Universidad Tecnol ógica de Panam á
Facultad de Electrica Ingeniería electromecánica
TÍTUTLO DE LA EXPERIENCIA: Vibración libre de un sistema masa-resorte
ELABORADO POR: Franco Giono 8-878-713 Edwin Ureña 8-862-1300 Ulises Poveda 8-905-752 Vicente González 2-727-2839
PROFESOR: Elvis García
II SEMESTRE 2018 FECHA DE ENTREGA: 20 DE SEPTIEMBRE DE 2018
Objetivo General Desarrollar y analizar el modelo físico y matemático de un sistema masa-resorte bajo vibración libre, sin amortiguamiento. Objetivo Especifico Determinar las características principales de los componentes de un sistema dinámico. Obtener el modelo matemático de un sistema masa -resorte. Comprender el efecto de la no-linealidad sobre la complejidad del modelo. Determinar la ecuación diferencial del movimiento para el sistema linealizado. Calcular el periodo y frecuencia circular natural de la vibración libre resultante. Medir el periodo natural de oscilación y det erminar la frecuencia circular natural a partir del mismo. Comparar los resultados obtenidos del modelo matemático con los resultados medidos. Analizar los resultados y explicar las diferencias en función de las aproximaciones y simplificaciones hechas al desarrollar el modelo. Equipos y materiales utilizados Resorte de tensión helicoidales, discos de masas iguales, cronometro, marco para soporte, base para los discos, balanza, cinta métrica, computadora y programas. Introducción Empezamos definiendo la vibración como una partícula que describe un movimiento periódico o armónico cuando a intervalos iguales de tiempo vuelve a pasar por los mismos puntos. La ecuación que describe un movimiento como este puede expresarse siempre en términos de funciones trigonométricas tales como seno y coseno. Si además la partícula que se mueve en forma periódica realiza un camino de ida y vuelta sobre la m isma trayectoria el movimiento La experiencia que aquí se hace, consiste en estirar un resorte metálico helicoidal vertical cuyo extremo superior es fijo del que se cuelgan pesas de su extremo inferior, y observar el comportamiento del movimiento a través del tiempo. Sabemos que una masa sujeta al extremo de un resorte, con la masa moviéndose libremente sobre una superficie horizontal sin fricción o verticalmente en el aire, o scilará si se la aparta de su posición de equilibrio donde el resorte se encuentra sin deformar, con un movimiento armónico simple. El péndulo simple es otro sistema mecánico que tiene un movimiento periódico oscilatorio, si se mueve en un medio sin fricción. Un péndulo es un sistema formado por una masa puntual m suspendida en el aire por una cuerda de longitud L, de masa muy pequeña comparada con la masa m, por lo que se desprecia; la parte superior de la cuerda se encuentra fija. El movimiento del péndulo producido por la fuerza de gravedad se realiza en un plano vertical, y es un movimiento armónico simple si el ángulo que forma la cuerda del péndulo con la vertical es pequeño. Teoría Los sistemas mecánicos cuentan con medios para almacenar energía cinética (masa o inercia), para almacenar energía potencial (elementos elásticos y por su posición en el campo gravitacional) y elementos para dispersar energía (amortiguadores o fricción). Para un resorte lineal, la relación entre la fuerza F y la deformación x está dada por la ley de Hooke.
Existe una proporción directa entre la fuerza aplicada al resorte y la deformación producida al mismo, la constante de proporcionalidad, que es la pendiente de la curva fuerza-deformación representa la constante k del resorte.
Para una masa o inercia, la relación entre la fuerza F y la aceleración está dada por la ecuación. Asumiendo despreciable el amortiguamiento en el sistema, la energía total se conserva. Por lo tanto, La ecuación diferencial de movimiento de la masa suspendida de un resorte puede determinarse por la Segunda Ley de Newton que nos dará la ecuación que describe el movimiento.
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M + Kx= 0 Procedimiento Para realizar este experimento primero se asegura un extremo del resorte de tensión al marco soporte. Luego se coloca la base de los discos en el extremo libre del resorte. Posteriormente, se mide la longitud del resorte entre sus extremos. Seguido a esto, se escoge el punto central de la región lineal y los discos se colocan hasta lograr la deflexión del resorte correspondiente a ese punto. Se desplaza ligeramente la base con los discos y se libera el mismo para que oscile dentro del rango lineal de la gráfica. Con la ayuda del cronómetro se toma el tiempo en que demora dar tres oscilaciones el sistema. También se mide el periodo natural y se calcula la frecuencia circular natural resultante a partir de las siguientes ecuaciones. Resultados Frecuencia natural
3 oscilaciones de ensayo
Resorte
resorte
exp 1
exp 2
exp 3
promedio
1
2.03
1.99
2.06
2.03
2
2.83
2.96
2.97
2.92
3
1.97
1.94
1.92
1.94
Masa kg
s
152 71
1.632 1.632
0.68 0.97
161
1.632
0.65
s
% error
rad
rad
0.65 0.95
9.24 6.48
9.65 6.59
4.41% 2.06 %
0.63
9.67
9.93
3.07%
Valores experimentales
Para k1:
Para k2:
= . = 0.68 = 9.24 w= = .
= . = 0.97 = 6.48 w= = .
Para k3:
. = = 0.65 = 9.67 w= = .
Para k2:
√ .= 6.59 = 0.95 t= . W=
Valores teóricos
Para k3: Para k1:
√ . =9.93 t= . = 0.63 W=
√ . =9.65 = 0.65 t= . W=
Resortes en serie
Keq1 =
+
resorte
exp 1
exp 2
exp 3
promedio
1-3
2.95
2.97
2.96
2.96
2-3
3.87
3.81
3.94
3.87
= 78.2
= 49.3 +
Keq2 =
Valores experimentales
Valores teóricos
Para keq1:
Para k1:
= . = 0.987 = 6.37 w= = . Para keq2:
= . = 1.29 = 4.87 w= = .
√ .. =6.92 t= . = 0.91 W=
Para k2:
√ .. = 5.49 t= . = 1.15 W=
Resorte
152-161 71-161
Masa kg
s
1.632 1.632
0.987 1.29
s
0.91 1.15
rad
rad
6.37 4.87
6.92 5.49
% error
7.8% 10.85 %
Preguntas 1. Determine, a partir del modelo matemático, las frecuencias naturales de oscilación, para los sistemas Masa-resorte. Presente los porcentajes de error. El cálculo para esta pregunta está en el punto anterior y el resultado se muestra en la tabla. 2. Explique las posibles fuentes de error en la realización del laboratorio. Entre tantas, las principales que podemos decir son: la pre cisión de medir el tiempo de cada oscilación; la posición que se mide a través de la vista tiende a perderse respecto a la posición original en se suelta la m asa. Otro error bastante significativo es en los instrumentos de medición los cuales posiblemente no estaban debidamente calibrados o no se puede apreciar a simple vista la exactitud de este. 3. ¿Qué suposiciones son necesarias para la simplificación del modelo matemático estudiado en el laboratorio? Para la simplificación del sistema masa resorte es necesario hacer las siguientes suposiciones, efecto despreciable de la gravedad, la uniformidad de masa en to do el sistema, amortiguamiento despreciable. 4. Demuestre matemáticamente la obtención de la frecuencia natural de oscilación analítica 5. ¿De qué parámetros depende la rigidez de un sistema? Explique. La rigidez depende del Módulo de Elasticidad, la secc ión, pero también de la Inercia y la longitud del elemento. 6. ¿De qué parámetros depende la frecuencia natural de oscilación del sistema Masa-resorte? Explique. Frecuencia angular en un movimiento armónico depende de la m asa y la constante del resorte.
Conclusiones (Ulises) Un tipo de movimiento particular ocurre cuando sobre el cuerpo actúa una fuerza que es directamente proporcional al desplazamiento del cuerpo desde su posición de equilibrio. Si dicha fuerza siempre actúa en la dirección de la posición de equilibrio del cuerpo, se producirá un movimiento de ida y de vuelta respecto de esa posición. Un sistema vibra si posee energía cinética y potencial, la carencia de uno de ellos anula la posibilidad. Son tres los elementos básicos de un sistema vibratorio: la masa, los elementos elásticos y los elementos absolvedores de energía. La manera más sencilla de analizar un resorte físicamente es mediante su modelo ideal global y bajo la suposición de que éste obedece la Ley de Hooke. Se e stablece así la ecuación del resorte, donde se relaciona la fuerza ejercida sobre el mismo con el alargamiento/contracción o elongación producida. (Edwin Ureña) Con la experiencia realizada con anterioridad y la actual pudimos comprobar las ecuaciones que describen el comportamiento del sistema masa resorte simple e n específico su periodo y frecuencia natural. Con nuestras diversas mediciones pudimos verificarla constante de resorte para el desplazamiento dado resultando una frecuencia natural esperada con cierto porcentaje de error, en el ensayo de resortes en serie, el error relativamente se sumó entre las primeras experiencias. (Franco Giono) En este laboratorio pudimos observar el comportamiento que tienen los sistemas vibratorios mediante una masa con resorte. El comportamiento de este tuvo un patrón de movimiento armónico por sus condiciones de elasticidad por el resorte, con ello obtuvimos ecuaciones de movimiento equivalentes al sistema mostrando Referencias bibliográficas [1] Vibraciones Mecánicas, Rao, 5ta edición [2] Vibraciones Mecánicas, Seto, 1ra Edición [3] Libro de laboratorio de dinámica aplicada, Portillo, 1ra edición
