Porticos 3D (Porticos espaciales).pdf

Pór órtt icos ic os esp espaacia ci ales J. T. Celi Celigü güeta eta

Pórtico espacial. Definición 









Estructura reticular. Barras rectas de sección despreciable.   Cualquier orientación en el espacio. Barras unidas rígidamente en ambos extremos.  Se transmiten 3 fuerzas y 3 momentos entre el nudo y la barra  Puede haber articulaciones Cargas exteriores en cualquier dirección Deformaciones: 3 desplazamientos y 3 giros 2 kN/m

5 kN-m

10 kN

4m

2m

4m

4m

Pórtico espacial. Definición 

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Estructura reticular. Barras rectas de sección despreciable.   Cualquier orientación en el espacio. Barras unidas rígidamente en ambos extremos.  Se transmiten 3 fuerzas y 3 momentos entre el nudo y la barra  Puede haber articulaciones Cargas exteriores en cualquier dirección Deformaciones: 3 desplazamientos y 3 giros 2 kN/m

5 kN-m

10 kN

4m

2m

4m

4m

Condi on dici cion onees de est estaabili bi lida dadd Incógnitas= 12 b + r

Ecuaciones estática: 6n + 6b + c

A B C

Isostático Hiperestático

 

12 b+r < 6n+6b+c 12 b+r = 6n+6b+c 12 b+r > 6n+6b+c



Inestable

Además de de cumplirse B o C, la disposición de las barras debe evitar toda inestabilidad local. Es posible cumplir B, y ser a la vez inestable e hiperestático Habitualm Habitualmente ente son hipe hiperestát restáticos icos con h muy alto

Ejemplos (I) a)

b) b=8 n=8 r=24 c=0 h=24

b=7 n=8 r=17 c=1 h=10

Ejemplos (II) c)

d) b=8 n=8 r=24 c=24 h= =4

b=8 n=8 r=24 c=12 h=12

Barra en el espacio Y

Deformaciones de la fibra neutra:

v Y

axial u, laterales v, w, giros según X, Y, Z

uP

u Z

Deformaciones de un punto P fuera de la fibra neutra: dv dw   uP = u − θZ y + θY z = u − y− z   dx dx  

Z

X

w

X

Barra en el espacio Deformación unitaria axial debida a la flexión y axial:

∂uP  du d 2v d 2w   = − 2 y − 2 z  εX  = ∂x dx dx dx   Y

Y

v

x

Y X

V’’

u Z

Z

w

du/dx

W’’

Z

X

Barra en el espacio Distribución de temperatura lineal: T Ecuación constitutiva lineal:

= E (u ′ − v ′′y − w ′′z − αT ) 

Y

xy

xy

Z

x

x

x xz

 

σX = E (εX  − αT ) σX 

Y

= Tm + yTgy + zTgz 

X

xz

X

Z

Barra en el espacio: esfuerzos (I) qa

N

N

≡ ∫  σdA = EAu ′ − EAαTm  

MZ

MY

≡ −∫ σydA = EI Z v ′′ + EI Z αTgy 

≡ −∫ σzdA = EIY w ′′ + EIY αTgz 

N

Y

 

qY

QY

MZ

 

MZ

QY

Z Y

QZ MY

qZ

QZ

X MY

Barra en el espacio: esfuerzos (II) Cortantes

QY

= ∫  τ xy dA

QZ

= ∫  τ xz dA

Momento torsor 

MT

= ∫ (τxz y − τ xy z  )dA

Y

MT

MT

Barra a flexión en el espacio. Ecs. Equilibrio (I) a

Fuerza axial:

qa 

= EA

Propiedades uniformes

d 2u  dx 2

Barra a flexión en el espacio. Ecs. Equilibrio (II)

Momentos s/ Z

Fuerzas s/ Y

Q Y 

qY

=−

dM Z  dx 

= −EI Z 

d 4v  dx 4

Propiedades uniformes

Barra a flexión en el espacio. Ecs. Equilibrio (III) Z

Z

Y

Y

Momentos s/ Y Fuerzas s/ Z

Z

Q Z  qZ

=−

dM Y  dx 

= −EI Y 

Propiedades uniformes

d 4w  dx 4

z

Y

Barra en el espacio: tensiones Flexión y esfuerzo axial:

σX  =

N A

−

MZ y IZ

−

MY z   I Y 

Esfuerzos cortantes:

τ XY

=

QY AZ I ZbZ

τ XZ

= 

QZ AY IY bY

   

Torsión: según la teoría de torsión. Contribuye a las 2 tensiones cortantes τ

Barra en el espacio: energía Energía acumulada en toda la barra (sin energía de cortante ni torsión):

*

Ub

=∫

+∫ +∫

N 2

2EA

M Z 2

2EI Z  M Y 2

2EI Y 

dx

+ ∫ N αTm dx  

dx

− ∫ M Z αTgy dx  

dx

− ∫ MY αTgz dx  

Barra en el espacio. Torsión

M IX M JX

UTb

=

GJ 

(ϕIX − ϕJX ) 

L = −M IX

= ∫ 

M T 2

2GJ 

Rigidez a la torsión: G J / L G: módulo de elasticidad en cortadura Sección circular: J = momento de inercia polar

 

dx 

Otras secciones: J según la teoría de la torsión

Barra en el espacio: grados de libertad

δI 

⎧⎪ δ IX  ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ δ IY  ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ δ IZ  ⎪⎪ = ⎨ ⎬ ⎪⎪ϕIX  ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ϕIY  ⎪⎪ ⎪⎪ ϕ ⎪⎪ ⎪⎩ IZ  ⎪⎭

δJ 

⎧⎪ δ JX  ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ δ JY  ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ δ JZ  ⎪⎪ = ⎨ ⎬ ⎪⎪ϕJX  ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ϕJY  ⎪⎪ ⎪⎪ ϕ ⎪⎪ ⎩⎪ JZ  ⎭⎪

3 desplazamientos y 3 giros en cada nudo Y

JY

IY

v

IY IZ

u

IX IZ

IX

JY

Y

Z

w

JX JZ

X

JZ

JX

Barra en el espacio: fuerzas en los nudos PJY MJYL PJX PJZ MJZL PIY

MIYL

MIZL PIZ

PIX MIXL

PI 

⎪⎧⎪ P IX  ⎪⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ P  ⎪⎪ IY  ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ P  IZ  ⎪ ⎪ = ⎨⎪ ⎬⎪ ⎪⎪M IXL ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪M IYL ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ M  ⎪⎪⎩ IZL ⎪⎪⎭

3 fuerzas y 3 momentos en cada nudo

MJXL

PJ 

⎧⎪ P JX  ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ P JY  ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ P JZ  ⎪⎪ ⎪⎬ = ⎨⎪ ⎪⎪M JXL ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪M JYL ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ M  ⎪⎩⎪ JZL ⎪⎭⎪

Barra en el espacio: rigidez en el sistema local ⎪⎧⎪P IX  ⎪⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎡ ⎪⎪P IY  ⎪⎪⎪ ⎢⎢ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎢ P  ⎪⎪ IZ  ⎪⎪ ⎢ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎢ M  ⎪⎪ IXL ⎪⎪ ⎢ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎢⎢ ⎪⎪M IYL ⎪⎪ ⎢ ⎪⎪M  ⎪⎪ ⎢ ⎪⎪ IZL ⎪⎪ ⎢ ⎨⎪ ⎬⎪ = ⎢ P  ⎪⎪ JX  ⎪⎪ ⎢⎢ ⎪⎪P  ⎪⎪ ⎢ ⎪⎪ JY  ⎪⎪ ⎢ ⎪⎪P  ⎪⎪ ⎢ ⎪⎪ JZ  ⎪⎪ ⎢⎢ ⎪⎪M  ⎪⎪ ⎢ ⎪⎪ JXL ⎪⎪ ⎢ ⎪⎪M  ⎪⎪ ⎢ ⎪⎪ JYL ⎪⎪ ⎢⎢ ⎪⎪M JZL ⎪⎪ ⎣ ⎩⎪ ⎭⎪

KLII

KLJI

KLIJ

KLJJ

 

 

⎤ ⎧⎪⎪δ IX  ⎫⎪⎪ ⎥ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎥ ⎪δ IY  ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎥ ⎪⎪⎪δ IZ  ⎪⎪⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎥ ⎪⎪ϕIX  ⎪⎪ ⎥ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎥ ⎥ ⎪⎪⎪ϕIY  ⎪⎪⎪ ⎥ ⎪⎪ϕ ⎪⎪ ⎥ ⎪ IZ  ⎪ ⎥⎨ ⎬ ⎥ ⎪⎪δ JX  ⎪⎪ ⎥ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎥ ⎪δ JY  ⎪ ⎥ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎥ ⎪δ  ⎪ ⎥ ⎪⎪ JZ  ⎪⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎥ ⎪⎪ϕJX  ⎪⎪ ⎥ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎥ ⎪⎪ϕJY  ⎪⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎥⎦ ⎪⎪ϕJZ  ⎪⎪ ⎩⎪ ⎭⎪

Matriz de 12 x 12. 4 submatrices de 6 x 6 4 efectos desacoplados: 2 flexiones (XY, XZ) axial (X) torsión

Se obtiene ensamblando las matrices de: - viga plana en XY (4 gdl), - viga plana en XZ (4 gdl), - barra axial (2 gdl) y - barra a torsión (2 gdl)

Barra en el espacio: rigidez en el sistema local

KLII 

⎡ EA ⎢ ⎢ L ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ = ⎢⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣

0 12EI z 3

L

0

6EI z L2

0

0

0

12EI y 3

L

0 0

0

0

−

6EI y L2

0

0 GJ  L

0 0

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ 6EI z  ⎥ 0 ⎥ L2 ⎥ ⎥ 6EI y    0 ⎥⎥ − 2 L ⎥ ⎥ 0 0 ⎥ ⎥ ⎥ 4EI y    ⎥ 0 ⎥ ⎥ L ⎥ 4EI z  ⎥ 0 ⎥ L ⎦ 0

0

Barra bi articulada  

Viga a flexión en plano XY Viga a flexión en plano XZ Barra a torsión pura

 

4 efectos desacoplados: 2 flexiones (XY, XZ) axial (X) torsión (Giro X)

Barra en el espacio. Ubicación en 3D (I) Sistema local de la barra conocido: Eje X local: nudo I al nudo J. Ejes Y, Z locales : ejes principales de inercia de la sección Ubicar los ejes locales respecto de los generales.

Barra en el espacio. Ubicación en 3D (II) Ubicar los ejes locales : tres rotaciones sucesivas α, β y ψ

YG YL

Z

ZL

Y

Barra en el espacio. Ubicación en 3D (III) Método del punto auxiliar: En lugar del ángulo ψ se definen las coordenadas de un punto P cualquiera situado en el plano XL, YL. A partir de ellas es fácil determinar ψ

Barra en el espacio. Ubicación en 3D (IV) Ángulos α, β: pueden ser calculados en función de los tres cosenos directores del eje X local (λ, μ, ν) Ángulo auxiliar ψ : su valor debe ser definido como dato por el usuario para completar la definición del sistema local ⎡ ⎤ λ μ ν  ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ −λμ cos ψ − ν sin ψ −μν cos ψ + λ sin ψ ⎥⎥ ⎢ T = ⎢ D cos ψ ⎥ D D  ⎢ ⎥ ⎢ λμ sin ψ − ν cos ψ μν sin ψ + λ cos ψ ⎥ ⎢ ⎥ −D sin ψ ⎢⎣ ⎥⎦ D D 

D  = λ 2

+ ν 2

Nota: se produce una indeterminación si la barra es paralela al eje Y general, con lo que D=0. Se adopta un valor de ψ de 90º o 270º.

Rigidez en coordenadas generales Fuerzas y momentos

Grados de libertad ΔI ΔJ

= {ΔIX ΔIY = {ΔJX ΔJY

ΔIZ θIX θIY

T 

T 

θIZ

}

FI

 

= {FIX FIY FIZ M IX M IY M IZ  } 

T 

T 

ΔJZ θJX θJY θJZ } 

FJ

= {FJX FJY FJZ MJX MJY MJZ  }  FJY

JY

MJY

JY

MJZ

FJX

JZ JX JZ

YG

YG

JX

KG

IY

FJZ

FIY

= T4 KL T4 T 

MIY

IY

IX

IZ

ZG

IX

XG

MIZ

12 x 12 llena ZG

FIZ

FIX MIX

XG

MJX

Barras en el espacio con articulaciones 

Varias situaciones: 1, 2 ó 3 momentos nulos, en 1 ó 2 nudos YL

JY IY

IY

MZL=0

JY

IX IX

XL

JX JZ

IZ

ZL

Van apareciendo en la matriz de rigidez filas y columnas nulas, correspondientes a los esfuerzos anulados, hasta llegar a la barra biarticulada (sólo N).

JZ

JX

Barras en el espacio con articulaciones Situaciones muy complejas: El eje de la articulación no coincide con un eje principal de inercia (eje local)

Emplear un sistema local distinto en cada nudo, de tal forma que en el nudo I sea fácil definir la condición M=0. Sistema de grados de libertad “mixto”

Ejemplos

Ejemplos

Ejemplos

Ejemplos

Velódromo (Korea)