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PROBLEMAS RESUELTOS
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PROBLEMAS RESUELTOS
RIGIDEZ 1GDL
ECUACIÓN DE MOVIMIENTO Y PERIODO NATURAL.-
El sistema mostrado en la figura consiste en una viga de concreto armado (módulo de elasticidad 250 000 kg/cm2), de 3m de luz y 0,25 x 0,30 m de sección, empotrada en un extremo y sujetada en el opuesto por un conjunto de 3 varillas lisas de acero (módulo de elasticidad 2 100 000 kg/cm2) de φ = 3/8". Las dos varillas superiores están conectadas con la inferior mediante una placa metálica que puede considerarse de gran rigidez. Calcule la rigidez del sistema para el grado de libertad señalado por la flecha.
Determine la ecuación de movimiento y el período natural de vibración del sistema de un grado de libertad, compuesto por una viga ( I = 4 000 cm4) con un peso concentrado de 500 kg. y una varilla de 5/8” de diámetro en uno de sus extremos, tal como se muestra en la figura 3. Ambos elementos son de acero (E = 2 100 000 kg/cm2 ). La viga se puede considerar sin masa.
L = 3m 1.5 m
L = 4m 1.5 m
Solución .Modelo: 3.0 m
5" φ= 8 A = 1.98cm 2
La rigidez total K = k viga + k3 varillas Rigidez varillas. El sistema de varillas consiste de dos en paralelo y luego esas dos en serie con la siguiente. Todas las varillas tienen una rigidez axial igual a: ka = EA/L = 2 100 000 x 0,71/150 = 9975 kg/cm.
m
K = K VIGA + K CABLE = 3
m
EI EA + L3 h
3 x 2 100 000 x4 000 2 100 000 x1,98 + 400 3 300 kg K = 393 ,7 + 13 860 = 14 253 ,7 cm
Las dos superiores tienen una rigidez de 2ka
K=
2k F El conjunto de las tres varillas: k3 varillas F = = a F F ∆ 3 + k a 2k a
3EI I= bh3/12 = 56250cm4. L3 3 x 2 500 000 x56250 kviga= = 1 562,5 kg/cm 300 3
Laviga tiene una rigidez de: kviga=
K= kviga + k3 varillas = 1562,5 + 2/3 x 9975 = 8 213,5 kg/cm
Luego la ecuación de movimiento : mu&& + ku = F ( t ) 0 ,51u&& + 14 253 ,7 u = F1 f ( t ) Por lo tanto el período : T = 2π
Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO
m 0 ,51 = 2π KT 14 253 ,7
INGENIERÍA ANTISÍSMICA
P = 500 kg
→
T = 0 ,038 s
m=
P 500 kg kg − s 2 = = 0 ,51 cm g cm 981 2 s
3
PROBLEMAS RESUELTOS
4
PROBLEMAS RESUELTOS
AMPLITUD DE VIBRACIÓN
PROBLEMA 1.-
Se tiene un sistema masa-resorte (sin amortiguamiento) de un grado de libertad sometido a la fuerza excitadora F(t) = F1 x f(t).
Se tiene un edificio de un piso que en la dirección X está conformado por dos pórticos y dos muros. Los muros son de albañilería (Em=25000 kg/cm2) y tienen 12cm de espesor. Las dimensiones de vigas y columnas son de 25cm x 60cm (Ec=250000 kg/cm2). El peso total a la altura del techo es de 96 toneladas (incluyendo la parte correspondiente de muros y columnas). La altura es 2.80m.
En la figura se muestra la variación de f(t) con el tiempo. Se pide determinar la máxima amplitud de la vibración en el tramo t > td. El tiempo td = 1.0 s . F1 = 1.579 t. El período del sistema es de 1 s y la rigidez K es 157.91 t/m. Debe justificar debidamente su respuesta.
Y Muro de albañilería
4m
Pórticos de concreto
4m
Muro de albañilería
4m
F(t)
f(t)
M
1
K
X
t td
t > td
8m PLANTA Calcule el periodo sistema de un grado de libertad.
→
Vibración Libre U& U = U o cos ω(t − t d ) + o senω(t − t d ) ω
1er Tramo: F U = 1 (1 − cos ω t )
del edificio como un
SOLUCIÓN : Muro
Peso = P= 96t =
k 2π T= = 1 → ω = 2π ω U = 0 ,01 (1 − cos 2 π t ) U& = 0 ,01 x 2 π (sen 2 π t )
1,579 (1 − cos ω t ) = 0 ,01 m (1 − cos ω t ) 157 ,91
C 25 x60
T = 2π
2
Em=25000 kg/cm
m k
V 25 x60
Ec=250000 kg/cm2 t = t d = 1s
t = 1s
kg .s 2 P 9600 = = 97.859 cm g 981
m=
U = 0 ,01 (1 − cos 2 π ) = 0 U& = 0 ,01x 2 π (sen 2 π ) = 0
K= 2xKmuro+2xKpórtico U máx =
[U ( ) ]
2
td
⎡ U& (t ) ⎤ +⎢ d ⎥ ⎣ ω ⎦
2
∴ U=
0 +0
U =0
* Cálculo del Kmuro:
Muro
h=2.8m L=8m
h=2.8m
L=8m
K muro =
Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO
Et 3
⎛h⎞ ⎛h⎞ 4 x⎜ ⎟ + 3 x⎜ ⎟ ⎝ L⎠ ⎝L⎠
INGENIERÍA ANTISÍSMICA
=
25000 x12 3
⎛ 2.8 ⎞ ⎛ 2.8 ⎞ 4 x⎜ ⎟ + 3 x⎜ ⎟ ⎝ 8 ⎠ ⎝ 8 ⎠
= 245,600
kg cm
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PROBLEMAS RESUELTOS
* Cálculo del KPórticos:
I KC = C h
6
PROBLEMAS RESUELTOS
VARIANTE DEL PROBLEMA 1.-
I KV = V L
60
3m
2.7m=3-0.60/2
Se tiene un edificio de un piso que en la dirección Y está conformado por dos pórticos y dos muros. Los muros son de albañilería (Em=25000 kg/cm2) y tienen 12cm de espesor. Las dimensiones de vigas y columnas son de 25cm x 60cm (Ec=250000 kg/cm2) y las vigas se pueden considerar de rigidez infinita. El peso total a la altura del techo es de 96 toneladas (incluyendo la parte correspondiente de muros y columnas). La altura es 2.80m.
60
Y
K Pórtico
4m
Pórticos de concreto
4m
Muro albañilería
4m
7.4m
8m I C = IV =
Muro albañilería
25 x60 3 = 450 000 cm 4 12
24 EI C 1 + 6 γ = h3 4 + 6 γ
X 8m
k ( I / L) h 2,70 = = = 0.365 γ= V = v kC ( I c / h) L 7,40
→
γ = 0,365
PLANTA Calcule el periodo del edificio como un sistema de un grado de libertad .
Entonces : 24 x 250 000 x 450 000 1 + 6 x0,365 K Pórtico = K P = 2703 4 + 6 x0,365 Finalmente : K Total = K T = 2 x 245 600 + 2 x70 674,1
→
→
m 97 ,859 = 2π KT 632 549
→
SOLUCIÓN : Muro
Peso = P= 96t
C 25 x60
T = 2π
2
K T = 632 549
Por lo tanto el periodo del edificio como un sistema de un grado de libertad será:
T = 2π
kg K P = 70 674,1 cm kg cm
Em=25000 kg/cm
m k
V 25 x60 2
Ec=250000 kg/cm
m=
P 9600 kg .s 2 = = 97.859 g 981 cm
T = 0 ,078 s K= 2xKmuro+2xKpórtico * Cálculo del Kmuro:
Muro
h=2.8m L=8m
h=2.8m
L=8m K muro =
Et ⎛h⎞ ⎛h⎞ 4 x ⎜ ⎟ + 3 x⎜ ⎟ L ⎝ ⎠ ⎝L⎠
* Cálculo del KPórticos: Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO
3
INGENIERÍA ANTISÍSMICA
KC =
=
IC h
2500 x12 3
⎛ 2.8 ⎞ ⎛ 2.8 ⎞ 4 x⎜ ⎟ + 3 x⎜ ⎟ 8 ⎝ ⎠ ⎝ 8 ⎠
= 245 ,600
kg cm
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PROBLEMAS RESUELTOS
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PROBLEMAS RESUELTOS
PERIODO NATURAL – MAX DESPL
2.2m
60
8m
Se tiene un tanque elevado como el que se muestra en la figura adjunta. Se desea calcular su periodo natural de vibración para una excitación sísmica. Suponga que todos los espesores son de 20cm. La cuba y el fuste son cilíndricos. Si se lo somete a una fuerza bruscamente aplicada de 20 t. Calcular cuál es el máximo desplazamiento que puede producirse. Usted debe modelar la masa y la rigidez a considerar, explique sus criterios. (E = 230 000 kg/cm2 ).
60 2.8m
4m
Cuba Fuste
15m
3m
8
K Pórtico = K P = 3 xK ColumnaEmpotrada = 3 x
Solución.-
12 EI C 36 EI C = h3 h3
Lo que se desea calculares el U máx debido a una fuerza aplicada súbitamente. Luego de la teoría concluimos que:
Calcularemos el periodo para h=2.20m y h=2.80m
U máx = 2
Entonces : 36 x 250 000 x450 000 K P [h=2.20 ] = 220 3 36 x 250 000 x450 000 K P [h=2.80 ] = 280 3 Como :
→ →
kg K P [h=2.20 ] = 380 353 cm kg K P [h=2.80 ] = 184 493 cm
→
K T [h=2.80 ] = 2 x 245 600 + 2 x184 493
→
Con
m = 97 ,859
kg cm kg K T [h=2.80 ] = 860 187 cm K T [h= 2.20 ] = 1 251 906
kg − s 2 cm
T[h=2.80 ] = 2π
97 ,859 1 251 906 97 ,859 860 187
EI K =3 3 h 4 4 π( De − Di ) π( 3 4 − 2 ,6 4 ) = I= 64 64 Entonces :
Modelo
F1 = 20t
m
15m
→ I = 1,733m
3 x 2300000 x1,733 t → K = 3542 ,8 15 3 m Luego el desplazamiento máximo: 20 x100 = 3542 ,8
-Tapa y fondo -Muros -Fuste -Agua
4
K=
U máx = 2
Por lo tanto el periodo del edificio como un sistema de un grado de libertad será: T[h=2.20 ] = 2π
con
Del modelo entonces debemos calcular:
K Total = K T = 2 K m + 2 K p K T [h=2.20 ] = 2 x 245 600 + 2 x380 353
F1 K
e=0.20m
1,13cm
T = 2π Di
Para el cálculo del periodo:
Vista de Planta del m Fuste
K
De
Calculando la masa “m=P/g” → →
T[h=2.20 ] = 0 ,055 s T[h=2.80 ] = 0 ,067 s
Peso de la Tapa y Fondo:
( π8 2 / 4 ) x0 ,2 x 2 ,4 x 2
= 48 ,255t
Muros:
( 8 − 0 ,2 )π( 4 − 2 x0 ,2 )x 2 ,4 x0 ,2
= 42 ,344t
Fuste:
( 3 − 0 ,2 )π( 15 / 2 )x 2 ,4 x0 ,2
= 31,667 t
Agua:
( π( 8 − 0 ,2 x 2 ) / 4 )x( 4 − 2 x0 ,2 )x1 = 163 ,313t
m = 29 ,111
2
t−s m
P=
2
285,579 t
Por lo tanto: T = 2π
Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO
INGENIERÍA ANTISÍSMICA
29 ,11 3542 ,8
→
T = 0 ,57 s
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PROBLEMAS RESUELTOS
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PROBLEMAS RESUELTOS
PERIODO DE VIBRACIÓN (1GDL)
Se tiene un edificio de un piso constituido por cuatro pórticos en la dirección X y tres pórticos en la dirección Y (ver planta). Se desea determinar el periodo de vibración en cada dirección. Las vigas pueden considerarse infinitamente rígidas. Todas las columnas son de (25 x 40 cm) orientadas con la mayor dimensión en la dirección X. Todos los pórticos están unidos por una losa maciza que se puede considerar de 800 kg/m2 incluyendo el peso de las vigas, acabado y columnas. Actúa una sobrecarga de 200 kg/m2 . Para estimar la masa puede considerarse el 25% de la sobrecarga. E= 230 000 kg/cm2 . Y
1⎤ ⎡2 K pórtico = 6 x 2300000 x0 ,001333 ⎢ 3 + 3 ⎥ = 457 ,87 t / m 4 ⎦ ⎣6 KLX= 4 x 457.87 = 1 831.47 t/m
Periodo de vibración en la dirección X: El periodo de vibración de un sistema de un grado de libertad está dado por la siguiente expresión:
m k
PLANTA
X
sustituyendo los valores de m y k (KLX) calculados, se obtiene: m 8.318 = 2π k 1831.47
T = 2π Modelo: Suponiendo que la losa se comporta como un diafragma rígido, se puede considerar un solo desplazamiento lateral para todo el piso, ya que éste es común a todos los elementos que llegan a la losa. m representa la masa del sistema y k la rigidez, en este caso la rigidez lateral del edificio, KL. El modelo se aplica a ambas direcciones de la vibración, X e Y, la rigidez será diferente en cada caso. Cálculo de la Masa: La masa debe incluir todos aquellos elementos que se estima que se aceleran simultáneamente: 2
800 x área del entrepiso (12 x 8 = 96 m )
25% de la sobrecarga:
E=230 000 kg/cm2 =2 300 000 t/m2
h1= 6m; h2= 4m
T = 2π
Losa más vigas:
,
I=0.25 x 0.403/12 = 0.0013333m4
12m
ELEVACION X
12 EI 3 EI + 2x 3 h13 h2
6m
2m
4m 6m
K pórtico =
Para evaluar el periodo en la dirección Y, Ty, la rigidez KLY se modifica en función de la inercia de las columnas. El procedimiento es el mismo, así como el valor de la masa.
m
= 76 800 kg = 76,8 t
0,25 x 200 x 96
= 4 800 kg = 4,8 t
Total Peso
= 81 600 kg = 81.6 t
k
(Según los datos, en el peso de la losa por m2 se ha incluido ya el peso correspondiente a las vigas y columnas, de lo contrario habría que considerarlo adicionalmente) m = P/g = 81.6 t / 9.81 m/s2 = 8.318 t-s2/m Cálculo de la rigidez lateral del edificio, K, en la dirección X: En esa dirección son 4 pórticos. Debido a que todos ellos se desplazan por igual, la rigidez lateral total será la suma de las rigideces de cada pórtico (Por una condición de equilibrio de fuerzas).
KLX = 4 x K pórtico K pórtico = k columna empotrada + 2 k columnas articuladas Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO
Tx=0.423 s
INGENIERÍA ANTISÍSMICA
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PROBLEMAS RESUELTOS
PER DE VIBR. – MAX. DESPL. (1GDL).- Se tiene un reservorio elevado como el que se muestra. Se desea calcular su periodo natural de vibración para una excitación sísmica. Suponga que todos los espesores son de 20cm. La cuba y el fuste son cilíndricos, calcular cuál es el máximo desplazamiento que se produce si se le aplica un impulso que aplica instantáneamente una velocidad de 10cm/s. Usted debe modelar la masa y la rigidez a considerar. (E = 230 000 kg/cm2 ).
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PROBLEMAS RESUELTOS
KL =
3 EI h3
E=230 000 kg/cm2 =2 300 000 t/m2
,
m
8m
(
I=
π 4 4 Dexterior − Dinterior 64
I=
π 4 3 − 2. 6 4 64
(
)
)
=1.7329m4
h= 15m 4m
3m
Reservorio
15m
m
KL =
k 3 x 2300000 x1.7329 = 3542.82t / m 15 3 KL= 3 542.82 t/m
k
Modelo
Periodo de vibración en la dirección X: El periodo de vibración de un sistema de un grado de libertad está dado por la siguiente expresión:
T = 2π
m k
sustituyendo los valores de m y k (KL) calculados, se obtiene: Modelo: Se observa que la mayor parte de la masa está concentrada en la parte superior del reservorio, por lo que se puede considerar un solo desplazamiento lateral que define la posición de la masa.
Cálculo de la Masa: La masa debe incluir todo aquello que se estima que se aceleran simultáneamente: π D2 π82 Tapa del tanque tx 2 ,4 = 0 ,20 x 2 ,4 = 24,13 t 4 4 Fondo del tanque = 24,13 t 8 + 7 ,6 0 ,20 x3 ,6 x 2 ,4 Muros o paredes del reservorio π D prom t xhx 2 ,4 = π = 42,34 t 2 3 + 2 ,6 15 Medio fuste π D promedio t xhx 2 ,4 = π 0 ,20 x x 2 ,4 = 31,67 t 2 2 Total peso propio =122,27 t π Dint2 erior π x7 ,6 2 h= 3 ,60 =163,31 t Agua contenida en la cuba 4 4 Peso total = 285,58 t
T = 2π
m 29 ,11 = 2π k 3542 ,82
Frecuencia Angular:
ω=
2π 2π = =11,04 rad/s T 0 ,569
La máxima amplitud de la vibración cuando se aplica una velocidad inicial es: u máx = 0,91
m = P/g =285,58 t / 9,81 m/s2 = 29,11 t-s2/m
Cálculo de la rigidez lateral del reservorio, KL, en el plano: En esa dirección el elemento resistente es el fuste que funciona como una columna empotrada en su base y libre arriba. Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO
T =0,569
INGENIERÍA ANTISÍSMICA
u&0 10 = ω 11,04
13
PROBLEMAS RESUELTOS
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PROBLEMAS RESUELTOS
De la figura b: PER-FREC-FORZADO (1GDL) Se tiene una losa rectangular, maciza, simplemente apoyada en sus cuatro bordes de concreto armado (E=230,000 kg/cm2, γconcreto = 2400kg/m3) de 20cm de espesor y de 6m de luz y 4 de ancho. Se desea calcular el periodo de vibración de la losa ante una fuerza vertical de personas saltando sobre la misma. Para representar la losa se puede suponer que está constituida por dos “vigas” de 1m de ancho. También se puede suponer que la masa asociada con la vibración es la dada por la zona central de la viga (un área rectangular de 2m x 3m de lado centrada con la losa). a) Calcular el periodo y frecuencia natural.
m=
P (( 2 x3 x0 ,2 )x 2 400 ) = g 981
3m
ω=
KT 14 907 ,5 = m 2 ,936
T=
2π 2π = ω 71,256
f =
1 1 = T 0 ,088
→
→
→
f = 11,34 Hz
6
a) Nuestro modelo será: 0.2m 1m
KV =
48 EI 3 LV
Rigidez = K T = K V 1 + K V 2
KT =
6m
masa
fig. d : Modelo
fig. b: Planta
; De la figura c:
fig. c: Secc. viga Viga
1
fig. a
ω = 71,256
T = 0 ,088 s
SOLUCIÓN :
4m
IV =
100 x 20 3 = 66 667 cm 4 12
; Lv1 =600 cm , Lv2 = 400 cm
48 x 250 000 x66 667 48 x 250 000 x66 667 kg + = 3 407 ,42 + 11 500 → K T = 14 907 ,5 600 3 400 3 cm
Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO
m = 2 ,936
Calculando lo solicitado, tenemos que:
4
2m
1m
→
INGENIERÍA ANTISÍSMICA
rad s
kg − s 2 = m1 = m2 cm
15
PROBLEMAS RESUELTOS
FREC-NAT (1GDL)
Entonces:
La viga doblemente empotrada de la figura es de acero, E= 2 100 000 kg/cm2, I= 4000 cm4. La viga sola es muy flexible y para comodidad de los que transitan sobre ella se desea que tenga una frecuencia natural mayor o igual a 20 Hertz. Para reducir la vibración se puede colocar una varilla de acero al centro de la luz. Determine el diámetro de la varilla (en los valores comerciales usados en nuestro medio) necesario para cumplir con esta condición. El peso colocado al centro es de 2t.
3
16
PROBLEMAS RESUELTOS
φ
1”=2.54cm [Es el diámetro a usar]
PERIODO DE VIBRACIÓN Se tiene un edificio de un piso que en la dirección Y está conformado por dos pórticos a los extremos y otros dos que están conformados por una columna y un muro de albañilería Los muros tienen 25cm de espesor y un módulo de elasticidad de 25 000 kg/cm2. Las columnas son de concreto armado y tienen 25cm x 40cm (E=250 000 kg/cm2). Para facilitar los cálculos se puede suponer que las vigas son de rigidez infinita y las columnas están empotradas en ambos extremos. El peso total a la altura del techo se puede considerar 96 toneladas. La altura total es de 2,4m y la losa del techo tiene 20cm de espesor. Y
4m
4m
4m
2m
10 m
SOLUCIÓN:
8m 2m
kg cm 2 I V = 40000 cm 4 E = 250000
X
PLANTA
P = 2 t = 2000 kg f TOTAL ≥ 20 Hz (Condición)
P
Se desea determinar el periodo de vibración en la dirección Y.
P 2000 kg − s = = 2.039 g 981 cm De la condición : f TOTAL ≥ 20 Hz 2
m=
espesor Muros
ω 1 = 2π 2π
E Columnas = 25000
KT ≥ 20 Hz m Despejando K T se tiene :
Y
Columna
2m
kg cm 2
Sabenos que K T = K VigaSola + K Varilla
P = 96 t = 96000 kg espesor Losa = e = 0 .20 m
kg kg → K T [mín ] = 32194.4 cm cm despejando : K Varilla = K T − K VigaSola
→
2
K T ≥ 32194.4
Como :
Altura Total : 2 .4 m
* Calculando la Rigidez Total ( KT ) :
2100000 x4000 EI K VigaSola = 192 3 = 192 1000 3 L Re emplazando :
→
K VigaSola
kg = 1612.8 cm
KT = 8xKColumna + 2xKmuro - Cálculo de KColumna = KC :
kg → K Varilla = 32194.4 − 1612.8 K Varilla = 30581.6 cm K L EA → Ya que : K Varilla = despejando " A": A = Varilla A = 4.37 cm 2 L 2100000 πD 2 Como la barra es circular : A = 4 4 A 4 x 4 . 37 Debido a que 1”=2.54cm > 2.36 = diámetro comercial → Despejando " Dse ": debe D = usar un D =y2.φ36 cm
π
Viga
C 25 x 40
K T ≥ (20 x 2π ) m = (20 x 2π ) x 2.039 2
kg cm 2 = t = 0 .25 m
E Muros = 25000
12 EI C 25 x40 3 como IC = = 133333cm4 3 12 h 12 x 250000 x133333 kg K C = 37565.65 ⇒ KC = → cm ( 240 − 20 ) 3 KC =
- Cálculo de KMuro = KM :
π
Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO
INGENIERÍA ANTISÍSMICA
2m
X
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PROBLEMAS RESUELTOS
K Muro =
Et
2500 x 25
=
3
→
3
⎛h⎞ ⎛h⎞ ⎛ 2.4 − 0.2 ⎞ ⎛ 2.4 − 0.2 ⎞ kg + 3x 4 x⎜ ⎟ + 3 x⎜ ⎟ 4 x⎜ ⎟ ∴ K T = 8 x 37565 .⎝17 2 → ⎟⎠ K T ⎜⎝= 445469 2 .⎠5 ⎝ L ⎠ .65 +⎝2Lx72472 ⎠ cm 2 m P 96000 kg .s = 97.859 T = 2π con m= = g cm KT 981
⇒ T = 2π
97.859 445469 .5
→
K muro = 72472.17
kg cm
T = 0.093 s
COCIENTE DE RAYLEIGH
Considere un sistema de cuatro grados de libertad. Estime el período fundamental utilizando el cociente de Rayleigh.
M4
Nivel
Pesos (t) 50 50 50 40
1 2 3 4
Rigidez (t/cm) 60 60 60 50
La fórmula para el cociente de Rayleigh aplicable es:
M3
K4 M3
K3 M2
M2
K2
K2
M1 M1
Incluida en la Norma E-030, con la variante Pi=Mig
K1
Cálculo del período fundamental usando el Cociente de Rayleigh
51.3333
K4
K3
⎛ n 2⎞ ⎜ ∑ M i Di ⎟ i =1 ⎠ ⎝ T = 2π ⎛ n ⎞ ⎜ ∑ Fi Di ⎟ ⎝ i =1 ⎠
Nive Pesos Masas Rigideces Fuerzas Cortantes Distorsión Desplaz. (t/m) l (t) (t-s2/m)
M4
Fxd
M d2
4
40
4.077
5000
40000
40000
8.0000
3
50
5.097
6000
30000
70000
11.6667
43.3333 13000000.00 9570.733
2053333.33 10744.592
2
50
5.097
6000
20000
90000
15.0000
31.6667
1
50
5.097
6000
10000
100000
16.6667
16.6667
166666.67 1415.789
Σ
4153333.33 26842.11
633333.33 5110.998
Periodo ( T ): 0.505 s Frecuencia: 12.439 r/s
Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO
K1
