

\

( I ~ ,2.)V3

dx,

x — 2 = zs.

J ( * — 2) / s + 3

Jn 2 1584.

J

e* — 1 = z*.

0

f 5 + IW í, o

<586-

(

. +

. w

,

■

V a lié n d o s e de s u s titu cio n e s adecuadas, c a lc u la r

i

________

1587. j

Jn 5 dx.

1589.

1588. \ . V í l z l ,¡

las in tegrales

j

**

1590. f

*

d*.

¿5

J 2* + l / 3 * + l

C a lc u la r la s integrales:

3

o

1591. [

r dx

J

x \/x* + 5 z + i 1

[ V ^ - x 2 dx.

J

2n j KA# f dx 1 5 9 4 - ,)í t5 — — 3’o e•os - —x 0

dx 1592 • \ / T T T 2 7 5 J (1 + * 2) 2 -i

1595.

1593.

D em ostrar, q u e si f (x) es una fu n c ió n par, a

a

^ / (x) d x = 2 ^ / (a;) dx. —a

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.

In tegra l definida S i , p o r e l c o n t r a r i o , f (x ) e s u n a í u n c i ó n

im p a r,

a ^ f (x) d x — 0 . —a 1596. D em ostrar,

que

co

co

oo

\ e ” *v2 d x — 2 ? e - *2 d x = — co

—X

\

0

dx.

0

1 597. D em ostra r, que 1 dx \ árceos x 0 1598.

D em ostrar,

n 2 P sen x dx. j z o

que

71 2

n 2

/ (s e n x ) d x = o

^ / (eos x ) dx. o

§ 5. Integración por partes S i la s fu n c io n e s u ( x ) y s e g m e n t o [ a , fe], s e t i e n e ,

v(x)

tie n e n

b ^

"b

a

sig u ie n te s

in te g ra le s ,

c o n tin u a s en e!

b

u ( x ) v ' ( x ) d x — u ( x ) v ( x ) | — ^v ( x ) uf

a

C a lc u la r la s

d eriv a d a s

(x) d x .

(1)

a

e m p le a n d o l a f ó r m u la d e in te

g r a c i ó n p o r partes: 71

2 1599.

1600.

CO

\ a rco s x d x . 4l 0 e a

1G03. ^ x e - x d x .

\ lnscte. J 1 i

1604.

O co \ e~ax e o s b x d z co

1605.

1601. 0 Jt 1602.

{ a > 0).

\ e x sen x dx. o

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jj e_ o v s e n f e x d x

( a > 0 ).

T eo rem a

d el

valor

medio

1606**. D em ostrar, q u e para la f u n c ió n gam m a 1575) es v á lid a la f ó r m u la de red u cción : r ( p + i ) = p r (/> )

(véase el N°

(p>0).

Deducir de esto, que F ( r c - } - l ) = w ! , si n es n ú m ero natural. 1607. D em ostra r, q u e para la integral n

jt

2

2

Jn = ^ s e n " x d x = i c o s nx dx o o es v á lid a la f ó r m u l a d e reducción i __ n ~ 1 i 1n — — ~ H a lla r 7n, si n es un núm ero n atu ral. U tiliza n d o la fó r m u la o b ten id a , c a l c u l a r I d y i 10. 1608. C a lc u la r la in te g ra l sig u ie n te (véase el N ° 1 5 7 4 ), em pleando reiteradam ente la in te g r a c ió n por partes

B ( p t q) — ^ z v~x (1 — z ) q~l d x,

donde p y q son n ú m ero s enteros y p ositiv os. 1609*. E xpresar por m edio de B (fu n c ió n beta) la integral ?T 2

I m n = ^ se n "4x c o s " x d x , o si m y n son n ú m ero s enteros n o n ega tiv os.

§ 6. Teorema del valor medio 1o. A c o t a c i ó n a ^ x ^ b y se tiene

de

las

integrales.

b

b

J / (X) dx <

^ F (x) dx.

a

«

Si

f(x)^ F (x)

para

(1)

Si f ( x ) y q> ( x ) s o n c o n tin u a s para a ^ , x < ^ b y , adornas,
0, se tione,

b

b

b

m ^
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(2)

160

Integral definirla

d o n d e m es e l v a lo r m ín im o a b s o lu t o y fu n c ió n i ( x ) e n el s e g m e n t o [a , b}. E n p a r t i c u l a r , s i q> ( 2 ) = 1 , se" t i e n e

M

el

y a l o r m á x i m o a b s o l u t o d e la

b m (ft-

á) <

(3)

J / (*) d x < M \ ( b - a ) . a

L a s d e s i g u a l d a d e s (2 ) y e q u iv a le n te s ig u a ld a d e s:

(3 )

se

pueden

b

su stitu ir

resp ectiv a m en te

por

sus

b f ( x ) < ? ( x ) d x = f (c) ^ 9 ( x ) dx

a

a

y

6 f(x)dx=f($(b-a),

J a

d o n d e c y £ s o n n ú m e r o s q u o s e e n c u e n t r a n e n t r e a y b. E j e m p l o 1. A c o t a r la in t e g r a l

n 2

1 + y

y

sen3 xd x .

o S o l u c i ó n .

G om o 0

sen 2 2 < . f * ten drem os:

e s d e cir, 1 ,5 7 <

/ <

1 ,9 1 . é

2a. V a l o r

m e d i o

de

la

f u n c i ó n .

E l núm ero

b \ /(* > * . a se lla m a v a lor m ed io d e la f u n c ió n f (x ) e n e l s e g m e n t o a ^ x ^ b .

I

1610*. Determ inar ca lcu la rla s:

2

el

sign o

de

la s

in tegrales siguientes

2n \ ^ d x .

71

b) \ arcosx d x ; 0

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sin

161

Teorem a d el va lor m edio

1611- D eterm in ar {sin c a lc u la r la s ) c u á l g rales es m a y o r : i

de las sigu ien tes inte-

i

a) ^ Y ' l + x 2 d x o 0 1

^ x dx\ o i

b) ^ x : sen2 x d x o ^ X s e n a d a : ; o 2

c)

2

^ e x2 d x

o

^ e* d x.

i

t

H a lla r l o s v a lo r e s m ed io s de la s m en tos q u e se in d ica n : 1612. f ( x ) = x * ,

sig u ien tes fun ciones en lo s seg 0 < *< 1 .

1613. f ( x ) = a + b c o s x ,

—

1614.

/ (x) = sen 2 a:,

0 < x < ji .

1615.

/ ( x) = sen4 x ,

0 < x < :r r . i

1 6 1 6 . D em ostra r, q u e la \ ■■ 7— J 1/2 + * - * *

está

com pren did a

2 1 • ^ - ^ 0 , 6 7 y — — ^ 0 , 7 0 . H a lla r el v a lo r e x a c to de esta ~K 2 A c o t a r las in teg ra les: n i

1617.

4

\ Y i + x2dx. o

1620*.

1 6 1 8 . ] ^ .

^xVlgxdx. o ít

1621. J

n

-i

4

2n

1619.

dx

\ 10 + '¿ c o s x ' 0

1 6 2 2 . In teg ra n d o p o r partes, dem ostrar que 200n a . \ cosr , ^ 1

°<

i

iOOw

x

d ;r< -íoóír •

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entre

in teg ra l.

Integral definida

§ 7. Areas de las figuras planas 1°. E l á r e a e n c o o r d e n a d a s c a r t e s i a n a s . Sí una curva continua se da en coordenadas cartesianas por la ecu ación y — f (x) |/ (x ) > 0 ] , el úrea del trapecio m ixtilíneo* lim ita d o por dicha curva, por dos verticales on los puntos x ^ a y x = b y por ol segm ento del eje de abscisas a < ¿ x ^ l > (fig . 40), se determina p o r la fórm ula b S = J / ( x ) dx.

'

(1)

O Ejemplo

1.

C alcular el área do l a ' f i g u r a

lim ita d a p o r ia parábola

y = 4 r * Pür las rectas x — \ y x — 3 y p o r e l eje de abscisas ( f i g . 41).

Solución.

E! área que se busca se expresa con la in tegral 3

E j o m p l o 2. C alcular el área de la fig u ra lim ita d a p o r la curva z = 2 — u — y* y el eje de ordenadas ( f i g . 42). S o l u c i ó n . En esto ca so están ca m bia dos lo s e je s de coordenadas y, por consiguionto, el área que se busca se expresa con la integral i

J (2 -v -y*)d y= 4 Í-, - l donde lo s lím ites de in teg ra ción f / i = — 2 e ¿/2 = 1 son las ordenadas de los puntos de in tersección do la curva dada co n el oje de ordenadas. En un caso más general, cuando el área ó1 de la figura está lim itada por d os curvas continuas y — /l (x) e p = / 2 (a:) y p o r d os vertica les x — a

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A rea s de las figuras planas y x = b, donde / j ( * ) < / 2 (x) para a < s < 6

463

( f i g . 43), tendremos:

u

(2 ) Ejemplo. entre las curvas

3. C a lcular el área S de la

figura

plan a com prendida

^ — 2 — x 2 e y3 — z ‘

(3)

(fig . 44). S o l u c i ó n . R e s o lv ie n d o sim ultáneam ente el sistoma de ocuaciones (3), hallamos los lím ites de in teg ra ción : — 1 y z*¿~ 1. Do acuerdo co n la fórm u la (2), obten em os: i ó* =

^ (2 — x 2— s 2/ 8) d x ^ { 2 x

x3

3

f\ l 15

'

-1 Si la curva se da por ecuaciones en form a pararnótrica, a; — q>(/), ^ = i|>(í), el área del tra p e cio m ix t ilín e o , lim ita d o por esta cu rva, por dos verticales,

F i g. 42 x = a y z = 6 respectivam ente* y p o r el segm ento del eje O X x se expresará por la in teg ra l

donde tt y t 2 se determ inan de las ecuaciones a = : ( p ( ¿ 1) y Í7= cp(í2) 1 \ ¡ j ( í ) > 0 en o l segm ento [tif t 21]. E j e m p l o 4. H a lla r el área de la elipse S ( f i g . 45), u tiliza n d o sus ecuaciones param étricas

{

x = a eos /, y = 6 s e n /.

S o l u c i ó n . E n v ir t u d de la sim etría será s u ficie n te ca lcu la r el área de una cuarta parte y , después, cu ad rup licar el resultado. Poniendo en la

11 *

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164

In teg ra l definida

ecu ación * = : a c o s ¿

p rim e ro x = 0 y después x — a , o b ten d rem os lo s lím ite s 3T

de in teg ra ción : t l =* — y ¿2 = 0. P o ? lo q ue ¿* re 2

S=

^ & sen a ( — sen ¿) dt = ab ^ sen2 t dt =

xah

ÜL

2

y , p o r con sig u ie n te , S = itab. 2 °. E l á r e a e n c o o r d e n a d a s p o l a r e s . Si la curva con tin u a so da en coorden adas p olares p o r una e c u a c ió n r = /(cp ), el área d e l se cto r

M (x;y)

F i g . 44 A O B ( f i g . 46)f lim ita d o p o r ol arco de la curva y lo s d os radios polares O A y OBy correspon dien tes a los v a lores q>t = a y q>2= P» se expresa p o r la in te g ra l

a E j e m p l o 5. H a lla r el área de la de B ern ou ili /-2 = a2 cos 2cp ( f i g . 47).

fig u ra lim ita d a p o r la Iem niscata

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Areas' de las fig u ra s planas S o l u c i ó n . C om o la cu rv a área d o u n o de sus cu ad ra n tes

es

s im é t r ic a ,

165

determ in a m os

p rim e ro

el

TC_ 4

0

a2cos2=T - [ 4 - se,' 2tp] o /Í = J T

'

De donde S = a2. y 1 6 2 3 . C a lc u la r ol área de la fig u r a lim ita d a p o r la parábola y = ¿tx— x* y el e je de abscisas. •4624. C a lc u la r el área do la fig u ra lim ita d a p o r la cu rva i j y r ] n z y el eje O X y la recta x = e. ' 1625*. H a l l a r el área de la fig u ra lim ita d a p o r la cu rv a y j = x ( x — l ) ( z — 2) y el e jo O X . \ 1626. H a lla r el área de la fig u ra lim ita d a p o r la cu r v a t/3= x, la re cta y = 1 y la v e rtica l x = 8. i 1627. C a lc u la r el área de la fig u r a com p ren d id a entre una sem ion d a de la sin u soid e y — s e n x y e l e je O X . 1 6 2 8 . C a lc u la r el área do la f ig u r a com p ren d id a en tre la cu rva y — t g x t el ejo O X y la recta x = - y . 1 6 2 9 . H a l l a r el área de la fig u r a com p ren d id a entre la h ip é r b o la x y = m 2f la s v e r tic a le s x = a y x ^ = 3 a ( a > 0) y el ojo O X . 1 6 3 0 . H a l l a r el área de la fig u r a com p re n d id a en tre la cu rva de A g n e s i y =

x2_â-¿ Y e l eJe de abscisas.

1 6 3 1 . C a lc u la r e l área de la fig u ra lim ita d a p o r la cu rva y — x 2y la re cta y = 8 y e l e je O Y . 1 6 3 2 . H a l l a r e l área de la fig u r a lim ita d a p o r la s p a rá b o la s y? = 2 p x y x 2 = z 2 p y . J 1 6 3 3 . C a lc u la r el área de la fig u r a lim ita d a por la p a rá b o la y=j. 2 x — x 2 y la recta y = — x . J 1 6 3 4 . C a lc u la r el ároa del se g m e n to de la p a r á b o la y — x 2, q u e co rta la re cta y = 3 — 2x. 1 6 3 5 . C a lc u la r el área de la fig u ra com p ren d id a cu tre las paráb ola s y = x~, y — —

y la recta y = 2x.

1636. C a lc u la r e l área de la f ig u r a com p re n d id a entre la s pará^í

b ola s y = — í

3

2

e y = 4 — rrx'1O

i 1 6 3 7 . C a lc u la r e l área de la fig u ra com pren did a de A g n e s i y = -— ^

y la p a r á b o la

1638. C a lc u la r el á re a de y = e x , y — e~x y la recta x = l .

entre la

curva

= la

fig u r a

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lim ita d a por las cu rva s

16t>

Integral definida

1639. H alla r el área do

la

fig u ra

lim ita d a

por

la

h ip érb o la

-p- = l y *a recta X x = t ^ a ' 1640*. H a lla r el área lim ita d a por la astroide

2

2

2

x*-\-y* « c 3*. 1641. H a lla r el área de la figura com prendida entre la catenaria y = a ch-J,

el eje O Y y la recta

y=

+

1642. H a lla r el área de la fig u ra lim ita d a p o r la cu rv a a 2y - — x - (a2 — x2). 1643. C a lc u la r el área de la fig u ra com prendida den tro de la cu rv a

1644. H a lla r el área de la figura com pren did a en tre la h ip é r b o la eq u ilá tera x 2— ?/2 = 9 t el eje O X y e l d iá m etro q u e pasa por e l p u n to (5; 4). 1645. H a lla r el á re a de la fig u ra com pren did a entre la curva y=

ol oje O X y la recta x = i ( x > i ) . 1646*. H a lla r

el área

de

la fig u ra

lim ita d a

por

la cisoide

i f = '¿a—x y su a s^n to ta x “ (& > 0). 1647*. H a lla r el área de la fig u ra com p ren d id a entre el estrofo id e y 2 - = x \x y su asíntota ( a > 0 ) . ¿(i X 1648. C a lcu la r el área de la s dos partes en que la parábola y2 = 2 x di vi do al c ír c u lo a:2 + ?/2 = 8. 1 6 4 9 . C a lcu la r ol área de la su p erficie com p ren d id a en tre la c ir c u n fe r e n c ia x 2 + y2 = 16 y la p a rá b ola x 2 = 12 ( y — 1). 1 650. H a lla r el área co n te n id a en el in te r io r de la astroide x = a eos3 t\ y = b s e n 3¿. 1651. H a l l a r el área de la su perficie com p ren d id a entre el eje O X y un arco de la c ic lo id e x —

s e n /) , y = a (1 — c o s í ) .

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167

A rea s de las fig u ra s planas

1652. H a l l a r e l área de la fig u ra lim ita d a por una rama de la trocoide x = at — b sen t . (0 < b < a ) y — a — b eos t ' ' y l a tangente a la m ism a en sus pu n tos in feriores. 1653. H a l l a r el área de la fig u ra lim ita d a p o r la ca rd io id e x — a (2 eos t — eos 2 /), y sis a (2 sen ¿ — sen 2¿). 1654*. H a l l a r el área de l a f o liu m de Descartes

fig u r a

lim ita d a

3at

. .

+

* P — l + *3 •

p o r el

l a z o del

3a*2

1655*. H a l l a r el área de la fig u ra lim ita d a p o r la card ioid e r = *a (1 -fe o s e p ). 1656*. Ha l l a r el área co m p re n d id a entre la prim era y segunda espira de la espiral de A rq u ím ed es r = acp (fig . 48).

F i g. 48 1 6 5 7 . H a lla r el área de u n a de la s h o ja s de la cu rva r = a eos 2cp. 1658. H a l l a r el área lim ita d a p o r l a cu r v a r 2 = a ? sen4
el

área

y las sem i recta s q> —

y

lim ita d a

por

la

parábola

r = asec2“

1662. H a l l a r el área de la fig u ra lim ita d a p o r la elipse r = i+- W

(0< e< 1)-

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168

In tegra l definida

1663. H a l l a r el área de la fig u ra lim it a d a por la cu rv a r = 2tfcos3
§ 8. Longitud del arco de una curva I o. L o n g i t u d del a rc o en c o o r d e n a d a s rectangula r e s . La lon gitu d 5 del arco de una cu rva regular y = / ( * ) , co m p ren d id a entre d o s puntos cu yas abscisas sean x — a y x = 6, es ig u a l a

a

E j e m p l o 1. H a lla r la lo n g itu d do la a stroid e x 2/34 - y 2/s = a 7/s ( f i g . 49). S o l u c i ó n . D erivando la e c u a c ió n do la a s tr o id e , tendrem os

* Por lo c u a l,

para

la

lo n g itu d

dol

,*/•

■

a rco de m i cu a rto de a stro id e , tenem os:

De don de, s = 6a. 2 o. L o n g i t u d del arco de una c u r v a dada en f o r m a p a r a m é t r i c a . Si la curva se da en ecuaciones de form a paramétricn

2 s=
<2 * = 4 V x ' 2+ y '2dt,

lo n

.

h donde t x y t 2 so n lo s v a lo re s del parám etro corresp on d ien tes a los e x tre m o s d e l arco.

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L on gitu d del arco de una curva Ejem plo

2.

H a lla r

la

lon gitu d

169

de un arco de la c i c l o i d e (fig . 50).

r x — a (¿ — sen t ), \ y = a ( 1 — eos ¿). Solución.

T en em os

x ' = ^ = a ( 1 — eos í) e y ' = ^ = c sen í .

P or

lo

cual

2n

2ji

\ y a2 ( i — eos ¿)2 -j- a2 se n 2 t d t = 2a \ s e n y d í = 8 < z , Los lím ite s de in te g r a c ió n í t = 0 e x trem os del a rco de la c ic lo id e .

y

tz = 2 n

corresponden

a

los

pu n tos

Si una curva regular v ie n e dada por una e c u a c ió n r — / (
coorde

0 5=

^

y r 't +

r ' * rfcp,

a dondo a del arco.

y

P so n

E jem plo

lo s

3.

v a lores

H a lla r

la

d e l á n g u lo p o la r en lo n g itu d

to ta l

de

los p u n to s

extrem os

la curva [r = a sen3 ~

•j

( f i g . 51). T oda la cu rva está d escrita p o r e l p u n to (r,
Tenem os r ' = a sen2 -—- c o s - | - , p o r

lo

c u a l, la

lo n g itu d

de t o d o el arco de la cu rva será

33ji« = ^ y

^ ____________________________________

3rt

a2 se n 6 - 2 - - f a2 son4 — e o s2 - 2 - d

0

j

1665. C a lc u la r la

lo n g itu d d e l a rco de la p a rá b o la

y* = z * d esde e l o r ig e n d e c o o r d e n a d a s h a s ta e l denadas son £ = 4,

y = 8.

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pu n to

se m icú b ica cuyas

coor

170

Integral definida

1666*. H a l l a r la lo n g itu d de la ca te n a ria

= a c h — desde el

v é rtice A (0; a) hasta el p u n to B (h; h). 1667. C a lcu la r la lo n g it u d d e l arco de la p a rá b ola y = 2]/"rr desde x = 0 hasta r c = l . 1668. H a lla r la lo n g it u d del a rco de la cu rv a y = ^ e x f com pren dido en tre lo s pu n tos (0; 1) y (1; e). 1669. H a lla r la lo n g it u d d e l arco de la cu rv a y = : l n : r desde x = ]/15 hasta x = 1670. H a lla r la lo n g itu d d e l a rco y = are sen ( e hasta x — í . 1671. C a lcu la r la lo n g itu d d el arco de la cu r v a com pren did o en tre

y= 0 e y = i

) desde x = 0 x = ln

.

1 1672. H a lla r la lo n g itu d del arco de la cu r v a x = ~ desde y = l hasta y = e. 1673. H a lla r la lo n g it u d del tractriz

sec y ,

arco de la rama

Y a* — y2 + a l n

a+

1 —y

V

derecha de la

y*

y

desdo y — a hasta y = b (0 < C b < i a). 1674. H a lla r la lo n g itu d de la parte cerrada de la cu r v a 9 a y 2 = ~ x ( x — 3a)‘2. 1675. H a lla r la lo n g it u d d e l a rco de la cu rv a desde x — a hasta x ~ b ( 0 < a < b ) . 1676*. H a lla r la lo n g itu d d e l arco de la e v o l v o n t e d e l c í r c u l o x — a ( c o s í 4- t s e n / ) , y — a (sen ¿— i cos¿)

\ m } desde ¿ = 0 hasta t — T . J

1677. H a lla r la lo n g it u d de la e v o l u t a de l a elipse 3 = ^ - c o s 3 ¿; 7/ = ^ - sen3 1 (c* = a 2 — b*). 1678. H a lla r la lo n g it u d de la cu rv a x =s a (2 c o s í — e o s 2Z), y = a ( 2 s e n ¿ — sen 2 /). 1679. H a lla r la lo n g it u d de la prim era espira de la espiral de A r q u ím e d e s r acp. 1680. H a lla r la lo n g it u d t o t a l de la card ioid e

r = f l ( l + cos
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171

Volúm enes de cuerpos sólidos

1681. H a l l a r la l o n g i t u d d e l a rco de la p a rte de la parábola r = a sec* - 2 - , co r ta d a de l a m is m a por la re cta v e r t ic a l q u e pasa p o r el p o lo . 1682. H a lla r

la

lo n g itu d

del

rqp = 1 desde e l p u n to ^2;

arco de la

espiral

h asta e l p u n to

h ip e r b ó lic a

2^ .

1683. H a l l a r la l o n g it u d del arco de la espiral lo g a r ítm ica r = a e mf (m > 0 ) , q u e se en cu e n tra d e n tro del c í r c u l o r = a. 1684. H a l l a r la l o n g i t u d del a r c o de la cu rv a cp =

(^ + y )

desde r = l

hasta r = 3.

§ 9. Volúmenes de cuerpos sólidos I o . V o l u m e n d o u n c u e r p o d e r e v o l u c i ó n . L o s volúm enes d e lo s cu erpos cn gon d rad os por Ja r e v o lu c ió n d e un trapecio m ix t ilín e o , li m i t a d o p o r una cu rv a y = f(x ) > el e je O X y d os v ertica les x = a y x = ó, a lre d ed o r d e lo s e je s O X y O Y , se expresan , resp ectiva m en te, p o r las fórm u la s: b *) v x = n

^ y 2 dx;

b 2) V y — 2 n

a

^ xydx*). a

E j e m p l o 1. C a lcu la r lo s volú m en es de lo s cu erpos engendrados por la r o t a c ió n do la fig u ra , lim ita d a p o r una sem ion da do la sinu soide y = sen x y p o r e l s e g m e n to d e l e je O X alrededor: a) del e je OX y b) del e je OY.

Solución.

JC

(* ji2 a) V x — n \ se n 2 x dx — ;

o n n

b) V y = 2ji ^ x se n x d x — 2 s i ( — x eos x - f s e n x)JJ = 2 j i 2.

0 de

E l v o lu m e n del cu erp o engendrado p o r la ro ta ció n a lre d ed o r dol e je O Y la fig u ra lim ita d a p o r la cu rva x = - g ( y ) , el e je O Y y las d os paralelas

* ) Sea un cuerpo engendrado p o r la r e v o lu ció n alrodedor d o l ojo O Y de un tr a p e c io m ix t ilín e o , lim it a d o por la curva y = / ( x ) y p o r las rectas x = a , x — b e y = 0. C om o e lem e n to del v olu m e n de este cuerpo se tom a el v o lu m e n d e una pa rto del m is m o , engendrada p o r la ro ta ció n alred edor dol e j e O Y de un rectángulo d o la d o s y y d x , que se encuentra a una d ista n cia x do) e je O Y . En este caso, e l e lo m e n to del v o lu m en es: b d V y = 2 n x y d x , d e d on d e V y — 2% ^ x y dx.

a

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Integral definida

172

y = c e y = d, puede determ inarse p o r la fórm u la :

d y = JT ^ x * d y , c quo se obtiene de la fórm u la 1), expuesta anteriorm ente, perm utando la s coordenadas x o y. Si ia curva se da de o t r o m odo (en form a p a ra m ótrica , en coordenadas polares, e t c ) en las fó rm u la s anteriores hay quo hacer el corresp on d ien te c a m b io de v aria b le de in teg ra ción .

x a F i g. 52 En oi caso más general, lo s volúm enes de lo s cuerpos engendrados ^ o r la rota ción de una figura, lim ita d a por las curvas — / t (x) e y 2 — h ( x ) {sien d o (x) < ' / 2 (* )) y por las rectas x = a, x = b y alrededor de lo s e je s de coordenadas O X y OY, serán respectivam ente V x = n ^ ( y l — y\)dx

V Vy = 2it ^ z ( y z — y j d x . a

Ejemplo 2. H a lla r el v o lu m e n do! toro, engendrado a l g irar el c ír c u lo > a) alrededor del eje O X (fig . 52). Solución. Tenemos:

Vi = 6 _ y n2 _ ^ e y2= b + y < i * - x 2. Por lo cual

o V x = n \ ({& + y az - x * ) 2 - ( b - y a * ~ x * y ¿ ] d x =

•J

—a

u = 4516 \ V a 2 — x* dx = 2n*a*b

—a esta ú ltim a integral se resuelve haciendo la s u s t it u c ió n r = a s e a í ) .

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173

Volúm enes de cuerpos sólidos

El v olu m en de un cuerpo, o b te n id o a l g irar un sector, lim ita d o por un a r c o de curva r — F ( w ) y d os rad ios polares rp= a ,
^ r

3 sen cpdcp.

E sta jn is m a fó rm u la es c ó m o d o a p lica rla cuando se busca el volum en d e cu erpos engendrados p o r la ro ta ció n , alrededor del eje p o la r , d o figuras lim ita d a s p o r cu a lq u ier curva cerrada, dada en coordenadas polares. E jem plo 3. D eterm inar el v o lu m en engendrado por la ro ta ció n de la curva r = ascn2q> alrededor del e je polar.

Solución. n

ji

C,

6

Vr> = 2 • ~

jí ^ r3 sen tp dq>= -g- na3 ^ sen3 2q> son cp ¿Zcp =

0

n

2

32 P 64 = y jia M sen4 (p eos3

*2 V — [ S (x)d x, «j

*1 d o n d e x ] y x 2 son las a b scisa s d o las seccion es extrem as de d i c h o cuerpo. E jem p lo 4. D eterm in ar el volum en de una cuña, cortada de un c i l i n d r o circu la r p o r un plano, q u e pasando p o r el d iá m e tr o de la base está in clin a d o respecto a e lla , form a n d o un ángulo a . E l radio de la base e s igual a H ífig , 53). S o Iu c i o n. T om a m os c o m o e je O X el d iám etro de la base, p o r el que pasa el p la n o de co rle , y corno e je O Y el d iám etro de la baso, perpendi cu la r al a nterior. La ecu ación de la circunferencia de la base será x 2- f ,V2 — R 2El área de la sección A B C , que se encuentra a la d ista n cia x del o rig e n de coordenadas O, será igual a S (¿r) = ar. AA B C = ^ A B * B C = ~ y y t g a — y

tg a.

P or lo que el volum on que se busca de la cuña, es

R V ~2 -y

R

\ y 2 tg a dx = tg a

b

(II 2 — x 2) dx —

a li3.

6

1 6 8 5 . H a l l a r e l v o l u m e n d e l c u e r p o e n g e n d r a d o p o r la r o t a c i ó n , a l r e d e d o r d e l e j e O X , d e la s u p e r f i c i e l i m i t a d a p o r e í e j e O X y la p a rá b o la

y = a x — x 2 (a >

0 ).

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174

In tegra l definida

1686. H a lla r

e l v o lu m e n

ro ta ció n do la elipse ^ + ¿ 2 = 1

d el e lip so id e ,

en gen drado

pór

la

alred ed or d e l e je O X .

1687. H a lla r e l v o lu m e n del cu erp o engendrado a l g ira r, alrededor del eje O X , la s u p e r fic ie lim ita d a por la c a te n a ria y = a c h - í - , el eje O X y la s rectas x — ± a . 1688. H a lla r el v o lu m e n del cu erpo engendrado a l g ira r, alrededor del eje O X , la c u r v a i/ = sen2 :r, en el in t e r v a lo x = 0, hasta z = n. 1689. H a lla r el v o lu m e n d e l .cuerpo engendrado al g ir a r la s u p e r fic ie lim ita d a por la parábola sem icú b ica y 2 = x 3, el eje O X y la recta x = l % alrededor d e l eje O X . 1690. H a lla r el v o lu m e n del c u e r p o engendrado al g ir a r la; misma s u p e r fic ie del problem a 1689, alrededor d e l eje O Y . 1691. H a lla r lo s volú m en es do lo s cu erp os engendrados al g ira r la s superficies lim ita d a s p o r las lín e a s y = e x , x = 0 e j/ = 0, alrededor: a) del eje O X y b) del eje O Y . 1 692. H a lla r el v o lu m e n del cu erp o engendrado al g ir a r , a lre ded or del eje O Y , la parto do la p a rá b ola y2 — 4 a x, q u e in te rce p ta la recta x = a . 1693. H a lla r el v o lu m e n del cu e rp o engendrado al g ira r, a lre dedor de la recta x — a , la parte de la p a rá b ola y 2 — 4 a x t q u o so intercepta por la m ism a recta. 1694. H a lla r el v o lu m e n del cu e rp o en gen drado a l g ira r, alrededor de la recta y = — />, la fig u ra lim ita d a por la parábola y2 z = 2 p x y por la recta x = y . 1695. H a lla r el v o lu m e n del cu erpo engendrado a l girar, alrededor del ejo O X , la s u p e r fic ie com pren did a entre la s pará b o la s y ~ x 2 e y = Y ' x . 1696. Ha l l a r el v o lu m e n del cu e rp o en gen drado a l g ira r, a lr e dedor del eje O X , el la z o do la cu r v a (x — 4 a ) ijl = a x (x — 3a) ( a > 0 ) . 1697. H a lla r el v o lu m e n del cu e rp o q u e se engondra al g ira r la

cisoid e y 2 s==» **

¿a “ x

, alred ed or do su a s ín to ta x — 2a.

1698. H a lla r el v o lu m e n del p a ra b o lo id e de r e v o l u c i ó n , si el radio de su base es 7? y su a ltu ra es H . 1699. Un segm en to p a r a b ó lic o r e c to , de base ig u a l a 2a y de altura h gira alrededor do su base. D eterm in ar el v o lu m e n del cu erpo de r e v o lu c ió n que se engondra (« lim ó n » de C a v a lie ri). 1700. Dem ostrar, q u e el v o lu m e n de la parte dol cu erpo de r e v o lu c ió n , engendrado a l gi rar la h ip é r b o la eq u ilá tera x 2 — j/2 = a 2 alrededor del eje O X , q u e in tercep ta el p la n o z = 2 a } es ig u a l al v olu m en de una esfera de radio a.

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V olúm enes d e cu erp os sólidos

1701. H a l l a r lo s volú m en es la fig u r a lim ita d a p o r un a rco

175

de lo s cu erp os engendrados al girar do la c ic lo id e

" x = a ( t — s e n ¿ ), y ~ a ( 1 — c o s í ) y p o r ol eje O X , alred ed or: a) d e l eje O X y b) del eje OY y c) del eje de s im e t r ía de la fig u ra . 1 702. H a l l a r el v o lu m e n dol cu erp o en gen d ra d o al g ir a r la astroide x ~ a e o s 3 *, y = 6 sen3 ¿ alrededor del eje O Y . 1703. H a lla r el v o lu m e n del cu erp o q u o resulta de la rotación de la c a r d io íd e r = a ( 1 +CGS 1, m ien tras q u e e l p la n o del c í r c u l o es p e r p e n d icu la r al p la n o X O Y . H a l l a r e l v o lu m e n del cu erpo en gen drado p o r d i c h o c ír c u lo . 1 709. E l p la n o de un tr iá n g u lo m ó v il perm anece p erp en d icu la r al d iá m e tro f i j o de un c í r c u l o de ra d io a. L a base del tr iá n g u lo es la cu erda de d ic h o c í r c u l o , m ien tras q u e su v é r t ic e resbala por una recta p a r a le la al d iá m e tro f i j o , q u e se en cu en tra a una dis ta n c ia k del p la n o del c í r c u l o . H a lla r el v o lu m e n del cu erp o (lla m a d o conoide) en gen d ra d o p o r el m o v im ie n to de este triá n g u lo desde un e x tre m o del d iá m etro h asta el otro. 1710. H a l l a r el v o lu m e n del cu e rp o l im it a d o p o r Jos c ilin d r o s x 2 -\-z2 = a 2 e y 2 + z2 = a 2. 1 7 1 1 . H a l l a r el v o lu m e n del se g m e n to d el p a ra b o lo id e e l íp t ic o ?/2 z2 in te r c e p ta d o p o r el p la n o x = a. 1712. H a l l a r el v o lu m e n d el le2 v2 22 loid e ue u n a h o ja ^ 2" + -p —

cu e rp o y

lim ita d o p o r el h ip é rb o *03 P*anos 2 = 0 y z = * k .

1 713. H a l l a r el v o lu m e n del e lip so id e

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+

------ ¡ 3" “

Integral definida

176

§ 10. Area de una superficie de revolución El área de una su p e rficio engendrada p o r la ro ta ció n , alrededor del eje O X , del arco de una cu rva regular y = / ( « ) , entro lo s pu n tos x — a y x = b, se expresa por la fórm u la b

J a

y V ' í + F 5 d*

(i)

a

(ds es la d ife re n cia l del arco de la curva). Guando la ecu ación de la curva se da de otra form a, el área de la su p e rficio S x o b tie n e de la fó rm u la (1), efectu a n d o lo s correspondientes c a m b io s do variables.

F i g . 54 E j e m p l o 1. H a lla r el área do la a lred ed or d e l o jo O x , el lazo de la curva = Solución. tenem os: =

y—

Para

la

s u p e r fic ie

Do

ai

girar

( f i g . 54).

parte su perior de

Z — x)~\/ x.

engen drada

aq u í

q ue

la cu rva, la

cuando

d ife re n cia l

del

arco

ds =

x ~j 1 ^ r = d x . P a rtieu do de la fó rm u la (1), el área do la su p e rficio será 2 [/x 3

£ = 2it [ 4 - ( 3 - z ) V z I 3

- ^ L d x = ¿Tí. 2 l/z

E j e m p l o 2. H a lla r e! área de la su p e rficio engendrada al g ira r un a rco do la c ic lo id e x = a { t — sen t); y = a ( l — cos t), alred odor de su e j e de sim etría (fig . 55). S o l u c i ó n . La su p e rficie quo so busca está engendrada p o r la rota c ió n del a rco O A alrededor de la recta A B , cu ya e cu a ción e s x = n a. T om a n do y c o m o v aria b le in depen dien te y ton ion d o en cuenta q ue el eje de ro ta ció n A B está desplazad o con respecto a i ejo de coo rd eo a d a s O Y a una d is ta n cia n a , tendrem os 2a

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177

A r c a de una su perficie de revolución Pasando a la v a ria b le l, obtenem os;

ji S c * 2 n ^ (na — at + a son t) j / " (

n r»

di =

n

= 4íW* ^ = 4?ta-

dt

¿

= 2 n \ (na — a l + a sen t) 2a sen

0

2+

^ SeU ~S— * S8Q T

SCn * Sen

~

— 2ji e o s y + 2* c o s -^ -— 4 s e n -^ - + y s cn 3 y

] * = &t

— y ) a1.

• 1714. En la f ig . 56 se dan las dim ensiones de u n espejo para b ó li c o A O B . H a y que ha l l a r l a s u p e r fic ie de este espejo.

F i g. 56

1 715. H a l l a r el área de la s u p e r fic ie del «huso», que resulta al g ir a r u n a sem ion d a de la sin u soid e y = s e n x alred ed or de! eje O X . 1 716. H a l l a r el área de la s u p e rficie engendrada por la rotación de la parte de la ta n g en to id e y = t g x , com p ren d id a entre ar = 0 y x = ~

y alrededor dol eje O X .

1 7 Í7 . H a lla r el área de la s u p e rficie engendrada por la rota c ió n , alred ed or d el eje O X , del a rco de la cu rv a y = e~x com p ren d id o entre x = 0 y x = -f- c o . 1718. H a ll a r el área de la s u p e rficie (d en om in a d a c a te n o i d e ) } en gen drada

por

la

r o t a c ió n

de

la

ca te n a ria y = a c h y

del e je O X , en tro lo s lím ite s x — 0 y x — a . 12—

io ig

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alrededor

178


1719. H a lla r el. área de la su p erficie de r e v o lu c ió n de la astroido + y'2^ = alrededor del eje O Y . 1720. H a lla r el área de la su p erficie de r e v o lu c ió n de la cu rva x = ~ í / * — ~lnr/

alrededor

del

eje

OX,

com p ren d id a

entre y = 1

e y = e. 1721*. H a lla r el área de la s u p e rficie del to r o en gen d ra d o por la r o ta c ió n del c í r c u l o x* + 0 / — ó)2 = a 2 alrededor d el eje O X ( ¿ > a). 1722. H a lla r el área de la s u p e rficie en gen drada al g ir a r la elipse - ^ - + - ^ - — 1 alrededor: 1) del e je O X ; 2) d e l e je OY" ( a > b ) . 1723. H a lla r el área de la s u p e r fic ie en gen drada de los arcos de la c i c l o id e x = a ( l — sen Z), z/ = a ( 1 — dor: a) del eje O X ; b) del eje O Y ; c ) de la tangente en su p u n to superior. 1724. H a lla r el área de la s u p e r fic ie engendrada c i ó n, alrededor del eje O X t de la ca rd io id e

al g ir a r u n o c o s í ) alrede a la c ic lo id e p o r la rota

x = a (2 eos t — eos 2 í), i/ =
§ 11. Momentos, Centros de gravedad. Teoremas da Guldln i ° . M o m e n t o e s t á t i c o . Se denom ina momento estático do u n punto m aterial A, d o m asa m, s it u a d o a una d is ta n c ia d del o j o / , co n respecto a este m ism o o j o Z, a la m a g n itu d

R e cib e el nom bre de momento estático de un sistem a de n p u n t o s m ate riales, do masas mu m2, m*, situ a d os en el m is m o p la n o que el e j e l, co n respecto a l cual se tom an, y separados de é\ p o r las d ista n cia s dj* ¿o. • d/i. la suma

M t= 2

rmd,,

(1)

i= i debiendo tomarse las d ista n cia s de lo s p u n to s quo se encuentren a u n lado del eje l con sig n o m ás ( + ). y los q ue estén al o tro , co n s ig n o m enos ( — ). Do form a a n á loga se determ ina el momento estático de un sistema de puntos co n respecto a un plano. Si la masa ocupa con tinu am ente toda una línea o una fig u ra del p la n o X O Y , los m om en to s e s tá tic o s M x y M y respecto a lo s e je s de coordenadas O X y O Y , en lu ga r de la suma (1), se expresan por las correspondientes integrales. Cuando se trata de fig u r a s g eom étricas, la den sidad so considera igual a la unidad.

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M om en tos. C entros de gravedad. T eorem as de G uldln__________ 179 E n p a r tic u la r : 1) para la curva x = x ( s ) ; y = //(.?), d on d e el p a rá m otro * es lo lo n g itu d del arco, tenem os: h L M x = ^ y (s) ds;

(ds — V (dx),¿ + {dy)2 es la d ife r o u c ia l d e l arco); 2) para una fig u r a p lan a , lim it a d a p o r y d os v e rtica le s x = a e y = bt obten em os:

b M

X = T

5

( 2)

M y = | x (s) tlx

la cu rv a

y = y { x ) , el o jo O X

t> y ' y I d x '’

M^ - \

<3)

x \y\d x(\

E j o r a p l o t . H a lla r los m om e n to s está tico s, resp ecto a los ejes O X y O Y , d o l tr iá n g u lo li m i t a d o p o r las rectas: -a + To - = 1 > * = ° * J' = ° (f i g ‘ 57>Solución.

obtenemos:

En esle caso, y — b ^ i — í - J .

A p lic a n d o

la

fórm u la

(H)x

a

6

2 o. M o m e n t o s d e i n e r c i a . Se d en om in a momento d e inercia > respecto a u n e j e J, de u n p u n to m a te ria l de masa m y situ a d o a una d istan cia d d e d i c h o e j e l t a l nú m ero

F i g. 58 Se d o c ! n o m b r e de momento de ine rc ia t respecto a un eje / , de un sistem a de n p u n to s m a te ria le s, de m asas mit m+, . . . mn , a la suma h =

i= i 12*

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180


d o n d o d¡, d-¿, . . . • dn, son las d ista n cia s desdo los p u n to s a l eje l. Cuando la masa es con tin u a, en lu g a r de la suma, obtendremos, la in t e g r a l co rre s pondiente. l í j e m p l o 2. H a lla r el m om e n to de in e rcia do un tr iá n g u lo do base b y altura h, respecto a su p ro p ia base. S o l u c i ó n . T om am os lá base del triá n g u lo co m o e je O X y su altura c o m o eio O Y ( f i g . 58). D iv id im os ol triá n g u lo en f a ja s h oriz on ta les in fin ita m e n t e delgadas, d e espesor d y , que juegan el papel de masas elem entales dm. E m p lea n d o la sem ejanza de triá n g u los, obtenem os: dm = b k

dy

v d i x = y 2 dm = A " ( h _ . y) dy. De donde

h l x = i \

y2 (h ~ - ^ dy = j 2 bh'K

3o. C e n t r o d e g r a v e d a d . Las coordenadas del cen tro de gravedad d e una figura plana (ya sea a rco o superficie) de m asa M , se c a lc u la n por las fórm u la s —

z -

M xr Y

—

M

M x

M

'

don de M x y M y son lo s m o m e n to s e s tá tic o s de las m asas. C u ando se trata d e figuras geom étricas, la m asa M es nu m éricam ente ig u a l a l correspond iente a rco o a l ároa. : Para las coordenadas dol c o n t r o de gravedad (x , y) d e u n a rco de curva plan a y — f (x ) ( a ^ x ^ b ) , q ue une los pu n tos .«4 (a; / (a )) y £ ( & ; / ( £ ) ) * tenemos n

b

n

J x ds

J x '\/í + ( y ' ) 2 d x

[ y ds

~X=^-—

= a-r----------------------

l

'

¡ yi+(y')*dx

a

a

j y y ' l + (y ') * d x

a

,

V í + í y ' í 2 dx

b

a

Las coordenadas del cen tro de gravedad (x. y) del trap ecio x b, 0 < . y / { » ) , so pueden ca lc u la r p o r la s fórm u la s

b

m ix t il ín e o

b x y dx

s

T ’

5 y it ix

s

b donde

y dx e s el área de la figura.

Fórm ulas análogas se e m p le a n para h allar las coorden adas del cen tro de gravedad de lo s cuerpos só lid o s .

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M om entos.

C entros de gravedad.

T eorem as de Guldin

181

E j e m p l o 3. H a lla r el ce n tro de gravedad del arco do la s e m icircu n ferencia x 2 + y2 = a2 ( y > 0 ) ( f i g . 59). S o I l i c i ó n . Tenemos

y «= y ^ 2 —

ds = y i +

—x

y'

(/)2

dx =

ya *—*

De donde a A/y =

^ x ds—

^ —a

a: V«2.

d x bs 0,

Af — a

—a

a

f*

a rfz

\ — ___

A í=

—a P or co n sig u ie n te , _

x = 0; 4o. T e o r e m a s a rco

do

— 2 j/ = —tf.

Guldin.

T e o r e m a 4°. E l 'á r e a do la su p e rficie engendrada por la rota ción del de una curva plan a a lre d ed o r de un e je , situ ado en e l m ism o plano

que la cu rva, p e ro q ue n o so corta co n e lla , es ig u a l a l p ro d u cto d o la lon g itu d d e d ic h o a rco p o r la lo n g itu d do la circu n fe re n cia quo describe el centro de gravedad del m ism o. T e o r e m a 2o. E l v o lu m e n d e l cuerpo engendrado p o r la r o t a c ió n do una fig u ra p la n a alrededor d e un eje, s itu a d o on el m is m o p la n o que la fig u ra , pero q ue n o se corta co n o lla , es igual a l p rod u cto d e l área de dicha fig u ra p o r la lo n g itu d de la circu n fe re n cia q u e describe e l cen tro de grave dad de la m ism a.

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182

/ nttgral definida

1727. H a l la r lo s m o m en tos e stá ticos, respecto a lo s e je s de c o o r denadas, del seg m en to de la lín e a recta

com p ren d id o entro d ich o s ejes do coorden adas. 1 728. H a l l a r los m o m e n to s está ticos del re c tá n g u lo de lados a y b, respecto a estos m ism o s lados. 1729. H a l l a r lo s m o m e n to s e stá tico s, respecto a l o s e je s O X Y O Y , y Ihs coordenadas d el ce n tr o de g ra v e d a d d el tr iá n g u lo lim ita d o p o r las rectas: re + r/ = a , x = 0 e y = 0. 1730. H a l l a r los m o m e n to s e stá ticos, respecto a lo s ejes O X y O Y , y las coordenadas del cen tro de g ra v e d a d d e l arco de la astroide * 8/3 4 - y v * = a 2/», situ a d o on el prim er c u a d r a n t e . 1 731. H a l l a r e l m o m e n t o e s tá tic o de la circu n fe re n cia r = 2a sen
del

ce n tr o de g ra v e d a d d e l arco

y = a ch — com p reu d id o en tro x = — a y x = a. 1733. H a l l a r el ce n tr o de gravedad del arco de cir cu n fe r e n cia , de radio a, q u e su b tie n d e e l á n g u lo 2a. 1 7 3 4 . H a lla r las co o r d e n a d a s d el cen tro de g r a v e d a d d e l prim er a rco de la c ic lo id e x — a ( t — s e n t)',y = a ( i — c o s í ) . 1735.

H a l l a r las

coo rd en a d a s

fig u ra lim ita d a por la elipse

del c e n tr o = l

y

denadas O X y O Y ( x > 0 , j / > 0 ) ( 0 < í < 2 j c ) . t7 3 6 . H a lla r las c o o r d e n a d a s del ce n tr o figura lim ita d a por las c u r v a s

de

g ra v e d a d

de la

p o r lo s e je s de c o o r de

g ra v e d a d

de la

1737. H a l l a r las c o o r d e n a d a s d el ce n tr o de fig u ra lim ita d a por el p r im e r arco de la c ic lo id e

gravedad

de la

y = x i\

x

= a (t — sen t ) y

y = V ~ x.

y = a (1 — eos t)

y por el eje O X ,

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183

1738**. H a l l a r el cen tro de g ra v e d a d del h em isferio de radio a, con el c e n tr o en e l o rig e n de coorden adas, situ a d o sob re el p la no X O Y . 1739**. H a l l a r e l c e n tr o de g ra ved a d de u n c o n o c ir c u la r recto, h o m o g é n e o , si el ra d io de la base es r y la altura es h. 1740**. H a l l a r el c e n tr o de g ra ved a d del h em isferio de una b o la h o m o g é n e a do ra d io a, con el cen tro en el origen de co o rd e nadas, s itu a d o s o b r e el p la n o X O Y . 1741. H a l l a r el m o m e n to d e in ercia de una circu n fe re n cia de radio a y respecto a su p r o p io d iá m e tro . 1 7 4 2 . H a l l a r e l m o m e n to de in ercia de un r e c tá n g u lo de lados a y 6, respecto a estos lados. 1743. H a lla r el m o m e n to de in e rcia do u n segm ento p a r a b ó lic o recto, respecto a su eje de s im e tría , si la base es 2b y la altura es h. 1744. H a l l a r el m om en to de in ercia de la s u p e rficie de la e l i p s e +

=

respecto a sus ejes p rin cip a les.

1745**. H a l l a r el m o m e n to p o la r de in ercia de un a n i l l o c i r c u lar de radios R t y i ? 2 es d e cir, e l m om en to de inercia respecto al eje q u e pasa p o r el cen tro d e l a n i l l o y es perpen dicu la r a l p l a n o d e l m ism o. 1746**. H a l l a r el m om en to de in e rcia de u n c o n o c ir c u la r recto, h o m o g é n e o , respecto a su e je , si el radio de la base es Ji y la a ltu r a es / / . 1747**. H a lla r e ! m o m e n to de in ercia de una b o la h om ogén ea de r a d io a y m asa M , respecto a su diám etro. 1748. H a l l a r e l área y e l v o l u m e n de un to r o en gen drado por la r e v o lu c ió n de u n c í r c u l o de r a d io a , alrededor de un eje situado en e l m ism o p la n o que el c í r c u l o y que se en cu en tra a una d is ta n c i a b ( b ^ a ) d e l c e n tr o de este. 1749. a) D e te r m in a r la p o s ic ió n d e l co n tr o de g ra ved a d d e l a r c o de la astroide + = a ¿/*y situ a d o en el prim er cuadrante. b) H a l l a r el c e n tr o de g ra v e d a d de la fig u ra lim ita d a por las cu r v a s y 2 = 2 p x y x - — 2 p y. 1750**. a) H a l l a r el c e n t r o de g ra v e d a d dei s e m ic ír c u lo , a p l i c a n d o el teorem a do G u ld in . b) D em ostrar, a p lic a n d o el teorem a de G u l d i n , q u e el centro d e g ra v e d a d de u n tr iá n g u lo dista de su base a u n tercio de la a ltu r a . § 12. A p lic a c ió n de la s I n t e g r a le s d e fin id a s a la r e s o lu c i ó n de p rob le m a s de f í s i c a í°. T r a y e c t o r i a r e c o r r i d a p o r u n p u n t o . Si un puntóse mueve sobre una curva y el valor absoluto de su velocidad v = f ( í ) es una función conocida del tiempo í, el espacio recorrido por dicho punto en un

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184


in te r v a lo de tiem p o [lit t z] será ig u a l a

J i(t)d t. h E jem plo

1.

La v e lo c id a d de un p u n to es ig u a l a

i>= 0,1í3 rn/seg. H a lla r el esp acio s % re corrid o por el p u n to , durante un in te r v a lo de tiem p o 7 ^ = 1 0 seg, tra n scu rrido dosde el c o m ie n z o de su m o v im ie n t o . ¿Á q ue será igual la v o lo c id a d m edia d o l m o v im ie n t o durante este in te r v a lo ? S o l u c i ó n . Tenem os

ÍO

10

¡>= ^ 0,1Í3 d t = 0,1

0

o

= 250

y

2o. T r a b a j o do una fuerza. Si una fuerza v a r ia b le X = f ( x ) actúa en la d ir e c c ió n del ojo O X , ol trabajo de esta fuerza en el segm onto [ x ,, x 2] será ig u a l a

? A = . \ / (x) dx.

V

E j e m p l o 2. Si para estirar u n m u e lle 1 c o i se n ecesita una fuerza do 1 k g f ¿qué trabajo habrá q u o om plcar para e s t ir a r lo 6 cm ? S o l u c i ó n . P o r la l e y de H o o k e , la fuerza X k g f q u e estira en x luollo e s ig u a l a X = k x , d on d o k es un c o e f ic ie n t e cío p ro p o rcio n a lid a d . S u p on ien do quo 2 = 0,01 m y X = 1 k g f , tendrem os q uo /¿ = 100 y , p o r co n s ig u ie n te , X = 1 0 0 x . De a q u í, q uo el tr a b a jo q ue se busca c*s: 0.06

s

0,06

lOOx d x = 5 0 j 2

= 0 ,1 8 k g f w.

3o. E n e r g í a c i n é t i c a . So da el n o m b re de energía cin ética d o un p u n to m a te ria l, de m asa m y v e lo c id a d ut a la sigu ien te e x p r e s ió n : A' L a energía cin ética d e un sistem a d e n p u n to s m a teria le s, d e masas m2, mn , cu y a s v e lo c id a d e s ro sp ectiv a s sean v lt vz , . . . , vn , es ig u a l a

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Para c a lc u la r la en ergía c in é t ic a de un cuerpo, h a y q ue d i v i d i r l o con v en ien tem en te en partos elem en ta les (que ju egan el papel de puntos m ate riales) y , después, su m a n d o la energía c in é t ic a de estas partes, 5' pasando a lím ite s , en lu ga r de la sum a (1) se obtendrá la correspondiente in teg ra l.

E j e m p l o 8 . H a lla r la energía c in é t ic a do un c i lin d r o circu la r h o m o géneo (m a cizo ), de den sidad ó, c u y o r a d io d e la baso es i? y la altura h 9 quo gira co n una v e lo c id a d a n g u la r oí alrededor de su ejo. S o l u c i ó n . C om o masa e lem e n ta l dm s e tom a ia m asa de un c ilin d r o hueco, d e altura h, radio in te r io r r y espesor d e la pared dr ( f i g . 60). Tonem os: dm — 2 n r-k d dr. Com o ia v e lo c id a d c in é tica elem en tal es

lin e a l de la

dK =

masa dm es ig u a l a ¿>= ro). la energía

= Jtr3ú)2A<5 dr.

De donde R 9, A 0 . . . n
0 4 o. P r e s i ó n d e l o s l í q u i d o s . Para c a lc u la r la fuerza co n q ue presionan lo s líquidos se e m p le a la le y do Pascal, según la cu a l, la presión que ejercen lo s líq u id o s s o b ro u n área S su m ergida a una p rofu n did a d h r es ig u a l a P = yhSt d on d e y os el peso e s p e c íf ic o del líq u id o . E j e m p l o 4. H a lla r la presión quo s o p o rta u n s e m ic ír c u lo de ra d io r , s u m e r g id o v e r tic a lm o n t e e n agua, de tal fo rm a , quo su d iá m e tr o co in c id e con la s u p e r f ic ie lib r o de a q u é lla ( f i g . 61). S o l u c i ó n . D iv id im o s ia su p e rficie del s e m ic ír c u lo en elem entos, f a ja s p a ralelas a la s u p e r fic ie d e l agua. E l área de u n o de e sto s elem en tos (o m i tien d o lo s in f in it é s im o s de o rd en su p e rio r), situ a d o a la d ista n cia h de la s u p e r fic ie d e l agua, os ig u a l a d S = 2x dh = 2

dh.

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In tegra l definida La prosión q ue so p o rta este e le m e n to es ig u a l a d P = Yh d $ = 2 y k

dht

d on d e y GS el PGS° e s p e c ífic o dei agua, igual a la unidad, Do aq u í que, la presión total es

r

r» P= 2 ^

f ( r 2 — h2)

1751. La v e locid a d de un cu erp o, lan za d o h acia arriba v e rtica lm e n to c o n una v elocida d in icia l v0, despreciando la resistencia del aire, se expresa por la fó rm u la ” = v0 — gt, dondo t es el tiem po transcurrido y g la a c e le ra ció n de la g r a v e dad. ¿A qué distancia de la p o s ició n in ic ia l se en con trará este c u e r p o a lo s t seg de h a b erlo lanzado? 1 752. L a v e lo cid a d de un cu erp o , lanzado v e rtic a lm e n te hacia arriba con una v e locid a d in ic ia l t?0, con ta n d o la resisten cia del aire, se expresa por la fó rm u la

donde t es el tiem po transcurrido, g es la a c e le ra ció n de la gra vedad y c os una con stan te. H a lla r la altura a que se e le v a el cu erpo. 1753. U n p u n to del eje O X vib ra a rm ó n ica m e n te alred ed or del origen de coordenadas con una v e lo cid a d que viene dada p o r la fórm u la V — I>0 eos Cú¿, don de t es el tiem po y v0 y co son unas con stan tes. H a lla r la le y de la v ib r a c ió n del p u n to, si para t = 0 tenía una abscisa x = 0 . ¿ A q u é será igual el v a l o r m ed io de la m ag n itu d absoluta de la v e lo cid a d del punto durante e l período de la vib ra ción ? 1754. La v elo cid a d del m o v im ie n to de u n p u n to os v = t e ~ ° > 0it m/seg. H a lla r el ca m in o reco rrid o por d ic h o punto desde que com en zó a m overse hasta q u e se pare p o r com p leto. 1755. Un p r o y e c til co h e te se levan ta v e rtica lm e n te . S u p on ien d o que, siendo con stan te la fuerza de arrastre, la a c e le r a c ió n del co h e te aum enta a causa de la d is m in u ció n de su peso según la le y

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187

h a lla r la v e lo c id a d d e l c o h e t e en c u a lq u ie r in sta n te ¿, s i su v e lo c i d a d in ic ia l es ig u a l a c e r o . H a lla r ta m b ié n la altura q u e alcanza •el c o h e te e n el instante 2 — / 4. 1 7 5 6 * . C a lcu la r el tr a b a jo necesario para sacar e l agua que h a y en una cu ba c ilin d r ic a v e r t ic a l, que tien e un ra d io de base lí y una a ltu ra II. 1757. C a lcu la r e l trab ajo necesario para sacar el agu a que h a y e n un re cip ien te c ó n ic o , c o n e l v é r t ic e h a cia a b a jo , c u y o radio d e la base es R y la altura H . 1 7 5 8 . C a lc u la r el tr a b a jo necesario para sacar el agua de una 'Caldera sem iesíérica , que tie n e un radio R = 10 m. 1759. C a lc u la r el tr a b a jo necesario para sacar, p o r e l o r if ic io s u p e rio r, el a coito co n te n id o e n una cisterna de form a c ilin d r ic a •con e l e je h o r iz o n t a l, si el peso e sp e cífic o d e l a ceite e s y , la lo n g it u d de la cisterna I I y el ra d io de la base R . 1 7 6 0 * *. ¿O u é tra b a jo h a y que rea lizar para le v a n ta r un cuerpo de m asa m de la s u p e rficie de la T ie rra , c u y o radío e s R t a una a lt u r a h ? ¿-4 q u é será ig u a l este trab ajo si h a y q u e expu lsar «el cu erpo al in fin ito ? 1 7 6 1 * * . D o s cargas e lé c tr ic a s eo = 100 C G S E y e4 = 2 00 CGSE s e en cu en tra n e n e l e je O X en lo s pu n tos x o — 0 y x l = i cm , re sp e ctiv a m e n te . ¿Q ué tr a b a jo se realizará si la segunda carga se traslada a l p u n to x 2 = 1 0 cm ? 1 7 6 2 * * . U n c ilin d r o c o n u n é m b o lo m ó v i l , de d iá m etro D = 2 0 cm y de lo n g itu d Z = 8 0 c m , está l l e n o de v a p o r a p re sión de p = — 1 0 k g f/c m 2. ¿Q ué tra b a jo h ace fa lta r e a liz a r para dism in u ir e l v o lu m e n del v a p or e n d o s veces si la tem peratura e s constante ( p r o c e s o isotérm ico)? 1 7 6 3 ** . D e te rm in a r e l trab ajo rea lizad o e n la e x p a n sió n adia b á tic a d el aire, hasta ocu p a r un v o lu m e n 1^ = 1 0 m3, si el v o lu m e n in ic ia l es F 0 = l m 3 y la p re sión P o = l k g f / c m 2. 1 7 6 4 * * . U n á rb o l v e r tic a l, de peso P y radio a , se a p oy a en u n a ra n gu a A B ( fig . 6 2 ). L a f r i c c i ó n en tre una parte pequeña o d e la base del á rb o l y la s u p o rficio del a p o y o que está en c o n t a c t o c o n e l l a es ig u a l a F = \ipo1 dondo p = co n s t. e s la presión d o l á r b o l sobre la s u p e r fic ie del a p o y o , referida a la unidad de s u p e r fic ie d e l m ism o , y ¡x es el c o e fic ie n t e de f r ic c i ó n . H a lla r e l tra b a jo de la fuerza de f r i c c i ó n o n una r e v o lu c ió n d e l á rb ol. 1 7 6 5 * * . C a lcu la r la en org ía c in é t ic a de u n d isco , d o masa M y r a d io R , que gira a lr e d e d o r de un o je que pasa por su ce n tr o y o s p e rp e n d icu la r al p la n o d el d isco con una v e lo c id a d angu l a r co. 1 7 6 6 . C a lc u la r la en ergía c in é t ic a de un c o n o c ir c u la r recto, d e m a sa M , q u e gira alred ed or de su e je c o n una v e lo c id a d angu la r co. E l radio de la base d e l co n o es R , la a ltu ra I I .

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m

Integral definida

1 7 6 7 * . ¿Q ué trab ajo es n e ce s a rio realizar [para deten er una b ola de h ie rro de ra d io i ? = 2 m, q u e gira alrededor de su d i á m etro c o n una v e lo cid a d a n g u la r ío = 1000 v u e lta s /m in u to ? (E l peso e sp ecífico d e l h ierro y = 7 ,8 g f /c m 3). 1768. U n tr iá n g u lo d e base b y a ltu r a h está su m ergid o v e r ticalm en te en agua, c o n el v é r tic e h a cia a ba jo, de form a, q u e su

i '

base c o in c id e c o n la su p erficie del agu a. H a lla r la presión q u e el agua ejerce sobre é l. 1769. Una presa v e r tic a l tiene form a de tra p e cio . C a lc u la r Ja presión tota l del agu a sobre d ich a presa, sabien do que la base superior tien e a = 70 m , la base in fe r io r ó = 5 0 m y su a ltu ra k = 20 m . 1770. H a lla r la presión que ejerce un l í q u i d o , c u y o peso espe c í f i c o es y , sobre una elipse v e r tic a l, de ejes 2a y 2b, el ce n tr o de la c u a l está su m ergid o hasta una p rofu n d id a d h. E l eje m a y o r 2a de la elipse es p a ra le lo a la su p erficie del líq u i d o {h > b ). 1771. H a lla r la presión que ejerce el agua sob re u n c o n o c i l i n d rico v e r tic a l, con ra d io de la base R y a ltu r a H , su m erg id o en ella c o n el v é r tic e h acia a ba jo, de form a que la base se encuen tra al n iv e l del agua. P rob lem a s

d iv erso s

1772. H a lla r la masa de una barra de lo n g it u d ¿ = 100 c m r si la densidad lin e a l de la m ism a a la distan cia x cm , respecto a uno de lo s extrem os, es igual a 6 = 2 + 0,001a;2 — . ' cm 1773. Según datos e m p irico s, la capacidad c a lo r íf ic a e sp ecifica del agua, a la tem peratura ( 0 < ¿ < 1 0 0 ° ) , es ig u a l a c = 0 ,9 9 8 3 -

5 ,4 8 4 *10"5* + 6 , 9 1 2 - 10~7¿2.

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A p lica ción de las in t . d ef. a la resolución de problem as de jísica

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¿Q ué ca n tid a d de c a lo r se necesita para calen tar 1 g de agua desde 0o hasta 100° C? 1 774. E l v ie n to ejerce una presión u n ifo rm e p g f / c m 2 sobre una puerta, cu y a a n ch u ra es b cin y la altura h c m . H a lla r e l m om en to do la fuerza c o n que presiona el v ie n to , q u e tiende a h a cer girar la puerta sob re sus goznes* 1 775. ¿Q ué fuerza de a t r a c c ió n ejerce una barra m aterial, d e lo n g it u d l y masa M y sobre un punto m a te ria l de masa m , situ a d o en la m ism a recta de la barra a una distancia a de uno d e sus extrem os? 1 7 7 6 * *. C u an do la c o r rie n te de líq u id o q u e pasa p o r un tubo d e s e c c ió n c ir c u la r , de ra d io a , es la m in a r estable, la v e lo cid a d v e n u n p u n to que se en cu en tra a la distan cia r del e je del tubo, s e expresa p o r la fórm u la

d o n d e p es la diferencia de presión dol líq u id o en los extrem os d e l tu bo, ¡i es el c o e fic ie n te de v isco s id a d y l la lo n g itu d del tu b o . D eterm in ar el gasto d e líquido Q , es decir, la can tidad del m ism o q u e pasa p o r la s e cció n transversal d el tu bo en la unidad d e tiem p o. 1 77 7 *. Las m ism as co n d ic io n e s d el problem a a n te rio r (1776), pero c o n un tu b o de s e c c ió n recta n g u la r, en que la base a es g ra n d e con r e la c ió n a la a ltu ra 2 b. En esto caso, la velocidad de la co rrie n te v en el punto M (x . y) se determ ina por la f ó r m u la

D eterm in ar el g a sto Q de líq u id o . 1 7 7 8 * * . A I estudiar la s cu a lid a d e s din á m ica s de lo s a u t o m ó v i le s se recurre frecuentem ente a la c o n s tr u c c ió n de dia gram as espe c ia le s : sobre el eje de abscisas se tom an las v elocida des v y sobre el de ordenadas, la s m a gn itu d es inversas a las correspon dien tes a ce lera cio n es a . Dem ostrar, q u e el área S , lim ita d a por la curva d e esta g r á fic a , por la s d o s ordenadas 1; = ^ y y = i ; 2 y el eje de abscisas, es n u m érica m e n te ig u a l al tiem p o que se necesita para a u m en tar la v e lo c id a d del a u t o m ó v il desde v t a v z (tiem p o de « e m b a la d o »). 1779. U n a v ig a h o riz o n ta l, de lo n g itu d l, está en e q u ilib r io b a jo la a c c ió n de una carga, u n iform em en te repartida a lo la rg o de e lla y d ir ig id a v e rtica lm en te h a cia abajo, y de las reacciones de sus a p o y os A y

=

=

dirig id a s verticalm en te hacia

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190


arriba. H a lla r el m om en to de f le x i ó n M x cu la s e c c ió n transver sa l x y es decir, el m om e n to respecto al p u n to P , de abscisa x y de todas las fuerzas q u e a ctú a n on la parte A P de l a viga. 1780. U n a v ig a h o riz o n ta l, de lo n g it u d l , está en e q u ilib r io bajo la a c c ió n de las reaccion es de sus a p oy o s A y B y de una carga repartida a lo la r g o de la m ism a, c o n una intensidad de q — k x , donde x es la d is ta n c ia al a p o y o izquierdo y k un c o e fi cie n te co n sta n te. H a lla r e l m o m e n to de f le x i ó n M x en la s e c c ió n x * O b s e r v a c i ó n . S e d a e l n o m h r e d o i n t e n s i d a d d o d i s t r i b u c i ó n d e la c a i g a , a Ja c a r g a ( f u e r z a ) r e f e r i d a a l a u n i d a d d e l o n g i t u d .

1781*. H a lla r la ca n tid a d de c a lo r que desprende una corrien te a ltern a sinusoidal

durante el período T en un c o n d u c to r de resistencia R .

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C a p ítu lo V I

F U N C I O N E S DE V A R I A S V A R I A B L E S

§ 1. Conceptos fundamentales I o. C o n c e p t o d o f u n c i ó n d e v a r i a s variables. Design a c i o n e s d e l a s f u n c i o n e s . Una m a g n itu d v a ria b le z se denom ina función u n ifo rm e de d os v a ria b les x e y, s i a cada c o n ju n to do valores de éstas ( x , y) d e ! ca m p o d a d o , correspondo un v a l o r ún ico y d ete rm in a d o de z. Las v a r ia b le s x e y se lla m a n argumentos o variables independientes. La depen dencia fu n cio n a l se representa así: - = / ( * , y );

z = F ( x , y);

etc.

Las fu n cio n es de tres o m ás argum entos so dofinen de manera análoga. E j e m p l o 1. E x presa r el v o lu m e n V del c o n o en fu n c ió n de su gene ratriz x y del r a d io d© la base y. S o l u c i ó n . S abem os p o r la geom etría, q ue el v o lu m e n del co n o es ig u a l a V = ~ ~ n y 2h,

donde h es ia altura deí con o. Poro k = ~/x'¿ —

P or co n sig u ie n te,

v = — ay* y * « —y*. Esta es, precisam ente, la dependencia fun cion al que se buscaba. E l v a lo r de la fu n ció n z = f ( x y y) en el p u n to P { a , b ), es d e cir, cuando x = a e x = 6, se designa p o r f ( a , b) o f ( P ). La representación geom étrica de la fu n c ió n z = f ( x , y) en un sistem a de coordenadas cartesianas X , Y , Z es, en térm inos generales, una su p e rficie (fig . 03).

E jem plo

2. H a lla r / (2, — 3) y / ^1,

H , Solución.

■

P o n ie n d o z ~ 2 e

— 3, hallam os: 22 4

/<2. - 3 )

j , si

. ( — 3)2

2 - 2 - ( — 3)

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13 12

Funciones d e varias variables

102

P o n ien d o x ~ i y su stitu y e n d o y p o r t e n e m o s : x 2

*»+y2 2xy

2-1 es d e cir,

/ ^1,

= / ( * , y).

2. C a m p o d e e x i s t e n c i a d e Ja f u n c i ó n . P o r cam po de e x i s tencia (de definición) d e la fu n c ió n s = / ( x , y ) , se e n tie n d e el c o n ju n to de pu n tos ( * , y ) d e l p la n o X O Y q ue determ in a n la fu n c ió n da d a (es decir,

para los q ue la fu n c ió n to m a v a lores reales determ in a d os). En los casos m ás elem e n ta le s, el ca m p o de e x iste n cia d o la fu n c ió n representa una parle fin ita , o in fin it a , del p la n o co o rd e n a d o X O Y , lim ita d a p o r una o varias curvas (frontera d e l campo)". De form a a n á lo g a , para las fu n cio n e s de tres v a r ia b le s u = f ( x , y* z), el ca m p o de e x is t e n c ia de la fu n c ió n e s un c u e rp o d e te rm in a d o del espa c io O X Y Z . E j e m p l o 3. H a lla r el ca m p o de e x is te n c ia de la fu n ció n

1 y 4 _ a .a _ .0 2 Solución.

Esta f u n c ió n tiene v a lores reales cuando 4 — * 2— y 2 > o ó b ie n

+

A esta ú ltim a d esig u a ld a d sa tis fa ce n las coorden a d a s de los pu n tos situ a dos d e n tro de un c ircu lo de r a d io 2 co n el c e n t r o en el o rig e n do co o rd e nadas. El ca m p o de e x is te n c ia do esta fu n c ió n es pues el in te r io r do este c ír c u lo (fig . 64). E j e m p l o 4. H a lla r el ca m p o de e x is te n c ia de la fu n ció n •

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Conceptos Solución. para —

p < l

E l prim er

fundam entales

su m an do

de

la

fu n c ió n

queda

ó b ie n — 2 < > < ; 2 . E l segundo su m an do

dotermiaado tiene valores

reales cuando a# > 0 , es d e cir, en d os casos: . f z> 0,

si

.

f *< 0 ,

o si 1 l i/> 0. \ y<0.

E l cam po do e x iste n cia do tod a la fun ción se representa en la f ig . 65 y com~ prende la frontera del campo. 3. Líneas y su p erficies de n i v e l de l a s fun c io n e s. Se da el nom bre de línea de nivel de una fu n ció n z = / ( ; r , y ), a la línea

F i g- 64

F i g. 6 5 1

f ( x y y) = C d e l plano X O Y * para cu yos pu n tos la fu n c ió n tom a un m ism o v a lo r z — C (que generalm ente se señala co m o a n o ta ció n en el d ibu jo).

F i g . 66 Se lla m a su p erficie de nivel de una fu n ció n do tros argum entos u = — f { x , y , z) a q u e lla su p e rficie f ( x f y y z) — C en cu y os puntos la fu n ción toma un v a lo r constante u = C. E j e m p l o 5. Construir la línea de n i v e l de la fu n ció n z = x*y. S o l u c i ó n . La e c u a c ió n de la línea de n iv e l tiene la form a x*y = C

Q

o b ie n

y= -^ .

H a cien d o C = Q ,

±1 ,

= f c 2 . . . t obten em os

líneas de n iv e l (fig. 66). 13—1016

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la

fa m ilia

de

104

Funciones de varias variables

1782. Expresar el v o lu m e n re g u la r en fu n c ió n de su altura 1783. E xpresar el área S de de pirám ide exagon al re g u la r, la s bases y de la altura z. 1784. H a lla r /

V de una p irá m id e cu a d ra n g u la r i y de su arista latera l y. la su p erficie la te ra l de u n tr o n c o en fu n c ió n de lo s la d os x e y de-

3) y /(l,

- 1 ) , si

f ( x , y) = x y + - y . 1785. H a lla r f (x, y ) , f ( — x ,

— y), f ( - j - , ■— ) , f

, si

/<*• r t - n g 2 " 1786. H a lla r lo s v a lores que tom a la fu n c ió n / ( * , y) = 1 + * — y en lo s puntos de la p a rá b ola fu n c ió n

y = x - , y co n s tru ir la g r á fic a d e la

F ( x ) = f ( x , x 2). 1787. H a lla r e l v a lo r de la fu n ción * * + 2 * V + -/* 1— *2— 5,3 en los pu n tos de la c ir c u n fe r e n c ia x 2 -}- y 2 = R 2. 1788*. D eterm inar / (x), si

1789*. H a lla r f ( x , y ), si f ( x + y , x — y ) = x y + y*' 1790*. Sea z = " Y y - + f ( Y x — *)• y z, si z = i para y = 1. 1791**. Sea z

=

Y

1+

y 2,

z = x /(-| -).

para

D eterm in ar

D e te rm in a r

fu n cion es

fu n cio n e s

/

/ y z } si

x = i.

1792. H a lla r y representar lo s sigu ien tes funciones:

ca m p os de ex iste n cia

a) 2 = V i b) z = 1 +

las

las

V — (* — i/)2:

c ) z = ln ( x - f p);

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de

la s

195

C on cep tos fundam entales

d) z = x -f- are c o s y; e) z = Y i — z 2 + V í — y 2', f ) z = are sen -¥ ~ ; g ) z = Y x * ~ 4 + Y 4 — y 2; h ) z = y (x~ + y ~ ~ a2) {2a2— x 2~ ~ y 2) ( a > 0 ) ; i) z = Y y s e a x ;

m) z = — ¿r= L = = -; Y v -V *

j) z = l n ( z z - f y ) ;

n) 2 = - ^ - - f - A - ;

k) z = are t g 1) z =

^

;

o ) z = ] / s e n (xz + f/z).

X* + y* '

1793, H a lla r lo s ca m p o s do e x is te n cia de las sigu ien tes fu n cio nes de res argum entos: a) u * = Y x + Y y

+

Y * ,’

b) u = \n{xyz)\

c ) y = are sen x A r aresen y + are sen z; d) y = \ / ' —

—

1 7 9 4 . C o n s tr u ir la s lín e a s de n iv e l ele la s fu n cio n e s q u o se dan a c o n t i n u a c i ó n y a v e rig u a r el ca rá cter de las su perficies represen tadas por d ich a s fu n cion es: a) z — x - \ - y , d) z = y ^ ;

g ) z = -J^-;

h ) z = x 2 + y 2\e) z = (1 + x + y ) 2;

k )z = - 4 = ; l/x

c) z = x * - y * ; f ) z = l - [ x \ - \ y \ ;

1 7 9 5 . H a l l a r las

i ) z= -¿£ -_ .

lín e a s de n ivel de la s sig u ie n te s

a ) z = i n ( x 2 + y)\

d) z = f { y — ax)\

b ) z = a re sen xy\

e) z = / (

c) z = f

funciones:

) .

F );

1 796. H a l l a r la s su p e r fic ie s de n iv e l de la s siguientes nes do tres v a ria b le s:

fu n c io

a) u — x + y + z, b) u = x 2 + y 2 + z2, c ) u = x 2 + y 2— z 2.

13*

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106


§ 2. Continuidad 1. L í m i t e d e u n a f u n c i ó n . E l núm ero A recibe el nom b ro do lím ite d e la función z — f ( x , y) cu a n d o el p u n to P ' ( x , y ) tiende a l p u n to P (a, b), si para cu alquier e > 0 ex iste un ó > 0 t a l, q ue cuando 0 < p < ó , (donde p = V ( * — a)2+ (H — &)2 es Ja desigualdad

distancia entro los pu n tos P y P ' ) , se v e rifica [ f [ x , y) — A \ < z .

En es lo caso se escribe: H m / ( * f y) = A. x -+ a

y~*b 2. C o n t i n u i d a d y p u n t o s do d i s c o n t i n u i d a d . La c ió n 2 = ) ( x , y ) recib o ol nom bre de continua en e l punto P (a, b), si

fun

lim / (s, y ) — / (a, b). X -K X

Ü-+b La fu n ció n q ue es c o n tin u a en todos los p u n to s de un cam po determ i nado, se lla m a continua en este campo. Las c o n d ic io n e s de co n tin u id a d do una f u n c ió n / ( s , y) pueden n o cum p lirse en puntos a isla d os (puntos aislados de discontinuidad), o en pu n tos que form en u n a o varias líneas ( líneas de discontinuidad) y , a veces, figuras .geom étricas m ás com plicadas. E j e m p l o 1. H a lla r lo s pu n tos de d is co n tin u id a d de la fu n ció n X

—

*y±1_ n

* 2— y

•

S o l u c i ó n . La fu n ció n pierde su s e n tid o , s i el d e n o m in a d o r se anula. Poro, — 0 o sea, y — x 2 es la e c u a c ió n de una p a rábola. P or co n sig u ie n te, la fu n ció n dada tiene una línoa de d isco n tin u id a d : la p a rá b ola y = x*.

1797*. H a lla r los siguientes lím ite s de las fun ciones: . ) lim <*■ + »■) « e n ±

;

.) lim ^

U-*0

;

e) I t o ^

i/-*2

»>

;

d)

r/-*oo

u-*h

;

l/-fO

( ‘ +

i ) ‘;

f> S

S

t

f

•

1798. A v erig u a r si es c o n tin u a la fu n c ió n /(* . ■ 1799. H a lla r fun ciones:

y) lo s

a) z = \ n Y x * + y2;

Y ' i — or — y2, s i x 2 + í/2 < 1, 0 , s i x 2 - f p 2> 1. p u n tos

de d iscon tin u id ad

c) 2 =

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>

de

las sig u ie n te s

197

Continuidad

1800*. D em ostra r, q u e la fu n c ió n si *« + » ■ * : 0 , 0

, sí x = y = 0.

es con tin u a c o n r e la c ió n a cada una de las v a r ia b le s x e y por separado, pero n o es co n tin u a on el punto (0, 0) respecto al c o n ju n to de estas v a r ia b le s . § 3. D e riv a d a s p arc ia le s 1. D e f i n i c i ó n de las d e r i v a d a s p a rc i a le s. s i h a cem os, p o r e j . , que y sea con stan te, ob ten em os la deriYada * dx

Si z = / ( s , y ),

i¡m / ,( * + * « ■ * ) - / ( » . ¿x-yO

As

q uo re cib o el nom b re de derivada parcial d e la fu n c ió n z c o n respecto a la v a r ia b le x . De m o d o a n á lo g o se d e fin e y se dosigna la derivada parcial do la fu n c ió n z c o n respecto a la v a ria b le y. Es evidente, que para h allar las derivadas p a rcia le s pueden utiliza rso las fó rm u la s ordinarias de d eriv a ció n . E je m p lo

1. H a lla r la s d erivad as p arciales de la fu n ció n 2= ln tg j

.

C onsiderando y co m o m a g n itu d con stan te, tenem os:

Solución.

Oí

1

1

Ox

. x tg— b y

„ x e o s2— y

1 = y y

2 • 2x y sen — y

A n á lo g a m e n te , c o n sid e ra n d o x co m o co n sta n te , tendrem os: dz dy * E jem p lo argum entos

2.

1 . x tg — * y

1

( 0x \ e o s 2— y

H a lla r

la s

x \ y2 /

2x « 2a: y2 sen — y

derivadas parciales de

u = a:3y2z-|-2a:— 3 y - f -z + 5. . Solución. ií.-3 * W * + 2 . * U 2 x * ir «-3 ,

■ £ -* V + l.

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la

fu n ció n

do

tres

198


2. T e o r e m a d e E u l e r . La fu n ció n j(x > y) se lla m a fu n ció n homo génea do grado n , s i para cu a lq u ie r fa c t o r re a l h se v e r if ic a la igualdad j (Au\ ky) = k * f (.x , y). Una fu n ció n racional entera será h om ogén ea , si to d o s los térm in os d e la m ism a son del m ism o grado. P ara toda fu n ció n hom ogénea d ife rcn cia b le do grado n t s o v e rifica siem pre la igualdad (teorema de Euler): y ) + y f ' u (x ’

y)-

H a lla r la s derivadas p a rc ia le s de la s fun ciones: 1808. Z —

1801. z = a;3 - f y 3 — 3 a x y .

1803.

1809. z = e

tí II N|*«: •

1802. z - x ~ y . x+ y

u x.

sen-

1810. 2 - a r e s e n ] / x 2 + y 9 .

180-1. z ^ V ^ — y 2. 1805.

X v .

1811. z = I n s e n — ^ . Vy

X

1812. u — \xy ).

V x t + y*

1806. z = l n ( x + y a : s 4 -!/'-). 1807. z = a rctg

1813. a = zx v .

.

1814. H a lla r f'x { 2; 1) y f v {2 ; 1 ), si / ( * » y ) = 1/ x y + j 1815. H a lla r f x ( 1 ; 2; 0 ), ü ( i ; 2 ; 0 ) y n { í ; 2 ; 0 ) , si j ( x , y , z ) = ln ( x y + z). C om probar ol teorema de E u lo r s o b re la s fu n cion es h o m o g é neas (N08, H 08 1 8 1 6 - 1 8 1 9 ) : 1816. f ( x , y ) = A x * + 2 B x y + Cy'-. 1817. z =

X

1818. f ( x , y) = 1819. f ( x , y ) = l n — .

1820. H a lla r - ¿ ( 7 ) , donde r = f x 2 + ya + 2a. dx dx Or d(p

1821. C a lcu la r

dy dy

, si a := -r c o s c p c y = r sentp.

dr d
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'

D erivadas parciales

1822. Dem ostrar, q u e x — - \ - y ~ = 2 f si z = l n ( z 2 4 - * y + y 2).

1 8 2 3 . Dem ostrar, q u e a:

+ y

= x y - f z, si y

2 — £1/ 1 8 2 4 . D em ostrar,

que ^

^

+ J r = 0, si

u = ( z — y) (y — 2) (z — x). 1 8 2 5 . D em ostrar,

que — ■ yí

u[f

+

Ou

— 1» s*

u = x-\- X~ U y—z 1 8 2 6 . H a lla r z = z ( x } y ) , si x dz ____ 0y z 2 -)-//2

1 8 2 7 . H a lla r z = z ( x , y ) , sa b ien d o, que ~

yl . y 2 ( 2:, í/) = sen [/ cu an do « = 1.

1828. P o r el p u n to M (1 ; 2; 6) de la su perficie z = 2 x 2 + t/2 s e h a n h e ch o pasar p la n o s paralelos a lo s coordenados X O Z e y O Z . D eterm inar, q u é á n g u lo s form a n c o n lo s ejes de coorde nadas las tangentes a las seccion es así ob ten id as, en su punto com ún M . 1829. E l área de u n trapecio de bases a, b y de altura h es ig u a l a S = \ ( a + b ) h . H a lla r

^

y , m ediante su d ib u jo ,

escla recer su sen tid o g e o m é trico . 1830*. D em ostrar, q u e la fu n c ió n 2xy

. si * 2 + y * ¥ = o

f {X, y ) = ■ 0,

si x = y = 0,

tien e derivadas p arciales f'x ( x , y) y f y ( z , y ) en el punto (0, 0), a pesar de ser d iscon tin u a en este punto. R epresentar g e o m é tri c a m e n t e esta fu n c ió n en la s proxim idades del p u n to (0; 0). § 4 . D if e r e n c ia l t o t a l de una fu n c ió n 1. I n c r e m e n t o t o t a l de una f u n ció n . t o t a l de una fu n c ió n z = j ( x , y ) a la diferencia Az = A / ( s , y ) = j ( x + b z t V + & y ) — f ( z , y).

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Se

llam a

incremento


200

2. Diíoroncial total de u n a f u n c i ó n . R ecibe el nom b ro de diferencial total do una fu n ció n z ~ / ( x , y) ia parte prin cipa l del incre m ento tota l Az, lin ea l respecto a los in crem entos de lo s argum entos Ax y Ay. La diferencia ontro el increm ento to ta l y la d ife re n cia l total de la fu n ció n es un in fin ité s im o de orden su perior a p = ~\/Ax2 + &y2. La fu n ció n tiene, in du b ita b lem en te, d iferen cial t o t a l, cuando sus d ife renciales parciales son continuas. Si la fu n ció n tiene d ife re n cia l t o t a l, se lla m a diferenciable. Las diferenciales de las v a ria b les independientes, por d o fin ició n , coin cid en con sus increm entos, os decir, d x = A x y rfy = Ay. La d iferen cial total de la fu n ció n z = / ( x , y) so ca lcu la p o r la fórm u la dz

dz

.

dz= - é ¿ d x + ~ ü d*Análogam onto, la d iferen cial total de una fu n ció n de tres a rg u m en to» u = f (x, y, z) se c a lc u la p o r la fórm ula du du du

du=— dx+—

Ejemplo

dy+—

dz.

1. Para la fun ción

f ( x y y ) = x 2+ x y - - y 2 h allar el increm ento t o ta l y la d ifc r o n c ia l tota l. Solución. f ( x + A x , y + Ay) = ( x + A x ) 2- h ( x + A z ) (y + A y )— (y + Ay)2; A / (*t y) = [(* + Ax)2 + ( * + Ax) ( y + Ay) — (y + Ay)2] — (x2+ z y ~ ~ y2) = = 2 x - A x + A x 2 + x - A y - f y - A x - f A x -A y — 2 y - A y — Ay2 = = [(2x-\ -y) A x - f ( x — 2y) Ay] + (Ax2+ A x * A y — A y 2). A qu í, la expresión d / = (2x + y) + — 2y) Ay es la d iforon cial tota t de la fu n ción , mientras que (A x 2-)-A x « A y —- Ay2) os un in fin ité s im o de orden superior al del in fin ité s im o p=¿~\/Ax2^ - A y 2. E j e m p l o 2. H a lla r la d ife re n cia l to ta l de la fu n ción 2 — ~ Z x 2 -J- y2. Solución. dz dX

x y x2^ y2

dz dy

y y x2 ± y 2

■x , y xdx+ydy dz = — - d x -\....... dy = — — — = — . V x 2 + y2 l / x 2 + y2 V « 2 + V1 A p l i c a c i ó n de la d i f e r e n c i a ! do la f u n c i ó n a i o s 3. c á l c u l o s a p r o x i m a d o s . Cuando |A x | y |Ay | so n su ficientem en te pequeños, y por con sigu ien te, os su ficientem en te pequeño tam bién p = = ~[/Ax2+ A y 2, para la fu n ció n d ifo ro n cia b lo z = / ( x , y) se v e rifica la igualdad aproxim ada A z ^ d z , o sea,

&z ~Sx

a

i

&z , y'

E j e m p l o 3. L a altura de un co n o es / / = 30 c m , el radio de su basei? — 10 cm . ¿Cómo v ariará el volum en do d ich o co n o s í I I se aum enta 3 mm y i? so d ism in u yo t m m ?

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D iferen cia l total de una junción

Solución. v o lu m e n

la

El

1 del co n o e s F = — n i? 2# .

v o lu m e n

su stitu im o s

O

O

La v a r ia c ió n

a p ro x im a d a m e n te

= ■4- n (2R H d R + ¿?2 d t í ) = ¿

20 í

por

la

d ife r e n c ia l

n ( — 2-10■ 30 •0,1 + 1 0 0 - 0 ,3 ) = — 10a

del

AV^dV— — 31,4 cm 3.

E j o t a p l o 4 . C a lcu la r a p ro x im a d a m e n te 1,023 ,0 1 . S o l u c i ó n . E x a m in e m o s la f u n c i ó n z = xV. E l núm ero q ue se busca puede con sid era rse c o m o e l v a lo r in crem e n ta d o do esta fu n c ió n cu a n d o x = 1, y=-. 3, A * = 0,02 y A y — 0,01. E l v a l o r i n i c i a l de la f u n c ió n es z = l 3 = J t A z a* dz = y x y -1 Ax-^-xV ln x A y = 3* 1-0,02 + 1 - l n 1-0,01 = 0,06. P o r co n s ig u ie n te , 1,023 , 01

y

1 + 0 , 0 6 = 1.06.

1 8 3 1 . P a ra la fu n c ió n f { x i y ) — x ¿y , h a lla r el in crem en to to ta l la d ife re n cia l tota l e n el p u n to (1; 2 ); co m p a r a r lo s entre s í, s i : a) A x — 1, A y = 2 ; b) A x = 0 , l , A y = 0 ,2 .

1832. D em ostra r, q u e para las fu n c io n e s u y y de v a r ia s (p o r e.j., de dos) v a ria b le s se v e r ific a n la s reglas ord in a ria s ded e r iv a c ió n : a ) d (u + v) = du-\- dv\ ,

, ( u \

b) d ( u v ) = v du-\-u 'dv;

v d u — u dv

H a lla r la s d ife re n cia le s to ta le s de la s siguientes fu n cion es: 1 833. z = x* + y* — Zxy.

1838. z = l n { x <1+ y*).

1 8 3 4 . z = x ¡y3.

lg39> / ( * , y ) = l n ( l + - ~ ) .

- 2 — y2

1 835. z = - í 5:2 + y2 * 1 836. z = sen2 x - f eos2 1/.

'

1840. z = a r c t g — -b a r c t g — x

1841. z = l n tg — .

1 837. z = * y x v.

1842. H a l l a r d f ( l ; 1), s i f ( x , y ) = - ^ - . 1843. u — xyz. 1 8 4 4 . u = y ' x 2 + y--\- z2. 1 8 4 5 . 11 = [ x y + — )*• 1846. u = a r c t g ^

1

.

1 8 4 7 . H a l l a r d f ( 3 ; 4 ; 5 ), s i f ( x , y , z ) = ^ q ^ r

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y

Funciones de varías variables

1848. U n o de los la d os de u n re ctá n g u lo es a = 10 c m , el o tr o , 6 = 2 4 cm . ¿C óm o variará Ja d ia g o n a l l de este rectá n g u lo si el lad o a se alarga 4 m m y el lad o 6 se acorta 1 m m ? H a lla r la m a gn itu d aproxim ada do la v a r ia c ió n y co m p a ra rla c o n l a e x a c ta . 1849. U na ca ja cerrada, cu y a s dimensiones exteriores son de 10 cm , 8 cm y 6 cm , está hecha de madera con trach apada de 2 m m de espesor. D eterm in ar el v o lu m e n a p rox im a d o del m a te ria l <¡ue se gastó en hacer la caja. 1850*. E l á n g u lo ce n tra l de u n sector c ir cu la r es ig u a l a 80° y se desea d ism in u irlo en I o. ¿En c u á n to h a y q u e afargar el radio 'del sector, para que su área no varíe, si su lo n g itu d in ic ia l era ig u a l a 2 0 cin? 1851. C a lcu la r aproxim adam ente: a) (1,0 2 )3 .(0,9 7 )2 ; b) / ( 4 t05)* + (2,93)*; c) sen 3 2 °-eos 59° (a l co n v e r tir los grados en radianes y cu a n d o se c a lc u le el sen 60°, tom ar sola m en te tres cifra s decim ales; la ú ltim a cifra debe redondearse). 1852. Dem ostrar, que el error r e la t iv o de un p ro d u cto es aproxim adam ente ig u a l a la sum a de lo s errores re la tiv o s do los factores. i 1853. A I m edir en un lugar el tr iá n g u lo A B C , se o b tu v ie ro n los datos siguientes; el lado a = 1 00 m ± 2 m , e l la d o 6 = 2 00 m ± 8 m y el á n g u lo (7 = 60° ± I o. ¿C on q u é grado de e x a c titu d puede ca lcu la rse e l la d o c? 1854. E l período T de o s c ila c ió n dei p é n d u lo se c a lc u la por la fó rm u la T = 2 x / j , donde l es la lo n g itu d del p é n d u lo y g , la a ce le ra ció n de la gra vedad. H a lla r e l error que se co m e te al determ inar T, c o m o resultado do lo s pequeños errores A l — a y A g = $ com etidos al m ed ir l y g. 1855. L a d ista n cia entre lo s pu n tos P 0 (x Q; y 0) y P (x; y) es igual a p, y el á n g u lo form ado por el v e cto r P 0P c o n e l e je O X , es igual a a . ¿En c u á n to variará el á n g u lo a , si el p u n to P tom a la p osición P { (x + dx, y + dy), m ien tras que e l p u n to P 0 sigue invariable?

§ 5, D eriva ció n de fu ncio n es compuestas 1. C a s o d o u n a s o l a v a r i a b l e i n d e p e n d i e n t e . Si z = = f ( x , y) es una función diforenciablo de los argumentos x e y, que son, .a su vez, funciones díforonciables do una variable independien le t: z = 9 (í).

í'= 'l> (í).

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D eriva ción de ju n cion es com puestas l a d e riv a d a de íPor la fó r m u la

la

f u n c ió n

co m p u e sta z = /( < p ( 0 »

^ (01 so

203 puede ca lc u la r

dx_ r ÉK. dt ~ dx di ' d y dt

/n

En e l ca so p a r t ic u la r d e quo t co in c id a c o n u n o de lo s argum entos, p o r e je m p lo , co n a , la d e r iv a d a « t o t a l» de la f u n c ió n z c o n resp ecto a x será:

dx E je m p lo

W2

1.

H a lla r —

dx “*■ dy

dx #

, si

z = e 3'r_i"2y, d o n d o x = c o s í , Solución«te ■dt

w

¿/ = ¿2.

P o r la fó r m u la (1) tenemos:

^ + 2 y . 3 ( _ s e n í ) + (;3 x + 2 (/.2 .2 i = _ e3* + 2i» (4 ( _ 3 son f) = á3 c o s ¿ + 2t2 (4j — 3 sen t). E jem p lo

2 . H a lla r la d e r iv a d a p a rcia l -g j- y la d e r iv a d a t o ta l —

7 si

z s a ^ , d o n d e í/~ < p (:r ). S o lu ció n .

^ - — y c xv. B a sán donos en la fó r m u la (2), obten em os: ox dx

=

y e x y

x

c

*

]

cp' ( 2:) .

2. Caso de v a r i a s v aria b les i n d e p e n d i e n t e s . Si z es u n a f u n c i ó n com p u esta de v a ria s v a r ia b le s in d ep en d ien tes, p o r ejem p lo , z = f ( x , y ) , d o n d e £ = so n f u n c io n e s d ifc r c n c ia b le s ), Jas d erivadas p a rcia le s de z -con r e s p e c to a u y v se ex p resa n así: Oz du

dz d x , dz dy dx du d y du

dz dz d x , dz dy dv ~~ d x dv d y 0u En t o d o s lo s ca so s e x a m in a d o s se v e r ific a la fórm u la dz dz . dz = -T-d x-\ ~ -— dy dx dy «(prop ied a d de invariabilidad de la d iferen c ia l tota l). E je m p lo

3.

H a lla r ~

y ~

, si

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r

W

(4)

204

Funciones de varias variables Solución

A p lic a n d o la s fórm u la s (3) y (4), obtenem os:

•

f

v ) - v + r u(x, y ) ± -

y ■£■=& (*• U ) ^ - r u (.x,V) ~ r . Ejemplo dz e c u a c ió n —

* dx

4.

Dem ostrar, dz . x — 0.

que

la f u n c ió n z =¡ tp (x2 + y2) sa tisfa ce a la

S o l u c i ó n . La f u n c ió n q> dependo do x e y a través d e l argumento* in term ed io x*-\-y2 = t t p o r lo cual

* dx

* ■ £d x■ - * ' ( • * + » ■ » 2 . dt

dz dz di dy — dt dy

P o n ien d o la s derivadas parciales en el prim er m ie m b ro de la e c u a c ió n , tondremos: u ik ~

x T U = y t f ' (a:a+ y i ) 2 x ~ arip' (* a +

2v=

= 2zy
1856. H a lla r

, si 2 — ~ > donde a; = eí, y = In¡f.

1857. H a lla r

si

u ^ l n s e n ^ p ^ , donde a: = 3¿2, p = V 1858. H alla r ^

al

+

, si

u = s x y z y donde £ = ¿* + 1, j/ = l n ¿ , 2 = t g ¿ . 1859. H a lla r 4j¡ - , si di u =: -r - r * > donde x = = / ? c o s f , y = / ? sen V x 2+ v2 1860. H a lla r

O*

si

z = u”, donde w = s e n x , y = c o s x

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z = H.

D erivación de fun cion es com puestas

1861. H a lla r §

y § ,

si

z = arctg-|- e z/ — x2. 1 8 6 2 . H a lla r A

y § ,

ai

1 8 6 3 . H a lla r Í 1

y Í l,

si

dx

J

dy 1

z = f ( u , v), don de u = x 2 — y*, v * = e xy. 1 8 6 4 . H a lla r £

y £ ,

si

z = a rctg — , donde ¿r = u sen v, y = u eos y. 1 8 6 5 . H a lla r £

y £ ,

si

z = f ( u ) t donde u = ^ x y + — . 1

x

1866* D em ostrar, que si u — O (.r2 + j/2 + z2), donde a: = R eos
sen i|?, z = i?sencp, e n to n ce s , 5a

du

A

i^ r = 0 1 8 6 7 . H a lla r £ , as

y

w

A

^ 0-

si

u = f ( x , y , z ) , donde y =
dz

dy ~

a

dx *

Í8 6 9 . D em ostrar, q u e la fu n c ió n w = f ( u 9 v), -donde u =

v = y + b t f satisface a la ecuación dw

_

d io

.

j

dio

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205

206


1870. Dem ostrar, que la fu n c ió n 2—

( * 2 — y 2)

satisface a la ecu a ción ^1 dz , 1 Oz __ z X d x ' 1" y dy ~ y* 1871. Dem ostrar, que la fun ción z = x y + x
dz

x ^ + y ~ ó i^ xy+z1872. Dem ostrar, que la fu n c ió n z = eyy (ye 2v2 ) satisface a la ecu a ción M '+ x y ' w = x y z ' 1873. Un lad o de un re ctá n g u lo de x = 2 0 m , aum enta con u n a velocidad de 5 m /s e g , el o tr o lad o de y = 30 m , d is m in u y e con una v e locid a d de 4 m /seg. ¿Con q u é v e lo cid a d variarán el p erí m etro y el área de d ich o rectá n g u lo? 1874. Las ecu acion es del m o v im ie n to de un p u n to m a teria l so n x= ?t,

y = ¿2,

z = l3.

¿Con q u é v elocida d aumentará la distancia desde este p u n to a& o rigen do coordenadas? 1875. D os barcos, que salieron al m ism o tie m p o del p u n t o A r v a n , uno, hacia el norte y , el o tr o , h acia el nordeste. L a s v e lo cidades de dich os barcos son: 20 k m /h , y 40 k m /h , respectivam ente* ¿Con q u é v elocida d aum enta la distancia entre ellos?

§ 6. D erivada en una d ire c c ió n dada y g ra d ie n te de una (unció n 1. D e r i v a d a do u n a f u n c i ó n en u n a d i r e c c i ó n da da . Se da el nombre de derivada de una función z = / (s, y) en una dirección dada l = pT\ a la expresión ai - r J £ 0

P tP

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D erivada en una dirección dada y gradiente de una función

2 ^7

dondo f (P ) y / (P A son lo s v a lores d e la fu n c ió n en los pu n tos P y />,. S i la fu n c ió n z os d ife r e n c ia b le , se v erifica rá la fórm u la dz

dz di

_

c o s a + _

dz

. £ona.

d on d o a es e l á n g u lo fo rm a d o p o r el v e ctor l co n el eje O X ( f i g . 67). A n álogam ente se d eterm in a la d e riv a d a en una d ir e c c ió n dada una fu n c ió n do tres argum entos u = j ( x , y , z). E n esto caso Ou

du

, Ou cosa+—

q . du cos p — cos

(i) para

(2>

donde a , 0 y y so n los á ngulos entre la d ir e c c ió n l y los correspon d ien tes ojos de coordenadas. L o d eriva d a en una d ir e c c ió n dada caracteriza la. v e lo c id a d co n q ue varía la fu n c ió n en d ich a d ire cció n .

P (x ;y )

0 F i g. 67 E j e m p l o 1. H a lla r la derivada do la fu n ció n z ¡ = 2 x 1 — 3y2 en ol' p u n to jP (1; 0)* en la d ir e c c ió n q ue fo rm a con ol eje O X un á n g u lo de 120°. S o l u c i ó n . H alla m os la s d erivad as p a rcia les do la ^función dada, y sus v a lores en o l p u n to P: dz dx

■ w ~ ° « Aquí co s a = c o s 1 2 0 ° = — s-

son a = sen 120°

V *

A p lic a n d o la fó r m u la (1), obtenem os:

1 /8 _ ■ S — 4 ( — 5 " ) + 0 - - V -------- *■ El s ig n o m enos in d ic a , q ue la fu n c ió n en esto punto y on la direccióndada, decrece. 2°. G r a d i e n t e d o u n a f u n c i ó n . Recibo ol nom b re de gradiente de una fu n c ió n z = / ( a : , ¡/), u n v e c to r , c u y a s p roy eccion es sobre los ejes d o

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208


-coordenadas son las correspondientes derivadas parciales de dicha fu n ción :

La derivada de ia fu n ció n dada en la dirección l t está relacionada con el gradiente do la m ism a por la sigu ien te fórm u la : dz

~Jl -

A

nPi grad 2,

■es decir» la derivada on esta d ir e c c ió n es ig u a l a la p ro y e cció n del gradiento de la fu n ció n sobre la d ir e c c ió n on que se deriva. ¿ E l gradiente de la fun ción en cada punto tiono la d irección de la n orm a l a la correspondiente línea do n ivol de la fu n ció n . La dirección del gradiente de la fu n ció n , en un p u n to d ado, es la dirección de la. v e lo cid a d m áxim a de crecim iento do la fu n ció n on este p u n to, es decir, cuando £ = grad z , la derivada y y tom a su v a lo r m á x im o , igual a

V

W

M

w

f -

Análogam ente se determ ina el gradien te de una fu n ció n de tres variables u = f ( x , y, z): (4 )

El gradiente do u n a j fu n ción de tres variables, en cada punto lleva la d irección de la n orm a l a la su p erficio do n ivel quo pasa p o r d ich o punto. E j e m p l o 2. H a lla r y con struir el gradien te do la fu n ció n z ~ x ' ¿y ■en e l punto P ( i ; 1).

F i g. 68 Solución. p u n to P.

C alculam os las derivadas parciales y

- i r - 2* " ■ £ - * P or consiguiente» grad z = 2 i + j

sus /valores Jon el

( í r L =2: ( w

) = l-

( f i g , 68).

1876. H a lla r la derivada? de la fu n ción z = x * ~ x y ~ ~ 2 y 2 en el punto i 5 (1; 2) y en la d ir e cció n quo form a con ol eje O X un .ángulo de 60°.

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Derivada en una dirección dada y gradiente de una junción

209

1877. H a lla r la derivada de la fu n c ió n + + i en el p u n to P (1; 2), e n la d ir e cció n que va desde éste al punto ¿V(4; 6 ). _______ 1878. H a lla r la derivada de la fu n c ió n z = l n ) / V 2 -j- y ¿ en el p u n to P (1; i ) e n la d ir e cció n de la bisectriz del prim er án gu lo coordenado. 1879. H a lla r la derivada de la fu n c ió n u = x* — 3yz + 5 en el p u n to M (1; 2; — 1) en la d ir e cció n que form a á n g u lo s igu a les con todos lo s ejes de coordenadas. 1880. H a lla r la derivada de la fu n c ió n u = x y + yz + z x on el p u n to M (2; 1 ; 3) en la d ir e c c ió n q u e va desde éste al punto N (5; 5; 15). 1881. H a lla r la derivada de la fu n c ió n u = ln (ex + ey + ez) en el o rig e n de coordenadas, en la dirección que form a con los ejes de coordenadas O X , O Y y O Z lo s á n g u lo s a , p y y , respectiva mente. 1882. E l p u n to en q u e la derivada de una fu n c ió n , en c u a l q u ier d ir e cció n , es ig u a l a cero, se llam a punto estacionario de esta f u n c ió n . H a lla r lo s p u n tos estacionarios de la s siguientes fun ciones: a) z = x l + x y + y 2 — 4 x — 2y\ b) z = x * + y*-r $xy; c ) u = 2y2-k- z 2— x y — y z + 2x. 1883. D em ostrar, que la derivada de la fu n c ió n 2 en c u a lq u ie r punto de la e lip se 2 z 2 + ¿ / 2 = C2 a n orm a l a la m ism a, es ig u a l a cero. 1884. H a lla r el grad z en el p u n to (2; 1), si

, tomada

lo

la r g o de la

z = x 3 4 - y 3 — 3 xy. 1885. H a lla r el grad z en el p u n to (5; 3), si

2= Yx*~y*. 1 886. H a lla r el grad u en ol p u n to (1 ; 2; 3), si u ~ z y z . 1887. H a lla r •la m a g n itu d y la dirección del grad u en p u n to (2; — 2; 1), si u = x 2 + y 2 + z2. 1888. H a lla r

el

á n g u lo

z = ] n - | - e n lo s p u n tos A

entre

lo s

gradientes

de la

el

fu n ción

y 5 ( 1 ; 1).

1889. .H a lla r la m a g n itu d de la elev a ción m á x im a do la super fic ie z = x 2 + íy* en el p u n to {2 ; 1; 8). í 4—í 0 i tí

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D erivada en una dirección dada y gradiente de una función

209

1877. H a lla r la derivada de la f u n c i ó n z = a;5— 2x*y + xy* + l en el p u n to P (1; 2), en la d ire cción quo va desde éste al p u n to N (4; 6). _______ 1878. H a lla r la derivada de la fu n c ió n z = ln ]/'xl + y ¿ en el punto P ( 1; 1) en la d ir e c c ió n de la b isectriz del prim er á n g u lo coordenado. 1879. H a l l a r la derivada do la fu n c ió n w = x 2 — 3¿/z 4- 5 en el pu n to M ( 1; 2; — 1) en la d ir e cció n q u o form a á n g u lo s igu a les con todos lo s ejes de coordenadas. 1880. H a l l a r la derivada de la f u n c i ó n u^=xy-\- y z-f- z x on e l punto M (2 ; 1; 3) en la d ir e c c ió n q u e v a desdo ésto al punto N (5; 5; 15). 1881. H a l l a r la derivada de la fu n c ió n u = l n {e*-\-ev + e~) en el o r ig e n de coordenadas, en la d ir e c c ió n q u e form a con los ejes de coorden adas O X , O Y y O Z lo s á n g u lo s a , p y y , respectivam ente. 1882. E l p u n to en q u e la derivada de una f u n c ió n , en cu a l q u ier d ir e c c ió n , es ig u a l a coro, se lla m a punto estacionario de esta f u n c ió n . H a lla r l o s pu n tos e sta cion a rios de la s siguientes fun ciones: a) z = x 2 ~\-zy + y 2 — 4 x — 2y; b) z = z * + if* — 3xy; c) u = 2y2 + z2 — x y — y z + 2x. 1883. D em ostrar,

que la

derivada de la fu n c ió n z = —

en c u a lq u ie r p u n to de la elip se 2 x 2 -f- y 2 = C2 a norm al a la m ism a, es ig u a l a cero. 1884. H a l l a r el grad z en el p u n to (2 ; 1), si z=

+

lo

, tomada

la r g o

de la

Sxy.

1885. H a l l a r el grad z en el p u n to (5; 3), si z = ] / x 2 - ~ y 3. 1886. H a l l a r el grad u en el p u n to ( 1 ; 2; 3), s i u = zyz. 1887. H a l l a r •la m a g n itu d y la d ir e c c ió n del g ra d u en p u n to {2; — 2 ; 1 ), si u = x 2 + y 2 + z 2. 1888. H a l l a r

el

á n g u lo

z = l n ~ ~ e n lo s p u n tos

entre x )

lo s

gradientes

de

la

el

fu n ción

y ^ ^

1889. .H a lla r la m a gn itu d de la e le v a c ió n m á x im a de la super ficie z — x 2 + 4 y2 on el p u n to (2; 1; 8). 14— 101 ü

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210

F u ncion es de varias variables

1890. C on struir gu ion tes fu n cion es:

el

c a m p o v e c t o r ia l

a) z = x + y ;

c ) z = x* + y2;

*>)

* } '■ - .

del

g radien te

de

la s

s í-

1

l / x 2+ y 2+ z 2

§ 7. D erivadas y d if e r e n c ia l e s de ó rdenes s u p e rio re s 1. D e r i v a d a s p a r e í a l o s d e ó r d e n e s s u p e r i o r e s . Se lla m a n derivadas parciales de segundo ord en de una f u n c ió n z = ¡ ( x y y ) a las d e r iv a d a s parciales de sus d erivadas p a rcia le s d e p r im e r orden. Para desig n a r las derivadas d e seg u n d o ordon se em plean las sigu ien tes n ota cio n e s d ( dz \ d2z _ f» dx 0

V

dx

I dz \

j~

d x2

x x {X' t i '

02z

A n á lo g a m e n te se determ in a n y se designan las d eriv a d a s p a rcia le s de orden su p erio r a l segundo. Si la s derivadas p a rcia les q u e h a y que c a lc u la r son co n lin u a s , el resul tado de la derivación sucesiva n o depende del orden de dicha derivación. Ejem plo fu n ción

1.

H a lla r

la s d e riv a d a s p a rcia le s z — a rctg

S o 1 u c i ó n. ordon:

de segundo orden de la

.

H alla m os p rim e ra m e n te las d erivad as p a rcia le s de p rim er dz _ dx ~

1

1

. . X-

y

y X*~\-y2

+ y2 <)t _

I / _____X _\ __

dy “ “

., x 2 \

y¿ )

2=8

X

x* + y*

1+-^ A h o r a v o lv e m o s a derivar: ¿)2z dx2

0 t y \ dx l a;2_|- y z )

d i d2z dy 2 - dy { d-T. d x dy ~

x x 2+ y 2

d ( y \ dy { x Z + y * )

2x y ( x 2+ y 2)2 ’ \

2xy

)

(* 2 + p2)2 •

1 - { z 2-|-I/2) — 2 y - y _ (* 2 + ¡/2)2

x 2— y2 <«*+ *S » '

Debe advertirse q ue la lla m a d a derivada p a rcia l «cru zad a» se puede h a lla r de o t r a m anera, a saber: ¿)2z

d2z

-d íd 7 ~ ~ d ¡T d ¿.

d

(

x

\

i - { x 2-\-y2) — 2 x - x _

dx \

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(x 2 + y 2)2

x2 — y 2 ( * 8 + y2)2 ‘

Derivadas y d iferenciales de órdenes superiores______________211 2. D i f e r e n c i a l e s d e ó r d e n o s s u p e r i o r e s . R e cib e e l D om bre d e d i f e r e n c i a l d e s e g u n d o o r d e n (le u n a f u n c i ó n z = / ( x , y ) , l a d i f e r e n c i a l cíe l a d i f e r e n c i a l d e p r i m e r o r d e n d o d i c h a f u n c i ó n : d l¿z ~ d ( d z ) . A n á l o g a m e n t e s o d e t e r m i n a n la s d i f e r e n c i a l e s d e la f u n c i ó n z d e o r d e n s u p e r i o r al s e g u n d o , p o r e j e m p l o : d 3z = d ( d 2z ) y , en g e n e r a l, d n z — d ( d ,l-1z). S i z — f ( x , y ) , d o n d e x e y s o n v a r i a b l e s i n d e p e n d ie n t e s y la f u n c i ó n / t i e n e d e r i v a d a s p a r c i a l e s c o n t i n u a s d o s e g u n d o g r a d o , la d i f e r e n c i a l d e 2 o o r d e n d e La f u n c i ó n z s e c a l c u l a p o r l a f ó r m u l a d2z . ts , r, d 2z , . . OH , , d 2= T V 2 ■■■■ a ■d x d y + - ^ 2 d !f * dx2 d x dy dy2 E n g en era l, c u a n d o e x is te n fó rm u la s im b ó lic a

n . ( 1)

la s c o r r e s p o n d i e n t e s d e r iv a d a s se v e r i f i c a la

(

0

0

\ 71

d x - * r + d y W

)

,#

que form alm ente se desarrolla según la ley binom ial. Si z = / (x , y ) , donde los argum entos x e y son a su voz fnncío'Ms do una o varías variables independientes, tendremos -B J T «*• < *+ ■ & r f f + # “* + £

*<'•

Si z e ¡/ son variables independientes, d 2x — 0, d2y = 0 y la fórm ula (2) se hace equivalente a la fórm ula ( 1 ). E j e m p l o 2. H allar las diferenciales totales de Io y 2o órdenes de la función z *= 2x'2 — 3 x y — y 2.

S o l u c i ó n . 1er procedim iento- Tenemos: -g —

3 .-2 » .

P o r lo cu a l,

dz —

d x -f-

dy = (4x — 3y) dx — (3 x -f- 2y) dy.

D espués,

_É !l = / dx2

óxdy

_

d2z

dy 2

de dondo se deduce que dH = ^

+ 2 ¿?f ¿ y

^Vt = A d x * -

f> d x d y - 2 dy'*

procedim iento. Diferenciando, hallamos: dz = 4x d x *—3 (y d x + x d y ) — 2 y d y = (4x — 3y) dx — <3x + 2y) dy r V olviendo a diferenciar y recordando que d x y dy no dependen de x o y, •14* 2°

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i 212


obtenemos: d2z = (4 d z — H dy) d x ~ - ( 3 d z - \ - 2 d y ) d y = 4 d x 2 — 6 d x d y — 2 dy*. , 0(H

rT i ,

d2z a x-

02z dx dy

.

tt

d2z

d2z

lo 9 1 . H a lla r -r -ó -,

m

1 892. H a lla r

d2z dy¿

si

ú2z

, s,

z =- ln (x 2 + y). 1893. H a lla r

, si

dx Oy

1894. H a l l a r ^ - ,

si

dx Oy

z = arc(.g

x. Jry

°

. 1895. H a lla r ..

1 — xy

.

, si

_

r = y x 2 + y * + z 2.

1896. H a lla r todas las derivadas parciales de 2o orden (unción. • u = x y - f yz + zx. 1897 • H a l > " s S

r , ■ si

h

u — x ay &zy , 1898. H a lla r

.v , si

dxdy2 7

z = sen (xy). 1899. H a lla r / ^ ( O , 0), f ' v (Qt 0 ), f vy(Q, 0), si / ( * , í,) = (1 + z r H + y ) \

1900. Dem ostrar, que

=

■, si 1 /

x—y

z = a rsen ]/ — 1 9 0 L Dem ostrar, que ^

• . .... ..

¿te

—

d2*

dx

, si

z = ay.

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de la

D erivadas y diferenciales de órdenes superiores

1902*, Dem ostrar, q u e para la fu n c ió n / ( * , y) = x y ± j con la c o n d ic ió n com p lem en ta ria de / ( O , 0 ) = 0 , tenemos /¿ „ ( 0 , 0) = - i , 1903 H a l la r 1JIW. tt.dilar

’>~z , ^ z - , gx2 0xdy

/U (0 , 0 ) — h i-

si 0/j2 , sx

Z = / { ü , i>),

donde u = x* + y * t v = x y . 1904. H a lla r

S » , si

dx¿

u = f ( x , y y z ) t donde z =
1905. H a l l a r y) donde

d2z

w

0 2z

,

= q> {cr, y),

si

—

i/).

1906. Dem ostrar, q u e Ja fu n c ió n u = a rctg satisface a 3a e c u a c ió n de Laplace Ó*u

,

d2u

A

- U* 1907. Demostrar, que la fu n c ió n i¿ = ln ~ donde

,

r = ]/r ( s — fl)2 + (*/— b)2, satisface a la e cu a ció n d2u

^

fte*

1 dy*

de L a p la ce

Q

d2u

1908. Dem ostrar, q u e la f u n c i ó n u { x y t) = A sen (aXt +
*

1909. Dem ostrar, que la fu n c ió n (x -

* < * ■ » '‘ W

- 7 O

T

x0)2M v- uq)2+ { Z- zq) 2

‘

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214


(x 0l y0t z0l a , son constantes) satisface a la e cu a ció n de la con d u c tividad c a lo r ífic a du 2 dt ~ a

/ (

d'¿u 3*2

d*u dy2

+

d*u \ dz2 /

1910. Demostrar, que la fu n c ió n a =

\\) (x -\ --a ¿),

donde y y son unas fu n cion es cu a lesq u iera, d iferen cia b les dos veces, satisface a la e cu a ció n de las v ib ra cio n e s de la cuerda d*ii

2 d*u

di2 “ a

dx* ‘

1911. Demostrar, que la fu n c ió n

satisface a la ecu a ción

* Ü !L +

w2 Ü L « o

1912. Demostrar, que la fu n c ió n M =
y

3x2

d yt

-

u■

1913. Demostrar, que la fu n c ió n z = j [x - \ -q > ( y )} satisface ecu a ción dz dx

d*z_ — — dx dy

dy

a

la

0*z dx2

1914. H a lla r u := u ( x y y), si dx dy

1915. Determinar la form a do la fu n c ió n u — u ( x 1 y) que satis face a la ecu a ción d*u dx*

1916. H a lla r d 2z, si

Z= 1917. H a lla r

si u z= x y z .

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Integración

215

de diferenciales exactas

1918. H a l l a r d*z, si 2 = (p(¿), don de l =* x 2 - i - y 2. 1 919. H a l l a r d z y d2z, si donde

=

v = xy.

1 920. H a l l a r d2z, si z = / ( u , t>), don de u = * a x , v = b y . 1 921. H a l l a r d*z, si z = / ( ¿ ¿ ? y ), donde u = x e v> v ~ y e x . 1922. H a l l a r ds z, si z = cx eos y. 1 923. H a l l a r la d ife ren cia l de 3 ür orden de la fu n ción z = £ eos y + y sen x, y d eterm in ar todas d eriva da s p a r c ia le s de 3 ei orden. 1924. H a l l a r d f ( 1, 2) y d 2/ ( l , 2 ), si / ( * > 2/) = x 2 -\-xy -\-y2— 4 ln x — 10 I n y . 1925. H a lla r + 4 x z + 2yz.

d 3/ ( 0 , 0 , 0 ), si / (x, y , z ) — x 2-\-2y2 + á r z2 — 2 x ^ 4 -

§ 8. In te g r a c ió n de d i f e r e n c i a l e s e x a c ta s I o. C o n d i c i ó n d e d i f o r e n c i a l e x a c t a . Para q ue la expresión P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y , en que las fu n cion es P ( x %y ) y Q (x, y ) son c o n t i nuas co n ju n ta m e n te con sus d eriv a d a s p a rcia le s de p rim e r orden en un r e c in t o sim p le m e n te c o n e x o D , represente d o p o r sí* en el re cin to D y ia d ife r e n c ia l e x a cta d e una f u n c ió n determ in a d a u ( x , y), es n ecesa rio y s u f i c ie n te que se c u m p la la c o n d ic i ó n dQ dx Ejem plo

t.

__ dP dy

Cerciorarse de q ue la e x p re sión {2 x + y) d x + ( x + 2y) dy

os la d ife r e n c ia l e x a cta de una fu n c ió n determ inada y h a lla r d ich a fu n c ió n . Solución.

En este ca so P = 2 x -\ -y , Q — x + 2 y . P or e sto ,

y , p o r c o n s ig u ie n t e , {2 x + y ) d x + ( x + 2 y ) d y = d u = - ^ d x + ~ - d y , d on d e u es la fu n c ió n q ue se busca.

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dx

^ - = \ dy

216


De acuerdo con Ja c o n d ic ió n ^ ~ = 2x + y % p o r con sigu ien te, ox (2x + y ) d x — x* + x y + q (y), Pero, por otra parto,

= y2+ c

=*x + q>' (y ) = x + 2y*

de donde q>'(j/) = 2¿/, q>(p)=»

y

y

u = x* -j- x y -j-

_j. C.

Finalmente, (2x + y ) d x + ( x + 2 y ) d y = d (a:2 + x y + y 2 + C). 2°. C a s o

de

tros

variables.

Análogamente), la expresión

P ( x , y , c)dx4-Q(:r, y, z)dy + fí (x, y, z)dzt en quo P ( x , y, z)f Q ( x , / / , z ) y R (x, y, z)t ju n to con sus derivadas parcia les de 1er ofd on, son fu n cion es con tin u as de las variables x, y t z representa la diferencial exacta de una fu n ció n determinada u (x, y , z), en un recin to sim plem en te con exo D del ospacio, cuando, y s ó l o cuando, en D se cu m p la la c o n d ic ió n d x ~~ d y E j o m p 1 o 2.

'

IIL = J 9dy

~~ Óz

1

0P -

dz ~

dR dx

Cerciorarse de que la expresión

(3*2 4- 3y -

i ) d x - f ( z2 M ZX) dy + (2 yz + í ) d z

es la diferencial oxacta de una fun ción y h allar d ich a función. S o l u c i ó n . A q u í / >= 3x 24- 3y — j , Q = z 8 + 3 x y R = 2 y z-\ -l. E sta b le cemos, que dQ dx

dP dy

^

J!*Lma- J Í ! L = 2z dy Oz

0 P -1 ° R - 0 dz dx

y, por consiguiente, (3xa4 - 3 y — I ) d x 4 - ( s 2 + 3x) d y + ( 2 y z + \) dz = du = - ~ d z + ~ - d y + ^ £ - dz, dondo u es la fu n ció n que se busca. Tenemos:

es decir, u = ^..(3x24 - 3 y — í ) d x = x * 4 - 3 x y — x + y ( y t z). Do otra parto,

■ s--* • + ■ & -+ * ■ ■

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Integración 1d e diferenciales exactas

217

de d on de -^ 2 - — ¿2 y - ^ L = 2(/s + l . E l p rob lem a se reduce a buscar una fun c ió n de d os variables 9 (y, z), cu y a s derivadas parciales se co n o ce n , habién dose c u m p lid o la c o n d ic ió n de d iferen cia l exacta H a lla m os cp; y (y, z ) = J z * d y = y z 2+\\>(z) J ^ = 2yz + ty' (z) = 2yz + d, V ( z ) = 1,

^ ( z ) = z + Ct

es d e cir, (p {y, z)=* yz* + z + C . Y y fin alm en te, obtenemos u = x* + 3 z y — r - f yz2 -f- z + C .

Después de com p rob a r q u e las expresiones que se dan m ás a ba jo son diferen cia les exactas de cie r ta s funciones, h a lla r estas fun cion es. 1926. y d x H- x dy. 1 9 2 7 . (c,osx + 3 x 2y ) d x + ( z 3 — y 2) d y . m oa

(x + 2 y ) d x + y d y

1928‘

1929.

*

X± % d x - 2 x ~ y,, dy.

X 2 -\ -lJ 2

1930. — d x y

1 931.

X 2 -~ -lJ ¿

J

%rdy.

y ‘¡

*

■= d x ^ — l — dy. V * * + V* V * 2 -¡-y2

1 932. D eterm in ar las con stan tes a expresión

y

i

de

tal

form a,

que Ja

(a x 2 -\-2xy - f y2) d x — (x 2 + 2x y -f- by2) dy

(x*+y*)2 sea la d ife re n cia l e x a cta de una fu n c ió n z, y h a lla r esta ú ltim a . Después de co m p ro b a r q u e la s expresiones que se dan m ás abajo so n las diforen cia les e x a cta s de ciortas fu n cion es, h a lla r estas funciones. 1933. ( 2 x + y + 2) d x + ( x - f 2y + z ) d y - f ( x + y + 2z) dz. 1 934. (3 # 2 ~f- 2 y 2 -j- 3z) d x -f- ( í x y + 2 y — z)d y-\ - ( 3 z — y — 2) d z . 1 935. (2x y z — 3y lz + 8 z y ’¿ -\-2) d x 4 - ( x 2z — 6x y z -f- 8x*y + 1) d y -f- (x 2y — 3x y 2 + 3) dz. 1936 i 937

• ( y - i ? ) áa:+ ( T — x d x + y dy + zdz

-\/x* + y* + t*

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218


1938*. Se dan de coordenadas:

la s p royeccion es Y

y (*+y)*'

de u n a

y —

fuerza sobre los ejes

^x (* + «*

’

donde X es una m agnitud constante. ¿Cuál debe ser el co e ficie n te Xt para que la fuerza tenga potencial? 1939. ¿A qué co n d ic ió n debe satisfacer la fu n c ió n / ( i , y ) , para que la expresión /(* , y )(d x + d y ) sea una diferen cial exacta? 1940. H a l l a r la fu n c ió n i¿, si du = / ( x y ) (y d x + x dy).

§ 9. Derivació n de fu ncio n es Im p líc ita s 1. C a s o d e u n a v a r i a b l e i n d e p e n d i e n t e . Si una ecuación / ’ (x, t/) = 0, donde f (x> y) es una fu n ció n diferenciabiu de las v a ria b les x determ ina a y co m o fun ción de x , la derivada de esta fu n ció n dada en forma im plícita , siem pre que fy { x y */)=¿= 0, puede h a lla rse p o r la fórm u la dy _

íx{x,y)

«**

V )'

Las [derivadas de órd en es superiores se de la fórm u la (1). Ejem plo

t.

H allar

y ~

..

ha lla n

por

d e riv a ció n

sucesiva

, si

+ y2)3 _ 3 (*2 + yZ) _|_ \ = 0. Solución. Designando e l prim er I ( x y y )t h a llam os las derivadas parciales

m iem b ro

de esta ecu ación

por

i* (*, y) = 3 (s2+ y 2)2-2z - 3 -2x = 6x [(x*+y*)2- 1 ] , h (* . y) = 3 ( x s + y 2) 2. 2y _ 3 . 2 y = 6y (
íx (x y y) _ fv(*,y)

6a: [(x 2-f-¿/2) 2 — 1] 6//((ar2 + y 2 ) 2 _ i )

x y '

Para h allar la segunda derivada, derivam os co n respocto a x la primera derivada que hemos encontrado, teniendo on cuenta a l hacerlo que y es fu n ció n de x: dy & 9 .. d f dx* d x \

t,¡/ y )

* dx

y

(

x \

X[ ¿,2

rjl

ya + gg ^3

2. C a s o d e v a r i a s v a r i a b l e s i n d o p o 11 d i e n t e s . A náloga m ente, si la ecu ación F { x y y, 2) = 0, donde F ( x y y y z) es una fu n ció n d ife -

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D erivación de fu n cion es im plícitas

219

re n cia b le de la s v a r ia b le s x , y y z , determ ina a 2 com o fu n c ió n d e las v a r ia b le s in depen dien tes x e y , y F z ( x , y , z ) = f = 0, las derivadas parciales d e esta f u n c ió n dada de form a im p lí c it a pueden h a lla rse p o r las fórm u la s: dz ^

F x ( x , y , z)

dz

F y (x, y , z)

c

dx

p 'z (x , y, z)

dy

F'z ( x , y , z ) '

O t r o p ro ce d im ie n to para h a lla r las d erivad as de la fu n c ió n z es el sigu ien te: d ife r e n c ia n d o Ja e c u a c ió n F { x , y , z) = 0 , obtenem os: 0 F . , dF t , dF dx + - - — dy + dz = 0. dx dy dz De d o n d e jp u e d e d eterm inarse dz, y E f j o m p l[o 2.

H a lla r

p o r con sig u ien te

y

y ^

.

, si

x * -2 y * -\ -3 z* -y z+ y = Q . S o 1 u c]i ó n . l or p r o c e d i m i e n t o . D esign a n d o el p rim er m ie m b ro d e estaa e c u a c ió n p o r m e d io d e F { x , y , z), h a lla m o s la s d eriv a d a s parciales Fx( Xy y , z) = 2x,

F v ( x , y, z ) = — 4y — z + t ,

F z (x , y , z) = 6z — y. A p lic a n d o la fó r m u la (2), obtenem os: p»dz1_

Px ( x , y , z )

* « * ”

/£ (* ,

2°

2x

r)

6 z -y

procedim iento.

_

dz

F „ (x ,y ,z )_

’

¿ir

/•; ( * ,

z) “

1 — 4y — z G * -* f

D ife re n cia d o la e c u a c ió n dada, obtenem os:

2 x d x — 4y dy -j-6 z dz — y dz — z d y - j- d y = 0. De d o n d e im p líc ita :

d e term in a m os

dz, e s

d e cir,

la d ife r e n c ia l

total

de la fu n ción

2 x d x -f- (1 — 4y — z) dy dz = -------------------- p----------------- • y — 6z C om p a rá n d ola co n la f ó r m u la dz = ~

3°. S i s t e m a ecuaciones

de

d

dz

2s

dz

dx

y — bz

dy

funciones

x

¿y » vem os, que

1 — 4y — z y—

6z

implícitas.

Si el sistem a d e dos

( F ( x , y , « , v) = 0 t [ G ( x , y f i¿, i/) =

0

d e te rm in a u y v co m o fu n cio n e s d ifere n cia b le s d e las v a r ia b le s x e y , ja cob ia n o d F OF

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y

el

22 0


las diferen cia les de ostas fu n cion es (y p o r con sig u ie n te , parciales) so pueden h a lla r d o las sigu ien tes ecuaciones

sus

d erivadas

F A d F F J i j = A -d,— d x - I* — -- di y H.— d— du -f-0r F— dv 0, dx dy du dv

(3)

dG , . OG dG _ , dG _ ,, ¿ * + - 3—dy-|— — rfíí-4-— = 0 dx dy du 1 Ejem plo

3. Las ecuaciones u - f - u ^ s + y,

ru +yy = l

determ inan u y v com o fu n cion es de x

o y\ h a lla r

S o 1 u c i ó n. 1er p r o c e d i m i e n t o . co n respecto a x , obtenem os: du dx

dv dx

du

D erivan do

y a m bas

.

ecu acion es

u dv

o,

“ + * t o + 1 ,te de donde

dv u+ x *¿+y x — y ' d* — x — y '

du A n álogam ente, h a lla m o s: du _ dy

y -j-y x—y

’

dy _ y + x Oy ~ x — y

2° p r o c e d i m i e n t o . P or d e r iv a c ió n relacionan entre sí las cu a tro variables:

h a lla m os

dos

ecuaciones q ue

du-\-dv— dx-\-dy, x d t i + u d x ~ \ - y dv-^-v d y = Q. R e s o lv ie n d o nemos: _

esto sistema

respecto a

(u + V) dx~\-{v-\-y) d y x—y 1

las d ife re n cia le s ^

(u-\-x) d x - ± ( v + x ) dy

y

De dondo du _ dx dv dx

u-\-y x—y ’ u-\~x dv x — y T dy

du y dvy o b t e

du dy ~

y -j-y x—y

v+ x x—y

, . r '4° ' f u n c i o n e s d a d a s e n f o r m a p a r a m é t r i c a . Si la fun ción d ife re n cia b le ; de las variables x e y so da en ecu acion es param étricas x - x ( u , v),

D (*■ y) D (u , v)

y — y ( u , v),

z = z(u,v)

dx dx du dv dy dy du dv

*

0,

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221

la d ife re n cia l de esta fu n ció n se puede h a lla r d e l sistema do ecuaciones , dx =

dx dx , du + dv, du ' dv

dy^^Ldu+ZLdv,

(4)

j dz dz dz = — d u + — dv. k. ou dv C o n ocien d o la d iferen cia l dz = p d x - \ - q d y dz dz _ = p y _ = 9. Ejem plo la s ecuaciones

4.

La fu n c ió n

x — u-\-v,

z de

h a lla m os

lo s

y — ifi-\-v2j

las derivadas parciales

argum entos x e y viene dada por

2 = ns - j - ^ ( « =^¿= v).

i, n ds dz H a lla r — y — . dx dy Solución. 1er p r o c e d i m i e n t o . P or d ife re n cia ció n tres ecuaciones que rela cion a n e n tre s í las c i n c o variables:

h a llam os

( d x = d u + dv, d y = 2u du + 2v dv, l dz = 3 u 2 du + 3v'2 dv. De la s prim era s dos ecu acion es d esp ejam os du y dv: d u = 2 v d x -d y _ 2 ( v — u)

du

dy — 2u dx 2 (y — u)

P on em os en la tercera ecu a ció n las expresiones así determ inadas de du y dv: , d z

=

0 9 3 u 2

2v d x — dy „ 9 d y — 2 u d x ¡- ó v ¿ — = 2 (tf— u) 2 { v — u)

— — ---------

Ü u v ( u — v ) d x + 3 ( v t — u2) d y , , 3 , , v , = ---------------- T ( v — u)----------------- = — óuv d x - h y ( u + v ) dy.

De d on de dz

dz

■3F“ - d w ' 2°

procedimiento. *

dx

3

aF=T

De la tercora ecu ación

3 „ S * L + 3 i, * 4 L ;

dx

dx

4 i = 3 B t * L + 3 V2 * L .

dy

D e riv a m o s las dos prim eras ecuaciones, y después, con respecto a y : du f dv

dada se puede hallar:

dy

dy

prim eram ente, con du

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dv

{5)

'

respecto a x ,

222


Del prim er sistema tenemos: du dx

v v— u '

dv dx

u u— u

Del segundo sistema tenemos: du dy

i 2 (u— v ) ’

Poniendo las expresiones ~

0z

y ^

v — u

J H

u —V

“2

1941. Sea y una

1 2 ( v — u) '

en la fórm u la (5), obtenem os:

3¡i2 — —

óx

dv dy

_ : w,

+ 3 l'2 •2 i h r ) - 4

fu n c ió n

<“ +»>•

de x y determinada

por

la ecuación

** 1 ¿2 = 1. a* 1 H a l la r

*L , f l

y

dx

^ d x3

dx2

*1

.

1942. Sea .y una fu n c ió n determ inada x* + j f + 2 a x y = 0

por la ecu a ción

( a > 1).

Demostrar, que ^ | = 0 y e x p lica r el resultado obtenido. 1943. H a lla r

, si y = 1 + 0 * .

1944. H a lla r

y g ,

1945. H a lla r ( £ ) _ ,

si y

y = * + ln y. ( g ) „ , , «i

a ? _ 2 * y + ff* + x + 0 - 2 = O. U tilizan do los resultados obten idos, representar a proxim ada m ente la grá fica de esta cu rva en el entorno del p u n to x = í . 1946. La fu n ción y está determ inada por la ecu a ción ln )/4 r2 + í/2 = a a r e t g

«w -

1 * S■ s. á - >•

(a=¿= 0).

-

i + x y — ln (exv -\- e~x,J) — 0.

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223

1948. L a fu n c ió n z de las v ariab les x o y se da por la ecu a ción z 3 + 2 i f + z ' - Z x y z - 2 y + 3 = 0. H a lla r

~

dx

y

J

d~

dy

Í9 4 9 . H a lla r

y

dx

J

dy

, si

x eos y + y eos z + z eos x = 1. 1950. L a fu n c ió n z v ie n e dada p o r la ecuación z* + y 2 — z2 — x y = 0. H a lla r-^ - y TT

para el sistema de v a lo r e s x = — 1, í / t = 0 y z — 1. n

1 9 o l- H a lla r

<^2

¿ 2

d 2Z

d 22

¿te ’

éty 5 dx'¿ 7 ¿tedy

?

¿ 22

.

#2

» ¿„2 ( ^ ’

22

a2

'

bl¿ 1 c‘

1952. f (x , y, 2) = 0- Dem ostrar, q u e ■— •~ 7 •— = — 1. 1953. 2 = 9 ( 2;, y), donde y es fu n c ió n de e cu a ció n tJ>(£, y) = 0 . H a l l a r

determ inada por la

.

1954. H a lla r dz y <22z, si x 2+ y 2 + z2 ~ a 2. 1955. Sea 2 una f u n c i ó n de la s v a r ia b le s x por la e cu a ció n

a -j- 2 y 2 -j- z 2 —

2 ;2

8 2 :2

o

y

determ inada

— 2 + 8 = 0-

•

H a lla r dz y dí z para el sistem a de valores z = 2 , y = Ü y 2 = 1. 1956. H a lla r dz y d2z t si ln z = x + y + z — í . ¿ A qué son igu a les las derivadas prim era y segunda de la fu n c ió n 2? 1957. Sea la fu n c ió n z dada por la ecu a ción i ? + y 2 + z 2 — 9 ( a x + by + cz), donde cp es una fu n c ió n tantes. D em ostrar, que

cu a lqu iera

d iferen cia b le

y a , ó, c, cons

(cy - b z ) ~ - + (^z — ex) -J i = ¿a: — a y . 1958. D em ostrar quo l a fu n c ió n z, determinada por la e cu a ció n F ( x — a z 7 y — bz) = 0 , donde F es u n a fu n c ió n d ife re n cia b le cu a lq u iera de dos argum entos, satisface a la ecu a ció n

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224


1959. F [ ~ r ,

D em ostrar, que x -r^ + y

— z.

1960. Dem ostrar, quo la fu n c ió n z, determ inada c i ó n y = x y ( z ) + t y (z ) , satisface a la e cu a ció n 0 2z i dz \2 _es dz dz 02z dx2 \ dy ) Ox dy d x dy

1961. Las fu n cion es y y z de dan por el sistema de ecuaciones

02z / dz V2 dy2 V dx )

la v a r ia b le

*> + *•— * » - o , ** + 2 » * + 3 * * - 4 . H a lla r X = 1 , 1/ = 0 y z = l . 1962. Las fun ciones y y z de dan por el sistema de ecuaciones

la

por

la e cu a

.

indepen dien te

, ■§ , g

v a r ia b le

x

se

y - g - para

independiente

x

se

x y z = a , z + i / + z = b. H a lla r d y , dz, d 2z. 1963. Las fun ciones y v de las v a ria b le s independientes x e y se dan por el sistema de ecu a cion es im p lícita s u = x-\-y,

u v = y.

C a lcu la r du fíu 02u 71 ’ ly '

d2u

d2u dv dv ’ ¿t/2 ’ 1 7 ’ T y '

d2v

d2v d i dy ’

02v dy* p a r a

z = 0, y = l . 1964. Las fu n cio n e s n y v de la s variables independientes £ e y se dan por el sistema de ecu a cion es im p lícita s u + v = z,

u — y v — 0.

H a lla r du, d v , d2u, d2v. 1965. Las fun ciones u y v de las v a ria b le s x e y e l sistema de ecu a cion es im p lícita s s = q> ( u t v ) y Tl n

du dx

du dy

H a lla r -r— , - 3— ,

dv dx

1966. a) H a lla r b) H a lla r

Ox

y =

se dan

por

v ).

dv dy

y -r— .

J

Y ^

oy

z = z/cosi>, y = u s e n v y z = cv.

y -J^-, si x = u + v, y = u — v y

c) H a lla r dz, si x - \ - e u+vt y = e n~v y z = u v .

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z = ut;.

225

Cambio de variables

1967. z = F ( r ,
n a ila r

dx

iy = rsen
v - dz y

dy ’

1968. C onsiderando z c o m o fu n c ió n de x e y, h a lla r

y

,

si x = a eos cp eos tj), t /= ó s e n epeost);, z = ese m|>. § 10, Cambio de v ariab le s Cuando se cam bian las v a ria b les en la s d erivad as quo entran en e ll a s deben expresarse respecto a las nuevas varia b les, a p lica n d o para ció n de fu n cion es compuestas. I o. C a m b i o d o v a r i a b l e s o n l a s tienen derivadas ordinarias. E jem plo

1.

expresiones d ife re n cia le s, las p o r m e d io de derivadas con e l l o la regla do d iferen cia expresiones

que

con

T ra n sfo rm a r la e cu a ció n X'

d*'J . dx 2

dy

pon ien d o # = -“ • • S o l u c i ó n . Expresam os las derivadas de y respecto a z por m edio de las derivadas de y con respecto a t. Tenemos: dy dt

dy _ dx

dzy dxa

dx dt

dy dt

t2 dy

1 W

dt

J _ ( dy > d d ( d y \ = dt \ d x I dx \ dx ) dx dt

P on em os la s expresiones d o y ca m b ia n d o x p o r

las d erivadas h a lla d a s

on la

ecuación

| , obtenem os:

^ • <3( 2 # + ' - S - ) + 2 4

(-« ■ í-j+ r f* -0

4 s r + a,* - ° 15—1016

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dada

F u ncion es de varias variables E j e m p 1 o •2 .

T r a n s fo r m a r la e c u a c ió n

( dy V

dx*

dy

V dx )

»

dx

lom a n d o y co m o a rg u m en to y x c o m o fu n c ió n . S o l u c i ó n . E x p re s a m o s la s d e r iv a d a s d o y r e s p e c to a la s d e riv a d a s d e x resp ecto a y

x p o r m o d lo

de

1

dy dx

dx_ 1 'd y

V. d y )J

dx

d*x

d*x

dy2

dy*

(

\ d y .J

í_ 'l

_

\ d y )

í-í V

dy

■

\dy)

P o n i e n d o e s ta s e x p r e s io n e s d e la s d e r iv a d a s e n la e c u a c i ó n

d ada, ten drem os:

d*x i

1

/ d x \3

dx

\d ij)

dy

dy *

( W

r — 0,

o, fin a lm e n te ,

dy* E j e m p l o

pasando o

3.

‘ 1 \dy/

T r a n s fo r m a r la ecu a ció n

dy ^

x + y

dx

x—y

la s c o o r d e n a d a s p ola res x — r cos 9 , y = r sen 9 .

(1 )

S o l u c i ó n . C on sid era n d o r c o m o fu n c ió n d e 9 , de la fó r m u la obtenem os: d a = c o s cp d r — r s e n 9 ¿ 9 , dy =-*sen cp dr + r c o s 9 rf
dy _

s o n 9 dr-\- r e o s cp dep _

dx

e o s cp d r — r s e n cp dep

dr s o n cp -3 dq> dr c o s cp dep

P o n ie n d o en la e c u a c ió n dada la s ex p re sio n e s

de

h r e o s cp

x, y

r s e n cp

y

dr s e n cp —r— f - r c o s cp cos 9

dr

d9

r sen 9

— r C 0 S ( P + r s e n

o, después d e s im p lific a r , dr

d9

r.

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dy — tendrom os;

(1 )

227

Cam bio de variables 2 o. C a m b i o d o v a r i a b l e s e n tienen derivadas parciales. E jem plo

las

expresiones

que

4. T ra n sform a r la ecu a ció n de las vib ra cion es de la d*u

con cuerda

* d2u

~dW~

HteP

{ a * 0)

a unas nuevas v a r ia b le s in depen dien tes a y P, d on de a — x — a t , p — x-^-at. S o l u c i ó n . Expresam os las derivadas parciales de u con respecto a x y t p o r m e d io de derivadas parciales do u con. respecto a a y p. A p lic a n d o las fó rm u la s de d e riv a ció n de fu n cion es com puestas du

du d a

dt

3
du Ofi

dt

d i'

du

du

da

dx

da

dx

du dP '

d§ d x ’

obtenem os:

du ~dt

du ,

du

Ou

. , du

dx

da

dp

. ,

du

f du

i)u \

du ,

du

da

dp

V o lv e m o s a derivar a p lica n d o estas m ism as fórm u la s: / du\ d_^ / du \ d a dir" \ ~ d f ) ~ ~ d a \ ‘ W ) di

d*u

/

du_ \ dp \ dt )

d

~W

l

d*u d*u\ \,

d'¿u

da2

a \da9p

flft dt ~

. .,/ d*u ( d*u

j ( aJ + a

l

c?2u d*u \

O?2d a d p ) a ~

i d*u V ía » d2u dx'£

d / du \ d f t ___ dp \ d x ) d x ~~~

d / du \ |^ | ( du \ da dx \ dx j ~ da \ d x ) dx I d2u

fru

\

dadp )

/

* + l

2 0% \ . . .Ha d a ddp p T HfP dfi* } '

d*u

. 0 2u \

d a dfl +

dffi )

' ”

dû

d a 2 '*'

d*u dadp

+

d2u

~dF

‘

P o n ié n d o lo en la e cu a ción dada, tendrem os:

.

d'u i d u Y da?

n

d*u d*u . d2u . \ &*u „\ //
o bien, d2u da dp Ejem plo

5.

T ra n sform ar

la

— ü.

ecu ación

x2

co m o nuevas v a r ia b le s independientes u = x , v = ——

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+

tom ando

, y co m o nueva fun ción

228


Solución.

Expresam os las derivadas parciales

las derivadas parciales

y

,

,

dx

dy

.

dx

dz

Por otra parte, , dw dw aw — —?— d u —— du. du dv Por esto dw _ , dw , du4~—r— dv du dv

dx x'¿

dz z

o bien, dw / d x

dw du

dy \

dx

dz

De aquí que „ ( i dz = z2 { — V x2

dw 1 du? \ z2 dw 5---------- 5- — ) dx H —— dy du x 2 dv ) y 2 dv

y, por consiguiente, dz da;

2 / jl_ 2 \ x2

dw du

1 dw \ x ,¿ dv )

y dz

z2 dw

dy ~~ y 2 dv Pon ien do estas expresiones en la ecu ación dada, obtenem os:

*222 M

\x*

m ediante

. Para e l l o , d iferen cia m os la s relaciones

dadas entre las variables antiguas y las nuevas ,

y

Üü du

LJ?íM . .2 Ü íl_z2

x2 d v ) +

o bien, dw

1969. Transform ar la ecuación

haciendo * =
poniendo £ = cos¿.

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0v

229

Cambio de variables

1971. argum ento:

T ra n s fo rm a r la s sig u ien tes

ecuaciones,

tom a n do

y com o

1972. L a tangente del á n g u lo ¡x, form a d o por la tangente M T y el ra d io v e c to r O M d e l p u n to de tangencia ( f i g . 69), se expresa de la form a sigu iente:

T ra n sfo rm a r esta ex p re s ió n , a: = rcosq>, y ~ r senep.

pasando

a

las coordenadas polares:

Y

O

T F i g. 69

1 9 7 3 . E xpresar la f ó r m u la de la cu rva tu ra de una línea

on coorden adas p olares x = r cosq), i/ = rsen<{>. 1974. T ra n s fo rm a r a las nuevas v a r ia b le s independientes u y v la ecu a ción

si u — x , v — x 2-\~y2. 1975. T ra n sform a r a las nuevas v a r ia b le s independientes u y v la ecu a ció n x

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230


1976. Tran sform ar la ecuación de L a pla ce d*u d x* +

d*u dy* ~

a las coordenadas polares r y
2/ ^

rse n q ).

1977. Transform ar la ecu a ción ^ ü i _ » 2 Ü i _ 0 dx* y dy* " " u >

haciendo u = x y y

.

1978. Transform ar la ‘ecuación dz dz y -d ¿-x

,

.

in troduciendo las nuevas v ariab les independientes u=

1 •>

u = — 4- — x

' y

y la nueva fu n c ió n w = l n z — ( x + y ) . 1979. Transform ar la ecu a ción ^ dx2

2 ^ - + 4 ^ = 0 , dz dy ' dy:

tomando com o nuevas v ariab les independientes u = x-\~y,

y= y

y co m o nueva fu n c ió n u; = 1980. Transform ar la ecuación dx* ^

dx d y ^ dy*

poniendo u = x-\-y, i > = x ~ y f w = x y — z y donde w = w ( u , v). § 11. Plano ta ng e nte y normal a una superficie I o. E c u a c i o n e s del plano t a n g e n t e y do la n o r m a l p a r a el c a s o en q u e la s u p e r f i c i e está dada de f o r m a e x p l í c i t a . Recibe el nom bro do plano tangente de una su p e rficio en el punto M (p u n to do con ta cto ) el p la n o on que están situadas todas las tan gentes en el punto M , a las curvas trazadas en d ich a su p erficie q ue pasan por esto punto M. Se llama normal de una su perficie a la recta perpen dicu lar a l p la n o tangente en e l punto de contacto. Si la e c u a c ió n de la su p erficie esta dada de form a e x p líc it a en u n sistema de coordenadas cartesianas, z = ¡ ( x y y ) t dondo / (x t y) es una fu n ció n diferon~

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231

P lan o tangente y normal a una superficie c ia b le , la e cu a ció n dol p la n o tangente en e l p u n to fi c i e será

M (*0, y0, z0) a la super

2*— z0 = fx (x0, u0) ( X — * o ) “t"/u (x o> yo)

— i/o)‘

0)

A q u í 2 0 = l ( z 0% y0) y X , y , Z , so n las coorden adas v a ria b les de los puntos d o l plano tangente. Las ecu acion es de la norm al tienen la fo rm a :

_

£

=

f x ( x 0’ yo)

a

(

2)

/*/(«o» vo)

d on de X , y , Z , so n las coorden adas v a ria b les d e lo s puntos d o la norm al. E j e m p l o i . E s c r ib ir la s ecu a cio n es del plano ta n g e n te y d o la ñorm a l a la su p e rficie

z= -¿

y 2 ea su p u n to M (2; — 1; 1).

S o l u c i ó n . H a lla m o s las derivadas parcialos de la fu n c ió n dada y sus v a lo re s en el punto Af.

Í i _ r dx

_*>

*’

02 0y

[ d* ) M

„

/ 02

-* •

( t ) «

-

De d o n d e, a p lica n d o las fó rm u la s ( i ) y (2), tondrom os: z — 1 = 2 (a: — 2 ) - f + 2 (y - M ) ° b ion , 2 x + 2y — 1 = 0, q uo es la ecu ación del p la n o ta n g e n te , y f _ 2 — iL h i a ‘ i-

t , q ue so n la s ecu acion es do la norm al.

1

2o. E c u a c i o n e s de! plano tangente y do la n o r m a l para ol cas o en quo la s u p e r f i c i e o s t á d a d a d e f o r m a i m p l í c i t a . En ©1 caso en que ln ecu a ció n de la s u p e r fic ie regular cstó dada d o form a im p líc it a F ( x , y, z) = 0 y F [ x 0, ¿/o> 2o) = 0, *a3 ecu acion es co rresp o n d ien tes tendrán la form a F x (ô* yo» zo) ( X — aro)

(x o* í/o» z o) 0 ^

ífo) H" ^

(*o* yo* zo) (Z

2o) = 0 .

(3)

q ue es la ecu ación d e l p la n o ta n g e n te , y X — ar0 Fx (ar0, yo» -o)

_

y — yp F v (x$, yQf z0)

_

Z — gQ Fz (ô* 2/o» 2o)

que so n las ecu acion es de la norm al. E j e m p l o 2. E s crib ir la e c u a c ió n d e l p la n o tan gen te y de la norm al a la su p e rficie 3x yz — z3 = a 3 un el punto que tiene a: = 0 e y = aS o l u c i ó n . H a lla m o s la cota z dol punto do c o n ta cto , p o n ie n d o x = 0 e y = a en la ecu a ció n de la su p e rficie : — z3 = a3, de d on d e 2 = — a. Do esta fo rm a , el p u n to de con tacto' es M (0. a, — a). D esign a n d o por F (x, y, 2) e l p rim e r m ie m b ro de la e c u a c ió n , h a llam os las d eriv a d a s parciales y sus v a lo re s on el punto M : F x = 3yz,

( F x ) m = — 3 o 2,

Fy = 3 x z ,

(Fy )a/ = 0,

Fz = 3 x y — 32a,

( F z) m “

— 3fl2.

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232


A p lic a n d o la s fó r m u la s (3) y (4), obten em os: - 3tf2 (2 _ 0 ) + 0 ({/ — a) — 3fl2 (z + a) = 0, o sea, x + 2 + a =

0, e c u a c ió n d o l p la n o tangente, 0 y —a -3 a 2 “

a: e/ — a z + a o sea, -y- = —— = —-— , ecu acion es

z+ a

0

— 3a* , ’

, , d o La

n o rm a l.

1981. E s c r ib ir la s ecu acion es de lo s p la n o s tangentes y las de la s n orm ales a las sig u ie n tes su perficies en lo s puntos q u e se indican : a) al p a ra b o lo id e de r e v o lu c ió n z = x 2-\-y2> en el p u n to (1; — 2; 5 ); b)

al con o

+

~-*ir ”

en c l Pu n to (4.; 3 ; 4 );

c ) a la esfera x 2 -\-y2 + z2 = 2 R z f en el p u n to ( r e o s a ; 7? sen a ; R ). 1982. ¿En q u é p u n to del elipsoid e * 2 _ l y2 _i_ z2 - i T T + -P -+ -3 - - 1 la norm al form a án g u los igu a les con los ejes coordenados? 1983. P o r .e l p u n to M (3; 4; 12) de la esfera x 2 + y2 + z 2 ~ 169 pasan pla n os perpendiculares a lo s ejes O X y O Y . E s c r ib ir la e cu a ció n del p la n o que pasa p o r las ta n gen tes a la s seccion es que o rigin an a q u é llo s , e n el p u n to co m ú n A i. 1984. Dem ostrar, q u e la e c u a c ió n del p la n o tangente a la su p erficie cen tral de 2 o orden a x 2 - f by 2 4 - cz2 — k e n su p u n to M (x 0} y 0, z0) tiene la form a a x 0x + by0y + cz0z = k. 1985. Dada la s u p e rficie x 2 + 2 y 2 + 3zz = 2 Í , trazar a e lla n os tangentes q u e sean p a ra le los al p la n o x + 4y-\- 6 z = 0 . 1986. D a do e l elipsoid e a'¿ "i" ¿,3 -T c2

p la

*1

trazar a é l p la n o s tangentes q u e in te rc e p te n en lo s e jes coord en a dos segm en tos de ig u a l lo n g itu d . 1987. H a l la r en la s u p e rficie x z -\-y'1— z 2- ~ 2x = 0 lo s pu n tos on q u e los p la n o s tan gen tes a e lla sean p a ra le lo s a los planos coordenados. 1988. Dem ostrar, que lo s p la n o s tangentes a la su perficie x y z z = m ? form a n c o n lo s p la n o s coorden ados tetraedros de v o lu m e n con stan te.

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Fórm ula de T a y lo r para la s fun cion es de varias variables

1989. Demostrar,

que

lo s

p la n o s

tangentes

a

la

233

superficie

Y x + Y y + V Z = Y a in lercop tan en los ejes coordenados segm en tos, cu ya suma es con stan te. 1990. Dem ostrar, que el con o

y la esfera

son tangentes entre sí en lo s pu n tos {0 , ¿ b, c). 1991. S e llam a án gulo entre dos s u p e r f i c i e s en el p u n to de su in tersección , ai á n g u lo q u e forman los planos tangentes a dichas superficies en el punto que se considera. ¿Q ué á n g u lo form an en su in tersección el c ilin d r o a:2 - f p2 = R 1 y la esfera ( x — R ) i + y * + - z * - = R l en el punto M ( | - ;

\0 ) ?

1992. S e llam an ortogona les las superficies q u e se corta n entre sí form ando á n g u lo recto en cada u n o de lo s puntos de la línea de su in tersección . Dem ostrar, que las superficies ¿r2 ¿/2 - f z2 = r2 (esfera), ¿/ = a:tgq> (p lan o) y z 2 = ( a r + i f ) t g 2 \]> (con o), que son superficies coordenadas d e l sistema de coordenadas esféricas r ,
en su p u n to

M (x 0, i/0í z0), donde x 0 ^ O y pasan

por el origen de coordenadas. 1994*. H a lla r las p ro y e ccio n e s del elipsoid e :c2 -f-¿/“ - f - z 2— x y — 1 =^0 sobre lo s pla n os coordenados. 1995. Dem ostrar, que la n orm a l, en c u a lq u ie r p u n to de la super f i c i e de re v o lu ció n z = / ( \ íx 2 -f- y2) (/'=?*=0) co rta a su ejo de ro ta ció n .

§ 12. Form ula do T a y lo r para las fu n c io n e s de v arias variable s S upongam os quo la fu n c ió n f (x , y) tiene en un en torn o del punto (a , b) derivadas parciales continuas hasta oí orden (n + i ) in clu siv e . Entonces, en este en torn o so v e r if ic a la fórm ula de T a y lo r: 1 (z , y) = i (a, 6) + - i - [ / ; (a , b) ( z - a) + f y (a, b) (y - b ) ] + + 4 r lr* * (a'

2 /" „ (a , b) ( z - a) {y - b) + / " „ (a , b) (V - i,)*] + . . .

■ ■ ■ + Í r [ ( x - a) - ¿ + ( y - b ) - k Y f ( a ’ b ) + f í n ( x ' y)'

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(1>

234


dondo ñ " (í > y )

x

Xf [ a + Q ( x - a ) t b + B ( y - b ]

(O < 0 < X).

En otras notacion es: f { x + h , y + k ) = f ( x , y ) + -L [h j'x <*, y ) + kfy ( x , y) f

+ m r

xll<«, » ) + k T m (*,
(

Aa/ »x (x , y) +

k + kJ í ) nH *

*>+

2

( )

+ ( T r T í j r [ h - í + i ! ~ k Y + i / ( l + 9fc; » + 0fc>o bien, A / < s , * ) = <*/ ( x , y ) + - i - ¿ 2 / (a:,

21

y)+...

1 En e l caso pa rticu la r en que a = 6 = de fórmula de Maclaurin. Fórm ulas análogas so n v á lid a s para riables. E j e m p l o . I-Tallar el in crem ento = x 3 — 2y3 + 3 x y a l pasar do io s v a lores x y i ~ 2 -\-h. S o l u c i ó n . E l in crem en to q uo se la fórmula (2). C a lculam os previam ente y sus valores on el p u n to dado (1, 2):

0, la fórm u la (1) recibe ol nom b re las fu n cio n e s de tres y

q ue recibo la fu n ció n / (x, y ) — = 4, y = 2, a lo s v a lo re s x l = l - \ - h 9 busca puede encontrarse a p lica n d o las derivadas p a rcia le s sucesivas

í ’x (x, y ) = 3 x * + 3 y ,

f ' J 1; 2) = 3 - l + 3 - 2 = 9,

/;(* .» )—

/y (1 j 2) = “ 6 -4 + 3 - 1 = — 21,

6 I /S + 3 * ,

s/) = 6 x,

/”

/^ (* .» )« 3 , /« (* •

í'

m ás va

(1; 2) = = 6 . 1 = 6,

/ " ( 1 ; 2 ) = 3,

) = - 122/ ,

(1; 2) = - 1 2 . 2 = - 2 4 ,

£ £ ( * t ! r) = 6,

/*íúf(l> 2) = 6,

«£ ,< * . f l - 0 ,

/^ (1 ;2 )= 0 , / ^ ( i ; 2 )= 0 ,

y) = - 1 2 ,

/ » ' „ (1; 2) = - 1 2 . *

T od a s las derivadas siguientes serán id én tica m en te iguales P on ien do los resultados ob ten id o s en la fórm u la (2), obtenem os:

a

cero.

A / (*, 0 - / ( 1 + * , 2 + * ) - / ( l , 2 ) ^ A . 9 + * ( - 2 1 ) + • f - | r l /l2-6 + 2fcfc-3 + fc2( — 24)1 + 4 r I * 3-6 + -3 ft 2 ft -0 + 3 M 2 -0 + ft3 ( — 12)] =

d]

= 9fc _ 21fc -)-362 +

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-

12k* -f- A3— 2fc3.

Fórm ula de T a y lo r para la s fun cion es de varias variables

1 9 9 6 . D esarrollar tiv as de h y k , si

j{x -\ -h ,y +

en poten cias

235

enteras y posi

f ( x , */) = a * 2 + 2fe¿*y - f ¿y2. 1997. D esarrollar la fu n c ió n f ( x t y ) — — x 2 + 2 x y + 3r/2— 6 x — — 2 y — 4 p o r la fó r m u la de T a y l o r en u n entorno del punto

( - 2; 1). 1 998. H a l l a r el in crem en to q u e recibe la fu n ción f ( z y y ) = z 2y al pasar de lo s v a lores y = 1 a lo s valores x x = * í + hy

y ^ i + k .

1999. D esarrollar la fu n c ió n f (*> */, z ) = x 2 + y'2 + z 2 + 2 x y — y z — 4 x — 3 y — z + 4 por la fó r m u la do T a y l o r en el entorno del p u n to (1; 1; 1). 2 0 0 0 . D esarrollar / ( x + h, y - f k y z-\- /) . en p o te n cia s enteras y p o sitiv a s de h , k y Z, si f (x , y , z ) — x 2 + y 2-\-z2— 2 x y — 2 x z — 2 yz. 2 0 0 1 . D esarrollar p o r la fó rm u la de M a cla u rin , hasta lo s tér m in o s de 3o orden in clu siv e , la fu n c ió n f ( x , y ) ^ ex sen y. 2002. D esarrollar por la fó r m u la de M a cla u rin , hasta lo s té rm i nos de 4o orden in clu siv e , la fu n c ió n / (x , y ) = e o s x eos y. 2003. D esarrollar por la fó rm u la de T a y lo r , en un entorno del pu n to (1; 1) hasta lo s té r m in o s de 2 o orden in clu siv e, la fu n ción f ( x , y) = y*. 2 0 0 4 . D esarrollar por la fó r m u la de T a y lo r , en u n en torn o del p u n to (1; — 1) hasta lo s té r m in o s de 3o orden in clu siv e , la fu n ción }(x , *) = « * « 2005. D ed u cir las fó r m u la s a proxim a da s, c o n ex a ctitu d hasta lo s térm in os de 2o orden, c o n re la ció n a la s m a gn itu d es a y p, para la s expresiones a) a r c t g i± | . ¡

b) | / E ± 5 E + ü ± E ,

si \a\ y |P| son pequeños en co m p a ra ció n c o n 1.

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236


200fi*. A p lica n d o la fó rm u la do T a y l o r , de 2 o orden, c a l c u l a r aproxim adam en te: a)

j/T | 0 3 ; y ^ O ^ ;

hasta

lo s

térm in os

b) (0 ,9 5 )2.01.

2007. Sea z una fu n c ió n i m p líc it a de x e y , determ inada por la ecu a ció n zs — 2 x z -\ -y = 0, q u e tom a el v a lo r z = l cu a n d o x = l e y = 1. E scribir v a rios té r m in o s d el d e s a rro llo de la fu n c ió n z en p o te n cia s crecien tes de la s diferen cias z ~ l e y — i . § 13. Extremo de una fu n c ió n

de v a r i a s v a ria b le s

1 D e f i n i c i ó n d e e x t r e m o d o u n a f u n c i ó n . So dice que una fu n ció n f (£, y) tiene un máximo (o un mínimo) / (a, b) en el punto P ( a , h ) , si para todos los puntos P' (x\ y ) d iferentes de P , de un entorno su ficientem en te pequeño del punto P, se cu m plo la desigualdad / { c , ó) > > / ( * , y) (e, respectivam ente, / {a, b) < j (x, y)). E l m á x im o o m ín im o de una fu n ció n recibe tam bién el nom bro do extrem o de la m ism a. Análogam ente se determ ina el e x trem o de una fu n ció n de tres o más variablos. 2°. C o n d i c i o n e s necesarias para la existencia de e x t r e m o . Los puntos, en q ue la fu n c ió n d i fe r e n c ia b a f ( x , y ) puede a lcan zar un extrem o (es decir, l o s lla m a d os puntos estacionarios), se h a lla n resol v ie n d o el sistema do ecuaciones lx ( z ,y ) = 0 ,

!'y ( x , y ) = 0

(1)

(condiciones necesarias para la existencia de ox tremo). E l sistema (1) os eq u i v alente a una ecu ación d f (Xy y) = 0. En el caso general, en el p u n to extrem o P ( a , b) do la fu n ció n / (x, y)%o 110 e x isto d j (a, b) o b ion d j (a, b ) = 0 . 3o . C o n d i c i o n e s suficientes para la e x i s t e n c i a de e x t r o m o. Sea P ( at b) un punto estacionario de la fu n ció n / (a\ y)> es decir, d f ( a , b) = 0 . En este caso: a) s i d2/ ( « , b) < 0, sien do d z 2 + d¿»2 > 0, / K b) es un máximo do la fu n ción / (x , y); b) si d2/ ( a , b) > 0, s ie n d o d x ¿ + d y2 > 0, / (a, b) es un mínimo de la fu n ció n / (x, y)\ c) s i di¿j (a, b) ca m bia de sign o, / ( a , ¿>> n o os punto extrem o d e la fu n c ió n / (x, y). Las co n d icion es citadas equivalen a las sigu ien tes: sea f'x ( a , b ) = — f'v {a > 6) = 0 y A = f x x (a, ó), B = / " y (a, ó), C = f yj/(ai b). F orm am os el dis criminante A = A C — B 2. En este caso: 1) si A > 0, !a fu n ció n tiene un e x tr e m o on e l punto P( a > b) y éste es un m á x im o , s i A < 0 (o C < 0), y un m ín im o , si A > 0 { o C > 0 ) ; 2) si A < 0, en el punto P (a, b) n o e x iste e x tre m o ; 3) si A = 0t la ex isten cia de extrem o do la fu n ció n en el punto P ( at b) queda indeter minada (es necesario co n tin u a r la in vestigación ). 4 ° . C a s o d e f u n c i o n e s d e m u c h a s v a r i a b l e s . Para las fun cion es do tres o más v a ria b les, la s con d icion es necesarias para la existencia de extrem os son análogas a las co n d icion es del párrafo 1 °, (1), y las co n d icio n es suficiezites, a n á logo s a las del párrafo 3 o, a), b) y c). Ejom plo

1. A v e rig u a r lo s extrem os de la función. z = * x 3 + 3 x y * ~ - Í5 x — 12 y.

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237

Extrem o de una función de varias variables S o l u c i ó n . H a lla m os d e ecuaciones (1):

las derivadas parciales y form am os el sistema

Í Í = 3*2 + 3jí2 - ! 5 = 0 dx

Í i = 6 í t f — 12=0 dy

o bien, j

x * +

\

y2 —

5 =

0 t

x y — 2 = 0.

R e s o lv ie n d o este sistem a obten em os cuatro puntos estacionarios: P ,(l;2 );

J>2 ( 2 ; 1 ) ;

~ 2 );

J®*(— 2 ; — 1).

H a lla m os las derivadas de 2 o orden d*z . -óx 5- 9“ — 2 y form a m os el d iscrim in a n te cionarios. 1) Para

el

punto

dH , Tdx _ 7íty r = b^ ’

d*z “STT dy2 — 5*

A = ^4C — i? 2 para cada u n o de los puntos esta

P ,:

( - 0 ) ^ - 6 ,

B = ( ¿ ^

^

= 12,

¿ =

= í 4 -¡r ) — A = <4C— # 2 = 36 — 144 < 0 . lis decir, en el punto 1\ n o hay V oy* J Pi e x trem o 2) Para ol punto .P2- A ^ = í 2 f B = 6, C = 12; A = 144 — 36 > 0, . 4 > 0 . En el punto P ¿ la fu n ción tiene un m ín im o . Este m ín im o es igual al valor de la fu n ció n cuando x = 2, y = i: *mfn = S + 6 - 3 0 ~ f 2 = — 28. 3) Para el p u n to P 3: A = - 6 , 5 = - 1 2 , ¿* = - 6 ; A= 3 6 -1 4 4 < 0 . N o h a y e>tremo. 4) Para el punto P ,t\ A = — 12, 1 3 = — 6, C = — 12; A = 1 4 4 — 30 > 0, ¿ l < . 0 . En el punto P^ la fu n ción tiene un m á x im o . Esto m á x im o es ig u a l a 3|riáx= - 8 - 6 + 30 + 12 = 23. 5o. E x t r e m o condicionado. Se lla m a extrem o condicionado do una fu n ció n / (x, 2), en el caso más sim p le , al m á x im o o m ín im o de esta fu n ció n , a lea uzad o con la c o n d ic ió n de quo sus argum entos estén ligados entre sí p o r la ecuación (x , z) = 0 , se form a la llamada función de Lagrange

donde X os un m u ltip lic a d o r constante indeterm inado, y se busca el extrem o o rd in a rio do esta fu n ció n a u x ilia r. Las co n d icio n e s necesarias para que haya un extrem o so reducen a l sistema de tres ecuaciones ■

¿ F S J>L+ X ^ l = ijx

^ i L dy

dx

dx

+ > A dy

o,

= o,

<2>

dy

9 (* t y) = 0 c o n tres in cóg n ita s, x, y ,

de las quo, en general, se pueden deducir éstas.

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238


El problem a do la. existencia y el caráctor del extrem o con d icion a d o se resuelve sobre la base del estud io del sig n o quo tiene la segunda d iferen cial de la fu n ció n de Lagrango 02F

d2F

d2F

para el sistema de valores do x, y t X q ue in vestigam os, ob ten ido de (2), con la c o n d ic ió n de q ue dx y dy estén relacionados entre sí por la ecu ación

- S r
< * * + * * + *>■

Precisamente, la fun ción / ( x , y ) tendrá un m á x im o con d icion a d o, si d'2F < 0 . y un m ínim o con d icio n a d o, si d*F > 0. En particu lar, si el discrim in a n te A para la fun ción F {x. y) en el punto estacionario es p o sitiv o , en esto punto habrá un m á x im o co n d icion a d o de la fu n ció n / (x, y), s i A < 0 (o C < 0), y un m ínim o con dicionado, s i A > 0 (o C > 0 ) . Análogam ente se ha lla n los extrem os con dicion a d os de las funciones de tres y más v a ria b les cuando existen una o m ás ecuaciones de enlace (cuyo número debe ser m enor que el de variables). En este caso, hay que in clu ir en la fu n ción de Lagrango tantos m u ltip lica d ores indeterm inados co m o ecuaciones do enlaco haya. E j e m p l o . 2. I-lállar los extrem os do la fun ción z = 0 — 4 x — 3y t co n la c o n d ic ió n de que las variables x e y satisfagan a la ecu ación

S o l u c i ó n. G eom étricam ente, ol problem a so reduce a encontrar los valores m áxim o y m ín im o de la cota z del plano 2 = 6 —-4 x — 3y para sus puntos do intersección con el c ilin d r o x 2 + [/2 = l . Formamos la fun ción de Lagrango F ( x , y) = e - / lx - 3 y + K(z* + y * - i ) . / dF Tenemos, -r—- =

OF — 4 + 2Xx, - ™ =

— 3 + 2Xy. Las con d icion es necesarias p ro

porcionan ol sistema do ecuaciones í

- 4 + 2Xx = 0,

j ‘ - 3 + 2 ^ = 0,

>- * » + y * = l , resolviendo ol cu a l, encontramos: 5

Y

A2 = -

5

’

4

X 2 = = ------- 5“ * 4

3

^ 2~ ------- 5" • 3

Como d2/ 7

d2/7

„

52F

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E xtrem o de una fu n ción de varias variables

239

tenemos d 2F — 2X (dz2 + dy*).

5 6

4 3 d y — —z - , entonces, d*F > 0 , y, por co n sig u ie n te , en este o o

Si X — — - , x «as —

punto la fu n c ió n tiene un m ín im o c o n d icio n a d o . Si

3

----- — , ¿

y —

* = ------ e o

p - , e n ton ces, d 2F < 0 y , p o r con sig u ie n te , en esto punto la o tiene un m á x im o c o n d icio n a d o . De esta form a , máx.

fun ción

. . I6 i 9 —- O”p c “l c — H» 1 5 1 5 16

9_ w

zmln. = 6 ----- 5 " - ~O' = 1 6°. M á x i m o y m í n i m o a b s o l u t o s de la ' f u n c i ó n . Toda fu n c ió n , d ife re n cia b lo en u n a r e g ió n acotada y cerrada, âlcanza su v a lo r

m á x im o (m ín im o ), o en un p u n to esta cion a rio, o en un punto de la frontera de la región . E j e m p l o 3. D eterm in ar lo s v a lo re s m á x im o y m ín im o de la fu n ció n

* = s 2+ z/2— sy + s + y en la re g ió n í< 0 ,

y <10,

a: 4

>

— 3.

S o l u c i ó n . La re g ió n in d icad a e s u n triá n g u lo (fig . 70). 1) H a lla m o s io s pu n tos e sta cion a rios:

r 2; = 2 x - j r + i = o , \ 2 ; S 2 2 ,-x -M = 0 ; de d on de x = — 1. y = — 1; ob ten em os el punto M ( — 1; — I). En e l p u n to M e l v a l o r de la fu n ció n e s zM = — 1. N o es necesario in vestiga r si hay extrem o. 2) E xam in am os la fu n c ió n en la fron tera de la reg ió n . C u ando x = 0 . tenem os q u e z = y2-\-y, y ol problem a s e reduce a buscar e l m á x im o y m ín i m o a b s o lu t o s de esta f u n c ió n de un argum ento en el

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240


segmento

—

Al

hacer

esta

investigación,

■<¡W . n b s . ) * = o = 6 en el P“ nto (0; - 3 ) y
hallamos

que

/ f en el pun

to ( 0 ; ----------- . Cuando i/ = 0, obten em os que z = x 2-\-x.

A n á log a m e n te h a lla m o s ,

<*máx.ahs.)*/=(> = 6 en e l Punt0 < - 3 ‘» 0) Y (zmín. ab s.)y= 0 ~

( - - M

que

“~ T en el pUQto

-

Cuando x + ¡/ = — 3 o

b ien

^ = — 3 —-#,

tendrem os q ue z = 3 x 2 + 9 s + 6. 3 / 3 A n á loga m en te h a lla m o s, que (zmfn. abs. ) * + y = - 3 ^ “ T c n c l Pun to [ ~ T ; 3 \ - T J : < * m a * .«i» .)* + ■ » = - « — 6 co in c id e con (zmSx. ab9.),.= 0 y con teináx. abs.)y=0- ^ n *a recta x - \ - y = — 3 se podría hacer la in v e s tig a c ió n de la ex isten cia do extrem o co n d icio n a d o sin re cu rrir a la fu n ció n d e un s o lo argum ento. 3) Com parando to d o s lo s v a lo re s de la fu n c ió n z o b te n id o s , lle g a m o s a Ja c o n c lu s ió n do que abs> = 6 en lo s p u n to s (0 ; — 3) y { — 3; 0) y z mín. atis. = — ^ Gn

Investigar variables:

pun^0 e sta cio n a rio M .

si tien en

extrem os

las sig u ie n te s

fu n c io n e s de

2008. ¿ = ( z - l ) 2 + 2 y 2. 2009.

—

2010 .

z = x* + x y + y 2 — 2 x — y.

2 011. z

=

x 3y 2

(6 — x — y ) ( x > - 0 ,

y >

0).

2012. s = x* + y* — 2x* + 4 x y — 2y*. 2013. z = x y y

1—

X-

o

y,3

2 014. z = 1 — (a® + ys)*-'a. 2015. z = (,t2 + 1/~) « - ( « H - * ) . 2 010. z = - , 1 + a - g V I + **+»» 2 0 1 6 .1 . z = A

.C

+

y

+ y

(a r> 0 , j / > 0 ) .

201 6.2. 2 = e ^ ( r 2— 2 ^ ) . H a lla r lo s extrem os de la s fu n cio n e s de tres variables:2017. u — x 2 -\- */2 + z2 —

+ # — 2z.

2018. u = * . | - . g . + J Í + - ? - ( * > o , ^ > 0 , z > 0 ) .

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dos

Problem as de determ inación de los m áx. y m ín. absol, de las ju ncion es 241

H a lla r

lo s

e x trem os

de

la s fu n c io n e s z ,

dadas de form a im -

2019*. x 2 + y 2 + z 2 — 2 x + 4 y — 6z — 1 1 = 0 . 2 020. x s ~ y 2 — 3 z - f - /i í/ + z2 + z — 8 = 0. D eterm in ar l o s e x tre m o s c o n d ic io n a d o s de la s fu n cion es: 2021. z =r x y , si x -f- y = 1. 2 022. z = x + 2 y , si x 2 + i/z = 5. 2 023. z = x 2 + y 2, s i

=

2 0 2 4 . z = c o s 2 x + c o s 2 í/, s i y — 1 = 2 0 2 5 . u = x — 2y + 2z, si x 2 +•y 1 + z 2, = 9. 2026. u = x 2

y2 +• z2, si ^ l - f - | l - } . i i = l ( íi > i » > c > 0 ) .

2027. u = x y 2z 3, si x + y + z = 1 2 ( x > 0 , y > 0 ,

z > 0 ).

2 0 2 8 . u — x y z c o n la s c o n d ic io n e s : z + y + z = 5 t a:j/ -f-

= 8.

2029. D e m o s tra r la desigualdad z~\-y-\-z

3 r ------

p — > y xyz,

si x > 0, y > 0 , 2 > 0 . I n d i c a c i ó n . Buscar oí máximo do la función u = xyz con la condi ción do que x y + 2 ==S. 2 0 3 0 . D e te rm in a r el m á x im o a b solu to de la fu n ción z = l+ a :+ 2 jr en la s region es: a) x > 0 , y > 0 , x + y < l ; b) a : > 0 , y < 0 , x — y < l . 2 0 3 1 . D e te rm in a r el m á x i m o y m ín im o absolu tos de las fu n c io n c s : a) z — x 2y y b) z = * x 2 — y 2 en la re g ió n £ 2 + i/2< 1. 2 0 3 2 . D e te rm in a r el m á x im o y m ín i m o a b so lu to de la fu n c ió n z = sen x -jr sen y -+- se n ( x + y ) en la re g ió n

0 < y < -^ ,

2033. D eterm in ar el m á x im o y m ín im o a b so lu to de ln z = x 3 + y s — Sxy en la re g ió n 0 < a ; < 2 , — l < y < 2 .

fu n ción

§ 14. P ro blem as de d e te rm in a c ió n de lo s m áxim os y mínimos a b s o lu to s de la s fu n c io n e s E j e m p l o 1. Hay que dividir un número ontero a en tres sumandos no negativos de manera que el producto de éstos sea máximo. S o l u c i ó n . Sean los sumandos quo se buscan x t y, a — x — y. Busca mos el máximo absoluto de Ja función f y ) = x y (a—z — y). 16—1016

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Problem as de determinación de los m áx. y m in. absoL de las funciones 243

2036. E ntre todos lo s triá n g u lo s de p erím e tro igual a 2 p , ha l l a r el q u o tiene m a y o r área. 2037. H a l l a r el p a ra lelep íp ed o recta n g u la r de área S dada, que tenga e l m a y or v o lu m e n posible. 2038. R epresen tar el n ú m ero p o s itiv o a en form a de producto de cu a tro fa c to re s p o s itiv o s , c u y a suma sea la m en or posible. 2 0 3 9 . E n el p la n o X O Y h a y q u e h alla r un p u n to M { x %y ) tal, q u e la sum a de los cuadrados de sus distan cia s hasta las tres rectas, x = 0 , y = 0 , x - y - 1 - 1 = 0 , sea la m en or posible. 2040. H a l l a r el tr iá n g u lo de p orím etro 2 p dado, que al girar alred ed or do u n o de su s lados engendre el cu erpo de m a y o r volum en. 2041. En u n p la n o se dan tres pu n tos m a lo ria les P x (:r,, y j), P z ( x 2t í/2) Y ^ 3 (^ 3» Vz)-> cu y a s m asas respectivas son m l9 m z y m3. ¿Q ué p o s ic ió n deberá o c u p a r el p u n to P ( : r, y ) para que el m om ento c u a d r á tic o (m o m e n t o de in ercia ) de esto sistema de puntos, con rela c i ó n a d ic h o p u n to P (es decir, la suma m xP xP 2 + + w 3P 3P 2) sea e l m en or posible? 2 0 4 2 . H acer pasar u n p la n o por el p u n to M ( ay c) que form e co n lo s p la n o s coordenados un tetraedro que tonga el m enor v o lu m e n posible. 2 0 4 3 . In s cr ib ir en un e lip so id e un paralelepípedo rectangular qu o tenga e l m a y o r v o lu m e n posible. 2044. C a lc u la r las dim en sion es exteriores quo deberá toner un c a jó n re cta n g u la r a b ierto, del q u e se dan el espesor de las pare des ó y la ca p a cid a d (in te rio r) V , para q u e al h acerlo se gaste la m en or ca n tid a d p o s ib le de m a teria l. 2 0 4 5 . ¿E n q u é p u n to de ia e lip se

la ta n gon te a ésta forma c o n lo s ejes de m en or área? 2 04 6 *. H a lla r lo s e je s de la olipse

coordenados ol

trián gulo

5x2 + 8 x y + 5 y - = 9. 2047. En una esfera dada, in scr ib ir el c ilin d r o cu ya superficie to ta l sea m á xim a . 2048. L o s cu rsos de dos ríos (dentro de lo s lím ite s de una re g ió n determ inada) representan aproxim adam ente una parábola^ y = ir2, y una recta, % — y — 2 = 0. H ay q u e u n ir estos ríos por m e d io do un ca n a l r e c t ilín e o que tenga la m enor lon gitu d posible. ¿ P o r q u é p u n tos habrá que trazarlo? 2 0 4 9 . H a lla r la d is ta n c ia m ás co rta del punto M ( 1, 2, 3) a la recia 1 1 1. x i ~

y - 3

__ z ”

2 *

16*

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242

Punciones de varias variables

P or el sen tido quo tiene oí prohloraa* Ja fu n ció n / ( * , y ) se exam ina den tro del triángulo cerrado s > 0 , y > 0 , x + y < a (fig . 71). Rasnlviendo oí sistema /;.( * , y) =

y ( a — 2 x — if) =

Q,

f'y ( x t y ) = z x { a — x — 2y) = 0,

obten em os

( t ; t )

para

el

in terior

del

triá n g u lo

un

' l>ílra ^ con iProí)arnos s i se cu m p len

s o lo

p u n to

estacion ario

Jas c o n d ic io n e s necesarias.

Tenem os & * ( * » 'A*77- * ! ! *

f x » ( x ' ? ) * = * — 2* — 2y, ( a

a \ * ” 3” J —

J'or con sigu ien te, A —

/ a

B = ,1'x»

,

(.T ’ t J -

Css‘1vu[t ~' l\

2 S~a'

a \

/ a

fyy (*. y ) = — 2x.

a ^

1

T a-

2

i r ) - _ ~ fl y

= A C -B *> 0 ,

/1 < 0 .

Bs decir, la fu n ció u tieno m á x im o en o) punto ( " I - ;

“í j - ) •

Como en el contorno del triángulo Ja función / {x, y) = 0» este máximo será el máximo absoluto de dicha función» es decir, ol producto será máximo a cuando x = y ~ a — x — ?/ = — y e l valor máximo del mismo sera igual o a

27 *

O b s e r v a c i ó n . Esto problema podría haberse resuelto también por el método del extremo condicionado, buscando el máximo de la función u = xyz con la condición de quo x - \ - y + z — a. 2034. E ntre lodos lo s paralelepípedos rectangulares de v olu m en V dado, h alla r aquél c u y a s u p e rficie tota] sea m enor. 2035. ¿Qué dim en sion es deberá tener un b a ñ o a b ierto, de v o l u m en V dado, para que su s u p e rficie sea la m enor posible?

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Problem as de determ inación de los m áx. y m ín. absol. de las fun cion es 243

2036. E n tre todos lo s tr iá n g u lo s de p erím etro ig u a l a 2 p y h a lla r el q u e tien e m a y o r área. 2037. H a lla r el p a ra lelep íp ed o re cta n g u la r de área S dada, que ten ga el m a y o r v o lu m e n posible. 2 0 3 8 . R epresen tar el n ú m ero p o s it iv o a en fo rm a de producto de cu a tro fa c to re s p o s itiv o s , c u y a sum a sea la m en or posible. 2039. E n el p la n o X O Y h a y que h a lla r un p u n to M (#, y) tal, q u e la sum a de lo s cu adrados de sus distan cia s hasta las tres rectas, x = 0 , y = 0 , x — y + 1 = 0 , sea la m en or posible. 2 0 4 0 . H a lla r el tr iá n g u lo de p e rím e tro 2 p dado, que al girar alrededor de u n o de sus lados engendre el cu erpo de m a y o r volu m en . 2 0 4 1 . E n un p la n o se dan tres p u n tos m a teria les P i ( x iy í/J, P 2 (x 2> yz) y P $ { x Zi # 3)» cu y a s m asas respectivas son m if m>¿ y 7713. ¿Q ue p o s i c i ó n deberá o c u p a r el p u n to P ( x , y) para que el m om ento c u a d r á lie o (m o m e n t o de in ercia ) de osle sistema de puntos, con re la c i ó n a d ic h o purito P (es decir, la suma m lP lP 2 + m^P2P 2 + m 3P 3P 2) sea ol m en or posible? 2 0 4 2 . H a c e r pasar un p la n o por el p u n to M (a, ó, c) que forme con lo s p la n o s coordenados u n tetraedro q u e ten ga el m enor v o lu m e n posible. 2043. In s cr ib ir en un e lip s o id e u n p a ra lelepípedo rectangular q u e ten ga el m a y o r v o lu m e n posible. 2 0 4 4 . C a lc u la r las dim en sion es exteriores que deberá tener un c a jó n re cta n g u la r a b ierto, d e l q u e se dan ol espesor de las pare des ó y la ca p a cid a d (in terio r) V , para q u e al h a cerlo se gaste la m en or ca n tid a d p o s ib le de m a te ria l. 2 0 4 5 . ¿E n q u é p u n to de la elipse

la ta n g e n te a ésta form a con lo s e jes coordenados el de m en or área? 204 6 *. H a lla r lo s e je s de la e lip se 5+> +

trián gulo

+ 5 y 2 = 9.

2 047. En una esfera dada, in scr ib ir e l c ilin d r o c u y a superficie to ta l sea m á xim a . 2048. L o s cu rsos de dos ríos (dentro de los lím ite s de una r e g ió n determ in ada) representan aproxim adam ente una parábola, y = z 2, y una recta, — 2 = 0. H a y que u n ir estos ríos por m e d io de u n ca n a l r e c t ilín e o que tenga la m en or lo n g itu d posible. ¿P o r q u é pu n tos habrá que trazarlo? 2 0 4 9 . H a lla r la d is ta n c ia más cortá d o l p u n to A f ( l , 2, 3) a la recta

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244


.. =2050*. L o s pu n tos A y B están situ a d os e n diferen tes m edios ó p ticos, separados el u n o del o tr o por una lín ea recta ( f i g . 7 2). L a v elocida d de p rop a ga ción do la luz en el prim er m e d io es igual a v u en el segundo, a v 2. A p lic a n d o e l « p r in c ip io de Ferm at», según el cu a l el ra y o lu m in o so se propaga a io la rg o de la línea A M B , para c u y o recorrido necesita e l m ín im o de tie m p o , deducir la ley de la refra cción del ra y o de lu z.

Fig.

72

F i g. 73

2051. A p lica n d o o l «p rin c ip io de Ferm at», deducir la ley de la reflexión del rayo de lu z de un p la n o en un m e d io h o m o g é n e o (fig . 73). 2052*. Si por u n c ir c u ito e lé c t r i c o de resistencia R pasa una corriente I , la can tidad de c a lo r q u e se desprende en una unidad de tiem p o es proporcion a l a P R . D eterm in ar, ¿c ó m o habrá que distribuir la corriente I en I u / 2 o I 3 v a lié n d o se de tres conductores de resisten cia s R u / ? 2l y R$, re sp ectiv a m e n te, para con segu ir que e l desprendim iento de c a l o r sea m ín im o?

§ 15. Puntos singulares de las curvas planas I o. D e f i n i c i ó n d e p u n t o s i n g u l a r . ’ U n p u n to M (:% y0) de una curva plana / (¿c, y) — 0 se llam a punto singular, si sus coordenadas satis facen sim ultáneam ente a las tres ecuaciones:

/ (*01 Vo) =

/* (*oi Uo) = o ,

fu (*o> yo) = °-

2o. T i p o s p r i n c i p a l e s d e p u n t o s s i n g u l a r e s . m os que en el punto sin g u la r M (x0. i/o) derivadas de 2o orden

¿ = Ix x (xq, i/o)’

n o so n todas iguales a cero y que

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Suponga

245

P u n tos singulares de la s curvas planas en este caso tendrem os: a) s i A > 0 , M será un punto aislado (fig . 74); b) si A < 0, M será u n punt o crunodal (punto doble) (fig . 75):

M

F i g . 74 c ) s i A = 0, AI puedo ser un punto de retroceso de I a especie (fig . 76) o^dc 2a e sp e cie (fig . 77), o un punto aislado, o punto doble co n tangentes c o i n c i d en tes o tacn od o (fig . 78).

A l r e s o lv e r lo s prob lem a s d e esto a p a rta d o, se con sidera o b lig a to r ia la c o n s t r u c c ió n d o las curvas. E j e m p l o 1. D em ostrar, q ue la curva y 2 = a x 2+ x * tiene: un punto cru n o d a l, s i a > 0; u n p u n to a is la d o , si c < 0 y u n p u n to do retroceso de í a e sp ecio, s i a = 0. S o l u c i ó n . En este c a s o / (z , y ) = a x * - |-z3 — y 2. H a lla m o s las derivadas parciales y la s igu a la m os a cero íx ( x , y ) =2 2 a x + 3x2 = 0, f y ( x , y) =

— 2y — 0.

Este s is t e m a tiene d os so lu cio n e s : 0 (0; 0) y N

^—

— a; 0 ^ ,

pero

las coor*

denadas d e l p u n t o N n o satisfacen a la e cu a ció n de la cu rva dada. E s decir, h a y un s o l o p u n to sin g u la r 0 ( 0 ; 0J. H a lla m o s las segundas derivadas y su s v a lo re s en e l p u n to O; fx x ( x , y ) = 2 a

+

62

,

Á = 2a,

f x v ( x , y ) = 0,

B = 0,

f m ( x , V ) = - 2.

C— —2,

A = i4C— ¿?2i= — 4a.

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24t>

P or consiguiente, Si a > 0 , A < 0 y el p u n to O será u n punto cru n od a l ( f i g . 79); Si a < 0» A > 0 y el p u n to O será un p u n to aisla d o ( f i g . 80); Si o = 0, A = ü . La ecu ación d e la cu rva en este ca so será o bien y — dz donde # . > 0 ; la cu rva es sim é trica co n respecto a l e je OX> que

es tangente a la m ism a. P o r con sigu ien te, e l p u n to M retroceso de I a especie (fig . 81).

Determ inar el ca rá cter de lo s sigu ien tes:

será u n p u n to de

puntos sin g u la re s

de las curvas

2053. y 2 ~ — x 2 + £4. 2054. ( y — x 2)2 = x*. 2055. a V = a ¥ - / . 2 0 5 6 . x ¿y ¿ — x 2 — i f = 0. 2057. a* - f y* — 3 a x y = 0 (f o l i u m de Descart es) . 2058. y* (a — x ) = x 3 (ci so i de ). 2059. (x2 + y 2)2 = a? ( x 2— y 2) (l emni sca t a). 2060. { a x ) y 2 = ( a — x ) x 2 { es t r o f o l d e ) . 2 0 6 í . (x2 - f y 2) ( x — a f = b2x 2 (a > 0, b > 0) { concoide). E xa m in a r tres casos: 1) a > b ,

2) a = b, 3) a < b .

2 062. D eterm inar c ó m o va ría el ca rá cter del p u n to sin g u la r de la curva y 2 == ( x — a) (x — b) ( x — c) en dep en d en cia de lo s v a lores de a, b y c ( a < 6 < c son reales).

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247

E nvolvente

§ 16, E n v o lv e n te I o. D e f i n i c i ó n d e l a e n v o l v e n t e . Envolvente de una familia de curvas planas s e lla m a a la curva (o a ! c o n ju n t o de curvas) tangente a todas las líneas de d ich a fa m ilia , adornos cada uno de sus pu n tos tiene co n ta cto c o n a lg u n a de la líneas do la fa m ilia q uo se exam ina. 2o. E c u a c i ó n de la e n v o l v e n t e . S i una f a m ilia do curvas depen dien te de u n parám etro v a ria b le a l { x , y , ce) — 0

tiene e n v o lv e n te , las ecu acion es m e d io dol sistem a de ecuaciones

j

param étricas de ésta

se determ inan

í (xj Vy a) = 0,

l / á ( * , y, a ) = 0 . E lim in a n d o e l p a rá m etro a la form a

por

del

W

sistem a (1), obten drem os una ecu a ción de D (s , y )= 0 .

(2)

D ebe a d v ertirse, que la curva (2), o b te n id a form alm en te, llam ada curva discriminante, adem ás de la e n v o lv o n to , si ésta e x iste , puede contener lugares g e o m é trico s de p u n to s sin g u la re s de la fa m ilia dada, q ue n o form an parte d e la e n v o lv o n to d o la m ism a. A l re s o lv e r lo s p ro b lem a s de esto p a rá g ra fo , se recom ien da hacer los d ib u jo s . E j e m p l o 1. H a lla r la e n v o lv e n te de la fa m ilia de rectas x c o s a + y son a — p = 0 (p = c o n s t ., p > 0). S o l u c i ó n . Esta f a m ilia d o rectas dependo del p arám etro a . Form a m o s ol siste m a d e e c u a c io n e s (1) ( x eos a + y s i n a — p — 0, \ — x sen a + y eos a = 0 . R e s o lv ie n d o este sistem a co n respecto a x o y, ob ten em os las ecuaciones param ótricas de la e n v o lv e n te x = p cosa,

y = psona.

E le v a n d o am bas e c u a c io n e s a l cu ad rado y su m án dolas, e lim in a m o s el pará m e tro a :

x*+y* = p. Es d e c ir , la e n v o lv e n t e de o s la f a m ilia de rectas es una circu n feren cia de ra d io p co n e l cen tro en el o rig e n d e coordenadas. La f a m ilia do rectas dada es, a su v e z , la f a m i l i a d e tangentes de esta circu n fe re n cia (fig . 82)*

2063.

H a lla r la e n v o lv e n te

de la

fa m ilia

de circu n feren cias

2 0 6 4 . H a lla r la e n v o lv e n te de la f a m i li a de rectas y - kx+ ( k es un parám etro, p — co n s t).

í

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248

F u ncion es d e varias variables

2 0 6 5 . H a lla r la e n v o lv e n te de la fa m ilia de c ir cu n fe r e n cia s de radios ig u a le s a / ? , c u y o s c e n tr o s se en cu e n tra n en o l e j e O X . 2 0 6 6 . H a lla r la cu rva q u e e n v u e lv e a un se g m e n to de l o n g i tu d Z, cu a n d o sus e x tre m o s re sb a la n p o r lo s e je s de coordenadas.

2 0 6 7 . H a lla r la e n v o lv e n te de la f a m i l i a de rectas q u e form a n con lo s e jes do coordenadas tr iá n g u lo s de área c o n s ta n te S. 2 0 6 8 . H a lla r la e n v o lv e n t e de la s e lip se s de área co n s ta n te S , cu y o s e je s de sim e tría c o in c id e n . 2 0 6 9 . A v e r ig u a r e l c a rá cte r do la s c u r v as d i s c r i m i n a n t e s de las fa m ilia s de c u r v a s sig u ie n te s ( C es el p a rá m e tr o ): a) y = ( x — C )3 (p a rá b o la s c ú b ic a s ); b) j/2 = ( x — C ) 3 (p a rá b o la s s e m ic ú b ic a s ); c ) ¡/3 = ( x — C)z (paráb ola s do N e il); d ) (a + x ) ( y — C)2 = x 2>( a — x ) (e strofo íd os). 2 0 7 0 . La e c u a c ió n do la tr a y e c to r ia q u e s ig u e un p r o y e c t i l lan za d o desde e l p u n to O y c o n la v e lo c id a d i n i c i a l v0 y form a n do u n á n g u lo a c o n el h o r iz o n te (p rescin d ie n d o de la re s is te n cia del aire), es y = x ^ a~ w

¿ ^ -

T o m a n d o e l á n g u lo a c o m o p a rá m e tro , h a lla r la e n v o lv e n te de todas la s tr a y e c to r ia s del p r o y e c t il situ a d a s en un m is m o p la n o v e r tic a l («parábol a d e s e g u r i d a d ») (fig . 8 3).

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249

F u n ción vectorial de un argumento escalar

§ 17. L o n g itu d de un a rc o de c u r v a en el espacio La diferencial del arco de u n a curva en el e sp a cio en coordenadas carte sianas recta n gu lares es ds = V d x * + d y 2 + d z 8, donde z , y , 2, son las coord en a da s v a ria b les d e l punto de la cu rva. Si x = x ( t ) y y = y(l)> z = z (t) son las ecu acion es param étricas de la cu rv a en e l esp acio, la lon gitu d del arco en el in te r v a lo co m p re n d id o ontro t = t t y í = í2 ser¿

H a l l a r la lo n g it u d de lo s a rcos de la s cu rva s que se dan en lo s p rob lem a s 2071 — 2076: |

2 0 7 1 . x — t,

y = t a, z = ñ j - desde t = 0 hasta t = 2.

Q 2 072. x = 2 c o s ¿ , p = 2 s e n ¿ , z = — ¿ desde t — 0 hasta t = . j i .

2 073. x = z e i c o s t 1 arbitrario de t. 2074. 7/ = - ^ ,

z — e* desde ¿ = 0

hasta

un v a l o r

z — - y - desde x — 0 hasta x — Q.

2075. a:a = 3y, 2xy = 9z desde el p u n to 0 ( 0 ; 0; 0 ) hasta el p u n to Af(3;3;2). 11 2076. y = a are s e n - í - , 2 =

desde el

p u n to

0 ( 0 ; 0 ; 0)

hasta el p u n to M { x 0, y 0y z 0). 2077. L a p o s ic ió n de u n p u n to en cu a lq u ie r in sta n te ¿ ( ¿ > 0 ) se determ ina p o r la s ecu a cion es X r = 2 y = ln¿> z = t 2. H a lla r la v e lo c id a d ¿ = 1 y ¿ = 10.

m edia

del m o v im ie n to entre lo s instantes

§ 18. Función v e c to r ia l de un a rg u m e n to e s c a la r 1°. D e r i v a d a de u n a f u n c i ó n vectorial de un a r g u m e n t o e s c a l a r . La función vectorial a = a ( ¿ ) puede determ inarse dando las tres funciones escalares ax (t)t av (t) y az (í) d e sus p roy eccion es sob re los e je s do coordenadas: a = ax (0 i - f ay (t) J + az (t) k .

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249

F u n ción vectorial de un argum ento encalar

§ 17. L o n g itu d de un a rc o de c u r v a en el e sp a c io La dif er en cial d e l arco de una cu rva en ol e s p a c io on coorden adas ca rte sianas recta n g u la re s es d s ^ Y d x Z + d y t + dzZ,

d on de x , y , z , son las coorden a d a s v a r ia b le s d e l punto do la curva.

H a l l a r l a lo n g it u d do lo s arcos de la s cu r v a s q u e se dan en l o s p r o b le m a s 2071 — 2076: 74

r

—

i

2

T —

_T_ ■ ¿ o c r l a

/

—

O

hcicfft

/ —

9

n 2 0 7 3 - a: = V c o s í , y = » ¿ ' s o n ¿ , z = a rb itra rio de t.

2 0 7 5 . x 2- = % , M (3; 3 ; 2).

=

desdo t = 0 hasta un

v a lo r

desde e l p u n to O (0; 0; 0) h asta el p u n to

2 0 7 6 . y = a are sen — , s = ^ I n ^ ¿ 5

desdo el

p u n to

0 ( 0 ; 0 ; 0)

hasta e l p u n to M { x 0, y 0> z Q). 2077. L a p o s ic ió n de u n se determ ina por las e cu a cio n e s

p u n to on c u a lq u ie r in sta n te ¿ ( ¿ > - 0 )

x ~ 2¿, y = lnt> z = t 2. H a l l a r la v e lo c id a d t = í y ¿ = 10.

m edia del m o v im ie n t o outre lo s instantes

§ 18. Función v e c to r ia l de un a rg u m e n to e s c a la r I o. D e r i v a d a de u n a fu n ció n vectorial do un a r g u m e n t o e s c a l a r - La función vectorial a = cv(l) puede determ inarse d a n d o la s tres fu n cio n e s e sca la res ax ( t ), a y ( t ) y a z (i) de su s p ro y e ccio n e s sobre l o s e je s do coord en ad as: a = ax ( 0 i + ay { t ) J + az ( t) k .

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F u n cion es de varias variables

250

L a d eriva d a de la f u n c ió n v e c to r ia l a = a { t ) co n resp ecto a l a rg u m e n to e sca la r i os una nueva fu n ció n v e c t o r ia l d e te rm in a d a p o r Ja ig u a ld a d da

lirvi

—

dax {t )

dau ( t )

-------------- J¿-1+ —¿ r

~dr= lí™o

daz (l)

J+ dt

*•

El m ó d u lo do la deriva d a do la fu n ció n v ectoria l es ig u a l a

da, Tt E l e x tr e m o d e l cu na

r a d io

v e c t o r v a r ia b le

r = r(t)

d e s crib e en el e sp a cio una

r = x ( t ) i + y ( t ) J + z ( t ) k, q ue recibe el n o m b r e de hodógrajo d o l v e c t o r r. La d e riv a d a

(i t

roprusenta d e p o r s í u n v e c to r , tan gen te a l h o d ó g r a f o

en el p u n to correspon dien te, dr

ds

~dt

dF

d on de .s* e s la lo n g itu d del a rco d e l in icia l. En p a r tic u la r ,

h od ógra fo,

=1.

Io

Si el p a rá m e tro t es o l tie m p o , — e x trem o del

v e c t o r r , - ^ r “ r r r 5=9 w es d t«dt

extrem o. 2°. R e g l a s p rin cip a le s c i o n e s v e c t o r i a l e s de un .. d , . . v da 1) - r - i a - t - b - c ) ^ di 7 di 2)

. db 1 dt

, donde

3) FL( L o

7) a

tom a d a desde c ie r t o punto

=

= v es el vector de la velocidad del vector de la aceleración do d ic h o

para la d e riv a ció n argum ento escalar.

de

fun

de dt y

tn es u n

escala r co n sta n te ;

u. + ( p - í p , d o n d o

d

o

- 0 , s i |a |= con st.

E j e m p l o t . E l r a d io v e c to r de un p u n to tante do tie m p o , se da p o r la e c u a c ió n

r = i-4 f* ¿4 -3 A fc.

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m ó v il,

en c u a lq u ie r in s

(1)

F unción vectorial de u n argumento escalar

251

D e te rm in a r la tr a y e c to r ia , la v e lo cid a d y la a celera ción del m ov im ie n to. S o l u c i ó n . De la e c u a c ió n { ! ) , tenem os: x =

E lim in a n d o e l tie m p o urna línea recta

\, y = : —

z = 3¿2.

l, : tenem os, q uo x —

1

la

y

tra y e cto ria d e l m o v im ie n to es z

“ 0

*

D eriv a n d o la e x p resión (1), h a lla m os la v e lo c id a d del m o v im ie n to dr

y la a ce le r a c ió n d o l m ism o dh-

- = - 8 ^

+ 6*.

L a m ag n itu d de la v e lo c id a d es ig u a l a dr dt

= 1/(8í)* + ((5í)2 = 10|¿|.

N otem os, q ue la a ce le r a c ió n es constante y tiene la sigu ien te m agnitud ¿ 2

» .

i

.

__

^ | = y ( - 8 ) 2+ G2= 10 . 2 0 7 8 . Dem ostrar, q u e la e c u a c ió n v e cto r ia l r — /-i = (i-2 — r t) t 9 donde y v 2 so n lo s radios v ectores de dos pu n tos dados, es la e c u a c ió n de u n a recta, 2 0 7 9 . D eterm in ar, q u é lín e a s son lo s h o d ó g ra fo s de las sig u ien tes fu n cio n e s v e cto r ia le s: a) v = a t

c;

b) r = a t 2 -\-b¿;

c ) r = a eos i -+■ b sen t\ d ) r = a c h t-\- b sh t,

don de, a , & y c son v ectores con sta n te s, a l m ism o tiem po q u e los vectores a y b so n perpen dicu lares entre sí. 2 0 8 0 . H a l l a r la derivada de la fu n c ió n v e c to r ia l a ( ¿ ) = = ^ a ( l ) a ° ( t ) y donde a ( t ) es u n a f u n c i ó n escalar, m ientras que a ° (t) es u n v e c t o r u n idad, en lo s ca so s en que el v e c to r a (t) v a r ía : 1) so la m e n te en lo n g it u d , 2) sola m en te en d ir e c c ió n , 3) en l o n g it u d y en d ir e c c ió n (caso general). E sclarecer el sen tid o g e o m é t r i c o de los resu lta d os obten id os. 2 0 8 1 . A p l i c a n d o la s reglas para la d e r iv a ció n de fun ciones v e c to r ia le s de u n arg u m en to escalar, d e d u cir la fó rm u la para la d e r iv a c ió n d e l p ro d u cto m ix t o de tres fu n cion es vectoriales, a> b y c .

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252

2082* H a lla r la derivada, con respecto a l parámetro t , v olu m en del paralelepípedo construido sobre lo s tres vectores;

del

a ~ i - J- t j + t 2k\

b=

2ti

—j

f

£3fe;

c = —m + t*j+ k . 2083. La ecu a ció n do un m o v im ie n to es /• = 3i eos t

A j sen t ,

donde t es el tiem po. D eterm in ar la trayectoria de este m o v im ie n to, la v e lo cid a d y a ce lera ció n del m is m o . C onstruir la tra y ec toria del m o v im ie n to y los v ectores de la v elocid a d y de la a celera c i ó n para lo s in stan tes £ = 0, t =

y t = ^- .

2084. La ecu a ció n de un m o v im ie n to es v = 2 i eos t — 2 j sen t -\- 3k t . Determ inar la trayectoria, v e lo cid a d y a c e le ra ció n de este m o v i m ien to. ¿A qué son igu a les la m a gn itu d de la v e locid a d y de la aceleración y cuáles son sus direccion es en lo s instantes t = 0 y í - T ? 2085. La ecu a ción de un m o v im ie n to es r = i eos a eos cot + j sen a eos cot

k sen (ot,

donde a y o ) son constantes y £ es e l tiem p o. D eterm in ar la trayec* toria, la m agn itu d y la d ir e cció n de la v e locid a d y la acelera c ió n del m ov im ien to. 2086. L a ecu a ción del m o v im ie n to de un p r o y e c til (prescin dien do de la resistencia d el aire) es v = VqI —

ftf2 ,

donde v0y> vQ2} <*s la v e lo c id a d in ic ia l. H a lla r la velocidad y la a ce lera ción en cu a lq u ie r instante. 2087. Dem ostrar, quo si u n punto se m ueve por la parábola ^=

z= 0

de ta l

form a,

que

la p r o y e c ció n do la v elocida d

sobro el e je O X se m antiene con san te ^ - ^ = con st.^ ,

la

c i ó n ta m b ién se mantendrá con stan te. 2088. U n punto situado en la rosca de u n t o r n illo , enrosca en una v ig a , describe una h é lic e circu la r x = a eos 0, y = a sen 0, z — hO,

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acelera que se

Triedro intrínseco de una curva en el espacio

253

d o n d e 0, es e l á n g u lo de g ir o d el t o r n illo , a , e l ra d io d el t o r n illo y h la e le v a c ió n co rre s p o n d ie n te a l g ir o de u n ra d ia n te. D e te rm i n a r la v e lo cid a d , d e l m o v im ie n t o del p u n to . 2 0 8 9 . H a lla r la v e lo c id a d de u n p u n to de la c ircu n fe re n cia de u n a ru ed a , d e ra d io a , q u o g ira c o n u n a v e lo c id a d a n g u la r c o n s t a n t e (o, d o t a l f o r m a , q u e s u c e n t r o , a l o c u r r i r e s t o , s e d e s p l a z a e n l í n e a r e c t a c o n u n a v e l o c i d a d c o n s t a n t e v 0,

§ 19. T rie d ro In trín s e c o de una c u rv a en el espacio E n t o d o punto M ( x , z), quo n o sea sin g u la r, de una curva en ei esp acio r = r ( t ) , se puede con stru ir un triedro intrínseco form a d o por tres plan os perpendiculares entre sí (fig . 84): 1) e l p la n o osculador,

en el dr dt

y

que están situados los vectores

d2r d t2 ’

dr y 3) el plano dt rect ifi ca n tey iV/AfjMs, p erp e n d icu la r a lo s d os p lan os primeros. 2) e l p la n o normal, M M 2M 3, perpen dicu lar al voctor

Las in terseccion es de estos tres p lan os form an tres rectas: 1) la tangente M M {\ 2) la normal principal M M 2 y 3) la binormal M M 3% que se determ inan respectivam ente co n tos voctoros: dr 1) T = — - (vector de la tangente);

fii

2) I *

dr

3) N = B X T

d2r ¿ ' (vector de la binormal) y (vector de la normal pri ncipal).

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254

Funciones de varias variables L o s correspondientes vectores unitarios

*L.

r-

y =

T l ’ p

lB

N N

se pueden c a lc u la r por Jas fórm u las

dr

T ^ —r— ; as

dx dt

v=*

; p^TXv.

dx ds

Si X y Y y Z , son las coordenadas variables dol punto do la tangente, las ecuaciones de dicha tangente en el punto M (x, y y z) tendrán la form a y - * X

(1)

T'

V

donde Tx = ~ - , Ty — ~TT» T 2 = ; partiendo de la c o n d ic ió n de perpenat ai (it dicularidad de la recta y el p la n o , obten em os la e cu a ció n del p la n o normal Tx ( X - x ) + TtJ( Y — y ) + Tz ( Z ~ z ) « 0 .

(2)

Sustituyendo en las ecuaciones (1) y (2) 7'*, Ty y Tt p o r B xt Bt y N x . iWyy N z , obtenem os las ecuaciones du las rectas b in o rm a l y normal prin cip a l y , respectivam ente, de los planos o scu la d or y rectifica n te. E j e m p l o 1. H a lla r los vectores unitarios p rin cip a les r t v y 0 d e la curva x= y = * , s = /a t y

en el punto t — 1. E s crib ir las ecuaciones de en este punto. S o l u c i ó n . Tenem os;

t

la

r =

t i

(1r

-JJ—

tangente, n orm a l p r in c ip a l

+ l* j + Wc

Í + 2 W + 3 /* * .

d*r

.

/ i ^

dt* t=* 1, obtenem os: 7’ X

dr ~~ dt

Jr d2/» 7// x ~dii~~ i N = 7 iX 2 l =

■ ■£ i i *1 M 2 0 2 ,i k

6 —G 2 t

= fii — b i - f 2fc:

= — 2 2 í — 1 6 ¿ + 18fc.

:2 3

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y

binorm al

Triedro intrínseco ríe una curva en el espacio

255

Por consiguiente, * + & / + 3fc

T~

yn

n _

— 3J + k

’

y í»

— líí-S J + 9 k

ym

’ v

Como para 2= 4, tenemos j = i, y = U 3 — 4, entonces x —[ 1

y —i “

2

2— 1 ”

3

es )a e cu a ció n d e la tangente, x — \ // — 1 “Ü - " - 3 '

2— 1 1

es la ecu a ció n do la bin orm a l y x—4 — 11

y— 4 —8

2— 1 9

es ia de la n o r m a l p r ín c ip a lSi la cu rva en el esp acio se da co m o la in tersección

de

dos superficies

F ( x , y, z) = 0, G (x, y y z ) = 0 , rít* rí^t* en lugar de los vectores — y — -6- se pueden tomar los vectores dr{dx, íit ai dy, dz} y d*r{d*x, d*y, d2z}, pudiéndose considerar una de las variables x y yy z como independiente y suponer que su segunda diferencial es igual a cero. E j e m p l o 2- Escribir la ecuación del plano osculador de la circun ferencia *2 + 0 * -1-22 = <),

x + y + z= Q

eu el p u n to M (4; 4; — 2). Solución. D iferen cia n d o el sistema in d epen dien te, tendremos:

(3),

co m o

(3) s i Jar

fuera

x dx + y dy - f z dz = 0, dx-\~dy -\-dz = § y d& + d ¡ p - \ - y & y + d z * + z d*z=Q, P on ien d o x = i , y = i , z - * — 2, obtenem os:

dy = — dx] dz = 0; d*y = — \-dx*\ .j

d * z = 4 - rix2á

Por consiguiente, el plano osculador se determina por los vectores

{dXy —dx, 0} y

jo, —

o Lien,

{4, — 4, 0}

y

\0y - i , 4).

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variable

256


De dondo, el vector normal al plano osculador es í

.7 k

B

y, por con sigu ien te, su ecuación sorá

- 1 ( * - 1 ) - ( í, - 1 ) - ( s + 2) = 0, es decir,

X f ^ + 5 = 0, com o debía o cu rrir, y a que nuestra curva se encuentra en este plano.

2090. H a lla r lo s vectores u nitarios curva

principales

r,

v,

P de

la

x = i — c o s í, y = se n í, z = í en el punto í = - j - . 2091. H a lla r lo s vectores u nitarios de principal de la espiral có n ic a

la

tangente

y

norm al

r = e l ( i eos i + j sen t -f k ) en un plinto arbitrario. Determ inar lo s á n g u lo s que rectas con el eje OZ. 2 092. H a l l a r los vectores u n ita rio s prin cip a les curva

forman t

,

v

estas

,p

de la

y = x*, z « 2x en el punto x = 2. 2093. Dada la h é l i c e circu la r x = a c o s í , y — a s e n h z — bt escribir las ecuaciones de las rectas que form an la s aristas del tetraedro intrínseco en un punto a rb itra rio de d ic h a lín e a . D eter m in ar los cosenos directores de la tangente y de la n orm a l prin cip al. 2094. E scribir las ecu a cion es de los planos q u e form an el tetraedro intrínseco de la curva x 2 + y 2 + z2 = 6. x 2— y2 + z2 = 4 en el punto M { 1; 1; 2). 2095. H a lla r las ecu a cion es de la tangente, d e l y del p la n o oscu la d or de la curva

plano

x = t , y = t2, z = t 2 en el p u n to M (2; 4; 8).

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normal

Triedro intrínseco de una curva en el espacio

2 0 9 6 . H a lla r las ©cuaciones de la tangente, de c ip a l y de la b in orm a l en u n p u n to a rb itra rio de t* * = — .

t* y= ~ ,

257

la normal prin la curva

¿a *= — •

H a lla r lo s puntos en q u e la ta n gen te a esta curva es paralela al p la n o x - f - 3 y - | - 2 z — 10 = 0. 2097. H a lla r las ecu a cion es de la tangente, del p la n o osculador, de la norm al p rin cip a l y de la binorm al de la curva ¿2 • x = t t y = — ¿, z = — en e l punto ¿ = 2 . C a lc u la r lo s co s e n o s directores de la binorm al en este punto. 2 0 9 8 . E scribir la s ecu a cion es de la tangente y del p la n o nor m a l a las cu rva s siguientes: a) x = / f e o s 2 /, y = R s e n t e o s z = > R s m t

cuando

b) z = x 2 -\-y2, x = y en el punto (1 ; 1; 2); c)

+ y 2 ~r 22 = 25, x + z = 5 en el punto (2; 2 j ^ 3 ; 3).

2 0 9 9 . H a l l a r la e cu a ció n d el p la n o norm al a la cu rva z = x 2— — y 2» U = x en el origen de coordenadas. 2100. H a lla r la e cu a ció n d e l p la n o oscu la d or a la curva x — e \ y=

z — t |^2 en el p u n to t = 0. 2 1 0 1 . H a lla r las ecu acion es de curvas: a) x 2

los planos osculadores

a

las

y 2 + z 2 = 9, x 2— y 2 = 3 en e l punto (2; 1; 2);

b) x 2 = Ay , ;r3 = 24z en el punto (6; 9; 9); c ) x 2 + z2 = a 2, (■£(>! Va* 2o)«

y2 -|- z2 =

en

cu a lq u ie r

2 1 0 2 . H a lla r las e cu a cio n e s d e l p la n o prin cipa l y de la b in orm a l a la curva

punto

de

Ja

curva

oscu la d or, do la normal

y 2 c=~.Xi z 2 = z en el punto (1; 1; 1). 2103. H a lla r las ecu a cion es d el plano oscu la d or, de la normaJ prin cip a l y de la bin orm al a la h é lic e có n ic a x = t c o s ¿ , y = ¿ s e n ¿ , z = bt en el origen de coordenadas. HaLlar lo s vectores unitarios de la ta n gen te, de Ja norm al principal y de la b in o rm a l en el origen de coordenadas. 17-1016

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258


§ 20. C u rv a tu ra s de fle x ió n y de to r s ió n de una c urva en el espacio I o. C u r v a t u r a d e f l e x i ó n . Se entiende p o r curvatura d e flexión de una curva on un p u n to Af, e l número

K = - ¡« r = Alim a-*0

■

As

d on d o cp es el á n g u lo do g ir o de la tangente (ángulo de contingencia) en el segm ento do curva M N , y As, la lon gitu d del arco de esto segm ento do curva. R s e llam a radio de curvatura de flexión. Si la cu rva so da p o r la ecu ación r = r ( s ) . d on de s es la lo n g itu d del a rco, tendremos

1

I d *r

R

| ds*

Para el caso on que la curva se d ó en form a dr 1 R

paramétríca general,

tenemos:

d2r |

dt X dt* d r |3 dt |

'

(1)

2o. C u r v a t u r a do t o r s ió n . Se entiendo por curvatura de torsión de una curva en el punto M , el número r = — = lim 0 P AS-+0 As

donde 0 es el á n g u lo do g ir o de la bin orm a l en el segm ento de cu rva M N . La m angnitud p so lla m a radio de curvatura de torsión, Si r = ?*($), so tiene

1

dp 1 ~ds~ |—

P

dr ds

d 2r ds2 / d2r { ds2

d3r ds3 \ ) JO

doude o í s ig n o m onos se tom a cuando

lo s v ectores

y v tionen la misma

d ire cció n , y ol sig n o m ás, en el caso contrario. Si r = r ( t ) , donde t es un parám etro arbitrario, so tendrá dr dt

1

— —T "j p ( dr l dt Ejemplo hélice circular

1.

H a lla r

las

d*r dt*

d2r dt* — —7T. d 2r *r V N d t2 )

curvaturas de f le x ió n

r = i a.e o s t-\*J a sen t + k bt (a > 0).

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/0N

y

de

to rsió n de la

259

Curvaturas de flex ió n y torsión de una curva en el espacio

Solución.

Tenemos: dr dt

— i a sen t + J a cos t + kby

d2r d 3r

dt3

——i

a

cos t — J

a

sen t ,

= — i a sen t — J a cos l.

De donde i

dr d2r ~dTX dt 2

J

— a sen t — a cos /

dr dt

d2r dt2

k

a cos t — a sen t

b

— iab sen / — J ab cos t

0

— a sen l

dsr dt*

az/¿

a cos t b

— a cos t

— a son’/

a sen t

0

= a2b.

— a cos t 0

Por consiguiente, basándonos en las fórmulas (1) y (2), obtenemos: 1

a "\/a2+ b2 (a2_J_62)3/a

R

a2b a2 (a2+ b 2)

1 p

a

b o2+ b 2 *

es decir, para la hélice circular, las curvaturas do flexión y de torsión son constantes. 3o. F ór m u í a s d e F r e n e t dx ds 2104. en to d o s 2105. en Lodos 2106.

R

dy ds

p

a

D em ostrar, q u e si lo s pu n tos de una D em ostra r, q u e si lo s pu n tos do una D em ostrar, q u e la

ÍP ds

v P

la cu rv a tu ra de f le x ió n es ig u a l a cero lín e a , ésta es una recta. la cu rvatu ra de torsión es igual a cero c u r v a , ésta es una curva plana. curva

x = 1 + 3 / + 2z2, y = 2 — 2¿ + 5 / 2, 2 = 1 — t2 es p la n a ; h a lla r e l p la n o en q u e se encuentra. 2 1 0 7 . C a lc u la r la cu rva tu ra de las lín eas: a) x = c o s í , t/ = s e n / , z = c h ¿ cu a n d o ¿ = 0; b ) £ 2— .
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260


2108. C a lcu la r la s cu rva tu ra s de f le x ió n sigu ien tes cu rva s en c u a lq u ie r p u n to:

y

de

torsión

d e 1las

a) x ~ e l eos t, y s e * sen t, z = b) a: = a c h í , y = a s h t % z = ¿ a t ( hé li c e hiperból ic a) . 2109. H a lla r los radios de cu rvatu ra de f l e x i ó n y de de la s sigu ien tes lín eas eii Un p u n to a rb itra rio (x , y , z): a) x í = 2 ay ,

torsión

— 6 a 2z;

b) a:3 — 3ph j, 2x z * = p 2. 2 1 1 0 . Dem ostrar, q u e las Componentes ta n g en cia l y norm al del vector de a c e le r a c ió n w se expresan por la s f ó r m u la s

donde v es la v e lo cid a d , R e l ra d io de cu rv a tu ra de f le x i ó n de la tra y ectoria , t y v lo s v e cto res u nitarios de la ta n g e n te y de la norm al p rin cip a l a la c u r v a . 2 1 1 1 . P o r la h é lic e c ir c u la r r = = ¿ a c o s í + ¿ a s e n * + bife se m u e v e u n iform em en te un p u n to c o n v e lo cid a d v. C a lc u la r su a celera ció n w . 2 1 1 2 . L a e cu a ció n de un m o v im ie n to es r = t i + t2j ‘j - l * k .

,

D eterm in ar en lo s instantes í = 0 y t = 1: 1) la cu rv a tu ra de f le x i ó n de la tra y e ctoria y 2) las com ponentes t a n g e n c ia l y n orm a l d e l ’ v ector de a c e le ra ció n d e l m o v im ie n to.

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C a p ítu lo V I I

IN T E G R A LE S M U LT IP LE S Y CURVILINEAS

§ 1 . In te g r a l doble en coordenadas re c ta n g u la re s 1 °. C á l c u l o i n m e d i a t o d e i n t e g r a l e s d o b l e s . So llam a integral doble de una fu n ció n co n tin u a f ( x t y) sobro un recin to cerrado y a co ta d o *S* d e l p la n o X O Y y a l lím it e do la suma in tegral d o b le correspon diente í

J

/ (x, y ) d x d y ^

lim

V

m é x A x ¿-*0 m áx *

/ ( * f i Vh) A M * * .

(1)

*

don de Axí = s í +1“- z ¿ , b y h «= — y h y la suma se extien de a a q u ellos v a l o res de i y A, para lo s que lo s puntos (i*; Vfj pertenecen a l re cin to S.

2o C o l o c a c i ó n d o l o s l í m i t e s d e i n t e g r a c i ó n e n l a i n t e g r a l d o b l e . Se d istin g u en dos form a s p rin cip a les d e recintos d e in te g ra ción : 1) El re cin to de in teg ra ción S (fig . 85), está lim ita d o a izquierda y derecha por las rectas x = x ¡ y x = x 2 ( x 2 > xj) , m ientras que por abajo y por arriba l o está por la s cu rv a s con tin u as ¿/ = 2 (*). E l ó a lc u lo do la in tegral (1)

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202

In tegra les m últiples y curvilíneas

puedo realizarse re d u cién d ola a una in teg ra l reiterad a de la form a

a>2<*) ^

^ /(* • y ) d z d y = ^ d x

^

( S)

^

/( a : , y ) d y .

,n

donde, a l c a lc u la r

\

/ ( i , y) dy, se con sid era

s c o m o ca n tid ad con stan te.

2) E l re cin to de in te g ra ció n S (fig . 86), está lim it a d o por a b a jo y por arriba p o r las rectas y ~ y i o y=-y-> (*/2 > ¿ /t )> m ien tra s q ue p o r la izquierda

F i g. 87 y p o r la derecha l o ostá p o r la s cu rv a s con tin u as z = t|)i(y) (A D) y x = ty2 ( y ) (CD) [ij>? (y) ->ij>i(y)], cada una d e las cu ales se corta en un s o l o p u n to con la h o r iz o n t a l y = r ( í / i < ^ < . V 2) (fig . 86). Análogam onto a l caso a n terior tenem os: v2 ^

/ (* , y) d x d y =

jj d y

(S)

ui

donde, a i c a lc u la r la in teg ra l

\

* 20/> ^

f ( x , y) dx,

* tW

/ (x, y ) d x t s e considera

y co m o ca n tid ad

*j(y> consta a lo . Si el re cin to de in te g r a c ió n n o pertenece a n in g u n a de la s form a s anteriorm en te examinadas, se p ro cu ra d i v i d i r l o en p a rtes, de manera, que cada una d e e lla s corresp on d a a a lg u n a d e a q u ella s d os form as. E j e m p l o 1. C a lc u la r la in te g ra l

1

i

I = \ (ix \ (x + y ) dy< 0

X

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In tegra l doble en coordenadas rectangulares

263

Solución i

i

Ó

Ejemplo

2.

D eterm inar Los lím ite s de in teg ra ción de La integral j(x, y)d xd y,

y = V 1+x*

o

— l / l + tf2 ,

os d e cir, pertenece a La primera form a. Tenemos:

2 ^

Vi+*z

l ( x . !/) d x d y = ^ d x

-2

\

f {x, y)dy.

- V'f+¿Z

C a lc u la r la s sig u ien tes integrales reiteradas: 2

2113.

211/1

■

i

3

\i d y \ ^ ( z * + 2 y ) d x . 0 o

y

ü

i

M

w

5

2117. jj rfj, J

2118-

0

(x + 2y)da:.

S

a se n
n J.

2115. ^ o

2

« >

“t + ^2 ■

2119.

\ d(f £T

Ü

7

? 0

r asen2 q)¿/r.

'2

2 * f V f *«<¿0 2 ,t6 - ) d X \

3 cos
1 •

2120. \ d x

K i-** \

V T ^ = y*d y.

X

E scrib ir las ecu acion es de las lín eas que lim ita n los recintos a que se extienden la s in tegrales d ob les que se in d ica n más abajo

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Integrales m últiples y curvilíneas

264

y d ib u ja r estos recintos:

2 2121.

% >

2124.

2x

J rf* J / (a:, y) dy 1

X 3

V 25-x2

x+9

^ d x ^ f ( x , r /)d y . 'l X2 4

2123.

3

J dy J ! { x , y ) d x . —6 ys -í 3

2122.

2 —y

2125. J da: o 2

10— y

i

O

f(x , y)dx.

2126.

í

t»

-1

J

} ( x , y ) dy.

.. o *4-2 c?x

^

<

f{x,y)d y.

X2

C o lo ca r lo s lím it e s de in te g r a c ió n , en u n o y o tr o ord en , en la in teg ra l doble \ \ / ( * » í / ) á a :d ^ (5)

para los recintos S que a c o n t in u a c ió n se in d ica n . 2127. S es un re c tá n g u lo c u y o s vértices son : 0 ( 0 ; 0), A (2; 0), 2? (2; 1) y C ( 0 ; 1).

2128. S es un tr iá n g u lo c u y o s v é rtic e s so n : 0 ( 0 ; 0 ), ¿4(1; 0) y * ( 1 ; 1). 2 129. ó1 es un tra p ecio c u y o s v értices son ; 0 ( 0 ; 0 ), ¿4 (2; 0 ), 0 (1; i ) y C (0 ; 1). 2 130. S es u n p a ra lo lo g ra m o c u y o s v é rtic e s so n : ¿4 (1; 2), 0 ( 2 ; 4 ), 0 ( 2 ; 7) y 0 ( 1 ; 5). 2131. S es un se c to r c ir c u la r O A B c o n ce n tr o en el p u n to 0 ( 0 ; 0 ), c u y o arco tien e sus extrem os en ¿4(1; 1) y B ( — 1; 1) (fig . 88). 2132. S es un segm en to p a r a b ó lic o re cto ¿ 4 0 0 , lim ita d o por la parábola 0 0 ¿ 4 y p o r el ségm en to de recta 0 ¿4 , que u n e entre sí lo s puntos 0 ( — 1; 2) y ¿4 (1; 2) ( fig . 8 9).

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265

In tegra l doble en coordenadas rectangulares

2133. S es un a n illo c ir c u la r l i m i t a d o p o r las circu n feren cias, c u y o s radios so n r = l y i ? = 2, y c u y o centro c o m ú n está situ a d o en e l p u n to 0 ( 0 ; 0). 2134. S está lim it a d o por la h ip é r b o la y'2 — x* = 1 y por la circu n fe re n cia + 9 (se considera el recin to q u e com p ren d e el o rig e n de coorden adas). 2135. C o lo c a r lo s lím it e s de in te g ra ció n en la in teg ra l d o b le

si

el

r e c in to

a) x > 0 ;

está determ in ado p o r las desigu ald ad es sigu ien tes: d) y > x ; x > — 1; y 0;

b ) x 2 - f y * < a a;

e) y < x < y + 2 a ;

c ) x2 + * / * < * ;

0 0< y< a.

In vertir e l orden de in te g ra ció n en la s siguientes in te g ra le s dobles: 2a 2 a

i

Y 4ax k ax

V 2ax-x8

3x

t

i-v / (x, y) dx.

0

2x

YT-H* q i-.x a

q

2o

ül 2

R Y2

2

0

x

B

/fía_xa

0

C a lc u la r la s sigu ien tes in teg ra les dobles:

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266

2145.

\ [ xdxdy,

donde 5 es un tr iá n g u lo c u y o s v é rtic e s son

la d o por la recta que pasa p o r los p u n to s A ( 2; 0 ), # ( 0 ; 2) y por

el arco de cir cu n fe r e n cia p u n to C (0; 1) { fig . 90). 2147. r a d io a, cuadrante.

de

radio

1 que tie n e

su ce n tr o en el

\ [ dxdy — , d o n d e S es la parte d e l c í r c u l o de <5) Y * 2- * 2- * 2 c o n cen tro en ol p u n to O (0; 0 ), s itu a d o en el prim er

2148.

^ ^Y x>¿ — y 2 d x d y ,

donde

S

es u n

tr iá n g u lo

con

lo s

con

lo s

v é rtic e s en lo s p u n tos 0 ( 0 ; 0 ), .<4(1; — 1) y B ( 1 ; 1). 2149.

^\

— .V2 ^

don de

5

es u n

tr iá n g u lo

(S)

v é r tic e s en 2150.

lo s p u n tos 0 ( 0 ; 0 ), ^4 (10; 1) y

ti «)

e i ' d x d y , donde 5

B ( 1; 1).

es un tr iá n g u lo m i x t i l í n e o

OABy

(S)

l im it a d o por la parábola y 2 = x y por la s recta s x = 0 e y = 1 (fig . 9 1). 2151.

\

donde S es un seg m en to p a r a b ó lic o , lim ita d o

{S)

*C

por la parábola y - ~ ¿ - y por la recta

y = x.

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267

Integral doble en coordenadas rectangulares

2152. C a lc u la r la s s ig u ie n te s in te g ra les y d ib u ja r lo s recintos ;» q u e se e x tie n d e n : jt ji 1-feos x 2 3 eos 1/ a)

\ dx

\

o"

Í

y 2s e n x d y ;

c)

\ dy

\

'

J 2

n b)

2

i

j dx

\

0

z 2 sen2 y d z .

y* dy,

eos x

A n t e s de re s o lv e r lo s p r o b le m a s 2 1 5 3 — 2 1 5 7 se recom ienda hacer lo s d ib u jo s correspon dien tes. 2 1 5 3 . C a lc u la r la in te g ra l doble i x y 2 d x dy, K.

V

(5 )

s i S e s u n r e c in t o l i m it a d o por la p a rá b o la y 2 = 2 p x y por la recta p.

2 1 5 4 * . C a lc u la r la in te g ra l d o b le \ \ xydzdy, ** * (s ) q u e se e x tie n d e a l r e c in to S, lim it a d o c ir c u n fe r e n c ia s u p e r io r ( x — 2 )2 - f y 2 = í* 2 1 5 5 . C a lc u la r la in te g ra l d ob le C C

n

( S)

por el o jo O X y la se m i

d x dy

y

v

2^

9

d o n d e S es u n c í r c u l o do ra d io a , ta n g en te a lo s ejes de coordenadas y q u e se en cu e n tra e n el p rim e r cu a dran te. 2 1 5 6 * . C a lc u la r la in te g r a l d o b le y d x dy,
d o n d e e l r e c in to S está l i m i t a d o por e l e je de a bscisa s y d e c ic lo id e x = R (t — sen t) y = R ( 1 — eos t)

( 0 < 2 < 2n).

2 1 5 7 . C a lc u la r la in te g ra l d o b le \ \ xydxxy, ♦) t' (■S)

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el

arco

Integrales múltiples y curvilíneas

268 en do

la

que

el

re cin to

coorden adas

y

por

de el

arco

z — f íe o s 3 /, 2158. re cin to

H a lla r

S { 0 < x < l ;

el

S

in te g ra ció n de

j/ =

lim ita d o

por

lo s

e je s

a s tro id e ( 0 < ¿ < - y ) *

fís e n 3¿

v a lo r

está

m e d io

de

la

fu n ció n

/ (x, y) =

xyt

en

el

0 V)d* dU' (S> d o n d e S , e n e l d e n o m i n a d o r , s e ñ a l a e l á r e a d e l r e c i n t o S. 2159. M

(x, y )

H a lla r e l v a lo r m e d io d e l cu a d ra d o de del

c írcu lo

(x — a)2 +

y2<

i ? 2,

al

la d is t a n c ia d e l p u n t o

o rig e n

de

coorden adas.

§ 2 . Cambio de v a ria b le s en la In te g ra l doble I o. I n t e g r a l d o b l e en c o o r d e n a d a s p o l a r e s . Cuando en l a i n t e g r a l d o b l o s e p a s a d e la s c o o r d e n a d a s r e c t a n g u l a r e s x , y a l a s p o l a r e s r, q>, r e l a c i o n a d a s c o n la s p r i m e r a s p o r l a s e x p r e s i o n e s x = rcostp , se v e r ific a

y = r s e n q >,

la f ó r m u l a \ \ f

^ \ / (r c o s 9 i r sen 9 ) r dr d y .

y) d x

(S )

(1)

(S )

S i e lre c in to d e in te g r a c ió n S está lim it a d o p o r lo s y p o r l a s c u r v a s r = r 1 (q>) y r = r 2 ( ) r* ()

d o n d e F ( 9 . r ) = f (r e o s 9 , r s e n 9 ) . A l c a l c u l a r l a i n t e g r a l

[

P (9 . r ) r d r ,

. . n (
se c o n s id e r a c o n s ta n t e la m a g n it u d 9 . S i e l r e c i n t o d e i n t e g r a c i ó n n o p e r t e n e c e a l a f o r m a e x a m i n a d a , se d i v i d o en partes, do m anera q u e cada u n a d e e lla s rep resen te d e p o r s í un r e c i n t o d e la f o r m a d a d a . 2 o. I n t e g r a l d o b l e en c o o r d e n a d a s En el c u r v i l í n e a s . ca so m á s g e n e r a l, s i e n la in t e g r a l d o b le

y

/ ( x , y ) d x dy

(.8)

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Cam bio de variables en la integral doble

269

se quiere pasar do las v a ria b les x , y a las v a ria b les a, v, relacionadas con a q u é lla s p o r m e d io de la s ex p re sio n e s con tin u as y diforen ciables x =
y = i|>(u, »)>

que establecen una corresp on d en cia biu n ívoca y co n tin u a en arabos sentidos, e n tre io s p u n to s del recin to S del p la n o X O Y y lo s pu n tos de un recin to d e te rm in a d o R ' del p la n o U O ' V , a i m ism o tie m p o que el jacoblano

£>(** y) D (u, v)

dx du

dy; du

dx dv

dy dv

con serv a in v a ria b le su s ig n o en el re cin to S , será v á lid a la fó rm u la [

^ 1 {x, y ) d x d y = ^

^ f [ 9 ( x t y), t|> (u, v)]\I\ du dv.

(S')

L o s lím ite s d e esta nueva in te g ra l so determ inan d e acuerdo co n las reglas generales, s o b re la base de la form a que tenga el re cin to S \ E j e m p l o M . C a lcu la r la sigu ien te integral pasando a coordenadas polares

^ \ V * — *2— y2

¿y

(S) d on de e l re cin to S es un c ír c u lo d e radio f í = i co n cen tro en el origen de coorden adas ( f i g . 92). Solución. H acien do la s u s t it u c ió n £ = rc o s q > , y = rsen
— y 2 — V * “ (r co s
C om o on el recin to S la coordenada r varía de 0 a i , cu alquiera que sea el v a lo r de «p, m ientras que

2n í

1

\ ~[/'i — x * — y2 d z d y = \ dq> \ r \ / \ - r2dr = ~ n . o

(S)

o

P a sa r a la s coorden adas p o la re s r y q> y c o lo c a r los lím it e s de in te g r a c ió n para la s nuevas v ariab les en las. sig u ie n te s in teg ra les: 1

1

2

2160.

^ d x ^ f (x, y ) d y .

2162.

\ \ f ( x , y ) d x dy, (8)

donde S e y = 1.

es i

2163.

un

tr iá n g u lo

2161.

lim ita d o

por

i

^ d x ^ / ( - j ) dy. xt -l

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x

dx

( Y x 2 + y 2 ) dy.

las recta s y = x t y = — x

270


2164. \ \ / (x, y) d x dy,

donde e l recin to

S

ostá

lim ita d o p o r

(S)

la lem niscata ( x 2 + y 2)2 = a 2 ( x 2 — i f ) . 2165. C a lcu la r la sig u ien te in tegra l doble, pasando previamentea coordenadas polares J \ ydxdy, (S)

donde S es un s e m ic írc u lo C (■£■;

de diám etro a con cen tro en e l p u n to

o ) (fig. 93). Y

F i gs

92

21(56. P asan do a coorden adas polares, c a l c u l a r la sig u ie n te inte g ral doblo, J J (* * 4 - y * ) d x d y , (S)

qu e se ex tie n d e al r e c in to lim ita d o por la circu n feren cia x2 -j- y2 = 2 ax. 2167. C a lc u la r la sig u ie n te in te g ra l d o b le , pasando a coorde nadas polares, ¡i»

\ V a ? - X'

y2dxdy.

( S)

donde el recin to do in te g ra ció n S os un s e m ic ír c u lo de ra d io a con con tro en el origen de coordenadas, situ a d o sobre e l e je O X . 2168. C a lc u la r la integral d o b le de la fu n c ió n / (r , (p) = r sobre el recin to lim ita d o p o r la cardiode r = a (1 + eoscp) y la c ir c u n fe rencia r ~ a . (S e considera el recin to q u e no co n tie n e e l p o lo ).

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Cambio de variables en la integral doble

2169. polares

C a lc u la r

la

sig u ie n te

j dx C a lc u la r

pasando

a coordenadas

pasando

a

V<22—*2

a

2170. polares

in tegra l,

271

^

la

Y x 2 -f- y 2 dy.

sigu iente

in teg ra l,

coordenadas

y a? — x 2 — y* d x dy. (8) donde el r e c in to S está lim ita d o por la h o ja de lem niscata ( x 2 + y 2)2 = a2 ( x 2 — y 2)

( x > 0).

2171*. C a lcu la r la in te g ra l doblo i i

V

l ~ W — w ^ d y,

(S )

que se extiende al r e c in to S , lim ita d o por la

elipse ~j5*+ - p ' = := 1,

pasando a las coord en ad as p o la res g en era liza d a s r y fórm u las: - í - = r eos cp,

las

-| -~ rse iiip .

2172**. T ran sform ar la integral c

p* \ f (x, y) dy

^ 0

ax

( 0 < c t 0 ), in trod u cien d o las nuevas v ariab les i¿ = # + y 2 u v = y. 2173a. E fe c tu a r el ca m b io de v ariab les u = x + y , v - ^ x — y en la integral i i ►

dx 0

/ ( x , y ) dy. o

217 4**. C a lc u la r la in tegra l doble \ \ dx dy, \S)

donde S es un r e c in to lim ita d o por la curva ,2 x 2 -2

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272

Integrales múltiples y curvilíneas Indicación.

Efectuar el ca m b io do variables i = (?rcos(p,

p = 5 rse n q ).

§ 3. C álculo de á re a s de fig u ra s planas I o. E l á r e a e n c o o r d e n a d a s un recinto plano (S) os igual a

rectangulares.

El

áre a S

de

(S) Si el recinto (ó1) está d eterm inado por las desigualdades a ^ x ^ b , y (x) tendremos b

i|?(x)

S * = ^ dx a

^ dy.
2°. E l á r o a e n c o o r d e n a d a s p o l a r e s . Si el recin to determ inado, on coordenadas polares r y
0

S=

2175. Construir los siguientes integrales: 2

a)

^ dx -1

F « f»

^ ^ r dtp d r =

^ dtp

a

^ dy; x2

^ r dr.

recintos cu y a s

x+2

<1

V a*—

b) ^ d y

\

0

0-2/

áreas se expresan

a)

\ « 4

3 sec

dtp O

^

2

rrfr;

b)

por

las

por

las

dx.

C a lcu la r estas áreas y ca m b iar e l orden de in tegra ción . 2176. Construir los recintos cu y a s áreas se expresan integrales: 71 arctg-2

(ó') está p,

o(l+cos
^ dy n

a

rdr. m

2

C a lc u la r estas áreas. 2177. C alcular el área lim itada por x -\ -y — a y x -| -3 y = a ( a > 0 ) . 2178. C a lc u la r e l área de la fig u ra y lim itada por este eje, la parábola y'¡ = 2179*. C a lcu la r el área lim ita d a por

las rectas x ~ y,

x = 2y.

situada sobre el eje O X í a x y la recta x + y = Sa. la elipse

( y - x ) * + * = 1.

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Cálculo

de

volúmenes

273

2180. H a lla r e l área lim ita d a p o r las parábolas y 2 = i Ox -|- 25 e y 1 — — 6a; + 9. 2181. H a l l a r el área lim ita d a por las siguientes líneas, pasando a coordenadas polares, +

2x, x 2 + y* = 4x, y = x> y = 0.

2182. H a lla r el área lim ita d a por la recta r e os
0). 2184. H a lla r e l área lim ita d a por la línea ( x2 y2 \2 _ { 4 ^ ~ )

x2 4

y2 9

2185*. H a lla r el área lim ita d a por la elipse ( x — 2y + 3)2 + ( 3 x + 4 y — 1 )2 == 100. 2186. H a l l a r el área del cu a d rilá te ro cu r v ilín e o lim ita d o por los arcos de la s parábolas x 2 — ay, x 2 = by, y 2 ~ a x , y2 = Pz ( 0 < a < fr, 0 < « < § ) . Indicación.

In trod u cir nuevas variables u y v, suponiendo x* = u y , y 2 — vx.

2 187. H a lla r el área del cu a d r ilá te ro c u r v ilín e o lim ita d o por ios arcos de la s cu rva s y2 = ax, y2 = bx, x y = a , x y = p (0 < a < b,

0< a< p ). Indicación. y'¿ = ¡;x.

In trod u cir nuevas variables u y

v, suponiendo xy=x.u,

§ 4 , C á lcu lo de volúm enes E l volumen V de un cilindroide, lim ita d o p o r arriba p o r la su perficie con tinu a s — f (x, y), por a b a jo por e l p la n o z — 0 y lateralm ente por la su p erficie c ilin d r ic a recta que corla en el p la n o X O Y el recin to S {fig . 94), es ig u a l a V=

l ( x t y) dxd y, (S)

2188. E xpresar, por m ed io de una in te g ra l d ob le , el volum en de una p irá m id e c u y o s v értices son : 0 ( 0 ; 0; 0 ), .4 (1 ; 0; 0), B ( 1; 1; 0) y C ( 0; 0; 1) (fig . 95). C o lo ca r los lím ite s de inte g ra ció n . 18—1016

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274


En io s problem as 2 1 8 9 — 2192 h a y que d ib u ja r lo s cuerpos, c u y o s volúm enes se oxpresan por la s in teg ra les d ob les q u e se dan:

1 2189-

21‘JO.

1 -.-C

\ dx

[

0

0

2

2—x

•'

\dx «J

a

«i

2 (1 — x — y)dy.

2191.

V i-xz

\ dx

\

•.

«1

0

2

\ (4 — x ~ y ) d y . tí«v O

2193. D ib u ja r el cu erp o,

2192.

cuyo

(1 — x)dy.

0

2

\ d x \ (4 — x — y) dy. frvi V 0' 2—x.

v o lu m e n

expresa

la

integral

dx

\ y ' a 2 — x 2 — i f d y , y basándose en razon am ien tos geom éo o tríeos, h a lla r el v a lo r de esta in tegra l.

2194. H a l l a r el v olu m en d e l cu erpo lim ita d o por el parabo loid e e l íp t ic o z = 2x2 - f - + 1 , el p la n o x + y = i y los planos coordenados. 2195. U n cu erpo está lim it a d o por el p a ra b o lo id e h ip e r b ó lic o z = x 2 — y 1 y lo s pla n os j/ = 0 , z = 0 , x = l . C a lc u la r su volum en. 2 1 9 6 . U n cuerpo está lim ita d o p o r e l c ilin d r o x2 - f z2 = a 2 y los planos ij = 0 > z = 0, y = x . C a lc u la r su volu m en . H a lla r lo s volúm enes de lo s cuerpos lim ita d o s por las super fic ie s sigu ien tes: 2197. az — y 2, x 2 + y 2 = r~, z = 0. 2198. y — |/~x, y = 2 \ /rx , x - f z = 6, z = 0. 2199. z = = x 2 + y 2, y — x2, y = 1, z = 0.

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Cálculo de áreas de su p erficies

2200* x + y + z — a, 3 z-\~y — a, ^ x ~ \ - y = a, y — 0, z — 0. 2201. - g . + i i = l ,

y = - ± - x , y = 0, 2 = 0.

2202. x 2 -}~ i/2 = 2 a x , z = ctx} z = p x (a > p ) . En lo s problem as 2203 — 2211 em pléense coordenadas polares y generalizadas. 2203. H a lla r el v o lu m e n total del espacio com prendido entre e l c ilin d r o x 2 -\-y2 = a 2 y e l h ip e rb o lo id e x2 - f */2 — z2 = — a2. 2204. H a lla r e l v o lu m e n to ta l d el espacio com prendido entre e l c o n o 2 (x2 + y 2) — z2 = 0 y el h ip e rb o lo id e x* + ij2 — z2 = — a2. 2 2 0 5 . H a l l a r el v o lu m e n lim ita d o p o r las superficies 2az = x 2 -f- y-, x 2 + y 2 — z2 = ary z = 0. 2 2 0 6 . D ete rm in a r el v o lu m e n d el elipsoide

2 2 0 7 . H a ll a r el v o lu m e n d el s ó l i d o lim ita d o por e l paraboloide 2az = x2 + j/2 y la esfera x 2 + y 2 - f z2 = 3a2. (Se sobreentiendo el v o lu m e n s itu a d o den tro d el pa ra boloid e). 2 2 0 8 . C a lc u la r e l v o lu m e n d el s ó lid o lim ita d o por el p la n o X O Y , ol c ilin d r o x 2 + y 2 = 2 a x y e l c o n o x 2 4 - y 2^ z 8. 2 2 0 9 . C a lc u la r el v o lu m e n d e l s ó lid o lim ita d o por e l p la n o X O Y , la s u p e rficie z — y e l c ilin d r o x 2H-?/2 — R 2. 2 2 1 0 . C a lcu la r e l v o lu m e n del s ó lid o lim ita d o por e l p la n o X O Y , el p a ra b olo id e z ^

+

y el c i li n d r o ^

+ J íi= = 2 — .

2211. ¿E n q u é razón divide el h ip e rb olo id e x 2 ~ f ¡/2 — z3=: a2 al v olu m en de la esfera x 2 + y 2 -f-z2< 3 a 2? 221 2 *. H a lla r e l v olu m e n d el s ó lid o lim ita d o por las suporíic ie s *=x+y, x x y = 2, y = y = 2 x 7« = 0 ( x > 0 , y> 0). § 5. C á lcu lo de áreas

de s u p e rfic ie s

El área a de una superficie regular z = /(a:, y), quj> tengacomo proyec ción en el plano XOY unrecinto St es igual a

a = \ B\ t / l + 2 213. H a lla r

el

área

( ^ ) 2 + ( í r ) 2 rf* ‘% -

do la

parte

del

p la n o — a com prendida entre lo s p la n o s de co o r d e n a d a s ..

b

e

= 1, 1

18 *

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276


2214. H a lla r e l área de la parte de s u p e rficie del c ilin d r o z 2- { - y 2 ~ R 2 ( z > 0 ) , com pren did a entre lo s pla n os z = m x y x — n x (m > n > 0). 2215*. C a lc u la r el ároa de la parte de s u p e r fic ie del c o n o x 2— y 2 — z2, situada en e l prim er o c ia n te y lim ita d a por el p la n o y -\-z = a. 2216. C a lc u la r el área de la parto de s u p e rficio del c ilin d r o x 2 - f y 2 = a x , cortada del m ism o por la esfera x 2 -\- j/2 + z2 = a 2. 2217. C a lc u la r el área de la p a rle de s u p e rficie de la esfera x2 -\-y2 -\-z2

cortada por la s u p e rficie

—

2218. C a lc u la r e l área de la parte de s u p e rficio d e l parabo lo id e !/2 -|-z2 = 2ax¡ com p ren d id a en tre el c ilin d r o y 2 = ax y el p la n o x = a. 2 219. C a lcu la r el área d e la parte de s u p e rficie d e l c ilin d r o x2 -f- y 2 — 2 ax, com prendida en tre e l p la n o X O Y y el c o n o £ 2 - f-y 2 = z2. 2220*. C a lc u la r e l área de la parte de s u p e r fic ie d el co n o x? — y2 = z2, situada den tro del c i l i n d r o x 2-\- y 2 = 2ax. 2 22 0.1*. H a lla r el área do la parte d e l c ilin d r o y ~ = z 4 x cortada por la esfera x 2 + y 2 - f z2 = 5 x , ________ 2 2 2 0 .2 . H a lla r e l área de la parte d ol c o n o z = Y x<2>Jr y z cortada por el c ilin d r o ( x 2 + y 2)2 — a 2 ( x2 — y 2) . 2221*. Dem ostrar, q u e las áreas de las partes de las superfi c ie s de los p a ra b oloid e s x 2 -\~y2 — 2 a z y x 2 — y 2 = 2 a z c o r ta d a s por o l c ilin d r o x 2 4 - y 2 = s R 2 so n iguales. 2222*. U na esfera de radio a está corta d a por d o s cilin d ro s circu la res, c u y a s bases tien en lo s d iá m etros ig u a le s a l radio de a q u é lla , y q u e son ta n gen tes en tre sí a lo la rg o de u n o de los d iá m etros de la misma... H a l l a r e l v o lu m e n y el área de la parte de su perficie de la esfera q u e q u ed a. 2223*. E n una esfera de ra d io a se h a c o r ta d o u n o r i f i c i o , con sa lid a , do base cu a d ra d a , c u y o la d o t a m b ié n es ig u a l á a. E l eje d e este o r if ic io c o in c id e c o n el d iá m e tro de la esfera. H a lla r el área de la su perficie de ésta corta d a por el o r ific io . 2224*. C a lcu la r e l área de la parte de s u p e rficie h e lic o id a l z = c a rctg — , situada en e l p rim e r o cta n te y que está com pren x dida entre los c ilin d r o s x 2 + y 2 = a 2 y x 2 - ] - y 2 — b'1.

§ 6 , A p lic a c io n e s de la in te g r a l d o b le a la m ecánica 4o. M a s a y m o m e n t o s ostáticos de las l á m i n a s . Si S e s un recin to d e l p la n o X O Y , o cu p a d o p o r una lám ina, y p ( x , y ) es la den s i d a d su p erficia l de d ich a lám ina en el punto (x\ y ) , la masa M de ésta y sus m o m e n to s estáticos y A f y co n respecto a lo s ejes O X y O Y se expresan

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A p lica cion es de la integral doble a la mecánica

277

p o r las integrales dob les M== \ $ p ^ ’ y ^ d x d y '

(S)

^

M* =

\ \

(S>

y ) dxdy »

z p (*> y ) dx dy.

(1)

77— M x M

lámi

'

d o n d e M es la masa do la lám ina y M x * M y sus m o m e n to s está ticos con resp ecto a lo s ejes de coord en a da s (véase I o). Si la lám ina es h om ogén ea , en las fó r m u la s (1) se puedo p on er p = l . 3o. M o m e n t o s de i n e r c i a d o l a s l á m i n a s . Los m om entos do in ercia de una lám ina, co n respecto a lo s ejes O X y O Y , son iguales respectivam ente a lx =

\ Û3P (*» y ) d x d y ,

(S) E l m o m e n to

de

/ y = jj ^ z * p { x , y ) d x d y

(2)

(S)

inercia de la lá m in a co n respecto a l origen d e coordenadas Io= ^

(* 2+ y 2) p ( * » 3#>¿c
(3)

(S) P o n ie n d o p (a;, i/) = l , on g e o m é t r ic o s de in e rcia de

las fórm u la s (2) y (3), obten em os lo s m om entos las fig u ra s planas.

2 2 2 5 . H a l l a r la masa de una lá m in a c ir c u la r de radio 7?, si su densidad es p r o p o r c io n a l a la d ista n cia desde el p u n to a l centro e ig u a l a 5 en e l borde de la lá m in a . 2 2 2 6 . U n a lám ina tien e la form a de tr iá n g u lo re ctá n g u lo con c a t e t o s O B = a y OA = b; su densidad en cu a lq u ie r p u n to es igual a la d ista n cia desde éste a l ca teto O A . H a lla r lo s m om en tos e stá tic o s de la lá m in a c o n resp ecto a lo s ca tetos OA y O B . 2 2 2 7 . C a lc u la r la s coorden adas del cen tro de gravedad de la fig u ra O m A n O ( fig . 9 6), l i mi t ada por la cu rva j/ = sena: y por la recta O A , que pasa por e l o rig e n de coordenadas y por el v értice A

de la sin u soid e.

2 2 2 8 . H a l l a r las coord en a d a s d e l cen tro de gravedad de la fig u r a lim ita d a p o r la ca rd io id e r = a ( i + c o s q>). 2 2 2 9 . H a l l a r la s coord en a d a s d el cen tro de gravedad de un s e c to r c ir c u la r de radio a t c u y o á n g u lo cen tra l es ig u a l a 2a (fig . 97).

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278


2230. C a lcu la r las coordenadas d el contro de gravedad de la figura lim itada por las parábolas ?/2 = 4a;+ 4 e y 2= — 2 r - ( - 4 . 2231. C a lcu la r el m om ento de inercia d e l triá n g u lo lim ita d o por las rectas s + y = 2, x = 2 e y = 2, con respecto al e je O X . 2 232. H a lla r e l m om en to de inercia de un a n illo c ir c u la r de diámetros d y D ( d < D ) : a) con respecto a su p ro p io centro y b) con respecto a su diámetro.

2233. C a lcu la r el m om ento de inercia de un cuadrado de la d o a, con respecto al e je que, pasando por u n o de sus vértices, es per pendicular a l plano del cuadrado. 2234*. C a lcu la r el m om en to de in ercia del segm en to interceptado de la parábola y* = a z por la recta x = a , c o n respecto a la recta — a2235*. C a lcu la r el m om ento de inercia de la superficie lim i tada por la h ip é rb o la x y — 4 y la recta x + y = 5, c o n respecto a la recta x = j/. 2236*. E n una lám ina cuadrada de lad o a T la densidad es proporcional a la distancia hasta u n o de sus v é r tic e s . C a lc u la r el m om en to de inercia de dicha lám ina c o n resp ecto a lo s la d os que pasan por éste v é r tic e . 2237. Ha l l ar e l m om en to de in e rcia de la cardioide r = a {1 + coscp)t con respecto al p o lo . 2238. C a lcu la r el m om ento de inercia de la su p erficie de la lemniscata r2 = 2a2 eos 2(p, c o n respecto al e je , perpen dicu lar al plano do la m ism a, que pasa por el p o lo . 2239*. C a lcu la r el m om en to de inercia do una lá m in a h om o génea lim itada por un arco de la c ic lo id e x = a {t — sen t ) y y — a ( l — c o s t ) y e l e je O X , c o n rospecto al eje O X .

§ 7. In te g ra le s tr ip le s i °. La i n t e g r a l t r i p l o e n c o o r d e n a d a s r e c t a n g u l a r e s . Se llama integral triple de una función f ( xt y, z), sobre un recinto V> al

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Integrales triples lím it e de la correspondiente suma trip lo

H

(V)

\ / (*. y, z) dx dy d s =

,1

lim

¿*,-.0

máx

V

^

V , / (s¡,

"

nwWA„Lo n táx Ai/y -*0 4

sA) Aa:/ Ay y As*.

•“

»

*

mflx A**-*0

E l c á lc u lo do la integral trip le so reduce a ca lcu la r sucesivam ente tros in te grales o rd in a ria s (sim ples) o a c a lc u la r una d ob lo y una sim ple. E j e m p l o 1. Calcular

J

\ Ü \ x*y*z dx dy dz.

v donde el recin to Y se determ ina p o r las desigualdades

0< Solución. 1 1 «=

x

1,

0
1

x

Tenem os:

xy

xy

dx ^ dy ^ xhj^z dz = ^ d x ü

o

o

o

x*y* ~ ó

i

X

2.

o ^ 1

x 2y4

(* X b

2*~

" í * í Ejemplo

0 < r < a n /.

,jb [ *

j ~ 2 " ir \o

i f

0

x ¡0

i r d;r=rio-

C alcular W

x2(lx
\

'(V) x2

y2

¿2

e x te n d id a al v o lu m e n d e l e lip s o id e Solución.
jj ^ í x 2 d x d y d z —

a

a:2 da:

(V)

-«

y2

^

?

^ a;2*^* dar,

(Suz)

donde S y2 es e l área de la elipse - p - +

í i « - |AV

f dy d z =

,,/

22

a:2

=* 1 — —

, ^ = con st, igual a

, - 5 - * 6 e ( l — § -) .

L’ o r esto, c u d e fin it iv a , tenem os:

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1

280


2o. C a m b i o la integral triple

de

variables

$

en

la

integral

triple.

Si

en

/ ( * , y, z) d z dy dz

hay que pasar do las variables x , y , z, a las variables u , u, w t relacionadas con las prim eras p o r las igualdades s = cp (u, v, u>), y = ^ ^ ( u , v , w), z = X ( « , v y w), donde las fu n cion es
D { x, y, z)

I

D {u , v , w)

dx

dx

dx

da

dv

dw

dy da

dy dv

dy dw

dz

dz

dz

da

dv

dw

conserva invariable su sig n o en el r e c in t o Vt entonces, será v á lid a la fórm ula z)dxdydz=^^^

f [cp{¿¿, ¿>, w), ip (u, v y w )y x (u ,y , w )\ \ I \dudv dw.

En particular, 1) para las coordenadas c ilin d r ic a s , r,
la latitud

y =■ r e os \J>son ip,

3 = r sen

tenemos / = r2 cosi|?. E j e m p l o 3. C a lcular la sigu ien te nadas esféricas,

SSSv

in tegral,

pasándola a las co o rd e

^ 2+ y 2-|“ z'¿ dx dy dzy

(V )

donde V es una esfera de ra d io R. S o l u c i ó n . Para la esfera, lo s lím it e s de v a ria ción de las coordena das esféricas (p (lo n g it u d ), ^|) (la titu d ) y r (ra dio vector), serán: 0 < f p < 2?t,

n

ji

Por esto, tendremos:

jt 2 jx

[ ^ ^ V x ¿ + y ‘¿ + z2 dx dy dz a= f (V )'

0 < r < i?.

2

R

^

í rr2 eos \|) dr — n R * .

0

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<)

In tegra les triples

281

3o. A p l i c a c i o n e s d e l a s i n t e g r a l e s t r i p l e s . d e un re cin to d e l esp acio trid im e n sio n a l O X Y Z es igual a

E l volumen

(V) La masa do un cuerpo que ocu p a el recin to V, M = ^ ^ ^ y ( x , y , z) dx dy dz: (V) donde y ( x , y , z) es la den sidad del cuerpo en el p u n to (x, y, z).

L o s momentos estáticos de un cu erpo, co n rosp ecto a lo s p ian os coorde nados son;

M z y = ^ jj Jj y (*» y * z) 2 dx dy dz> M y z =* ^ ^

y (*>

z) x dx dy dz>

(V)

M zx= 5 S S y

y ' z* y dx dy dz'

(Y) Las coordenadas del ce n tro de gravedad

— M ~

yz

—

M '¿ x

s r * ‘

'

r

MXY

'

M

Si el cu erp o es h om o g én e o, en las fórm u la s para determ inar las coor denadas del ce n tro de gravedad se puede poner Y {x * y* z) — L Los momentos de ine rc ia , co n respecto a lo s ejes co ord e n a d os son-

i x = ? \ J (y2+ z 2)y(*> y >2) dx dy dz ; (V) / y = = J ^ \ (z2 + x ¿‘ ) y ( x y y y z) dx dy dz;

lz

** $ J S ^ 2 + ^ y

y * z* d x dy d z '

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282

P o n ie n d o en estas fó rm u la s g e om é trico s do in ercia del cuerpo.

y

(*>

z ) 7” 5*»

ob ten em os

lo s

m om entos

A . C á lca lo de la s in te g r a le s t r i p l e s C a lcu la r los lím ite s de in te g r a c ió n en la in tegra l trip le H

\ f (*> y , z) d x d y dz

para lo s recintos V que se in d ica n a c o n tin u a c ió n : 2240. V es un tetraedro lim it a d o p o r lo s planos x + y + z = l,

x = 0,y = 0,

z = 0.

2 2 4 1 . V os un c ilin d r o lim it a d o p o r las superficies x* + y* = R \ z — 0, z = / / . 2242*. V es un c o n o lim it a d o por las superficies -íÍ-4 -J l-iÍ

z= c

2243. V es un v olu m en lim ita d o por la s superficies z = l — x z — y2, z = 0. C a lc u la r las sigu ien tes integrales: i i i 2 244. J 'd’x 11 \ d’ y p\ ; lA + y + s + l 0 0 0 2

2

r» 2245.

Vx

dx ^ dy 0

a

0

0 t

2247.

2

í

0

J

1~ x í dx [ dy

o

xdz. o

V n*-x

2246. \ dx J

^

0

dy

dz

__________ . - 7= i / a * - * * — Í/S—2*4 * *

\ J o

*

i —x —y

^

xyzclz.

0

2248. C a lcu la r

(V)

s

d x d y dz (a s -j-y + * + l) 3

1

donde F e s el re cin to de in te g ra ció n , que está l im it a d o p la n os de coordenadas y por el p la n o x - f y - f - z — 1 *

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p o r lo s

Integrales triples

283

2249. C a lcu la r ^ \h

( x + y + z)%d x d y d z ,

donde F es la parte com ún esfera ;r2 ~-|-y2 - )- z 2< 3 a 2. 2250. C alcular

del

paraboloide 2az

z 2 -\-y2 y de la

^ ^ ^ z2 dx d y dz, d o n d e F es la parte com ú n de la s esferas x* -f-y 2 + z2 < f í 2 y £a + + i f + z2 < 2 f l z . 2 251. C alcular ^ jj ^ z d x d y d z , &) donde V es el v olu m en lim ita d o p o r el p la n o z = 0 y por la mitad jy ¿í su perior d el e lip soid e -^2" + *^2‘ + 1* 2252. C alcular i J S (V)

( 4

+

£

+

- í ) * * *

>p2 ¿2 donde F es la parte interna del e lip so id e ^ + "p" + 7 T “ 2253. C alcular

.-i íi

^ \ zdxdydz, don de V es el recin to lim ita d o por el co n o z2 —

( s 2 + y 2) y por

el p la n o z = h» 2 2 5 4 . C a lcu la r cilin d ricas,

a

la

sig u ien te

J ^

integral,

pasando

dxdydZj

d o n d e F es el recin to lim ita d o p o r las superficies £ 2 + ¿/2 = z 2 y que con tien e el p u n to {0, 0 , /?). 2 255. C a lcu la r F

coordenadas

+

+

2 k - vT2

^ dz ^ o o

d y ^ z | /a ;2-)-y 2 dz, o

transform ándola previam ente a la s coordenadas cilin dricas.

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=

284


2256. C alcular

2r

V 2r x—

^ dz 0

/ ¿ r a —xS -.¡/2

^

dy

^

- Y'Zrx—vfi

dz,

0

transform ándola previam ente a las coordenadas cilin d rica s. 2257, C alcular H

Y Ri-x

dx

2

Jj -

dy

/ R2-X2

^

( z 2 + y 2) d z ,

0

tran form án dola previam ente a la s coorden adas esféricas. 2258- C a lcu la r la integral sigu iente, pasando a las coordenadas esféricas [ [ [

+ V* + * * d z d y d z ,

(V )

donde V es la parte interna de la esfera x2 + y 2 + z2 < x . B, C á lcu lo d e volú m en es p o r m edio de in teg ra les trip les 2259. C a lcu la r, por m edio de una integral del cuerpo lim ita d o por las superficies y 2 ¡= Aa¿ — 3ax,

y2 — a x ,

triple, el v olu m en

z — ± A.

2260**. C a lcu la r el v olu m en de la parte del c ilin d r o x l \ -y 2 = = 2a x , com prendido entre el pa ra boloid e x*-\ -y2 = 2az y el p la n o XOY. 2261*. C a lcu la r el v o lu m en del cu erpo lim ita d o por la esfera x 2 + y 2-\-z2 — a2 y el co n o z 2 = z 2-\-y2 (la parte exterior con res p ecto a l co n o ). 2262*. C a lcu la r el v o lu m e n del cuerpo lim ita d o por la esfera x 3-f-J/2 + z2 = 4 y el p a ra b olo id e x2- f y 2 = 3z (la parte in terior con respecto al pa ra boloid e). 2263. C a lcu la r el v olu m en del cuerpo lim ita d o por el plano X O Y , el c ilin d r o x 2 -\-y2 — a x y la esfera x2 + y 2 -\-z2 = a 2 (in tern o c o n respecto al c ilin d r o ). 2264. C a lcu la r el v olu m en del cuerpo lim ita d o por el parabo lo id e

+

=

y el p la n o x = a.

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285

Integrales triples

2264.

i . H a lla r el v olu m en del cuerpo lim ita d o por la superficie i

i fl2+ 2264. ficies

^

z2 \ 2 -

¿2 T cs J

* 2

i

fl2 '

z2

£‘¿

c*2 *

2. H a lla r el v olu m en del cuerpo a2 “T ¿,2

;_**_? c2 **

*2 i ^ fl2 I " b2

lim ita d o por

las super

*2 — o C‘¿

C . A p lica cio n es de la s in teg ra les trip le s a la m ecán ica y a la física 2265. H a l l a r la masa M del paralelepípedo rectan gu lar 0 0 < ? / < & , 0 < z < c , si la densidad en el p u n to (x t y , z) es p ( x , y , z) = = :r + ? / + 2 .

2266. D e l octan te de la esfera £2 + y2 - M z < c 2, x > 0 , t / > 0 , z > 0, se h a cortado el cuerpo O A B C , lim ita d o por los p la n o s de coordenadas y

por

el p la n o

—|—

—1

(<2 < c , ¿ < c )

(fig . 100).

H a lla r la masa de este cu erpo, si su densidad en cada punto ( x f y, z) es ig u a l a la cota z del mism o. 2267*. E n el cu erpo de form a sem iesférica x 1-)-*/2 ~¡-z2< a 3, z > 0 , la densidad v a r ía p rop orcion a lm en te a la distancia desde e! p u n to a l cen tro. H a lla r e l cen tro de gravedad de este cuerpo. 2268. H a l l a r el cen tro de gravedad del cuerpo lim ita d o por el pa ra boloid e y 2 + 2z2 = 4 x y p o r el p la n o x — 2. 2269*. H a l l a r el m om en to do inercia del c ilin d r o circu la r, que tie n e por altura h y p o r radio de la base a, con respecto al eje qu e sirve de diám etro de la base d e l p ropio cilin d r o . 2270*. H a lla r el m om en to de inercia del c o n o cir cu la r , que tiene por a ltu ra k , por radio de la base a y de densidad p, con respecto al diám etro de su base. 2271**. H a lla r la a tra cc ió n que ejerce el co n o hom ogéneo, de altura h y á n g u lo en ol v ó rtice a (en la sección a x ia l), sobre u n p u n to m aterial, que tenga una unidad do masa y quo esté situ a d o en su vértice.

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2272**. Dem ostrar, que la a tra cc ió n que ejerce una esfera hom ogénea sobre u n p u n to m aterial exterior a e lla no varía, si toda la masa de la esfera se con centra en su centro. § 8. In te g ra le s Im pro p ia s, dependientes de un p a rá m e tro . In te g ra le s Im propias m ú ltip le s I o. D e r i v a c i ó n respecto del parámetro. Cumpliéndose ciertas restricciones que se im ponen a las fu n cion es / ( x %a ) y (x t a ) y a las correspondientes integrales im propias, se v e rifica la regla de Leibniz

CO d da

oo

/ (x, a ) dx = a

Ejemplo calcular

1.

so Solución.

\ fa ’ (x, es) dx. a

V aliéndose CXJ

*

acta

de

la

d eriva ción

respecto

del

parámetro,

—0x2

-— — — --------- dx

(a > 0, P > 0).

Sea oo

S

-asa -

-0x2 r f _ d z = F ( a , p).

Entonces,

00 da

é\

x e - « * d z = ^ ~ e~™* 2a

'oo

O

2a

1 De d on d e P ( a , p) = — g - l n a + C (P).

Para h allar C (p), ponem os a — p en la

ú ltim a igualdad. Tenem os, 0 = — ~ l n P + C (P).

2

De donde C (P ) — —- l n p . P o r consiguiente, F (a, P )= — y

ln a + y l n p = y

ln

.

2 o. I n t e g r a l e s dobles i m p r o p i a s , a) C a s o e n q u e e l r e c i n t o d e i n t e g r a c i ó n e s i n f i n i t o . Si la fu n ción f ( x y y) es con tinu a en u n recinto in f in i t o S , se supone \ \ f ( x > y ) d x d y = lim [ [ fe)

f ( z t y ) dx dy.,

(1)

(o)

donde o es un recin to f in ito , situado totalm ente en S , entendiéndose por o S , que a m pliam os ol recin to a sogún una le y arbitraria, de manera que en éste entre y permanezca en él cualquier punto del recinto S. Si el segundo m iem bro tiene lim ito y éste n o depende de la e lección que se haga de o , la correspondiente integral im p rop ia recibe el nom b re de con vergente; en el caso contrario se llam a divergente.

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in t e g r a le s im p r o p ia s , d e p e n d ie n te s de u n p a r á m e tr o . I n t e g . im p r o p . m ú lt ip le s 287 Si la f u n c i ó n s u b in te g r a l f ( x y y) n o e s n eg a tiva ( / ( x f y ) > 0 ), para que la in tegral im p r o p ia sea c o n v e r g e n te es n ecesa rio y s u ficie n te q ue ex ista el l í m i t e d e l seg u n d o m ie m b r o de la ig u a ld a d (1), au n q u e sea para u n sistema de r e c in to s a q ue c o m p le t e n el r e c in t o S. b) C a s o d o u n a f u n c i ó n d i s c o n t i n u a . Si la f u n c i ó n / (x , y) os c o n tin u a en t o d o un re cin to cerra do y acotado S t a e x c e p c ió n d o l p u n to P ( a t b), se su pon e: *\ / (*. y) dx dy = lim f í i ( i , y) d x dy,

(2)

d o n d e *S*g es e l r e c i n t o q u e re s u lta d e e x c l u i r d e l S un r e c in t o in terior p eq u eñ o de d iá m e t r o e q ue c o n tie n e a l p u n t o P . En o l ca so de q ue ex ista el l í m i t e (2) y d e q ue n o depen da do la fo rm a de lo s r e c in t o s in te r io re s p e q u eñ os q uo s e e x c lu y a n d o l r e c in t o S, la in tegral con sid erada s e lla m a c o n v e r g e n te , m ie n tra s q u e en e l ca so c o n t r a r io , es dive rgen te . Si / ( x t y) 0, ol l í m i t e d e l s e g u n d o m ie m b r o d e la ig u a ld a d (2) no d ep e n d e de la f o r m a de lo s r e c in t o s in tern os que se e x c lu y e n d o S\ en p a rg

t ic u la r , on c a lid a d d o tales r e c in t o s p u ed en tom a rse c í r c u l o s de ra d io c e n t r o e n e l p u n to P . E l c o n ce p to de in te g r a le s in te g r a le s trip les. E jem p lo

im p ro p ia s

con

d o b le s es f á c i l p a sa rlo a l ca so do

2. In v e s tig a r la co n v e rg e n cia do la integral d x dy

it|

(3)

(i

d on de S es t o d o el p la n o X O Y . S o l u c i ó n . Sea o u n c í r c u l o de r a d io p cori c e n t r o en el origen coorden adas. P a s a n d o a la s coorden a d a s polares, s i p =£ 1, tenem os: 2 ¿i

J

P P (a)

de

p

f?T. d u

~ Ü( 0l ) <1.................... + S 3 W ” S Ó

lÓ ( l + rü)P 2 it

i

0

1 ( l + r2)l-P o díp = 2 1— p

Si p < l , se tie n e lim / ( a ) = lim / (cr) = c o y a-*-S

p-voo

co n tr a r io , p > l , so tie n e 1i m / ( o ) =

n-voo P-

r-

l

P

la

in te g ra l

y la in tegral

1(1 '*■p2)l_P — i] d iv e r g o . Si p o r ol co n verg e.

Cuando

2?l p = i,

tenem os

quo

/ ( < ? ) = : \ d

0

r)

0

n \n ( i + p 2); l i m / ( a ) = c o , 1 *+■

r

~

A -+ C O

d e c ir , la in te g ra l d iverg e.

Por consiguiente, la integral (3) es convergente para p > 1.

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es

288

r I n te g r a le s m ú lt ip le s y c u r v ilín e a s

2273. H a lla r / ' ( * ) , si / (x) = ^ e 'xv d y

(x > 0 ).

X

2274. Demostrar, que la fu n c ió n

—

l

j + T - , ) * "**

satisface a la e cu a ció n de Laplace d*u

¡Fu

dx* ■*" dy* ~

2275. La tran sform ación de L a p la ce F ( p ) para la fu n c ió n f (t) se determ ina por la fórm ula co

0 H a lla r F ( p ) , si: a) / (¿) = 1; d) / (t) = eos pt. 2276. A p lica n d o la fórmula

b)

/ (t) = e af\ c)

i J x ’*-> cZx . 0

i-

(n > 0 ),

ca lcu la r la integral i J arn_1 \n x d x . o 2277*. A p lica n d o la fórm u la 00

\ e ' 7" d t = J

(P> 0).

& c a lc u la r la integral ^ ¿ V * d /. 6

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/ (¿) — sen pt;

Integrales im propiast dependientes de un parám etro. In teg . improp. m últiples 289

U tiliz a n d o la d e r iv a c ió n sigu ien tes integrales:

parámetro, ca lcu la r

las

00

2 278.

respecto al

\

2

dx

(ct> 0 , p > 0 ).

00

2279.

r> \ ------------:------- s e n m x d x *) 2 o 00

228 0 .

j

2281.

? ( |a |< J i 2 y i _ *2 ^

(a>0,p>0).

1). 1

'

f» 2282.

\ 0

fe rf,

(a > 0 ).

C a lcu la r las siguientes integrales im propias: 00

2283.

2284.

c©

\ d x J «-<*+■/> dy.

í d y ^ e v dx. t/ *<

ú

*■

0

2285'

íowU ! s

es un

recin to, que se determina

(S)

por las desigualdades x > l , y > x 2. c© <* <* dy 2286*. \ d x \ 0). 0 u 2287. La in teg ra l de E u le r -P o is s o n , determinada por la fórm ula oo OO i =

\ e - ^ d x , se puede escribir ta m b ién en la form a / = \ e ~ u2dy. X fo o ^ M u ltip lic a n d o entre sí estas fórm u las y pasando después a las coordenadas polares, c a lc u la r I . 2288. C alcular O O

OO

00

"

x 0

dz

« (»» + ya + ** + 1 ) 2 * o

i a -io ta

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290


A v erig u a r si con vergen pias: 2289**.

las siguientes integrales dobles im p r o

[ ^ l n V ^ x* + y 2 d x d y , donde 5 es el c í r c u l o x* + ya< l . (5 )

2290.

\\ , donde S es un recin to que se determina y <*+*>■ por la desigualdad x 2 + i/2 > 1 («parte e x te rio r » del c ír cu lo ). 2291*.

2292. mina por esfera).

\ \ 3 - , V (^— y)2

donde 5 es un cuadrado | a ? | < l, | y | < l .

í í í — d-x dy fL - , donde V

i(i } i (.« + * ■ + * ) « la

desigualdad

x 2 - j- y2

es un recin to, que se deter-

z2 > 1

(«parte e x te rio r »

de

la

§ 9. In te g ra le s c u rv ilín e a s Io I n t e g r a l e s curvilíneas de p r i m e r t i p o . Sea f (*, y) una fu n ció n continua o y —
C en arcos elem entales

in tegral

2

¿Vi =

y

n

f (x h

El

lim ito

formam os la suma

de esta suma, cuando

n-^-co

y

i=i m áx As¿-> 0 recibo e l nombre de integral curvilínea de primer tipo n

lim 2

n-*oo

.

i —1

/ (x i< y ¡ )^ s¡ -

\ /(*• >j)ds

«J

(ds es la diferencial dol arco) y se calcula por la fórmula b f (x, y) ds = ^ / (x, ip (*)) V 1 + (tp' (z))2 ¿a-. (I En el caso de que Ja curva C este dada en Corma paramétrica: :r =
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291

In tegra les curvilíneas

del sentido del camino de integración. S i la fu n ció n su bin tegral / se interpreta c o m o la d en sid ad lin e a l de la cu rva de in te g r a c ió n C, esta in te g ra l repre sen ta rá d o por sf la masa de la curva C. Ejem plo

1.

C a lcular la in teg ra l cu rvilín ea

C

d on de C es el co n to r n o del B ( 0 ; 1) y 0 ( 0 ; 0) ( f i g. 101).

tr iá n g u lo

A B O , cu yos

v é rtice s son : A (1; 0),

F i g. 101 S o l u c i ó n . A q u í, la la de OA: y = 0. P or lo tan to, tendrem os:

+

[ (x + y )

C

AB

e c u a c ió n de A B es: y = l — x, la dó Ó B : x = 0 y

^ (* + y ) ¿ $ + ^ (* + ?y)¿s = BO

OA

t

i

t

= ^ y 2 dx + \ 1/drj + ^

0 2o. I n y Q {*> y) s e recorre de segundo

U

x d x = ’]/> + 1 .

0

tegrales curvilíneas dos e g u n d o t i p o . S i P ( z , y) so n fu n cio n e s c o n tin u a s o y = (p(.r) es una cu rva plana C t que a l v a r ia r x desde a hasta 6, la correspondiente integral curvilínea tipo se expresa de la fo rm a siguiente b

P ( x , y )d x + Q(x, y ) d y =

[ P (x ,

En el ca so m ás general, cu a n d o la cu rv a C se da en la form a paramétrica : i = (p(¿), y = ^(£)> d on de t varía entre a y p, tenemos:

P ^ P ( x t y ) d x + Q ( x t y ) d y = > ^ (P ( >l>( t ) ) ip' {t) + Q (q> ( t ) , ij) (t)) t|>' {t)\ d t .

G

a

F ó rm u la s a n á log a s son v á lid a s para la in te g ra l cu rv ilín e a de segundo t i p o tom ada sob re una curva en el espacio. 19*

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292

co gr do de

Lft integral cu rv ilín e a do segundo t ip o c a m b i a s u s i g n o p o r el n t r a r i o , al c a m b i a r el sentido del c a m i n o do i n t e a c i ó n . Mecánicamente, esta integral puede interpretarse com o el trabajo la correspondiente) fuerza v aria b le {.P ( x , y ) , Q (x, ij)} a lo la rgo do la curva integración C. Ej omplo

2. C alcular la integral curvilínea f y 2d x + x 2 dy,

donde C e s la m itad su perior do la e lip s e x = a c o s í , recorre en el sen tido de las agujas del reloj. Solución.

y = 6 sen f, que se

Tenemos ü

^ y2 dx + x 2 dy = C

[62 sen2 t •( — a sen l)

a¿ eos2 l •b eos t\ dt =

k

0 = — ab'¿

0 sen3 t dt + a2b Sj eos3 t dt ^ a b 2.

k

k

3o. C a s o -d e. d i f e r e n c i a l e x a c t a . Si la e x p resión suM ntegral de la integral cu rvilín ea de segundo t ip o e s la d ife ren cia l exacta de una fu n ció n uniform e determinada Ü = U (x, y), es decir, P (x, y ) d x + Q ( x , y ) d y = = d ü {x, y), esta integral cu rvilín ea n o depende d e l ca m in o de iu tegración y se cu m ple la fórm u la do N ew ton-L oíbniz

<*2; v2> P { x , y ) d x - \ - Q ( x , y ) d y = U ( x 2, y2) — U { x u y¡ ),

( 1)

l/x) donde ( x ^ y t) os el p u n te in icia l y (.r2; y2), ef punto fin a l del cam ino. En particular, s i o ! con torn o de in tegración C e s cerrado, so tiene [ P (;x , y) dx + Q (x, y ) dy = 0.

i) G

(2)

Si, 1) o l con torn o de in teg ra ción C está com p ren d id o totalm ente en un determ inado recinto sim plem en te con exo S y 2) las funciones P (* , y ) y < ? (* > !/), ju n to con sus derivadas parciales do I o orden, son con tin u as en el recin to S, la c o n d ic ió n necesaria y su ficionte para la ex isten cia de la fu n ció n U es que se verifique idénticam ente en tod o el recin to 6' la igualdad 60

dP

0) (véase in tegración de diferen cia les exactas). Si n o se cu m plen las c o n d ic io nes 1) y 2), la subsistencia de la c o n d ic ió n (3) n o garantiza la existencia de la fu n ció n uniform e U y las fórm u la s (1) y (2) pueden resultar ser erróneas (vóaso el problema 2332). Señalemos un p roced im iento para h allar

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Integrales curvilíneas la fu n ció n U (x , y) p o r m edio de .su d iferen cial tota l, basado en el empleo de las integrales cu rv ilín e a s {es decir, un procedim iento más de integración do !a d iferen cial exacta). Como con torn o de integración C so toma la línea Y

M (x;y)

y

yo

\po ( * o ‘, y o ) i

0

x,o

X

F i g . 102 quebrada (íig . 102), donde P0 (x0; y0) es un punto fijo , M (x; y ) un punto variable. En este caso, o lo la rgo de / W tenemos que y = y 0 y dy = 0, m ientras que a lo Largo de P^M , tenemos que dx — 0. Obtenemos:

<*; i/) U ( z , y ) — U (x0, y 0) =

^

P (x, y ) dx + Q ( x , y) dy =

(-V yo> *

y

= ^ J* ( * . yo) d* + ^ Q (*> y ) dy-

*0

vo

A nálogam ente, integrando sobre la línea quebrada P^P^M, tenemos:

y v {*> v ) — v (*o>

y)=*

x Q

(*o> y ) d,J +

"o Ejemplo

3.

p (*> v ) d x -

*0

(4x - j - 2 y ) dx + (2x — 6r/) dy — d i '. Hallar U.

Solución. Aquí, P {x, y) =*4x-\ -2 y y Q ( x fy) — 2x — (\y\ a l tiem po que, evidentem ente, se cu m plo la co n d ició n (3). Sean x 0 — 0, Entonces,

x

y e

U (x , y ) = \ 4 x d x l r \ ( 2 x - 6 f / ) d y + C = 2x 2 + 2 x y - 3 y * + C \ o bien, x V (xy y)= ^

d / / + ^ ( 4x + 2y) dx-\-C = — 3y'¿ -\~2x2-\-2xy -I- C ,

donde C = U (0; 0) es una constante arbitraria.

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m ism o í/ o = <'-

2%


A\ F ó r m u l a do G r o e n p a r a ol p l a n o Si C ea la frontera del re cin to S y las fu n cion es P ( x , y) y Q ( x , y) s o n con tinu as, ju n to con sus d e riv a d a s parciales do I o orden, on el recin to cerrado S + C y se v e r i fica la fórmula de Green

p > r f * + Q á ¿ ,= $ J ( ñ

^

dxdy,

(S) donde el sen tido recin to S quede a 5o. A p l i c a c área lim itada por

del recorrido d e l co n to rn o C se e lig e de form a que el la izquiorda. i o n e s do l a s i n t e g r a l e s c u r v i l í n e a s . 1) El un co n to rn o cerrado Ct es ig u a l a

S*= — ^ y d x = ^ x d y r c (el se n tid o del recorrido del co n to rn o debe elegirse co n tr a r io a l m o v im ie n to de las agujas del reloj). Más útil para las a p lica cion es es la sigu ien te fó rm u la

c

c

2) El trabajo de una fuerza, cuyas proyeccion es sean X = X ( x t y , z)> Y = Y ( x , y , z ) , Z ~ Z ( x 1 y > z) (o correspondientem ente, el tra b a jo de un cam po do fuerzasj, a lo la rgo del ca m in o C> so exprosa por la integral A = ^ X d x + Y d y + Zdz. Si la fuerza tiene p o ten cia l, es decir, si e x iste = U (x, y, z) (fu n c ió n p ote n cia l o de fuerza) ta l, que

una f u n c ió n

U=

dU- X dU- V ñ 1 -7 dx } dy 1 dz el trabajo, independientem ente de la form a d e l ca m in o C, es igual a <**; t/a; 22) A =

^

(x2; vz\ 22) X d x -\ -Y dy-\~Z dz =

^dU = U (x2> y^,

U (xj , y tl zj),

<*1; vt; zi)

w; ¿i)

donde (arlf y it zj) os el p u n to in ic i a l y (x2t y*, z2) el p u n to fin a l dol ca m in o .

A . In te g r a le s cu r v ilh ie a s de p rim er tipo C a lc u la r las siguientes in teg ra les cu rvilín eas: ^x y d s ,

2293.

don de

C

es

el

c o n to r n o del

cu adrado

l * l + | W = a (< *> 0 ). 2 294,

(*

ds

\ —r z = = z r . donde C es un

segm en to de recta que une

entre si lo s puntos 0 ( 0 ; 0) y <¿4(1;2).

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295

Integrales curvilíneas

j2 r/2 x y ds, don de C es e l cu adran te de la elipse -^ --1 --^ - = 1,

S

c; situ a d o en e l prim er cu adran te. ^ y 2 ds,

2296.

don de

C

es

el

p rim er

a rco

de

la

c ic lo id e

c

x —a

— s e n ¿ ), y = a (1 — eos t).

2 29 7.

^ 1f x* -\-y1 ds, donde C es e l a rco de la ev o lv e n te de la

c circu n feren cia x = a (cos / + 1 sen / ) , y = a (sen t — t c o s t) [0 < t < 2n]. ^ (x 2 + y 2)2 ds, donde C es e l a rco de la espiral

2298.

lo g a r ít-

c

m ica r = a e m(* ( m > 0) O ( — o o ; 0), 229 9.

desde

el

pu n to

A(Q\a)

hasta

el

punto

^ (x-\ ~ y)d s, donde C es el la z o derech o de la lem n iscata

c r2 = a 2 cos 2cp. 2300.

\ { x - f z)ds,

donde

C

es

un

a rco

de

la

cu rva

* don de C es la prim era espira de la

h é lice

c

x = t, y =

z = ts [ 0 < ¿ < 1 ] .

2301.

+

c c ir c u la r x = a c o s ¿ , y = a s e n t , z = b t , 2 30 2.

^ Y 2y 2 + z2 ds, donde C es e l c ír c u lo x2 + y2 + s 2 = a2, x = y. c

2 3 0 3 *. H a lla r e l área de la su p erficie la te ra l del c ilin d r o p a ra b ó lico 3 y = ^ x 2, lim ita d a p o r lo s p la n os z = 0, x = 0, z — x , z/ = 6. 2304.

H a lla r

la

lo n g itu d

del

a rco

de

h é lice

có n ic a

C,

x = a é cos t, y = a é sen t, z — aelf desde el pu n to O (0; 0; 0) hasta el p u n to A (a; 0 ; a ). ^ g 2 3 0 5 . D eterm inar la masa d e l co n to rn o de la elipse si

— 1»

su densidad lin e a l en cada p u n to M (x, y ) es ig u a l a \y\. 2 30 6. H a lla r la m asa de la prim era espira de la h é lice circu la r x = a c o s ¿ , y = a s e n t , z = bt, s i la densidad en cada punto es ig u a l al ra d io v ector del m ism o. 2 30 7. D eterm in ar la s coordenadas del ce n tro de gravedad del sem ia rco do la c ic lo id e £ = a (¿ — s e n 2),

y = a ( l — cos¿) [ 0 < í < j i J .

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2308. I ia lla r e l m om ento de in ercia , con rcspesto a l eje O Z , de la prim era espira de la h é lice c ir c u la r x ^ a c o s t , y = a s e n t y z — bt. 2309. ¿C on q u é fuerza in flu y e la m asa M , d istribu id a con densidad constante p or la circu n fe re n cia x 2 + y 2 = a 2, z — 0, sobre la masa m y situada en el p u n to 4 ( 0; 0; b)?

¡1. Integrales curvilíneas de segundo t i p o . C a lcu la r la s siguientes in tegrales cu rv ilín e a s: 2310. jj ( x 2 — 2xi/) d x + (2x y + y 2) d y , Ai? de la parábola y ^ x ¿ que va desde e l punto B (2; 4 ).

donde

AB

es

el

arco

pu n to .4 (1 ; 1) hasta

el

2311.

j (2a — y ) d x + x d y , donde C es el prim er arco de la c c ic lo id e x = a ( i — s e a í ) , y = a (1 — c o s í ) recorrid o en e l sentido del cre cim ie n to del parám etro t. 2 31 2.

[ 2x y d x — x ¿ d y ,

tom án dola a lo la r g o de lo s diferentes

u

GA

ca m in os, que parten del origen (le coorden adas 0 ( 0 ; 0) y que fin a liz a n en e l pu n to 4 ( 2 ; 1) (fig . 103): a) sobro la recta OmA\ b) sobre la parábola O n A , c u y o e je de sim etría es e l e je OY\ c) sobre la p a rá b o la O p A , c u y o e je de sim etría es el e je O X ; d) sobre la lín e a quebrada O t í A ; e) sobre la lín ea quebrada OCA. 2313.

\ 2x y d x + z 2 d y ,

en

la s

m ism as

OA

problem a 2312.

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co n d icio n e s

quo

el

297

Integrales curvilíneas

2314*. ^ ^ U— cu n feren cia o:2 re lo j.

^ tom ándola a lo largo

de

í/2 = a2 en sentido co n tra rio al de

la cir

las agujas del

x = a eos

^ y 2 d x -\ - x 2 d y, don de C es la m itad superior de la elipse c = 6 sen que se sig u e en e l sentido de las agu jas del re lo j.

2 31 6.

\ e o s y d x — sen a’ dy, tom ándola a lo la rg o del segm ento

2315.

AB

A B de la bisectriz del segundo á n g u lo coord en a d o, si la abscisa del pu nto A os igual a 2 y la ordenada del p u n to B igual a 2. 2317. ^ dyi , donde C es e l lazo derech o de la lom nisc ca ta r2= a2 eos 2
a)

^

(3; 4 )

x d y + y d x , b)

(-1; 2)

J

(1; i)

x d x + y d y , c)

<0;1)

^

( x + y ) (d x + d y )9

<0; 0)

<2; i)

d)

^

dX~ 2 dy (Por u n ^ m i n o que n o co rte al e je O X ),

(i; 2)

(x^y) e)

\

(\ 2- 1- 2)

'~x + yd '

X

^ o r un ca m *n 0 (íu e n o c o r t e a ' a r°cta x + y = t y >

y

( * 2; Vi)

í)

J

cp (*) d x - f 1}) (y) dy.

<*1; vi) 2319. H a lla r las fu n cion es prim itiva s de su b in tegra les y c a lc u la r las sigu ientes integrales:

la s

expresiones

(SÔ) ( x i + 4xy*) d x + {6 * V — 5Í/4) \ » (-2 ; -1 ) _ O ;0 ) cai l d n o de in te g ra ció n no se co rta con la b) ^ ^
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298


(3; i) c) í

+

< t;t)

//dy *

cam j no (]e i üte g ra ció n n o se

co rta

3

c o n la recta y = — x ) , (1; íí d) \ (

y ) d x + ( —7= =

+ x \ dy.

2320. C a lcu la r la in teg ra l X dz + ydy

V i + *> + »* ’ tom á n d ola

en

el

sen tido de la s agu jas d e l r e lo j, a l o la r g o del r^2 Jl2 c u a r to de la elipse -^2" + -| r = : l> ?u e se en cu en tra en e l prim er cuadrante. 2 32 1. D em ostrar, que si f (u) es una fu n c ió n c o n tin u a y un con to rn o cerra d o «reg u la r a trozos», la

C

£ / (x 2 + y 2) ( x d x + y dy) = 0.

2 32 2. H a lla r la fu n ció n p rim itiv a U> si: a)

= (2 x + 3?/) d x -\ - (3 x — Ay) dy;

b) dit = (3a:2 — 2 x y + y 2) d x — (a:2 — 2x y -f- 3 y 2) dy; c ) du = e x- v [ ( í + x + y ) d x + ( l — x — y ) d y ) ; j

dx s+ y

.

dy x+y

d) d u = — — ----p - . '

C alcu la r la s sigu ien tes in te g ra le s cu r v ilín e a s , tom adas a l o la rg o d o cu rva s en e l espacio: 2323. ^ (y — z ) d x + (z — x ) d y + ( x — y ) d z , c esp ira de la h é lice c ir c u la r

don de

C

es

una

' x = acos¿, y = asen t , z^ b t, correspon dien tes a

la

v a r ia c ió n

del p a rá m etro

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i desde 0

a 2jt.

es

299

In tegra les curvilíneas

2 3 2 4 . ^ y d x + z d y + x dz, donde C es la circu n feren cia c

X= R y = ^ z =

e o s GC e o s ¿ }

i? eos a sen i ? s e n a (a =

co n st),

recorrid a en e l se n tid o d e l cr e cim ie n to dei parám etro. 2325.

x y d x + y z d y + z x d z , don d e O A os e l a rco

de la

c ir -

ó a

cu n fe re n cia x 1 + y 2 + z2 = 2 R x , z = x f situ a d o por e l la d o del p lan o XO Z y donde y > 0. 2 3 2 6 . C a lcu la r* la s in te g ra le s cu r v ilín e a s de la s d iferen cia les e x a c ta s sig u ie n te s: <6; 4 ; 8)

a)

\

x d x + y d y — z dz,

( i : 0; —3)

(a ; b't c)

b)

^

yzd x + zxdy + xydz,

(i; i; i) (3; 4; 6)

\

f

’

g

+ y dj/+ 2 z

(0; 0; 0,

’

(*= 1/1 ¿ ) d)

^

p

+ z x ^ y -j- x y dz ^

c a m ¡ n0

(i e

in te g ra ció n

está

situ a d o en e l p rim er o cta n te ). B . F ó r m u l a de Green 2 3 2 7 . V a lié n d o s e de l a fó r m u la de G reon, tran sform ar la in te g r a l cu r v ilín e a I ^

d x + y \xy + \ n ( x + V ¿ r T Í ñ } d y, c

don de e l 2328.

c o n to r n o C lim it a un re c in to S. A p lic a n d o la fó r m u la d e G reen, c a lc u la r / = ^ 12 ( x 2 + y2) d x + (x-\- y )2 dy,

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30 0


dondo C os e l co n to rn o do un tr ia n g u lo , cu y o s v é rtic e s están en lo s pu n tos A (1 ; 1), B ( 2; 2) y C { 1; 3) y que se recorre en sen tido p o s itiv o . C om probar el resu ltad o o b te n id o , c a lcu la n d o la in te g ra l directam en te. 2329. A p lica n d o la fó rm u la de G reen, c a lc u la r la in teg ra l § — x * y d x + x y s dy,

donde C con tra rio 2330. parábola es A n B .

es la circu n feren cia x* + y 1' ■=*•7?2, que se recorre en se n tid o ai de las a gu ja s del re lo j. P or los p u n tos A ( 1 ; 0 ) y B (2; 3) se ha tra za d o una A m B , c u y o e je co in cid e con e l e je O Y , y su cuerda H a lla r la * dp

{x + y )d x — (x — y )d y

AmDnA

directam en te, a p lica n d o la fó rm u la de G reen. ^ exy [y 2 d x + (1 + x y ) ¿*/l» si lo s pu n tos A A7nB y B están situ a d os en e l e je O X y el área, lim ita d a p or e l ca m in o de in te g ra ció n A m B y por e l seg m en to A B , es ig u a l a S. 2331. H a lla r

la

2332*. C a lcu la r la & x dy, ~ ,Jf x . E x a m in a r dos casos: o a) cuando e l orig en de coordenadas está fuera dol. co n to rn o C, b) cu an do ol co n to rn o rodea n veces el orig en de coordenadas. 2333**. D em ostrar que si C es una curva cerrada, en ton ces (^) eos ( X , n ) d s = 0, c donde s os la lo n g itu d del a rco y n la n orm a l exterior. 2 33 4. V a lié n d o se de la fórm u la de G roen, h a lla r la

in teg ra l

I = ( § [ x eos ( X , n) + y sen ( X , rc)| d s , c donde ds es la d ife re n cia l del con torn o C. 2335*. C a lcu la r la in tegra l

a rco y

u,

d x — dy

$

x~\- y

C

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la

n orm a l

e x terior

al

In teg ra les curvilíneas

301

tom a d a a lo la r g o d e l co n to rn o del cuadrado que tien e sus v értices on lo s pu n tos A ( 1 ; Q ) , 5 ( 0 : 1 ) , C ( — 1 ; 0 ) y Z>(0; — 1 ), co n la c o n d ic ió n de que e l recorrid o del c o n to r n o so haga en sentido co n tr a r io a l de la s a g u ja s del r o lo j. D . A p l i c a c i o n e s d e l a integra l curvilínea C a lc u la r e l área de la s fig u ra s lim ita d a s p or cu rv a s: 2 3 3 6 . P o r la elip se x = a c o s t , y = b s e n t . 2 3 3 7 . P o r la a stroid e x — a c o s * t , y = a s e n 3 t. 2 3 3 8 . P o r la ca rd ioid e x a (2 eos t — eos 2t),

las sig u ien tes

y = ^ a (2 sen t — sen 2 1) . 2339*. P o r e l lazo del f o liu m de D escartes x ? - ¡ - y~ — 3 a x y •■= = (a > ). 2 3 4 0 . P or la cu rva ( x - \ - y )3 = a xy. 2341*. U na circu n fe re n cia de ra d io r rueda sin resb a la r sobre otra circu n fe re n cia fija , de ra d io 7?, con serván dose siem pre fuera

0

0

d e e l l a . S u p on ien d o que —

sea un núm ero cu tero, h a lla r e l

área

lim ita d a p or la curva (e p ic ic lo id e ) que describe cu a lq u ie ra de los p u n to s de la c ir c u n fe r e n c ia . m ó v il. A n a liz a r e l ca so p a rticu la r en q u e r = R (ca rd ioid e). 2 342*. U n a circu n fe re n cia de radio r rueda sin ,resb a la r por o tra circu n fe re n cia fija , de radio 7?, perm aneciendo siem pre dentro ■de e lla . S u pon ien do que —

sea un núm ero en tero, h a lla r e l

área

lim ita d a p or la cu rva (h ip o c ic lo id e ) descrita p or cu a lq u iera de los p u n to s de la circu n fe re n cia m ó v il. A n a liz a r ol ca so p a rticu la r en que r —

(astroide).

2 3 4 3 . U n ca m p o está en gen d rado p or una fuerza de m agn itu d co n s ta n te F , que tien e la d ir e c c ió n del sem ieje p o s itiv o O X . I ía lla r e l tra b a jo de d ic h o ca m p o, cu a n d o un p u n to m a teria l d escribe, en e l se n tid o de la s a g u ja s del r e lo j, e l cu a rto del c ír c u lo x?-\ -y2 = R (1 q u e se en cu en tra en e l p rim er cu adran te. 2 3 4 4 . H a lla r e l tra b a jo q u o rea liza la fuerza de gravedad al trasladar un p u n to m a te ria l de m asa m y desde la p o sició n A ( x ú Vú z t) h a sta la p o s ic ió n B (x 2; y 2; z 2) (el o jo O Z está d irig id o v o r lic a lm c n t c h a cia a rrib a). 2 3 4 5 . H a lla r e l tra b a jo de una fuerza e lá s tica , d irig id a hacia el o rig e n de coord en a d as, cu y a m a gn itu d os p rop orcion a l a l a lo ja m ie n to del p u n to resp ecto a l o rig e n de coord en a d os, si el punto d e a p lic a c ió n de d ich a fuerza d escribe, en sen tido co n tra rio a l de

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302


las agu jas del re lo j, e l cu a rto de e lip se

- f - p - = * situ a d o en el

prim er cuadrante. 2346. H a lla r la fu n ció n p o te n cia l de la fuerza H { X , Y , Z } y determ inar e l trabajo de dich a fuerza en e l trozo de ca m in o quo se da, si: a) X = 0, Y == 0, Z = — m g (fuerza do gravedad) y el p u n to m a teria l se desplaza desde la p o sició n A (xu y u z x) a la p o s ic ió n £ (*2» 22); b) X — — ^

,

Y = —

,

Z = —

,

donde

¿1 = con st

y

r=y x2 *•)-y 2 +

z2 (fuerza de a tra cció n de N ew ton ) y e l p u n to m ate ria l se desplaza desde la p o sició n A (a , 6, c) hasta e l in fin it o ; c) X — — Y = — A2y, 2 = — k 2z t donde k = co n s t (fuerza clá s tic a ), estando el pu n to in ic ia l del ca m in o en la esfera x2 y2 -\-z2 = R 2 y e l fin a l en la esfera a;2 + y 2 + z2 = r2 ( f í > r ) . § 10. In te g ra le s de superficie 1. Integrales de superficie de primer tipo. / ( x y y , z) una fu n ción con tinu a y z = cp (2 , 1/) una su p o rficie regular ó1. La integral de superficie de primer tipo representa de por sí el lim íte de la suma integral Sea

n

[ [

S

1(X, y, z ) d S = lim y ¡ / ( I ¡ , y i, zí)AS¡, n-voo ”

i—l

donde es el área de un elem ento i de la su perficie S , al que perteneceel punto (s¿, ijiy zí )\ el diám etro m á x im o de estos elem entos en que s o d iv id o la superficie tiendo a cero. E l valor de esta in tegral n o depende del lado do la superficie S que se e lija para la integración. Si la p roy ección a de la su p erficio S sobre el p la n o X O Y es u n ifo rm o , es decir, que cualquier recta paralela al ejo OZ corta a la s u p e r fic ie ó’ en un s o lo punto, la correspondiente integral de su perficie do prim er tip o se puedo calcular por la fórm ula

[ [ / ( * , y, z ) d s = \ í / [ * , y,
S

(a)

Ejemplo

í . Calcular la integral do su p erficio

Ss i

(a?+y + 2)dó\

donde S es la su perficie del cu bo 0 < ; 2 1, 0 - < ¿ f < 1, 0 < z < l . Calculamos la suma de las intégralos do su perficie tom adas sob re la cara, superior del cu bo (z = l ) y sobre la cara in fe rio r del m ism o (z = 0) i t •1 1 * 1 [ Oc + y + l ) <**<*!/ + ^ { (x + y ) d x d y =

n

00

^ ^{2x + 2 y + i ) d x d y = 3.

00

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303

In teg ra les de superficie Es eviden te, que m a y o r e ig u a l a

3a integral de su p e rficie que se busca será

y

tres

veces

(a; -f- y -f- z) dS = 9.

sJ

2o. Integral do superficie de segundo t i pQ. Si P = ^ t z), Q = Q ( x , y , z) y R = R ( x i y t z) son fu n cion es continuas y ó'+ e s la cara de una su p e rficie regular S que se caracteriza por la d irec c ió n de la n orm a l n { c o s a , c o s p , c o s y } , la correspondiente integral de su p erficie de segundo tip o se expresa de la form a siguiente: ^ jj P d y d z + Q d z d x + R d x dy = ^ jj ( P c o s a + í ? cos P + P co s y ) dS.

5+

S

A ] pasar a la otra cara S ~ d e la superficie, esta integral c a m b ia su s i g n o p o r el contrario. S i la su p erficie S está dada de form a im p lícita , F ( x , y , z ) = 0, los c ó s e n o s directores de la n orm a l a esta su p erficie se determ inan p o r las fó rm u la s 1 dF p 1 dF 1 0F C0Sa = l D - W ’ C0S ^ = ~D~ ~dy~ ’ C0^ = - D ~ 3 r ' ________________________________ d on de

y el s ig n o que se pon ga delante d e l ra d ica l dede elegirse de acuerdo con la cara de la su perficio S quo se tome. 3o. Fórmula de Stockes. S i las fu n cion es P ¿ = P (x , y , z), Q — Q ( x , y, z) y R = R ( x y y, z) tienen derivadas continuas y C e s un con t o r n o cerrado, que lim ita una su p erficie b ila tera l S t se v erifica la fórmula de Stockes

í

P dx-\-Q dy-\- R dz —

C

S

d on de c o s a , cos p y c o s y , son lo s co se n o s directores de la n orm a l a la s u p e r fic ie S , deb ien do determ inarse la d ir e c c ió n de la norm al de tal form a que, desde ésta, el re co rrid o d e l co n to rn o C se efectúe en se n tid o con tra rio a l q ue sigu en las agujas del r e lo j (en un sistema de coordenadas do mano derecha).

C a lc u la r la s s ig u ie n te s in te g ra le s de s u p e rficie de p rim or t ip o : 2 34 7.

^ ^ (3 a + ¡/2) AS,

2348.

^ ^ V 'z*-] y 2 dS,

don de S don de S

es es

la esfera la

x z -j- j/2 + z2 = a2.

su p e rficio

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la te ra l

del

304


C a lcu la r tip o :

la s

s ig u ie n te s

in te g r a le s

de

s u p e r fic ie

2 34 9.

\ \ y z d y dz + x z d z d x + x y d x d y , d on d e 's ex terior de la s u p e r fic ie del tetra ed ro lim it a d o x = 0 , y = 0, z = 0, x + y -i-z ^ a . 2 35 0.

^ ^ z d x d y , donde S

es

la

ca ra

S p or

de

segundo

os

la

lo s

cara p la n os

e x te r io r d e l e lip s o id e

*(S)

l í . JÜ. i - ? L - i a* r ¿>2 ¿a — ■ ^ ^ x 2 dy dz + y 2 dz d x z l¿ d x d y , donde S os la ca ra e x te s rio r de Ja s u p e r fic ie de la sein i esfera x * - \ - y 2 z 2 = a 2 (z ;& 0 ). 2 3 5 2 . H a lla r la m asa d e la s u p e r íic io d e l cu b o 0 < ^ < 1 , 0 < z < 1, si la den sid ad s u p e r fic ia l en el p u n to M (x\ y ; z) e s ig u a l a xyz. 235 3. D eterm in a r las coordenadas d e l ce n tro do g ra ved a d de la cá p su la p a ra b ó lic a h om og én ea az — x 2 -\-y2 (0 2 35 4. H a lla r el m o m e n to de in ercia de la parte de s u p e rficie 2 35 1.

la tera l del co n o z = ~\fx2 + y 2 |0 < z < h\ con resp ecto a l eje O Z . 2 35 5. V a lié n d o se de la fó rm u la d e S to ck e s , tra n sform a r las in teg ra les: (x 2 — yz) d x 4 - (y 2 — z x ) d y + (z2 — x y ) dz;

a) c

b) ^ y d x + z d y + x d z . c A p lic a n d o la fó r m u la de S to ck e s, h a lla r la s in te g ra le s que se dan a c o n tin u a c ió n y co m p ro b a r lo s resu ltad os c a lc u lá n d o la s d irecta m en te: 235G. § { y - \ - z ) d x -^ -(z -\ -x ) d y - \ - ( x Jr y ) dz, d on d e C es la cireú n es feren cia x 2 -\~ y^-\-z¿ = a 2, x - \ - y + z — 0. 2 3 5 7 . ^ (y — z) d x -\ - (z — x ) dy-\- ( x — y ) dz, donde C

es la e lip se

c x 2 + y 2 = l , x - \ - z = \. 2 35 8. § x d z + ( z + y) d y - \ - ( x 4 - y - { - z ) d z 1 d on d e

C

c x — a w n t , y = a c o s ¿ , z — a (sen t -|- e o s t) [ 0 < ¿ < 2 j í | .

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es

la

cu rv a

305

Fórm ula de Ostrogradski-Gauss

2359,

y 2 d x - f z 2 dy + x 2 dz,

^

donde

ABCA

es

el

con torn o

AUCA

del A A B C con lo s vértices en lo s pu n tos A (a ; 0; 0 ), B (0; a; 0) y C (0 ; 0; a), 2360. ¿En qué ca so la in tegral cu rv ilín e a I ^ jP d x + Q dy+Rdz c será ig u a l a cero, para cu a lq u ie r co n to rn o cerrado C?

§ 11. Fo rm u la de Ostrogradski-Gauss S es un a s u p e r f ic ie r e g u la r c e r r a d a , q u e lim it a u n v o lu m e n V , P = P ( z f y , z ) y Q = Q(Xy y , z) y R = R ( x , y , z) so n fu n c io n e s c o n tin u a s , Si

y ju n t o c o n s u s d e r iv a d a s p a r c ia le s d e 4 o o r d e n , e n v e r ific a la f ó r m u l a d o O s tr o g r a d s k i-G a u s s

^

( P eos a +
e l r e c in t o

+ ^

+

cerrad o

se

dxdVdz'

8 (V)' donde cosa , cosg y eos y, son ios cosenos directores de la normal exterior a la superficie S. V a lién d o se de la fó rm u la de O strogradsk i-G au ss, transform ar la s sigu ien tes in teg ra les de su p e rficie , sobre las su p e rficie s cerra das 5 , que lim ita n e l v olu m en V (donde c o s a , eos (3 y eos y , son los cosenos directores de la norm al e x terior a la su p e rficie S). 2361.

^ 's

x y d x d y - f yz d y dz -f- z x dz dx.

2 36 2.

^ s

x 2 d y d z y 2 dz d z z 2 d x d y .

2^3

f f

y 2364.

a eos a + y eos p + z eos y ^

y x* + ¿ * + z 2 c o s a + 4 ^ cos ^

cos

) c^ '

s V a lié n d o se de la fórm u la de O strogradski-G auss ca lcu la r las sig u ien tes in tegrales de su p e rficie : 2365.

^ \^x2 d y dz + y 2 d z d x + z 2 d x d y t donde S es la

cara ex

terior de la s u p e r fic ie del cu b o 0 < x < a , 0 < y < a , 0 < z < « . 2366.

^ x d y d z -\ -y d z d x - ^ z d x d y y don de S

20-1016

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es la cara exte-

Integrales múltiples y curvilíneas

306

rio r de la p irá m id e x = 0, y — 0, 2 = 0.

lim ita d a

p or

las

su p e rficie s

\ \ x 3 dydz-\~ys d z d x + z 3 d x d y, V e x terior de la esfera x ¿ + y 2 + z 2 = a 2. 2367.

2 36 8.

donde

x-\-y + z — a f

S

es

la

cara

J Jj ( z 2 eos a - ^ - y 2 eos P -f- z2 eos y ) dS , donde S es la super

fic ie e x terior to ta l d e l con o

2369. D em ostrar, q u e s i 5 os una s u p e rficie cerrada y / cu a l q u ier d irección con stan te, ^ ^ c o s ( n , Z )d S = 0, donde / i es la n orm a l e x te rio r a la s u p e rficie S. 2370. D em ostrar, que e l v o lu m e n F , lim ita d o fic ie S , es igual a

p or

la super

1 p i4 V = y J J (z eos a + sobre los ejes de coordonadas. Las líneas vectoriales ( líneas de fuerza, Líneas de corriente) dol cam po vectorial se deducen del sistema de ecuaciones diferenciales

El cam po osea lar o

dz

dy

ax

ay

v ectoria l que n o

dz az depende del

tiem p o

se

llama

estacionario, m ientras q ue e l que depende del tie m p o , no es estacionario. 2o. G r a d i e n t e .

E l vector

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Elem entos de la teoría de los campos ^

donde V

^

+ ^

307

^

+

- g j ; es el operador de H a m ilto n (nabla), recibo el

nom b re do gradiente d e l cam po U = / (P ) en el punto P (véase el cap. V I . § 6). El gradiente está d ir ig id o p o r la n orm a l r a la superficie de n ivel en el punto P t en el sen tido del crecim iento de la fun ción £/, y tiene una lon g itu d igual a dü dn Si la d irección se da entonces

por el

dU j tt i a - ^ - = grad U ' l = grad¿ u =

vector unitario dt/

dax

&ay

daz

{cosa ,

eos

p, eos y),

Q dU eos p - f - ^ - c o s y.

eos a +

( Derivada de la junción U en la dirección l). 3o. D i v e r g e n c i a y rotor. Se llam a v e cto ria l a (P) = axí-\ -a yJ ^ - a zUy el escalar ..

l

divergencia do

un

campo,

_

d 1V (I — —----- --- -r-— -f-- 2— = V dx

1 dy

'

dz

Recibe ol nombre de rotor do un cam po vectorial a (P) = axi + « / - [ _ a j e . el v ecto r

—

- ( *

- £

) •

+

( *

- *

) '+

( £ - 4 W

- * x . ,

4o. F l u j o d e l v o c t o r. Se denomina flu jo del cam po vectorial a ( P ) y a través de la su p erficie S, en ol sen tido determinado por oí vector u n ita rio do la n orm a l w { c o s a , eos p, eos y ) a dicha su perficie S, la integral \

c m dS — y

an dS =

^ J (ax eos a + ay eos p -j- az eos y ) dS.

Si S es una superficie cerrada, que lim it a un volum en F, y n es e l vector u n ita rio de la norm al e x te rio r a la superficie S, será v á lid a la fórmula de Ostrogradski-Gauss,, cu ya form a v ectoria l es an dS — ^

^ div a d x dy dz.

\

? as d s = J ax dx~\-al/dy-\-az dz

(1)

O y representa do por sí el trabajo del cam po u a lo la rg o de ( as es la p roy e cció n del vector a sobro la tangente u C).

la curva C 20*

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308

Si la curva C es cerrada, la integral lineal (1) se lla m a circulación del cam po vectorial a a lo largo del con torn o C. Si la curva cerrada C lim ita una superficie bilateral S , se v erifica la fórmula de Stockes, cuya form a v ectoria l es ^ a d r = ^ jj n rot a d S =

^ (rot a ) n dS,

donde n os el vector de la n orm a l a la su p erficie S, cuya dirección deberá elegirse do tal m o d o, que para el observador que m ire en el sentido de n , ol re corrid o del co n to r n o C so efectúe en d ire cció n contraria a la que siguen las agujas del r e lo j, cuando el sistema de coordenadas os do m ano derecha. 6o. C a m p o potencial y campo solenoidal. Un cam po vectorial a ( r ) se llama potencial, si a = grad U , donde U = f ( r ) es una fu n ció n escalar (potencial del cam po). Para que sea potencial un cam po a , dado en u n recinto sim plem ente co n e xo, es necesario y su ficiente que a sea irrotacional, os decir, que ro t a = 0. En esto caso e x iste un potencial U, quo se determina p o r la ecuación dU = ax dx-\-ay dy-\-az dz. Si e l potencial U os una fu n ció n u n iform o,

so tiene

\ a d r = U (B) — AB

— V (A)\ en particular, la circu la ción del vector a será igual a cero:

#

a d r = 0.

c

Un cam po vectorial a ( r ) se lla m a solenoidal, si en cada punto del cam po la d iv a = 0 ; en esto caso, el f l u j o del v e ctor a través de cualquier superficie cerrada será igual a cero. Si el cam po es a la vez potencial y so le n o id a l, se tiene d i v ( g r a d £ / ) = 0 y la fun ción potencial U es arm ónica, es decir, satisface a la ecuación ff.217

de Laplace ^

1 dy* >

TJ

JJ

_ ^

>)2

= 0 , o sea A U = 0, donde A = V 2 = - ^

+

es ol operador do Laplace.

2 37 1. D eterm inar l as s u p e r fic ies de n iv e l del ca m p o escalar U — f(r),

donde v ~ \ r x i -\-yi -j - z 2. ¿C uáles

serán

las su perficies

d e n iv e l del cam po U = F ( p), donde p = Y x ~+ !/2? 2 37 2. D eterm inar la s su p e rficie s de n iv e l del ca m p o escalar U = aresen y**+y*

'

2373. D em ostrar, que las líneas v e cto r ia le s dol cam po v e c to ria l a ( P ) = c , donde c es un v e cto r con stan te, son rectas parale las al v ector c.

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309

E lem en tos de la teoría de los campos

2 37 4. H a lla r la s lin ca s v e cto ria le s del cam po a = — coiji + (ú xj , donde o es úna constante. 2 37 5. D educir las fórm u las: a) grad (C 1£/ + C 2V ) = C 1g r a d £ 7 -f C2 grad V % donde Cj y C 2 son constantes; b ) grad (U V ) = U grad V + V grad U\ c ) grad ( t / 2) = 2U grad U ; i ) 8 r .d e) grad (p (Í7) = si U es respectivam en te ig u a l a: a) r, b) r2, c ) y , d) / (r) (r = * Y x * + y 1 + z 2 ). 237 8. H a lla r e l gradiente d e l cam po escalar U = c r , donde c es un v e cto r con stan te. ¿C u á les serán las su p orficies do n iv e l de este cam po y có m o están situadas respecto al v ector c ? 2 37 9. H a lla r la derivada d e la fu n ción U ==“ T + ”| r + 7 á ' en un p u n to dado P ( x , y , 2 ,), en la d ir o cció n d e l ra d io v e cto r r de esto pu n to. ¿E n q u é ca so esta d eriva d a será ig u a l a la m agnitud d e l gradien te? 2380. H a lla r la derivada de la fu n ción £7 = y

en

la d ire cció n

Z {c o s a , eos p, eos y}* ¿E n qué ca so esta derivada es igual a cero? 2 3 8 1 . D educir las fórm u las: a) d i v ( C i« 1+ C 2a 2) = 6,1d i v a 1-¡-CT2 d i v a 21 donde y C 2 son constantes; > b) d iv ( í 7 c ) = g r a d f /* c , donde c es un v e cto r constante; c ) d iv (¿ 7 a ) = grad U - a - \ - U d i v a . 238 2. C a lcu la r la d i v ^ y j . 2 3 8 3 . H a lla r la d iv a para e l ca m p o v ectorial cen tral a(p) = / ( r ) y , donde r = ] / x 2 + í/2 -f-z 2 . 238 4. D e d u cir las fórm u las: a) rot {Cia i - f C2a 2) = C{ rot a x - f C2 rot a 2t donde C { y C2 son constantes; b) r o t ( U c ) = grad ü X c , dondo c es un v e cto r con stan te; c ) rot { U a ) = grad U x a + U rot a .

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310


2385. C a lcu la r la d iv e rg e n cia y e l ro to r del v e cto r a , si a es ig u a l respectivam en te a: a) r ; b) r e y c) f ( r ) c , dónde c es un v e c t o r con stan te. 2 38 6. H a lla r la d iv erg en cia y e l ro to r d e l cam po de la s v e lo cid a d e s lin é a lo s do lo s p u n tos de un cu erp o, q u e g ira co n una v elocid a d an gu lar co co n sta n te , alrededor del e je OZ en d ire cció n con tra ria a la que sig u e n las a gu ja s d e l reloj, 2387. C a lcu la r o l rotor del ca m p o de las v e lo cid a d e s lin ea les u — co X r de lo s pu n tos de un cu erp o, quo g ira co n una v e locid a d a n g u la r ü> con sta n te, alrededor de e je determ in ado que pasa por e l orig en do coordenadas, 2388. C a lcu la r la d iv erg en cia y e l rotor d e l g ra d ie n te de un ca m p o escala r U. 2389. D em ostrar, que d iv (r o t a ) — 0. 2390. V a lié n d o se del teorem a do O strogradski-G au ss, dem ostrar q u e ol f lu jo del v e c to r a - r , a través de una su p e rficie cerrada, q u e lim ita un v olu m en a rb itra rio v , es ig u a l a l tr ip lo de este v olu m en . 2 39 1. H a lla r e l f lu jo del v e c to r r , a tra v é s de la s u p e rficie t o t a l del c ilin d r o x 2 + y 2 < JR2, 0 < z < / / . 2392. H a lla r e l f lu jo del v e cto r a = x H + j + a través X % -\ -

?/2

b) la s u p e r fic ie t o ta l de este m ism o con o. 2393*. C a lcu la r la d iv e rg e n cia y e l f lu jo de la fuerza de a tra c c i ó n j F = — r~ - de un p u n to de. m asa m , situ a d o en

el

o rig e n

de

coordon adas, a través do una s u p e rficie cerrada a rb itra ria que rodea a d ic h o p u n to. 2394. C a lcu la r la in teg ra l lin e a l del v e cto r r a lo la rg o de una esp ira de la h é lice c ir c u la r z = / ? c o s ¿ ; y — R son t\ z * = h t , desde ¿ — 0 hasta t — 2 n. 2395. V a lié n d o s e d e l teorem a de S tock es, c a lc u la r la c ir c u la c i ó n del v e c to r a = x 2y H + j + z h a lo largo de la circu n fe re n cia x 2 + y 2 — R 2\ z = 0, tom an do en ca lid a d de s u p e r fic ie e l h em islo r io * = 2 3 9 6 . D em ostrar, que si F es una fuerza ce n tr a l, es d e c ir, que está d ir ig id a a un p u n to f i j o 0 y dep en d e sola m e n te de la distan c ia r h a sta este p u n to: F — / ( r ) r , donde / (r) es una fu n ció n u n ifo rm e co n tin u a , e l ca m p o será p o te n c ia l. H a lla r e l p o te n cia l U del ca m p o. 2397. H a lla r o l p o te n c ia l U del ca m p o de g r a v ita c ió n , que ongendra un p u n to m a teria l do masa m , situ a d o en e l orig en de coordenadas: a = — a

D em ostrar, q u o e l p o te n cia l

la ecu ación de L a p la ce A U = 0.

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U

sa tisfa ce

Elementos de la teoría de lo s campos

311

2398. Com probar si lo s cam pos v ectoria les que se dan a con ti n u ación tienen p oten cial U y , si lo tienen, h a lla rlo : a) a = (5x 2y — 4x y ) i - f (3** — 2y) j\ b) a ~ y z i -f- z x j - j - x y k ; c ) a = { y - \ - z ) i + (x-\-z) j + (x + y ) k . 2 39 9. D em ostrar, q u e e l cam po cen tra l espacial a = f ( r ) r será fe

solen oid a l s ó lo cu a n d o f ( r ) = “

> donde k — con st.

2 40 0. ¿Será solen oid a l e l cam po v e cto ria l a = r ( c x r ) , donde c es un v e cto r con stan te?

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C apítu lo V I I I

SERIES

1. S e rie s numéricas I o. C o n c e p t o s

principales.

Una serie numérica oo

+ flo + - - * = 2

n= i

Qn

(í)

so lla m a convergente, s i su suma parcial

$n = fli + a2 + •••+ an tiene lím it e cuando n

co . El número «9 = l i m S n recibe el nom bro de suma ?l-*co

do la serie y la cantidad R n = S — S n = : « n + i 4 " a7i+24- •••

el de resto do la serie, ¿¿i ol lím it e lim S n n o e x iste ,

la serie recibe el

7 i— » c O

nom bro do divergen te. Si la serie es convergente, el

lim an = 0 (condición necesaria para la conn-»oo vergencia). Poro La a firm a c ió n inversa n o es cierta. Para que la serio (1) sea convergente es necesario y suficiente que para cualquier número p o s itiv o e se pueda encontrar un N ta l, quo para n > J V y para cu alquier número p o s itiv o /?, se cu m pla la desigualdad

I an+fr<*n+2+ •••

I< e

(criterio de Cauchy). La convorgencia o divergencia do una serie n o se altera s i añade o se suprim e un numero f i n i t o do térm inos. 2°. C r i t e r i o s do c o n v e r g e n c i a y d i v e r g e n c i a de las s e r i e s de t é r m i n o s p o s i t i v o s . a) l c r i t e r i o d e c o m p a r a c i ó n . S i 0 *&an ^ b ní a partir de un determinado n = y la serie c o

Ói + &2+ •••+ bn

2

bn

(2)

n=l

es convergente, la sorio (t) tam b ién será con vorgente. Si por el con tra rio , la serie ( 1) es divergente, la serie (2) tam b ién lo será. En calidad do series com parativas es m u y c ó m o d o tom ar, en particu lar, la progresión geométrica

f ¡ a(tn n=0

(" =£ °)t

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Series numéricas

313

que es convergente cuando | q | < l y divergente cuando armónica

|«7 | > 1, y la serie

co

in

1

n—i que es divergente. E j e m p l o 1. La serie

1*2

2-22 1 3-2» 1 “ 1 /i'2 n

es convergente, ya que aquí 1

ün

1

n-2n < -'2n ’

y la p rogresión geométrica

00 Y J_

On ’

Zj

cu ya ra zón es q = » ~ - f es convergente. E j e m p l o 2. L a serie

ln 2 . In 3 . 2

1

3

. ln n • • • +■ 1 *** ' n 1

es divergente, ya que su térm in o general correspondiente —

TI

es m ayor que

el

térm ino

de la serie arm ónica (que es divergente).

b) II c r i t e r i o

de

comparación.

Si

e x iste

un

l i m f i n i t o n -> c o

On

y diferen te do cero (en particu lar, s i an ~ bn ) t las series (1) y (2) son vergentes o divergentes simultáneamente. E j e m p 1 o 3. La serie

1 * 1j i 1 j 1 + T " r T + " - + S r = T H' - ' es divergente, y a que

1

y la serie c u y o té rm in o general es —

os divorgonto.

E j o m p 1 o 4. L a serie

1 . 1 . 1 2 — 1 1 22— 2 1 2S— 3

” ‘ ’^"271—

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con

314

Series

es convergente, porque

M

/

i

M J 1 * : 1 ? ) “ *• 0 sea w = 2 - 1 F •

y la serie cu yo térm ino general es

es convergente.

¿t

c) C r i t e r i o d e D ’A l e m b e r t . m inado n = n0) y ex iste ol lim ito

Cuando an > 0 (a p a rtir de ún deter

lim 2 "±í = g n->co la serie (1) será convergente, si $ < 1 , y divergente, si < ? > 1 . la convergencia do la serie queda sin esclarecer. E j e m p l o 5. Investigar la convergencia de la serio

A , J L tJ L o. 2 22 23 Solución.

\

2n-

2n

í

Cuando
, "r% ' ’

Aquí

2n - 1 gn

*n+i

n™

,•

„

2« + l 2n+1

’

(2w + 1) 2n

1 ..

” «X“ 2 » + i ( 2 » - l ) - 2

i

L

^ 2»

1

,_ J _ = 2 •

2/i

P o r consiguiente, la serie dada es convergente. d ) C r i t e r i o d o C a u c h y . Cuando an > 0 (a p a rtir de un determ inado n = n0) y existo ol lím ite

térm ino

ilim • nr y — an = q, n-> la serie (1) es convergente, si « ? < 4 , y divergente, s i < y > l . En e l ca so en que «7= 1, la convergencia do la serie quede sin esclarecer. e) C r i t e r i o i n t e g r a l d e C a u c h y . Si an = - f (n), donde la fun c i ó n / (z ) es p o sitiv a , m on óton a decreciente y c o n tin u a cuando s > a > 1, la serie (1) y la integral oo

/ ( X) dx

a s o n convergentes o divergentes simultáneamente. V a lié n d o se del criterio integral se demuestra que la serie de D irichlet co

S i r n=l

<3 >

es convergente, si p > l » y d ivorg on íe, si p < 4 . La convergencia de muchas serios se puede investigar com p a rá n d olas co n la correspondiente serie do D irichlet (3).

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Series numéricas Ejemplo

315

tí. in vestiga r la convergencia de la serie 1 • 1 • 1 + ...+ 1 1 «2 ' 3 -4 1 5 -6 1 ' (2n — 1) 2n 1

Solución.

Tenemos:

1

1

(2n — 1) 2n

1

1

4 fl*

1_ 2n

4n* '

Com o la serie de D irich le t cuando p = 2 es convergente, basándose en el 11 c r ite r io de co m p a ra ció n puedo afirm arse que la serie dada tam bién es convergente. 3 o. C r i t e r i o d e c o n v e r g e n c i a d e l a s s e r i o s d e t é r m i n o s p o s i t i v o s y n e g a t i v o s . Si la serie

I ai I+ 1a¿ I+ •••+ 1 an 1+ •••»

(4)

form ada p o r lo s valores absolutos de lo s térm inos de la serie (1) es con vergente, la serie (1) tam bién es con vergente y recibe el nombro do absolu tam ente convergente. Si p o r el c o n tra rio , la serio (1) es convergente, m ien tras que la (4) es divergente, ia serio (1) se lla m a condicionalmente conver gente. Para averiguar si la serie (1) es absolutam ente convergente pueden em plearse para la serie (4) lo s ya c o n o cid o s crite rio s do convergencia de las series de térm in os p o s itiv o s . En particular, la serie ( í ) será absolutamente con vergente, si

an+l an

lim n - T co

En el c a s o general,

de

divergencia

serie

do

la

la

<

n

1 o lim y |an |< 1. n -v o o

divergoncia d e la (1).

Pero

si

ol

serie (4) n o lim

*n+l <*n

n - ‘ ce

se desprende la >1

o

lim an |> 1, en ton ces será divergente n o s ó l o la serie (4), sin o n-*oo la serie (1). . C r i t e r i o d e L o i b n i z . Si para una serie alternada

bien

tam bién

— ^2+ ^ 3—^4+•••(&» > 0 ) se cu m p len las co n d icion es: 1)

el

(*>)

> 62 > ¿3 > • ••> - )

lim 6^ = 0, la serio (5) n -* c o

será convergente. Para e l resto de la serie i?n , en este ca30, será v á lid a la acotación

I Rn I Ejem plo

7. In vestiga r la convergencia do la serie

S o l u c i ó n . T om a m os la serie de nos de la serie dada: ( 2 \2 , ( 3 \3 § / 4

lo s t

v a lores absolutos de lo s té rm i t ¡

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n

316

Series

Como

lim / O

1

Z r = lim - = lim —1 / ,l_ co2re — 1

1_ n

- 4 ., 2

la serie dada es absolutam ente convergente. E j e m p 1 0 8. La serie

os convergente, ya que se cu m plen las co n d icion es del criterio de Leibniz. Pero converge 110 absolutam ente (condicionalm ente), y a que la serie

1 1

1

1+ T + T + - " + 7 r + " es divergonte (serie arm ónica). O b s e r v a c i ó n . Para que las series alternadas sean convergentes, n o es su ficiente que su te rm in o general tienda a cero. E l criterio cíe Leibniz afirm a únicamento, que la serio alternativa converge s i el valor absoluto del té rm in o general de la m ism a tiende a cero m o n ó t o n a m e n t e . P o r e jem p lo , la serie

-

1 • 1

5

2

1 lJL_

52

+ ± _ _ l +

es divergente, a pesar de que su térm ino general tiende a cero (la v ariación m on óton a del v a lo r a b solu to de este térm ino general, aquí, naturalm ente, n o so cum ple). Efectivam ente, en este ca so 6T2&= »S’fe-|-‘S,fc* donde

+ y el lím ite

J -4 -+ ...+ Í .,

5 h = -(-1 + -^ + ...+ -^ -),

liin ¿ ' ¿ - f c o {Sk es la suma parcial de la serio a rm ón ica), m ien -

k~*O0

9}

tt

tras que el l i m S k e x iste y es f i n i t o (Sk es la suma parcial de la progresión fc-foo geom étrica, que es convergente), p o r consiguiente, iiai S 2h = co.

k-*co

P o r otra parte, para quo la serie alternada sea con%'ergente, n o es nece sario que se cum pla e l criterio de Leibniz, y a que la sorie alternada puede ser convergente, s i el valor absolu to de su térm ino general tiende a cero de form a no m onótona. A sí, la serie

•

1

1 3» o;i 22 1

/.<>. 42

. 1 1 ••' 1 ( l n — 1)3

1

(2« ) 2

■

es convergente, y además absolutam ente, a pesar de que e l crite rio de Lefbjiíz no se cum ple, puesto que el v a lo r absolu to del térm ino general d e la serio, aunque tiendo a cero, no lo hace m onótonam ente. 4o S e r i e s de t é r m i n o s c o m p l e j o s . La serie quo tiene por tér m in o genera \cn = a n-\-ibn (¿2= — 1) es convergente si, y s ó l o si, s o n convergentes 03

simultáneam ente las seríes de sus térm inos reales

^ n= 1

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OO

an Y 2 n=l

y

este

Serles

numéricas

< «= 2

-»+ * 2

31 7

caso,

2

n= 1

n=í

<6>

n=l

La serie
2 n—1

2 ^ an-\-bm n—i

cu y o s térm inos son los m ó d u lo s de lo s d o la serie (G). 5o. O p e r a c i o n e s c o n l a s s e r i e s . a) Cada u n o de lo s térm inos do una serie convergente puede m u lt ip li carse p o r u n núm ero cualquiera k, os decir, si a l +

a 2 +

• •• +

* » +

• •• =

se tendrá ha ^+ hag + •••+ han + . . . — kS . b) Se entiende por suma (o resta) de dos series convergentes « i-| -a 2

- f a n + . . . = ó ,1,

(7)

&I + &2+ - ••+ ft/» + •••

(®)

Ja correspondiente serie

(flj ± &i) + (^2 ± &2) + •••+ (flr* =t &«) + . . . = *^1 i c ) So lla m a producto de las series (7) y (8), la serie c \ + c' ¿ + ••• + £

*

+

•

0*2. (

9

)

donde = a j& n + fl2&n-i + an¿,t (n = l , 2 , . . . ) . S i las series (7) y (8) son absolutam en te convergentes, la serio (9) también l o seré y su suma será igual a d) si una serie es absolutam ente con vorgcnto, su sum a n o varía cuando se al tora ol orden de sus térm inos. Esta propiedad n o tiene lugar cuando la con vergen cia n o es absoluta.

E scrib ir la fó rm u la m ás sim p le d e l térm in o en ésim o de sig u ie n te s series, de a cu erd o con lo s térm in os que se in d ica n :

las

2 4 0 Í.

i + | + | + | + ...

2 40 7. | + | + ¿ + ¿ + ¿ + ¿ + ...

2 40 2.

l + | + f 4 +

2408. l + g

2 40 3.

l + * +

. . .

» + 4 . + ...

2 40 4. 1 + 4 + 4 + 1 + . . .

9 ' 1G

2405.

+ J ^ + ^

« ^

+ ...

2409- 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + . . . 2410. 1 + -S- + 3 + 4 + 5 + - ¡ r + *

+

240 6. 4 - , 4 + ^ + 8 + . . .

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318

Series

E n lo s problem as N prim eros térm inos de la q u e ya se conoce.

2411. 2412.

.

an =

a IL

2411-2415 es necesario e scrib ir l o s 4 6 5 serie, partien do del térm in o g en eral dn

2414.

=* ( - 2n l )n * .

=

. ^ 2 + sen

2 4 1 5 . a n- =

j cos /¿jx n:

2 4 1 3 .a n = i ± í ^ ) l . In vestiga r la con v erg en cia de la s series sigu ien tes, valién dose de los criterios de co m p a ra ció n (o de la co n d ició n necesaria): 2416. l — l - j - l — 1 - L . l ) " “ i ^

• 4

+

i ( 4

M

( i r +

M I S . | + |_ + J . + 2419.

4

( 4

r +

-

~2n-\-i +

+ f i o ^ I 10

fio

- +

... + & F L +

...

2 4 2 0 . y + T + T + • • • + ‘¿ T " f" ' • • M 21, n + é + ¿ +

2422.

—

^ ío n + i+

"•

~ y _ - f y — + y ~ ~ + ■••+

+ ...

2423. 2 + - ? - + ^ . + . . . ■ 2" •

2424- ‘ +

2

'

é

+ f s + '-'T 7 ; +

2425. 2426.

.............

3

+

± + l^ -_ + l L + 2 3 T /2 4 1 /3

1

.

3

.

- "

...

V a lié n d o se del crite rio g en cia de la s series:

9 / 97

n

5

.

... . . . +

------(n + l ) V «

de

D ’A lem b ert, .

3n—1

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in vestiga r

la

con v er

Series

319

numéricas

V a lié n d o s e del c r it e r io do C a u ch y , de la s series:

in v e stig a r

2429. » + ( » ) • + ( * ) ■ + , . . + ( £ & ) - + 2 4 3 0 .i+ ( i) , + (4 ), +

la

con vergen cia

...

... + (5 Í r if - ‘ +

-

In v estig a r la co n v e rg e n cia d e la s sig u ien tes series de p ositiv os: 2 43 1. 1 + - ^ - + - ^ * + • •- b - I 2432.

+ • •• +

térm inos

•••

(n + if-i + 1

2433- é i + é í + r h Q +

(3n — 2 ) ( 3 r e + l )

•••

o/o/ 1 . 4 9 2434. - ~ 4 - r 4 — 4

...

2435.

+

. . . + _ + _ +

o/. qí*

3

3

^ OD-

9

+

,

5

,

( i ) '+

( » ) Í +

0 //1 2

11 241

,

'

' •’

...

,

2* + l

!

42.52 “ r • • • "T (w + 1y¿(„ j_ 2 )2

(* )• + ... + ( * ■ ) ■ + . . .

‘ + ( ¿ ) l +

2439. i . + ^ - + Í J .+ 2440. 1

*2 2*2 + 1

7

22-3^ ■*" 3*¿ *4‘2 ^

M I. 4 + * 8 .

11) 1

,

... + ( g | } ) í +

...

...+ • £

2 ■A . I 2"-* o;» "T' • * - '1 2* 1r 33 *„ n 1 2* + 224 1

1

i 23 + í

, *‘

2n 4 1

*’ ‘

2444. i + £ + £ + . . . + 1 ^ ¡ J r + . . . <>/!/,!*

1 j . 1 -3 .

1,3 ,5

■

2443.

— - h 4.8 + 4 .8 .12~''

0444

<1!)2

o ,/C

,

(2!)2

,

(3!)2

,

1000-1002

,

1

1 -3 -5 . . . (2n — 1)

' ‘ '+ ,

4 -8-12 . . . 4 » + " -

, («O 2

,

4000-1002-1004

,

244 5. 1 0 0 0 ^ ------- ^ ------+ ---------1 ^ 7 -------- + . . . 1000-1002-1004 . . . (998+ 2n) , 1 -4-7 . . . (3 /1 -2 ) ’ 1" " -

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Series

320

2446.

2 , 2 -5 -8 , 1 + 1 -5 -9 '

2447.

1 , 1 - 5 2 2 -4-6 ' 1

,

1 -11

, 2 -5 -8 -1 1 -14 . . . (6n — 7) (6 n — 4) , 1 -5 -9 -1 3 -1 7 . . . (8ra— 1 1 ) (8n — 7) 1 - 5 - 9 . . . ( 4 * — 3) •••■*" 2 - 4 - 6 - 8 - 1 0 . . . <4n— 4) (4n— 2) ,

1 -1 1 -2 1

2448.

T T -1

2 44 9.

H , 1-4 , 1 -4 -9 , 1 "1T 3 3 ' + ' l - 3 . 5 - 7 - 9 ‘

S T " 1"

51

,

‘ *

, 1 -1 1 -2 1 ... (1 0 /2 -9 ) ,

■+• • • ■+

(2re— 1)1

, 1 - 4 - 9 . . . n2 , • • •"*' 1 - 3 - 5 - 7 - 9 . . . ( 4 * - 3 ) ^

no

’ ' *

CO

2 45 0. ^

a r c s e u .

ti

2 45 9.

I7"

n = l

•

ti

V «(n + D

oo no

V a « 2451. Z ' s e n l F »l=l /

1

\

2

4

6

1

.

y

.

1

1 2n l n n + V l n ^ °°

OO

*2 + 1 ' ^

2453. 2 n -‘ t oo

2 46 2. Y ^

— - J ----- 7= . n y n - /n

2463. V Y

fi - ÍnL _

(2n— 1) (5 jTn

^

2454.

CO

7 1 =2

2464. ^

co

( l — COS-^-j .

n = l

y . 1

n Inn

0 ,,.r ni 2 46 5. 2 j ~¿ñ ■ l=n

» -2 oo

co

2456. y . 1 n 1q“ n n=2

2nn! ^ •

2466. 2 n = l

ex»

2

.

oo

71=1

2 45 7.

-

71=1

2 45 2. 2 l n ( l + | ) .

2 45 5.

1 -

2460. y , ± . V » (« + 1 ) ( * + 2)

ex»

n- l nn- l nl nn '

■

2467. 2

« = 2

n = l

2458. S ^ T -

2468*. 2

n = 2

-¡^ i.

n = l co

2 46 9. D om ostrar, que la serie 2

““T T n* ln« n

n=2

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*

1)

.

S eries numéricas

1) es q > 1 , si 2) es g < 1 , si

con v erg en te, cu a lq u iera q u e p = 1; d iv e rg e n te , cu alqu iera q u e p = l. A v e rig u a r la con v erg en cia ¡jde las S i son con vergen tes, com prob ar s i lo m ente. 4

O ,í 7 f í

1

2 47 1. 1 o / 7o ¿W ¿.

,

>

1/2

1

, ( - 1 ) 71” 1

+

321

sea j ,

si

p > l ,

y

cu an do

sea

si

p e 1,

y

cuando

g,

sigu ien tes series altern adas. son a b solu ta o c o n d ic io n a l

,

‘ V3

^

i 1 ,1 , ( — l)” -1 , 1 — - j - f -g-— . . . n------ ~s~ - p . . . ^

^ . 3

l - y

M 74- A 2475.

+

13-

- á +

—

Á +

l )” -1 n .

. { ••• +

— 6 ñ - 5 -------

- - - + +

( - ‘r ' ^ Í r , + ••• + ( — ! )

2

. . . + ( — l)n

- i + ^

d

r - í i j v 1 ^ - S '7

— 1 (

2479

1 -

— 4 -¿ l i l i

Zi/J-

7

7 -9 ^ 7 .9 -4 1

4 -(

n + — ------ + . . . (» + l ) V / r + l - y

< - « * ( i í í r + . . . 1 ^ n -i3 - 5 - 7 . . . ( 2 r t - f l )

" 78# T ^ r 5 + 2 X 8 “" ‘ ' - + ( _ ' 1)

2481.

'75

-I — + — | -----------------¿ ------- f . . . 2 l/2 —1 3 l/3 — l 4 1 /4 -1

2476.

n ,o r»

--

2-5.8~:(3n-l)+*-*

j\n-i 1 * 4 - 7 . . . ( 3 b - 2 ) ^

7-9-11 . . . ( 2 k + 5 ) 1 •

s e n a , sen 2 a . , sen n a -7ln —77T 1 TíTTTmif 10 1 (ln 10)2 • ' • •• H 1 (ln 10)1

^

( - D n~ -

71=1 CO

248 2. 2 7 1= 1

( — 1)7I_1 *8 ~ T 7 jj‘ • ^

'

248 3. C erciorarse de q u e el crite rio d e con vergen cia de D ’ A lem b ert n o resu elve el problem a d e l escla re cim ie n to de la 2 1 — 1016

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Series

322

oo con v erg en cia d e la serie

2

a n> don de

n— I

*¿k—i

=

a 2k-i

»

0

(A’= J , 2, • . . ),

a 2k —

m ientras q u e con ayuda del cr ite rio d e C a u ch y se puede com prob ar q u e esta serie es con v erg en te. 2484*. C erciorarse de que e l c r ite r io d e L eib n iz no es a p lica b le a las serios a lte rn a tiv a s a) — d ). C om probar, cu á le s de estas series son divergen tes, cu á le s con v erg en tes co n d icio n a lm e n te y cu á les a bsolu ta m en te con vergen tes:

ai

i

1

a;

1/2— 1

q/2+1

.

.

1__1 ~l/ 3 — 1

1/ 3 + í

( ° 2ft- , = M .

1

1

1

1

>

3

2

33

22

1_________ i V '4 - l

v /íT í-r

1/ 4 + 1

%

= "

. 31 31 -t-

1 32 . 15

t

o

) :

1 36

+ •• • (««■-* =

c ;\ ii

v

«2A= - ¿ = r ) ;

J 3;{_ + . . . ( a 2fc-. = 2j— P

— íífc) :

A\ T1 - l + T - T1 +i n1 _ T1 +i . . . d)

( a 2ft-l= 4 ^ — i . « 2 f t = — 4 ^ 3 3 ) '

In vestiga r la co n v e rg e n cia de la s sig u ie n te s series de co m p le jo s:

OO » <

2485.

2

2

+

2 48 9. y

¿ )n

2 '*

00

2

( 2 ¿

—

1 ) ^

i

3n

=

1

2490.

2

(»+0 v *

l OO

00 1

2487.

~ n +

00 «

n

V

n = l

n = l

2 48 6.

1

2 n = l

*(3 +

1

2491. * ) n

2

’ n

~

[ *

+

( 2

n

(

/ 1

- 1

) *

! *

l

00

2 48 8. ^ n

=

n i

9

2 49 2.

V

f

2

-

¿

)

+

l

L ^ (3 — 20 — 3¿ n » l

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térm in os

323

Series numéricos

2 4 9 3 . E n tre las cu rva s y ^ ~ ~ e y = - ^ - ,

a

la

derecha

de

su

p u n to de in te rs e cció n , se h an co n stru id o segm entos p a ra lelos al eje O Y y que guardan entre s í d ista n cia s ig u a les. ¿Será fin ita la sum a de la s lo n g itu d e s d e estos .segmentos? 249 4. ¿Será fin ita la sum a d e las lo n g itu d e s de lo s segm entos de q u e se h a b la en el

problem a a n terior, si la curva y = -¿¿- s e sus-

titu y e por la curva y = — ? X

oo

2 49 5. F orm ar la sum a d e la s series

2

oo

y

n = l

2 n = l

¿Será con v e rg e n te esta sum a? co

249 6. F orm ar la d iferen cia de la s series divergen tes

2

—t

«= i y 2

e in v e s tig a r su co n v erg en cia .

n = l

2 4 9 7 . ¿S erá co n v e rg e n te la serie q u e resu lta de restar la OO

serie

co

2 n=t

d e la s e rie 2 í ? n—1 2 4 9 8 . B u sca r dos series ta le s, y su d iferen cia d iv erg en te.

q u e su

sum a sea con vergen te oo

2 4 9 9 . F orm ar e l p ro d u cto de la s series

Y , — -— nya «=1 v

v y

"Y. n=1

1 2 » -i

■

E ste p rod u cto ¿será con vergen te? 2 5 0 0 . F orm ar la

serio

(1+ 1 + - I +

... + _*_ + ...

.

¿Ser¿

con v erg en te esta serie? 2501. S é d a l a

serio

- l + - ¿ —

...

A pre

cia r el v a lo r d e l error q u e se co m e te al s u s titu ir la sum a d e esta serie p or la sum a d e sus cu a tro prim eros térm in os y por la suma do sus c in c o prim eros térm in os. ¿Q ué puede d ecirse d e lo s signos d e estos errores? 2502*. A c o ta r e l error que se co m e te al s u s titu ir la suma de la serie

T + T ( T ) V H T ) '+ - - - + - = r ( T ) '+ . . . p o r la sum a d e sus n prim eros térm in os.

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324

Series

2503- A c o ta r e l error q u e se co m e te la serie

1 4- _L. j _ _ L 4_ A^

21 ^

3! ^

’ *’

a]

s u s titu ir la

-u — 4ni T

sum a

de

•••

p or la sum a de su s « prim eros té rm in o s. E n p a rticu la r, a cota r la ex a ctitu d de esta a p ro x im a ció n cu a n d o n — 10. 2504**, A co ta r e l error q u e se co m e te a l s u s titu ir la sum a de la serie .

1

1

i~

, 22

1 '

, 32

, '

'

'

i

■ ~t" n 2

l

' •‘

p o r la su m a d e sus n prim eros té r m in o s . E n p a rticu la r, a cota r la e x a ctitu d de esta a p ro x im a ció n cu a n d o « = 1000. 2 5 0 5 *. A c o ta r el error que se co m e te a l s u s titu ir la sum a de la serie . / i

( 1 \ 2

t

)

\ 2 n- 2

/ 1

+ 3 (t )

por la sum a de sus n prim eros té rm in o s.

00

„

2 50 6. ¿C u án tos té rm in o s de la serie

/

a\n—1

> j -i— ^------ h a y q u e tom ar n —1

para c a lc u la r su sum a con e x a ctitu d desde 0 ,0 1 hasta 0 ,0 0 1 ? oo

2 50 7. ¿C uántos térm in os de la serie 2

f f i t + l ) 5n~ ^ ay q u e tom ar

n=t

para c a lc u la r su sum a c o n e x a ctitu d hasta 0 ,0 1 . 0 ,0 0 1 2508*. H a lla r la su m a d e la serie 1

, 1

1- 2

, 1

2- 3

,

3- 4

1 *‘

y

0 ,0 0 0 1 ?

i

n ( n + 1) "1~ * ' *

250 9. H a lla r la su m a d e la serie

§ 2. S e ríe s de fu nciones 1°. C a m p o d e c o n v e r g e n c i a . 1£1 c o n ju n to argum ento x y para lo s que la serie de fu n cio n e s

de

lo s

valores

li (*) + / í ( * ) + •* •+ /n (*) _t" •* • es convergente, se lla m a

cam po de convergencia

ele esta serie.

del

(1) L

fu n ció n

S ( s ) — l i m S n (z), n -* -c o

donde S n { x ) — /« (x)-\ -fz ( * ) + . - • + / » ( * ) y x pertenece a l ca m p o de c o n v e r gencia, recibo e l nom bre de suma do la serie, y B n {x) = S ( x ) — S n (*), el de resto de la serie.

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325

Series de funciones

En lo s casos m ás sim p les, para d eterm inar el ca m p o de convergencia de la serie (1) basta a p lica r a esta serie lo s c o n o cid o s crite rio s de con ver gencia, con sid era n do x f i j o . E j e m p l o 1. D eterm inar e l ca m p o de convergencia d e la serie x+\ 1 .2 Solución. serie, tendremos

{* + !)* (* + D » + 2-2 z + 3 -2 * +

D esign ando

, im

.

W

por m e d io de un el térm in o general

iinj

I“ni

, (* + ?£ ■ + n ' 2 n + , '•

i x + i r 1^ »

2

Basándose en ol crite rio d e D *A lem bort se puede a firm a r que con verg en te ( y además absolutam ente con vergen te), s i

07/7tf

104

i; la serie es d iverg en te, s i

< z < —3 o

si

a rm ó n ica 1 —1

l < s < c o

1 f

q

u

< 1» es decir,

flfc

si — 3 < x <

4

^

la serie es

-f F i g.

.

la

_ i«+n.

2 * «("+ i> l* + l| “

-3

de

(fig . e

104).

^>*, Cuando x = í

es d ivergento, y

e s decir, se

si — c o <

obtiene

i

cuando Xf= — 3,

la

serio

la serie

“ •> q110 (d0 acuerdo con e l crite rio de L eib n iz) es convergente

(pero n o absolutam ente). E s decir, la serio con verge cuando — 3 < x < l . 2o. S e r i e s d o p o t e n c i a s . Para toda serie de potencias c0 + Ci ( i — a) + c2 (ar — a ) * - f

(x — a)n + . . .

(3)

(cn y a so n núm eros reales) ex iste u n in te rv a lo (intervalo de convergencia) | x — a | < / t con cen tro en e l p u n to x = a, en c u y o in torior la serie (3) es absolutum ente convergente; cu a n d o |a:— a 1 > i? la serie es divergente. E l radio de convergencia R puedo ser en casos particulares igual a 0 y a co . En lo s pu n tos ex trem os dol in te rv a lo de con vergen cia x = a ± . R puedo tenor lu gar, tauto la co n v erg en cia , co m o la divergoncia de la serie de potencias. E l in terv a lo do con vergen cia se determina generalm ente p o r m edio de los crite rio s d o D ’Alcrnbert o de C auchy, a p licá n d olo s a la serie formada por los valores a b solu tos do lo s térm in os de la serio dada (3). A p lic a n d o a la serie do lo s valores absolutos 1*0 I + 1c i I I

a I + •••+ 1 cn 11 * - a

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...

Series

los criterios de D’Alembert y de Cauchy, obtenemos respectivamente las siguíontcs fórmalas para el raaio de convergencia de la serie de potencias (3); R=

.

4 ? =

lim Y I cn I n-voo

y

«=liin |-^-I. n-*cc | cn+i I

No o b sta n te, h a y que e m p le a r lo s co n mucha p re ca u ció n , ya q u e , frecu en tem en te, io s lím it e s q ue figu ran on lo s segu n dos m ie m b ro s do estas f ó r m u las n o e x iste n . A sí, p o r e je m p lo , s i u n c o n ju n t o i n f i n i t o de c o e f ic i e n t e s cn so anula ( l o que, en p a rticu la r, ocurre cuando la serio co n sta sola m en te rio térm in os do p oten cia s pares, o so la m e n to de potencias im p a res de ( z — a))t 110 se pueden em p le a r las fó r m u la s in d icad as. D e b id o a e sto , se recom ien d a
W

+ 2o==J:o + ¿l/o) c h iste un d ete rm in a d o c í r c u l o (circulo de con ver gencia) |z — z0 \<^H co n e l ce n tro en el punto z = ¿ z 0, en c u y o in te r io r la serie es absolu ta m en te c o n v e rg e n te ; cu a n d o \z — la s e r ie es d i v e r gente. En lo s pu n tos situ a d os en la m ism a c ir c u n fe r e n c ia de esto c ír c u lo do co n v e rg e n cia , la serie (4) puede ser ta n to co n v e rg e n te co m o d iv org on tc. E l c í r c u l o de co n ve rg en cia so determ in a , g e n e ra lm e n te , v a lié n d o s e d e lo s crite rio s de D ’ A le m b e r t o d e C auchy, a p lic a d o s a la serie I co I + 1<4 | • I z — zo 1+ 1cz I ' I 2 ~ 2o I2 + •• •+ 1 cn I * I2 — zo in + •••» c u y o s térm in os son lo s m ó d u lo s d e lo s d o la s e r ie dada. A s í, p o r e j . , u t iliz a n d o el c r i t e r i o d e D ’ A le m b e rt es fá cil observar do q ue el c í r c u l o de co n ve rg en cia de la serie g -j-1

t

1-2 "1

(s +

l)S

2 ^

t

< « + 1 )3

,

,

(* +

! ) ”

n .2n

3-23

está determ inado p o r la d esig u a ld a d | z - f - l | < 2 (basta re p e tir las o p e r a c i o nes q uo so h icie r o n en la pag. 288 para determ in a r el in te r v a lo d e c o n v e r gen cia de la serie (2), y s u stitu ir x p o r z). E l c e n t r o d o l c ír c u lo d e c o n v e r g e n cia esta on el punto z = — t , y e l ra d io H de esto c ír c u lo ( r a d i o de co n v e rg e n cia ) o s ig u a l a 2. 3 ° . C o n v o r g o n c i a u n i f o r m o , La serie de fu n cion es (1) co n v e rg e u n iform em en te en un in te rv a lo d e te rm in a d o, si para c u a lq u ie r e > O s e puede h a lla r u n N ta l, q ue n o depen de de x , q u e cu a n d o n > TV, para todos lo s v a lores d o x d e l in te rv a lo d a d o , so cu m p le la d esig u a ld a d I Rn (*) |< e , donde fín ( x ) es ol resto de la serie dada. Si |l n (x) |^ e n (n = l , 2, . . . ) para y la s e r ie num érica fX>

2

cn es con verg en te, la s e r ie de f u n c io n e s (1) será a b so lu ta y

un iform e-

74=1

m en te co n verg en te en ol segm ento [a, b| (criterio de La serio d e p oten cia s (3) con verge a b so lu ta y uier segm ento situ ado d e n tro de su in te r v a lo do o potencias (3) se puede d e riva r e in teg ra r térm ino in te r v a lo de con verg e n cia (cuando | x — a | < / ? ) , es

3

* o + * i ( * — a ) + c 2 ( * — a )2 +

••- + * n ( x —

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W eierstra ss). u n ifo rm e m e n te en c u a l con vorg on cia . La serie a té rm in o d e n tr o de su d e c ir , q ue si = /

(x ),

(f>)

327

Series de funciones entonces, tenem os:

para

cu a lq u ier

c i+ 2 c 2 ( x —

X

del in te r v a lo

de con vergen cia

a ) + . . . + n c n (x — a ) * " 1 -*-

X

x ^ i? , ( a : — a) d x +

^ c 0 ¿/£ + xo

x

la serie (3)

= /' (* ).

(6 )

X

^ c 2 (x — a)z dx-\- . . . —

xo

do

X<)

c * (a: — a)n d x - f - . . . = xo

■

¿ c , te= y

(7)

n = 0

xo

(el núm ero x 0 tam b ién pertenece a l in te r v a lo d e con vergen cia d e la serio (3)) Adem ás, las series (6) y (7) tienen el m ism o in terv a lo de con vergen cia que la serie (3).

H a lla r e l ca m p o de con v erg en cia de las series: OQ

2 61 0.

OO

2

L .

2 51 8. 2

^

n=l

n=l

co

OO

2511. 2

25<9- 2 7 5 ^ 0 ^ •

n= 1

n=l O 0

O O

2512.

2

( - l ) n+* ^

n=t

o siq

-

2 52 0.

71

— 2« — 1)2-

¿

2

2” « n p

•

2 52 2.

¿

.

2523.

n=0

J

.

x

oo

{ - l ) n+íe - " s e n * .

2524*. 2

(a7n - f - - ^ j ) .

n=0

7 i= l

oo

co

2 71—1

^

•

n = l

oo

2 51 7.

=

o o

J S " ”

2

¡ 4

n=l

c o

2 51 6.

2 « -j-1 (7r+i,oT2ñ •

j

n=0

n=0

2515-

•

X’ •

n= l

2 51 4.

2 co

X ' sen (2rc— 1 }* j

^ ___

n=l

o o

2

.

•

2 52 5.

2 *“• 7l= -l

H a lla r el in te rv a lo de con v erg en cia de las sigu ien tes series de p oten cia s e in v e stig a r la con v erg en cia en lo s extrem os de dich o

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328

Series

in te rv a lo : oo

252 6.

oo

2539. ^ "^ T • n=l co

2 * “n=0 03

2527.

-ci

*n

2540.

71=1

y. n ón*Id n 71= 2 co

CO

«SH aj2R-l 2528. 2j 71=1 03 2 52 9.

2541.

‘

2 * n! n=í co

2542**.

2 l (472— 3)2 ' 71=1

2 « !* n'71=1

oo

2 53 0.

2

2 6 4 3 *- 2

n

n —i oo

2531. 2

03 VI XnU 2 5 4 4 *. 2 V • n =í

(ft-t-l)5s 2n • 2n + l

oo

OO

^ ( - l ) n( 2 » + l ) V \ t»=0 2546. n—i. n! '

Y ( g - 3 ) tt Ti- 5n n= 1 03

oo

2534.

~ 5 )* 2-3* '

n=l 03

co

2533.

•

^

n= l

n —0

2532.

.n 2

°°

(— 1

2 relar". n—1

71= 1

9a

*

CO

2535.

¿ $ 71=1

■

2548. ^ ( - 1) 71= 1

W-l (*

CO

2 53 6.

Z i

Tl=l

Un+ l )

‘

2549. ¿ n—i

03

OO

2537. 2 3 "V * . n=0

2 55 0.

2 n=l

( f )"

2 71=1

co

***■

.

2551.

£

71=1

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'>n ( * + 3 ) n

— 2 ) 2”

329

Series de funciones oo

9552

V 2j

^)n (2n — 1).2n •

2558. ¿

J fí ^ -

n=l

71=1

co

w -

h

n=l

- t r ^

S

S

^

-

2559*. 2 n=l

OO

oo

2554. ^ n=l

( l + - i ) ” 2 (* -1 )"-

w! (* + 3 )* 7171

2 5 6 0 .2 OO

(* + i)» 2555,

.

2 5 6 i . 2 ( - D n^ q : r ( * - 2 r .

2 ( ¡ l + i ) i n * ( » + i)* n=l

n =0 Oo

2 55 6. ■ÉJ 2 (rt i- J + ílr) lrn3!a" ( n +r ln) • n=l

n=0 oo

co

2557.

2 5 6 3 .2

(-l)n

(* ” 3>n

n— 0

n=l

D eterm in a r el c ír c u lo de co n v erg en cia : 2 56 4.

2

¿" 2 n-

2566-

71*0

2

•

T»= |

OO

2565.

S oo

( l + « i ) z n.

2567. 2

n= 0

5

•

n= »0

2 56 8. (1 + 2í) + (1 + 2t) (3 + 2t) z + . . . . . . + (1 + 2¿) (3 + 2 i ) . . . (2 b + 1 + 2¿) z n 4- . . . 2 5 6 9 . l + r L - + i r - i; ; _ ¿. ) ^ . . . . z» ( 1 - 0 (1— 2 f).. .(1 — m) T

»™ -

¿

71= 0

>>■

2571. P a rtie n d o del co n c e p to de con v erg en cia u n iform e, dem os trar que la serie 1 + x + z 2 -¡- ••• + * * + n o co n v e rg e u n iform em en te en e l in te rv a lo ( — 1, 1 ), pero es uni form em en te con v erg en te en cu a lq u ie r seg m en to situ a d o dentro d e é l-

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330

Series

Solución. U tiliza n do la fórm u la do la suma do la p rog re sió n geo m étrica, para | z | < l obtenem os j.n+1 R n ( z ) = x * + l + : r*+ 2 -r. . . = — -. T om em os ol segm ento [ — 1 + c t , 1 — a ] , dentro d e l in terv a lo ( — 1, 1) donde a es un número p os itiv o tan p equeño c o m o se desee. En este segm ento — a y |1 — z | > a y , por consiguiente,

Para dem ostrar la convergencia u n iform e do la serie dada ( — 1 + a , 1 — a ] , hace fa lta probar que para cu a lq u ier e > 0 un N tal, que dependa exclu siva m en te de e , y q ue para so v erifiq u e la desigualdad para t o d a s las examinado. Tom ando

cu alquier

e>0,

hacemos

que

de

(1 — a ) n+1 < c a , (n + 1) 1“ (1 — a ) < ln (e a ), es decir, n + \ > l u ( l — a ) < 0) —

y n >

—

en ol segm ento se puede hallar cu a lq u ie r n ^ > N x d e l segm ento

TomaQd o ,

de

donde

} EJ,\ (ya que ln (1 — a )

es fca

fo rm a ,

N=

_ i f qos convencem os d e que, e fectiva m en te, cuando n > i V , se

ln (1 — ct) verifica la desigualdad |Rn (*) I < e para todas las x del segmento [ — 1 + a, 1 — a] y , por consiguiente, queda demostrada la convergencia uniforme de la serie dada en cualquier segmento situado dontro del ( — 1, 1). En lo que se rofiere a la totalidad del intervalo ( — 1, 1), éste contiene puntos tan próximos como se desee al punto x = l , y como lim Rn (x) = x-+\

= Jim z x-+1 1

x

= co, por grande quo sea n, siempre se pueden hallar puntos x

para los quo Rn (x) será mayor que cualquier otro número, tan grande como se deseo. Por consiguiente, es imposible elegir N tal, que para n > i V se verifique la desigualdad |i?^(ar)|
P artien do del co n ce p to de con v erg en cia u n iform e,

demos

a) la serie 1 X 4 -r~X2 — -l f 1 -4"i--------

1!

2!

. . . -j■

n\ '

1- . . .

converge u n iform em en te en cu a lq u ie r in terv a lo fin ito ; b) la serie Xz 1 con verge

(-1 . i);

( — 1)n- l x m n T •••

X4 ¿G T + 3••" +

u n iform em en te

en

todo

el

in terv a lo

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de

con v erg en cia

334

Series de funciones

c ) la serie

2X

1

J3* . •• * + J. *r

con v erg e u n iform em en te en e l in terv a lo núm ero p o s itiv o cu a lqu iera ; d) la serie

° ° )» donde 6 es un

2n +2

( x z— s 4) - f ( s 4— x*) + (x*— x 8) + . . . + (z

es con vergen te, no s ó lo dentro del in terv a lo { — 1, 1 ), sin o tam bién en lo s extrem os del m ism o, pero la con v erg en cia de la serio en el in te rv a lo ( — 1, 1) no es uniform e. Dem ostrar la con vergen cia u n iform e de las siguientes series de fu n cion es en lo s in te rv a lo s q u e se in dican : co 2573*

2

“ja " en

segm ento [ — 1; 1)-

n=* i oo

2n

257 4. n= i

en to d o e i e je num érico.

oo

2575.

2 (“ n=l

l ) 71” 1 ~ T :r en

se8m en to [0, 11.

V a lién d o se de la d e riv a ció n e in tegra ción té rm in o h a lla r las sum as de las series: rn

2576. x + - f

3

+ “n T" + - •* -n

2577. x

2 1 3 ■271-1

2 57 8. x + 4 "

3

2 57 9. X-

‘ ^

5

3 +1 5

258 0. l + 2 x -t -3 x 2 + 2 5 8 1 . 1 — 3x 2 4 - 5 x 4~

1

2n —

1

'

+ ( - l ) n- l S

+

- -

-\~ (il -j- 1) x n -{- . . . + ( — í ) n- 1 ( 2 n — l ) x * n-* t

2 5 8 2 . 1 •2 4 - 2 ■3 x 4 - 3 •4 x 2 4 - . . . 4 - » (n + 1) x n"1 H a lla r las sum as de las series:

t>r OO

1

, 2

, 3

n

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a

térm in o,

332

Serles a

^

* 1

i

^

>

3 . 3 ^ 5-32

7-33 ^ • ' #

(*—1)” 1

|

( 2 n ~ i ) 3 n-i~i~ ' ‘ *

• + ^ 2^— h •- •

258 6. -g" + ~22~ + § 3. S e rle de T a y lo r

1. D e s a r r o l l o de u n a f u n c i ó n on s e r i o de p o t e n c i a s . Si una fu n ción / (x) adm ite un d e s a r ro llo en serie de potencias do x — a m un en torn o | x — a | < R d e l punto, a , esta serie (serie de T aylor) tendrá la form a:

t(z)= f(a ) + j ' ( a ) ( x - a ) + í ^ & { z - a ) * + . . . + ! ? ? M ( x - a ) ' ' + . . .

(1)

Cuando <1= 0 , la serie de T a y lo r recibe tam b ién e l nom b re de serie de Alaclaurin. La igualdad (1) es cierta, s i para |x — a | 00. Para acotar el resto de la serie se puede em plear la fórm u la

Rn f r > - %

g r

/ 'n+1) la+<) ( l ~ a)]’ á o n d e O < 0 < l

(2)

(forma de Lagrange). Ejemplo 1. D esa rrolla r la fu n c ió n / (x) = cha: en serie de potencias do x. Solución. H alla m os las derivadas de la fu n c ió n dada / ( x ) = char1 / ' ( * ) = sha:, / " ( a ) — c h i , f ”' ( x ) = s h x t en general, / í n >(x) = ch z , s i n es par, y / (* ) = sh x , si n es im par. P on ien d o a = 0, obtenem os: f ( 0 ) = l , / ' (0) — 0 , / ° ( 0 ) = l f f w (0) = 0 on general, /(0) = l , s i n es par, y / ( « ) ( 0 ) = 0> s i n es im par. De don de, basándonos on (1), tenemos:

c k - í + ! - + - S - + . . . + ’g r + . ~ Para determinar el in te rv a lo do convergencia crite rio de D ’A lem b ert. Tenem os: x 2 rt+2

lim n—veo

x 2n

( 2 * + 2)! • (2n)l

do

(3)

la serie (3) e m p lea m os el

(2n+l){2n + 2) °

para cu alquier x . P or con sigu ien te, la serie os convergente en e l in tervalo — c o < £ < c o . El resto de la serie, de acuerdo co n la fó r m u la (2), tione la forma x n+1

R n ( * ) = 7— r i r r

s5 n es imPar» y

^n+i fín (x) = Como O > 0 > 1 ,

^ —

sh Q j, si n es par.

tendremos

ch Ox |= --------------------- < * M ,

|sh Qx |=

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2

1*1

S erie de T a ylor

por

lo cu al |R n (x ) I

e^ -

â

333

ser*°

Cuy °

térm in o

general

es

I x ln

- ^ y — e s convergente para cu alquier x ( l o que es f á c i l de com probar v alién dose del crite rio de D ’ A le m b e rt), p o r necesario de convergencia

lo

que,

de acuerdo con el criterio

lim i( rn -i f '- 1iT) 1 r ^ 0,

n -»c o

y , por con sig u ie n te , lim R n ( x) = 0 cualquiera que sea x. Esto s ig n ifica , que n-*oo la suma d e la sexie (3), para cu a lq u ier x , es efectiva m en te igual a cha:. 2. Procedim ientos q u e se e m p l e a n al d e s a r r o l l a r serie de p o t e n c i a s . V a lié n d o se d e lo s desarrollos fundamentales I.

xn

+ X

j-3

seni = _ _ _ _ r +

3-5

( —CC< *
^2^+1

(_ co < x < co ),

£2 *4 x2n III. eos a: = 1 ----- 2j— I—4]-----------------------------------------( ~ c o < x < c o ) .

iv.

a + * r = i + ^ - z + m(y

) » 2+ ...

m j m - l ) . . . j m - n + i ) x n + . . . ( _ 1 < g < 1 ) .), 71}

y de la fórm u la de la suma d e la p ro g re sión g eom étrica se püede, on muchos casos, ob ten er fá cilm en te e l d e s a r ro llo de una fu n ció n dada en serio de poten cia s, sin que haya necesidad do in vestigar el resto de la serie. A veces, a l hacer el desarrollo, es con ven ien te u tiliz a r la d e r iv a c ió n o integración té rm in o a térm in o. Cuando se trate de desarrollar on serie de potencias^fun cio n e s racionales, se recom ien da desarrollar dichas fu n cion es en fracciones sim ples. E j e m p l o 2. D esarrollar en serie de p oten cia s de x ••) la fu n ción u , __________ 3 /W (1 _ * ) ( 1 + 2 x ) Solución.

1

D esarrollan do la fu n ción en fra ccion es sim p le s, tendremos: /(I )i- n r + T T 2 í '

*) En lo s extrem os d e l in te r v a lo de convorgencia (es decir, cuando 1 y x ~ \ ) ol d esa rrollo I V se co m p o rta de la sigu ien te manera: si 0 , con verge absolutam ente en am bos extrem os; si 0 > m > — 5, diverge cuando a r= — 1 y con verge co n d icio n a lm e n to cuando x = l\ s i m ^ — 1, diverge en am bos extremos. **) A q u í, lo m ism o que en lo su cesivo, se sob re en t i onde «potencias enteras y positivas».

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en

334

Series

Como OO

Tl _ = 1 + , + , ! + . . . «

2

(4)

n=0 30

(5) n
en d e fin itiv a tenemos,

00

co

/<*)= 2

*n + 2 2 (— l)n 2ni n= 2

71=0 Los

progresiones

n=0

geom étricas (4) y

cuando |x |< i y |x |< - i - ;

[ l + ( - i ) n 2n+1]*"-

(6)

n=0

por

(5) son

convergentes respectivam ente

co n sig u ien te,

1

1

la

fó r m u la

(6)

os

cierta

1

cuando |x | < — . es d e cir, cuando — -t— < x < — . 3o. S e r i e d e T a y l o r p a r a f u n c i o n e s d o d o s v a r i a b l e s . E l d osa rrollo d e una fu n ción de d os variables / (a;, y) cn la serie de T a y lo r. en un entorno dol p u n to (a; ó), tiene la forma

/(* . » ) - / ( « . » ) + T f

* )+ -¿ -[(* -« )-= dxr +

U « - l ) ^ ] 2 f ( a . b ) + . . . + ± [ ( X - a ) - ¿ + ( y - b ) J ¿ Y f ( a , b ) + . . . ( 7) Si a = f>=rO, la serie de T a y lo r se llama tam b ién [serie de M aclaurin. este caso, se usan las sigu icn tos notaciones:

0 - « ) £ + f e - S ) ■ £ - ] /< .,

x«=a

<*-«)■

»)

I/=b

+2

a2/ (*, »)

L

dr2

x=a y*=b

x=a ?/—b

(* -«)* +

(x — a) (y — 6) +

ly=b

En

y)fi dy2

( y — 6 )2 . i/-b

El d esa rrollo de la serie (7) tiene lugar, si el rosto de la serie n / ? „ ( * , * ) - / < * . * ) + { / < « , *>+ 2

^

[ (x- a) ¿ + (*'“ fr)¿ ] fe/ (a‘ 6)} ~ * 0

h=i cuando « —> c o . El resto de la serie puede represontarse en la form a

R» < * • »(n-M > =)I [

0 (* ■- “ ) £ + < * - - b) ^

] " + 1 1 (* .» ) x=a+6(x-fi) y=b-HKl/—b)

donde O < 0 < 1.

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Serie de T a ylor

335

D esarrollar cu serie do poten cias enteras y p o s itiv a s de x las fu n cion es q u e se in d ica n a c o n tin u a c ió n , h a lla r lo s in tervalos de co n v erg en cia de las series ob ten id as e in vestiga r e l com portam iento de lo s restos d e las m ism as: 2 5 8 7 . ax ( a > 0 ). ,

2 58 9. e o s ( x + a).

^ ,

2 58 8. sen

•

2 59 0. sen2 a:. 2591*. l n ( 2 + x ).

U tiliz a n d o lo s desarrollos fu n dam en tales I — V y la progresión g e o m é trica , e scrib ir e l d e sa rro llo en serie de poten cias de x , de las sig u ien tes fu n c io n e s e in d ica r los in te rv a lo s de con vergen cia de e lla s * 2 * -3 2 59 8. eos2 x. 259 2.
.

2600.

2594.

'2

26Q1_

2 5 9 5 . e*\

i V*-

2596. s h x .

2602- i o r S -

2 59 7. eos 2x.

2 60 3.

ln (1 + s — 2a:2).

A p lic a n d o la d e r iv a ció n , d esarrollar en serie de poten cias de x, la s sig u ie n te s fu n cion es e in d ica r los in terv a los e n 4 que dichos d esarrollos tien en lu ga r: 2 6 0 4 . (1 +■ x ) ln (1 - f x ). 2606. aresen x . 2 60 5. a r c t g x . 2 60 7. ln ( x - f - 1 ^ 1 + £ 2)V a lié n d o s e de d iferen tes p roced im ien tos, d esarrollar en serie de p oten cias de x , las fu n cio n e s que se dan a co n tin u a ció n e indicar los in terv a lo s en q u e d ich o s desarrollos tien en lugar: 2 60 8. son2 x eos2 x. 2 61 6.

2609. ( i + x ) e .-X

x

2 61 0. (1 + e*)3. 2 61 1. Y S + x . 2612.

x 2 -3 x +

l

\ 0

I

2617.

\ e ~ x2d x. o

261H.

^ \n(i+x)dx

.

*2- 5 * + 6 ’

2 61 3. c h 3 x.

s 0

2614. 1 * 01* - 4— • 2 61 5. ln (x 2 + 3 x - f 2 ).

X

2619.

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\ ~ J ^ = r . Í V 1- * 4

336

Series

E scrib ir lo s tres prim eros térm in os d iferen tes de cero, do los desarrollos en serie de poten cias de x de la s sig u ien tes fu n cion es: 2620.

t g x.

2623, seca:.

2621.

thx.

2624. l n c o s 2 .

2622.

ecosx.

2625. ensena:.

2626*. D em ostrar, que para c a lc u la r la lo n g itu d de la elipse se puede u tiliz a r la fó rm u la aproxim ada

5 « 2 jia ( l — —

.

donde e es la excen tricid a d y 2 a el e je m ayor de la elipse. 2627. U n h i l o posado suspendido p or sus extrem os form a , su propio peso, la caten aria y = a c h - í - , siendo a

p or

, donde H es

la ten sión h orizon ta l del h ilo y q el peso de una unidad de lon g itu d del m ism o. D em ostra r, que para v alores pequeños de x , puede a dm itirse, con a p ro x im a ció n hasta una ca n tida d del orden x2

do

que el, h ilo cu elg a form a n d o la p a rá bola y = a + i r -

2628. poten cias 2 62 9. potencias 2630.

D esarrollar la fu n ció n rr3 — 2 x 3 — 5o: — 2 en serie do de 2 + 4. f ( x ) — 5 2 3 — 4 2 a — 3x + 2. D esa rrolla r / ( x + ft) en serie de de h . D esa rrolla r \ n x en serie de p oten cias de 2 — 1.

2631. D esa rrolla r

en

serie de p oten cias de 2 — 1.

2632. D e s a r r o lla r -^ -

en serie de

2 63 3. D esa rrolla r + '43.^7

2634. D esa rrolla r 2635. D esa rrolla r

ex

p oten cias de z + 1.

en

serie de p oten cias de 2 + 4.

en

ser*e

enserie de

p oten cias de 2 + 2. p oten cias de 2 + 2.

en serie de p oten cias de 2 — 4.

2636. D esa rrolla r ^

ji

2637. D esa rrolla r cos x en serie de poten cias de 2 — ^"* • n 263 8. D esa rrolla r cos s 2 en serie de poten cias de 2 — ^ 2639*. D esarrollar ln 2 en serie d e p oten cias de 2 64 0. D esa rrolla r

^

^

\ zf*x '

en serie de p oten cias de

2641. ¿Qué error se com ete si se supone q u e aproxim adam ente e « 2 - | - ^ r + -^y- + -^ r?

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S e r ie de T a y l o r

337

2 6 4 2 . ¿Con qué e x a ctitu d se. c a lcu la rá e l núm ero

si se em

plea la serie 2a X* *r + — o

a r c tg x = x tom ando la

suma de sus cin c o p rim eros térm inos con x = l ?

2643*. C a lcu la r el núm ero

con ex a ctitu d hasta 0 ,0 0 1 , v a lién

dose del d e sa rro llo en serie de p oten cia s de x , de la aresen x (véa se e l e jem p lo 2606). 2 64 4. ¿Cuántos térm in os hay que tom ar de la serie

f unc i ón

eos x ^ i1 — ** + . . . , p a ra c a lc u la r el eos 18° con e x a ctitu d hasta 0 ,0 0 1 ? 2 6 4 5 . ¿Cuántos té rm in o s h a y que tom a r de la serie x3

sen a: =

,

para c a lc u la r el sen 15° con e x a ctitu d hasta 0 ,0 0 0 1 ? 2 64 6. ¿C uántos térm in os h a y que tom a r de la serie X

A

,

x

x2

,

¿ — 1 + “J f + “2 [ " + ••» » para h a lla r el núm ero e con ex a ctitu d hasta 0,0001? 2647. ¿C uántos térm in os h a y que tom ar de la serje 1n (1 -\-x) = x — ^ - + . . . , para ca lcu la r c! ln 2 js o n e x a ctitu d hasta 0 ,0 1 y hasta 0 .001? 2 64 8. C a lcu la r \yr 7

con

e x a ctitu d

hasta

0 ,0 1 ,

p or

m edio

del

d e sa rrollo de la fu n ció n y r S -\ -z en serie de p oten cias de x . 2 64 9. A c la r a r la proceden cia de la fórm u la aproxim ada l/"a2 -|-^ ^ f t - | * - ^ '( f l > 0 ) , ca lcu la r co n ella ] / 2 3 ,

Lomando a = 5,

y v a lo ra r e l e rro r com etido. 2650. C a lcu la r y 19 con e x a ctitu d hasta 0 ,00 1 . 2 65 1. ¿Para q u é v a lo re s do x la fó rm u la aproxim ada COS X

A

1

X2

Y

da un error n o m ayor de 0 ,0 1 ; 0,001 y 0,0001? 2 65 2. ¿Para qué v a lo re s de x la fó rm u la aproxim ada sen x & x

22-1016

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338

Series

da un error no m a yor de 0,01 y

0 ,0 0 1 ?

1/2

2653* C a lcu la r

\ »~en x- d x con ex a ctitu d hasta 0 ,0 0 0 1 . r.i * 0 1

2 65 4. C alcu la r ^ e ~ xZd x co n e x a ctitu d hasta 0 ,0 0 0 1 . 0 1 2655. C a lcu la r jj l i c e o s x d x con e x a ctitu d hasta 0 ,0 0 1 . 0 1 2 65 6. C a lcu la r

\ s e a * dx co n e x a ctitu d h a sta 0 ,0 0 1 . o V » 1/4

2 65 7. C a lcu la r

________

jj Y 1 + x * d x co n e x a ctitu d h a sta 0 ,0 0 0 1 . 1/9

2658. C a lcu la r

^ ] /" x e x d x con e x a ctitu d h a sta 0 ,00 1 . o

2 65 9; D esa rrolla r en serie de p oten cias de x e y la fu n ció n c o s (£ — y ) y h a lla r e l cam po de con v erg en cia de la serie obtenida y a n a liza r el resto de la m ism a. E s c r ib ir o l d e sa rro llo en serie de p oten cias de x e y de las sigu ien tes fu n cion es e in d ica r sus cam pos de con v erg en cia : 266 0. se n a :-se n y .

2663*. ln ( 1 — x — y - ^ x y ) .

2 66 1. sen(a:2 + |/2).

2664*. a rctg

2 6 6 2 *.

i + * —u

■

.

2665. f ( x , y ) = a x 2 + 2 b xy-\ -cy* D e s a rro lla r f ( x + h , y + Ic) en serie de poten cias de h y A. 2 66 6. / (x, y) = s 3 — 2í/3 + 3 z y . H a l l a r e l in crem en to de esta ht fu n ción a l pasar de lo s v alores £ = 1, y = 2, a lo s v a lo re s x = y = 2 + fc. 2 66 7. D esa rrolla r la fu n ció n e x+v en serie de p oten cias de x — 2 e y -f-2 . 2668. D esa rrolla r la fu n ción sen ( x + y) en serie de p oten cias , jt de x e y — tt * ¿t

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Serles de Fourler

339

E s c r ib ir io s tres o cu a tro p rim eros térm in os del d e sa rro llo en se rie d e p oten cia s do x e y de la s sig u ien tes fu n cion es: 2 6 6 9 . ex c o s y . 2 6 7 0 . ( l + * ) 1+y. § 4. S e rle s de F o u rle r 1. T e o r e m a de D i r i c h l o t . Se d ic e q u o u n a f u n c ió n / (z ) s a tis f a c e a l a s c o n d i c i o n e s d e D i r i c h l e t e n u n i n t e r v a l o ( a , b)t s i e n e s t e i n t e r v a l o la f u n c ió n 1) e s t á u n i f o r m e m e n t o a c o t a d a , e s d e c i r , |/ ( * ) ) • < A / p a r a a < z < 6 , d on d e M es una con sta n te; 2) n o tie n e m á s q u e u n n ú m e ro fin it o d e p u n to s de d is c o n tin u id a d y t o a o s e l l o s d o I a e s p e c ie (es d e c i r , q u e o n c a d a p u n t o d e d i s c o n t i n u id a d £ l a f u n c i ó n / ( z )t i o n c u n l í m i t e f i n i t o a la i z q u ie r d a / ( g - f 0 ) = l i m / (£ — e ) y

un lím ite f in it o a la

d e r e c h a / ( 5 + 0 ) = l i m / ( £ + c )

0»;

c**0 3 ) n o tien e m á s q u e u n n ú m e ro f in it o de p u n to s de e x tr e m o s e stricto s. E l teorem a d e D irich let a firm a , quo tod a fu n ció n / (x ) que s a tisfa g a en el i n t e r v a l o ( — n , ai) l n s c o n d i c i o n e s d e D i r i c h l e t e n c u a l q u i e r p u n to x de e s to in t e r v a lo , e n qu e j ( x ) sea c o n t in u a , é s ta so p u ed e d e s a r r o lla r e n se rie tr ig o n o m é tr ica de F ou rier: f (x) = - y - +

ai e o s X + b 1 s e n x + a 2 e o s 2 x + b 2 s e n 2 x + . . . . . . -\ -a n e o s n x -\ -b n s o n n x -\ - . . . ,

e n q u e l o s c o e f i c i e n t e s d e F o u r i e r a n y bn s o c a l c u l a n p o r l a s

(1)

fórm u la s

n

an'=— 5 / (*) C°S nxdx ( n= 0, 1 , 2 , . . . ) ; —rr 1 bn = —

n ■"* ^ / ( z ) s o n n x d x (n = í , 2, . . .). —n

S i x e s u n p u n t o d o d i s c o n t i n u i d a d d o l a f u n c i ó n f ( x ) p e r t o n e c i e n t o al i n t e r v a lo { — jt, ji), la s u m a de la s e rie d e F o u r ie r S {x) seráig u a l al a m e d i a a r i t m é t i c a d e I 09 l í m i t e s a la i z q u i e r d a y a l a d e r e c h a d e la f u n ció n :

S(x) = - L [ f ( x - 0 ) + f ( x + 0 ) ) . En

lo s extrem os del in te rv a lo z =

—

ti

y x = n

£ ( - n ) = ¿ < j T ) = - i - [ / ( — j, + Q) + / ( n _ 0 ) ! . 2. S e r i e s i n c o m p l e t a s de F o u r i e r . S i la p a r ( o s d e c i r , s i f ( — x ) = f ( x ) ) , e n t o n c e s , e n l a f ó r m u l a (1 )

fu n ció n

/ (z)

es

* * «0 (1 1 = 1 , 2 , . . . ) 22*

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340

Series

y rt

2 l* an - ^ — \ I ( x ) c o s n x d x ( x — 0, 1, 2, . . . ) • •H 0 Si

la fu n ció n f ( x) es im par = 0 ( « =M:0, 1, 2, . . . ) y

(es

decir,

si

/ ( — x)r*= — / (x)),

e n ton ces,

rr

/ (ar) sen n i da? (n = l , 2, . . . ) .

Ó Una fu n c ió n , dada en el in tervalo (ü, n), se puedo p ro lo n g a r, a v o lu n ta d , en el in te r v a lo <— n , U) c o m o par o co m o impar; p o r co n sig u ie n te, puede desarrollarse on ol in terv a lo (0, ji), en serios in co m p leta s d o Fourier, com o se dosee^ en serie de senos o de cosenos de arcos m ú lt ip le s . 3. S e r i e s de F o u r i e r d e período 21. Si una fu n ció n /(a?) satisface las co n d icion es de D irich let en un in te rv a lo ( — 11 l) de lo n g itu d 2í, para los puntos do co n tin u id a d d o la fu n ció n , pertenecientes a este in terva lo, so v erifica rá e l desarrollo ,

i

\

<*n

.

nx i i

1 ( j ) = -î + a 1c o s —

rt*

, ,

2 jii

- f iq s o n — — |-&2 cos —

, ,

+ ó2 sen

2jti l

«"II , , nnx . . -|- an cos — ----- !- bn sen — ~ donde

an = ~

l { x ) C 0 3 ~ - d x (n = 0, 1, 2 , . . . ) » —i i

'n— T

\ ' -i

j (2)

(*) sen ^ ^ - d x {n = 1, 2, . . . ) .

En lo s puntos de d isco n tin u id a d de la fu n ció n / (.r) y en lo s e x trem os del in terv a lo x = ± U la suma de la serie de Fourier se determ ina a n á loga m ente a co m o se hace cuando se desarrolla en el in terv a lo ( — n , n). En e l caso do quo la fu n ció n /(a?) se desarrolle cm serio de Fourier cn un in terv a lo a rb itra rio (a, a + 2 í ) do lo n g itu d 2/, los lím ite s de in teg ra ción en las fórm u la s (2) debe su stituirse, respectivam ente, p o r cz y a + 21.

D esa rrolla r en series de F o u rie r, en e l in te rv a lo ( — Jt, n ), las fu n ció n os que so in d ica n a c o n t in u a c ió n , d eterm in ar la sum a de la s serios en lo s pu n tos de d isco n tin u id a d y en lo s extrem os del in te rv a lo ( x = — Jt, x ~ rt), co n s tru ir la gráfi ca de l a p rop ia fun c i ó n y de la Suma de la serie corresp on d ien te (d en tro y fuera del in te rv a lo ( — ji, k )): c { para

2671. / ( * ) = {

c2

y>

— 0 < x < n .

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S eries de Fouricr

341

E xa m in a r e l ca so p a rticu la r en que c £— — d , c2 = l . a x para — 2 67 2. / ( * ) =

bx

0 < x
»

E xa m in a r los casos p a rticu la res: a ) a = 6 = 1 ; b) a = — 1, 6 — 1; c) a — 0 , 6 = 1 ; ti) a — .1 . 6 = 0 . 2 67 3. f { x ) = x \

2 67 6. / (¿r) = c o s as.

2 67 4.

/ ( x ) = ea*.

2677. / ( x ) = s h a x .

2 67 5.

/ (x ) = sen a x .

2678. / (x ) = ch ax.

2 67 9.

D e sa rro lla r en serie de F o u ricr la f unc i ó n

x ,

en el in te r v a lo ( 0 , 2 ji). 2 68 0. D e sa rro lla r

la

fu n ció n

/(x )-^ -,

en el in te rv a lo (0 , n ),

en serio de senos de arcos m ú ltip le s. E m pléese e l desarrollo ob ten id o para la sum a de las series n u m éricas sigu ien tes: a) 1 — §- + -5 — — + •••;

1 + 5- - T ' _ F + I 3 + I 7 -

•••’

c ) 1 — y ' + y — J7 + Í 3 — •■• D esarrollar en serios in co m p le ta s de F ou ricr, en e l in terv a lo (0 , n ), la s f unci ones que se in d ica n a co n tin u a ció n : a) cn sories de sen os de a rcos múl t i pl es, b) en series de cosen os de arcos m úl tip les. D ib u ja r las g rá fica s de la s f unci ones y las g rá fica s de las sum as de la s correspon d ien tes series en sus cam pos do ex isten cia . 268 1. / ( x ) — x . Val i éndos e del d e sa rro llo quo se ob ten ga , hal l ar la sum a de la serio . . 1 . 1 t 5* 268 2. / ( x ) = x 2. V a lié n d o s e d e l d e sa rro llo que se obten ga, hal l ar las sum as de las series nu m éricas: 1) l + - p - + - p - + • ••;

2) 1

" J T + • ••

268 3. ¡ ( x ) = eax ji

2684. / ( x ) =

T

0 para y < x < n:. x para 0 < s < y , 2 68 5. / ( * ) =

“% jx — x para y < x <

n-

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342

Series

D esa rrolla r, on e l in te rv a lo (0 , m ú ltip les, las sigu ien tos fu n cion es:

ji)

x para 0 < x < ~

en serie de senos de arcos

,

2686. f ( x ) = 0 para — < C x < i n . 2 68 7. } ( z ) = z ( K - x ) . 2688. / (x) = sen y . D esarrollar, en el in te rv a lo (0 , n ) m ú ltip les, las fu n cion es:

en serie de cosen os de arcos

1 para 2689. / ( * ) = { J para h < x < C rt. 1— y

para 0 < x < 2 h.

2 69 0. f ( x ) K0 para 2h < x < n. 2 69 1. f (x) = x s o n x . n c o s x para 0 < x < — , 2692. / (x) = — c o s x para

ü

ot.

2

2 69 3. V alién dose del d esa rrollo de la s fu n cio n e s x y x : en el in terv a lo (0 , J t ) , en serie de cosen os de a rcos m ú ltip le s (véan se los Nos 2681, 2 68 2), dem ostrar la igu ald ad co

2

cos n x

3:r2 — 6jt£ +

2 a 2 /r> .

. N

n=i 2694**'. D em ostrar, q u e si la fu n c ió n / (x) tiem po

/

+

— — / (4 ^ —

su

serie

es p a r y a l m ism o de

F ou rier

en

el

in te rv a lo ( — n , j i ) representa de p or sí e l d e sa rro llo en serie de cosenos de arcos m ú ltip le s im pares, m ien tra s que si la fu n c ió n / (x) es im par y

1 { ' Y + x ') = f [ t Í — x ) • se

d esa rrolla

en

el

in ter

v a lo ( — ji , ji ) en serie de senos de a rcos m ú ltip le s im pares. D esarrollar las sig u ien tes fu n cio n e s en series de F o u rier, en lo s in terv a lo s que se in d ica n : 2695. f ( x ) = \x\ ( — 1 < x < 1 ) . 2696. f ( z ) = 2 x ( 0 < x < 1).

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Series de Fourier

269 7. f ( x ) - e *

343

( - l < x < l ) .

2 69 8. f ( x ) = 10 — x ( 5 < x < 15). D esa rro lla r, en series in com p leta s de F ourier en lo s in tervalos que se in d ica n : a) en serie de senos de arcos m ú ltip lo s, y b) en serie de cosen os do a rcos m ú ltip les, la s sig u ie n te s funciones: 2 69 9. / ( * ) = 1

( 0 < íf< 1 ) .

2 70 0. f ( x ) = x

(0 < * < / ) .

2 70 1. f ( z ) = x 2 ( 0 < * < 2 j t ) . x 2 70 2. f ( x ) = 2 70 3.

para

2 — s para 1 <

D e s a rro lla r la

«r < 2.

fu n ción sig u ien te on serie do cosenos de

a rcos m ú ltip le s , en e l in te rv a lo ( y , 3^ ,

/(*) =

1

3 para y < x < 2 ,

3 — x para 2 < z < 3 .

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C apítu lo I X

ECUACIONES D IFE R E N C IA LE S

§ I o, V e rific a c ió n de las solucio nes, Formación de las ecuaciones d ife re n c ia le s de f a m i li a s de curvas, Condiciones in ic ia le s, 1. C o n c e p t o s

fundamentales. F ( x , y, y' ,

La e cu a ció n de la forma

*,<>») = O,

(1)

dondo !/==!/ (x) os la fun ción q ue se busca, so llam a ecuación diferencial de orden n-sitno, Cualquier fu n ció n y = :
Solución.

Tenemos: y ' = cosa;,

— sen x.

y, p o r con sigu ionio, y * + !/ = — sen x 4 - son x s 0. La integral <]> (a\ y y C j,

C,t) = 0

(2)

de la ecuación d iferen cial (1), que contiene n constantes arbitrarias indepen dientes CXy . Cn y quo es eq uivalente (en el cam po dado) a In e cu a ció n (1), se llama integral general de esta ecuación (en ol cam po correspondiente). Dando valores determinados a las constantes C t, . . . , Cn en la relación (2), se obtiene una integral particular do la ecu ación (1). Recíprocam ente, teniendo una fa m ilia de curvas (2) y ex clu y e n d o lo s parámetros C i9 . Cn del sistema de ecuaciones

/¿(T)

"**

“d T ^ 0» •••» " d ? r = 0 » se obtiono, cn general, una ecu ación diferen cia ! do la form a (1), cu ya in tegral, cn el campo correspondiente, os Ja re la ción (2). E j e m p l o 2. Hallar la ecuación d iferen cial de la fa m ilia de parábolas y = C i ( z - C 2)*. Solución.

(3)

Derivando d os veces ia e x p re sió n (3), tendremos: y ' = 2Ci { z - C 2) e * " - 2 C , .

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(4)

V erificación de las soluciones

345

E x c lu y e n d o de las ecuaciones (3) y (4) los parámetros C { y C2f hallam os la ecu ación d iferen cial que buscábamos

Es fá cil com p rob a r quo la fu n c ió n (3) transforma esta ecu ación en identidad. 2o. C o n d i c i o n e s iniciales. Si para la s o lu c ió n particular y = j/(x) de la ecu a ció n diferencial

»<*>=/<*. y, y '

y'” - 1*)

(5>

se dan las condiciones in icia les (problema de Cauchy) y ( x o ) = vc>’ y ’ ( z o ) = y ; ............ !/( n - I > ( * o ) = ^ n - 1 ) y so con o ce la solución general de la ecu ación (5)

V — T(** CV •••> Cn)y las constantes a rbitrarias C¡, . sistema de ecuaciones

C7l se determinan, s i e ll o es p o sib le , del

yo =

l/ó — (P/ (*0> ^1» •••i Cn)i

y(n-i) = {p(n-l)(xQt c ít Ejem plo

c n)t

3. H a lla r la curva de la fam ilia

y = ClC* + C2e-zx,

(6)-

q ue tiene y ( 0 ) = l o y ' ( 0 ) — — 2. S o l u c i ó n . Tenem os: (7) P o n ien d o :r= -0 , en las fórm u la s (6) y (7), tenemos:

1 = C ,-1-CZt - 2 =*Ct - 2 C z , de donde

Ci = 0.

C2^ l

y , por con sigu ien te,

y=

2*.

A v e rig u a r, si son so lu cio n e s de las ecu a cion es d ife re n cia les que so dan, l as f unci ones que se in d ica n : 2 70 4. x y ' = 2 y % t/ = 5 z 2. 2 70 5. y ’ = x * + y 2,

y = ± .

2 7 0 6 . ( x -\ - y ) d x - \ ~ x d y = ^ Ü f y = 2 70 7. {/’ + y = 0,

C 2-X 2 ^ .

y = 3 s e n a : — 4cos^.

2 70 8. -^77- + <*>2* = 0»

# = C t eos (út + C2 sen<*>/.

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E cuaciones diferenciales

346

270 9. y " — 2 j/'-| -y = 0 ;

a) y = x e x,

b) y = x 2e x.

2710. y " — (Xj -f- ^ 2) y ' + A.jA-2 y — 0, f/ = C1e ^ 5C4 - C 2e ^ “ . D em ostra r, q u e la s re la cio n e s q u e se in d ica n son in te g ra le s de la s ecu a cion es d ife re n cia le s que se dan: 2711. (x — 2 y )y ' = 2 x — y, 2 7 1 2 . { x — y ~ r \ ) y ' — 1,

x 2 — x y + y ? = C2. y = x + C e v.

2 7 1 3 . ( x y — x ) y ” + x y '2 + y y ' — 2 y ' = 0 ,

y = !n (a ;y ).

F orm ar las e cu a cio n e s d ife re n cia le s d e las f ami l i as de cu rva s q u e se dan (C, C¡, C 2, C3 son con stan tes a rbitrarias); 2714. y = Cx. 2 7 1 5 . y = C x 2.

2 7 2 1 . ln -

= 1 + ay y (a es u n p arám etro).

2 7 1 6 . y 2 = 2C x.

2 72 2. ( y - y < > y ~ 2 p z

2 7 1 7 . a:2 + í/2 = Cs.

(y0, p son parám etros).

271 8. y = C ex .

2 72 3. y ^ C ^ + Cze-*.

2 71 9. x 2 = C ( x 2- y 2). 2720. y2 + ±

^ ^2 = 2 + Ce 2.

2 7 2 4 . y = Cx eos 2 x -(- Cz sen 2 x . 2 7 2 5 _ = (C i + ^ + ^

X

2 7 2 6 . F orm ar la e cu a ció n d ife re n cia l de todas las recta s del p la n o X O Y . 2 72 7. F orm ar la e cu a ció n d ife re n cia l de todas la s parábolas c o n eje v e r tic a l en e l p la n o X O Y . 2 72 8. F orm ar la e cu a ció n d ife re n cia l de todas las circu n fe re n cia s en e l p la n o X O Y . H a lla r, para las fa m ilia s d e cu rv a s q u e se dan , las lín ea s que sa tisfa g a n a las co n d icio n e s in icia le s q u e se in d ica n : 2 7 2 9 . x 2— y2 = C,

y ( 0 ) = 5.

2 73 0. y - ( C í + £?**)«**,

y (0 ) = 0,

2 73 1. y — C ¡ s e n ( x — C2),

y(n ) = i,

y ' (0) = 1. y'(n)-0.

2 7 3 2 . y = C te-X + C2ex + C3e 2X; y (0) = 0,

y ' (0) = 1 ,

y" (0 ) = — 2.

§ 2. Ecuaciones d if e r e n c ia l e s de l 0r orden I o. F o r m a s d e e c u a c i o n e s d i f e r o n c i a l e s d o 1er o r d e n . La ecuación diferencial de 1er ordon con una función y incógnita resuelta con relación a la derivada y', tiene la forma y' = f ( x , y ) , (1)

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E cuaciones diferenciales de l tr orden

347

d o n d o f (x, y ) t e s una fu n ció n dada. En a lg u n o s casos, es con ven ion te c o n s i d e r a r com o fu n c ió n in có g n ita la v aria b le x y e s c r ib ir la ecu a ció n (1) en la form a

* ' - g < *.*), d o n d e g (x , y ) = — T en ien d o

-—

.

en cu enta

quo y ' = '^ r m y x ' 4 — » la s ecuaciones diforen cia les dx dy <1) y (1 ') se pueden e s c r ib ir en form a sim étrica P ( x %y ) d x + Q { x , y ) d y = 0,

( 2)

d o n d e P (a:, i/) y «? (x, i/) son fu n cion es con ocid a s. P or s o l u c i ó n ae la e c u a c ió n (2) se en tien d o la fu n ció n de la forma j/ = (p (x ) o ar = i|)(y), que sa tisfa ce a esta ecu ación . L a in tegral general do las e c u a c io n e s (1) y (1'), o de la e c u a c ió n (2), tiene la forma
E l c o n ju n to de d ireccion es

t g a = f ( x y y) ae llam a cam po de direcciones de la ecu ación d ife ren cia l ( í ) y se representa g en era lm en te p o r m e d io de un sistem a de ra y ita s o de flech a s co n un ángulo d e in c lin a c ió n a . L as cu rv a s / (x, y) — k> on cu y os pu n tos la in c lin a c ió n d e l cam po tiene u n v a lo r con stan te k , s e lla m a n isoclinas. C on struyendo las is o clin a s y el « a m p o d e d ir e c c io n e s , en lo s ca so s m ás sim p le s se puede d ib u ja r a p r o x i m a d a m e n te e l ca m p o de las curvas in tegrales, con sid erándose estas últim as «o rn o curvas, q ue en cada u n o de sus pu n tos tie n e n la d ir e c c ió n dada dei ca m p o . E jo m p lo 1. C on struir, p o r el m é to d o d e las curvas in te g ra le s de la e c u a c ió n y ' = x.

do las is o c lin a s , el cam po

S o l u c i ó n . C on stru y e n d o las is o c lin a s x ~ k (líneas rectas) y ol cam po d e d ir e c c io n e s , o b te n e m o s a p rox im a d a m e n te el cam po de las curvas integrales ( f i g . 105). L a s o lu c ió n g e n e r a l es la f a m i l i a do parábolas

X2

> ,= - + € C on stru ir, p o r el m é to d o de las is o c lin a s , e l cam po a p ro x im a d o de las c u r v a s in te g r a le s para la s e c u a c io n e s d ife r e n c ia le s q ue se in d ic a n a c o n ti n u a ció n :

2733. y ' = — x. 2734. y ' = ~ f . 2735. y' = i + y * . 2736. y' = - £ ± í-. x —y 2737. y' = x * + y * . un

3o. T e o r e m a d e C a u c h y . Si una fu n c ió n / (x, y ) es con tin u a en r e c in t o d e te rm in a d o Í 7 { a < x < / i , b < y < B } y tiene en esto recin to

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348

Ecuaciones diferenciales

derivada acotada f y ( x , y), entonces, p o r cada punto ( s 0, 1/o) de U* pasa una», y s ó l o una, curva integral y =
Y

F i g.

105

4o. M é t o d o d e l a s q u e b r a d a s d o E u l e r . Para la con stru c c ió n aproxim ada de la curva in tegral de la e cu a ción (1), quo pasa p o r u a punto dado M b (x0, t/n), esta curva so su stituye p o r una línea qaebruda co n vértices en Mt (x¿, ijí), donde *¿+l —

yM

y t -}- Ay u

Ax¡ — h (paso d e í proceso).

A y ¡ = h f (xi9 y ¿) ( i = r 0, 1, 2, . . . ) . Ejemplo

2.

P or c i m étod o de Euler, h a lla r, para la e cu a ción

y ( 1). si y (0) = 1 (h = 0 , t). C on stru im os la tabla sig u ien te:

i

x¡

0 1 2 3 4 5 « 7

0 0 ,1 0 ,2 0 ,3 0 ,4 0 ,5 0 ,6 0 ,7

8

0,8

10

0 ,9 1 ,0

9

yt

i i 1,005 1,015 1,030 1,051 1,077 1,101)

1,148 1,194

1,248

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0 0,005 0,010 0 ,0 1 5 0,021 0 ,0 2 6 0,032 0,039 0,046 0,054

E cuaciones d ijeren cialcs de 1cr orden con variables separables

349

D e esta fo r m a , i / ( l ) = 1 ,2 4 8 . P ara co m p a ra r, darnos el v a lor e x a c t o d e y (1) = e1/4 « 1,284. P o r el m é to d o de E u le r, h a l l a r l as so lu cio n e s p a rticu la res d e la s e cu a cio n e s d ife re n cia le s q u e se dan a co n tin u a ció n para lo s v a lo r e s de x q u e se in d ica n : 2 73 8.

=

y ( 0 ) = 1; h a lla r j / ( l ) ( A = 0 , 1).

2 7 3 9 . y' = x + y , y (1 ) = 1 ; h a l l a r y { 2 ) ( h = Q, 1). y (0 ) — 2 ; h a l l a r y (1 )
2740. t 2741. y ’ = y - ' ^ ,

y (0) — 1; h a l l a r y ( l ) ( A = 0, 2).

§ 3. Ecuacio nes d if e r e n c ia l e s de 1 er orden con v a r ia b le s s ep ara bles . T r a y e c t o r i a s o rtog o na le s I o. E c u a c i o n e s d i f e r e n c í a l o s d o 1er o r d e n c o n varia b l e s s e p a r a b l e s . Se lla m a n ecuaciones co n variables separables, las e c u a c io n e s d ife r e n c ia le s do Ier o rd en do la form a

y ' = / ( * ) $ te)

(i)

o bien, X (x) y f e ) dx 4 - X , (x) V , (y) ¿ y =

(P )

D iv id i e n d o am bos m iem b ros de la e c u a c ió n (1) por g (y ) y m u ltip lica n d o p o r d x , ten d rem os

= / (x) dx.

De d on de,

integrando,

obten em os la inte

g r a l g e n e ra l de la e c u a c ió n (1) en la form a

¡I

r

\ t w * + c .

A n á loga m en te, d i v id ie n d o lo s d os m iem b ros de la ecu ación ( T ) X j í i ) y te ) e in te g ra n d o , se ob tien e la in tegral general de la ecu ación o n la form a

m por ( i')

s S i para un v a lo r determ in a do do y = j/p; tenemos (pie g { y o ) = 0, la fu n ció n y — y 0 ta m b ié n es s o lu c ió n d o la e cu a ción (I), co m o es fácil convencerse d ir e c ta m e n t e . A n á loga m en te, las rectas x = a e y ^ = b serán cu rv a s integrales d e la e c u a c ió n ( 1 ') , si a y b so n de p o r s í raíces de las ecuaciones (x )= 0 o y ( r / ) = 0 , p o r cu y os prim eros m iem bros se d i v i d i ó la ecu ación in icia l. E j e m p l o 1. R e s o lv e r Ja ecu ación

y' = — v ~ . En

p a rticu la r, h a lla r

la

s o lu c ió n

(3)

q ue sa tisfa ce a la c o n d ic ió n in icia l:

» (!)= * .

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350

Ecuaciones diferenciales Solución.

La ecuación (3) so puede escrib ir de la form a

d v _ __v_ dx

x

De donde, separando las variables, tendremos*. dy _

dx

y

*

y, por consiguiente, ln | y I = — ln |*| -| -ln C lf donde la constante arbitraria ln Cy está tom ada e a pues de potenciar, se obtiene la s o lu c ió n general

form a

logarítm ica.

D e s-

donde £ = ={: Cx. A l d iv id ir por y podríam os perder la so lu ció n £ = 0, pero esta ú ltim a está contenida en la fórm u la (4) para C = 0. U tiliz a n d o la co n d ició n in ic ia l dada, obtenem os que C = » 2, y , por con siguiente, la so lu ció n particular buscada es

2 2o. A l g u n a s ocuacionos d i f e r e n c i a l e' s que puedeo reducirse a ocuacioncs con las v a r ia b le s separables. Las ecuaciones diferen cia les de la form a y ' ^ f (ax + by + c)

{ b =£ 0)

so reducen a ecuaciones de la form a (1) por m ed io de la su stitu ció n u=¿ax-\- by -f-c, donde u es la nueva fu n ció n quo so busca. 3 °. T r a y e c t o r i a s o r t o g o n a l e s son curvas que cortan las líneas de la fam ilia dada O (x , y ,
/(*,„,

o

es la ecuación d ife ren cia l de las trayectorias ortogonales. Ejemplo 2

H a lla r las trayectorias ortogon a les de la fa m ilia de elip so s *2 + 2y2 = fi2.

S o l u c i ó n . D erivando ambas partes de ecu ación diferencial de la fam ilia

(5) la ecu ación

(5), h a lla m o s

la

x + 2 y y ' = 0. De donde, sustituyendo y ' por —

o b t e ne mo s la ecu ación diferencial do la s

trayectorias ortogonales y'

o bien

x

Integrando, tendremos q uo y = Cx 2 (fa m ilia de parábolas) (fig. 106).

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E cuaciones diferenciales de Jcr orden con variables separables

351

4 o. F o r m a c i ó n d e J a s e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s . A l fo r m ar la e c u a c ió n d ife re n cia l en lo s prob lem a s g eom étricos, se puede 'em plear c o n frecuencia e l s e n tid o g e o m é trico de la derivada, co m o tangente.'del á n g u lo que form a la recta tangente a la curva con la d ir e c c ió n p ositiva d e l eje O X ; esto perm ito, en m uch os casos* determ inar inm ediatam ente la re la c ió n entre la ordenada y de la cu rva que so busca, y su abscisa x e y \ es decir, obtener la ecu a ció n d ife re n cia l. En otros casos (véanse io s pro b lem as N 03 2783, 2890, 2895), se u t iliz a e l se n tid o g e o m é trico de la integral d e fin id a , co m o área do u n trap ecio m ix t ilfn e o o lon g itu d de u n arco. En este

F i g.

106

caso, d irecta m en te de las c o n d ic io n e s d e l p rob lem a , *se ob tie n e una ecu ación integra] s im p le (puesto aue la fu n c ió n que se busca se encuentra bajo el sig n o in te g ra l), pero quo d e riv a n d o sus d os m iem bros, se puede co m fa cilid a d transform ar en ecu a ció n diferen cial. E j e m p l o 3. H a lla r una cu rva que pase p o r el punto (3; 2), para ]a que la lo n g itu d d e l segm ento de cu alquiera do sus tangentes, com prendido entre los ejes de coordenadas, este d i v id id o en e l p u n to de con ta cto en dos partes iguales. S o l u c i ó n . Sea AI (x, y) el p u n to m e d io de la tangente A B t que según las c o n d ic io n e s es, a la vez, el punto de con ta cto (los pu n tos A y D son lo s pu n tos do in tersección de la tangente co n lo s ejes O Y y OX) . De acuerdo co n las c o n d icio n e s , OA = 2y y O B — 2 x . El c o e ficie n te angular de la° tangente a la curva en el p u n to M (x> y) es igual a dy dx ~

OA ___ y_ OB ~ x

Esta es la e cu a ció n d iferen cia ] de la curva que tra n sfo rm a ció n , tenem os: x

se buscaba.

y

y , por co n sig u ien te ,

ln z + ln|/ = ln C, o sea, xy — C.

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H acien do una

352

licuaciones diferenciales

U tiliz a n d o la c o n d ic ió n in ic ia l, determ inam os que C = 3 - 2 = G. Ja curva rjiio se buscaba os la hipérbola xy — (i.

Es decir,

R esolv er las ecu acion es d ife re n cia le s: 2 74 2. tg x sen2 y d x -f- eos2 x e tg y d y = 0. 2 74 3. x y f — y = xf. 2744. x y i j = 1 - x 2. 2 74 5. y — x y ' — a (1 + x 2y'). 2746. 3ex l g y d x + ( l — e x) sec2 y d y = 0. 2747. y ' tg z = y. H a l l a r las so lu cio n e s p a rticu la re s d e las sig u ien tes ecu acion es, q u e satisfacen a las co n d ic io n e s i ni ci al es que se in d ica n : 2 74 8. (1 + e x) ^ y - y ' =
y ' $ e n x = yh\ y\ £/=■=! p a r a a : = ^ .

R e so lv e r las sig u ien tes ecu a cion es d ife re n cia le s cai nbi o de V ariables:

v a lié n d ose

del

2751. i/ = ( x + y Y K 2752. y ' = ( 8 x + 2 y + l ) \ 2753. (2o: -)- 3y — 1) d x - f (Ax + 6 y — 5) d y — 0. 2754. (2x — y ) d x-\ -(A x— 2 j / + 3) d y = * 0 . E n lo s f\os 2755 y 2750 pasar a la s coord en a d as polares: 2755. t f = V * + £ = * . 2756. (x 2 + y - ) d x — xi/ d y = 0. 2757*. H a lla r una cu rv a que tenga u n segm ento de tan gen te cu y a lo n g itu d sea ig u a l a la d ista n cia desde e l p u n to de con ta cto hasta el origen de coordenadas. 2758. H a l l a r una c ur v a para la que el segm ento de la nor mal , en cu a lq u ier pu n to de la m ism a, com p ren d id o en tre lo s ejes de c o o r denadas, esté d iv id id o p or este p u n to on dos partes iguales. 2 75 9. H a lla r una cu rva c u y a subtangente tenga vina lon g itu d co n sta n te a. 2760. H a lla r una cu r v a cu y a su btan gen te sea el d ob le de la abscisa del p u n to de con ta cto. 2761*. H a lla r una c u r v a , para la que la abscisa del ce n tro d o g ra vedad de. la fig u ra pl ana, lim ita d a p or lo s ejes de coordenadas,

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E cuaciones diferenciales homogéneas de 'Ier orden

353

por esta m ism a cur va y p o r la ordenada de cu a lq u ie ra de sus pu n tos, sea ig u a l a 3 /4 de la abscisa de este punto. 2 76 2. H a lla r la ecu a ción de la cu rv a que pasa por el p u n to (3; 1), para Ja que el segm en to de tangente com prendido entro e l punto d e c o n ta c to y el e je O X esté d i v i d i d o cu dos partes igu ales p or el p u n to de in te rse cció n con el e je O Y . 2 7 6 3 . H a l l a r la e cu a ció n de la curva que pasa p or e l p u n to (2 ; 0), sa b ien d o que el segm ento d e la tan gen te a dich a c u r v a , com p ren d id o entre e l p u n to de co n ta cto y el eje OY> tien e l o n g i t u d co n s tante e ig u a l a 2. H a lla r las tra y e cto ria s o rto g o n a le s de las fa m ilia s de curvas q u e se dan a co n tin u a ció n (a es u n parám etro) y co n stru ir estas fa m ilia s y sus p ro y e ccio n e s ortogon a les: 2 7 6 4 . x* + y 2 = aK

2 76 6. x y = a .

2765. y2~ a x .

2 76 7. ( x — a ) '- ^ y ¿ = a2.

§ 4. Ecuaciones

d ife re n c ia le s homogéneas de 1er orden

1o. E c u a c i o n e s

homogéneas.

Úna ecu a ció n diferencial

P ( x , y ) d x + Q ( x t y) d y = 0

(1)

se lla m a homogénea, s i P ( x , y) y Q ( x t y ) son fu n cion es hom ogéneas de igual g ra d o. La e cu a ción (1) puedo reducirse a la form a

y por m e d io de la su stitu ció n y — xa, donde u os una nueva fu n ció n in có g n ita , so tran sform a en ecu a ció n c o n v a ria b les separadas. T a m b ié n se puede e m p lea r la su stitu ció n x = yu. E j e m p l o 1. H a lla r la s o lu c ió n general de la ecu ación

y ' = e -* + - ±y - . Solución. c= eu -\-u o bien,

H acem os la

s u s titu c ió n j

y = .u z \

en este caso,

dx

e 11 du — -----. x

0 Integran do, obtenem os u ~ — ln ln — , de donde

Q yt=n — x ln ln — . X 2o. E c u a c i o n e s

reducibles

a homogéneas.

/ «.S + M + C.X V & 2 X +^2^ ~ \~ c 2 / 2 3 — i 016

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Si

«

-

}

=

354

E cuaciones diferencia les

y ó = « i bi

É?2 ^2

O, pon ien d o en l a ecu a ció n (2) z = í ¿ + a , y = r>+(5, dondo la s

constantes a y J so determ inan p o r e l sistem a de ecuaciones

aiQ,-\-b$-\-Cí = 01 32<*+ $2P+ <:2==0> obten em os u n a ecu ación d ife re n cia l hom ogénea respecto a las v a r ia b le s u y v. Si ó — 0. pon ien d o en la ecu a ció n (2) o ix -4 -b 1y = u, ob ten em os una ecu ación c o n v a ria b les separadas.

In tegrar la s ecu a cion es diferen cia les: 2768. i / ' = — - 1 .

2770. ( x — y ) y d x — x H y = 0.

X

2769. *,' = — £ J i L . 2 7 7 1 . H a lla r , para la e cu a ció n ( z 2 + y2) cte — 2^2/¿y = = 0 , la fa m ilia de curvas in teg ra les y escoger a q u e lla s cu rva s que pasan respectivam ente por l o s pu n tos (4; 0 ) y (1; 1). 2772. y d x + ( 2 Y ~ x y — $ ) d y = 0 . 2773. x d y — y d x = ] /

+ i f dx.

2 7 7 4 . (4 s 2 + 3x y + y2) d x + (4 y2 + 3 z¡/ + z 2} ¿ y = 0. 2 775. H a l l a r la s o lu c ió n p a r tic u la r de la e cu a ció n (x 2— 3y^)dx-\-\-2 x y d y — 0 , con la c o n d ic ió n de que y = l p a ra x t = 2 . R eso lv e r la s ecuaciones: 2 7 7 6 . ( 2 x — y + 4 ) d y + ( x ~ - 2y + 5 ) d x = 0. 9777

» /—

y ~

i+ x ^ y

•

2778

?/ -

V ~

x + 2? + x

2x + 4 y + 3 ‘

2 7 7 9 . H a l l a r la e cu a ció n de la cu rv a , q u e pasa p o r el p u n to (1 ; 0) y q u e tiene la propiedad de q u e el segm en to, q u e inter cepta su ta n gen te en el eje O Y , es ig u a l al ra d io p o la r del p u n to de con ta cto. 2 78 0**. ¿Q u é form a debe darse al e s p e jo de un p r o y e c to r para q u e lo s ra y o s del f o c o lu m in o so con centrado1-en u n p u n to se reflejen form a n do u n haz paralelo? 2 7 8 1 . H a lla r la e c u a c ió n de la cu rv a , c u y a subtangente es ig u a l a la m edia a r itm é tic a de las coordenadas del p u n to de co n ta cto . • . 2782. H a lla r la e cu a ció n de la cu rv a , para i a c u a l, la l o n g i tu d del segm en to, in tercep ta d o por la n o rm a l en cu a lq u ie ra de sus puntos en el e je de ordenadas, es ig u a l a l a d ista n cia desde este p u n to a l origen de coordenadas. 278 3 *. H a lla r la ecu a ció n de la cu rv a , para la c u a l, el área com prendida entre e l e¿e« de abscisa s, la m ism a cu rva y dos o rd e ñadas, una de las cu a lés¿ es con sta n te y la otra v a ria b le es igual

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E cuaciones diferenciales lin eales de 1er orden. E cu ación de B ern ou lll

355

a l a ra z ó n del cu b o de la ordenada v a r ia b le a la abscisa corres pondiente. 2784. H a l l a r la cu rv a , para la c u a l, l a lo n g itu d del segm ento del eje de ordenadas, in tercep ta d o p o r cu a lq u ie ra de sus tangentes, es i g u a l a la a bscisa d e l p u n to de con ta cto.

§ 5.

Ecuacio nes d if e r e n c ia l e s lin e a le s de 1er o rd e n . Ecuación de B e rn o u lll í°. E c u a c i o o o s

lineales.

La e c u a c ió n

d ife re n cia l de

y ' + P ( x ) y = (QY(x)

laform a (1)

de 1er g r a d o c o n respecto a y e y \ se lla m a lineal. S i la f u n c i ó n Q ( z ) = 0 , la e cu a ción (1) tom a la form a y' + P ( x ) y = 0

(2)

y r e c ib o el n o m b re d e e c u a c ió n d ife r e n c ia l lin ea l homogénea. En esté caso, las v a r ia b le s se separan y la s o lu c ió n g en era l de la e c u a c ió n (2) es

(3) Para re s o lv e r la e c u a c ió n lin e a l n o h o m og é n e a (1) se em plea el lla m a d o m é to d o de variación de la con stante arbitraria. Este m é to d o co n s is te en que, p rim e ra m e n te, se h a lla la s o lu c ió n g en era l de la corresp on d ien te ecu ación lin e a l hom ogénea, e s d e c ir , la e x p re s ió n (3). Después, su pon iend o que en esta e x p resión C e s f u n c ió n de x , se busca la s o lu c ió n de la ecu ación n o h om og én ea (1) en la fo rm a (3). Para e llo , p on em os en la ecu a ció n (1) y e y \ deducidas de (3), y de la e cu a ción d ife re n cia l así ob ten id a d e te rm i n am os la fu n c ió n C (*). D e esta form a , ob te n e m o s la s o lu c ió n general d e la e c u a c ió n n o h om ogénea (1) de la form a y = C (x)e Ejem plo

i.

J

R e s o lv e r la ecu a ció n (4)

y' — t g x - y + c osx,

Solución.

La corresp on d ie n te e c u a c ió n h om ogénea es y' — t g x y ^ O .

R e s o lv ié n d o la , tenemos; y — C— L - . COS x C on sid erando C c o m o f u n c ió n d e * y d eriv a n d o, hallam os: ^

t: cos x

dC . dx

sena; ^ e os2 x

P o n ie n d o y o y ' en la ecu a ción (4 ), obtenem os: 1

dC

sen x

C

, ...

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dC

356


d e donde

i

f

C

(a:) = \ eos2 z rfx = —

i

x+

sen 2 z +

Cy.

Por con sigu ion te, la so lu ció n general de la ecu a ció n (4) tieno la form a y = (\ -x-\ — V 2 1 4

s e n 2 z + C± \ ------ -— / eos#

.

Para resolver la ecu a ció n lin e a l (1) se puede em plear tam bién la s u sti tución y = uvy

(5)

donde u y v son fu n cion es de x . En este caso, la ecu ación (1) tom a la form a [u ' +

P

( ).

(6)

{x ) u ]v -\ -v 'u = Q x

Si se e x ig e que u' + P ( x ) u = 0,

(7)

do (7) h a llam os u y y después, de (6) h a llam os v> y por fin , de (5) h a lla m o s y. 2o. E c u a c i ó n d e

B e r n o u 1 i i. L a ecuación do 1er orden de

la form a

y '+ P (x )y = Q (z )y «, donde a ^ O y a = £ l , so lla m a e c u a c i ó n d e B c r n o u l l i . Esta ecu ación se reduce a lin ea l valiéndose do la su stitu ción z — y 1” 01. Se puede tam b ién em plear directam ente la su stitu ció n y = ui\ o el m étodo de v a r ia ció n do la constante arbitraria. Ejem plo

2.

R e s o lv e r la ecuación

Z7* Solución.

Esta es una e cu a ción de B ern ou lli ên la que

-

Poniendo y = uvt 'Obtenemos: uv-\-x ~[/uv

o

v û'

u

j

-\ -v 'u z = x ~\/uv.

P ara determ inar la f u n c ió n u e x ig im o s que se cu m p la la relación

u '— — u = 0 , X

de

donde

P o n i e n d o e s ta e x p r e s i ó n e n la e c u a c i ó n (8 ), te n e m o s : v ,x* = x \/vx*t d e d o n d e h a l l a m o s v:

t i .

,

..

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(8)

E cuaciones diferenciales lineales de Jcr orden. Ecuación de B ern ou lll

357

y , p o r co n s ig u ie n te , obten em os la s o lu c ió n general en la form a y = *i

(-J- ln| xl + C j 2.

H a lla r la s in te g ra le s gen erales de las ecu a cion es: 2785. 4 ^ -------— = x. dx x 2786. 4dx ^ - +1 —x = **. 2 7 8 7 * . (1 + y2) d x ^ ( Y i + ¡ r sen y — x y ) d y. •2788. y2 d x — ( 2 x y + 'ó) d y = 0 . H a l l a r las s o lu cio n e s p a rticu la re s que sa tisfa ga n a las c o n d ic io nes que se indican: 2789. xy ' -\-y — e x = 0 ; y = b 2 790. y' —

para x ~ a .

- J —g- — 1 — x = 0 ; y = 0 para x = 0.

2 7 9 1 . y' — y t g * « — L _ ; y = 0 para x = 0. H a lla r las s o lu cio n e s gen erales de la s ecu acion es: 2792.

-x y * .

2 793. 2 x y - % — y t + x = 0. 2 7 9 4 . y d x-\ -{^ x— ~

z 3i/) d y — 0.

2795. 'á xd y = y ( l - \ - x s e n x — 3j/3 s e n s ) dx. 2796. Se dan tres

s o lu cio n e s

p a rticu la res

e c u a c ió n lin e a l. D em ostrar, q u e la ex p resión y 2E y con stan te para resultado?

cu a lq u ie r

x.

¿Q ue

sentido

y , y x e y2, de una con serva tin v a lo r

g e o m é t r ic o

tiene

este

2 7 9 7 . H a lla r las cu rva s, para las cu a les, el área del tr iá n g u lo form ado p o r el eje O X , la tangente y el r a d io v e cto r al punto de co n ta cto es constante. 2 7 9 8 . H a lla r la e c u a c ió n de la c u r v a , para la c u a l, el segm en to in terceptado por la tangente en el e je de abscisas es ig u a l al cuadrado de la ordenada del p u n to de con ta cto. 2 7 9 9 . H a lla r la ecu a ción de la c u r v a , para la c u a l, el segm en to interceptado por la tangente en el eje do ordenadas es ig u a l a la su bn orm a I.

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358

licuaciones diferenciales

2800. H a lla r la ecu a ción de la cu rv a , para la cu a l, e l segm ento in terceptado por la tangente en el eje de ordenadas es p r o p o rc io nal ai cu adrado do la ordenada dol punto de con ta cto. 2801. H a lla r la ecu a ción de la c u r v a , para la cu a l, la lon gitu d de la tangente es igual a la distancia desde el punto de intersec c i ó n de esta tangente con el e je O X hasta el p u n to M (0, a). § 6, Ecuaciones d ife re n c ia le s e x a c t a s , F a c t o r In te gra nte I o. E c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s totales). Si para la ecu ación diferencial

exactas

(o en

diferen cia les

P ( x } y)dx + Q (z t y)dy = 0

se cumple la igualdad — - s

,

(1)

la e cu a ción (1) so puede e s c r ib ir de la

form a dU (x , f/) = 0 y se llam a ecuación d i f e r e n c i a l exacta (o en diferen cia les totales). La in teg ra l general de la e cu a ción (4) es U (x , y ) = C. La fu n ció n U y) se determ ina por ol m étod o que se in d ic ó en el cap. V I , § 8, o por la fórm u la

* U ~

y

^ P(ar, y )d x - \ - ^ Q ( z 0t y ) dy

x0

^0

(véase e l cap. V i l , § 9). Ejemplo

1.

H allar la in tegral de la ecu ación d iferen cial ( 3 * * + 6* 0*) d x + ($x*y + 4y3) ¿ 0 = 0 .

Solución.

Ó (3**+6*0*)

—

Esta

es

0(6**0 + 403)

dy la form a d ü = 0. Aquí

una

— — l 2 xy

dx

8U dx

ecu ación y,

d ife re n cia l

4

por con sigu ien te,

= 3*2 + 6 x y * ,

exacta,

ya

la ecu ación

que

4.

tiene

= 6 * 2 y + 4 y*;

d e donde U = ^ ( 3 z a + 6 : t 0 a) ¿ ;c + ' (y) = Gx*y +

4y3

)r la co n d ició n ); de donde y ' ( y ) - t í y Z y q>(0) = 04 + £o' d e fin itiv a tenemos U ( x í y ) = s 3 + 3 í 202 + 04 + Co> y, por co n sig u ie n te, s 3 + 3z 202 + + y 4 — c es la in te g ra l general quo so buscaba do la ecu ación dada. 2o. F a c t o r i n t e g r a n t e . Si ol prim er m iem b ro do la ecu a ció n (1) n o es una d ife re n cia l exacta y se cu m p len las co n d icion es d e l teorema d é Cauchy, e x is te ’una fu n ció n p = |x(:r, y ) (factor integrante) ta l, que

S

li(P d x+ Q d y)*= d U .

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(2)

E cuaciones diferenciales exactas.

359

F a ctor integrante

De d o n d e o b te n e m o s , :q u e la fu n c ió n \i sa tis fa ce a la ecuación

£ < ! * > - £ W ). E l fa c t o r in te g r a n te \í se puedo h a lla r f á c ilm e n t e en d os casos:

1}

" S - ) = F ( x ) ' entoncos

2)

(^);

= F * W ' cntonces Ia “ I* («O-

Ejem plo

2. R e s o lv e r la e cu a ción [2xy + z

Solución.

*

y

j d x + (x* + y*) dy = 0.

Aquí

y , p o r co n sig u ien te p = |i(2:). C

o

m

o

-

^

d

p

-

=

-

^

r

-

0

f *

1

7

=

^

i

r

+

<

?

- 5

í

-

’

5

0

t

e

n

d

r

á

q

u

c

- ^ - = 4 " ( 4 r - 4 * ) r f z = ¿ * ° ,,líl= ;E , f*= e s M u lt ip lic a n d o la ecu ación p o r p = ¿x obtenem os:

e*

tfa: + ex (*2H-£ía) < % - 0

q ue e s una e c u a c ió n d i fe r e n c ia l e x acta , in te g rá n d o la , ten drem os la integral g en era l

H a lla r las in te g ra les gen erales de las ecu a cion es: 2 8 0 2 . (x -\ -y ) dx-\- ( x - f 2y) d y = 0 . 2 8 0 3 . (x 2 + y 2 + 2 x) d x -f- 2x y d y — 0. 2 8 0 4 . ( x 3 — 3xy~ + 2) d x — (3 x 2y — y2) d y — 0. 2 8 0 5 . a: d x + y d y = * % = $ * . 2806.

*1L * L + - * * - ? * ' . d y ~ 0.

2 8 0 7 . H a l l a r la in te g ra l p a r tic u la r de la ecuación ( z + e v ) d x + ev ^ 1 — 7 ) ^ — 0 , q u e satisfaga a l a c o n d ic ió n in ic ia l ¡ /( 0 ) = 2.

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360

E cuaciones diferenciales ■ — —1

*

-■ —

- —

R e s o lv e r las sigu ien tes e cu a cio n es, que a d m ile n e l fa c t o r i n t e grante de las form as = o = 2808. (x

y 1) d x — 2x y d y = 0.

2809. y ( l - \ ~ x y ) d x — z d y ' = 0 . 2810. ^ d x + ( y s r - l a x ) d y = 0 . 2811. (x c o s y — y sen y ) d y

(x se n y + y eos y) d x = 0.

§ 7. Ecuaciones diferenciales de 1er o rd e n , no r e s u e l t a s con r e s p e c t o a la derivada I o. E c u a c i o n e s diferenciales s u p e r i o r . Si la ecu ación

de

1er

orden,

F ( x % i/. y ') = 0,

de

grado (1)

por e j . , es de sogundo g ra d o c o n rospccto a y ' , re s o lv ié n d o la co n respecto a y ' t ob ten em os d os ecuaciones:

=

y)-

(2)

De esta form a, p o r cada p u n to jW0 ( z 0, y 0) do un determ in a do c a m p o del plano pasarán, on general, d os curvas integrales. La in tegral general de ln ecu ación (1) tiene, en esto caso, la form a (D (* , y , C) = * , ( * , y,

C) 0)2 ( * ,

y t C) = 0,

(3)

donde y ) = 0 , F ’v ( x , y , />) = 0 .

(5 )

Debe advertirse, que las cu rv a s determ inadas p o r las ecu a cio n e s (4) o (5) n o so n siem pro s o lu c io n e s de la ecu ación (1); por lo c u a l, en cada ca so c o n c r e t o es n e cesa rio hacer la prueba. E j e m p l o i . H a lla r las in tegrales, g e n e ra l y sin g u la r, do la ecu a ció n + 2 s y ' — y = 0.

Solución. hom ogéneas:

R e s o lv ie n d o

co n

re s p e cto a

determ inadas en e l campo +

>0,

cuyas integrales generales son

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y

te n e m o s d os ecu a cion es

Ecuaciones diferenciales de 1er orden, no resueltas con respecto a la derivada 301 o (2ss + y — C) - 2 1 / x - ^ x y = 0 ,

(2* + y - C) + 2 1/ x * + X y = 0.

M u ltip licá n d ola s entre sí, ob ten em os la integral general do la ecuación dada

o bien (y-C )*= A C x (fa m ilia de parábolas). D e riv a n d o la integral general resp ecto a C y e lim in a n d o 6'. h a lla m o s la integral singular y

- |- X = 0 .

(La prueba demuestra q ue y - f x = 0 es so lu ció n de la ecu ación dada). La integral sin g u la r tam b ién se puede h a lla r d e riv a n d o xp'¿ -\-2xp— y = 0 respecto a p y e lim in a n d o p . 2°. R e s o l u c i ó n de la e c u a c i ó n diferencial p o r el m é t o d o do i n t r o d u c c i ó n do un p a r á m e t r o . Si la ecuación d ife re n cia l do 1er ordon tiene la form a

*= 

7

, d

,

+

* -v (9 .P h

d o n d e p = y r desem peña el papel d e parámetro. A n á loga m en te, si y = y'), las variables x c y so determ inan por el sistem a do ecuaciones ■' d'lb

Ejemplo

2.

,

¿hh

dp

H allar las in tegrales, general y singular, de la ecu ación

S o l u c i ó n . H aciendo e c u a c ió n de la forma

la

su stitu ció n

>/' — />, volvernos a

escrib ir

la

.r 2 i/ = P2 — * P + 2 . D erivan do resp ecto a x y

co n sid era n d o

p = 2pí ~

p com o

fun ción de x , tenem os

p - xi r + x

o b ion

( 2p — x ) — (2p — x), o sea = 1. Integrando, obten em os p — x \ - C . ax ax P o n ien d o esto c n la ecu ación p r im itiv o , tenem os la solu ción gonoral: y = (X + C ) * - x ( x + C ) + ^ -

O

„-¿*+ C x+ C ».

D erivando esta s o lu c ió n general respecto a C y

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e lim in a n d o

C, obten em os

362


la solución singular: y = ~ - , de

la

ecu ación

^La prueba domuestra que y — ^ - e s solución

dadaj .

S i se iguala a c e r o el fa cto r 2p — x t en q uo se h iz o la s im p lific a c ió n , o b te n e m o s P = y » y» p o n ien d o este v a lo r de p e n la as n o m o s y = — , es d e cir, la m ism a s o lu c ió n singular.

H a lla r las in tegrales generales y

ecu a ció n dada, o b le

sin gu lares de las ecu acion es

(en lo s N oa 2812 — 2813 con stru ir el ca m p o de la s cu rva s in tegrales): 2 8 1 2 . y ’ * - 2 L y ’ + i = o. X

2813. 4 j/'2 - 9 z = 0. 2 8 1 4 . y y ' * - ( z y + í ) y ' + x = 0. 2815. y t f * - 2 x y ' + y = 0. 2816. H a lla r las cu rva s in teg ra les de la e c u a c ió n j/'8 + í/a — 1, que pasan p o r el p u n to JWÔ; -|-j . R e s o lv e r ías ecu a cion es sigu ien tes, y '= p :

in trod u cien d o el

2817. x ^ s m y ' + ln y '.

2820. 4 y = x * + y'*.

2818. y = y ' W .

2821. e* =

parám etro

■

2 819. y — y 'z -\-2\n y '. § 8. Ecuacloims de Lagrange y de Gla lraut I o.

Ecuación

do

Lagrange.

La ecu a ció n d e la form a

V^x
(1)

d o n d e p ^ y \ recib e el n o m b re de ecuación de Lagrange. P o r m e d io de la d eriv a ció n , y ten ien d o en cuenta q ue dy = pdx> la e cu a ción (1) se reduce a lin e a l co n respecto a x\ p d x = q> (p ) dx + [xq>' (p ) + y ' (p)] d p , Si p ^ (p) +

en

(p),

d o n d e p os un parámetro y f (p) y g { p ) unas fu n cion es c o n o cid a s d eterm i nadas. Además, puede e x is tir s o lu c ió n singular, q uo so busca p o r e l proce d im ie n t o general. 2o. E c u a c i ó n d e C l a i r a u t . Si en la e cu a ción (1)
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E cuaciones

de Lagrange y

d e Clairaut

303

La s o l u c i ó n general do esta ecu ación tie n e la form a do y*=C'x-{-ty(C) ( fa m ilia de rectas). A dem ás, e x iste s o lu c ió n sin g u la r (e n v o lv e n te ), q ue so o b t i e n e c o m o resu lta d o d e e lim in a r e l p a rá m etro p d e l sistem a de ecuaciones

r z = - y (P), \ Ejemplo.

y = px+ ip (p ).

R e s o lv e r la ecuación (3 )

Solución.

Ponem os y ' = p ,

en este caso,

y = 2 p x + -^ -;

deriva n do

y su stitu y e n d o dy p o r p d x } obten em os: p d x = 2p dx + 2x d p — ~ ~ o bien, dx tfp -

2 i 1 p x ^ p * '

R e s o lv ie n d o esta e cu a ción lin e a l, tendrem os: x — ~ a ( ln p + C ) . P o r co n s ig u ie n te , la e c u a c ió n g en era l será:

x = ~j£ 0 QP + O » y = 2p x-\ -~ . P

Para h a lla r la in tegral sin g u la r según la regla g en e ra l, form am os el sistema y = 2 Px + - L ,

0 — 2x

.

De aquí

1

2.

— T ?T ' y , p o r co n sig u ie n te ,

y = ± 2 l/2 i. P o n ie n d o y en la ecu a ció n (3 ), n o s c o n v e n c e m o s de q uo la fun ción o b ten ida n o es s o lu c ió n y de quo, p o r c o n s ig u ie n t e , la ecu ación (3) n o tiene in tegral singular.

R e s o lv e r la s sig u ie n te s ecu acion es de L agrange: 2822. y = ± x ( y ' + j r ) .

2 8 2 4 . y = (1 + y 1) x + y'K

2 8 2 3 . y = y ' + V l - y ' z.

2825*. y =

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y '(2 x + y ' ) .

364


H a lla r las in tegrales, generales y sin gu lares, de las sigu ien tes ecu a cion es de C la ira u t y co n stru ir los ca m p os de la s cu rva s inte grales: 2826. y = x y ' + y'*. 2827. y ^ x y ' + y \ 2828. y = x y ' + j / l + ({/')*. 2829. y = x y ' + ± . 28*10. H a lla r la cu rva, para la c u a l, el área del tr iá n g u lo form ado p o r la tangente a la m ism a , en c u a lq u ie r p u n to , y los ejes de coordeuadas, es constante. 7831. H a lla r la cu rv a , si la distan cia desde un p u n to dado hasta cualquiera de las tangentes de la m ism a, es con stan te. 2832. H a lla r la cu rva, para la c u a l, el seg m en to de cu a lq u ie r a de sus tangentes, com pren did o entre lo s ejes de coordenadas, t ie n e una lon gitu d constante, ig u a l a L § 9,

Ecuaciones

2833. cia le s «>

e

d ife re n c ia le s d iv e rs a s de l 6r orden

D e te rm in a r in d ica r

el

sus

(x -\ -y )y ‘ = x

tip o

de

la s

m étod os

de

re so lu ció n :

a r c t g —•;

y' = 2 x y + x 3-

k)

d) y ' = 2 x y + y 3;

xy'

0

( y — * ¡ 0 * = y ' 3;

sen

(y' — 2xy) Y y

=

a)

y'

+

+

y

sen

2837.

(2 x y z — y ) d x + x d x = 0. x y ' + y = x y 2 \nx.

2838.

y = x y ' + y' \ny'.

(y* +

+ 3 -cV )

dy

=

0;

(xy3 -|- l n x) d x

=

b) x ] n - j d y — y d x = z Q .

2836.

1;

n)

i/cos-| -) d x + x e o s - ~ d y

x dx—

=

(x3— 3 xy)d x+ (x3+ 3 )d y = 0 ;

Xa;

2835.

y'

m)

R e s o lv e r las ecu a cion es: 2834.

d ife re n

(x3 — x y ) y ' = y*]

y-t

g ) y ^ x e ’J'-, h)

eos

1) ( x 3 -\-2 xii3)

e)

-f- j/ =

e cu a cio n e s

i) i / = z ( x + y ) 2:

}) x

b) ( x - y ) y ' = y 2; c)

sig u ie n te s

— y 3>j dy,

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0;

— t/2

dy.

365

E cuaciones diferenciales diversas de 1er orden

2839. y = x y ' - | - Y — ay'. 2 840. x 2 { y - \ - i ) d x - \ - { x z — 1) (y — 1) d y — 0. 2841. ( 1 - )- y 2) (e2 x d x — e » dy) — ( i 2 842. y - y

2 x -í

y) dy = 0. 2845. ( 1 — x2) if + x y ^ a .

= i.

2843. y e y — ( y a -p 2 x e y) y ' .

2846. x y '

y- ^ - x = 0. *+1

2 844. y ' + y c o s x = sen x c o s x.

2 8 4 7 . y' (a; cos y + a s o n 2 y ) = i .

2 8 4 8 . (.t? y - x 2-\-y — 1) d x + (x y + 2 x — Sy — & ) d y ^ 0 . 2 849.

✓ - Í 1 + - * £ ■ ) '• 2) dy. 2 8 5 0 . x y 3 d x = ( x 2y 2851.

3**

U ~

** + y + l ‘

- d y - \ / - j d x < = 0.

2852. 2 d x + y 2853.

2861. e" d x + ( x e » — 2 y ) d y ==0.

i r - í + t f f f .

2854. y y + y2 = coa x.

2862. y = 2 x y ' + V l + y'?

2855. x d y + y d x — y 2 ¿fa.

2863.

2856. I/' (.t + sen y^ = i .

2864. (2

2857. y %

2865.

J/ — - r (1-t-ln i/ — ln a;). X

- - P + f -

e

x

+

y

*

)

d

y

—

y

e

x

dx~-, 0 .

2 8 5 8 . x 3 d x - ( x * + , f ) d y = 0.

2866. x y ( x i f + i ) d y — dx= =0.

2859. a:**,'* + 3 a ^ ' + 2 r - 0.

2867. a (*'/ + 2 y ) — x y y '.

2860.

2 d x + y dy

y m

*

2868. x d y — y d x — y 2 dx.

+

i dy — y d x

0.

2869. (a:2 — 1)3/2 cfy + (a;3 + 3x y Y x 2 — í ) d x = 0. dy

2870. t g x ~ 3 ¿ - y = a 2871.

Y a 2-\-x2 d y ( x y — Y a2 -f- x 2) d x — 0.

2872. x y y 'a — ( x2 + y 1) y' + x y = 0.

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366


2873. y = Xy ’ + - ~ . 2874. (3a:3 -(- 2 x y — y 2) d x 4 - (x2 — 2 x y — 3 y 2) ¡?y = 0. 2875. 2 y p Í | = 3 p 3+ 4 y ® . H a lla r las solu cion es de la s sigu ien tes con d icion es in icia le s que se in d ica n :

ecu a cion es, para la s

2876- y ' = ^ t l ; y = 0 para 3 = 1 , 2877.
y = eos x ; y = y para £ = 0.

2 8 8 1 . y' — 2 y ~ — x %\ y = -i* para 3 = 0. 2882.

y '- \ - y = 2x ; y = — 1 para 3 = 0.

2 883.

3 í/' = ^; a) y = l para 3 = 1; b) ¿/ = 0 para 3 = 0.

2884. 2x y ' = y ; a) ?/ = l para 3 = 1; b) y = 0 para 3 = 0. 3

2885. 2xy?/' + x 2 — y? = 0; = 0; c ) y = 0 para 3 = 1.

a) y = 0

para

3 = 0;

b) y = 1

para *

2886. H a lla r una curva que pase por el p u n to (0; 1) y que la subtangente sea ig u a l a la suma de la s coordenadas del p u n to de con ta cto. 2887. H a lla r la cu rva, sabiendo, que la suma de lo s segm entos que intercepta la tangente a la m ism a en lo s ejes de coordenadas es con stan te e igual a 2 a . 2888. La suma de las longitudes de la norm al y de la subnorm al es ig u a l a la unidad. H a lla r la e c u a c ió n de la cu rv a , sabien do, que ésta pasa por el o rig e n de coordenadas. 2889*. H alla r la cu rva, para la c u a l, el á n g u lo form ado por la tangente con el radio v e cto r del p u n to d e . co n ta cto es constante. 2890. H a lla r la curva, sabiendo, que e l área com prendida entre los ejes de coordenadas, esta cu rva y la ordenada de cu alqu ier punto situ ado en e lla , es ig u a l a l cu b o de esta ordenada. 2891. H a lla r la cu rva, sabiendo, que el área del sector lim ita d o por el eje p o la r, la propia cu rva y e l radio p o la r do cualquiera de sus puntos, es proporcion a l a l c u b o de este radio. 2 892. H a lla r la cu rva, para la c u a l, el segm ento que intercepta la tangente en el eje OX> es ig u a l a la lo n g it u d de la propia tangente.

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E c u a c io n e s d ife r e n c ia le s d iv e rs a s de 1e r o rd e n

367

2893. H a lla r la cu rv a , para la c u a l, el segm en to de tangente, com prendido entre los ejes de coordenadas, se d iv id e en dos partes igu a les por la parábola y 2 = 2 x. 2894. H a lla r la cu rv a , para la c u a l, la norm al a cu a lqu iera de sus pu n tos es ig u a l a la distancia desde este punto hasta e l origen de coordenadas. 2895*. E l área de la figura lim ita d a por una curva, lo s ejes de coordenadas y la ordenada de cu a lqu ier punto de la cu rva, es igual a la lon gitu d d o l coorrespondiente arco de la m ism a. H a lla r la e cu a ció n de esta cu rva, si se sabe, q u e pasa por el punto (0; 1). 2896. H a lla r la cu rv a , para la c u a l, el área del trián gulo que form an el eje de abscisas, la tangente a la curva y el radio v ector del p u n to de co n ta cto , es co n sta n te e igual a a2. 2897. H a lla r la cu rva, sabiendo, que el punto medio del segm ento, interceptado en el e je O X por la tangente y la norm al a la m ism a, es constante, (a; 0). AI formar la ecuación diferencial de 1er orden, sobre todo en los probloraas físicos, son frecuentes los casos en que conviono emplear el llamado método de las diferenciales, que consiste en que, las relaciones aproximadas entre los incrementos infinitamente pequeños de la3 magnitudes que se buscan, ciertas con una aproximación nasta de infinitésimos do orden superior, se sustituyen por las correspondientes relaciones entro sus dife* renciales, cosa que no influye en el resultado. P r o b l e m a . En un d e p ó s ito hay 190 lit r o s de d is o lu c ió n acuosa que c o n tie n e 10 kg do sal. E n este d e p ó s ito se vierte agua con una velocidad de 3 li t r o s p o r m in u to y se expulsa la m ezcla co n v e lo cid a d de 2 litros por m in u to. La c o n ce n tra ció n se m antiene hom ogénea rem oviend o ol agua. ¿Cuánta sal habrá en e l d e p ó s ito después de transcurrida una hora?

S o l u c i ó n . So da el nombro do concentración c de una substancia dada, a la cantidad de la misma que hay en una unidad de volumen. Si la concentración es homogénea, la cantidad de substancia en un volumen V será igual a cV. Supongamos, que la cantidad de sal que hay en el depósito después de transcurrir t min, es igual a x kg. La cantidad de mezcla que hay en el depósito en este instante será (1004- 1) litros y, por consiguiente, la con centración c —

Por litro.

Durante el espacio do tiempo dty dol depósito salen 2dt litros de mezcla, que contienen 2c dt kg de sal. Por esto, la variación dx do la can tidad de sal quo haya en el depósito se caracteriza por la relación 2x ~ d x = 2c dt, o bien — dx*=* Esta es, precisamente, la ecuación diferencial que so buscaba. Sepa rando las variables o integrando, tenemos: In z = -2 1 n (1 0 0 +

9)

+ lnC

o sea,

x —

C (íoü-M*)

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Ecuaciones diferenciales La con stan te C so determ ina partiendo de la co n d ició n de que, cuando t = 0, x = lü, es decir, C = 100.000. Después dt* una hora, en el dep ósito quedarán

100.000

0

.

5¿3,9 k g de sal.

2898*. Demostrar, que la su perficie libre de un líq u id o pesado que gira alrededor de un eje v e rtica l, tiene la form a de un para boloide de rev olu ción . 2899*. H a lla r la dependencia que existe entre la presión del airo y la altura, con ociendo, que esta presión es igual a 1 kgf por 1 cm 2 al n iv e l d el mar y de 0 ,9 2 k g f por 1 c m 2 a 5 00 m etros de altura. 2900*. Según la l e y de H ooke, un co rd ón e lá s tic o do lo n g i tud /, b a jo la a cción do una fuerza do d ila ta c ió n t \ experim enta un increm ento do longitud igual a k l F (£■■=*con st). ¿En cu á n to aumentará la longitud de este cordón , por la a cción de su propio poso W , si so lo cu e lg a por u n o de sus extrem os? (L a lon gitu d in icial del cordón es /). 2901. Resolvor este m ism o problem a, pero con la co n d ic ió n de quo on el extrem o libre del cordón se suspende un peso P . A l resolver los problem as 2902 y 2903, u t iliz a r la le y de Nevvton, según la c u a l, la v elocida d con quo se en fría un cu erpo os proporcional a la diferencia de tem poraluras d e l cuerpo y del medio que lo rodea. 2902. H a lla r la dependencia entre la temperatura T y ol tiem po /, si un cuerpo ca len ta d o hasta '¡\ grados so introduce en un lo ca l cu y a temperatura es con stan te e igual a a grados. 2903. ¿Dentro de cuánto tiem po, la temperatura do un cuerpo calentado hasta 100°, descenderá hasta 30°, si la temperatura del local es igual a 20° y durante los primeros 20 m in e l cuerpo en cu e s tió n se en frió hasta 00o? 2904. El e fecto relardador d el rozam iento sobre un d isco que gira dontro de un líq u id o , es proporcional a la v elo cid a d angular de rotación . H a lla r la dependencia de esla v elocida d angu lar del tiem po, con ociendo, que ol d isco , que co m en zó a girar con una velocidad do 100 r .p .in ., después de pasar 1 min gira a una v e lo cidad de 60 r.p.m . 2905*. La v elocida d de desintegración d el radio es proporcional a la cantidad del mism o. Se sabe, que transcurridos 1600 años queda la mitad de las reservas in iciales de radio. H a lla r q u é la n ío por c íe n lo do radio rosultará desintegrado cu an do pasen 100 años. 2906*. La velocidad de salida d e l agua por un o r ific io , que se encuentra verticalm ente a una distancia h de la superficie

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E cuaciones diferenciales de órdenes superiores

369

lib re d e l líq u id o , se determ ina p o r la fórm u la v = c V 2gh, d o n d e c & 0 ,6 y g es la a c e le ra ció n de la fuerza de gravedad. ¿C u á n to tie m p o tardará en sa lir e l agua quo lle n a una caldera scm ie sfé rica do 2 ni de d iá m e tro , si s a le por un o r if ic io redondo q u e h a y en o l fon d o y que tiene 0,1 ni de radio? 2907*. L a can tidad do lu z que resu lta absorbida al pasar por una capa d e lg a d a de agu a, e s p rop orcion a l a la can tidad de l u z que ca e sobre o lla y al espesor de la m ism a capa. Si al atravesar una capa de agua do 3 m de espesor queda absorbida la m itad de la ca n tid a d in ic ia l de lu z ¿qué parte de esta ca n tid a d llega rá hasta la profundidad de 3 0 m? 2908*. L a resisten cia dol aire on e l descen so de los cuerpos en paracaídas e s proporcion a l al cu adrado de la v e lo c id a d con que se m ueven. H a l l a r la v e lo cid a d l í m i t e de la caída. 2909*. E l fo n d o de un d e p ósito, do 3 00 litro s de capacidad, e slá c u b ie r to de una m e z c la de sal y de una substancia in d is o lu b le . S u pon ien d o que la v e lo c id a d c o n que se d is u e lv e la sal es p rop orcion a l a la d ife re n cia en tro la con cen tra ción en el ins tan te d a d o y la con ce n tra ció n de la d is o lu c ió n saturada (1 kg do sal para 3 litro s de agua) y que la ca n tid a d de agua pura dada d is u e lv e 1 /3 de k g de sal por m in , h a lla r qué ca n tid a d de sal con ten d rá la d is o lu c ió n a l c a b o de una hora. 2910*. L a fuerza e le c tr o m o tr iz e de un c ir c u ito , c o n in ten si dad do co rrien te i , resisten cia R e in d u cta n cia L , és ig u a l a la c a íd a de te n sió n R i m á s la fuerza e le ctr o m o tr iz de a u toin d u cción L“

. D eterm in ar la in te n sid a d de la corrien te i t on un instante t,

s i c = E s e n t ó (E y o> son con stan tes) e ¿ = 0 cu an do ¿ = 0. § 10. Ecuaciones d if e r e n c í a l e s de o rdenes sup eriore s i°. C a s o

do

integración

inmediata.

Si

t/= /( * ) , se tieno y = [ d * \ . . . J / ( x ) d x + C , x " - i + C2* « - ü + . . . - | - C Il. n veces

2o. C a s o s d o r e d u c c i ó n a u n o r d e n i n f e r i o r . 1) Si ecuación diferencial no contiene y de forma explícita, por ejemplo:

la

E ( x t y \ y") = 0,

poniendo y' = p , obtenemos una ecuación do orden inferior en una unidad E ( x t p, p ') = 0. 24-1016

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Ecuaciones dijerenciales Ejemplo

1.

H a lla r la s o lu c ió n particular d e lu ecuación

x y ' + v ' + * ?=0, quo satisfaga a las co n d icion es y = 0, y f = 0 para x = Q. Solución.

P on ien d o y ' = p } ten em os {/" = />', d o donde xp'

p-\-x = 0.

R esolv ie n d o esta ecuación c o m o obtenem os:

lin ea l co n

p x = Ci

respecto a la fun ción

p,

.

De las co n d icio n o s y ' = p = 0 para z = 0, tonoinos quo 0 — Ct — 0, es decir, £ , = ( ) . P or con sigu iente x p

=

~

o bien, dy dx

_x_

2 ’

do don do, v o lv ie n d o a integrar, obten em os y = - ^ . + C2. P on ien do y ^ O para x = Q, h a lla m o s C2 = 0. particular que buscábam os es

P or co n sig u ie n te, la so lu ció n

2) Si la ecuación d iferen cia l n o c o n tio n e x de form a e x p líc it a , p. o j .

F ( y , y ', f ) = 0, pon ien d o y' = p , y u = p ^

t

» ob ten em os una ocuación do orden in fe r io r en

una unidad

' t * Ejemplo

2.

p’ p i § ) = 0

•

H allar la so lu ció n particular de la ecuación

co n la c o n d ic ió n do que y = \, y ’ = 0 para x = 0. Solución.

Ponem os y ' = p , en este caso, y 9 = p 4^* y nuestra ecuación d'J so transforma en la siguiente:

H em os ob ten id o una ocuación del t ip o de B orn ou ili c o n respecto a p (y se considera argum ento). R e s o lv ié n d o la , hallam os: p ^ ± y V C i+ y'K

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371

E cuaciones d iferen ciales de órdenes superiores

te,

Do

la c o n d i c i ó n y ' ^ p — 0 p a ra y — i 9 t e n e m o s C i =

____

p

= ±

vV v

— 1. P o r c o n s ig u ie n

2—t

o b ie n

dy % - ± y V y > - 1. In teg ra n d o,

ten em os:

1 +. x — ^ árceos— t 2. P o n ie n d o

y — 1

y

s — 0,

obten em os

quo

0 ^ = 0^

do

donde

c o s a ;,

o

y = sec z.

R e s o lv e r la s ecu a cion es. 29H .

y" = ± .

2 9 2 0 . y y " = y \ + J/'2.

•U

2912. y" = —

.

2921. y y -

y ’ (1 + y'). = 0.

2 9 1 3 . y " = 1 - V ' 2.

2 9 2 2 . y' = -

.

2914.

2923. ( x - f - 1) y " -

( x + 2) y' +

* * /" - } - y ' = 0 .

4

2 9 1 5 . y y " = y'*. yU y 2 9 1 6 . y y " - \ - y 'z = 0.

u> 2924. x y " — y ' \ n — .

2 9 1 7 . (1 + a:*) y"-h|/'2-5-1 = 0 .

2925, ^ + T

2 918. y ' (1 + i/'2) = ay". 2919.

j:-|

-2 =

0.

~ xy" '

2 9 2 6 . x y m-\-y" = l - \ - x .

x V ' + ^ ' = l-

2 9 2 7 . y w2-|-y"2 = l .

H a l l a r la s s o lu c io n e s p a rticu la re s, les q u e se in d ica n :

para las co n d ic io n e s in icia

2928.

(1 -\-x2,) y ' — 2 x y ' = 0; y = 0, y ' = 3 para x = 0.

2929.

l + y '2 = 2 y y "; y = 1, y ' =* 1para x =

2930.

y y " + y ' 2 = y ' 3; y — 1, y ' = 1 para x = 0.

2931.

x y " = y '; y = 0, y ' = 0

para x = 0.

H a l l a r la s in te g ra le s gen erales de la s ecu acion es: 2 9 3 2 . y y ' = V ¥ + y rV - y ' y ' ' 2933. yy" = y ' 2 + y' W

+ V a.

2934. y ' * - y y " ^ y Y . 2 9 3 5 . {/{/" + y ' 2-

i/'3 l n i / - 0 . 24*

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372


H a lla r las soluciones indican: 2936.

que satisfagan

a la s con d icion es que se

— 1; y = 1, y' = 1 para ^ =

•

2937. y y "-| -y '2 = 1; y = l , y ' = l para 3 = 0. 2938. z y " = V ^ l r í / ' 2; i/ = 0 para * = 1; y = l para x = e z. 2939. y ” (1 -I- ln x ) + ^ - y ' = 2 + h\x\ y = y .

y ' = 1 para * = 1.

2940. y " = - j - ( í H - l n ~ ) ; ’/= - j ’ 'S = 1 Para * = 1 2941. y" — y '2 4 y ’ (y — 1) = 0; y = 2 , y ' = 2 2942. 3 y 'y " = y 4 y ' s 4 1; y = - 2 ;

para 3 = 0 .

y ' = 0 para 3 = 0.

2943. y2 + r 2- 2 y / = 0 ; y = J , y ' = l para 3 = 0. 2944. 2/¿/' + y - f z/y" = 0; ?/ = 1 para x = 0 e y = 0 para x — — 1. 2945. 2//' + {í/'2- 6 ^ ) - ? / = 0; y = 0, y ' = 2 para .r = 2. 2946. y 'y 2-}- yi/f — y '2 = 0; y = 1, y ' — 2 para a: — 0. 2947. 2 y y " — 3 y '2 ~ 4//2; y = 1, y' = 0 para a: — 0. 2948. 2 yy "-| -2 r — y ' 2 = 0; y = l , y ' = l para * = 0. 2949. y" = y ' 2 — y; y = — i - ; 2950. y" + y2 «v " V y -

y ’ = i - para a r = l .

2- yyyy '2 = — 0; y// = — 1, y ' = — cv para 3 ^=

2951. l -r yy" + y ' 2 = 0; y = 0, y ' = l para 3 = 1. 2952.
y ' = l para 3 = 0.

2953. ( x i - i ) y " - \ - x i / - = i / ; y = — 2, y ' = 4 para 3 = 1. R e so lv e r las ecuaciones: 2954. y ' = 3i/"2 f y"s. 2955. y' = 3y" 4 y" — y"a. 2956. y"'2 = 4y". 2957. y y 'y " = y ' 3 — y"2. D estacar la cu rva integral que pasa por e l p u n to (0; 0) y q u o es tangente en éste a la recta y 4 - 3 = 0. 2958. H a lla r las curvas de radio de curvatura constante. 2959. H a lla r la curva, para la c u a l, ol radio de curvatura es proporcional al cu bo de la normal. 2960. H a lla r la curva, para la c u a l, el radio de curvatura es igual a la normal.

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E cuaciones diferenciales lineales

2 9 6 1 . H a lla r la cu rv a , para la cu a l, ol radio de curvatura es dos veces m a y o r que la norm al. 2 9 6 2 . H a l l a r las cu rva s, para las cu a les, la p royección d e l radio de curvatura sobre el e je O Y es constante. 2963. H a lla r la o cu a ció n del ca b le do un puente colgante, su pon ien do quo la carga se d istribu ye uniform em ente por la p royec c i ó n de d ic h o ca b le sobre una recta h o riz o n ta l. E l peso del cable se desprecia, 2964*. H a lla r la p o s ició n de e q u ilib r io de un h ilo fle x ib le , in estirab le, su jeto por sus ex trem os a dos puntos y que tiene una carga con stan te q (on la que se in c lu y e e l peso del p ropio h ilo ) por unidad de lo n g itu d . 2965*. Un grave sin v e locid a d in icia l resbala por un plano in clin a d o . H a l l a r la lo y de su m o v im ien to , si e l á n g u lo de in cli n a c ió n es igual a a , y el c o e fic ie n t e de frota m ien to [X. I n d i c a e i ó o. La fuerza do fro ta m ien to Ja re a cció n que op o n e el plano.

es igual a [¿/V, donde N es

2966*. L a resistencia del aire a la caída de lo s cuerpos puede con sid era rse proporcion a l al cu adrado de la v elo cid a d . H a l l a r la ley d e l m o v im ie n to , si la v e lo c id a d in ic ia l es ig u a l a cero. 2967*. U n a la n ch a de m otor, de 3 00 k g f de peso, se m ueve en lín e a recta c o n una v e lo c id a d in ic ia l de 66 rn/seg. L a resistencia del agua es proporcion a l a la v e lo c id a d e igual a 10 k g f cu án do la v e lo cid a d es de 1 rn/seg. ¿D e n tro de cu á n to tiem po la velocidad do la la n ch a será ig u a l a 8 m /sog. § 11. Ecuaciones d if e r e n c ia l e s lineales I o. E c u a c i o n e s liomogóneas. Las fu n cion es y x = 7t ( * ) se lla m a n lineal/nenie dependientes, cuando existen unas con stan tes C4, CT2, Cn , tales, que sin ser todas iguales a cero, so

tiene en e l c a s o co n tr a r io estas fu n cio n es re cib en e l nom b re de* linealmente independientes. La solución general de la ecu ación d ife re n cia l lin ea l hom ogénea y m + P i (x) y ^ - D + . . . + P n (* ) p - O c o n c o e fic ie n t e s co n tin u o s P¿ (x) (¿ = 1, 2,

(i)

n) tiene la form a

y = ^ lí/i + ^ 2 l/2 + •* • +£Vd/n» donde y<¿, ¡}n> son s o lu cio n e s lin ea lm en te independientes do la ecua c i ó n (1) (sistema fundamental de soluciones). 2o. E c u a c i o n e s n o h o m o g é n e a s . La s o lu c ió n general de la e cu a ción d ife r e n c ia l lineal no homogénea y ™ + P i {*) y ' n~ " + ■ . . + P n (*)
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&)

374


s ie n d o lo s c o e fic ie n t e s Pt (x) y nuas, tiene la form a

el

seg u n d o m ie m b r o

/ (x)

fu n cion es c o n ti

^ = ^0 + ^1 d o n d e f/ o es la s o lu c ió n general de la corresp on d ien te ecu a ció n h om ogénea (1) e Y una s o lu c ió n pa rticu la r de la ecu ación n o h om og én ea dada (2). Si so conoco u n sistem a fun dam en tal do solu cion e s y lt ygi •>.«&* de la ecu ación hom ogénea (1 ), la s o lu c ió n general de la correspond iente ecua c ió n n o hom ogénea (2) se puede h a lla r p o r la fórm u la y = C\ (x ) y i + C2 ( x )

+

- C u ( x ) y n,

donde las funciones Ct (s ) (¿ = 1, 2, . . n) se ob tien e n d e l sistema^ de ecua ciones ¿ i (^ ) V±~T

q <*) y í +

cí

{ x ) 1/2

+ • • • ~i“ é n ( x ) !/n ” d,

(z) vi

+ . . . + c ; <*) * ; = o T

(^)

cí (*) |/Ír ~ 2>+ Cí (x) 4 n- 2)+ . -. + c ; (*) y n( ~ 2>= 0 Ci (*) y(r 1:>■+Ci <*) y % - 1■>-+ ... + c ; (x) » {," " « = /(* ) (método de variación de las constantes arbitrarias) E j e m p l o . R esolv er la ecuación x y " + ij'=--x 2.

(4)

S o l u c i ó n . R e s o lv ie n d o la ecu ación hom ogénea obtenem os:

*y"+y'**

0>

y = é*1 ln i-|- é*2.

(5) o

P or consiguiente, se puede tom ar y l = ln x e y2 =r. t y buscar la s o lu c ió n de la ecu ación (4 ) en la form a V — Ci (x) ln x + C2 (x). Form ando e l sistem a (3) y teniendo en cuenta que la form a e cu a ción (4) es y " + — x

= x, obtenem os ( C í ( x ) l n x + C.; ( z ) l = Ü,

( Cí ( * ) - i + C¡ (*)■» = *■ De donde

y , p o r consiguiente.

y —— + A l n x + ü. d on d e A y B son con stan tes arbitrarias.

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reducida

de la

licu a cion es diferenciales lineales de 2o orden con coeficientes constantes 375

2968. I n v e s tig a r la dependencia lin e a l de los siguientes m as de funciones; a) x y x + 1;

o) X*

b) x 2, - 2 # 2;

f) e*, e2X, e 3X;

c ) 0, 1, x ;

g ) sena:, cosa:, 1;

á) x , x + i ,

x-\ -2 ;

* 3;

h) sen2 #, eos2 # , 1.

2969. F orm a r la e c u a c ió n d ifere n cia l lin e a l cie n d o su sistem a fu n d am en ta l de solu cion es: a) y * = s e n # .

y2 = x e x;

c)

í / 2 ~ ^ 2;

d ) y i =êxy

h om o g én e a , c o n o

= eos o:;

b) V i - e ? , Xi — X,

siste

y 2 = ex sen#,

y$ = e x e o s # .

2970. C on ocien do el sistem a fundam ental e cu a ció n d ife re n cia l lin ea l hom ogénea V\ = x , y*¿ = #2, y 3 ==

de solu cion es

de

la

,

h a lla r su s o lu c ió n p a r tic u la r y , que satisfaga a las con dicion es in iciales y U*=i = o , v ' \ x m i- - u y” | * -i = 2 . 2971*. R e s o lv e r la ecu a ció n {/"-h — y ' + y - O , con o cie n d o s u s o lu c ió n p a r t ic u la r y i = - -------- . 2972. R e s o lv e r la e cu a ció n a * ( l n a ^ l ) í f - a * '+ * = * 0 , co n o c ie n d o su s o lu c ió n p a r t ic u la r y t =^x. R e s o lv e r la s sigu ien tes ecu acion es lin eales no hom ogéneas por el m étod o de v a r ia c ió n de las con stan tes a rb itra ria s: 2 973. x h f — x i f = 3 # 3. 2974*. x Y + x y ' — y = 2 975. */'" + [/' = sec #. V

§

12.

E cu a c io n e s constantes

d if e r e n c ia l e s

lin e a le s

de

2°

orden

con

I o. E c u a c i o n e s h o m o g é n e a s . La ecu ación lin ea l do 2o orden co n co e ficie n te s con stan tes p y q, es de la form a:

V*+Pi/' + qy = 0.

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c o e fic ie n te s hom ogénea

(1)

376


Si /r, y k 2 son las raíces d e la e c u a c ió n cara cte rística cp (k ) = k ” -|- p k - 1-7 = 0 ,

(2)

la s o lu c ió n gen eral de la e c u a c ió n (1) se e s cr ib e e n una de las s ig u ie n te s ;

tres

fo rm a s

1) y — Cic hlX-\-C2c h'l X. s i k i y k 2 s o n rea les y k í =p /c2: 2) y = - e * iar(C t + £;>*)’ si /;, = A-2; 3) y s=ea x (C j c o s p a : ' f - Q s e n p x ) , s i / i j = a + p¿ y &2 = a — P¿ (P 2*\ E c u a c i o n e s n o h o m o g é n e a s . e c u a c ió n d i fe r e n c ia l lin e a l n o h om ogén ea

La

solu ción

0).

g o n o ra l

y” + p y ' + w — f (*)

de

la

Cs>

so puede e s c r i b i r en fo r m a de sum a y = Vo + Y> don d e yo es s o l u c i ó n gen eral do la c o r r e s p o n d ie n t e e c u a c ió n (1) s in s e g u n d o m ie m b r o , que so d e te rm in a por la s f ó r m u la s 1) — 3 ), e Y es una s o l u c i ó n p a r t ic u la r d o la ecu a ción d a d a (3). La fu n c ió n / so puedo h a lla r p o r e l método de los coeficientes indeter minados en los s ig u ie n te s ca s o s s im p le s : 1. f ( * ) ~ e axP n ( x ) , d o n d o P n (x) es u u p o l i n o m i o de g r a d o n. Si a no és raíz d o la e c u a c ió n cara cterística (2 ), es d e c ir ,
y Tw ( x ) s o n p o l i n o m i o s do g r a d o ¿V = m á x { « , m). c o n tr a r io , cp (a ± bi) = 0 , so co n s id e ra y = x reax [Sjs { * ) oos bx-\- 7 'n ( 2 ) sen bx\,

d o n d e r e s e ! g r a d o d o m u l t i p l i c i d a d d e la raíz a ± bi (p ara ia ecu a ció n d e 2o ord e n r = l ) . En e l c a s o g e n e ra l, para r e s o lv e r la e c u a c ió n ( 3 ) se e m p le a e l método de variación de las constantes arbitrarias (v é a se e l § 11). E j e m p l o 1. H a l l a r la s o l u c i ó n de la

e c u a c ió n

2 y " - ~ y '- y = = 4 x ^ . Solución. fci== l

y

La e c u a c ió n

c a r a c te r ís tic a 2/c2— k — 1 = 0

tiene la s

/,:2 = - L . L a s o l u c i ó n gen eral do La c o r r e s p o n d ie n te e c u a c ió n

raíces liom o-

y gén ea (d o la fo r m a prim era) es i/o = Cte x -\-C2e 2 . E l segu n d o m ie m b r o do la ecu a ció n da da / ( z ) = 4 x e 2x~ e axP n (x ). P o r c o n s ig u ie n t e , Y = c2x ( A x B ), y a q u e w = l y r = 0 . D e r iv a n d o Y d o s ve ce s y p o n ie n d o la s d e r iv a d a s en la

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licuaciones diferenciales lineales de 2o orden con coeficientes constantes 377 ecu ación dada, obtenem os: 2e2X ( 4 4 * + 4 B + A A ) -

e2* <24* + 2Z* + 4 ) - e** ( A x + D) = 4 zc*x .

S im p lific a n d o por e2X o igu alan d o entro sí lo s coeficien tes quo corresponden a las prim eras potencias do x y io s térm in os independien Les de ambos m iem b ro s de la ig u a ld a d t tenemos: 4 5 4 — 4 y 7 4 + 3 # = 0 t de donde 4 = — y B =

Do este form a , Y

28

x — —r -j , y la s o lu c ió n general do la ecu o-

e 2-'

c ió n dada es — y = C¡ex -\-C2e

/ 4 (T x -

¿

28 \ 25 ) •

t j e m p i o 2. H a lla r la so lu ció n general de la ecu a ció n y " — 2y' + y = z e x . S o l u c i ó n . La ecu ación ca ra cterística k2 — 2k + 1 = 0 tiene una raíz c u y o « r a d o do m u lt ip lic id a d es dos, fc = l . E l segundo m iem b ro de la e cu a ción es, f ( x ) ^ x e x \ aquí, a — 1 y n = l . La s o lu c ió n p a rticu la r Y = = x 2ex ( A x + B ) t puesto quo a co in c id e co n la raíz = 1 c u y o grado do m u l t ip lic id a d e s igual a d os y , p o r con sigu ien te, r = 2. D erivan d o Y d os veces, pon ien d o las d erivadas en la ecu a ción e igualando lo s co e ficie n te s, obten em os 4 = — ,

=

Por con sigu ien te, la

so lu ció n

ge

neral de la ecu a ció n dada se escrib e de la form a

y = (C1 + C2x ) e * + - ^ x ? e * . E j e m p l o 3. H a lla r la so lu ció n general de la ecu ación y'7+ i/ = x son x. Solución. La e c u a c ió n característica _]-4 = 0 tiene las k\ = i y — i. La s o lu c ió n g en era l do la correspondiente ecu a ció n génea sera ¡véase 3), donde a = ü y 0 = 1 ] ;

raíces h om o

y0 = C\ co s z + C2 sen x . El segundo m ie m b ro tiene la form a / (x) = donde a = 0, p a rticu la r

\Pn (x) eos bx + Qm ( x ) son bx),

b = \, P n ( x ) = 0,

Qm ( * ) = £.

A

61 le correspondo la solu ción

Y — x t ( 4 z + B ) cos x + (Cx + D) sen x] (aqu í N = 1. a = 0, b = 1, r = \). D erivan d o d os voces y p o n ie n d o las derivadas en la ecu ación , igu a la m os entre sí lo s co e ficien tes do lo s d os m ie m b ro s do la igualdad q uo correspon den a cos x t x c o s í , se n x y x son x. Com o resultado, obten em os cu a tro ecuaciones: 2A + 2 D = 0 T 4C = 0, — 2B + 2C = 0 , — 4 4 = 1, do Jas cuales se

r2

determ inan: 4 = — 1 /4 ,

— 0, C = 0 , P = i f 4. P or

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lo

quo Y =

— cos* +

378

Ecuaciones diferencíales

La solución general será y = Ci eos x + C osen x — ~ c o s ar + -| -s o n a r .

3o. P r i n c i p i o de s u p e r p o s i c i ó n de s o l u c i o n e s . Si segundo miembro de la ecuación (3) es una suma de varias funciones

el

f ( x) = h ( * ) + /2 W t - ' + Z b (x ) e

=

2

s on las correspondientes soluciones de las ecuaciones

+

= /* (* )

(¿ = 4 , 2 , . . . , * ) ,

Ja suma es so lu ció n de la ecuación (3).

i l a l l a r la s o lu ció n general de las oeuaciones: 2 976. y" — 5 y ' + 6 y = 0

2982.

y n + 2 y' + y = 0.

2977. y " - 9 y = 0.

2983.

+

2978. y " - * , '= ( ) .

2984.

=0.

2979. y "-\ -y = Q.

2985. y = i f + y'.

2980. y” ~ 2 y ’ + 2^ = 0.

2986.

=

2981. y’ + 4 y ' + 1 3 y = 0. H a lla r las solu cion es p a rticu la res que satisfagan c io n e s que se indican:

a

la s con d i

2987.

e/’ ~ 5 y ' - } - 4 y

= 0; y — 5, y ' = 8 para

2988.

/ + 3 jr'-)-2í/

= 0; y = l , y ' — — 1 para x — 0.

2989. y " + 4 y = Ü, 2990. y " 4 - 2 y ' = 0; 2991. y" —

y=0, y = l,

x = ü.

y ' = 2 para x — 0. y ' = 0 para x = 0.

y = a, y ' = 0 para x — 0.

2992.

y " - } - 3 y ' = 0;

y — 0 para x = 0 o y = ü para x = 3.

2993.

y"-|-r[a(/ = 0;

y — 0 para x = 0 e y = 0 para x — i .

2994. Indicar la form a de las solu cion es p a rticu la re s de las sig u ie n te s ecuaciones n o hom ogéneas: a) y " — 4 y = x V ¡x; b) y"-\-Qy — eos 2x; c ) y " — 4 y' - r 4 y = sen 2 x -f- e2X; d) y n - f 2 y '

2 y = ex sen x;

o) y" — % ' + 6y = (x z - f 1) ex -(- xe2*; í) y " — 2y' -}- 5 y = x e x eos 2x — x 2ex sen 2x.

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licuaciones diferenciales lin eales de 2o orden con coeficientes constantes 379

H a l la r l a s o lu c ió n de la s ecu a cion es: 2 9 9 5 . y" — Ay'

Ay — x 2.

2 9 9 6 . y " - y ' + y = x * - r 6. 2 9 9 7 . y "-\ -2 y ' + y = etx . 2 998. y " — 8 y ' + 7i/ = 14. 2 9 9 9 . y ’ ~ y = e*. 3 0 0 0 . y " - f y — eos x . 3 0 0 1 . y" -\-y' — 2í/ = 8 sen 2 x. 3 0 0 2 . y" + y' -

liy = x e 2X.

3 0 0 3 . y ” — 2 y' -¡- y = sen x

sh x .

3 0 0 4 . t f + y ' = sen 2 x. 3 0 0 5 . y " — 2 y ' -j- 5 y = ex cos 2x. 3 0 0 6 . H a l l a r la s o lu c ió n de la ecu a ción y " -|- 4 y — sen x , que s a tis fa c e a la s co n d ic io n e s y — í , ii' — l para x = 0. R e s o lv e r la s ecu acion es: d%x 3 0 0 7 - - ^ 2“ + = *4s e n p t. E xa m in a r los ca so s : 1) co; 2) p = c o . 3008. y" - l y ' - \ r i 2 y

e*x.

3 0 0 9 . y" — 2 y ' — x 2 — i . 3 0 1 0 . y" -

2t/ -)- y = 2ex .

3 0 1 1 . y " — 2 y ' = e iX + 5. 3 0 1 2 . y ” — 2 y ‘ — 8tj = e* — 8 cos 2x. 3 0 1 3 . y " + y' = 5 x + 2ex . 3014. y " - y ' = 2 x - l - 3 e \ 3 0 1 5 . y " + 2 y' + y = ex -\-e-x . 3 0 1 6 . y ” — 2 y -j-1 0 {/ = sen 3 x + e x. 3017. / - V

+ 4j/ = 2e2X + - 2 - .

3 0 1 8 . y* — 3i/' = x -| -co s x . 3 0 1 9 . H a l l a r la s o lu c ió n de la e cu a ció n q u e s a tisfa ce a la s c o n d ic io n e s :

y ' — 2y' = e 2r + x 2— U

i/ = -g-, y ' = 1 para x — 0.

R e s o lv e r las ecu acion es: 3020. y" — y — 2 x s e n x . 3 0 2 1 . y" — 4y = e2* sen 2a;.

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3022. i f — 4y = 2 sen 2 x — 3 eos 2j* + i . 3023. j/*— 2y' -j- 2^ = 4c* sen x. 3024. i f = ze*-\~y. 3025. y* \-$y = 2x sen

.r

1

x c 3X.

3 026. jf" — 2 y' — 3y = x ( l + * » * ) . 3027. //' — 2ij

3# -{- 2 x e x.

3 028. i f - ' x y ' - \ - í y ~ x e * x . 3029. y " + 2 y -

2 ;n raje -

Sy -

(s + 1 )

3030*. y" + y = 2.r eos x eos 2x. 3031. x f — 2y — 2 xex (eos a:— son x). V a lié n d ose d e l m étodo de v a r ia c ió n trarias, resolver las ecuaciones:

de

las constantes

3032. y" |-y — t g * .

3030. ,/

3 033. ;/* - f J/ = c t g i-.

3037. ?/'-! y = ^ ±

a rb i

y =- - i — . eos x

sen x

3 034. y " — 2 y - \ - y — — .

3 0 3 8 . a) y " — y = i h x ;

3035. / -I- 2y ' -|-

b) y” - 2 y = 4 s V *

X

3039. D os pesos igu a les están co lg a d os del e x tre m o de un resorte. H a lla r la ecu a ción del m ov im ien to q u e efectuará uno de estos pesos, si el o tr o se desprende. S o l u c i ó n . Supongam os que el aumento do lo n g itu d que experim enta e l resorte ha j o la acción do uno de lo s posos, en estado de reposo, os igual a a y que la masa de d ic h o peso os m. D esignem os con la letra x la co or denada de esto peso, tomada en d ire cció n v e rtica l, a p a r t ir de la p os ición do e q u ilib r io cuando s ó lo h a y un poso. En esto caso, d 2x

m~di2 dondo, evidentem ente, k

— k (* + °)t

> y p o r con sigu ien te, ~ ^ - = — ^ - x . La s o lu -

c ió n general es x ~ C i eos y

/ c

— / -|- C2 son y

f

ti

— t.

Las co n d icio n e s in icia le s

nos dan x = a y ^ - = 0 para ¿==0; de donde Ci = a y C2 = 0, y, p o r c o n siguienle,

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Ecuaciones lineales de orden superior al 2oy con coeficientes conslantes 381 3 04 0 *. L a fuerza que ala rga a un resorte es proporcional al a u m e n t o de lo n g itu d d e l m ism o e ig u a l a 1 k g f, para un aum ento d e lo n g itu d de 1 c m . D e l resorte está suspendida una carga c u y o peso es de 2 k g f. H a l l a r el período d e l m o v im ie n to oscila to rio que re c ib ir á esta carga, si se tira do e lla u n p oco hacia a b a jo y des pués se suelta. 3 04 1 *. Una carga, cu y o peso os P =*4 k g f, está suspendida de un resorte al que ala rga en i c m . H a l l a r la l e y del m o v im ie n to de esta ca rg a , si e l ex trem o superior del m u e lle efectúa las o s c ila c io n e s a rm ó n ica s v e rtic a le s y = 2 sen 3 0 / c m y en el m om ento in ic ia l la carga estaba on reposo (la resistencia d e l m ed io se desprecia). 3 0 4 2 . Ün p u n to m a te ria l do masa m , es atra íd o por dos c e n tros. L a fuerza de a tra cc ió n de cada u n o es proporcion a l a la distan cia (el c o e fic ie n t e de p rop orcio n a lid a d es ig u a l a k ). H a lla r la le y del m o v im ie n to de d ic h o p u n to, sa b ien d o q u e la distancia en tre lo s cen tros es de 2í>, que en el m om en to in icia l el punto en cu e s tió n so en con trab a en el se g m e n to que une entre sí dichos ce n tr o s , a una d ista n cia c del punto m edio d e l m ism o y quo su v e lo c id a d era ig u a l a cero. 3043. U n a cadena de 6 m de lon gitu d se desliza, sin roza m ie n to , desde un sop orte h acia a b a jo . Si ol m o v im ie n to se in icia e n e l m o m e n to en q u e del soporto cu e lg a 1 m de cadena ¿cuánto tiem p o tardará en deslizarse toda la cadena? 3 0 4 4 . U n tu b o la r g o y estrech o gira c o n una v e lo cid a d angu lar c o n s ta n te
§ 13, Ecuacio nes d if e r e n c ia l e s lin e a le s de orden s u p e rio r al 2o, con c o e f i c i e n t e s c o n s ta n te s 1°. E c u a c i ó n h o m o g é n e a . El sistema fundamental de soluciones Vi* Vz* •••» ün de la ecuación lineal homogénea con coeficientes constantes l/+ a{y
(1)

so construye sobre la base del carácter que tienen Jas raíces de la ecuación característica . . . - f a,,.,*-f-fln = 0.

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(2)

m


Es decir: i ) s i k es una raíz, roal de la ecu ación (2) de grado de m u lt ip l i cidad m, a ésta le corresponden m so lu cio n es linealraento in depen dien tes de la ecu ación (1):

yz*=zehx> . . . . Vm= * m- 1e**; 2) si a ± P ¿ e s un par do raíces co m p le ja s de la ecu ación (2) de grado de m u ltip licid a d m, a o lla s lea corresponden 2m s o lu cio n o s linealmenteindependientes de la ecuación (1): y i = ea x cosps, IJ2 — e °"Xs ¡ n

J/3 = x e a x eos fix, y k = x e ax sen (lar, . . .

y ^ n - i = x m- * e a x eos fkr, 02ro «=.rm“ 1¿ cwf sen (te. 2a. E c u a c i ó n no ecuación no hom ogénea

homogénea.

+

La

s o lu c ió n

p a rticu la r

de

+ a „ - iy' + any = r f (s)

In

(3>

se busca basándose en las reglas del § 12, 2o y 3o.

H a lla r la s solu cion os generales de las ecuaciones: 3 0 4 5 . y ” — 13t/"-|-i2t/' = 0. 3046. y - " ~ y ' = 0.

3058. y i v + 2ír + y « 0 . 3059.

y<*-»> +

3 047. y " -\ -y = 0. 3048. y i Y + 2 y " = 0.

+

y
3049. t/” — 3p" + 3 y ' — y = 0. 1- Y y' + y e * 0.

3 050. yIV + 4 y = U. 3 051. y»v + 8 / + 1 6 y * 0 .

3060. y lv — 2y” -\- y " = e x.

3052. y lw -b !/' = 0.

3061. y ™ — 2 y ’, + y " = x 3.

3053. y i v — 2 y “ -\-y = 0.

3 062. y m- y = x3 - l .

3054. y ' v - a* y = :0 .

3 063. y1v - b y"‘ — eos Ax.

3055. y i y — 6 y " + 9 y = 0.

3 0 6 4 . y " + ! / " = x 2 + 1 + 3xc*.

3 0 5 6 . y i v -b cPy” = 0.

3065. y m+ y ’ + y ’ - i - y = x e K.

3057. {/Iv -u 2 y* -1-t/" = 0.

3066. y ” - b ?/' = tg a:sec x.

3 067. H a lla r la s o lu c ió n pa rticu la r de la ecu a ción

y " + 2y‘, + 2 y ' + y = x, que satisface a

las co n d icio n e s

in icia le s y (0) = y ’ (0) = y " (0) = 0..

§ 14, Ecuaciones de Euler La ecuación, lin e a l de la forma (ax + 6 )" y + Ai (ax + 6)n- l ¡/i” - 1»+ . . . -b An- , (o x + b) y + Any = j (x), (1) don de a, b, A t

A „ - U A„,

son con stan tes, se lla m a ecuación de Euler.

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383

E cuaciones de E u ler Para o l re cin to diente» t, p o n ie n d o:

in tro d u cim o s

una nueva v aria b le indepen

ax -|- b = e l. E n ton ces,

y l" = fl3e-.i¿

+

j y así sucesivamente!,

y la ecuación de E u ler so tran sform a en una ecu ación lin e a ! co n c o e f i c i o n le s con stan tes. Ejem plo

1.

Solución.

R e s o lv e r la ecu a ció n x * y " x y ' y = 1.

P o n ie n d o x = e i t obten em os: dy dx

_

dy dt

/>- t

d 2y _ 1 dx2

t

dfiy l d i*

dy \ di / *

(

P or co n s ig u ie n te , la ecu a ció n dada tom a la fo rm a dt* d o d on do y = c , cos i -f- Co sen i - h 1 o sea, y = c i COS (1 n x) -(- C2 son (1 n a:) -{-1. Para la ecu ación hom ogénea do Euler x ny iti) + A íX n - } y i n - 1 >+ . . . - f A n ^ x y ' + A n y = 0

(2)

cu a n d o . r > 0 s o puedo buscar una so lu ció n d o la form a ¡,= z K

(3)

P o n ie n d o en (2) y y y , y
ym = x h (ln ar)m_1.

S i a r b P t es un par de raíces co m p le ja s do grado m de m u lt ip lic id a d , a e lla s le s corresponderán 2m s o lu cio n e s lin e a lm o n to in depen dien tes y i — x a cos (p l n x), y-¿ = x a sen (P l n x ), y3 = x a ln x co s (p ln x), y 4 = x a ln x s o n (P l n x ),

*/2m~i = £ a { l n x)™ "1 cos (P ln x),

Vyn — Xa 0*» x ) 771” 1 sen (P l n x). E jem plo

2.

R e s o lv e r la ecuación x 2 y * — d z y ' + 4y = 0.

Solución.

Ponem os y = x h\ y' = k x ll~1, y" - k ( f r - 1)

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384

Ecuaciones dije réndales

Ilaciondo la su stitu ción on la ecu ación dada, después rio s im p lific a r p o r x k y o b te n e m o s lu ecuación característica

/f2 _ 4 * + 4 = 0. R e solv ién d ola , hallam os;

ki = k2= 2 , por con sigu ien te, la s o lu c ió n general será; y = C ¡ x * C 2z * ln x.

R esolvor las ecuaciones: 3068.

+

+ y =

3069. * V — x y ' — 3y = 0. 3070. x2y " + x y ' -\-4y — 0. 3071. xh/"'— 3x h j" + ñ xy’ — 6 ;/ - 0. 3072. (S x + 2 ) y " 4 - 7 y ' = 0 . 3 073. x f = % . 3074.

0.

3075. x h f — 4 x y ' - f 61/ = x. 3076. (1 + * ) * y ' — 3 (1 + * ) y' + 4y * (1 + x ):{. 3077. H a lla r la s o lu ció n pa rticu la r do la ecuación x y ' — x y ' + y = 2x, que satisface a las con d icion es in icia le s :

y — 0, y ' = 1 para x = 1.

§ 15. Sistemas de ecuaciones d ife re n c ia le s M é t o d o d e e l i m i n a c i ó n . Para h allar ia s o lu ció n , por e je m p lo , de un sistema normal de d os ecuaciones diferen cia les de 1er orden, es decir, de un sistema de la form a

— = / ( * , y, *),

v >z)’

resuelto con respecto a las derivadas de las fu n cion es y y z que derivam os una de ella s respecto a ¿p. Tenem os, por eje m p lo: dhj

df

di

W se buscan,

df

- 3 F — t e + - d í t + T r B' D eterm inando s de la primera ecuación del sistema ( l ) y pon ien d o la expresión obtenida

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()

’i Sistem as de ecuaciones diferenciales en la ecu ación (2), obten em os una ecu ación in có g n ita y. R e s o lv ié n d o la , h a lla m os:

de

385

2o o rd e n con una fu n ció n

Cu C2)>

(4)

donde y C2 son unas constantes arbitrarias. P o n ie n d o la fu n ción (4) en la fórm u la (3), d e te rm in a m o s la fu n ció n z s i n necesidad de nuevas integra ciones. El c o n ju n to de la s fórm u las (3) y (4), donde y se ha su stitu ido p o r i|j, da la solución general del sistema (1). Ejemplo.

R e s o lv e r el siste m a dy dx

2 y + 4 s = 1 + 4x>

dz d x ' y - 2 = T a2Solución.

D erivam os la prim era ecu ación co n respecto a x\

í l +

2 £ - + 4 í r = 4-

D espejando z en la p rim e ra ecu a ción tenemos

dx

2y)

y pon ien d o este v a lo r on la segunda, tendrem os: dz — y

Pon ien do

3

— —9 X

-~ r

dz lo s v a lo re s de z y de —

on

JLtt_ ~r?y — ±É L

4 dx -

la e cu a ción ob ten id a

después

de

deriva r, lle g a m o s a la ecu ación de 2o orden con una in cógnita y:

’ t S P |t Í M

w

- 0 iS - * * * >

R e s o lv ié n d o la , h a llam os y = C te2x + C2e - z x + y entonces

dy_ s = i . ( í + 4x - * L - 2y ) = - C,.** + ^ dx

De form a análoga p u ede núm ero de ecuaciones.

procederso en e l caso de sistem as de m ayor

R e so lv e r lo s sistemas: dy dx

3 078. l

dz dx

- ± **.

2’

3079. — y-

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886

E cuaciones diferenciales dx

3080.

3 086.

dz

i ¡ ¿ = y - ~ z'

* L + 2 z-y + 2 e ' =

dx

dt dt

z>

dz

3087.

x.

dt

0;

a; = 0, y = 1 para i — 0.

y*

•»

3081.

4 r — y^- 3 6 ¿ ~ 0 ?

dt

dy _

y^

dx

z

¿2

1

dx

2 y-

*

dx

3 08 8 *. a ) -

dx

dy

a :»+ 3 * 0 *

dy

2.

dt dz

i r = x + y c)

dz 2y"z

dx

dy

x — y

x+y

dz |»

dx

dy

dz

y — z

z— X

x — y

i 7 = y + z'

3 083.

destacar la cu rva in tegra l que pasa p o r e l p u n to (1 ; 1; — 2).

dz

— = x + y + z. j ¿ + 2 y f 2 = aena:, 3084.

dz

4r/— 2 z = c o s : c .

I Hx í 3085.

3089.

dz , 2 d í * i s r » = m*-

+ -¡y + iz = ix ,

dz

l

ÍÜ 4 -Z -1 ¿x - I - * - 1'

y — 2 — 07,

dx

d 2y

2*/ - h 4 z = * \

3 090.

z/ — 0, 2 = 0 para a; = 0.

I

— y — 3z =

— a;.

3091**. U n p r o y e c t il s a le del c a ñ ó n con una v e lo c id a d i n i c i a l v 0, form a n d o u n á n g u lo a c o n el h o riz o n te . H a l l a r la e c u a c i ó n del m o v im ie n to de esto p r o y e c t il, tom a n do la resistencia d e l aire pro p o r cio n a l a la v e lo c id a d . 3 09 2 *. U n p u n to m aterial M es a tr a íd o por u n cen tro O c o n una fuerza p r o p o r c io n a l a la distan cia q u e los separa. E l m o v im ie n t o c o m ie n za en oí p u n to A , a la d ista n cia a d el cen tro, con u n a v e lo c id a d i n i c i a l i;0, p erpen dicu la r al segm ento O A . H a l l a r la tra y e cto ria d ol p u n to M . § 16, Integración

de

ecuaciones

d if e r e n c ia l e s

m e d ia n t e s e rie s de p o te n c i a s

Si no es posible integrar una ecuación diferencial valiéndose de fun ciones elementales, su solución puedo buscarse en ciertos casos en forma de serie de potencias co

y— 2

n —0

e'» ( * —*o)".

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(*>

In teg ra ción de ecuaciones diferenciales mediante series de potencias

387

L o s c o e fic ie n t e s in determ inados (re = 0 , 1, 2, . . . ) se hallan p o n i é n d o l a serio ( i ) en la ecu ación e ig u a la n d o lo s co e ficie n te s que corresponden a p o te n cia s iguales dol b in o m i o x — x Q en a m b o s m iem b ros do la igualdad así obten id a. T a m b ién se puedo ba sca r la s o lu c ió n de la ecuación

y ' = 1 ( x , y)\ donde y (* 0) = l/o*

(2)

en fo r m a de serie do T a y lo r

!/(*) = 2 ^ 7 ^ ( * - * o ) n, n t0 n‘

(3)

d o n d e i j { x 0)^ = yoj y ' (*o) = / (*o. Uo) 7 la s sigu ien tes derivadas y( x 0) { n — 2 } 3, . . . ) so h a lla n sucesivam ente d eriva n do la ecuación (2) y su sti tu y e n d o x p o r ol núm ero xq. E j e m p l o 1. H a lla r la s o lu c ió n de la ecuación y" — x y = ? 0, Si y — yo, y ' ^ y ó para x = 0. S o l u c i ó n . P on em os y — co + c lx + . . . + cnxn + .. do donde, d erivan do, obtenem os: ^ = 2 . 1 ^ + 3 . 2 c 3* + . . . + n ( n - 4 ) C n ® " “ 2+ ( n + i ) n , n + lIn - i +

+ (w+ 2) (n + 1) r,1+22:n+ . . . P o n ie n d o y e y ” en la ecu ación dada, lle g a m o s a la identidad [2 - i c 2 +

3 - 2 c 3x

+ . . . + n (h — 1) cnx n^ + (n + 1) 7?cn+1x " ~ l +

+ (« + 2 ) (72 +

1)

( ^ + ^ * + . . . + ^ " + . . . 1

0.

e

R e u n ie n d o en o l p rim er m ie m b r o de la ig u a ld a d ob ten id a lo s térm inos quo tengan x co n ig u a l ex p on en te e ig u a la n d o a coro lo s co e ficie n te s que corres p o n d e n a e sto s ex p on en tes, tendrem os c2= 0 ;

3 -2 c3 —

= 0,

c3 = ^

;

4 -3 c4— c 4 — 0 ,

=

5*4c5 — c2 = 0,

i c2 l

5*4 ’ ülc-

En general. £ i____________

co

„

c*h ~ 2 3 ^ 5 * 6 - . . . - (3/c — 1) 3/c ’ í 3//+2==^

3*4' 1

3 - 4 . f t . 7 - . . . -3* (3/c + l)

(A? = l f 2, 3, . . . ) .

P o r con sigu ien te,

(

j3

*0

xsft

1 + ^ 3 + ? 3 3 ^ + *“ + 2 . 3 : 5^ . . . . .

\ 3* +

J+

+ Cí i * + 3T4 + 3 ' 4 ^ . 7 + , **+ 3.4*6.7.....3A(3A' + l ) + , , V 1 don de r0 = y0 y

W

c1== í/ í;.

25*

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388


U tiliz a n d o ol c r it e r io de d ’ A le m b e rt es fá cil com p ro b a r, q uo la serie (4) es con vorg cn te para — c o < a ; < - } - c o . Ejemplo

2.

H a lla r la s o lu c ió n de la ecu ación y '= * x + y;

Solución.

y 0 — 1/ (0) = 1.

P on em os,

¿l

ó!

'Penemos, yo = 1, = 0 + 1 = 1. Derivando los dos miembros de la ecuación y 's m x + y , hallamos consecutivamente yv = l + y\ ySa" l + l = 2» y”’ = 'j\ Z/¿" = 2, etc. Por consiguiente,

Para ol ojera pío quo examinamos, la solución encontrada se puede escribir en la forma definitiva y = l -\~x-\-2 (¿x— 1 — z) o bien,

y

= 2ex — 1 — x.

Análogamente debe procederse cuando se trate de ecuaciones diferencia les de órdonos superiores. La investigación do la convergencia de las series obtenidas, en general, es complicada y no se considera obligatoria al resol ver los problemas do este parágrafo. H a lla r , v a lién d ose de serios de p o te n c ia s , la s s o lu c io n e s de las ecu acion es siguientes, c o n las c o n d ic io n e s in ic ia le s que se in d ica n . E n lo s N os. 3097, 3098, 3 0 9 9 y 3101 cia do las solu cion es que se o b te n g a n .

in v e s tig a r la c o n v e r g e n

3093. y ' = y - \ - z 2; y = — 2 para x = 0. 3 094. y' = 2 y + x — i ; y = y o para x — l. 3 0 9 5 . y ’ = y 2-\-x3; y = 4r Para x = 0. 3 096. y ' — x ? — y t ; y = 0 para 2 = 0. 3 0 9 7 . ( í - x ) y ' — í - { - x — y ; y = 0 para 2 = 0. 309 8 *. x y " -\ -y = 0; y = 0 , y ' = 1 para 2 = 0. 3 0 9 9 . y ” -\-xy — 0 ; y = i , y ' = 0 3100*.

para 2 = 0.

y" = —■y' + y = 0; y = i , j/' = 0 para a: — 0.

3101*. y - + i - y ' + y = 0-, y = 1, y ' = 0 para x = 0. 3102.

-}-2 eos ¿ - 0 ;

x = a;

~

= 0 para t = 0.

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Problem as sobre el método de Fourier

389

§ 17. P roblem as sobre el método de F o u rie r Para h a lla r Ja s o lu c ió n d o una ecu a ció n d ife r e n c ia l lin e a l homogénea, en d eriv a d a s p arciales, por e l m é to d o de Fourier, se buscan primeram ente las s o lu cio n e s pa rticu la res d e esta ecu a ción de tip o esp ecia l, cada una de las cu ales representa do por s í el p rod u cto de fu n cion es que dependen de un s o l o argum ento. En e l ca so m ás s im p le , se tiene un c o n ju n to in íiu it o do estas s o lu c io n e s un (n = l , 2, . . . ) , iin ea lm en te independientes para cualquier núm ero f i n i t o do e lla s y que sa tis fa ce n a las condiciones de contorno dadas. La s o lu c ió n u que se bu sca, se representa en form a de serie, do estas so lu cio n e s parciales: co

(•)

li=

n=l (puedan p o r d e term in a r condiciones iniciales.

los co e ficie n te s Cni que se h a lla n partiendo de las

U

O

1 2 Fig.

107

P r o b l e m a . E l d esp la za m ien to transversal u = * u ( x , t) de los puntos de una cu erd a, cuya a bscisa es x en el instante t, s a tis fa c o a la ecuación d*u d*u —— = a-

(2 )

donde a 2 = - ^ - (7 o es la ten sión y p la densidad lin ea l de la cuerda). Hallar la form a que tendrá esta cuerda en un instante t , s i sus extrem os x = 0 y x = l están su je to s y en el instante in ic i a l f e = 0 , la cuerda tenía la forma de la p arábola u =

x (l — x )

(fig .

107) y sus puntos tenían una velocidad

ig u a l a cero. Solución. De acu erdo con las co n d icion es d e l problem a se pide hallar una s o lu c ió n u = u (x t t) de la e c u a c ió n ( 2), que satisfaga a las con d i cion es del con torn o: Ii(0 , 0 = 0 ,

U (l,i) = 0

(3)

y a las c o n d ic io n e s iniciales: 4h

w( í , 0) = ^ L x ( l - x ) y

*;(Z , 0) = 0.

w

B uscanios las solu cion es, d is tin ta s de cero, de la ecu ación (2) do tipo o sp ecial u= X (x )T (t).

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390


Pon ien do esta e x p resión en la e c u a c ió n (2) y separando la s variables, o b t e nemos: T” (t ) _ a*T(t)

X a (x ) X(z) •

Gomo las variables z y t son in d ep en d ien tes, la id e n tid a d (5 ) s o l o será posiblo en ol caso cn q uo el valor t o ta l do la. r e la c ió n (5) sea co n sta n te . Designando esta co n sta n te p o r m edio de - A,2, h a lla m o s dos ecuaciones diferen cia les ordinarias: +

0 y X ” ( x ) + W X ( * ) = 0.

R e solv ien d o estas ecu acion es, obtenem os: T (t) = A e os a\t -\-B sen a\ t , X ( z ) = C e o s Xx + D sen kx> donde A , 23, Cy D , son constantes arbitrarias- De la s co n d icio n e s ( 3 ) te n e mos: X ( 0 ) = 0 y J£(¿) = 0, p o r con sig u ie n te, C = 0 y sen 0 (ya q u e D no puede ser igual a coro a l m ism o

tie m p o

que C).

P o r e sto ,

,

donde k es u n número entero. Es f á c i l com p robar, que n o s o piord o g e n e ralidad s i se tom a para k únicam ente lo s valores p o s itiv o s (fc = l , 2, 3, . . . ) . A cada v a lo r de le corresponde una s o lu c ió n p a rticu la r / ^ ícan . . n Aajr \ knx j i k = i Ak eos t + Bh s e n — — t 1 sen — -— , que satisface a las co n d icio n e s d e l co n to rn o

(3).

Formamos la serie oo

/ kant y A h eos —

. n kant \ knx f Bft sen — — 1 sen — — ,

S

*=1

cu yo suma, es evidente, que sa tisfa ce a la e cu a ción ( 2) y a las c o n d ic io n e s del con torn o (3). E lija m os las con stan tes A k y Bk de m o d o que la suma de la serio cum pla las co n d icio n e s in ic ia le s (4 ). Gomo oo

du ^ kan ( Á. kant — = 2 j — l— [ ~ A k se n —

. kant \ knx \~Dh e os — y— 1 sen - y — ,

l uponiondo 2 = 0, obtenem os: oo

/

a\

u (z ,(})

,

knx

= 2 j A k s o n —j -

¿ik

..

x (l~ x)

h=i

iy oo

du ( x y 0) — ■

v-i

kan n knx , r se!l r = 0.

Por con sigu ien te, para d eterm inar los c o e fic ie n t e s ¿4* y Bjt hay q uo desa-

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391

Problem as sobre e l método d e F ou rier

r ro lla r on s e r ie de Fou rier de

ü (i, 0)

sen os la fu n c ió n

y

la

c .. du ( x , 0) A fu n ció n ------~ — - = 0 . dt De acuerdo co n las fó rm u la s ya c o n o cid a s (cap. V I I I , § A, 3o), tenem os: 2

h~ T

f

4h

x

I T * ^ — *) 50,1

\

knx

,

3 2 /i

~~T

'

si h o s im par, y >4/, = 0 , s i k o s par;

l kan __

2 f

——

,

A'Jiz ,

A

0- s en—j— ¿ x —0,

A

fí/i — 0.

o La s o l u c i ó n buscada sorá: ^ 32 h

c o s ( 2n + l ) ant

v

Z

2j n^ü 3 10 3 *. E n

el

instante

(2—

(2n + i ) m

)*

96n--------- 1---------•

in ic ia l ¿ = Ü , una cu erda, su jeta en sus

e x tre m o s x = 0 y x = Z, ten ía la form a de la sinusoido u = A sen - ~ r - , s ie n d o la v e lo c id a d de sus pu n tos ig u a l a ce r o . H a lla r la form a de esta cu erda en e l instante t. 3 1 0 4 * . E n el instante i n i c i a l ¿ = 0, a lo s pu n tos de una cuerda r e c tilín e a 0 < x < l se Jes d io una v e lo c id a d d o — ~ = l . H a lla r la form a q u e tendrá esta cu erda en el instante Z, s i sus extreraps x = 0 y x = l están su jetos (véase el p ro b le m a 3103). 3 1 0 5 * . U na cu erda, c u y a lo n g i t u d e s Z = 1 0 0 c m , está sujeta por sus e x tr e m o s i = 0 y x ^ = l . E n el instante in ic ia l se tir a de e lla , c o g ié n d o la p o r el p u n to x = 5 Ó c m , y se separa de su p o s ició n n o rm a l h asta u n a d is ta n c ia /¿ = 2 c m y después se suelta sin e m p u ja rla . D eterm in a r la fo rm a de esta cu erd a en c u a lq u ie r instante t. 3 1 0 6 * . A l v ib r a r lo n g itu d in a lm e n te una v a r i lla recta, delgada y h om ogén ea , c u y o oje c o in c id e con el do O X , el desplazam iento de su sección transversal u = u ( x , t ), de abscisa x , en el instante satisface a la e cu a ció n d*u o d2u d t 2 ~ a " dx2 ’

J£ donde a 2 = — (E

es el

m ó d u lo

de Y o u n g

y

p la densidad de la

v a r i l l a ) . D e te rm in a r la s v ib r a c io n e s lo n g itu d in a le s de una v a rilla h o rizo n ta l e lá s tica , c u y a lo n g itu d es ¿ = 100 c m , que, estando su je ta por u n o de sus e x tre m o s , a: = 0, y estirándose por el o tr o x = 1 0 0 , una lo n g itu d A / = l c m , se suelta después sin em pujarla.

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392


3 Í 0 7 . P a ra la v a r i ll a recta h om ogén ea , c u y o ejo c o in c id e con el do O X y la tem peratura u = u (x > t) de su s e c c ió n de a bscisa x , en u n instante cuando no e x isten fuentes do c a lo r , satisface a la ecu a ción de la co n d u ctiv id a d c a lo r íf ic a Ou lít

n d*u a

donde a es una constante. D eterm in ar la d is tr ib u c ió n de la tem peratura en una v a r illa de 100 c m de lo n g itu d , p a ra c u a lq u ie r instante t , si se con oco la d is tr ib u c ió n in ic ia l de aquélla u ( x , 0) s= 0,01a: (100 — x ).

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C a p ítu lo X

C A LC U LO S APRO XIM ADO S

§1.

Operaciones con

números aproximados

i ° . E r r o r a b s o l u t o . E l error absoluto de un núm ero aproxim ado a, que su stitu y e a un núm ero e x a cto A, es el v a lo r absolu to de la d ife re n cia entre e llo s . E l núm ero A, que satisface a la desigualdad

M —a|
(1)

recibe el nom b re d e límite del error absoluto. El número exacto A se halla entre los lím ites a— A < A < a + A, o , más abreviadamente» A = a ± A. 2. E r r o r r e l a t i v o . Se entiende p o r error relativo do un número a p rox im ad o a, q ue su stitu y e a u n núm ero exacto . d { / l > G ) , la razón dol e rro r a b so lu to d e l núm ero a a l número exacto A. El número ó, que satis face a la desigualdad

<2> se llam a límite del error relativo d e l núm ero a p rox im ad o a. Como p ráctica m ente co m o lím ite d o l erro r re la tiv o s e tom a co n frecuencia el n ú m e ro ó = — . a 3o. N ú m e r o d e c i f r a s il o c i m a l e s e x a c t a s . So dice núm ero a p ro x im a d o y p o s it iv o a , escrito en form a decim al tiene decimales exactas en sentido estricto, si el v a lo r absolu to d e l error \ número u o e x c e d e d e — de la unidad d e c im a l d e orden enésim o.

¿i

que un n cifras de este En este

caso, cuando r c > l , so puede tom ar co m o lím ite del error re la tiv o el núm ero

1

1

2Js V 10 ) donde k es la prim era c i f r a co n valor d o l núm ero a. R ecíprocam ente, s i

1 sabe q ue ó exactas

en

se

/ 1 \ n -i [ "iO )

se n tid o e stricto .

nú m ero En

particu lar,

a

tendrá

n

cifra s

d e cim a le s

el nú m ero a tendrá co n toda 1 /

seguridad n cifra s exactas en sen tido e stricto , s i

1

\n

vTo’ J '

S i el error absolu to do u n número a p rox im ad o a no excede de una unidad decim al d e l ú l t i m o o rd e n (c o m o ocu rre, p o r e j . , c o n lo s núm eros que resu l tan do las m e d icio n e s con ex actitu d hasta la unidad co rre s p on d ie n te ), se d ico quo todas las cifra s d e cim a le s de este núm ero aproxim ad o son exactas en sentido amplio. Cuando e l nú m ero a p rox im ad o tie n e más cifra s significativas, éste, si es e l resultado fin a l de cá lcu los, se redondea generalm ente de ta]

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Cálculos aproximados

394

forma, que todas las cifra s que se d e ja n sean exactas en sen tid o estricto o en sentido am plio. En lo su cesivo supondrem os que, al escrib ir lo s datos in icia les, todas las cifra s son exactas (siem pre que n o se advierta lo con trario) en sen tido estricto. En cu an to a lo s resultados de lo s cá lc u lo s in term edios, éstos podrán tener una o d os cifras de reserva. H a y que ad vertir, que lo s o jo m p lo s do este parágrafo, p o r regia general, representan de por s í lo s resultados fin ales d e cá lc u lo s y , p o r consiguiente, las respuestas se dan en números aproxim ad os quo sólo con tienen cifras decim ales exactas. 4o. S u m a y r o s t a d e n ú m e r o s a p r o x i ni a d o s. É l lím ite d e l error absolu to do la sum a a lgébrica de varios números, es ig u a l a la suma de lo s lím ites de lo s errores absolutos d e estos números. P or esto, para que en la suma de una cantidad reducida de nú m eros ap roxim ad os, cuyas cifras decim ales sean todas exactas, fig u ren sola m en te cifras exactas (p o r le m enos en sen tid o a m p lio ), h a y que igu a la r todos lo s sum andos, tom ando com o patrón a qu el que tonga m enos cifras d ecim ales, y^ d e ja r en cada uno de o lio s ,u n a cifra de reserva.^ L u ego, se sum arán los núm eros así ob ten id os, com o exactos, y se redondeará la u ltim a c ifr a d e la suma. Si se trata de sum ar números ap roxim ad os sin redon dear, hay q ue procoder a su redondeo, conservando en cada u n o de lo s sum andos una o dos cifra s do reserva, y lu ego regirse p o r la s reg la s a que nos hem os referido más arriba, reteniendo en la suma las c ilr a s do reserva correspondientes asta term inar las operaciones. E j e m p l o 1. 215,24 + 1 4 ,1 8 2 -{-2 1 ,4 = 215,2 ( 1 ) 1 4 , 1 (8) + 21,4 = 250,8. E l error re la tiv o de una suma do sum andos p o s itiv o s n o e x c e d o al m a y o r do lo s errores re la tiv o s do sumandos. E l error re la tiv o de una resta n o es fá cil de calcular. S ob ro todo, cuando se trata de h a lla r la d iferen cia entre d os números próx im os. E j e m p l o 2. A i restar lo s núm eros a p ro x im a d os 6,135 y 6,131, con cuatro cifras exactas, obtenem os una d ife re n cia de 0,004. El lím ite do su

0 ,0 0 1 + — 0,001

1

------ó~004----------- = - j ' = 0 , 2 5 ; p o r c o n s ig u ie n

e rro r re la tiv o es igual a ó

te, n i una s o la de las c ifr a s d o la d iferen cia es cierta. P o r esta razón, deben evitarse, siem pre que e s t o sea p o s ib le , las restas do nú m eros apro xim a d os, p róx im os entro sí, transform ando, s i os p rociso, la expresión de que se trate de tal fo rm a , que desaparezca esta operación. 5o. M u l t i p l i c a c i ó n y d i v i s i ó n d e n ú m e r o s a p r o x i m a d o s . E l lím ite del error r e la t iv o del p rod u cto y co cio n te do núm eros aproxim ad os es igual a la su m a de lo s lím ites de lo s errores re la tiv o s de estos núm eros. P a rtien do de esto y a p lica n d o la regla s o b re ol núm ero d e c ifr a s exactas (3a), en la respuesta se conservará ú n icam en te un número determ inado de cifras. E j o m p i o 3. E l produ cto de lo s nú m eros a p ro x im a d o s 25,3-4,12 = = 104,230. S u p on ien do que todas las cifras de los factores sean exactas, o b te n d r e mos, quo el lím ite d o l error re la tiv o d o l p ro d u cto será 1 „

,

1

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O peraciones con números aproximados

m

D e d o n d e , e l nú m ero do c ifr a s exactas d o l p ro d u cto sorá igual a tres y e l re s u lta d o, s i es d e f i n i t i v o , d eb erá e scrib irse así: 25,3-4,12 = 104, o más e x acta m en te, 2 5,3-4,12 = 104,2 di 0,3. C°. E l e v a c i ó n a p o t e n c i a s y e x t r a c c i ó n de r a í c e s d e n ú m e r o s a p r o x i m a d o s . El lím it e d e l e rror r e la t iv o d e la potencia e m é s im a de un nú m ero a p r o x im a d o a, es ig u a l al m ú lt ip l o m -s im o del l í m i t e d e l error de o s le núm ero. E l lím it e d e l e r r o r r e l a t iv o de la raíz m -s im a de u n nú m ero a p r o x i m a d o a, es ig u a l a —— p a rte

m

del

lím ite

del

o rror

r e la t iv o

d o l nú m oro a.

7 o. C á l c u l o d e l e r r o r r e s u l t a n t e d e d i v e r s a s o p e r a ciones con números a p r o x i m a d o s , Si Aai%. . . yAan so n los lím it e s de lo s errores a b so lu to s de lo s nú m eros a p ro x im a d o s at , . an , e l lím it e d e l e rro r a b s o lu to AS d e l r e s u lta d o S = f (°i> ••■> fin) s o p u ede v a lo r a r ap rox im ad am en te p o r la fórm u la

AS

dt da.

J L dan

A an .

En este caso, el lim it o d e l e r r o r r e la t iv o S será ig u a l a AS’-

AS

df Oa.

Kl

A a, ‘ I/ j

di dan

Aan

T7T = d in /

din i da.

dan

A an'

E j e m p l o 4. C a lcu la r S = ln (10,3 + "1/4 ,4 ); lo s n ú m e ro s a p rox im a d o s 10,3 y 4,4 tienen tod as las c i f r a s exactas. S o l u c i ó n . C a lcu la m os p rim era m e n te e l lim ite del error a b so lu to AS — 1 / 1 Ab \ « n su fo r m a g e n era l: S « l n (a + ~\/b ), AS = —^ —7= .y Aa + y " j /Í T /* T en em os A a = A ¿ ^ s y p

= 2,0976

d e ja m o s 2,1, ya q ue ol error re la tiv o

1

1

d e l n ú m e ro a p r o x im a d o V 4 , 4 es ig u a l a « s y ‘ “Jq’ — “§ 0“ í o l e rror a b so lu to será en ton ces

^ 2 - - ¿ r = -jtt ; es decir, de las décim as se puedo ostar seguro. 80 40 P o r co n s ig u ie n te ,

a ‘?

= T o, 3 + 2 T ( ¿ + T ' 2 t o ) = 1 2 ^ ( 1 + ¿ ) = «

^

0 '005-

L o que s ig n ific a q ue las centésim as son exactas. A h o ra p ro ce d e m o s al c á lc u lo con una cifra de reserva: lg (1 0 ,3 +

V+4)

** Ig 1 2 ,4 = 1,093;

O bten em os la respuesta: 2,52. 8o. D e t e r m i n a c i ó n

de

ln (10,3 + 1 ; M ) ^ 1,093-2,303 = 2,517. lo s

errores

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tolerables

on

los

396


A p lic a n d o las fórm u las d e l punto 7, cuando se dan lo s v a lores de A S ? do y considerando ig u a le s entre s í todas las d iferen cia les p a rcia les

Ó/ A dak

o las ca n tid a d e s 1 ^ ^ ah ca lcu la m o s lo s errores a b s o lu t o s . 0ak J | tolera >les Aaif . . . , A ( L n > . . . do lo s números a p ro x im a d o s ait . . ant . . . que intervienen en las o p era cion es {principio de la igualdad de influencias). D eb e advertirse, quo en ciertas oca sion e s n o os con ven ien te e m p lea r oi p rin cip io de la igualdad d e in flu en cia s en el c á lc u lo do lo s errores t o le rables de lo s argum entos do las fun cion es, y a q ue ésto puede presentar e x ig e n cia s prácticam ente im p o s ib le s de satisfacer. En estos casos se reco m ienda red istrib u ir lo s errores d e la fo rm a más ra cion a l, si e l l o es p o s ib le , de m odo q ue ol e rro r t o ta l n o exceda Ja cantidad dada. E s decir, el p ro blem a así planteado, p ro p ia m e n te h a b la n d o, es indeterm inado. E j e m p l o o . El v olu m e n de la «cu ñ a c ilin d r ic a » , es decir, d e l c u e rp o truncado d e l c ilin d r o c ir c u la r p o r un p la n o , q ue pasando p o r e l d iám etro de la base, igual a 2 R y fo rm a con e ll a u n á n g u lo a , se c a lc u la p o r la f ó r 2 • muía F — ¿Con qué p recisión deberán m ed irse el r a d io /? 60 cm y el á n g u lo do in clin a ción a , para que el volum en pueda con ocerso co n una ex actitu d hasta de 1% ?

de

la cuña c ilin d r ic a

S o l u c i ó n . Si A F , A R y A a so n lo s lím ite s do lo s errores a b s o lu t o s do las m agnitu des F, R y a, el lím ite d e l error r e la t iv o del v o lu m e n F que se c a lc u la será 3Ai? . 2Aa . i X + sen 2a 'v' 100 ‘ S uponem os

y

¿

» e donde D ^

R

^

600

. . sen 2a A a < ~ 400

60 cm

600j “

lnm;

„ i . flf ---4 0 0 de radlan * * 9 1

ü c esta form a, asegurarem os la e x a ctitu d del 1% q ue se nos e x ig ía , si m edim os el ra d io co n una p recisión hasta de 1 m m y el á n g u lo do i n c l i nación a, con p recisió n hasta do 9 \

3108. C om o resu ltad o de m ed icio n es se h an obtenido lo s s i guientes núm eros a p ro x im a d os, c o n toda s las c if r a s e scrita s e x a cta s en sen tid o am plio: a) 12Q0 7 / 14/f; b) 3 8,5 cm ; c) 6 3 ,2 1 5 kg. C a lcu la r sus errores absolu tos y relativos. 3109. C a lcu la r lo s errores a b so lu to s y re la tiv o s de los núm e ros a p roxim a dos, con todas las c ifr a s escritas e x a cta s en sen tid o

A pf r i f 11 n *

a) 2 4 1 ,7 ; b) 0 ,0 3 5 ; c) 3 ,1 4 . 3110. D eterm in ar el n ú m ero de c if r a s e x a cta s * ) y e s c r ib ir e n la form a que correspon de lo s núm eros aproxim ados siguientes: *) Las cifra s exactas se entienden en s e n tid o estricto.

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Operaciones con números aproximados

397

a) 4 8 ,3 6 1 c o n p r e c is ió n de u n 1%; b ) 1 4 ,9 3 6 0 c o n p r e c is ió n de un 1%; c ) 5 9 2 ,8 c o n p r e c i s i ó n de u n 2%. 3 1 1 1 . S u m ar lo s sigu ien tes núm eros a p ro x im a d o s, con todas las c if r a s e s c rita s e x a cta s: a )2 5 ,3 8 6 + 0 ,4 9 + 3 ,1 0 + 0,5; b) 1 , 2 - 102 + 4 1 , 7 2 + 0 ,0 9 ; c ) 3 8,1 + 2 ,0 + 3 ,1 2 4 . 3 1 1 2 . E fe c tu a r la resta de lo s sig u ie n te s núm eros aproxim ados, c o n toda s la s c if r a s e scrita s exactas: a) 1 4 8 ,1 — 6 3 ,8 7 1 ; b) 2 9 , 7 2 - 1 1 , 2 5 ; c ) 3 4 , 2 2 - 3 4 , 2 1 . 3 11 3 *. C a lc u la r la d ife re n cia en tre la s áreas de dos cuadrados, c u y o s la d o s , según las m ed icio n es, son ig u a le s a1 5 ,2 8 cm y 1 5 ,2 2 c m (c o n e x a c titu d h asta de 0 ,0 5 m m ). 3 1 1 4 . C a lc u la r el p r o d u cto de lo s sigu ien tes núm eros a p r o x i m a d os, c o n toda s las c ifr a s escrita s ex a cta s: a) 3 , 4 9 - 8 , 6 ; b) 2 5 ,1 - 1 ,7 4 3 ; c ) 0 ,0 2 - 1 6 ,5 . In d ica r lo s lím ite s p r o b a b le s de lo s resu ltad os. 3 1 1 5 . L o s lados de u n r e c tá n g u lo so n igu a les a 4 ,0 2 m y 4 ,9 6 m (co n p r e c is ió n hasta de 1 c m ). C a lc u la r el área de este r e c tá n g u lo . 3 1 1 6 . C a lc u la r el c o c ie n t e de lo s núm eros a p rox im a d os sig u ien tes, c u y a s c if r a s e scrita s son toda s exactas: a ) 5 ,6 8 4 : 5 ,0 3 2 ; b) 0 ,1 4 4 : 1 ,2 ; c ) 2 1 6 : 4 . 3 1 1 7 . L o s ca te to s de un t r iá n g u lo re c tá n g u lo son igu a les a 1 2 ,1 0 c m y 2 5 ,2 1 c m (con p r e c is ió n hasta 0 ,01 c m ). C a lcu la r la ta n g e n te del á n g u lo op u esto al prim er cateto. 3 1 1 8 . C a lc u la r la s p o te n cia s q u e se in d ica n de lo s siguientes n ú m eros a p ro x im a d o s (la s bases do la s p o te n c ia s son ex actas en to d a s las c if r a s e scrita s): a) 0 ,4 1 5 8 2; b) 6 5 ,2 3; c ) 1 ,5 2. 3 1 1 9 . E l la d o de u n cu a d r a d o es ig u a l a 4 5 ,3 c m (con p r e c i s ió n b a s ta 1 m m ). H a l l a r el área de d ic h o cuadrado. 3 1 2 0 . C a lc u la r el v a lo r de la s sig u ie n te s ra íces (los números su b ra d ica le s so n e x a c to s en to d a s las c if r a s escritas): a) Y 2 ,7 1 5 ; b ) f ' 6 5 ^ ; c ) ^ 8 1,1. 3 1 2 1 . L os ra d io s de la s bases y la g e n era triz de un con o t r u n c a d o son ig u a le s re s p e ctiv a m e n te a R = 2 3 ,6 4 c m + 0 ,01 cm ; /• = 1 7 ,3 1 ± 0 ,0 1 c m y / = 10,21 c m ± 0 0 , l cm ; el núm ero n = 3,14. C a lc u la r , según estos d a to s, la s u p e r fic ie t o t a l de este c o n o tr u n c a d o . A c o t a r lo s e rrore s, a b s o lu to y r e la t iv o , del resu ltad o. 3 1 2 2 . La h ipoten u sa de u n tr iá n g u lo re c tá n g u lo es igual a 1 5 ,4 c m ± 0 ,1 c m ; u n o de los ca te to s es ig u a l a 6 ,8 c m ± 0 , 1 cm . cC on q u é e x a c titu d so pueden c a lc u la r , c o n estos da tos, el otro c a t e t o y el á n g u lo a g u d o a d y a c e n te a é l? H a l l a r sus valores.

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3123. C a lc u la r el peso e sp e cífic o d e l a lu m in io , si un c ilin d r o do d ic h o m eta l, de 2 c m de d iá m etro y 11 c m de a ltu ra , pesa 9 3 ,4 g. E l e rro r r e la t iv o de la s m e d icion e s lin eales es ig u a l a 0 ,01 y el de la d e te rm in a ción del peso, 0 ,0 0 1 . 3 124. C a lcu la r la in ten sida d de Ja corrie n te , si la fuerza e le ctro m otriz es ig u a l a 221 v o lt io s -£ 1 v o l t io y la re siste n cia , 809 o h m io s ± 1 oh m io . 3125. E l p erío d o de o s c i l a c ió n de un p é n d u lo de lo n g itu d l es igual a T =,2 n / X

,

donde g es la a ce le ra ció n do la gravedad. ¿Con q u é p r e c is ió n debe m edirse la lo n g itu d de un p é n d u lo , c u y o p eríod o de o s c ila c ió n es, a p roxim adam en te, de 2 seg, para co n o ce r este p e ríod o de o s c i l a c i ó n c o n un error r e la t iv o d e l 0 ,5 % ? ¿Con q u é e x a c titu d deben tom arse lo s v a lo r e s de n y de g? 3126. S e n ecesita m edir, c o n una p re cisió n d e l 1%, el área do la s u p e rficie la te ra l de un co n o tru n ca d o, lo s ra d io s de cu y a s bases tienen respectivam ente 2 m y 1 m y la g en eratriz 5 m (aproxim adam en te). ¿Con q u é p r e c is ió n se deben m e d ir lo s r a d io s y la g en eratriz y c o n c u á n ta s c ifr a s debe tom a rse el n ú m ero tí? 3127. P ara d eterm in ar el m ó d u lo de Y o u n g por la f le x ió n de una v a r illa de s e c c ió n re c ta n g u la r se em plea la fó rm u la

donde l es la lo n g itu d de la v a r i ll a ; b y d, la base y la a ltu ra de la s e cció n tra n sv o rsa l de la m ism a ; s, la sagita de f le x i ó n y P f la c a r g a . ¿Con q u é p r e c is ió n deberán m edirse la lo n g itu d l y la sagita 5, para q u e el e rro r de E n o ex ced a d e l 5 ,5 % , c o n la c o n d ic ió n de que P se c o n o c e c o n u n a p r e c i s i ó n hasta e l 0 ,1 % y la s m agnitudes d y b con p re cisió n hasta el 1%; l 50 c m y s & 2 ,5 cm ? § 2 In te r p o la c ió n de fu ncio n es I o. F ó r m u l a d e i n t e r p o l a c i ó n d e N c w t o n. Sean x Qy x t , . . . . . . . x * lo s v a lo re s tab u la res d e ! a rg u m en to, cu y a s d iferen cia s, /í = A x í(A x ¿ = = z ¿+l — Xi\ i = 0 , 1, . . . / » — 4), so n con sta n tes (intervalo de la tabla) o Vo> Pi< •••>&»» lo s co rre s p o n d ie n te s v a lo re s d e la fu n ción y. En este caso, el v a lo r de la fu n ción y f para un v a l o r in te r m e d io d e l a rg u m e n to x t se da, aproxim adam ente, p o r la fórmula de interpolación de N e w ton :

, - „ + , . A „ , + i ü j j = l ! ^ . + . . . + l l ' - l l - ; |* — + Ü a - i, „ d on de ? =

y \ y ü = y x— y 0, A 2y 0 = ¿ V i — &Vo ■•■ so n las su cesivas

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ni d ife -

In terp ola ción

de junciones

r e n d a s f in it a s do la fu n ción y . Para x — (¿ = 0, ©i p o l in o m io (1) tom a io s v a lo r e s co rre s p o n d ie n te s de la tabla y t ( í = O y i C om o casos p a rticu la re s de la fórm u la d e New ton se ob tien en ; para n = i , la interpolación linea l y para n = 2, la interpolación cuadrática. Para fa c ilita r o l u s o de la fórm u la de N ew ton , se recom ien d a fo rm a r previam ente las tab la s de las d ife re n cia s fin ita s. S i y = f ( x ) es un p o l in o m io de « - s i m o

grado,

A ny i — co n s t y An+i{/¿ = 0 y , p o r co n s ig u ie n te , la fó r m u la ( 1) os ex acta . E n el c a s o g e n era l, s i f ( x ) tiono una d eriva d a con tin u a /(.z) sogm ento [a , b ], que c o n tie n o io s pu n tos x 0l x {, . . * , x n y x , e l error ó r m u la ( 1) será ig u a l a

en el de la

n „ , , X i <7 < 9 — í + 1) R n ( x ) ^ = y — 2 j ----------------- "j----------------- A *¿/0 = i= 0

(2)

d o n d e £ es v a lo r in te r m e d io determ in a do entre a : ¿ ( í = 0 , 1, E n la p ráctica se u t iliz a una fórm u la a p ro x im a d a más c ó m o d a ;

n)

y

x.

Si se puedo to m a r c u a lq u ie r núm ero n y éste deberá e le g ir s e de tal form a , quo la d ife re n cia Aw+tyo s e a » w 0 d on tro de io s lí m i t e s de ex actitu d dada. E n o tra s palabras, las d iferen cia s A n¡/o deben ser constantes en lo s órdenes d e c im a le s que se dan. E ) e m p l o 1. H a lla r el sen 26°15/ , v a lién d o se de lo s datos que dan las tablas; se n 26° = 0,43837, se n 27° = 0,45399 y son 28° = 0,40947. S o l u c i ó n . F orm a m os la tabla

, . Aquí, ¿ = 6 0 ,

i

*i

y¿

0 i 2

26° 27° 28°

0,43837 0,45399 0,46947

q -

A p lic a n d o la la t a b la , tenemos

26*15' - 2 6 ° fórm u la

son 26*15' = 0 ,4 3 8 3 7 + - j -

(l)

1 y

A 2y t

1562 1548

— 14

• u t iliz a n d o

0,01562 +

la primera línea h o rizo n ta l de

4

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- - ( - 0 , 0 0 0 1 4 ) = 0 ,4 4 2 2 9 .


400

Acotamos el error R<¿. Aplicando la fórmula (2) y teniendo en cuenta que |y(T1>| «< l, si y = seax, tenemos: , 4 (4

0 ( 4 3!

2 ) / n \* 7 1 _ 1 \ 1 8 0 ) _ 128' 5 7 ,3 3 " - - - 4 -10

.

E s decir, que todas las cifra s dadas para el sen 26*15' so n exactas. V alién dose de la fó rm u la de New to n tam bién se puede h a lla r el valor correspondiente del a rg u m en to x p a rtie n d o do un v a lo r in term ed io dado de la fu n ció n y ( i n t e r p o l a c i ó n i n v e r s a ). Para e sto , prim eram ente, se d e te r mina el corresp on d ie n te v a lo r de <7, p o r el m é to d o de las aprox im acion es sucesivas, su pon iendo:

&yo

y —1

£<1+1)— ^<0) — 2!

A2^0 A{/o

$<*>(*<*> — 1) . . . (q{i>— n + i ) Ani/ 0 *■

M

A í/o

(¿ = 0, 4, 2,...) P o r <7 se tom a e l v a lo r com ú n (¡c o n la e x a ctitu d d a d a !) do d os cio n e s su cesiva s q=zq. De don de, x = x 0+ g « ¿ .

a p roxim a

E j e m p l o 2. V a lién d o se do la ta b la ca lc u la r a p rox im a d a m en te la raíz de la ecuación sh x = 5.

Solución.

X

y — shx

Ay

A2y

2,2 2 ,4 2 ,6

4,457 5,466 6,695

1,009 1,229

0,220

T o m a n d o y0 = 4,457, tenem os:

— 0.538 + 0,027 = 0,505; q — 0 , 5 3 8 ° - 565^0 ’ 435

0 ,5 3 8 + 0 ,0 2 7 = 0,565.

Do osta forma, se puede tomar x = 2 , 2 + 0,565-0,2 = 2 , 2 + 0,113 = 2,313. 2°. F ó r m u l a d e i n t e r p o l a c i ó n d e L a g r a n g o . En el caso general, el p o lin o m io do e n ésim o g ra d o, que para x = x ¿ to m a lo s valores dados de V i ( i = 0, 1, . . . , r c ) , v ien e d a d o por la fó r m u la d e i n t e r p o l a c i ó n de

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In terp olación

de junciones

401

Lagrange _

( x - x {) [ x — x 2) . . . ( x — x n) (^0 — * 1) (^0

( * + *p)

x ¿‘ )' • *(^0 — x n)

0

(x l — x o ) ( x l ' ~ X - ¿ ) - - ( x i — *n)

1

pe — jtq) ( s + a q ) , . . ^ — Xh-i) ( x — Xk+i ) . . . ( g — a;n)

r , (**— *o)
(* — *o) (a — J j ) . .. (j — a ^ ) <**“ *o) (xn~~x \)- ••(xn — ^n-l) *' 3 1 2 8 . Dada la ta bla de v a lores do x e y:

X

i

2

3

4

5

6

y

3

10

15

12

9

5

F orm ar la ta b la do la s d ife ren cia s fin ita s de la fu n ción y. 3129. F orm ar la ta bla de las d ife ren cia s de la fu n c ió n y = x* — — 5 x * - { - x — 1, para lo s v a lo r e s de x = í , 3, 5 , 7, 9 y 11. C ercio rarse de q u o toda s la s d ife re n cia s fin ita s de 3° orden son iguales e n tro sí. 3 13 0 *. V a lié n d o s e do la con stan cia de las d iferen cia s de 4o ord en , fo rm a r la ta bla de las d ifere n cia s de la fu n c ió n y = x4 — — 10x3 + 2 x 2 - f 3a:, p a ra lo s va loros en teros de x com pren didos en el in te r v a lo 1 < x < 10. 3131. Dada la tabla l g 1 = 0 ,0 0 0 , lg 2 = 0,301, l g 3 = 0 ,4 7 7 , lg 4 = 0 ,6 0 2 , l g 5 = 0,699, c a lc u la r , v a lién d ose de la in te r p o la c ió n lin e a l, los núm eros: lg 1,7; lg 2 ,5 ; lg 3 ,1 y l g 4 , 6 . 3 1 3 2 . D ada la ta bla son 10= = 0 ,1 7 3 6 ,

son 13° = 0 ,22 5 0,

sen 11° = 0 ,1 9 0 8 ,

sen 1 4° = 0 ,24 1 9,

sen 12° = 0 ,2 0 7 9 ,

sen 15° = 0 ,2 5 8 8 ,

c o m p le ta r la , c a lc u la n d o para e llo , p o r la fó r m u la do (para n = 2 ), lo s v a lores de los sonos cada m ed io grado.

2 6 -1 0 1 6

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N ew ton


402

3133. Form ar el p olin o m io de in terp o la ción de N ew ton para la función dada por la tabla X

0

i

2

3

4

y

i

4

15

40

85

3134*. Form ar el p o lin o m io de in terp ola ción de N ew ton para la fu n ción dada por la tabla X

2

4

6

8

10

y

3

11

27

50

83

H a lla r y para x = 5 ,5 . ¿Para q u é x será y = 20? 3135. Una fun ción está dada por la tabla X

-2

1

y

25

- 8

2

4

-1 5

-2 3

Form ar el p olin o m io de in te rp o la ció n do Lagrange y h alla r ol v a lo r de y para x = 0 . 3 136. E m píricam ente se han determ inado las m agnitudos de la co n tra cció n do un resorte (x mm) en dependencia de las cargas ( P k g ) que actáan sobre él: X

5

10

15

20

25

30

35

40

P

49

105

172

253

352

473

619

793

H alla r la carga quo produzca una co n tra cció n do 14 m m del resorte. 3137. Dada la tabla do las m agnitudes x e y X

0

i

3

4

5

y

i

- 3

25

129

381

ca lcu la r ol v a lor do y para a; = 0 ,5 y x — 2: a) valiéndose de la in terp o la ción lin eal; b) por la fó rm u la de Lagrange.

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C álculo de las raíces reales de las funciones

403

§ 3. Cálculo de la s ra íc e s re a le s de la s ecuaciones 1 Determinación de l a s a p r o x i m a c i o n e s iniciales de las raíces. La determ inación aproxim ada de las raíces do una ecu ación dada /(* )« 0

( 1)

so d iv id e en dos etapas: 1) la separación de las raíces, es decir, la deter m in a c ió n de lo s in tervalos, lo más estrechos posib les, entro lo s que está com prendida una y s ó lo una raíz do la ecu ación (1); 2) ol cálculo de las raíces c o n ol grado de ex actitu d p refija d o. S i la fu n ció n f (x ) está doterminada y es continua en ol segmento \a, b] y f ( a ) ' f (b) < 0, en este segm ento [a, b] habrá por lo menos una raíz g de la ecu ación (1). Esta raíz será indudablem ente única, s i / ' { x ) > 6 O / ' ( x ) < 0 para a < x < b. Para h a lla r a proxim ad am ente la raíz | se recomienda con struir la g rá fica de la fu n ció n y = f ( x ) en papel in iíim etra d o. Las abscisas de los puntos de in tersección de la g rá fica co n el ojo O X serán las raíces de la e cu a ción f { x ) = 0. A veces, os más cóm o d o su stitu ir esta ecuación por su e q u iv a le n te
<2> Para o b te n e r la segunda a p ro x im a ció n c2, a p lica m o s la fórm ula (2) a aquél do lo s segm entos [a, c x\ o |r., />1 en cu y o s ex trem os ln íu n óión / (x ) tonga v a lores de sign os con tra rios. De la m ism a form a se construyen las siguientes a p ro x im a c io n e s . La su ce sió n do los núm eros cn ( y — 1, 2 , . . . ) converge h acia ia raíz £, es d ecir lim ** = 5.

■n-voo

El c á l c u l o do las aprox im acion es c x. c2, . . . , p o r lo g en e ra l, do be con tin u arse hasta quo cosen de variar las cifra s d e cim a le s quo se conservan en la respuesta (jd o acuerdo con el grado d e exactitud d ado!). Pora las o p e ra cio nes in term ed ias debon tom arse una o d os cifras de reserva. Esta in d ic a c ió n tie n e ca rá cter general. Si la fu n ció n / (x ) tie n e una derivada / ' (x) co n tin u a y d iferen te do cero on el s e g m e n to [a , 6], para acotar el error absolu to de la raíz aproxi mada c n, s o puede em p lea r la fórm u la

donde (1=

3o. M é t o d o

de

rain I f ( x ) | . < it£ X S i b

Kowton

( do

y / ' ( * > ¥ * 0 para a < x < 6, sien do

las

tangentes).

Si /' (x) =£ 0 f { a ) j ( b ) < 0 , / ( a ) / * » > 0 , las apro-

20*

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404

C álculos aproximados

x im a cio n e s sucesivas x n (n = 0 , 1, 2 , . . . ) de la raíz § de la e c u a c ió n / (x) = 0, s e ca lcu la n p o r ¿as fórm u las =* a , x n = x n - i “ “ (t í *

(rc = l , 2,

(3)

Cuando se cu m p len estas su p o sicio n e s, la su cesió n x n (n = 1, 2, . . . ) m onótona, y

es

lim ¿ * = 1. TO-> CV

Para acotar los errores se puede u t iliz a r la fórm u la

u don de p =

m in

|/ ' (^) |.

En. la p ractica resulta m ás có m o d o e l e m p le o de fó r m u la s m enos c o m plicadas x 0 = a,

=

— a / ( : r n_|) ( » = 1, 2, . . . ) ,

d o n d e a — -p -^ y , quo d a n , aprox im ad am en te,

la

m ism a

(3 ')

e x a c titu d

q ue

la

fórm u la (3). S i I (b) / " (b ) > 0 , en las fórm u la s (3) y (3 ') deberá su p on erse ar0 = ó. 4°. M é l o d o d e i t e r a c i ó n . S upongam os que la e c u a c ió n dada se ha reducido a la forma * =

(4)

don do |¿> . . . según la s ig u ie n te le y : *1 = 9 (20)» Si

=

*2 = 9 ( 21)»

x n = y ( x n_ í), . . .

(5)

2, . . . ) , e l lím ite | = Í im z n 7W-CO

será la ú n i c a r a í z do la e c u a c ió n (4) en el seg m en to [a, &], es d e cir, x n s o n las aproximaciones sucesivas do la raíz !*. La acotación d o l error a b s o lu t o de la enésim a a p r o x im a c ió n de x n la da la fórm u la

u —* « k P o r e sto , s i x n y

i —r

c o in c id e n co n uua e x a c titu d hasta e , el

error a b s o lu to do x n será

^

lím it e del

-

Para transform ar la ecu ación /(a :) = 0 a la fo rm a (4) so s u s t it u y e esta ú ltim a p o r la ecuación eq uivalente

z —z — d on de el núm ero X

(¿r),

0 so e lig e de ta l fo rm a , que la fu n ció n

—^ /(* )1 =

_ sea pequeña on v a lo r a b s o lu to on las p rox im id a d e s d o l p u n to Xq (p o r e j . , se puede, suponer q ue 1 — X / ' (x0) = 0).

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C álculo de las raíces reales de las funciones

405

E j e m p l o 1. R ed u cir la ecu a ció n 2 x — l n x — 4 = 0 a la form a (4 ), si la a p ro x im a c ió n in ic ia l de la raíz :r0 =?2,5. Solución.

Aquí

/ ( x ) = 2 x — ln x — 4; f ' ( a :) = 2 — — .E scrib im os la x e cu a ción eq uivalente x — x — k ( 2 x — ln j — 4) y en c a lid a d de u n o do los v a lores con ven ien tes do k to m a m o s 0,5, nú m ero p r ó x im o a la raíz de la ecu a ció n 1— k í 2 — — ) V x ) |x=,2.5

= 0 , es decir, a

1,0

^ 0 ,6.

La ecu a ció n in ic ia l se reduce a la form a x = x — 0 ,5^ 22; — ln £ — 4) o bion, x^2 + ± U x . E j e m p l o 2. C a lcular con e x a ctitu d c i ó n precedente, com p re n d id a entre 2 y 3.

basta 0,01 la raíz g do la ecu a

C á l c u l o do la r a í z p o r el m é t o d o d e i t e r a c i ó n . A pro v echam os el resu lta d o del e je m p lo 1, su p on ien d o ar0 = 2,5. El c á lc u lo lo r e a liz a m o s según la s fó rm u la s (5 ), co n una c ifr a de reserva. xt= 2

ln 2,5 =« 2,458,

xz= 2 + ~

ln 2,458 ís, 2,450,

* 3= 2 - ¡ - - i ln 2,450

2,448,

xí = 2 - 1 - 4 - ln 2,448 «=> 2,448. Es d e cir, g ^ 2 , 4 5 (e l proceso de a p rox im a cio n e s u lte riores puede darse por term in a d o, ya que la tercera c iír a d ecim a l (la s m ilésim a s) s o han fija d o ). P ro ced em os a a cotar el error. Aquí 1 1 q>(:r) = 2 - t - y ln x y y ' ( z ) = ^ . C o n sid era n d o q uo to d a s las a p ro x im a c io n e s x n se encuentran on el segm ento [2,4; 2,5], ob ten em os r — m a x ] q;' ( i ) |=

0,21.

P o r co n sig u ie n te , el lím ite del e rro r a b s o lu to do la a p rox im a ción x 3, do acuerdo con la ob se rv a ción hecha anteriorm ente, es IA = ■0 , y ? M = 0,00i 2 « s 0,001. 1 — 0,21 Do esta fo rm a , la raíz exacta £ de la e c u a c ió n se encuentra entre lo s lím ites 2,447 < l < 2,449; puede tom arse £ ^ 2 , 4 5 , y to d a s serán exactas en s e n tid o e stricto .

las cifra s d o esto

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núm oro

aproxim ado

406

Cálculos aproxim ados Cálculo

do

!a

raíz

por

f(x) = 2 x - I n * - 4 ,

ol

método

/'< * ) = 2 - i - ,

do

N e w ton .

Aquí

/'( * ) = ¿ .

En e l segmento 2 < s < 3 tenem os: / ' (x) > 0 y /• (x ) > 0; / (2) / (3) < 0 y / ( 3 ) / " ( 3 ) > 0 . P o r consiguiente, las c o n d ic io n e s del apartado 3o, para x 0«^3, se cumplen. T om am os

Hacemos lo s c á lc u lo s por la fórm u la ( 3 ') , co n dos cifras do reserva x¡ = 3 -—0 ,6 (2 ■3 — ln 3 — § = 2,4592; x 2 = 2,4592 - 0,G (2 •2,4592 - l a 2,4592 - 4) - 2 ,4 4 8 í; *3 = 2,448i - 0 , ( 5 (2 ■2,4481 - ln 2,4481 - 4 } = 2,4477; x/, = 2,4477 — 0,0 ( 2 - 2 , 4 4 7 7 - ln 2,4477 — 4) = 2,4475. En esta etapa suspendemos los c á lc u lo s , ya que las cifras d e las m i l é simas n o cam bian más. D am os la respuesta: la raíz | — 2,45. O m itim o s la acotación d o l error. 5o. C a s o d e u n s i s t e m a d o d o s ecuaciones. Supongam os que hay que calcu la r, con un grado de ex actitu d dado, las raíces reales de un sistem a de d os ecuaciones con d os in cógnitas

r/(*.y)=o,

•

1 « p (* .v ) = o.

6 w

y supongam os tam bién , que se tiene la a p rox im a ción in ic ia l de una de las so lu cio n es q ) de este sistem a, x = x 0, y = y§. Esta a p roxim ación in icial puede obtenor.se, p o r e j . , gráficam ente, co n s truyendo (en un m ism o sistema de coordonadas cartesianas) las curvas j (x> y) = Q y q )(x , y) = 0 y d otorm inando las coorden a d a s do los pu n tos do intersección do estas curvas. a) M é t o d o d o N o w t o n . S upongam os que el determ inante fun cion al r

d ( / ,
y)

n o so anula en las p rox im id a d es do la a p rox im a ción in icia l x = x 0y y = yoEn esto caso, por el m é to d o de N cw to n , la primera a p ro x im a ció n del resul ta d o dol sistem a (6) tiene la form a xl = x 0 -\-a(iy í/i = í /o + P o i donde a 0, % es la solu ción del sistema de las d os ecuaciones lineales í / (x o* Ifo) + a o/*x (x oi yo) + Po/i/(x Oi ¿/o) = 0»

l ¡fo)+ Po
¡f2 = lfi + PlF

donde ctj, P, os la so lu ció n del sistem a de ecuaciones lineales 1 (x

i»

yi) +

^ i l x ( x lt

r/i) + P i / y ( x i, l / i ) = 0,

» i ) + o K d + P i V y í s i t A n álogam ente se obtiene la tercera y dom as aproxim aciones.

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Cálculo de las raíces reales de las funciones

407

b) M é t o d o d o i t e r a c i ó n . Para la re so lu ción del sistem a de ecua c i o n e s (6) se puedo em plear el m é to d o de iteración , transform ando este sis tema a la fo rm a equivalente f l

x = F ( x , y), y = (x, y )

1 ;

y su pon ien d o, q u e

t

I F'x <*; y ) I+ 1 0'x ( x y y) I < r < 1;

| F'y (x, y) |+ 10 )^ (*, y) |< r < 1

(8)

e n un entorno b id im en sio n a l determ in a do £/, de la a p ro x im a c ió n in icial <*o» í/o)»
^ , = O { x 0, y0),

x2= F ( x u y i),

í/2= íI)(*i> y í),

x 3=z F ( s 3 , y 2)>

^3 = °

S i tod as las (x*, yn ) pertenecen a U , 1im

(x 2i

y*)>

= §, lim y n — i).

n->co

n-ôo

Para transform ar el sistem a d e ecuaciones (6). a la form a (7), cu m p lien d o la c o n d ic i ó n (8), se puedo recom endar el sigu ien te proced im ien to. E xam in a m o s el sistem a de ecuaciones a /(x ,

{ e q u iv a le n te a l sistem a

i/) = 0 ,

Y / ( x > y) 4 - 6

(6) co n

la c o n d ic i ó n de que

m o s a e s c r ib ir de la form a:

rj" V.

^| 6I

0. L o v o lv e -

x = x + a f (x , y ) + P ó , co m o solu cion o s a p r o x i madas del sistem a de ecuaciones l + a / ; ( ® 0> ¡/o) + P
o) = 0 ,

Y / i ( * o • ^ o ) + «< P ¿ ( * o . y o ) = 0 ,

l + Y / i (*o. yo) + 8
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408

Cálculos aproximados Ejemplo

3. R ed u cir el sistem a de ecuaciones

a la form a (7 ), s i la a p ro x im a c ió n Solución,

in ic ia l

de Za raíz os z 0 = 0,8, y 0 = 0,55.

A q u í / (x, y) ==^2 + y* — i f 9 ( 2:,

fy(*0> J l o) = l , 1;

Z/o) = í>02,

=

— y; /*(a?0f y 0) = l A

ípâro, y 0) = ~ l .

E scrib im os el sistem a, e q u iv a lcn to al de partida, r

« ( * « + » * _ i ) + p (xa _ „ ) _ o ,

/I

l

Y ( ^ + ! / 2- 1 ) + 5 (^ 3- íí) = Ü,

l |

en la forma

* = * + « < * * + 0 * — l ) + p ( s a— !/), y « ír+ -V (a:a+¡fa- i ) + 6 ( áB 8 _ y ) # E legim os en ca lid a d de v a lores n u m éricos con ven ien tes de a , so lu ció n del sistema do ecuaciones

(3,

y

, Ó,

la

1 + 1,6 a + 1,92 p = 0,

1,1 a — P= 0, 1,6

y

+ 1 ,9 2 ^ 0 ,

1 + 1,1 Y — 0 = 0, es decir, suponernos a >**— 0,3, — 0,3, 7 ^ — 0,5 y 6 ^ 0 , 4 . En esto caso, e l sistem a de ecuaciones r \

x*= tx — 0,3 {¿r2 + i/2— 1 ) — 0 ,3 (a;3— y ) , r j s s y — 0,5 (x2 + p2 — l ) + 0,4 (x* — y),

eq uivalente al de partida, tiene la form a (7) y en un en torn o s u ficie n te mente p equeño d e l punto ( x 0i y0) se cu m p lirá la c o n d ic i ó n (8).

P o r el procedim ien to de pruebas, separar la s raíces reales de las siguientes ecu a cion es y , v a lié n d o se do la reg la de las partos proporcionales, c a lcu la rla s c o n a p rox im a ción hasta 0 ,01. 3138. x * - x + l = 0. 3139. x 4 + 0 , 5 * — 1,55 = 0. 3140. a;3 — Ax — 1 = 0. P artien do de las a p rox im a cion es in icia le s obten id as grá fica m ente, ca lcu la r p o r ol m étod o de N ew ton, c o n e x a ctitu d hasta 0 ,0 1 , las raíces de la s ecuaciones: 3 141. x 3 - 2 x — 5 = 0.

3 1 4 3 . 2* = 4 x .

3142. 2 » — l n * — 4 = 0 .

3144. \ g x = — .

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X

In teg ra ción numérica de funciones

40£

U tiliza n d o las a p rox im a cion es in ic ía lo s encontradas grá fica mente, c a lc u la r p o r el m é to d o de ite ra ció n , c o n e x a ctitu d hasta 0 ,0 1 , las raíces de las ecuaciones: 3145. x 3- 5 x + 0 ,l = 0.

3 1 4 7 . x 5- * - 2 = 0.

3146. 4x = c o s x . H a lla r grá ficam en te las a p roxim a cion es in icia le s y ca lcu la r, con exactitu d hasta 0 ,0 1 , las raíces reales de Jas sigu ien tes ecu a c io n e s y sistem as; 3 1 4 8 . * 3- 3 x + l = 0.

3154. arv + 2 : r - 6 = 0.

3 1 4 9 . z 3- 2 x 2 + 3 x - 5 = 0.

3155. é* + e ~*x — 4 = 0.

3 1 5 0 . ^ - t - x 2- 2 : r - 2 = 0.

x* + y * - 1 = 0 , 3156.

3 1 5 1 . Z ‘ h \ x — 1 4 = 0. 3 1 5 2 . a;3-(-3a; — 0 ,5 = 0 .

z * - u ~ 0. f z 2 | - i / - 4 = 0,

3 1 5 3 . 4 x — 7 se n a : = 0.

3 1 5 7 . ^ ^ — Igo: — 1 = 0.

3 1 5 8 . C a lcu la r, c o n exactitud hasta 0 ,0 0 1 , la m ínim a raíz, p ositiva de la e cu a ció n t g s = a\ 3 159. C a lcu la r, c o n e x a c titu d hasta 0 ,00 0 1, la raíz do la ecua c i ó n z - t h x = 1. § 4. In te gra ción numérica de fu ncio nes I o. F ó r m u l a la integral

de l o s

trapecios,

Para calcular aproximadamente-

b

s

f (x) dx

a

(/(a ) es una función continua en [a, ó]) se divide el segmento do integra ción \a, &} on n partes iguales y se eligo ol intercalo del cálculo h = —— . Supongamos que x¿ = a:0+ //* (*0 = <7, xn = b, i = 0, i , 2 , . . . , n) son las absci sas de los puntos do división y que ¿q = / ( xj ) son los correspondientes valo res do la función subinlegral y = f(x) . Entonces, por la fórmula de los Irapecios, tenemos: b J / ( x ) d * ^ / , ( ^ ± i ^ 2 . + ¡,1+ y a+ . . . + ¡,n_ 1) (1> a con un error absoluto

donde M2= m á x . |f" (x) | para

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410


Para conseguir la exactitud dada e, a l ca lcu la r la in tegral, se determina «1 intervalo del c á lc u lo h partiendo do la desigualdad

< 2 >

•es d e cir, h debo ser del orden ~]/l. El v a lo r de h así obten ido, se redondea por d efe cto do form a, quo b— a ~

'

~

n

sea un número quo nos dé el núm ero de d iv is io n e s n. Después de deter m inar h y n por la fórm u la ( 1), so ca lcu la la in teg ra l, tom ando los valores •de la fu n ció n subintegral con una o d os cifra s decim ales de reserva. 2o. F ó r m u l a d e S i m p s o n ( f ó r m u l a p a r a b ó l i c a ) . Si n es un número par, on las notaciones I o es v á lid a la fórmula de Simpson b /

(r )

dx

h —

[(jfo +

S fa ) + 4

({/j +

J/3 +

. . . 4 -i/n -i) +

a "Í"2 ([/2 + y4+ . . . + F n - 2)]

(3)

•con un error absoluto

-donde Af4= m á x . |/* v ( x ) | cuando a < x < ó. Para asegurar la exactitud dada e, a l ca lcu la r la in teg ra l, el in terv a lo del c á lc u lo h so determ ina partiendo de la desigualdad ^ ( 6-a )A /t < e , ■es decir,

*

(5)

que el in tervalo h tendrá ol orden \ í e. E l número h se redondea

por d e fecto do tal forma, que n = —

soa un número entoro par.

O b s o r v a c i ó n . Com o no es fá cil la determ inación del in terv a lo del c á l c u l o k y del núm ero n relacionado con é l, por m e d io do las desigualdades (2) y (5), en general, en la práctica, h se h a lla grosoram ontc a tanteo. Des pués de ob ten ido el resultado, se du plica el num ero n, es decir, se d iv id e por d os el in tervalo parcial h. Si el nuevo resultado coin cide co n el anterior, •dentro de las cifras d ocim a les quo so conservaron, se term ina ol 'cá lcu lo. En caso co n tra rio, so repito e l p rocedim iento y así sucesivamente. Para calcular aproxim adam ente el error absoluto R de la fórm u la de cuadratura do Sim pson (3) se puede em plear tam bién el principio de Ru ng e, según e l cu a l, • «

R

IS-31 15

•donde 2 y 2 , son los resultados obtenidos en lo s c á lc u lo s con la fó rm u la (3), para lo s intervalos h y I I = 2h, respectivam ente.

3160. B a jo la a cción de una fuerza variab le F , d irig id a a lo largo de| eje O X , u n punto m aterial so traslada por este eje desde la p osición x = 0, hasta la p o sició n x = 4. C a lcu la r, aproxim ada-

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In tegra ción n nm érica de funciones

411

•mente, e] tra b a jo A de la fuerza F y si se da la tabla de lo s v a lo res d e su m ó d u lo F :

X

0 ,0

0 ,5

1 .0

1 ,5

2 ,0

2 ,5

3 ,0

3 ,5

4 ,0

F

1 ,5 0

0 ,7 5

0 ,5 0

0 ,7 5

1,50

2 ,7 5

4 ,5 0

6,75

10,00

E fe c tu a r lo s la de S im p son .

cá lcu los

por

la

fó r m u la de

lo s

trapecios y por

i

3 1 6 1 . C a lc u la r , a p roxim adam en te,

^ ( 3 ^ —A x ) d x , por la fór0 m u ía de lo s tra p e cio s, tom a n d o n = 1 0 . C a lc u la r esta in tegra l ex a c ta m en te y h a lla r lo s errores a b s o lu to y r e la t iv o dol resultado. D e te rm in a r el l í m i t e su perior A del error a b s o lu t o del c á l c u l o e fe c tu a d o para n — 10, a p lica n d o la fó r m u la del error q u e se da e n e l tex to. i 3 1 6 2 . C a lc u la r ^

p o r la fó r m u la

de

Sim pson, c o n e x a c ti

tu d h a s ta 10~4, tom ando rc = 10. D e te rm in a r e l l í m i t e superior A d e l e rro r a b s o lu to , a p lica n d o la fó rm u la d e l error que se da en el te x to . Calcular,* c o n e x a c titu d hasta 0 ,0 1 , las siguientes in teg ra les d e fin id a s : i 2 dx 1+ * #

Jt 3164.

3169.

3 1 6 5 . $ ^ . 0

3170. 1 n

2 3166.

J xlgxdx.

2

3171

2 3167.

l ^ - d x .

^ ™ L ?-d x . 1

3172.

«-*• dx. 0

i

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412


3 1 7 3 , C a lcu la r, c o n e x a ctitu d hasta 0 ,0 1 , la in teg ra l im propia x>

\ \

x2 ' em p lea n d o

la

su s titu ció n x =

C om probar el c á l c u l o b

a p lica n d o la fó rm u la de S im pson a la integral

J i

, dondo

/>

se e lig e de tal form a, que

+S

b

3 1 7 4 . La fig u ra plana lim ita d a por una sem ionda do la sin u soid e y = s e n x y el ejo O X , g ira alrededor de este eje. C a lc u la r por la fórm u la de S im pson , c o n e x a ctitu d hasta 0 ,0 1 , el volum en d e l cuerpo de re v o lu ció n que so engendra. 3175*. C a lcu la r por la fó r m u la de S im pson , c o n e x a c titu d hasta 0 ,0 1 , la lo n g it u d

del arco de la elipse

-y - +

^ 22)2~ =

*■*

situado en o l prim er cuadrante coordenado. § 5. In te gra ción numérica de ecuaciones d ife r e n c ia le s o rd in a ria s I o. M é t o d o do las aproximaciones sucosivas (de P i c a r d ) . Supongamos quo se nos da la ecuación diferencial do 1er orden V* — 1 (x * v ) <1> con la condición inicial y = yo para x = x$. La solución y (x) de la ecuación (1) que satisface a la condición inicial dada puede expresarse, generalmente, de la forma r j ( x ) = lim uí ( x ), í->co

(2)

dondo las aproximaciones sucesivas de yt (x ) se determinan por las fórmulas Uo (x) = yo, »v

•Ji ( x ) = V 0+

\ 1 (* , y i-i (* )) dx

*o = 0, 1, 2, . . . ) . Si ol segundo miembro / (¿r, en el entorno t f { |z —

y)

es una función dotorrainada y continua Itf— í t o l <¿ } .

y satisface en el mismo a la condición de Lipschitz ! / ( *> 0i) — / ( * , yz)\ < ^ \ U i - V 2 \

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Integración numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias { L es una con sta n te), e l p roceso de las a p rox im a cion es sucesivas (2) es seguro, ■que con v erg erá en e l in te r v a lo \x — Xq I < > l»

dondo

y M = máx I / (x , y) |. H A l ocu rrir e sto, e l error \x — x 0 |"+i Rn = \ ' j ( * ) - V n

( * + 1)1

■con ta i de que

El m étodo de la s a p ro x im a cion es su cesivas (de Picará) , co n pequeñas m o d ific a c io n e s , se puede a p lica r tam bién a los sistem as n orm ales do ecua c i o n e s d iíe r e u c ia le s . En cu a n to a las ecu acion es d ife ro n cia lo s do órden es su p eriores, éstas se pu eden e sc rib ir on form a de sistem as de ecuaciones •diferenciales. 2o. M é t o d o d e R u n g e y K u 11 a. Supongam os que en un segm ento lia d o xq .*£ x < X h a y q u e b a ila r la s o lu c ió n y ( x ) d e l problem a (t) con una ■exactitud dada e. Para e s to , p rim era m en te, e le g im o s h = —

•- Q (intervalo del cálculo),

■dividiendo e l segm en to [x0i X ] en n partes ig u a le s do form a que /¿4 < e . Los pu n tos de d iv is ió u x¡ se d eterm in an p or la fórm u la x t = *Q + lh

( i = 0, 1, 2,

n).

L os co rre sp o n d ie n te s v a lo re s de y i - y ( x i ) de la fu n ción q u e se busca, según o l método de Bunga y Kutta> s e ca lcu la n sucesivam ente por la s fórm ulas yt+ i= yi+ & V h A í / . = y ( * í‘ >T 2 # + 2*+ k { % donde t = 0 , 1, 2,

n

kp=*1(xt, J ’ i) k.

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414


dado [x 0, X ] se puede ob ten er p a rtien d o d e l p r in c ip io de R u nge: P

. I Vvn— ¿/mi 15 1

d on d e n = 2 m , yâ e Vm son los resu ltad os de los c á lc u lo s efectu ados p o r e l esquem a (3) con lo s in te rv a lo s h y 2h. El m étodo de R ungo y K u tta s e puede em plear tam b ién para r e s o lv e r sistem as de ecu acion es d ife ren cia les */' = / ( * , »/> 2),

z '= q > ( * , y , z)

(4>

co n c o n d icio n e s in ic ia le s dadas: y = y§, z = zQ para x = x 0. 3o. M é t o d o d e M i I n c . l?ara la re so lu ció n d e l p rob lem a (1) p o r e l método de M i ln e y p a rtien d o de lo s d a tos in ic ia le s , y — y0 para x = x 0, s e h a lla n p o r cu alq u ier p roced im ien to io s v a lo re s su cosivos Vi = y ( x i)>

y

y

( x f¿)>

yz— y { ^ )

de la fu n ció n q u e se busca y (x) (p or e j ., puede em plearse ol d e s a r r o llo dela s o lu c ió n y (x) on la se rio (cap. I X , § 17) o b a ila r estos v a lo re s por el m é to d o de las a p rox im a cion es sucesivas, o em p lea n d o el de Runge y K u tta, etc.). Las a p roxim acion es y i e para los s ig u ie n te s v a lores de y¿ {i = 4 , 5, , . . f n), so h a lla n , su cesivam ente, p o r las fórm ulas — Ah y i = y i - H — 3- (2/ í - 3— / 1—2 + 2/¿ - i) i (5> y i = y ¿-2 4 * ’ 3“ (li + donde fi= j(zu y t)

y

U— f{^ y i)'

Para e l c o n tr o l, ca lcu la m os la m agnitu d fi| = -29 Si

no

sobrepasa de una u n idad

U il d e l ú ltim o ord en

• (6> d ecim al

40~m q u e

so conserva en la respuesta para y (cr), en ca lid a d do y¿ tom am os y pasa m os a ca lc u la r e l sig u ie n te v a lo r yt+ iy re p itie n d o para o li o e l p roceso in d ica d o. S i, p o r e l co n tra rio , e ¿ > 1 0 " m, hay que v o lv e r a em pezar d o nuevo, d ism in u yen d o e l in te rv a lo d e l c á lc u lo . La m agn itu d d e l in te r v a lo in ic ia l se d otorm in a, a p roxim ad am en te, de la desigu aldad ¿ 4 < 10"™. Para e l caso de la so lu ció n d o l sistem a (4), las fó rm u la s de M iln o so escrib en p o r separado, para las fu n cio n e s y (x) y z (x). E l ord en d e l c á lc u lo sigu e s ie n d o e l m ism o. E j e m p l o 1. D ada la in ic ia l y (0) = 1,5, ca lcu la r, de e s t a 'e c u a c ió n para e l com b in a n d o lo s m étodos de Solución. la co n d ic ió n do tom am os ¿ = 0,25. hasta :r = l,5 , so

ecu ación d ife re n cia l y' — y — x , con la co n d ic ió n con ex a ctitu d hasta 0,01, o l v a lo r de la s o lu c ió n v a lo r del a rgu m en to x = 1,5. H acer lo s cá lcu lo s R unge — K u tta y M iln e.

E legim os el in terva lo in ic ia l del cá lc u lo partien do de q u e A4 < 0 , 0 1 . Para e v ita r co m p lica cio n e s al e s c r ib ir h , En este caso, tod o el in te r v a lo do in te g ra ció n , desde x = 0 d iv id e en sois partes ig u a le s do 0,25 d oj lo n g itu d , p or

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I /ntcgración numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias

415

m ed io de lo s p u n tos ( i = 0, i , 2, 3, 4, 5, 6 ); lo s corresp on d ien tes v alores de y y de la d eriva d a y ' lo s d esig n am os co n y ¿ o y '. L o s p rim eros tros v a lo re s d e y (sin c o n ta r e l in ic ia l), los ca lcu la m os p or e l m étod o d e R ungo y K utta (p or la fórm u la (3)); lo s o tro s tros valores, í/4» Vb o por e l m é to d o de MiJne (p or la fórm u la (5)). El v a lo r yQ será, e v id en tem en te, la respuesta a l problem a. E l c á lc u lo lo efectu a m os con d os c ifr a s de reserva por un esquem a d ete rm in a d o , que com prende dos tablas, 1 y 2, A l fin a l do Ja tabla 2 ob te n e m o s la respuesta. Cálculo

del

valor

de

/ ( * . y) = — x + y*

y v A quí * 0= 0*

1/0 =

/í = 0 ,2 5 .

T en em os, *y« = y

('‘ í0' + 2* i0) + 2*i>0>+ *í0>) = = - i - (0,3750 + 2-0,3906 + 2-0,3926 + 0,4106) = 0,3920?

= f {x0, y0) h = ( - 0 + í ,5000) 0,25 = 0,3750; 4 0, = 7 ( * o + y

j

. ^ o + ~ g “ ) A = { — 0,125 + 1,5000 + 0 ,1 8 7 5 )0 ,2 5 = 0,3906;

*0 + Y ’ y o + ^ j A = ( — 0 ,1 2 5 + 1 ,5 0 0 0 + 0,1053)0,25 = 0,3926; :

=

y o - f * 30>> h = ( - 0 , 2 5 + 1 ,5 0 0 0 + 0 ,3 9 2 6 ) 0,25 = 0,4100;

y , = y o + A y 0 = l >5000+0,3920 = 1,8920 (la s p rim eras.tres cifra s de esto núm ero a p ro x im a d o están garan tizadas). A n álogam ente so ca lcu la n lo s v a lo ro s de y* e y 3. L os resu ltad os dol c á lc u lo se recogen en la tabla 1. C á l c u l o d e l v a l o r d e y 4. Tenem os: /< * » i/)— —*x + y>

— 0,25, *4 = 1;

t/o — 1,5000, y , = 1,8920, y2= 2,3243, y3= 2,8084; y¿ = 1,5000, y [ ~ 1,0420, ví = 1,8243,

= 2,0584.

A p lica n d o la fó rm u la (5 ), h a lla m os: _ Al, y ¿= y o + ~ (2 y 'í- v í + = = 1 , 5 0 0 0 + + ^ <2 -1 ,6 4 2 0 -1 ,8 2 4 3 + 2-2,0584) = 3,3588: O y 4 = / ( * 4> 7 i ) = - i + 3,3588 = 2,3588; l/4 = i/2 + Y ^

^

=

= 2,3243 + -!— * - 1 * 5 * 1

=

■ (2,3588 + 4 - 2 ,0 5 8 4 + 1 ,8 2 4 3 ) = 3,3590;.

I 3 .s r > 8 8 - 3 .3 5 9 0 1 _ W 0 2 ^ ? . 10_ 0 < ^

p o r con sig u ien te, n o hace fa lta rov isar el in te r v a lo de cá lcu lo .

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0Q¡;

416

Cálculos aproximados Tabla 1 . C á l c u l o d e

e y 3 p o r e l m é t o d o d e R u n g e y K u tfca

/ ( * . V) = — xJrV\ h = 0,25

V a lo r de i

xt

Ui

/ ( * í + -g -,

y[ =

*<*>

s / (x h Vi)

tí° »«+

0 1 2 3

V a lo r

0 0,25 0 ,5 0 0 ,7 5

1,5000 1,8920 2,3243 2,8084

AjU * !+

1 2 8

)

1,5000 1,6420 1,8243 2,0584

0,3750 0,4105 0,4561 0,5146

1,5625 1,7223 1,9273 2,1907

0,3906 0,4306 0,4818 0,5477

yi+ W )

t í 1*

A >Ji

*¿+1

1,6426 1,8251 2,0593

0,4106 0,4562 0,5148

0,3920 0,4323

1,8920

2,3602

0,5900

/(* ,+ ■ £ .

de i

0

2

2

1,5703 1,7323 1,9402 2,2073

)

0,3926 0,4331 0,4850 0,5518

0,4841 0,5506

2,3243 2,8084 3,3590

O btenem os */4= = 3,3590 (la s prim eras tros cifra s de esta a p rox im a ción está n garantizadas). Do' fo rm a an áloga efectuam os ol c á lc u lo de lo s v a lores de y 5 o y 6. L os resu lta d os do este c á lc u lo se in clu y e n en la ta b la 2. De osta form a, fin alm en te, tenem os: y 0 , 5 ) = 4,74. 4\ M é t o d o d e A d a m s. Para la r e s o lu c ió n dol p rob lem a (1) por o l m étod o do A dam s, p a rtien d o de lo s d a tos in icia le s y { x o ) = 'Jo h a lla m o s, p o r cu a lq u ie r p ro ce d im ie n to , lo s sigu ien tes tres v a lores do la fu n ción quo se busca y (#):

V i^ y

(*i) = .V{ * o + h ) i

Uz = y (*z) = y (x0 +

2 h),

y 3**y (x3) = y

(*o+3fc)

(estos tres v alores so pueden ob ten er, p or c j . , p or m e d io d e l d e s a r r o llo de y { x ) en se rie de p oten cia s (cap. I X , § 16), o h a llá n d o lo s p or el m é to d o de la s a p ro x im a cio n e s su cesiva s (p u n to I o), o em p lea n d o o l de R unge y K u tta (p u n to 2°) e tc .). V a lién d ose de lo s núm eros z 0, x it x 2, x 3 e y 0, y it y 2t !/3, ca lcu la m o s la s m agnitu des % % q2l donde % = W » = hf(x<» í/o)>

<3i = W i = ht (* i, Vi)>

<]2= h ? A = k f (x2t u 2 )y

9 s = hy í — hf { x &* y*)-

D espués, form am os la tabla diagonal de las d iferen cia s fin ita s de la m agn itu d q.

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In teg ra ción num érica de ecuaciones diferenciales ordinarias

X

y

A y=

— Vn+ i'— — Vn

q= ;= /(* ,

y)

= y'h

A 2g =

A 3g —

= A g ,j+1 —

= A 2gn+1 —

— A g„

—A2gn

A 29o

A 39o

A
417

*0

yo

A i/o

f (* o . yo)

9o

*1

Vi

A i/i

1 ( X n Ui)

9i

A g,

A 29 i

A 39 i

í/2

Ai/2

í (*2>

í/2>

92

A92

A a92

A 39a

i/3

Ay3

/

<*3> ^3)

93

¿9 3

A 293

Ay4

f(Xk> Vk)

9/.

A

A y5

/

y5)

95

*3 *4 *5

y»

X

yo

q

A ?o

94

E l método de Adame co n s is to on co n tin u a r la ta b la d ia g o n a l de d ife r e n c ia s v a lié n d o s e do la fórmula de Adams 1 5 3 Aj/n =
(7)

A sí, u tiliz a n d o lo s n ú m eros q z> A A 2?*, A3?o» situ a d o s d ia g on a lm en te en la tab la de d ife r e n cia s , v a lié n d o n o s d e la fó rm u la (7 ) y p on ien d o en

1

*5

3

e lla /* = 3, c a lc u la m o s A y 3 = ? 3~-|-y Atf2-r jí> A ^ + j t - A3g0« H a lla d o e l v a lo r

.

Ay3, c a lc u la m o s y 4 — í/3 + Ay3. C o n o cie n d o 24 o j/4, ca lcu la m o s = ^ / (^ 4* .V4)» in c lu im o s y 4, Aí/ 3 y 74 en la ta b la de d ife re n cia s y la com p leta m os después c o n la s d ife r e n c ia s fin it a s A73, A 2q2l A2y j, situ a d a s, ju n to con q4, en una n u ev a d ia g o n a l p a ra le la a la a n terior. D espués, e m p le a n d o lo s n ú m eros de esta nueva d ia g o n a l, v a lié n d o n o s de la fó rm u la (8) y p o n ie n d o on e ll a 4 , c a lc u la m o s Ay4, #5 y
27—1016

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Tabla (Los

de

|/4, y 5 e y Q por el

111 ítodo

/(*» y)= — * + * / ; ^ — 0,25 datos iniciales se da« en c u r s iv a )

2. Cálculo de M iln c

419

in teg ra ción numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias

d e la m agn itu d q. A l hacer e sto, crece ol núm ero de lo s p rim eros v a lores d o la fu n ció n y que so n ecesita n para com enzar a lle n a r la tabla. Las fórm u la s de Adam s para ob ten er ex a ctitu d es elevadas no las vam os a e x p o ner a q u í. Ejemplo 2. C a lcu la r, p or ol m étodo com b in a d o de R u n go y K utta y A dam s, para x = l , 5 y co n una ex a ctitu d hasta 0,01, el v a lo r de la so lu c ió n do la ecu a ció n d ife re n c ia l y ' = y — x , con la co n d ició n in icia l de que y (0) = 4,5 (véase o l e j. 4). Solución. E m pleam os lo s v a lores do yj> y2, y 3f que o b tu v im o s al re s o lv e r e l p rob lem a 1. Su c á lc u lo s e da en la tabla 4. L os v alores sig u ien tes do y /t, y5, y Qí lo s ca lcu la m os por e l m étodo de A d a m s (véanse la s tablas 3 y 4). T a b l a 3. T a b la p r in c ip a l para e l c á lc u lo de y

e yg

p o r e l m é to d o d e A dam s / ( * , ! / ) = — z + y'y h = 0,25

do i

(L os datos in ic ia le s se dan en cu rsiva)

Vi

0

0

2,5000

1

0,25

2,8920

2

0,50

2,3243

3

0 ,75

2,8 08 4

4

1 ,0 0

5 (i

Valor

*i

lyt

y i’ =

Qi =

A ?¡

A * f,

Aa
= /(* .. J ’ >)

1,5000

0,3750

0,0355

0,0101

0,0028

1,6420

0,4105

0,0456

0,0129

0,0037

1,8243

0,4561

0,0585

0,0166

0,0047

0,, 5504

2,0584

0,5146

0,0751

0,0213

3,3588

0 ,0356

2,3588

0 ,5897

0 ,0964

1,25

3 ,0944

0.,7450

2,7444

0,6861

1 ,5 0

4,7394

1

1

Respuesta: ó ,74 E l v a lo r y g = 4,74 será la respuesta del problem a. En lo s ca sos de r e s o lu c ió n de lo s sistem as (4), la fórm u la de Adam s (7) y e l esquem a d e c á lc u lo que s e m uestra en la tab la 3, se u tiliz a n separa dam en te para cada una de la s fu n cion es y (z) y z (x ).

H a l l a r tre s a p ro x im a c io n e s su c e siv a s de la s solucion es de la s ecuac io o e s d ife re n c ia le s y de los s is te m a s sig u ie n te s: 317 6. j/' = x* + y2; 3177 . y ’ = x - \ - y + z , 3 1 7 8 . y" = — y ;

y ( 0 ) = 0. z' = y — z ;

y ( 0 ) = 0,

y (0 ) = l ,

z (0) = — 2.

'

y ' {0) = 1. 27*

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420

Cálcalos aproximados Tabla 4. T a b la a u x il ia r p a ra el c á lc u lo p or e l m é to d o de A daius 1 &Ui - Q l + - Y

V a lo r de i

5

Qi

3

*

3 + ‘J‘TA23i- 2 + - g -

^ !|

0,5140

4

0,5897

5

0,6801

1

3

3 ai - g - A3? í-3

A *í<-2

0,0293

0,0054

0,0011

0,5504

0,0376

0,0069

0,0014

0,6356

0,0482

0,0089

0,0018

0,7450

C a lcu la r ap ro x im ad a m e n te, por el m éto d o de R ungo y K u tta , s u p o n i e n d o q u e e l i n t e r v a l o e s h — 0 ,2 , l a s s o l u c i o n e s d e l a s s i g u i e n tes e c u ac io n e s d ife ren c ia le s y siste m a s, p ara los in te rv a lo s que se in d ican : 3 1 7 9 . x ' = y — x\ y { 0 ) = 1 ,5 ( 0 < x < l ) . 3 1 8 0 . ^ '= - § — y2; i/(l) = 1 ( í < i < 2 ) . 3 1 8 1 . y ' — Z + 1, z ' = y — x , y ( 0 ) = l , 2 (0 ) = 1 (0 < 2 < 1 ) . V alién d o se d el m é to d o co m b in ad o de R u n g e y K u t t a y M iln e o de R u n g e y K u t t a y A d am s, c a lc u la r, co n e x a c titu d h a s ta 0 ,0 1 , los v alo res de la s so lu c io n e s de la s e c u a c io n e s d ife re n c ia le s y s is te m a s q u e se d a n a c o n tin u a c ió n , p a ra lo s v a lo re s d e l a r g u m e n to q u e so ind ican: 3 1 8 2 . y '= x -{ -y ; y = 1 p a r a 2 = 0 . C a l c u l a r y p a r a 2 = 0, 5 3 1 8 3 . y ' — x t -^y; y = 1 p a r a 2 = 0 . C a l c u l a r y p a r a 2 = 1 . 3 1 8 4 . y' = 2y — 3; y = 1 p a r a 2 = 0 . C a l c u l a r y p a r a 2 = 0 , 5 . — x -i-2

3185.

C alcu lar 3186.

y

z' =

2

y

para

z

y '= z' —

C alcu lar 3187.

y"

-(- 2 ¡/ + 3 z; y = 2, z = — 2 p a r a

z

2

= 0 ,5 .

* ~ 3 y — z, y — z; y =

para = 2 — y;

y y

y + z,

2 y

2,

z =

— 1

para

= 0 ,5 . = 2,- y ' ~ — 1 p a r a

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2

2

=

0

.

= 0.

2

= 0.

Cálculo aproximado de los coeficientes de Fourier

421

C a lc u la r y para ¿r = 1 . 3188. y V +

i

1 = 0; y — 1 ,

C a lcu la r y para

y /:= 0 para * = * 1 .

1,5.

3 1 8 9 . -^ | - + -^ -co s 2¿ =

0; £ = 0, x

~ 1 para ¿ = 0.

H a lla r x { n ) y a:' (n ). § 6 . C álcu lo a proxim ado de lo s c o e f i c i e n t e s de F o u rie r Esquoma

do

12

ordenadas.

Sean

y n ^ f ( x n) (n = 0 , 1 , . . . , 12)

lo s v a lo re s do la fu n ció n y — f ( x ) en lo s p u n tos equ id istan tes x n = ~ -

del

segm en to JO, 2rc], a l m ism o tie m p o que yo — VíaForm am os las tablas;

Vo Vi V2 V3 V4 V5 Vo V n Vio vo Vs v r

% su m a s (2 ) d i í e r o n c . (A) Uq IZj

«0

u i u 2 u3

u4 u 5 “e

v i v2 »3 VA

u2

«3

vA v2 ” 3

Uq M5 *4 sum as

*0 s l s2 s2

d ife rcn c.

h

t2

| sum as d iferen c.

v5 ** Oí o z o 3 *1 *2 *

L o s c o e fic ie n t e s do F o u rier an , bn (n = 0, l f 2, 3) de la fu n ción y = / ( x ) se pu eden h a lla r a p rox im a d a m en te por las form u las: 6í7o = 50“f 5i + s2"l*s3»

66 j = 0 ,5 ^ !-(-0 ,86602+ ^ 3»

6a ! = ¿0 + 0,866 ¿ i - ) - 0 ,5 t 2,

662 = 0,866

Ga2^ s Q— s3 -¡-0 ,5 (5j — ó-2),

663 = 0! —
^

6a3 = ÍQ— ¿2i d . „ d » 0 ,8 6 6 —

^ .« ,1 —

T en em os: 3 /(x )^ 3 - + 2

(a* eos nx + bn son nx).

n= l Se em p lean ta m b ié n o tr o s esqu em as. Para fa c ilita r e l c á lc u lo se u tiliza n plantill as. H a lla r e l p o lin o m io de F ou rior para la fu n ción y = / { s ) Ejemplo. (0 x 2 n ), dada p o r la tabla

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422


Uo

y\

y*

y*

y*

y*

ya

yi

i/8

Uo

Vio

ya

38

38

12

4

14

4

— 18

— 23

— 27

-2 4

8

32

Solución.

Formamos las tablas: 38 y u

38

38

12

4

14

4

32

8

-2 4

-2 7

-2 3

70

20

-2 0

-1 3

-1 9

6

4

28

41

20

-2 0

V 38 u

-1 8

70 -1 0

-1 3

51

7

.56 89 P o r la fórm ula (1) tenem os:

33

s

20

t

a0 = 9 ,7 ; ¿1 = 13,9;

a , = 24,9; 62- - 8 , 4 ;

— 18

27 V

-2 0

— 18

a T

f»

4

27

41

33

45

28

28

-2 1 , -3 7

a2 = 10,3; ó3 = 0,8.

as = 3,8;

Por consiguiente, / (x ) « ^ 4 , 8 + (24,9 co s x - f 1 3 ,9 sen x )-f- (10,3 c o s 2 x — 8,4 sen 2 x ) - f

4 - ( 3 ,8 cos 3 s-f-0 ,8 se n 3x).

V a lié n d o se del esquem a do 12 ordenadas, h a lla r los p o lin o m io s d e F ou rier para las fu n cion es sig u ien tes, dadas en e l segm ento JO, 2jc| por las ta h la s de sus v a lores, correspondientes a los v a lo res equid istan tes d e l argum ento (i/o = Vi2); 2/9 = 7400

2/9 = 7600

y 0= - 7 2 0 0

Vs

y i = 300

V4 == 0

j/2 = 700

vs

i/o — 0

2/3 == 9 ,7 2

2/6 = 7.42

2/9 = 5 ,6 0

i/ í

2/7

i/2 = 9 ,6 8

2/4 == 8,97 2/5 == 8 ,1 8

= 6,81 2/8 = 6 ,2 2

y í0 = 4 ,8 8 Vu = 3,67

|/o-= 2 ,714

2/3 == 1,273

2/6 = 0 ,3 7 0

i/, = 3 ,042

2/4 == 0 ,788 2/5 == 0 ,495

2/7 =

= 6 ,6 8

y2 = 2,134

=-4 3 0 0 == - 5 2 0 0

2/7

= — 2250

j/s = 3850

0 ,5 4 0

2/8 = 0,191

.Vio = 4500 Vn = 250

V9= - 0 , 3 5 7 Vio = — 0 ,437 2/n = 0,767

3 1 9 3 . C a lcu la r u n os cu a n tos prim eros co o ficio n te s de Fourier, por el esquema de 12 ordenadas, para las sigu ientes fu n cion es: а) / ( x ) =

(x 3 - 3nz* + 2n*x)

б ) f (x ) = -¿2-(x — n) 2

(0 < i< 2 n ), (0 < ¡c < 2 r t ).

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SO LUCIO N ES

Capítulo I 1. S o l u c i ó n . C o m o a = (a — b) - f 5, te n d re m o s q u e |a |« ¿ |a — 6 | + | ó | . De d o n d e l a — 6 | > | a | — |M y |a — b |«=| b — a | > I b |— |a |. P o r co n sig u ie n te , |a — b \~j> \\a |— |b ||. A dem ás, |a — b | = |a - f ( — b) | < |a |+ |— b \ ~ \a |-f| b |. 3 . a) - 2 < x < 4 ; b) a; < - 3 , o; > 1; c ) - 1 O < 0 ; d ) x > 0 . 4. - 2 4 ; - 6 ; 0 ; 0 ; 0; 0. 5 .

1; 1 ~

;V 'í T ^ ;

7. / ( * ) = - - +

8.

I * !" 1 V í + x * ;

1 /V l+ í* .

f ( x ) = í . x * - ^ x + 1.

9.

0 .4 .

6.

n; - i ;

10.

0.

+

I I. a ) — 1 < x < + c o ; b ) — c o < x < - f e o . 12. ( — c o , — 2 ),_ (— 2, 2), ( 2 ,- f e o ) . 13. a) — c o < r < — V 2 , V ' 2 < x < + c o ; b ) x = 0 , | x | > f / 2 . 14. — 1 < x < 2 . R e s o l u c i ó n . D ebo se r 2 * f x — x 2 > 0 , o x 2 — x — 2 < £ 0 , es d e cir, (x + l ) x x ( x — 2 ) < 0 . D o d o n d e , o x - f l > 0 , x — 2 < ü , e s d e c ir , — l < ; x < 2 ; o p o r e l c o n tr a r io x - f 1 < 0 , x — 2 > 0 , e s d e c ir . x < — 1, x > 2, l o q u e n o e s p o s i b le . D o e s ta fo rm a , — 15. — 2 < x C 0 . *6. — c o < x < — 1, 0 . . s ' x < l . 17. — 2 < x < 2 . 18. — 1 < 2 0.

1< *< 100.

21.

x

< 1, 2 < x < + c o .

f c n < 2 < / í n + - " - (* = 0,

± 1 ,

19. — g - < * < l .

± 2 ,...)-

22.

= 2 x 4 _ 5 * 2 — 10, i | ) ( x ) = — 3 x » 4 - 6 x . 23. a) P ar; b ) im p a r; c ) par; d ) im par; e)

im p a r.

24.

Indicación.

\

4- / ( — x )] + — 1 / (x ) — / ( — x )]. 2n = T~> c ) K

p e r ió d ic a ,

d)

= — x, si 0 < x < c ;

y=

—

28.

,

cu an d o

si

c < x ^ a .

¿ i < s < í i + ¿ 2;

E m p léese

la

id e n tid a d

26. a) P e r ió d ic a , r = p e r ió d ic a ,

7, =

ji ;

si c < x m = (¡íx

2

/ (x ) = i

[f (x ) - f

b> p o r ió d ic u , T =

e ) a p e r ió d ic a .

27.

y=

x 2, si 0 < z < c\ S = 6 x —

cu a n d o 0 ^ x

* * = «Zî + ^ 2 + ^3

m=

-4“ ^2

— ¿j)

cu a n d o / i + J2 < * <

< Z l+ ? 2 + ¿ 3 = ¿ - 2 9 . 0

cu an d o

x > — 1,

y < 0

cu a n d o x < — 1; b ) y = 0 cu a n d o x = — i y x = 2, y > 0 cu an d o — 1 < x < ■< 2, í / < Ó cu a n d o — c o < x < — 1 cuan y 2 < x < -fc o ;_ c) y > 0 d o — c o < x < + c o ; d) y = 0 cu an d o x = 0 , x = — ~\/3 y x = l / 3 , y > 0 cu a n d o — ~\/3 < x < 0 y ~[/2 < x < - f 0 0 , y < 0 cu a n d o — c o < x < — " l/3 y 0 < x < ] / 3 ; e ) y = 0 cu a n d o x = l , y > 0 cu a n d o — : . x > < x < ~ l y 1 <

< X < 4 -co ,

y<

o cuando 0 < x < 1. 39. a) x = -.^ ( y — 3) ( — c o < y
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424

!>)

Solucionen

x= V u + i

< + co);

d) x

y x= ~

=

Vy+4 (—1< y < + <»); c.)x =

2 -10! / ( — o o <

¡/<+

40. x = y cuando — c o < y < ; 0; z = u * = 2 x ^ 5 ; b ) y = 2u, a = c o s x ; c )

co );

o)

*=

1 —¡y3 (—oo< y< tg y ( — £ . < j j .

i-

f

| /y cu an d o 0 < { / < . + o o . 4 ! . a) y = u 10, m C = u*= t g v t j>= y ; d ) y = aresen *¿,

u = 3ü, a:2. 42. a) y = s e u - x ; b) y — a r c tg Y j g l : ; c) ¿/ ^=2 ( z 2 — 1), si I * | < 1 » e y = 0, s i |« I > 1. 43. a ) y = — co s x¿, l / S < |z | < V 2 jx ; b) y = = lg (10 — 1 0*), — o d < z < 1; c ) »/ — y

cu a n d o

—co < z < 0

e y = x cu a n d o

0 < : r < - | - O 3 . 46. I n d i c a c i ó n . V éase e l a p é n d ice V I , fig . 1. 5 1 . I n d i cación. C om p leta n d o cu ad ra d os en e l trin o m io d e seg u n d o grado» tendrem os y ==y0 + a ( z — z 0)2, don d e x 0 = — b/2a 'e yo = (4 a c -~ 6 a)/4 a . De d on d e la g rá fica quo s e busca e s la p a rá b ola y = ax*y desplazad a a lo la rg o d el e je O X en la m a g n itu d x 0 y a lo la rg o d e l e je O Y un la m agn itu d yQ. 53. I n d i c a c i ó n . V éase el a p én d ice V I, d ib u jo 2. 58. I n d i c a c i ó n . V éaso el a p én d ice V I , d ib u jo 3. 61. I n d i c a c i ó n . Esta

g rá fica

representa

de p or

sí

la h ip é rb o la y = — -»

despla zad a

a

lo

la rg o d el e je O X on la m agn itu d i 0 y a lo la rg o d e l e jo O Y en la m a g n i tud y0. 62. I n d i c a c i ó n . S eparan do la parte en tera , ten d rem os y = » 2 13 / / 2 \ g- / far-f—jj-J (co m p á rese con ol JN? 6 l ) . 65. Indicación. Véase o í a p é n d ice V I, d ib u jo 4. 67. I n d i c a c i ó n . V éase o l a p é n d ice V I, d ib u jo 5. 71. I n d i c a c i ó n . V éase o l a p én d ice V I, d ib u jo 6. 72. I n d i cación. Véaso ©1 a p é n d ice V I, d ib u jo 7. 73. I n d i c a c i ó n . V éa se el a p é n d ice V I , d ib u jo 8 . 75, I n d i c a c i ó n . Véase e l a p én d ice V I, d ib u jo 19. 78. I n d i c a c i ó n . V éaso el a p én d ice V I, d ib u jo 23. 80. I n d i c a c i ó n . V éase el a p én d ice V I, d ib u jo 0. 81. I n d i c a c i ó n . V éaso el a p én d ice V I, d ib u jo 9. 82. I n d i c a c i ó n . V éase e l a p én d ice V I , d ib u jo 10. 83. I n d i c a c i ó n . V éaso o! a p é n d ice V I , d ib u jo 10. 8 4 . I n d i c a c i ó n . V éase el a p én d ico V I, d ib u jo 11. 85. I n d i c a c i ó n . V éase el a p én d ice V I, d ib u jo 11. 87. I n d i c a c i ó n . E l p e r ío d o de la fu n ció n T = 2n/n. 89. I n d i c a c i ó n . La g rá fica q u e s o busca e s la sin u so id e y = 5 sen 2x con a m p litu d 5 y p e río d o ti, desp la zad a h a cia la derecha a l o la rg o del e jo O X en Ja m agnitu d 1 1 -Tj-. 90. I n d i c a c i ó n . P o n ie n d o a = A co s 9 y b = — A s e t x y , te n d re m o s y = A s e n ( z ~ q > ) , d o n d e A = ~\/a2 + b2 y q* = a r c t g ^ — yl = 10,

92.

Indicación.

co s2z = - r p

. En n u e stro caso,

( 1 + c o s 2 s ) . 93.

Indi

= c a c i ó n . La g r á fic a q u e se busca es la sum a do la s g rá fica s ' J i = x o = s e n z . 94. I n d i c a c i ó n . La g rá fica q u e s e b u sca es e l p rod u cto de~las g rá fica s ^ - 1 e y2= sen x. 99. I n d i c a c i ó n . La fu n ció n es par. Para x > 0 d e te rm in a m o s lo s p u n tos para lo s cu a les 1) y — 0 ; 2) y — 1 y 3 ) y = 55 — ! . Cuando x — > - f e o y — > 1. í 01- I n d i c a c i ó n . V éase e l a p én d ice V I, d ib u jo 14. 102. Indicación. V éase el a p én d ice V I, d ib u jo 15. 103. I n d i c a c i ó n . V éase el a p én d ico V I, d ib u jo 17. 104. I n d i c a c i ó n . V éaso e l a p én d ice V I , d ib u jo 17. 105. I n d i c a c i ó n . V éase el a p é n d ice V I , d ib u jo 18. 107. I n d i c a c i ó n . V éase e l a p é n d ice V I , d ib u jo 18. 118. I n d ic a c i ó n . V éase e l a p én d ice V I , d ib u jo 12. 119. I n d i c a c i ó n . V éa so el a p én d ice V I , d ib u jo 12. 120. I n d i c a c i ó n . V éa se el a p én d ice V I , d ib u jo 13.

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425

121. I n d i c a c i ó n . V éase e l a p én d ice V I , d ib u jo , 13. 132. I n d i c a c i ó n . V éa se e l a pén d ice V I , d ib u jo 30. 133. I n d i c a c i ó n . V éase e l apén dice V I, d ib u jo 32. 134. I n d i c a c i ó n . V éase ol a p én d ice V I , d ib u jo 31. 133. I n d i c a c i ó n . V éase e l a p é n d ice VI., d ib u jo 33. 139. I n d i c a c i ó n . Véase el a p én d ice V I , d ib u jo 28. 140. I n d i c a c i ó n . V éase e l a p én d ice V I r d ib u jo 25. 141. I n d i c a c i ó n . F orm am os la tab la de los v a lores

t

0

i

2

3

9 ♦»

—1

—2

-3

X

0

\

8

27

•• •

-1

—8

-2 7

y

0

i

4

9

4

9

1

C on stru yen d o los p u n tos (x , y ) o b te n id o s , resu lta la cu rva buscada (véase ol a p én d ice V I , d ib u jo 7). ( E ! p a rám etro a l h acer esto, n o s e m arca g e o m étrica m en te). 142. V éase e l a p én d ice V I , d ib u jo 19. 143. V éase o l apén d ic e V I , d ib u jo 27. 144. V éase el a p én d ice V I , d ib u jo 29. 145. V éase el a p é n d ice V I , d ib u jo 22. 150. V éase ol a p én d ice V I , d ib u jo 28. 151. I n d i c a c i ó m ^ R e s o l v ie n d o la ecu a ción co n resp ecto a y , ob ten em os y = = ± y 2 5 - z 2. D espués de lo cu a l es fá c il co n stru ir la curva q u o se busca p o r p u n tos. 153. V éase e l a p én d ice V I , d ib u jo 21. 156, V éase el a p én d ice V I , d ib u jo 27. Basta co n stru ir lo s (¿r, y ) corresp on d ien tes a la s abscisas x — 0, ± 4 -> áz 157. I n d i c a c i ó n . R e s o lv ie n d o la e cu a ció n con res¿t p e c to a x t tendrem os x ~ í 0 lg y — y ( * ) . De don d e obtenem os lo s p u n tos { x y y) de la 'urva que se busca, d á n d ole a la orden ada y v a lo re s a rb itra rio s {y > 0 ) y c a lc u la n d o p o r la fó rm u la (* ) la ab scisa x % Debe tenerse en cu en ta , que l g y — ^ — c o cuand o y 0. 159. I n d i c a c i ó n . P asando a l^ s co o rd e n a d a s p ola res r = d ib u jo

32).

y2 y 160.

tg(p = — , ten d rem os r = e9 (véase ol a p én d ice V í, x Indicación. P asando a las coord en a d a s p olaros x —

= r coscp o y — r sen cp, ten d rem os r = ^ d ib u jo 32). 161. F = 32 + 1,8(7. 163, p = y s e n a ; y máx = y

3^ ^ g efj.3 ^ ( v âse

a p én d ice V I,

162. y*= 0,62 (10 — x ); y máx = 15 para x = 5.

para z = y .

164.

a)

* i= y ,

i 2 = 2;

b)

x=

= 0,68; c) x i — 1,37, :t2 = 10; d) x = 0,40; e ) a := l ,5 0 ; f) x = 0,86. 165. a) x i = 21 í/j = 5; x 2 = 5, y<¿ — 2', b ) x^ = — 3, y j = — 2; 2, y 2~ 3; £3 = 2, 1/3 = 8; *4 = 3, 2/4 = 2; c) x l = 2t 2/ j = 2; x 2 « s 3 ,4 , y2^ — 2,5; d) x x « s — 3,6, y ± 3,1; ^2 ^ — 2 ,7 ,

1/2 ^ 2 , 9 ;

y , = V ? ; Xz= ^ . ,

2,9,

j-2 =

t/3 ^ 1 ,8;

x4 ^ 3 , 4 ,

166. n > ± = -

1/4 ^ — 1,6;

e)

a) * > 4 ; b) « > 1 0 ;

= y , c) n >

> 3 2 . 167. n > - t — i = / V : a) iV = 9; b ) N — 99; c.) JV = 999. 168. < 5 = - | - ( b < < 1 ) . a) 0,02; b ) 0,002; c ) 0,0002. 169. a) l g x < — N cu an d o 0 < * < d ( 7 V ) ; b ) 2* > / V cu an do x ' p - X ( N ) ; c ) |/ ( * ) ! > A" cu a n d o | z | > Z { l V ) . 170. a) 0; b ) 1; c ) 2; d)

171. ~

.

172. 1.

173.

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174.

1.

175. 3.

176.

1.

Soluciones

426

177. JL . 1 7 8 .- i - . I n d i c a c i ó n . 4

E m p le a r la fórm ula l 2-)-2 s + . . . - f « 2 =

ó

= — n (n + 1) (2n + l) . 179. 0. 180. 0. 181. 1. 182. 0. 183. co. 184. 0. 185. 72. 6 186. 2.

187. 2. 188. o o .

189. 0. 190. 1.191. 0. 192. co . 193

— 2.

195. 4 - - i»® - ° j ¿ r - <97- 3* 2- I98- — *• 199- y - 20° - 3- 2Ü1*y -

194. co . 202’ T

203. - i5b. 204. 12. 205. 2~ . 206. - ó4 - 207- *■ 208- 2~ 4yl =x ■209- 3 210. - i - .

211. 0. 212.

213.

214.

b) 0. 217. 3. 218. 4A - 2>9 . 4O- - 22° - *•

•

- i . 215. 0. 216. a) - i sen 2;

221• 4 - -

222- c o s a

223’

— son «-

- L 227. a) 0; b) 1. 228. — 229. 4A- 230. 0. V2 232. - ! ( » * - ; » * ) . 233. - j • 2 3 í- *■ 235- y • 236- y • 237- — y -

224. n. 225, cos 231. — ~ p = .

y x¿

■

x.

22

G,

238. n . 239. i4 • 240. 1. 241. 1. 242. 44- • 2 43. 0. 244. 2 - 245. 0. 246. e~i. .247.

*2

248. ¿ r 1. 249.

«?"*. 250. e*. 251.

J_

252.

-L

lim ( c o s í ) * = lim ( —(1—eoss)) * = l i m ( l — 2 sen 2- í- ) ;t-» 0 *->o V - ' 2 sen* y ( _ ! ü ü i)

2 sen* 4¿á" - ”

2

lim

= * = j#

x^ °

sen —x \

lim

= l i m T ( 1 — 2 sen,¿ X x-+o L \ (

*

2

. Como lim l

sen 2 4 *

)

x~*Ü V

= — 2 *1 *lim - r = 0 ,

tendrem os

x->-0 4

Resolución.

y e

~*~

Resolución.

2

£ “2

lim (cos x ) x =
x

a) 1. i

______ i *2

/

lim (cos s) * =

ac-*0

A nálogam ente al anterior (véase a),

/ —2 sen*

^ 0 \

1 a:

Como

lim

2

K->0

sen 2 -___ -

#2

/

1

=

—2

lim X

x->0

2 1 ------------------ 1 = —— . tendrem os lim (cos—5x ) x ~— e 2 ~ — 7= . 253. ln 2 *

,/-

254. 10 l g * . 255. 1. 256. i . 257. — - y - 258* 4'

P on er

—

Indicación. E m p lea r la id en tid a d \ Indicación. P on er — = a , don d e a — ^ 0 (véase el

- l = a , doudu a — -> 0. 259. ln a. a .... e111 a. 260, ln a.

Indicación.

ti

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Soluciones JÉ 259). 261. a — b. 262. 1. 263. a) 1; b ) y

427 . 264. a) — 1; b ) 1. 265. a) — 1:

b ) 1. 266. a ) 1; b) 0. 267. a) 0; b ) 1. 268. a) - 1 ; b) 1. 270. a ) — c o ; b) - f e o . 271. R e s o l u c i ó n . S i x 4= k n ( k eos2 £ < 1 e i/ — 0; s i, p o r e l co n tra rio x = kji} co s2 x ~ l 4 cu an do 0 < * < 1; y = y cuando * = 1; y = 0 cu an do x 274. y = — -

cu a n d o

a: < 0;

y= 0

cu an do x = 0;

275. y = 1 cu a n d o 0 < x < 1; */ = x cu an do 1 < x < —> - y

; x 2 - =*-co. 278. n . 279. 2 * R . 280.

I 284. lim ACn = ^ r . 285. la cu rv a y

5

j . 287.

269. a) - 1 ; b ) 1. = 0, ± 1 , ± 2 , . . . ) , o i/ = l . 272. y - = x >f.

y = -—

273. y = \x\.

cu an do

x > 0.

61 + co . 27G. ^ . 277. x j —> . 281. 1 y

. 282.

+ 1 .

e2 —1 286. Jt = l , ¿/ = 0; la recta y = x es a sín tota de Q^n} = Q0 ( 1

> donde

k es el co e ficie n te

de p r o p o r cio n a lid a d (« r e g la de in terés com p u esto»); Q í = Qo^,‘ , ■ 288. | i l > > -i;

a)

| * 1 > 1 0 ; b ) | * | > 1 0 0 ; c ) | x| > 10Ü O . 289. [ a:— 1 1<

0 < e < 1;

a)

|a: — 1 1< 0,05;

b)

|x - 1 1< 0,005;

c)

cuando

|x - í |< 0,0005.

290. | x — 2 | < ~ = 6 ; a) 6 = 0,1; b ) 6 = 0,01; c) 6 = 0,001. 291. a) segundo; b)

tercero,

y ,

o) b)

3. 295. N o. 296. 15. 297. - 1 . 298. - 1 . 299. 3. 300. a) 1,03(1,0296); 0,985 (0,9849); c) 3,167(3,1623). Indicación. V 'i 0 = y ' 9 + 1 =

: = 3 j / l + - ~ ; d) 3)

0.0095(0,00952);

292. a) í ; b) 2; c ) 3. 293. a) 1; b ) y ;

10,954(10,954). 4)

301.

3,875(3,8730);

d)

2;

1) 0,9 8(0 ,9 8 0 4 );

2)

1,03(1,0309);

5) 1,1 2 (1 ,1 2 5 );

6)

0,72(0,7480);

7) 0 ,0 4 3 (0 ,0 4 1 3 9 ). 303. a) 2; b ) 4; c ) i - ! d) ~ L.

c) J - ;

. 307.

Indicación.

Si

«J

x > 0 , cu a n d o |A x | < x , tenem os [ V - M - A x — ~ f x |= |Ax | / ( V ^ - p A x + V 1) < | A x | /| /x - 309. I n d i c a c i ó n . U tiliz a r la desigualdad | c o s ( x - f A x ) — — c o s x |<¿ |Ax |. 310. a) x

don d e k es un núm ero en tero; b) x

=£ kn> donde k es un n ú m ero en tero. 311. I n d i c a c i ó n . U tiliz a r la de sig u a ld a d ||x + Ax| — |x| | < | Ax|. 313. /1 = 4. 314. / ( 0 ) = 1 . 315. No. 316. a) f ( 0 ) = n; b ) / ( 0 ) = y ; c ) / (0) = 2; d ) / ( 0 ) = 2 ; e ) / ( 0 ) = 0; f) / ( 0 ) = 1. 317. x = 2, es un pu nto de d isco n tin u id a d de 2a especie. 318. x = — 1, os un p u n to de d isco n tin u id a d e v ita b le . 319. x = — 2, es un punto de d isco n tin u i dad de 2a esp ecie; x ~ 2 , es un pu nto de d isco n tin u id a d e v ita b le . 320. x = 0, es u n p u n to de d isco n tin u id a d de I a esp ocie. 321. a) x = 0, es un pu nto de d isco n tin u id a d do 2a e sp e cie ; b) x ^ - 0 , es un pu nto de d iscon tin u id a d e v i ta b le . 322. x = 0, es un p u n to de d isco n tin u id a d e v ita b le , x = l:a (/c = ± 1, ±2,...)

son

pu ntos de

d isco n tin u id a d in fin ita . 323. x = 2 n h - \ - ^ (k = 0 ,

± l i d i 2, . . . ) son p u n to s d e d isco n tin u id a d in fin ita . 324. x = kji {k = 0, rfc 1, ± 2 , . . . ) , so n p u n tos d o d isco n tin u id a d in fin ita . 325. x = 0, es un

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pu nto do d isco n tin u id a d de I a esp e cie . 326. x = — 1, es un p u n to de d isco n tin u id a d e v ita b le ; a: — 1, un pu nto de d isco n tin u id a d de I a esp e cie . 327. x = — — 1, os un p u n to de d isco n tin u id a d de 2a esp e cio . 328. x = 0, es un p u n to do d isco n tin u id a d e v ita b le . 329. x = l , es u n pu nto de d isco n tin u id a d de I a esp ecie. 330. <2: = 3, es un p u n to de d is co n tin u id a d de I a esp e cie . 332. x = í , es un p u n to de d isco n tin u id a d d o I a esp e cie . 333. La fu n c ió n es con tin u a . 334. a) x = 0, es un p u n to de d isco n tin u id a d de I a e sp e cie ; b) Ja fu n ció n es con tin u a; c ) x=* Im (/¿, es un n ú m ero e n te ro ), so n p u n tos de d is co n tin u i dad do 1a e sp e cie . 335. a) x — k {/c, es un n ú m ero e n te ro ), so n p u n tos do d isco n tin u id a d de I a e sp e cie ; b ) x = k (k ^ 0, es u n n ú m ero e n te ro ), son p u n tos de d isco n tin u id a d de I a esp e cie . 337. N o , porqu e la fu n ció n y — E ( x ) es d isco n tin u a cu an do 338. 1,53. 339. I n d i c a c i ó n . D em ostra r, q u e cu an do x 0 es su ficien tem en te gran de, ten em os P xq ) P (xq) < 0.

Cipítulo li 341. a) 3; b ) 0,21; c ) 2h + h* 342. a) 0 ,1 ; b ) - 3 ; c ) f ' a + h — f a ~ . 344. a) 624; 1560; b) 0,01; 100; c ) - 1 ; 0,000011. 345. a) a A x ; a; b) 3*2 A * - f

+ 3*(A*)* + (A»)3; f c é + M l r f t M * 4 « V T F B -V T ; f)

in £ ± A _ ; x

348. =

+ .

.)

J _ i n (í + A ) . ¡\x V x /

3Í6. a)

15 cm /s e g .

lim

v -=

349.

7,5.

350.

352. a)

Ax

Aa>*0

¿

■ ~

* 2 -;

b)

A¿

„ i ; b) 0,1; c )

— A; 0 . 347. 21.

+

351.

A

L .

t

=

lim

=

lim , d on d e Aí-v0 A i lim 4 2 . , Af-*0

355. a) A - ; Ax c) —

d on d e b)

T es

tem peratura en e l r

Q es la ca n tid ad

lim - ^ L . 3 5 6 . a ) a^-*-0 A x

0, 249;

M ]¡m Aoc-í-0

la

* 2 . , d a n d o
tg (* -| -A g ) Ai

= — 0,25. tg x _

357.

=

en b)

so c2 x .

Y

AT

in stan te

de su bstan cia

6

/ '( * ) =

At-+Q A t

m agnitud d el á n g u lo do ro ta ció n en e l in stan te U 353. a) =

'

t. el

dT ; b) - ¿ f — 354.

4r- = di

in sta n te t,

_ J L ^ _ 0 ,2 3 8 ; 12

Resolución.

, im sen A x Ax-*Q Ax c o s x eos (x -{-A x )

=

1/=

1|m sen A x Ax-^0 Ax

x

X iim — --------- . 1------- - -- - — —. = se c2 x . 358. a ) 3*2; b ) ------Í L ; c ) i — ; Ax->0 COS X COS (’X -f- A x) COS2 X X3 2l / x

d> —

—

“* 359.

se U2 X =

llrn A*-*0

-L - R esolu ción ,

f ( 8 ) = lim ^(8 + Am) — /(8 ) _

_ Í2

£ * ± % r li Ax

,

Ax-*0

Ax

8+ ¿ * ~ 8 lim ----------a *-*0 A x [ ^ ( 8 + A x ) 2 + i r ( 8 + A x ) 8 + l / 8 2]

1

Hm — 1 = . 360. / '< 0 ) = - 8 , / ' ( 1 ) = 0 , / ' ( 2 ) = 0 . ^ A x -0 ^ ( 8 + A s )2+ 2 ^ 8 + A s 4 12 361. s j = 0 ; s 2 = 3. I n d i c a c i ó n . La ecu ación / ' (x ) = f (s ) para la fu n ció n

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dada tien e la forma 3xa = x3. 362. 30 m /scg , 363. 1, 2. 364. — 1. 365. / ' { x 0) = — 366. — 1; 2; tg

-

Hn,

^

l i m f (A a)a = lim - 4 = - = c o ; 1>) / ' ( 1 ) = lim + ¿x->0 Ax Ax-*0 f A x Ax-*0 Ax (2 A r+ 1 i r.i»K t \ C0S ~ 0 ~ n + * X ) 1 =

r - +

c o ;

a’¿ + 0 V ( A x^4 )

c) / l ( J Í + L r t ) -

^

2

/

L _ 2 ----------------- !_\ =

Hm!

Al

A x -> -0

———! = — 1 • / i \f S í2+2/ i /WAx-t+O lim A x ~ t+ 0

lim

A* -* -0

=-

Ai x X

368. 5 * 4 -

A® Ax

1 í 5x2 — 4 + 2 x — 2x 3. 370, 2ax + b. 371. — . 372. matm~ i + i) a _1 i ííj7^*í> •I' —1» ‘1 + & ( /* + r t )í" W * i- i. 373. — = = = - 3 7 4 . -------------- 375. 2 x * — 5aT — 3 x - + v ^ 7 V f l* + & a *2

— 12x2 + 2.

369.

5

2

376, - I " 2 3 * I n d i c a c i ó n , ó

378.

{bCr , at

(c+ d x) 2

*

/

383,

y

r —? .

í

—

l+ 2 x A r c th x ----- ( l — * » )» —

_

m 403_

x

y

2

— V ^ T ~ i * x

T

X

... ■■

i

.

423.

(1 — 3 e o s ,) 3

— ~

-1 °" +

eos4 ,

425.

397. 1 ? - j1*,,* ln 2 -'

+

x arctg x.

. 398. 3 , 3 ln as.

x 2

x

5 \2 c ) •

414.

ilL .

~ co s x

.

*

l

/

z

*

—

i

gx +

r

424.

‘ 426. •

3 ^ rsen x

389.

*2 son /,

— . 394. ex ( c o s x - s e n x ).

• '« l9-

420. 2 — 15 e o s2 x sen x . 421. --------- — . I n d i c a c i ó n , se n 3 2 1 4 22.

385.

.

-r5

41° -

4 ,s -

x + 1 — x~

393. —

/ •

1--—

y « ( l — V «)a

.

- r í r a r - T * 4 0 í**+•<*■■ 404> - 3 ( * l | i * + 8h * c h * ) x l n 2 x .s h 2 x 1 x — “l / x * —1 Archa: — are son x . 4 0 7 .------ ------- . — .

. Arsh xA

4 ,2 .1 6 ,(3 + 2 ^ 4 1 3 .

416.

a r e s e n x -f

390. s x ( are sen asH + = • 1 . V > 1 — x* )

2» c h « ^ 9 h * ch 2 x , , k — 2x2 1 405. r . 406. —

----------------- - L ‘ j 3x2 ^ * 3x f x*

xa (2 x -l)2

~2 ~ • 388. se n x

399402.

377. -—

-------------- ■ 384.--- ------ — . se n 2 2x (sen x — eo s x )a

390. * • « * (* + 7). 391. x eK. 392. ex

fAn 408-

xd.

, 380.--J ." 4*-...-. 381.

(x 2 _ o x -h o )2

3 86. y ' = 0. 387. c tg x

395. * * e *

= _

• 379.~ 2f .^ f r + 2°

382. 5 c o s x — 3 s e n x .

8

cos4 x

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12«6 + 1862¡,.

4 ,5 .

.

----------~ 1-;----------. 2 sen 2 x l/c t g x

x — sen’ -2 ¿ + c o s - 2 1. i 3 c o s ,+ 2sen ,

2 V 15s e o * — l O c o s , 1 2 " j/l — x2 l / i + arcsen x

430

Soluciones

427

í ______________ 3 (aresen x ) 2 2 (1 + * * ) (/a r c t g x

429.

/9 a

]/ \ — a*

'

• * + -+ *

*< *-2***2

2 l/ * « » + *

3 / ( 2 « * — 2 * + 1 )»

X e o s (a:2— 5 x + 1 ) ------------ --------- . l 2 COS2 —

433.

..... .........— 1_________ '

( 1 + x 2) (a rctg x )2

‘

5 l,i* x *

— a s e n ( a x + (5).

434.

s e n (2 í + cp).

X

435.

-2 - - V — “ “**

■ '

436. '

-1 . 437. x c o s 2x2 son 3 x 2. 439. se n 2 — ' ...................................... a

440.

~ J = r. 2 J /x — x 2

441.

444.

— Zao-1-* ln 5.

445.

447.

v r = ^ -

1 xlnx ' ~t~ TT“i—

. 448. M 8-

452. '

-T Í -. 1+ *2

2 x l0 2* ( i + x ln 10).

^

* 45/l*---------. * 2x

sen3 5a; ^ c o s 2 -^ -j

/ t Rrz

465. 468.

. 456’

.

45 •

460.

463.

rec 466.

Q— 3x

.

1

Resolución

4 7 i.

,„ 0 4o8, 461.

464.

+ X

x7 ( l - x 2)3 22 1/(1 + x 2)3

1 y ( x _ í ) z { x + 2 )i

{ a — bxn) w'"1 X3 — 1 r - r. . 467. (a — bxn)™+1 ( * + 2)c 3 x 2+ 2 ( g - f & 4 - c ) x + q ¿ + ^ + nc 2 | /(x +

.

1 < l + lu a * ) *

455.

x 2 + 4x — 6 (x -3 )6 •

2 (7 í + 4 ) f 3 T + 2 .

6 V’y $ (y + V i ) 2 473. — - 4— ■y e x _|_ j

X

2 f l 5 m * X n *“ 1

^

2 V_Í

2 ,1 1 1

3 se n 2 5x c o s 5a;. 5 e o s 2

1 y ( o 2+ x 2)»

469

2 “j / t í _ a :

r=

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- 1 0 x e “ * a.

. 451.

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2 (\ x -\ -x )

x5 f ( 1 + x 3) 2. . . . .

, o, o < iw i C. «U 4 x 3 (
470. -------- i ”

443.

x 2 = l o se n 2 5 x co s 5a; eo s2 - y — s en3 5 x co s

4 x 4 -3 < x -2 )3 •

l Z l . .... x 2 1 /2 * * — 2 x + l fl + J A )3 f x

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]/ \ n x + \

x / x \ 1 + son ° 5a:-2 c o s g ^ — s o n - ^ J ~

462.

.

446. se n 2 ' + 2 < t co s 2 ‘ ln 2.

S - 4 - S - . 449. c t e x l g e . 450. 2 T + T - 449« o -

y ' = (sen3 5 x )' e o s2 ~

459.

1+x2

--------( £ ^ + 5 co s x ) V i - x 2- 4 _ 453_ (** + 5 s e a s — 4 arcscu x ) ]/'1 — x 2 ’ '

arctg x

x * x X 3 sen 3 •

442.

* 1 /^ -1 '

a)

(x + ¿?) (x + c)

472.

y_“ V(2
474. sen3 x e o s2 x . 475.

;— ------ -— sen4 x e o s4 x

. 476. 10 tg 5 x se c2 5x

477. x e o s x 2. 478. 3 í2 se n 2 ¿3. 479. 3 c o s x c o s 2 x . 480. tg 4 x . 481. /o o 406.

(a — 8 )s e n 2 x 2 l / a so n 2 x +

485.

e o s2 x

roo . ‘lo o .

C° S T* se n 4 x n 0 1 aresen x (2 á rceos x — aresen x ) U. UO'i. -j:-------------------------- ............-— ------ ——---* —

J = . 486. 4 . 478. x ( / 2 x 2 —1 ' ' 1+*2 ’ '

( 1 — x 2):1/2

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. 488. ‘ ' Y a — iix2

Soluciones

489.

431

l / ± ~ - \ a > 0 ) . 490. 2 V s » - j í ¡ » > 0 ) . 491. v a-\-x

493.

y i - 2 5 * 2 arcsen 5*

. 494.

, 1

, ? L _ . 492. arcsen ~ / x . y 2x — x 2 . 495.

S0U “ l-Z xcosa + x*

*

496.

7. 497. l / r 2" • m , f ; • 499. ~ y ¡S S . o + 4 sen 2: r —x 1 + eo s2 ce 2 v 500. sen 2 x
¿a * s e n f jx .

504.

e~* eos 3er.

505.

x " - i a “ *2 (rc — 2 x 2 ln a),.

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506.

-

y

y tg 2 (1 +

y

509. ■ L - ■ 510. y a2_|_22 ‘ ’ 513.

— -p-tg—

521.

— í -(—y x 514.

- # # + « ■ ( , ^ 518.

c o s í ln a). 507.

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„ ~ 6t { 3 — 22a) ln ( 3 — 2 z3)

'

.

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511.

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519.

a ^ Z tX c

— , _ „1...— ■ 513. y 2fl2 + 22 indicación.

l 8 r ■ ™ - .I T O S i-

2

524.

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y = 5 ln ( * — 2) —

5 ,L

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522- y 2 son I11 2 . 523.

* 2— a 2

• 508*

520. "

’ y ^ X Í * ’

V í ± í l . 525. 4 ± i - x ce11— 1 sen ax

526.

;- Í - ^

|2arosen 3* ln 2-|-2 (1 - á r c e o s 3 * )]. 527. (3 003 " * ln

1/ 1 “ **/x

\

a eos ax eo s bx-\~b se a a x sen hx * c o s 2 ¿?x " *

1 1 + 2 sen x

’

530. — _

532. 536.

i + l í L í + _ _ l y T ^ x i arcsen x * \ *y i t2 ? O . * , • 533. --------- y = . *■> + * * - 2 e o s x y sen x

.. a rcs cn ,f,

.

537.

.

534.

539. 6 til2 ¿‘ x (1 — th 2 2 * ). 540. 2 c t h 2 * . 541. 543. 548,

x2 ,

538. 2 ■ | /a 4 + x 4

1______ x ( l + ln 2 x)

-

1

* ( l + ln * * ) *

3x , . 1

1

535.

i+ z *

.

e " * ( a c h g x + p s l i p * ). 542.

1 x *\/ln2 x — 1

.— L _ _ . 54/,. . 545. , 2 , . 546. x A rth x . 547. x A rsh x. eos 2x sen x 1—x¿ a) y ' = 1 cu an do x > 0 ; y ' — — 1 cu an do x < 0; y' (0) n o e x iste; '—1 para * < 0 , ^

b ) y ’ = \2x\. 553.

531.

— ln í* *

6 sh2 2 z -c h 2 * .

r.,q * ° *

6jc.

554.

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549.

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X

550. / ' { * ) =

/:< 0 ) = - l ,

/ ; (0 ) = 0; d ) / : { 0 )

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fí.(0 )-l; = /;(0 ) =

b)

fL (0) = 0; e ) / l ( 0 )

2

*

. / ; {0 ) = - = ¡ L . y

/;(0 )

556. 2 + - ^ y ^ - - 557. — 1. 558. 0. 561. R e s o l u c i ó n .

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3

n o existen .

T en em os

Soluciones

432

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566. 5C7.

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2a:) (1 +

, s e tie n e y /= 3 “ 2 (1

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568.

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( 1 — * ) 0 b ie n

* ) (1 +

3*) +

3 (* +

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570

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69

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572_

ia :(1 + in;E)í

573.

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3 ( x — 1) /a ( í t 2 ) s^ ( i - | - 3 ) 6/! X ( i + 2 ln X). 574. y i

1

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X ( - ~ H-lnar + l n S s J .

577. x * Qnx ^

X (eos x ln c os x — son x tg x ) . 580.

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590.

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—

586.

id entidad. 601.

612. 616.

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579.

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592.

599.

602.

*° 10— 3 co s y ’ ( , + ,,)«.

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581.

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588.

603.

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589. 593.

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613.

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. y COs x ln a ) . 578. ( c o s x ) 8 e n x X

T | T . 587. - ^ A t ^ - .

594. t g f . 596. 1. 597. c o .

608.

575.

(arctg x ) x [ ln a rctg x + —

585-

605.

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614. f + . * .

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^ ~ x2~ V 2 l + x* + y*

615.

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. B18. * ¡ 5 £ = 2 . i L . 620. a) 0 ; y \nx — z x

b) A ; 2

9

c) 0. 622. 45*; arctg 2 s* 6 3 °2 6 '. 623. 4 5 °. C24. a rctg - i ^ 3 6 ° 2 1 \ 625. (0; 20); e (1 : 15);

( — 2;

— 12).

629. 633.

626. 631.

a) i/ — 2 x; y = —

(1;

— 3).

y—5=0;

627.

y = z * — x - (-1.

* + 2 = 0.

632.

628.

Ar = ^ l .

o: — í = 0;

y = 0.

b) x — 2y — 1 ^=0; 2 * + p —2 = 0; c ) 6 * + 2 y — n = 0 ;

2 x — 6 y + 3 ? t = 0; d ) y ~ x — 1; y = 1 — x ; „ e ) 2 x + y — 3 = 0 ; z — 2y + i = Q para e l pu nto (1; 1); 2* — ^ + 3 = 0 ; x + 2 y — 1 = 0 para ol p u n to ( — 1; 1).

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Soluciones 634. l x — lO y + 6 = 0, —

= 0.

636.

10* 4 - 7 y — 34 = 0. 5 a -j-6 ¡/ — 13 = 0,

433

635.

y = 0\

(-*t + 4)

Gx— 5 y + 2 1 = 0 . 1

— 4) y —

637.

s - f ^ — 2 = 0.

o- ; en el p u n to (2 ; 0 ); y = — * 4 - 2 ;

638. En e l p u n to (1; 0): y — 2 z — 2; y =

O

y = * — 2; en e l

pu nto (3; 0 ):

y = 2 x — 6;

=

í . 639. 14* — 13^ + 12 = 0;

1 3 * 4 -1 4 ^ — 41 = 0 . 640. I n d i c a c i ó n . L a ecu ación d e la tan gen te es x y o----- r - ^ - = 1- P o r c o n s ig u ie n te , esta tan gen te corta a l e je O X en e l punto ¿X q ¿y q A (2 * 0, 0) y a l e je O Y en o l p u n to B (0, 2y 0). B uscando ol p u n to m e d io del se g m e n to A B , h a lla m o s e l p u n to { x Ql y 0). 643. 4 0°36'. 644. En el pu nto (0, 0) las p a rá b o la s s o n tan gen tes en tre sí; en el pu nto (1, 1) se cortan b a jo el á n g u lo 652.

de

F=

653.

a rctg y ^ 8 ° 8 ' . '

2ason y I g y

a rctg

.

n == a V i 4 - 4 ji2;

654.

647.

; /V=

S t = S n = 2\

2asen y

y -f2 r p .

655.

t g p = 2xt.

;

t = n = 2~\/2 . 648.

S t = 2a sen2 y t g

S t — 4jz*a;

656.

^ í = a;

S n = a\

y ;

■ * ■■ ln ¿

Sn = a$
í = 2rt« ~\/\ + 4 íi2;

¿4 = ~ 9»

¿ = " [/a 2 -j- p j •

« = -£ 2 - V /fl24"Po í t g / x = — cp0. 657. 3 c m /s e g ; 0; — 9 c m /s e g . 658. 15 c m /s e g . o 3 659. — y m /s e g . 660. La ecu a ción de la tra y ectoria es y = * t g a — —

¿- r ? g — x2' 2f*g co s¿ a

^1

a lca n ce

es

igu al

a - v° 5ea â — . £

i/ «^2— 2i»o£í so n a 4 - £ 2¿2; o l c o e fic ie n t e an g u la r del v e c to r a

'

Indicación,

Para d eterm in a r

e lim in a r e l p a rá m etro t d e l sistem a d ad o. pu n to A (d ib u jo 17). Las p ro y e ccio n e s de ^

y

. L a m agn itu d do la v e lo c id a d

de

la v e lo c id a d

ostá

d ir ig id o

p or

de

v e lo cid a d

la v e lo cid a d

tra y e cto ria

hay

que

E l alcan ce es la abscisa del l a v e lo cid a d so b r e lo s o jo s :

j/* la

la

La

" ^ ( ‘5 /“ )* ’

e*

v e cto r

tan gen te a la tra y e cto ria . 9 9 \ ( y , y j . 663. La d ia g on a l

crece c o n una v e lo c id a d de ~ 3,8 c m /s e g , e l área, co n una v e lo cid a d de 40 c m 2/s e g . 664. E l área d e la su p erficie crece co n una v e lo cid a d do 0,2.ti m 2/s e g , e l v o lu m e n , co n una v e lo c id a d d e 0,05jt m 3/s o g . 665. ~ c m /s e g . o 666. La m asa to ta l de la barra es de 360 g , la den sid ad en e l pu nto M es ig u a l a 5 * g/ern , la densidad en e l pu nto A es ig u a l a c e r o , la densidad en

e l p u n to

B

669. 2 e o s 2 x. 670. 673.

es

de

60

3 (i+ *2)2

g /c m .

667.

■ 671.

..... — -------- . 672. 2 a rctg x - 1 y ( aT + £ S ¡ 3 ° !+ * * •

- r ^ — s + J i 5 S ? -e” Í L . 674. — a 1 — x 2 1 (4 _ 22)V 2

6 81. yv =

• 682.

56*6H -210*L

668.

ch — . 679. g » = 6. 680. a

ex2 (4 * 2 + 2).

/ " ' (3 ) = 4320.

y V I = — 64 sen 2 * . 684. 0; 1; 2; 2. 685.

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La v e lo c i-

Soluciones

434

dad v = 5\ 4,997; 4,7. La a celera ción a = Q; —0,006; — 0,06; —686. La le y d e l m o v im ie n to d el pu nto ilfj es a: = a c o s 0 í; la v e lo cid a d e o e l m om en to t es ig u a l a — 2 c o s c o ¿ . La v e lo c id a d in icia l es ig u a l a 0; Ja a ce le ra ció n in ic ia l: — gcú2; la v e lo cid a d cu an do x = 0 : eco; la a celeración cu a n d o z — O: 0. EL v a lo r m á x im o do la m agn itu d a b solu ta de la v e lo c id a d : g(ú. E l v a lo r m á x im o de la m agn itu d a bsolu ta do la a ce le ra ció n : gcd2. 687. y
( ~ l ) * + i * -3 . . . ( 2 » - 3 ) _ 6g9_ a) aen ^

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b ) 2 „ c o s ^ 2* + » - ^ - )

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6 9 Í. y < » > ( 0 ) - ( R - l ) ! 692. a) W ; b ) 2¿2+ 2 ; b) - 1 / 1 = 7 5 . 693. a) “ b) — r * óa eos '1 1 sen t 695. a) (1 + 699. _ 7tíd’ m 709.

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727.

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= 0,009. 713. d { i ~ ~ x 3) = l cu an d o x ^ i

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435

Soluciones

735. | | dx. 737. a) 0,485; b ) 0,965; c) 1, 2; d) - 0 , 0 4 5 ; e ) - j + 0 ,0 2 5 ^ 0 ,8 1 . 738. 565 cmz . 739. y T « s 2,25; _ V 'Í 7 a* 4,13; 1 / 7 0 ^ 8 , 3 8 ; 1 /6 4 0 « í 25,3. 740. ] ñ ó ^ 2 , 1 6 ; f 7 0 « = 4 , l 3 ; f 2 0 0 ^ 5 ,8 5 . 741. a) 5; b) 1, 1; c) 0,93; d ) 0,9. 742.

1,0019.

743.

0,57.

744.

2,03.

748.

—

. 749.

( i i 2 cosz sen o: \ , , I — sen x ln x-\-------------------------------- 1 (dx)*.

750.

... 751.

.

21n * — 3 S2 ^ -------- (dx)*.

752. — « - « ( ^ - e a + e ) ^ ) » . 7 5 3 . - ^ ^ - . 754. 3 -2 n sen ( 2 z + 5 + ^ ) (£ c)n . 755. e x cos a son ( x sen a -*(- n a) (dx)n . 7 5 8 . N o . E l p u n to 762.

| = 0.

763.

_ l . ( a - l ) 2+

x= ~

2 ( 3 ~ í>3 ,

d on d e

. . .+

— ^ T T á l’

iw 15 —( 1 + **)*/*

t f

773.

El

e rro r

£= ^ -í

donde

5 i = 0 ti ,

^ i - f- 2L j

/ ’ (2)

sáT » <1 + —J)8/»

^

no

de la

770.

0 < 6 < 1.

e x isto. fu n ción .

769. s e n x = ------

sen x = x —

e* = 1 + s + - | j - - ¡ - - | j - .

0 < 0 < 1.

2 =

que

*>) 6 — J * 768. l n z = ( x - l ) -

O < 0 ,< 1 ;

d on d e

m on or de

■»

ya

£= l+ 0 ( * - l) ,

£2= 0 2z , O < 0 2 < 1 .

ib > "fti81 es

a)

dondo

— -| | -co s| 2,

N o,

un pu nto d e d iscon tin u id a d

(2 , 4 ). 765.

= x — £ L + ^ | -co s g „

a)

es

757.

772.

en a m b os ca sos

El

6™®*5

error:

O <0<1.

= — ¡-. 775- R e s o l u c i ó n .

T en em os

” 2 î _

. D esa rrolla n d o a m b os factores en poten_i_

cia s de x, ob ten em os: +

+

1+ y

^

M u lt ip lic á n d o lo s , ten d rem os: “j

L u ego, d e s a r ro lla n d o e?K/a en p oten cia s

778.

_2 para

»> 1 ;

797.

— 1.

806.

1 — .

a

799. 807.

para

¿

n = 1;

808.

1.

^

co . 779.

1+

* + “ J” + "g“ T * p o li-

1. 780. 3. 781. y .

n

. 786. 1. 788. — . 7 8 9 .1 . 790. 0 .1 91. a. 792. c o ji

0

1. 800. e 3. 801. 1-

/

^

de - j - » ob ten em os el m ism o

n o m io eT as l + ‘7 + - ^ - - 7 7 7 . ------1 - , 782. 5. 783. c o . 784. 0. 785.

* ( * — ¡7 )

810.

para

r c < l.

1. 802.

1.

793.

0.

795.

803. 1. 804.

Indicación.

H a lla r

— . e el

D

. 7 9 6 .^ . 1¿i 805.

— . e S Iim ~ s -

28*

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436

Solucione&

dondo ^ =

R2

( a — sen a)

es

la

ex p resión ex a cta

del

área

del

segm en to

( R t es e l ra d io de la circu n fe re n cia co rre sp o n d ie n te ).

ca p ítu lo III 811. ( —'C o, — 2), cre ce ; ( — 2, c o ) , decrece. 812. ( — c o , 2), d ecrece; (2, 0o ) ’ crece. 813. ( — c o , c o ), cro co . 814, ( —-o o , 0) y (2, c o ) , cre ce ; (O, 2), decrece* 815. ( — c c , 2) y (2, c o ) , decrece 816. ( — c o , 1), crece; (1, o o ) , decrece. 817. ( — o o , — 2), ( — 2, c o ) y (8, c o ) , decrece. 818, (O, 1 ), decrece; (1, c o ), crece. 819, { — c o , — 1) y (1, c o ) , crece; ( — 1, i ) decrece. 820. ( — c o , o c ) . crece. 823.

821.

^0, — ^ , decrece;

( — c o , 2 ),

d ecrece; (2, c o ) ,

825. ( — c o , ü) y =

tt

^ — , co ^ , crece.

(0, 1), d e crece;

crece.

824.

822.

( — o d , a)

0),

crece.

(a , c o ) , decrece. Q ymáy = cu an do x =

(1, o o ), crece. S27.

- 828, N o hay e x tr e m o - 830* înín = 0 cu a n d o

( — 2,

y

x~0;

jfIIlIn=».0 cu an do

* = 12; |/máx = 1296 cu a n d o x = 6. 831. y mía — 0,70 cu an d o x ^ 0 , 2 3 ; y lnáx = 0 c u a n d o x = 1; pmín — 0,05 cu a n d o x ^ 1,43. G uando i = 2 n o h a y e x tre m o . 832. 9

N o h a y extrem o. 833. ymóx— - 2 cu an d o x = 0 ; ym ín= 2 cu a n d o z = 2 . 834. Z/má3C= = ^ 2 — ; y mía = 3 y 3 cu a n d o x — y 3

cu an do x = 3 , 2. 835. y máx— — 3 V 3 cu a n d o x =

2

—

= —p . v 3 = —2 y

836.

3;

y m áx= l

i/m(n = y 3

cu a n d o

^máx

cu an d o

cu a n d o

x = 4 2 /e ji;

843.

=

4

837.

]/3. 838.

f/mIn= —

-(-y

ji

í/májc — 5 eo s

e o s c u a n d o x = 42 ± 1 . =fc2, . . . ) .

* = 0.

z = 2

839.

x^=0.

cu a n d o x =

cu an do

i = 0.

—

i/IüálX = V 2

j

ft==0> i

0mf n = l

y mfn = 0

l/3

cu a n d o

k ± —■^ jt;

y íaÁX = —

cu a n d o

cu a n d o

1» ± 2 f . . . ) . x = l2 ^

cu an do

cu an d o x —

x

= ( /e—

y jn ;

M = y

v a lo r cu a n d o

5

x = 6 ( 2 k + 1) a (/c = 0,

841. ym£ll= 0 cu a n d o x = 0. 842. y rüíli= — ~ cu a n d o x = y 1

cu a n d o x =

845. y m Iü— — —

El

ji;

840. . í/Illáx = 5

cu an do

m ín im o x = l.

es

851).

.

í/m(ll = 0 cu a n d o x = i . 844. y mln — 1 cuando x = — 1.

846.

ífmfn = 0

cu an do

y máx « - ^ - c u a n d o x — 2. 847. y m£n = « cu a n d o x = l . 848. N o h a y 849.

x = ±\\

1 m = — y cu a n d o m= 0

cu a n d o

a s= — 1;

x= 0

y

el

x = 10;

v a lo r

x = 0;

extrem o. m á x im o

Ai = 5 cu an do

x ~ 5 . 851. m — -i* cu a n d o x = (2fc + l ) - j - ; A / = l cu an d o x — “y ” (/c = 0, ± 1 , ¿ 1 2 ,...).

852. o t = 0

cu an do x = l ;

A/ = n

cu an do

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x = — 1.

853.

m = —1

431

Soluciones

cu an do x — — 1; M — 21 cu a n d o x = 3 854. a) m — — 6 cuando x = \\ M — 226 cu an do x = 5; b) m = — 1579 cu an do x = — 10; A /= 3 7 4 5 cuando x — \2. 856. p — — 2 . «7 = 4. 861. Cada u n o de lo s sum andos debo so r igual a y . 862. El re ctá n g u lo debe ser un cuadrado cu y o lado os ig u a l a

863.

Isós

celes. 864. E l la d o de la su p erficie, que está ju n to a la pared, debo ser d os veces m a y o r que ol o tro lado. 865. E l la d o del cuadrado qu e se recorta dobe so r igu al a -g -• 866. I ai altura de

la

base.

867.

A q u é l,

c u y a a ltu ra

868. La a ltu ra d el c ilin d r o , es el r a d io de la esfera

debe ser d os veces m enor que el lado

i

e.s igu al a l diám etro

ra d io

de

Ja

base.

do su baso, R " j / * y , donde R

dada. 869. L a altura del c ilin d r o es R ~[/2, donde R

es el r a d io d o la esfera dada. 870. La altura del c o n o es - j i i , don d e

R es

el

4 radio de la esfera dada. 871, La a ltu ra del c o n o es — R, don d e R es el ra d io 4 o $ de la esfera dada. 872. E l ra d io do la base del c o n o es -L-r , don d e r es el ra d io de la base del c ilin d r o d a d o. 873. A q u él, cuya altura es dos veces m a y o r q u e e l d iá m etro de la esfera. 874. c p = ji, es d ecir, la sección del ca n a lón tiene form a de se m icircu n feren cia . 875. El á n g u lo cen tral del sec tor es 2 n /

?

.

876.

a cero, es d e c ir,

2

=

a ltu ra

e i recip ien te

22

— d*)^, 878.

La

¿x0

de

la

debe

parte c ilin d r ic a ten er form a

+ - í í - = i . $79, L os ¿1/q

la d o s del

debo ser

igual

do sem iesfera.

rectá n g u lo

son

877. h — a \/2

y b d on d e a y b son lo s corresp on d ien tes sem iejes de la elipse. 880. Las co o rd e n a d as d e lo s v é rtice s del rectá n g u lo, situ ados en la paráb o la ^ - j a , ±

. 881. ^ ± y = ,

a la m a y o r de la s m agn itu d es árceos

j .

882.

y arctg K

884.

-L j.

~

885.

.)

“

—

V ^ il(iQ'

—

f e

b)

d , - f e .

\M m.

El

á n g u lo

es

igual

. 883. A M ■— a **<■•» • ^ l P + f g —

i

/

Indicación.

1 .

886.

C uando el ch oqu e

do la s d os esfera s os com p letam en te c lá s t ic o , la v e lo cid a d que adquiere la b o la in m ó v il, de m asa m1$ después de prod u cirse el ch oqu e co n la de m asa m2, que se m ovía c o n v e lo c id a d

v, será igu al a

— . m i i ^22

888. n =

(s i este n ú m ero no es en tero o n o es d iv is o r dol núm ero N % se tom a e l n ú m oro en tero m ás p ró x im o a l v a lo r o b te n id o , do N ) . C o m o la resisten cia in tern a de la batería es igu al a fís ic o

do la s o lu c ió n

oncoutrada o s: quo la rosistencia

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quo sea d iv is o r , el sentido

interna do la bate-

438

Soluciones

ría deberá se r lo m ás p róxim a p o s ib le a la resisten cia ex terior. 889. y =

2

891. ( — oo, 2), cón cava

hacia a b a jo ; (2, c o ), cón cava

hacia arriba;

M (2; 12) pu nto de in fle x ió n . 892. c o , o o ), cón ca va hacia arriba. 893. ( — c e . — 3), cón cava hacia a b a jo; ( — 3, c o ) , cón cava hacia a rriba; no hay puntos de in fle x ió n . 894. ( — o o , — 6) y (O, 6), con ca v id a d es hacia arriba; ( — 6, 0) y (6, c o ) , con ca v id a d es hacia a b a jo ; so n pu ntos de in fle x ió n :

-

-

,

0 ( 0 ; 0 ),

M z ( 6;

-| ) .

895.

(O, y 3 ), con cavidades hacia a rriba ; ( —”1 /3 , 0) y (V §, hacia a b a jo ; so n pu ntos de in fle x ió n : M it 2 ( 896.

((4 A + l ) - y , (4A + 3)

(4/c + 5) x ió n :

(-c o ,

, con ca vid a d hacia abajo (* = 0, ± 1 , ± 2 ,

y

con ca v id a d es y O {0\ 0).

od),

0)

- 5 - j , con ca vid a d hacia a rriba .

|/5)

-

^(4/c + 3)

,

pu ntos de in fle

— ^ (2 /c -}-l) - í - i 0 J . 897. (2foi, {2 * + 1 ) íi) , co n ca v id a d hacia arriba;

<(2/r—- 1) ji, 2A n ), co n ca v id a d cisas de lo s puntos

hacia

do in fle x ió n

hacia abajo; ^ ^ L - ,

a b a jo ( A = 0 , ± 1 , ± 2 , . . . ) ;

son

x =>k n .

898.

^ 0t

00 j , co n ca v id a d hacia arriba; M

la s

abs

con cavidad ^—

—

*

p u n to de in fle x ió n . 899. ( — o o , 0), co n ca v id a d hacia a rrib a ; (0, c o ) , con ca vid ad hacia a b a jo ; 0 ( 0 , 0 ) , p u n to d e in fle x ió n . 900. ( — c o , —3 ) y ( — 1, cx>), con ca vid a d hacia a rriba ; ( — 3, — 1) co n ca v id a d b a cía a b a jo ; p u n tos de in flo x ió n son W , ( — 3;

y M 2 ( — 1;

.

901.

x = 2\

y = 0.

902.

3 = 1,

x = 3; y = Q. 903. = y = l . 904. y = x . 905. y = — x (izq u ierd a ), y — x (dorech a). 906. y = — 1 (izq u ierd a ), y = 1 (d erech a). 907. x = ± 1 , y = — x (iz q u ierd a ), y = a:(derecha). 908. y = — 2 (iz q u ie r d a ), í /= 2 x — 2 (d erech a ), 909. y = 2 . 910. a; = 0, y = 1 (izq u ierd a ), y = 0 (derecha). 911. £ = 0, y = 1. 912. y = 0. 913. x = = — 1. 914. y = ar — re (iz q u ie rd a ; y = ar+ rt (derech a). 915. y = a. 916. y ,náx = 0 cuando i = 0 ; y mjn = — 4 cu an do s = 2; el punto de in fle x ió n es M\ ( 1, — 2). 917. y máx = 1 cu an do x =

± V3;

x ió n es M u 2 ( ± 1;

y mín — 0 cu a n d o a: = 0; ol p u n to de in fle

ymáx = 4

cu an do

x = — 1;

ymín = 0

cuando

* = 1; ol pu nto de in fle x ió n es M i (0; 2). 919. yináx = 8 cu an d o a: — — 2; yinín = 0 cu an do x = 2\ el pu nto de in fle x ió n es M (0; 4). 920. * cu a n d o x = 0; lo s

puntos

de

in fle x ió n

son

M it 2 ( ±

1 / 5 ; 0)

y

Af3l 4 ^ ± 1;

^ ^ 5) •

921. l/,4,áx = — 2 cu an do * = 0; y mfn = 2 cu an do x = 2; las asín tota s so n a: =■ 1, y = a : ~ l . 922. L o s puntos de in fle x ió n so n M t , 2 ( ± 1 , ± 2 ); la asíntota es a: = 0. 923. y má x = ‘ - 4 cu an do 1; y njín = 4 cu an d o x = l ; la asíntota os x = 0. 924. y infn = 3 cu an do 2 = 1; el pu nto do in fle x ió n es M ( - l T 2 ; 0 ); la asíntota es 2 = 0. 925. tfmóX= - g son il í1>2( ± 1; asíntotas

son

cuaDÍ*0 * =

lo s p u n tos de

in fle x ió n

; la a sín tota es y = 0. 926. y m¿ x = — 2 cuando 2 = 0; las x= ±Z

e

y = 0.

927.

y,n ín = — 1 cu a n d o 2 = — 2; y m áx= *l

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439

Soluciones

cu a n d o x =

2; lo s p u n to s de

la a sín tota

es y = 0. 028. y mAx = l

.1 /^ 5 ;

in fle x ió n son

0 ( 0 ; 0) y M it 2 ( ^ 2 y 3; =F

cu a n d o x ~ 4 ; el

punto de in fle x ió n es

; las a sín tota s s o n x = 2 e y — 0. 929. El p u n to de in fle x ió n es 27 8 e y = 0. 930. y má x = “ ^ cu an d o x =

0 ( 0 ; 0); la s a sín tota s x = ± 2

las

a sín tota s son x = 0, i = 4 e y — 0. 931. y máx = ~ 4 cu an d o x = — 1; I/mf n ™ 4 cu a n d o * = 1 ; la s a sín tota s son x = 0 e y = 3 x. 932. .<4(0; 2 ) y D (4; 2) son lo s p u n tos e x tre m o s; J/,Q5X = 2 y ¡ 2 cu an d o a; = 2. 933. 4 ( — 8; — 4) y D (8; 4) ñon lo s p u n to s de lo s e x tr e m o s . El p u n to de in fle x ió n es 0 ( 0 ; 0). 934. El p u n to d el e x tre m o o s A ( — 3 ; 0); y mf,¡ = — 2 cu an do x = — 2. 935. L os pun tos

de

lo s ex trem os so n A ( — " j/3 ; 0 ) , 0 ( 0 : 0 )

cu a n d o

*

| /e } / i +

=

— 1;

X

)

el

p u n to

. 936.

de

= 1

y

B {~y/3; 0 );

in fle x ió n

es

cu a n d o 3 — 0;

lo s

M

y m áx= y / 2

1 1^3 +

pu ntos

do

2 " l/3 ,

in fle x ió n

s o n M l l 2 { ± 1; 0). 937. L o s p u n tos de in fle x ió n so n M.j (0 ; 1) y A /2 ( l ; 0 ); la a sín tota es y = — x . 938. y m ¿x = 0 cu an d o * = — 1; y,ní u = s '~‘ * (cu a n d o x = 0). 939. y m áx== 2 cu a n d o x = 0 ; lo s p u n tos de in fle x ió n so n M u o ( ± 1; f 2); la a sín tota e s y = 0. 940. y jn£n = — ^ cuan(lo £ — — 4;

cu u n d o x = 4

el p u n to de i n f l e x i o n e s 0 ( 0 ; 0 ); la a sín tota es y = 0 . 941. y níín = f r4 cu an do z — 2; yrain — 1^4 cu a n d o x = 4; y m 6x==: 2 cu a n d o x = 3. 942. y mín = 2 cu an do x = 0\ la s a sín to ta s so n x = ± 2 . 943. L as asín totas son x = ± 2 e y = 0. ~1/ o -1/0 9 44- ^ m í n = - ^ f

cu a n d o x = l / 3 ;

p u n tos do in fle x ió n s o n

y m&x =

^ — 3;

“

f T

cu a n ^ x = - l / 3 ;

0 (0 ;0 ) y

" I " ) * *aS

lo s a s*ü "

3

to ta s, x = ± l .

945. y mín = - ~

M ^12;

x = 6;

ol

p u n to

do

(

— 3a;

2;

y M 2 ( — a, " 7 “ ) ; la a síu tota 03 2/ = ° -

y = 0.

949.

y máJC = 2

Af i . z ( ± 1; -7 ) ■ 950‘ 951.

os

; la a s ín to ta , y = 0. 947. L o s p u n tos do in fle x ió n

cu a n d o x = 4; lo s p u n tos de in fle x ió n so n M ít 2 to ta ,

in fle x ió n

) í *a a sín tota es x = 2. 946. y ru¿ x = “ * cu a n d o x = l ; ol pu nto

d e in fle x ió n es M so n

cu a n d o

ym6x = ( f ,7 4 cu a n d o

cu a n d o

í,niáx= 1

x = 0;

cu a n d o

s = ¿2 ^ 7 ,3 9 ;

^ 1 4 , 3 9 ; 0 ,7 0 ); las a sín to ta s,

x -= 0

e

el

lo s

e 9'2^ ; la p u n tos

* = ± 1; p u n to

y = 0.

952.

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í/máx = í2

de

» inin = °

de

in f le x i ó n cu a n d o

in fle x ió n

asín son ar = 0 .

os A f ( « 8/3« s

yraIn — — ^ - c u a n d o

x =

j ;

440

Soluciones

—- ~ S

el p u n to de in fle x ió n es Af ( ^ 7 ^ ^

~ 4? )

*

,Jm í a ~ e cuan(ío

x = e: ol pu nto do in fle x ió n es M ( c 2; ^7 ) ; la a sín tota e s s — 1; í / - > 0 cu a n d o 4 1 z —>-0 . 054. J/ihjíx = - ^ a - ^ 0,54 cu a n d o x = - ^ — x — 0;

ol

pu nto

cu an do x

de

in fle x ió n

es

á/

1 ^ —0 ,86; irmín = 0

1^

cu a n d o

— 0 , G 3 ; ^0,37 j ;

y

0

— 1 + 0 (pun to lím ite e x tre m o ). 055. y mfn = t cu an do x = ±

“j/2 ;

Jos pu ntos do in fle x ió n so n M u 2 (=fc 1.89; 1,33); la s a sín tota s, s = ± l . 956. La a sín tota es o:// = 0 . 957. L as a sín tota s so n y = 0 (cu a n d o x —>--j- c o ) e

jjt=

—

y = 0; 959.

(cu a n d o

x

la Es

0 0 ).

fu n ció n una

no

fu n ció n

está

958.

L as asín totas son x = —

d eterm in a d a

p e rió d ica

de

en

el

p e río d o

s = » y ji + 2/cji; I/mAx — V ' ¿ cu a n d o z = - ^ - + 2 / c n p u n tos de in fle x ió n son de

p e río d o

2j*.

cu an d o

cu a n d o x = -5- + 2/fn(A: = 0 , ± 1 , =t 2 , . . . ) ; A f* (/c r c ;0 )

y

Nk

seg m en to

2.t.

x —0

(k = 0,

e

£ — 7 ’ ^J

¡/m l n ^ ^ ~ [ / 2

0 j . 960. E s

¿,in ín= — | - V 3

;

±1,

cuando

±2,...);

una fu n c ió n

*

lo s

p o rió d ica

* = * y íi + 2 /íji;

ymóx = y

1 /3

lo s

in f le x ió n

son

pu ntos

de

^ árceos ^ — y j + 2/cji; ^

Es

p e rió d ica de p e r ío d o 2 ít. En e l se g m e n to { — :t, jiJ y wfiX = y

una

fu n ción

cu a n d o r - ± y

y m ln = ~ " 2 cu a n d o J = ± n ; y m ín ;= 0 cu an d o x = 0 ; lo s p u n tos de in flo x ió n so n ü fj, 2 ( ± 0,57; 0,13) y A /3i 4 ( ± 2,20; — 0,95). 962. E s una fu n ció n p erió dica im p a r de p e r ío d o 2jr. En e l se g m e n to [0, 2ji); y máx — 1 cu an d o x = 0\ y mln = = 0,71 cu a n d o

W

- y ; y lnáx = l cu a n d o x = y

= - 0’71 cuan<1° * = - £ « ;

x=2:i;

lo s

p u n tos

do

;

y Iflí„ = — 1

cuando

in fle x ió n

so n

cu a n d o

M ± (0 ,3 6 ;

0 ,86);

x

*= jt,

cuaní3<>

Af2 (1,21;

0 ,86);

J / 3 (2,3ü; 0 ); M k (3 ,5 1 ; — 0 ,8 6 ); M s (4 , 35; - 0 , 8 6 ) _ y M 6 (5 ,5 0 ; 0 ). 963. Es una fu n ció n

p e riód ica

de

p e r ío d o

' 1 /2

2n.

pnifn =

-1 /

cuando

x = - 2 - -J-

2/cíx;

q

t j— cuando * = = — — jt + 2Are(ft==0,

±1,

3 tas s o n x = — 7i-\-kji. 904. Es u n a f u n c i ó u p e r i ó d i c a t o s de i n f l e x i ó n s o n M *

(/e = 0 ,

3 totas son x = y ji-j-A-jt. 965.

Es una fu n c ió n

d = l,

± 2, . . . ) ;

d e p e r ío d o n ; ± 2, . . . ) ;

p e rió d ica

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las asíntolo s pu n la s

o s fn -

par de p e río d o

2n

441

Soluciones

En e l segm en to [0, ji]: yn x = n’

V m in ^—

cu an d o x = árceos ■A=-, ywSx — 0 cuando

cu a n d o

* = a rcco s

( - d ^ ) ;

y mín = 0

/ íi \ / z = Q; lo s pu ntos de in fle x ió n son M\ I ~ \ 0 1 ; M 2 ârcsen y M 3 ^ n — arcsen ^ — ; período

2n .

En ol

cu a n d o

s = a rcco s

sog m en to

j / g

[0, * ] :

;

y má7L — 4 cu an do * = 0; cu a n d o

¿e = jí; lo s puntos do A

|

/ g )

y

"\/2 —— ;

A i,

4 V 7\ ~ f ~)

Es una fu n ción periódica

( _ _ * -J ;

j/m ín — — 1 cuando (á rceos

— 1 ^ - ? ) . 966.

cuando

in f le x ió n

(á rce o s

par de

j/iníU =

s = aTCcos

- i — ;

son

( - |

Mz

/ g

)

;

|

/ g

.)

967. Es una fu n ció n im par. L os p u n tos de in fle x ió n so n M h ( k n : ¿Jt) (/£ — 0, d r l , ± 2 , . . . ) . 968. Es una fu n c ió n par. L os pu ntos de lo s ex trem os so n A if 2 ( ± 2 , 8 3 ; — 1,57); y ináx *** 1,57 cu an do * = 0 (pun to do retroceso); los p u n tos do in fle x ió n son M it 2 (dr — 0,34). 969. Es una fu n ció n im par. Su cam po de e x iste n cia es — l < x < í . E l p u n to de in fle x ió n 0 ( 0 , 0); la a sín tota x = ± : l .

970.

Es una fu n ción

im par.

0máX = -£— l + 2fai

*r 3 3 * = ~ + /eji; i/míin = -L_ji + 1 - f 2/c.ü cu an do a? = -j¡r Ji + Arji; fle x ió n 971.

so n

Es

M h(k^,2kn)\

una

fu n ció n

= — ~ x — í (cuan do x

2A: + 1 x = — — jx(A: = 0,

la s asín totas

par;

ym[n = 0

lo s

cu an do £ = 0;

cuando

pu ntos

de

in-

dr 1, d z 2 , . . ).

las asín totas son

— c o ) e y = ^ - x —í (cuando x -> * + c o ). 972, y

y~ , =0

cu an do cc = 0 (p u n to a n g u lo so ); la a sín tota es y = 1. 973. i/IIlín = H - y cuando x = í;

4

cu an do

x — — 1;

el

pu nto

de

in fle x ió n

(cen tro

de

sim etría ) es (0, :x); la s asín totas, y^=x-|-2r£ (izqu ierda) c y = x (derecha). 974. E s una fu n c ió n im par. y mfn ^ 1,285 cu an d o s = l ; 1,856 cuando ar = — 1; e l

p u n to

de

in f le x ió n os M

(cuan do x —>— oo) o y = y e

y = x — ln 2 .

977.

Es

una

= y f l ¡ + 2Arji;

976. fu n c ió n

^0,

4J-) ; las asín totas, I / = t ; — { - «

(cuan do ® - ^ - + c o ) .

*/rnín ^ l » 3 2 p e rió d ica

cu an do do

975.

a? = l ;

p e río d o

la

2jí.

= * cu an do z ~ “ ~ + 2 & :i (/í — 0,

Las asíntotas so n * = 0 asíntota es ¿c = 0. 1 y.n
±1,

±2,...);

los

pun-

VÜ - i to s

de

in fle x ió n

son

— Mu

ârcsori

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—

^- + 2/¿,n; ¿

2

j

442

Soluciones /-

y

/M - 1

Nk ( — arcscn - ■^

* + (2 fc -j-l) n, e

2

978,

L os

p u n tos

do

los

ex tre m o s son .4 (0 ; 1) y B ( 1; 4,81). E l punto de in fle x ió n es M (0, 28; 1,74). 979. E l p u n to de in fle x ió n es M (0, 5; 1,59); la s asín totas, y ^ 0 ,2 1 (cuando x— ) e i/» s 4 ,8 1 (cuan do x — o o ). 980. El cam po de d eterm in a ción de la fu n ció n es o l c o n ju n to de los in te r v a lo s (2Aji , 2/ tji-f- jx), don d e A = 0, ±1> ± 2 , . . . La fu n ció n es p e rió d ica de p e río d o 2ji: y raáx = 0 cuando x= do

+ 2 h x ( k = 0, z t 1» ± 2 d eterm in a ción

^2/c + y j

,

es

ol

. . . ) ; las asín totas son x = k n . 981. E l cam po c o n ju n to

de

lo s

in te rv a lo s

dondo k es un núm ero en tero.

La

— 5 ") Jl*

fu n ción

es

p eriód ica

do p eríodo 2ji. L os puntos de in fle x ió n so n A/^ (2kn; 0) (/c = 0, ± 1, ± 2, . . . ) ; las asín totas, x = ± 2 A j i .

982.

E l ca m p o

de d eterm in a ción

es x > 0 ;

la

fu n ció n es m onótona crecien te; la a sín tota es x = 0. 983. El ca m p o de d eter m in a ción es I x — 2kn |< - ^ ( * = 0, ± 1, ± 2 , . . . ) .

La fu n ció n os p e rió d ica

de p oríod o| 2:i; j/mIn = l cu an do x = 2kn (A = 0, ± 1 , ± 2 , . . . ) ; so n x = -2 - + fcji. 984. (p u n to

lim ito

dol

La asíntota es y ^ 1 , 5 7 ;

cu an do

x -> -0

e x tre m o ). 985. L os p u n tos de lo s extrem os so n

A it g X

X ( d : l , 3 1 ; 1,57); í»m(n = 0 cuando a- = 0. A x = — ^ 0 ,3 7 ;

y -+ 1

y —>-

las asín totas

986.

cu an do x - + - -fO . 987.

* « 0 ,6 9 El

pu nto lím ite

cu an d o

del extrem o

l es <<4(-f0; 0); y ¡li6x = e c ^ l , 4 4 cuando x = < ?^ 2 ,7 2 ; la asíntota es y = i\ los pu ntos de in fle x ió n , A /j (0,58; 0,12) y M%(4,35; 1,40). 988. * mtn = — 1 cu an do t = i ( y = 3); f/m ín= — 1 cuando t — — l ( x = 3). 989. Para ob ten er la g rá fica basta co n variar t entre lo s lím ite s de 0 a 2ji; x mtn= — a cu an do ¿ = j i ( y = 0 ); x móx = a cu an do t = 0 (y = 0 ); y mfn = — * (p u n to de retroceso) cuando

+ - L ^ -( x = 0 ); y m áx= + a (pun to

do retroceso)

. , ... ,, , X ( x = 0); lo s puntos de in fle x ió n cu an do t =

(* "

=± ^ 7 = 2 .

^niáx = “

— '1 / 2 * 1/2 j

» = ± ^ 7| ) •

cuan<*° * = 1 ( * = * ) ;

cuando

í = — “1 /2 y

n

*inln = — J lo s

3rc

cuando

pu ntos de in fle x ió n

( V 2 e >2;

cu an d o t = ^ y 5 ix

7¿i —£•

,

son

í = — 1 ( < / = — *); so n

cu an do

^

V2

¿—V ^;

las

asín totas, x = 0 e t/ = Cl. 991. * mín = l e i/mín = l cu an d o 1 = 0 (p u n to de re tro ce so ); la a sín tota es y = 2 x cu an do f - > - - f e o . 992. !/min = 0 cu an d o t = 0.

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Soluciones

443

s e n a - — — . 994. d s = ~ 1 / a ~g ~ dx\ a a r a2 — x* 5a; cosa —— — : sen a = — — — , don d o c = l / a 2 — ¿>2. 995. c/s = V a 4— <¡**2 V 1a2— // p ; sen a = — ■ ____ . 996. ds = y í ± d x . = — V p 2- t f 2 ^ ; eos a = — T 1/ 'V j f i- f . V f» + y* 3/-— 1 y 997. ds = ch — d x ; eos a = eos - 1 ^ a ¿c ch a x sen a = th — . 998. dx = 2a son 4* d i; eos a = sen 4 - ; sen a — e o s • 999, ds = a ¿ ¿ ¿ _______ 3a sen ¿ e o s í c o s a = — c o s í; s e n a = s o n í. 1000. ds = a V l - f (p2 c?cp; 993. ds = — d x : V

cosa= — ; a

eos J3 V i —
. 1001.

V l-f-q > 2 d
ds = -% -

.

1002 .

=

y i+ ; ™ — dtp; se n p = co s 4y- . 1003. ds = a e o s —• senop______ = e o

= r y 1 4 - (ln a ) 2 dep; 1006.

A -= 36.

1007.

( _ « =

y

1

fl2 . 1005. ds — — dtp; sen p = eos 2
son p =

K = — -l r = . 1008. K A = ^ ; K B = \ . 1009. K = 3 1 /2 62 “2 0 3 / 9 _\ I 9 . 1010. IC = — - 7= ea a m b os v é rtice s. 1011. y — 3^. 13 V 13 a V 2 1013.

j .

1015. ñ = í ^ ± ü 2 .

1016.

= |r y r + F | . 1019. R = 1023

' ( ~ T * ; T a)-

R=

a464

3 — a sen 2í

1024*

1014. H - | W +

6a:

^4 a c o s f \ .

+ ( y — 3 )2 = 8. 1026. />Y2 = ^ 2

R=

.

1017.

1020.

R = \at\.

i?mIn = |p|.

<^— 3)a+ ( i / — - § - ) 2= 4 “ -

1018.

1^22. 1025'

y

A. R=

(2;

2).

< * + 2> * +

( X — p ) 3 (p a rá b ola sem i cú b ica ). 1027. ( a X ) 3 +

4

-¡-(6 y > 3 = c 3

donde c « = « 2 - & 2 .

C a p ítu lo IV E n la s s o lu c io n e s d e esto ap a rtad o, para s im p lific a r , se o m ite la con stante a r b itra r ia a d ic io n a l C .

1031 . A 02*7. 1032. 2 * 3 + 4 * 2 + 3 * . 1033. ~

+ {a + 3&) — + - ^ ~ • 1034. a2* + 71—

abx4 , ¿»2a:7 . + - 2 1 7 - ^ a V o

1035.

+ -1 a V 7

2o: .. V 2 px. o

_ 4 o

Í039.

1

n 1036. nx n

2*2 y

o:

*.

í

,

■ 1037. V n x .

1040.

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1038. a2* 3a:2 5 / a:

13

7

444

Soluciones

. e r ,

m

,

2 « i/S _ 4 « j+

2x3 -| -4 x T /a x — 2x2-|------- — = . 5 y az

1043. — — a r c t g — — . 1044. ------ ™ ln y 7 5 y 7 2 i/io

1045. ln (x + V 4 V * * ) . 1046. arcsen ~ 1048*.

a) t g x — x .

Indicación. 1050.

Indicación.

P on er

t g 2 x = se c2 x — 1;

b)

a ln

R e s o l u c i ó n

n— x

*0

x — th x .

b) x — c t h x .

cP

1051.

|* + y

ln ( x - f V x a + 2).

P oner th2 x = l --------¡4 — . 1040. a) — c t g x — x ;

<3*)* ln 3 - f 1 '

— a jj ^

- . 1047. arcsen

T—Vio - 7= -

\ — ~—

¿

a—x

dx —

— — a I 11 1a — x |+ q ln C = a ln

^

Resolución. 2x+3 4 , 2

D iv id ie n d o

2T + T = 1 + 2 l + T '

el

De

+ S

C 1 1052. * + l n | 2 * + l |. a— x | n u m erad or >or el d e n o m in a d o r o b te n e m o s f 2x + 3 , f > , f 2*/*

d0nde

+

) 2 ^ í á l = r

>«53.

í + J

W

| - * + i l ] n | 3 + 2*|.

= I +

105'..

— y - l n |a + 6 * |. 1055. y * + y ^ l n | o - . * + f5|. 1056. ^ - + x + 2 ln | * - 1 |. 1057. í f + 2 * + l n | * + 3 [ . 1058. - ^ - + ^ - + x ^ + 2 x + Z ]n I * — 1 1. 1059. « * * + ¿j ‘I O

+ 2ob ln I x — a I 1 1 f

xdx

f

1060.

x—a

(* + !)-!

J (* + 1)3

J

1062.

V ( '¿ - 6 x ) 3 .

ln |x 1-1 |-f

dx

dx

1061.

(* + 1)3 ” - j Sz A+ 1 - S ¿ ( * + 1)2 1063. V x ^ + i .

= 4 1 /1

ln

.* 1 / 7 - 2 1 / 2

1067.

* 1 /7 + 2 1 /2

1068. x — V 2 a re tg

1069 V2

y

•

1074. ^ a r c t g

.

i 073.

( j / - í *

]n |*2 — 5 |. 1078. y i n

1080. ^ arcsen y

ln

1

= a r c tg 1 /1 5 _ ( i / i ) y a -\ -b + x y a — b I

Y a b — x~\/ a — ó ] 2 Y a 2 — b* x 2 . a2 1070. * — ln a 3 - * 3 | ) .

— L— l n ( 2 V 2 * + l / 7 + 8*3). 2 y2 * V 3 — 1 /2 iln | 3 * 2 _ 2 = lu * 1 /3 + 1 /2 2 1 /6 1075.

(5j;2 + 7 ).

+ - p = - l n ( * V 5 + 1 / 5 * 2 + 1). 1077. y

x dx ^ —7 y x 2+ i

1071.

ln ( * 3 + 4 ) + a r c t g y

1 1072. ^ 7= arcsen ( * 1 /5

- (

- 2 6 1/ 1 - ! / .

Resolución.

1065.

1066.

Indicación.

1 x -f-1

1076.

y

1 /5 * 2 + 1 +

y * 2 -4 + 3 1 n l* + l/* 3 -4 .|

(2*2 + 3). 1079. ^

l n ( « 2*2 + ¿,2) + i a r c tg y

.

. 1081. ^ a r c t g * 3 .1 0 8 2 . g I n | * 3 + y * « ^ T |. 1083. | l / ( a r c s e n * )* .

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445

Soluciones

( arctg . 1085 . 1 ln ( 1 + 4 * 2 ) - V ( a r c t g 2 * ) 3 _ 108{,_ 2 y l ü (a.+ y 1+a.2).

1084.

1 1088. - g - ¿ 4 42" 3:c-

1087.

2x a a -y « “ + 2 s-

,0 8 f - « ' + « "'•

2*

- 4 2*

3

1

* . 1 0 3 1 . -jln a —^ -lnr -6r Ví - bx S — +ax )) - 2 z . 1092. -l np aM\ 3 y 2 + a

2 /) .

i 1093.

-

1094.

2 ln 7

2*x2+ 1 ' 1097. In |«* — 1 |.

7x2.

1095.

2 y ( a - b e x )3. Sh

1098.

~ e x.

,090.

3a , a 1099. y - ^ a + i ) .

1100. -5

Indicación. H 01.

a rctg (* “ ).

1102.

1104.

co s ( a + 5 x).

1105.

2* + 3 ^ 3 V bx 1+e 1 ln 1103. 2b i-e-b x x " 1 /2 s e n — — . 1106. x son 2x

1107. 2 san ~\/x. 1108. — ln 1 0 -c o s (Ig x ). 1109. í sen 2 x 1 . Poner sen2 x = -£ - (1 — co s 2x). 1110, -g —f 4 in d ic a c ió n a l p roblem a 1109. 1113.

a ln

*s£| -

1114, S l n |t g ( T ’ + T ) | *

1116. | t g ( * 2 ) . 1117.

1112.

1115- T

sen

a— b

2a

co s 2ax.

V é a s e la

- - - ---—

x.

ax + 6 2 ln'|tg

i c o s ( l - * 2). 1118. * ~ ~ c t g s : 1 / 2 - V 2 1 n

1119. — ln|cosx|. 1120. ln js e n x ). 1121. (a — b)ln

aresen**.

Indicación.

Indicación.

1111. — t g ( « x + 5).

2X + S ) *

x y i t g -f-

. 1122.5 ln sen

1 1123. — 2 ln |c o s l / x |. 1124. \ ln |sen ( * 2 + 1 ) [. 1125. ln |t g * 1 .1126. £ sen 2 - . 2¿t A Q 1127. 1130.

■se” 4.6* . 24 —

1128.

V eos 2 x .

1133. - j - y i g 5 * .

ln | t h x | .

2

1131.

1134.

ax 1_ 1136. — ^ ln |tg a 2 3 sh 5x. 1139. 1142,

— T-----“ 7------ . 4a sen*1 ax

1129.

— i - ln (3 + c o s 3 * ).

1/(1 + 3 eos2 x)3.

„3 2 . + , g + .

-

)

1 . 1137.

sh 2x.

1143. l n c h x .

1140.

“ “ ■ T Í ^ + s r a r ) 2 ln |ó — a c t g 3 x |. 1138. g c h S x —

ln

1144. In | s h x | «

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th T

.

1145,

1141. 2 a rctg ex % — 7^>

12

— x2)ñ-

446

Soluciones

U 46. 4 -I n | * « — 4 * + l| . 4 1149.

]

/

1147.

ar c l g ( a

4 V5

- a rctg ~ . yb

l n ( z V 3 - } - V 2 + 3 a : 2).

— 7T" + a? — 2 ln | « + 1 1z

1151.

1153. 1 + n l s e c 3 * + t g 3 x | + ~ g j ) .

1152.

1154. —

.

1159. 4 - arcsen ( i 2). 1160. — tg z o

1162. a r c s e n ^ — -

1163.

a ln | tg

|•

1165. «—2 ln |e o s ~\/'x^\ |. 1166. 4 r ^ I tg 4 r I + a rctg x .

J

1168.

-

1155. l n | t g * + -iaacnx 1157. — a . . 1161.

i

1164.

«se»8 * .

ii7 3 .

1175. -y _*

1167- *a r c tg * + Í B ! í 1 + f?> + 4

,7 8 .

“

a rcs e n f J ^ + y 4 l T 3 r 3 . * 1 / 3 _____

arctg s |

¿ c < )s ( ^ + L _

1186. — ^ ln ilife 4 1 /5 I 1 / 5 — se n 2x

J

$

1188* j V U n l H V l + ^ I 3-

1100. - j - l ^ - 3 t h x . 1191. a)

ln |a: |+ 2 a rctg x .

1174. z - l n ( l + á*).

• **83. - 2 c t g 2 s .

1185. ln ( s e c x + V s c c 2 x + 1 ) .

1187. ^ L a r c t g ( ^ | ) .

-2 a :

. 1176. ln (e* + V ¿ 2 * _ 2 ) . 1177. i l n } t g a z |.

U 8 2 , ~ arcsen ( ^ ^ )

— ~\Z\— x*.

c) ^

/

— sen_£ z

- ^ - ^ ( l + ln a ) 4.

1171. 1172.

z

1169. V 2 1 n | t g _ ^

— ln |sen x + eo s x |.

—

ln |2 + co s x |.

. m

— ~ e~x t. ¿ 1150.

%==' - y ex

______________________________ + V tg * «-2 | . 1156. V 2 a rctg ( « V 2 ) - — 1158. l 3 * E B 2 L . z

1148.

1180.

á r c e o s c u a n d o x > "|/2.

V í ^ + l ) 3— 2 V ^ + l i

e)

se n 2 x + 2 eos2 x

b)

- i - s h (a * + 3 ) . — ln (1 + í?-*);

ln (sen a: + ~\/i + sen2 x )

2 ( i ^ _ | + 2 V 5 - 2i » l i + y i | ) . 1194. ln

l / 2 x -\ -i — 1

. 1195. 2 a r c t g 'l / e I — í . 1196. ln i — ln 2 1 n | ln z - f 2 l n 2 1-

" 1 /2 Í + Í + 1

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Soluciones

1197.

.( « r a e n s ) 3 _ O

1200. ln

, 198. | { e* _ 2 ) Y ^ + l . O

X — í + y x 2+ i

+ ^ arcsen x.

447

1199.

(eos* s — 5) l / c o s x.

o

. I » d i c a e i ó n . P o n e r x = 4 " . 1201. — — V i — x 2- f t 2

1202. — - g - l / ‘¿ — x 2 — ~ j / 2 — x 2. 1203.

1 / i \ 1204. árceos — , s i x > 0, y árceos ( — - j ,

y x 2“ f l 2 _ a árceos - .

s i x < 0 *).

Indicación.

P on er

x = ~ . 1205. V Í a + T — ln I Ü K f Ü l . 1 2 0 6 . --------------------- . í K | x 4x Observación. En lu gar de la su stitu ción trig o n o m é trica so puedo u tiliz a r

la

su stitu ció n

x = -i-. Z

1207.

1208. 2 aresen y x .

1210. ~

1212. x a rctg x —-

ln (1 -j- x 2). 1213. x aresen x~j- y i — x 2. 1214. sen x — x c o s x .

«oie;

x sen 3 x ^

\/x2 — a2-\—

- í - ~l/l— x P + - ^ - aresen x. ¿t
l n | x + ^ / x * — a2 I. 1211. x l n x — x.

t cos3x f

-

x+ l .

fi3» 1218. - g y - (9 x2 — 6 x -f-2 ).

eX

Resolución.

i9i7

xln2 + l 2 * ln 2 2 '

.

En lu gar do in tegrar

rep etid a

m ente p o r partes, se puedo om plear ei sig u ie n te p ro ce d im ie n to de c o e fic ie n te s in d eterm in a d os *2*3* dx = ( A x 2 + B x + C) e3* o , después do d eriva r, x 2e3x = ( A x 2 + B x + C ) Ze3X + (2 A x + B ) e3X. j

S im p lifica n d o p o r e3X o igu alan do entre s í lo s c o e ficie n te s que fig u ra n con las m ism as p oten cia s de x, ob ten em os: 1 = 3 /4 ; de d o n d e

Q = 3B + 2 A ;

0 = 3C + Z?,

1 2 2 C A = ~ ; B = — — ; C = — , En la form a gen eral \ i 5* (x ) c
=
V éase e l p ro b lem a 1218*. 1220. — 3* V éase

ol

problem a

2x2 4 - 1 0 x + l l „ . 2x + 5 0 1222. ------ ! ;— ■— ■sen 2x H-------— c o s 2x

4

4

1218*.

1221.

3 ( x * + 9 x 2 + 54x + 162). —

, i • j / Indicación,

m ien d a u t iliz a r e l m é to d o de ios co e ficie n te s

f e _|_s e n 2 x ^ o rr . T am bién so reco4

in d eterm in a d os en la

form a

P n (x ) co s flx dx = Qn (x ) co s p x + R n (x ) sen Px,

*) En l o su ce s iv o , en ca sos a n á lo g o s, se in d icará a v eces una respuesta uc corresp on d a sola m en te a una parte cu aiqu iora d e l cam po de existencia e la fu n ció n su b in teg ra l.

3

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448

Soluciones

don d o P n ( z) o» el p o lin o m io dado de grado n y Qn ( x) y R n ( x) son unos p o lin o m io s de grado n co n coeficien tes in determ in ados (véase e l problem a 1218*). 1223. - ^ - l n x — 4 r * . 1224. x ln ^ x — 2 x l n x + 2x. 1225. — — ~ . 3 9 2x¿ 4a:2 1226.

2 y i ln x — 4 l / x .

1227.

- í l d - L a rctg x - - | - .

— y arcsen x - \ - ^ ~[/l — x 2.

1229.

1228.

arcsen x —

x hi (z-\- "| /l - f x 2) — ~Y \ + a:2.

, . . . . . OOJ a: . . . 1230. — x c t g x ^ - l n |sen x |. ^ 2 3 1 .--------------(- ln sena: i oo-j 3*
a:

1232. e*
2 {a sen bx — b co s bx) «2 + b2

37

1 ^ " 3C ,

1235. -g -| s e n (ln z ) — c o s ( l n x ) | . 1 2 3 C .------ ^ - { x ü + l ) . \ x 2+ 3iCJ

± — 1 2 4 0 .-— X

x 3 x 2

- = - ^ - — . X X (9 x 3 + 1 ) .

1244.

1241.

*239.

fin (ln x ) — i| •ln z ,

1243.

x

.

j

P on ien d o ,

06 (!0Hd°

1

/

5

H b s o ,„_ > obten em os du = dx y v — —^ ar

,

f

dx

J

l^ + T jr

2 (x 2 + l )

+

i

2 (x 2 + l )

tenem os ^

x _ _

2 (x*+l)

¿4

x 2 rfx = x

+

Em

l / a 2 — x 2 + ^ ~ arcsen — , ¿J

( l

u = ~\Za2—x 2 y dv — dx\ de don d e d u = —

— ^ ^ - d x = :x l / f l 2-— x 2— t J y ü2 _ x 3 ^ J

x dx V a 2- * 2

— x 2— ^ — ===z==?=x y a 2— x 2 — ~}/a2 — x2 d x -}-q2 £ . 4 ' J y a2— x 2

siguiente, 2 ^ ’ / a ^ — x 2 dx = x ' ) / a 2 — x 2-\-a2 arcsen consi d— — ln J x + V ^ + x 2 1.

-

(ia r c tg A + _ £ _ r ) . I n d i c a c i ó n .

pléese la id en tidad 1 s — ■| (x 2 + a 2) — x 2]. 1252.

y y = x;

ln (1 + x*).

^

x 2 dx

Ponem os

— x.

1249. | +

y ^v =

a r c t g x + C. 1251.

1+ x

1247. x t ? 2 x + ¿

1248.

u= x

i —x

1245.-— ------------------ f-

(*

Resolución.

ln

(a rctg x ) t - x a rctg x + 1

1246. - 2 1 / 1 - 1 arcsen

+ ; i » s (2 1 .,)+ 2 x s e ,(2 | n , ) ción.

( ] A — l).

1242. 4 - a r c t g 3 x o

l-l-V l-z a

l5 Ü £ i2 iL _ ^ ..

2e

x 2__ I

x (arcson x )2-|-2 ~ l/l — x 2 arcson z — 2a;.

+ ln

+ j

3* .

1237.

Indicación.

Véase

1254. — í . y g “H x 2_{_.|_ arcsen - i . I n d i c a c i ó n .

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. 1253. y el

P or

y ^ - f x 2+

problem a

1252*.

V éase el problem a 1252*.

Soluciones

1255. - i- a r c t g

1256. y i n

% | . 1257. - 2 — a rctg x+ 2 V il

X ln ( j s —7x4-13)-f-r~T ?a r c tg y

1260.

449

- ^25^- y

O

y

. 1258. 4 x y n

ln (£2 — 4 x + 5 ) + 4 a r c tg (a: — 2 ).

ó

( * « 4 - 3 2 + 4 ) + + a r c t g 2:1 +^ 3 . 1261. s -4 -3 ln (£ 2— 6 x 4 -1 0 ) +

y? + 8 a rctg (a: — 3).

1264.

ln

1266.

—2 V i

+

1

1262.

arcsen

1/2

.

arcsen ( 2 z — 1).

1265.

* + - T T + y * 2+ i> .z + '7

3 l/a :2 — 4 * + 5 . 1267.

arcsen — -~ J - . V5

ln ^ y 5 _ _ A _ + y 5 x 2 — 2 x + l ) .

5ys

1263.

¿ y s r a i p H

1268.

ln 1 + 1 /1 — 2.-2

1269. — arcsen 2 ~ Z . 1270. arcsen — x Y 5 (1 — x ) y 2

( s > l / 2 ) - 1271. — a r c s e n —i - j . * + í

1 2 7 2 . Í ^ y ¿ J + 2 + p > + 2 1 n (z + l + y P + 2 T + 5 ) . 1 2 7 3 .^ — + - | - arcsen ( 2 z — 1). 1275. i - ln 4

£2*—3 £2— 1

1274.

- V 1 - 4 ln £ -

2+ 1 t ~ a rctg

1276.

+ y i + ex +
~ y 2 — * — * 2+ y 3 — son x

ys~ “ *

1278.

1277.

y 3

— ln | c o s £ + 2 +

ln 2 £ - 2 areson ^ ± ~ y s

A ln i

( * — l ) 4 ( * — 4) b | ( V : í )’ I*

1284.

5 z + ln

¿

arcsen 2 z.^~1 ■ ln

(-+ T + 1 1.

y y * » . *+ Í(T£ . -----^ l ) ( £ + 3)3

^

ln

y * -s « +

V e o s - a : + 4 co s a : +

.

1282.

£ + 3 ln |£ — 3 f — 3 ln |£ — 2 |.

1281.

1283.

-

( s + 2)4

1G1 (* -4 ) 6

. 1285.— i+ £

+

(a -1 )» *16

-2 g* 2

11 - ___ — ( £ — 2)a £ - 2 * £—5 30 27 . 1289. h ™ ln 1288. — r -s * x+2 49 ( £ — 5) 49 ( £ + 2 ) 1 343 2 (£ -3 ) 2 (x + l) £—1 x 1 . 1291. £ + ln 1292. a + i - l n 1290. £+ 1 2 (£ 2— 3 a r + 2 )2 y ^ + i

+

H

A

l * 1286' T * + ¿ ln

- 4 -a r c tg z .

+ ¿

1293.

~

a r c t g (a :+ 2 )- i m - 7

4287

(2 £ — l ) * ( 2 * + l ) 9

i_ ln | ar— 3 |— 4 ln | x — 1 1+ 4 ln (®2 + 4a; + 5) + 65 20 ln ¿ f e v i ” +

a r c tg

20-1016

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y

1 ' 1295' 4 - ¡ / 2 X

S olucion es

450

1 ^ x2+ x + l 1/2 - + * y g + « . . ^ i4g- a rctg 1 — j 2 ‘ 1296. 4 x 2- x + l x 2- * 1 / 2 + 1 1 t as*— 1 a rctg x 2*— 1 1297. 1298. 2 ( l + x 2) ' 2 2{x*+ 2 x+ 2) + -J y s g r ¡ 7 f 5 2x+l x+2 + a rctg (x + l). 1299. ]n | x + 1 |+ Q -p -— H ---------- ^ a r c tg e x i.

X

v

3 ( x 2+ x + i )

3y g

G

j/3

|-4 - ln ( * 2 — 4 * +• 5) + - y - a rctg ( x - 2 ) . a.2_Lr i ) (* «+ ! ) • +

« O l-

« ^

1302.

— — a rctg x

1304.

x—1

ln

=16 a; — 3 x*— 2x + 2

x

2x4+1 — V 5

2 V 5 1308

■

h

— i ' l n | x 7+ l | . X l n [ * * + 1 |+

Indicación.

1315.

x—1

2 ]/J- l

a rctg { x — 1).

ln | x
^ I ^ 2 ( * — 4)2 1 * - 4

1309.

x—2

+ ln

. 1310. J n | x | -

a; — 1

1314.

5x5

3 ( s — 1 )2

*317.

2 a r c tg V J + I T

+ 3 ^ * + 2 V * — 6 1 n
3a:3

1318.

1320.

ln

1325.

*

ln * +■« + *- +

3

(2 — 1 )2

’| /2 * + 3

1323.

* V

1326.

l/* + l

1321. 2 y ; — 2 1 / 2 a rctg j / - J .

1322. — 2 a r c tg V i — a .

i 324.

6 /5 +

(l/í+ T -D * * + 2+

, 2 1 /a + l + l a r c tg — — --------- . V 3 1 /3

X

10a2

1 V ^ - y > / Í 2 + 2 'i / 5 —

— 3 f /" * — 6 y rx — 3 ln 11 + y r x |-|- 6 a rctg y r x , 2

x 3

1316.

[

X [ 2 /( a * + ó ) & — 56y r { á x + W ] '

x

a rctg (* + ! ) — i - a rctg

7 ( x — I ) 1? (as— 1 ) 3

— a r c lg x .

ln |* * — 1 |— y

1312. y

1 4 (s -l)®

4 3 ( 1 + *2)3

P on er 1 =~ (x 7 + l ) — x 7. 1311. ln |x |—

1 5(ar» + l ) ‘

1 9 ( a — 1)®

1313.

L -l x 3+ U

15*5 + 40*3 + 33*

+ 2 ln (x 2 — 2* + 2) +

1307 ,d U /-

2*4 + 1 + V S *» + 1 -L 2 ln a:3 *3

A ln {* * + l ) + T a rctg *. 1303.

x+ l

1 1305. g j ( 8 1 n ! * 3-¡-8| — Jn|a» + 11). 1306. y ln

1 T

ln l* .- f II -

x 4 ( x * — 1)

o

, 15 + _ a rctg*.

1 T

—

2-—

1 (^ -2 )+ y ln

a rctg í + i 3

2x + 3

“1 / 3

23

don d e

* + y iS = I z m

-

V * 2— x + 1 — *g- ln ( 2 x — 1 + 2 1 / x 2— x + l ) ,

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451

Soluciones

1327. _ 8 ± i ^

y r = il.

1328.

-¿ ]„ (* + V T + ^ ).

1329.

1330. 2 (g .^ T )¿ y ^ + 2 i - - 1 —^ x —

1333. •

1 T in

Íf 7* -- *4 V + li ~ \ -

1 , 10 ln

1336.

—

1

¿ ) V

arcsen

.

¿ ^

1331.

- |

arcsen - 1 .

1 1 + ln 1x1 + -| l n -

—l n ^ 1 - y + i ? ) , de don d e i í = V a ; - - x 4 - l . 1332. y

1333.

—

( ¿ +

( z - 1)2 z2+ z + ' l

Y a rctg >

, +

1 /3 5

4+3xs 8

sen3 x .

+1-

i3 3 4 -

2z + l

arctg

1337 .

x (2 + x :i)2/s

^

1338.

V(* f 4 + l)2 .

2 1 — eos x + -3- eos8 a: — g- eos6 x. 3

1339.

Z<=Y1 + * 5 .

donde

ya ’

- , v

( 2 x 2 - 1 ) 1 /1 + x3x3

1340.

sonar — sen3 a:

sen2 x 1 i-e o s » i-e o s » ^ . 1342. 2 4 2 o 2 2 sen2 s . - o/ o 3* sen 2ar . s e n 4 z AOLL x sen 4 x ' — 2 ln | sen x |. 1343. -g ------------- ^-------- (32 1344• Y 32— x sen 4 x . sen3 2x 1345. 1346. “á - I + -r r S C n ^X ~\~'7T S6n ^ a r 48 lo 04 16 64 -

— e“g— 5

.

1341.

1 sen3 Cor. 144

1347.

— ctg * — — 1> * ' » 1330.

1349. 3 2 tg 2 a;

+ 3 ln |t g a:

x [ l n ] t g y

1356. y t g 5 x — x. + Ctgar + ar. xa

.

Y

— - ^ p / c o s i » x.

.

1

1352.

.

1354.

— eos x 4 sen4 x

3 sen 4ar 4 Ti 32 eos2 4a:

1357.

— -Ct^ X — ln |sen x |. ¿

3 y tg 2 y

1361. _ £ l £ í L .

+ tg 3 y 1362.

2 y tg x .

- 3 tg y

V2

~/2

|.

3 eos x 8 sen2 x u

1358. + 3 ln

( 2» + ¿ ) | . — ^ -ctg 3 a;-f«j

+ x.

C0ST

- y y '^ c o s ^ í + y ^ c o s i o x —

1364,

1 2 V 2

a rctg

. 1353. 3 i i í x

COS2y

sen 4a: 16 eo s4 4a:

1363.

1351. i - t g 2 * +

2 ln t e - T

1355.

1359. sen 2x2

tg « + *|* tg 3 x + 4 ^ tg 6 z.

t g * + Í í £ * - 2 c tg 2 * .

+ ln | tg (| + f)| ]

+ Y , n |t g T | -

1360.

1 4 tg 4* x

l 3*8-

. , d on d e z = y t g a \

1365.

ln

z* + z V 2 + l z2- z V H

l

eos Sx . eos 2x 16 29*

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452 sen25x ^

x 3 3 sen — . 1368. — X — sen n r 50 10 5 t> b ¿ x 1 4 nl?a son 2 a * . x co s 26 . t co s
¿ + tp) X c o s - s - — - c o s a : . 1369. — -------- (--------s----- . 1370. — z-*---------------- — . 4a 3 2 4co sen x . son 5a: sen 7x 1 1 COS 4a:— — co s 2a:. 1372. -777- eos Ga; 1371. w ~ 18 24 10 o i 366.

sen 5a:

1367.

2+ tg | 1374.

1373. -£■ ln

,3 7 5 '

2- t g - f -

—

x [g — — 5 1376.

— z + t g a :+ s e c :r .

1377.

ln

137S .

a r c tg ( l — t g - í - j .

tg | — 3 12 1379. - ~ r x — lo + 2 c o s a: = a 3 a + 2 {5 = 2

5 7^ -ln 12 son x -f-3 eos .r |. Solución. P on em os 3 se n a : + lo (2 sen a:-{-3 cosa:) + P (2 sen a :-)-3 eos x ) \ De donde 2 a — 3(3 = 3, 12 5 y, por con sig u ien te, a = — , (3 = ~ T T ' Tenem os

0 3 son x + 2 co s x _ J 2 sen x + 3 co s a: ^ X ln |2 s o n s + 3 cosa: (. Indicación. 1382 . —

12 F . 13 j ^ 1380.

D iv id ir

arct g ^

_5P 13 j

el

(2 sen 3 co s s ) ' 2 sen a:+ 3 co s a:

— ln |co s a:— son x |. num erador

igx j t

y

ei

i 2 ^ ____5_ 13 X 13

_ 31

1381.

- i arctR ( " % ” ) '

den om in ador

indicación.

por

eos2 a:.

V éase o l problem a

1381.

y 15 1 /5

1

1383.

ln

y i3

Indicación. Véaso e l problem a 2 tg x + 3 + V í3 t g a: — 5 Indicación. Véase el problem a 1381. ln tg x

1381.

1384.

1885.

. —; 2 ( 1 — e o s x )2

1388.

4

y

2 tg g + 3 — V l3

1 — son a;

Indicación.

1386. In {1 + s o n 2 x ), 1387.

1389.

2

t ^ =- a rctg -

y§

T

" 1

1 /3

U tiliza r la identidad

2

1

"1/ 2 + sen 2a:

y2

y 2 — sen 2a; 3 tg T - l

- a rctg 1 /2

(2 — sen a:) ( 3 — sen a:)

2 1 /2 1 2 — sena:

tg 3 — sen a;

identidad

Indicación.

. 1390. — s + 2 1n

U tiliz a r

la

tg y + 1 1 — sena; + co s a: 1 + s o n x — eos x ~

. ,

2________ 1 + sen cc— eos x '

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1391.

ch 8 x

ch x .

453

Soluciones

,3 9 2 . 1395.

+ ln

1398.

th f

3 — cth x

,3 9 3 .

¿ S J i.

,394.

1396. — 2 cth 2 x . 1397. c h x -------------rf x 5— . 1399. a r c t g (th a ;).

- f

+

^

)n (ch x ) — 1400.

tb ~ X 2 2 — p -X

ó

xarctg( —

y

— ) ( óITI- a r c t g v § ) ) '

Indicación.

U tiliz a r

la

1402. ~ ^ l n ( y 2 c h x - f V c h 2 S ) .

1406.

1407.

1405. - J y S + i a — y

1409.

1408.

y ^ + ~ x - ~ ln |2 s + l +

y ¿ * _ f e — 7— ■ 8 ln | * _ 3 + y * a ^ 6 * ~ 7 | .

^ ( 2 z + l ) (8** + 8 » + l í ) y * « + « ^ l + ^

1411.

2 | /£ = | .

1412.

* -i

------- ~ ~ 1— —

4y^ _2x +

1414. - J — ln | -V l ± 5 H .^ 2 y ¿ \ y i+ X 2 - x y 2 1416.

y^x3 +

m m

'

x ( 2- scn Z* + CQS-2* - 4 s0? 4 j J — s e n * ].

1415.

1413.

1423.

x (* + y r + ^ )~ 2 y M X á r c e o s ( 5 * — 2 ) — 5- ^ ^

- i * , a rctg

y2

1 4t8

i

_

_

1417.

1420.

1419

4 -[* («e n * + 1422.

^ i n ( í + y r + ^ ) + 2* . 1426.

1425. ^

+ ( 2 zí— 3 ) 7 n- , J ;

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_ £ x

c o s * )-

x -ln < 2 + « “ +

i - | ^ *si0 J ± 2 + i n ( i _ * « ) + * » J . 1424.

y » ,-T b » = 3 .

•• .

— g c o s 3 s __^

* * _ ( 2 _ sea 2 s _ c o s ^

C0S-4f ) .

*

y i —

f% L {x*-2 x*+ 5 x*-5 x+ l-). 2 V

1421. — f + T in 1e“ _ 1 l + T ÍQ < * * + 2).

+ 2 y * a * + * + l).

1427. / „ =

.

.

5

ln ( 2 * + H - 2 V * * + í + l ) .

^ _ s c n 6 z 4 - -| -c o s 6 x — i - s e n 6 x ^ .

+ Su > 3 x + x c o s * _

ln ( * +

y * 2— 2 x - j - 2 - f - y ln ( a — 1 + V * * — 2 * + 2 ) .

i —

1410.

r

y-

__ | —;----------¡--------s sh x + ch x, sh a : — cha:

1403. - ^ ± i _ y 3 - 2 s — x2-|-2 aresen

JLy— i-ilnlx + y — tl

+ 2 y ^ + »| .

,/‘ 01-

id en tid a d

1404. ~ y 2 + i 5 + !n (.* + 1 / 2 + ^ ) . + V 9 + Í2 ).

5

(

y

*Ia *X ~

x

x ch , - c os x sh_, _ _ (j5 q r p +

454

Solucion es

eosx sen *"1 X , n — 4 b 3a: eos a: sen3 x * Jl-2> ' 4 ----- TT" n 1 /* 8 4 . e o sx sen4 s 4 _ . 8 . /o n _ Í 6 = ------------- 5------------- i s c o » « 8 e n * » - j 5 c o » « . 1429. / „ = — _

.

.

n — 2

_

s e n a:

¡

1

ñ"— i n~^’ Jy = 2 ^ ^ 1430. I n = — x xe - « +

/

1431. - ~ r = - a r c t g

— 4 a rctg ( * — 1).

1433.

S

■

3

i ) ■

1442. l n ( * + i - + y ± 2+ x + l ) 1445. 1447.

y 4x2— i x y i ln | x +

Im

I-

T

1440. _ ± _ _

-2

+ 1 1 /2

X arcsen

■

1450.

*+ 4

— 5 .i - . V **+ l

■

2

+

J

T T T - T T F ■ ,4 3 6 - T *

Í ^

+ ^

_

^

f

Indicación.

(| /—

-

J -,4 ~

+ *

3

* - l ) 2- 4 ] n ( l + { / 5 ^ ) ~ l£ ? . 14 4 9 . 4 * a r ° s e n X

r

l + x2 1/ 4 =

i-ln »

¿

5 2 - 2

*

— x 2+ 4 x

1452. | _ y ¿ 2 _ 9 _ | ln |± + y * s ¡ — 9 j. arcsen (8 x — 1).

)

****•

¿ 1451.

r

— L -------- 4 * 3 x l/x

14U _

. 144 8.— 4 " i / ?

y x 2— 1 X

7Z=r-

1432. ln y ± 2 _ 2 * + 2 -

. 1443. 1 / 2 5 —

.

y í2 Z T í|

.

s q u x

1439- 4 " 5 t 1 í + i ^ + t

,4 4 0 . W 8 ± a y : j 1— 2 y X

y 3

-

ln ( * 2 + * + y ) + i - a r c t g (2* + 1 ) .

i4 3 7 -

,43S- T ( r ^ ! + 1 ° - S r l ) 3 1 /3

_

.

£ ~ 1)8 + j

<435'

x ( ta | - ¡ ^ r | - 4

I

n \

sena:

+ Y Inr s l T + T j | ; / 4 = 3 eos3 5 "3 ® x ' / j0 = - < r * (±10 + 10*9 + 1 0 -9 * 8 + . . . + 1 0 - 9 - 8 . . .

. . . 2 j: + 1 0 -9 . . . 1).

, 4 3 i T >“ /

.

x

3 sen 2:c 16

j

I

1 _

x

8 1 /3

= i- ( — — ] . 4 \x x+ 4 / 1453. — (8 ± — 1 )X

1454.

_______________ x _______________

In

2x + 2 + 2 y * 2+ x + l ,4 0 0 .

< * + * + * > y * + * + 2

+ y * * + 2 » + 2).

1456.

-V *a x

1

_

£ + i ) V ,-? T S T -2 _ | , M , +

¿xá

1458. - i - l n | « - I |+ i - l n ( z 2 + z + l ) - ~ g = Ü

± f l .

1459. i - i n { * í + y r + r 4 ) .

y y i ^ —i

. 1457. i - l n 3 a rctg 1460.

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V i -* 3 + 1 ,

3* 8

1 +

■ sen 2* 1 4

don d e

s

• se* 4* 1 32

Soluciones

1462.

1461. ln |t g x |— c t g 2 z — — c t g 4 x. 1463. X ln

tg

5x

,4 6 5 .

T

3 É i +

tg 6 x ,

1466.

1469.

—4 = "1/10 1

-f-s e c x I—

a r c tg ( 1. v 1 /4 0 /

¿

1

T .

, ^ a rctg —

~

3 X 40

t g2 ( ~ +

T w

" 1 -

lrl I t S a; + z

1 í ^ 2 — a rctg I — ~ 1/2 \ 1 /2

2 -f- V t g 2 x + 4 t g x - f l |. 1474. — ln (son o x - f 'l / ' a 24~sen2 a x )

* 3

1476.

*2X ~ _ ( 2 x — 1).

1478.

2^— 12

18

i

1467.

a rctg (2 tg * + 1). 1471.

1475. -* -x tg 3 x-f-*i- ln| c o s 3 x |. 1477.

-

f( * Í T 2 2 1 1472. — ~ a rctg I — — I 1 /3 V V 3 /

cosecx.

1473. ln | tg x

1470.

3 co s 52 40 sen2 52

se n 2 2 .

1468.

+ - 2I ) + 2 1 n | c o s ( | + £ ) | .

2 V ( c t g i )3

ctg x

c o s 5x 20 sen4 52

1464.

(e o s 2 2 — 6) y 'c o s '5* x .

iz

455

x2

x son 2x

8

4

t-3 r_____ 1 — ln y 1 — x — l n |x — 4 | —

1479.

. 1480. l / l + x 2 a r c t g x — ln ( x + l / l + x - ) .

5x 1 sen 10

1 2 sen | .

1482.

^ T q ~ T .

1484 . i í ^ f . . 1485.

— 2 c h y i — x.

+ ln |sh s ¡.

~

Z

1488.

co s 2x

148G.

1483.

ln 11 + c tg x | — c tg x.

A ln ch 2*.

1487.

O

— ~ + - ^ ln |e * - 2 1 .

1481. - ~ s e n y - ~

1489.

-a :e t h s +

i - a rctg

■ 10-2*

1490. 1 V ( í * + Í ) 7 -

- Í y ( a * + l ) ¿ . 1491. —

x

-

&

y i+ z a

* - . x

1495.

X

-)-3 x eos 5x + - ^ - c o s 5 x — g - s e n 5 x ^ .

1500.

1492.

2 ln 10 -

y « * + i+ i

1496. ~ ( c o s ln x + s o n ln x )

+ | l n ( 2 * 2 + 6x + 5 ) - - l ]

.

1493. 2 y e* + l + l n

x ( ** — ! + - H Ó + 2 l á 10 ) ' ln I10 1494. ln

ln

1 ( * * a r c B« i i . + ^ ¿ 2 - j / Í S = T ) ■ 4 \ x o / 1 / 9 1497. -g- I — x 2 cos 5 x + — x sen 5x + 1498.

£ (x 2— 2) a rctg (2x + 3) +

1499 . 4 - V x — x 2 + ^ x — — j arcsen 1 /x .

x |x

2

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456

Soluciones

C a p itu lo V T2 1501. b — a.

1502.

1503. 3. 1504.

OlQ 1 ^ — . 1505. 156. I n d i -

c a e i ó n. D iv id im o s e l segm ento del ejo O X , desde s = l hasta x = 5, on partes ta le s, que la s a b scisas do lo s pu ntos de d iv is ió n form en una p ro g resión goom étrica: x 0 = \, x x = x 0q, * 2=x
Véase e l p rob lem a

U t i l i z a r l a fó rm u la

sen a

1505.

x n = x (jqn.

1507. 1 — c o s z .

1506.

Indicación.

+ sen 2 a -f ... 4-sen / i a = —-—

fe o s

4r —c o s x

2 son-2 -1 x ( " + t ) » ] * -1 /1 + ^ .

1508‘

«

í

—

E í ; 2> § = ¿ -

1511. 2 a * -* 4- e " * 2.

1512.

^

,509‘

^ Í Í r+ 4rC O s4r. 2 y x *2 *2

l n *-

151°-

1513.

* =

= « ji( n = l t 2 ,3 , . . . ) . 1514. ln 2 .1 5 1 5 . — 1*. 1516. e * - e " * = 2 sh * . 1517. s o n * . 1518. - j - K e s ° l u c i ( i n - L a su^ a Sn==~7fi + ■ " • + ■ « » + n -~

j

+•••+ n

(4 ^

puede con siderarse com o suma in te g ra l para la fu n ción l

f { x ) = x en e l segm en to

[0, 1J. P o r esto,

I ¡m s n =

[ xdx =

n ~ > c o

Resolución.

1

4

ó" 4

. — 1 * *+ l

L a suma

1

--.-4

\

— \ se

,

1 « 4 -2

1 ,_____ j ____ 1______ 1 / n+ n ~ * I 1 + ±

puode con sid era r c o m o

suma

fu n ció n

en

tienen la fo rm a

e l segm en to [0, 1],

=

(A = l , 2,

don d e

lo s

« ). P or esto,

^

1525.

in tegral para

la

1 + 4* / )

i + 4n

= ln 2 .

1510. In 2.

A

1520.

— a rctg 2 = a rctg i . 7

y

iiin

s„=

n~>oo

1521. 1526.

pu ntos

j .

1522.

Iq - | - f^27. l n 1530. ln

- 2 - . 1535. - | l n í i j ¿ § . 1536.

1 2 2 = 3 3 1523.

do d iv is ió n

\’ - r ^ T J

~ .

l - h *

1524.

. 1 5 2 8 . 3 5 ¿ - 3 2 l n 3. 1529. a r c t g 3 —

1531. ~ . 1532. 1 15

2 _ . 1533. - 5 - . 1534. -]/3 4

1537- T ‘ 1538‘ l n 2 ‘ 1539’ 1 “ c o s 1 ,

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457

Soluciones

1540.

0.

1541.

*

1544.

t h ( I n 3) — th

¿t

si p < l .

ar ct g ^ —

1543- s h l = y

(ln 2) = - g - • 1545. —

g e n te . 1548. j— ^ , s i p < l ; 1550.

1542-

( e— 7 ) •

sh 2rc. 1546. 2. 1547. E s d iv e r-

es d iv e rg e n te ,

si

p>l.

1549. Es divergen te.

1551. Es d iv erg en te. 1552. 1. 1553. — , si p > t ; es d iv erg en te, P~~~ t 1554. n . 1555. -~ j= • 1550. y 5

1558.

j ^ 2 « 1559.

1563.

1564.

Es d iv e rg en te i-+ i-ln 3 .

Es

d iv erg en te.

1500.

1557.

Es

divergen te.

, 1561. E s d iverg en te. 1562. -i- .

1565.

1566. Es divergen te.

1567. Es

con v erg en te. 1568. E s d iv erg en te. 1569. Es con v erg en te. 1570. Es con v er gente. 1571. E s co n v e rg e n te , 1572. Es divorgorite. 1573. Es co n v erg en to.

1574 .

Indicación.

0 (p , £ ) = \ / (x ) dx-\i)

X {1 — les

/ (a;) d x, donde f ( x ) = xV~l X t

c o m o lim / ( x ) x 1~'P = 1 y lim (1 — x )1^ f (x) = 1T am bas in tegra.x->0

x-fl

so n con vergen tes cu an do

1— p < l

y 1 — s < l , es d ecir, cu an do p > 0 l

y ? > 0 . 1575.

Indicación.

«»

T (p )= ^ í ¡ ( x ) d x +

0 ^

La prim era

para c u a lq u ie r p.

¡ ( x ) c l x t don d e f [ x ) ^ = i

in te g ra l es con verg en te cu a n d o p > 0 , la sogunda, n 2 2

1576. N o .

1577.

2 *\/l jj l/ t d t. 1578.

jj r ^ = = =

= .

T InS

1579.

c»

^ dt. 1580. \ Id 2

dt.

1588. T / 3 - y .

o

x = ( b - a ) i + a.

1582.

4 -2 1 n 3 .

0

1583. 8 -------1 5... 8#v4• . 2 -•4• -« 2V 3

1593.

1581.

1585. ri • 2

-* 4 = . 1586. «----------------------i , • T /5 2 1 / l + aí

1589. 4 — n . 1590. y

1594.

¿

aw .1587. í f a1

n/ 4

•

l n -112. 1591. l n 7 + ^ l / ^ , 1592. y + ^ - -

1599. - £ — 1. 1600. 1. 1601. — ¿

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o

■ 1602. i - ( e * , ) - ! ) . Z

458

Soluciones

1 6 0 3 .1 .1 6 0 4 .

„ ■ 1605.

- g b. y,-,- • 1606. R e s o l u c i ó n .

r (p -fl)

cx>

=3 jj x ^ e"x dx.

U tiliz a n d o

la

fórm u la do in teg ra ción

o xP = u> e~x dx = dv. D o donde du =

p or partes, pon em os

d x, u = — e~x y co

r (p + i)= [-x p * ^ ]y + j>

J * p -i» -* ¿ * = p r (p ).

(* )

0 Si p es un núm ero natural, u tiliz a n d o la fó rm u la en cuenta, que ro F ( 1) -

(* ) p v eces y teniendo

jj e - * d x = i , 0

obtenem os r (p + i)= p ! 1607.

¡D l=

^ ¿ ¡ T ^ TT ’

si

R==2&

es

UD

n,i m ero

Par-

h k +1

2-4-G . . . 2k . , si n = 2k + l es un num ero impar. 1 .3 -5 . . . ( 2 k + i )

128 315’ 1608.

i,0 ”

, (P_ 1) r tg . . *)>. ^ 1609> 1 B ( 2 + 1 , ( p + $ — 1)1 2 V 2

63n 512' 2+ 1) . 2 ;

Indicación.

Poner

sentar— í. 1610. a) más; b) m enos; c) m ás. I n d i c a c i ó n . D ibu jar la g rá fica de la fu n ció n su bin tegral para lo s v a lores del a rgu m en to en el segm ento do in teg ra ción . 1611. a) el prim ero; b) el seg u n d o; c ) el prim ero. 1612.

4 - - 1 6 1 3 .a .

1618. y < / < y . La

1614. 1 6 1 5 .- f - .

o

fu n ció n

Z

1619.

su bin tegral

32 1623. s = — . 1624. 1. 0 la fu n ció n . 1632. 1638.

1016. 2 arcsen 4 . o

t < / < y ! crece

1617. 2 < / < l / 5 .

1620.

Indicación.

m onótonam en te.

1621.

1

V 2

1 1625. — . I n d i c a c i ó n . T en er en cuenta ol s ig n o de Z

1626. 4 4 - - 1627. 2. 1628. in 2 . 1629. m* ln 3 . 1630. na?. 1631. 12.

-Ip ü . 1

o

1633. 4 y .

1634. 1 0 y .

— 2 = 2 (ch 1 — 1).

I ndicación.

1639.

1635. 4. ab [2 l / 3

1636. y .

— ln (2 +

1637.

V 3 ) ] . 1640.

y —y 3

8

.

mz2.

Véase e i apéndice V I, d ib u jo 27, 1641. 2 a V 1. 1642. - + a2. 3

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Soluciones

1643.

í 5 ji .

459

1644. -¡L !n 3. 1645. 1. 1646. 3rca2. I n d i c a c i ó n .

di c c V I, d ib u jo 23. 1647.

’ I n c ^ * c a c i ^ n - V éase el a pén d ice V I, y ^ n+ ÍA A ó 3

d ib u jo 24. 1648. 2 n - \ - ~ y 6n - A ■ 1649- ¥ n - í J / 1 o ó o 3 -A-jiafc. 1651, 3na*. 1652. ji (ó2-f-2a¿/). 1653. 6m i2. 1654. Para e l la zo, e l parám etro t

varía 3

1657.

28, n/72 o

Indicación.

Indicación.

V éase el apéndice V I,

1656. 8 n 3a2. . 1658. a2.

I n d i c a c i ó n . Véase ol apéndice V I, d ib u jo 30. 11^2 1659. ' - j - , I n d i c a c i ó n . Véase el a pén dice V I, 4

d ib u jo 33. 1660. ~ n . 166Í. 2 +

1650.

entre lo s lím ite s 0 < í < ¿ - f - c o . Véase el

a p én d ice V I , d ib u jo 22. 1655. d ib u jo

Véase el apón-

14

a?. 1662.

3

. 1664. rey 2. In d i c a c i ó n .

1665.1 ( 1 0 V I O - 1 ) . ch*a— sh 2 a = l .

V 2 + ln ( l + V 2 ) .

( V 2 + D _ 1669

t? l n ( 2 + V 3 ) . 1672. A («2 + l ) . oji h -|-a — ¿>= i n _ _ .

1676.

d ib u jo

4 (a° ~ &3).

29. 1677.

las

coord en a d a s polares.

1666. " [ / P ^ 2 . I n d i c a c i ó n .

1667.

+ In

Pasar a

— . 1663. a2 f - ? - + ( t _ e2)J/2 V 3 ^

U tiliz a r

1668.

1 + 1 lfl 3 ¿

la

fórm u la

y T + 1 2— V 2 +

167Q_l n ( e + .l / _

1673. a ln y . 1674. 2a V 3 .

T

1C71>

1675. ] n ~ Z Í +

i aT2.

Indicación.

1678.

16a.

Véase

1679.

el. apéndice

na y í + 4 ^ . f ±

V I,

ln ( 2 * +

+ V l + 4 n 2 ) . 1680. 8a. 1681. 2a l l / 2 - f ln ( l / 2 + l ) ] . 1682. A A + l n 3-± j ^ , w

1683.

a- V 1 + w ’ .1684. /Tí

-l(4 -| -ln 3 ]. Z

1685.

i A L (e 2+ 4 _ e- 2). 1688.A i r 2. 1689. » * = - £ • . vy = 2ir. 1692. Í Ü J 2 Í . n " 3 ( 1 5 - I 6 1 n 2 ) . 1697. 2n 2a3. b) 6n»a*; c ) —

■( 9 * 2 - 1 6 ) .

A ( . 4 S + i t e 5 + az,) . A n a 2 A . 1710.

, 693.

3

1690.

1699.

1702. jggJW ®.

1703.

ux =

J|nft2a. 1701. a) 5n*a»;

A n a3.

1704. A * * 3. 1705.

( 1 -|- A A j .

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J687.

1695. A „ . 1696.

1707. j ^ a 2. J708.

| a 3, 1711. jia* V p 5. 1712.

2.

1691.

1694. A n p ».

1698.

t 706. 2 ^ .

A ^

J S t .1686. oü

ú

A * 02&. 1713.

1709.

A aabe.

460

Soluciones

1714. y

( 1 / 1 7 3 - 1 ) ; ^ n a2 ( 5 - j / 5 - 8 ) .

1715. 2n [ ] / 2 + l n ( 1 / 2 + 1 )]. 1716.

n ( V S - V D + n l n ? O f f t 1) . i 7 i 7 . n [ y g + l n ( l + V 2 ) ] . 1718. y y s+ 1

(e2+

+ « - 2+ 4 ) = y Í ( 2 + sh 2). 1719.

1721.

1720.

- y ( e - 1) (e2 + e + 4).

4 n 2ab. I n d i c a c i ó n . A q u í, y — b ± ~[/a2— x*. T om a n d o el s ig n o m ás, ob te n e m o s la su p e rficie e x te r io r del t o r o , m ien tra s q u e c o n el s ig n o m en os, se ob tien e la s u p e r fic ie in te r io r dol m ism o .

1722. 1) 2nfr2 -}- — — 6

aresen e;

I n í - ^ 4 ; d on d o e = i - ^ ----- — (e x c e n tr ic id a d de la e lip s e ). 1773. i ~~ e o

2) 2na2 + — e

a) - ^ y l ¡ b ) Í6n2fl2; c ) y jio 2. 1724. - y n a 2. 1725. 2 n a2 ( 2 - y l ) . 1726. y 1727. M X = y

V P + 65; j l í y =

1729. Jl/z = M y = y 1731.

2n a2.

1734.

x = j 1 a;

1737. a: = n a;

1732.

y

y ^ + P .

; r = y = y . * = 0;

y = ,~ a .

1738.

x= ^ 0; 0;

Ma ^

M b=

M x = /l/y = y

- 7- 2 + . - ?■- 2 . 4 sh 1 1735.

í/ = -jr * a .

1730.

1728.

1733. x =

y = -| -j .

.

n a 2. .

a2; x = 7 = y -a s e r l a ; a

1736.

Resolución.

a.

7 = 0.

x= y—

.

D iv id im o s

el h e m is fe r io en zonas e sfé rica s elem en ta les, do ároa d o , p o r m e d io de plan os h o riz o n ta le s. T en em os d o = 2 j t a d z t don d o dz o s la a ltu ra do la a 2n J az dz zona. De d on d o z = — 4 — -— = 4 * . P o r s im e tría , x = y = 0. 1739. A la d ista n 2n aa ¿ 3 c ía de — de la a ltu ra , a p a rtir del v é rtice d e l c o n o . S o l u c i ó n . D iv i d im o s e l c o n o on elem en tos, por m o d io de p la n os p a ra lelos a la base. La m asa de cada capa elem en tal será dm¿ = y jip 2 rfz, don d e y» es la d e n sid a d , s, la d ista n cia

d e sd e o l

n [ — De

d on d e

plan o

secan te

hasta ol

v é rtice

del c o n o , p = ~ z .

¿d i

z = -— 4 - n r *

= - ^ - h . 1740.

í 0; 0; V

^ 8

• R ^ s o 1 u c i ó n. 7

P or sim e tría x = y = 0. Para dotorm in ar z t d iv id im o s ol h e m is fe r io e n c a p a s elem en ta les, por m e d io do p lan os p a ra le lo s al p la n o h o r iz o n ta l. La m asa

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Soluciones

461

de u n a de estas capas elem en ta les será drti = y n r^ d z: don d e y es la densi d a d , z, la d ista n cia en tre e l p la n o secante y la base del h em isfe rio y _

r = l/fl2 —

* f ( • * - * • ) * *

3

e l ra d io de la se cció n . T en em os:-z = *—------^----------------- ~ ^ a' na* 3

Í7AU / - n a ® . 1742. / O= | o 5 3 ; / Í, = | fl3&. 1 7 4 3 ./ = ^ M *. 1744. / a ==-i-jtafr3; = - i - n a 36. 1 7 4 5 . / = ■ — en

a n illo s

m on tos

elem en ta les

será

— i?}).

Resolución.

co n cé n trico s .

dm — y 2 n r dr

y

el

La

m asa

m om en to

de

¡D ividim os el a n illo

de

uno

in ercia,

de

estos fía

/ =

ele-

r3 dr Ri

=

(-^2— ^ í ) ; ( y = l)> 17*6. 1 = j Q J('R4H y .

Resolución.

D iv id im os

e l c o n o on u n a serie de tu b os c ilin d r ic o s elem en tales, p a ra lelos al eje dol c o n o . E l v o lu m e n de u n o de estos tu b os elem entales será dV = 2nrh dr, don de r es e l r a d io d e l tu b o (es d ecir, la d ista n cia hasta ol e je del co n o ),

h = H ^1—

Ia altura del tubo; en este caso, el momento de inercia

fí

/ = y j j 2n H

,

dón d e

y

os

la

den sid ad

del

con o.

2

1747.

I = -£ * fría2. R e s o l u c i ó n . D iv id im o s la esfera en una serio de tubos o e le m e n ta le s , cu y o s ejes sean el d iá m e tro d a d o . E l v olu m en elem ental será 1— a En este ca s o , e l m o m e n to

de

in ercia

será:

r2~

« su altura.

^

J = 4 n a Y \ *1/ 1 ~ - — r5 dr =

0

fl2

V

g

— -j=- Jia5y ,

dondo

y

es

la

d en sid ad

/ o = y j i a sY. SB tendrá q u e ¡ — 2

—■_

de la 1748.

esfera, y c o m o la m asa ikf — K = 2nzfl2&;

1S' = 4jx*a&.

1749.

9

/ 4 | p. 1750. a) * = 0, y — — — , I n d i c a c i ó n , 1U o ji

a) x = ^ y = — a\ b ) x ~ y = o

L o s o je s de coord en ad as el =

d iá m e tro y

el

se han e le g id o de ta l form a , que O X co in c id e con o r ig e n de coord en a d a s co n el con tro del c ír c u lo , b) x —

Resolución.

en g en d ra d o

por

ol

g ir o

El

v olu m en

del

cu e rp o ,

que

de un triá n g u lo a lrod ed or

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es un

de su

d o b le co n o

base, es igual

S o lu c io n e s

462

a V= y

nbh*, d o n d o b e s la base y b Ja a ltu ra

del

rem a do C u ld in este m ism o v o lu m e n V = . 2 n x ^r-bk, ¿»

triá n g u lo. P o r el te o d o n d e "x es la distan -

cía desde el ce n tro de g ra ved a d a la b a se. Do don d e * =

¿

1752. - ^ - I n 2g

+

\

• 1753. z = Í ^ s c n c o t;

/

t>cp = — y0.

0 )

- 1 0 « » . 175 5 . , = 4 í n ( ^ ) ; ¿

1751.

7?2¿ / 2. I n d i c a c i ó n .

u0í —

1754.

S=

31

h ^ ^ b í i - ( a - b t l ) la — ^ - . j .

,7 5 6 .

La fuerza elem en ta l (la g ra v ed a d ) es ig u a l a l

p eso del agua on o l v o lu m e n de la capa de esp esor d x , e s d e cir, dF = y n R * d x , d on d o y os e l p eso d e la u n id a d do v olu m en d e l agu a. P o r co n s ig u ie n te , el tra b a jo elem en tal de la fuorza es dA = y n R 2 ( H — x ) d x , don d e ares él n iv e l dol agua. 1757. A = ~ y R W . 175ÍI. A = y n R 3H .

1758. A = 2 Z ~ R * T M a® 0,79-101 = 0 ,79-10’ k g f m.

1760. A — — ~ ~ ; A c o = mgR.

Rosolnción.

La fuerza

1 + 7F Y 71 M

q u e actúa s o b ré o l cu erpo de m asa m, e s ig u a l a F = k —^ ~ , d o n d e r es la d ista n cia hasta ol con tro do la T ierra . C om o para r = R , ten em os q u e F — m g , resu lta k M = g R 2. E l tr a b a jo que se busca tendrá la form a A = ll+h k - ^ - d r = km M ( 7 ^ ~ ~R ^ h ) = ~ ~ J T ' C,,ancl0 /í= = c o « ten em os que 1 + ~R A co = m g R .

1761.

1,8 - 104 e r g io s .

Resolución.

La

fuerza de a cció n

m utua de las ca rg a s será F = = - ^ I d in a s. P o r c o n s ig u ie n te , el tra ba jo n ece sa rio

para trasladar

la ca r g a

e x desdo el p u n to

a l pu nto x 2 será: A =

*a ^ ■ = e o e ! x-

\

M = l , 8 - 1 0 4 o rg . 1762. 4 = 8 0 0 w fn 2 k g f m. R o s o -

*2

/

l u c i ó n . Para e l p roceso is o té rm ic o pi> = />0i>0. E l tra b a jo rea liza d o on la ex p a n sión d o l g a s desde e l v o lu m e n v0 basta el v o lu m e n i>, es ig u a l a vi P d v = p 0v o l n i l i .

-

*>2 p roceso a d ia b á tico

Do dot.de lución.

1763. A

15.000 k g f m .

Resolución.

Para el

vo es v á lid a la le y de P o isso n pu — />o£:y* d o n d e fe <**.1,4.

J - ^ ^ “^ = ^ = T T [ 1—

' 1764, ' 4 = J I,'Hi><,' R o s o -

l>2 Si a es el rad io de la baso d e l á r b o l, la p re sió n s o b re la u n idad

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de s u p e r fic ie

463

p de a p o y o será p = — % • La fuerza de fr o ta m ie n to de un a n illo 3CCL

do anchura d r , que so encuen tro a una distan cia r d e l cen tro, será ig u a l a 2 li P ■■■■ - - r dr. El tr a b a jo de la fu erza de fr o ta m io n to , sobre esto a n illo , durante a' Azi\iP una v u elta co m p le ta es d A = - r2 dr. P o r l o cu al, el tra b a jo to ta l A — a‘ a =

r2 dr = -|- n\xPa> 1765. ~ M R 2co2.

cin é tica de un o lo m o n to es e l e le m e n to

^

-

^ '•> d r =

0 = 2,3 108 k g f m. a la resorv a

La

energía

v~-$— = 2!L.yL da, don d o d
de su p e rficie ; r, su d ista n cia al ojo do g iro ; p, la densidad M Meo2 1 D e esta I ° rm a’ dK = ~2 r2 Do don d e, AT =

su p e rfica l, p ¡=

=

d ol d isco d K

Resolución.

•

176G-

Indicación.

K = ~ M R ^ .

1767.

^ = ^ - ^ 2 =

L a ca n tid a d de tra b a jo n ecesario es igual

do en ergía c in é tic a . 1768. p =

.

o

17G9, P =

6

^

^ ll,3 * 1 0 s 7\ 1770. P = abynh> 1771. P = - ^ — - (com p on en te v e rtica l d ir io 1 g id a de a b a jo hacia a rrib a ). 1772. 533-^- g . 1773. 99,8 ca l. 1774. M — _ f } b p g fcm> i n s . — kAírn^^ ¿

^ e3 ja c o n s tan te g ra v ita to r iá ). 1776. 4 r ~ r .

a \a~Y L)

Resolución.

■]

-

J y -2rtr

|

r d

r ^

25

Q ~ ^ va

—^ P

* Indicación.

D ir ig ir ol

o jo de

o a b scisa s p o r e l la d o m a y o r , in fe r io r , dol re ctá n g u lo , el de orden adas, porpem licu íarm en to a é ste, en su pu nto m e d io . 1778. R e s o l u c i ó n . S — ^2 — ^

p o r otra PartCí ~!ir==a' de ônde d t ^ d v ,

¿i el

—

tiem p o

y

por

con sig u ien te,

t>2 n e ce sa rio

para

ol

-

e m b a la m ie n to

i

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^ ~

= S.

1779.

( > - * ) •

Mx =

™ -

464

Soluciones A

?

Mx c i ó n.

kx ( a t - t y k t d t + A x ^ - g - V * — **). 1781. Q = 0 y\2TRl% c a l. I n d i c a -

ó U tilíce se la lo y de J ou le-L en z.

Capítulo VI 1782. F = - | < * » - * « ) as.

1783.

™

*»■

- < ( b

j3 ^ T

• )-■ }■ • /(*= - * - - * ■

' 1786. / { x , * * ) = . ! + * - * * .

í =

1787. = = ~

+

^

.

1788. / ( z ) = 3 ^ + i f .

I u d i c a c i ó n . R epresentar la fu n ció n dada en la form a f y s u s titu ir ~

por z .

1789.

j (x , y ) = ——

u-\-o * +
+ ( * ? )

2U

V No

argum entos it y p p o r x

) =

Solución.

u—v

/ Í 7

) 2+ ‘

D esign am os

., u4~v u — v , f. f ( Uy v ) = — --------- -

queda más que ca m biar la d e n o m in a ció n de los

o y. 1790. / ( « ) — u2 + 2 a ; z — x — 1 + V y . I n d i c a c i ó n .

En la id en tid a d x = l + / ( V * p o r co n sig u ie n te ,

.

V 4 »*+ 3 (* -» )« .

0 pon em os l / x - ~ - l = u; en ton ces, x = (m + 1)2 y ,

f (u) = u 2 + 2u.

1791. f (y ) — ~\/1 + y*'y z = -

V

y

2.

I^ l Resolución. es

d e cir ,

Cuando x — 1 tenem os

/ {í/) = V l + Z/2.

y z= x j/* 1+

En

este

la id en tid a d 1 / 1 H -y2 = 1 - / ( “ J"") » caso,

/ ( J L j = j / l -f

— V ^ + y 8* í7 92. a) C írcu lo un idad, co n e l ce n tro en

e l origen de coord en adas, in c lu id a la circu n feren cia (x 2 4 - y 2 < 1); b) la b isoctriz y = x , d el I y III á n gu los coord en a d os; c ) sem ip la n o, situ a d o sobre la recta x + y = 0 ( x + y > 0 ) ; d ) fa ja , com pren dida en tre la s rectas y = ± 1, in clu id a s éstas en ( — l < y < l ) ; o) cu ad ra d o, form a d o por lo s seg m en tos de las rectas x — z t i e y = ± 1, in clu id o s sus lados { — 1 < z < 1 , — f) parte del p lan o, adyacente al e je O X y com p ren d id a entre las rectas y = ± . x y in c lu y e n d o esta s rectas y e x clu y e n d o el o r ig e n do coord en a d a s ( — x ^ y ^ x , cu a n d o z > 0 , z < y < — z cu a n d o z < 0 ) ; g ) d os fa jas x > 2 , — 2 < y < 2 y x < ~ 2 . — 2 < . y < 2 ; h ) a n i ll o , co m p re n d id o entre las circu n feren cia s * 2_j_ ^2 -= fl2 y x 2'+ y * = 2a2t in clu id a la fron tera ; i) las fa jas 2n n < z < < ( 2 n + i ) ai, y ^ r O u (2n + l ) n < z < ( 2 a + 2) n , y < 0 , don d e * es u n núm ero en tero; j) la parte del p la n o situ a d a p or en cim a de la parábola z 2 ( * 2 + ¿ / > 0); k) t o d o e l p lan o X O Y ; 1) to d o ol plan o X O Y y a e x ce p ció n d e l o rig e n de coord en a d a s; m ) la parte d el p la n o situada p o r en cim a de la parábola y 2= x y a la derecha del e je O Y , in clu y e n d o lo s pu ntos del eje O Y y e x clu y e n d o

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405

Soluciones

lo s d e la p arábola ( x > 0 , y > ’V x)\ n) t o d o ol p la n o, a e x ce p ció n do los pu ntos de la s rectas x = i c y = 0; o ) la fa m ilia de a n illo s co n cé n trico s x 2 + y 2 < ; n (2/c + 1) (Ar — 0, 1, 2, . . . ) . 1793. a) 1 octantu (in clu y e n d o la fro n te ra ); b) I, T il, V I y V I II o cia n te s (o x clu y o n d o la fron tera); c) un cubo, lim ita d o p o r lo s p la n os x = z l z 1. y = ± r l y z — d r l » in clu id a s sus caras; d) una esfera d e ra d io 1 co n ce n tro en e l o rig e n de coord en a d a s, in clu id a su su p e rficie . 1794. a) U u p lan o; las lín eas de n iv e l so n rectas, paralelas a la recta a H -y = 0; b) un p a r a b o lo id e d o r o v o lu c ió n ; la s líneas de n iv e l son c ír c u lo s c o n c é n tr ic o s cu yo ce n tro está situ a d o cn el origen d e coorden adas; c ) p a r a b o lo id e h ip e r b ó lic o ; la s lín ea s d o n iv e l so n h ip é rb o la s equiláteras; d ) u n c o n o de 2 o ord en ; la s líneas d e n iv o l son h ip é rb o la s equiláteras; c ) c i lin d r o p a r a b ó lic o , cu y a s gen eratrices son paralelas a la recta z + y + i = 0 ; la s líneas de n iv e l son rectas paralólas; f) su p e rficie lateral do una pirám id e cu a d ra n g u la r; las líneas d o n iv e l s o n c o n to rn o s do cu ad rados; g) la s líneas de n iv o l so n parábolas y = Cx-\ h) las líneas de n iv o l son parábolas y — C \/x\ i) la s líneas ao n iv e l so n circu n fe re n cia s C ( x 2 + rj*)=>2x. 1795. a) Parábolas y = C - . r 2 ( C > 0 ) ; b) h ip é rb o la s x y = C ( |C ] < 1); c ) circu n feren cia s z 2+ y 2= C 2; d ) rectas y = a x + C; c ) rectas y = C x ( x ^ 0 ) . 171MS. a) P la n os p a ra le lo s al p la n o x ^ y + z — 0 ; b) esfera s co n cé n trica s c u y o cen tro s o oncuentra en el o rig e n do coord e n a d a s; c ) cu a n d o u > 0 , h ip e r b o lo id e s do r e v o lu ció n de una h o ja a lre d e d o r d el e je O I ; cu a n d o u < 0 , h ip e r b o lo id e s do r e v o lu c ió n d e dos h o ja s , a lre d e d o r d o l m ism o c jo ; am bas fa m ilia s de curvas están d iv id id a s p o r e l c o n o x* + y ,¿— z2 = l) (u = 0 ). 1797. a) 0; b) 0 ; c ) 2; d ) ek\ o) n o e x is te e l lím ite ; f) n o e x is te e l lím ite . I n d i c a c i ó n . En e l p u n to I>) pasar a las co o rd e n a d a s p ola res. En lo s p u n ios e) y f) ex am in a r las v a ria cio n e s de x e y a lo la rg o d e las rectas y = k x y d em ostrar, que la e x p resión dada puede tender a lím ite s d ife re n te s, que deponden del v a lo r del k e le g id o . 1798. C on tin u a . 1799. a) P u n to de d isco n tin u id a d cu an d o x = 0 e y — 0\ b ) to d o s lo s p u n to s do la recta x = y (lín e a de d is co n tin u id a d ); c) la lin ca de d is c o n ti n u id a d es la circu n fe re n cia ar2-f-y 2 = l ; d ) las líneas de d is co n tin u id a d son lo s e je s de coord e n a d a s. 1800. Indicación. P o n ie n d o y = y , = coQSl, ob te n e m o s la fu n ció n cpt ( x ) = 1 7 * q u e os con tin u a en tod as p a rles, ya ® 1 y1 q u e cu a n d o i / ^ O e l d e n o m in a d o r + 0 , m ien tra s quo cu an do í/4= 0

(ar) ==0. A n á lo g a m e n te, cu a n d o x = x 4 = c o n s t, la fu n ció n cp3 ( y ) =

es co n tin u a e n tod as partes. P o r el c o n ju n to de la s v a ria b les s o y , l a fu n c ió n z tiene una d is c o n tin u id a d on el p u n to (0, 0), ya que n o ex iste el lim z. E fe ctiv a m e n te , p asan d o a las co o rd e n a d a s polares (ar = r coscp, y = rsen cp ), ar-vO y—► O o b te n e m o s z ~ s e n 2cp, de d o n d e se a p recia q u o , si x - * - Q e y —>-0 de manera q u e cp = co n st (0 <1 cp 2 n ), z —y sen 2cp. C om o e sto s v a lo re s ex tre m o s do la fu n c ió n 1 dependen d o la d ir e c c ió n do q>, z 110 tien e lím ite cu a n d o x —»- 0 o y —>■0. 1801. £ = 3

(x ^ -a v ). *

= 3 ( , » - « * ) . 1802. f - =

^

, £

| -= T 1805. d* dy

dx y

y *-~S7 - . (ajz-f-yz)»/»

X2 -J-y 2

y

_|.

y x* +

t =

~ dy T ~ ~ ------------3/ (*2 + ^^3)»/*

y»)

lg 0 7 _

52 _ dx

30-1016

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•

= - - J

- y

*

- , .

F

-

1806- dx = ~- /7x = z +^ = y* - ’ y x 2 + y*

dz dy

x

a:2-(-y2

466

Soluciones

1808. dz

^ - = y x y~ l , dx * v 1 senT y

'_ — C cty x

jni< 1811.

COS

X

- | i = * t 'l n z . dy '•

tQ4(,

1o I L>.

dz 1 . x4-a — = ^ c tg --2 — , dx Vy V y

=

dz

■,1 — dx

1809.

x y 2 y 2 x 2- 2 y 2

1814.

W l;2 ;0 ,_ -§ -,

£

tg p = co,

tg Y = -i-;

1820. -

1827. z = ^ 4 - ^ Z

2 ) tg a = c o ,

ln t,

1813.

f x (1; 2;

^

.

^

•

du , , - j - = y z (xy)1 1 . ox

In z,

/y (2, 1) = 0.

,< (,;2 :0 )— Í - .

i ~i ♦ ,v | y [ ( x * — y*)

1812.

1813.

* COS - i x

y x 2 \/2x2- 2 y ¿

• _ — “ dy

dz x-\~a . x-\-a — = — Ct g — ^ . 0y 2 jV ¡/ y y

t x ( 2, l ) = y ,

1826. s = a rctg — + — y * )

^ j- = ( ^ ) 2 ln (* y ).

* i.«

-| i = — \ e ^ dx x2

0) = 1,

1 8 2 1 ...

ln z + sen f/— ¡ ^ . 1828. 1) tg cc = 4, Z

tg fl = 4 ,

tg y = 4 - .

1829. í £ L = - L h ,

h, ~ = ~ (a-\-b). 1830, I n d i c a c i ó n . Com probar» que la fu n de* Z Ofi Z c ió n es igu al a co ro en to d o ol e je O X y en t o d o el e je O Y y v alerse do la d e fin ició n do la s d eriva d a s parciales. C orciorarse d e q u e f x (0, 0) = /y (0, 0) = 0 1831. A / = 4 A * + A y + 2A *2+ 2 A * A y + A x 2Ay] d f = /tdx + d y ; a) A f - d f = 8; b) A / — d / = 0,082. 1833. dz = 3 { x 2- ~ y ) ¿te-j-3 ( y 2— x ) dy. 1834. dz = 2 x y 2 dx-\+ 3 x 2y 2 dy. 1835. dz = j ^ ^ ^ - (y d x — x d y ) . 1837.

dz = y 2x'J-1d x + x y (\-\-y \ ü x ) d y .

1836. dz = sen 2x d x — sen 2y dy. 1838. dz =

( x dx - \- y dy).

1839. d f = — f d x — — d i / ) . 1840. d z - 0 . 1841. dz = ------------- { dy — ^ - d x \ . *+ M ’J t * son M * ) X

1842.

d f (1, 1) = ífar — 2dy.

1844.

d u = — . ■ * - — ( x d x - j - y du-\-z dz). i/ x 2-\- f/2+ 2 2

x [ ( y + t ) 1846.

du ■=

du = yz d x + z x d y - ^ x y dz.

1845. du = { x y ^

z d x + ( 1 - ! ^ ) x z d l J + [ x'j + t ( y d x + * dy - 2-y - d i) ,

= ~ ( 5 d z — 3 d x — 4dy). Zo

1843.

) ln ( ^

+ T

1847.

1850. -g - cm .

X

) dl]

d f (3, 4,

1848. di = 0,002 era; A i = 0,065 cm .

(c o n re la ció n a la s d im en sion es in toriores).

~ } y *

•

5) =

1849. 75 cm »

Indicación.

Suponor que la d ife re n cia l de su p erficie del sector es igu al a ce ro y do a q u í h allar la d ife re n cia l del ra d io. 1851. a) 1,00; b) 4,998; c ) 0,273. 1853. C on exactitud hasta 4 m (más exactam ente 4,25 m ).

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1854.

ti

- g y ig

.

Soluciones

1855.

«fa = — p

(« fo c o s « — «te se n o ) .

,8 5 7 .

a;2- ) - i/3 • S

1863’

W

,8 5 8 . * - 2 , t o ^

l+ Ü 2 ± ^ £ l+

• 1859. 4 r = 0- *860. - ^ — (sen x ) c0SX (eos a; c tg x — sen a: ln sena;).

1861. « ¿te

1864.

1856. Í Í = £ Ü Í * £ Í Z ^ i . dt t la 2 1

( , _ £ ) .

+ ^ "7 T ^ 7 ~

467

■- r

h

■m 2- S

-

2 s / u ( a , i ; ) + y « * t f / ¿ ( K , i>); Í1 _ 0 , dw ’

— 2y /ú ( u , * ) + * « * ! / / ¿ ( « , ¿>).

* ■ _ !. dv

,8 6 5 .

= ( * + 4 “ ) f ' ( * y “i~ ~ e ') *

e - * ' [ ” ' <*> i " * + t ] ■

1867*

| i = „ ( ,- A .) r ( « 4 + i =

^ * )+ y , z ) ^ ^ , y)+ i| > ¿ (^ . ^)
l + 2 í2 + 3 *4 . l / l + í 3+ /4

1875.

1878.

3 ¿ !. ¿

- 3 ^ . O

1879.

2 0 ^ 5 - 2 1 / 2 k m /h o r a . 1876. — ^ 1 . ^ 1880.

1881. lo

1877. 1.

¿ o s a + c o s p + cosy «3

<

1882. a ) (2 ; 0 ); 1>) (0; 0 ) y (1; 1); c ) (7 ; 2; 1). 1884. 9 « — 3 ¿ . 1885. i - ( 5 1 - 3 . / ) . 1886. 61 + 3 . / + 2fc. 1888. cosq> = —

y io

a b ey 2

1887. | g ra d u | = 6; eo s a = - | - , eo s p = — .

1889. tg q> s s 8,944;

# d2z

(62a:2+ a 2y2)a/2 ’ 3* dV 2 (y — » 2) .

(a¡a + íí)2 ’

( 2 x y -\-y2) 3/z dz2

abcxy

1894.

*2* dxdy

.

i/)2 ’ a

dH _

3y2

1S98.

1891.

1 (s2 +

y)2

vx*

=

d2z * 1S92. -T—TI=S

(62x2+ a 2y z f/ i ‘

1895. £ - ± = 5 ? . dx* r3

d % :_ d2w _ d*u __ * dzdy d y dz dz d x

'

abex2

(b * x 2 + a * y Z )3/i ' dV'1 2* (* 2 +

dxdy

522

eos y = - 3 - .

' ¿te2'

lg 9 3 ' 1896. '

dH dx Oy

* » dx 2 ¿ y 2

d3r¿ a _ í 6 _ i Y_ i d x d y d z ~ a $ yX V, z

— x2V c o s ( x y ) — 2 z s e n ( x y ) .

1899.

f x x (0, 0) = m (m — 1);

/ í y ( 0 , 0) = mrc; /y y ( 0 , 0 ) = w(i& — 4). 1902. I n d i c a c i ó n . C om probar» u t i liz a n d o la s roglag d e d e r iv a c ió n y la d e fin ic ió n de d e riv a d a p a rcia l» q u e íx (2 , y) = y

+ ( S ¿ + y 2)8' ]

(Cuando a a + y 2 =¡f c ° ) ' / i ( 0 , 0 ) = 0 y , p or

co n sig u ie n te » f x ( O t y ) = — y cu a n d o x = Q y para cu a lq u ie r / a y ( 0 » y ) = - 4 , en p a rtic u la r , /Sry (0 , 0 ) = — 4. A n á log a m en te, f x y (0 , 0) = 1 .

y . De d o n d o h a lla m o s q u e

30*

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468

Soluciones

*003. ^ 4 ¿ —2 / ú ( « , y) + 4a:2/u u (w t ») + 4 x y f u o ( u , v ) Jr y V v v ( « » ^); jj-

^ = /Ú ( k , ií) + 4 * í/S t t ( a , f ) + 2 ( * 2 + 5f2) /tt»(M , p ) + a : y / í v ( u , u);

¿)“2 ^ = 2 / u ( íí ,

4 í/2/Ú u ( w, ¿j) + 4^ í/ / u ü ( m? » ) + * * /» » { » » * ) -

= f x x - \ - 2 f x z x +

1904.

^2r

1905.

lj) +

//

l i‘ z (
«

/

/

= /« u (xl|>a: + /tnj (l|fct)2 + /u Cpxx + /» ^Ja-xí = /üu ¿ + /un ((pi ^ - f ♦*«PÍr) +

+ fu
02z ég £ = 3 ruu W y P + W n tt'y V y + r n ( % ) 2 + f W v u + K % r 1914.

u (x, y ) = y ( x ) + y b ( y ) .

1015.

u ( x , y) = z y { y ) + t y ( y ) .

1916. d h — ex^ ](y d x -\ -x d y ) 2+ 2 d z dy]. 1917. tfiu = 2 ( x d y dz -f- y dx d z - \ - z d x d y ) . 1918.

( t ) ( x d x + y d y ) * + 2 y ’ (t) [d x*-\-dy2).

x (t fla -y .d « + * ln ^ -d | f) ; + 2 { x y ln

ln

1919.

dz = ( —

* * = ( - £ - ) * " [ ( y * i na ^

dx d y +

J

*n2_¡^ ------- ^ “ )

un (w, t>) c%2-j-2
+

J L ) * :* +

*

1920.

v) d y 2.

d2z =

1921. d 2z —

= ( y e * h + ¿*vfuu + 2 y e * + y fu v + y 2e 2Xf l x ) d & + 2 (eVf'u + e*fv + x e 2V f u u + e x+V X X ( 1 + x y ) f u » + y e * * f n ) d x d y + (x e V fi + * * * * "& » + 2 x ex+ vfúv + e2Xfvv) dy* 1922. d*z = ex (e o s y dx* — 3 se n y dx2 ¿ y — 3 eo s y dx dy2 - f - sen y dy*). 1923. d 3z = = — y e o s x d x * — 3 sen z (te2 d y — 3 eos .y d x dy 2 + s sen y d¿/3. 1924. tí/ (1; 2 ) = 0; d2/ ( l ; 2) = 6¿ r 2_j_2r ^ á í/ + 4 , 5 ^ 3 . 1925. d 2j (0, 0, 0) = 2 d z2 + 4dy2 + üdz2— — 4 d x ¿ j/-f-8 íía :d z + 'id!/cíz.

1926. xy-\ -C .

1928. ~ ¡ - ^ + l n { x - \ - y ) + C . 1930. - Í - + C .

1927.

1929. - | - l o ( s 2 + y*) + 2 a r c t g - Í - + C.

1931. " l / z ^ + p + C.

1932. a = — 1, i = — 1, z =

1933. a í + ^ + z S - f i y - f - i z + j / 2 + C .

1937. Y x * + y 2 + z* + C. 1938. & = — 1. de

d ife re n cia l exacta

para la

g* ^

2- -f-C-

1934. *3 _|_2x i / H ' 3 » + y 2— y z — 2 z + C.

1935. a ¡ V — 3xy2z + 4x2y a + 2 a :-f y + 3z-|-C .

cio n e s

x 3y — |j— l-s e n s -J -C .

1936. — + — + — + C. y z x

Indicación.

E s c r ib ir las c o n d i

ex p resión X d x + Y d y .

1939. f'x — /y .

xy

1942.

b 2 x .

—

s - ;

d '2 V

dx2

j- *

b4 .ñ

=

a¿y3

-

í o /i d y \ /t í(z)\ da z - 4\ - rC , 1941. — J a La ecu a ció n quo determ ina a u —

-

1940 .

d * y

- r ,,

ttó1

35%

* r - s =

a4í/5

y , es la ecu ación de u n par de rectas.

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n r •

469

Soluciones

dx ó

— 1;

'» •

1Í)44 . ^ = - J U

1 — x y * -*

dx

( § ) = 8 \ d ¿x ) Xm,\

í

1/ . x *

-

ó

-8 .

üx dz xx ~

1951.

d2z d y 2 ~~

.

1953.

h \¿r

p L = * - .

:

dx2

S =T :

dz dx

i

; [ ^ ± f í^ ± p . a x — yi/ dx2 (î^:— 1/)^ J O .- x 2 — Vz . dz — 9y2— 3 x2 — 2 0x x y — z2 1 dy 3 ( x y —-z ¿)

'i’ i ipí

d * t= { ~

1962-

*

1

dy 2 c*xy fl2¿;223 •

Jir d y , d*z . 1954. d z = ~ — d x — ^ z z

)3 ( d x 2 + 2 d x dy + dy*).

*y -

dx’

u-u d2u W

~

VU dv

.

^ 0' ~

t/V dv *A. d y ^ ' i ; Ty

~

(i

a) z r - = — 7 dx

C) ,iz = ¿

'pu 'p ; c e os y

c son v u

d2v dx2

~ d2v 2; ” * dx dy

son (p r

g

= ^ (r .

’ p;

♦¿ 3* 2 ( l’ +

1967.

tp) s e n ( ? + / ■ ;

(r,

“ )i

_

2» S dy - « -

•+2 ( £ ) ’ -

i»

£ - » •

i8 7 2 -

-

c p ) ^ .

«p; ’ p; 1 T (u -u );

d j/

(P)COS-P-

^ f r ( r ,

c

dy-

g

Q2¡* i ; ^ = 0. 1904. du = dy2

'pu Si b) d x

- d2z=

| = | = i;

= — i . eos 9 c tg S>; ÉL = _ i - son cpctg * . 1969. g f 1971. a) J 4

=

;

t

r Iel‘_U ( f+ “ ) ^ + « “+0 (« -« )* ]-

F ¿ (r , 9)

1961. | | = o o ;

d2= j f e r r f j )rfa:; ^ 1963.

y dx 4 T T í/ ^ ’ + y tu d**. 1965. + y)2

1966.

= 3

dx

a

dx dy

\ d x ) x=* 1

dx2 — 2 Í í > d x dy 4

1956. rfz = ^ ( d x + d p );

d2u

,945.

(1— y)*

dz = x s e n ¡ / - c o _ S i > W M - * dy c o s x — y sen 2 0x d2s c4 (í>2— y2) _ d2z c2y a2b W ; dxdy~ b2z 'dx2“ ~

eos x — y sen z c2x dz _ a 2z oy

c* (a2 — x 2) a 2b2z3

y 2— a2

1946.

¿ ay _ 2y
z sen x — c o s y

1949.

y— \

1968.

02

u = 0. 1970. g « s i* -? --

1973.

= 0. a:

=

£

17r - w i - £ ¡ r - 0' im5- “ S —

, m■ S + -Í *

[-+ (■ & )■ ] 0
1 4 — = 0. r dr

1977.

d2z——771— 02 r—T -r- . du du

¿u dv

í « - o l,“ 19/8. —’ = 0n.

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du

i.iTfi 1979.

-r-r

dv2

0.

47 0

Soluciones

1980.

198L a) 8 * - 4 * - * - 5 = 0 ;

n x — ^ y — 3 z— 4 - 6z = 0; _ = — = _ y — / i sen a 3— J? sen a 0 ‘ c2 ± - r — A ••■•.=====. 1983. y « 2 + ¿2+ cJ 2

. o)

; b) 3 z + 4 j/-

. a?— fíe o s a x coa a ~f y sen a — H= 0, C08g = a2

lgg2 ‘

62 +

2 s + 4y-|-12z — 169 = 0 T » -T

y aa^^ a_|_ca T 1985.

* + 4 y + 6 z = ± 21.

1986. a: zfc y ± z = ± l / « 2 + 62 + ^2. 1987, En lo s p u n io s (1; ± 1 ; 0) lo s p lan os tan gen tes son p a ra le lo s al p la n o X O Z y en lo s p u n tos (0; 0; 0) y (2; 0; 0) a l p la n o Y OZ . La su p e rficie careco do p u n tos en lo s cu a les ©1 p la n o tan g e n te

sea

p a ra le lo

p la n o X O Y :

al

XOY. X{/

f z~0, i o

1991.

j —o

r La p r o y e c c ió n

5.

- «j

1994,

L a P ro yecció n sob re

el p la n o

La

p r o y e c c ió n

sob ro XOZ:

el

s o b re

p la n o

el

YOZ:

f y==0, » 0 2

Indicación. La lín ea d e co n ta cto de la s u p e r fic ie co n e l c ilin d r o , que p roy ecta esta s u p e r fic ie sobro a lg ú n p la n o , representa de p o r s í e l lu gar g e o m é tr ico do lo s p u n to s, en fo s que e l p la n o tan gen te a la s u p e r fic ie dada e s p e rp en d icu la r a l p la n o do p r o y e c c ió n . 1996. f ( x + h, y + k) = ax2 - f 2bxy + + cy 2 -{-2 ( a x ^ b y ) h-{~2 (b x-\ -cy) k -{-afi2 -\-2bhk~]-ckz. 1997. / (x , y ) = 1 — (z-\+ 2 )2 + 2 < * + 2 )(y -l) + 3 (y -l)2 . 1998. A / (* , y ) = 2 h + k + h * + 2 h k + h * k . 1999. /< * , y, z) = (x — i)* + ( y — l ) * f ( z — l ) * + 2 ( x - ~ l ) { y — l ) - ~ { y - - l ) ( z — í ) . 2000. f(x+h, y + l f, z + l) = / ( * , y , z ) + 2 [h ( x — y — z) + k { y — x — z) + + í { z - « - ? ) H - / ( A , A, 0 , í ‘ + 6 í% H l4 ^

2003>

2001.

y + * y + 0

y

■ 2002. 1 ---------^ ~

1 + ( F _ 1) + (;s_ 1 ) ( y _ 1)_

+ (y + i ) ? + r ( « - l ) y + C 1 V ^ - 0 ± f e + l ) P .

2004.

2005.

a)

+

! + ! ( * — 1) + a r c tg * ± | *

<«+P)—\ («2- P 2); b)) / (1 + « )Tn+ (1H-P)" *, 4+.* (mw+np)+ + j ^ j { ( 3 w 2— ím ) a 2-— 3mrta{5+• (3rc2— 4n ) f5sJ. 2006. a ) 1,0081; c ) 0,902. I n d i c a c i _ ó n . U tiliz a r 3a fó rm u la de T a y lo r para las fu n cio n e s: a) f {x, y) = = ~\/x'pry on un en torn o d e l p u n to (1; 1); b ) f { x >j r t = y x on un en torn o del pu nto (2; 1). 2007. z = l + 2 ( * - 1 ) - ( y - i ) - 8 ( * - 4 ) 2 - f - i O ( * — 1) ( y - 1 ) — — 3 ( y — l ) 3- f . . . 2008. zmín = 0 cu an do x = l , y = 0. 2009. N o h a y ex trem os. 2010. zJBÍn= — 1 cu an do x — í e y = 0. 2011. zmáx = 108 cu a n d o x = S e y = 2. 2012. zm ftl= — 8 cu a n d o x — “[ /2 , y — — “| /2 y cu a n d o x = - — C uando x = y = 0 a

b

n o h a y e x trem os.

m w_

a

2013. b

Q y — ~]/2.

zmSx= —^ 7p en lo s pu ntos x== 3 ~\/3 ab

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471

Soluciones

2015. z m [n = 0 cu a n d o x = y = 0; un m á x im o a m p lio í = | e n la

c ir c u n fe r e n c ia

x 2 -f-y 2 = l .

2016.

cu a n d o

lo s p u n tos d© x=í,

y = — 1.

2016. 1. z mín = 6 cu a n d o a: = 4 , y = 2. 201C. 2. z m óx;= 8<2“ 2 cu an d o x = — 4, 1/ == — 2 ; n o hay e x tr e m o c u a n d o x = 0 , y = 0. =

2

1 ! /= - y

y

z= l.

2018.

u mín = 4

2017. wmin = — ^ cu a n d o x = cu a n d o

1 z = -j,

i/ = l ,

z = 1.

2019. E sta e cu a ció n d e te rm in a d o s fu n c io n o s , d e las c u a le s , una tien e m á x im o ( * ^ * = 8) cu a n d o x = l , y = — 2 , y la otra , un m ín im o (zraín — — 2) cu a n d o x = l , y = — 2; en lo s p u n to s de la circu n fe re n cia ( x — l ) 2 + ( j/- f - 2 )2 = 25 cada una d e esta s fu n cio n e s n e n e u n ex trem o en la fro n te ra , z = 3 . I n d i cación. Las fu n c io n e s que s e m e n cio n a n en la respu esta se dete rm in a n e x p líc ita m e n te p o r la s ig u a ld a d e s z = 3 ¡± "1/25 — ( x — l )2— { y + 2)'2 y e x iste n , p o r c o n s ig u ie n te , so la m e n te d e n tr o y en la fro n te ra do la c ir c u n fe r e n c ia ( x — l ) 2-f- (y + 2)2 = 25, en c u y o s p u n to s am bas fu n c io n e s tom an el v a lo r z = 3. E ste v a lo r os e l m e n o r para la p rim era fu n ció n y el m a y or para la se g u n d a . 2020. Una de la s fu n c io n e s d eterm in a d a p o r la fu n c ió n tie n e m á x im o (z máx = — 2) cu a n d o x = — 1, y — 2 ; la otra tie n e m ín im o (zmín = 1) cu a n d o x = — 1, y = 2; am bas fu n c io n e s tie n e n e x tr e m o en la fron tera on lo s p u n to s de la cu rv a 4 x 3— 4 y 2— 1 2 x - H 6 y — 33 = 0. 2021. 2máx = X

cu an do

j x = y

• 2022. zmás = 5 cu a n d o x = l ,

y = 2\ zm ¡n = — 5 cu a n d o x = — 1,

y = — 2. 2023. z mín = |jj cu a n d o * = :|f >

202** z múx=

cuaildo

7ji 9 ji , . 2 — 1 /2 x * = y + /cn, í/ = - g - + * íi; z ,nin= 2-------

, 3 ji . cu a n d o * « - § - + « « ,

2025.

z = — 2;

um ín = — 9 cu a n d o

/ / = — 2, z — 2. t = í/= 0 ,

2026. wmáx = a

2 — z t.c .

202«- “ ,n«* = 4 | Y ;

t )

x = — 1,

2027.

y = 2,

cu a n d o

z = ± ú ,

n mál: = 2 - 4 2-63

o " lo * Pun‘ os

(t ; T ;í )

;

5jt .

u raúx = 9 cu an d o

p = z = 0;

cu a n d o

y

x = 2,

x = l,

n niín = c cu an do y = 4,

( í ; T ; 1 ) ;

z = 6.

( I :

; Km f n - 4 en lo s p u n tos (2; 2; 1) (2; 1; 2) (1; 2; 2). 2030. a ) E l v a lo r

d o l m á x im o a b s o lu to es z = 3 cu a n d o x = 0, y = 1, b ) ol v a lo r d o l m á x im o a b s o lu to es z = 2 cu a n d o x = l , ¡/ = 0. 2031. a) El v a lo r d e l m á x im o a b s o lu to es z

^

2

cu an do x =

e s 2 = — — 0 = cu a n d o

±

x = i

; el v a lo r dol m ín im o a b solu to

j / y

, y = , — j / " - i . ; b ) el v a lo r del m á x im o

a b s o lu t o 63 2 = 1 cu a n d o * = ^ 1, y = 0 ; el v a lo r d e l m ín im o a b s o lu to es z = — 1 cu a n d o x = Q> y = ± 1. 2032. E l v a lo r del m á x im o a b s o lu to es 2

cu a n d o ar = y = - y

(m á x im o

in te r n o ); el v a lo r del m ín im o a b so-

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472

Soluciones

lu to es s = 0 cu an do x ~ y = 0 (m ín im o de fro n te ra ). 2033. E l v a lo r del m áxim o a b so lu to es 2 = 13 cu a n d o z = 2, y = — i (m á x im o d e fr o n te r a ); el v a lo r d el m ín im o a b s o lu to e s z — — 1 cu an do x = y = l (m ín im o in te rn o ) y cu an do £ = 0, y = — 1 (m ín im o d e fron tera ). 2034. C ubo. 2035. tfr 2 V f | /2 F , y

f 2 V . 2036. T riá n g u lo e q u ilá te r o . 2037. Cul)0. 2038. a ^ V i - Y a - Y a - Y l .

2031) •

m

(~ T ''

t ) -

2040 . L o s la d o s d e l triá n g u lo son :

2041. j - ^ 1 + ^ 2 ^ + ^ 3

'” 1 0 1 + ” *202 + ^ s 2042. /n1+ m 2 + / » 3 * '

’

2043. Las d im en sion es d e l p a ra le le p íp e d o son 1 /3 y

c

so n

lo s

2045. x = ±

se m ie je s

d ol

e lip s o id e .

2044.

^ , y- ± : — . 2046. E l e je *[/2 1 /2

“[ / 3

p, y - p y

.

— 4 -A •-1 = 3 a ó ~r c JÍ£_ 1 /3

d o n d e a, 6

y = 2 6 + |T2F,

z=

.

¿»

m a y or os 2a = 6, e l e je m en or,

26 = 2. I n d i c a c i ó n . E l cu ad rad o de la d ista n cia del p u n to (x , y ) de la o lip s o a su ce n tro (o r ig o n d e co o rd e n a d a s) es igu al a z 2 + y,¿. E l p rob lem a se redu ce a buscar e l extrem o de la fu n ción x 2-\-y2y co n la c o n d ic ió n de que dz2

-f- S x y -{- 5¿/2 =

0. 2047. E l r a d io de la base d e l c ilin d r o es

¿

la a ltu ra , R l / ^ 2 ------y ,

don d e R

V 5 1

1 \

Í

do

v2

Indicación.

Y

la

parábola

8

co n

. 2049.

el p u n to

LUS p

-\— ~

yo

,

/1 1 5 \ f - g - ; — -g -j

V 2 7 3 Ü . 2050. 5 2 2 * = 14 K sen {5

E s e v id e n te , qu e el p u n to M> en q u e el ra y o pasa

de un m e d io a o tr o , d eberá en con trarse entre A t y B iy s ie n d o A M BM =

2

es ol ra d io de la esfera . 2048. E l canal

do la recta: su lo n g itu d es ig u a l a ° a = — .

^ -7 /

eos a

, A ^ M - a tg cc, B iM = b t g £ . La d u ra ción del m o v im io n to del ra y o

es ig u a l a —— j------- - — 5- , E l p rob lem a se redu ce a b u sca r ol m ín im o D v { eos a y2 co s P de !a fu n ció n / ( a , 6) = -----1--------- — ^ co n la c o n d ic ió n de q u e a t g a - f ' r/ zq c o s a t?2 co s p i o i -f-6 t g P = c.

2051,

a = p.

2052.

I t : lo : l 3 = - ^- :

~

Indicación.

H a lla r e l m ín im o do Ja fu n ció n / (71, / 2, 73) = / ? / ? * + 7|/Í2~WÍ»^3* ^0Ii la co n d ic ió n de que 71+ / 2+ 7 3 = 7. 2053. Un pu nto a is la d o (0; 0 ). 2054. Punto do re tro ce so de 2a esp ecie (0; 0 ). 2055. P u n to ta cn od o (0; 0 ). 2056. P u n to a is la d o (0; 0). 2057. P u n to cru n o d a l (0; 0). 2058. P u n to de re troceso d e I a especio (0; 0). 2050. T u n to cru n od a l (0; 0 ). 2060. P u n to cru n od a l (0; 0). 2061. El o r ig e n de coorden adas es un p u n to a is la d o , s i a > 6, un pu nto de re tro ce so de I a esp ecie, s i a = b y un pu nto cru n o d a l, s i a < ^ b .

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473

Soluciones

2062. ¿ i ontre la s m agn itu des a , b y c n o h a y ¡gu ales en tre s í, la curva n o tie n e pu ntos sin g u la re s. S i = A (a, 0) es un pu nto a is la d o ; si a < ^ b — c y B( b > 0) es un p u n to cru n o d a l; s i a = b = c, A (a y 0) es uu pu nto de retroceso de I a esp ecie. 2063. y ~ - ± x . 2064. y i¿= 2px. 2065. y = z t R 206G. x 2/* + y2/3 = l 2/*.

2067. x y =

*$’ . 2068. Par de h ip érb ola s equiláteras

co n ju g a d a s, cu yas ecu a cion es, s i lo s e je s de s im e tría de las elip ses se tom an S c o m o ejes de co o rd e n a d a , tien en la form a x y = z t ~ . 2060. a) La curva d iscr im in a n to y = 0 es e l lu g a r g e o m é tr ic o do lo s p u n tos do in fle x ió n y la e n v o lv e n te de la fa m ilia dada; b) la cu rva d iscrim in a n te y = 0 es el lu gar g e o m é tr ic o de lo s pu ntos cu sp id a los y la e n v o lv e n te do la fa m ilia ; c) la cu rv a d iscrim in a n te y = 0 es el lu g a r g e o m é trico de los pu ntos cu sp id a los pero n o es la e n v o lv e n te ; d) la cu rv a d iscrim in a n te so d escom p on e en las rectas: x = 0 (lu g a r g e o m é tr ic o de lo s pu ntos cru n od a les) y x = a (e n v o lv e n te ). 2070, y = $ — § ^ . ¿g ¿vj

2071.

7 4 ^ 2072. Y 9 + 4 ^ . 2073. Y ? i ( e l — 1). 2074. 42. ó

2075. 5. 2076. x 0 + z0. 2077. 11

• 2079. a) recta; b) p arábola; c ) elip se;

d) h ip é r b o la . 2080.

; 3)

a ° ; 2) a ^

= {lT b c) + ( a d J ¡ c ) + ( ab 7t ) * y = 4sen l

(e lip s e ); v = 4 J ,

2082#

~

a»+a ~

4t (c2 + 1 ) ’

. 2081. ^

2083‘

w = — 31 cu an do 1 = 0; v — —

w = — li-L -T í — 2 1 / 2 J cu a n d o t =

v — — 3¿, w = — ^ j

(abe) -

* = 3 cos 1; i+ 2 y

cu an do t = - 5 - .

2084. x = 2 c o s 1, y = 2 sen 1, z = 3 l (h é lic e cir c u la r ); t> = — 2 i s o u 1+ 2 ./ c o s 1 + -f-3 /c; i^ = 1 /1 3 para cu a lq u ie r t\ w = — 21 co s t — 2J sen t\ w = 2 para cu alq u io r 1, v = 2 J - \ - 3fc, m>= — 21 cu an do 1 = 0 ; 2 1 + 3 A :, w — — 2 Í cuando l = —>. 2085. a: = co s a co s coi; y = sen a co s col; ? = sen coi (c ir c u n fe r e n c ia ); v = ¿i — — col co s a sen col—w / son a sen cof+cofc co s col; u=| co |; « > = —oj2í co s a c o s c o l= — cú2J son a co s col —
2

do +

2086.

v = ] / **0 + vvo

w = g. 2088. ( ú ' \ / a * + h * t don d e

r o ta c ió n

del

v = —

t o r n illo .

2089.

=

cs

la v e lo

y a2co2 - j - — 2uco¿'o sen col.

{ 5 = ^ ( i — íc). 2091. t = + [(eos t — s o n í ) * + ¿ y 3

+ (sen l + co s t )

i + fc j;

eo s (tT z ) = - ^ ;

cos ( v ^ ) = 0 .

v = —

[ ( sen t + c o s ¿) í - f (sen l — co s 1) ¿ I ;

2092.

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— i v=

.

Soluciones

474

— 2¿ + l c x — fle o s í y — asen í z — 6í 0 = - -----+ — . 2093. ------------— r = - -------------— — — j— * -j/ 5 — u sení a cosí b y — a son t = - — =-------— bcosí

z — bt

1V (b in o r m a l): v n

a

/4. acosí (tan gen te) — -------- — — K b n b son t

x —a cosí y — a sen t ---------- -— = - --------- * cosí sen í

z — bt . . = — tt " (norm al O

p rin cip a l). L os cosenos d irectores de la tangente son : c o s a = co s fi — —a.P0S. - - ■ cns y — —- — y aa + & * y^ + 6 2

L os cosen os d ire cto re s

.. ; y a 2 + 62 de

la norm al

p rin cip a l so n : c o s a ^ c o s í; co s B t = s e n í; c o s y i — 0. 2094. 2a;— z = 0 (plano n o rm a l); y — 1 = 0 (plan o oscu la d or); x - \- 2z — 5 = 0 (plano rectifica n te). 2095.

= ~ Í = ~ ^

(ta n gon te);

a ;+ 4 y + 122 — 114 = 0 (p la n o n orm a l); t*

í3 £* y — o* 2 - * t 2096. — ^ — = — - —•— — j — (tan-

* — t*

1 2 s — Gy + z — 8 = 0

(plan o

f* gen te);

z—

*--4

í* + 2í

£3

£2

£4

y ~ z~ j — — = — — — 7 (norm al

1 — í*

-2 £ 3 -¿

'

=

Mi

=

;

— j ;

y ) ;

(tan gen te); x + y = 0

(n orm a l p rin cip a l);

1

p rin cip a l);

£3

X~ T ±

y

"

_ 2t

12 (b in o rm a l);

2097.

oscu la d o r).

1

= — ; c o s p2» — , co s y 2 =

0 .2 0 9 8 .a)

= R * — 2"

—

(4 ; (plan o

=

2) .

oscu la d o r);

=

(b in o rm a l); cos a 2 = R 2~

y

1 ;

= — g— =

x y 2 - 2 = 0 (p lan o n o rm a l); b) —

V2 D 2 ------2~

(tangonte);

( t angent e) ; x + y-\-4z —

-->10 = 0 (p lan o n orm a l); c ) * ^ l = - —

( t angont e) ; 2 y 3 s +

+ y — 2 V 3 , = 0 (plano norm al). 2099. x-\- y = 0. 2100. x — y — z y 2 = 0. 2101. a) 4x — y — 2— 9 = 0; b) 9 * — 6y + 2z — 18 = 0; c ) b'2x $ x — a2ygy + _f_(a 2__¿, 2) zgz — a 2¿*2(a 2_ ^ 2). 2102. 6 x — 8y — z + 3 = 0 (plan o oscu la d or); ^ ^ = ^ ■ = ^ 5

(norm al

p rin cip a l);

(b in o rm a l).

uj — 0 *1 2103. bx— z = 0 (p lan o oscu lador); x _ q r (norm al (b in o rm a l); t - . ^ + Ü Ü - ; l/i+ 6 a

ft = — h i ± J t ; v = J . y i +62

p rin cip a l);

a ) 1 / 2 ; 6) L ® .

2108. a )

K = e^ p - \

bz — 0 ^

"I j-

2106. 2 * + 3¡/ + 1 9 í - 2 7 = 0. -

2107.

x

T = e—

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í

;

b> K = T ~

2«ch*t

S o lu c io n e s

2109.

a)

wt = 0,

475

f l - p - l g ± « g ; b ) f l = p = (P Í + g ) .3 , 2 1 1 1 .

u>„ = 2

cu a n d o

^

1 /" 1 9 K = — y ^

í = 0;

. 2112. * = 2,

22

w^ = 2 y

/~ Í9 54

cu a n d o t = l .

Capí t ul o Vil 2113.

4 ~ . 2114. l n | | . 2115. ^ ¡ . 2116. y .

2120.

i . 2121. * = J L — 1; * = 2 — y; ! / = — 6; j/ = 2. 2122. 1/ = »*; 0 = 3 + 9

x « = l;

x — 3. 2123. y — x\ y = 10 — 3?; ?/ = 0; y = 4 . 2124. ^ = -| -; y — 2x\ x = l

x = 3.

2125. y = 0; y = y 2 5 = T 2; x = 0; x = 3. 2126. y = x 2; í / = :x + 2; x = — 1 1

x = 2.

2127.

1

=

2

2

f d x f / (x , y ) dy.

2

2-x

- f f dx

2129.

jj ¿ y

2130. 7

i

y 2

+

jj

5

jj

1

1(Xy y ) d x .

í ?/

2131.

jj dy jj / ( x , y ) d x +

2

~V 2=5§

2 0

/2-x2

/ ( * » y ) d x = jj dx

jj

—1

2

2

V 2 -X 2

y {a:, y ) d y + ? d *

—*

2132. jj d x jjf ( x , y )

-1 1

2x3 _ y ir js

jj

-1 -1

_ y ^ r^ i

^ di/

-2

_y?T y

jj

/ (x ,

a:

-i

-1 1 / ( X , y )d x -| - jj dy

2.

-1

V'4—¡c*

y ) d x . 2133. jj d x

2

-

1=3 y 1- ü 2 jj

/ ( x , y )d y +

v q -x *

jj1 ( x , y ) d y + ^ d x y

jj

_ V'4 3 ^ 2

ys^x*

/(* , y )¿ y + ^ d *

/(x , y)dy.

___

2

—2 i

y 4 -¿a

jj

jj dy

jj

0

o

-(-jjd x

=

dy =

r

-5/

1

I/Tz 1

jj / (x , y ) d x +

1

2x

o

^

/ (a;. y ) d y = jj d y

?/-3

y 2 ^

¿1/

jj

ü y_ 2

4

2

+ jj ¿ y jj / (x , j/) d x + j j d y

Á

0

2cc+3

i 2

t

\ J (x , y ) d x = \ dx ^ / {x t y ) dy -f1

£ dx

í b

i

0

2

l

| d[/ jj / (x , y ) d x —

2- y

0

C / ( x , y )d y .

5

l

| dy jj / ( x , y ) d x ~ jj d x jj / (x , y ) d y . 2128. 1

0

2118. 2 ^ . 2 1 1 9 . 2 , 4 .

1

k

0

2117. 50,4.

jj/ ( * , y ) d y =

1 1

- v 4 -x s

/ ( x , y ) d x - ¡ - j j dy

- y4=U*

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-1

y4~y2

jj vq— 3

/ ( x , y )d x +

Soluciones

476

2

-2

Y T ^

Ü dy

S

f ( x > y ) dx-

1

- VC-Y¿

2

v 'T + * a

+ ¡j

Jj

2134.

*

-

S

/ (*> í/)

^ dx

- i

_

= ^ dy

\

- a

_

=

v'

dy

= jj dy

O

3a

-

y

/ ( x , i/) ¿ 2 =

f

^ rfjf

a:

Ú

O

1

2

1/

a jj

/ (x ,

y ) dx + jj dy a

a ^3

2139

■

jj ^ 0

a

^ áx~*’ ü ¿iy 2 2

o VI

M 2

íl

/ (* , ¡ / ) ¿ r +

O

Ó v 'aV -2üy

a

O

f ( x , y ) d x . 2137. | dy

2

-I- jj ¿i/ ^ / (* , y) dx. 2138. J dy

jj cte f / (a , y ) ¿ y - f

2

(i

3

a

ó

jy_ 12

^

a— VaS- » 2

~

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^ rf;c'

/(x , y)dx;

-1

2a

d i ^ / (x, y ) d y +

^

d y jj

-l

\ í\ V 3

48

x-2a

1 1 /

i

0

/ ( i , ¡/)ííj/. 2136.

f(x ,y )d y ^

d x jj / ( x , y ) d y = ^

a

a

_ Y 'a * ~ x £

1

cí)

v4-2a

0

f(x ,y )d y =

V x -x i

-i

jj

+ ^ rfi

J

1

Jj dy

^

V x -x 'i

i ( x , y ) dx\ c ) ^ d x

/ ( x , y )d x ;

V' a2 ^ x 8

—a

2

e)

a

1

/(x ,y )d x.

v 'ú d

i

0

1 - vTTâ a

0^2

jj

f(x,y)d x;\ > ) ^

0

^

-V a

/(xt y)d x-f-^ d y

1 —i/

2

jj

2a

-

V « 2 — í/3

1/2

/(x , y )d x -f

/9 ^ Í

^

1

0 VuZ-yZ

^

i

jj /
ti

/0 ^ 2

J ¿y

1 —x

0

=

- v'1^ 7

YZ /(*« y ) ¿ * +

2 1 3 5 .a ) ^ ¿ a

_ V \ í^

- /5

y ^ j-í/i

1

/ (** í/)

5

/(*>*)<** +

5

^

jj

-1

V oâ*

^

/ ( x , y )d y +

- v lP x á

- Vd-i/t

1 +

*

S

- l 'l

^

V*Ü—"x2

V 'l / 2 - l

^

^ dx - 3

o

_ /T + x á -1

Y tt*

}/ 3 VaíTp ^

■>

/ (x , y ) dx.

477

Soluciones

a-

a

V a i-y

2140. C dy

2

^

0

a

/ ( z , y ) d z - j - \^dy

jfl

2V

2a

0

^

2“

2a

/ (a:, y ) d x +

dy J / ( z , y )d z .

c + > '^ 2

0

g

4a

0

V l-x 2

2141.

dz

-

’a

1

í

/(*,

d*

i b

V*2

V!

^ dz í / ( z , y )d y +

+

1

y

2142.

2

V 2x

^ dz

0

^

-

2

0

^

_____ dy

^

0

^

/ (* , y ) d y +

ü

BY2 2 / ( i , y ) d y . 2143.

^

f ( x t y)dx.

y

ji—a r e s e n r/

1 2144.

/ (i, y)dy.

V S -* i

^ dz

fi

2

jj

0

1

i

1 -z

í dy

^

ó

f(x ,y )d x .

2145. i - ,

2146.

2147.

a. 2148.

.

a r e s e n yy

-\n> 2149. G. 2150. ~ . 2151. Ir. 2. 2152. a) — ; b ) l o " 5()1G; o) 2 A . 2153. 5 J l Í ' p 5. 3

T 'i - ( z - 2 ) 2

2154. ^ d z

x y dy = -^ - . 2155.

2.níí ^ydzdy = (S) ú ltim a

^

o so

x = 7 ? ( f — s e ni ) -

2157.

. n

i

4

eos (p

dtp

2160. 0

O ydy,

donde esta

o do la fi* .

a n terior

c o m o resu lta d o 1 . 2159.

2158. 7t 2

^

^

o

o b tie n e

Indicación

R ( l —c o a

y dy = ^ i ? ( l — c o s í ) d ¿

o

in te g ra l

a *\/2cz. 2156.

2n

v=f(x>

^ dz

- j

r / ( r e o s cp, r sen tp) d r +

0

riel ca m b io fi2 a2 + — ■

1 sen
dq>

^

n

r / ( r eos (p, r sen (p) dr.

0

4

4 ^ dtp

2161.

0

e o s cj> ^

4

0 sen q> cos^cp

^ / (tg
O

4 r dr +

0

s e n
2162. jj dtp

r / ( r 2) d r .

31 4 2163.

Sil

n 4 1 sen cp

^ / (tg q>) rfq>

^

Jt

O

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^

r / ( r eo s tp, r sen
0 n

r d r + ^ / ( t g tp)rfip

3?T

sen cp cos2cp ^

o

r ár.

S o lu c io n e s

478 ji 4a Veos 2

\ d

2165,

jjrfcp

\

0

0

3n 4

r2 sen cp dr -

(r cas q>, r sea cp) dr.

2166.

na*. 2167.

. 2168.

) fl3*

0

2169.

2170. ( y - ~

ja co b ia n o

J = abr.

J14-0 L 2172.

r¡

cp

J

0

a V COS 2
\r /{ r co s
a cos

2

$ ti 4

L os

V ^ ~ 2 0 ) ■— - . 2171. lím ites

de

Indicación.

in teg ra ción :

0 < ]cp -< !2 rt,

El

0 < X !1 .

1 -ü

^ dv «

^ / (w — « y , mi?) udw. R esolu ción . Tenem os x = w ( l — y) e y = uu\ o

1+ a

el ja c o b ia n o 7 = u. D eterm inam os lo s lím ites de m en fu n ción y: m{1 — y) = 0 cuando 2 = 0, de donde w= 0 (ya que 1 — v =£ 0); m

cu an do 2 = a. L os

lím ites de variación de y: c o m o y = a x , My = ccK (l — y), de don d e y 1 para y — flx hallam os, y = j - L . 2173. / — + P 2—u

1 1 -j-^

,

J •

“ j “ ) —u

-1

/ ( —g—- » *™2* ~ )

r fy

’

u du

0

u—2 2 -u

1 + a

2-H>

-V

Indicación.

Después del

ca m bio

Ó v de v aria b les, las ecu acion es de lo s la d os d e l cuadrado serán: u = v\ a + y — 2 u — y = 2; u = — y. 2174. ab £ ( - p —

arct g

La ecu ación

eo s2
lím ite

do la cu rva es r4 = r* ^

] • Resolución.

in fe rio r para r es 0 y e l su p erior,

Com o r debe ser rea l,

y2

sen2 (p j , de

donde ol

os2
eos2 0; do don d e, para e l prim er

ángulo coord en a d o, tenem os q u e

A con secu encia d e 1a sim etría

I del cam po de in teg ra ción co n resp ecto a lo s e je s , se puedo ca lcu la r -j* del tota l

de

la

in teg ra l,

lim itá n d ose

al

prim or

cuadrante:

\\dxdy = (S)

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Soluciones

a rctg T7T

= 4

\

] / - | - = o S 2 < p - - ^ . a e n 2
d
^

0 2

2181.

^ dy

o

u

Yy

a

y—2

2177.

Jd*

J

Indicación.

E fectu ar

dy.

2176. a) y

; b) ( 2 + - J ) a * .

a -x

4 y — yÜ . el ca m b io

- 1 « s < 4 . 2180. y

2183. — n a K

de v a ria b lo s

2184.

6.

i - ( ó — a) ( P - a ) . 2187. y (P -

a ) ln y

.

2203.

- 8^

do

2193.

2188.

(6 1 / 3 - 5 ) .

a

2194. y . 2195. ~

- . 2199.

2200.

y J t a s (2 \ / 2 - l ) .

2207.

2211.

lOn.

v=

[ dy ^ ( 1 — x ) d x = tí

X

= | dx | (l — x)dy.

2198.

2185.

l

0 1

V l5 .

x — 2 y = u, 3 x + 4 f/= st> . 1

2186.

<** +

128

. 2178. ~ a2. 2179. n . I n d i c a c i ó n .

2182.

^ _ yy,

/ o * —*a

0

3 (y -+ i-j.

y -

J

a b r d r • 2175- a) 4 - | ;

+ ¡j dt, J d x ; b ) - 2 p — y . ; 1

479

.

2201.

2204. - i : t a 3 ( l / 2 - l ) .

2208.

—

a^.

. 2212. - ^ { 2 "1/2— l ) . O

. 2196. ~

2209.

. 2197. ~

2202.

2205. —

.

jw 3 ( a - P ) .

■. 2206. y

Jta&c.

na ( 1 2 2 1 0 .

Indicación.

-

E fe ctu a r el ca m b io

v a r ia b le s x y = u , — = v. 2213, - i " l /a 2&a+ ¿ » 2c* + flaa8. 2214. 4 ( m — n ) / ? 2. x ¿

2215.

J — »-aa.

Indicación.

In tegrar

en

el

p la n o

YOZ.

2216.

4a2.

2217. 8a2arcsen — . 2218. 4 - ^ « 2 (3 V 3 - 1 ) . 2219. 8a2. 2220. 3.t:2. I n d i c á ó is c i ó n . P a s a r a ia9 coord en a d a s p o la r e s. 2220. 1. I n d i c a c i ó n ^ P roy ecta r la s u p e r fic ie sob ro e l p la n o d e coord on a d a s X O Y . 2220. 2. a2 'j / 2 . 2221. cr => 3 = y n a2 £ ( l + J ^ - ) 2 — 1 J " p o la re s. 2222. ^ a 3 y 8a2. y

Indicación.

Indicación

Pasar

a

las

coord en a d a s

Pasar a las coord en a d a s p olares.

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S o lu c io n e s

480

a

/T 2223.

2

8a2 arctg

.

Indicación.

, (

. dx.

2

a = C dx ¿ J

5

= 8/z \ a resen

a

— a ^ -----Y a 2- x 2- y 2

Integrar p or partes y después hacer la su sti-

2 1 / a 2 — a;2

o

0

*

tución x = ^ jp ~ s e n

e l resultado debe transform arse. 2224.

— a. V a 2-l-c ^ 4 -c 2 ln

,

Indicación.

^6 “j / '¿ 2^ . c2_

Pasar a las coordena-

a + y a2-\-c2 ' i i n ooí 2?ibR2 nooe /23á ¿z262 — 12 — ji2 — Jt das p olares. 2225. — . — * . 2226. — ; -^ 7- . 2227. x — T,-¡r ------ í í V = 3 * 12 ’ 24 ‘ 3 (4 — jt.) ’ J 6 (4 — n) ' 2228. x = - | a; 7 = 0 . 2229. 2232.

■ 7 = 0 . 2230. í = y ; 7 = 0 . 2231. I x = 4.

a) / 0 = i l ( O 4 _ ¿ 4 ) j <¿

Indicación.

/ =

jj

"/«a:

La ^

d istan cia

jj

dx

í> ción.

b) i j r = ¡ | (-D4 - á 4)- 2233. / = y * 4- 2234. | -a « .

( ? + * ) 2 ¿l/-

2235.

16^2 —9 ^ .

Indica-

-v 'lT x desde

el

pu nto

{x , y)

a

la

recta

x = y es igual

jr

a d=

■, y so h a lla

v a lién d ose

de

la ecuación

norm al do la recta.

1/2 2230./ = i j / t a < ¡ [ 7 1 / 2 + 3

ln ( '1/ 2 -4- O L don d e & es el co e ficie n te d e p r o p o n

cio n a lid a d . I n d i c a c í ó n. Situando e l origen de coorden adas en el vértice, a partir d el cu a l, la distancia os p ro p o rcio n a l a la densidad de la lám in a, d ir ig im o s los e je s do coordonadas según lo s la d os d o l cu adrado. E l m om ento de inercia se determ ina co n resp ecto a l e jo O X . Pasando a las coordenadas n k p olares, tenem os: I x =

2237.

/ 0 = | g - 3i o í .

T om ar

por

1 2240.

jj O

dx

jj

Í )

jj

jj b

jj

o

hr ( r sen q>)2r dr.

o

I 0= ~

- .

de

integración

2239.

t

l-x -i/ dy

a cosec cp

jj dep

kr (r sen cp)2 r d r +

2238.

v aria b les

1 -x

a sec (p

jj dtp o

n 2

y

e

n / (x , y , z ) d z . 2241.

jj

Indicación. (véase el V r * - x‘¿

dx

-R

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jj / R2-y2

problem a Ji dy

jj 0

2156).

/ (x , y , z) dz.

Soluciones

a 2242.

c

jj d x ~

481

dy

jj

Jj

/ (x, y , z) dz.

2243.

c1 l /"** / * l +. j'2/2 ? c K - y + os

_ _ ^ y a2_ * 2 a

a

X <¡y

^

i

f(x ,y ,s)d z .

2244.

1—

\j dx

- 1

2

Jj

X

-iT S

A ( 3 1 _f. 1 2 y 2 - 27 1 /3 ). 2245.

—

V 2- .

0 2246. 2250.

2247. 59 480

2256.

2251.

2248.

i-]n2 - í .

(1 8 V § - J " )

.

nahc2 4 jt/í2/? 2 8 . 2252. ^ n a b c . 2253. ■ 2254. J t /R 2255. - ~ a 2. 4 5 4 9

~ r 3 ( n — g - ) • 2257■ ^ n R '°- 2258‘ la

Resolución.

2240.

v= 2

V 2a*—*2

r

dx

^

dy

■ 2259. y

x 3 -f;/2

jt

2a

2

i

a % . 2260.

n o 3. í'2

4/ 2a eos cp

dz — 2 ^ dfp

2« r dr jj d i í

jj

0 iL 2

iL 2a eos (p 2 0 > C* r3 dr 1 (* (2acos
2264.2. ~ ( V 2 ~ í ) a b c . a

4 y2

2266. ^ (6c2 — a2— ó2) . 2267.

0; y = 0\ z = ^ a .

2265.

— ¿

Indicación.

(« + 5-|-r). In trod u -

4 — — *T/72 /> esférica s. 2268. x = - - , y = 0, ¿ = 0. 2269. !-77r-' (3 «24-4/¿2). o 12 I n d i c a c i ó n , E l e je d ol c ilin d r o se tom a c o m o e je OZ, el p la n o do la base d el c ilin d r o c o m o p la n o X O Y . E l m om en to de in ercia so ca lcu la con resp ecto al e je O X . D espués de pasar a las coorden adas cilin d ric a s , el cuad rado d e la d ista n cia del elem en to r d y d r d z a i e je O X es igual c ir las coorden ad as

a r -s e n 2 q>+ z2. 2270.

(2/t2- f 3a2).

Indicación.

se tom a co m o p la n o X O Y ; o í e je dol c o n o , c o m o c jo

La

baso del

con o

OZ■ El m om en to de

in ercia s e ca lcu la co n resp ecto al e jo O X . Pasando a las coordenadas c ilin d rica s, para lo s p u n tos de la s u p e r fic ie del c o n o tenem os: r = cu ad ra d o de a r2 se n 2
— 2), y o l

la d ista n cia del elem en to r d y d r d z al o jo O X será igual 2271. 2íx/cp/¿ (1 — co s a ) , donde k es el co e ficie n te de prop or la d en sid a d . R e s o l u c i ó n . El v é rtice dol c o n o se tom a de coord en ad as y su e je , c o m o e je OZ. Si se in trod u cen las

3 1 -1 0 1 6

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482

Soluciones

coordenadas esférica s,

la ocuación

de la s u p e r fic ie

lateral

del

c o n o será

h

31

\p = -7¡— a , y la ecu ación del plan o de la base, r = . A causa de la ¿ sen sim etría s e tien e, que la te n sió n resultante está d ir ig id a p o r el e je OZ. La masa d el elem en to de volum en dm ;= p r - e o s ij> d
dr, d on d e, p , es la densidad. La com p on en te, p o r el e je O Z , do la a tra cción qu e e je rce este elem ento sob ro la unidad d e masa situ a d a en ol p u n to 0 os igual a —jt — sen

2rt a

= Ap sen ip eos

Ü 2

\ dtp

dty dtp dr.

La

a tra cción

resultante

es

igual

A coftcc \

dip

\

kp sen yp eos i|>dr. 2272. R e s o l u c i ó n .

In trod u cim os

ti

ti o las coorden adas c ilin d ric a s (p,
es la den-

i * * * sid a d de la esfera y r f y a p dtp dpdz el v olu m en e lo m ental. La p ro y e cció n de esta fuerza sobre el e je OZ será : d F — — Í 2 X £ í!e o s (rz) = — k m y °

2n

B

VR2= 7í

De donde F = — kmy jj d

— pdtp dp dz.

^

-R

= kmy ~- rt R3

, pero, com o

0 co

A y n t í ,¿= * M t

tendrem os

F —^ ~ - .

2273,

y*e~~xv* dy — e~ x *.

—

X 2275. a) A ( p > 0 ) ; b) j A - cu an do p > a ; c )

° ) > d )

(P > ° > * co

2276 .

2278. I »

1 rr- . 2277.

*2

a

9 p*

.

Indicación.

D eriv a r dos voces

i* \

J

o

1 —. p

. 2279. a rctg -2 — a rctg — . 22SÓ. *» ( ! + « ) ■ 228t. n ( V r ^ a S - l ) m tn ¿

2282. arcctg — . 2183. i .

2284. A .

Pasar a

p olares. 2287.

las coorden adas

Resolución.

E x clu im o s de S

en torn o de a m p litu d e,

es

el

2285. - j . 2286.

origen

.

Indicación.

. 2288. A - .

2289. C onverge.

de coorden adas ju n to c o n su

d e cir, exam in am os I e = ^

ln V * 2 + V2

dy»

*•> donde el re cin to que so ex clu y o es un cír c u lo de ra d io e co n con tro on el

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Soluciones o rig e n

de

2ji I '- \

i

a

la s

2n

*p ( 0

Do

co o rd e n a d a s. P a sa n d o

coord en a d a s

Ó

donde,

[ \ 2f X

2291. C on verge.

R o d e a m o s la recta y = x con una fa ja estrecha y su pon em os

= lim ? d x ^

v e rg e cu a n d o a > - ^ - . 2

-_ + lim ^ dar í

2293. 0.

2294. In ^ °

- .

¿t

3

2296.

ln z - \ ) .

8

lim Í E= — i L . 2290. C o n v e rg e cu a n d o a > 1. e-*0 2

Indicación.

tenem os

i

r l n r ¿ r - $ [ - £ . [n r |’ J r d r ] * p = 2 » ( ~ ~ ~

(0

2297.

2 3 0 0 .i

p ola res,

[ ( 1 + 4 * * ) 2 — 1 ].

(56 V 7 — 1). 2301. —

Indicación.

2298.

a rctg ^

—

2295.

f

. 2292. C o n -

+ Q b + fr ) _ 3 \Q>-f- D)

________

J l l 3 í _ L ± ^ l . 2299.

a*

V I

. 2302. 2na*. 2303. ~ ( l O l / l O — 1).

^ / ( z , y ) ¿s g e o m é trica m e n to

so

pu ed e

in terp reta r com o

c el arca d e la s u p e r fic ie c ilin d r ic a que tie n e la g en era triz para lóla a l e jo O Z t cu y a base es e l co n to r n o de in te g ra ció n y la s a ltu ra s ig u a le s a lo s valores de

la

fu n c ió n

s u b in to g r a l. P o r e s t o , S = ^ x ds, d o n d e C es o l arco O A de 3

la p a rá b ola p = 2305,.

2

que

+

une

arcsen

, ^ mh_______ y ( a2-t-b*)z 2313.

U t ilíc e s o

e cu a cio n e s

2316. — 2 son 2.

f)

(0; 0) y (4; 6 ).

* * ) ■ 2306.

En

■

tod os

2317. 0 .

^ < p (* )< í* + J j ^ [ y ) d y .

2304.

a “] / § .

~[/a*+b* ( n y a* + 4 n ¿ 2 +

i i r a’

i

1) '

lo s

ca sos 4.

p a ram étricas do 2318.

2319.

2312. a) 4 “ \ b) 0; c ; ^ ; 3 5

2314.

la

2308- 2 n a 2 V ^ T b 2.

2n .

a ) 8 ; b ) 12; c ) 2; d )

a)

02;

b)

1;

Indicación.

. circu n fe re n cia .

c)

;

4 2315. - ^ - a b z. e) ln ( * + ? ) :

- ^ + ln 2 ;

yi 2320. y 1 -t-ñ a — - / T + T z . 2 3 2 2 . a ) z 2 + 3 i j / — 21/2 + C; b ) z 3— c)

"

2307

2 3 Í0 . 4 0 — . 2311. ~ 2 n a a. 30

d ) — 4; e ) 4. la s

p u n tos

-

+ * i n ™ ± y * * + w * \ 2b a ) 2309.

lo s

d) +

t+ V^. —

d ) l n | i + y | + C. 2323. — 2 n a ( a + 6). 2324. - n « 2 c o s 3 ot. 31*

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Soluciones

484

2325. =

( - i - + í L k j i L ) « 3 . 2326.

(*\ ?^

y*dzdy.

4

2328.

a) — 2 ; b) a b e - 1; c ) 5 l/ l\ ti) 0.

JT/f4.

.

2329. — —

1

2330. — y .

2327. / =

2331. 0. 2332. a) 0;

W b ) 2nn. I n d i c a c i ó n . En el caso b ), la fórm u la do G reen so em plea eu e l re cin to co m p re n d id o on tre el co n to rn o C y un c ír c u lo de ra d io s u fic ie n tem ente pequ eñ o co n ce n tro en e l orin en do co o rd e n a d a s. 2333. R e s o lución. S i se su p on e qu e la d ir e c c ió n de la tan gen te c o in c id e co n la d ire c ció n d el r e co rr id o p o s it iv o d o l c o n to r n o , ten d rem os que eo s ( X , n) — = c o s (y ,

=

por

co n s ig u ie n te ,

^ eo s ( X . n) ds = <£

d s = ^ d y -= 0 .

C C C d on d e S es e l área lim ita d a p or el co n to r n o C. 2335. — 4.

2334. 2Ó\

1 n d i-

3 c a e i ó n. La fó rm u la de G reen n o se puede em p lea r. 2336. nab. 2337. — n a 2. o

2338. Gna2.

3 2339. — a 2.

Indicación.

P on er y — tx, don d e t o s un pará-

aa m etro. 2340. -r^r . 2341. n ( t f + r) (i? + 2r); G jifi2 cu a n d o fí = r. I n d i c a c i ó n . W Ln ecu a ció n d'c la e p ic ic lo id e tien e la form a R 4- r

y = (R - \ - r ) sen t — r s e n — - —

t,

x ==(7? -\-r) eo s t — r eo s —

-- t ,

don d e í es el á n g u lo de g ir o d e l ra d io del

c ír c u lo f i j o , trazado en ol pu nto d o co n ta cto . 2342. n (i? — r ) ( R — 2r); 3 R n i? 2 cu an do r = — - . I n d i c a c i ó n . La ecu a ción de la h íp o c ic io id e se o 4 o b tie n e de la ocu ación de la e p ic ic lo id e corresp on d ien te (véase e l p rob lem a 2341) su stitu y e n d o r p o r — r. 2343. F R . 2344. m g ( z i — z2). 2345.

(a2 — 62),

d on d e

p o te n cia l

es e l

k

c o e fic ie n t e

de

p r o p o r c io n a lid a d .

mgz, e l trabajo rng ( z x — z.¿)\ u

■= ; ~\/a2 + b * c t¿ J ! t ( R Z - ri ). ¿ 2351.

c)

2352.

b)

.

el

a)

p o te n cia l U = - ~ ,

k2 p o te n cia l U = ---- j r - ( z 2 + y2 + z 2), ¿

el

2347.-^r-na*. O

2

b)

2346.

2348. —

2353.

4

«1

- 25 ^ , + i— a. 1 0 (5 1 /5 -1 )

El el

tra b a jo

e!

tra b a jo

— . 2349. 0. 2350. 2354. 2 ^ 2 M . 2

- f- jia b c . ó

2355. a ) 0;

— ^ \ ( c o s a + cos P + co s y ) dS. 2 3 5 6 .0 . 2357. 4.r. 2358. — n a 2. 2359. — a11. \S)

2 m "

W

-

T

&

E

- f - 2 3 6 1 o - W B - 2 ¡j $ ( . + , + . ) * * * ■

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485

S o lu c io n e s

“

(Vw)

>

^ \ Tv J Tm

2365. 3a«. 2366. 2372.

.

(V>

2SM -

2367. H «<,6.

C on os. 2373. C ircu n fe re n cia s

2368.

.

2371. E sferas;

£ 2 + #2 = ci» z = C2-

= 9 i — 3 J — 3 k ; ¡ g r a d £ / (i4) |= V 9 9 = 3

cilin d ro s .

2376. g m á U ( A ) =

z* = x y ; x = y = z . 2377. a)

b ) 2 r ; c ) — X ¡ - ; d ) / ' { r ) -~L . 2378. grad ( c r ) — c ; la s su p e rficie s de n iv e l son p la n o s p e rp e n d icu la re s al v e c t o r c. 2379. a = b = e. 2383.

2380. - ^ - = — d¿

jiv /i ro t (re) = — -— 2386.

;

c)

_ ^L- o ol

r¿

d iv a — — / ( r ) - f - / ' (r ).

—

I 2ra(* ^ I cuando cu an d o

l _L r .

2 3 8 2 .— . r

2385. a) d i v r = 3 , ro t r = 0 ; b) d iv ( r e ) = ^ - , / / frl

d iv ( / ( r ) c ) =

d i v u = 0; r o t v = 2©, d on d e © = ©7c.

- (c r ),

ir) ro t { / ( r ) c ) — — — c X r .

2387. 2om °,

don d e ¡)2[J u n it a r io p a r a le lo a l e je de ro ta ció n . 2388. d iv g ra d r/ = —

n ° es e l vector Q'2\J Q2JJ — h ~gT¿~ »

r o t grad £ 7 = 0 . 2391. 3 n i? 2 ff. 2392. a ) i t ó * f f ( 3 J ) s + 2 / J í ) ; b ) ^ refl2# ( i í a+2JÍ2); 2393. d i v F = 0 en to d o s l o s p u n tos a e x ce p ció n d e l o rig e n d o coorden adas. E l f l u jo es ig u a l a 4jim .

Indicación.

A l ca lc u la r

el

flu jo ,

a p lica r el r

te o re m a de O s tr o g r a d s k i-G a u s s . 2394. 2n 2/¿2. 2395.

• 2396.

V \

r /( r )r f r .

—

ro 2397.

2398. a) N o tie n e ; b) Ü = x y z + C; c ) V — x y + x z + yz -|- C. 2400. Sí.

Capi t ul o VIII. 2401. 2406.

. 2« — 1 ' 3« + 2

2402. 24» 7-

2n

2403. '

—7 " T T\ -

^ . 2n~ 1 '

*«».

192

2404. ’

-4 . ** *

1 -3 .5 . . . ( 2 ^ - 1 ) 1 * 4 .7 . . . (3re— 2)

2405.

" (* + l ) 2 ' ( _ 1)n+t € '

2410. nn+1# 2416. D iv e rg e . 2417. C on verg e. 2418. D iv erg e. 2419, D iv erg e. 2420. D iv erg e. 2421. D iv e rg e . 2422. D iverge. 2423. D iv erg e. 2424. D iverge. 2425. C on verge. 2426. C on verge. 2427. C on verg e. 2428. C onverge. 2429. C onverge. 2430. C o n v e rg e . 2431. C on verg e. 2432. C onverge. 2433- C onverge. 2434. D iv org o. 2435. D iverge. 2436. C onverge. 2437. ^D iverge. 2438. Converge. 2439. C onverge. 2440. C on verg e. 2441. D iv e rg e . 2442. C onverge. 2443. Con v erge. 2444. C on verg e. 2445. C on verg e. 2446. C on verge. 2447. C onverge. 2448. C on verg e. 2449. C on verge. 2450. D iv erg e. 2451. C on verge. 2452. D iverge, 2453. C on verge. 2454. D iv erg e. 2455. D iverge, 2456. C onverge. 2457. D iv erg e.

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S o lu c io nes

486

2458. Converge. 2459. D iv erg e. 2460. C onverge. 2461. D iv erg e. 2462. C onverge. 2463. D iverge. 2464. C onverge. 2465. C onverge. 2466. C onverge. 2467. Diver* ge.

2468.

D iverge.

Indicación.

^£+1 > i . 2470. C onverge c o n d icio an nalm onte. 2471. C onverge con d icion a lm en te. 2472. C onverge absolu ta mente. 2473. D iverge. 2474. Converge c o n d icio n a lm e n te . 2475. Converge absolutam ente. 2476. C onverge con d icion a lm en te. 2477, C onverge a b so lutam ente. 2478. C on verge a bsolu tam en te. 2479. D iverge. 2480. Converge absolutam ente. 2481. C onverge co n d icio n a lm e n te . 2482. C onverge a b solu ta m onto. 2484. a) D iverge; b) con verge absolutam en te; c ) d iverg e; d) con verg e co n d icio n a lm e n te . I n d i c a c i ó n . En lo s ejem p los a) y d) ex am in ar la serie oo (a 2 h~i + y en los b) y c) in v estig a r separadam ente la s series 5 ] a **-i k=i fc=i oo

y

2 2485. D iverge, 2486. Converge a b solu tam en te. 2487. Converge h=í absolutam ente. 2488. C onverge co n d icio n a lm e n te . 2489, D iv erg e. 2490. C onverge absolutam en te. 2491. Converge absolutam ente. 2492. C on verge a b solu ta m en te. o o

o o

2493. Sí. 2494. N o. 2495. ^

; con verg e.

2496.

n=l

1 );

« —1

converge. 2497., D iverge. 2499. C onverge. 2500. C onverge. l «>l < ¿ :

^

2501.

* 4 < 0 , R t > 0 . 2502.

Indicación.

El resto de la serie se puede acotar v a lién d ose de la su m a de la p rog resión geom ótrica , que excede a d ic h o resto: R n = a n

( 1 - j 2 ^— - - A — - ^ + . . . j <

2503i í lfl< 3 -10-8.

2504.

n+ 1

<

Resolución.

n

—

—

(n + 2)2 + ' " > ( n + l ) ( « 4 - 2 j + (n + 2 ) ( n + 3 ) H' , / _ ! __________________________ 1 •R _t' W + 2 n+ 3 ) ^ n+ 1 " 2505. Para la serie dada es f á c il

R n *= ( * + 1) ( “l " )

Rn

1

• = ( ^ + T — ‘H+ a ) + « ' resto:

1 \ 2n—2

+ ( re + 2 ) ( - j - )

+

m os por

(4)'=

;

(n + 1 ) * 1

1 1 1 I n (n + l ) (n + l ) ( n + 2 ) ^ ' " h a lla r e l v a lo r e x a cto del

16 W

Resolución.

f « + i ) ~ t " 2+ < ) ~

•

i*.-(«-M>+n+»+3>+r‘+www.FreeLibros.me

M u ltip lica

487

Soluciones R esta n d o, ob ten em os:

■ a r+ ^ -(-+ s )u r 1

16

De a q u í en con tra m os e l v a lo r de R n que se da m ás a rriba . b a ila m o s

la

suma de

2508.

1.

Indicación.

S

la serie

. 2506an = —---------.

99; 999.

2509.

71

P on ien d o 2507.

S = 1 cu an do

n=0,

2; 3;

5.

x>0,

5 ' = — 1 cu a n d o x < 0 ; ó ’ ^ O cu a n d o z = 0. 2510. Cuando x > l os a b solu ta m en te co n v e rg e n te , cu a n d o x ^ \ es d iv e rg e n te . 2511. C uando x > l es a b solu ta m en te con v erg en te, cu an d o 0 < C x < l l con verg e n o a b solu ta m en te, cu a n d o es d iv erg en te. 2512. C uando x > e es a n solu tam en te co n v e r g e n te , cu a n d o co n v erg e n o a b so lu ta m e n to , cu a n d o es d iv e rg e n te . 2513. — o o < x < c o . 2514. — c o < s < o o . 2515. Es a b so lu ta m en te co n v e rg e n te cu a n d o z > 0 ; es d iv e rg e n te cu a n d o Resolu ción.

1) |fln |^ ; _ i _ , y cu a n d o

e s co n v e rg e n te ; 2)

x > 0

la

serie c u y o

cu an d o x - < 0 ,

y

térm in o

eo s nx

no

general

tien d e

es

a cero

cu a n d o n —>-oo, ya que s i c o s n x —>-0 se dedu ciría q u o co s2 rc:r—>-— 1; de esta fo rm a , cu a n d o n o se cu m p le ol c r it e r io n ecesa rio de co n v e rg e n cia . 2516. Es a b so lu ta m e n te c o n v e rg e n te cu a n d o 2kn < x < (2A + 1) n (^ = 0, dz i, zt2, ...); en lo s dem ás p u n tos es d iv e rg e n te . 2517. Es d iv e rg e n te en to d a s p a rtes. 2518. E s a b solu ta m en te co n v e rg e n te cu a n d o x 0 . 2519. x > l, 1. 2520- * > 3 ,

2523.

* > 1,

* <

* < — 1.

1. 2 5 2 1 . i > 1 ,

2524.

z < — 1.

—l< a :< — y ,

2522.

y O

x ^ '5 -í-,

O

< 1 .

x < k ^ .

O

Indicación.

OO

Para

e s to s

v a lo re s

de

x

co n v e rg e ,

ta n to

la

serie

2 A= i

c °m o

la serie

cc

7¡

1 - 7 “T * 2 lz *

C uando

fc=i se rie n o tie n d e 2527.

|x|>l

a cero.

— 2 < a r < 2 .

y

2525. 2528.

cu a n d o

|a: |

1 — ol —

— 1 < ^ < 0» 0 < a: < — l < a ¡ < l .

térm in o

general

1. 2526.

2534. i = 0. 2535.

— co <

x <

oo.

2532.

2536.

la

—

2 5 2 9 . -------- ^ < * < - 4 = - -

y 2 2530. — 1 < x < 1 . 2531. — i < * < 4 .

2537.

\s 2 — o o < * < c o .

—

2538. — 2 - < ¡ c < 2 . 2539. — * < z < e . 2540. — 3 < : r < 3 . 2541. — 1 < * < 1 . 2542. — 1 < £ < 1. R e s o l u c i ó n . La d iv e rg e n cia do la serio cu a n d o |x | 1 es e v id e n te (es in te re sa n te señ alar, que la d iv e rg e n cia do la serie en lo s o x tre m o s d e l in te r v a lo de co n v e rg e n cia x = ± i se puede c o m probar, n o s o l o v a lié n d o s e del c r it e r io n ecesa rio do co n v e rg e n cia , sin o

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488

S o lu c io n e s

tam bién con ayuda d el c r it e r io

de D ’A le m b e rt).

> + !)!

lim Ji-VOO

=

iím

n\zn '

|r a -j-) x n]n |

lim

«-♦oo

C uando

|x |< 1 ten em os:

( n - | - l ) |z [n =

lim

n->oo

n-*co

1. :c

n

= 0

(la ú ltim a ig u a ld a d se puede ob ten er fá cilm e n te a p lic a n d o la reg la de L ’ H ó p ita l). 2543. — 1 I n d i c a c i ó n . V a lié n d o s e del c rite rio do D ’A le m b e rt n o s ó lo se puede h a lla r ol in te r v a lo de co n v e rg e n cia , sin o tam bién in v e s tig a r la co n v e rg e n cia de la serio dada on lo s e x tre m o s de d ic h o in te r v a lo , 2544. — I ndi caci ón. V a lié n d o s e del c r ite r io do Cauchy n o s ó lo se puede b a ila r el in te rv a lo de co n v e rg e n cia , sin o tam b ién in v e s tig a r la co n v e rg e n cia de la serio dada en lo s e x tre m o s do d ich o in te r v a lo . 2545. 2546. — 2 < — 3. 2552. 0 < x < 4 . 2553.

2554. — — 3. 2555. — 2

:

< x < 0 . 2556. 2 < * < 4 . 2557. 1 < * < 3 . 2558. — 3 < * < — i . 2559. 1 — i - < < x < 1+ — .

Indicación.

C uando x = 1 ± —

' í-^-r ,

ya q u e

lim V - " '■■■■ = « “ ><» e ye 2562. 1 < x < 5 . 2563. 2 < x < 4 .

-f= 0. 2560. 2564.

la serie

os

d iv e rg e n te ,

- 2 < x < 0. 2561.

1 < x < 3.

|*|<1.

2565. } z \ < i . 2566. |s —

2567. |z |<

V 2. 2508. 3 = 0. 2569. |z |< c o . 2570. j z |<

( - U

1).

3 <

2577.

l n ( l + x ) ( - l < x < l ) .

2579. a r c tg * (| x | * , ; ! ) . 2582-

( r - ^ r (|g|<

2580.

1}-

2578.

(I J l <

2583‘

2576. — ln (1 — x ) i - l n p - í (|x |<

2581 •

~('¿ - l )2 <1 * I > ■ ) -

1).

(I * l < *)• 2584•

(a rctg x —

J

¿mm

— i . ln \ ^ X ) (I x I <" 1). 2585. 2 1 -\ - x ) V| 1' ' de la serie x

2586. 3.

tt-t-f ¿ o

2587.

+

b

. Indicación.

(véase el

^

p rob lem a

g (— o o < * <

E x a m in a r la

. cu a n d o

2579),

o o ).

2588.

sen

sum a

1 x —— — . “|/ 3

( * + -2 1 ) =

i «2 _ n v 2 [ * > . “

T

2589.

L

'2

**

_i_

**

_i_

16

3!

+

4!

H

51

e o s ( x - f a) = COS a — x sen a —— sen ^ n!

^

x

2!

T

—

+ — •■+ <-

x'¿

f~

2

2590.

+ ...( - « > < * < « > ) ■

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-1 1 + n\

. X't . c o s a “»— g p sen a T

— j - } - . . . ( — c o < x < c o ). 2- ¡ £

n

x4

+

1 ''' J '

cos a P

sen2 * —

•••

2!

2591. ln (2 + * ) -

|< 3.

S o lu c io n e s

489

X *2 t X3 xn = ] n 2 + T - ^ + _ - . . . + ( _ l ) » - i ¡_ + . . . ( — 2 < * <£ 2). ción.

A l in v e s tig a r e l

re s to ,

u tilícese e l

teorem a sob re

la

Indica integración

oo

de

la

serie

de

p oten cia s.

2592.

-

’V . (n + 3) x n (| a: | < 1).

n —0 oo

2593-

=

" f' 2

n=0

( 1 + 3é r ) x ’ ‘

( l * K D -

2594.

( — c o < * < o o )- 2595. ex 2 = l + ^

n —2 CO

X2>1+1

22nX2n

2596- S ( ¿ + l ) ! ( - CO
^ 2

X2»í+I Z 2n+I “■gñ+T* ñ ñ T n ( - »3 << * < 33)).'

(“ ^

oo

co

26° 2- 2 S

n=0

^

i i * i <

‘ )- 26° 3 - 2

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CO

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1).

\ -I -1 1 2001. - 1 +- + TI x 2601 • T

, 1 -3 -5 - . ( 2 * - 1 ) * » » / __ 2 < C "z < '2) i1 2*>-4 -6a *1? r • • • “ o /. ft n „ *>an+l i • • • V “V v-. 2? 1 1 2 - 4 - 6 . . . 2n 2 ^ ‘ +i

'** < »:< i1 «i oñ 2» 2-4/. 26

2607.

l)n ^ 2n ) T ' 2598' 1 +

n =0

co

X (-o o < :r < c o ).

(| * | <

^ ¡- ( — c o O < c o ) .

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2606.

XC - K = X +

2608.

2 l ( - l ) " 41

94n-3x2n (2>t)i ( - 0 0 < x < c o ).

2609.

1 }'

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n = 2

(—c o < z < c o ).

X

2611.

2+

2 - 5 - 8 . . . (3 b — 4) x n 2»n- 1.3 n -n! !•••■•(

22. 3.11

2 5 -32- 2!

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2» - 38- 31 + " ' +

. o D < s < c o ) . 2612.

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1 + -2^ + ' J,U~1 g n

1 g

x

^ / 1 . i \ n ^ ( 2» + i + 3>i+i) 2 n=i

Soluciones

490 co

co

4n

(

2 < z < 2).

2613.

l+ | -2 (1~ t(2/i)I £ t¡ > g8” ( ! * ' < “ )• “261/‘ - -¿J S 4*+i n=l n=0 co

(| * I< V 2 )-

2615.

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( - i < x « l ) . co

7-2n+!

21 (n=0

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2617.

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2

2618.

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2619.

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71=1

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2x®

„

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262L * - T + T T —

1 + 4 + ^ - + ...

2624.

+ - ■ - « » i< » - 2622‘

■

*

• ( 1 ~ fT + V

—

_ ( * + £ + , £ + . . . ) .

1 + - j - s 3 + * •• 2626. I n d i c a c i ó n .

la elip se y la 2628. s 3 — 2 z2— 2629. j ( x + h ) = ( — c o < z < co ; co

2

( - 1 ) " - 1 f e ^ * )W( 0 < « < 2 ) . =

■ )■

2 6 2 5 .* + * * +

oo

n

\

P artien d o de las ecu a cion es param étricas

de la e lip se x = a co s í, y = b sen ca lc u la r la lo n g itu d de expresión o b te n id a desarróllese en serie de poten cias de e. —5 x —2 — —78-j-59 ( s 4 - 4 ) —1 4 (:r -f4 )2+(:r-|-4)3 ( —o o < z < o o ). = 5a:3 — 4a;2— 3 z + 2-4-(15a:2 — 8x — 3) A + ( 1 5 s — 4 ) /i2-f-5&3 o o < h < o o ). 2630.

j-4

+

2631.

l

(-!)-> X n =

0

cxj

X (x

1 )" { 0 < z < 2).

2632.

2

( " + l ) ( * + l>‘l

( — 2 < x < 0).

T i— 0

co 2633. 2

oo ( 2 - » - > - 3 - « - i ) ( x + 4 )" < - 6 < * < - 2 ) . 2634.

n= 0

^

(-« )*

n=0 co

( _ 2- V 3 <

í

<

- 2 + V 3 ).

2635.

e~* [ i + ^

]

(| x | <

oo).

71=1

« 5 , fi o , * - 4 2 6 3 6 .2 + -^

1

( * - 4 ) « , 1-3

(* -4 )8 1 -3 -5 ( x — 4)4 , , , -------------------------------------------+ ( _ ! ) » OO

1 -3 -5 ... (2 n -3 ) 4 -6 -8 ...2 a

( |* t < c o ) .

2638.

(x - 4 ) n (0 < I< 8 ) 22" + •••

1 . V y + 2 ) n= 1

i x

Jl \ 2 n - l

2637 V i ( . ) n \ ( - i 2) , ¿bá7- 2 j < — *> (2 n — 1)1 n=i 471” ! / xc \ 2 « - i ' (------* — t4 )l / _ 4 w i ---------\ (I X |< CO). ( - 1 ) " ----------( 2 ^ 1 ) 1

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S o lu c io n e s

491

cc 2639. — 2 ^ 2n-\- i ( \ ~ - f -r ) n=l 1 x su stitu ció n j q — = t y d e sa rrolla r 2640

ln x

ou

serie

de

H acor

p oten cia s

do

_ ^ - í- U - Í _ ' \ 24 - Í ^ Í - £ - V , + , l ’ 3 -5 . . . (2it — 3) / x 1 -j-x 2 l l + x j + 2 - 4 U + z J + " , + 2 -4 -6 . . . (2n — 2) l l + W

+ ••• ( - y < x < c o ) ( i ) 3 s b -Í -4

indicación.

. 2641. | / ? | < - ± - < ± . 2642. | R |< 1

. 2643.

la

i.

+ ^

( ± > 5

" | ^ ------ ^5"1Í"~TÍ— *= 0,523.

Indicación.

Para

dem ostrar

uo e l e rr o r n o exced e de 0,001, h a y q u e a co ta r el resto de la serie v a lién d ose o la p ro g r e s ió n g e o m é trica que e x ce d e a este re s to . 2644. D os térm in os,

3

•C** e s d e cir, 1---------- . 2645. D os ¿ 7 m in o s , es d e cir , 1 + 2 TU=1 2650.

2,087.

2651.

térm iu os, es d ecir, x

• 2647-

| x ¡< 0 ,6 9 ;

|x |< 0,18. 2653. i

-

_

" i

— . 2646. o

O cho tér-

999- 264S- *’ 92- 2649- ( -Wi < 0,0003.

|ar |< 0 , 3 9 ;

| x | < 0 ,2 2 .

2652.

| x | < 0 ,3 9 ;

0, 4931. 2654. 0,7468. 2655. 0,608. 2656. 0,621. CO

2657.

0,2505.

2658 .

0,026.

2659.

1+ 2

( - l ) ’! ' (V

! r

(-c o < x < c o ;

(2 n)\

n— i oo

—o o < y < co ).

2660.

2

( - l ) n {X

71—

V)2l \(2n)l 2 n T ""'

(-& < * < < »■

2

oo

- c o < y < c o ) . 2661.

2 7 1 =

( - c o < x < o a ; - c o y < co ), (2 » -

1)!

i

CO

2662.

1 + 2 2

(y — * )” ;

I* — » ! < ! •

Indicación.

1—s-fy + x~u

= — 1+

Tí — 1 OO

-f-—

.

(— i < x < l ;

A p lic a r

la

—l < y < l ) .

progresión

geom étrica.

indicación.

2663.

—

^------

Tí—l 1 — x — y + x y = ( l — x ) { i — y).

CO

2664. 2 ( ~ 1)n - í “ í r Í T ~ ~ n=0 a r c tg

- !< » < * ) .

Indicación,

a rctg x -f a r c t g y (cu a n d o \x | < 1 , \y |< 1 ) . 2665. 1 { x + k , v + J c ) =

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49 2

S o lu c io n e s

= a s H 2bxy -I- rí/2 + 2 < a x + b y ) h + 2 (bx + c y ) k 4- ah* + 2 M + ele*. 2666. / (1 + h r 2 + * ) - / ( ! , 2) = 9/t— 21/f + 3^2 + 3/i/c - 12*2 + jt 2 _ 2*3. 2667. 4 +

JJJ

.

—

,-x i

n = l

7 i= i t2 —

2669.

(2ÍÍ1)

l+ z +

7/2

2,

r3 _

+

1

3|

2671.

¿

+ -• ■

2670‘

Sen2(f + !11 ) X ;

i + * + * » + y * * » + ...

J (0 )-íi± S ; J (± * )-fi+ Í *

.

»=0 co

« a

2

co

?t I 2Í

f

Í + < “ + 6> S

r .= 0

;

n = í co

,9 ( d r n ) = Í _ J L n .

2673.

^

+ 4^1

í(± # )* = n * .

n= 1 co

2

2674.

r i

v ' (—

sii a n j - r ^ + á ^

"i

n 2 (a cos n x- n seR nx) J 1

£ ( ± ji) = ch « a .

n = l 00

¿2 ssen e n ¿om n vv ii ,, ,n, nv. n n ssen e n nx n z 267a. --------------- > , ( — 1)r‘ — 5 jx ' a 2— n2

.

.

,

si a n o es num ero en tero; sen

axy si

a

71—1

es núm ero e n tero; S ( ± n ) = 0. 2676. - ^ £ L

[J L + fj

( - 1

) » ^

]

,

n »l si a n o es en tero; cos « £ , si a es en tero; S ( ± n ) = eos «¡n. co

2677.

— ——— X

oo

n= 1

n= 1 CO

J t t » ) - * » . 2679. 2

03

S S .

2680. X

íi= l

t

T T Í

n = l

OO »

.

„

2 S

K

'

00 < -< > » -.= = ; b

, f - i . 2

n= i

n=1

co

2 6 8 2 .a )

i ;t .senna, donde fc2ft- 3=

2 ^ 1 ~ ji (2ft— l ) 3 ’

y

¿2A = — F

;

n= 1

b) - ^ + 4 2

(_l)n

—

; 1 ) - ^ - ; 2)-g -. 2683. a)

n=l

2 [1—( —l)1*e°n\x 7i=l

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493

Soluciones co

nsonns . aS+na ’

X

eaK~ i

2a V

b)

[ ( - l ) n e ™ - i ] cos nx ¿ 2 + 7 ^ '

+

2 „ 3> — X

n = l

00 1 — c o s - r — x 5 ! ¿-i n=

( *

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n*=l 2686.

— scn n s;

n

i

.

se n -K -4 - + — V « --------— c o s n s . ¿ J i n

b)

0

~

2685.

a)

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bx ^

(2 /i — 1)2

D>

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4

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Z

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2 J 6n s e n n *>

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1 ¿ 2fe = ( ~ 1) &_1 2 F -

2 +

¿,2H+i=; ( - ^ ) ' t ~

‘

n = l

co 2887.

oo

n, Z J

2688.

(2n — l ) a

- i V

1S »L S

n=i

ü .x ji

n= i 00 2A f 1 vi ( sotinh \2 — |y + 2 j (— I c o s /,iJ • «= 1

co

/ i sen n ¿ \ x ( y + S cos" * ) n= 1

OAftA 2690-

2 6 9 ,7 - ^ + 2 2 n=>2

2694. R e S o 1 u c i ó II. n

S

1)

'

—

•I T [ 4 - + S n=l

S

, en la

/ ^ Z -{-¿ j = _ /^ - 2 —

3

]

■

?r 2 2 r 2 ik fl2n — ~ \ / (x ) co s %n x dx “ — \ I { x ) c o s 2 n x áx-\~ & ■) r) o o <é

-4- — f f ( x ) eos 2 n x d x . Si se hace la s u s titu ció n ¿ — - í — z ic .] ¿ n 2 in te g ra l y

2889.

4n2 — 1

ji

segu n da,

¿ j , es

v a lién d ose

de

en

la

la supuesta

prim era

idim tidad

fá c il observar quo aZn — 0 (n = 0 , 1 , 2 , . . . ) . 7t

2

2) b2n = — íi

\ f ( * ) sen 2nx dx = — j O

La

s u s titu c ió n

m ism a

id en tid a d

que en el

/ ( 4 r + 1 ) — / ( " ^—

í / ( s ) sen 2rwr /te -f- — í / (x ) sen 2nx rfx. ») J 0 Ü

2

ca so

1),

teniendo en cuonta la supuesta

,I0S con d u ce

a

oo

* O { n = i , 2,

X oca, 1 4 2695. y — ^

X ' c o s (2 n + l ) n x OCAÍÍ Z (( 2n 2 * +T ll )) «2 “ * 269 ’ n=O

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las

igualdades

¿ 2n K 0

oo

sen 2nn x 4 2 v 1 _ “ ^ ñ-----n= l

494

Soluciones

2697. s h /

nnx

.

~

l

nnx’

.2 6 9 8 .1 0 y JC n=l

/2 ^ „ 2 „ 2

- r ^ - 2S ( — «= 1

nnx

co

eos — ------n n sen —p

5 n sen

2699. S) { 2

M n2¿ - i 1 ) ”

l b ) 1.

2700. a) J i ^

n=l OD

~

í J' \2& +1

4 | (2 fc + l)» J ‘

3 7702

a)

"

a)

—

00 2701 ‘

t 2k~

n)

4r . k ’

2703

“

S 7i= i „

donde « x-, , 162 J ( n=^l

4 «a 3

68fc+l =

2 1J

scnt2» * 1)"* f - l l " _____________ 2 —

V

k* ¿ J ( r»=0

>

(2n + l)-‘

m

’

(»

2

;

n=i nx c °3 i(2/J — l )/-----

' b ) T ~ n 2 ' 2 ----- (2 b — 1)8------1)* n=l 8 n

( - l ) " +‘

9 -^ ^ 11 2 ^ 2 “^ /I¿=1

b)

Í - V

c o s ( 2 re + l ) n x -

«2 2 j n=0

(2 b + 1)2

—

2

co

2nn 2/ut.t x , 1 'e i eos 2nnx 7*2 C0S— 3“ + 2 ^ ^ 7»= 1

Capi t ul o IX 2704. Sí. 2705. N o. 2706. Sí. 2707. S í. 2708. Sí. 2709. a) Sí. b) n o. 2710. Sí. 2714. y — x y ' = 0. 2715, x y ' ~ 2y = 0. 2716. y — 2 xy ' = 0. 2717. x d x + y dy = 0. 2718. y ' =

y. 2719. 'dyZ— x* = 2 x y y ’ . 2720.

x y y ' ( * y * + l ) = l . 2721. y = s y ' l n | - .

2722. 2 iy " + í/' = 0. 2723. y" = y' — 2¡/ = 0. 2724. y* + 4 » = 0. 2725. j,’ _ 2 ¡ / ' + + y = 0. 2726. y " = 0, 2727. y " ' = 0 . 2728. (1 + y '2) y '" — 3 j j V a= 0 . 2729. y 2— — *2 = 25. 2730. y = ze2X. 2731. i / = - — c o s x . 2732. y = y { — 5e~x + 9ex— í e 2*) 2738. 2,593 (e l v a lo r e x a cto y = c). 2739. 4,780 (el v a lo r e x a c to y = 3 ( ¿ — 1 )). 2740. 0,940 (e l v a lo r e x a cto

.y = l )

2741.

1,826 (e l v a lo r e x a cto

2742. c tg 2 ¡ / = t g 2 z + (7. 2743. * = — — = ; V i + y* 2745.

g==a + — g - — .

2746.

y - 0.

t g y = C ( l — e*)3;

2744.

z = 0.

y = ~]/ñ).

x 2+ i / 2= ln Cx*.

2747.

y=+senx.

2 2748. 2e 2 = V « ( ! + «*) 2749. 1 + z/2 = -j— , . 2750. jp=4. 2751. a r c tg ( z + y ) = = * + C . 2752. 8 i + 2¡/ + 1 = 2 t g ( 4 z + C). 2753. x + 2¿>+ 3 ln |2 x + 3 ^ — 7 |= C. 2754. 5a + 1 0 j + C = 3 1 n | 1 0 x - 5 y + 6 j. 2755. p = - — i ~■ co s (p

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o ¡,2= 2 C * + C 2.

495

Soluciones

2756. ln p =

1 cQ~g¿ ^ — ln |eos q> [ + £

i/2

0 l n|x |—

o la h ip é rb o la y = . — . I n d i c a c i ó n .

= C. 2757. La recta y = Cx

E l seg m en to de

tan gen te es

x “j-, a V

y2 + »*+

Y

T7" • 2758. (ir ) * ' 275S-

y 2— x 2 ^ C .

2759.

2760.

igual

y2 = 2p x.

y= x

[ x y dx 2761. y = ax2. I n d i c a c i ó n .

P o r la c o n d ic ió n

ó

3

— ----------- ~ ~ £ x .

D erivando

j¡ y dx dos veces resp ecto a x , ob ten em os la ecu a ción d ife r e n c ia l. 2762. 2 — V 4 — X2 2763. j/ = y 4 — x 2 + 2 l n ---------—

y2 —

x.

ó

. 2764. Haz de rocía s y = kx. 2765. F am i

lia de e lip s e s sem eja n te3 2x 2-}-y 2 ==:£;ü. 2760. F a m ilia de h ip érb ola s x 2 — y 2 = C. 2767.

2769

F a m ilia

. y = —C-------

y = ± x .

X

de

i - .

W

circu n fe re n cia s

x 2 + (^ — &)2= fc2-

~~ 2 7 7 0 . * = £ « * '. 2771.

2772.

+

(a — C )2—

ln |y |= C . 2 7 7 3 .

+ ! » * ) * ( * + »)■ = <:. 2775. y = * j / l —

¡/2 = C*;

2776.

2768.

-

y = x ln£x

{ x — 2)*— j 2 = 4;

i * = 0 . 2774. (z 2 +

{z + y — í p = C ( x - y + ' A )

2777. a r + ¡/ + 2 1 n | * + 0 — 1| = C . 2778. ln |4 z + 8 ¡ / - f 5 | + 8y — 4 x = C. 2779. x*2= l — 2y. 2780. P a ra b o io id o de ro v o iu ció n . R e s o l u c i ó n . G racias a su sim etría , e l e s p e jo que s o b u sca os una s u p o r fic ie do rev olu ción . El o r ig e n de co o rd e n a d a s se sitú a on e l fo c o lu m in o so ; e l e jo O X es la d ire cc ió n d el haz d o rayos. S i la tan gen te a cu a lq u ie r p u n tó M (x , y ) do la curva de la s e c c ió n hecha p o r e l p la n o X O Y on la su p e rficie quo se b u sca , form a c o r e l e je O X un á n g u lo 9 , m ien tras quo el segm en to quo uno el o r ig e n do co o rd e n a d a s co n esto p u n to M (x, y) fo rm a uti á n g u lo a co n oí m ism o eje, ten d rem os que t g a = t g 2 y = - ^ t g ^ ip ‘ P e ro * t » a = í 'x

+ Y - La ° cua_

c ió n d ife r o n c ia i que s e busca e s y — y y ' 2 = 2 xy ' y su s o lu c ió n y 2 = 2 C x - f C2. La s e c c ió n p lan a es una p a rá b ola . La su p e rficie buscada, un p a ra b oloid e de r e v o lu c ió n . 2781. (x — y ) 2— Cy =^0. 2782. x 2 = C ( 2 y + C ) . 2 7 8 3 .(2 y « — *»)*«• X

= C x 2.

I n d ic a c ió n .

P a r tir

= C x — x ln |x |. 2785.

de

que e l

y = Cx+xK

4 - e o s y = C. I n d i c a c i ó n .

área es

ig u a l a

^ ydx. a

2784.

y=

2786. y = - ~ - x * + - ^ - . 2787. x V i + v ' - r

La ecu a ción e s lin e a l co n respecto a x y

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dy

.

S o lu c io n e s

496

2788. x = C y i

\

-l-a r c s e n x )

• 2791.

= x l n — . 2794. s 2 = x

2798.

rx n h __p u y= -^ -+ ^ — ■

2789.

!/2+ a : + ay =

y « =-

=

ln

y

+ o2 = 0. 2802. ¿ r -\-x y + y i = C . ^ 3 - - 2 -iV + 2 x -f--~ =C .

2S07.

■ 2792. ¡/ (a;2 + í7jr) = 1. 2793.

i/2 =

• 2795- V* ( S + C e c o s x ) ~ z . 2 7 9 I . x y = C y * + a*.

y~r^y¿

0. 2799. x

i í y = - ± - (z\/ \ — z * +

2790.

2805.

^

. 2800.

ÍL + - ~ = 1 .

2801. x * + y 2 - C y +

2803. í t + x y ^ + x Z ^ C .

2804.

-----

s 2 + ;/2— 2 a r c t g — = C. 2800. x * — y * = C y ¿.

y e ~ — 2. 280S. ln |x |—

— C . 2809. y

+ - y - = C- 2810. ^ ln a¡-¡-

2811. (x s o n y-|-y c o s p — son p) ex = C . 2812. (x 2C2- j - l — 2C¡/) (x 2 + + C2 — 2Cy) — 0; la in te g ra l sin g u la r es x 2 — y 2= 0 . 2813. La in te g ra l gene ral es (y + C) 2 = x a; in teg ra l sin g u la r n o hay. 2814. L a in te g ra l general es

y + c j | i - 4^4- Cj =0;

in teg ra l

general

es

1 2816. y = - g - co s x ± .10, o

in te g ra l

y*-\-C2 = 2Cx;

la

L/3 2~“ sen x .

sin g u la r

in teg ra l

no

hay.

sin g u la r,

2815.

La

x * — y* — 0.

f x = sen /> + l n p , 2817. | j, = p sen p + c o s p + p + (;.

r® = eP + pfiP + £•',

/

28,8‘

2 _L „

2819‘ j

r+ ’

P

P

L j/ = p2 4 -2 1 n /? . La s o lu c ió n sin g u la r

es

y = 0,

2820.

4y = x~ + p 2, ln

\p — x \ ~ C - \

— p

2821. ln ~ l/p 2+ p 2- f a r c t g - y - = C, x = ln 2822. y = C + £ ; 2824.

{ 1

^

y= ±2x.

x

. La s o lu c ió n sin g u la r es y — ex . 2823.

— C ^ -ÍP + a . ¡ í = . C ( l + P) e - P — pü + 2.

f I P l~ a r c s e n P + C \ y j = p + y i - P2. i 1 x = - ¿ j - ( C p z — p),

2825. i ” !/ = - ¡ r (2 í7 p 2 + p 2). 6

I n d i c a e i ó n . La ecu ación

d ife re n cia l,

de

laque

fu n ción de /), es hom ogénea. 2826. y = C x + C *

y= ,— ~

s o lu c ió n sin g u la r n o tiene. 2828. y ===Cx + V f + C 2; — Cx + —

; í/2 = 4x,

2830. xy = C\ 2831.

se determ in a .

com o

2827. y = Cx + C;

x 2- f y 2 = l .

Una circu n feren cia y

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x

2829. la fa m ilia

Soluciones

497

t de tan gen tes a e lla . 2832. La a stroid e s 2 /3 -f-^ 2/3 = a2/3. 2833. a) H om ogénea; y = xu\ b ) lin e a l co n re sp e cto a x\ x = uv\ c ) lin e a ! con resp ecto a y\ y — uv; d ) e cu a ció n de B e rn o u lli; y = uv\ e) co n v a ria b les separablos; f ) ecu ación de C la ira u t; red u cirla a la form a y = x y ' rb g ) ecu a ción de Lagrange; d eriva rla c o n respecto a x\ h ) ecu a ción d e B ern ou lli; y = uv; i) red u cib le a uua ecu ación co n v a ria b le s sep arables; u = x + y ; j) ecu ación do Lagrange; d e riv a rla con resp ecto a x ; k ) ecu a ción de B ern o u lli co n rela ción a x; x = uv\ I) ecu a ció n en d ife re n cia le s exactas; m ) lin e a l; y = uv‘ n ) ecu ación de B e r n o u lli; y = uv. 2834. a ) s o n - — =

— ln |a: |+ C; b) x — ^ -eC l/+ !. 2835.

+ j , 4 = Cy2. 2836. !! = — £ £ £ - ■ 2837. x y { c — i - l n 2 z ) = l .

2838.

y=C x-\-

-\-C ln C; la s o lu c ió n sin g u la r es y = — e~"^x^ K 2839. y — Cx-\-~\/— aC\ la s o lu
— a r c t g y — - 4 “ ln { l + y 2) = C . 2842. j/ = a:2
¡/ = C’¿- s e n :c + s e n x — í .

2845.

y = a x + C V í ^ z 2.

= — r T (* + ln |* |+ C ). 2847. x = Cesen X -j- 1

2846

y=

2a (1 - f s e n y). 2848. - ^ - + 3 x. + y + ¿j

+ l n [ ( * — 3)W»|íí — l | 3j = C. 284!». 2 a r c t g Z ^ ± = \n Cx. 2850. * a = l — | - +

+ C e'” " '.

2851.

x* = Ce’J— y - 2 .

= a? arcsen (Cx).

2854.

2852.

j / ^ + l n |*| = <7.

2 4 i/s = £ « “ 2 * + - g - sen * + - g - eos a:.

2856. x = C e » — 4 - (sen y - f e o s y ). 2857. p y = C ( p — i ) . ~ T yi~ T y ~ Í :

x e v — y 2 = C.

2862.

X ~

y=

x y = C ( y — 1).

2858. z * = Ce*v— y¡> —

2859, ( * * + £ > ( * • ¥ + 0 = 0. 2880.

_ _ 2861 -

2855;

2853.

V ¿ 2+ 7 5 _ JL = C .

V ' l + !>■

P-,2

2P

"*■ 2p2 ln ( P +

+ í ' 3) •

y= 2px+yTTp*. 2863.

y = x e ° X.

2864.

i/2

2ex — ii* = Cy*.

.

=

'

„„„„ 287° -

2867. x * - y = C e n . 2868.

^ 00. . * ' = C s e n * - “ - 2871-

a: + y = C. 2869. y =

fl2 l n ( i + V a " á T ^ ) + C 7 + ' .................. ‘

2872. ( y - C z ) { y * - x * + C) = 0. 2 8 7 3 . y * = C x - \ - - ^ , y = y Jr X 2 y „ y 2 z — y l = C.

= C .

v_

28CC. y * + C e ~ 2 + — — 2 - 0 . *4

2865. l n \y -f-2 |-f-2 a r c lg

2875.

p2 + 4y2 = C y 3.

2876.

32— i 016

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f 2 Í 2. 2874.

p -2 -1 .

2877.

y=x.

Soluciones 2878. y ~ 2. 2879. y = 0. 2880. y = 2882. j r = * “ x + 2 x — 2. el pu ntó {0; 0) os 2884. a) y 2 = x ; b) y* = + rj*=:C2; b) no tiene

í y ;(sen s . ^ c o s * ).

2881. y = — { % & + 2 ¿ + l J r;

2883. a ) y = x\ b) y = C x y donde C es a rbitraria ; e) punto sin g u la r" do la • ecu ación d iféroftcial. 2px\ (0 , 0) es el p u n to sin g u la r. 2885. a) { x — C)2 + so lu ció n ; c ) x 2 + y 2 = x\ (0, 0) es ol punto sin g u la r.

2886. = 2887. y = ( Y ^ + V I > . 2888. y2 «=1 —
\

y = - - {cx+ e ~ x ). I n d i c a-

P a rtir do que e l área es ig u a l a ^ y dx,

y

l,a

lon g itu d

del

arco

x

a* Y í + y ' t d x . 2896. x = — + Cy. 2897. y 2 = AC ( C + a — x). 2898.

Indica-

j

c i ó n . A p lica r e l hecho de que la resultante do la fuerza do gravedad y de la centrífuga e s norm al a la su p e rficie . T om a n d o el e je do g ir o com o eje OY y designando p o r cú la v elocid a d angular de la rota ción , obtenem os, para la sección plana axial do la su p orficie que se busca, la ecuación d iferen cia l £ -“j ~ = co2x . 2899. p = ¿ “ ° ' 0()0,67?\

Indicación.

La presión

en cada n iv e l de la colu m n a v e rtica l de aire se puede con sid erar com o d cp on d icn te exclu sivam en te do las capas que descausan más a rriba . E m pléeso la loy de B o y le — M ariotto, según la cu al, la densidad es p rop orcion a l a la presión . La ecu ación d ife re n cia l Indicación.

La ecuación es ds — kiv• ^ j x dx.

2902. T = a + {T0— a) £-*■>. r.

p.

in icia l 2906.

m.

2905.

Q0.

= n ( “i ^ )

En

100

seg.

v d t ‘ 2007.

p rop orcion a lid a d )

v = ~y^

t h

años La

2901.

w)

se

d esin teg ra

ecu ación

un

4 ,2 %

es

La

ecu ación

cuando

Indicación.

La

( * j / —y ) . 2909. 18,1 k g .

(o=^l()p ( - - ) ‘

de

la

cantidad

Q = Qo ( y ) 1G° ° ' es

. I n d i c a c i ó n. La ecu ación

y

2900. 9 = — klw.

D entro de una hora. 2904.

Indicación.

Q — Qo ( y ) 3 . 2908. v de

2903.

Indicación.

t ^ 35,2

buscada es dp — — k p d h .

t

co(k

ecu ación

os d Q = — AQ dh\

es

os

Indicación.

»

n (/t2— 2/t) d/i =

ol

c o e f¡cie n to

m ~ = m g ^ kv*; La ecu ación es ”'

-

Í = R * + L W l -R3(>a-a t ~ Ll* C0S a t > + L(úe

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R f L ]■

Soluciones

499

di La e cu a c ió n es /?¿ + L — = £ s c u g ) ¿ .

Indicación.

+ C lX+ C 2. 2912. l + c 1r/ 2 = ( c 2 + - ^ ) 2. 2914.

i/ = C 1 + C 2 ln|a;|.

2917. 2919.

2015.

y=

y = ( l + ( 7 í ) l n | a : + C 1 |— C i:r + C 2. y = i - { l n | a : | ) Z - l - C 1 lii| a :| -f-C 2.

2921

4 “^ -.

2922.

2013.

y = ln |« * * + ( 7 , |- * + £ ? « , 2910.

V C , r + C 2. y — C^ ( * — C , ) = . a ln sen

2918.

2920.

y = ±

y

a: = 4 ~ ] n Cj

|f = (C i«* + l)* H -< 7 j.

(s o lu c ió n g u ia r ).

s in g u la r ). 2926,

+ C2x + C 3. 2931.

j/ = C *2.

+ tf = a » + 3 x.

2932.

2934. x — C, —

C2

ln

2037. ’ Ty = x + i .

2042. x - — y

J +^2*

c + C 2; y = ™ a : 2 + C

y ——

- { - C (s o lu c ió n sin -

In |a: |+ C 2z + C3. 2927. ¡, = son (C , + z ) + 2929.

¡/ = 6 ,, i Í ^

y= y

(*a + l ) . >

; j/-C \

2033.

2930.

¡í= * + l.

z = <7, + ln

. 2035. x = Cxy* + y ln j/ + C2. 2036.

4a* = l.

! / + ^2

2038.

J -ii+ iln la ;!.

y = ( 6 > - C f ) eCl

y = * C xx ( x — C t)-\ -C $

y = 2928.

2 i/T = — g— 3 2

2924.

2925.

+ 0*2; y + c .

y = + | [ " i V C\ — x * + C \ aresen f-l

2023.

y — arln |i |+

2911.

2939.

(y + 2 ) - .

«2— 1

x*-\

y-

—

? = 4 - * 2-

2943.

2940.

y=

m

i * i

y = ~ x ' 2.

y=a-

2941.

1 — X2

e.+ l )

+

y s= 2 e * .

,-x + T ^ 7 ' 2945" y “

2044.

« 3e^-x g - . 2946. y = 2~ g33f » 2947.

o

í/ = sgc2 :z.

2948.

y = s e n a :-f-l.

2949 949. y = •— — 4 " - 2950. x = — £ - e ~ y2. 2051. N o tie n e s o lu c ió n . 2952. y = ex . 4 2 ¿ •i ¿ 2953. j/ = 2 ln |x |—

. 2954.

c ió n s i n g u l a r e s y = C. 2955.

^ " T ^ 1 ( * “M ) 2 + ^ 2 - T-a soIu ' j-2 — h ( ^ í — C f) x + C2. La s o lu c ió n

g u ia r es j, = Í £ ± ü ? - ¡ - C . 2956. v = ¿ ( C , + * ) « + C 2* + C 3. -f-C 2*Cl* ;

y = l ~ ¿ x;

y= —l +

Ia

s o lu c ió n

s in g u la r

2957. os

sin -

* = C 4+

4

y — ~qZ-

x

'

32*

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S o lu c io n e s

500

2958. Las circu n feren cia s. 2959. ( x — C t)2 — y = a ch (.r —

. La circu n feren cia

xq)Z =

2(1’1 j — a2.

La

+ ~

H

2

constante

y

q

— a.

2963.

La

p arábola.

— g { aenct — p ic o s a ) . La 2966. s = — ln ch ( t m ie n to es m

le y g—

2964.

La

parábola

y = a ( 1 — c o s í), y = ~ 7 r — e 11 ¿ Q

+

£ 2* donde H os la ten sión h orizon ta l

Indicación.

2965.

2961.

x — x Q^ a (t — sen í ) ,

+ ^ 2 0 í/ = ^ c h

q / / dy \ 2 ~ ~ fíy 1 ‘ l^ ííc j '

ción.

(¿c— a;0)2-|-y2 = a*.

c ic lo id e

2962. €ay+Cí! = se c ( a x + CA.

= 0. 2960. La catenaria

La ecu ación

La

ecu ación

del

m o v im ie n to

j .

del m o v im ie n to

■ 2967.

es^ ~ = * dx¿ d 2s ¿¿2 “

es

sí2 es 5 = —¡y- (sen a — ja c o s a ) .

z

Indicación.

= mg— k

d ife re n cia l

La

D en tro de

La ecu ación dol m o v im ie n to es

ecu ación 6,45

del

se g .

m o v í-

Indica

= — 10*. 2968, a) N o; b) sí;

c ) s í; d) sí; e) n o; f) n o; g ) n o; h) s í. 2969. a) y v+ y ^ 0; b) y " — 2 y ' + y = 0; c ) x 2y " — 2 x y ' + 2 y = 0; d ) y 1" — '¿y" + 4 y f — 2y = 0. 2970. y = S x — 5*2 + 2**. 1 2 9 7 i . y ¿ = — (C¡ sen * + ó'2 cos x). I n d i c a c i ó n . E m plear la su stitu ció n x !/— y¡u.

2972.

y = C ¡ x + C 2 1» x . 2973.

= Ax-\-— ~. I n d i c a c i ó n .

Las

y ^ A + B x ^ + x 3.

so lu cion es

hom ogénea son y , = * , y 2 — — - ^ o r

ol

2974.

p a rticu la res

m étod o

de

las

de

¿r = ~ + O

la

ecu ación

variacion es

de

las

X

JJ

constantes arbitrarías h a lla m os: C x — ^- = A; ¿

Cz =

2975. y = A-{-

h

+ t fs e n * + C c o s * + l n |sec a ? 4 -t g * |+ sen x ln |co s x |— a: co s x. 2976. y^= = C 1*2* ' K V 3*- 2977. y = C{e-**-\-C2eZx . 2978. y = C\ + C2e * 2979. y = C ^ c o s * + + 0*2 son x. 2980. y = ex (Cl co s x + C 2 sen x ) . 2981. y - r ^ ( C | cos 3* + £ 2 s e íl3 * ). 2982. y = (Ci + C & ) e - * . 2983. y = *** y=

^

+ ó y —*

= n ch +

2992.

2984.

Sí k > 0,

s i k < 0 , y = C l co s ~ [/— /c* + £2 sen ~\/~kx. 2985.y —

2 % C 2« 2987. p = 4e* + e « .

^ F + ¿ y “ * / F ).

2 ^

2986. y = e

2988. j = y = 0.

2993.

+

lC o s - I + * + C2 s o n L p x ) .

2989. ¡ / - s e n 2 z . y = C sen jur.

2994.

2990. y = l . a)

2991. y ^

xe^x (Ax^ + Ü x + C ) ;

b) A c o s 2 r - f # sen 2 x; c ) ^ co s 2 i + 5 s o n 2 x + Cx*e*x ; d ) o * ( /t co s * + 5 s c n x ) ;

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Soluciones c)

o* { A x * + B x + C ) + xe** ( D x + E)\

501 í)

z & [(A x * + B x + C) co s 2x +

+ (Dx2-\-Ex-\-F) sen 2*]. 2995. y = (Ci + C2x ) e2 * - f - l - ( 2 x * + 4 s + 3 ) . 2996. y =

= e 2 ((? ! cos

+ C2 so n ± - ^ 2 . j -)-x 3 + 3xz m

2997.

y = (Ct + C2x ) e~* +

- 1 - 4 - « 2X. 2998. í/ = Cí e:c-l-C 2í « - [ - 2 . 2999. y = Clí;*-|-C 2e - * - f 4 J ¿

3000. y =

s s C j co s x - ^ C 2 s e n x -\ -? x sen x . 3001. y = C\cx -\-C 2 fi~'¿ x — \ (3 sen 2a:-}-cos 2z). 2 j 3002.

y « C 1* » + C 1* "3 * + *

+ - i - co s * + “ 7” 3005.

1 -)

3003.

y = (Cl + Czx ) e * +

e~X' 3004. y =

(2 co s 2 x — son 2x).

y = - e x (C^ eos 2 x + CoSOn 2 x ) - { - ^ e x sen 2a*.

3006.

1 + — (sen x + sen 2 x). 3007. 1) x = C x cos co¿ -f- C2 so n col +

i/= .c o s 2 x -f-

A (J¿ _ _ } p sen Pl < 2) x =

= <7jCOs o>¿ + C2 son d>í — - ^ - / c o s c o í . 3008. í/ = C1e;{x+ í 7 2e45C— x c4*. 3009. y = ¿O) = C 1+ C2e « + ^ —

3010.

+ (72e8)c- | - | - w * * — y * . 3013.

3011.

y -C ,+

3012. ¡/ = C i e-2*-|-C 2e4:i:— i c ^ -j-g (3 eo s 2x-|-sen 2x).

y = C-'j-f-C2e -^ +

3015. y =

|>= « * ( C 1 + Cí * + a »).

+

— 5*.

3014.

í-* + | e *

3010.

y = <71+ C,2e * — 3 * s * — * — * 2. a = (C i eos 3 * + C 2 sen 3*) e* +

+ i ( s o n 3 s - j - G c o s 3 * ) - | - y . 3017. f / = < C i + C & + x * ) e ™ \ •+- C2
-----------.

■ 3018. a = C j +

3019.------ y =

eSfc (4a: + i ) — - i ----

— “p + -£ ". 3020. y = £ , e * - f C ,2e~x — x s e n x — c o s x . 3021. y = C V “ 2X + í»2X

+• £ -*

(sen 2x-|-2 co s 2o:). 3022. y ^ C j co s 2 x + £ 2 sen 2* — 3023.

y = í?* (C^ e o s x-|-C 2 sen x — 2 x c o s x ) .

+ - i - (x*¿ — x) ** + 3027.

(3* - 1 ) •**.

3025. 3026.

x

3024.

( 3sen 2x-|-2 co s 2 x )-fy — <7J
y — CA c o s 3x -(- C« sen 3 x + - i x sen x — -^ r eos x + y - C ¡ ¿ * + Ca
y = Ci + C2e 2 x - 2 x e X - ^ x — 1 * » .

3028.

3x) +

( 2 * 2 - s)
a = ( C j + C’2í +

) e2x.

3029. a ■= ( V " 3* + Cae*— 4 (2x2 + * ) ff- 3* + 1 . (2x2_¡_3* ) e*. ;ju3ü. y - C¡ cos x + 8 v 1 ' 16 f xX , x2 x . . . 3 ó - f C2 son x + — ccooss xX + H— ¿— sen — 7- co s o3 x + -I- — sen 3x. SCO x X — -T I n d i c a c i ó n. 4 4 o T ran sform ar e l p ro d u cto de cosen os en su m a de cosen os. 3031. y = = Cte ~ x 1 2 -|- C2ex y 2 + x e x sen x 4 - ex cos x.

3032.

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y — C í co s x + C2 son x - f

-502

S o lu c io n a s

+ c o s x ln |o tg

+

|-

3033.

y — CiCoa x - f C2 s e u x + s e n ¿ * ln Jtg-^-

3034. y— + ex ~\~xex ln |x |. 3035. y— e~x -{-xe~x ln |x |. 3036. !/ = C l co s * -f-(72 sen x + x son ar-)-eos x Id (e o s x 3037. y = Ci eos x -fsen x — x eos a:-{-sen x ln |sen x |. 3038. n) y = C iex + C 2 e~x -i-(ex -j-e~x ) arctg b)

y = Ciex

-\-C 2 ¿ ~ xyr* + e xZ.

3040.

f ( ' S ’ ) = 2 _ * ( l + 2) (fc= ;',) :

Si

£ — «JUU

do reposo do

ecu ación

r = 2.1 j / |

2 gsen 3 0 / - - 6 0 '\/rg sen ~\/gt T cm . I n d i c a c i ó n . —-~ r2 de Ja p o s ició n

La

la carga,

del

m ov im ien to

seg.

es

3041.

. , z se cuenta a partir — * " = 4 — k ( x 0-\-x — y - l ) ,

donde

x 0 es la distancia desde e l pu nto de rep oso de la carea hasta el p u n to in ic ia l do engauche d el resorte, í es la lo n g itu d del resorte on estado do

reposo;

por

lo

cual

/c ( s 0— ¿) = 4,

p or

con sig u ien te,

d 2x k ( x — y) , d on d o ¿ = 4, g^=981 cm 2/s o g . 3042. m —^ = k ( b — x ) — I = c eos —

¿

. 3043. G ^ - = gs; ¿ = ] / Ay l n ( 6 + 1 / 3 5 ) . e ~ (0t)y

b)

r = ~ (e^1 — e~~tít). ¿(ú

ren cial dol m ovim ien to e s -^ -£ -= di 2

3045. y = C 1+ C 2^ + ^ 1»

Indicación.

3044.

<ó-f x ); a) r =

La ecu ación di fe -

íoV .

3046. V = C x + C2< r « +

3047. !/ = C1e - “ + « 2 ( c 2 c o s _ l ^ _ ;r + C, sen

.

3048. y ~= C, + C2x + Csex ^ + C,fi~x v T . 3040. y = ex { C ^ C ^ + C ^ ) . 3050. y = ex (Cj eos x + C2 sen x ) + e~x (C3 eos x-\ -C k sen x ). 305Í. y = (Cj + C'¿x) eos 2 x + ( C ¿ -(- C^x) sen 2x. x

_

3052. y ^ C t + C t f - x + e ^ ( <73 eo s

_

* + C4 s

o

n

) .

3053. ,j = (Cs + C2x ) e~* + (C3 + C,,r) «* 3054. // = 6 ' ^ * -}-J- C3 eos a z C4 sen ax. 3055. y--^(Ci + C2x ) e v T x -i-(C3+ C i x ) e - 3056. í / = C 1 + C2z + + C3 c o s a a r + C 4 s e n a i . 3057. y = C + C 2i + ( C 3+ C 4j ) r * . 3058. !/ = (C , + -|-C22) eos a + (Í7S+ ^ x ) se a i . 3059. » = < r* (<71+ C 2a: + . . . + C nx n~i). 3060.

j, = C1 + C'2* + ( c 3+ C 4* + - ^ - ) c *

3061.

y =■Ct + C ¿ c + 1 2 x 2 + 3x3 + A.

+ _^_

xs

{C.¿ + C ,,x) e*.

3062. y = C ic * + c ~ Z ^(72 cos J ~ ^ i + C3 sen 3063. y ^ C ¡ - ¡ - C 2x + C3a:2 + C4P -“

(4 eos 4 x - s e n 4 * ) .

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5.

503

Soluciones

3064.

y ~ C lé - * + C 9+ C 3z + ^

«s + .-L * « + «*

3065. y = Cie '-x + C2 c o s x + C g s e n x + e * ^ — 3066.

.

.

-J- C% eos x + C3 sen x - f s e c x - f e o s x ln |c o s x |— t g x -s e n x - f x s e n x .

3067. .y = e - x + e

2 ( co s

sea

i 3068. ^ ( C j - f C o l n x ) — .

x ) + x ~ 2* Q -f .

3069. y = C, * 3

X

X

3070. = C* co s (2 ln x ) + C2 s e n (2 ln x ), 3071. y = C ix-\-C2x* + C3z*. 3072. y - = C l + C2 ^ x + 2) — ^/3. Q 3073. y = C1x 2H— — . 3074. y = Ci co s (ln x ) -\-C 2 sen ( ln x ). x 3075. y = C’, * 3 - f C2í 2 + I * . 3077. i/ = x ( ! n x - f ln 2 x ).

3076.

3078.

¿- = ( * + 1)* [<7S+ ¿72 ln> ( * + l ) ] + ( * + l ) 3-

y = C { c o s x + C 2 sen x ,

z = * C 2 eos x — C ,s c n x.

3079. y = e r x ( C 1 c o s x + C 2 se n x ), 2 = -i- < r* [(C2— 2Ct) co s x — (C t + 2C2) se n x) . 3080. y = (Cl - C 2- C ix ) e - * * , z ^ (C ,x + C2)
„ -

2 ^ C 2 e o s — 2 ~~ t + c s 9 °“ —

V

C ..-4 ..-S ( g . C. . . + . - 5 ( -

*) *

C» V T - C° c a

£

0 .

T g l , + C» V | - C,

, m

W

,) .

3082. x = C ie~ l + C 2ei t , y = C3e~ ' + C ^ , z = - (C , + C s) < r‘ + ¿ V 2' • 3083. y = C , + C 2c 2 * - - f x2 + z ) , s - C g í » * — C i + | - (* 2 - * — 1). 3084. j/ = Cs + C2.r 4 - 2 sen a , z = — 2Ct — Cz ( 2x + i ) — %s o n x — 2 c o s x . 3085. y *= (C 2~ 2 C t - 2 C 2x ) e~x — 6 * + 1 4 , s = (C¡ + C2x ) « -* ■ + 5 * — 9; C j= 9 ,

3086. m

O

4,

y = í 4 ( 1 — e~*) — ¿‘ x (3 + ie~ x ) , z = — 9 (1 — e~x ) + « (5-|-4 e ~ * ) . 8e3 í— e ' + 6í — 1; y = — 20e3< + 8 c 3l + 3eí - f l 2 í + 10. - T C

b ) ln la

í ?2 =

e cu a ció n

^ Í -

^ -C ~ í

M 8‘.

.)

J í ± ^ i - C

, .

a r c tg ^ + C , , — r ~ = = = C2. c ) I n d i c a c i ó n . hom ogénea *

— x — y

ln V ^ H - í / i = a r c t g — + C i.

L u eg o,

^ — , • h a lla m os x+ y u tiliz a n d o

p o r c io n e s d e riv a d a s, t e n e m o s — =■ — 2 x ( x — y)

las

y ( x + y)

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la

f - C

Integrando

p rim era

p rop ied a d es * J + y*

*

integral

de las pro. De donde

504

S o lu c io n e s

ln z =

ln ( s 2,|_y2) - { - ] o c 2 y , p o r c o n s ig u ie n te ■_ - = C2\e) * + y + ¿ ^ yx^-j-f/2 + z = 0, £3+ y !¿+ 23 = 6. I n d i c a c i ó n . U tiliz a n d o las propiedades de las

p rop orcion es

derivadas,

tenem os:

■ ^x — = . ^ = - ^ g— — ftyÍ ~ • y—z z—x x—y 0 de donde d x-\ -d y-\ -d z = 0 y , p or co n sig u ie n te , x - ^ y + z ^ C ^ . A n á loga m en te xdx ydy z dz x dx + y dy + z d z . ^ ~ ( y - 7 ) = 7 F = ^ T = T ( 7 - = --------- " ~ Ó ~ -------------; * á* + l ' ^ + * á * = 0

y x 2- h y 2 + z 2 = c 2. Es d e cir, que las curvas in tegrales so n las circu n feren cias £ + 2/ + ¿ = C j, £2 + y2+ 23 = C2. De las co n d icio n e s in ic ia le s x = i 9 y = i t z= s — 2, tendrem os quo 6^ = 0, Cz = 6. 3089. ¡ , = , ( 7 ^ 4 - —

lo

X

(3 In^ ce— 2 ln x ) ,

í = l _ 2 C l* + ^ | - J - Í ( 3 1 n * * + l n * - l ) . 3090. y = s C iex } ^ + C2 e ~ x ^ + C3 cos 2 + £ 4 sen * +
3091.

V 2 - C2e ~ x V 2 ~

x =

(1 — e .

. ,

. Resolución,

w

f

c o s x - ^ sen * - j

m ?), dvx

y = " p * ( &yo son a + w g) ( 1 — £ .

= — kvx \ m

co n d icio n e s in icia le s son : a:0 = ^0 = 0 , t = 0. In tegran do, obtenem os: vx — vq c o s a e

ftf m ,

= — kvy — mg

yA.o = y0 cos a ,

Y m k . y = -^ 4 s e n -- — k Ym

cióu.

d iferen cia les

del

m¿) —

cu an do

^ 0— y0 s e n a

kvu -\-m g = (kv0 sen ct+ mg) e

onno k , 3092. y = a cos — y— L 1/ni Las ecuaciones

«*+ *.

,

las

cu an do

- — t m

* 2 , ¡z2y2 • r i ■ —^ - + ----- — = t . Indica*¿ mvl d^x m o v im ie n to son : rn - •••-■ = — h2x\ d i2

3093. y = ~ 2 — 2 * — **. 3094. » , = ( ¡ , 0 + j

) eW

- i.- .íi+ í .

3095. 3090. . 4

»

-

^2 ¿^3 ^4 3097. {/ = ar + r - ^ + - - 5 + 5- T + l a 1 •Z Z - o o -4

serie es con verg en te cu an do — i < a ? ,,vcrKon te cuandü — < x > < + < + c o . I n d i c a c i ó n . E m pléese el p roced im ien to de los c o e fi cien tes in determ inados.

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Soluciones

3099. y = l —

oí

* 3 + ^ r r z * — * 'o V ' o! 9!

— c o < x < - f e o . 3100. y = » - ^ I L Í . .

505

- * *» *a 3er*e 03 con vergen te cuando Indicación.

Em pléese

el

m étodo

jj2

do lo s c o e fic ie n te s in determ inados. 3101. ¿f = l — 55"^ 22T42 ~~22-42 - 62 la serie es con verg en te cuando |x |< -|-co. m étod o de lo s co e ficie n te s indeterm inados. 3102

• x ~ a { í

¿I ,S ' t' 4 ! <4

3103. u = A c o s

sen

.

Indicación.

co

U tiliz a r

las

co n d icio n e s :

, - ° U^ ¡ ^ = 0.

- Y SonL V • Il,d' CaCl6n'

( 2 / c - f- 1 ) Tíat

1

3104. fe—o las

Em pléeso el

6! í G + 8 ! ,8

u ( 0 , /) = 0, u { ¿ , t) = 0, « ( r , 0 ) = A sen

U tiliz a r

Indicación.

’

(2 / í •|~1) j c j

r

co n d icio n e s: u (0, i) = 0 f u (I, f ) = 0» ti ( x t 0) = 0,

,

d U

^

= 1.

oo , in . 3105.

8/¿ 1 n.i rcrcaf /in.r u = —r —5- s e n - r — c o s — ?— s e n — — . ji2 n2 2 ¿ l n=l las co n d icio n e s:

* /

r . x Indicación.

í 2h*

a

" T " Para 0 < X

m

dt

i u« i ; U tilizar

•1

T »

) 2A ( 1 — |-) para -g- < ¡r < í. OO

3106.

u= ^ i

'l/* cos ^

— - sen

^

^—

, donde los coeficien tes An =

n= 0

2 ? x (2n+l)«x, = — \ — sen dx —

1)1

¿i

8 ( — l ) r* 1 , 77? ■>•

(2tf + l)-Jta

. . . . , Indicación.

U tiliza r

, las

o 1- • /f» a Ouil, t) x d u ( x y 0) co n d icio n e s: « ( 0, t ) = 0, ------— —= 0 , u (x, 0) = -¿- , --------- ^ — — = 0. oj

„ . A400 3107. “ = “ 3-

1

— c o s » ji ) s e n —

e

aS7i3n2í 1003

f . . . . • Indicación.

U tili-

71=1

zar las co n d icio n e s: u (0 , í ) = ^ « w ( 100, / ) ^ 0 , u ( x , 0 ) = 0,01 x (100 — x).

Capítulo X 3108. a) < 1" ; < 0 ,0 0 2 3 % ; 1)) < 1 ram; < 0 , 2 6 % ; c ) < 1 g ; < 0 ,0 0 1 6 % . 3109. a) < 0 , 0 5 ; < 0 ,0 2 1 % ; b) < 0 ,0 0 0 5 ; < 1 , 4 5 % ; c ) < 0 ,0 0 5 ; < 0 ,1 0 % . 3110. a) 2 c ifra s ; 48-103 ó 4!M Ü3, y a que el núm ero está com prendido entre 47 877 y 48 845; b) 2 c ifra s ; 15; c ) 1 c ifr a ; 6 -1 0 2. P rácticam ente, el resultado dobo escrib irse en la form a (5,9 ¿ 0 ,1 )-1 0 2. 3111. a) 29,5; b ) 1 ,0 -10a; c ) 43,2. 3112. a) 84,2; b ) 18,5 ó 18,47 ± 0 , 0 1 ; c ) el resu ltado del cá lc u lo no tieno c ifr a s ex a cta s, ya que la diferen cia es ig u a l a una centésim a y el valor

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S o lu c io n e s p osib le del error absolu to tam bién es una centésim a. 3113*. 1,8 ± 0 , 3 cm 2' I n d i c a c i ó n . U tiliza r la fórm u la del increm ento d e l área del cuadrado. 3114. a) 30,0 ± 0 , 2 ; b ) 43,7 ± 0 , 1 ; c ) 0,3 ± 0 , 1 . 3115. 19,9 ± 0 , 1 m 2. 3116. a) 1,1295 ± 0,0002; b) 0,120 ± 0,006-; c ) el co cie n te puede o s c ila r entre 48 y 62. P o r con sig u ien te, on la n ota ción dol cocien te n o puede considerarse exacta ninguna cifra d ecim a l. 3117. 0,480. La ú ltim a c ifr a puede o s c ila r en una unidad. 3118. a) 0,1729; b) 277-103; c) 2. 3119. (2,05 ± 0 ,01). 10^ e r a l 3120. a) 1,618; b) 4,025 ± 0 ,0 0 1 ; c ) 9,006 ± 0,003. 3121. 4,01-103 cm 2. El error absoluto es 6,5 cm 2. El error r e la tiv o 0 ,1 6 % . 3122. E l cateto os ig u a l a 1 3 ,8 + 0 ,2 cm ; son a = 0,44 ± 0,01; a = 2601 5 ' ± 3 5 '. 3123. 2 ,7 ± 0 1 . 3124. 0,27 am perios. 3125. La lon gitu d del péndulo debe m edirse con e x a c titud do basta 0,3 cm ; los núm eros n y q deben tom arse con tres cifras (segú n e l p rin cip o de las in flu en cia s igu ales). 3126. Los radios y la gene ratriz deben m odirso co n error relativ o do 1/300. El núm ero jx debe tomarse con tres cifra s (según el p r in c ip io de las in flu en cia s ig u a les). 3127. La m agnitud l debe m edirse co n p recisión del 0 ,2 % y s, co n p recisión del 0,7% (según e l p r in cip io do las in flu en cias ig u a les). 3128. X

y

Ay

A2*/

A zy

A *y

1

3

7

— 2

-0

14

2

.10

5

— 8

3

15

- 3

4

12

—3

5

9

6

5

0

8

A5y —

—9

-1

- 1

-4

3129. X

y

Ay

A2y

1

-4

— 12

32

48

3

-1 6

20

80

48 48

5

4

100

128

7

104

228

176

9

332

404

11

736

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A

23

507

Soluciones 3130.

I n d i c a c i ó n . C a lcu la r los prim eros c in c o valores do y y , una vez o b te n id o A 4í/ 0 — 24, rep etir esto núm ero 24 p or tod a la colum na do las cuartas d iferen cia s. D espués do osto, la parto róstante de la tabla se liona m ediante op eracion es de suma (avanzando do derecha a izquierda). 3131. a) 0,211; 0,389; 0,490; 0,660; b) 0,229; 0,399; 0,491; 0,664. 3132, 0,1822; 0,1993; 0,2165; '0,2334; 0,2503. 3133. 1 - f z - f a S + i S . 3134. y = 1 + —

+

x3 4 .

22 cuando ^ = 5,5; y = 20 cu an do x ^ o ,2. I n d i c a

c i ó n . A l c a lc u la r a para y = 20 tom ar í/ 0 — 11. 3135. El p o lin o m io de inter p o la ció n es y = x 2— 1 0 * + 1; y — 1 cu an do x = 0. 3136. 153 k g f (aproxim adam en te).

3137.

a)

y ( 0 , 5 ) = — 1;

y (2 ) = l l ;

b ) y (0,5) = -

-

,

y ( 2 ) = - 3.

3138. - 1 , 3 2 5 . 3139. 1,01. 3140. — 1,86; — 0,25; 2,11. 3141. 2,09. 3142. 2,45; 0,019. 3143. 0,31; 4. 3144. 2,506. 3145. 0,02. 3146, 0,24. 3147. 1,27. 3148. - 1 , 8 8 ; 0,35; 1,53. 3149. 1,84. 3150. 1,31; - 0 , 6 7 . 3 1 5 1 .7 ,1 3 . 3152. 0,165. 3153- ± 1 , 7 3 y 0. 3154. 1,72. 3155. 1,38. 3156. x = 0,83; y = 0,56; z = - 0 , 8 3 ; y - — 0,56. 3157. 3 = 1,67; y = 1 ,2 2 . 3158. 4,493. 3159. ± 1,1997. 3160. Por la fó rm u la de lo s tra p ecios, 11,625; por la fórm u la de Sim pson, 11,417. 3161, — 0.995: — 1; 0,005; 0 ,5 % ; A = 0,005. 3162. 0,3068; A = l,3 -1 0 -A 3163. 0,69. 3164. 0,79. 3165. 0,84. 3166. 0,28. 3167. 0,10. 3168. 1,61. 3169. 1,85. 3170. 0,09. 3171. 0,07. 3172. 0,75. 3173. 0,79. 3174. 4,93. 3175. 1,29. I n d i -

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508

S o lu c io n e s

c a e i ó n. U t i l i z a r la s e c u a c i o n e s p a r a m é t r ic a s de la e l i p s e z — c o s t, p = 0 ,6 2 2 2 s o n t y t r a n s f o r m a r la f ó r m u l a d e l a l o n g i t u d d e l a r c o a l a f o r m a

n

2

P • • \ 1 / 1 — e2 eos2 t ‘ dtf donde e es la excen tricida d de la e lip se . 3176.

X't (x)— y T

o y 2 W = x + S ,? 3 W = í M * ) = + + / r ------z + l , x :i z.¿ ( x ) — - g = *—

+ ‘& + l ü S ' + - M =

" - 3177- » í ( * ) =

+

7x¿ 2 j 2- t 3 z — 2, s3 (a;) = —— — 2a:2+ 3 j — 2. 3178. ¡,3 ( * ) = * — y - + - ¿ g p

3179.

y (1) = 3,36.

t

~

x + 1'

Zi ( x ) = 3 x — 2, ( « ) = * , i/2(^ ) = 3180.

í/ ( 2

) = 0,80.

3181.
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A P E N D IC E S

I, Alfabeto griego Au. — A lfa

ITrj— 60 — Ti— Kx —

B p — Beta T y — Gamma Afi — D e lta E e — E p silon Z£ — D zeta

Eta Teta Iota Kappa

A X — Lam bda

Mfi— Mu

N v — Nu

T x — Tau T v — Y p silo n 4>
S g -X i O o — O m icron n jt-P i Pp — Ro

X x -J i Psi Qto — Om ega

2 a — Sigrna

II. Constantes de uso frecuente Magnitud

a:

1**

Magnitud

n

3,14169 0,28318

0,49715 0,79818

1,57080

0,19612

1 € C*

2n jí

2

0,78540

1,89509

JL

0,31831

1,50285

T ,56571

7,38906

0,86859

1,64872

0,21715

»/— y e

1,39561

0,14476

M = ig e

0,43429

1,63778

Jl2

9,86960

0,99430

— = ln lO

2,30258

0,36222

1,77245

0,24857

1 radián are 1°

5 7°17/45" 0,01745 9,81

1,46459

0,16572 0,43429

2,24188 0,99167

4 Jü

3/----yT 31 *

.

2,71828

*6

0,36788

y

ji

X

r

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1

III, Valores Inversos, potencias, ralees y logaritmos lg a: (man tisas)

ln :*

4

4,0 1,4 1,2 1,3 1,4

1,000 7 0,909 0,833 0,769 0,714

1,000 1,210 1,440 1,690 1,960

1,000 1,331 1,728 2,197 2,744

1,000 1,049 1,095 1,140 1,183

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1,000 1,032 1,063 1,091 1,419

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0,0000 0,0953 0,1823 0,2624 0,3365

1,5 1,6 y 1,7 4,8 4.9

0,667 0,625 0,588 0,556 0,526

2,250 2,560 2,890 3,240 3,610

3,375 4,096 4,913 5,832 6,859

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0,4055 0,4700 0,5306 0,5878 0,6419

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0,500 0,476 0,454 0,435 * • 0,417

4,000 4,410 4,840 5,290 5,760

8,000 9,261 10,65 12,17 13,82

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30 l0 3222 3424 3617 3802

0,6931 0,7419 0,7885 0,8329 0,8755

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0.333 0,323 * 0,312 0.303 0,294

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1,0986 ¡ 1,1314 1,1632 1,1939 1,2238

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4 .0 4,1 r 4.2 4,3 4,4

0,250 0,244 0,238 0,233 0,227

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1,3863 1,4110 ; 1,4351 1,4586 1,4816 ?

4 ,5 4,6 4,7 ir 4,8 4,9

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20,25 21,16 22,09 23,04 24,01

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2,121 2,14 b' 2,168 2,191 2,214

6,708 6,782 0,85G 6,928 7,000

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6532 GG28 6721 6812 6902

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1,6094 1,6292 1,6487 1,6677 1,6864 :

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3 0 ,2 5 3 1 ,3 6 32,49 33,64 34,81 3 6 .0 0 37,21 38,44 3 9 ,6 9 4 0,96 42,25 43,56 4 4,89 4 6 ,2 4 47,61 4 9 ,0 0 50,41 51,84 53,29 5 4 ,7 6 5 6 ,2 5 57,76 5 9 ,2 9 G0,84 62,41 6 4 ,0 0 65,61 6 7 ,2 4 6 8 ,8 9 70,56 72,25 73,96 75,69 7 7 ,4 4 79,21 81,(30 82,81 8 4 ,6 4 86,49 8 8 ,3 6

166,4 175,6 185,2 195,1 205,4 216,0 227,0 238,3 250,0 262,1 274,6 287,5 3 00,8 314,4 328,5 3 43,0 357,9 3 73,2 389,0 4 0 5 ,2 4 2 1 ,9 439,0 456,5 474,6 493,0 512,0 531,4 551,4 571,8 592,7 614,1 630,1 658,5 681,5 705,0 729,0 753,6 778,7 804,4 830,6

90,25 857,4 92,16 884.7 9 4 ,0 9 912,7 96,04 941,2 .98,01 970,3 100,00 1000,0

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2,345 7,416 2,366 7,483 2,387 7,550 2,408 7,616 2,429 7,681 2,449 7,746 2 ,4 7 0 7,810 2 ,4 9 0 7,874 2,510 7,937 2 ,5 3 0 8,000 2,550 8,002 2,569 8,124 2,588 8 ,185 2,608 8,246 2,627 8,307 2,646 8,367 2,665 8,426 2,683 8,485 2,702 8,544 2 ,7 2 0 8,602 2 ,7 3 9 8,660 2,757 8,718 2,775 8,775 2,793 8,832 2,811 8,888 2 ,8 2 8 8,944 2,846 9,000 2 ,8 0 4 9,055 2,881 9,110 2,898 9,165 2,915 9,220 2 ,9 3 3 9,274 2,950 9,327 2 ,9 6 6 9,381 2 ,9 8 3 9,434 3 ,0 0 0 .9,487 3,017 9,539 3,033 9,592 3,050 9,644 3,066 9,695 3,082 9,747 3,098 9,798 3 ,1 1 4 9,849 3,130 9,899 3,146 9,950 3,162 10,000

f* 1,765 1,776 1,786 1,797 1,807 1,817 1,827 1,837 1,847 1,857 1,866 1,876 1,885 1,895 1,904 1 ,913 1,922 1,931 1,940 1,949 1,957 1,966 1,975 1,983 1,992 2 ,0 0 0 2,008 2,017 2,025 2,033 2,041 2,049 2,057 2,065 2,072 2 ,080 2,088 2,095 2,103 2,110 2,118 2 ,125 2,133 2,140 2 ,1 4 7 2,154

• fio *

3,803 3,826 3,849 3,871 3,893 3,915 3,936 3,958 3,979 4,000 4,021 4,041 4 ,062 4,082 4,102 4,121 4,141 4,160 4,179 4,198 4,217 4,236 4,254 4,273 4,291 4,309 4,327 4,344 4,362 4,380 4,397 4,414 4,431 4,448 4,465 4,481 4,498 4,514 4,531 4,547

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8 ,1 9 3 8 ,2 4 3 8,291 8,340 8,387 8,434 8,481 8,527 8,573 8 ,6 1 8 8 ,6 6 2 8,707 8,750 8,794 8,837 8 ,8 7 9 8,921 8 ,9 6 3 9,004 9,045 9,086 9,126 9,166 9,205 9 ,2 4 4 ' 9,283 9,322 9,360 9,308 9,435 9,473 9,510 9,546 9 ,5 8 3 9,619 9,655 9,691 9,726 9,761 9,796

4,563 9,830 4,579 9,865 4,595 9,899 4,610 9,933 4 ,6 2 6 : 9,967 4,642 40,000

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1,7047 1,7228 1,7405 1,7579 1,7750 1,7918 1,8083 1,8245 1,8405 4,8563 1,8718 1,8871 1,9021 1,9169 1,9315 1,9459 1,9601 1,9741 1,9879 2,0015 2,0149 2,0281 2,0412 2,0541 2,0669 2,0794 2,0919 2,1041 2,1163 2,1282 2,1401 2,1518 2,1633 2,1748 2,1864

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2,2513 2,2018 2,2721 2,2824 2,2925

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IV, Funciones trigonom étricas Xo

X (radian es)

son x

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COS X

0 i 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 44 42 43 44 45

0,0000 0,0175 0,0349 0,0524 0,0698 0,0873 0,1047 0,1222 0,1396 0,1571 0,1745 0 ,1 9 2 0 0,2094 0,2269 0,2443 0,2618 0,2793 0,2967 0 ,3 1 4 2 0,3310 0,3491 0,3665 0,3840 0,4014 0,4189 0,4363 0,4538 0,4712 0,4887 0,5001 0,5236 0,5411 0,5585 0,5760 0,5934 0,6109 0 ,6 2 8 3 0,6458 0,6632 0,6807 0,6981 0,7156 0,7330 0,7505 0 ,7 6 7 9 0 ,7 8 5 4

0,0000 0,0175 0,0349 0,0523 0,0698 0 ,0 8 7 2 0,1045 0,1219 0,1392 0,1564 0 ,1 7 3 6 0 ,1 9 0 8 0,2079 0,2250 0,2419 0,2588 0 ,2756 0 ,2 9 2 4 0,3090 0,3256 0,3420 0,3584 0,3746 0,3907 0,4067 0 ,4 2 2 6 0,4384 0,4540 0,4695 0,4848 0 ,5 0 0 0 0 ,5 1 5 0 0 ,5 2 9 9 0,5446 0,5592 0,5736 0,5878 0 ,6 0 1 8 0,0157 0,6293 0 ,6428 0,6561 0,6691 0,6820 0 ,6947 0,7071

0,0000 0,0175 0,0349 0,0524 0 ,0 6 9 9 0,0875 0,1051 0,1228 0,1405 0,1584 0,1763 0,1944 0,2126 0,2309 0,2493 0,2679 0 ,2 8 6 7 0,3057 0,3249 0,3443 0,3640 0,3839 0,4040 0,4245 0,4452 0,4663 0,4877 0,5095 0,5317 0,5543 0 ,5 7 7 4 0,6009 0,6249 0,6494 0,6745 0,7002 0,7265 0,7536 0 ,7 8 1 3 0,8098 0,8391 0,8693 0,9004 0 ,9 3 2 5 0 ,9 6 5 7 1,0000

co 5 7 ,2 9 28,64 19,08 14,30 11,43 9 ,5 1 4 8 ,1 4 4 7,115 6 ,3 1 4 5,671 5 ,145 4 ,7 0 5 4,331 4,011 3,732 3 ,487 3,271 3 ,0 7 8 2,904 2,747 2,605 2,475 2 ,3 5 6 2 ,2 4 6 2 ,1 4 5 2 ,0 5 0 1,963 1,881 1,804 1,732 1,6643 1,6003 1,5399 1,4826 1,4281 1,3764 1,3270 1,2799 1,2349 1,1918 1,1504 1,1106 1,0724 1,0355 1,0000

1,0000 0,9998 0 ,9 9 9 4 0 ,9 9 8 6 0 ,9 9 7 6 0,9962 0,9945 0,9925 0,9903 0 ,9 8 7 7 0 ,9 8 4 8 0 ,9 8 1 6 0,9781 0,9744 0,9703 0 ,9 6 5 9 0 ,9 6 1 3 0 ,9 5 6 3 0,9511 0 ,9 4 5 5 0,9397 0,9330 0 ,9 2 7 2 0 ,9 2 0 5 0 ,9 1 3 5 0 ,9 0 6 3 0 ,8 9 8 8 0 ,8 9 1 0 0,8829 0 ,8 7 4 6 0 ,8 6 6 0 0 ,8 5 7 2 0,8480 0,8387 0,8290 0,8192 0 ,8 0 9 0 0 ,7 9 8 6 0,7880 0,7771 0 ,7 6 6 0 0,7547 0,7431 0 ,7 3 1 4 0 ,7 1 9 3 0,7071

1,5708 1,5533 1,5359 1,5184 1,5010 1,4835 1,4661 1,4486 1,4312 1,4137 1,39G3 4,3788 1,3614 1,3439 1,3265 1,3090 1,2915 1,2741 1,2566 1,2392 1,2217 1,2043 1,1868 1,1694 1,1519 1,1345 1,1170 1,0996 1,0821 1,0647 1,0472 1,0297 1,0123 0,9948 0 ,9 7 7 4 0 ,9 5 9 9 0 ,9 4 2 5 0 ,9 2 5 0 0,9076 0,8901 0,8727 0,8552 0,8378 0 ,8 2 0 3 0 ,8 0 2 9 0,7854

90 89 88 87 86 85 84 83 82 81 80 79 78 77 76 75 74 73 72 71 70 69 68 67 66 65 04 63 62 61 60 59 58 57 56 55 54 53 52 51 50 49 48 47 46 45

COS X

ctg x

tg X

sen x

X (ra d ia n es)

Xo

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513

V. Funciones exponenciales,»-hiperbólicas y trigonométricas X

e*

0 ,0

1,0000 1,1052 1,2214 1,3499

sh x

ch x

1,0000 0 ,9 0 4 8

0 ,0 0 0 0 0 ,1 0 0 2

1,0000

0 ,2 0 1 3 0,3045 0,4108

1,0050 1,0201 1,0453 1,0811

0 ,1 0 ,2 0 ,3 0 ,4

1,4918

0 ,8 1 8 7 0 ,7 4 0 8 0 ,6 7 0 3

0 ,5 0,(5 0 ,7 0 ,8 0 ,9

1,6487 1,822-1 2,0138 2 ,2 2 5 5 2 ,4 5 9 6

0 ,6 0 6 5 0,5488 0 ,4 9 6 6 0 ,4 4 9 3 0 ,4 0 6 6

0,5211 0,0367 0 ,7 5 8 6 0,8881

1,2552 1,3374

1,0265

1,4331

1 ,0

2,7183 3,0042

0 ,3 6 7 9 0 ,3 3 2 9

1,5431

3,3201 3,6693

0 ,3 0 1 2 0 ,2 7 2 5

4 ,0 5 5 2

0,2466

1,1752 1,3356 1,5095 1,6984 1,9043

1 , G685 1,8107 1,0709 2,1509

4 ,4 8 1 7

0,2231

2,1293

2,3524

4 ,9 5 3 0 5,4739 6,0496 6,6859

0 ,2 0 1 9 0 ,1 8 2 7 0,1653 0,1496

2 ,3 7 5 6 •2,6456 2,9422

2,5775 2 ,8 2 8 3

2 ,0 2 ,1 2 ,2 2 ,3

7,3891 8,-1662

0,-1353 0 ,1 2 2 5 0 ,1 1 0 8

' 3,6269 4,0219 4,4571 4,9370

2 ,4

11,0232

2 ,5

12,1825 13,4637 14,8797 16,4446 18,1741

0,0821 0 ,0 7 4 3 0 ,0 6 7 2 0 ,0 6 0 8

2 0,0855 22,1979 24,5325 2 7,1126

0,0498 0,0450 0 ,0 4 0 8

1 ,1 1 ,2 1 ,3 1 ,4 1 ,5 1 ,6 1 ,7 1 ,8 1 ,9

2 ,6 2 ,7 2 ,8 2 ,9 3 ,0 3 ,1 3 ,2 3 ,3 3 ,4 3 ,5

1,1276 1,1555

son x

COS X

0,0000

0,0000

0 ,0 9 9 7

0,0998 0,1987

1,0000 0,9950 0,9801 0,9553 0,9211

0 ,1 9 7 4 0,2913 0,3799 0,4621 0 ,5 3 7 0 0 ,6 0 4 4 0 ,6 6 4 0 0 ,7163 0,7616 0 ,8 0 0 5 0 ,8 3 3 7 0 ,8 6 1 7 0 ,8 8 5 4 0,9051 0,9217 0 ,9 3 5 4 0 ,9 4 6 8

0,2955 0 ,3 8 9 4 0,4794 0,5646 0,6442 0,7174 0 ,7 8 3 3 0 ,8 4 1 5 0,8912 0 ,9320 0,9636 0,9854 0 ,9975 0 ,9 9 9 6 0,9917

0,8776 0,8253 0,7648 0,6967 0,6216 0 ,5 4 0 3 0,4536 0 ,3624 0,2675 0,1700 0,0707 - 0 ,0 2 9 2 — 0 ,1 2 8 8 - 0 ,2 2 7 2

0 ,9 5 6 2

0,9738 0*9463

3,7622 4,1443 4 ,5 6 7 9

0 ,9040 0 ,9704 0 ,9757

0,0093 0 ,8 6 3 2 0,8085

- 0 ,4 1 6 1 -0 ,5 0 4 8 - 0 ,5 8 8 5

5,0372 5,5569

0,9801 0 ,9837

0,7457 0,6755

- 0 ,6 6 6 3

6 ,1 3 2 3 6,7690 7,4735

0 ,9 8 6 6

0,5985 0,5155

- 0 ,8 0 1 1 — 0,8569

8,2527 9,1146

. 0,9926 0 ,9 9 4 0

0 ,4 2 7 4 0 ,3 3 5 0 0,2392

- 0 ,9 0 4 1 - 0 ,9 4 2 2 - 0 ,9 7 1 0

1 0,0179 11,0764

10,0677 11,1215

0 ,9 9 5 0

- 0 ,9 9 0 0 - 0 ,9 9 9 1

29,9641

0 ,0 3 6 9 0 ,0 3 3 4

12,2459 13,5379 14,9654

12,2366 13,5748 14,9987

0 ,9 9 5 9 0,9967 0 ,9 9 7 3 0,9978

0,1411 0,041G — 0 ,0 5 8 4 —0 ,1 5 7 7 — 0,2555

3 3,1154

0 ,0 3 0 2

1 0,5426

16,5728

0,9982

- 0 ,3 5 0 8

- 0 ,9 3 6 5

9 ,0 2 5 0 9,9742

0 ,1 0 0 3 0 ,0 9 0 7

0 ,0 5 5 0

3,2632

5 ,4 6 6 2 0 ,0502 6,6947 7,4063 8,1919 9 ,0 5 9 6

3,1075 3,4177

th x

0,9890 0,9910

33-1016

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- 0 ,3 2 3 3

- 0 ,7 3 7 4

- 0 ,9 9 8 3 - 0 ,9 8 7 5 - 0 ,9 6 6 8

514

VI. Curvas (para consulta)

4.

Parábola y=xK

2. P arábola cúbica y = 3?

4. G ráfica de la fu n ción fraccionaria 1 y= 2 ’

1 * = -

y=

í -

\ - X

'

X

6. Parábola (ram a su perior) y = y i.

7. Parábola cúbica y= V ~ x.

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515

8a. Parábola

de N oil

9. S in u soid e y co sin u so ld o y ^ .scn x o y=-cosx.

10. T a n g cn toid o y contangentoid© y = t g * c y = c t g x.

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41. G rá fica de las fu n cion es y = gecz e y = cosccs.

12. G ráfica do las fu n cion es trig on om étrica s y = A r c s o n x e y = A rceos x.

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inversas

517

13. G rá fica

de

la s fu n c io n e s tr ig o n o m é tr ic o s inversas y = A r c tg x e y = A rcctg x.

14. G rá fica
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51S

15. Curva loga rítm ica

1(>. Curva do Gauss

ir— la x.

17. Gráfica

lt =

de las fun ciones ex — e~x y —sh * = — g e y — ch x =

h iperbólicas

ex -r-e~x ------ (catenaria).

18. G ráfica de las fun ciones h ip erb ólica s ex— e-x y = th x = «■— — — e ex + e ~ * í/ = cth x =

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ex + e~* ex — e~x

51 y

20. H ipérbola

19. E lipse *2

= a e o s t, b sen t .

x2

y 2_ 2

a2

¿2 “

a cht. J{ xx == <

, 0

\

y = b s i) í.

(para la rama derecha).

21. Parábola

22. F o liu m de D escartes

y~ = 2 p x .

x 3 +• £** — 3 a a :// = 0

3aí

23. C iso id o do D io c le s .r‘ í/2

ü— X al2

Z _ T + Í 3 '’ 3ní2

a í3

* = T F ir U

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1 + /2

5¿0

25. L em n iscata de B ernoulJi 1/2) 2 = d%

=

o

eo s 2
a -\ -x Q— x

26. C ic lo id e x = a (t — sen /), { y = ia (1 — c o s 0 -

27.

H ip o c ic lo id e

(a stro íd e )

( 3; = a COS3 ( ¿/ — a s e n 3

E v olv on to (d e s a rro llo ) d o la circu n fe re n cia /•= a (1 + c o s ip).

( x = a (eos f + £ son 0» 1 y = a (sen t — t c o s t).

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521

r =

acp ( r > 0 ) .

r -i(r > 0 ).

33. R osa de tres p étalos r = a son 3cp (r ^ 0).

34. R osa de cu a tro p é ta lo s r — a ( s e a 2(p |.

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I NDI CE

Prólogo

.

. .

.

5

§ § §

i . C oncepto de f u n c i ó n ......................................................................................... 2. Representación gráfica de las fun ciones e le m e u t a le s .......................... 3. Lím ites ...............................................................................................................

7 13 19

§ §

4. Infinitésim os e i n f i n i t o s ................................................................................ 5. C ontinuidad de las f u n c i o n e s ......................................

31 34

Capítulo I. Introducción al análisis

Capitulo / / , § § § § § § § % ^

D iferenciación de funciones

C álcu lo directo do d e r i v a d a s ....................................................................... D erivación por m e d io de t a b l a s ................................................................... D erivadas de fun ciones que n o están dadas ex p lícita m en te . . . . A p lica cion es geom étricas y m ecánicas de la d e r i v a d a ......................... D erivadas do órdenes superiores .............................................................. 6. D iforencialcs de prim er orden y do órdenes s u p o r io r e s ...................... 7. Teorem as d ol v a lor m e d i o ........................................................................... 8. Fórm ula do T a y l o r .........................................................................................

45 56 60 67 72 77 79

9. Regla de L T Ió p ita l — BernoulJi para el cá lcu lo de lím ites indeter m inados

80

1. 2. 3. 4. 5.

41

Capítulo I I I . Extrem os de la s fun ciones y a p lica cion es geom étricas de Ja derivada § §

1. Extrem os de las fun ciones do un a r g u m e n t o ........................................ 2. D irección do la con ca vid a d . Puntos de i n f l e x i ó n ..............................

85 94

§ §

3. A síntotas . ................................. 4. C onstrucción de las gráficas de las fun ciones por sus pu ntos caracte

97

5

rísticos 5. D iferencial d el arco. C u r v a t u r a ..................................................................

99 105

Capitulo I V . Integral indefinida § §

1. Integración i n m e d i a t a .................................................................................. 2. M étodo de sustitución .................................................................................

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In d ic e § § § § § § $ § § %

523

3. Integración p o r p a r t e s .......................................................................... 122 4 . Integrales elem entales q u e con tien en un trin om io cu ad rad o . . . 5 . Integración d o fu n cion es r a c i o n a l e s ............................. 6. Integración do algunas fun ciones ir r a c io n a l e s .............................. 7. Integración do fu n cion es t r ig o n o m é t r ic a s ........................................ 8. In tegra ción de fu n cion es h i p e r b ó l i c a s ........... 9 . E m p leo de su stitu cion es trigon om étricas o h ip erb ólicas para el cá l cu lo de integrales de la f o r m a 10. In tegra ción de diversas fu n cion es tr a n s c e n d e n te s ......................... 11. E m p leo de las fórm u las de r e d u c c i ó n ....................................................... 12. Integración de distin tas f u n c i o n e s .....................................................

124 127 132 135 140 141 143 143 143

Capítulo V . Integral definida §

4.

L a integral defin id a c o m o lím ite de una s u m a ............................

146

§ § § § §

2. C á lcu lo de las in tegrales d efin id a s p or m edio de in defin idas . . . 3. Integrales im propias . . 4 . C a m bio de v a ria b le en la integral d e f i n i d a ..................... 5. In tegra ción p o r p a r l e s ................................................................... .... 6. T eorem a d e l v a lo r m e d i o .................................................................... 159

§ 5 § § §

7. 8. 9. 10. 11.

§

12. A p lica ció n de las integrales d efin id a s a ia resolución d e proble m as de física

149 151 155 158

A reas d o las figuras p l a n a s ................................................................... . 162 ............................................. 168 L on g itu d d el arco de una cu rva V olúm enes de cu erpos s ó l i d o s ............................................................. 171 A rea de una su p erficie d e r e v o l u c i ó n .............................................. 176 M om en tos. Centros de gravedad. Teorem as de G u l d i n ............... 178 183

Capítulo V I . F u n cion es de v arias variables § § § § § § § § § ^ § § § § §

191 1. C onceptos f u n d a m e n t a l e s ......................................................... ..... 2. C o n t i n u i d a d ................................................................................................. 196 ..................................................................................... 197 3. D erivadas parciales 4 . D iferen cia l tota l d e una f u n c i ó n ................................................ 199 5. D e riv a ció n de fu n cion es c o m p u e s t a s ....................................... 202 6. D erivada en una d ire cció n dada y gra d ien te de una fu n ción . . . . 206 7. D erivad as y d iferen cia les d e órdenes superiores ......................... 215 Integración de d iferen ciales c x a c l a s ....................................... 9. D eriv a ción de fu n cion es i m p l í c i t a s ....................................... 218 10. C am bio de v a r i a b l e s ....................................................................... 225 11. P la n o tangente y norm al a una s u p e r f i c i e .............................. 230 12. Fórm ula de T a y lo r para las fu n cion es do varias variables . . . . 13. E x trem o de una fu n ción d o v arios variables .................

210

8.

14. P roblem as de d eterm in a ción d e ios m áxim os y m ínim os absolutos de las f u n c i o n e s .................................................................................. 241 15. P u ntos singulares do la s cu rv a s p l a n a s .................................. 244

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233 236

In d ic e

524

§ 16. E n v o lv e n te ......................................................................................................... § 17. L on gitu d de un arco de curva en ol e s p a c i o ............................................. ......................................... § 18. F u n ción v ectoria l de un argum ento escalar

247 24$ 24$

§ 19. T ried ro intrínseco do una cu rva en el e s p a c i o ......................................... § 20. Curvaturas do fle x ió n y do torsión de uña cu rva on el esp a cio . . .

253 258-

Capítulo V I I . Integrales m ú ltip les y cu rvilín eas

§ § §

1. In tegra! d o b lo en coorden adas r e c t a n g u la r e s ............................... 2. C am bio de variables en la in tegral d o b lo . .. . ........................... 3. C álcu lo do áreas do figuras p l a n a s ................................................................ .................................................................................. 4. C álcu lo d o volúm enes 5 . C á lcu lo d o áreas de s u p e r f i c i e s ................................................................ 6. A p lica cio n e s de la integral d o b le a la* m e c á n i c a ................................

§ §

7. Integrales trip los .............................. 8. Integrales im propias, depen dien tes de un parám etro.

§ § §

§ 9. $ 10. § 11. § 12.

§ § § §

1. 2. 3. 4.

§

E cuaciones

312. 324 332 339

diferen ciales

§ §

1. V e rifica ció n d e las solu cion es. F orm ación de las ecu acion es diferen ciales do fam ilias de curvas. C on d icion es i n i c i a l e s 344 346 2. E cu acion es diferen ciales de 1er o r d e n ....................................... 3 . E cu acion es d iferen cia les d e l cr orden con v aria b les soparablos.

§

T rayectorias ortogonales .............................................................................. 353 4 . E cu acion es d iferen ciales hom ogéneas do 1er o r d e n ................

§

286 290

Series

............................................................................................ . Series num éricas Series d e f u n c i o n e s ........................................................................................... Serie d o T a y l o r .................................................................................................... Series d o F o u r i e r ................................................................................................

Capítulo I X .

263 272 273 275 276

- 278 Integrales

im propias m ú ltip les ...................................................................................... Integrales cu rvilín ea s Integrales de s u p e r f i c i e ....................................................................... 302. F órm ula d e O strogradski — G a u s s ................................................. 303 E lom on tós de !a teoría d o ios c a m p o s ............................................ 306

Capitulo V I I I .

2G1

5. E cu acion es diferen ciales lin eales do 1er orden. E cu a ción do B ern o u lli .

6. E cu a cion es d e diferen cíalos exactas. F a cto r i n t e g r a n t e ....... 358 7. E cu a cion es diferenciales Úo 1er orden , n o resueltas respecto a la d e r i v a d a ....................................................................................................... 360 § 8. E cu acion es de Lagrange y d e C l a i r a u t ................................................ § 9. E cu acion es d ife r e n c ia le s diversa s d o 1er o r d e n ................................... § 10. E cu acion es d ife re n cia le s de órd en es s u p e r i o r e s ....................... $ 11. E cu acion es d ife r e n c ía lo s l i n e a l e s ...............................................................

34$

355

§ §

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362 364 369 373

In d ic e § 12.

E cu acion es d ife r e n c ia le s

525

lin e a le s de 2o ord en co n c o e ficie n te s

% 15. •§ 16.

c o n s t a n t e s .............................................................................................................. E cu acion es d ife r e n c ia le s lin e a le s de ord en su p erior al 2o , con c o e fic ie n t e s co n sta n tes v . . . . -......................................................... E cu a cion es de E u l e r ..................... S istem as d e ecu a cion es d i f e r e n c i a l e s .................................................... In te g ra ció n d& ecu a cion es d ife r e n c ia le s m ed ia n te serios d e po

^ 17.

ten cia s 4 a . ..............................•: . P roblem as s o b re e l m é to d o do F ou rier

§ 13. •§ 14.

375 381 382 384

....................

386 389

O p eracion es con n ú m eros a p r o x i m a d o s ...................................................... In te rp o la ció n de fu n cio n e s ........................................................................... C á lcu lo de la s ra íce s re a les de las e c u a c i o n e s .................................... In te g ra ció n n u m érica de fu n cio n e s ..........................................................

393 398 403 409

<5 5. In tegra ción n u m érica de ecu a cion es d ife r e n c ia le s ord in a ria s . . . $ 6.C á lcu lo a p ro x im a d o do lo s c o e fic ie n t e s d o F o u r i o r .........................

412 421

C a p i tu l o X . C á lc u lo s a p r o x im a d o s § 1. § 2. § 3. 3 4.

S o lu c io n e s ■Capítulo C a p ítu lo

................................................................................................................... I I .............................................

423 428

C a p ítu lo C a p ítu lo C a p ítu lo

I I I ................................................................................................................... I V ................................................................................................................... V ................................................................................................................... V I ................................................. V I I ............................................ V I I I ................................................................................................................... I X ................................................................................................................... X ....................................................................................................................

436 443 456 464 475 485 494 505

C a p ítu lo C a p ítu lo C a p ítu lo C a p itu lo C a p ítu lo

I

A p é n d ic e s I. III.

A lfa b e to g r ie g o .................................................................................. C on stan tes d e uso f r e c u e n t e ...................... V a lo r e s in v e r s o s , p o te n cia s , raíces y l o g a r i t m o s ............................. F u n cion es t r i g o n o m é t r i c a s ..............................................................................

509 509 510 512

V . F u n cion es o x p o n o n c ia lo s , h ip e r b ó lic a s y trig on om étrica s . . . . V I. C urvas (para c o n s u l t a ) ......................................................................................

513 514

III. IV .

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Problemas y ejercicios de análisis matemático - Demidovich

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