Universidad Tecnológica de Panamá Facultad de Ingeniería Mecánica Ingeniería Mecánica Dinámica Aplicada Problemas Resueltos Rafael Silvera Autores: Vasco Duke Pe-12-2201 Cherigo Cristóbal 1-IM-131 Año Lectico 2012
Problema # 1 Determine la constante de resorte equivalente del sistema de la figura 1.67.
Problema # 2 Considere un sistema de dos resortes con rigideces y , dispuestos en paralelo como se muestra en la figura 1.68. La barra rígida a la cual están conectados los resortes permanece horizontal cuando la fuerza F es cero. Determine la constante de resorte equivalente del sistema ( ) que relaciona la fuerza aplicada ( ) con el desplazamiento resultante ( ) como
Sugerencia: Como las constantes de los dos resortes son diferentes y las distancias y no son las mismas, la barra rígida no permanecerá horizontal cuando se aplique la fuerza .
La barra permanece horizontal cuando F=0
Cuando se aplique la fuerza F, la barra no permanece horizontal
∑
Asumimos ángulos pequeños ,
∑
Problema # 3 La figura 1.81 muestra una barra de tres escalones empotrada por uno de sus extremos y sometida a una fuerza axial aplicada en el otro extremo. La longitud del escalón es y su área de sección transversal es , . Todos los escalones son del mismo material con módulo de Young . a. Encuentre la constante de resorte (o rigidez) del escalón en la dirección axial ( ). b. Encuentre la constante de resorte equivalente (o rigidez9 de la barra escalonada , en la dirección axial de modo que . c. Indique si los resortes se comportan como resortes en serie o en paralelo.
a)
b)
c) Resortes en serie
Problema # 4 Determine la constante de resorte equivalente del sistema que se muestra en la figura 1.82.
( resortes en paralelo) (resortes en serie) =
(resorte en paralelo)
(resorte en paralelo)
Problema # 5 Derive la expresión para la constante de resorte equivalente que relaciona la fuerza aplicada con el desplazamiento resultante del sistema que se muestra en la figura 1.86. Suponga que el desplazamiento del eslabón es pequeño.
∑
(
(
)
(
)
(
)
)
(
)
(
)
(
( (
(
)
(
)
)
)
( )
) (
)
Problema # 6 Dos resortes no lineales y están conectados en dos formas diferentes como se indica en la figura 1.88. La fuerza, , en el resorte Si está relacionada con su deflexión ( ) como =
,
Donde y son constantes. Si , donde es la deflexión total del sistema, define una constante de resorte lineal equivalente , encuentre una expresión para en cada caso.
Resortes no lineales
Caso(b): resortes en paralelo
Caso (a):
Problema # 7 La velocidad máxima alcanzada por la masa de un oscilador armónico simple es de 10 cm/s, y el periodo de oscilación es de 2 s. Si la masa se suelta con un desplazamiento inicial de 2 cm determine (1) la amplitud; (b) la velocidad inicial y (c) el ángulo de fase. ̇
̇
̇ ̇
√
(
̇
)
̇
√
̇ ̇ a) b)
̇
√
√ ̇
c)
(
̇
)
(
)
Problema # 8 Tres resortes y una masa se fijan a una barra rígida sin peso como se muestra en la figura. Determine la frecuencia de la vibración del sistema.
Asumo x>
Para la barra: ∑
̈
Para la masa: ∑
̈
̈ ̈
̈ (
(
)
̈
)
(
̈
(
)
)
√ ̈
(
)
Resolveremos este problema ahora por el principio de conservación de la energía:
̇
̇
(
)
(
[ ( [
(
)
)(
(
) )
)
](
)
](
)
√
Problema # 9 Halle la frecuencia natural de la vibración de un sistema de resorte-masa colocado sobre un plano inclinado, como se muestra en la figura.
∑
̈
̈
̈ (
)
√
Problema # 10 Encuentre la frecuencia natural del sistema que se muestra en la figura con y sin los resortes viga elástica.
̈
∑
̈ ̈ ̈ ̈
̈
̈
Si
√
y
a la mitad de la
Problema # 11 Cuatro eslabones rígidos y un resorte sin peso están dispuestos para que soporten un peso de dos maneras diferentes, como se muestra en la figura. Determine las frecuencias naturales de vibración de las dos disposiciones.
( )
( )
(
(
)
)
(
(
)
)
Problema# 12 Un cilindro de masa y momento de inercia Jo rueda libremente sin deslizarse pero está restringido por dos resortes de rigideces y , como se muestra. Encuentre su frecuencia natural de vibración, así como el valor de a que maximiza la frecuencia natural de vibración.
̇
( (
) ̇
(
) ̇
) ̇
̇ ̈
̇
̈
√
√
√ Problema# 13 Encuentre la ecuación de movimiento de la barra rígida uniforme su frecuencia natural.
de longitud y masa
de la figura. Encuentre también
̅
∑
̈
[̅
()] ̈
) ̈
( ̈
(
√
)
(
)
Problema# 14 Un disco circular uniforme gira alrededor del punto , como se muestra en la figura. Encuentre la frecuencia natural del sistema, así como su frecuencia máxima al variar el valor de .
̈
∑
̈ ̅
) ̈
(
√
√
(
(
)
(
)
(
)
)
[
]
√ (
√
(
√
)
)
Problema # 15 Derive la ecuación de movimiento del sistema, mostrado en la figura., con los siguientes métodos: (a) la segunda ley del movimiento de Newton; (b) el principio de D’Alembert, (c) el principio de la conservación de la energía y (c) el principio del trabajo virtual.
̈
∑
( ) (
)( )
(
)( )
) ̈
(
̈
( )
) ̈
(
( ) ̈
(
̅
( )
) (
)
̈ ̈ ̈
∑
( )
( )
(
) ( )
(
) ( )
(
( ) )
( )
(
̇
(
( )
)
̇ ̈ ̇
( ̈
)
)
̇
Problema # 16 Una masa se fija en un extremo de una barra uniforme de masa cuyo otro extremo gira alrededor del punto como se muestra. Determine la frecuencia natural de vibración del péndulo resultante para pequeños desplazamientos angulares.
̈
∑
̈ ̈
̅
̅
(
) (
( )
(
)
̈
) (
)
(
)
Problema # 17 Las respuestas de vibración libre de un motor eléctrico de 500 N de peso montado en cimentaciones diferentes se muestran en las figuras (a) y (b). Identifique lo siguiente en cada caso: (i) la naturaleza del amortiguamiento provisto por la cimentación, (ii) la constante de resorte y el coeficiente de amortiguamiento de la cimentación, e (iii) las frecuencias no amortiguada y amortiguada del motor eléctrico.
√
√
√ √
√
(
Amortiguamiento de Coulomb
√
)
Problema # 18 Un carro de ferrocarril de 2000 kg de masa que viaja a una velocidad = 10 m/s es detenido al final del carril por un sistema de resorte-amortiguador, como se muestra. Si la rigidez del resorte es = 80 N/mm y la constante de amortiguamiento es = 20 N-s/mm, determine (a) el desplazamiento máximo del carro después de que choca con los resortes y el amortiguador y (b) el tiempo requerido para que alcance un desplazamiento máximo.
√
√
√
̇ ̇
̇ ̇
̇
Problema # 19 Un péndulo torsional tiene una frecuencia natural de 200 ciclos/min cuando vibra en el vacío. El momento de inercia de masa del disco es de 0.2 kg-m2. Luego se sumerge en aceite y se ve que su frecuencia natural es de 180 ciclos/min. Determine la constante de amortiguamiento. Si cuando el disco se coloca en aceite, se hace que se desplace 2°, encuentre su desplazamiento al final del primer ciclo.
̈ (
)(
)
(
)(
)
√
√
(
̇
(
)
√
(
( √
)
(
)
)
√ )
( )
Problema # 20 Un chico montado en una bicicleta se puede modelar como un sistema de resorte-masa-amortiguador con un peso, rigidez y constante de amortiguamiento equivalente de 800 N, 50,000 N/m y 1000 N-s/m, respectivamente. La colocación diferencial de los bloques de concreto en la carretera hace que el nivel de la superficie se reduzca de repente, como se indica en la figura. Si la velocidad de la bicicleta es de 5 m/s (18 km/h), determine el desplazamiento del chico en la dirección vertical. Suponga que la bicicleta no vibra en la dirección vertical antes de encontrarse con el desnivel en el desplazamiento vertical.
̈
̇
̇
√
√
̇
√
La distancia d=15m, viajando a una velocidad de V=5m/s se recorre en t=d/V=15/5=3s
̇
̇ ̇ Para la segunda parte del movimiento ̈
̇ ̇
̇
Problema # 21
̇
= ̇ =
̇
[
̇ = ( (
[
]
[
]
]
) ̇ =
̇
)=
( ) APLICANDO EL METODO DE LAGRANGE
[ ̇
]
[
̇ )]=
(
̈
̇ ] =0
[
(
[
)
̇
+
(
=
̇
(
)
̇
)]
̇
[
] ̇
̇
̈
̇
+
=0
Linealizando ̈
̇ (
̈
)
̇
=0
=0
Aplicando el Método de Newton
̈
( ̈
) (
(
̈
( )
)=
(
+
Linealizando
̈
̇ ( ̇
( ̇
)
( )
̇
̈
̇
)
) =0
=0
=0
̈
) (
)
Problema # 22
=
̇
[
̇
] ̇
̇ APLICANDO EL METODO DE LAGRANGE PARA LA COORDENADA
[ ̇
]
̇
[ [
̇
̈
̇
] ] =0
= ̇
̈
APLICANDO EL METODO DE LAGRANGE PARA LA COORDENADA [
] ̇
[ ̇
̇
] [
̇ ]=
[ [
̇ ̇
̈ ]] =0 (
̇
)-2r
= ̈
(
)-2r
=0
Aplicando el Metodo de Newton Coordenada ̈ ̈ ̈ ̈
(
)-2r
Coordenada
̈
̈
̈
̈
Problema # 23 En la figura 1.69 encuentre la constante de resorte equivalente del sistema en la dirección de .
+ + + Linealizando [
]
Problema # 24
En la figura 1.76 una barra rígida uniforme de masa m pivotada en el punto O y conectada por resortes de rigideces k1 y k2. Considerando un pequeño desplazamiento angular de la barra rígida con respecto el punto O determine la constante de resorte equivalente asociada con el momento de restauración
=
̇ = ( (
) ̇ = )=
[
̇ ( ) APLICANDO EL METODO DE LAGRANGE
[ ̇
]
[
(
̇ )]=
̈
]
[
̇ ] =0
[
]
=0 ̇
[ ̇
] ̇
̈+
=0
Linealizando
̈
̈+
=0 =0
Problema # 25 Encuentre la constante de resorte equivalente y la masa equivalente del sistema que se muestra en la figura 1.79 con referencia a . Suponga que las barras AOB y CD son rigidas con masa insigificante. En la figura 1.92 se muestra una flecha de helicecompuesta, hecha de acero y aluminio.
̇ ̇
̇
̇
̇
̇ [
[ ̇
]
̇ ̇
] ̇
̇
̇ [
̇
]
̈
=
̈(
) =
Linealizando ̈
+
=0
Problema #26 a. Determine la constante de resorte torsional de la flecha. b. Determine la constante de rosorte torsional de la flecha compuesta cimpuesta cuando el diámetro interno del tubo de aluminio es de 5 cm en lugar de 10cm.
a)
=
b)
=
Problema # 27 Un cilindro uniforme de 13,6 kg puede rodar sin deslizar por un plano inclinado 15º. A su perímetro está sujeta una correa y un muelle lo mantiene en equilibrio como se muestra. Si el cilindro se desplaza hacia abajo 50 mm y se suelta. Determinar: (a) El período de la vibración, (b) La aceleración máxima del centro del cilindro
Datos e incógnitas
En la figura se muestra el DCL del cilindro en la posición de equilibrio estático
Aplicando las ecuaciones de equilibrio, se tiene
∑
∑
Remplazando la ec. (1) en (2), resulta
En la figura se muestra el DCL del cilindro para un desplazamiento instantáneo XG a partir de la posición de equilibrio
Traslación
Aplicando las ecuaciones de movimiento se tiene
∑
∑
Sumando las ecuaciones (4) y (5), resulta
Remplazando la ec.(3) en (6), se tiene
De la geometría y teniendo en cuenta que el centro instantáneo de rotación es el punto de contacto, resulta
(8) (
)
Remplazando la ec.(8) y (9) en (7), resulta
(
)
La ec. (10) es la ecuación diferencial de una MAS con una frecuencia circular
√
La solución de la ecuación diferencial (10), es
La velocidad y la aceleración en cualquier tiempo
Remplazando las condiciones iníciales, resulta
Resolviendo simultáneamente las ecuaciones anteriores, se tiene
Remplazando estos valores obtenidos resulta
(
)
La aceleración máxima será
Problema #28 Una rueda escalonada que pesa 90 N rueda sin deslizar por un plano horizontal, según se indica en la figura. Los resortes están unidos a hilos arrollados de manera segura sobre el cubo central de 30 cm de diámetro. Si el radio de giro del cilindro escalonado vale 225 mm, escribir la ecuación diferencial del movimiento para la posición XG(t) del centro de masa del cilindro y determinar el período y la frecuencia del movimiento vibratorio resultante.
Datos e incógnitas
En la figura se muestra el DCL de la rueda para una posición cualquiera X. Las fuerzas que obran son: el peso (W), la reacción normal (NC), la fuerza de fricción (Fs ) y las fuerzas elásticas Fe en cada uno de los resortes
Aplicando las ecuaciones de movimiento se tiene
̈
∑
̈ ̈ ̈
∑
̈ (
)
(
)
) ̈
(
Sumando las ecuaciones (1) y (2), resulta
(
)
(
̈
)
) ̈
(
La cinemática para la rueda muestra una relación entre las deformaciones de los resortes y el desplazamiento del de masa de la rueda
̈ (
)
(
)
Remplazando las ec. (4), (5) y (6) en la ec (3), resulta
(
)
(
)
(
(
) )
Remplazando valores se tiene
(
)
(
)
(
(
) )
Simplificando la ecuación anterior se tiene
De la ecuación diferencial (8), se obtiene la frecuencia circular.
√ El período de la vibración es
Problema #29
Un cilindro de masa m y radio R está conectado con muelles idénticos de constante k y gira sin rozamiento alrededor del punto O. Para pequeñas oscilaciones, ¿cuál será la frecuencia natural?. El cordón que soporta a W1 está enrollado alrededor del cilindro.
Datos e incógnitas "W ", "k", "r", "R", "m", En la figura se muestra el DCL del bloque.
Aplicando las ecuaciones de equilibrio al bloque, se tiene.
∑
En la figura se muestra el cilindro en equilibrio estático.
Aplicando las ecuaciones de equilibrio para el cilindro.
∑
En la figura se muestra el DCL del bloque pero desplazados de su posición de equilibrio estático.
Aplicando las ecuaciones de movimiento para el bloque se tiene
∑
̈ ̈ ̈
Aplicando las ecuaciones de movimiento al cilindro, se tiene
∑
Para ángulos pequeños Cosθ ≈ 1; y Senθ ≈ 0, entonces la ecuación anterior, se escribe
∑
Remplazando la ec. (3) en (4), resulta
̈ Al sustituir la ec (2) en (5), resulta
De la cinemática se tiene que
Remplazando la ec (7) en (6), resulta
̈
̈
̈ La ec.(8) constituye la ecuación diferencial de un MAS cuya frecuencia circular natural es
√
Problema # 30 Si el sistema mostrado en la figura se suelta desde una altura h sobre una superficie dura. ¿Cuál será el movimiento resultante de la masa m? siendo K la rigidez del resorte y c la viscosidad del amortiguador. Por conservación de la energía
Lo que nos da que
√
El modelo matemático del sistema masa resorte amortiguador. ̈
Asumiendo que
̇
y que ̇
La solución es: Reemplazando nos da que: Derivando reemplazando: ̇ Sabiendo que √
√
√
reemplazamos y nos queda que: (
)
√
Problema #31 La pieza de una maquina de masa de 1.95kg vibra en un medio viscoso. Determine el coeficiente de amortiguamiento cuando es excitado mediante una fuerza armónica de 24.46N, resultando con una amplitud de 1.27cm en resonancia con un periodo de 0.2s. ; Y como
√
;
31.42=√
√
Sabiendo que
, la cual para el caso de resonancia en el que
; lo que nos deja que
.
Remplazando y simplificando nos queda √
√
Problema# 32 Una maquina industrial, con una masa de 453.4kg esta soportada en resortes con una deflexión estática de 0.508cm. Si la maquina tiene un desbalance rotatorio de 0.2303kg-m, determine a) la fuerza transmitida al piso a 1200rpm b) la amplitud dinámica a esta velocidad. Suponga amortiguamiento despreciable
√
√
La amplitud de vibración para un sistema con desbalance rotacional viene dado por la ecuación √
La cual debido a la ausencia de amortiguamiento se reduce a
√
Donde
√
Lo cual responde a la pregunta b)
√
a) La fuerza transmitida Problema# 33 Si la maquina del problema anterior esta montada en un gran bloque de concreto de masa de 1136kg y la rigidez de los resortes bajo el bloque es aumentada de modo que la deflexión estática es de 0.508cm ¿Cuál será la amplitud dinámica? La nueva masa M=453.4+1136=1589.4kg La nueva
√ Problema # 34 Un medidor de vibraciones sin amortiguamiento, con una frecuencia natural de 1cps es utilizado para medir vibraciones armónicas de 4cps, si la amplitud indicada por el medidor (amplitud relativa entre la masa del medidor y el marco) es de 0.052cm, ¿cual es la amplitud correcta?
Sabiendo que
√
√
=
y dado que no hay amortiguamiento nos queda:
√
Problema# 35 La figura representa un diagrama simplificado de un vehículo soportado por resortes que viaja en una carretera mala. Determiné la ecuación para la amplitud de W como función de la velocidad y determine la velocidad más desfavorable.
Par aun sistema con movimiento armónico en la base la ecuación que describe el sistema viene dada por ̈ ̇ ̇ que dado a la ausencia de amortiguamiento nos queda que ̈ . El término de la ecuación viene dado por una ecuación del tipo que no es más que la excitación armónica que recibe el sistema. En la cual el periodo que describe las irregularidades de la superficie excitación va ser igual a: ̈
(
por lo que la frecuencia
por lo que nos queda que: ) Cuya solución particular viene dada por
En la cual la amplitud
va estar dada por la ecuación
nos queda como
√
para la cual
que debido a la ausencia de amortiguamiento
√
ecuación en la cual nos haría falta el termino de la frecuencia
natural pero en la figura se nos proporciona tanto el valor de la constante de amortiguamiento como el valor del peso W es decir la masa por lo que se puede determinar la frecuencia natural fácilmente Por lo cual la amplitud de W viene dada por
√
√
la cual efectivamente queda en términos de “ ”
La velocidad mas desfavorable vendría dada para la amplitud mas alta es decir para cuando hay resonancia “ se da cuando remplazando endicha ecuación nos queda que:
√
√
Problema #36
lo cual
Los resortes de un remolque de automóvil están comprimidos 10.16cm bajo su peso. Halle la velocidad crítica cuando el remolque viaja por una carretera con un perfil aproximado por una onda sinusoidal de 7.62 cm de amplitud y una longitud de onda de 14.63m. ¿Cuál será la amplitud de la vibración a 64km/h (desprecie el amortiguamiento).Refiérase al problema anterior. √
√ Del problema anterior sabemos que (
√
) ;
√
Problema#37 Para el sistema que se muestra en la figura; del extremo Q del amortiguador hidráulico c1.
y
indican, respectivamente el desplazamiento absoluto de la masa m y
a) Obtenga la ecuación de movimiento de la masa m b) El desplazamiento de estado estable de la masa c) Encuentre la fuerza transmitida a la pared cuando el extremo Q se somete al movimiento armónico
̇ ̈
̈
̇ ̇
̇ ̇ Donde ̇
a) Remplazando obtenemos la ecuación de movimiento ̈
̇
b) Para la cual se pide la solución particular la cual viene dada por: Donde para nuestro modelo matemático
√
y
;
;
√
y
y el ángulo vine dado por la ecuación
c) La fuerza transmitida a la pared va ser igual a: ̇
√
{
}
Problema#38 Obtenga la ecuación de movimiento rotatorio y encuentre la respuesta de estado estable del sistema que se muestra en la figura para los siguientes datos:
El modelo matemático que describe el movimiento del sistema es el siguiente (
̈
Donde Y
( )
Remplazando la data nos que
y
Problema#39 Una maquina es excitada por una fuerza oscilante producida por la operación misma de la maquina. La maquina y la base pesan 2300N y están sustentadas mediante un montaje aislador de vibraciones que tiene una constante elástica equivalente de 53000N-m y un amortiguador ajustado de modo que amortiguamiento sea un 20% del critico. Si la frecuencia de la fuerza es igual a la de funcionamiento de la maquina. a) ¿Bajo que condición de velocidad en rpm se transmitirá a la cimentación una fuerza igual a la excitación? b) Bajo que condición de velocidad será la amplitud de la fuerza transmitida menor del 20% de la amplitud de la fuerza de excitación. La ecuación que relaciona la fuerza transmitida con la fuerza aplicada es la siguiente:
| | Donde
y
√
remplazando nos queda que
√ Como √
Para el caso b
√
Lo que nos da que la velocidad de operación es Problema#40 Un aparato de navegación es instalado en un avión, de tal manera que queda separado de la estructura del avión por medio de aisladores de vibración, los cuales se deforman 0.002m bajo el peso del aparato. Si el avión vibra a la frecuencia de los motores del mismo, que es 3000rpm calcule que % de la vibración de la estructura se transmitirá al aparato de navegación. Lo que se nos pide en el problema no es más que la relación de amplitudes la cual recibe el nombre de transmisibilidad del desplazamiento
√
. Dado que no se ase referencia al amortiguamiento se puede asumir que es
despreciable lo que nos deja la ecuación anterior como
para la cual aria falta determinar el valor de r el
√
cual viene dado por: Remplazando nos da que
√
√
Problema 41 El rotor de un motor de C.D. gira a 1800rpm.. Dicho rotor pesa 1962N y tiene una excentricidad de 0.0001m. si deseamos colocar un peso de balanceo del lado contrario al desbalance a una distancia de 0.27m del eje de giro. ¿Qué valor debe tener dicho peso de balanceo?
La amplitud para el desbalance rotacional viene dado por la siguiente ecuación: Cuando se habla de colocar un peso de balanceo quiere decir que las amplitudes tienen que ser las
√
mismas por ende igualando y cancelando términos iguales nos queda que:
.
Lo que nos da que el peso de balanceo es Problema#
Un sistema de resorte-masa-amortiguador se somete a una fuerza armónica. La amplitud es de 20mm en resonancia y de 10mm a una frecuencia 0.75 veces la frecuencia resonante. Encuentre la relación de amortiguamiento del sistema. Sabiendo que para ambos casos la deformación estática va a ser la misma igualamos ambas
√
ecuaciones y sabiendo que para el caso de resonancia
remplazando nos queda que:
√ √
Despejando nos da que
Problema #42 Un radio de avión pesa 106.75N y debe ser aislado de las vibraciones del motor a frecuencia de 1600cpm a 2200cpm. Que deflexión estática deben tener los osciladores para un aislamiento del 85%? El problema nos hace referencia para que solo un 15% de la fuerza originada por las vibración de los motores del avión se transmita a la base lo que nos deja con que | | que
no nos hacen referencia al amortiguamiento por ende se asume
como
√
Para √
√
2200cpm la fuerza transmitida es muy pequeña. Problema#43 Obtenga la ecuación de movimiento y encuentre la solución de estado estable del sistema que se muestra en la figura con los siguientes datos: k=5000N/m, l=1m, m=10kg, M0=100N-m, rpm
̈ ̈
[
]
Mientras que Y
en estado estable la solución es:
Problema#44 obtenga la ecuación de movimiento y determine la respuesta de estado estable del sistema que se muestra en la figura con los siguientes datos: k=5000N/m, l=1m, c=1000N-s/m, m=10kg, ,
̈
[
]
̇]
[
̈
[
]
̇
( )
El modelo matemático del sistema queda como: ̈
̇
{
√{ (
)
problema# 45 Un cilindro uniforme de 7 kg puede rodar sin deslizarse por un plano inclinado y está sujeto por un muelle como se muestra. Si su centro se mueve 50 mm plano abajo y se suelta, hallar: (a) el período de la oscilación y (b) la velocidad máxima del centro del cilindro.
Solución En la figura (a) se muestra el DCL del cilindro en la posición (xG) fuera del equilibrio. Aplicando las ecuaciones de equilibrio al DCL de la figura para una posición de equilibrio estático se tiene
∑ (1)
∑ (2) Sumando las ecuaciones (1) y (2), resulta:
La ecuación de movimiento de traslación en la dirección X nos da
∑ ̈ ̈ (4) La ecuación de movimiento de rotación nos da que:
∑ ̈ ̈ (5) Sumando las ecuaciones 3 y 5, resulta: Reemplazando 3 en 6: ̈
̈ (7)
̈
La relación entre la aceleración lineal y angular viene dada por
̇ ̈ Reemplazando 8 en 7 y simplificando resulta:
̈
̇ ̈ (8)
̈ (6)
Reemplazando los correspondientes valores de la masa y rigidez: ̈ El periodo se determina a partir de la frecuencia natural:
√
ans. Para determinar la velocidad máxima se aplica las condiciones iniciales
̇
La velocidad para cualquier posición es: ̇
(
) ans:
̇ problema# 46 Un bloque que pesa 100N se desliza por una superficie horizontal sin fricción como se muestra en la figura. Los dos resortes están sometidos a tracción en todo momento y las poleas son pequeñas y exentas de rozamiento. Si se desplaza el bloque 75 mm hacia la izquierda de su posición de equilibrio y se suelta con velocidad de 1,25 m/s hacia la derecha cuando t = 0, determine: (a) La ecuación diferencial que rige el movimiento; (b) El período y la amplitud de la vibración, (c) La posición del bloque en función del tiempo.
Datos e incógnitas: En la figura se muestra el DCL del bloque para una posición “x” a partir de la posición de equilibrio: Cuando el bloque esta en equilibrio estático, x = 0, entonces Fe0= k1δs y T = T0 å Fx = 0 T0 - k1d 1 = 0......................................(1) Cuando el bloque está en movimiento, la segunda ley de Newton, establece å Fx = mX&& ̈ En la figura se muestra el DCL de la polea móvil para una posición Y a partir de la posición de equilibrio estático Cuando la polea está en equilibrio, Y = 0 entonces
Fe2 = k 2 δ2 y T = T0, entonces
Fy 0 k 2 ( 2 Y ) 2T0 0 k 2 2 2T0 0..........................(3) Remplazando la ecuación (4) en (2), resulta: Cuando la polea se está moviendo hacia abajo, se tiene Sustituyendo la ecuación (5) en (6), resulta:
̈ ………(6)
Fy mP aPy
De la geometría figura se tiene: k2 (de2 la Y ) 2T 0 Y=X/2………………………………………..(8)
k2 2 k2Y 2T 0.....................(4) Remplazando la ecuación (8) en la ecuación (7), tenemos: Remplazando la ecuación (1) en (3), resulta: k 2 2 2k1 1 0...............................(5) k W X k1 X 2 Y 0......................(7) g 9.8
El período de la vibración resultante, será:
√
rad/2
X k1 X k2/2(X/2) 0
La frecuencia de vibración es : ans 1333 La posición y la 100 velocidad función en(833 X del4tiempo ) X están 0 dadas por las ecuaciones: 114,3 X 0................(9) X
Aplicando las condiciones iníciales, se tiene: Resolviendo las ecuaciones anteriores, resulta: X ASen(10,7t )........................(10) Por lo tanto la posición en función del tiempo está dada por la ecuación : X 10,7 ACos(10,7t ).................(.11) 0,075 ASen ..............................(12) 1,25 10,7 ACos ........................(13) A 0,138m Tg 0,642
X 0,138Sen(10,7t ).................R . ta.
Problema#47 Las dos masas de la figura se deslizan por sendas superficies horizontales exentas de fricción. La barra ABC está en posición vertical en el equilibrio y su masa es despreciable. Si los resortes están sometidos a tracción en todo momento, escribir la ecuación diferencial del movimiento para la posición X(t) de la masa de 10 kg y determinar la frecuencia y el período de la vibración resultante. (Supóngase oscilaciones de pequeñas amplitudes).
å Fx = 0 T0 2 = k2d 2 ..........................(2) En la figura se muestra el DCL de la barra ABC en la posición de equilibrio
10
15
Solución Datos e incógnitas m1 = 10 kg;..m2 = 15kg;..m ABC = 0;..k1 = 2000N / m k 2 = 2000N / m;..k3 = 3500N / m;..Ec.Dif . = ??; T = ??;.. f = ??.
Aplicando la segunda condición de equilibrio, se tiene åMB = 0 T01 (0,1m) + T03 (0,2 m) = T02 (0,2 m) 0,1k1d 1 + 0,2 k3 d 3 = 0,2 k 2d 2 .........(3) En la figura se muestra el DCL de m1 en una posición arbitraria X a partir de la posición de equilibrio
En la figura se muestra el DCL de m1 en la posición de equilibrio estático
Aplicando las ecuaciones de movimiento, tenemos Aplicando la ecuación de equilibrio en la dirección horizontal, se tiene å Fx = 0
å Fx
= m1a1x T1 - k1 (d + X ) = m1 X&& T1 = m1 X&& + k1 (d 1 + X )......... .(4)
T01 = k1d 1............................ 1) En la figura se muestra el DCL de m2 en la posición de equilibrio estático
Aplicando las ecuaciones de equilibrio, se tiene
En la figura se muestra el DCL de m2 en una posición arbitraria X a partir de la posición de equilibrio
å Fx = m2 a 2 x
k 2 (d 2 - X 2 ) = m2 X&& 2 T2 = k 2 (d 2 - X 2 ) - m2 X&& 2 .........(.5) En la figura se muestra el DCL de la barra ABC, cuando se ha girado un ángulo θ a partir de la posición de equilibrio
m X k X 2k (2 X ) 2k (2 X ) 2m (2 X ) 0 (m 4m ) X (k 4k 4k ) X 0 (10 + 60)&& X + (2000 +14000 + 8000) X = 0 && X + 342,86 X = 0.......(10) La ecuación (10) es la ecuación diferencial de un MAS, con frecuencia circular w = 342,86 Þ w = 18,52rad / s
La frecuencia natural será
f=
w 2p
=
18,52 Þ f = 2,95 Hz.........R. ta. 2p
El período de la vibración es 1
Aplicando las ecuaciones de movimiento a la barra ABC, se tiene
1
T= = Þ T = 0,34 seg.............R ta. f 2,95 å M B = I Ba
- T1 (0,1Cos q ) - T (0,2Cosq ) + T2 (0,2Cosq ) = 0(a ) Para ángulos pequeños, Cosθ ≈ 1; y Senθ ≈ 0, entonces la ecuación anterior se escribe
Problema # 48 Un peso de 6 kg pende de un cilindro de 4 kg como se muestra en la figura, mediante un pasador sin fricción que pasa por su centro. Escriba la ecuación diferencial del movimiento para la posición YG(t) del centro de masa del cilindro y determine el período y la frecuencia del movimiento vibratorio resultante.
0,1T1 + 0,2T3 = 0,2T2 .............................(6) Remplazando la ec.(4) y(5) en (6), resulta
[m1X&& + k1(d1 + X )]+ 2k3(d3 + X2 ) = 2[k2 (d2 - X2 ) - m2 X2 ] ..(7) Remplazando la ec.(3) en (7), resulta
m1 X&& + k1 X + 2 k 3 X 2 = -2 k2 X 2 - 2 m2 X&& 2 .........(.8) Del gráfico por triángulos semejantes, se observa que Y reemplazando 9 en 8 luego:
X2
=
0,2
X
Datos e incógnitas mB 6kg;...mC 4kg;...R 0,25m;...K 800N / m 0,1
Ec.Dif ??;... f ??;...T ?? En la figura se muestra el DCL del bloque en posición de equilibrio estático
la ecuación de equilibrio nos da : Fy 0 T0 m B g 6(9,81) T0 58,86 N ..................................(1) En la figura se muestra el DCL del cilindro en posición de equilibrio estático
Aplicando las ecuaciones de movimiento se tiene F y m C a Gy T mC g Fe T1 m C YG
T 39,4 K Y T1 4Y .........(.6) Aplicando las ecuaciones de equilibrio tenemos ( FY ) 0 T10 K s WC T0
T10 K s 49,81 58,86 T10 K s 98,1N ..............................(2)
M G I G 1 T (R) F (R) mc R 2&& 2 1 T K ( Y ) m R.................(7 ) 2
MG 0 K s (R) T10 (R) T10 K s .................................(3)
Sumando las ec. (5) y (6), se tiene
Reemplazando la ec. (3) en (2) resulta 98,1- K (d s + Ye ) - T1 = 10&Y G .............(8) K s K s 98,1 2K s 98,1......................................(4) En la figura se muestra el DCL del bloque cuando se ha desplazado una distancia Y a partir de su posición de equilibrio
Sumando las ec (7) y (8), resulta 98,1 2K Y 10Y
1 m R...(9) 2
Remplazando la ec.(4) en (9), resulta 10Y&&G
1 + (4)(0.25)q&& + 2 KY e = 0 2
10&Y G + 0,5q&& +1600Ye = 0..................(.10) De la cinemática de los desplazamientos se tiene
Aplicando las ecuaciones de movimiento para el bloque, se tiene å FY = m B aB y 58,86 - T = 6YG ..................................( 5) En la figura se muestra el DCL del cilindro en movimiento
YG R
&& Y Y Y R G .......................(11) 0,25
Además YG Ye Þ Ye = 2YG .......................(12) = R 2R
Remplazando las ec.(11) y(12),en la ec.(10), resulta Y && 10Y 0,5 G 16002Y 0 0,25 && 12YG + 3200YG = 0......R ta.
La ecuación se movimiento sistema nos da
de rotación para el M B I B
La ecuación anterior constituye la ecuación diferencial de un MAS con frecuencia circular
w n = 2p. f =
266,67 = 16,33rad / s
La frecuencia de vibración es:
m A g 0,125Sen mC g 0,2Sen I B.......... 1) Para ángulos pequeños Cosθ ≈ 1; y Senθ ≈ entonces la ecuación (1), se escribe .......................... m A g 0,125 mC g 0,2 I B .........(2) El momento de inercia respecto al punto B, será
f
16,33 f 2,6Hz.......... Rta. 2 2
I
I
m 0,125 m 0,2 0 2
El período T
I I
1 1 T 0,38seg ..............Rta f 2,6
Problema#49 Una esfera A de 400 g y una esfera C de 280 g están unidas a los extremos de una varilla rígida de masa despreciable que puede girar en un plano vertical alrededor de un eje que pasa por B. Hallar el período de las pequeñas oscilaciones de la varilla.
2
0,40,125 0,280,2 2
2
I 0,0175kg.m 2 .............................(3) Al sustituir la ec.(3) en (2) resulta 0,49,80,125 0,289,80,2 0,0175.......(4) 0,0175 0,0588 0 ~ 3,36 0.................(5) La frecuencia circular será
3,36 1,833rad / s El período de la vibración resultante será 2 2 T 1,833 T 3,43seg ...................................R . ta
Datos e incógnitas m A 0,4kg;..mC 0,28kg;...m AC 0;...T ?? En la figura se muestra el DCL del sistema para una posición θ a partir de la posición de equilibrio.
