PROBLEMAS RESUELTOS DEL TEMA 5: JUEGOS NO COOPERATIVOS DE MERCADO EN FORMA NORMAL
Problema nº 2
Supongamos que la demanda de mercado viene dada por p = 140 - q, que los costes por unidad de la empresa 2 son 20 y los de la empresa 1 caen a $10. Esto da a la empresa 1 una ventaja en costes. ¿Cuánto vende la empresa 1 en el equilibrio de Cournot? ¿Más o menos que la empresa 2?, ¿por qué? Solución
p = 140 - x1 - x2 B1 = (140 - x 1 - x2 - 10)x1 = 130x1 - x21 - x1x2 B2 = (140 - x 1 - x2 - 20)x2 = 120x2 - x1x2 - x22
⎧ ⎨ ⎩
130 - 2x1 - x2 = 0 ∂B1 ⎫ = 0 = 130 - 2x1 - x2 ⎪ 240 - 2x1 - 4x2 = 0 ∂x1 → x2 = 110/3 ; x1 = 140/3 ⎬ → ______________ ∂B2 ____________ __ = 0 = 120 - x1 - 2x2⎪ ∂x2 ⎭ 110 - 3x = 0 2
luego vende más la empresa con costes más baratos, siendo también sus beneficios mayores; el equilibrio no es simétrico.
Problema nº 4
Demuestre el teorema del límite de Cournot en los siguientes mercados: a) la demanda de mercado es 80-4q y cada empresa tiene un coste por unidad igual a $10; b) la demanda de mercado es p = 100- q 2 y el coste c = 5. Solución
a) p = 80 - 4q c = 10 B1 = (80 - 4(x1 + x2 + ... + x n) - 10)x1 = 70x1 - 4x21 - 4(x2 + ... + x n)x1
∂B1 = 70 - 8x1 - 4x2 - 4x3 - ... - 4xn = 70 - 4x1 - 4(x1 + ... + x n) = 0 ∂x1 Si x1 = xi, ∀i tenemos 70 - 4(n+1)x1 = 0 → x1 = q = nx =
70 4+4n
n70 → 70/4 4+4n n→∞
luego en el límite p* = 80 - 4
70 = 10 = C 4 1
b) p = 100 - q 2 = 100 - (x1 + x2 + ... + x n)2 c=5 B1 = [100 - 5 - (x1 + ... + x n)2]x1 = 95x1 - x31 - x1(x2 + ... + x n)2 - 2x21 (x2 + ... + x n)
∂B1 = 95 - 3x21 - (x2 + ... + x n)2 - 4x1(x2 + ... + x n) = 0 ∂x1 si x1 = xi, ∀i tendremos 95 = 3x21 + (n-1)2x21 + 4(n-1)x21 q = nx1 = n
95 = 3+(n-1)2+4(n-1)
→ x1 =
95 2n+n2
95 3+(n-1)2+4(n-1)
p = 100 - q 2 → 100 – n2
95 (n-1)2
→ 5 = c = coste marginal.
Problema nº 6
La demanda de mercado es q = 100 - p. Halle el equilibrio de Bertrand si la empresa 1 tiene un coste variable medio igual a $40 y la empresa 2 tiene un coste variable medio igual a $60. Demuestre que el equilibrio de Bertrand cambia cuando el coste variable medio de la empresa 2 es $70. Explíquelo. Solución
q = 100 - p c1 = 40 c2 = 60 La 1 no puede ofertar menos de 40, ni la 2 menos de 60. Los c son sus cotas inferiores de precios. Mientras puedan, ofrecer un precio inferior es ventajoso, luego la 2 ofertará 60 y la 1 ofertará menos, copando el mercado. ¿Dónde se detendrá la 1? Como es realmente monopolista por debajo de 60 reaccionará así: = 100 - p B = (100 - p)(p - 40) = 100p - 4000 - p2 + 40p = 140p - p2 - 4000 dB = 0 = 140 - 2p → p = 70 → q = 30 → B = 1800 dP luego el beneficio es creciente hasta p = 70. Por tanto, la empresa 1 ofertará por debajo de 60, pero tan cerca como pueda de 60 para maximizar sus beneficios. Si el coste de 2 fuera 70 o más, la 1 al llegar a 70 se plantaría porque quiere maximizar sus beneficios. 2
Problema nº 7
La demanda de mercado es q = 100 - p. Hay dos empresas con coste variable medio igual a $50 y dos empresas con coste variable medio igual a $60. Halle el equilibrio de Bertrand. ¿Es el mismo que el equilibrio de competencia perfecta? Solución
Hay dos empresas que no puede ofertar menos de 60 y otras dos menos de 50. Si ninguna ofrece menos de 60, hay dos que tienen incentivos a bajar el precio para quedarse con toda la demanda. Ello elimina a las dos de costes altos. Las dos de costes bajos, iguales a 50, son competidoras en precios y llevan al equilibrio ruinoso ya que ofertan a p = 50, repartiéndose la demanda. Este es el equilibrio de Bertrand. En este equilibrio, aunque no es de competencia perfecta, el precio y la cantidad total ofertada es la misma que en el perfectamente perfectamente competitivo.
Ejercicio nº 11
Si dos empresas compiten a la Bertrand y tienen costes unitarios fijos c1=50 y c2=30, siendo la curva de demanda q = 100 - 2p, hallar la solución del duopolio. Solución
Es inmediato que el mercado es copado por la empresa de menor coste, la duda es el precio a que oferta esta empresa. Si actúa como monopolio, la solución sería B = (100 – 2p) (p –30) B´ = 0 = 100 – 2 p – 2 p + 60 ⇒ 4 p = 160 ⇒ p = 40 ⇒ q = 20. Como la alternativa del monopolio es compatible con la competencia a la Bertrand, ya que el precio de monopolio es inferior al precio mínimo aceptable para la otra empresa, el equilibrio a la Bertrand en este caso será el equilibrio del monopolio.
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