Problema 1º Vamos a calcular en primer lugar las rigideces de las barras. En todo lo que sigue considérese la numeración de nudos indicada en la figura. 3m
P = 12000 N
3
2
3m 4m 4 1
6m
El pilar 1-2 se encuentra empotrado en su base y presenta una articulación en su extremo superior, por lo tanto:
K 12 =
3EI 3 = EI L12 4
Lo mismo puede decirse del pilar 4-3: K 43 =
3EI 3 = EI = EI L 43 3
El dintel 2-3 se encuentra doblemente articulado; no tiene sentido, en consecuencia, hablar de rigidez de dicho elemento, puesto que los momentos en ambos extremos serán nulos, sea cual sea la carga que soporte la estructura. Una vez calculadas las rigideces pasamos a establecer las ecuaciones de barra: 1) Pilar 1-2 *
e M 12 = M 12 + K 12 θ1 + K 12
Δ 12 3 ; M 12 = EIΔ 12 L12 16
M 21 = 0 2) Dintel 2-3
M 23 = 0 M 32 = 0
3) Pilar 4-3
M 34 = 0
*
M 43 = M e43 + K 43 θ 4 + K 43
Δ 43 1 ; M 43 = EIΔ 43 L 43 3
-1-
Δ
Δ 3
2
4 1 Por la hipótesis de inextensibilidad de las barras, el único desplazamiento transversal relativo posible es el indicado en la figura (donde sólo se ha representado dicho movimiento), verificándose adicionalmente que Δ12 = Δ43 = Δ. Pasemos ahora a establecer las ecuaciones de nudo. 1) Nudo 2
M 2 = M 21 + M 23 ⇒ 0 = 0 + 0 Dada la configuración de los enlaces de las barras de la estructura, articulación entre el pilar y el dintel, la ecuación anterior degenera en una identidad de la que resulta imposible obtener información adicional alguna. 2) Nudo 3 Se produce la misma situación que en el nudo 2.
M 3 = M 32 + M 34 ⇒ 0 = 0 + 0 A continuación, procedemos a establecer las ecuaciones de desplazamiento. Para ello seccionamos idealmente la estructura según la dirección de los desplazamientos transversales desconocidos (ver figura). Posteriormente establecemos ecuaciones de equilibrio de fuerzas según esas direcciones.
P = 12000 N 3
2 T21
T21
T34
T34
4 1 Ecuación de equilibrio de la sección superior: Σ X = 0; T21 + T34 = 0. Las ecuaciones de equilibrio de barra permiten relacionar la ecuación anterior con los desplazamientos desconocidos.
-2-
P = 12000 N T23 2
T32 N23
N32 N 23
3
N 32 T23
T32
T21
T34 N 21
N 34
N 21
N 34
T21
T34
M43 T43
M12 T12
N 43
N 12
Considerando el equilibrio de los pilares 1-2 y 3-4, ver figura anterior, resulta:
ΣΜ = 0; M12 + T21 L12 = 0 ΣΜ = 0; M43 + T34 L43 = 0
Donde en ambos casos se han tomado momentos respecto a la base. En consecuencia:
T21 = −
M 12 3 =− Δ L12 64
T34 = −
M 43 1 =− Δ L 43 9
Y por lo tanto:
−
⎧M = 0 3 1 Δ − Δ = 0 ⇒ Δ = 0 ⇒ ⎨ 12 64 9 ⎩M 43 = 0
Una vez conocidos los momentos en los extremos de las barras, se pueden obtener los cortantes a partir de las ecuaciones de equilibrio de barra. 1) Pilar 1-2
Σx = 0; N12 + N21 = 0. Σy = 0; T12 + T21 = 0. ΣΜ = 0; M12 + T21 L12 = 0; T21 = 0; T12 = 0. 2) Pilar 4-3
Σx = 0; N43 + N34 = 0. Σy = 0; T43 + T34 = 0. ΣΜ = 0; M43 + T34 L43 = 0; T34 = 0; T43 = 0. 3) Dintel 2-3
Σx = 0; N23 + N32 = 0. Σy = 0; T23 + T32 – 12000 = 0. L P P ΣM = 0; T32 L 23 − P 23 = 0; T32 = = 6000 N; T23 = = 6000 N 2 2 2 -3-
Por último, calculamos los axiales a partir de las ecuaciones de equilibrio de nudo (ver figura anterior). 1) Nudo 2
ΣX = 0; T21 – N23 = 0; N23 = N32 = 0. ΣY = 0; T23 + N21 = 0; N21 = - 6000 N; N12 = 6000 N. 2) Nudo 3
ΣX = 0; T34 + N32 = 0; N23 = N32 = 0. Ecuación redundante. ΣY = 0; T32 + N34 = 0; N34 = - 6000 N; N43 = 6000 N.
-4-
Problema 2º Analice el pórtico de la figura determinando el valor de las fuerzas en los extremos de cada una de las barras que lo componen. Se admite que todas las barras tienen igual rigidez a flexión (EI = Cte.). 1,86 kN/m
3
1
4
1,64 kN/m
3,28 kN/m
2
1) Cálculo de la rigidez de las barras, K ijb =
4EI ij L ij
:
a) Pilares
Kp =
4EI p Lp
=
4EI p 5
= 0,8EI p = 0,8EI
b) Dintel
Kd =
4EI d 4EI d 2 2 = = EI d = EI ≈ 0,667 EI 3 Ld 6 3
2) Movimientos conocidos. a) Por empotramiento en los apoyos: θ1 = θ4 = 0 b) Por inextensibilidad de las barras. El único desplazamiento transversal relativo posible es el indicado en la figura (donde sólo se ha representado dicho movimiento), verificándose adicionalmente que Δ12 = Δ43 = Δ.
-5-
3) Ecuaciones de barra, considérese la numeración expresada en la figura:
M 12 = −3416,667 + 0,4EIθ 2 + 0,24EIΔ M 21 = 3416,667 + 0,8EIθ 2 + 0,24EIΔ M 23 = −5580 + 0,667 EIθ 2 + 0,333EIθ 3 M 32 = 5580 + 0,333EIθ 2 + 0,667EIθ 3 M 34 = 6833,333 + 0,8EIθ 3 + 0,24EIΔ M 43 = −6833,333 + 0,4EIθ 3 + 0,24EIΔ
4) Equilibrio de nudos: a) M2 = M21 + M23 = 0; 1,467EIθ2 + 0,333EIθ3 +0,24EIΔ = 2163,333 b) M3 = M32 + M34 = 0; 0,333EIθ2 + 1,467EIθ3 +0,24EIΔ = –12413,333 5) Ecuación de desplazamiento (ver figura adjunta): 1,86 kN/m
3
2 T21
T34
T34
1,64 kN/m
3,28 kN/m
T21
1
4
a) T21 + T34 = 0 b) Considerado el equilibrio de las barras 1-2 y 3-4, resulta (ver figura adjunta): i)
Barra 1-2
∑M
1
= 0; M 12 + M 21 + 5T21 + 20500 = 0
T21 = −
M 12 + M 21 + 20500 5
ii) Barra 4-3
∑M
4
= 0; M 43 + M 34 + 5T34 + 41000 = 0
T34 = −
M 43 + M 34 + 41000 5
Y, en consecuencia:
M 12 + M 21 + M 34 + M 43 + 61500 =0 5 M 12 + M 21 + M 34 + M 43 = −61500 ⇒ 0,12EIθ 2 + 0,12EIθ 3 + 0,96EIΔ = −61500
T21 + T34 = −
6) Cálculo de desplazamientos y giros. Resolviendo el sistema: 1,467EIθ2 + 0,333EIθ3 +0,24EIΔ = 2163,333 0,333EIθ2 + 1,467EIθ3 +0,24EIΔ = –12413,33 -6-
1,200EIθ2 + 1,200EIθ3 + 0,96EIΔ= – 61500
θ2 =
14968,8 2114,57 85416,7 ; θ3 = ; Δ=− EI EI EI
7) Cálculo de momentos. M12 = -17929,2 Nm M21 = -5108,3 Nm M23 = 5108,3 Nm M32 = 11975 Nm M34 = -11975 Nm M43 = -26487,5 Nm 8) Equilibrio de barras.
1,86 kN/m
M 23 T23
T32 M 32
2
N 23
N 32 N 23
M21
3
N 32 T23
M 23
M 34
T32
M 32
T21
T34 N 21
N 34
N 21
N 34 T34
T21 M 34
3,28 kN/m
1,64 kN/m
M 21
M 12
M43
T12
T43
N 12
N 43
a) Barra 1-2
∑ x = 0; N + N = 0 ⇒ N = − N ∑ y = 0; T + T + 8200 = 0 ∑ M = 0; M + M + 5T + 20500 = 0 ⇒ T 12
21
12
1
12
21
21
12
21
21
21
= 507,5 N; T12 = −8707,5 N
-7-
b) Barra 2-3
∑ x = 0; N + N = 0 ⇒ N = − N ∑ y = 0; T + T + 11160 = 0 ∑ M = 0; M + M + 6T + 33480 = 0 ⇒ T 23
32
23
2
32
23
32
23
32
32
32
= −8427,2 N; T23 = −2732,8 N
c) Barra 4-3
∑ x = 0; N + N = 0 ⇒ N = − N ∑ y = 0; T + T + 16400 = 0 ∑ M = 0; M + M + 5T + 41000 = 0 ⇒ T 43
34
43
4
43
34
34
43
34
34
34
= −507,5 N; T43 = −15892,5 N
9) Equilibrio de nudos. a) Nudo 2.
∑ X = 0; ∑ Y = 0;
T21 − N 23 = 0 ⇒ N 23 = 507,5 N ⇒ N 32 = −507,5 N T23 + N 21 = 0 ⇒ N 21 = 2732,8 N ⇒ N 12 = −2732,8 N
b) Nudo 3.
∑ X = 0; ∑ Y = 0;
T34 − N 32 = 0 ⇒ N 32 = −507,5 N T32 + N 34 = 0 ⇒ N 34 = 8427,2 N ⇒ N 43 = −8427,2 N
-8-
Problema 6º Analice el pórtico de la figura determinando el valor de las fuerzas en los extremos de cada una de las barras que lo componen. Se admite que todas las barras tienen igual rigidez a flexión (EI = cte). 1 kN/m 3 15° 2
4
4,00 m
1
5
12,64 m
a) Movimientos • Por condiciones de sustentación: θ1 = θ5 = 0 Δ12 = 0 • Por la hipótesis de inextensibilidad de las barras:
Δ 54 = Δ
Δ 23 = Δ 34 =
Δ 54 Δ 54 = = 1,932 Δ 2 sen α 2 × sen (15º ) Δ54 3
3'' Δ54
15°
2 4
4'
Δ 34
Δ 23
3' 1
5
-9-
b) Ecuaciones de barra Barra 1-2. Empotrada – articulada.
3(EI )12 3 = EI = 0,75EI l12 4 Δ e = M 12 + K 12 θ1 ± K 12 12 = 0 l12
K 12 =
M 12
M 21 = 0 Barra 2-3. Empotrada – articulada.
3(EI )23 l 23
⎫ ⎪ 3 ⎪ EI = 0,459EI ⎬ ⇒ K 23 = 12,64 m 6 , 543 2 = 6,543 m ⎪ l 23 = ⎪ cos(15º ) ⎭ M 23 = 0 K 23 =
e M 32 = M 32 + K 23 θ 3 ± K 23
Δ 23 = 0,459EIθ 3 + 0,136EIΔ l 23
Barra 3-4. Empotrada – articulada.
3 (EI )34 3 = EI = 0,459EI l 34 6,543 Δ e = M 34 + K 34 θ 3 ± K 34 34 = 5,169 + 0,459EIθ 3 − 0,136EIΔ l 34
K 34 =
M 34 M
e 34
q 34 y M 43
⎫ ⎪ e 8 ⎬ ⇒ M 34 = 5,169 kNm = q 34 cos(15º ) = 1 kN × cos (15º ) = 0,966 kN ⎪ m m⎭ =0 =
2 q 34 y l 34
q 34y = 0,966 kN/m
e
M34
Barra 5-4 Empotrada – articulada.
3(EI )54 3 = EI = 0,75EI l 54 4 Δ e = M 54 + K 54 θ 5 ± K 54 54 = 0,1875EIΔ l 54
K 54 =
M 54
M 45 = 0 c) Equilibrio de nudos (momentos) Nudo 3
M 3 = M 23 + M 34
0 = (0,459EIθ 3 + 0,135EIΔ ) + (5,169 + 0,459EIθ 3 − 0,135EIΔ ) ⇒ θ 3 = −
5,631 EI - 10 -
d) Ecuaciones adicionales
∑M
O
= 0 ⇒ − M 32 + T32 l 34 + T45 2f + q 34 l 34
l =0 4 l 34 = 6,543 m O
M32 T32
N32 N32
T32
2f = 3,387 m
1 kN/m M32 T45 N45 l 2
= 6,32 m T45
tg α =
N45
f ⇒ 2f = 2 × 6,32 × tg (15º ) = 3,387 m l 2
Del equilibrio de las barras 2-3 y 4-5 se obtiene: Barra 2-3.
∑M
2
= 0; M 32 + T32 l 23 = 0 ⇒ T32 = −
M 32 l 23
Barra 5-4
∑M
5
= 0; M 54 + T45 l 54 = 0 ⇒ T45 = −
M 54 l 54
Y por tanto:
− M 32 − M 32 1 × 6,543 ×
l 34 2f l − M 54 + q 34 l 34 = 0 l 23 l 54 4
6,32 3,387 59,965 = 2 × (0,459EIθ 3 + 0,135EIΔ ) + (0,1875EIΔ ) × ⇒Δ= 2 4 EI
e) Momentos en los extremos
M 32 = 5,571 kNm
M 34 = −5,571 kNm M 54 = 11,273 kNm
- 11 -
M32 T32
N32 N32
T32 T34 N34 M32
M34
M34
1 kN/m
N34 T34
T23 N23
R
T23
T21
N23
T43 N43
N43
T43 T45 N45
N21 T21
N21
T45
N45
T54
T12 M12 N12
M54 N54
- 12 -
f) Equilibrio de barras Barra 1-2
∑ x = 0; N + N = 0 ∑ y = 0; T + T = 0 ∑ M = 0; M + T l 12
21
12
1
21
12
21 21
⎫⎪ ⎬ ⇒ T12 = T21 = 0 = 0⎪⎭
Barra 2-3
∑ x = 0; N + N = 0 ∑ y = 0; T + T = 0 ∑ M = 0; M + T l 23
32
23
2
32
32
32
23
⎫⎪ ⎧T23 = 0,851 kN ⎬⇒⎨ = 0⎪⎭ ⎩T32 = −0,851 kN
Barra 4-3
∑ x = 0;
N 34 + N 43 + q 34 x l 34 = 0 ⇒ N 34 + N 43 = −1,693
q 34 x = q 34 sen (15º ) = 1 kN
× sen (15º ) = 0,259 kN m m ⎫ ∑ y = 0; T34 + T43 = q 34 y l 34 ⎪ ⎧T34 = 2,309 kN 2 ⎬⇒ ⎨ l 34 ∑ M 3 = 0; M 34 + T43 l 34 = q 34 y 2 ⎪⎭ ⎩T43 = 4,012 kN
Barra 5-4
∑ x = 0; N + N = 0 ∑ y = 0; T + T = 0 ∑ M = 0; M + T l 54
45
54
5
45
54
45 54
⎫⎪ ⎧T54 = 2,818 kN ⎬⇒⎨ = 0⎪⎭ ⎩T45 = −2,818 kN
g) Equilibrio de nudos (fuerzas) Nudo 4
∑ X = 0; ∑ Y = 0;
Nudo 3
∑ X = 0;
T43 sen (15º ) + N 43 cos (15º ) = T45 ⇒ N 43 = −3,992 kN ⇒ N 34 = 2,298 kN T43 cos (15º ) + N 45 = N 43 sen (15º ) ⇒ N 45 = −4,909 kN ⇒ N 54 = 4,909 kN
T34 sen (15º ) + N 34 cos (15º ) + N 32 cos (15º ) = T32 sen (15º ) ⇒ N 32 = −3,145 kN ⇒ N 23 = 3,145 kN
Nudo 2
∑ X = 0; ∑ Y = 0;
R + T21 + T23 sen (15º ) = N 23 cos (15º ) ⎫⎪ ⎧ N 21 = −1,636 kN ⇒ N 12 = 1,636 kN ⎬⇒⎨ T23 cos (15º ) + N 21 + N 23 sen (15º ) = 0⎪⎭ ⎩R = 2,818 kN
- 13 -
Problema 7º Analice el pórtico de la figura determinando el valor de las fuerzas en los extremos de cada una de las barras que lo componen. Se admite que todas las barras tienen igual rigidez a flexión (EI = cte). 5 2,50 m
4,5 kN/m
2
3
4,00 m 50° 1
4
9,36 m
a) Movimientos • Por condiciones de sustentación: θ1 = θ4 = θ5 = 0 • Por la hipótesis de inextensibilidad de las barras: PORTICO INTRASLACIONAL. b) Ecuaciones de barra Barra 1-2. Empotrada – Empotrada.
4(EI )12 l12
⎫ ⎪ 4 ⎪ EI = 0,766EI ⎬ ⇒ K 12 = 5,22 4 ⎪ = 5,22 m l12 = ⎪⎭ sen (50º ) e M 12 = M 12 + K 12 θ1 + 0,5K 12 θ 2 = 0,383 EIθ 2 K 12 =
M 21 = M e21 + K 12 θ 2 + 0,5K 12 θ1 = 0,766 EIθ 2 Barra 2-5. Empotrada – Empotrada.
K 25 =
4(EI )25 4 = EI = 1,60 EI l 25 2,50
M 25 = M e25 + K 25 θ 2 + 0,5K 25 θ 5 = 1,60 EIθ 2 e M 52 = M 52 + K 25 θ 5 + 0,5K 25 θ 2 = 0,80 EIθ 2
Barra 2-3. Empotrada – Empotrada.
4(EI )23 l 23
⎫ ⎪ 4 ⎪ EI = 0,667 EI ⎬ ⇒ K 23 = 6,00 4 ⎪ = 6,00 m l 23 = 9,36 − ⎪⎭ tg (50º ) M 23 = M e23 + K 23 θ 2 + 0,5K 23θ 3 = 13,5 + 0,667 EIθ 2 + 0,333 EIθ 3 K 23 =
e M 32 = M 32 + K 32 θ 3 + 0,5K 32 θ 2 = −13,5 + 0,667 EIθ 3 + 0,333 EIθ 2
- 14 -
2 kN q 23 l 223 4,5 m × (6,00 ) m = = = 13,5 kNm 12 12 2 4,5 kN × (6,00 ) m 2 q 23 l 223 m =− =− = −13,5 kNm 12 12 2
M
e 23
M e23
4,5 kN/m
e
e
M23
M32
Barra 2-5. Empotrada – Empotrada.
K 43 =
4(EI )43 4 = EI = EI l 43 4,00
M 43 = M e43 + K 43 θ 4 + 0,5K 43 θ 3 = 0,5 EIθ 3 e M 34 = M 34 + K 43 θ 3 + 0,5K 43 θ 4 = EIθ 3
c) Equilibrio de nudos (momentos) Nudo 2
M 2 = M 21 + M 23 + M 25
0 = (0,766 EIθ 2 ) + (1,6 EIθ 2 ) + (13,5 + 0,667 EIθ 2 + 0,333 EIθ 3 ) 3,033 EIθ 2 + 0,333 EIθ 3 = −13,5 Nudo 3
M 3 = M 32 + M 34
0 = (− 13,5 + 0,667 EIθ 3 + 0,333 EIθ 2 ) + (EIθ 3 ) 0,333 EIθ 2 + 1,667 EIθ 3 = 13,5 θ2 = −
5,460 9,190 ; θ3 = EI EI
d) Momentos en los extremos
M 12 = −2,091 kNm; M 21 = −4,182 kNm
M 25 = −8,736 kNm; M 52 = −4,368 kNm M 23 = 12,918 kNm; M 32 = −9,188 kNm M 43 = 4,595 kNm; M 34 = 9,190 kNm e) Equilibrio de barras Barra 1-2
∑ x = 0; N + N = 0 ∑ y = 0; T + T = 0 ∑ M = 0; M + M + T 12
21
12
1
21
12
21
l
21 21
⎫⎪ ⎧T12 = −1,202 kN ⎬⇒⎨ = 0⎪⎭ ⎩T21 = 1,202 kN
- 15 -
M52
N52
T52
T25 M25 N25 M25
N25 T25 N23
M21 M21 T21
N21 N21
T21
T23
M23
M23 T23 N23
4,5 kN/m
M32 T32
M32 T32
N32 N32
T34 M34 M34
N34 N34
T34
T12 T43 N12
M12
M43 N43
- 16 -
Barra 2-5
∑ x = 0; N + N = 0 ∑ y = 0; T + T = 0 ∑ M = 0; M + M + T 25
52
25
52
2
25
52
52
l 25
⎫⎪ ⎧T25 = −5,541 kN ⎬⇒⎨ = 0⎪⎭ ⎩T52 = 5,241 kN
Barra 2-3
∑ x = 0; ∑ y = 0; ∑M
2
N 23 + N 32 = 0 T23 + T32 = q 23 l 23
= 0; M 23 + M 32 + T32 l 23
⎫ ⎪ ⎧T23 = 14,122 kN 2 ⎬⇒ ⎨ l = q 23 23 ⎪ ⎩T32 = 12,878kN 2⎭
Barra 4-3
∑ x = 0; N + N = 0 ∑ y = 0; T + T = 0 ∑ M = 0; M + M + T 43
34
43
4
34
43
34
34
l 34
⎫⎪ ⎧T43 = 3,446 kN ⎬⇒⎨ = 0⎪⎭ ⎩T34 = −3,446 kN
f) Equilibrio de nudos (fuerzas) Nudo 3
∑ X = 0; N ∑ Y = 0; N
32
= T34 = −3,446 kN ⇒ N 32 = 3,446 kN
34
+ T32 = 0 ⇒ N 34 = −12,878 kN ⇒ N 43 = 12,878 kN
Nudo 2
∑ X = 0; T sen(50º ) + T = N cos(50º ) + N ⇒ N = −12,082 kN ⇒ N = 12,082 kN ∑ Y = 0; N + T + T cos(50º ) + N sen(50º ) = 0 ⇒ N = −5,639 kN ⇒ N = 5,639 kN 21
25
25
23
21
21
23
21
21
12
25
52
- 17 -
Problema 8º Analice el pórtico de la figura determinando el valor de las fuerzas en los extremos de cada una de las barras que lo componen. Se admite que todas las barras tienen igual rigidez a flexión (EI = cte). 65 kg/m
130 kg/m 2 10°
1
3
5,00 m
4
20,00 m
Diagrama de sólido libre 65 kg/m
130 kg/m
R Y1
Y4 M4 X4
a) Movimientos • Por condiciones de sustentación: θ1 = θ4 = 0 Δ43 = 0 • Por la hipótesis de inextensibilidad de las barras:
Δ 12 = Δ 23 = Δ
- 18 -
2'
Δ 12
Δ 23
2
2'' 10°
3
1 1'
4
b) Ecuaciones de barra Barra 1-2. Articulada – Empotrada.
3(EI )12 l12
⎫ ⎪ 3 ⎪ EI = 0,295EI ⎬ ⇒ K 12 = 10,154 10 ⎪ l12 = = 10,154 m ⎪⎭ cos(10º ) M 12 = 0 K 12 =
M 21 = M e21 + K 12 θ 2 ± K 12 M
e 21
Δ 12 = 837,762 + 0,295 EIθ 2 − 0,029 EIΔ l12
2 q 12 l12 = = 837,762 kgm 8
65 kg/m
e
M21
Barra 2-3. Empotrada – Articulada.
3(EI )23 l 23
⎫ ⎪ 3 ⎪ EI = 0,295EI ⎬ ⇒ K 12 = 10,154 10 ⎪ l 23 = = 10,154 m ⎪⎭ cos(10º ) Δ M 23 = M e23 + K 23 θ 2 ± K 23 23 = −1675,523 + 0,295 EIθ 2 + 0,029 EIΔ l 23 K 23 =
M 32 = 0 M e23 = −
q 23 l 223 = −1675,523 kgm 8
- 19 -
130 kg/m
e
M23
Barra 4-3. Empotrada – Articulada.
3 (EI )43 3 = EI = 0,6 EI l 43 5 Δ = M e43 + K 43 θ 4 ± K 43 43 = 0 l 43
K 43 =
M 43
M 34 = 0 c) Equilibrio de nudos (momentos) Nudo 2
M 2 = M 21 + M 23
0 = (837,762 + 0,295 EIθ 2 − 0,029 EIΔ ) + (− 1675,523 + 0,295 EIθ 2 + 0,029 EIΔ ) ⇒ θ2 =
1417,809 EI
d) Ecuaciones adicionales
∑M
O
= 0 ⇒ QY
l 3 = T23 l12 + Q X f + M 23 = 0 4 2 l 12= 10,154 m
O Q QY
2f = 3,527 m
QX
T23 N23 M23
M23 130 kg/m
N23 T23
Y1
l 2
= 10,00 m
Q = q 12 l12 = 65 kg
× 10,154 m = 660,027 kg m Q X = Q sen (10º ) = 114,613 kg
Q Y = Q cos (10º ) = 650,00 kg Del equilibrio de la barra 2-3
∑ M 3 = 0; T23 l 23 + q 23
l 223 = M 23 2
- 20 -
10 3 10,154 2 = 114,613 × × 1,763 + 2 × (− 1675,523 + 0,295 EIθ 2 + 0,029 EIΔ ) − 130 × 2 2 2 209006,284 ⇒Δ= EI 650 ×
e) Momentos en los extremos
M 21 = −4824,477 kgm M 23 = 4824,477 kgm f) Equilibrio de barras Barra 1-2
∑ x = 0; ∑ y = 0;
N 12 + N 21 = 0
⎫ ⎪ ⎧T12 = −805,132 kg 2 ⎬⇒⎨ l12 = + + = M 0 ; M T l q 0 ⎪ ⎩T21 = 145,105 kg ∑ 1 21 21 21 12 2 ⎭ T12 + T21 + q 12 l12 = 0
Barra 2-3
∑ x = 0; ∑ y = 0;
N 23 + N 32 = 0
⎫ ⎪ ⎧T23 = −184,909 kg ⎬⇒⎨ l 223 = + + = M 0 ; M T l q 0 ⎪ ⎩T32 = −1135,15 kg ∑ 2 23 32 23 23 2 ⎭ T23 + T32 + q 23 l 23 = 0
Barra 4-3
∑ x = 0; N + N = 0 ∑ y = 0; T + T = 0 ∑ M = 0; M + T l 43
34
43
4
34
43
34
43
⎫⎪ ⎬ ⇒ T43 = T34 = 0 = 0⎪⎭
g) Equilibrio de nudos (fuerzas) Nudo 2
∑ X = 0; T sen(10º ) = N cos(50º ) + T sen (10º ) + N ∑ Y = 0; N sen (10º ) = T cos (10º ) + T cos(10º ) + N 21
23
21
23
23
21
23 21
cos (10º ) sen (10º )
N 21 = 141,966 kg ⇒ N 12 = −141,966 kg N 23 = −83,776 kg ⇒ N 32 = 83,776 kg Nudo 3
∑ X = 0; N ∑ Y = 0; N
32
cos (10º ) + T32 sen (10º ) = R = −114,613 kg
34
+ T32 cos (10º ) = N 32 sen (10º ) ⇒ N 34 = 1132,45 kg ⇒ N 43 = −1132,45 kg
- 21 -
M21 65 kg/m T12 N12
T21
M21 T21 N21 N21
T23 N23 M23
M23 130 kg/m
N23 T23
T32 N32
R
N32 T32
T34 N34 T34
N34
T43 M43 N43
- 22 -
Otra manera Considerando los apoyos del dintel, éste puede analizarse según el modelo:
l 2
= 10 m
65 kg/m
130 kg/m f = 1,763 m
l = 20 m 65 kg/m
130 kg/m
Y1
Y3
X3
Q = q 12 l12 = 65 kg
× 10,154 m = 660,027 kg m Q X = Q sen (10º ) = 114,613 kg
Q Y = Q cos (10º ) = 650,00 kg P = q 23 l 23 = 130 kg × 10,154 m = 1320,05 kg m PX = P sen (10º ) = 229,225 kg PY = P cos (10º ) = 1300 kg
P
Q QY QX Y1
∑ X = 0; ∑ Y = 0;
PY
PX Y3
X3
X 3 + PX = Q X ⇒ X 3 = −114,613 kg
⎫ ⎪ ⎧Y1 = −817,552 kg 2 l12 3 f ⎬ ⇒ ⎨Y = −1132,45 kg = + + = M 0 ; Y l q P l P ⎪ ⎩ 3 ∑ 1 3 12 Y X 2 4 2⎭ Y1 + Y3 + Q Y + PY = 0
Equilibrio de barras Barra 1-2
N 12 = Y1 sen (10º ) = −141,966 kg
T12 = Y1 cos(10º ) = −805,132 kg
- 23 -
∑ x = 0; ∑ y = 0;
N 12 + N 21 = 0 ⇒ N 21 = 141,966 kg
⎫ ⎪ ⎧T21 = 145,105 kg 2 ⎬⇒⎨ l12 = + + = M 0 ; M T l q 0 ⎪ ⎩M 21 = −4824,48 kgm ∑ 1 21 21 21 12 2 ⎭ T12 + T21 + q 12 l12 = 0
Barra 2-3
N 32 = X 3 cos(10º ) − Y3 sen (10º ) = 83,776 kg
T32 = X 3 sen (10º ) + Y3 cos(10º ) = −1135,15 kg
∑ x = 0; ∑ y = 0; ∑M
2
N 23 + N 32 = 0 ⇒ N 23 = −83,776 kg T23 + T32 + q 23 l 23 = 0
= 0; M 23 + T32 l 23 + q 23
⎫ ⎪ ⎧T23 = −184,909 kg ⎬⇒⎨ l 223 = 0⎪ ⎩M 23 = 4824,48 kgm 2 ⎭
Barra 4-3
∑ x = 0; N + N = 0 ∑ y = 0; T + T = 0 ∑ M = 0; M + T l 43
34
43
4
34
43
34
43
⎫⎪ ⎬ ⇒ T43 = T34 = 0 = 0⎪⎭
Por último, considerando el nudo 3
R = X 3 ⇒ R = −114,613 kg
N 34 = − Y3 = 1132,45 kg ⇒ N 43 = −1132,45 kg
- 24 -
- 25 -
