PROBLEMAS RESUELTOS DEL TEMA 1
Problema nº1 Dibuje la forma extensiva del laberinto de la figura y a continuación resuélvalo para uno y para dos jugadores.
Entrada a b Caldero de oro
Solución: Para un jugador der
D
b der. a 1
1
izq
0
0 izq 0
Para dos jugadores, que se reparten ganancias der
(D/2, D/2)
b der. a 1
2 (0,0)
izq
(0,0)
izq (0,0)
Problema nº 11 El juego Fuga y evasión que muestra la figura es un juego finito de dos jugadores en el que se gana, se pierde o se empata. El jugador 1, el fugitivo, a cada de escaparse de prisión y puede ir hacia arriba o hacia abajo. El jugador 2, el carcelero, también 1
puede ir hacia arriba o hacia abajo, pero no sabe hacia dónde ha ido el fugitivo. Si el carcelero va en el mismo sentido que el fugitivo, lo atrapará, con lo que gana. Si el carcelero va en sentido contrario al fugitivo, éste se escapa y gana. Muestre que Fuga y evasión tiene información imperfecta. A continuación, muestre que ningún jugador puede garantizarse la victoria. Arriba Abajo
Arriba 1
(p,g)
(g,p) 2
Arriba
(g,p)
Abajo Abajo (p,g) Solución: Hay información imperfecta porque el carcelero no conoce la opción tomada por el preso. Si hubiera información perfecta, el carcelero tendría 4 alternativas estratégicas, porque podría tomar dos decisiones en cada uno de sus modos, mientras en el juego 2 tiene realmente dos. Observemos que si el preso decide Arriba (Abajo) hay siempre una alternativa en la que pierde, Arriba (Abajo) del carcelero. Similarmente ocurre para el carcelero. En resumen, nadie puede asegurarse el ganar. Problema nº 13 La empresa Duflot desea diversificar sus actividades en el mercado de material de la construcción. Tradicionalmente trabaja el plástico y desea entrar en el mercado de planchas onduladas. En ese mercado hay una empresa dominante que fabrica planchas onduladas de fibrocemento. El éxito de la operación de entrar depende de las reservas financieras de la empresa establecida. El juego en forma extensiva es:
2
donde la empresa establecida es 2 y la entrante 1. Resolver el problema suponiendo que hay información perfecta sobre reservas y sobre las utilidades del otro jugador. Solución: Como cada jugador conoce perfectamente las alternativas del otro jugador y hay información perfecta sobre reservas y sobre los movimientos del juego, podemos resolverlo yendo de los nudos terminales hacía el nudo inicial. El auténtico árbol de decisión es:
que nos permite asegurar que el jugador 1 entra si las reservas de 2 son bajas y no lo intenta si son altas. Por tanto, si la probabilidad de altas reservas es mayor de 0.5, la opción de 1 será retirarse. Por el contrario, si la probabilidad de reservas escasas supera el 0.5, la opción de 1 será contraatacar. Problema nº 14 Resolver el siguiente juego y comentar brevemente el resultado
3
Solución Gráficamente puede obtenerse la solución, realizando la resolución de los subjuegos hacia atrás. El nudo aleatorio con dos opciones es equivalente a un nudo con pagos (8/3,1) y el nudo aleatorio con tres opciones, tras la decisión del 2 de optar por los pagos (1,4), adquiere un valor esperado de (2,3/2). La resolución hacia atrás lleva finalmente a que el primer jugador tenga dos opciones indiferentes, la superior y la inferior, que le dan un pago de 3. No obstante, ambas soluciones subjuegos perfectas no son equivalentes para el segundo jugador, que recibe 3 en una y 4 en la otra. Problema nº 3 Un hombre que cumple cadena perpetúa en una cárcel de máxima seguridad donde, de 100 intentos de fuga fracasan 99 y los fracasos se castigan con la muerte, decide fugarse. ¿Es racional su conducta?. Sea: A1 - fugarse con éxito A2 - fracasar y morir, siendo u(A2) = 0 A3 - cumplir condena. Solución: 99 ⎞ ⎛ 1 L ⎜100 A1, 100A2 ⎟ ⎠ ⎝ 1 99 1 U(L) = 100 u(A1) + 100 u(A2) = 100 u(A1) 1 Luego su conducta es racional siempre que 100 u(A1) > u(A3), ya que actúa eligiendo su máxima utilidad. Problema nº 4 Sea A={A1, A2, A3} y ≤ una relación binaria sobre L(A) tal que: (i) A3 < A2 < A1 (ii) ≤ satisface los supuestos de la utilidad esperada (iii) A2 ≈ (1/3 A1, 2/3 A3) A partir de estos datos probar si es posible concluir cuál de las loterías L1 = (1/4A1, 1/4A2, 1/2A3), L2 = (1/8A1, 5/8A2, 1/4A3) será preferida con arreglo a ≤. Solución: Sea U la función de utilidad esperada sobre L(A). Aplicando (iii) y las propiedades de la función U sabemos: U(L1) = (1/4) U(A1) + (1/4) U(A2) + (1/2) U(A3) = 4
= (1/4) U(A1) + (1/4) U(1/3 A1, 2/3 A3) + (1/2) U(A3) = = (1/4) U(A1)+(1/12) U(A1)+(2/12) U(A3)+(1/2) U(A3) = = (1/3) U(A1)+(2/3) U(A3) U(L2) = (1/8) U(A1) + (5/8) U(A2) + (1/4) U(A3) = =(1/8) U(A1) + (5/8) U(1/3 A1, 2/3 A3) + (1/4) U(A3) = =(1/4) U(A1)+(5/24) U(A1)+(10/24) U(A3)+(1/4) U(A3) = = (1/3) U(A1)+(2/3) U(A3) en consecuencia U(L1) = U(L2) y ninguna de las dos loterías es preferida, son indiferentes entre si. Problema nº 7 Está considerando abrir un cine multisalas. Tiene 100.000 dólares para invertir. Si abre el cine, la probabilidad de ganar 300.000 dólares es de 0.35 (incluida la inversión) y la de perder todo el dinero es de 0.65. Si no abre el cine, conserva los 100.000 dólares. El azar juega después de usted. Dibuje el árbol del juego. ¿Qué debería hacer si es neutral al riesgo? ¿Cambiaría su estrategia si la probabilidad de éxito fuera 0,3 en lugar de 0.35? Solución: 300.000 0,35 0 abrir
0,65
0
1 no abrir 100.000 P(abrir) = 0,35.300.000 + 0,65.0 = 105.000 P(no abrir) = 100.000 Debería abrir si es neutral al riesgo Si las probabilidades fueran 0,3 y 0,7 tendríamos P (abrir) = 0,3.300.000 = 90.000 P (no abrir) = 100.000 y no debería abrir el cine.
5
Problema nº 8 Rehaga el problema 7 de las dos formas siguientes a) es usted averso al riesgo y su función de utilidad es u = d1/3, b) es usted amante del riesgo y su función de utilidad u = d3. Explique la diferencia, si existe, entre los jugadores aversos al riesgo, amantes del riesgo y neutrales al riesgo. Solución: Si se es averso al riesgo con 0,35 y 0,65, P(abrir) = 0,35
3
300.000 + 0,65
3
0 = 0,35.66,94 = 23,43
P(no abrir) = 3 100.000 = 46,41 luego lo conveniente es no abrir. Si es averso al riesgo con 0,3 y 0,7, la decisión es la misma con más motivo. Si es amante del riesgo y las probabilidades son 0,30 y 0.70 P(abrir) = 0,30(300.000)3 + 0,70.03 = 1015.8,1 P(no abrir) = 100.0003 = 1015 luego la decisión mejor es abrir. La misma decisión será recomendable para las probabilidades 0,35 y 0.65. Las diferencias entre los tres tipos posibles de jugadores son claras, basta ver los resultados.
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