CUESTIONARIO - ESTADÍSTICA APLICADA A LA INGENIERÍA Problema 1 En una oficina de defensa del consumidor se han recibido quejas de los consumidores con respecto a que una determinada marca de aceite vende botellas que indican 850 c.c. pero que en realidad es menos de esa cantidad. Un funcionario de esta oficina con la finalidad de determinar si los clientes tienen fundamento en sus quejas decide tomar una m.a. de 49 botellas de aceite y encontró que el promedio de esta muestra muestra fue 848.3c.c. 848.3c.c. y una desviación desviación estándar estándar de 10c.c. 10c.c. Plantee la hipótesis adecuada Usando un nivel de significancia del 5% ¿A qué conclusión llegará el funcionario de la oficina de defensa del consumidor?
Datos: µ=850 n =49 ơ=10 α =0,0
Paso1
Pasó 2
Ho= µ=850
α =0,05
H1= µ≠850
Paso3
−) = - 1,19 = (̅ √ −ɞ ) = T = (. ÷√
T
Paso 4
| Z1- α 0,975 -2,262
Paso 5: Interpretación: Como t = -1.19 E.R.A No se rechaza el H0
-1,19
Z1- α 0,975 2,262
Concluimos.-Que la defensa del consumidor que una determinada marca de aceite vende botellas que indican 850 c.c
Problema 2 Se sabe que en una compañía de taxis el gasto diario diario promedio en combustible, por unidad, es una variable con distribución normal, cuyo promedio es de 187.6 galones, y una desviación estándar de 32.5 galones. El gerente de operaciones decide incluir un aditivo especial al combustible que le permitirá permitirá un ahorro en ese rubro. rubro. Después de incluir el aditivo toma una muestra de 6 unidades y encontró los siguientes gastos en combustible expresado en galones por día:
180.3 179.6 185.7 170.5 158.3 180.6 El gerente operativo afirma que el gasto promedio diario en combustible disminuyó en más de 12% ¿En base a la información muestral presentada se puede aceptar lo afirmado por el gerente operativo?
Datos µ=187,6
Paso 1
Paso2
HO: =187,6 187,6
α =12%
H1: ≠
ơ=32,5 n=6 n<30 =173,86
̅
Paso 3
T = (̅ √ −ɞ )
=
T=
,−.1,0 .÷√
Pasó 4
t1- α/2,
1
-0,885
t 1- α/2,
0,88 ,5 -1,348
1,348
1
-0,885
Interpolando: 1,156 ---------- 0,85 a ----------- 0,88 1,476 ---------- 0,90 a=1,348
Paso 5 Interpretación Como t = -1.19 E.R.A No se rechaza el H0
Concluimos.Lo dicho por el gerente es afirmativo y que si permite ahorrar en un 12 % el combustible. Va a ser igual a 187 galones.
Problema 3 Un administrador afirma que los ingresos diarios del hotel en el que trabaja siguen una distribución normal con una media de 500 soles. El propietario del hotel piensa que el ingreso promedio es mayor y para verificar sus sospechas, tomo una muestra de los ingresos de los últimos siete días del mes y obtuvo los siguientes resultados: 500 495 500 550 575 600 625 Se pide: a) Plantee las hipótesis de prueba. b) A un nivel de significancia del 5%, existe evidencia estadística para pensar que el ingreso promedio diario del hotel es mayor al afirmado por el administrador? c) Describa claramente sus conclusiones de acuerdo al contexto.
Datos
Paso 1
Paso 2
s=52,87 =549,23 n=7 n<30
HO : μ1 =500 HA : μ1> 500
α=0.05
Paso 3
̅ ( T = −ɞ ) √
T=
(,−) =2,466 ,÷√
Paso 4
2,466
1
t 1- α/ , 0,95 , 6 1,993
Paso 5 Como t = 2.46 E.R.R Se rechaza Ho Concluimos que el promedio diario del hotel e s mayor al afirmado por el administrador
Problema 4 El Dpto. de Marketing de una compañía que produce el detergente ABC encontró en una muestra de 200 amas de casa que el 20% utiliza esta marca de detergente. Después de una intensa campaña publicitaria, se tomó otra muestra de 300 amas de casa la que indicó que el 27% favorece esta marca. Al 5% de significación, ¿puede el jefe del Dpto. concluir, en base a los resultados de esta muestra, que la campaña fue exitosa?
Datos n,=200 =20% 200= 40
̅ 1
n2=300 = 27% 300=81
2
P1==0,20 P2==0,27 α =0,05
Promedio de las dos
+ = + = 0,242 + +
ṗ= Paso 1
Paso 2
HO :Pa=Pb HA :Pa< Pb
α=0.05
Paso 3
−( − ) Z = − () + (
=
Z = ,,−,+,
=1,79038478= -1,79
Paso 4
-1,79 0,95 -1,65
Z
1- α/2
Pasó 5 Interpretación Como Z=-1.79 E.R.R Se rechaza Ho Concluimos que mediante los resultados que la prueba fue exitosa.
Problema 5 Al señor Juan Pérez le han propuesto participar en una lista para el congreso, en representación de su provincia. Para aceptar la propuesta este señor quiere estar seguro de que al menos el 25% de los votantes en la provincia que reside están a favor de su
candidatura. Para determinar esto toma una muestra aleatoria de tamaño n = 450 personas encontrando que 90 están a favor de su candidatura. ¿Aceptará el señor Juan Pérez participar en la lista? Considere = 5%
Paso 1
Datos n=450 =90
0,25 ╥ ≤0,25
̅
╥ n
P= 90/450=0,2
=
n
Paso 3
P − ╥ Z= = ( ) ╥
╥
0,2
=-2,4
Paso 4
-2,45 Z10,95 -1,65
α
Pasó 5 Interpretación Como Z=-2.4 E.R.R Se Rechaza Ho Concluimos Que el señor perez no va a participar en las elecciones.
Paso 2 α
=0,05
Problema 6 La tabla siguiente resume algunos datos de un experimento realizado para estudiar varias características de tornillos de anclaje, puesto que la empresa “Ferriti” desea realizar la compra de un lote de estos tornillos:
Diámetro de tornillo
Tamaño muestra
3/8 ½
15 14
de
la Resistencia promedio libra) 4.25 7.14
Desviación (kilo/ Estándar 1.3 1.68
Un aspecto importante es la homogeneidad en cuanto a la resistencia de estas dos marcas de tornillos, ¿Podemos concluir, en base a la información mostrada si las resistencias de los tornillos de ambos diámetros son iguales? (Utilice un nivel de significancia igual a 0.05 y asuma que las varianza poblacionales son iguales)
Datos:
=15 α1=1=1,3 =14 α2=1,68
= 4,25 = 7,14
Paso1
1= 2 1≠ 2
Paso 2 α=0,05
Paso3
− )= -5,155 t = (̅ −̅ )−( +
Paso 4
-5,155
tα/2, m1,+ m2 -2
tα/2, m1,+ m2 -2
0.025, 14,13
-t 1-α/2, m1,+ m2 -2
t1-α/2, m1,+ m2 -2
0,975,27 -2,052
2,052
INTERPRETACIÓN Como T= -5.155 E.R.R Se rechaza Ho Conclusión: que los diámetros de los tornillos no son iguales. Problema 7 El gerente de marketing de una compañía desea determinar si un nuevo envase podría aumentar las ventas de su producto. Para probar la factibilidad de la nueva forma de envase se seleccionó una muestra de 18 tiendas similares y se asignaron, en forma aleatoria, 10 de ellas como mercado de prueba de la nueva forma de envase, en tanto que las otras 8 continuarían recibiendo el envase antiguo. Las ventas semanales durante el tiempo de estudio fueron las siguientes:
Envase nuevo n1 = 10 x = 130 cajas S1 = 10 cajas 1
Envase antiguo n1 = 8 x = 118 cajas S2 = 12 cajas 2
Si se sabe que el nivel de ventas con el envase nuevo y con el envase antiguo se comporta según una distribución normal y que las muestras tomadas son independientes, ¿Tiene evidencia de que la nueva forma de envase dio como resultado un mayor nivel de ventas? Utilizar un nivel de significancia del 5%
(Asumir que las varianza poblacionales son iguales) Datos: Nuevo
Antiguo
n1= 10
n1= 8
x1=30
x1=118
s1= 10
s1=12
>
Paso1:
n
= = n
α =0.05
a
Paso3:
Paso2:
a
= 0.694 Paso4:
f α, r 1, r 2 0.694 0.05, 9,9 0.315
SEGUNDO
Paso1:
= < a
a
Paso2: α =0.05
n
n
Paso3:
= =1.44
Paso4:
f α, r 1, r 2 1.44 0.05, 9,9 0.315
Paso 5 INTERPRETACIÓN: Como f= 1.44 E.R.A Conclusión: son iguales no hay evidencia que hay variación, no es mayor.
PRUEBA T PARA DOS MUESTRAS RELACIONADAS QUE PRESENTA UNA DISTRIBUCIÓN NORMAL Problema 8 En un estudio acerca del estado general de la salud mental de personas retiradas, un equipo de psicólogos seleccionó una muestra de aquellas que deberían retirarse dentro de los próximos dos años. Los investigadores desean saber si se podía sacar como conclusión que el nivel de salud mental de la población de la cual se había sacado la muestra tendía a tener diferencias antes y después del retiro. Use un nivel de significancia del 5%. Estado de salud mental de 15 sujetos antes y después del retiro 1 76 70
Antes Después
2 80 75
3 86 84
4 87 90
5 85 81
6 95 95
7 97 87
8 75 72
Datos: Antes
Después
n1= 15
n2= 15
x1=86.3
x2=83
s1= 7.7
s2=7.25
Paso1:
Paso2:
= ≠
H°= H°=
α =0.05
n
a
n
a
Paso3:
9 87 92
10 96 85
11 98 88
12 77 76
13 80 85
14 87 81
15 89 84
2 1 = 22
̅ ̅ ( − T = )−+( − )=
1,2085
Pasó 4
f α/2, m1+m2 -2 1,2085 f α, r1, r2 0.694 0.0975, 14,140.0975, 14,14 -2,056
5. conclusión. Como T=1.2085 E.R.A No se rechasa Ho Entonces se concluye que no hay diferencias, hay Que son homogéneos.
b)
Paso 1 HO : μ1 = μ2 HA : μ1≠ μ2
Paso 2 α=0.05
T = ( ̅ ̅) ( ) T=1.2185 ( 1) ( ) 1 = ( 2) =55.93
1,2085 -t 1- α/2,
+ 2t 1- α/2, + 2
0.975,28 0.975,28 -2.048 2.048
INTERPRETACIÓN Como T= 1.2185 E.R.A No se rechaza Ho Concluimos: que son diferentes, si hay diferencias
Problema 9 Veinte estudiantes del quinto año de Educ. Secundaria participaron en un experimento preparado para evaluar la efectividad de un programa para aumentar la comprensión de Cada sujeto hizo una prueba de comprensión de lectura antes y después de participar en el programa. ¿Proporcionan estos datos suficiente evidencia como para indicar que el programa es efectivo a un nivel de significancia del 0.05? Puntaje en comprensión de lectura de 20 estudiantes de quinto año de Educación Secundaria antes y después de participar en un programa preparado para mejorar la comprensión de lectura, fueron
Sujeto Antes Después
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 80 65 73 60 60 73 76 53 57 65 61 54 77 66 59 74 52 56 63 67 85 75 84 55 72 81 84 50 65 75 79 62 85 78 69 88 60 52 75 80
Datos:
= 20 = 20 α =0.05
Paso:2
paso :1
α =0.05
HO : μ 1 = μ 2 HA : μ1< μ2
Paso: 3
T = D ( ) √
T = 8, ,15 =6,13 √
Pasó 4
-6.13 t 1- α/2,
1,729
1
0.975,28 -2.048 D=-8,15 SD= 5,94
Pasó 5 Como T=-6.13 E.R.A Concluimos: que son iguales, y el programa si es efectivo. Problema 10 Una muestra de 87 mujeres trabajadoras profesionales mostró que la cantidad promedio que pagan a un fondo de pensión privado el 5% de su sueldo. Una muestra de 76 hombres trabajadores profesionales muestra que la cantidad que paga a un fondo de pensión privado es el 6.1% de su sueldo. Un grupo activista de mujeres desea demostrar que las mujeres no pagan tanto como los hombres en fondos de pensión privados. Si se usa alfa = 0.01 ¿Se confirma lo que el grupo activista de mujeres desea demostrar o no?
1. - Pm < PH Pm > PH 2.-
α= 0,01
̅ ̅ ( ) = (−) (−)
Z=
,−, √ ,( ,) + ,(,)= -0.307 + . = 0.055 p = ++ = . +
1-a 0.99 2.33 5. como Z= -0.307 E.R.A Ho= No se rechaza Ho concluimos que las mujeres no pagan tanto como los hombres en fondos de pensión privados.
Problema 11 El dueño de un café realizó un estudio estadístico por cuenta propia y otro usando los servicios de dos practicantes universitarios que cursan la materia de estadística inferencial. Según los datos de muestreo del dueño para 30 personas el 60% de los clientes son mujeres; en cambio en el muestreo realizado por los estudiantes para 40 personas encontraron que el 70% de los clientes son mujeres. La pregunta del dueño ahora es si se requiere invertir en un nuevo estudio dado que alguno de los dos realizados hasta ahora está mal hecho. Si ambos estudios analizaron una muestra representativa de la misma población las medias poblacionales son iguales y no se requiere un estudio adicional. Determine:
a) Hipótesis nula y alternativa b) Concluya si se requiere un estudio estadístico adicional basándose en la prueba de hipótesis para proporciones, use un nivel de significancia de alfa = 0.05.
Intervalo de confianza
Datos
= 30 = 40 α =0.05
= 18 60% mujeres =0.6 = 28 60% mujeres =0.7 p = 1828 3040 =0.657 α =0.05
Paso 1
Paso2
pd = pe pd ≠ pe
α =0.05
Paso 3
( ) Z = (−) (− Z=-0.87
Pasó 4
Z1-α/2
0,87
Z1-α/2
Z 1-α/2
0,975
-1,96
1,96
Paso 5
Como Zc = 0.87 € R.A. Se rechaza Ho Concluimos que si se requiere un estudio estadístico adicional basándose en la prueba de hipótesis para proporciones
Problema 12 Los pesos en una determinada población siguen una distribución normal de media desconocida y desviación típica igual a 5 kg. Pesando a 10 individuos de dicha población, se obtuvieron los siguientes resultados medidos en kilogramos: 62
65
63
58
64
60
57
62
60
58
Halla un intervalo de confianza al 90% para el peso medio de la población.
Datos:
̅
ɞ =5
Paso 1
n =10
ɞ =5
s=2,726 Pasó 3
=60.9
ɞ =5
Paso 2
1-α =0,90 α =0,1
Z = ɞ = ≤
1 α2 ,n1=1,83
√
0.95,9
̅ − √ sn ≤ ̅ − ,− √ sn 59,3≤ ≤ 62,48 Pasó 5 Interpretación con un nivel de significancia de 90% se concluye que se obtuvo un intervalo
59,3≤ ≤ 62,48
Problema 13 Actualmente el costo promedio, por unidad producida, de un artículo es de 120 soles con una desviación estándar de 10 soles. Se realizan ciertas medidas de reajuste en el proceso de producción de este artículo con la finalidad de disminuir los costos de producción. Luego de estas medidas se toma una muestra aleatoria de 6 objetos y se determinó los siguientes costos:
115.6, 118.5, 123.6, 119.5, 115.2, 116.3 Con esta información, utilizando un nivel de confianza del 90% , ¿es posible confirmar que se logró el objetivo?
Datos
̅
=120
n =6
ơ=10
1- α= 0,9 α =0.1 α/2= 0.025
1- α/2 = 0.975
Z. =2.57
̅ ( T = ɞ ) √
T=
̅ − √ sn ≤ ≤ ̅ − ,− √ sn 120±− √ 106 ≤ ≤ ̅ − ,− √ sn
137.7
≤ ≤117.55
con un nivel de significancia de 90 % obtenemos un intervalo de 137.7 117.55
≤
≤
