Ejercicios, Gráficas y Problemas Tarea_3

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA EJERCICIOS Y GRAFICAS TAREA 3: Derivadas

A continuación, se presentan los ejercicios, gráficas y problemas asignados para el desarrollo de Tarea 3, en este grupo de trabajo: EJERCICIOS TAREA 3: DERIVADAS Estudiante 3

1.

lim

→

− − − − 

Estudiante 3

2.

  =

 (  −−)

 +

3.

  =  2   

4.

3   4     = 

5.

   = 3      2  ′′′′  =?

Gráficar las siguientes funciones en geogebra de acuerdo con los lineamientos del contenido “Derivadas en Geogebra”    =    a)  b)   = ln ln

a) Halla los máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función:   =    4 Estudiante 3 b) Calcular el volumen máximo de un paquete rectangular, que posee una base cuadrada y cuya suma de ancho + alto + largo es 121cm.


Desarrollo de los ejercicios Tarea 3: Derivadas Calcular por L’ Hôpital Hôpital los siguientes límites:

1.

1  cos cos2 2 = →   1 2 2 2 lim ´  → 2  1 1  2 2 = lim →   1 2 cos cos2 2 = lim ´  → 1 2  cos cos2 2 = lim → 1 = 2  cos cos21 21  = 2 lim

2. Aplicando las reglas de la derivación, calcule las derivadas de las siguientes funciones:

  =

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA EJERCICIOS Y GRAFICAS TAREA 3: Derivadas       5 5

  2

Por la regla del cociente se tiene que

    2    2      5   2        5 5       5  =    2    2 Por otro lado, tenemos que:

      5  = 2     53   1      2 2 = 4   Reemplazando se obtiene

=

2     53   1 1   2 2  4      5      2




3. Calcular la derivada implícita  :

 =   2       =  =    = 2   = 2    = 22  6   1  = 22     22   6   1 = 32 7  24   4 

4. Derivadas de orden superior:

  = 3     2  3    2 2 = 18   2  2   18  2  2 2 = 90   2   90  2 2 = 360    360  = 1080  


Gráficar las siguientes f unciones en geogebra de acuerdo con los lineamientos del contenido “Derivadas en Geogebra”

1   =    3


  = ln ln


Halla los máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función:

  =   4

Calcular el volumen máximo de un paquete rectangular, que posee una base cuadrada y cuya suma de ancho + alto + largo es 121cm.

Tenemos que optimizar una función de área de un paquete rectangular, de base cuadra, es decir, con anchura igual a longitud, por tanto:

 ,  =    Todas las variables deben ser positivas y menores que 121, así

0 <  < 121

 0 <  < 121

Y sabemos que la suma de anchura + altura + longitud es 121, luego la ligadura es:

y sustituyendo en la función de área:

2   = 121 121 →  = 121 121  2

  =  121  2 2 = 121   2  Derivando y buscando máximos y mínimos:

´ ´  = 242 242  62 ´ ´  = 0 242 242  62 = 0 Tenemos que

 = 6, = 242, = 0


 = 242 242  242 242 =

484 = 40,1   = 0 12

Descartamos la solución nula por no tener sentido, y ahora por la segunda derivada verificamos si es máximo o mínimo:

´´ ´´  = 242 242  12 12 → ´´ ´´40 40 = 242 242 12 1240 40 = 238 242 242 = 1212  23 Por tanto el máximo volumen de dicho paquete es: 

= 1212382  2238 22383 = 685392 68539244  269 269625 62544 44 = 

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