SOLUCION DE PROBLEMAS
EQUIPO Nº1 ECUACIONES DIFERENCIALES
FACULTAD DE INGENIERIA MECÁNICA ECUACIONES DIFERENCIALES RESOLUCION DE PROBLEMAS DEL EQUIPO 1
DOCENTE: REYNA, YEXI
INTEGRANTES: Birreo Nina Rudy Harold
20051017B
Buitrón Ponte José Luis
20110047F
Reyes Astuyauri Yan Cesar
20092041E
Riveros Domínguez Magno
20060226J
Yopla Basaldua Jorge Rogger
20114027J
SECCIÓN: “B”
PERIODO: 2012 - II
Lima
Perú
–
2012
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SOLUCION DE PROBLEMAS
EQUIPO Nº1 ECUACIONES DIFERENCIALES
INDICE
I.
II.
III.
IV.
V.
ENUNCIADO DEL PROBLEMA I
3
Enunciado del problema 1
3
Solución del problema 1
3
Enunciado del problema 2
6
Solución del problema 2
6
ENUNCIADO ENUNCIADO DEL PROBLEMA II
8
SOLUCION DEL PROBLEMA II
8
ENUNCIADO ENUNCIADO DEL PROBLEMA III
10
SOLUCION DEL PROBLEMA III
10
ENUNCIADO DEL PROBLEMA IV
14
SOLUCION DEL PROBLEMA IV
14
ENUNCIADO DEL PROBLEMA V
18
SOLUCION DEL PROBLEMA V
18
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I.
MODELAMIENTO DE ECUACIÓNES DIFERENCIALES
1. Un sistema de calentamiento de agua mediante energía solar consta de un tanque de agua caliente y un panel solar. El tanque eta bien aislado y tiene una constante de tiempo de 64 horas. El panel solar genera 2000 Btu/hora durante el día y el tanque tiene una capacidad calorífica de 2°F por mil Btu. Si el agua en el tanque eta inicialmente a 110°F y a la temperatura del cuarto donde está el tanque es de 80°F a)
Calcule la temperatura del tanque después de 12 horas luz solar.
Si se usa un tanque más grande con una capacidad calorífica de 1°F por mil Btu y una constante de tiempo de 72 horas (con los demás factores idénticos) Calcule la temperatura del tanque después de 12 horas luz solar.
b)
SOLUCION:
LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON El efecto de la temperatura exterior sobre la temperatura interior de un sistema se puede modelar mediante la ley de enfriamiento de Newton. Enunciado:
,- Donde: T(t) : Temperatura dentro del sistema en el instante “ t”. M(t) : Efecto de la temperatura exterior sobre la temperatura interior. H(t) : Calor generado por las personas, luces ,maquinas, dentro del sistema. U(t) : Enfriamiento o calentamiento proporcionado por el aire acondicionado o la calefacción.
Ordenado la ecuancion deferencial lineal. En forma canonica:
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Donde:
P(t) = K Q(t) = K.M(t) + H(t) +U(t)
Por la forma de la ecuación vemos que el factor integrante es:
∫ Resolvemos:
Despejando T(t), se tiene:
* ,-+ Para el caso especificop de los ejercicios que vamos a resolver no consideramos los efectos de H(t) y U(t),además M(t) no dependerá del tiempo manteniéndose constante. Entonces:
*,-+ * + Cambiando el nombre de las variables: T(t) M
Tint.(t)
Text.
(Temperatura interior). (Temperatura exterior).
Quedando nuestra ecuación de este modo:
…..……. (I)
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Resolviendo el ejercicio:
Calcule la temperatura del tanque después de 12 horas luz solar.
a)
Datos:
1 hora
2000
Btu
12 horas 24000 Btu
1000 Btu
2
24000 Btu
o
F
48
o
F
K=1/64
Empleando la formula (I), para t=0:
C=30
Para t=12 horas:
o
F
b ) Si se usa un tanque más grande con una capacidad calorífica de 1°F por
mil Btu y una constante de tiempo de 72 horas (con los demás factores idénticos) Calcule la temperatura del tanque después de 12 horas luz solar.
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1 hora
2000
Btu
12 horas 24000 Btu 1000 Btu
1
24000 Btu
o
F
24
o
F
K=1/72 Para t=12 horas:
o
F
2. En una calurosa mañana de sábado, cuando las personas trabajan dentro de un edificio, el aire acondicionado mantiene la temperatura interior en 24°C. A mediodía, el aire acondicionado se apaga y las personas se van a casa. La temperatura exterior es constante e igual a 35 °C durante el resto de la tarde. Si la constante del tiempo del edificio es de 4 horas. Calcule: a) La temperatura dentro del edificio a las 2:00 pm b ) La temperatura dentro del edificio a las 6:00 pm c ) En qué momento, llegará la temperatura interior del edificio, a 27 °C.
SOLUCION: Usaremos la ecuación deducida en el ejercicio anterior:
Empleando la fórmula para t=0:
C=
-9
Con : K=1/4 a) La temperatura dentro del edificio a las 2:00 pm
Para t=2 horas:
6
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o
C
b ) La temperatura dentro del edificio a las 6:00 pm
Para t=6 horas:
o
C
c)
En qué momento, llegará la temperatura interior del edificio, a 27 °C.
Para
o
C:
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II.
APLICACIÓN DE LA TRASFORMADA DE LAPLACE
a. Calcule la transformada de Laplace de las siguientes funciones g (t) = t.
t
sen (t u) . J (u)du , siendo J (u) la función de Bessel de 0
0
0
primera clase y orden cero
b. Utilizando la transformada de Laplace resuelva la ecuación diferencial d2 y dt
2
2
dy 5y u( t a) ,a>0, con las condiciones iniciales dt
x(0) 0,
dx ( 0) 0 dt
SOLUCIÓN: t
a.
L {g (t)} = L {t.
sen (t u) . J (u)du } 0
0
F (u ) sen (t u ) . J 0 (u ) L {g (t)} =
L {g (t)} =
L {g (t)} =
L {g (t)} =
d ds
t
L{ F (u )du} 0
d 1
L{ F (t )}
ds s
d 1
L{0}
ds s
d 1
(0)
ds s
L {g (t)} = 0
b.
d 2 y 2
dt
2
dy dt
5 y u (t a)
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Primeramente aplicamos la transformada de laplace a ambos miembros de la ecuación diferencial.
L{
d 2 y 2
dt
} 2 L{
dy
} 5 L{ y} L{u (t a)} dt
Sabemos:
L{
L{
dy
} sL{ y} y (0) dt
d 2 y
dy 2 } s L { y } sy ( 0 ) ( 0) dt 2 dt
Por lo tanto remplazamos :
s 2 L{ y} sy (0)
dy (0) 2( sL{ y} y (0)) 5 L{ y} L{ut } L{ua} dt
( s 2 2 s 5) L{ y} sy (0)
dy dt
(0) 2 y (0) uL{t } L{ua}
Reemplazamos los datos:
( s 2 2 s 5) L{ y} s(0) (0) 2(0) u
L{ y}
1 ua s 2 s
u (1 ua) s 2 ( s 2 2 s 5)
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III.
SERIE DE FOURIER
f , es una función periódica de periodo mínimo 2π, tal que
1, 1,
f (t )
0 t
t 2
a) Exprese f , en una serie de Fourier b ) Grafique en un mismo plano, la función f y la función definida con solo tres
términos de la serie de Fourier determinada en el ítem anterior. c ) Utilizando la serie de Fourier de f dada en el primer ítem, determine la solución general de la ecuación diferencial
d2 x dt 2
36 x
f ( t )
SOLUCION:
Y
1 X
-1
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] [ [ ] [ ] [ ] [ ] { 11
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∑
a) b)
Y
1
X
-
c)
……(1)
Consideremos una solución particular periódica estacionaria:
∑
La solución general será:
Reemplazando
en la ecuación (1):
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, -
∑
Entonces la solución general será:
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IV.
TRANSFORMADA DE FOURIER
1 t 2 ; t 1 Calcule la transformada de Fourier de f (t ) 0 ; t 1 SOLUCION: Definición de la transformada de Fourier:
∫
1. Determinamos los límites de integración: Para:
|| ||
La función Para:
La función
Entonces solo aplicaremos la transformada de Fourier para el intervalo , donde la función no es 0.
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Usaremos el método de integración por partes:
→ → Reemplazamos:
Usaremos el método de integración por partes una vez más:
→ → Entonces:
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Homogenizamos y eliminamos del denominador
Factorizamos
Recordamos que nuestra integral estaba evaluada en el intervalo de
〈〉
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) ( ) ( ) ( ) ( Sabemos que:
( ) ( ) Entonces:
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V.
ECUACIÓN DIFERENCIAL PARCIAL
Determine la temperatura u( x; t ) en una barra de plata de 10cm de longitud si su sección transversal constante de área de 1 cm 2, 10,6 g/cm3 de densidad, 1,04 cal/cm-s°C de conductividad térmica, calor especifico 0,056cal/g °C y sus extremos se mantienen a temperatura de 0°C para todo instante y la distribución inicial de temperaturas viene dada por
x , f ( x ) u( x;0) 0,
0x5
en otro caso
SOLUCION: Datos: L=10 cm ; A=1
, μ=10.6 g/
, K=1,04 cal/cm-s°C , σ=0.056 cal/g°C
Hallando κ (Coeficiente de difusividad) κ=K/ σμ -------->κ=1.7520 La conducción de calor se representa mediante la siguiente ecuación diferencial:
=
κ.
Suponemos lo siguiente: u(x;t) = X.T X: Dependiente solamente de x. T:Dependiente solamente de t. Remplazando en la ecuación:
|| |
κ.
.T=X.
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||= | = -λ
|| |
+ λX=0 +λ.κ.T =0
(
+λ).X=0
√
D=
(D+ λ.κ).T=0
i D = -λ.κ
X=C1cos(
√
√ √ √ √ √ √
x)+ C2sen(
Entonces: u(x;t)= X.T=[C1cos( Condiciones de frontera: 1. u(0;t)=0 ------->
C1.C3.
T=C3.
]C3.
x)+ C2sen(
=0
(C3 0)
-------> C1=0 2. u(L;t)=0 ------->
L).C3.
C2sen(
------->sen(
L) = 0,
= 0 (C2,C3
0)
L=
-------> Remplazando:
u(x;t) =C2sen(
. C3.
u(x;t) =A.sen( .n.x).
u(x;t) = ∑ Condición de t = 0;
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u(x;0) =
∑ ∑ =f(x)=
…(α)
x, 0 ≤ x ≤ 5 u(x;0)=f(x)= 0, en otro caso
Expresando la función f mediante una expansión de senos:
l=5,
T=2.l=10
------->ω=2.π/T= π/l
a0=0, an=0 (la función expresada en senos es impar)
.n.x)dx ∫ ∫ .n.x)dx ∫ .n.x)dx
bn= bn= bn=
------>bn=
- - bn=
De (α):
An=
Entonces u(x;t) resultaría:
u(x;t) = ∑ 20