INSTITUTO TECNOLOGICO DE SANTO DOMINGO
Área de Ciencias Básicas y Ambientales
Proyecto de de ecuaciones diferenciales Aplicaciones en ingeniería
Asignatura: Ecuaciones Diferenciales Profesor: Rafael González
Realizado por:
Jairon Francisco 07.0034 Estudiante de Ingeniería Mecánica
Proyecto de Ecuaciones Diferenciales Aplicación a problemas de ingeniería Por: Jairon
Francisco
2007-0034 Estudiante de Ingeniería Mecánica Instituto Tecnológico de Santo Domingo
I.
Mecánica de Fluidos
Suponga que el agua sale de un depósito por un orificio circular de área Ak en su fondo. Cuando el agua sale por el orificio, la fricción y la contracción de la corriente cerca del orificio reducen el volumen de agua que sale del depósito por segundo a cAk 2 gh , donde c(0 c 1) es una constante empírica. Determine la ecuación diferencial para la altura h del agua en el instante t para el depósito que se muestra a continuación. El radio del orificio es de 2 pulg y g 32
Solución: El volumen del agua en el tanque en el instante t es V
Ah w
Con esa ecuación podemos plantear una diferencial entre la altura y el tiempo en el que disminuye el volumen de agua en el recipiente:
dh dt
1 dV
Aw dt
1
Aw
cA
0
2 gh
cA0 Aw
2 gh
Hemos conseguido una ecuación diferencial en base a los parámetros definidos planteada generalmente. Sin embargo, hay, a modo de condiciones iniciales unos valores que se pueden determinar para solucionar particularmente esta ecuación 2 2 Aw 10 100, 2 Usando: A0 , sustituyendo estos valores para las condiciones 1 2 3 6 g 32
establecidas:
dh dt
c /36 100
64h
c 450
h
Comportamiento de la ED para C=1
II. Circuitos Un circuito en serie contiene un resistor y un capacitor que se muestra en la figura de al lado. Determine una ecuación diferencial para la carga q(t) en el capacitor, si la resistencia es R, la capacitancia C y el voltaje impreso es E(t). Solución:
Sabemos que la capacitancia sobre un circuito en serie se calcula como el inverso de la suma de los inversos. Y la resistencia como una simple suma algebraica. Así el resultado en voltaje de este circuito esta determinado por la Segunda Ley de Kirchoffs
R
dq dt
III.
1
C
q E( t)
Gravitación Universal
Según la ley de la gravitación universal de Newton la aceleración a de caída libre de un cuerpo, como el satélite que aparece en la figura de abajo, que cae desde una gran distancia hasta la superficie terrestre no es la constante g. Además, la aceleración a es inversamente proporcional la
a k
2
r , donde k es la constante de cuadrado de la distancia desde el centro de la Tierra, proporcionalidad. Utilice el hecho de que en al superficie de la Tierra r=R y a=g, para determinar k. Si la dirección positiva es hacia arriba, utilice la segunda ley para deducir la ecuación diferencial para la distancia r. Satélite de masa m
Solución: Lo primero a conocer aquí, es a que es igual la fuerza gravitacional en m:
r
F kM r m / r 2
superficie
Sin embargo M de la tierra podemos escribirla como: R
Mt r M / R 3
Tierra de masa M
3
Sustituyendo y reduciendo en la ecuación de la fuerza gravitacional:
F k
Mr m r2
3
k
3
r Mm / R r2
k
mM r R3
La Ley de la Gravitación Universal de Newton establece que la fuerza que ejerce una partícula puntual con masa m1 sobre otra con masa m2 es directamente proporcional al producto de las masas, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa:
Según la segunda ley de Newton tenemos que, la fuerza es el producto de la masa y la aceleración, donde esta ultima también puede expresarse como la derivada de la velocidad con respecto al tiempo, o la segunda derivada de la posición respecto del tiempo:
F ma F m m
d 2r dt
d 2r
2
d 2 r dt 2
k
dt 2
mM r Eliminando la masa de ambos lados de la ecuación. R3
kM r R3
IV. Modelo de crecimiento poblacional. Cierto ingeniero decide construir una edificación en una zona urbana con una dinámica de crecimiento dictada por la siguiente ecuación diferencial:
dP dt
(k cos t ) P
, donde k es una constante positiva de la función P(t) de la zona escogida para el estudio. El desea saber qué tipo de crecimiento tiene la población. Grafique el comportamiento de la ecuación. Analice una interpretación para la solución de esta ecuación, y determine qué clase de población considera que describe la gráfica. Solución: La ED puede resolverse por el método de la separación de variables: dP dt dP P
(k cos t ) P k cos tdt
dP P
k cos tdt
ln P ksent C P
ksent C e ksent
En la grafica podemos apreciar el comportamiento de la ED, y como se describe el comportamiento poblacional:
Esta se ha definido en el plano 3D para diferentes valores de k y C, desde 0 hasta 4.
V. Dinámica de caída Cuando un cuerpo, como el paracaidista que aparece en la figura, descendiendo antes de que se abra el paracaídas se mueve con gran rapidez en el aire, la resistencia del mismo es más cerca a a una cierta potencia de la velocidad instantánea v(t). Determine una ecuación diferencial para la velocidad v(t) de un cuerpo de masa m, que cae, si la resistencia del aire es proporcional al cuadrado de la velocidad instantánea.
kv 2
La segunda ley de Newton podría describir muy bien este principio Ya dijimos que la fuerza podria llevarse l levarse a una diferencial simple F
ma
F
m
dv dt
y aplicando la misma ley a la fuerza que provee la
sustentación tendríamos:
m
mg
dv dt
kv2 mg
En condiciones normales del viento, es decir k, proporcional a la condición de la ecuación , así debería fluctuar la caída para unos valores de v(t) de 0 a 140 m/s.
Y para ver la diferencia desde el punto de vista físico de cuando aun no se ha abierto el paracaídas y después, hacemos una comparación.
